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Base y Dimensión de un Espacio · PDF filetener en el espacio o subespacio vectorial. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un espacio vectorial o también se dice

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    Base y Dimensin de un Espacio Vectorial

    2017Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas

  • Base y Dimensin de un Espacio Vectorial.

    02 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2017 Nota Tcnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas. Su difusin, reproduccin o uso total o parcial para cualquier otro propsito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

    ndice 1 Qu es un sistema generador? ................................................................................................................. 4

    2 Base de un espacio vectorial........................................................................................................................ 4

    3 Dimensin de un espacio vectorial ........................................................................................................... 7

    4 Conceptos necesarios ..................................................................................................................................... 8

    4.1 Ecuaciones paramtricas.................................................................................................................. 8

    4.2 Ecuaciones implcitas .......................................................................................................................... 8

    4.3 Obtencin de ecuaciones paramtricas y ecuaciones implcitas. ............................ 8

    5 Ejemplos resueltos ............................................................................................................................................ 9

    6 Ejercicios aplicados al Mundo laboral ................................................................................................... 13

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    03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2017 Nota Tcnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas. Su difusin, reproduccin o uso total o parcial para cualquier otro propsito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

    Objetivos

    En esta lectura ampliaremos los conocimientos adquiridos sobre Espacios Vectoriales, estudiaremos como determinar la base y dimensin de un espacio vectorial.

    Nomenclatura y terminologa

    Conjuntos de nmeros reales = por R

    Espacios vectoriales= E

    =para todo

    =perteneciente

    = Existe

    / = tal que

    = ley de composicin interna

    = ley de composicin interna

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    04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2017 Nota Tcnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas. Su difusin, reproduccin o uso total o parcial para cualquier otro propsito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

    1 Qu es un sistema generador?

    Los vectores { } son un sistema de generadores de E cuando E= , es decir, cuando todo vector e E puede escribirse como una combinacin lineal de dichos vectores.

    Y un conjunto de vectores { } es una base de E cuando es un conjunto linealmente independiente y generador.

    Ejemplo:

    Sea { ( ) ( ) ( )} un conjunto de vectores pertenecientes al espacio vectorial E, de R3 y dado un vector

    ( ), perteneciente al espacio vectorial E vamos a comprobar que el conjunto e es un sistema generador de R3 (SG R3).

    Primero ponemos el vector ( ) como combinacin lineal del conjunto de vectores e.

    ( ) ( ) ( ) ( )

    Montamos el sistema de ecuaciones igualando trmino a trmino.

    {

    El conjunto de vectores es un sistema generador.

    ( )= ( )

    2 Base de un espacio vectorial

    Definicin: Base.

    Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

    Sea un E un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de E se dice que B es una base de E si se verifican las siguientes condiciones:

    1. Todos los vectores que forman el conjunto B, son linealmente independientes. Es decir B es linealmente independiente.

    2. Cualquier vector del espacio vectorial puede escribirse como combinacin lineal de los elementos de la base B. Es decir, B es un sistema generador de E.

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    05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2017 Nota Tcnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas. Su difusin, reproduccin o uso total o parcial para cualquier otro propsito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

    Propiedades de las bases.

    1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo ms pequeo posible).

    2. Adems es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo ms grande posible).

    3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinacin lineal de ella, de manera nica para cada vector

    Ejemplo

    En el espacio R2 el conjunto de vectores B = (1,0), (0,1), es un base puesto que:

    es un sistema generador,

    los vectores son linealmente independientes.

    Nota:

    1. Todo espacio vectorial real E, finitamente engendrado posee al menos una base.

    2. Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo nmero de elementos, por el teorema de la base.1

    Ejercicio Resuelto

    Dada la base no cannica (1,0,0),(1,1,0),(0,2,-3) de R3 demostrar si es una base de R3

    Solucin

    Primero estudiamos la dependencia lineal de los vectores, una forma rpida de hacerlo es viendo que el determinante de la matriz que forman los vectores es distinto de y la otra forma es la que hemos realizado hasta ahora:

    1. Estudio de la dependencia lineal: ponemos uno de los vectores como combinacin lineal de los otros dos.

    ( ) ( ) ( )

    2. Determinamos los valores de las constantes de proporcionalidad para ello igualamos por componentes y resolvemos el sistema.

    1 Sean { } y { } dos bases de un espacio vectorial E, n=s

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    06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2017 Nota Tcnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas. Su difusin, reproduccin o uso total o parcial para cualquier otro propsito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

    Como vemos hay una incongruencia puesto que no puede tomar dos valores a la vez, esto quiere decir que no existe ningn nmero real que satisfaga las igualdades. Y por tanto los vectores son linealmente independientes.

    Es sistema generador?

    Para comprobar que es un sistema generador vamos a ver que cualquier vector (a,b,c) se puede expresar como combinacin lineal de ellos, as pues tenemos que buscar un que satisfagan:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    De tal forma que si igualamos por componentes obtenemos el siguiente sistema, que es compatible determinado

    Como conclusin podemos decir que la base

    ( ) ( ) ( )

    Es una base de R3

    Ejercicio Resuelto 2

    Estudiar si los vectores ( ), ( ), ( ), ( ) son un sistema generador de , y una base de ?

    ( ), ( ), ( ), ( )

    Vemos si es un sistema generador R3

    Para comprobar que son un sistema generador de R3 basta con comprobar que tres de los cuatro vectores son linealmente independientes, esto se ve fcilmente si lo expresamos de forma matricial y buscamos un determinante 3 x 3 no nulo

    (

    ) |

    |

    Tambin podemos estudiar la independencia lineal de los tres vectores como hemos hecho hasta ahora, poniendo uno de ellos como combinacin lineal de los otros dos, obteniendo las constantes de proporcionalidad y observando que no existe ningn nmero real (constantes de proporcionalidad) que verifique las ecuaciones obtenidas.

    Conclusin del ejercicio

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    07 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2017 Nota Tcnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas. Su difusin, reproduccin o uso total o parcial para cualquier otro propsito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

    Como conclusin a este ejercicio, podemos decir que los 4 vectores a,b,c,d son un sistema generador de R3 ya que 3 de los 4 vectores son linealmente independientes, pero los vectores a,b,c,d nunca formarn una base de R3 debido a su dependencia lineal.

    3 Dimensin de un espacio vectorial

    Sea E un espacio vectorial finitamente engendrado; se llama dimensin de un espacio E al nmero de elementos que tiene una cualquiera de sus bases.

    A la dimensin del espacio E la designamos por dim(E) o bien dim E

    Veamos un ejemplo sencillo:

    El espacio vectorial de R2 tiene como base cannica:

    B = (1,0),(0,1)

    Como podemos observar esta base contiene 2 elementos luego la dimensin de R2, dim R2

    =2

    El espacio vectorial de R3 tiene como base cannica:

    B = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

    Como podemos observar esta base contiene 3 elementos luego la dimensin de R3, dim R3

    =3

    El espacio vectorial de Rn tiene como base cannica:

    B = (1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)

    Como podemos observar esta base contiene n elementos luego la dimensin de Rn, dim Rn

    =n

    Teorema y definicin: Dimensin.

    Todas las bases de un mismo espacio o subespacio t

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