BAYESOVE MREŽE U MODELIRANJU UČENIKA

SVEUČILIŠTE U SPLITU

PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET

BAYESOVE MREŽE U MODELIRANJU UČENIKA Ivan Peraić

Mentor:

Prof.dr.sc. Slavomir Stankov

Neposredni voditelj:

Mr.sc. Ani Grubišić

Split, svibanj 2012.

1

Zahvala

Zahvaljujem svom mentoru prof. dr. sc. Slavomiru Stankovu,te posebno zahvaljujem profesorici mr. sc Ani Grubišić na savjetima, uloženom trudu i pomoći koju mi je pružila pri izradi ovog rada. Hvala i ostalim profesorima i prijateljima na ukazanoj podršci, te mojoj obitelji za razumijevanje i podršku tijekom cijelog studija.

2

Sadržaj

1 UVOD .................................................................................................................................................... 4

2 TEORIJSKA OSNOVA .............................................................................................................................. 8

2.1 TEORIJA VJEROJATNOSTI ............................................................................................................................... 8 2.1.1 Aksiomatska definicija vjerojatnosti ................................................................................................. 8 2.1.2 Uvjetna vjerojatnost ....................................................................................................................... 10

2.2 BAYESOVA FORMULA ................................................................................................................................. 11 2.3 BAYESOVA MREŽA ..................................................................................................................................... 12

2.3.1 Postupak oblikovanja Bayesove mreže ........................................................................................... 12 2.3.2 Zaključivanje u Bayesovoj mreži ..................................................................................................... 15 2.3.3 Neovisnost pretpostavki u Bayesovim mrežama ............................................................................ 20 2.3.4 Konzistentnost vjerojatnosti u Bayesovim mrežama ...................................................................... 23

2.4 MODELIRANJE UČENIKA ............................................................................................................................. 24 2.4.1 Primjena bayesove teorije u modeliranju učenika .......................................................................... 28 2.4.2 Primjer sustava s probabilističkim modelom učenika ..................................................................... 29

3 PRISTUP PROBABILISTIČKOM MODELIRANJU UČENIKA ........................................................................ 32

3.1 RAČUNANJE „A PRIORI“ VJEROJATNOSTI ....................................................................................................... 36 3.2 RAČUNANJE UVJETNIH VJEROJATNOSTI .......................................................................................................... 38

3.2.1 Uvjetne vjerojatnosti ovisne samo o roditeljima varijable ............................................................. 39 3.2.2 Uvjetne vjerojatnosti ovisne i o roditeljima i o djeci varijable ........................................................ 41 3.2.3 Uvjetne vjerojatnosti ovisne samo o djeci varijable ........................................................................ 44

3.3 ZAKLJUČIVANJE O ZNANJU UČENIKA NA TEMELJU BAYESOVE MREŽE ..................................................................... 47 3.3.1 Postavljanje dokaza ........................................................................................................................ 47

3.4 ISPITIVANJE UČINKOVITOSTI I POUZDANOSTI MODELA ....................................................................................... 52 3.4.1 Testiranje 1 ..................................................................................................................................... 53 3.4.2 Testiranje 2 ..................................................................................................................................... 55 3.4.3 Testiranje 3 ..................................................................................................................................... 58 3.4.4 Testiranje 4 ..................................................................................................................................... 59 3.4.5 Testiranje 5 ..................................................................................................................................... 60 3.4.6 Interpretacija rezultata ................................................................................................................... 62

4 ZAKLJUČAK .......................................................................................................................................... 64

5 LITERATURA ........................................................................................................................................ 65

6 PRILOZI ............................................................................................................................................... 67

6.1 PRILOG A – MODEL_ZNANJE1 ..................................................................................................................... 68 6.2 PRILOG B – KONCEPTI_PRIJE ....................................................................................................................... 70 6.3 PRILOG C – MODEL_ZNANJE2 ..................................................................................................................... 72 6.4 PRILOG D – KONCEPTI_POSLIJE ................................................................................................................... 74 6.5 PRILOG E – MREZA 1 ................................................................................................................................ 76 6.6 PRILOG F – MREZA 2 ................................................................................................................................ 77 6.7 PRILOG G – MREZA 3 ................................................................................................................................ 78 6.8 PRILOG T1 – TESTIRANJE 1 ......................................................................................................................... 79

3

6.9 PRILOG T2 – TESTIRANJE 2 ......................................................................................................................... 81 6.10 PRILOG T3 – TESTIRANJE 3 ......................................................................................................................... 83 6.11 PRILOG T4 – TESTIRANJE 4 ......................................................................................................................... 85 6.12 PRILOG T5 – TESTIRANJE 5 ......................................................................................................................... 87

1 Uvod

Danas je sveprisutna potreba, ali i želja da se unaprijedi kvaliteta i dostupnost različitih obrazovnih programa. Pri tome je obrazovanje postalo cjeloživotnim procesom i potrebom, pa se briga o dostupnosti i kvaliteti odnosi na sveukupni ciklus cjeloživotnog obrazovanja. Postalo je jasno da se navedeno ne može ostvariti bez odgovarajuće i učinkovite uporabe informacijskih i komunikacijskih tehnologija u obrazovnome procesu. Ta upotreba informacijske i komunikacijske tehnologije u procesu obrazovanja (proces učenja i poučavanja) predstavlja novi pojam koji se zove e‐učenje (eng. e‐learning). Kvalitetna implementacija tehnologija e‐učenja donosi niz prednosti u obrazovni proces i omogućava željeno novo, moderno i kvalitetno obrazovanje. Uvođenje tih tehnologija i inovacija u polje obrazovanja ne smanjuje samo učinkovit trošak primjene pedagoških teorija, već otvara mogućnost istraživanja modela sa različitih polja [Millan, Perez, (2002)]. Inteligentni tutorski sustavi (eng. Intelligent Tutoring Systems(ITS)) za razliku od tradicionalnih sustava za potporu procesa učenja i poučavanja, imaju mogućnost da se prilagode svakom pojedinom učeniku. Upravo ta sposobnost da se prilagodi svakom učeniku omogućuje poboljšanje nastave, jer se pokazalo da je najbolji način individualno učenje ili poučavanje po principu jedan‐na‐jedan [Bloom, 1984].

Inteligentni tutorski sustavi su generacija računalnih sustava namijenjena potpori i poboljšanju procesa učenja i poučavanja u odabranom područnom znanju, uvažavajući pri tom individualnost onoga tko uči i onoga koga se poučava ([Wenger, 1987], [Ohlsson, 1987], [Sleeman & Brown, 1982]). Radom s inteligentnim tutorskim sustavom učenik stječe osobnog “računalnog učitelja”. Računalni je učitelj s jedne strane uvijek raspoložen, nema emocija, dok učenik s druge strane pred njim nema potrebe kriti svoje neznanje, te slobodno, prirodno komunicira. Projektiranje i implementacija inteligentnih tutorskih sustava sustavno je pridonosilo i još uvijek pridonosi razvoju metoda i tehnika umjetne inteligencije.

Inteligentni tutorski sustavi prilagođavaju sadržaj i način izlaganja nastavnih tema sposobnostima učenika. U tom je smislu znanje ključ inteligentnog ponašanja, pa stoga inteligentni tutorski sustavi imaju sljedeće temeljne odrednice:

- znanje koje sustav ima o područnom znanju (modul stručnjaka) - principi pomoću kojih sustav poučava i metode pomoću kojih primjenjuje te principe

(modul učitelja) i - metode i tehnike za modeliranje učenika tijekom stjecanja znanja i umijeća (modul

učenika).

Inteligentni tutorski sustavi se, dakle, sastoje od četiri međusobno povezana programska modula (Slika 1.1) kako slijedi [Burns & Capps, 1988]:

5

I. Modul stručnjaka (područno znanje) kao nosilac područnog znanja s kojim će tijekom učenja i poučavanja učenik komunicirati. Ekspertni je modul "...kralježnica svakog inteligentnog tutorskog sustava" (Anderson, 1988).

II. Modul učenika (znanje učenika ‐ dinamički model stjecanja znanja i vještina učenika) obuhvaća sve aspekte stjecanja učenikova znanja i vještina u danom područnom znanju. Modul učenika je nosilac procedure modeliranja učenika, koje obuhvaća model učenika i dijagnostiku znanja znanja učenika. Model učenika je skup podataka koji prikazuje aktualnu razinu znanja i vještina, dok je dijagnostika proces upravljan tim podacima.

III. Modul učitelja (tutorsko znanje) jedinica je za vođenja procesa stjecanja znanja i vještina učenika. U tom je smislu modul učitelja nosilac scenarija poučavanja i pedagogijskih znanja s kojim raspolaže "živi" učitelj.

IV. Komunikacijski modul (sučelje učenika i okruženje nastavnog procesa ‐ interakcija učenik‐učitelj‐znanje) predstavlja korisničko sučelje učenika i inteligentnog tutorskog sustava.

Slika 1.1 Tradicionalna struktura inteligentnog tutorskog sustava

Prethodno je spomenuto da je model učenika skup podataka koji prikazuje aktualnu razinu znanja i vještina učenika, te je neophodan za predstavljanje probabilističkog modela učenika i kao takav predstavlja ključnu komponentu svakog ITS‐a. Kognitivno stanje se generira iz interakcije sa sustavom. Što je točniji učenikov model, to ITS može ostvariti bolji i kvalitetniji proces učenja i poučavanja [Millan,Perez, 2002]. U ovom radu predstavit će se probabilistički model učenika temeljen na Bayesovoj mreži (eng. Bayesian network).

6

Ideja Bayesovih mreža nije najnovija, s njima se počelo baviti već osamdesetih godina na području ekspertnih sustava. Pravi opseg ovo područje počinje zauzimati u devedesetima, vjerojatno zbog povećanja brzine računala i obnovljenih interesa za distribuirane sustave, omogućujući im da koriste nešto veći broj praktičnih problema. Velike računske složenosti su jedna od najvećih prepreka za šire korištenje Bayesove mreže.

Za razliku od klasičnih ekspertnih sustava kojima je glavna svrha modeliranje znanja stručnjaka i zamjena stručnjaka u procesima planiranja, analize, učenja i odlučivanja, svrha Bayesovih mreža je modeliranje određene problemske domene i samim time one postaju pomoć stručnjacima kod proučavanja uzroka i posljedica u problemima koji se modeliraju.

Iznimno je važno staviti naglasak na modeliranje domene, kao najvažnije obilježje Bayesove mreže. Modeliranje domene odnosi se na prikupljanje i određivanje svih potrebnih vrijednosti kako bi se Bayesova mreža mogla inicijalizirati. U prvom redu odnosi se na modeliranje zavisnosti među varijablama. Zavisnosti se modeliraju pomoću mrežne strukture i skupa uvjetnih vjerojatnosti. Za definirati jednu Bayesovu mrežu potrebno je definirati čvorove (ili varijable), moguće vrijednosti koje pojedini čvor može poprimiti, veze između čvorova i vrijednosti uvjetnih vjerojatnosti u čvorovima [Prcela, 2010].

Probabilistički model učenika temeljen na Bayesovoj mreži omogućuje mjerenje učenikova znanja u različitim razinama granulacije (to zapravo znači da je predmet koji se obrađuje strukturiran). Integracija probabilističkog modela sa Bayesovom mrežom u ITS‐ovima predstavlja jedan način za olakšavanje učenja učeniku. Naime, ovaj model omogućava donošenje zaključaka o stvarnom znanju učenika. Također, ne uči i poučava učenike već naučene pojmove, već omogućava računalnom tutoru vođenje procesa učenja i poučavanja u smjeru učenja samo onih pojmova za koje se smatra da ih nije svladao. Najteži je problem stvoriti model koji bi omogućio opisano, a cilj ovog rada je oblikovati upravo probabilistički model temeljen na Bayesovoj mreži, te usporediti rezultate sa stvarnim znanjem učenika. Detaljno će biti opisani koraci u stvaranju tog probabilističkog modela kao i rezultati ispitivanja učinkovitosti predviđanja.

U drugom poglavlju pažnja će se posvetiti teoretskoj podlozi na kojoj počiva svaka Bayesova mreža, a budući je Bayesova mreža probabilistička, prva cjelina drugog poglavlja odnosi se na teoriju vjerojatnosti. U nastavku tog poglavlja prikazati će se klasični primjer Bayesove mreže i objasnit će se opći postupci zaključivanja koji vrijede u svakoj Bayesovoj mreži. Nakon toga obradit će se problem modeliranja učenika općenito, te prikazati sustav Andes koji predstavlja ITS s probabilističkim modeliranjem učenika.

Treće poglavlje će biti posvećeno oblikovanju novog pristupa probabilističkom modelu učenika. Model temeljeni na opisanom pristupu temelje se na istoj mreži, no različita im je struktura uvjetnih vjerojatnosti i razina postavljanja dokaza. Cilj svakog od ovih modela je predviđanje znanja znanja učenika na temelju nekoliko poznatih koncepata. Na kraju ovog poglavlja biti će prikazani rezultati usporedbe stvarnog znanja učenika i napravljenih

7

probabilističkih modela, te analiza i interpretacija na temelju koje su doneseni zakljuci o modelu s optimalnom razinom predviđanja stvarnog znanja učenika.

U ovom radu korišten je alat za uređivanje Bayesovih mreža GeNIe (eng. Graphical Network Interface) koji pruža grafičko korisničko sučelje za jednostavniju izgradnju Bayesovih mreža. Program je dostupan na: http://genie.sis.pitt.edu/.

Ovaj diplomski rad se temelji na postavkama i spoznajama koje su navedene u doktorskoj disertaciji mr.sc. Ani Grubišić, koja je ujedno i neposredni voditelj na ovom diplomskom radu. Cijeli diplomski rad, a posebno treće poglavlje bavi se implementacijom probabilističkog modela učenika, za što su korištene definicije iz doktorske disertacije. Definicije iz doktorske disertacije koje su korištene u diplomskom radu su sljedeće: Definicija

3.1, Definicija 3.2, Definicija 3.3 i definicija funkcije vX .

8

2 Teorijska osnova

Modeliranje domene usko je povezano sa teorijom klasične vjerojatnosti i teorijom korisnosti (eng. utility), te teorijom odlučivanja (eng. decision). Teorija vjerojatnosti daje odgovor na pitanje u što bi se trebalo vjerovati, naravno na temelju dokaza. Teorija korisnosti odgovara na pitanje, što se dobije, odnosno koja je korist određene akcije. Teorija odlučivanja, na temelju prethodne dvije, odgovara što bi se trebalo učiniti dalje. Bayesova mreža stručnjaku daje podatke o tome u koje događaje treba vjerovati i s kojom vjerojatnošću mogu određeni događaji nastupiti. Osim toga, daje odgovor i kolika je korist od odabira određene akcije kod rješavanja problema, tako da sustav koji koristi Bayesovu mrežu može, na temelju podataka o vjerojatnostima i korisnostima, donijeti opravdane odluke.

2.1 Teorija vjerojatnosti

Bayesova mreža na temelju podataka o vjerojatnostima donosi odluke, stoga će se u ovom poglavlju definirati pojmovi vezani za vjerojatnosti. Definirati će se pojmovi kao što su vjerojatnost, slučajna varijabla, prostor vrijednosti i združena vjerojatnost. Budući je uvodu naglašeno je da je za definiranje Bayesove mrežu, između ostalog, potrebno definirati vrijednosti uvjetnih vjerojatnosti u čvorovima, u ovom poglavlju će se također definirati uvjetna vjerojatnost.

2.1.1 Aksiomatska definicija vjerojatnosti

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi.

Definicija 2.1 Neka je A događaj koji promatramo, te neka je Ω ‐ skup svih događaja (prostor stanja). Vjerojatnost pojave događaja A odnosno vjerojatnost da će se A dogoditi označavamo sa )(AP .

Aksiomi vjerojatnosti su:

1. 0)(: ≥Ω∈∀ APA (nenegativnost)

2. 1)( =ΩP (normiranost)

9

3. Ako su kAAA ,...,, 21 međusobno isključivi događaji (bez zajedničkog presjeka, tj. ni

jedan podskup ne može nastupiti zajedno), vjerojatnost da nastupi barem jedan od njih (može i više) je suma individualnih vjerojatnosti (aditivnost).

Iz .2.1 i slijedi: 0)(1: ≥≥Ω∈∀ APA

ako 0)( =AP , A se neće dogoditi

ako 1)( =AP , A će se sigurno dogoditi

Definicija 2.2 Slučajna varijabla je varijabla koja može poprimiti vrijednosti iz skupa isključivih i potpunih vrijednosti (prostora vrijednosti ili stanja, engl. sample space) s određenom vjerojatnošću.

Primjer 1.1Neka X označava istinitost logičkog iskaza. X može poprimiti vrijednosti istinit ili neistinit { } XLI Ω=, . Skup je isključiv i potpun. Slučajna varijabla je

diskretna i binarna.

Sve varijable u Bayesovim mrežama u ovom radu će biti logičke.

Sa XΩ označava se prostor vrijednosti, i pretpostavljamo konačan prostor vrijednosti

(diskretan).

Definicija 2.3 Skup konjukcija slučajnih varijabli (zajednički skup, zajedničko nastupanje) slučajnih varijabli X i Y označavamo kao novu varijablu ),( YXZ .

Definicija 2.4 Prostor vrijednosti nove varijable je produkt: YXX ΩΩ=Ω

Primjer 1.2

Neka je: { }LIYX ,=Ω=Ω . Tada je:

{ }),(),,(),,(),,( LLILLIIIZ =Ω

Definicija 2.5 Razdiobu vjerojatnosti definiramo preko konačnog prostora vrijednosti:

1)(0: ≤=≤Ω∈∀ xXPx X , ∑ ==x

xXP 1)(

Primjer 1.3

Neka je X diskretna binarna slučajna varijabla : { }LIX ,=Ω

razdioba vjerojatnosti je dana sa: 7.0)( == TXP

3.0)( == FXP 1=∑ (konzistentnost)

10

Združena vjerojatnost (eng. Joint distribution) označava zajedničko nastupanje ili konjukciju varijabli. Združena vjerojatnost dviju varijabli A i B , sa prostornim vrijednostima

{ }LIBA ,=Ω=Ω ima dva stupca i dva retka, i predstavljaju sve moguće kombinacije:

Definicija 3.1 Tablica 2.1 Združena vjerojatnost varijabli A i B sa prostornim vrijednostima

{ }LIBA ,=Ω=Ω

IB = LB =

IA = 1.0 2.0

LA = 3.0 4.0

Za n varijabli veličina ove tablice je n2 , što znači da tablica raste eksponencijalno u odnosu

na veličinu problema opisanog s n varijabli. Koristeći združenu vjerojatnost moguće je izračunati svaku “a priori” i uvjetnu vjerojatnost budući da su poznate sve moguće vjerojatnosti koje opisuju problem. Iz tablice je moguće izračunati vjerojatnost za bilo koju kombinaciju događaja.

Općenito za skup slučajnih varijabli { }nXXX ,...,, 21 prostor vrijednosti je n‐dimenzionalan:

( ΩX1 ∙ ΩX2 ∙... ∙ ΩXn ) = Πni=1 ΩXi

2.1.2 Uvjetna vjerojatnost

Ako saznamo neku informaciju, može se dogoditi da se vjerojatnosti događaja promijene. Kako bi izračunali vjerojatnost nekog događaja na temelju poznatih stanja, koristimo uvjetnu vjerojatnost.

Definicija 2.6 Vjerojatnost da će se dogoditi događaj A ako se dogodio događaj B naziva se uvjetna vjerojatnost (eng. Posterior probability) i označava na sljedeći način:

)( BAP

Uobičajeno se piše )(

)B ()(

BPAP

BAP I= ali također se piše )(

),()(BPBAPBAP =

gdje je ),( BAP vjerojatnost istodobnog pojavljivanja A i B , a )(BP je vjerojatnost

pojavljivanja B .

Prije samog izračuna uvjetne i zajedničke vjerojatnosti, potrebno je utvrditi da li su događaji zavisni, nezavisni ili su možda međusobno isključivi. Dva događaja su nezavisna ako bilo koji ishod jednog događaja ne utječe na vjerojatnost bilo kojeg drugog događaja. Zajednička

11

vjerojatnost nezavisnih događaja A i B jest produkt njihovih individualnih vjerojatnosti:

)(*),()( BPBAPBAP =

Ako su A i B nezavisni događaji, uvjetna vjerojatnost je dana na sljedeći način: - vjerojatnost A u danom B je individualna vjerojatnost samog A tj.

)()( APBAP = , odnosno

- vjerojatnost B u danom A je individualna vjerojatnost samog B , tj.

)()( BPABP = .

2.2 Bayesova formula

Bayesova mreža je naziv dobila po britanskom matematičaru Thomasu Bayesu (1702.‐1761.) koji je u svojem radu opisao matematičku formulu koja danas ima veliku važnost kod teorije vjerojatnost. Formula glasi :

( ))(

)()(AP

HAPHPAHP ii

i = (1)

gdje je{ }nHHH ,...,, 21 potpun skup događaja na vjerojatnosnom prostoru, a A je događaj za

koji vrijedi da je 0>)(AP u vjerojatnosnom prostoru.

Bayesova formula računa vjerojatnost da se ukoliko je ostvaren događaj A , potvrdio skup

početnih hipoteza. Za primjenu formule je potrebno poznavati vjerojatnosti )(AP i )( iHP , te

je potrebna i statistika kojom se određuje vjerojatnost )( iHAP . Formula vrijedi u slučaju da

nema međusobne ovisnosti između događaja A i niza hipoteza H .

Iako je Thomas Bayes opisao formulu još u 18. stoljeću, formula je pravu primjenu doživjela tek u 20.stoljeću razvojem područja umjetne inteligencije (učenje na temelju Bayesovih mreža, područje strojno učenje (eng. machine learning).

Bayesove mreže su usmjereni aciklički matematički grafovi kod kojih vrhovi predstavljaju slučajne varijable, a bridovi prikazuju ovisnosti između slučajnih varijabli. Graf je acikličan, što znači da ne smiju postojati ciklusi u grafovima, odnosno, varijable moraju biti nezavisne.

12

2.3 Bayesova mreža

Bayesova mreža (eng. Bayesian network) je probabilistički grafički model kojim se prikazuju zavisnosti među varijablama. Sama mreža je usmjereni aciklički graf u kojem čvorovi predstavljaju varijable, a bridovi njihove međuzavisnosti. Na temelju Bayesove mreže moguće je izračunati očekivanja (vjerojatnosti) svih nepoznatih varijabli u sustavu na temelju već poznatih varijabli (dokaza) [Charniak, 1991].

Velika većina događaja vezanih uz istraživanje na Bayesovim mrežama dogodila se već u osamdesetim godinama (engl. belief networks, causal networks, influence diagrams) kada se formirala opće prihvaćena struktura mreže, razvili mnogi alati za rasuđivanje i kada su se Bayesove mreže već počele koristiti u raznim primjenama. U devedesetima se pojavljuju i brojni algoritmi za učenje Bayesovih mreža iz skupova podataka. Bayesove mreže i danas predstavljaju model primjenjiv u računalnim sustavima u raznim područjima ljudskog djelovanja[Prcela, 2010].

Kako bi se definirala jedna Bayesova mreža potrebno je definirati:

− čvorove u mreži (varijable u problemu),

− moguće ishode svih čvorova (vrijednosti koje varijable mogu poprimiti),

− bridove u mreži (povezanost varijabli),

− združene distribucije vjerojatnosti ishoda u svakom pojedinom čvoru ovisno o njegovim roditeljima u mreži.

Za čvorove koji nemaju roditelje potrebno je definirati samo a priori očekivanja njihovih ishoda. A priori očekivanja ishoda čvorova koji imaju roditelje definirana su preko pripadnih tablica združene distribucije vjerojatnosti i preko a priori očekivanja njihovih roditelja. Stoga je suvišno u definiciji mreže eksplicitno navoditi a priori vjerojatnosti ishoda za čvorove koji imaju roditelje.

U ovom poglavlju opisat će se postupak oblikovanja Bayesove mreže, i na primjeru prikazati taj postupak u praksi. Također, objasniti će se postupci zaključivanja u Bayesovoj mreži.

2.3.1 Postupak oblikovanja Bayesove mreže

Prethodno je naglašeno da je Bayesova mreža aciklički graf u kojem čvorovi predstavljaju varijable, a bridovi njihove međuzavisnosti. Svaki brid ima svoj početak i kraj (kraj je označen strelicom). Varijable prema kojima je upućen brid nazivaju se djeca, a varijable kod kojih je početak brida nazivaju se roditelji. Na sljedećoj slici je primjer jednostavne Bayesove mreže (Slika 2.1).

13

Slika 2.1 Primjer jednostavne Bayesove mreže

Da bi pristupili oblikovanju Bayesove mreže, bitno je definirati problem, a zatim pristupiti oblikovanju. U Bayesovoj mreži, varijable koje nemaju roditelje nazivaju se korijeni, i te varijable se prve postavljaju u Bayesovoj mreži. Sa prethodne slike je jasno da je varijabla A korijen. Na njih ne utječe nijedna varijabla, dok one utječu na svoju djecu. Potom se bridovima povezuju njihova djeca. Taj postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do krajnjih varijabli (varijable koje nemaju djece). Sa prethodne slike je jasno da su D, F, G i H varijable koje nemaju djecu.

Nakon toga, potrebno je definirati tablice uvjetnih vjerojatnosti svake varijable. Pri tome broj roditelja neke varijable određuje dimenzionalnost njene tablice vjerojatnosti. U slučaju diskretnih binarnih varijabli za n roditelja potrebno je poznavati 2n vjerojatnosti.

U nastavku će se opisati primjer Bayesove mreže sa logičkim varijablama (Istina i Laz).

2.3.1.1 Primjer oblikovanja Bayesove mreže

U ovom poglavlju, u najvećoj mjeri je korišten [Charniak, 1991] kao literaturni izvor, stoga se na njega u nastavku neće posebno referencirati. Charniak u svom radu iz 1991. godine daje jednostavan primjer kojim demonstrira prednosti grafičkog modeliranja problema pomoću Bayesove mreže. Autor opisuje problemsku domenu u kojoj on živi u kući zajedno sa ženom i imaju psa kao kućnog ljubimca. Iza kuće je dvorište, a ispred kuće je trijem na kojem se nalazi rasvjeta. Nakon posla autor dolazi kući i zanima ga kolika je vjerojatnost da se netko nalazi u kući (da kuća nije prazna). Budući da živi dugo u tom susjedstvu poznaje određene varijable koje mu mogu pomoći u dobivanju odgovora:

- svjetlo na trijemu o žena ga često upali kad ode negdje o žena ga upali i kad očekuje goste

- pas

14

o kad nema nikog kod kuće nalazi se u dvorištu o psa vode u dvorište i kad ima probleme s probavom o ako je pas iza kuće može se čuti kako laje, ali njegov lavež se može zamijeniti

sa drugim psima koji se čuju u susjedstvu

U ovom problemu je moguće uočiti pet slučajnih varijabli: žena, pas, problem s probavom, svjetlo i lavež. Koristeći grafički prikaz pomoću Bayesove mreže, ovaj problem je moguće prikazati na sljedeći način:

Slika 2.2 Bayesova mreža

NaSlika 2.2 se vidi da ako žena nije u kući tada je ili upaljeno svjetlo ili je pas u dvorištu. Pas je u dvorištu i ako ima problema s probavom. Ako je pas u dvorištu, onda se može čuti njegov lavež. Naravno, ovaj model je probabilistički što znači da se može dogoditi i da žena nije kod kuće, a svjetlo nije upaljeno. Isto tako, pas može biti u dvorištu, a da ne laje.

Kako bi se ovaj model upotpunio, potrebno je svakom čvoru pridružiti vjerojatnosti: - a priori vjerojatnosti za čvorove bez roditelja - uvjetne vjerojatnosti za sve čvorove s roditeljima i to za sve moguće kombinacije

ishoda roditelja

Vjerojatnosti da učenik ne poznaje nijedan koncept koji odgovara roditeljima slučajne varijable iako poznaje koncept koji odgovara slučajnoj varijabli (slučajna pogreška ‐ eng. unlucky slip) ili da poznaje sve koncepte koji odgovaraju roditeljima slučajne varijable iako ne poznaje koncept koji odgovara slučajnoj varijabli (slučajni pogodak – eng. lucky guess) iznosi 0,1 [Mayo, 2001].

15

Slika 2.3 Upotpunjena Bayesova mreža

Na Slika 2.3 je prikazana Bayesova mreža za prethodni primjer koja je upotpunjena s vjerojatnostima za slučajne varijable. Čvorovi Obitelj‐vani i Problem‐s‐crijevima su roditelji u grafu pa je njima pridružena “a priori“ vjerojatnost. Čvor Pas‐vani ima ukupno 4 vjerojatnosti jer ima 2 roditelja čije varijable su logičke (dva stanja).

Između ostalog, iz ove slike jasno je da će, ako članovi obitelji napuste kuću, oni će ostaviti upaljeno svjetlo vani 60 posto vremena, ali svjetlo će biti upaljeno čak i kad ne napuste kuću 5 posto vrijeme (recimo, zato što nekoga očekuju).

Pitanje je kako su dani brojevi dobiveni, tj. u ovom slučaju, odakle „a priori“ vjerojatnosti za korjenske čvorove Obitelj‐vani (OV) i Problem‐s‐crijevima (PC). Charniak naglašava, da su svi brojevi, dobiveni na osnovi subjektivna mišljenja stručnjaka. Zbog toga, može doći do razlika u zaključivanju. Puno je bolji način prikupljanja podataka i izračuna potrebnih brojeva. U tom slučaju govorimo o idealnom slučaju. U trećem poglavlju će se u detalje pokazati na koji način su izračunate „a priori“ vjerojatnosti korjenskih čvorova i uvjetne vjerojatnosti u predstavljenom probabilističkom modelu učenika temeljenog na Bayesovoj mreži.

2.3.2 Zaključivanje u Bayesovoj mreži

Bayesova vjerojatnosna mreža može se koristiti za probabilističko zaključivanje o vjerojatnostima bilo kojeg čvora u mreži ako su poznate tablice uvjetnih vjerojatnosti. U većini slučajeva čvor kojemu tražimo razdiobu vjerojatnosti nema poznate vjerojatnosti za

16

neposredne čvorove pretke, ali je ipak moguće izračunati vjerojatnosti. Problematični su izračuni sa velikim brojem varijabli jer je točan proračun vjerojatnosti za proizvoljnu Bayesovu vjerojatnosnu mrežu težak kombinatorički problem. Predložene su mnogobrojne metode za probabilističko zaključivanje u Bayesovim mrežama, pri čemu mnoge preferiraju učinkovitost naspram preciznosti. Preciznost implicira točna rješenja (eng. exact solutions), no u tom slučaju čak i mreže od 10‐ak čvorova zahtijevaju puno vremena. Alternativa su približna rješenja (eng. approximate solutions) sa kojima će se dobiti rješenja sa vrlo malim odstupanjima od točnih rješenja.

U nastavku će se pokazati način zaključivanja koji vrijedi u svakoj Bayesovoj mreži. Naime, računanje „a priori“ vjerojatnosti nekog čvora podrazumijeva računanje ishoda kad u mreži ne postoji nijedan dokaz. Suprotno tome, propagacija unaprijed/unatrag služi za računanje ishoda nekog proizvoljnog čvora kad su u mreži postavljeni dokazi.

2.3.2.1 Računanje „a priori“ vjerojatnosti čvorova

Od velike je važnosti, da se iz postavljenih vjerojatnosti mogu izračunati „a priori“ vjerojatnosti za sve varijable. „a priori“ očekivanje iskoda varijable u Bayesovoj mreži, podrazumijeva ishod kad u mreži ne postoji nijedan dokaz. Svakom čvoru se može izračunati „a priori“ vjerojatnost iz pripadnih združenih distribucija vjerojatnosti i “a priori” očekivanja ishoda roditelja u mreži.

Na sljedećoj slici (Slika 2.4) prikazan je način računanja „a priori“ vjerojatnosti za čvor Upaljeno – svijetlo (US). Čvor Obitelj – vani (OV) ima već postavljene „a priori“ vjerojatnosti (jer nema roditelja).

Poznato Način računanja

85.0)(15.0)(

=¬=

USPUSP

6.0)( =OVUSP

05.0)( =¬OVUSP

1325.0)(0425.009.0)(

85.0*05.015.0*6.0)(

()()()()(

=+=

+=

¬¬+=

USPUSPUSP

OVPOVUSPOVPOVUSPUSP

Slika 2.4

Prema prethodnom, računanje se obavlja slijedno niz mrežu (u smjeru bridova). Da bi se izračunala „a priori“ vjerojatnost nekog čvora, nužno je izračunati sve „a priori“ vjerojatnosti svih njegovih roditelja jer se pri računanju “a priori” očekivanja jednog čvora prolazi iterativno kroz sve moguće kombinacije ishoda njegovih roditelja.

OV

US

17

U prikazanom primjeru čvor Upaljeno – svijetlo (US) ima jednog roditelja pa račun nije složen. U općem slučaju važno je znati da broj kombinacija ishoda roditelja raste kombinatoričkom složenošću s obzirom na broj roditelja promatranog čvora.

Koristeći program GeNIe, dobije se jednak rezultat (Slika 2.5.).

Slika 2.5 „a priori“ vjerojatnost za čvor „upaljeno‐svijetlo (US)“

2.3.2.2 Propagacija unaprijed

Ako je u mreži nešto poznato, očekivanja svih varijabli se mijenjaju, te se „a priori“ vjerojatnosti više ne očekuju jer postoje dokazi. Informaciju o postojanju dokaza potrebno je propagirati unaprijed kroz mrežu (u smjeru strelica) i unatrag kroz mrežu (obrnuto od smjera strelica).

Na sljedećoj slici (Slika 2.6) je prikazan primjer propagacije unaprijed. Odgovorit će se kolika je vjerojatnost da će se čuti lavež psa, ako je poznato da pas nema problema s probavom i da je obitelj vani. Dokazi ili poznata stanja su da pas nema problema sa probavom i da je obitelj vani. Propagacija unaprijed znači da se zaključuje od roditelja prema djeci.

18


05.0)(

6.0)(

=¬

=

PVCLP

PVCLP

1.0)(

9.0)(

=¬∧¬

=¬∧

PCOVPVP

PCOVPVP

545.0)(

005.054.0)(

1.0*05.09.0*6.0)(

)()(

)()()(

=¬∧

+=¬∧

+=¬∧

¬∧¬¬+

¬∧=¬∧

PCOVCLP

PCOVCLP

PCOVCLP

PCOVPVPPVCLP

PCOVPVPPVCLPPCOVCLP

Slika 2.6 Primjer propagacije dokaza unaprijed kroz mrežu. Poznavanje ishoda varijabli OV i PC utječe na očekivanje ishoda čvora CL

Isto je dobiveno programom GeNIe (Slika 2.7), kad se postavi dokaz istina, na čvor Obitelj‐vani (OV) i dokaz na laz na čvor Problem‐s‐crijevima (PC).

Slika 2.7 Vjerojatnost da će se čuti lavež psa kad postoje dokazi da je obitelj vani i da pas nema problema sa probavom.

2.3.2.3 Propagacija unatrag

Kako poznavanje ishoda nekog proizvoljnog čvora utječe na očekivanja djece, tako utječe i na očekivanje ishoda roditelja. Tada se može govoriti o propagaciji dokaza unatrag kroz mrežu. Poznavanje ishoda nekog čvora naravno predstavlja dokaz. U sljedećem slučaju, na kojem će se pokazati primjer propagacije unatrag, poznato je da je upaljeno svijetlo te se treba

PV

CL

OV PC

19

zaključiti koliki je ishod da je obitelj vani. U mreži se postavlja dokaz na čvor Upaljeno–svijetlo (US).


6.0)( =OVUSP

15.0)( =OVP 1325.0)( =USP

0.67924528)(1325.0

15.0*6.0)(

)()(*)(

)(

=

=

=

USOVP

USOVP

USPOVPOVUSP

USOVP

Slika 2.8 Primjer propagacije dokaza unatrag kroz mrežu. Poznavanje ishoda varijable US utječe na očekivanje ishoda čvora OV

)( OVUSP i )(OVP su dani, a )(USP je „a priori“ vjerojatnost čvora Upaljeno – svijetlo (US)

i izračunata je po prethodno opisanom načinu određivanja „a priori“ vjerojatnosti, te iznosi 1325.0)( =USP .

Prema tome, vjerojatnost da je obitelj vani ako je upaljeno svijetlo iznosi 0.67924528 . To isto je dobiveno programom GeNIe (Slika 2.9), kad se stavi dokaz istina, na čvor Upaljeno‐svijetlo (US).

Slika 2.9 Vjerojatnost da je obitelj vani kad postoji dokaz da je upaljeno svijetlo

OV

US

20

2.3.3 Neovisnost pretpostavki u Bayesovim mrežama

Prigovor na upotrebu teorije vjerojatnosti je da združena distribucija vjerojatnosti zahtijeva apsurdno mnogo brojeva. Primjerice, ako postoji n binarnih slučajnih varijabli, kompletna

distribucija je određena sa 12 −n vjerojatnosti. U odnosu na tablicu združene distribucije vjerojatnosti koja bi imala 31 vjerojatnost, Bayesova mreža sadrži samo 10 vjerojatnosti (Slika 2.3). To je primjer sa 5 slučajnih varijabli. Ako bi broj slučajnih varijabli bio 10, bilo bi potrebno 1023 vjerojatnosti u tablici združene distribucije vjerojatnosti, dok bi Bayesova mreža imala samo 21 vjerojatnost.

Velika razlika između potrebnih parametara u Bayes‐ovoj mreži i tablici združene vjerojatnosti se najbolje vidi u primjeru kada nekoliko bolesti uzrokuje iste simptome. Na sljedećoj slici (Slika 2.10) je prikazana takva situacija.

Slika 2.10

Pretpostavi li se da su varijable logičke, čvor Groznica zahtjeva 8 uvjetnih vjerojatnosti. No, najvjerojatnije te brojeve liječnici neće znati. Umjesto toga, oni mogu znati da je vjerojatnost groznice 0.8 kod prehlade, 0.98 kod upale pluća i 0.4 kod vodenih kozica. Zahvaljujući Pearlu, umjesto 8 brojeva, trebat će samo 3.

Za opis složenijih problema uštede će biti još i veće. Ova ušteda ne čini se sjajnom, no, pretpostavimo da imamo mrežu (Slika 2.11) koja je dva puta veća od primjera na Slika 2.3.

21

Slika 2.11 Mreža sa 10 čvorova

Tada je 1102 − jednako 1023, ali mi bi trebali tek 21 vrijednost. Postavlja se pitanje odakle dolazi ova ušteda?

Odgovor leži u činjenici da je Bayesova mreža izgrađena na neovisnosti pretpostavke. Uzmimo u obzir slučajne varijable Obitelj‐vani (OV) i Cuti‐lavez (CL). Jesu li te varijable nezavisne? Intuitivno ne, jer ako je obitelj vani, onda je više vjerojatno da će pas biti vani, i prema tome, vjerojatnije je da će lajati.

No, što ako se dogodi da znamo da je pas definitvno u kući ili izvan nje. Da li u tom slučaju Cuti‐lavez (CL) postaje neovisno o Obitelj‐vani (OV)? Odgovor u ovom slučaju je da, jer lavež ovisi o tome da li je pas unutra ili vani, i stoga gdje se nalazi obitelj nije ni važno.

Sada će se definirati neovisnost pretpostavke (eng. Independence Assumptions), koja pomaže da vjerojatnosti svedemo na manji broj u Bayesovoj mreži, no da bi to definirali, potrebno je definirati putanju d‐povezanosti (eng. d‐connecting path).

Definicija 2.7 U Bayesovoj mreži, varijabla a je ovisna o varijabli b na temelju dokaza

{ }neeeE ,...,, 21= ako postoji putanja d‐povezanosti između njih. E je skup

dokaza, koji može biti prazan, no ne može uključivati a ili b. Za E kažemo još da je skup evidencija ili poznato stanje. Ako a nije ovisan o b na temelju dokaza E, kažemo da je a neovisna o b, a ako su dvije varijable neovisne, tada je

)()( aPbaP = .

22

Kako bi se bolje razumjela d‐povezanost u Bayesovoj mreži, treba imati na umu da postoje tri tipa povezivanja slučajne varijable b i njenih dviju susjednih a i c na putu. Te tri mogućnosti su prikazane na sljedećoj slici.

Slika 2.12 Tri tipa povezivanja (u svakom od tih slučaja, čvor b se nalazi između čvorova a i c)

Putanja od a do b je d‐povezana na temelju dokaza E ako svaki unutarnji čvor n ima svojstvo:

1. Ako je linearan ili divergirajući, tada nije član dokaza E, 2. Ako je on ili njegov potomak konvergirajući, tada je član dokaza E.

U literaturi, češće se koristi termin d‐separacija (eng. d‐separation). Dakle, dva su čvora d‐separirana ako ne postoji putanja d‐povezanosti između njih. Intuitivno, dva su čvora d‐separirana kada:

1. Na putu postoji čvor V ‐ za kojeg postoje dokazi ‐ čiji su lukovi okrenuti jedan prema drugom „repovima“

2. Na putu postoji čvor V ‐ za kojeg postoje dokazi ‐ čiji su lukovi okrenuti „glava“ prema „repu“

23

3. Na putu postoji čvor V - za kojeg NE postoje dokazi - niti za bilo kojeg njegovog sljedbenika - a čiji su lukovi okrenuti jedan prema drugom „glavama“

2.3.4 Konzistentnost vjerojatnosti u Bayesovim mrežama

Problem koji se može javiti u Bayesovoj mreži je nekonzistentnost vjerojatnosti. Primjer bi bio da je neki sustav dan sa sljedećim vjerojatnostima

5.0)(,3.0)(,7.0)( === bPabPbaP .

Gledajući ove vjerojatnosti ništa se ne čini problematično, no primjenom Bayesovog pravila dobit će se nekonzistentne vjerojatnosti jer se zahtijeva da bude )(aP > 1, što je u

kontradikciji s definicijom. Točnije, )(

)()()(

bPaPabP

baP = , pa je onda

1>3.0

35.03.0

5.0*7.0)(

)()()( ===

abPbPbaP

aP

Vođenje računa o konzistentnosti vjerojatnosti može biti problem. U Bayesovoj mreži taj

problem je riješen, jer kad se odrede potrebne veličine (vjerojatnost svakog čvora i njegovih

kombinacija s roditeljima) tada će svi brojevi biti konzistentni i mreža će na jedinstven način

definirati distribuciju. Združena vjerojatnost u Bayes‐ovoj mreži je jedinstveno definirana,

kao product individualnih distribucija za svaku pojedinačnu varijablu. Za mrežu iz primjera sa

početka ovog rada (Slika 2.3) i za svaku kombinaciju vrijednosti OV, PP,US, PV i CL (npr.

I,L,L,I,I) združena vjerojatnost je dana sa:

).(*)(*)(*)(*)(),,,,( PVCLPPPOVPVPOVUSPPPPOVPHBPVUSPPOVP ∧=

Pretpostavi li se mreža od n čvorova sa nvv ,...,1 varijabli, zakon koji smo koristili iznad daje

sljedeće:

)...(*...*)(*)(),...,( 11211 nnn vvvPvvPvPvvP = ,

24

Dobivena jednadžba je istinita za svaku kombinaciju varijabli, te prema ovoj jednadžbi, združena vjerojatnost ovisi o načinu na koji poredamo varijable, tj. odredimo koja ja varijabla

1v , koja 2v …

U nastavku ovog poglavlja objasnit će se modeliranje učenika i napraviti prijelaz prema probabilističkom modeliranju učenika temeljenog na Bayesovoj mreži. Uvodni dio sljedećeg poglavlja, napisan je prema materijalima za nastavu prof. Stankova (Prirodoslovno‐matematički fakultet) koji se koriste za kolegij Sustavi e‐učenja [Stankov, 2005], te se kao jedini literaturni izvor neće posebno referencirati u nastavku.

2.4 Modeliranje učenika

“Živi nastavnik” čini izuzetan napor da procijeni učenikove odgovore u kontekstu pretpostavljene razine njegovog razumijevanja i već naučenog, te tako nastoji prilagoditi svoje poučavanje učenikovim sposobnostima, znanju i vještinama.

Današnje doba modernih tehnologija i globalizacije donosi brze promjene u svima aspektima ljudskog života, pa tako i na obrazovanje. Dosad je spomenuto da Inteligentni tutorski sustav (ITS) sadrže komponentu koja je odgovorna za praćenje znanja učenika. Više nije cilj samo ispitivati učenikovo znanje,nego prilagođavati znanje individualnim potrebama svakog učenika. Ovakvo zaključivanje naziva se postavljanje dijagnoze.

U Inteligentnim tutorskim sustavima komponenta koja predstavlja učenikovo znanje zove se model učenika. Model učenika i dijagnoza isprepleteni, a problem oblikovanja ta dva pojma zove se problem modeliranja učenika (eng. Student modeling). Model učenika predstavlja strukturu podataka, a dijagnoza je proces manipulacije tim podacima.

Obuhvat ulaznih podataka

Učenik za vrijeme poučavanja odašilje razne informacije o onome što radi ili kazuje. Sve te informacije ulaze u dijagnostički modul. Dijagnostički modul zaključuje čime se učenih bavio tijekom poučavanja. Logično je da što se više informacija skupi da je lakše riješiti problem zaključivanja. Postavljajući dovoljno pitanja sustav može približno zaključiti i obuhvatiti mentalno stanje učenika. Najviša razina obuhvata ulaznih podataka je razina približnih mentalnih stanja (eng. approximate mental states) učenika. Ako imamo kompliciranije probleme, učenik prolazi kroz međustanja koja su rezultat niza postupaka koje učenik uradi pri rješavanju. Primjer ukoliko učenik želi riješiti kvadratnu jednadžbu mora učiniti određeni broj koraka, a svaki korak je međustanje. Sustav ponekad ima pristup međustanjima, a ponekad vidi samo konačno stanje (konačno rješenje problema). Osim približnih mentalnih stanja, druge dvije kategorije obuhvata podataka su međustanja (eng. intermediate states) i

25

konačna stanja (eng. final states). Model učenika može biti građen da obrati pažnju na svako stanje ili da obrati pažnju na samo konačno stanje.

Najvažnija komponenta u modeliranju učenika je obuhvat ulaznih podataka i predstavlja temelj algoritama za dijagnostiku stanja znanja učenika.

Razlika između učenika i stručnjaka

„Inteligentni tutorski sustav sadrži model stručnjaka sa modelom znanja stručnjaka, kao i model učenika sa modelom znanja učenika“ [Stankov, 2005]. Pod stručnjakom se misli na stručnjaka u područnom znanju kojim se inteligentni tutorski sustav bavi. Karakteristika je što učenici polaze od novaka i postepeno idu prema stručnjaku.

Gledajući model učenika i model stručnjaka, razlika je što model učenika ima manji opseg znanja. Model učenika predstavlja se kao model stručnjaka kojem se dodaje zbirka razlike. Razlike mogu biti pojmovi (koncepti) koji nedostaju (eng. Missing conception) ali isto tako u razlike spadaju i krivo shvaćeni pojmovi (eng. misconceptions).

Modeliranje učenika u nekim sustavima ima samo reprezentaciju pojmova koji nedostaju. Koncepcijski je model učenika pravi podskup modela stručnjaka. Takav model učenika se zove model s prekrivanjem [Carr, Goldstein,1977].

Goldstein je uveo oblikovanje učenika prekrivanjem u tutorskom sustavu WUMPUS. Prema Goldstein‐u znanje učenika je manjeg opsega od znanja tutora, pa ga se simbolično prikazuje na sljedeći način (Slika 2.13)

Slika 2.13 Model s prekrivanjem prema Goldstein‐u

Upravo modeli učenika s prekrivanjem se najčešće upotrebljavaju pri modeliranju učenika u Inteligentnim tutorskim sustavima.

Primjeri sustava koji koriste opći model prekrivanja su: Scolar, BIP, GUIDON i već spomenuti WUMPUS. Problem ovog modela je što znanje ne mora biti pravi podskup znanja eksperta, jer su moguće situacije da učenici imaju znanje koje stručnjak nema.

26

Postoji i proširenje modela s prekrivanjem i naziva se tzv. Diferencijski model učenik. Taj model predstavlja poboljšanje modela s prekrivanjem jer je znanje učenika odvojeno od znanja učenika kojem je učenik bio izložen. Ovaj model nasljeđuje nedostatke modela s prekrivanjem, zbog pretpostavke da je znanje učenika pravi podskup znanja stručnjaka jer se ne bavi s pogrešnim znanjem učenika.

Model zbrke kombinira dva prethodno opisana modela i u ovom pristupu smatra se da učenik ima znanje koje se razlikuje i količinom i kvalitetom od znanja stručnjaka. Uključivanje pogrešaka u model zbrke omogućuje bolje razumijevanje učenika koje se ne može postići običnim modelom prekrivanja.

No moguće je model učenika oblikovati na nedostajućim konceptima i pogrešno usvojenim konceptima. Obično se tada unaprijed definira biblioteka pogrešaka (eng. Bugs libraries) koja je tipična za određena područna znanja kao i za kronološku dob učenika. Alternativa je biblioteka dijelova pogrešaka (eng. Bug parts libraries).

Dijagnostika znanja učenika

Brown i Moskowitz prema su primijetili da “ … dobri učitelji ne bilježe samo rezultate već oni pokušavaju odrediti učenikova pogrešna razumijevanja kao najbolju osnovu za ispravljanje tog nerazumijevanja“.

Smisao modela učenika je donijeti opravdane zaključke zbog kojih nastaju pogreške. Razlika između “dobrih” i “loših” učitelja je što će “dobri” objasniti razloge učinjenih pogrešaka, a “loši” će prepustiti učeniku da riješi problem. Zadatak računalnog tutora je da iskoristi svaku pogrešku učenika i pretvori je u mogućnost za ispravljanje. Na taj način bi se postigao efekt “dobrog” učitelja.

Procjena učenika nije jednostavan posao jer učenici zbog raznih čimbenika ponekad daju točan odgovor ali ga izražavaju na drugi način. U procesu dijagnostike znanja učenika bitno je ne izgubiti se u procjenjivanju, te uvijek težiti da učenik prevlada svoja pogrešna shvaćanja, uz minimalnu pomoć učitelja.

Van Lehn tehnike za dijagnostiku učenika dovodi u vrlo usku vezu s modelom učenika, ali također sa metodama i tehnikama za prikaz znanja u ITS‐u. U nastavku će se kratko opisati nekoliko dijagnostičkih algoritama.

U dijagnostiku učenika spada model traganja (eng. Model tracing). Taj model spade u dijagnostiku učenika temeljenu na mentalnom stanju i pretpostavlja da je učenikovo mentalno stanje izloženo dijagnostičkom program. Ovaj model predstavlja nejednostavniju tehniku u nizu.

U svakom koraku prilikom rješavanja problema, u svakom modelu postoji interpretator koji sugerira skup pravila koja se mogu promijeniti. U ovoj dijagnostičkoj tehnici taj interpretator može sugerirati samo jedno pravilo. Algoritam za dijagnostiku aktivira sva pravila kako bi se

27

postigao skup mogućih sljedećih stanja. Jedno stanje mora odgovarati stanju koje je učenik generirao. Razlozi koji dovode u pitanje funkcionalnost ovog modela leže u činjenici da učenik može generirati stanje pogađanjem i tada sustav mora mijenjati svoje mišljenje o učenikovom modelu.

Nadalje, dijagnostičke tehnike parcijalno traganje (eng. Issue tracing), plan prepoznavanja (eng. Plan recognition) i tehnika ekspertnih sustava spadaju u posebnu vrstu dijagnostičkih tehnika, i za njih se kaže da se temelje na međuzapisu.

Prvi korak u parcijalnom traganju jeste analizirati učenikov potez i potez stručnjaka. Svaki korak ima dva brojača, brojač korištenja i brojač pogrešaka. Brojač korištenja se inkrementira svaki put kada učenik obavi potez. Brojač pogrešaka se inkrementira za svaki ekspertov potez koji ne učini učenik.

Odluke o zaključivanju se donose na temelju ta dva brojača. Ako je pokazivač brojača korištenja veći od brojača pogrešaka, tada se zaključuje da učenik vjerojatno razumije dano stanje. Svaki pogrešno izvedeni učenikov potez unosi podjednako vrednovanje što rezultira netočnostima.

Plan raspoznavanja (eng. Plan recognition) je dijagnostička tehnika u kojoj se sva fizička stanja kod učenikovog rješavanja problema mogu analizirati u stablastoj strukturi što je prikazano na sljedećoj slici (Slika 2.14).

Slika 2.14 Plan raspoznavanja

Listovi stabla predstavljaju podciljeve, a korijen predstavlja krajnji cilj. Na prethodnoj slici je dana jedna usporedba što mogu predstavljati listovi, što srednji čvorovi, a što korijen. Veze između čvorova predstavljaju odnos između ciljeva i podciljeva. Ovakvo stablo se naziva plan.

Svim dijagnostičkim tehnikama je zajednička činjenica da se bave sa neobičnostima kod učenika. Od prethodno navedenih tehnika, najvažnija je model traganja. No u situaciji kada je obuhvat ulaznih podataka malen model traganja se koristi u kombinaciji s algoritmom traženja puta (eng. Path finding). Traženje puta omogućava traženje puta sa jednog stanja

28

na drugo stanje. Temeljni tehnički problem s traženjem puta bi bila činjenica da postoji mnogo putova između dva stanja.

Precizne dijagnoze se postižu uz pomoć sljedećih tehnika: stablo odluke, napravi i testiraj i interaktivna dijagnoza. Njihova karakteristika je što se mogu koristiti uz manji obuhvat ulaznih podataka. Za tehniku stable odluke (eng. Decision trees) kaže se da predstavlja brutalan pristup kombiniranju pogrešaka. Proces izgradnje stabla se događa prije kontakta s učenicima i predstavlja najskuplji dio. Primjer dijagnostičkog sustava koji koristi stablo odluke je BUGGY, a primjer izgradnje stable je predstavljen na sljedećoj slici (Slika 2.15)

Slika 2.15 Stablo odluke

Pretraživanje ovog stable je dovoljno jednostavno i to je njegova prednost, a nedostatak što se ne može nositi s istodobnim događanjem više pogrešaka.

2.4.1 Primjena bayesove teorije u modeliranju učenika

Najveća poteškoća koja se javlja u modeliranju učenika je neizvjesnost (eng. uncertainity). Inteligentni tutorski sustav u pravilu ima zadaću modelirati učenika na temelju neizvjesnih informacija, koje su uz neizvjesnost i malih količina. Učenikove aktivnosti definiraju izvjesnost.

Već spomenuta Bayesova teorija je teorija za donošenje odluka, a odlika te teorije je što se bavi zaključivanjem pod neizvjesnostima ([Bayes 1763], [Cheng i Greiner 2001], [Mayo 2001]). Bayesova teorija i primjena je opisana u prethodnim podpoglavljima ovog poglavlja, a u nastavku će se kratko opisati ideja za korištenje te teorije u modeliranju učenika.

Courseware, tj. didaktički oblikovan nastavni sadržaj priređen za izvođenje na računalu, je nastavni sadržaj koji je organiziran na više razina [Stankov, 2005]:

- nastavne cjeline, - nastavne teme, - nastavne jedinice i - nastavne pojmove.

29

Na taj način područno znanje i njime definirani nastavni sadržaji su „granulirani“ u formi nastavnih objekata koji se međusobno razlikuju po broju pojmova koje obuhvaćaju. U vezi s tim na dnu hijerarhije je nedjeljivi nastavni pojam dok su na višim razinama nastavna jedinica koja sadrži više nastavnih pojmova, nastavna tema koja sadrži više nastavnih jedinica te nastavna cjelina koja sadrži više nastavnih tema. Temeljna zadaća učitelja je raščlamba nastavnih sadržaja prema ovoj strukturi te posebno priprema uvjeta za generiranje testova i ispita za provjeru znanja učenika. Na sljedećoj slici (Slika 2.16) prikazan je jednostavan model učenika koji se temelji na Bayesovoj mreži gdje su čvorovi upravo elementi courseware‐a [Mayo (2001).

T1 T2

C2C1 C3

Q1 Q2 Q3 Q4

Slika 2.16 Jednostavan model učenika temeljenog na Bayesovoj mreži

1T i 2T predstavljaju nastavne jedinice i utječu na usvojenost različitih nastavnih pojmova 1C ,

2C i 3C . Ta tri nastavna pojma dalje utječu na pitanja u testu 1Q , 2Q , 3Q i 4Q . U nastavku

čvorovi iz grafa će se nazivati koncepti.

U nastavku će biti prikazan sustav ANDES koji predstavlja primjer sustava sa probabilističkim modelom.

2.4.2 Primjer sustava s probabilističkim modelom učenika

Andes je inteligentni tutorski sustav za pomaganje učenicima kod rješavanja domaćih zadaća u fizici [Vanlehn, Niu, 2001]. Zamjenjuje olovku i papir koju učenici obično koriste, a važna je karakteristika što učenici crtaju dijagrame, unose jednadžbe i definiraju varijable na jednostavan način zahvaljujući dobrom dizajnu. Ipak, važna razlika je što sustav daje povratnu informaciju o točnosti ili netočnosti njihovog odgovora. Ovo je dobar primjer korištenja Bayesove mreže u inteligentnim tutorskim sustavima, stoga će u daljnjem radu ukratko biti objašnjen način rada sustava Andes, te u kojem dijelu tog sustava se koristi Bayesova mreža.

30

2.4.2.1 Modeliranje učenika u sustavu Andes

Kada učenik učini neki korak na sustavu Andes, sustav odmah daje povratnu informaciju, u ovisnosti da li je ispravan unos ili ne. No još je važnije to što mora odrediti na koji način učenik razmišlja tako da može dati odgovarajuće savjete ako budu traženi. Takva analiza studentskih zapisa je primjer modeliranje studenata (eng. student modeling) u inteligentnim tutorskim sustavima.

Modeliranje studenata pomoću sustava Andes se obavlja pomoću grafa rješenja (eng. Solution graph). Svaki problem ima svoj graf rješenja i snima sve moguće ispravne unose i linije razmišljanja iza njih. Svaki problem ima pravila i graf rješenja je kreiran rješavajući problem sa pravilima, a logičke ovisnosti se spremaju kao aciklički graf (Russell & Norvig, (1995) prema [Vanlehn, Niu, 2001].). Pravila kod problema su npr. Newtonov zakon i upravo ta pravila predstavljaju ono što se želi naučiti učenike. Graf rješenja sadrži sve moguće točne odgovore, stoga kad učenik napravi unos, sustav provjeri u svom grafu da li je to točan ili netočan odgovor, i učeniku ponudi povratnu informaciju.

Nadalje, pokazat će se zašto je Bayesova mreža važna u ovom sustavu. Naime, ukoliko učenik traži pomoć, sustav nastoji zaključiti što učenik želi učiniti, kako bi mu na što bolji način pomogao. Ovaj proces se zove plan prepoznavanja (eng. Plan recognition). Predstavlja težak problem u umjetnoj inteligenciji, jer može biti mnogo objašnjenja za učenikovo dotadašnje ponašanje i moguć je manjak informacija za zaključivanje koji je pravi razlog učenikovih unosa. Ovaj problem se zove dodjela kreditnog problem (eng. assignment of credit problem).

Rješenje ovog problema se temelji na Bayesovom pravilu:

)()()( eobjašnjenjPeobjašnjenjdokazPdokazeobjašnjenjP α=

gdje je konstanta α prilagođena tako da određene vjerojatnosti u zbroju daju 1. U principu ovaj način je optimalan za dodjelu kredita problemu. U praksi , zahtijeva vjerojatnosti kao što

su )( eobjašnjenjdokazP i eobjašnjenjP( ) koje je teško dobiti empirijski, stoga se može reći

da se sumnja u njihovu točnost.

2.4.2.2 Struktura Andesove Bayesove mreže

Način na kojem radi Andes je prevođenje grafa rješenja u Bayesovu mrežu. Ta mreža ima tri tipa istina/laž varijabli:

- pravilo (rule) - prijedlog (proposition) - pravilo prijave (rule application)

31

Slika 2.17 Bayes‐ova mreža u sustavu Andes

Osnovno pravilo mreže je odrediti pravilo koje je učenik svladao. Te vjerojatnosti se mijenjaju, pa Andes koristi dinamičnu vjerojatnosnu mrežu i provodi svaki problem pojedinačno čuvajući sve procesuirane vjerojatnosti. Andes sadrži datoteku svakog učenika na temelju koje se zna da li je učenik ovladao pojedinim pravilom. Kad je problem pokrenut i Bayesova mreža je kreirana, Andes inicijalizira “a priori“ vjerojatnosti na temelju te datoteke. Kako učenik riješi problem, mreža se ponovno ažurira (eng. Update ) i posteriori vjerojatnosti tog pravila se mijenjaju. Kada je problem zatvoren, vjerojatnosti su spremljene u učenikovu datoteku, i upravo te nove vjerojatnosti predstavljaju svladavanje na temelju dokaza koji su prikupljeni. Dokazi u Andes‐ovoj Bayes‐ovoj mreži su unosi učenika.

Ukratko, modeliranje studenata u sustavu Andes ovisi o dva modula. Prvi modul rješava problem u fizici na svaki mogući način i kreira graf rješenja za svaki problem. Drugi modul pretvara graf rješenja u Bayesovu mrežu.

U ovom poglavlju govorilo se općenito o Bayesovoj mreži i načinima zaključivanja, te o sustavu Andes kao primjeru koji koristi probabilistički model. U trećem poglavlju, u detaljnoj razradi opisati će se primjer Bayesove mreže koja služi za modeliranje učenika u inteligentim tutorskim sustavima kod kojih je znanje ontološki formalizirano [Stankov, 2005].

32

3 Pristup probabilističkom modeliranju učenika

Dosada je prikazano na koji način se primjenjuje Bayesova teorija u modeliranju učenika. Taj postupak u nastavku će biti prikazan u detalje.

U samom uvodu, na početku rada, je spomenuto da je model učenika skup podataka koji prikazuje aktualnu razinu znanja i vještina učenika, te je neophodan za predstavljanje probabilističkog modela učenika. Provjeravanje znanja je vrlo važno kako bi se krenulo na inicijalizaciju probabilističkog modela. Naime, potrebno je stvoriti podatke sa kojima će se usporediti dobiveni rezultati tog modela kao i stanje znanja koje učenik ima prije poučavanja. Kako bi se razumjelo provjeravanje znanja moraju se definirati dva važna pojma, područno znanje i graf područnog znanja.

Područno znanje

Područno znanje je znanje kojim se ističe određeno područje koje je objekt učenja. Područno znanje je prikazano konceptima i relacijama među njima (čvorovi i bridovi). Budući je potrebno naznačiti smjer povezanosti koncepata, koristiti će se pojmovi podkoncept (potomak ili dijete u Bayesovoj mreži) i nadkoncept (roditelj u Bayesovoj mreži).

Definicija 3.1 Područno znanje je skup uređenih trojki ),,( 21 KrK koje definiraju da su

koncepti 1K i 2K povezani relacijom r. U ovako definiranoj uređenoj trojci koncept 1K je nadkoncept koncepta 2K , tj. koncept 2K je podkoncept

koncepta 1K .

Nadkoncept iz ove definicije predstavlja roditelja, a podkoncept predstavlja potomka ili dijete u Bayesovoj mreži.

Osnovni elementi trojki područnog znanja su koncepti i relacije među njima, stoga će se koristiti teorija grafova kao matematička podlogu koja omogućava upravljanje elementima područnog znanja, kao i vizualizaciju područnog znanja [(Gross & Yellen, 1998), (Veljan, 1989)]. Zato će se definirati usmjereni graf područnog znanja za kojeg vrijede sve zakonitosti iz teorije grafova na sljedeći način:

Definicija 3.2 Za područno znanje PZ definiramo usmjereni graf područnog znanja ),( AVGPZ = gdje je V skup vrhova, a skup bridova

( ) ( ){ }212121 ,,,, KKPZKrKKKA ≠∈∃= jednak je skupu svih uređenih parova

onih koncepata iz područnog znanja koji su povezani nekom relacijom.

33

Provjeravanje znanja

Za učenika koji se nikada nije poučavao na određenom područnom znanju smatra se da koncepte iz grafa tog područnog znanja poznaje s vrlo malom vjerojatnošću i smatra se da učenik poznaje neki koncept s vjerojatnošću 0.

S druge strane, u slučaju da je provjereno znanje učenika i utvrđeno da poznaje sve koncepte, smatrati će se da učenik poznaje koncepte s vjerojatnošću 1.

Naime, Bayesova mreža bi trebala odrediti vjerojatnosti između 0 i 1. Prema prethodnom, 0 predstavlja nepoznavanje, a 1 poznavanje koncepta. Da bi se odredile sve vjerojatnosti koristi se Bayesov model s prekrivanjem.

Zaključci o znanju učenika će se donositi na temelju testiranja u kojem će se ispitivati poznavanje jedne ili više relacija među konceptima. Logično je da točni odgovori povećavaju vjerojatnost, a netočni smanjuju vjerojatnost. Dakle, mijenjanje vjerojatnosti se prvi put dogodi nakon ulaznog testa.

Uloga modela učitelja je da ustanovi koje koncepte učenik poznaje sa visokom vjerojatnošću. npr. više od 0.8 – [Bloom, 1976]. U trećem poglavlju, u Bayesovoj mreži koja će se implementirati, pri provjeri koja od napravljenih mreža najbolje predviđa stvarno znanje učenika iskoristiti će se upravo ta činjenica. Korist od ovakvog modeliranja leži u činjenici što se na taj način učenik neće zamarati učenjem već naučenih koncepata.

Zbog toga su provedena dva testiranja učenika. Testovi se sastoje od pitanja na koja učenik odgovara. Svako pitanje se odnosi na određeni broj koncepata i bridova između tih koncepata. Spomenutim bridovima pridružuje se vrijednost koja ovisi o točnosti odgovora i

težini pitanja. Zato definiramo funkciju aX na sljedeći način:

Definicija 3.3 Funkcija : 1,0,1,2,3,4 definirana sa: , ( )=broj

bodova koji je dobiven odgovaranjem na pitanje iz testa koje se odnosi na taj brid.

Funkcija aX omogućava pridjeljivanje težina onim bridovima koji povezuju koncepte čija je

povezanost provjeravana određenim pitanjem u testu. Svaki brid će imati pridijeljenu težinu između 0 i 4 (što odgovara mogućim bodovima), dok će svi ostali bridovi u grafu područnog znanja imati pridijeljenu vrijednost ‐1, što će označavati da poznavanje povezanosti ta dva koncepta nismo provjeravali.

Podaci koji se koriste za potrebe inicijalizacije Bayesove mreže i određivanje „a priori“ i uvjetnih vjerojatnosti, dobiveni su iz stvarnog modela učenika, a odgovaraju znanju čenika prije provjeravanja znanja (model_znanje1 (Prilog A)). Podaci s kojima će se uspoređivati predviđanja poznavanja određenih koncepata dobivena u svakom od 15 modela, upoređivat

34

će se sa stvarnim modelom učenika koji odgovara znanju učenika nakon provjeravanja znanja (model_znanje2 (Prilog C)). Na sljedećoj slici (Slika 3.1) nalazi se isječak iz tablice model_znanje1. Pri postavljenom pitanju koje povezuje koncept Logička operacija i ILI sklop, učenikov odgovor je bio težine 2, a težine ‐1 nam govore da ti koncepti nisu ispitivani, primjer jezični prevoditelji i kompilator.

Slika 3.1 Model učenika prije testiranja (dio)

Bayesova mreža

Za potrebe realizacije novog pristupa u probabilističkom modeliranju učenika, koristi se Bayesova mreža sa 88 čvorova, čije varijable su logičke (2 stanja: Istina i Laž) (Slika 3.2 i Slika 3.3). Ovih 88 varijabli predstavlja 88 koncepata čije vjerojatnosti će biti ispitivane kako bi se što bolje zaključilo o znanju učenika. Stanja Istina i Laz predstavljaju poznavanje odnosno nepoznavanje koncepata. Važno je naglasiti da ima 5 korjenskih čvorova (čvorovi bez roditelja): Računalni sustav, Model računalnog sustava, Programski jezik,Logički sklop i Brojevni sustav.

35

Slika 3.2 Prvi dio Bayesove mreže

Slika 3.3 Drugi dio Bayesove mreže

U prethodnom poglavlju je naglašeno da su za inicijalizaciju Bayes‐ove mreže potrebne a “priori” vjerojatnosti svakog korjenskog čvora, te tablica uvjetnih vjerojatnosti za svaku varijablu. U nastavku će se detaljno opisati postupak određivanja istih. Definirat će se dvije

funkcije aX i vX koje će biti od iznimne važnosti u određivanju “a priori” vjerojatnosti

korijenskih čvorova, ali i u postavljanju dokaza kod testiranja uspješnosti.

36

Napravit će se tri Bayesove mreže koje će biti jednake po broju čvorova, no razlika će biti u računanju uvjetnih vjerojatnosti. Postavljanje „a priori“ vjerojatnosti i postavljanje dokaza kako bi sve tri mreže funkcionirale, također iziskuje posebnu pažnju. Te tri različite mreže će biti testirane na temelju dokaza, koji će biti postavljani na 5 načina, te će se tako dobiti ukupno 15 modela. Na kraju poglavlja će se provjeriti koji od tih modela najtočnije predviđa stvarno znanje učenika.

3.1 Računanje „a priori“ vjerojatnosti

Na temelju prethodno objašnjenih vrijednosti funkcije aX određuju se vrijednosti funkcije

vX . Vrijednost predstavlja normiranu sumu vrijednosti funkcije bridova prema

nadkonceptima koncepta i bridova prema podkonceptima koncepta . Vrijednost se nalazi u intervalu [0,1]. Smatramo da učenik potpuno poznaje koncept akko je 1, što je istina samo ako je poznavanje svih relacija prema nadkonceptima i podkonceptima na razini 4. Tada je vjerojatnost poznavanja koncepta najviša, odnosno jednaka 1.

Već je naglašeno da funkcija vX ovisi o vrijednostima funkcije aX , i računa se na sljedeći

način:

8__ djecebroj

sumaDroditeljabroj

sumaR

X v

+=

(2)

gdje sumaR i sumaD predstavljaju sljedeće:

- Ako je za neki koncept za svaki brid prema roditeljima 1−=aX , onda je suma svih

aX vrijednosti prema roditeljima 0 i oznacavamo sumaR = 0.

- Ako je za neki koncept za svaki brid prema djeci 1−=aX , onda je suma svih aXvrijednosti prema djeci 0, tj, sumaD = 0.

- Ako je za neki koncept za samo neke od bridova prema roditeljima 1−=aX ,onda u

sumi svih aX vrijednosti prema roditeljima te bridove izbacujemo, stoga je sumaR

zbroj vrijednosti svakog brida za koji nije 1−=aX .

- Ako je za neki koncept za samo neke od bridova prema djeci 1−=aX , onda usumi

svih aX vrijednosti prema djeci te bridove izbacujemo, pa je sumaD zbroj vrijednosti

svakog brida za koji nije 1−=aX .

Priložena je tablica vrijednosti funkcije vX koja opisuje model učenika prije provjeravanja

znanja (koncepti_prije (Prilog B)). Primjera radi, na sljedećoj slici (Slika 3.4), prikazat će se dio

te tablice, i demonstrirati računanje nekoliko )( kv XX gdje je kX bilo koji koncept.

37

Slika 3.4 Vrijednosti funkcije )( kv XX

Primjer 3.1 Na Slika 3.4 koncept Disjunkcija ima vrijednost 0.083. Ta vrijednost dobivena je na sljedeći način: Na Slika 3.2 vidi se da čvor Disjunkcija ima 3 roditelja, a u tablici model_znanje1 se može iščitati vrijednost

funkcije aX prema svakom od roditelja. Kako bi bilo jasnije, na sljedećoj slici (Slika 3.5) prikazane su

vrijednosti funkcije aX prema svakom od roditelja.

Slika 3.5

Lako se prema,prema formuli (2) na prethodnoj stranici, dobije

083.0

832

)( ==aDisjunkcijX v

Broj djece je zanemaren jer taj čvor nema djece.

38

Dosad je nekoliko puta naglašeno da su za inicijalizaciju Bayesove mreže potrebne “a priori” vjerojatnosti korjenskih čvorova i uvjetne vjerojatnosti svakog čvora (o njima će se govoriti u nastavku).

Prema tablici koncepti_prije (Prilog B) očito je da za korjenske čvorove Računalni sustav, Model računalnog sustava, Programski jezik, Logički sklop i Brojevni sustav vrijedi:

vX ( Računalni sustav)=0.33

vX ( Model računalnog sustava)= 0.083

vX ( Programski jezik)=0.1

vX ( Logički sklop)= 0.0416

vX ( Brojevni sustav)= 0.25

Za koncept Programski jezik vrijednost prema funkciji vX ispada 0, no zbog mogućnosti

slučajne pogreške stavit ćemo da je vrijednost 0.1.

Upravo te vrijednosti predstavljaju vrijednosti korjenskih čvorova za Istinu. Laž se dobije kao komplement, tj. vrijedi sljedeće:

Računalni sustav

Model računalnog sustava

Programski jezik

Logički sklop

Brojevni sustav

Osim određivanja „a priori“ vjerojatnosti, funkcija vX ima još jednu primjenu. U daljnjem

radu, opisat će se način postavljanja dokaza uz pomoć vrijednosti te funkcije, no prije toga definirati će se način određivanja uvjetnih vjerojatnosti.

3.2 Računanje uvjetnih vjerojatnosti

Kako bi odredili model Bayesove mreže koji daje što bolje i točnije rezultate, izračunati će se uvjetne vjerojatnosti na 3 načina. U prvom načinu, uvjetne vjerojatnosti će ovisiti samo o broju roditelja te varijable, u drugom načinu ovisit će o i broju roditelja i broju djece, dok će u trećem načinu ovisiti samo o broju djece. Dakle, te mreže koje nastanu su protipovi Bayesove mreže koji se razlikuju po računanju uvjetnih vjerojatnosti. Sve tri mreže su priložene i napravljene u programu GeNIe (Prilog E – Mreza 1, Prilog F ‐ Mreza 2, Prilog G ‐ Mreza 3). Zajedničko im je što svaka od njih ima iste „a priori“ vjerojatnosti korjenskih

39

čvorova. Također, u svakom od pristupa se određuje „težina“ Istine. Naime, pošto je vjerojatnost slučajne pogreške ili slučajnog pogotka 0.1, to znači da je vjerojatnost stvarne pogreške ili stvarnog pogotka 0.9. Upravo se ova vrijednost 0.9 u svakom pristupu dijeli s različitim kvantifikatorima (brojem roditelja, brojem djece i roditelja, brojem djece) i na taj način se određuje „težina“ Istine u tablici uvjetne vjerojatnosti.

3.2.1 Uvjetne vjerojatnosti ovisne samo o roditeljima varijable

Neka je K slučajna varijabla u Bayesovoj mreži koja nije korijen. Neka je M skup svih roditelja slučajne varijable K, te neka je n kardinalni broj tog skupa M. Tablica uvjetne vjerojatnosti za

čvor K ima n2 redaka. Svaki redak sadrži jednu od n2 kombinacija vrijednosti Istina i Laž,

stoga u svakom retku postoji p vrijednosti Istina. Stoga će svaka Istina vrijednost iznositi n9.0

Vjerojatnost za Laž dobije se kao komplement.

Primjer

Slika 3.6 Isječak Bayesove mreže

Budući je Računalni sustav korjenski čvor, za njega vrijedi:

kako je prethodno navedeno.

40

Čvor Programska podrška ima jednoga roditelja Racunalni sustav (Slika 3.6), pa tada vrijedi

da svaka vrijednost Istina u tablici uvjetnih vjerojatnosti iznosi 9.019.0= . Vrijednost za Laž

dobijemo kao komplement i ona iznosi 0.1. Dakle, uvjetna vjerojatnost varijable Programska podrška je dana sa:

. Dalje će se, primjera radi, izračunati uvjetna vjerojatnost čvora Masovna memorija koji ima dva roditelja Centralna jedinica i Memorija (Slika 3.6). U ovom slučaju svaka Istina u tablici

uvjetnih vjerojatnosti iznosi 45.029.0= . Dakle, uvjetna vjerojatnost varijable Masovna

memorija je dana sa:

Na sljedećoj slici (Slika 3.7) prikazano je nekoliko čvorova, između ostalih i čvor Negacija. Vidi se da taj čvor ima 4 roditelja.


41

Svaka Istina u tablici vjerojatnosti iznosi 225.049.0= , pa je uvjetna vjerojatnost varijable

Negacija nešto složenija i dana sa:

Struktura

Struktura mreze 1 je dana sljedećom tablicom, a ispod tablice se nalazi objašnjenje.

Tablica 3.1 Mreza 1 ‐ struktura

∑ roditelja Broj čvorova Postotak ukupnog broja

5 5.68% 1 57 64.79% 2 20 22.73% 3 3 3.4% 4 3 3.4%

∑= 88 ∑= %100

Nije potrebno naglašavati da ova mreža ima 5 korjenskih čvorova i oni čine 5.68% ukupnog broja čvorova. Nadalje,mreža kreirana na ovaj način ima 57 čvorova koji imaju samo jednog roditelja i čini 64.77% od ukupnog broja svih čvorova. 20 čvorova ima 2 roditelja i to je 22.72% od ukupnog broja svih čvorova. 3 su čvora sa 3 roditelja što je 3.4%, a također su 3 čvora sa 4 roditelja.

3.2.2 Uvjetne vjerojatnosti ovisne i o roditeljima i o djeci varijable

Neka je K slučajna varijabla u Bayesovoj mreži koja nije korijen i neka je M skup svih roditelja slučajne varijable K, a L skup svih potomaka te varijable. Neka su su n i r kardinalni broj

skupova M i L respektivno. Tablica uvjetne vjerojatnosti za čvor K ima n2 redaka. Svaki redak

sadrži jednu od n2 kombinacija vrijednosti Istina i Laž, stoga u svakom retku postoji p

vrijednosti Istina. Svaka vrijednost Istina će iznositi rn +

9.0. Vjerojatnost za Laž dobije se kao

komplement.

42

Primjer


Na prethodnoj slici (Slika 3.8) vidi se da varijabla Obrada podataka ima 1 roditelja i 2

potomka, stoga u tablici uvjetne vjerojatnosti svaka Istina iznosi 3.039.0

219.0

==+

. Vrijednost

za Laž dobijemo kao komplement. Dakle, uvjetna vjerojatnost varijable Obrada podataka je dana sa:

Varijabla Ulazna jedinica ima 2 roditelja i 3 potomka (Slika 3.8), stoga u tablici uvjetne

vjerojatnosti svaka Istina iznosi 18.059.0

329.0

==+

. Vrijednost za Laž dobijemo kao

komplement. Dakle, uvjetna vjerojatnost varijable Ulazna jedinica je dana sa:

43

Varijabla Programski jezik visoke razine ima 2 roditelja i čak 4 potomka (Slika 3.9), stoga u

tablici uvjetne vjerojatnosti svaka Istina iznosi 15.069.0

429.0

==+

. Vrijednost za Laž

dobijemo kao komplement.


Dakle, uvjetna vjerojatnost varijable Programski jezik visoke razine je dana sa:

Struktura

U ovoj mreži uvjetne vjerojatnosti su ovisile o sumi roditelja i djece nekog čvora. Korjenski čvorovi imaju već dane “ a priori” vjerojatnosti koje su dobivene i objašnjenje prethodno, no, također postoje čvorovi bez ijednog potomka. Takvi čvorovi imaju jednake uvjetne vjerojatnosti kao i u prvoj mreži. Sljedeća tablica (Tablica 3.2) opisuje strukturu te mreže, a ispod tablice se nalazi objašnjenje.

44


∑ potomakairoditelja Broj čvorova Postotak ukupnog broja

5 5.68% 1 26 29.55% 2 25 28.41% 3 10 11.36% 4 11 12.5% 5 7 7.96 % 6 2 2.27% 8 2 2.27%

∑= 88 ∑= %100

U ovoj mreži, kao u prethodnom slučaju postoji 5 korjenskih čvorova koji tvore 5.68% od ukupnog broja čvorova, i oni su predstavljeni u prvom retku. Čvorova sa ukupno 1 potomkom ili roditeljom ima sveukupno 26 što čini 29.54% ukupnog broja svih čvorova. Čvorova sa ukupno 2 roditelja i potomka ima 25, odnosno 28.4%. Čvorova sa ukupno 3 roditelja i potomka ima čak 10 što je 11.36%, a sa 4 čak 11 čvorova, odnosno 12.5%. Razlika u odnosu na Mrežu 1 je što postoji čak 7 čvorova sa ukupno 5 roditelja i potomaka ili 7.96%. Također, u ovoj mreži postoje 2 čvora sa ukupno 6 roditelja i potomaka, te također 2 čvora sa ukupno 8 istih i svaka skupina od njih je 2.27% od ukupnog broja čvorova. Razlika izmeđe prve i druge mreže su očite u ovom smislu.

3.2.3 Uvjetne vjerojatnosti ovisne samo o djeci varijable

Neka je K slučajna varijabla u Bayesovoj mreži koja nije korijen i koja ima potomke, te neka je M skup svih roditelja slučajne varijable K, a L skup svih potomaka te varijable. Neka su su n i r

kardinalni broj skupova M i L respektivno. Tablica uvjetne vjerojatnosti za čvor K ima n2

redaka. Svaki redak sadrži jednu od n2 kombinacija vrijednosti Istina i Laž, stoga u svakom

retku postoji p vrijednosti Istina. Svaka vrijednost Istina će iznositi l9.0. Vjerojatnost za Laž

dobijemo kao komplement. Varijable koje nemaju potomaka imaju vrijednosti 0.5 za Istinu, i 0.5 za Laž.

45

Primjer


Na prethodnoj slici (Slika 3.10) vidi se da varijabla Logička operacija ima 3 potomka, stoga u

tablici uvjetne vjerojatnosti svaka Istina iznosi 3.039.0= . Vrijednost za Laž dobijemo kao

komplement. Dakle, uvjetna vjerojatnost varijable Logička operacija je dana sa:

Varijabla NILI sklop ima 2 potomka (Slika 3.10), stoga u tablici uvjetne vjerojatnosti svaka

Istina iznosi 45.029.0= . Vrijednost za Laž dobijemo kao komplement. Dakle, uvjetna

vjerojatnost varijable NILI sklop je dana sa:

Na sljedećoj slici (Slika 3.11) bit će prikazana primjera radi varijabla sa 4 potomka:

46


Varijabla Programski jezik visoke razine ima 4 potomka, stoga u tablici uvjetne vjerojatnosti

svaka Istina iznosi 225.049.0= . Vrijednost za Laž dobijemo kao komplement. Dakle, uvjetna

vjerojatnost varijable Programski jezik visoke razine je dana sa:

Struktura

U ovoj mreži (Mreza 3) uvjetne vjerojatnosti su ovisile o broju potomaka nekog čvora. Korjenski čvorovi imaju već dane “a priori” vjerojatnosti, no također postoje čvorovi bez ijednog potomka.


∑ potomaka Broj čvorova Postotak ukupnog broja

5 5.68% 0 39 44.31% 1 12 13.63% 2 14 15.94% 3 9 10.22% 4 9 10.22%

∑= 88 ∑= %100

47

Kao u prethodne dvije mreže, iz prethodne tablice je jasno da korjenskih čvorova ima 5, i oni čine 5.68% od ukupnog broja čvorova,predstavljeni u prvom retku. Postoji 39 čvorova bez potomaka i oni čine 44.31% od ukupnog broja svih čvorova. Čvorovi bez potomaka imaju vjerojatnosti 0.5 za sve kombinacije Istina/Laž što je prethodno naglašeno. 12 čvorova ima jednog potomka što iznosi 13.63% od ukupnog broja, 14 čvorova ima 2 potomka i čini 15.94%, dok po 9 čvorova postoji sa 3 odnosno 4 potomka, i oni zajedno čine ostalih 20.44% svih čvorova.

3.3 Zaključivanje o znanju učenika na temelju Bayesove mreže

Dakle, do sada su poznati podaci o znanju učenika prije testiranja. Također, su stvoreni uvjeti za inicijalizaciju Bayesove mreže misleći pritom na „a priori“ vjerojatnosti korijenskih čvorova i uvjetne vjerojatnosti. U ovom poglavlju testirat će se sve tri mreže i pokazat će se koja od te tri mreže najbolje predviđa učenikovo znanje na temelju znanja učenika prije testiranja.

Također, napravljeno je i znanje učenika nakon testiranja. To znanje predstavlja stvarno znanje učenika i dobiveno je na temelju ispitivanja učenika. To znanje je potrebno kako bi se usporedile sve tri mreže. Dakle, na temelju stvarnog znanja, poznato je koje koncepte je svladao učenik, a koje ne, a tri mreže će biti iskorištene kako bi se pokazalo koja od njih najbolje predviđa stvarno znanje učenika.

Već je spomenuto postojanje tablice model_znanje2 koja sadrži model učenika nakon provjeravanja znanja. Tablica je dobivena na analogan način kao i model_znanje1, dakle uz

pomoć funkcije aX koja omogućava pridjeljivanje težina onim bridovima koji povezuju

koncepte čija je povezanost provjeravana određenim pitanjem u testu. Svaki brid će imati pridijeljenu težinu između 0 i 4 (što odgovara mogućim bodovima), dok će svi ostali bridovi u grafu područnog znanja imati pridijeljenu vrijednost ‐1, što će označavati da poznavanje povezanosti ta dva koncepta nismo provjeravali.

3.3.1 Postavljanje dokaza

Važnost funkcije vX nije samo u određivanju “a priori” vjerojatnosti korijenskih čvorova već

služi za postavljanje dokaza. Postavljanje dokaza obavit će se na 5 načina kako bi se što bolje ispitala učinkovitost i pouzdanost modela. Važno je naglasiti da će se promatrati tablica

koncepti_poslije (Prilog D) koja prikazuje vrijednosti funkcije vX svakog koncepta.

48

3.3.1.1 Prvi način postavljanja dokaza

Neka je kX bilo koji koncept. Ako je 9.0)( ≥kv XX smatra se da je učenik svladao taj koncept

i postavlja se dokaz na Istina. Slično, ako za neki koncept vrijedi 9.0)(1 ≥− kv XX , smatrat će

se da učenik nije svladao taj koncept i postavlja se dokaz na Laž.

Primjer 3.2

Na Slika 3.4 se vidi da je 083.0)ln( =sustavaogracunaModelX v . Jasno je da

.0.917)ln(1 =− sustavaogracunaModelX v što je veće od 9.0 , pa se smatra da učenik nije svladao

taj koncept i u Testiranju 1, koje će se uraditi u nastavku, postavit će se dokaz na Laž na varijabli sustavaogracunaModel ln .

Sljedeća tablica prikazuje 4 dokaza koji su rezultat ovakvog načina postavljanja dokaza.

Tablica 3.4 Lista dokaza –prvi način postavljanja dokaza

Istina Laž

Disjunkcija Logički sklop

Model računalnog sustava Negacija

0:Ukupno 4:Ukupno

3.3.1.2 Drugi način postavljanja dokaza




Primjer 3.3

Na Slika 3.4 se vidi da je 125.0)( =FortranX v . Jasno je da 875.0)(1 =− FortranX v što je veće od

8.0 , pa se smatra da učenik nije svladao taj koncept i u testiranju mreža, koje će se uraditi u nastavku, postavit će se dokaz na Laž na varijabli Fortran.

Prema navedenom, postojati će 12 dokaza danih u sljedećoj tablici.

49

Tablica 3.5 Lista dokaza ‐ drugi način postavljanja dokaza

Istina Laž

1.44MB

Disjunkcija Fortran

Informacija Izlazna jedinica

Kapacitet Logički sklop Memorija

Model računalnog sustava Negacija Pascal

Pohrana podataka

0:Ukupno 12:Ukupno

3.3.1.3 Treći način postavljanja dokaza

Neka je kX bilo koji koncept. Ako je 75.0)( ≥kv XX smatra se da je učenik svladao taj

koncept i postavlja se dokaz na Istina. Slično, ako za neki koncept vrijedi 75.0)(1 ≥− kv XX ,

smatrat će se da učenik nije svladao taj koncept i postavlja se dokaz na Laž.

Primjer 3.4

Na Slika 3.4 se vidi da je 25.0)_( =sustavBrojevniX v , stoga je jasno da

75.0)_(1 =− sustavBrojevniX v što je jednako 75.0 , pa se smatra da učenik nije svladao taj koncept i u

testiranju mreža, koje će se uraditi u sljedećem poglavlju, postavit će se dokaz na Laž na varijabli Brojevni sustav.

Prema navedenom, postojati će 24 dokaza danih u sljedećoj tablici, 4 Istine i 18 Lazi.

Tablica 3.6 Lista dokaza – treći način postavljanja dokaza

Istina LažPrikazivanje podataka

Temeljna funkcija računala Unos podataka

Uređaj za komunikaciju

1.44MB Brojevni sustav

C Centralna jedinica

Disjunkcija Fortran


Kapacitet Logička operacija Logički sklop Memorija

Model računalnog sustava Negacija Pascal Podatak

Pohrana podataka Računalo

4:Ukupno 18:Ukupno

50

3.3.1.4 Četvrti način postavljanja dokaza

Neka je kX bilo koji koncept. Ako je 65.0)( ≥kv XX smatra se da je učenik svladao taj

koncept i postavlja se dokaz na Istina. Slično, ako za neki koncept vrijedi 65.0)(1 ≥− kv XX ,

smatrat će se da učenik nije svladao taj koncept i postavlja se dokaz na Laž.

Primjer 3.5

Na Slika 3.4 se vidi da je 312.0)( =jedinicaUlaznaX v , stoga je jasno da

688.0)(1 =− jedinicaUlaznaX v što je veće od 65.0 , pa se smatra da učenik nije svladao taj koncept i u

testiranju mreža, koje će se uraditi u sljedećem poglavlju, postavit će se dokaz na Laž na varijabli jedinicaUlazna .

Prema navedenom, postojati će ukupno 24 dokaza danih u sljedećoj tablici, 4 Istine i 20 Lazi.

Tablica 3.7 Lista dokaza – četvrti način postavljanja dokaza




1.44MB Brojevni sustav


Disjunkcija Fortran



Model računalnog sustava Negacija Pascal Podatak

Pohrana podataka Računalni sustav

Računalo Ulazna jedinica

4:Ukupno 20:Ukupno

3.3.1.5 Peti način postavljanja dokaza




51

Primjer 3.6

Na Slika 3.4 se vidi da je 375.0)( =podrškaprogramskakaAplikacijsX v , stoga je jasno da

625.0)(1 =− podrškaprogramskakaAplikacijsX v što je veće od 6.0 , pa se smatra da učenik nije

svladao taj koncept i u testiranju mreža, koje će se uraditi u sljedećem poglavlju, postavit će se dokaz na Laž na varijabli podrškaprogramskakaAplikacijs .

Prema navedenom, postojati će čak 31 dokaz i svi su navedeni u sljedećoj tablici, 4 Istine i 27 Lazi.

Tablica 3.8 Lista dokaza




1.44MB Aplikacijska programska podrška

Aritmetičko logička jedinica Brojevni sustav


Disjunkcija Fortran



Model računalnog sustava Modem

Mrežna kartica Negacija

Obrada podataka Operacija Pascal Podatak

Pohrana podataka Prijenos podataka Računalni sustav

Računalo Ulazna jedinica

4:Ukupno 27:Ukupno

Usporedbom postavljenih dokaza u načinima određivanja dokaza razlike su očite u samom broju. Prema prvom načinu određivanja dokaza postoji 4 dokaza, a svako ostalo određivanje dokaza, redom čini nadskup od prethodnog. Logično je pretpostaviti da se javljaju razlike postavljanjem 4 dokaza u mreži (prvi način postavljanja dokaza), odnosno postavljanjem 31 dokaza u mreži (prvi način postavljanja dokaza) što će se pokazati u nastavku. Također je logično pretpostaviti da više dokaza implicira i točniji model. U daljnjem radu, pokazat će se da je bitno dokaze postaviti na kvalitetan način, te da ne igra ulogu kvantiteta dokaza. Točnije, u nastavku će se provesti pet testiranja, Testiranje 1, Testiranje 2, Testiranje 3,

52

Testiranje 4 i Testiranje 5. Svako od navedenih testiranja temelji se na prethodno postavljenim dokazima, i važno je napomenuti da svako od testiranja obuhvaća sve tri mreže (Mreza 1, Mreza 2 i Mreza 3) opisane u prethodnom poglavlju.

3.4 Ispitivanje učinkovitosti i pouzdanosti modela

U ovom poglavlju pristupa se testiranju napravljenog i opisanog. Naime, postavljajući dokaze, testirat će se pojedinačno Mreža 1, Mreža 2 i Mreža 3 i dobiveni rezultati usporedit će se sa učenikovim znanjem nakon testiranja. Na taj način saznat će se koja od mreža najbolje predviđa učenikovo znanje. Provedeno je pet testiranja čiji rezultati se nalaze u prilogu pod nazivima Testiranje 1 (Prilog T1), Testiranje 2 (Prilog T2), Testiranje 3 (Prilog T3), Testiranje 4 (Prilog T4) i Testiranje 5 (Prilog T5). Sva testiranja obuhvaćaju testiranje Mreze 1, Mreze 2 i Mreze 3, što znači da će se promatrati ukupno 15 modela.

Testiranje 1, Testiranje 2, Testiranje 3, Testiranje 4, Testiranje 5 se temelje na prvom, drugom, trećem, četvrtom, petom načinu postavljanja dokaza respektivno.

Rezultati svakog Testiranja su prikazani tablicom od 4 stupca. U prvom stupcu se nalazi ime koncepta, a u sljedećim stupcima redom:

- stvarne vrijednosti učenika dobivene nakon ispitivanja, to su vrijednost iz tablice koncepti_poslije (Prilog D)

- vrijednosti dobivene na temelju testiranja mreže 1 u programu GeNIe - vrijednosti dobivene na temelju testiranja mreže 2 u programu GeNIe - vrijednosti dobivene na temelju testiranja mreže 3 u programu GeNIe

Sve navedeno nalazi se u prilogu kako je već spomenuto. Budući da provedeno ispitivanje učenika na kojem su donešeni zaključci o stvarnom znanju učenika nisu obuhvaćali sve koncepte, tj. postoje koncepti koji nisu ispitivani, nema smisla uspoređivat rezultate testiranja sa konceptima koji nisu ispitivani. Uspoređivanje će biti napravljeno s konceptima

za koje je vrijednosti funkcije vX poslije ispitivanja različita od nule, te na konceptima koji

nisu dokazi.

Testiranja su provedena u programu GeNIe, potom svi rezultati ubačeni u Excel na temelju kojih je napravljena usporedba. Zajedničko svim trima mrežama je sljedeće:

- broj koncepata - a „priori“ vjerojatnosti korjenskih čvorova - dokazi

Bitna razlika su uvjetne vjerojatnosti koje su u svakoj mreži dobivene na poseban način. Prethodno je objašnjen način određivanja uvjetnih vjerojatnosti za svaki čvor, a „priori“ vjerojatnosti korjenskih čvorova te način postavljanja dokaza.

53

3.4.1 Testiranje 1

Na sljedećoj slici (Slika 3.12) prikazan je graf usporedbe stvarnog znanja učenika i predviđanja redom Mreze 1, Mreze 2 i Mreze 3. Uspoređivale su se dobivene vrijednosti za 41 koncept.

Slika 3.12 Graf – Testiranje 1

Budući je sa grafa teško ustanoviti u kojoj mjeri se podudaraju predviđanja sa stvarnim znanjem, u sljedećoj tablici se nalaze podaci prema kojima je napravljen graf, s označenim preklapanjima. Zelenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju manje ili jednako 0.1 i za njih se može reći da se podudaraju. Plavom bojom označene su vrijednosti koje se

54

razlikuju više od 0.1, a manje ili jednako od 0.2. Crvenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju više od 0.2 i za njih će se smatrati da su promašaji. Ove vrijednosti su određene heuristički i nemaju potporu u literaturi.

Tablica 3.9 Rezultati Testiranja 1 s preklapanjem

Koncept Stvarno znanje učenika Mreza 1 Mreza 2 Mreza 3

1.44MB 0.125 0.393 0.199 0.5 Aplikacijska programska podrška 0.375 0.387 0.232 0.5 Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 0.326 0.122 0.153 Brojevni sustav 0.25 0.25 0.25 0.25 C 0.25 0.326 0.189 0.5 Centralna jedinica 0.5 0.211 0.114 0.144 Centralna procesorska jedinica 0.5 0.294 0.123 0.152 Disketa 0.25 0.358 0.123 0.154 Fortran 0.125 0.326 0.189 0.5 ILI sklop 0.5 0.074 0.076 0.1 Informacija 0.125 0.408 0.15 0.293 Instrukcija 0.437 0.356 0.128 0.177 Izlazna jedinica 0.291 0.224 0.109 0.125 Kapacitet 0.125 0.386 0.143 0.5 Kompaktni disk 0.25 0.358 0.195 0.5 Logička operacija 0.25 0.19 0.073 0.166 Masovna memorija 0.5 0.323 0.119 0.156 Memorija 0.583 0.385 0.114 0.125 Modem 0.5 0.408 0.14 0.2 Mrežna kartica 0.375 0.408 0.191 0.5 Obrada podataka 0.5 0.387 0.128 0.158 Operacija 0.375 0.376 0.122 0.162 Pascal 0.125 0.326 0.189 0.5 Podatak 0.25 0.385 0.144 0.242 Pohrana podataka 0.25 0.394 0.186 0.5 Prijenos podataka 0.375 0.408 0.122 0.143 Prikazivanje podataka 0.875 0.317 0.189 0.5 Programska podrška 0.687 0.359 0.165 0.215 Računalni sustav 0.33 0.324 0.329 0.33 Računalo 0.5 0.259 0.122 0.15 Radna memorija 0.25 0.34 0.131 0.198 RAM 0.25 0.372 0.204 0.5 ROM 0.25 0.372 0.204 0.5 Sistemska programska podrška 0.25 0.387 0.12 0.143 Tehnička podrška 0.6 0.356 0.116 0.126 Temeljna funkcija računala 0.791 0.359 0.141 0.166 Tvrdi disk 0.25 0.358 0.195 0.5 Ulazna jedinica 0.416 0.224 0.109 0.125 Unos podataka 0.875 0.317 0.189 0.5 Upravljačka jedinica 0.5 0.33 0.143 0.222 Uređaj za komunikaciju 0.916 0.385 0.114 0.125

Usporedba mreza 1 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 15 koncepata koji se podudaraju što iznosi 36.6% podudaranja. 13 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 31.7%, te također 13 promašaja što daje preostalih 31.7%.

55

Usporedba mreza 2 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 13 koncepata koji se podudaraju što iznosi 31.7% podudaranja. 7 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 17.07%, preostalih 21 od 41 koncepta su promašaji, i oni čine preostalih 51.23%.

Usporedba mreza 3 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 6 koncepata koji se podudaraju što iznosi 14.63% podudaranja. 5 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 12.19% te čak 30 promašaja, a to daje preostalih 73.18%.

3.4.2 Testiranje 2

Na sljedećoj slici (Slika 3.13) prikazan je graf usporedbe stvarnog znanja učenika i predviđanja redom Mreze 1, Mreze 2 i Mreze 3. Uspoređivale su se dobivene vrijednosti za 33 koncepta.

56


Budući je sa grafa teško ustanoviti u kojoj mjeri se podudaraju predviđanja sa stvarnim znanjem, u sljedećoj tablici se nalaze podaci prema kojima je napravljen graf, s označenim preklapanjima. Zelenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju manje ili jednako 0.1 i za njih se može reći da se podudaraju. Plavom bojom označene su vrijednosti koje se

57

razlikuju više od 0.1, a manje ili jednako od 0.2. Crvenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju više od 0.2 i za njih će se smatrati da su promašaji. Ove vrijednosti su određene heuristički i nemaju potporu u literaturi.


Koncept Stvarno znanje učenika Mreza 1 Mreža 2 Mreža 3

Aplikacijska programska podrška 0.375 0.186 0.231 0.5 Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 0.171 0.121 0.141 Brojevni sustav 0.25 0.25 0.25 0.25 C 0.25 0.102 0.101 0.5 Centralna jedinica 0.5 0.043 0.11 0.124 Centralna procesorska jedinica 0.5 0.099 0.122 0.118 Disketa 0.25 0.016 0.049 0.143 ILI sklop 0.5 0.075 0.076 0.1 Instrukcija 0.437 0.085 0.111 0.045 Kompaktni disk 0.25 0.119 0.176 0.5 Logička operacija 0.25 0.119 0.073 0.153 Masovna memorija 0.5 0.024 0.095 0.124 Modem 0.5 0.192 0.139 0.192 Mrežna kartica 0.375 0.192 0.189 0.5 Obrada podataka 0.5 0.144 0.082 0.157 Operacija 0.375 0.16 0.119 0.115 Podatak 0.25 0.054 0.093 0.034 Prijenos podataka 0.375 0.192 0.122 0.14 Prikazivanje podataka 0.875 0.136 0.145 0.5 Programska podrška 0.687 0.107 0.164 0.212 Računalni sustav 0.33 0.042 0.325 0.322 Računalo 0.5 0.082 0.121 0.133 Radna memorija 0.25 0.128 0.115 0.146 RAM 0.25 0.203 0.192 0.5 ROM 0.25 0.203 0.192 0.5 Sistemska programska podrška 0.25 0.152 0.119 0.142 Tehnička podrška 0.6 0.019 0.093 0.079 Temeljna funkcija računala 0.791 0.103 0.131 0.164 Tvrdi disk 0.25 0.119 0.176 0.5 Ulazna jedinica 0.416 0.106 0.107 0.115 Unos podataka 0.875 0.175 0.184 0.5 Upravljačka jedinica 0.5 0.102 0.139 0.166 Uređaj za komunikaciju 0.916 0.115 0.111 0.115

Usporedba mreza 1 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 4 koncepata koji se podudaraju što iznosi 12.12% podudaranja. 9 koncepta su između 0.1 i 0.2 što iznosi 27.27%, i preostalo je 20 promašaja što čini 61.88%.

Usporedba mreza 2 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 6 koncepata koji se podudaraju što iznosi 18.18% podudaranja. 6 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 18.18%, preostalih 21 koncepata su promašaji i oni čine preostalih 36.36%.

Usporedba mreza 3 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa koncepta koji se podudaraju što iznosi 9% podudaranja. 4 koncepta su između 0.1 i 0.2 što iznosi 12.12% te čak 26 promašaja, a to daje preostalih 78.88%.

58

3.4.3 Testiranje 3

Na sljedećoj slici (Slika 3.14) prikazan je graf usporedbe stvarnog znanja učenika i predviđanja redom Mreze 1, Mreze 2 i Mreze 3. Uspoređivale su se dobivene vrijednosti za 23 koncepta.


Budući je sa grafa teško ustanoviti u kojoj mjeri se podudaraju predviđanja sa stvarnim znanjem, u sljedećoj tablici se nalaze podaci prema kojima je napravljen graf, s označenim preklapanjima. Zelenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju manje ili jednako 0.1 i za njih se može reći da se podudaraju. Plavom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju više od 0.1, a manje ili jednako od 0.2. Crvenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju više od 0.2 i za njih će se smatrati da su promašaji. Ove vrijednosti su određene heuristički i nemaju potporu u literaturi.


Koncept Stvarno znanje učenika Mreza 1 Mreza 2 Mreza 3

Aplikacijska programska podrška 0.375 0.576 0.265 0.5 Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 0.097 0.112 0.123 Centralna procesorska jedinica 0.5 0.025 0.096 0.167 Disketa 0.25 0.014 0.048 0.135 ILI sklop 0.5 0.078 0.078 0.1 Instrukcija 0.437 0.025 0.08 0.61 Kompaktni disk 0.25 0.115 0.17 0.5 Masovna memorija 0.5 0.019 0.087 0.1 Modem 0.5 0.9 0.45 0.9 Mrežna kartica 0.375 0.9 0.9 0.5 Obrada podataka 0.5 0.846 0.207 0.45 Operacija 0.375 0.097 0.109 0.261 Prijenos podataka 0.375 0.9 0.3 0.45 Programska podrška 0.687 0.595 0.206 0.309 Računalni sustav 0.33 0.659 0.532 0.598 Radna memorija 0.25 0.1 0.1 0.1 RAM 0.25 0.18 0.18 0.5 ROM 0.25 0.18 0.18 0.5

59

Sistemska programska podrška 0.25 0.536 0.124 0.161 Tehnička podrška 0.6 0.555 0.19 0.161 Tvrdi disk 0.25 0.115 0.17 0.5 Ulazna jedinica 0.416 0.425 0.205 0.132 Upravljačka jedinica 0.5 0.036 0.124 0.339


Mreza 2 u ovom Testiranju daje identične rezultate kao Mreza 1.

Usporedba mreza 3 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 6 koncepata koji se podudaraju što iznosi 26.08% podudaranja. 4 koncepta su između 0.1 i 0.2 što iznosi 17.39% te čak 13 promašaja, a to daje preostalih 56.53%.

3.4.4 Testiranje 4

Na sljedećoj slici (Slika 3.15) prikazan je graf usporedbe stvarnog znanja učenika i predviđanja redom Mreze 1, Mreze 2 i Mreze 3. Uspoređivale su se dobivene vrijednosti za 21 koncept.


Budući je sa grafa teško ustanoviti u kojoj mjeri se podudaraju predviđanja sa stvarnim znanjem, u sljedećoj tablici se nalaze podaci prema kojima je napravljen graf, s označenim preklapanjima. Zelenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju manje ili jednako 0.1 i za njih se može reći da se podudaraju. Plavom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju više od 0.1, a manje ili jednako od 0.2. Crvenom bojom označene su vrijednosti koje

60

se razlikuju više od 0.2 i za njih će se smatrati da su promašaji. Ove vrijednosti su određene heuristički i nemaju potporu u literaturi.



Aplikacijska programska podrška 0.375 0.158 0.179 0.5 Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 0.097 0.176 0.123 Centralna procesorska jedinica 0.5 0.025 0.107 0.167 Disketa 0.25 0.014 0.048 0.135 ILI sklop 0.5 0.078 0.058 0.1 Instrukcija 0.437 0.025 0.09 0.61 Kompaktni disk 0.25 0.115 0.17 0.5 Masovna memorija 0.5 0.019 0.087 0.1 Modem 0.5 0.9 0.45 0.9 Mrežna kartica 0.375 0.9 0.9 0.5 Obrada podataka 0.5 0.846 0.207 0.45 Operacija 0.375 0.097 0.172 0.261 Prijenos podataka 0.375 0.9 0.3 0.45 Programska podrška 0.685 0.073 0.099 0.1 Radna memorija 0.25 0.1 0.1 0.1 RAM 0.25 0.18 0.18 0.5 ROM 0.25 0.18 0.18 0.5 Sistemska programska podrška 0.25 0.125 0.111 0.12 Tehnička podrška 0.6 0.024 0.133 0.087 Tvrdi disk 0.25 0.115 0.17 0.5 Upravljačka jedinica 0.5 0.036 0.13 0.339


Usporedba mreza 2 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 6 koncepata koji se podudaraju što iznosi 28.57% podudaranja. 5 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 23.8%, preostalih 10 koncepata su promašaji i oni čine preostalih 47.63%.

Usporedba mreza 3 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 3 koncepta koji se podudaraju što iznosi 14.28% podudaranja. 7 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 33.3% te 11 promašaja, a to daje preostalih 52.42%.

3.4.5 Testiranje 5

Na sljedećoj slici (Slika 3.16) prikazan je graf usporedbe stvarnog znanja učenika i predviđanja redom Mreze 1, Mreze 2 i Mreze 3. Uspoređivale su se dobivene vrijednosti za 14 koncepata.

61


Budući je sa grafa teško ustanoviti u kojoj mjeri se podudaraju predviđanja sa stvarnim znanjem, u sljedećoj tablici se nalaze podaci prema kojima je napravljen graf, s označenim preklapanjima. Zelenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju manje ili jednako 0.1 i za njih se može reći da se podudaraju. Plavom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju više od 0.1, a manje ili jednako od 0.2. Crvenom bojom označene su vrijednosti koje se razlikuju više od 0.2 i za njih će se smatrati da su promašaji. Ove vrijednosti su određene heuristički i nemaju potporu u literaturi.



Centralna procesorska jedinica 0.5 0.002 0.076 0.108 Disketa 0.25 0.014 0.048 0.135 ILI sklop 0.5 0.078 0.058 0.1 Instrukcija 0.437 0.002 0.063 0.497 Kompaktni disk 0.25 0.115 0.17 0.5 Masovna memorija 0.5 0.019 0.087 0.1 Programska podrška 0.687 0.008 0.012 0.1 Radna memorija 0.25 0.1 0.1 0.1 RAM 0.25 0.18 0.18 0.5 ROM 0.25 0.18 0.18 0.5 Sistemska programska podrška 0.25 0.074 0.1 0.12 Tehnička podrška 0.6 0.024 0.133 0.087 Tvrdi disk 0.25 0.115 0.17 0.5 Upravljačka jedinica 0.5 0.014 0.115 0.27


62

Usporedba mreza 2 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 4 koncepata koji se podudaraju što iznosi 28.57% podudaranja. 2 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 14.28% ,preostalih 8 koncepata su promašaji i oni čine preostalih 57.15%.

Usporedba mreza 3 sa stvarnim znanjem učenika, prema grafu i tablici rezultira sa 1 koncepta koji se podudaraju što iznosi 7.14% podudaranja. 3 koncepata su između 0.1 i 0.2 što iznosi 21.42% te 10 promašaja, a to daje preostalih 71.44%.

3.4.6 Interpretacija rezultata

Ideja ovog rada bila je stvoriti probabilistički model koji će predvidjeti znanje učenika na temelju nekoliko poznatih koncepata. Nakon definirane mreže pokazano je na koje načine se mogu određivati uvjetne vjerojatnosti, te „a priori“ vjerojatnosti korjenskih čvorova. Posebna pažnja se posvetila određivanju dokaza, jer postavljanje dokaza čini razlike između mreža. U sljedećim tablicama nalaze se rezultati svih Testiranja prema broju pogodaka i promašaja, posebno za svaku mrežu i svako Testiranje. U Tablica 3.15 nalaze se isti ti rezultati prikazani u postotcima.

3.14 Rezultati Testiranja prema broju pogodaka i promašaja

Mreza 1 Mreza 2 Mreza 3 Testiranje 1 Testiranje 2 Testiranje 3 Testiranje 4 Testiranje 5

15 13 13 4 9 20 5 4 14 2 4 15 2 4 8

13 7 21 6 6 21 5 4 14 6 5 10 4 2 8

6 5 30 3 4 26 6 4 13 3 7 11 1 3 10

Tablica 3.15 Rezultati Testiranja prema broju pogodaka i promašaja u postotcima

Mreza 1 Mreza 2 Mreza 3 Testiranje1 Testiranje2 Testiranje3 Testiranje4 Testiranje5

37 32 32 12 27 62 22 17 61 9 19 71 14 28 57

32 17 51 18 18 36 22 17 61 28 24 48 28 14 57

15 12 73 9 12 79 26 17 56 14 33 52 7 21 71

Analizirajući posebno Mreza 1, Mreza 2 i Mreza 3 prema prethodnoj tablici, nije teško zaključiti da Mreza 3 ima „najgore“ rezultate. Takav rezultat može se pripisati postavljanju uvjetnih vjerojatnosti 0.5 za Istinu, i 0.5 za Laz za sve čvorove bez potomaka. Pogotke u toj mreži pripisat će se slučajnosti. Eliminirajući Mrezu 3 i promatrajući Tablica 3.15 Mreza 1 ima bolje rezultate samo u Testiranju 1, dok u Testiranju 3 ima identične rezultate. Testiranje 2 i

63

Testiranje 4 je pripalo Mrezi 2 u vidu rezultata. Sveukupno gledajući, Mreza 2 ima malo bolje rezultate, no tesko je izdvojiti koja je bolja.

Promatrano je sveukupno 15 modela, a model koji ima najviše preklapanja sa stvarnim znanjem učenika pripada Mrezi 1 u Testiranju 1. U odnosu na ostale modele taj model ima jako nizak broj pogrešaka, te također, u odnosu na ostale modele, jako visok broj pogodaka, i upravo zbog toga se izdvaja kao model za budućnost.

Promatrajući prethodne tablice, a posebno Tablica 3.15 , te pokušavajući odgovoriti koje Testiranje najbolje predviđa stvarno znanje, nije teško vidjeti da je to Testiranje 1. Naime, provedena Testiranja su se razlikovala po postavljanju dokaza. Probabilistički model će najbolje predvidjeti znanje ako se dokazi „dobro“ postave. „Dobro“ postavljanje dokaza ovisi o kvaliteti, a ne kvantiteti. Primijetimo, Testiranje 1 se temelji na samo 4 dokaza, a svako ostalo ima više dokaza. Konačno, Testiranje 5, ima čak 31 dokaz, no dokaze u Testiranju 5 je

predstavljao svaki koncept čija je vrijednost funkcije vX veća ili jednaka od 0.6. Na taj način

se pokupilo dosta koncepata koji ne bi trebali biti dokazi, pa sve skupa rezultira sa dosta

promašaja. Testiranje 1, prisjetimo se, temeljilo se na dokazima, čije vrijednosti funkcije vXsu veće ili jednake od 0.9. Na temelju rezultata ovog rada, smatra se da učenik poznaje neki koncept i da u probabilističkom modelu, temeljenom na Bayesovoj mreži, on predstavlja

dokaz, jedino ako mu je vrijednost funkcije vX veća ili jednaka od 0.9.

Pokazalo se da se na temelju malog, ali kvalitetno odabranog broja dokaza može bolje predvidjeti znanje učenika nego na temelju mnogo dokaza koji si neutemeljeni. U daljnjim ispitivanjima probabilističkih modela, trebalo bi provesti šire istraživanje i vidjeti u kolikom postotku prethodno definirani modeli točno predviđaju znanje učenika, ali na većem uzorku modela učenika.

64

4 Zaključak

Želja da se omogući novo, moderno i kvalitetno obrazovanje zahtijeva jako puno ispitivanja. U ovom radu je opisan probabilistički model temeljen na Bayesovoj mreži koji bi trebao predstavljati novi način modeliranja učenika. Uporaba tog modela je ilustrirana kroz primjer predviđanja stanja znanja učenika. Probabilistički modeli doprinose obrazovanju jer unaprijeđuju proces učenja i poučavanja učenika. Osnovu unaprijeđenja čini potreba za učinkovitim modelom koji bi na temelju primljenih informacija, donosio zaključke o pojmovima koje je učenik svladao, a koje nije.

Problem koji se javlja kod modeliranja učenika je neizvjesnost. Naime, inteligentni tutorski sustav treba izgraditi model na temelju malog broja informacija koje primi od učenika. Te informacije mogu biti različito interpretirane, stoga je uloga probabilističkih modela posebno važna. Izgraditi model koji će na temelju malog broja informacija donijeti kvalitetne zaključke i uz sve to prilagoditi učeniku učenje zahtijeva dosta truda. Bayesova mreža teoretski omogućuje navedeno, no posebno je važno ispitati najbolji način implementacije Bayesove mreže u modeliranju učenika.

Osnova ovog rada je bila pronaći najbolji način izgradnje probabilističkog modela za modeliranje učenika. Promatrane su brojne implementacije, a posebni naglasci su stavljeni na određivanje uvjetnih vjerojatnosti i postavljanje dokaza. Vjerujući na samom početku rada da je najvažnije određivanje uvjetnih vjerojatnosti, pokazalo se da ništa manje nije važno ni kvalitetno postaviti dokaze. Model koji između svih testiranih modela predstavlja najbolje rezultate je model kod kojeg su uvjetne vjerojatnosti određene u ovisnosti o broju roditelja i

u kojem su dokazi koncepti kod kojih je vrijednost funkcije vX veća ili jednaka 0.9. U

budućnosti bi trebalo pronaći odgovore zašto je taj model pogriješio u 32% slučajeva, te otkloniti mogućnost greške.

Tehnologije u obrazovanju nisu nova stvar, no kako bi obrazovanje pratilo taj svakodnevni napredak, bitno je omogućiti učenje u čijem je središtu učenik. Predložena metodologija još uvijek mora pokazati svoju praktičnu korisnost u podučavanju učenika za što će zasigurno biti potrebno vrijeme. Upotreba predloženog modela u ovom radu zahtijeva provjeravanje postignutih rezultata na većem uzorku modela učenika.

65

5 Literatura

[Charniak, 1991] Charniak, E. (1991). Bayesian Networks without tears. AI magazine, 12(4), 50. [Millan & Perez, 2002] Millan E. i Perez J.L (2002) ‐ A Bayesian Diagnostic Algorithm for Student Modeling and its Evaluation [Vanlehn & Niu, 2001] Kurt Vanlehn & Zhendong Niu, 2001 ‐ Bayesian student modeling, user interfaces and feedback [Prcela, 2010] Prcela Marin, 2010 ‐ Predstavljanje znanja zasnovano na integraciji ontologija I Bayesovih mreža, doktorska disertacija, Fakultet elektrotehnike i računarstva, Sveučilište u Zagrebu

[Grubišić, (2003)] Grubišić A. (2003), Modeliranje učenika probabilističkim mrežama, seminarski rad, Fakultet elektrotehnike i računarstva, Sveučilište u Zagrebu [Stankov, 2005] Stankov, S. (2005), Suvremena informacijska tehnologija u nastavi, Fakultet prirodoslovno matematičkih znanosti i odgojnih područja Sveučilišta u Splitu, interna skripta, Split, siječanj 2005. www.pmfst.hr/~stankov/pregled_fpmz.htm

[Žnidaršič, 2005] Žnidaršič Martin, Bayesove verjetnostne mreže, Seminarska naloga pri predmetu Avtomatsko učenje [Burns & Capps, 1988]

Burns, H. L., & Capps, C. G. (1988). Foundations of intelligent tutoring systems: An introduction. Foundations of intelligent tutoring systems (M. C. Poison, J. J.Richardson (Ed.)), pp. 1‐19. Lawrence Eribaum, London.

[Bloom, 1984]

Bloom, B. S. (1984). The 2 Sigma Problem: The Search for Methods of Group Instruction as Effective as One‐to‐One Tutoring. Educational Researcher, 13(6), pp. 4‐16.

66

[Gross & Yellen, 1998]

Gross, J. L., & Yellen, J. (1998). Graph Theory and Its Applications, 1st ed.. CRC Press.

[Veljan, 1989]

Veljan, D. (1989). Kombinatorika s teorijom grafova. Zagreb: Školska knjiga.

67

6 Prilozi

• Prilog A – model_znanje1

• Prilog B – koncepti_prije

• Prilog C – model_znanje2

• Prilog D – koncepti_poslije

• Prilog E – Mreza 1

• Prilog F – Mreza 2

• Prilog G – Mreza 3

• Prilog T1 – Testiranje 1





68

6.1 Prilog A – model_znanje1

model_znanje1Aritmetička operacija Oduzimanje ‐1 Aritmetička operacija Zbrajanje ‐1 Aritmetičko‐logička jedinica Aritmetička operacija ‐1 Aritmetičko‐logička jedinica Ločička operacija 2 Baza 2 ‐1 Baza 8 ‐1 Baza 10 ‐1 Baza 16 ‐1 Binarni brojevni sustav 2 ‐1 Binarni brojevni sustav 0 1 ‐1 Binarni brojevni sustav Baza ‐1 Binarni brojevni sustav Znamenke ‐1 Brojevni sustav Binarni brojevni sustav 2 Brojevni sustav Dekadski brojevni sustav ‐1 Brojevni sustav Heksadekadski brojevni sustav ‐1 Brojevni sustav Oktalni brojevni sustav ‐1 Centralna jedinica Masovna memorija 0 Centralna jedinica Računalo 1 Centralna procesorska jedinica Aritmetičko logička jedinica 2 Centralna procesorska jedinica Upravljačka jedinica 2 Dekadski brojevni sustav 10 ‐1 Dekadski brojevni sustav 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ‐1 Dekadski brojevni sustav Baza ‐1 Dekadski brojevni sustav Znamenke ‐1 Disketa 1.44MB ‐1 Disketa Kapacitet ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav 16 ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav Baza ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav Znamenke ‐1 I sklop Konjukcija ‐1 ILI sklop Disjunkcija 2 Informacija Značenje 0 Instrukcija Operacija 2 Instrukcija Podatak 1 Izlazna jedinica Monitor ‐1 Izlazna jedinica Prikazivanje podataka 3 Izlazna jedinica Štampač ‐1 Jezični prevoditelji Interpretator ‐1 Jezični prevoditelji Kompilator ‐1 Jezični prevoditelji Programski jezik visoke razine ‐1 Kapacitet 1.44 MB ‐1 Logička operacija Disjunkcija ‐1 Logička operacija Konjukcija ‐1 Logička operacija Negacija 2 Logički sklop I sklop ‐1 Logički sklop ILI sklop 2 Logički sklop Logička operacija ‐1 Logički sklop NE sklop ‐1 Logički sklop NI sklop ‐1 Logički sklop NILI sklop ‐1 Masovna memorija Disketa 0 Masovna memorija Kompaktni disk 0 Masovna memorija Tvrdi disk 0 Memorija Masovna memorija 0 Memorija Pohrana podataka 3 Memorija Radna memorija 0

69

Model računalnog sustava Centralna jedinica 2 Model računalnog sustava Izlazna jedinica ‐1 Model računalnog sustava Ulazna jedinica ‐1 Modem Serijski prijenos podataka ‐1 NE sklop Negacija ‐1 NI sklop Konjukcija ‐1 NI sklop Negacija ‐1 NILI sklop Disjunkcija ‐1 NILI sklop Negacija ‐1 Obrada podataka Pohrana podataka ‐1 Obrada podataka Upravljanje podataka ‐1 Oktalni brojevni sustav 8 ‐1 Oktalni brojevni sustav 0 1 2 3 4 5 6 7 ‐1 Oktalni brojevni sustav Baza ‐1 Oktalni brojevni sustav Znamenke ‐1 Operacija Aritmetička operacija ‐1 Operacija Logička operacija 2 Operacijski sustav Dos ‐1 Operacijski sustav Unix ‐1 Operacijski sustav Windows ‐1 Podatak Informacija 1 Prijenos podataka Paralelni prijenos podataka ‐1 Prijenos podataka Serijski prijenos podataka ‐1 Programska podrška Aplikacijska programska podrška 3 Programska podrška Sistemska programska podrška 0 Programski jezik Programski jezik niske razine ‐1 Programski jezik Programski jezik visoke razine ‐1 Programski jezik niske razine Asembler ‐1 Programski jezik visoke razine Basic 0 Programski jezik visoke razine C 2 Programski jezik visoke razine Fortran 1 Programski jezik visoke razine Pascal 1 Računalni sustav Programska podrška 3 Računalni sustav Tehnička podrška 2 Računalni sustav Temeljna funkcija računala 3 Računalo Centralna procesorska jedinica 2 Računalo Radna memorija 0 Radna memorija RAM 0 Radna memorija ROM 0 Sistemska programska podrška Jezični prevoditelji ‐1 Sistemska programska podrška Operacijski sustav ‐1 Sistemska programska podrška Uslužni programi ‐1 Tehnička podrška Centralna jedinica 1 Tehnička podrška Izlazna jedinica 0 Tehnička podrška Memorija 0 Tehnička podrška Ulazna jedinica 3 Tehnička podrška Uređaj za komunikaciju 3 Temeljna funkcija računala Obrada podataka 3 Temeljna funkcija računala Prikazivanje podataka 3 Temeljna funkcija računala Unos podataka 3 Ulazna jedinica Miš ‐1 Ulazna jedinica Tipkovnica ‐1 Ulazna jedinica Unos podataka 3 Upravljačka jedinica Instrukcija 2 Uređaj za komunikaciju Modem 3 Uređaj za komunikaciju Mrežna kartica 3 Uređaj za komunikaciju Prijenos podataka 3 Znamenke 0 1 ‐1 Znamenke 0 1 2 3 4 5 6 7 ‐1 Znamenke 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ‐1 Znamenke 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ‐1

70

6.2 Prilog B – koncepti_prije

koncepti_prije

Xk 2 0 8 0 10 0 16 0

0 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1.44MB 0.125 Aplikacijska programska podrška 0.375 Aritmetička operacija 0 Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 Asembler 0 Basic 0 Baza 0 Binarni brojevni sustav 0 Brojevni sustav 0.25 C 0.25 Centralna jedinica 0.25 Centralna procesorska jedinica 0.5 Dekadski brojevni sustav 0 Disjunkcija 0.083 Disketa 0 DOS 0 Fortran 0.125 Heksadekadski brojevni sustav 0 I sklop 0 ILI sklop 0.5 Informacija 0.125 Instrukcija 0.4375 Interpretator 0 Izlazna jedinica 0.125 Jezični prevoditelji 0 Kapacitet 0.125 Kompaktni disk 0 Kompilator 0 Konjukcija 0 Logička operacija 0.25 Logički sklop 0.0416 Masovna memorija 0 Memorija 0.125 Miš 0 Model računalnog sustava 0.083 Modem 0.375 Monitor 0 Mrežna kartica 0.375 NE sklop 0 Negacija 0.0625 NI sklop 0 NILI sklop 0 Obrada podataka 0.375 Oduzimanje 0 Oktalni brojevni sustav 0 Operacija 0.375

)( kv XX

71

Operacijski sustav 0 Paralelni prijenos podataka 0 Pascal 0.125 Podatak 0.25 Pohrana podataka 0.1875 Prijenos podataka 0.375 Prikazivanje podataka 0.75 Programska podrška 0.5625 Programski jezik 0 Programski jezik niske razine 0 Programski jezik visoke razine 0 Računalni sustav 0.33 Računalo 0.25 Radna memorija 0 RAM 0 ROM 0 Serijski prijenos podataka 0 Sistemska programska podrška 0 Štampač 0 Tehnička podrška 0.425 Temeljna funkcija računala 0.75 Tipkovnica 0 Tvrdi disk 0 Ulazna jedinica 0.3125 Unix 0 Unos podataka 0.75 Upravljačka jedinica 0.5 Upravljanje podataka 0 Uređaj za komunikaciju 0.75 Uslužni progranmi 0 Windows 0 Zbrajanje 0 Značenje 0 Znamenke 0

72

6.3 Prilog C – model_znanje2

model_znanje2 Aritmetička operacija Zbrajanje ‐1 Aritmetičko‐logička jedinica Aritmetička operacija ‐1 Aritmetičko‐logička jedinica Ločička operacija 2 Baza 2 ‐1 Baza 8 ‐1 Baza 10 ‐1 Baza 16 ‐1 Binarni brojevni sustav 2 ‐1 Binarni brojevni sustav 0 1 ‐1 Binarni brojevni sustav Baza ‐1 Binarni brojevni sustav Znamenke ‐1 Brojevni sustav Binarni brojevni sustav 2 Brojevni sustav Dekadski brojevni sustav ‐1 Brojevni sustav Heksadekadski brojevni sustav ‐1 Brojevni sustav Oktalni brojevni sustav ‐1 Centralna jedinica Masovna memorija 2 Centralna jedinica Računalo 2 Centralna procesorska jedinica Aritmetičko logička jedinica 2 Centralna procesorska jedinica Upravljačka jedinica 2 Dekadski brojevni sustav 10 ‐1 Dekadski brojevni sustav 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ‐1 Dekadski brojevni sustav Baza ‐1 Dekadski brojevni sustav Znamenke ‐1 Disketa 1.44MB ‐1 Disketa Kapacitet ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav 16 ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav Baza ‐1 Hekasadekadski brojevni sustav Znamenke ‐1 I sklop Konjukcija ‐1 ILI sklop Disjunkcija 2 Informacija Značenje 0 Instrukcija Operacija 2 Instrukcija Podatak 1 Izlazna jedinica Monitor ‐1 Izlazna jedinica Prikazivanje podataka 4 Izlazna jedinica Štampač ‐1 Jezični prevoditelji Interpretator ‐1 Jezični prevoditelji Kompilator ‐1 Jezični prevoditelji Programski jezik visoke razine ‐1 Kapacitet 1.44 MB ‐1 Logička operacija Disjunkcija ‐1 Logička operacija Konjukcija ‐1 Logička operacija Negacija 2 Logički sklop I sklop ‐1 Logički sklop ILI sklop 2 Logički sklop Logička operacija ‐1 Logički sklop NE sklop ‐1 Logički sklop NI sklop ‐1 Logički sklop NILI sklop ‐1 Masovna memorija Disketa 2 Masovna memorija Kompaktni disk 2 Masovna memorija Tvrdi disk 2 Memorija Masovna memorija 2 Memorija Pohrana podataka 4 Memorija Radna memorija 2 Model računalnog sustava Centralna jedinica 2

73

Model računalnog sustava Izlazna jedinica ‐1 Model računalnog sustava Ulazna jedinica ‐1 Modem Serijski prijenos podataka ‐1 NE sklop Negacija ‐1 NI sklop Konjukcija ‐1 NI sklop Negacija ‐1 NILI sklop Disjunkcija ‐1 NILI sklop Negacija ‐1 Obrada podataka Pohrana podataka ‐1 Obrada podataka Upravljanje podataka ‐1 Oktalni brojevni sustav 8 ‐1 Oktalni brojevni sustav 0 1 2 3 4 5 6 7 ‐1 Oktalni brojevni sustav Baza ‐1 Oktalni brojevni sustav Znamenke ‐1 Operacija Aritmetička operacija ‐1 Operacija Logička operacija 2 Operacijski sustav Dos ‐1 Operacijski sustav Unix ‐1 Operacijski sustav Windows ‐1 Podatak Informacija 1 Prijenos podataka Paralelni prijenos podataka ‐1 Prijenos podataka Serijski prijenos podataka ‐1 Programska podrška Aplikacijska programska podrška 3 Programska podrška Sistemska programska podrška 2 Programski jezik Programski jezik niske razine ‐1 Programski jezik Programski jezik visoke razine ‐1 Programski jezik niske razine Asembler ‐1 Programski jezik visoke razine Basic 0 Programski jezik visoke razine C 2 Programski jezik visoke razine Fortran 1 Programski jezik visoke razine Pascal 1 Računalni sustav Programska podrška 3 Računalni sustav Tehnička podrška 2 Računalni sustav Temeljna funkcija računala 3 Računalo Centralna procesorska jedinica 2 Računalo Radna memorija 2 Radna memorija RAM 2 Radna memorija ROM 2 Sistemska programska podrška Jezični prevoditelji ‐1 Sistemska programska podrška Operacijski sustav ‐1 Sistemska programska podrška Uslužni programi ‐1 Tehnička podrška Centralna jedinica 2 Tehnička podrška Izlazna jedinica 2 Tehnička podrška Memorija 2 Tehnička podrška Ulazna jedinica 4 Tehnička podrška Uređaj za komunikaciju 4 Temeljna funkcija računala Obrada podataka 4 Temeljna funkcija računala Prikazivanje podataka 3 Temeljna funkcija računala Unos podataka 3 Ulazna jedinica Miš ‐1 Ulazna jedinica Tipkovnica ‐1 Ulazna jedinica Unos podataka 4 Upravljačka jedinica Instrukcija 2 Uređaj za komunikaciju Modem 4 Uređaj za komunikaciju Mrežna kartica 3 Uređaj za komunikaciju Prijenos podataka 3 Znamenke 0 1 ‐1 Znamenke 0 1 2 3 4 5 6 7 ‐1 Znamenke 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ‐1 Znamenke 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ‐1

74

6.4 Prilog D – koncepti_poslije

koncepti_poslije

Xk 2 0 8 0 10 0 16 0

0 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1.44MB 0.125 Aplikacijska programska podrška 0.375 Aritmetička operacija 0 Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 Asembler 0 Basic 0 Baza 0 Binarni brojevni sustav 0 Brojevni sustav 0.25 C 0.25 Centralna jedinica 0.5 Centralna procesorska jedinica 0.5 Dekadski brojevni sustav 0 Disjunkcija 0.083 Disketa 0.25 DOS 0 Fortran 0.125 Heksadekadski brojevni sustav 0 I sklop 0 ILI sklop 0.5 Informacija 0.125 Instrukcija 0.4375 Interpretator 0 Izlazna jedinica 0.2917 Jezični prevoditelji 0 Kapacitet 0.125 Kompaktni disk 0.25 Kompilator 0 Konjukcija 0 Logička operacija 0.25 Logički sklop 0.0416 Masovna memorija 0.5 Memorija 0.583 Miš 0 Model računalnog sustava 0.083 Modem 0.5 Monitor 0 Mrežna kartica 0.375 NE sklop 0 Negacija 0.0625 NI sklop 0 NILI sklop 0 Obrada podataka 0.5 Oduzimanje 0 Oktalni brojevni sustav 0 Operacija 0.375

)( kv XX

75

Operacijski sustav 0 Paralelni prijenos podataka 0 Pascal 0.125 Podatak 0.25 Pohrana podataka 0.25 Prijenos podataka 0.375 Prikazivanje podataka 0.875 Programska podrška 0.6875 Programski jezik 0 Programski jezik niske razine 0 Programski jezik visoke razine 0 Računalni sustav 0.33 Računalo 0.5 Radna memorija 0.25 RAM 0.25 ROM 0.25 Serijski prijenos podataka 0 Sistemska programska podrška 0.25 Štampač 0 Tehnička podrška 0.6 Temeljna funkcija računala 0.7917 Tipkovnica 0 Tvrdi disk 0.25 Ulazna jedinica 0.4167 Unix 0 Unos podataka 0.875 Upravljačka jedinica 0.5 Upravljanje podataka 0 Uređaj za komunikaciju 0.916 Uslužni progranmi 0 Windows 0 Zbrajanje 0 Značenje 0 Znamenke 0

6.5 Prilog E – Mreza 1

Mreza 1

77

6.6 Prilog F – Mreza 2

Mreza 2

78

6.7 Prilog G – Mreza 3

Mreza 3

6.8 Prilog T1 – Testiranje 1 Koncept Stvarno znanje učenika Mreza 1 Mreza 2 Mreza 3

2 0 0.337 0.183 0.5

8 0 0.337 0.183 0.5

10 0 0.337 0.183 0.5

16 0 0.337 0.183 0.5

0 1 0 0.337 0.183 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.337 0.183 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.337 0.183 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0.337 0.183 0.5

1.44MB 0.125 0.393 0.199 0.5

Aplikacijska programska podrška 0.375 0.387 0.232 0.5

Aritmetička operacija 0 0.366 0.132 0.213

Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 0.326 0.122 0.153

Asembler 0 0.244 0.208 0.5

Basic 0 0.326 0.189 0.5

Baza 0 0.319 0.114 0.179

Binarni brojevni sustav 0 0.3 0.12 0.131

Brojevni sustav 0.25 0.25 0.25 0.25

C 0.25 0.326 0.189 0.5

Centralna jedinica 0.5 0.211 0.114 0.144

Centralna procesorska jedinica 0.5 0.294 0.123 0.152

Dekadski brojevni sustav 0 0.3 0.12 0.15

Disjunkcija 0.083 Dokaz: laz Dokaz:laz Dokaz:laz

Disketa 0.25 0.358 0.123 0.154

DOS 0 0.428 0.192 0.5

Fortran 0.125 0.326 0.189 0.5

Heksadekadski brojevni sustav 0 0.3 0.12 0.131

I sklop 0 0.1 0.1 0.1

ILI sklop 0.5 0.074 0.076 0.1

Informacija 0.125 0.408 0.15 0.293

Instrukcija 0.437 0.356 0.128 0.177

Interpretator 0 0.428 0.192 0.5

Izlazna jedinica 0.291 0.224 0.109 0.125

Jezični prevoditelji 0 0.41 0.115 0.128

Kapacitet 0.125 0.386 0.143 0.5

Kompaktni disk 0.25 0.358 0.195 0.5

Kompilator 0 0.428 0.192 0.5

Konjukcija 0 0.179 0.153 0.5

Logička operacija 0.25 0.19 0.073 0.166

Logički sklop 0.041 Dokaz: laz Dokaz:laz Dokaz:laz

Masovna memorija 0.5 0.323 0.119 0.156

Memorija 0.583 0.385 0.114 0.125

Miš 0 0.279 0.187 0.5

Model računalnog sustava 0.083 Dokaz: laz Dokaz:laz Dokaz:laz

Modem 0.5 0.408 0.14 0.2

Monitor 0 0.279 0.187 0.5

Mrežna kartica 0.375 0.408 0.191 0.5

NE sklop 0 0.082 0.084 0.1

Negacija 0.062 Dokaz: laz Dokaz:laz Dokaz:laz

NI sklop 0 0.082 0.084 0.1

NILI sklop 0 0.061 0.064 0.1

Obrada podataka 0.5 0.387 0.128 0.158

80

Oduzimanje 0 0.393 0.205 0.5

Oktalni brojevni sustav 0 0.3 0.12 0.131

Operacija 0.375 0.376 0.122 0.162

Operacijski sustav 0 0.41 0.115 0.128

Paralelni prijenos podataka 0 0.426 0.198 0.5

Pascal 0.125 0.326 0.189 0.5

Podatak 0.25 0.385 0.144 0.242

Pohrana podataka 0.25 0.394 0.186 0.5

Prijenos podataka 0.375 0.408 0.122 0.143

Prikazivanje podataka 0.875 0.317 0.189 0.5

Programska podrška 0.687 0.359 0.165 0.215

Programski jezik 0 0.1 0.1 0.1

Programski jezik niske razine 0 0.18 0.135 0.18

Programski jezik visoke razine 0 0.282 0.111 0.129

Računalni sustav 0.33 0.324 0.329 0.33

Računalo 0.5 0.259 0.122 0.15

Radna memorija 0.25 0.34 0.131 0.198

RAM 0.25 0.372 0.204 0.5

ROM 0.25 0.372 0.204 0.5

Serijski prijenos podataka 0 0.417 0.194 0.5

Sistemska programska podrška 0.25 0.387 0.12 0.143

Štampač 0 0.279 0.187 0.5

Tehnička podrška 0.6 0.356 0.116 0.126

Temeljna funkcija računala 0.791 0.359 0.141 0.166

Tipkovnica 0 0.279 0.187 0.5

Tvrdi disk 0.25 0.358 0.195 0.5

Ulazna jedinica 0.416 0.224 0.109 0.125

Unix 0 0.428 0.192 0.5

Unos podataka 0.875 0.317 0.189 0.5

Upravljačka jedinica 0.5 0.33 0.143 0.222

Upravljanje podataka 0 0.41 0.202 0.5

Uređaj za komunikaciju 0.916 0.385 0.114 0.125

Uslužni progranmi 0 0.41 0.196 0.5

Windows 0 0.428 0.192 0.5

Zbrajanje 0 0.393 0.205 0.5

Značenje 0 0.426 0.152 0.5

Znamenke 0 0.319 0.114 0.179

81

6.9 Prilog T2 – Testiranje 2 Koncept Stvarno znanje učenika Mreza 1 Mreža 2 Mreža 3

2 0 0.337 0.183 0.5

8 0 0.337 0.183 0.5

10 0 0.337 0.183 0.5

16 0 0.337 0.183 0.5

0 1 0 0.337 0.183 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.337 0.183 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.337 0.183 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0.337 0.183 0.5

1.44MB 0.125 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz




Asembler 0 0.216 0.206 0.5

Basic 0 0.102 0.101 0.5

Baza 0 0.319 0.114 0.179


Brojevni sustav 0.25 0.25 0.25 0.25

C 0.25 0.102 0.101 0.5

Centralna jedinica 0.5 0.043 0.11 0.124



Disjunkcija 0.083 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Disketa 0.25 0.016 0.049 0.143

DOS 0 0.277 0.191 0.5

Fortran 0.125 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz


I sklop 0 0.1 0.1 0.1

ILI sklop 0.5 0.075 0.076 0.1

Informacija 0.125 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Instrukcija 0.437 0.085 0.111 0.045


Izlazna jedinica 0.2917 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz


Kapacitet 0.125 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Kompaktni disk 0.25 0.119 0.176 0.5

Kompilator 0 0.244 0.186 0.5

Konjukcija 0 0.163 0.153 0.5

Logička operacija 0.25 0.119 0.073 0.153

Logički sklop 0.041 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz


Memorija 0.583 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Miš 0 0.185 0.185 0.5

Model računalnog sustava 0.083 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Modem 0.5 0.192 0.139 0.192

Monitor 0 0.1 0.1 0.5

Mrežna kartica 0.375 0.192 0.189 0.5

NE sklop 0 0.083 0.084 0.1

Negacija 0.062 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

NI sklop 0 0.083 0.084 0.1

NILI sklop 0 0.062 0.064 0.1

Obrada podataka 0.5 0.144 0.082 0.157

Oduzimanje 0 0.277 0.205 0.5


Operacija 0.375 0.16 0.119 0.115

82



Pascal 0.125 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Podatak 0.25 0.054 0.093 0.034

Pohrana podataka 0.25 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz


Prikazivanje podataka 0.875 0.136 0.145 0.5






Računalo 0.5 0.082 0.121 0.133

Radna memorija 0.25 0.128 0.115 0.146

RAM 0.25 0.203 0.192 0.5

ROM 0.25 0.203 0.192 0.5



Štampač 0 0.1 0.1 0.5


Temeljna funkcija računala 0.791 0.103 0.131 0.164

Tipkovnica 0 0.185 0.185 0.5

Tvrdi disk 0.25 0.119 0.176 0.5

Ulazna jedinica 0.416 0.106 0.107 0.115

Unix 0 0.277 0.191 0.5

Unos podataka 0.875 0.175 0.184 0.5



Uređaj za komunikaciju 0.916 0.115 0.111 0.115


Windows 0 0.277 0.191 0.5

Zbrajanje 0 0.277 0.205 0.5

Značenje 0 0.1 0.1 0.5

Znamenke 0 0.319 0.114 0.179

83


2 0 0.773 0.175 0.5

8 0 0.773 0.175 0.5

10 0 0.773 0.175 0.5

16 0 0.773 0.175 0.5

0 1 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0.773 0.175 0.5





Asembler 0 0.207 0.206 0.5

Basic 0 0.1 0.1 0.5

Baza 0 0.81 0.11 0.155


Brojevni sustav 0.25 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

C 0.25 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Centralna jedinica 0.5 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz




Disketa 0.25 0.014 0.048 0.135

DOS 0 0.523 0.192 0.5



I sklop 0 0.1 0.1 0.1

ILI sklop 0.5 0.078 0.078 0.1


Instrukcija 0.437 0.025 0.08 0.61





Kompaktni disk 0.25 0.115 0.17 0.5

Kompilator 0 0.483 0.187 0.5

Konjukcija 0 0.137 0.137 0.5

Logička operacija 0.25 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz




Miš 0 0.4405265 0.26426307 0.5


Modem 0.5 0.9 0.45 0.9

Monitor 0 0.1 0.1 0.5

Mrežna kartica 0.375 0.9 0.9 0.5

NE sklop 0 0.085 0.085 0.1


NI sklop 0 0.085 0.085 0.1

NILI sklop 0 0.065 0.065 0.1

Obrada podataka 0.5 0.846 0.207 0.45

Oduzimanje 0 0.235 0.203 0.5


Operacija 0.375 0.097 0.109 0.261

84




Podatak 0.25 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz



Prikazivanje podataka 0.875 Dokaz:Istina Dokaz:Istina Dokaz:Istina






Računalo 0.5 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Radna memorija 0.25 0.1 0.1 0.1

RAM 0.25 0.18 0.18 0.5

ROM 0.25 0.18 0.18 0.5



Štampač 0 0.1 0.1 0.5


Temeljna funkcija računala 0.791 Dokaz:Istina Dokaz:Istina Dokaz:Istina

Tipkovnica 0 0.44 0.264 0.5

Tvrdi disk 0.25 0.115 0.17 0.5

Ulazna jedinica 0.416 0.425 0.205 0.132

Unix 0 0.523 0.192 0.5

Unos podataka 0.875 Dokaz:Istina Dokaz:Istina Dokaz:Istina



Uređaj za komunikaciju 0.916 Dokaz:Istina Dokaz:Istina Dokaz:Istina


Windows 0 0.523 0.192 0.5

Zbrajanje 0 0.235 0.203 0.5

Značenje 0 0.1 0.1 0.5

Znamenke 0 0.81 0.11 0.155

85


2 0 0.773 0.175 0.5

8 0 0.773 0.175 0.5

10 0 0.773 0.175 0.5

16 0 0.773 0.175 0.5

0 1 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0.773 0.175 0.5





Asembler 0 0.216 0.206 0.5

Basic 0 0.1 0.1 0.5

Baza 0 0.81 0.11 0.155








Disketa 0.25 0.014 0.048 0.135

DOS 0 0.26 0.191 0.5



I sklop 0 0.1 0.1 0.1

ILI sklop 0.5 0.078 0.058 0.1


Instrukcija 0.437 0.025 0.09 0.61





Kompaktni disk 0.25 0.115 0.17 0.5

Kompilator 0 0.226 0.185 0.5

Konjukcija 0 0.137 0.351 0.5





Miš 0 0.1 0.1 0.5


Modem 0.5 0.9 0.45 0.9

Monitor 0 0.1 0.1 0.5

Mrežna kartica 0.375 0.9 0.9 0.5

NE sklop 0 0.085 0.071 0.1


NI sklop 0 0.085 0.071 0.1

NILI sklop 0 0.065 0.04 0.1

Obrada podataka 0.5 0.846 0.207 0.45

Oduzimanje 0 0.235 0.217 0.5


Operacija 0.375 0.097 0.172 0.261

86












Računalni sustav 0.33 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz



RAM 0.25 0.18 0.18 0.5

ROM 0.25 0.18 0.18 0.5



Štampač 0 0.1 0.1 0.5



Tipkovnica 0 0.1 0.1 0.5

Tvrdi disk 0.25 0.115 0.17 0.5

Ulazna jedinica 0.416 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Unix 0 0.26 0.191 0.5






Windows 0 0.26 0.191 0.5

Zbrajanje 0 0.235 0.217 0.5

Značenje 0 0.1 0.1 0.5

Znamenke 0 0.81 0.11 0.155

87


2 0 0.773 0.175 0.5

8 0 0.773 0.175 0.5

10 0 0.773 0.175 0.5

16 0 0.773 0.175 0.5

0 1 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.773 0.175 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0.773 0.175 0.5


Aplikacijska programska podrška 0.375 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz


Aritmetičko‐logička jedinica 0.375 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Asembler 0 0.217 0.206 0.5

Basic 0 0.1 0.1 0.5

Baza 0 0.81 0.11 0.155








Disketa 0.25 0.014 0.048 0.135

DOS 0 0.227 0.19 0.5



I sklop 0 0.1 0.1 0.1

ILI sklop 0.5 0.078 0.058 0.1


Instrukcija 0.437 0.002 0.063 0.497992





Kompaktni disk 0.25 0.115 0.17 0.5

Kompilator 0 0.195 0.184 0.5

Konjukcija 0 0.137 0.351 0.5





Miš 0 0.1 0.1 0.5


Modem 0.5 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Monitor 0 0.1 0.1 0.5

Mrežna kartica 0.375 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

NE sklop 0 0.085 0.071 0.1


NI sklop 0 0.085 0.071 0.1

NILI sklop 0 0.065 0.04 0.1

Obrada podataka 0.5 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Oduzimanje 0 0.18 0.18 0.5


Operacija 0.375 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

88






Prijenos podataka 0.375 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz






Računalni sustav 0.33 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz



RAM 0.25 0.18 0.18 0.5

ROM 0.25 0.18 0.18 0.5



Štampač 0 0.1 0.1 0.5



Tipkovnica 0 0.1 0.1 0.5

Tvrdi disk 0.25 0.115 0.17 0.5

Ulazna jedinica 0.416 Dokaz:laz Dokaz.laz Dokaz:laz

Unix 0 0.227 0.19 0.5






Windows 0 0.227 0.19 0.5

Zbrajanje 0 0.18 0.18 0.5

Značenje 0 0.1 0.1 0.5

Znamenke 0 0.81 0.11 0.155

89

SAŽETAK

Probabilistički model učenika temeljen na Bayesovoj mreži zaključuje o stanju znanja učenika i daljnje učenje ovisi o tim zaključcima. Poučavanje se usmjerava na pojmove koji se ne smatraju naučenim. Kako bi se implementirala Bayesova mreža u modeliranje učenika,potrebno je odrediti “a priori” vjerojatnosti korjenskih čvorova kao i uvjetne vjerojatnosti svih ostalih čvorova. Pojmovi za koje se smatra da su naučeni, odnosno da nisu naučeni predstavljaju dokaze. Na temelju dokaza zaključuje se koje pojmove je potrebno ponovno učiti, a koje ne.

U radu je ispitano 15 probabilističkih modela temeljenih na Bayesovoj mreži. Svi modeli su prezentirani u programskom alatu GeNIe. U svakom modelu posebna pažnja je posvećena određivanju “a priori” vjerojatnosti, uvjetnih vjerojatnosti i postavljanju dokaza kako bi se na što bolji način ispitala uspješost predviđanja stanja znanja učenika pojedinim modelom. Na koncu su analizirani dobiveni rezultati i predstavljene smjernice na koje treba obratiti pažnju u modeliranju učenika uz pomoć Bayesovih mreža.

Ključne riječi:

probabilistički model učenika, Bayesova mreža, stanje znanja učenika, „a priori“ vjerojatnost, uvjetne vjerojatnosti, dokaz, GeNIe

90

SUMMARY

Probabilistic student model based on Bayesian network concludes about the state of students knowledge and further learning depends on these conclusions. The teaching focuses on the concepts which are not considered learned. To implement the Bayesian network into student modelling, it is necessary to determine „ prior“ probability of the root nodes as well as the conditional probabilities of all other nodes. The concepts that are believed to have been learned or that are not learned represent the evidence. Based on the evidence it is concluded which concepts need to be re‐learned, and which not.

The study has examined 15 probabilistic models based on Bayesian network. All models are presented in software tool GeNIe. In each model, special attention has been devoted to defining „prior“ probability, conditonal probability and to setting up the evidence to find the better way to test the successfulness of prediction of the state of students knowledge with each model. Finally, the obtained results are analyzed and the quidelines are presented which must be considered in the modelling of students by using Bayesian networks.

Key words:

probabilistic student model, Bayesian network, state of students knowledge, „prior“ probability, the conditional probability, evidence, GeNie

Documents

BAYESOVE MREŽE U MODELIRANJU UČENIKA