Ejemplo 2-1: Barra de seccion variablesometida a un carga concentrada

Analizar la barra de seccion variable de la figura siguiente sometida a una cargahorizontal F en un extremo. Considerar tres mallas de uno, dos y tres elementosde barras de dos nodos. Obtener la solucion en funcion de la fuerza P y de lasdimensiones de la barra.

SolucionSolucion

La variacion de la seccion viene definida por la funcion A = Aoe−x

l donde Ao

es el area de la seccion en el empotramiento y l la longitud de la barra. La barraesta sometida a una fuerza puntual F actuando en el extremo libre.

E2.1.1 Barra de seccion variable. Discretizacion en dos elementos de dos nodos.

La solucion exacta de este sencillo problema se obtiene por

σ =F

A=

F

Aoe

xl ; ε =

σ

E=

F

EAoe

xl

u(l) =∫ l

0εdx =

∫ l

0

F

EAoe

xl dx =

Fl

EAo(e − 1) = 1.71828

Fl

EAo

R1 = −F

Para la solucion por elementos finitos tenemos dos alternativas: utilizar laexpresion exacta de la variacion de la seccion transversal, o bien hacer la hipotesisde que dentro de cada elemento el area de la seccion transversal es constante.Escogeremos aquı la segunda opcion, pues simplifica el calculo de las integrales delelemento y conduce a una aproximacion razonable como veremos seguidamente.No obstante, la sencilla variacion de la seccion transversal permitirıa hacer uso delprimer procedimiento sin ninguna dificultad, lo que se deja como ejercicio para ellector.

Solucion con un elemento

Al ser la seccion transversal constante podemos hacer uso de la ec.(2.43) de losapuntes del curso para el calculo directo de la matriz de rigidez del elemento. Ası,

K(1) =EAo

le−1/2

[1 −1

−1 1

]=

EAo

l0.60653

[1 −1

−1 1

]

Por otra parte, al no haber cargas en el interior del elemento la ecuacion deequilibrio del elemento se escribe, a partir de (2.44), como

EAo

l0.60653

[ 1 −1−1 1

] {u1u2

}=

{R1F

}; u1 = 0

y resolviendo se obtiene

u2 =1

0.60653Fl

EAo= 1.6487

Fl

EAo; R1 = −F

El porcentaje de error con respecto a la solucion exacta es del 4.21%, lo cualno es un error apreciable teniendo en cuenta la simplicidad de la malla.

Solucion con dos elementos

Las ecuaciones de equilibrio para cada elemento (Figura E2.1.1) se obtienensimilarmente a como se hizo en el ejemplo del Apartado 2.4. de los apuntes delcurso

Elemento 1

1.5576(EAo

l

) [1 −1

−1 1

] {u1u2

}=

X

(1)1

X(1)2

Elemento 2

0.9447(EAo

l

) [ 1 −1−1 1

] {u2u3

}=

X

(2)1

X(2)2

Procediendo al ensamblaje en la forma general, se obtiene

EAo

l

[ 1.5576 −1.5576 0−1.5576 2.5023 −0.9447

0 −0.9447 0.9447

] {u1

u2

u3

}=

{R1

0F

}u1 = 0

que tras resolver el sistema proporciona

u3 = 1.7005 FlEAo

(Error =1.04% )u2 = 0.377541 u3R1 = −F

Malla de tres elementos

El proceso es identico al de la malla de dos elementos. Las ecuaciones deequilibrio para cada elemento (Figura E2.1.1) se escriben como

Elemento 1

2.5394EAo

l

[1 −1

−1 1

] {u1u2

}=

X

(1)1

X(1)2

Elemento 2

1.8196EAo

l

[ 1 −1−1 1

] {u2u3

}=

X

(2)1

X(2)2

Elemento 3

1.3028EAo

l

[ 1 −1−1 1

] {u3u4

}=

X

(3)1

X(3)2

Sustituyendo ordenadamente los terminos de las matrices anteriores en laecuacion de equilibrio global (2.44) de los apuntes del curso, se obtiene

EAo

l

2.5394 −2.5394 0 0−2.5394 4.3590 −1.8196 0

0 −1.8196 3.1234 −1.30380 0 −1.3038 1.3038

u1

u2

u3

u4

=

R1

00F

u1 = 0

y resolviendo

u4 = 1.71036 FlEA0

(Error = 0.459%)u3 = 0.55156 u4u2 = 0.230241 u4R1 = −F

Una vez obtenidos los desplazamientos pueden calcularse las deformaciones ytensiones en cualquier punto de la barra. Ası, en el punto central de la malla detres elementos

uA = N(2)1

(x(2) =

l(2)

2

)u

(2)1 + N

(2)2

(x(2) =

l(2)

2

)u

(2)2 =

=120.24024u4 +

120.55156u4 = 0.3909u4

(Valor exacto = 0.3754 u4. Error : 3.54%).

εA =(dN

(2)1

dx

)x(2)= l(2)

2

u(2)1 +

(dN(2)2

dx

)x(2)= l(2)

2

u(2)2 =

=(−3

l0.2302 +

3l

0.5516)

u4 = 0.9642u4

l

σA = EεA = 0.9642E

lu4 (Valor exacto: 0.9595

Eu4

l. Error: 0.49%)

En la Figura E2.1.2 se muestra la convergencia de la solucion del desplazamientoen el extremo libre con el numero de elementos. Vemos que la sencilla aproximacionde seccion constante en cada elemento conduce a errores menores de 1% para mallasde mas de dos elementos.

E2.1.2 Barra de seccion variable. Convergencia del desplazamiento en el extremocon 3 mallas de 1, 2 y 3 elementos de dos nodos.