BARISAN DAN DERET xi-enan.docx · Web viewApabila banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah yang dilambangkan dengan Ut. Besarnya suku tengah

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11MODUL MATEMATIKAUNTUK KELAS XI

SEMESTER 3 DAN 4

BARISAN DAN DERET

Standar Kompetensi : Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri

Tujuan Pembelajaran :1. Siswa dapat mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan2. Siswa dapat menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika3. Siswa dapat menerapkan konsep barisan dan deret geometri

A. BARISAN BILANGANBarisan bilangan adalah rangkaian bilangan yang disusun menurut aturan tertentu.Contoh:a. 1, 3, 5, 7, . . .b. 1, 5, 9, 13, . . . c. 2, 6, 12, 20, . . .d. 4, 9, 16, 25, . . .e. 1, -1, 1, -1, . . .Tiap-tiap bilangan pada barisan bilangan tersebut disebut suku-suku barisan.

Bentuk Umum Barisan: U1, U2, U3, U4, ... , Un.

Contoh: pada contoh a diatas,Suku ke-1 atau U1 = 1Suku ke-2 atau U2 = 3Suku ke-3 atau U3 = 5Suku ke-4 atau U4 = 7dst . . .

Jika rumus (pola) suku ke-n suatu barisan bilangan telah ditentukan maka barisan bilangannya dapat dibentuk, sebaliknya jika ada barisan bilangan maka rumus (pola) suku ke-n nya dapat ditentukan.Contoh:Suku ke-n barisan bilangan dinyatakan Un = 2n + 1Nyatakan 4 suku yang pertama dari barisan tersebut.Penyelesaian: Un = 2n + 1U1 = 21

+ 1 = 3U2 = 22 + 1 = 5U3 = 23 + 1 = 9U4 = 24 + 1 = 17, dst.Jadi 4 suku yang pertama dari barisan yang diminta adalah: 3, 5, 9, 17, ... Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

1

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11POLA BILANGANPerhatikan barisan bilangan berikut:a. 2, 4, 6, 8, . . .

Barisan bilangan diatas memiliki pola kalikan dua atas bilangan nyata terdefinisi, (terdefinisi maksudnya bilangan nyata mulai dari suku pertama yaitu 1 dan biasanya dinyatakan dengan n)untuk n = 1 diperoleh 2 x 1

n = 2 diperoleh 2 x 2n = 3 diperoleh 2 x 3dst . . .

sehingga baris bilangan diatas mempunyai rumus Un = 2n b. 2, 5, 10, 17, . . .

Baris bilangan diatas mempunyai pola tambahkan satu dari pangkat dua bilangan nyata terdefinisi yang sesuai.

Maksudnya:Untuk n = 1 diperoleh 12 + 1

n = 2 diperoleh 22 + 1n = 3 diperoleh 32 + 1dst . . .

Jadi rumus yang diperoleh adalah Un = n2 + 1c. Bagaimana dengan barisan bilangan 4, 6, 8, 10, . . . ?

Penyelesaian: U1 = 4 = (2 x 1) + 2U2 = 6 = (2 x 2) + 2U3 = 8 = (2 x 3) + 2U4 = 10 = (2 x 4) + 2U ..= (2 x …) + 2Jadi Un = (2 x n) + 2 = 2n + 2

LATIHAN 11. Carilah empat suku yang pertama dari baris bilangan yang dibentuk oleh rumus:

a. Un = 2n + 1b. Un = (n + 1) (n + 2)c. Un = n2 + 1

d. Un = n (n + 1)e. Un = n2 – 1 f. Un = 2 / (n + 1)

2. Tulislah 2 suku lagi dalam tiap barisan berikut:a. 2, 4, 6, 8, . . .b. 1, 4, 9, 27, . . .c. 1, 1, 2, 3, . . .

d. 2, 4, 8 ,16, . . .e. 0, 1, 4, 9, . . .f. 2, 6, 12, 20, . . .

3. Tentukan rumus sederhana suku ke n dari baris bilangan:a. 2, 4, 6, 8, . . .b. 1, 4, 9, 27, . . .c. 1, 1, 2, 3, . . .

d. 2, 4, 8 ,16, . . .e. 0, 1, 4, 9, . . .f. 2, 6, 12, 20, . . .

4. a. Berilah empat suku pertama dari barisan yang ditentukan oleh rumus: Un = 3n + 1b. Suku manakah dari baris bilangan itu adalah 196?

5. a. Berilah empat suku pertama dari barisan yang ditentukan oleh rumus: Un = 2n2 – 1b. Un = 161 maka n = ?

6. a. Berilah empat suku pertama dari barisan yang ditentukan oleh rumus: Un = n2 + n

Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

2

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11b. Suku manakah dari baris bilangan itu adalah 132

B. BARISAN BILANGAN ARITMATIKA DAN DERET ARITMATIKABARISAN BILANGAN ARITMATIKA

Barisan Bilangan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan dimana setiap dua suku yang berurutan mempunyai beda(selisih) yang sama.Bentuk Umum Barisan: U1, U2, U3, U4, . . . Un.

Misalkan suku pertama U1 = a, dan selisih antara dua suku yang berturutan (beda) = b maka menjadi sebagai berikut:

U1 = aU2 = a + bU3 = a + b + b = a + 2bU4 = a + b + b + b = a + 3b

.

.

.

Beda (b) = U2 – U1 = U3 – U2 = . . . = Un - Un – 1

Contoh:1. Jika suku pertama 1 dan bedanya 2 tentukan 4 suku pertama dari baris bilangan tersebut.

Penyelesaian:1, (1 + 2), (1 + 2 + 2), (1 + 2 + 2 + 2), . . .1, 3, 5, 7, . . .

2. Diketahui baris bilangan aritmatika: –3, 2, 7, 12, . . .Tentukan: a. Suku pertama

b. Beda dari barisan bilangan tersebutc. Suku ke-50 dari barisan bilangan tersebut

Penyelesaian:a. Suku pertama, a = –3b. Beda, b = 12 – 7 = 7 – 2 = 2 – (–3) = 5c. Un = a + (n – 1) b

= –3 + (50 – 1) 5= –3 + 5. 50 – 5= 250 – 8= 242

3. Suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-3 adalah 3 dan suku ke-8 adalah 13.Tentukan:a. suku pertama dan bedab. suku ke-10Penyelesaian:U8 = a + 7b = 13 a + 2b = 3U3 = a + 2b = 3 – a + 4 = 3 5b = 10 a = –1

b = 2 Un = a + (n – 1). bU10 = –1 + (10 – 1). 2

= –1 + 18= 17


Un = a + ( n – 1) . b

3

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Sn = ½ n ( a + Un )

Sn= ½ n 2a + (n-1) b

LATIHAN 21. Carilah beda setiap barisan aritmatika berikut:

a. 2, 4, 6, 8, . . . d. 1, 6, 11, 16, . . . b. 3, 7, 11, 15, . . . e. 3, 1, -1, -3, . . .c. ¾, ¼, - ¼, - ¾, . . . f. 10, 9, 8, 7, . . .

2. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan bilangan berikut:a. 2, 4, 6, 8, . . . ,U100 d. 2, -1, -4, -7, . . . ,U50

b. 1, 4, 7, 10, . . . ,U60 e. -5, -3, -1, 1, . . . ,U90 c. 1, 6, 11, 16, . . . ,U50 f. 1, 3, 5, 7, . . . ,U100

3. Carilah rumus suku ke n dari setiap barisan bilangan Aritmatika berikut:a. 1, 4, 6, 8, . . . d. 2, -1, -4, -7, . . .b. 1, 4, 7, 10, . . . e. -5, -3, -1, 1, . . .c. 1, 6, 11, 16, . . . f. 1, 3, 5, 7, . . .

4. Suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21. Tentukan suku pertama dan bedanya.5. Suku ke-8 adalah –18 dan suku ke-3 adalah 12. Tentukan suku pertama dan bedanya.6. Suku ke-4 adalah –9 dan suku ke-15 adalah –31. Tentukan suku pertama dan bedanya.

DERET ARITMATIKADeret Aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika.Bentuk Umum Sn = U1 + U2 + U3 + . . . + UnMenentukan rumus untuk Sn.Sn = U1 + U2 + U3 + . . . + Un atauSn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + . . . + a + (n –1) b Jika:Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + . . . + a + (n –1) bSn = a + (n –1) b + a + (n – 2) b + . . . + (a + b) + a penulisan Sn terbalik ( + )2 Sn= 2a + (n – 1) b + 2a + (n – 1) b + 2a + (n – 1) b + . . . + 2a + (n – 1) batau :2 Sn= n 2a + (n-1) b (n kali)sehingga

atau juga: karena Un = a + (n – 1) b Contoh:1. Hitunglah deret aritmetika berikut: 15 + 13 + 11 + . . . sampai 15 suku.

Penyelesaian:a = 15, b = 13 – 15 = –2Sn = ½ n {2a + (n – 1). b}

= ½. 15 {2.15 + (15 – 1). –2}= ½. 15 (30 – 28)= 15

2. Suatu deret aritmetika diketahui U2 = 9 dan U5 = 18.Tentukan jumlah sepuluh suku yang pertama deret tersebut.Penyelesaian:U5 = a + 4b = 18 a + b = 9


4

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11U2 = a + b = 9 – a + 3 = 93b = 9 a = 6b = 3

Sn = ½ n {2a + (n – 1). b}S10 = ½. 10 {2 . 6 + (10 – 1). 3}= 5. (12 + 27)= 195

MENCARI SUKU TENGAH BARISAN ARITMATIKA GANJILApabila banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah yang dilambangkan dengan Ut. Besarnya suku tengah sama dengan rata-rata hitung dari suku pertama dan suku terakhir yang rumusnya sebagai berikut:

Ut = suku tengaha = suku pertamak = suku terakhirContoh:Dari sebuah barisan aritmatika dengan beda 2, suku ke-7 adalah 16 dan suku terakhir 44. Tentukan banyaknya suku dan suku tengahnya.Penyelesaian:b = 2 dan U7 = 16U7 = 16a + 6b = 16a + 6.2 = 16a = 4Ut = ½ (a + k )

= ½ (4 + 44)= 24

LATIHAN 31. Carilah jumlah setiap deret berikut ini:

a. 2 + 4 + 6 + 8 . . . sampai 20 sk d. 1 + 4 + 7 + 10 . . . sampai 30 sk b. 1 + 6 + 11 + 16 . . . sampai 25 sk e. 2 – 1 – 4 – 7 . . . sampai 30 skc. – 5 – 3 – 1 + 1 . . . sampai 30 sk f. 1 + 3 + 5 + 7 . . . sampai 30 sk

2. Carilah jumlah deret berikut ini:a. 1 + 2 + 3 + . . . + 40 c. 2 + 4 + 6 + . . . + 100b. 1 + 3 + 5 + . . . + 21 d. 3 + 8 + 13 + . . . + 98

3. Hitunglah jumlah semua bilangan asli terdiri dari 2 angka yang lebih kecil dari 100.4. Tentukan n jika:

a. 1 + 2 + 3 + . . . + n = 55b. 1 + 2 + 3 + . . . + n = 120

5. Berapa banyaknya suku dari deret 5 + 7 + 9 + . . . yang jumlahnya 192?6. Sebuah deret Aritmatika dirumuskan dengan Sn = ½ n (11 – n).

a. Hitung S1 , S2 , S3 , S4

b. Tentukan 4 suku pertama barisan tersebut.7. Dua orang bekerja dengan gaji permulaan Rp 500.000,00 sebulan. Jika seorang mendapat

kenaikan gaji Rp 10.000,00/bulan dan yang lain Rp 15.000,00/bulan, berapakan jumlah gaji mereka untuk 10 bulan pertama?


Ut = ½ (a + k ) dan t = ½ (n + 1)

5

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11C. BARISAN BILANGAN GEOMETRI DAN DERET GEOMETRI

BARISAN BILANGAN GEOMETRIBarisan geometri adalah barisan bilangan dimana setiap dua suku yang berurutan mempunyai rasio(pembanding) yang sama. Bentuk Umum Barisan : U1 , U2 , U3, U4, . . . Un.

Misalkan suku pertama U1 = a, dan rasio = r, maka:U1 = aU2 = a . rU3 = a . r . r = a. r2 U4 = a . r . r . r = a . r3

.

.

.

U2 U3 U4 Un

Rasio (r) = ----- = ----- = ----- = ----- = . . . = ---------- U1 U2 U3 Un – 1

Contoh:1. Diketahui baris bilangan geometri 1, 2, 4, 8, . . .

Tentukan: a. suku pertamab. rasioc. suku ke-6 = U6 Penyelesaian:a. Suku pertama, a = 1

b. Rasio = r =

84= 4

2=2

1=2

c. U6 = a . r n-1 = 1 . 25 = 1 . 32 = 322. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 36 dan U5 = 81.

Tentukan: a. suku pertama dan rasiob. suku ke-6Penyelesaian:U5 = a . r4 = 81U3 = a . r2 = 36 U5

U3=81

36a . r4

a . r2 =8136

r2 =

8136

r2 =

94


Un = a . r n – 1

6

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

r = ±3

2

a. Untuk r =

32 Untuk r =

− 32

a . r2 = 36 a . r 2 = 36

a . (

32 )2 = 36 a . (

−32 )2 = 36

a .

94 = 36 a .

94 = 36

a = 16 a = 16

b. U6 = a . r5 U6 = a . r5

= 16 . (

32 )5 = 16 . (

− 32 )5

= 24 . 35

25=

24 . (−3 )4 (−3 )(−2)4 (−2)

=

35

2 =

(−3)4 (−3 )−2

=

2432 =

2432

MENCARI SUKU TENGAH BARISAN GEOMETRI GANJILApabila banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah yang dilambangkan dengan Ut. Besarnya suku tengah sama dengan rata-rata hitung dari suku pertama dan suku terakhir yang rumusnya sebagai berikut:

Ut = suku tengaha = suku pertamak = suku terakhirContoh:Tentukan suku tengah dari barisan geometri dengan suku pertama 5 dan rasio 2, apabila banyaknya suku adalah 9.Penyelesaian:a = 5 dan r = 2U9 = ar8 = 5.28 = 5. 256

Ut = √5 . 5 . 256= 5 . 16= 80

LATIHAN 41. Carilah rasio setiap barisan bilangan geometri berikut:

a. 2, 4, 8, . . . d. 3, 6, 12, 24, . . . Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

Ut = √a . k dan t = ½ (n + 1)

7

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11b. 1, -1, 1, -1, . . . e. 12, 6, 3, 1½ , . . . c. ¼, 1/8, 1/16, . . . f. v2, v6, 3v2, . . .

2. Tulislah empat suku pertama dari baris bilangan yang dinyatakan dalam rumus berikut:a. Un = 3 n-1 b. Un = 3 (-2) n-1

3. Carilah suku yang diminta dalam setiap baris bilangan berikut:a. 1, 2, 4, . . . , U5 d. 2, 6, 18, . . . , U6

b. 1, 3, 9, . . . , U6 e. ½, 1, 2 . . . , U5c. 4, 2, 1, . . . , U8 f. 3, 1, 1/3, . . . , U8

4. Carilah rumus suku ke-n dari setiap baris bilangan geometri berikut:a. 1, 2, 4, . . . d. 1, 3, 9, . . . b. 3, 6, 12, . . . e. 4, 2, 1, . . . c. 2, -6, 18, . . . f. 9, 3, 1 . . .

5. Carilah rasio dan suku ke-5 dari barisan geometri jika diketahui:a. a = 6 dan U3 = 24b. a = 50 dan U4 = 400

DERET GEOMETRIDeret Geometri adalah jumlah n suku-suku dari barisan geometri.Jumlah n suku deret geometri ditulis SnBentuk Umum Sn = U1 + U2 + U3 + . . . + Un atau Sn = a + ar + ar2 + ar3 + . . .arn-1

Menentukan Rumus:Sn = a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1 , jika Sn dikalikan r maka susunan menjadi . . .r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 +. . .+arn (–)Sn – r . Sn = a + arn

atau (1 – r) Sn = a + arn

sehingga diperoleh Sn =

a(1−rn )1−r

Sn =

a(1−rn )1−r untuk r < 1 ; r = 0 DG turun

(i) Sn =

a(rn−1 )r−1 untuk r > 1 ; r = DG naik

Pada deret geometri berlaku Un = Sn – Sn–1

Contoh:1. Tentukan rasio dan jumlah enam suku pertama deret geometri : 1 + 3 + 9 + . . .

Penyelesaian:r = 3 (r > 1) dan a = 1

S6 =

1(36−1 )3−1

=729−12

=7282

=364


8

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-112. Hitunglah jumlah enam suku yang pertama suatu deret geometri, jika diketahui U2 = 192 dan U5 = 24.Penyelesaian:U5 = a . r4 = 24U2 = a . r = 192

r3 =

24192

r3 =

18

r =

12 ( r < 1)

U2 = a . r = 192

a .

12 = 192

a = 384

S6

=384 {1−( 12 )

6}1−1

2

=384 {1−(12 )

6}12

¿768(1−164 )

¿768 . (6364 )

¿756

LATIHAN 51. Gunakan rumus untuk mendapatkan jumlah deret geometri berikut:

a. 1 + 2 + 4 +. . . sampai 6 sk d. 2 + 6 + 18 + . . . sampai 6 skb. 1 + 3 + 9 + . . . sampai 5 sk e. ½ + 1 + 2 + . . . sampai 8 skc. 4 + 2 + 1 + . . . sampai 8 sk f. 3 + 1 + 1/3 + . . . sampai 5 sk

2. Carilah n dari deret berikut:a. 3 + 32 + 33 + . . . + 3n = 120b. 2 + 22 + 23 + . . . + 2n = 510

3. Setelah mengenai lantai, sebuah bola memantul sampai ketinggian 3 meter, kemudian sampai ketinggian 1,5 meter selanjutnya 0,75 meter dst. Berapa jarak yang ditempuh bola selama 6 pantulan yang pertama? (buatlah sketsa untuk membantu)

4. Sania menabung Rp 10.000.000,00 pada awal tahun di bank yang memberi bunga 2 % sebulan. Berapa jumlah uang Sania setelah 3 tahun?


9

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tak terhingga.Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi dua, yaitu:

a. Deret geometri tak hingga divergen, jika r > 1 dan lim Sn

n →∞ tidak ada nilainya.

b. Deret geometri tak hingga konvergen, jika r < 1 atau – 1 < r < 1 serta lim Sn

n →∞ada nilainya. Rumus jumlah deret geometri tak hingga konvergen:

S∞= a1−r ; r 0 dan -1 < r < 1

Contoh:1. Tentukan jumlah dari deret : 1 + ½ + ¼ + . . .

Penyelesaian:a = 1, r = 1/2

S∞= a1−r

=1

1−12

=22. Suku pertama deret geometri tak hingga adalah 2, jumlah deret sampai tak hingganya 4.

Tentukan rasio deret tersebut.Penyelesaian:a = 2 , S = 4

S∞=a1−r

4=21−r

4−4 r = 24r = 2

r =12

LATIHAN 61. Hitung jumlah tak berhingga deret berikut:

a. 2 + 1 + ½ + . . . d. 1 + 1/3 + 1/9 + . . .b. 4 + 1 + ¼ + . . . e. 1 +2 + 4 + . . .c. 2 + 4/3 + 8/9 + . . . f. 1 – 5 + 25 – . . .

2. Suku pertama dari deret tak hingga adalah 2 dan rasionya ¾. Tentukan Jumlah deret tak hingga.

3. Diketahui Jumlah tak hingga dari deret konvergen adalah 4. Jika rasionya 1/3, tentukan suku pertama dari deret tersebut.

4. Diketahui jumlah tak hingga dari deret konvergen adalah 7. Jika suku pertamanya 3, tentukan rasio dari deret tersebut.


10

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-115. Setelah mengenai lantai, sebuah bola memantul sampai ketinggian 3 meter, kemudian sampai ketinggian 1,5 meter selanjutnya 0,75 meter dst. Taksirlah jarak yang ditempuh bola hingga berhenti memantul.

LATIHANI. Pilihlah salah satu Penyelesaianan yang paling tepat!

1. Suku ke-3 dan ke-7 dari suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 13 dan 33. Suku ke-10 barisan tersebut adalah … .

A. 22B. 28C. 48

D. 58E. 255

2. Gaji bulan pertama seorang karyawan suatu perusahaan adalah Rp 1.500.000,00. Jika setiap empat bulan gaji karyawan perusahaan tersebut selalu mendapat kenaikan tetap Rp 100.000,00, maka jumlah gaji yang diterima karyawan tersebut selama 2 tahun adalah … .

A. Rp10.500.000,00B. Rp15.000.000,00C. Rp28.000.000,00

D. Rp42.000.000,00E. Rp63.600.000,00

3. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 = 4, suku ke-6 = 32, jika jumlah n suku pertama = 511, maka nilai n barisan tersebut adalah … .

A. 6B. 7C. 8

D. 9E. 10

4. Dalam sebuah deret hitung, suku kedua adalah 5, jumlah suku keempat dan keenam adalah 28. Suku kesembilan adalah ... .A. 28B. 26C. 21

D. 7E. 17

5. Suatu jenis bakteri satu detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, setelah beberapa detik banyaknya menjadi 320. Waktu yang diperlukan untuk membelah diri adalah ... .A. 6 detik B. 7 detik C. 8 detik

D. 9 detikE. 10 detik

6. Jumlah semua bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah ... .

A. 6800B. 7400C. 7410

D. 7800E. 9500


11

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-117. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ... .A. 60 m B. 70 mC. 80 m

D. 90 mE. 100 m

8. Pada hari pertama seorang ibu berbelanja sebesar Rp 30.000,00. Karena kebutuhan sehari-hari selalu naik, maka hari kedua ia berbelanja sebesar Rp 32.500,00 dan setiap hari anggaran belanjanya selalu mengalami kenaikan yang tetap. Setelah 10 hari uang yang dikeluarkan oleh Ibu tersebut sebesar ... .A. Rp 32.500,00B. Rp 35.000,00C. Rp 400.000,00

D. Rp 412.500,00E. Rp 4.125.000,00

9. Sebuah barisan geometri dengan U2=

14dan U5=

132 , suku yang ke-8 adalah ... .

A.( 12 )

9

B.( 12 )

8C.( 12 )

7

D.( 12 )

6

E.( 12 )

5

10. Rumus suku umum barisan ( Un ) dari barisan bilangan -1, 0, 3, 8, ... .A. n – 2nB. 2n2 – nC. n2 – n

D. n2 – 2nE. 2n2 – 3n

11. Sebuah mobil pada menit pertama mempunyai kecepatan awal 16 km/jam, kemudian pada menit kedua mobil melaju dengan kecepatan 32 km/jam, kemudian pada menit-menit berikutnya kecepatan menjadi 2 kali lipat. Kecepatan mobil pada tahap yang ke-6 adalah ... km/jam.A. 521B. 512C. 128

D. 64E. 32

12. Diketahui deret geometri tak hingga dengan suku pertama = 8 dan rasio = .Jumlah tak hingga deret tersebut adalah … .A. 8B. 12C. 24

D. 34E. 36

13. Sebuah toko pada saat Grand Opening berhasil menjual 112 botol minyak goreng ukuran 1 liter. Setiap minggu terjadi peningkatan penjualan minyak goreng sebanyak 7 botol. Banyaknya minyak goreng yang terjual selama 2 bulan adalah ... botol.A. 224B. 231

C. 1092D. 1911


12

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11E. 218414. Jika suku pertama suatu barisan geometri = 4 dan suku keempat = 32, maka besar suku

keenam adalah ... . A. 128B. 48C. 16

D. -8E. -52

15. Diketahui jumlah tak hingga deret geometri adalah 18 dengan suku pertama 6, maka rasio dari deret tersebut adalah ... .A. 2B. 1

C.

34

D.

12

E.

23

16. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan – 1, 1, 7, 25, … adalah ….Un=1−3n−1

XUn=1−3nXUn=3n−1−2XUn=2n−1−1 XUn=3n−2

17. XSuku ke-3 dan ke-9 dari suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 7 dan 31. Suku tengah barisan tersebut adalah … .A. 23B. 21C. 19

D. 15E. 11

18. Perusahaan “BATARA” pada tahun pertama memproduksi sepatu sebanyak 3.000 pasang. Jika setiap tahun produksinya naik 5% dari produksi pertama, maka setelah beroperasi selama 10 tahun perusahaan tersebut sudah memproduksi sepatu sebanyak ….A. 4.350 pasangB. 4.500 pasangC. 36.750 pasang

D. 46.900 pasangE. 41.100 pasang

19. Diketahui barisan geometri dengan suku ke – 4 = 24, suku ke – 7 = 192, dan jumlah n suku pertama = 381. Banyaknya suku barisan tersebut adalah … .A. 6B. 7C. 8

D. 9E. 10

20. Jumlah penduduk suatu kota setiap lima tahun bertambah satu setengah kali dari 5 tahun sebelumnya. Menurut perhitungan, pada tahun 2012 mencapai 1.012.500 orang. Ini berarti pada tahun 1992 jumlah penduduk kota itu baru mencapai … .A. 100.000 orangB. 200.000 orangC. 250.000 orang

D. 300.000 orangE. 450.000 orang

II. Selesaikanlah pertanyaan berikut dengan benar!1. Tuliskan rumus suku ke-n dari setiap barisan bilangan berikut ini:

a. 7, 10, 13, 16, . . .b. 1, 4, 7, 10, . . .

2. Suatu deret aritmetika diketahui U2 = 3 dan U1 + U4 = 10. Tentukan:a. suku ke-20b. jumlah sepuluh suku yang pertama


13

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-113. Tentukan jumlah suku-suku deret berikut ini:a. 12 + 7 + 2 – 3 – . . . S15 = b. 100 + 95 + 90 + 85 + . . . S20 =

4. Tentukan x, jika barisan-barisan berikut merupakan suku berurutan dari deret aritmatika:a. 2x – 1 , 5x – 3 , 4x + 3b. 2x2 + 11, x2 , 3x2 – 7x + 1

5. Tulislah rumus suku ke-n, dari barisan geometri berikut:a. 3, –6, 12, – . . .b. 128, 64, 32, . . .

6. Tentukan rasio dan suku ke-6 dari barisan geometri yang diketahui:a. U1 = 6 dan U4 = 48b. U2 = –4 dan U5 = 32

7. Tentukan nilai x, agar ketiga bilangan berikut berturut-turut membentuk deret geometri:a. (2x – 2) + 3x + (6x + 6)b. (2x + 4) + (x + 5) + (x + 1)

8. Diketahui jumlah suku-suku dari deret geometri Sn = ½ (3n – 1). Tentukan:a. suku pertama dan rasiob. suku keenam

9. Hitunglah jumlah sampai tak terhingga deret berikut ini, jika diketahui :a. U1 = 135 dan U4 = 5b. U1 = 120 dan U4 = –15

10. Pada setiap tahun seorang karyawan akan menerima sumbangan dari sebuah perusahaan dimulai tahun 2009 sebesar Rp 1.200.000,00 tetapi sumbangan yang diberikan itu setiap tahunnya berkurang 10% dari penerimaan tahun sebelumnya. Berapakah jumlah uang yang diterima karyawan seluruhnya.

GEOMETRI DIMENSI DUA

Standar Kompetensi : Menentukan kedudukan jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi dua Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sudut2. Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar 3. Menerapkan transformasi bangun datar

Tujuan Pembelajaran :1. Siswa dapat mengidentifikasi sudut2. Siswa dapat menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar 3. Siswa dapat menerapkan transformasi bangun datar

SATUAN SUDUT DAN KONVERSI SUDUTa. Ukuran Derajat ( ...˚ )

Ukuran derajat didasarkan pada satu putaran penuh yaitu sebesar 360˚. Satu derajat

dapat ditulis dengan ” 1˚ ” yang berarti ukuran sudut yang besarnya sama dengan

1360

bagian sudut lingkaran. Berdasarkan hal tersebut maka 1˚ =

1360 putaran.

1˚ = 60 menit atau 1˚ = 60΄1΄ = 60 detik atau 1΄ = 60΄΄


14

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

A B

O

Jadi 1˚ = 60΄ = 3600΄΄ b. Ukuran Radian (Rad)

Satu radian (1 rad) adalah besar sudut pusat lingkaran yang menghadap busur lingkaran dihadapannya sepanjang jari-jarinya.

Satu radian terbentuk jika sudut yang dibatasi oleh OA = OB = busur AB = rMaka 1 putaran = 360˚2π radian = 360˚2π = 360˚

1 radian =

3600

2π=3600

2×3 ,14= 57,3˚

Disamping ukuran di atas diperoleh juga:1 radian= 57˚ 17΄ 45΄΄1˚ = 0,1745 radian

c. Sudut-sudut dalam Segi Banyak Beraturana). Sudut pusat

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk dari dua buah jari-jari lingkaran seperti < AOB, < BOC, dan <COD. Besar sudut puast adalah sebagai berikut:

Sudut pusat =360 °n

b). Sudut segi beraturanBesarnya sudut segi beraturan adalah sebagai berikut:

Sudut segi beraturan =180 °−360°n

c). Sudut alas segi-n beraturanBesar sudut alas segi-n beraturan adalah sebagai berikut:

Sudut alas = 12(segi-n beraturan )

MENGHITUNG KELILING BANGUN DATARa. Persegi Panjang

Persegi panjang merupakan bangun yang simetris. K = 2(p + l)

b. PersegiPersegi memiliki sifat-sifat:a. Sisi yang berhadapan // dan semua sisinya sama panjangb. Kedua diagonalnya sama panjang dan saling berpotongan ditengah serta

membentuk sudut 90o (siku-siku)c. Keempat sudutnya sama besar dan siku-siku.


15

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

A a

D B C

A

D B

C

Persegi disebut juga persegi panjang yang istimewa karena semua sisinya sama panjang. K = 4s

c. JajargenjangJajargenjang (JG) memiliki sifat-sifat:a. Sisi yang berhadapan // dan sama panjangb. Sudut yang berhadapan sama besar.Pada jajargenjang kedua diagonalnya berpotongan disatu titik dan saling membagi dua sama panjang. K = 2(p + l)

d. Belah Ketupat

Belah Ketupat (BK) mempunyai sifat-sifat :a. Semua sisinya sama panjangb. Kedua diagonal merupakan sumbu simetric. Kedua diagonal membagi dua sama panjang dan saling tegak lurus.Belah ketupat merupakan bangun yang simetri. K = a + a + a + a = 4a (jumlah semua sisi)

e. Layang-layang

Layang-layang adalah bangun datar yang dibentuk dari dua sama kaki yang dihimpitkan alasnya.Layang-layang memiliki sifat-sifat:a. Sisinya sepasang – sepasang sama panjangb. Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.c. Salah satu diagonal membagi dua sama panjang dan siku-siku diagonal yang lain. K = 2 (AB + AD)

f. Trapesium


16

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

DC

t

A B

A O C

B

Trapesium adalah bangun datar bersegi empat yang hanya mempunyai sepasang sisi berhadapan yang // .

K = AB + BC + CD + DAg. Segitiga

Macam-macam Segi Tigaa). Segi Tiga Sama Kaki

adalah segitiga yang sua sisinya sama panjangb). Segi Tiga Sama Sisi

adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang.c). Segi Tiga Siku-siku

adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-sikud). Segi Tiga Tumpul.

adalah segitiga yang salah satu sudutnya Tumpul.e). Segi Tiga Lancip.

adalah segitiga yang semua sudutnya lancip.f). Segi Tiga Sembarang

adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang.

K = a + b + ch. Lingkaran

AC = diameter = d = 2r

AO = jari-jari = r =

12 d

K = π . d = 2 π r, π=22

7=3 ,14

MENGHITUNG LUAS BANGUN DATARa. Persegi dan Persegi Panjang

L persegi = s2

L persegi panjang = p×lb. Jajargenjang dan Trapesium

L jajargenjang = a×t


17

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

O A B

rr 2ABbusur Panjang AOB juring Luas

360 AOB

2

20 dm20 dm

L trapesium =

12× jumlah sisi sejajar×t

c. Belah Ketupat dan Layang-layang

L belah ketupat =

12

diagonal×diagonal

L layang-layang =

12

diagonal×diagonal

d. Segitiga

L segitiga =

12

alas×tinggi

e. Lingkaran

L = π . r2 =

14π d2

, π=22

7=3 ,14

HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN LUAS JURINGPada lingkaran berlaku aturan sebagai berikut:Perbandingan sudut pusat = perbandingan panjang busur = perbandingan luas juring


1. Keliling daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah….

2. Seorang petugas PLN akan mengukur jarak antara 2 tiang dengan menggunakan alat ukur yang beroda dengan jari-jari 7 cm. Jarak 2 tiang listrik setelah diukur ternyata terdapat 100x putaran roda. Jarak antara dua tiang tersebut adalah….A. 22 m D. 200 mB. 44 m E. 440 m


A. 31,4 dmB. 62,8 dmC. 82,8 dmD. 114,2 dmE. 114,8 dm

18

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

28 cm

28 cm

10 cm

8 cm

π cm2 π cm5 π cm6 π cm9 π cm

6cm

5cm3cm

C. 88 m3. Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah….

A. 434 cm2 D. 585 cm2 B. 443 cm2 E. 784 cm2

C. 558 cm2

4. Luas daerah yang diarsir dibawah ini adalah….

5. Suatu lantai berbentuk persegi panjang yang mempunyai ukuran panjang 60 m dan lebar 250 dm. Lantai tersebut akan ditutup dengan ubin yang berbentuk persegi dengan sisi 50 cm. Banyak ubin yang diperlukan untuk menutup lantai tersebut adalah ... .A. 30 D. 1.500B. 300 E. 3.000C. 600

6. Diketahui 108,680 = ... radA. 18,996 D. 1,899B. 18,965 E. 1,896C. 1,906

7. Satuan sudut 36030’45’’ jika diubah ke dalam satuan derajat adalah ... .A. 30,650 D. 36,510

B. 30,750 E. 36,750

36,150

8. Luas daerah yang diarsir gambar di samping adalah ....

A. (148−25π ) cm2

B.(148+12 1

2π )

cm2

C.(148−12 1

2π )

cm2

D. (148−25π ) cm2

E.(196−12 1

2π )

cm2

C.


19

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Jika BD = 50 cm, AE = 24 cm, dan EF = 2 x AE, maka luas daerah yang diarsir dari gambar di samping adalah ... .1200 cm21260 cm21360 cm21600 cm23600 cm2

D

C

B

AE F

6 m

8 m

6 m

8 m

9. Seorang siswa mampu mengelilingi lapangan sepak bola sebanyak 5 kali. Jika ukuran lapangan sepak bola panjangnya 100 m dan lebarnya 7500 cm, maka jarak yang telah ditempuh oleh siswa tersebut adalah ... .A. 375 km D. 3,75 kmB. 37,5 km E. 1,75 kmC. 17,5 km

10. Diketahui belah ketupat ABCD dan layang-layang BFDE

11. Luas sebuah juring lingkaran dengan sudut pusat 450 adalah

447 cm2. Panjang jari-jari

lingkaran tersebut adalah ... . (π=22

7 )A. 4 cm D. 10 cmB. 6 cm E. 16 cmC. 8 cm

12. Keliling daerah yang diarsir dibawah ini, adalah …. ( = 3,14)

A. 9,42 mB. 12,56 mC. 37,68 mD. 56,17 mE. 72,5 m

13. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah …. ( = 3,14)

A. 34,324 m2

B. 43,625 m2

C. 67, 564 m2

D. 87,223 m2

E. 90,234 m2


20

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Jika AB = BF = 7 cm, AC = 21 cm dan busur EF adalah setengah lingkaran dgdiameter 7 cm. Keliling bangun tersebut adalah ... cm.

F E D

A B C

14. Perhatikan gambar disamping.

A. 77 + 7√3 C. 53 E. 46 + 7√2

B. 77 + 7√2 D. 46 + 7√315.Perhatikan gambar berikut !

Keliling bangun di samping adalah ... . A. 4( + 4) cmB. 5( + 4) cmC. 8( + 4) cmD. 10( + 2) cmE. 10( + 4) cm

16. Keliling belah ketupat yang panjang diagonalnya 10 cm dan 24 cm adalahA. 240 cm D. 48 cmB. 120 cm E. 20 cmC. 52 cm

17. Luas segitiga sama sisi ABC yang panjang sisinya10 cm adalah …A. 50cm2 D. 25cm2

B. 50√3cm2 E. 10√3cm2

C. 25√3cm2

18. Panjang busur lingkaran dengan sudut pusat 60 ° dan jari-jari 21 cm adalah …A. 132 cm D. 22 cmB. 66 cm E. 11 cmC. 44 cm

19. Jika keliling suatu lingkaran adalah 32,4 cm, maka luasnya adalahA. 58,7cm2 D. 85,7cm2

B. 75,8 cm2 E. 87,8 cm2

C. 78,5cm2

20. Sebuah persegi panjang,panjangnya 8 cm lebih dari lebarnya. Jika kelilingnya 56 cm,maka lebarnya adalah …A. 9 cm D. 14 cmB. 10 cm E. 16 cm


21

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

E D

A B

C

390 m2 393 m2400 m2550 m2557 m2

20 m

35 m

20 m

C. 12 cm

II. Selesaikanlah pertanyaan berikut dengan benar!1. Tentukan keliling bangun pada gambar yang diarsir berikut ini jika diketahui

π=227 .

2. Perhatikan gambar berikut!

3. Jika π = 3,14 maka luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah ….

4. Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan jari-jari 20 m. Di sekeliling tepi kolam akan dibuat jalan setapak melingkar dengan lebar 2 m. Jika biaya untuk membuat jalan adalah Rp. 300.000 per 1 m2, hitung biaya total untuk membuat seluruh jalan.

5. Seorang pedagang bakso mempunyai gerobak dengan jari-jari roda 40 cm.Jika dalam suatu perjalanan roda tersebut berputar sebanyak 500 kali, hitung jarak yang ditempuh oleh pedagang bakso tersebut.


Diketahui AB = 21cm dan AE = 14 cm. ( π=22

7 )Luas daerah yang diarsir pada gambar disamping!

22

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

GEOMETRI DIMENSI TIGA

Standar Kompetensi : Menentukan kedudukan jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

23

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

H G

E F

D C

A B

H G

E F

D C

A B

2. Menghitung luas permukaan bangun ruang 3. Menerapkan konsep volum bangun ruang 4. Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang

Tujuan Pembelajaran :1. Siswa dapat mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya2. Siswa dapat menghitung luas permukaan bangun ruang 3. Siswa dapat menerapkan konsep volum bangun ruang 4. Siswa dapat menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang

PENGERTIAN BAGIAN DARI BANGUN RUANG1. Sisi

Suatu bangun ruang dibatasi oleh bidang batas. Bidang batas itu disebut sisi. Misalnya sisi atas , sisi alas / bawah , sisi tegak.

2. RusukRusuk adalah garis yang merupakan pertemuan / perpotongan dua sisi.Contoh : rusuk atas, rusuk alas, rusuk tegak.

3. Titik SudutTitik sudut suatu bangun adalah pertemuan antara beberapa rusuk.

4. Diagonal sisiDiagonal sisi suatu bangun ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik berhadapan pada sisi tersebut.

5. Diagonal RuangDiagonal ruang suatu bangun ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik berhadapan pada bangun ruang tersebut.

6. Bidang DiagonalBidang diagonal adalah bidang yang menghubungkan rusuk-rusuk yang berhadapan, sejajar, dan tidak terletak pada satu bidang suatu bangun/ bidang yang melalui diagonal alas dan rusuk tegak.Contoh : Bangun kubus dibawah ini!

Contoh:Sisi pada balok ABCD EFGH yaitu: ABCD, EFGHRusuk pada balok ABCD EFGH yaitu: AB, CD, BC, ADTitik sudut pada balok ABCD EFGH yaitu: titik A, B, C, DDiagonal sisi pada kubus ABCD EFGH yaitu : AC, BDDiagonal ruang pada balok ABCD EFGH yaitu: EC, AGBidang diagonal pada balok ABCD EFGH yaitu: ACGE, BDHF

MACAM – MACAM BANGUN RUANG1. KUBUS

Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bujur sangkar yang kongruen.


24

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

DIAGONAL SISI DAN DIAGONAL RUANGDiagonal sisiDiagonal sisi suatu bangun ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik berhadapan pada sisi tersebut.Pada contoh kubus ABCD.EFGH tersebut misalkan rusuk = a, untuk menghitung diagonal sisi AC:AC2=AB2+BC2

=a2+(a )2

¿2a2

EC = a√2Diagonal RuangDiagonal ruang suatu bangun ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik berhadapan pada bangun ruang tersebut.Pada contoh kubus ABCD.EFGH tersebut misalkan rusuk = a, untuk menghitung diagonal sisi EC:EC2=AC2+AE2

=a2+(a√2)2

¿3a2

EC = a√3

JARING-JARING KUBUSSalah satu jaring-jaring kubus:

Cari bentuk jaring-jaring kubus yang lain!

LATIHAN 11. Dari kubus ABCD EFGH yang memiliki panjang rusuk 6 cm, hitunglah!


Luas permukaan Kubus = 6 x Luas Bujur sangkar

= 6×s2

Volume Kubus = Luas Alas x tinggi

25

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a. Panjang diagonal sisib. Panjang diagonal ruangc. Luas bidang diagonald. Luas jaring-jaring kubuse. Volume kubus

2. Diketahui kerangka kubus yang terbuat dari kawat. Jika panjang kawat yang digunakan adalah 156 cm, tentukan:a. Panjang rusukb. Luas permukaan kubusc. Volume kubus

2. BALOKBalok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah persegi panjang yang sepasang-sepasang kongruen.DIAGONAL SISI DAN DIAGONAL RUANGDiagonal sisiDiagonal sisi suatu bangun ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik berhadapan pada sisi tersebut.Pada contoh balok ABCD.EFGH tersebut misalkan rusuk AB = p, BC = l, untuk menghitung diagonal sisi AC:AC2=AB2+BC2

=p2+l2Diagonal RuangDiagonal ruang suatu bangun ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik berhadapan pada bangun ruang tersebut.Pada contoh balok ABCD.EFGH tersebut misalkan rusuk AE = t, untuk menghitung diagonal sisi EC:EC2=AC2+AE2

=p2+l2+t 2

.

LATIHAN 21. Dari gambar balok diatas, tuliskan:

a. Pasangan sisi yang kongruen.b. Pasangan rusuk yang sama panjangc. Pasangan diagonal sisi yang sama panjangd. Semua diagonal ruangnya.

2. Dari gambar balok diatas, hitung:a. Jumlah diagonal sisi b. Jumlah bidang diagonal

3. Diketahui balok ABCD EFGH, AB = 12 cm , BC = 8 cm dan CG = 6 cm. Hitunglah:a. Panjang masing-masing diagonal sisib. Panjang masing-masing diagonal ruangc. Luas masing-masing bidang diagonal ruangd. Luas permukaan baloke. Volume balok tersebut


Luas permukaan Balok = Jumlah luas bidang sisinya.Volume (isi) balok = Luas Alas x tinggi = panjang x lebar x tinggi

26

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

F

D E

C A B

F

D E

C A B

3. PRISMAPrisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang // dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis yang //.

Dua bidang yang // disebut bidang bawah / alas dan bidang atas.Bidang lainnya disebut bidang tegak (sisi tegak).Rusuk prisma terdiri atas rusuk atas, rusuk alas dan rusuk tegak.

Jenis prisma ditentukan oleh bentuk bidang alas dan kedudukan rusuk tegak terhadap bidang alas. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut.

Bentuk Alas Tegak Miring Beraturan

Segi 3 Prisma tegak segi 3 Prisma miring segi 3 Prisma beraturan segi 3



Dst . . .

Contoh:Diketahui Prisma tegak ABCDEF seperti pada gambar bawah ini:

Jika rusuk alas AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm dan rusuk tegak = 10 cm, hitunglah:a. Luas alasb. Luas selubung c. Luas jaring-jaring prismad. Volume prisma


Luas permukaan Prisma = 2 x Luas Alas + Luas selubungLuas selubung = Keliling Alas x tinggiVolume Prisma = Luas Alas x tinggi

27

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

C

15 G 14

A 13 B

Penyelesaian:a. Perhatikan alas ABC disamping.

Perhatikan AGC, misalkan BG = pCG2 + AG2 = AC2

(14 – p)2 + AG2 = 225atau:196 + 28p + p2 + AG2 = 225 AG2 = 29 – 28p – p2 . . . (1)Perhatikan ABGBG2 + AG2 = AB2

p2 + AG2 = 169AG2 = 169 – p2 . . . (2)Dari (1) dan (2) diperoleh:169 – 29 = 28 p140 = 28pp = 5substitusi p = 5 ke pers. 2 menjadi:AG2 = 169 – p2 = 169 – 25 = 144AG = 12Jadi luas alas atau luas ABC = ½ x BC x AG = ½ x 14 x 12 = 84

b. Keliling alas = AB + BC + CA = 13 + 14 + 15 = 42Luas selubung= Keliling alas x rusuk tegak = 42 x 10 = 420

c. Luas Jaring-jaring = Luas selubung + (2 x Luas alas)= 420 + 2 (84)= 588 cm2

d. Volume = Luas alas x tinggi prisma= 84 x 10= 840 cm3

LATIHAN 3Hitunglah luas jaring-jaring Prisma dan volume Prisma berikut.1. Prisma tegak ABCDEF, ABC siku-siku di B dan merupakan alas, AB = 12 cm,

BC = 5 cm, AD = 10 cm.2. Prisma PQRSTU dengan alas PQR sama kaki dan siku-siku di P, dengan PQ = 10 cm ,

rusuk tegak PS = 8 cm.3. Prisma beraturan dengan panjang rusuk alas a cm dan rusuk tegak t cm.4. Diketahui prisma tegak segi empat ABCDEFGH bidang alas berupa trapesium siku-siku

ABCD dengan AB = 8 cm, AD = 4 cm, CD = 5 cm dan AE = 15 cm.

4. LIMASLimas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi banyak sebagai alas dan beberapa segi tiga yang mempunyai titik sudut persekutuan sebagai bidang tegak.


28

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Nama limas disesuaikan dengan bidang alasnya.Limas segi n adalah limas yang alasnya berupa segi n Limas tegak adalah limas dimana proyeksi puncak tepat pada pusat alas

Contoh:Limas tegak T.ABCD, dengan ABCD berbentuk persegi panjang. Jika AB = 8 cm, BC = 6 cm dan rusuk tegak = 13 cm, Hitunglah:a. Diagonal alasb. Tinggi limasc. Apotemad. Volume Limase. Luas Limas Penyelesaian:a. Diagonal alas = AC (perhatikan ABC)

AC2 = AB2 + BC2 AC = 10

b. Tinggi limas = TP = ?Perhatikan ∆ TPBPB = ½ BD = ½ AC = ½ .10 = 5TP = TB2 – PB2 = 132 – 52 = 12

c. Apotema (TE)Perhatikan TEPEP = ½ BC = ½ x 6 = 3TE = TP2 + PE2 = 122 + 32 = V153 = 3V7 (salah satu apotema)Luas alas = AB x AC = 8 x 6 = 48

d. Volume = 1/3 x luas alas x tinggi = 1/3 x 48 x 12 = 192e. Luas limas= Luas alas + Luas ABT + Luas BCT + Luas ADT + Luas CDT

= ...

5. TABUNGTabung adalah bidang ruang yang dibatasi oleh 2 lingkaran yang kongruen sebagai bidang alas dan bidang atas (tutup) serta selubung tabung sesuai keliling bidang alas dan atasnya.


Luas permukaan Limas = Luas selubung + Luas AlasVolume Limas = 1/3 x Luas Alas x tinggi

Luas permukaan tabung = 2 x Luas Alas + Luas Selubung

= 2×π r2+2π rt

= 2π r (r+t )Volume tabung = Luas alas x tinggi

= π r2 t

29

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

24 cm

Contoh:Sebuah kaleng berbentuk tabung mempunyai jari-jari alas 7 cm dan tinggi 10 cm. Gambarkan jaring-jaring tabung serta hitunglah:a. Luas alasb. Luas kalengc. Volume kalengPenyelesaian:

a. Luas alas = π r2=22

7. 7 . 7=154

b. Luas kaleng =2 π r (r+t

=2 . 227

. 7(10+7 )

=44 . 17=748

c. Volume kaleng = Luas alas x Tinggi = 154 x 10 = 540 cm3

LATIHAN 51. Sebuah drum yang berdiameter 84 cm mempunyai tinggi 140 cm. Tentukan luas bidang

drum dan volumenya.2. Sebuah kaleng tanpa tutup berbentuk tabung dengan ukuran diameter 28 cm dan tinggi

40 cm. Tentukan luas permukaan kaleng tersebut. (π=22

7 )6. KERUCUT

Contoh:Diketahui kerucut dengan jari-jari 7 cm dan tingginya 24 cm. Tentukan:a. Luas permukaan kerucutb. Volume kerucutPenyelesaian:

s2 = 242 – 72

= 576 – 49= 625= 25

a. Luas permukaan kerucut = π rs+π r2


Luas selimut = π rs

Luas permukaan kerucut = π rs+π r2

Volume kerucut =

13πr2 t

30

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

B

Ag

αB

A

g

α

Semua titik pada garis g juga terletak pada bidang α

Garis g dan bidang α tidak mempunyai titik persekutuan

g

α

=227

. 7 .25+227

.72.

¿22 .25+22 . 7=22 (25+7)=22 . 32=550

Jadi luas permukaan kerucutnya adalah 550 cm2

b. Volume kerucut =

13πr2 t

=13

. 227

.72 .24

¿22 .7 . 8¿1232

Jadi volume permukaan kerucutnya adalah 1.232 cm3

HUBUNGAN ANTARA UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG1. Kedudukan Titik terhadap Garis dan terhadap Bidang

a. Kedudukan Titik terhadap Garis

Titik A pada garis g atau garis g melalui titik A Titik B di luar garis g atau garis g tidak melalui titik B

b. Kedudukan Titik terhadap Bidang

Titik A pada bidang α atau bidang α melalui titik A Titik B di luar bidang α atau bidang α tidak melalui titik B

2. Kedudukan Garis terhadap Bidang dan terhadap Garisa. Kedudukan Garis terhadap Bidang

Garis g pada bidang α atau bidang α melalui garis g

Garis g sejajar bidang α


31

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Garis g dan bidang α mempunyai tepat satu titik persekutuan

g

α

α hg

A

Garis g dan h terletak pada satu bidang α dan mempunyai satu titik persekutuan, yaitu titik A.Titik A disebut tik potong.

αh

g

Garis g dan h terletak pada satu bidang α dan tidak mempunyai titik persekutuan.

α

h

g

Garis g dan h tidak mempunyai titik persekutuan dengan garis g menembus bidang α dan garis h terletak pada bidang α.

Garis g memotong (menembus) bidang α

b. Kedudukan Garis terhadap Garis Dua garis berpotongan

Dua garis sejajar

Dua garis bersilangan

3. Kedudukan Bidang terhadap Bidang lain Dua Bidang Sejajar Dua Bidang yang Berpotongan


1. Sebuah kubus mempunyai diagonal sisi √50 cm maka panjang rusuk kubus tersebut adalah ... .A. 25 cm D. 5 cm

B. 5√3 cm E. 2,5 cm

C. 5√2cm


32

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Limas tegak dengan alas berbentuk persegi yang mempunyai sisi 12 cm dan tinggi pada segitiga bidang tegaknya (TP) 10 cm, maka volume limas tersebut adalah … cm3. T

D C

P

A 12 cm B

2. Sebuah tangki berbentuk tabung tertutup mempunyai volume 2156 cm3. Jika panjang

tangki 14 cm dan π=22

7 , maka luas permukaan tangki tesebut adalah ... .A. 4325 cm2 D. 924 cm2

B. 3696 cm2 E. 286 cm2

C. 1776 cm2

3. Kido akan membuat sebuah aquarium berbentuk balok yang terbuat dari kaca dengan panjang 6 dm, lebar 4 dm, dan tingginya 8 dm. Jika bagian atas tidak akan ditutup kaca maka luas kaca yang harus dibeli Kido adalah ... .A. 108 cm2 D. 88 cm2

B. 102 cm2 E. 82 cm2

C. 94 cm2

4. Perhatikan gambar berikut:

5. Sebuah kubus mempunyai volume 512 cm3. Panjang rusuk kubus tersebut adalah … .A. 4 cm D. 10 cmB. 6 cm E. 12 cmC. 8 cm

6. Diketahui prisma segitiga siku-siku panjang 2 rusuk alas siku-sikunya 6 cm dan 8 cm sedangkan tinggi prisma adalah 13 cm. Luas permukaan prisma segitiga tersebut adalah ….A. 360 cm2 D. 312 cm2

B. 334 cm2 E. 286 cm2 C. 324 cm2

7. Perhatikan limas tegak berikut ini!

A. 1440 D. 480B. 1152 E. 384C. 1052

8. Sebuah tempat air berbentuk kerucut diameternya 18 cm dan kerucut tersebut dapat menampung air sebanyak 763,02 cm3. Tinggi kerucut tersebut adalah ... .A. 14 cm D. 4,5 cm


Diketahui diameter bola adalah 14 cm dan panjang garis pelukis kerucut adalah 25 cm. Luas bangun datar tersebut adalah ... .A. 1582 cm2 D. 476 cm2

B. 1502 cm2 E. 245 cm2

C. 966 cm2

33

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11B. 9 cm E. 3,5 cmC. 7 cm

9. Sebuah drum mempunyai volume 5775 cm3

dan tingginya 150 cm, maka luas selimut drum tersebut adalah … .A. 3.300 cm2 D. 5.700 cm2B. 3.750 cm2 E. 7.500 cm2C. 5.750 cm2

10. Suatu kerucut diketahui diameter bidang alas 7 cm dan tingginya 24 cm, maka volume kerucut tersebut adalah … .A. 750 cm3 D. 450 cm3

B. 575 cm3 E. 308 cm3

C. 500 cm3

11. Sebuah balok mempunyai ukuran panjang 12 cm, lebar 8 cm, dan tinggi 5 cm. Luas permukaan balok tersebut adalah ... cm2.A. 196 D. 382B. 296 E. 392C. 372

12. Sebuah kubah masjid berbentuk setengah bola terbuat dari lembaran aluminium

dengan diameter 400 cm dan π=3 ,14 . Luas bahan yang diperlukan adalah ... m2.A. 25,12 D. 5.024B. 251,2 E. 10.048C. 2.512

13. Sebuah kerucut memiliki diameter 3 dm dan tinggi 36 cm. Jika π=3 ,14 , luas permukaannnya adalah ... cm2.A. 2.450,4 D. 2.543,4B. 2.541,4 E. 2.544,4C. 2.542,4

14. Sebuah limas beraturan T.ABCD memiliki alas berbentuk persegi dengan panjang sisi = 20 cm. Jika tinggi limas 24 cm, luas permukaan limas adalah ... cm2.A. 1.350 D. 1.460B. 1.440 E. 2.360C. 1.450

15. Sebuah timah batangan berbentuk balok dengan panjang 12 cm, lebar 5 cm, dan tinggi 5 cm. Timah tersebut akan dilelehkan, kemudian dibuat limas persegi dengan ukuran alas 5 mm x 5 mm dan tinggi 6 mm. Jika diasumsikan tidak ada timah yang terbuang, limas yang dapat dibuat sebanyak ... buah.A. 6 D. 6.000B. 60 E. 60.000C. 600

II. Selesaikanlah pertanyaan berikut dengan benar!1. Tentukan volume sebuah balok yang memiliki ukuran 6 m x 2 m x 3 m!2. Tentukan volume sebuah bola jika jari-jarinya 35 mm!3. Sebuah limas segi empat beraturan T.PQRS dengan alas berbentuk persegi. Jika PQ =

12 cm dan tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 10 cm, Hitunglah:a. Diagonal alasb. Tinggi limasc. Luas Limas


34

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

F

D E

G

D C

BA 6 cm

5 cm

15 cm

12 cm

4. Sebuah tempat minyak berbentuk seperti pada gambar berikut!

5. Sebuah prisma tegak ABC.DEF dengan alas siku-siku di titik B. Panjang AB = 5 cm, BC = 12 cm, AD = 15 cm. Tentukan volume prisma tersebut!

6. Volume sebuah silinder tertutup adalah 4.400 cm3. Jika jar-jari 10 cm dan π=22

7 , tentukan tinggi silinder!

7. Sebuah kerucut memilki diameter 40 mm dan tinggi 48 mm. Tentukan volumenya!8. Sebuah limas persegi memiliki tinggi 36 cm. Jika panjang sisi alasnya 0,3 m, tentukan

volumenya (dalam cm3)9. Hitunglah seluruh permukaan prisma tegak ABCD.EFGH pada gambar berikut ini!

10. Tentukan luas permukaan sebuah bola jika panjang jari-jarinya 35 mm!


Jika tinggi tabung = 6 cm, π=3 ,14 dan jari-jari bola 4 cm. Tentukan luas permukaan tempat minyak tersebut!

35

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

MATEMATIKA KEUANGAN

Standar Kompetensi : Memecahkan masalah keuangan menggunakan konsep matematikaKompetensi Dasar : 1. Menyelesaikan masalah bunga tunggal dan bunga majemuk dalam keuangan2. Menyelesaikan masalah rente dalam keuangan3. Menyelesaikan masalah anuitas dalam sistem pinjaman4. Menyelesaikan masalah penyusutan nilai barang

Tujuan Pembelajaran :1. Menyelesaikan masalah bunga tunggal dan bunga majemuk dalam keuangan2. Menyelesaikan masalah rente dalam keuangan3. Menyelesaikan masalah anuitas dalam sistem pinjaman4. Menyelesaikan masalah penyusutan nilai barang

PENGERTIAN BUNGA DAN BUNGA TUNGGALBunga adalah jasa dari simpanan atau pinjaman yang dibayarkan pada akhir suatu jangka waktu yang ditentukan atas persetujuan bersama.Contoh:Valentino meminjam uang sebesar Rp 5.000.000,00. Setelah satu tahun Valentino harus mengembalikan pinjamannya menjadi sebesar Rp 5.500.000,00Keterangan.Uang sebesar Rp 5.000.000,00 disebut modal sedangkan uang yang merupakan kelebihannya, yaitu selisih uang sebesar Rp 5.500.000,00 – Rp 5.000.000,00 = Rp 500.000,00 disebut bunga untuk waktu satu tahun atau bunga pertahun. Bunga biasanya dinyatakan dalam persen.Pada contoh diatas,

Bunga per tahun =500 . 000

5 . 000.000×100 %=10 %

kemudian dikatakan suku bunga 10 %Jika bunga setiap tahun / setiap semester / setiap triwulan ... (setiap periode) selalu tetap besarnya dan tidak mengubah besar modal awal, maka disebut Bunga Tunggal.

PERSEN DIATAS SERATUSP persen diatas 100 adalah perbandingan antara bunga (p) dengan modal (M) dimana selisih antara pembilang dan penyebutnya adalah 100. Secara umum p persen diatas 100 dari modal M dinyatakan dengan:Untuk menentukan p % di atas seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

1). Dengan perhitungan biasa

Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4 p

100+ p×M

36

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

2). Dengan jumlah deret geometri turun tak hingga

p100+ p

=

p100

100+ p100

=

p100

1+ p100

=

p100

1−(− P100 )

= p100

−( p100 )2+( p100 )

3−. ..

Contoh:Tentukan 5 % diatas 100 dari modal sebesar Rp 200.000,00 ?Penyelesaian:

Cara pertama dengan rumus5

100+5×200 .000=9 .523 ,81

Cara kedua dengan deret geometri turun5% x 200000 = 10000 (+)5% x 10000 = 500 (–)5% x 500 = 25 (+)5% x 25 = 1,25 (–)5% x 1,25 = 0,0625 (+)

9523,8125Sampai hasil perkalian kurang dari 1, kemudian hasilnya dihitung diperoleh Rp 9.523,8125

Jadi 5 % diatas 100 dari modal sebesar Rp 200.000,00 adalah Rp 9.523,8125

PERSEN DIBAWAH SERATUSP persen dibawah 100 adalah Perbandingan antara bunga (p) dengan modal (M) dimana jumlah antara pembilang dan penyebutnya adalah 100. Secara umum p persen dibawah 100 dari modal M dinyatakan dengan:Untuk menentukan p % di atas seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

1) Dengan perhitungan biasa

2) Dengan jumlah deret geometri turun tak hingga

p100−p

=

p100

100−p100

=

p100

1− p100

= p100

+( p100 )2+( p100 )

3+( p100 )

4+ .. .

Contoh:Tentukan 5 % dibawah 100 dari modal sebesar Rp 200.000, 00 adalahPenyelesaian:

Cara pertama dengan rumus5

100−5×200 .000=10 .526 ,32

Cara kedua dengan deret geometri turun5% x 200000 = 10000 (+)


p100−p

×M

37

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-115% x 10000 = 500 (+)5% x 500 = 25 (+)5% x 25 = 1,25 (+)5% x 1,25 = 0,0625 (+)

10526,3125Sampai hasil perkalian kurang dari 1, kemudian hasilnya dihitung diperoleh Rp 10.526,3125

Jadi 5 % diatas 100 dari modal sebesar Rp 200.000,00 adalah Rp 10.526,3125

LATIHAN 11. Adelia meminjam uang sebesar Rp 800.000,00 dan harus mengembalikan setelah satu

bulan sebesar Rp 1.000.000,00. Berapa persen perbulankah bunga tunggal atas hutang Adelia?

2. Jika besar bunga tunggal sebuah pinjaman perbulan adalah 8 %, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan Bagus jika ia meminjam Rp 1.000.000,00 dan dikembalikan setelah 10 bulan?

3. Canda harus mengembalikan pinjamannya setelah 6 bulan sebesar Rp 944.000,00 Jika pada pinjaman tersebut berlaku bunga tunggal 3 % perbulan, berapakah hutang Canda sebenarnya.

4. Hitunglah:a. 5 % diatas 100 dari modal sebesar Rp 3.150.000,00b. 4 % dibawah 100 dari modal sebesar Rp 5.280.000,00

5. Tentukan sisa dari modal Rp 315.000,00 setelah dikurangi dengan 5 % di atas seratusnya.

MENGHITUNG BESAR BUNGA TUNGGALBunga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal (besarnya modal tetap).Sebuah Modal M rupiah yang diperbungakan dengan bunga tunggal P % setahun maka setelah:

t tahun besar bunga ( I ) =

P100

×M×t

t bulan besar bunga ( I ) =

P100

×M× t12

t hari besar bunga ( I ) =

P100

×M× t360

Contoh:Andien meminjam uang sebesar Rp 1.800.000,00 dengan bunga tunggal 6 % setahun. Tentukan besar bunga pinjaman setelah 5 tahun 4 bulan 12 hari.Penyelesaian:

Bunga 5 tahun (I) =

6100

×1. 800 .000×5=Rp 540. 000

Bunga 4 bulan (I) =

6100

×1. 800 .000× 412=Rp 36.000


38

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Bunga 12 hari (I) =

6100

×1. 800 . 000×12360

=Rp 3 .600

Jadi bunga 5 tahun 4 bulan 12 hari adalah:Rp 540.000,00 + Rp 36.000,00 + Rp 3.600,00 = Rp 579.600,00

LATIHAN 21. Hitung besar bunga selama 5 tahun 9 bulan 54 hari dari modal sebesar Rp 5.000.000,00

yang dibungakan dengan bunga tunggal 8 % setahun. 2. Pada tanggal 31 Maret 2009 Zaneth menyimpan uang di BPD sebesar Rp 6.450.000,00

yang memberikan bunga 5% setahun. Hitung jumlah uang Zaneth pada tanggal 1 April 2011.3. Uang sejumlah Rp 5.000.000,00 disimpan di bank yang menggunakan sistem bunga tunggal

15 % setahun. Setelah berapa tahun uang tersebut menjadi Rp 10.250.000,00.4. Sebuah modal sebesar Rp 6.000.000,00 ditabung disebuah bank yang menggunakan sistem

bunga tunggal. Ternyata setelah 8 bulan modal tersebut menjadi Rp 6.120.000,00. Hitung berapa persen suku bunga tunggalnya pertahun.

5. Dalam jangka waktu berapakah sejumlah uang menjadi 2 kali lipat jika besar suku bunga tunggalnya 5 % setahun.

METODE ANGKA BUNGA DAN PEMBAGI TETAPMetode ini biasa digunakan untuk menghitung bunga dari beberapa modal (M1, M2, M3, ...dst) yang diperbungakan dengan suku bunga tunggal yang sama besarnya.Perhatikan rumus bunga tunggal sebelumnya dari Modal M dengan suku bunga p % setahun setelah t hari menghasilkan besar bunga :

I = p

100×M× t

360

=M . t100

× P360

Bentuk diatas bisa kita ubah menjadi:

I=M . t100

: 360P

Bentuk

M . t100 dinamakan Angka Bunga dan bentuk

360P disebut Pembagi Tetap.

Jadi:

Contoh:Hitung jumlah bunga dari modal berikut atas dasar bunga tunggal 6 % setahun.Rp 1.000.000, 00 diperbungakan selama 250 hariRp 5.000.000, 00 diperbungakan selama 100 hariRp 2.500.000, 00 diperbungakan selama 20 hariRp 4.000.000, 00 diperbungakan selama 250 hariPenyelesaian:

MODAL t ( hari )M . t100

Rp 1.000.000,00 250 Rp 2.500.000,00Rp 5.000.000,00 100 Rp 5.000.000,00


I= angka bungapembagi tetap

39

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Rp 2.500.000,00 20 Rp 500.000,00Rp 4.000.000,00 250 Rp 10.000.000,00

Jumlah Angka Bunga Rp 18.000.000,00

Pembagi Tetap =

360P=360

6=60

Jumlah angka bunga = Rp 18.000.000,00

I= angka bungapembagi tetap

=1.800 .000060

=300 .000

Jadi jumlah bunga dari modal tersebut adalah Rp 300.000,00.

LATIHAN 31. Jika suku bunga tunggal 12 % setahun, hitung jumlah bunga dari modal sbb:

Rp 2.480.000,00 yang diperbungakan selama 40 hariRp 5.600.000,00 yang diperbungakan selama 80 hariRp 8.600.000,00 yang diperbungakan selama 75 hari

2. Hitunglah jumlah bunga dari modal-modal berikut jika dihitung atas dasar bunga tunggal 8 % setahun:

Rp 4.040.000,00 yang diperbungakan selama 75 hariRp 5.000.000,00 yang diperbungakan selama 60 hariRp 6.600.000,00 yang diperbungakan selama 45 hari

METODE PERSEN SEBANDINGMetode persen yang sebanding digunakan jika suku bunga bukan merupakan pembagi habis 360, misalnya 7 % , 6 ½ % , 5 ¾ % dst, sebab dengan metode ini satu tahun dihitung 360 hari, dengan langkah sebagai berikut:a). Hitung besarnya bunga berdasarkan persentase terdekat dengan suku bunga

merupakan pembagi habis 360.b). Kemudian hitung besarnya bunga yang dimaksud dengan menggunakan persen yang

sebanding.Contoh:Hitung bunga atas modal sebesar Rp 1.000.000,00 yang diperbungakan selama 100 hari dengan suku bunga 7 % setahun.Penyelesaian: Dihitung terlebih dahulu bunga 6 % . . . ( 6 pembagi dari 360 )

I 6=1.000 . 000× 610×100

360=16. 666 ,67

Bunga 1 % . . . ( kekurangannya )

I 1=16×16 . 666 ,67=2. 777 ,78

(prinsip perbandingan sebanding)Jadi bunga 7 % = bunga 6 % + bunga 1 % = Rp 16.666,67 + Rp 2.777,78

= Rp 19444,45

LATIHAN 4


40

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-111. Hitung besar bunga tunggal dari modal sebesar Rp 5.000.000,00 yang diperbungakan

dengan bunga tunggal 8 1

2%

setahun jika diperbungakan selama 90 hari.2. Andrew menabung uang sebesar Rp 6.000.000,00 selama 90 hari dengan suku bunga

tunggal 5 3

4%

setahun. Hitung besar bunga yang diterima Andrew.3. Dengan metode persen yang sebanding, hitunglah besar bunga atas modal Rp 2.500.000,00

yang diperbungakan dengan bunga tunggal 8 1

4%

setahun selama 45 hari.4. Kiki menabung uang sebesar Rp 8.000.000,00 selama 100 hari dengan suku bunga tunggal

11 14

% setahun. Hitung besar bunga yang diterima Kiki.

METODE PERSEN SEUKURANMetode ini digunakan jika ditentukan 1 tahun = 365 hari. Satu-satunya pembagi tetap yang

bulat adalah jika bunganya 5 % setahun dan pembagi tetapnya =360

5=73

Jika Modal M rupiah dibungakan selama t hari dengan dasar bunga tunggal 5 % setahun maka besar bunga adalah

I= 5100

×M× t360

=M . t100

×5365

=M . t100

×173

=M . t10 .000

×10073

Bilangan

10073

≈1+ 13+ 1

30+ 1

300

Jadi, besarnya bunga 5% sebanding dengan

M . t10 .000 (1+ 1

3+ 1

30+ 1

300 )Contoh:Hitung besar bunga Rp 7.500.000,00 yang ditabung di bank selama 200 hari dengan suku bunga 5 ½ % setahun.Penyelesaian:M = Rp 7.500.000,00 i = 5 ½ % , t = 200Bunga 5 % diperoleh dari perhitungan:

Angka Bunga =

M t 10 .000

=7 .500 . 000×20010 .000

=150. 000

Besar bunga 5 % = 150 .000(1+ 1

3+ 1

30+ 1

300 )15.000 x 1 = 150.000


41

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-1115.000 x 1/3 = 50.00015.000 x 1/30 = 5.00015.000 x 1/300 = 500 (+)Besar bunga 5 % = 205.500Jika dicari 5 ½ % maka kurang bunga ½ % yang bisa dihitung dari:125×205 .500= 1

10×205. 500=20550

Jadi bunga 5 ½ % = Bunga 5 % + Bunga ½ % = 205.500 + 20550 = 226.050

LATIHAN 51. Hitunglah besar bunga dari modal sebesar Rp 5.000.000,00 yang diperbungakan dengan

bunga tunggal 5 3

4%

setahun jika modal tersebut diperbungakan selama 120 hari (1 tahun = 365 hari)

2. Sebuah modal sebesar Rp 5.200.000,00 akan diperbungakan dengan suku bunga tunggal

6 12

% setahun selama 120 hari. Hitung besar bunga modal tersebut jika 1 tahun dianggap

365 hari!3. Hitunglah besar bunga dari modal sebesar Rp 4.250.000,00 yang diperbungakan dengan

bunga tunggal 4 1

4%

setahun jika modal tersebut diperbungakan selama 120 hari (1 tahun = 365 hari)

DISKONTODiskonto adalah bunga yang dibayarkan pada awal penerimaan hutang (awal transaksi).Jadi pada dasarnya diskonto adalah bunga yang penghitungannya sama dengan menghitung besar bunga biasa, hanya pembayarannya pada waktu awal peminjaman.Contoh: Phita meminjam uang sebesar Rp 1.000.000,00, namun uang yang diterimanya sebesar Rp 900.000,00. Setelah sekian waktu Phita harus mengembalikan pinjamannya sebesar Rp 1.000.000,00.Keterangan:Uang yang diterima Phita Rp 900.000,00 disebut Nilai Tunai = NTUang yang harus dikembalikan Phita Rp 1.000.000,00 disebut Nilai Akhir = NASelisih Rp 1.000.000,00 – Rp 900.000,00 = Rp 100.000,00 disebut besar Diskonto (D) dari

pinjaman itu. Persentase

100 . 0001.000 .000

×100 %=10 % disebut suku diskonto.

Jadi

Untuk menentukan besarnya diskonto, dapat digunakan 2 macam cara sebagai berikut:a) Diskonto dari Nilai Akhir

D= P100

×NA× th

Keterangan:D = diskonto t = waktu pinjaman


D = NA – NT

42

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11P = suku bunga diskonto k = 1, 12, 360NA = nilai akhir

b) Diskonto dari Nilai Tunai

D=P100

×NA , NA=NT+D

D=P100

×(NT+D)

⇔D=P100

NT+P100

D

⇔D−P100

D=P100

NT

⇔D(1−P100 )=P100NT

⇔(100−p100 )D=P100

NT

⇔D=

P100

(100−P100 )

NT

⇔D=P100 (100

100−P )NT⇔D=P100−P NT

Contoh:Seorang meminjam uang dengan system diskonto 5 % setahun. Jika ia menerima pinjamannya Rp 285.000,00 Berapa besar pinjaman yang harus dikembalikan.Penyelesaian:NT = Rp 285.000,00

D= P100−P

×NT

=P100−P

×285.000

=15 . 000Besar pinjaman yang harus kembali = NA NA = NT + D = 285.000 + 15.000 = 300.000Jadi uang yang harus dikembalikan adalah Rp 300.000,00


D= P100−P

×NT

43

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11LATIHAN 61. Hitung besar diskonto dari sebuah pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 yang akan

dikembalikan setelah 8 bulan dengan diskonto 12 % setahun.2. Hitung besar pinjaman Toni jika uang yang diterimanya Rp 2.000.000,00 dengan diskonto 2

% sebulan yang harus dikembalikan setelah 10 bulan.3. Hitung besar uang yang diterima Aming jika uang yang dikembalikan setelah 10 bulan

sebesar Rp 2.000.000,00 dengan diskonto 2 % sebulan 4. Hitung besar pinjaman Dadang jika uang yang diterimanya Rp 2.450.000,00 dengan

diskonto 2 % sebulan yang harus dikembalikan setelah 2 tahun.5. Hitung besar uang yang diterima Alek jika uang yang dikembalikan setelah 3 tahun sebesar

Rp 2.000.000,00 dengan diskonto 4 % per triwulan

BUNGA MAJEMUK

PENGERTIAN DAN KONSEP BUNGA MAJEMUKJika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.

Perbedaan Bunga Tunggal Dan Bunga MajemukBunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga.

PERHITUNGAN NILAI AKHIR MODALa. Nilai Akhir Modal dengan Menggunakan Rumus

Sebuah hutang M rupiah harus dikembalikan setelah n bulan dengan suku bunga majemuk i = p % sebulan. Berapa besar uang yang harus dikembalikan?Perhitungannya adalah sbb:Hutang pada akhir bulan ke 1 bernilai M + i M atau M (1 + i)Hutang pada akhir bulan ke 2 bernilai M (1 + i) + i M (1 + i) atau M (1 + i)2

Hutang pada akhir bulan ke 3 bernilai M (1 + i)2 + i M (1 + i)2 atau M (1 + i)3

Hutang pada akhir bulan ke 4 bernilai M (1 + i)3 + i M (1 + i)3 atau M (1 + i)4

.

.

. dstHutang pada akhir bulan ke n atau Mn bernilai M (1 + i)n-1 + i M (1 + i)n-1

(Daftar I)Contoh:Jika M = Rp 1.000.000, 00 dan i = 3 % serta n = 10 maka:


Mn = M (1 + i)n

44

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11M10 = M (1 + i )n

= 1000000 (1 + 0,03)10 (lihat daftar I)= 1000000 (1,34391638)= 1343916,38

b. Nilai Akhir Modal dengan Masa Bunga PecahanBagaimana jika periodenya bukan merupakan bilangan bulat?Dalam rumus Mn = M(1 + i)n hanya digunakan jika n bulat.Jika n merupakan bilangan pecahan, pada umumnya untuk menghitung bunga yang waktunya kurang dari satu tahun (lebih luas dikatakan kurang dari waktu periode bunga yang tengah berlaku) digunakan dasar bunga tunggal.Untuk menghitung nilai akhir modal dengan masa bunga pecahan, digunakan langkah sebagai berikut:1. Hitunglah dulu nilai akhir dari modal berdasarkan masa bunga majemuk yang terdekat2. Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga

berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir pada 1

Contoh:Hitunglah nilai akhir modal yang besarnya Rp 1.000.000,00 diperbungakan selama

5 12 tahun atas dasar bunga majemuk 6 % setahun.

Penyelesaian:Dihitung dahulu bunga majemuk selama 5 tahun, yaitu M5

Kemudian dihitung bunga yang

12

% atas dasar bunga tunggal

M 5=1.000 . 000×(1 ,06 )5

=1 . 000 .000×1 ,33822558 )(lihat daftar I)=1338225 ,58

M 12

=12×0 ,06×M 5

=12×0 ,06×1338225 ,58

=1 ,03×1338225,58=1378372 ,35

Kemudian dijumlahkan:

M5 1

2

=M 5+( 12 )×0 ,06×M 5


Mn+ ab

=M (1+i )n (1+ ab i)

45

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

nn

iM

M)1(

M = NT = Mn (1 + i)-n

=M 5(1+(12 ×0 ,06 ))¿M 5×1,03¿1338225 ,58×1 ,03¿1378372 ,35

Jadi nilai akhir modal itu adalah Rp 1.378.372,35

Penyelesaian soal di atas, dapat diperoleh:

M5 1

2

=M5 (1+( 12×0 ,06))

=M 5 (1+12i )

=M (1+i)5 (1+ 12i )

Jadi, Mn+ ab

=M (1+i )n (1+ ab i )PERHITUNGAN NILAI TUNAI MODALa. Nilai Tunai Modal dengan Menggunakan Rumus

Setelah n periode (bulan / triwulan / semester tahun / atau yang lain) sebuah modal M dengan suku bunga majemuk i = p % per periode menjadi Mn. Berapakah besar modal tersebut pada n periode sebelumnya? (M atau Nilai Tunai)Dari rumus Mn = M(1+i)n, dengan operasi aljabar sederhana bisa dicari nilai M dan diperoleh:

M berubah menjadi NT, Mn berubah menjadi M

(Daftar II)Contoh:Setelah 10 bulan sebuah modal dengan suku bunga majemuk 3 % menjadi Rp 1.343.916,38. Tentukan nilai tunai dari uang tersebut?Penyelesaian:Dengan rumus NT = Mn (1 + i)-n

M=1 .343 . 916 ,38×(1 ,03 )−10(lihat daftar II)

=1 . 343. 916 ,38×(0 ,744093914 )=999. 999 ,99=1 . 000 .000 ,00


46

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11b. Nilai Tunai Modal dengan Masa Bunga Pecahan

Jika dalam rumus NT=

M n

(1+i )n dengan n pecahan dan n=m+ a

b maka rumus tersebut menjadi:

NT=M

(1+i )m(1+ab . i)

NT=M (1+i )−m . 1

(1+ab

. i)

Contoh:Hitung nilai tunai dari Rp 1.000.000,00 yang harus dibayar 5 tahun 3 bulan kemudian dengan bunga majemuk 4 % setahun. Penyelesaian:M = Rp 1.000.000,00p = 4 % = 0,04 (tiap tahun)

n = 5 tahun 3 bulan = 5 1

4 tahun

NT=1. 000 .000 (1+0 ,04 )−5 1

(1+ 14

. 0 ,04 )

=1 .000 .000×(1 ,04 )−5×1(1+0 ,01)

¿1 .000 . 000×0 ,82192711×11 ,01

¿813 .789 ,217Jadi nilai tunai tersebut adalah Rp 813.789, 22

LATIHANA. Berilah tanda silang (X) huruf a, b, c, d atau e pada Penyelesaianan yang paling benar!1. Jika diketahui M = Rp 800.000,00 dengan i = 3 % per triwulan dan n = 3 tahun maka nilai

Mn adalah ... A. Rp 1.130.608,7 D. Rp 1.240608,7B. Rp 1.145.608,7 E. Rp 1.140.608,7C. Rp 1.160.608,7

2. Uang sebesar Rp 10.000,00 disimpan di bank dengan bunga majemuk 10 % per tahun. Nilai akhir uang itu setelah 2 tahun 3 bulan adalah … .A. Rp 12.100,00 D. Rp 13.120,50B. Rp 12.402,50 E. Rp 15.120,50C. Rp 12.420,50


NT=M (1+i )−m . 1

(1+ ab

. i)

47

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-113. Modal Rp 100.000,00 diperbungakan dengan bunga majemuk 2 % tiap catur wulan. Nilai akhir modal itu setelah 2 ½ tahun adalah … .A. 100.000 (1,02)2 (1,01) D. 100.000 (1,2)7 (1,01)B. 100.000 (1,2)2 (1,01) E. 100.000 (1,02)8 (1,01)C. 100.000 (1,02)7 (1,01)

4. Enam bulan yang akan datang seseorang harus membayar pinjaman sebesar Rp 75.000,00 atas dasar bunga majemuk 4 % sebulan. Besar pinjaman orang itu adalah ... .A. Rp 50.000,00 D. Rp 60.103,05B. Rp 54.872,50 E. Rp 60.750,00C. Rp 59.273,59

5. Modal sebesar Rp 100.000,00 sepuluh bulan kemudian menjadi Rp 148.024,43 maka suku bunga majemuk yang diperhitungkan setiap bulannya adalah ... .A. 1,5 % D. 3,5 %B. 2 % E. 4 %C. 3 %

6. Nilai tunai dari Rp 50.000,00 yang harus dibayar 4 tahun 3 bulan kemudian atas dasar bunga majemuk 8 % setahun adalah … .A. 50.000 (1,08)4 (1,02) D. 50.000 (1,08)- 4 (1,02)- 3

B. 50.000 (1,08)- 4 (1,02) E. 50.000 (1,08)- 4 (1,02)- 1 C. 50.000 (1,08)- 4 (1,02)

7. Nilai tunai dari Rp 15.840,00 yang harus dibayar 2 tahun 6 bulan atas dasar bunga majemuk 20 % setiap tahunnya adalah … .A. Rp 1.000,00 D. Rp 20.000,00B. Rp 2.000,00 E. Rp 100.000,00C. Rp 10.000,00

8. Modal sebesar Rp 250.000,00 dibungakan majemuk 5 % tiap triwulan selama 3 tahun 6 bulan. Nilai akhir modal itu adalah … .A. Rp 494.982,90 D. Rp 499.989,90 B. Rp 498.802,90 E. Rp 500.000,00C. Rp 499.482,90

9. Nilai akhir modal M, yang dibungakan majemuk 4 % setahun selama 5 tahun 6 bulan adalah … .A. M(1,05)5 (1,01) D. M(1,02)3 (1,03)B. M(1,04)5 (1,02) E. M(1,06)5 (1,02)C. M(1,05)4 (1,02)

10. Modal Rp 500.000,00 diperbungakan dengan bunga majemuk 2 % tiap semester. Nilai akhir modal itu setelah 3 tahun 3 bulan adalah ….A. 500.000(1,02)6 (1,01) D. 500.000(1,02)6 (1,03)B. 500.000(1,02)6 (1,02) E. 500.000(1,02)3 (1,03)C. 500.000(1,03)6 (1,02)

B. Kerjakanlah soal-soal di bawah ini dengan baik dan benar!1. Carilah nilai akhir modal yang besarnya Rp 200.000,00 yang diperbungakan dengan bunga

majemuk 1 1

2%

tiap semester selama 1 tahun 3 bulan.2. Hitunglah nilai tunai dari pinjaman sebesar Rp 500.000,00 yang harus dibayar 2 tahun

kemudian dengan bunga majemuk 3 % setahun.


48

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

3. Uang sebesar Rp 100.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 3 1

2%

setiap triwulan. Setelah berapa lamakah uang itu diperbungakan, agar uang itu jumlahnya menjadi Rp 198.978,88.

4. Hitung nilai akhir modal yang besarnya Rp 20.000,00 diperbungakan selama 1 tahun 3 bulan atas dasar bunga majemuk 4 % tiap semester.

5. Carilah nilai tunai dari Rp 250.000,00 yang harus dibayar 5 tahun 2 bulan kemudian dengan

bunga majemuk 2 1

2%

tiap triwulan.

RENTE

PENGERTIAN RENTERente adalah sederetan modal yang dibayar/diterima dalam jumlah dan jangka waktu yang selalu tetap.Atas dasar saat pembayaran angsuran, rente terbagi menjadi:

1. Rente Pra NumerandoAdalah rente yang dibayarkan pada tiap awal jangka waktu.

2. Rente Post NumerandoAdalah rente yang dibayarkan pada tiap akhir jangka waktu.

Atas dasar jumlah pembayaran, rente terbagi menjadi:1. Rente terbatas

Adalah rente yang jangka pembayarannya terbatas.2. Rente tak terbatas/rente kekal

Adalah rente yang jangka pembayarannya tidak terbatas.Atas dasar cara pembayaran angsuran pertama Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

49

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

MMMMM

M (1+i)n

M (1+i)4

M (1+i)3

M (1+i)2

M (1+i)1

1. Rente langsungAdalah rente yang pembayaran angsuran pertamanya langsung pada saat awal atau pada saat akhir jangka waktu.

2. Rente yang ditangguhkanAdalah rente yang pembayaran angsuran pertamanya dibayarkan sesudah beberapa waktu berselang.

NILAI AKHIR (NA)Nilai akhir rente adalah jumlah seluruh angsuran dan bunga-bunga yang dihitung pada akhir masa bunga terakhir.1. Nilai Akhir Rente Pra Numerando

Nilai akhir rente pra numerando adalah nilai akhir suatu rente yang angsuran terakhirnya sudah mengalami pembungaan selama satu kali pembungaan karena pembayaran angsuran dilakukan pada setiap awal dari jangka waktu pembayaran.Misal diketahui seseorang menyimpan modal sebesar M di bank dengan bunga p % per tahun maka jumlah uangnya setelah n tahun:Bagan kalkulasinya adalah sebagai berikut:

Penjelasan dengan tabel:a.

Dengan deret geometriNA=M (1+i)1 + M(1+i)2 + M (1+i )3 + M (1+i)4 + . .. + M (1+i)nNA adalah sebuah deret geometri dengan:


50

Angsuran ke- Besar angsuran

Pembungaan sebanyak ... kali NA setelah n periode

1 M1 n M (1+i)n

2 M2 (n – 1) M (1+i)(n-1)

. . . . . . . . . . . .n - 1 Mn-1 2 M (1+i)2

n Mn 1 M (1+i)1

NA pra M∑k=1

n

(1+i)k

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a = M(1+i)r = (1+i)

NA=M (1+i ) {(1+i)n−1}

(1+ i) -1

=M (1+i) {(1+i)n−1}

i

b. Dengan daftar sigmaNA=M (1+i)1 + M(1+i)2 + M (1+i )3 + M (1+i)4 + . .. + M (1+i)n

=M [(1+i)1 +(1+i)2+ (1+i)3+ (1+i )4 + . . . + (1+i)n ]

¿M∑k=1

n

(1+i)k

Contoh:1. Tentukan nilai akhir rente pra numerando jika diketahui:

M = 1.000.000,00 ; i = 4 % ; n = 5Penyelesaian:

NA=M . (1+i )[(1+i )n−1 ]

i

=1 . 000 .000(1 ,04 ) [(1 ,04 )5−1 ]0 ,04

¿1 .040 . 000 [1 ,21665290−1 ]0 ,04=26 . 000 . 000 (0 ,21665290 )=5 .632. 975 ,4

Jadi, nilai akhir rente pra numerandonya adalah Rp 5.632.975,4.2. Tiap awal bulan Andien menyimpan uang di Bank Kharisma sebesar Rp 10.000,00

dengan suku bunga 1,5 % sebulan. Berapa jumlah uang Andien pada akhir bulan ke-30.Penyelesaian:M = Rp 10.000,00 ; n = 30 ; i = 1,5 %

NA = M∑ (1+i)n

= 10 . 000∑ (1,015)30

= 10.000 x ( 38,10176159)= 381.017,6159

Jadi, jumlah uang Andien pada akhir bulan ke-30 adalah Rp 381.017,62


NA=M . (1+i )[(1+i )n−1 ]

i

NA=M∑k=1

n

(1+i)k

51

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

MMMMM

M (1+i)n-1

M (1+i)3

M (1+i)2

M (1+i)1

M

2. Nilai Akhir Rente Post NumerandoNilai akhir rente post numerando adalah nilai akhir suatu rente yang angsuran terakhirnya belum mengalami pembungaan.

Penjelasan dengan tabel:

a.

Dengan deret geometriNA=M +M (1+ i )1 + M (1+i)2 + M (1+i)3 + M (1+i)4 + . .. + M (1+i)n-1

NA adalah sebuah deret geometri dengan: a = Mr = (1+i)

NA=M {(1+i )n−1}(1+ i) -1

=M {(1+i )n−1}

i

b. Dengan daftar sigmaNA=M +M (1+ i)1 + M (1+i)2 + M (1+i)3 + M (1+i)4 + . .. + M (1+i )n-1


NA=Mi [(1+i )n−1 ]

52


Pembungaan sebanyak ... kali NA setelah n periode

1 M1 N M (1+i)(n-1)

2 M2 (n – 1) M (1+i)(n-2)

. . . . . . . . . . . .n – 1 Mn-1 1 M (1+i)1

N Mn 0 M

NA post M +M∑k=1

n-1

(1+ i)k

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

M (1,0p)-(n-1)

M (1,0p)-3

M (1,0p)-2

M (1,0p)-1

M

=M+M [(1+i)1 +(1+i)2+ (1+i)3+ (1+i)4 + . .. + (1+i)n-1 ]¿M+M∑

k=1

n-1

(1+ i)k

Contoh:Tiap akhir bulan Vierra menabung di BRI sebesar Rp 100.000,00 Jika suku bunga i = 4 % sebulan, tentukan jumlah seluruh uang Vierra pada awal bulan ke-20.Penyelesaian:M = Rp 100.000,00 ; n = 20 ; i = 4 % sebulan

NA=M+M∑k=1

n-1

(1+i)k

=100 . 000+100 .000∑k=1

20−1

(1 ,04 )k

=100 . 000+100 .000∑ (1 ,04 )19

¿100 .000 (1+28 ,77807858 )¿100 .000 (29 ,77807858 )¿2 .977 . 807 ,858

Jadi, jumlah seluruh uang Vierra pada awal bulan ke-20 adalah Rp 2.977.807,858

NILAI TUNAI ( NT)Nilai tunai rente adalah jumlah seluruh nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga pertama.1. Nilai Tunai Rente Pra Numerando

M M M M M


NA=M+M∑k=1

n-1

(1+i )k

53

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Penjelasan dengan tabel:

a.

Dengan deret geometriNT=M+M (1+i)-1 + M (1+i )-2+ M (1+i)-3 + M (1+i)-4 + . . . + M (1+i)−(n-1)

=M+M [(1+i)-1 +(1+i)-2 + (1+i )-3 + (1+i)-4 + . . . + (1+i)−(n-1)]¿M (1+ i)i [1−(1+i )−n]

b. Dengan daftar sigma

Contoh:Carilah nilai tunai dari rente pra numerando yang besarnya Rp 100.000,00 selama 15 tahun dengan suku bunga 5 % setahun.Penyelesaian:M = Rp 100.000,00 ; n = 15 tahun ; i = 5 % setahun

NT=M+M∑k=1

n−1

(1+i)-k

=100 . 000+100 .000∑k

15-1

(1,05 )-k

¿100 .000+100. 000∑(1,05 )- 14

¿100 .000 (1+10 ,37965804 )¿100 .000 (11 ,37965804 )¿1 .137 . 965 ,804

Jadi, nilai tunai dari rente pra numerandonya adalah Rp 1.137.804,00.


NT=M (1+i)i

[1−(1+i )−n ]

NT=M+M∑k=1

n−1

(1+i)-k

54


Pembungaan sebanyak ... kali NT setelah n periode

1 M1 0 M2 M2 1 M (1+i)-1

. . . . . . . . . . . .n - 1 Mn-1 (n – 2) M (1+i)-(n-2)

n Mn (n – 1) M (1+i)-(n-1)

NT pra M +M∑k=1

n-1

(1+ i)-k

NT=M+Mi

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-112. NT Rente Post NumerandoPenjelasan dengan tabel:

a.

Dengan deret geometri

b. Dengan daftar sigma

Contoh:Carilah nilai tunai dari rente post numerando yang besarnya Rp 300.000,00 yang dibayar selama 10 tahun dengan dasar bunga 4 % setahun.Penyelesaian:M = Rp 300.000,00 ; n = 10 tahun ; i = 4 % per tahun

NT=M∑k=1

n

(1+i )-k

=300 . 000∑k=1

10

(1,04 )-k

¿300 . 000∑ (1,04 )-10

¿300 . 000(8,11089578 )¿2 .433. 268 ,734

Jadi nilai tunai dari rente post numerandonya adalah Rp 2.433.268,73

RENTE KEKAL1. Rente Kekal Pra Numerando

Nilai tunai rente kekal pra numerando adaah jumlah masing-masing nilai tunai suatu pembayaran setiap awal masa bunga, dengan waktu yang tidak terbatas dan suku bunga tetap.

Contoh:Tiap awal bulan mulai bulan Januari 2010 sebuah yayasan mendapat sumbangan dari donatur dalam waktu yang tidak terbatas melalui sebuah bank sebesar Rp 100.000,00. Jika


NT=Mi [1−(1+i )−n ]

NT=M∑k=1

n

(1+i )-k

55


Pembungaan sebanyak ... kali NT setelah n periode

1 M1 1 M (1+i)-1

2 M2 2 M (1+i)-2

. . . . . . . . . . . .n - 1 Mn-1 (n – 1) M (1+i)-(n-1)

n Mn n M (1+i)-n

NT post M∑k=1

n

(1+i )-k

NT=Mi

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11semua uang yang akan diterimanya diijinkan untuk diambil seluruhnya pada awal penerimaan pertama (Jan 2010) dengan suku bunga i = 2 % sebulan, berapakah jumlah uang yang diterimanya?Penyelesaian:M = Rp 100.000,00 ; i = 2 % sebulan

NT=M+Mi

NT=100. 000+100 .0000,02

=100 . 000+5 . 000.000=5 . 100 .000

Jadi, jumlah uang yang diterima yayasan tersebut adalah Rp 5.100.000,002. Rente Kekal Post Numerando

Nilai tunai rente kekal post numerando adalah jumlah masing-masing nilai tunai suatu pembayaran setiap akhir masa bunga, dengan waktu yang tidak terbatas dan suku bunga yang tetap.

Contoh:Tiap akhir bulan mulai bulan Januari 2010 sebuah yayasan mendapat sumbangan dari donatur dalam waktu yang tidak terbatas melalui sebuah bank sebesar Rp 100.000,00. Jika semua uang yang akan diterimanya diijinkan untuk diambil seluruhnya pada awal penerimaan pertama (akhir Jan 2010) dengan suku bunga i = 2 % sebulan, berapakah jumlah uang yang diterimanya?Penyelesaian:M = Rp 100.000,00 ; i = 2 % sebulan

NT=Mi

NT=100. 0000,02

=5 .000 . 000

Jadi, jumlah uang yang diterima yayasan tersebut adalah Rp 5.000.000,00

RENTE YANG TERTUNDA / DITANGGUHKANRente yang ditunda adalah rente yang pembayaran pertamanya dibayarkan setelah berlangsung beberapa masa bunga.

Contoh:


NT=Mi [ 1(1+i)k-1

− 1(1+i)n ] (daftar II)

NT=M∑m=1

n

(1+ i)-m−M ∑m=1

k-1

(1+ i)-m(daftar IV)

56

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Hitung nilai tunai pada tanggal 1 Januari 2010 dari rente bulanan dengan angsuran sebesar Rp 10.000,00 jika angsuran pertamanya dibayar mulai 1 April 2010 dan berakhir tanggal 1 Desember 2010 jika suku bunga 4 % sebulan.Penyelesaian: M = Rp 10.000,00n = 11 (1 Jan – 1 Des)k = 3 (1 Jan – 1 April)

NT=M∑m=1

n

(1+ i)-m−M ∑m=1

k-1

(1+ i)-m

=10 . 000 {∑ (1,04 )−11−∑ (1 ,04 )−2}¿10 . 000 {8 ,76047671−1 ,88609467 }¿68 .743 ,82

Jadi NT pada tanggal 1 Januari 2005 adalah Rp 68.743,82

LATIHANA. Berilah tanda silang (X) huruf a, b, c, d atau e pada Penyelesaianan yang paling benar!1. Setiap awal tahun Natasha menabung sebesar Rp 500.000,00 dengan perhitungan bunga

majemuk i = 6 % tiap tahun. Pada akhir tahun ke-17 uang Natasha menjadi … .A. Rp 12.336.164,04 D. Rp 13.952.826,58B. Rp 12.486.250,05 E. Rp 14.952.826,20C. Rp 13.710.643,99

2. Setiap akhir bulan Boby menabung Rp 300.000,00 dengan perhitungan bunga majemuk 5 % sebulan. Maka nilai akhir uang Boby pada akhir bulan ke-10 adalah … .A. Rp 3.007.696,30 D. Rp 3.773.367,76B. Rp 3.307.969,30 E. Rp 3.962.036,15C. Rp 3.437.367,76

3. Setiap awal bulan Dewiq menabung di bank sebesar Rp 50.000,00, jika bank memberikan bunga 3 % sebulan, jumlah uang Dewiq pada akhir bulan ke-8 adalah … .A. Rp 547.956,31 D. Rp 361.514,15B. Rp 457.955,31 E. Rp 350.984,61C. Rp 444.616,80

4. Nilai akhir rente pra numerando dengan angsuran Rp 500.000,00 dengan bunga 4 % sebulan selama 5 bulan adalah … .A. Rp 2.262.295,25 D. Rp 3.816.478,73B. Rp 2.816.487,73 E. Rp 3.916.478,73C. Rp 2.916.478,73

5. Pada akhir tiap tahun mulai tahun 2006 seorang membayar pinjaman Rp 80.000,00 sampai tahun 2011. Jika orang tersebut membayar sekaligus pada awal tahun 2011 dan bunga

2 12

%tiap tahun, maka jumlah uang yang harus dibayarkan … .

A. Rp 82.000,00 D. Rp 44.518,22B. Rp 162.000,00 E. Rp 45.418,23C. Rp 420.506,28

6. Hitung nilai tunai rente pra numerando dengan angsuran Rp 5.000,00 dan dibayarkan selama 5 tahun dengan bunga 10 % pertahun adalah … .A. Rp 23.953,93 D. Rp 56.554,25B. Rp 32.861,93 E. Rp 58.630,00


57

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11C. Rp 50.256,357. Nilai tunai rente pra numerando dengan angsuran Rp 150.000,00 dan dibayarkan selama

5 tahun dengan bunga 4 % setahun adalah … .A. Rp 694.484,28 D. Rp 871.733,35B. Rp 699.448,12 E. Rp 877.733,35C. Rp 817.773,35

8. Nilai tunai rente pra numerando diketahui besarnya Rp 266.067,50 dengan besar angsuran sebesar Rp 20.000,00 sebanyak 24 kali. Besarnya suku bunga adalah … .A. 4 % D. 7 %B. 5 % E. 8 %C. 6 %

9. Nilai tunai rente post numerando dengan angsuran Rp 10.000,00 yang dibayarkan selama 5 tahun dengan bunga 4 % per tahun adalah … .A. Rp 35.875,25 D. Rp 44.518,22B. Rp 41.096,35 E. Rp 45.418,23C. Rp 41.135,12

10. Seorang mendapat bantuan setiap akhir tahun sebesar Rp 500.000,00 mulai 31 Desember 2010 sebanyak 10 kali. Jika bantuan diminta seluruhnya pada awal tahun 2010 dan disetujui dengan bunga 5 % setahun, maka jumlah bantuan yang diterima adalahA. Rp 4.555.448,90 D. Rp 3.860.867,45B. Rp 4.360.867,45 E. Rp 3.553.910,85C. Rp 4.053.910,00

11. Nilai tunai rente kekal post numerando dengan angsuran Rp 25.000,00 tiap bulan berdasarkan bunga 2 % sebulan adalah … .A. Rp 1.250.000,00 D. Rp 12.750.000,00B. Rp 1.275.000,00 E. Rp 13.000.000,00C. Rp 12.500.000,00

12. Rente abadi post numerando sebesar Rp 700.000,00 nilai tunainya Rp 28.000.000,00 maka suku bunga rente tersebut adalah ….A. 2 ½ % D. 3 %B. 2 ¼ % E. 4 %C. 2 %

13. Nilai tunai rente pra numerando kekal dengan angsuran Rp 50.000,00 berdasarkan bunga 20 % setahun adalah ….A. Rp 250.000,00 D. Rp 3.000.000,00B. Rp 300.000,00 E. Rp 3.050.000,00C. Rp 2.500.000,00

14. Nilai tunai rente post numerando kekal dengan angsuran Rp 15.000,00 berdasarkan bunga 30 % setahun adalah ….A. Rp 52.500,00 D. Rp 35.500,00B. Rp 50.000,00 E. Rp 34.500,00C. Rp 45.000,00

15. Nilai tunai rente post numerando kekal dengan angsuran Rp 50.000,00 tiap bulan berdasarkan bunga 2 % sebulan adalah ….A. Rp 255.000,00 D. Rp 1.250.000,00B. Rp 400.000,00 E. Rp 2.500.000,00C. Rp 1.000.000,00

B. Penyelesaianlah pertanyaan di bawah ini dengan benar!1. Tentukan nilai akhir rente pra numerando jika diketahui:


58

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a. M = 400.000, i = 2 %, n = 30b. M = 350.000, i = 5 %, n = 40c. M = 450.000, i = 4 ½ %, n = 20d. M = 300.000, i = 3 ½ %, n = 50

2. Pada tiap awal tahun mulai tahun 1999 sampai dengan 2007 Petra menabung uang di Bank sebesar Rp 500.000,00. Jika bank memberi bunga 6 % setahun, berapakah jumlah uang Petra pada akhir tahun 2007?

3. Pak Abu bermaksud menghadiahkan uang pada anaknya yang akan berulang tahun ke 17. Pada saat anak tersebut berumur 10 tahun, tiap awal tahun Pak Abu mulai menabung uang sebesar Rp 250.000,00 secara terus menerus hingga saat ulang tahun anaknya. Jika Bank memberi bunga 5,5 % setahun, berapa besar hadiah yang diterima anaknya pada ulang tahunnya itu?

4. Pada tiap awal bulan mulai 1 Januari 2000, Enda menabung uang di Bank sebesar Rp 10.000,00 dengan suku bunga 2 % per bulan. Pada tanggal 1 juni 2003 semua uang Enda diambil seluruhnya untuk keperluan biaya sekolah. Berapa jumlah uang yang diambilnya tersebut?

5. Pada tiap akhir bulan Farida menabung uangnya di Bank sebesar Rp 15.000,00 Jika Bank memberi suku bunga 2,5 % sebulan, berapa jumlah uang Farida pada akhir bulan ke 36 tepat setelah penabungan terakhir ?

6. Pada tiap awal bulan suatu yayasan sosial akan menerima uang sebesar Rp 500.000,00 dari seorang donatur melalui sebuah bank sebanyak 25 kali. Jika semua uang yang akan diterimanya diijinkan untuk diambil seluruhnya pada saat penerimaan pertama dengan suku bunga 1,5 % sebulan, berapa jumlah uang yang diterimanya itu ?

7. Ardi akan menerima bea siswa dari suatu yayasan sebesar Rp 50.000,00 tiap awal bulan mulai Maret 2009 hingga Juni 2010 melalui sebuah bank. Jika semua uang yang akan diterimanya itu diijinkan untuk diambil seluruhnya pada awal penerimaan pertama dengan suku bunga 2 % sebulan, berapa jumlah uang yang diterimanya itu?

8. Pada tiap awal bulan sebuah panti asuhan akan menerima uang sebesar Rp 650.000,00 dari seorang dermawan melalui sebuah bank untuk waktu yang tidak terbatas. Jika semua uang yang akan diterimanya itu diijinkan untuk diambil seluruhnya pada penerimaan pertama dengan suku bunga 2,5 %, berapa jumlah uang yang diterimanya?

9. Carilah nilai tunai rente post numerando kekal Rp 250.000,00 yang dibayarkan 10 tahun dengan suku bunga 6 % setahun

10. Carilah nilai tunai rente pra numerando kekal yang besarnya Rp 80.000,00 dengan bunga 5 % setahun.

A N U I T A S

PENGERTIAN ANUITASAnuitas adalah angsuran yang besarnya selalu tetap dimana didalamnya sudah termasuk pelunasan hutang beserta bunganya.Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya, yang dibayarkan setiap akhir jangka waktu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran.Anuitas = Bunga + AngsuranJika besarnya bunga adalah A, angsuran periode ke-n dinyatakan dengan an, dan bunga periode ke-n adalah bn, maka diperoleh hubungan :


59

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11, dengan n = 1, 2, 3, ...

Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan anuitas selama n tahun,atas dasar bunga i = p % setahun, maka: Pada akhir tahun ke-k:Ak=ak+bk

Pada akhir tahun ke-(k+1):Ak+1=ak+1+bk+1

Karena Ak=Ak+1 , maka:ak+1+bk+1=ak+bk⇔ak+1=ak+bk−bk+1⇔ak+1=ak+ i .ak⇔ak+1=ak (1+i )Sehingga:a2=a1 (1+i )a3=a2 (1+i )=a1 (1+ i) (1+i )=a1 (1+i )

2

Secara umum dapat ditulis sebagai:

Keterangan:an = angsuran ke-na1 = angsuran pertamai = suku bunga

PERHITUNGAN ANUITASA. Menghitung Anuitas dengan Deret

Suatu pinjaman sebesar M akan dilunasi dengan n anuitas sebesar A dan besarnya suku

bunga adalah i, maka A=b1+a1 , karena b1=Mi , maka A=Mi+a1 . Jika jumlah angsuran sama dengan pokok pinjaman, maka:a1+a2+a3+.. .+an=M⇔a1+a1 (1+i )+a1 (1+ i )

2+.. .+a1 (1+i )n−1=M

Ruas kiri adalah deret geometri dengan suku pertama a1 , ratio = (1+i ) , dan banyaknya suku n, maka:

a1(1+i )n−1(1+i )−1

=M

a1(1+i )n−1i

=M

a1=Mi

(1+i )n−1 …………..( 1 )


an=a1 (1+i )n−1

A=an+bn

60

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11A=Mi+a1 , maka:

⇔ A=Mi+Mi(1+i )n−1

⇔ A=Mi [ (1+ i )n−1 ]+Mi(1+i )n−1

⇔ A=Mi (1+i )n−Mi+Mi

(1+i )n−1

⇔ A=Mi (1+i )n

(1+i )n−1 ……….( 2 )

⇔ A=Mi (1+i )n

(1+i )n−1×

1(1+i )n

1(1+i )n

⇔ A= Mi

1− 1(1+i )n

atau dapat juga ditulis dalam bentuk: A= Mi

1−AniDari ( 1 ) dan ( 2 ) didapat:

A=a1 [ (1+i )n−1 ] (1+i )n

(1+i )n−1 atau

Contoh soal:Suatu pinjaman sebesar Rp 100.000,00 akan dilunasi dengan 6 anuitas atas dasar bunga 8 % sebulan. Tentukan:a. Besar anuitasnyab. Angsuran ke-4c. Bunga pada anuitas ke-4

Penyelesaian:M = 100.000; n = 6; i = 0,08 sebulan

a.

A= Mi

1− 1(1+i )n


A=a1 (1+i )n

61

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11=

100 . 000(0 ,08 )

1−1(1 ,08 )6

¿8 . 0001−0 ,63016963

→(daftar II )

¿8 . 0000 ,36983037¿21 .631 ,54

Jadi, besar anuitasnya adalah RP 21.631,54

b. a1=A−Mi

=21 .631 ,54−100 . 000 (0 ,08 )=21 .631 ,54−8 .000=13 .631 ,54

a4=a1 (1+i )3

=13 . 631 ,54 (1 ,08 )3

¿17 .171 ,81Jadi, besarnya angsuran ke-4 adalah Rp 17.171,81

c. b4=A−a4

=21 . 631 ,54−17 . 171,81=4 . 459 ,73

Jadi, bunga pada anuitas ke-4 adalah Rp 4.459,73

B. Menghitung Anuitas dengan Notasi SigmaPinjaman sebesar M dilunasi dengan n anuitas sebesar A, maka besarnya M sama dengan jumlah nilai tunai dari semua pembayaran anuitas. Jadi:A

(1+ i)+ A(1+i )2

+ A(1+i )3

+ .. .+ A(1+i )n

=M

⇔ A×[1(1+i ) +1(1+i )2

+1(1+i )3

+.. .+1(1+i )n ]=M

⇔ A×∑n=1

n 1(1+i )n

=M

Contoh: (Daftar V)

1. Suatu pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 4 anuitas bulanan, anuitas pertama dibayarkan sesudah satu bulan atas dasar bunga majemuk i = 2 % sebulan. Hitunglah besarnya anuitas tersebut.Penyelesaian:


A=M× 1

∑n=1

n

(1+i )−n

62

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11M = Rp 1.000.000,00 ; i = 2 % sebulan ; n = 4 bulan

A=M× 1

∑n=1

n

(1+i )−n

=1 .000 .000× 1

∑n=1

4

(1+0 ,02 )−n

(lihat daftar V)=1 . 000 .000×0 ,26262375=262 . 623 ,75

Jadi besarnya Anuitas adalah Rp 262.623,752. Hutang sebesar Rp 20.000.000,00 akan dilunasi dengan 12 anuitas atas dasar bunga

4 12

%setahun. Hitunglah besar anuitasnya.

Penyelesaian:

M = Rp 20.000.000,00 ; i = 4 1

2%

setahun = 0,045 ; n = 12

A=M× 1

∑n=1

n

(1+i )−n

=20 . 000 . 000× 1

∑n=1

12

(1 ,045 )−n

(lihat daftar V)=20 .000 . 000 (0 ,10966619 )=2 . 193. 323 ,80

Jadi, besar anuitasnya adalah Rp 2.193.323,80C. Menghitung Anuitas dan Angsuran ke-n

Karena setiap Anuitas besarnya selalu sama, maka:Anuitas pertama = Anuitas kedua a1+b1=a2+b2

a1+i . M=a2+i . (M−a1)a1+i . M=a2+i . M−i . a1

a2=a1+i . a1

a2=a1(1+i )Demikian juga jika A2 = A3 dengan cara yang sama diperoleh:a3=a2(1+i )Secara umum bisa dinyatakan dengan:

Selanjutnya dari rumus diatas dapat dikembangkan sebagai berikut:a3=a2(1+i )


an=an−1(1+i )

63

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11=a1(1+i )(1+i )a3=a1(1+i )

2

Contoh: 1. Hutang sebesar Rp 100.000,00 akan dilunasi dengan anuitas Rp 12.000,00 perbulan

dengan suku bunga 2 % sebulan. Hitunglah besar angsuran ke-5.Penyelesaian:M = Rp 100.000,00 ; i = 2 %a1=A−Mi= 12.000−(100 .000×0 ,02)=12 . 000− 2. 000=10 . 000

an=a1(1+i)(n−1)

a5=10 .000×(1 ,02 )4

=10 . 000×1 ,08243216 (daftar I)=10 . 824 ,3216

Jadi besar angsuran ke-5 adalah Rp Rp 10.824,32

2. Pada pelunasan hutang dengan anuitas suku bunganya 1 1

2%

, diketahui bahwa besarnya angsuran ke-2 adalah Rp 20.000,00Berapakah besarnya angsuran bulan ke-5?

Penyelesaian:

a2 = Rp 20.000,00 ; i = 1 1

2%

an=ak (1+ i )n−k

a5=a2(1+i )5−2

a5=20 .000(1 ,015)5−2

=20 .000(1 ,015)3

¿20 . 000(1,04568375 )¿20 . 913 ,57

Jadi besarnya angsuran ke-5 adalah Rp 20.913,57

MENGHITUNG SISA PINJAMAN

Jika S1 , S2 .S3 , .. . , Sm berturut-turut merupakan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga, … , ke-m, maka ada beberapa cara untuk menghitung sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m, yaitu memisahkan pinjaman sebesar M dilunasi dengan n anuitas, bunga i = P %


an=ak (1+ i )n−k

64

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-111. Cara pertamaSisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m sama dengan pokok pinjaman dikurangi jumlah m angsuran yang sudah dibayar.Sm=M−(a1+a2+a3+.. .+am)=M−[a+a1 (1+i )+a1 (1+i )

2+. ..+a1 (1+i )m−1 ]

¿M−a1 [1+ (1+ i )+ (1+i )2+. . .+ (1+ i )m−1 ]Sm=M−a1 [1+∑k=1

m−1

(1+ i )k]2. Cara kedua

Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m sama dengan jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar.Sm=am+1+am+2+am+3+. ..+an=a1 (1+i )

m+a1 (1+i )m+1+a1 (1+ i )

m+2+. ..+a1 (1+ i )n−1

Sm=a1 [∑k=1

n−1

(1+i )k−∑k=1

m=1

(1+i )k ]3. Cara ketiga

Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m sama dengan nilai dari semua anuitas yang belum dibayarkan, dihitung pada akhir tahun ke-m.

Sm=A

(1+i )+ A(1+i )2

+ A(1+i )3

+. ..+ A(1+i )n−m

=A×[ 1(1+i )

+1

(1+i )2+

1(1+i )3

+. ..+ 1(1+ i )n−m ]

Sm=A×∑k=1

n−m

(1+i )−k

4. Cara keempatSisa pinjaman dapat dihitung sebagai berikut:b1=i×Mb2=i×S1b3=i×S2. ... ... ..bn+1=i×Sm

Sm=bm+1

iContoh: Suatu pinjaman Rp 10.000.000,00 dilunasi dengan anuitas tahunan selama 20 tahun atas dasar

bunga 5 1

2%

setahun. Berapakah sisa pinjaman sesudah pembayaran anuitas ke-15? Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

65

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Penyelesaian:

M = Rp 10.000.000,00 ; i = 5 1

2%

A=M× 1

∑n=1

n

(1+i )−n

=10 .000×1

∑n=1

20

(1 ,055 )−20

¿10 . 000×0 ,08367933¿836 .793 ,30

a1=A−Mi=836. 793 ,30−(10. 000 . 000×0 ,055 )=836. 793 ,30−550 . 000=286 . 793 ,30

Sisa pinjaman sesudah pembayaran anuitas ke-15

Sm=M−a1 [1+∑k=1

m−1

(1+ i )k ]S15=10 .000 .000−286 .793 ,30[1+∑k=1

15−1

(1 ,055 )14]=10 . 000 .000−286 .793 ,30 [1+21 ,40866350 ]=10 . 000 .000−6 ,426 . 654 ,55=3 . 573 .345 ,45

ANUITAS YANG DIBULATKAN1. Anuitas yang dibulatkan ke atas

Jika Anuitas dibulatkan keatas maka kelebihan pada setiap anuitas diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir.Demikian pula dengan pembulatan kebawah, kekurangan pada setiap anuitas diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir.Contoh:Sebuah hutang sebesar Rp 500.000,00 akan dilunasi dalam 6 anuitas dengan i = 2 %. Tentukan besar pembayaran pada anuitas terakhir jika anuitas dibulatkan k eatas sampai kelipatan Rp 1.000,00.Penyelesaian:M = Rp 500.000,00 ; i = 2 % ; n = 6

A=M× 1

∑n=1

n

(1+i )−n

=500 . 000×1

∑n=1

6

(1 ,02 )−6

¿500 .000×0 ,17852581¿89 . 262,905


66

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Anuitas yang dibulatkan ke atas sampai kelipatan Rp 1.000,00 yang terdekat menjadi Rp 90.000,00Cara 1a1=(A+ )−Mi=90. 000−(500 . 000×0 ,02 )=90. 000−10 .000=80. 000Kelebihan pembayaran dari semua angsuran (d) yaitu:=(a1+a2+a3+ . . . +a10)−M

¿a1(1+∑k=1

n−1

(1+i )k)−M¿80 .000(1+∑

k=1

6−1

(1 ,02)5)−500 .000

¿80 .000(1+5 ,30812096 )−500 .000¿80 .000(6 ,30812096)−500.000¿504 .649 ,6768−500 .000¿4 .649 ,68Jadi, besarnya pembayaran anuitas terakhir yaitu:=90. 000−4 .649 ,68=85. 350 ,32Cara 2A = Rp 89.262,905A+ = Rp 90.000,00Kelebihan pembayaran pada akhir tiap tahun (d) adalah:= Rp 90.000,00 – Rp 89.262,91 = Rp 737,09Nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir adalah:=d [(1+ i )+(1+i )2+(1+i )3+ . . . +(1+i )n−2+(1+i )n−1 ]

¿d (1+∑k=1

n−1

(1+ i)k)¿737 ,09 (1+5 ,30812096 )¿737 ,09 (6 ,30812096 )¿4 .649 ,65Jadi, besar pembayaran pada anuitas terakhir adalah:=A−4 .649 ,65=90. 000−4 .649 ,65=85. 350 ,35Tabel Rencana Pelunasan:Tahun

ke-Pinjaman Awal

Tahun (Rp)Anuitas (90.000) Sisa Pinjaman

Akhir Tahun (Rp)Bunga (2 %) Angsuran1 500.000 10.000 80.000 420.000


67

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-1123456

420.000338.400255.168

170.271,36 83.676,79

8.4006.768

5.103,36 3.405,43 1.673,54

81.60083.232

84.896,64 86.594,57 83.676,79

338.400255.168

170.271,36 83.676,79

0Jumlah 500.000

2. Anuitas yang dibulatkan ke bawahContoh:Sebuah hutang sebesar Rp 500.000,00 akan dilunasi dalam 6 anuitas dengan i = 2 %. Tentukan besar pembayaran pada anuitas terakhir jika anuitas dibulatkan ke bawah sampai kelipatan Rp 1.000,00.Penyelesaian:M = Rp 500.000,00 ; i = 2 % ; n = 6

A=M× 1

∑n=1

n

(1+i )−n

=500 . 000×1

∑n=1

6

(1 ,02 )−6

¿500 .000×0 ,17852581¿89 . 262,905Anuitas yang dibulatkan ke bawah sampai kelipatan Rp 1.000,00 yang terdekat menjadi Rp 89.000,00Cara 1a1=(A+ )−Mi=89. 000−(500 .000×0 ,02)=89. 000−10.000=79 . 000Kekurangan pembayaran dari semua angsuran (d) yaitu:=M−(a1+a2+a3+ . . . +a10)

¿M−a1(1+∑k=1

n−1

(1+ i)k)¿500 .000−79 . 000(1+∑

k=1

6−1

(1 ,02)5)¿500 .000−79 . 000(1+5 ,30812096 )¿500 .000−79 . 000(6 ,30812096)¿500 .000−498.341 ,5558¿1 .658 ,45Jadi, besarnya pembayaran anuitas terakhir yaitu:=89. 000+1 .658 , 45=90. 658 ,45


68

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Cara 2 A = Rp 89.262,905A– = Rp 89.000,00Kekurangan pembayaran pada akhir tiap tahun (d) adalah:= Rp 89.262,91 – Rp 89.000,00 = Rp 262,91Nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir adalah:=d [(1+ i )+(1+i )2+(1+i )3+ . . . +(1+i )n−2+(1+i )n−1 ]

¿d (1+∑k=1

n−1

(1+ i)k)¿262 ,91 (1+5 ,30812096 )¿262 ,91 (6 ,30812096 )¿1 .658 ,4680Jadi, besar pembayaran pada anuitas terakhir adalah:=A+1.658 ,47=89.000+1 .658 , 47=90.658 ,47Tabel Rencana Pelunasan:Tahun

ke-Pinjaman Awal

Tahun (Rp)Anuitas (89.000) Sisa Pinjaman

Akhir Tahun (Rp)Bunga (2 %) Angsuran123456

500.000 10.000 79.000

0Jumlah 500.000

ANUITAS PINJAMAN OBLIGASIObligasi adalah surat bukti tanda serta memberikan pinjaman jangka panjang kepada badan yang menerbitkan obligasi tersebut. Pada obligasi tertera nilai nominal dari obligasi tersebut. Salah satu cara yang digunakan untuk mengangsur pinjaman obligasi adalah dengan sistem anuitas. Setiap bagian angsuran pada anuitas dibulatkan ke bawah sampai kelipatan nominal dari obligasi yang bersangkutan.Contoh:Suatu pinjaman obligasi sebesar Rp 1.000.000,00 dengan nilai nominal masing-masing obligasi Rp 10.000,00 dan bunga pinjaman obligasi 5 % sebulan. Susunlah rencana angsuran jika hutang tersebut dilunasi dalam 7 anuitas bulanan.Penyelesaian:M = Rp 1.000.000,00 ; i = 5 % ; n = 7

A=M× 1

∑n=1

n

(1+i )−n


69

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11=1 .000 .000×1

∑n=1

7

(1 ,05 )−7

¿1 .000 .000×0 ,17281982¿172. 819 ,82

Rencana angsuran: Akhir bulan ke-1

Jumlah obligasi yang harus dibayar =1 .000 .000

10 . 000=100 obligasi

Anuitas (A) = Rp 172.819,82Bunga ke-1 (b1) = 5 % x Rp 1.000.000,00 = Rp 50.000,00 (–)Angsuran 1 (a1) = Rp 122.819,82Diangsur 12 Obligasi = Rp 120.000,00 (–)Sisa angsuran ke-1 (s1) = Rp 2.819,82

Awal bulan ke-2Jumlah obligasi yang harus dibayar = 100 – 12 = 88 obligasiAnuitas (A) = Rp 172.819,82Sisa angsuran ke-1 (s1) = Rp 2.819,82Bunga sisa pinjaman 0,05 x 2.819,82 = Rp 140,99 (+)Jumlah = Rp 175.780,63Bunga ke-2 (b2) = 5 % x Rp 880.000,00 = Rp 44.000,00 (–)Angsuran 2 (a2) = Rp 131.780,63Diangsur 13 Obligasi = Rp 130.000,00 (–)Sisa angsuran ke-2 (s2) = Rp 1.780,63



Awal bulan ke-5Jumlah obligasi yang harus dibayar = 62 – 15 = 47 obligasiAnuitas (A) = Rp 172.819,82Sisa angsuran ke-4 (s4) = Rp 7.358,77


70

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Bunga sisa pinjaman 0,05 x 7.358,77 = Rp 367,94 (+)Jumlah = Rp 180.546,53Bunga ke-5 (b5) = 5 % x Rp 470.000,00 = Rp 23.500,00 (–)Angsuran 5 (a5) = Rp 157.046,53Diangsur 15 Obligasi = Rp 150.000,00 (–)Sisa angsuran ke-5 (s5) = Rp 7.046,53

Awal bulan ke-6 Jumlah obligasi yang harus dibayar = 47 – 15 = 32 obligasiAnuitas (A) = Rp 172.819,82Sisa angsuran ke-5 (s5) = Rp 7.046,53Bunga sisa pinjaman 0,05 x 7.046,53 = Rp 352,33 (+)Jumlah = Rp 180.218,68Bunga ke-6 (b6) = 5 % x Rp 320.000,00 = Rp 16.000,00 (–)Angsuran 6 (a6) = Rp 164.218,68Diangsur 16 Obligasi = Rp 160.000,00 (–)Sisa angsuran ke-6 (s6) = Rp 4.218,68


LATIHANA. Berilah tanda silang (X) huruf a, b, c, d atau e sebagai Penyelesaianan yang paling

tepat !1. Pinjaman sebesar M akan dibayar dengan anuitas sebesar A pada akhir setiap tahun. Jika

bunga i = p % maka besar angsuran pada akhir tahun kedua adalah ….a. A – iM d. (A + iM) (1 + i)b. A + iM e. (A – iM) (1 + i)2 c. (A – iM) (1 + i)

2. Pinjaman Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga 6 % setahun dibayar dengan anuitas tahunan se-besar Rp 350.000,00 angsuran akhir tahun pertama adalah ….a. Rp 210.000,00 d. Rp 225.000,00b. Rp 215.000,00 e. Rp 230.000,00c. Rp 220.000,00

3. Suatu pinjaman sebesar Rp 100.000,00 akan dilunasi dengan anuitas Rp 20.000,00 per bulan, dengan suku bunga 3 % sebulan. Sisa pinjaman pada akhir bulan pertama adalah ….a. Rp 77.000,00 d. Rp 93.000,00b. Rp 83.000,00 e. Rp 97.000,00c. Rp 87.000,00

4. Pinjaman Rp 1.500.000,00 dengan suku bunga 4 % dan sisa pinjaman akhir tahun pertama adalah Rp 1.320.000,00 maka besarnya anuitas adalah ….a. Rp 210.000,00 d. Rp 240.000,00b. Rp 220.000,00 e. Rp 250.000,00c. Rp 230.000,00


71

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-115. Pinjaman sebesar Rp 400.000,00 akan dilunasi dengan 8 anuitas tahunan sebesar Rp 80.000,00 atas dasar bunga i = 10 % maka besarnya bunga tahun ke-3 adalah …. a. Rp 40.000,00 d. Rp 26.760,00b. Rp 36.000,00 e. Rp 21.436,00c. Rp 31.600,00

6. Pinjaman sebesar Rp 15.000.000,00 akan dilunasi dengan 8 anuitas tahunan atas dasar bunga 6 % setahun, anuityas pertama dibayar sesudah satu tahun, maka besarnya anuitas ….a. Rp 2.590.000,00 d. Rp 1.415.539,13b. Rp 2.415.539,13 e. Rp 1.415.094,34c. Rp 1.590.000,00

7. Pinjaman sebesar Rp 200.000,00 akan dilunasi dengan 4 anuitas bulanan, anuitas pertama dibayarkan setelah 1 bulan atas dasar bunga 2 % sebulan. Besarnya anuitas adalah ….a. Rp 26.262,38 d. Rp 69.350,92b. Rp 52.524,75 e. Rp 70.035,29c. Rp 55.024,57

8. Suatu pinjaman sebesar Rp 4.000.000,00 dilunasi dengan anuitas tahunan selama 10 tahun, atas dasar bunga 6 % setahun. Sisa pinjaman setelah anuitas ke-7 adalah ….a. Rp 1.543.471,92 d. Rp 1.303.471,92b. Rp 1.240.000,00 e. Rp 1.250.417,92c. Rp 1.452.706,64

9. Suatu pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan masing-masing Rp 1.193.000,00 jika suku bunga 20 % pertahun, maka besar angsuran ke-3 ….a. Rp 193.000,00 d. Rp 227.920,00b. Rp 231.000,00 e. Rp 916.400,00c. Rp 231.500,00

10. Dari suatu pinjaman yang dilunasi dengan anuitas, diketahui besarnya anuitas Rp 10.000,00 Jika besarnya angsuran pertama Rp 6.000,00 dan suku bunga 20 % tiap periode, maka besarnya bunga pada pembayaran anuitas yang ketiga adalah ….a. Rp 1.250,00 d. Rp 1.460,00b. Rp 1.300,00 e. Rp 1.560,00c. Rp 1.360,00

11. Hutang sebesar Rp 100.000,00 yang akan dilunasi dengan anuitas bulanan Rp 25.000,00 dengan suku bunga 3 % sebulan. Maka besar angsuran ke-2 adalah ….a. Rp 20.000,00 d. Rp 26.000,00b. Rp 22.660,00 e. Rp 27.500,00c. Rp 25.000,00

12. Dari suatu pinjaman dengan sistem anuitas, jika besar anuitas Rp 10.655,22 anuitas pertama dibayar 1 bulan sesudah penerimaan pinjaman, angsuran akhir bulan pertama sebesar Rp 6.655,22 bunganya 4 % sebulan. Besar pinjamannya adalah ….a. Rp 40.000,00 d. Rp 400.000,00b. Rp 69.241,76 e. Rp 440.000,00c. Rp 100.000,00

13. Suatu pinjaman sebesar Rp 4.000.000,00 dilunasi dengan anuitas tahunan selama 10 tahun atas dasar bunga 6 % setahun. Sisa pinjaman setelah anuitas ke-7 adalah ….a. Rp 1.543.471,92 d. Rp 1.303.471,92b. Rp 1.240.000,00 e. Rp 1.250.417,92c. Rp 1.452.706,64

14. Pinjaman Rp 40.000,00 akan dilunasi dengan 8 anuitas tahunan suku bunga 10 % setahun. Besar sisa pinjaman tahun ke-5 adalah ….


72

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a. Rp 28.422,41 d. Rp 13.012,65b. Rp 23.766,90 e. Rp 6.816,15c. Rp 18.645,83

15. Pinjaman sebesar Rp 4.000.000,00 akan dilunasi 5 anuitas bulanan dengan suku bunga 6 % sebulan. Maka besar anuitas tersebut adalah ... .a. Rp 813.600,00b. Rp 949.600,00c. Rp 1.349.600,00d. Rp 1.154.400,00e. Rp 1.554.400,00

16. Pinjaman sebesar Rp 500.000,00 akan dilunasi dengan 5 anuitas bulanan sebesar Rp 106.100,00 suku bunga 2 % per bulan. Besar sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-4 adalah ... .a. Rp 104.020,44b. Rp 104.220,44c. Rp 403.996,97d. Rp 500.102,35e. Rp 500.120,35

17. Pinjaman sebesar Rp 100.000,00 dilunasi dalam 5 anuitas tahunan. Anuitas pertama dibayar setahun setelah penerimaan pinjaman dengan bunga 4 % setahun. Anuitas dibulatkan ke atas sampai dengan kelipatan Rp 1.000,00 yang terdekat. Besarnya anuitas adalah ….a. Rp 20.000,00 d. Rp 25.000,00b. Rp 22.000,00 e. Rp 30.000,00c. Rp 23.000,00

18. Hutang sebesar Rp 250.000,00 akan diangsur dengan anuitas selama 15 bulan dengan bunga 3 % sebulan, jika anuitas dibulatkan ke atas sampai kelipatan Rp 500,00 terdekat maka besarnya angsuran pertama adalah ….a. Rp 13.500,00 d. Rp 11.941,65b. Rp 12.941,65 e. Rp 11.500,00c. Rp 12.500,00

19. Pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 5 anuitas tahunan, berdasarkan bunga 6 % setahun. Anuitas tepat menurut perhitungan matematika dibulatkan ke bawah dengan kelipatan Rp 1.000,00. Besarnya anuitas tersebut adalah ….a. Rp 237.000,00 d. Rp 237.777,90b. Rp 237.500,00 e. Rp 237.797,90c. Rp 237.750,00

20. Perhatikan tabel pelunasan berikut!Th-ke Hutang awal Anuitas (Rp 1.350.000) Sisa hutang (Rp)Bunga (4%) Angsuran1 10.000.000 ........................ ........................ ........................2 ........................ ........................ ........................ ........................

Besar bunga pada tahun ke-2 adalah.....a. Rp 362.000,00 d. 950.000,00b. Rp 384.000,00 e. 988.000,00c. Rp 400.000,00

B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan baik dan benar ! 1. Sebuah hutang sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 12 anuitas bulanan dengan

suku bunga 2 % sebulan. Tentukan:a. Besar Anuitas


n 6 %456

0,28860,23740,2034

n 2 %145

0,98043,80774,7135

73

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11b. Besar bunga pada angsuran pertamac. Besar angsuran pertamad. Besar angsuran ke-10e. Sisa hutang setelah angsuran ke-9f. Buatlah rencana pelunasannya.

2. Sebuah hutang sebesar Rp 2.000.000,00 akan dilunasi dengan 20 anuitas bulanan dengan suku bunga 2 % sebulan . Tentukan besar anuitas dan sisa hutang setelah anuitas ke-15

3. Sistem anuitas digunakan untuk membayar pinjaman dengan suku bunga majemuk 3 ½ % sebulan. Pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Jika diketahui a1 = Rp 114.501,16 dan angsuran terakhir an = Rp 136.366,76 maka . . .a. Dengan berapa anuitaskah pinjaman tersebut bisa terlunasi?b. Berapa besar pinjamannya?c. Berapa besar anuitasnya?d. Susunlah daftar angsuran untuk 4 bulan pertama.

4. Anuitas bulanan suatu hutang adalah Rp 230.974,80 tiap akhir bulannya. Jika angsuran pertama a1 = Rp 180.974,80 dengan suku bunga 5 % sebulan. Hitunglah:a. Dengan berapa anuitaskah hutang tersebut akan lunas?b. Berapa besar hutang tersebut?c. Angsuran ke-3?d. Sisa hutang setelah akhir bulan ke-4?

5. Suatu pinjaman Obligasi sebesar Rp 1.000.000,00 dengan nilai nominal masing-masing obligasi Rp 20.000,00 dan bunga pinjaman Obligasi 4 % sebulan. Susunlah rencana angsuran jika hutang tersebut dilunasi dalam 5 anuitas bulanan.

P E N Y U S U T A N

PENGERTIAN PENYUSUTAN DAN AKTIVAA. Pengertian Penyusutan

Seseorang membeli sebuah sepeda motor yang masih baru seharga Rp 15.000.000,00. Setelah digunakan selama 5 tahun nilai mesin itu diperkirakan tinggal Rp 12.000.000,00Dari contoh di atas bisa disimpulkan antara lain bahwa suatu aktiva (kecuali tanah dan beberapa barang yang memiliki karakteristik khusus misalnya barang antik) selama masa pakainya akan mengalami penurunan daya guna sejalan dengan berlangsungnya waktu pemakaian dan berdampak pada penurunan nilai alat produksi (aktiva yang lain) tersebut. Dengan kata lain nilai barang mengalami penyusutan.Jadi penyusutan (depresiasi) adalah proses pengalokasian secara periodik dari sebagian biaya perolehan suatu aktiva terhadap biaya perusahaan.Faktor-faktor yang perlu diperhitungkan dalam perhitungan besar/kecilnya penyusutan antara lain:

Biaya perolehan (A) Yaitu biaya yang dikeluarkan untuk memperoleh alat sampai alat tersebut dioperasikan.Pada contoh diatasnilai perolehan (A) = Rp 15.000.000,00

Perkiraan Nilai Sisa (Residu/ S)Yaitu nilai yang mungkin diperoleh (ditaksir) melalui penjualan barang yang sudah lampau masa pakainya.Pada contoh diatas, nilai sisa S = Rp 12.000.000,00

Perkiraan Umur Manfaat barang (n)Dari contoh diatas, umur manfaat adalah 5 tahun.


74

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11B. Pengertian AktivaAktiva/harta perusahaan adalah segala sumber daya ekonomi suatu perusahaan yang berupa harta benda dan hak-hak yang dimiliknya. Ditinjau dari manfaatnya, aktiva perusahaan dibedakan menjadi dua macam: aktiva lancar dan aktiva tetap.a. Aktiva lancar

Aktiva lancar adalah uang kas/tunai dan aktiva lain yang dapat dicairkan menjadi uang tunai, dijual atau dipakai habis,selama satu periode operasi normal dari perusahaan itu.Misalnya: uang kas, persediaan barang dagangan, bahan mentah, barang dalam proses, piutang dagang, wesel tagih, surat-surat berharga yang dapat dijual, premi asuransi, dan sebagainya.

b. Aktiva tetapAktiva tetap adalah aktiva yang sifatnya tahan lama atau permanen yang digunakan dalam menyelenggarakan operasi perusahaan. Aktiva tetap dibagi menjadi dua kelompok:1) Aktiva tetap berwujud, yaitu aktiva yang mempunyai nilai fisik/material

Contoh: perabotan, perkakas, mesin-mesin, gedung, tanah, dan sumber lain.2) Aktiva tetap tidak berwujud, yaitu aktiva tetap yang tidak memilki sifat fisik akan

tetapi memunyai nilai uang berupa kekuatan hukumnya.Contoh: hak paten, hak cipta, merek dagang, dan lain-lain.

PERHITUNGAN PENYUSUTANBeberapa metode yang digunakan untuk menghitung nilai penyusutan sebuah aktiva1. Metode Garis Lurus (Persentase Tetap dari Harga Beli)2. Metode Persentase Tetap dari Nilai Buku3. Metode Satuan Jam Kerja4. Metode Satuan Hasil Produksi5. Metode Jumlah Bilangan Tahun1. Metode Garis Lurus

Pada Metode ini penyusutan terhadap sebuah aktiva dianggap sama pada setiap periodenya.

D = Besar penyusutan setiap periodeA = Biaya perolehan aktivaS = Nilai sisai = Tingkat penyusutanContoh:Diketahui sebuah barang harga belinya Rp 100.000,00 dengan nilai sisa Rp 60.000,00. Jika umur manfaat barang tersebut adalah 5 tahun. Tentukan:a. Besar penyusutan tiap tahunb. Persentase penyusutanc. Daftar penyusutanPenyelesaian:A = Rp 100.000,00S = Rp 60.000,00n = 5


D=A−Sn

i=DA×100 %

75

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a. Besar penyusutan

D= A−Sn

=100 . 000−60. 0005

=40 .0005

=8.000b. Persentase penyusutan

i=DA×100 %

=8. 000100 .000

×100%

=8%Nilai buku akhir tahun ke-3 adalah = 100.000 – 3(8.000) = 100.000 – 24.000 = 76.000Jadi, nilai buku akhir tahun ke-3 (sisa) = Rp 76.000,00

c. Daftar penyusutan:

Thn Nilai Buku Awal Tahun

Beban Penyusutan

Akumulasi Penyusutan

Nilai Buku Akhir Thn

0 - - - 100.0001 100.000 8.000 8.000 92.0002 92.000 8.000 16.000 84.0003 84.000 8.000 24.000 76.0004 76.000 8.000 32.000 68.0005 68.000 8.000 40.000 60.000

2. Metode Persentase Tetap dari Nilai BukuPada metode ini besar penyusutan didasarkan atas persentase tetap terhadap harga buku. Karena pada setiap periode mempunyai nilai buku yang berlainan maka jumlah penyusutannya berbeda-beda, seperti perhitungan berikut:Nilai buku aktiva pada akhir periode:Ke-1 = S1 = A – i A = A(1 – i)Ke-2 = S2 = A(1 – i) – i A(1 – i) = A (1 – i) (1 – i) = A (1 – i)2

Ke-3 = S3 = A (1 – i)2 – i A(1 – i)2 = A (1 – i)2 (1– i) = A (1 – i)3

Ke-4 = S4 = A (1 – i)3 – i A(1 – i)3 = A (1 – i)3 (1 – i) = A (1 – i)4

.

. Ke-n = Sn = A (1 – i)n

Nilai buku aktiva pada akhir periode ke-n adalah nilai sisa aktiva itu sendiri sehingga bisa dinyatakan dengan:S=A(1−i)n

SA=(1−i)n

(1−i)=n√SA Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

Sn = A (1 – i)n

i=1−n√ SA 76

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Contoh:Sebuah aktiva diperoleh dengan biaya Rp 3.000.000,00. Taksiran nilai sisanya adalah Rp 250.000,00 dan masa manfaat aktiva tersebut adalah 5 tahun. a. Hitung tingkat penyusutannya.b. Susunlah daftar penyusutan untuk 3 tahun pertama.Penyelesaian:

a.i=1−5√250 .000

3 .000 .000=1−0 ,6084=0 ,3916=39 ,16 %

b. Daftar penyusutan:

Thn ke-

Nilai Buku Awal Thn

PersentasePenyusutan

Beban Penyusutan



0 - - - - 3.000.0001 3.000.000,00 39,16 1.174.800,00 1.174.800,00 1.825.200,002 1.825.200,00 39,16 714.748,32 1.889.548,32 1.110.451,683 1.110.451,68 39,16 434.852,88 2.324.401,20 675.598,80

3. Metode Satuan Jam KerjaPada metode ini menurunnya daya guna suatu aktiva dipengaruhi oleh lamanya aktiva dipakai yang diskalakan dalam satuan jam kerja aktiva.Rumus yang digunakan adalah:

Contoh:Sebuah aktiva diperoleh dengan biaya Rp 3.000.000,00. Taksiran nilai sisanya adalah Rp 250.000,00 dan masa manfaat aktiva tersebut adalah 5.000 jam dalam 5 tahun yang dirinci sbb:Tahun ke 1 = 1350 jamTahun ke 2 = 1250 jamTahun ke 3 = 1025 jamTahun ke 4 = 800 jamTahun ke 5 = 575 jamTentukan:a. Besar penyusutan setiap jamnya b. Beban penyusutan pada tahun pertamac. Daftar penyusutan.Penyelesaian:a. Besar penyusutan

D= A−Sn

=3 . 000 .000−250 .0005 . 000

=550b. Beban penyusutan tahun pertama adalah 1350 x Rp 550 = Rp742.500


D= A−Sn

77

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11c. Daftar penyusutan

Thn Jam Kerja

Penyusutan Tiap Jam

Beban Penyusutan



0 - - - - 3.000.0001 1350 550 742.500 742.500 2.257.5002 1250 550 687.500 1.430.000 1.570.0003 1025 550 563.750 1.993.750 1.006.2504 800 550 440.000 2.433.750 566.2505 575 550 316.250 2.750.000 250.000

4. Metode Satuan Hasil ProduksiPada metode ini besar penyusutan tergantung pada kinerja alat/aktiva (jumlah barang yang dihasilkan alat tersebut).Rumus yang digunakan adalah:

Contoh:Sebuah aktiva diperoleh dengan biaya Rp 3.000.000,00. Taksiran nilai sisanya adalah Rp 250.000,00 dan telah menghasilkan 10.000 satuan hasil produksi dalam 5 tahun yang dirinci sbb:Tahun ke 1 menghasilkan = 2500 satuan hasil produksi Tahun ke 2 menghasilkan = 2250 satuan hasil produksiTahun ke 3 menghasilkan = 2000 satuan hasil produksiTahun ke 4 menghasilkan = 1750 satuan hasil produksiTahun ke 5 menghasilkan = 1500 satuan hasil produksiTentukan:a. Besar penyusutan setiap satuan hasil produksib. Beban penyusutan pada tahun pertamac. Daftar penyusutanPenyelesaian:a. Besar penyusutan

D= A−Sn=3 .000 . 000−250 . 000

10 .000=275

b. Beban penyusutan tahun pertama adalah 2500 x Rp 275= Rp687.500c. Daftar penyusutan

Thn Satuan Hasil Produksi

Penyusutan Tiap SHP

Beban Penyusutan



0 - - - - 3.000.0001 2500 275 687.500 687.500 2.312.5002 2250 275 618.750 1.306.250 1.693.7503 2000 275 550.000 1.856.250 1.143.7504 1750 275 481.250 2.337.500 662.5005 1500 275 412.500 2.750.000 250.000

5. Metode Jumlah Bilangan TahunPada metode ini digunakan baris bilangan menurun dari pecahan-pecahan yang dijadikan acuan untuk menhitung beban penyusutan.


D= A−Sn

78

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Barisan bilangan pecahan tersebut adalah:1. Sebagai penyebut adalah jumlah dari bilangan-bilangan yang merupakan periode.2. Sebagai pembilang dari pecahan tersebut adalah nomor periode.Misal umur manfaat 6 tahun maka:

Penyebut pecahan = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21Pembilang pecahan = 6, 5, 4, 3, 2, 1

Baris bilangan =

621, 5

21, 4

21, 3

21, 2

21, 1

21Contoh:Sebuah aktiva diperoleh dengan biaya Rp 3.000.000,00. Taksiran nilai sisanya adalah Rp 250.000,00 dan masa manfaat aktiva tersebut adalah 5 tahun.a. Tulislah baris bilangan yang digunakan.b. Hitung beban penyusutan pada tahun ke-1c. Susunlah daftar penyusutanPenyelesaian:

a. Umur manfaat 5 tahun maka baris bilangan yang digunakan adalah:

515, 4

15, 3

15, 2

15, 1

15b. Beban penyusutan pada tahun pertama

515×2. 750 .000=916 . 666 ,67

c. Daftar Penyusutan

Thn A – S Tingkat penyusutan

Beban Penyusutan



0 - - - - 3.000.000,001 2.750.000 5/15 916.666,67 916.666,67 2.083.333,002 2.750.000 4/15 1.650.000,00 2.566.666,67 1.350.000,003 2.750.000 3/15 2.200.000,00 4.766.666,67 800.000,004 2.750.000 2/15 2.566.666,67 333.333,335 2.750.000 1/15 412.500,00 250.000,00

LATIHANA. Berilah tanda silang (X) huruf a, b, c, d atau e sebagai Penyelesaianan yang paling

tepat !1. Biaya perolehan suatu aktiva sebesar Rp 6.000.000,00. Setelah 5 tahun diperkirakan

mempunyai nilai sisa sebesar Rp 1.500.00,00. Jika dihitung dengan menggunakan metode garis lurus, maka nilai buku akhir tahun ke-2 adalah ... .

A. Rp 5.100.000,00B. Rp 4.200.000,00C. Rp 3.300.000,00

D. Rp 2.400.000,00E. Rp 900.000,00

2. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp 100.000.000,00. Setelah 4 tahun dipakai ditaksir mempunyai harga Rp 75.000.000,00. Apabila mobil tersebut dipakai pada tahun I = 12.000 jam, tahun II = 10.000 jam, tahun III = 10.500 jam, dan tahun IV = 7.500 jam, dengan metode satuan jam kerja maka penyusutan tiap satuan jam kerja adalah....

A. 725 B. 625


79

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11C. 500D. 225

E. 125

3. Sebuah mesin cetak seharga Rp 10.000.000,00 setelah dipakai selama 4 tahun ternyata dapat dijual dengan harga Rp 2.000.000,00. Persentase penyusutannya jika dihitung dengan metode garis lurus adalah ... .A. 2 %B. 5 %C. 8 %

D. 20 %E. 80 %

4. Harga perolehan sebuah aktiva adalah Rp 13.000.000,00. Nilai sisa setelah dipakai selama 4 tahun adalah Rp 5.000.000,00. Dengan metode jumlah bilangan tahun maka besar penyusutan pada tahun ke-2 adalah....A. Rp 240.000,00B. Rp 1.000.000,00C. Rp 1.500.000,00

D. Rp 1.600.000,00E. Rp 2.400.000,00

5. Sebuah mesin produksi seharga Rp 45.000.000,00 berproduksi selama 4 tahun dan nilai sisa Rp 8.500.000,00. Jika rincian produksi selama 4 tahun berturut-turut adalah 5.250 unit, 2.750 unit, 1.500 unit, dan 500 unit, maka tingkat penyusutan tiap satuan hasil produksinya adalah ... .A. 850B. 910C. 3.600

D. 3.650E. 8.500

6. Sepeda motor seharga 15.000.000,00 mengalami penyusutan setiap tahunnya sebesar 15 % dari nilai buku. Dengan metode persentase tetap dari nilai buku maka nilai buku akhir tahun ke-2 adalah ... .A. Rp 1.912.500,00B. Rp 2.250.000,00C. Rp 10.837.500,00

D. Rp 12.500.000,00E. Rp 12.750.000,00

7. Suatu unit mesin foto copy dibeli dengan harga Rp 3.600.000,00. Setelah dipakai selama 5 tahun mempunyai nilai sisa sebesar 1.200.000,00. Dengan metode garis lurus, persentase penyusutan mesin tiap tahun sebesar ... .A. 13,33%B. 13,88%C. 14,26%

D. 14,68%E. 15,26%

8. Sebuah mobil seharga Rp 100.000.000,00 ditaksir mempunyai umur manfaat 10.000 jam kerja dengan nilai sisa Rp 20.000.000,00. Dengan metode satuan jam kerja beban penyusutan setiap jam kerja mesin adalah ... .A. 1.000B. 1.100C. 2.000

D. 8.000E. 9.000

9. Harga beli mesin Rp. 10.000.000,00,s etelah dipakai diperkirakan mempunyai nilai sisa Rp. 2.500.000,00. dengan menggunakan metode garis lurus, beban penyusutan setiap tahunnya adalah . . . .

A. Rp. 2.500.000,00B. Rp. 2.000.000,00

C. Rp. 1.875.000,00D. Rp. 1.500.000,00


80

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11E. Rp. 500.000,0010. Harga beli sebuah aktiva Rp 15.000.000,00, setelah dipakai 5 tahun diperkirakan

mempunyai nilai sisa Rp 3.000.000,00. Dengan menggunakan metode jumlah bilangan tahun, besar penyusutan pada tahun ke-2 adalah ... .A. Rp 4.000.000,00B. Rp 3.200.000,00C. Rp 2.400.000,00

D. Rp 1.600.000,00E. Rp 800.000,00

B. Selesaikanlah pertanyaan di bawah ini dengan benar!1. Sebuah aktiva berilai Rp 12.500.000,00 setelah digunakan 5 tahun diperkirakan bernilai

Rp 8.500.000,00. Dengan menggunakan metode garis lurus, hitung besar penyusutan aktiva tersebut. Buatlah tabel penyusutannya.

2. Sebuah mesin produksi dibeli seharga Rp 3.000.000,00. Taksiran nilai sisa setelah 5 tahun adalah Rp 2.250.000,00 . Dengan metode persentase tetap terhadap nilai buku, tentukan:a. Tingkat penyusutannyab. Nilai buku akhir tahun ke-8

3. Sebuah mesin produksi diperoleh dengan biaya Rp 30.000.000,00 Taksiran nilai sisa setelah digunakan 5 tahun adalah Rp 6.000.000,00. Jika masa manfaat aktiva tersebut adalah 6000 jam dalam 10 tahun dengan rincian sbb: tahun ke-1 = 1400 jam, tahun ke-2 = 1100 jam, tahun ke-3 = 1350 jam, tahun ke-4 = 1200 jam, tahun ke-5 = 950 jam. Tentukan:a. Besar penyusutan setiap jamnya b. Beban penyusutan pada tahun ke-4

4. Sebuah mesin produksi baru dibeli seharga Rp 4.000.000,00. Setelah digunakan 4 tahun diperkirakan bernilai Rp 750.000,00 dan telah menghasilkan 6.500 satuan hasil produksi dalam 4 tahun terakhir yang dirinci sbb:Tahun ke 1 menghasilkan = 2500 satuan hasil produksi Tahun ke 2 menghasilkan = 1250 satuan hasil produksiTahun ke 3 menghasilkan = 1250 satuan hasil produksiTahun ke 4 menghasilkan = 1500 satuan hasil produksiTentukan:a. Besar penyusutan setiap satuan hasil produksib. Beban penyusutan pada tahun ke-5c. Daftar penyusutan

5. Sebuah aktiva diperoleh dengan biaya Rp 45.000.000,00. Taksiran nilai sisa setelah digunakan 5 tahun adalah Rp 7.5000.000,00. Dengan metode jumlah bilangan tahun hitunglah:a. Beban penyusutan pada tahun ke-2b. Buatlah daftar penyusutan


81

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

V E K T O R

Standar Kompetensi : Menerapkan konsep vektor dalam dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : 1. Menerapkan konsep vektor pada bidang datar 2. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

Tujuan Pembelajaran :1. Siswa dapat menerapkan konsep vektor pada bidang datar2. Siswa dapat menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

A. PENGERTIAN VEKTOR

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah. Nilai (besar) vektor dinyatakan dengan panjang garis dan arahnya dinyatakan dengan tanda panah. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak panah di atasnya atau bisa juga dengan menggunakan huruf kecil yang tebal. Suatu vektor biasanya juga bisa dinyatakan dengan pasangan terurut bilangan real atau bisa juga

dengan menggunakan matriks kolom. Misalnya : a=(2,3 )=(23 ). Maksudnya vektor tersebut 2

ke arah kanan dan 3 ke arah atas. Vektor A⃗B berarti titik A sebagai titik pangkal dan titik B


82

A⃗B=O⃗B−O⃗A=b−a

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11sebagai ujung. Vektor B⃗A dengan vektor A⃗B besarnya (panjangnya) sama, hanya arahnya

saling berlawanan. Jadi jika vektor A⃗B dinyatakan dengan u maka vektor B⃗A dinyatakan

dengan -u .

B B

u -u

A A

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.

Contoh 1: Pada balok di bawah ini , tentukan vektor lain yang sama dengan vektor A⃗B !

H G E F

D C

A B Penyelesaian : ……

B. VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA 1. VEKTOR POSISI

Vektor posisi yaitu vektor yang posisi (letaknya) tertentu. Misalnya A⃗B merupakan vektor

posisi dimana pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B. Atau misalnya O⃗A yaitu vektor

posisi yang awalnya di titik pusat dan ujungnya di titik A. Vektor posisi O⃗A , O⃗B , O⃗C dan

seterusnya biasanya diwakili oleh vektor dengan huruf kecil misalnya a , b , c dan

sebagainya. Jadi O⃗A=a , O⃗B=b , O⃗C=c .

Contoh 3 : Jika titik A(1,2) dan B(5,9) maka tentukan A⃗B !

Penyelesaian : ………….

Bentuk lain dari cara penulisan vektor adalah dalam bentuk kordinat kutub atau polar. Bentuk umum daru kordinat kutub adalah A⃗=(r , θ) dimana r adalah panjang vektor dan θ adalah sudut


83

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11vektor. Untuk mengubah dari kordinat kutub ke kordinat kartesius dapat menggunakan rumus berikut ini :

Contoh 4 :Ubahlah bentuk polar A⃗=(4,45° ) ke bentuk kartesius

Penyelesaian : Diketahui r = 4 dan θ = 45 ° , maka x=r cosθ=4.cos 45 °=¿¿………..y=rsin θ=4. sin 45 °=¿¿………..

2. VEKTOR NEGATIF (VEKTOR INVERS)

Vektor negatif (invers) dari vektor a sering ditulis -a yaitu vektor yang panjangnya sama tetapi arahnya berlawanan.

a b maka b = -a

3. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUAA. PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR

Jika k suatu bilangan real maka ka adalah suatu vektor yang panjangnya k kali lipat

panjang a . Jika k positif maka searah dengan a dan jika k negatif maka berlawanan

arah dengan a .

a

-3a

2a

B. PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan 2 vektor dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu aturan segitiga dan dengan aturan jajargenjang.


x=r cosθy=r sinθ

84

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Penjumlahan 2 vektor dengan aturan segitiga yaitu dengan mempertemukan ujung

vektor yang satu (a ) dengan pangkal vektor yang lain (b ), sehingga resultan (hasil

penjumlahan vektor) kedua vektor adalah awal vektor yang satu (a ) ke ujung vektor

yang lain (b ).Sedangkan penjumlahan dengan aturan jajargenjang yaitu dengan mempertemukan kedua pangkall vektor, kemudian membuat vektor kembarannya pada masing-masing ujung kedua vektor sehingga membentuk suatu bangun jajargenjang. Resultan kedua vektor adalah awal pertemuan kedua vektor tersebut ke ujung pertemuan kedua vektor tersebut.Contoh 4:

Tentukan a+b dari vektor-vektor di bawah ini !

a b

Penyelesaian :Cara I (aturan segitiga):

b a a+b

Cara II (aturan jajargenjang):

a a+b

b

Penjumlahan untuk 3 vektor atau lebih digunakan aturan poligon yang merupakan pengembangan dari aturan segitiga.

Contoh 5 : Tentukan a+b+c+d dari vektor-vektor di bawah ini :

a

b c d

Penyelesaian :


85

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11 c b a d a+b+c+d

C. SELISIH DUA VEKTOR

Selisih dua vektor a dan b ditulis a−b dapat dipandang sebagai penjumlahan a

dengan -b (vektor invers b ). Jadi a−b = a+ (−b )

Contoh 5:

Tentukan a−b jika diketahui :

a b

Penyelesaian :

a -b

a−b

LATIHAN1. Perhatikan gambar berikut :

X b Y c a Z M W

Jika W⃗X = a, X⃗Y = b, dan Y⃗Z = c, dan M merupakan titik tengah WZ, nyatakan dalam vektor a, b dan c untuk vektor-vektor berikut:


86

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a . W⃗Yb . Z⃗Xc . W⃗Zd . W⃗Me . M⃗Y

2. Perhatikan gambar berikut :

Q b R

a

P F c E

S

Jika P⃗Q = a, Q⃗R = b dan R⃗S = c. Titik E dan F berturut-turut titik tengah RS dan QS. Nyatakan dalam a, b dan c untuk vektor-vektor :

a . P⃗Rb . R⃗Pc . P⃗Sd . Q⃗Ee . P⃗Ff . F⃗R

3. Diberikan vektor-vektor berikut :

a b c

Jika panjang vektor a = 2 cm, b = 1 cm dan c = 2,5 cm, maka lukislah dengan aturan poligon vektor-vektor di bawah ini :a. a + b +cb. a - 2b + 3cc. 2a – b – c

4. Diketahui ABCDEF adalah segienam beraturan. Jika B⃗C dan F⃗C masing-masing mewakili

vektor b dan 2a, maka nyatakan vektor-vektor A⃗B , C⃗D dan B⃗E dengan a dan b Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

87

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-115. P, Q dan R berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC dan AC suatu segitiga ABC. Jika O

adalah sembarang titik dalam segitiga ABC, maka tunjukkan bahwa

O⃗A+O⃗B+O⃗C=O⃗P+O⃗Q+O⃗RC. VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA

Vektor basis (vektor satuan) di ruang dimensi tiga biasanya dinyatakan dengan i , j dan k . i vektor satuan searah sumbu O⃗X , j vektor satuan searah sumbu O⃗Y dan k vektor

satuan searah sumbu O⃗Z . Jadi misalnya vektor O⃗P=u=a i+b j+c k dapat digambarkan sebagai berikut: Z

c P

0 b Y

a

X

Bentuk vektor di atas dapat juga dinyatakan dengan vektor kolom

O⃗P=u=[abc ]A. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA

1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA VEKTOR

Jika u=a i+b j+c k dan v= p i+q j+r k maka :u+v=(a+ p ) i+(b+q ) j+ (c+r ) ku−v=(a−p ) i+(b−q ) j+(c−r ) k

Contoh 2:

Jika a=5 i−3 j+4k dan b=−i+7 j−5k maka tentukan a+b dan b−a !

Penyelesaian : …….

2. PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR

Jika u=a i+b j+c k dan n suatu skalar bilangan real maka :


88

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11n u=na i+nb j+nc kContoh 3:

Jika a=3 i−2 j+5k maka tentukan 10 a !Penyelesaian : ……

LATIHAN SOAL1. Nyatakan dalam vektor-vektor posisi dari titik-titik di bawah ini :

a. A(1,2,3)b. B(2,-1,-3)c. C(0,2,4)d. D(0,1,0)

2. Diberikan titik P(2,4,3) dan Q(1,-5,2).

a. Nyatakan vektor posisi O⃗P dan O⃗Q dalam vektor satuan i, j dan k

b. Tentukan vektor P⃗Q dalam satuan i, j dan k3. Ulangi soal no. 2 untuk P(0,-1,5) dan Q(1,0,-2)

4. Ditentukan vektor-vektor r1 =2i+ 4j – 5k dan r2 = i + 2j + 3kTentukan :

a. r = r1 + r2

b. r = 2r1 - 3r2

5. Carilah nilai a, b dan c jika :

a (021 )+b (210 )+c (

−101 )=(

111 )

6. Buktikan bahwa vektor-vektor ( 3−2

1 ), (1−3

5 ) dan (21−4) membentuk sebuah segitiga !

7. Tunjukkan bahwa vektor yang melalui titik-titik (2,2,3) dan (4,3,2) sejajar dengan vektor-vektor yang melalui titik-titik (5,3,-2) dan (9,5,-4)

8. Diketahui P(6,4,2), Q(8,6,4) dan R(2,2,2). Tunjukkan bahwa OPQR adalah jajargenjang !

3. RUMUS PERBANDINGAN

Misalkan titik P pada garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n. Perhatikan gambar di bawah ini ! A m P

a p n B


89

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11 b O

AP :PB=m :n ⇔ p−ab−p

=mn⇔ n p−na=mb−m p

p (m+n )=mb+na ⇔ p=mb+nam+n

Jadi :

p=mb+nam+n

Jadi jika titik A( xA1 , yA , zA) dan B( xB , yB , zB) maka koordinat :

P(mxA+nxBm+n

,my A+nyBm+n

,mz A+nzBm+n

)

Titik P bisa membagi AB dengan perbandingan di dalam seperti di atas atau bisa juga dengan perbandingan di luar, maksudnya titik P di luar ruas garis AB. Jika arah perbandingannya berlawanan harus dengan menggunakan tanda negatif.Contoh 1:Diketahui titik A(1,2,3) dan titik B(4,8,12). Jika titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan AP : PB = 1 : 2. Tentukan koordinat titik P !Penyelesaian : …………..

Contoh 2:Diketahui titik A(-1,0,1) dan titik B(2,2,2). Jika titik P membagi AB di luar dengan perbandingan AP : PB = 3 : -1. Tentukan koordinat titik P !

Penyelesaian : …………..

LATIHAN SOAL1. Gambarlah garis AB yang panjangnya 6 cm. Titik C adalah titik pada AB. Tandailah letak titik

C sedemikian sehingga :a. AC : CB = 2 : 1b. AC : CB = 3 : 1c. AC : CB = 3 : -2d. AC : CB = 1 : -3

2. Tentukan koordinat C jika :a. A(3,2), B(9,5) dan AC : CB = 2 : 1b. A(-1,-3), B(7,5) dan C titik tengah dari ABc. A(-3,-2), B(7,3) dan AC : CB = 3 : 2

3. R adalah titik pada perpanjangan PQ. Tentukan koordinat R jika :a. P(2,1), Q(4,7) dan PR : RQ = 3 : -2b. P(-1,-2), Q(4,0) dan PR : RQ = -2 : 1


90

|a|=√a12+a22

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-114. M adalah titik pada garis PQ. Tentukan koordinat M jika :a. P(1,0,2), Q(5,4,10) dan PM : MQ = 3 : 1b. P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan PM : MQ = 4 : -3

5. Titik sudut segitiga ABC adalah A(6,-9,-3), B(2,3,0) dan C(3,5,2). T adalah titik potong garis berat dari B ke sisi AC. Tentukan koordinat titik T !

6. Dalam segitiga ABC, Z adalah titik berat segitiga ABC. Tunjukkan bahwa z =

13 (a + b + c )

7. Pada segitiga ABC, titik E pada AC sedemikian sehingga AE : EC = 3 : 1 dan titik D pada BC sedemikian sehingga BD : DC = 1 : 2. Tunjukkan bahwa ED dapat dinyatakan dengan vektor

a, b dan c sebagai

112(-3a + 8b – 5c)

4. PANJANG VEKTOR

MODULUS VEKTOR (PANJANG VEKTOR) DI RUANG DIMENSI DUA

Modulus (panjang) suatu vektor a=(a1

a2) yaitu

Contoh:

Diketahui vektor u=(−2

3 ), tentukan |u | !Penyelesaian : ………

MODULUS VEKTOR (PANJANG VEKTOR) DI RUANG DIMENSI TIGA

Panjang suatu vektor u=a i+b j+c k adalah |u|=√a2+b2+c2

Contoh:

Jika diketahui a=−2 i+3 j+k maka tentukan |a| !Penyelesaian : …………

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah panjang vektor ( 3−2

5 ) Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

91

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-112. Hitunglah jarak antara titik A(-5,-4,-1) dan B(3,2,-1)

3. Jika a = i – 2j + 2k dan b = 3i + 6j – 2k, maka hitunglah :

a. |a |

b. |b|

c. |a – b|

4. Vektor posisi titik P dan Q adalah p = 2i – j + 3k dan q = 4i + 2j – 3k

a. Tentukan P⃗Q

b. Hitunglah |⃗PQ|5. Segitiga ABC dengan A(3,-1,5), B(4,2,-5) dan C(-4,0,3). Jika D merupakan titik tengah sisi

BC, hitunglah panjang garis AD !

6. Koordinat titik A(7,-5,5), B(7,-3,4) dan C(7,-4,2). Tunjukkan bahwa segitiga ABC siku-siku sama kaki !

7. AB, BC dan CD masing-masing wakil dari vektor (−3−1

2 ) , (15−3) dan (

2−4

1 ) . Tunjukkan bahwa A dan D berimpit dan segitiga ABC siku-siku !

5. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

Hasil kali skalar dua vektor a dan b ditulis a⋅b yang didefinisikan sebagai berikut :

a⋅b=|a||b|cosθ dimana θ sudut antara vektor a dan b .

a θ

b

Contoh 1:

Jika |a|=4 dan |b|=6 dan sudut antara a dan b adalah 60∘ maka tentukan a⋅b !


92

a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Penyelesaian : ………….

6. SIFAT-SIFAT HASIL KALI SKALAR

1. Dua vektor yang saling sejajar : a⋅b=|a||b|cos0∘=|a||b|

2. Dua vektor yang saling tegak lurus : a⋅b=|a||b|cos90∘=0

3. Dua vektor yang berlawanan arah : a⋅b=|a||b|cos180∘=−|a||b|

4. Bersifat komutatif : a⋅b=b⋅a

5. Bersifat distributif : a⋅(b+c )=a⋅b+a⋅c

B. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR DALAM BENTUK KOMPONEN

Jika a=a1i+a2 j+a3k dan b=b1i+b2 j+b3k maka

Contoh:

Diketahui

a=(−123 ) dan b=(

042 ) maka tentukan a⋅b !

Penyelesaian : …………….

LATIHAN SOAL

1. Jika i = [100 ] , j =

[010 ] dan k = [001 ] , tentukan :

a. i . i b. i . jc. i . kd. j . j e. j . kf. k . k

2. Tentukan a . b jika θ adalah sudut antara a dan b dari :


93

cosθ= a⋅b|a||b|

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a. |a| = 3, |b| = 4 dan θ=60∘

b. |a| = 2, |b| = 1 dan θ=120∘3. Diketahui a = 2i + 5j + k dan b = i – 2j – k. Tentukan :

a. a . bb. b . ac. a . a

4. Diketahui A(1,,0,-1), B(-2,-1,3) dan C(1,1,1). Jika a wakil dari vektor B⃗A dan b wakil dari

vektor B⃗C , hitunglah a . b5. Diketahui jajargenjang ABCD dengan A(2,3,1), B(4,5,2) dan D(2,-1,4). Hitunglah vektor

A⃗B . A⃗C

6. Diketahui |a| = 4, |b| = 6 dan sudut antara a dan b adalah 120∘ . Hitunglah :a. a . (a + b)b. a . (a – b)c. (a + b) . (a + b)d. (a – b) . (a + b)

7. Diketahui |a| = 3, |b| = 1 , |c| = 4 dan a + b + c = 0. Hitunglah a . b + b . c + c . a

8. Diketahui vektor a . b = 6. Hitunglah |a + b| jika |a - b| = √17

C. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Sudut antara vektor a dan b adalah

Contoh:

Diketahui

a=(−123 ) dan b=(

042 ). Tentukan sudut antara a dan b !

Penyelesaian :

a⋅b=.. .. . .. .. . .. .. . ..|a|=. . .. .. . .. .. .. . .. .|b|=. .. . .. .. . .. .. . .. .

cosθ=. .. .. . .. .. .. . .. ⇔ θ=. . .. .. .LATIHAN SOAL


94

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

1. Tentukan kosinus sudut antara vektor [ 2−12 ] dan [

−326 ]

2. Hitunglah besar sudut AOB jika :a. A(4,2,-1) dan B(2,-2,4)b. A(1,0,1) dan B(0,1,-1)

3. Tentukan kosinus sudut antara vektor a = 3i + 7j + 2k dan b = i + j – 6k4. Tentukan nilai m jika a = mi – 2j + k dan b = 2mi + mj – 4k saling tegak lurus.5. Diketahui A(-5,5,7), B(-3,4,7) dan C(-4,2,7). Perlihatkan bahwa segitiga ABC adalah siku-

siku dengan menggunakan perkalian skalar !6. Diketahui A(1,4,4), B(0,2,3) dan C(1,0,2). Hitunglah besar sudut-sudut segitiga ABC7. Diketahui A(-2,-1,3), B(4,2,3) dan D(3,-1,1). C membagi AB dengan perbandingan 2 : 1.

Tunjukkan bahwa sudut ACD siku-siku dengan menggunakan perkalian skalar !8. Diketahui A(1,0,1), B(4,6,10), C(5,-2,8) dan D(9,6,6). P membagi AB dengan perbandingan

2 : 1 dan Q adalah titik tengah CD. a. Tentukan vektor yang diwakili oleh AB, CD dan PQb. Buktikan bahwa PQ tegak lurus AB dan CD

LATIHANA. Pilihlah satu jawaban yang tepat

1. Diketahui titik P(-3, -5) dan Q(-1,0), maka P⃗Q adalah …A.( 2 , 5 ) D. ( -2 , -5)B.( -4 , 5 ) E. ( 5 , -4 )C. ( -5 , -2 )

2. Panjang vektor a⃗ = (-3,4) adalah…A.√−7 D. 4B.√10 E. 5C.

3. Jarak antara titik A(5, 4, 1) dan B(1, 6, 5) adalah ....A.36 D. 4B.18 E. 3C. 6

4. Gambar berikut menunjukkan bahwa a⃗+ b⃗+c⃗=…

a⃗ b⃗

c⃗

A. c⃗ D. 2 c⃗B. 2 a⃗ E. a⃗C. 2 b⃗

5. Diketahui a⃗=4 i⃗−5 j⃗+3 k⃗ dan titik P(2,-1,3). Jika panjang P⃗Q sama dengan panjang a⃗ namun berlawanan arah dengan a⃗, koordinat Q adalah …


95

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11A. (2,-4,0) D. (-6,6,-6)B. (-2,4,0) E. (-6,0,0)C. (4,-6,6)

6. Diketahui a⃗=i⃗+2 j⃗−k⃗ , b⃗=i⃗+3 j⃗−2 k⃗ , dan c⃗=4 i⃗−2 j⃗+ k⃗. Maka a⃗+ b⃗− 4⃗c=¿ …A.4 i⃗+ j⃗−7 k⃗ D. 2i⃗+3 j⃗−3 k⃗B.−14 i⃗+13 j⃗−7 k⃗ E. −15 i⃗+11 j⃗−6 k⃗C. i⃗−11 j⃗+ k⃗

7. Diketahui dua vektor a⃗=12 i⃗+ k⃗ dan b⃗=6 i⃗−3 j⃗−72 k⃗ . Nilai dari a⃗ . b⃗ adalah …A.4 D. 1B.3 E. 0C. 2

8. Diketahui titik P(-3,-1,-5), Q(-1,2,0) dan R(1,2,-2). Jika P⃗Q=a⃗ dan Q⃗R+ P⃗R=b⃗ , maka hasil a⃗ . b⃗ adalah …A. 26 D. 35B . 29 E. 40C. 32

9. Diketahui vektor a⃗=−i⃗+ j⃗ dan b⃗=i⃗+ j⃗. Besar sudut antara dua vektor tersebut adalah …A.° 0 ° D. 60 °B.30 ° E. 90 °C. 45

10. Diketahui vektor p⃗=3 i⃗+3 j⃗ dan q⃗=2 i⃗+4 j⃗+2 k⃗ . Besar sudut antara kedua vektor tersebut adalah …A. 30 ° D. 120 ° B. 45 ° E. 150 ° C. 90 °

11. Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA = 12 dan AB = 5. Jika O⃗A=u⃗ dan O⃗B=v⃗ . maka u⃗ . v⃗=…A. 13 D. 149B. 60 E. 156C. 144

12. Kordinat kutub sebuah vektor adalah A=(4,120°). Kordinat kartesiusnya adalah …A. ¿ D. ¿B. ¿ E. (2√3¿¿,−2)C. ¿

13. Diketahui dua vektor a⃗=2 i⃗−3 j⃗+4 k⃗ dan b⃗=5 j⃗+k⃗ . Nilai a⃗ . b⃗=…A. -9 D. 8B. -11 E. 11C. 7

14. Jika sudut antara a⃗=( 21−3) adalah b⃗=(−1

3−2) adalah α , maka besarnya α adalah …


96

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

M

4

Y

30X

A. 45 ° D. 120 °B. 30 ° E. 150 °C. 90 °

15. Titik D=¿ , maka kordinat kutubnya adalah…A. ¿) D. ¿)B. ¿) E. ¿)C. ¿)

16. Jika diketahui kordinat kutub sebuah vektor adalah A=(4,60° ),maka kordinat kartesiusnya adalah …A. (2√2,2) D. ¿B. (2√2,2√3) E. ¿C. ¿)

17. Diketahui a⃗=(357) adalah b⃗=(−25−3). Jika u⃗=2 a⃗−b⃗ dan v⃗=a⃗+2 b⃗ , maka u⃗ . v⃗=…

A. 148 D. 84B. 135 E. 71C. 100

18. Diketahui a⃗=3 i⃗+4 j⃗+mk⃗ dan b⃗=2 i⃗−3 j⃗+5 k⃗. Jika a⃗ . b⃗=4, maka nilai dari m adalah …A. 2 D. -1

B.25 E. -2

C.−25

19. Pada gambar di bawah ini, kordinat kutub dari titik M adalah …

A. ¿) D. (83 √3 ,30° )

B. (8,150 °) E. ¿)


97

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11C. (8,210 °)

20. Kordinat kartesius titik (2,150 °) adalah …A. (−√3 ,1 ) D. (−√3 ,−1)B. (1 ,√3) E. (√2 ,−1 ¿C. (√3 ,−1 ¿

B. Selesaikanlah pertanyaan berikut dengan benar

1. Diketahui P⃗Q=(3 ,−5) dan titik P(-1,2). Tentukan kordinat titik Q.

2. Diketahui vektor satuan u⃗=0,8 i⃗−a j⃗. Jika vektor v⃗=b i⃗+ j⃗ tegak lurus u⃗ hitung ab.

3. Ubahlah bentuk ¿) ke bentuk kartesius.

4. Diketahui a⃗=i⃗+2 j⃗−k⃗ , b⃗=i⃗+3 j⃗−2 k⃗ . Hitunglah a.b

5. Jika diketahui b⃗=i⃗+3 j⃗−2 k⃗ , dan c⃗=4 i⃗−2 j⃗+ k⃗, hitunglah axb.


98

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

PELUANG (PROBABILITAS)

Standar Kompetensi : Memecahkan masalah dengan menerapkan konsep teori peluangKompetensi Dasar : 1. Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi 2. Menghitung peluang suatu kejadian

Tujuan Pembelajaran :1. Siswa dapat menerapkan konsep kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi2. Siswa dapat menerapkan konsep peluang suatu kejadian

A. KAIDAH PENCACAHAN6. Aturan Pengisian Tempat

Jika beberapa peristiwa dapat terjadi dengan cara yang berbeda , maka

keseluruhan peristiwa itu dapat terjadi dengan cara yang berbeda.Contoh:Ali mempunyai 2 celana dan 3 baju yang berbeda. Berapa stelan celana dan baju berbeda yang dipunyai Ali ?Penyelesaian:Banyak stelan yang berbeda = banyak celana x banyak baju

= .......x........ = .......setelan

Contoh 2:Suatu bilangan terdiri atas 3 angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi dari angka-angka 1 – 9.Penyelesaian:Banyaknya = ratusan x puluhan x satuan

= .....x.....x..... = .....bilangan

Keterangan : angka-angka ratusan : ........ angka-angka puluhan : .......... angka-angka satuan : ..........

LATIHAN SOAL1. Budi mempunyai 4 celana, 6 baju, 3 dasi dan 3 sepatu. Tentukan banyaknya stelan baju,

celana, dasi dan sepatu yang berbeda yang dipunyai Budi !2. Dari kota A ke kota B ada 2 jalan yang berbeda, dari kota B ke kota C ada 3 jalan, dan dari

kota C ke kota D ada 2 jalan. Tentukan banyaknya jalan yang berbeda yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C !


99

n! = n(n-1)(n-2)(n-3).....3.2.1

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-113. Suatu bilangan terdiri atas 3 angka. Jika angka-angka penyusunnya 1 - 9, tentukan banyak bilangan yang terjadi, jika :

a. angka-angkanya boleh berulangb. angka-angkanya tidak boleh berulangc. bilangannya kurang dari 500d. bilangannya lebih dari 400 dan angka-angkanya tidak boleh berulange. bilangannya ganjilf. bilangannya genap dan tidak boleh berulang angka-angkanya

4. Suatu bilangan terdiri atas 4 angka. Angka-angka penyusunnya 0 - 9. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi, jika :

a. angka-angkanya boleh berulangb. angka-angkanya tidak boleh berulangc. bilangannya kurang dari 8000 dan tidak boleh berulang angka-angkanyad. bilangannya lebih dari 3000e. bilangannya genap dan tidak boleh berulang angka-angkanyaf. bilangannya kurang dari 7500

5. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri atas suatu huruf dan diikuti dua buah angka yang berbeda. Jika angka pertama bukan 0 dan angka kedua bilangan genap, tentukan banyaknya nomor undian yang mungkin terjadi !

7. Notasi Faktorialn faktorial (n!) yaitu semua perkalian bilangan asli dari 1 sampai n

Contoh 1:Tentukan nilai 5!Penyelesaian:5! = ......Karena n! = n(n-1)(n-2)(n-3).....3.2.1 dan (n-1)! = ...Maka : n! = ...

Contoh 2:

Sederhanakan

7 !4 !5 !3 !

Penyelesaian:7 !4 !5 !3 ! = ...... = .................Contoh 3:Tulislah dengan notasi faktorial dari perkalian 8.7.6 Penyelesaian:

8.7.6 = =

LATIHAN SOAL1. Tentukan nilai dari :

a. 10 !


100

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

b.

7 !3!

c.

10 !8!

d.

e.

f.

6 !3!8121

g.

12 !6 !10 !7131

2. Tulislah dalam notasi faktorial dari :a. 6.5.4.3

b.

111. 10

c.

7 . 85. 4

d.

13 .12 .8.79 . 10

e. n(n-1)(n-2)

f.

g.

n(n−1)7 .6 .5

3. Sederhanakan !

a.

n!(n−3) !

b.

(n+3 )!(n−1) !

4. Tentukan n, jika :

a.

(n+1 )!n!

=8

b.

(n+2 )!n!

=72

c.

(n−3) !(n−1) !

= 1132

B. PERMUTASI1. Permutasi nPr

Suatu permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda yaitu semua susunan berbeda yang mungkin dari n unsur yang diambil r unsur yang berbeda.Jadi ab ba

Permutasi r unsur dari n unsur ditulis nPr atau atau P(n,r)Untuk mendapatkan rumus nPr kita gunakan bantuan notasi faktorial.

Dari 5 huruf a,b,c,d dan e akan disusun 2 huruf, 3 huruf dan 4 huruf yang berbeda, sbb:

Susunan 2 huruf dari 5 huruf = .....x..... =

. .. .!

. .. .! = 5P2

Susunan 3 huruf dari 5 huruf = .....x..... x………=

. .. .!

. .. .! = 5P3


101

n Pr=n!

(n−r )!

P= n!k ! l !m!

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Susunan 4 huruf dari 5 huruf = .....x.....x…….x…….. =

. .. .!

. .. .! = 5P4Dari keteraturan di atas, maka coba tentukan :

6P2 = ......... =

7P3 = ......... =

10P3 = ......... =

Sehingga dapat disimpulkan :

Jika r = n maka nPn = ….

Contoh 1:Tentukan banyak susunan panitia yang berbeda yang terdiri dari ketua, wakil dan bendahara dari 10 orang calon !

Penyelesaian:Banyaknya = ..........

2. Permutasi Dengan Beberapa Unsurnya SamaPada permutasi yang berbeda dari kata “MAMA” hanya ada 6 permutasi, yaitu MAMA, MAAM, MMAA, AAMM, AMAM dan AMMA. Karena 2 huruf M dan A yang sama

dianggap 1. Jadi 6= 4 P 4

2 P2 2P2= 4 !

2 ! 2 !Permutasi n unsur dengan k,l,m unsur yang sama, yaitu:

Contoh: Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda dari huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA”Penyelesaian: MATEMATIKA = ....... hurufhuruf M = ......hurufhuruf A = ......hurufhuruf T = .......hurufJadi P = .............. = .............. = ...... susunan

3. Permutasi SiklisPermutasi dengan susunan seperti siklus (tanpa awal dan tanpa ujung)Permutasi siklis dari n unsur yaitu :


102

Ps = (n-1)!

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Contoh:Tentukan banyaknya permutasi dari 4 orang yang duduk mengelilingi meja !Penyelesaian:Banyaknya = ............. = ............... = ....... permutasi

Yaitu :

LATIHAN SOAL1. Tentukan nilai dari :

b. 7P2 b. 10P3 c. 12P4 d. 5P5 e. 6P6 f. 6P1 g. 10P12. Tentukan n jika :

a. nP2 = 56 b. nP4 = 30.nP23. Tentukan susunan duduk 8 orang yang berbeda yang akan menduduki 3 kursi !4. Ada 3 pelajar putri dan 4 putra. Berapa cara mereka duduk secara :

a. berdampinganb. berdampingan, tetapi putra dan putri tetap berkelompok

5. Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda dari kata :a. BOROBUDUR b. MISSISIPPI c. BULAN

6. Ada 10 bendera, terdiri dari 4 bendera merah, 3 kuning dan 3 hijau. Tentukan banyak susunan bendera secara berjajar yang berbeda !

7. Delapan orang duduk mengelilingi meja berbentuk persegi panjang. Tentukan banyaknya susunan duduk yang berbeda dari 8 orang tersebut !

8. Ada 5 pria dan 4 wanita duduk secara melingkar. Berapa macam susunan duduk mereka yang berbeda, jika dua orang yang jenis kelaminnya sama, tidak boleh duduk berdekatan ?

9. Dari angka-angka 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang kurang dari 400 !

C. KOMBINASIYaitu susunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan susunan/urutannya Jadi ab = ba

Kombinasi r unsur dari n unsur ditulis nCr atau C rn

atau C(n,r)Dari 4 huruf a,b,c dan d akan disusun permutasi dan kombinasi 3 huruf yang berbeda, sebagai berikut:

Kombinasi

Permutasi

abc abc acb bac bca cab cba... .... .... .... .... ... ...... .... .... .... .... ... ...... .... .... .... .... ... ...

Dari tabel di atas terlihat bahwa :24 = .... x .... atau4P3 = .... x ......

Sehingga : 4C3 =


103

n C r=n!

(n−r )! r !

nCr = ........

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Jadi nCr =

Sehingga

Contoh 1: Tentukan nilai 6C2

Penyelesaian: 6C2 = .................

Contoh 2:Tentukan banyaknya team bola volley yang berbeda yang dapat terbentuk dari 10 orang !

Penyelesaian: Banyaknya = ..............

Contoh 3:Tentukan banyak kemungkinan terambil 3 bola yang terdiri dari 2 bola merah 1 putih pada suatu kotak yang terdiri dari 4 bola merah 5 putih !

Penyelesaian: Banyaknya = ............Karena 5C2 = 5C3, 6C1 = 6C5, 10C3 = 10C7 dan seterusnya maka :

.LATIHAN SOAL1. Tentukan nilai dari :

a. 10C3 b. 12C9 c. 6C6 d. 9C9 e. 7C1 f. 10C1 2. Tentukan n jika :

a. nC3 = 35 b. (n+1)C2 = 36 c. nP2 = nC33. Tentukan banyaknya pasangan ganda dari 9 orang !4. Tentukan banyaknya campuran 3 warna yang berbeda dari 5 warna dasar !5. Pada sebuah bidang ada 10 titik, dimana tidak ada 3 titik yang segaris. Tentukan

banyaknya:a. garis yang dapat terbentuk dari titik-titik itub. segi tiga yang dapat terbentuk dari titik-titik itu

6. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 5 putih dan 4 biru. Diambil 5 bola sekaligus. Tentukan kemungkinan terambilnya :a. 2 bola merah, 2 putih dan 1 birub. 3 bola putih dan 2 biru

7. Di dalam tas ada 5 lembar Rp. 10.000, 7 lembar Rp. 5.000 dan 3 lembar Rp.1.000. Diambil 4 lembar sekaligus dari dalam tas itu. Berapa banyaknya kemungkinan terambilnya uang sebesar :


104

F (A )=n (A )n( S )

x n

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11a. Rp.26.000 b. Rp.25.000 c. Rp.17.0008. Jika nC3 = 2n, maka tentukan nilai 2nC7 9. Dari sekelompok remaja, terdiri atas 10 pria dan 7 wanita. Dipilih 2 pria dan 3 wanita.

Tentukan banyaknya kemungkinan yang terjadi !10. Seorang murid diminta mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 – 5 harus dikerjakan.

Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut !

D. PELUANG SUATU KEJADIANPada suatu percobaan, himpunan semua kejadian yang mungkin terjadi disebut Ruang Sampel (Sampel).Himpunan bagian dari ruang sampel yang diharapkan terjadi disebut Kejadian.Definisi: Peluang kejadian A yaitu banyaknya kejadian A dibagi dengan banyaknya ruang sampel.

Di mana P(A) : peluang kejadian An(A) : banyaknya kejadian An(S) : banyaknya ruang sampelKarena maka kisaran suatu peluang kejadian A yaitu : P(A) = 0 disebut kejadian mustahilP(A) = 1 disebut kejadian pastiContoh:Tentukan peluang munculnya mata dadu prima pada pelemparan 1 dadu sekali !Penyelesaian: S : {.........................................................} sehingga n(S) = .....P : munculnya mata dadu primaP : {........................} sehingga n(P) = ......

Jadi P(P)=n(P )

n (S )=. .. .. . .

Frekuensi Harapan suatu kejadian A yaitu peluang kejadian A dikalikan banyaknya percobaan

Jadi :

Contoh:Tentukan frekuensi harapan munculnya jumlah mata dadu 5 pada pelemparan 2 dadu sebanyak 10 kaliPenyelesaian : S: {............................................................................} maka n(S) = ....L: jumlah dua mata dadu 5L:{...................................................} maka n(L) = .....Sehingga F(L) = ................. = ............... kali

LATIHAN SOAL1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang kejadian keluarnya : Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

105

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

S

a. mata genap b. mata 52. Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya :

a. jumlah mata dadu 10 b. jumlah mata dadu kurang dari 113. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang terambilnya :

a. kartu As b. kartu keriting c. kartu merah4. Pada suatu kotak terdapat 5 bola biru dan 4 hijau. Diambil 3 bola sekaligus. Tentukan

peluang terambilnya :a. 2 bola biru 1 hijaub. 1 bola biru 2 hijauc. 3 bola biru

5. Pada kantong Ali terdapat 6 lembar uang Rp 1.000 dan 5 lembar uang Rp 500. Diambil 3 lembar sekaligus. Tentukan peluang terambilnya jumlah uang :a. Rp 1.500 b. Rp 2.500 c. Rp 2.000

6. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge sebanyak 26 kali. Tentukan frekuensi harapan terambilnya :a. kartu as b. kartu keriting

7. Dari 1000 kaleng sari buah terdapat 4 buah yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah tersebut secara acak, berapakah peluang keduanya rusak ?

8. Dari 100 mahasiswa terdaftar, 45 orang mengikuti kuliah Bahasa Indonesia, 50 orang mengikuti kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kuliah kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang mahasiswa. Berapa peluang mahasiswa yang dipanggil itu tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah ?

9. Doorprize dari 100 tiket pertunjukan berjumlah dua buah hadiah. Jika seseorang mempunyai 3 tiket, berapa peluang mendapatkan salah satu hadiah tersebut !

10. 4 pria dan 3 wanita dalam acara makan malam duduk melingkar. Jika mereka duduk secara acak, berapa peluang pria dan wanita duduk berselang-seling ?

1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

A

P(A) + ......... = .......

Jadi

Contoh 1:


106

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu bukan 12

Penyelesaian : A = Jumlah mata dadu 12

A : {..........................} maka n(A) = .....

: jumlah mata dadu bukan 12

2. Kejadian Saling LepasDua kejadian A dan B dikatakan saling lepas, jika pada waktu yang sama antara A dan B dapat terjadi secara bersama-sama. Jika sebaliknya dikatakan A dan B tidak saling lepas.

S Kejadian A dan B saling lepas. A B Jadi Sehingga :

S Kejadian A dan B tidak saling lepas A B Jadi Sehingga :

Contoh:Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya :a) dua mata dadu berjumlah 10 atau 12b) dua mata dadu berjumlah genap atau prima

Penyelesaian:a) Termasuk kejadian ............

A : jumlah mata dadu 10A : {.................................................} maka n(A) = .......B : jumlah mata dadu 12B : {................................................} maka n(B) = .....

b) Termasuk kejadian .................G : dua mata dadu berjumlah genapG : {..............................................................} maka n(G) = .......P : dua mata dadu berjumlah primaP : {..........................................................................} maka n(P) = .......

LATIHAN SOAL


107

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-111. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu :a. bukan 6b. genap atau ganjilc. prima atau ganjil

2. Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu :a. bukan 11 c. 10 atau 11b. bukan 10 atau 11 d. lebih dari 4

3. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang terambilnya kartu :a. bukan As e. As atau keritingb. bukan keriting f. merah atau daunc. As atau King g. bukan King atau merahd. As atau merah

4. Pada suatu pertemuan yang dihadiri oleh 50 ibu-ibu PKK, terdapat 24 orang mempunyai hobby menjahit dan 30 orang mempunyai hobby memasak. Jika dipilih secara acak seorang dari ibu-ibu tadi, berapa peluang yang terpilih adalah ibu yang mempunyai hobby memasak atau menjahit ?

5. Dalam suatu gudang terdapat 30 komputer, 5 diantaranya rusak. Jika diambil 5 komputer secara acak, berapa peluang mendapatkan sedikitnya 2 komputer tidak rusak ?

3. Kejadian Saling BebasDua kejadian A dan B dikatakan saling bebas, jika terjadi atau tidaknya A tidak mempengaruhi terjadi atau tidaknya B. Jika sebaliknya, maka dikatakan A dan B tidak saling bebas (kejadian bikondisional/bersyarat)

S1 S2 A B Kejadian A dan B dikatakan Saling bebas

Contoh:Pada sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 biru. Diambil 1 bola secara berturut-turut dengan pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola bola biru pada pengambilan kedua !Penyelesaian:

S1 S2/S1 Kejadian A dan B tidak A saling bebas kejadian B terjadi setelah A


108

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Contoh: Pada sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 1 bola berturut-turut tanpa pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola merah lalu biru !Penyelesaian:

LATIHAN SOAL1. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 5 bola biru. Diambil 1 bola berturut-turut

dengan pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya :a. bola merah dan birub. bola biru, merah dan merah

2. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 4 biru dan 5 putih. Diambil 1 bola secara berturut-turut tanpa pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola :a. merah dan birub. biru, merah dan merahc. biru, merah dan putih

3. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola putih dan 4 bola hitam. Diambil 2 bola berturut-turuut tanpa pengembalian bola pertama. tentukan peluang terambilnya :a. 2 bola putih dan 2 bola hitamb. 4 bola putih

4. Pada seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu berturut-turut tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya :a. 2 kartu As dan 2 Kingb. 2 kartu hitam dan 2 kartu merah

5. Pada satu set kartu Bridge diambil secara acak 3 kartu sebanyak 2 kali berturut-turut dengan pengembalian. Berapa peluang pada pengambilan pertama mendapatkan 3 King dan pada pengambilan kedua mendapatkan 3 Queen ?

7. Pada suatu kolam berisi 5 ekor ikan mas dan 6 ekor ikan mujaer. Tentukan peluang terpancingnya :a. 1 ekor ikan emas dan 2 mujaer. b. 2 ekor ikan emas dan 2 mujaerc. 3 ekor ikan mas

LATIHAN

A. Pilihlah jawaban yang benar.

1. Banyak cara mengkombinasikan 5 kemeja dan 4 celana yang berbeda corak adalah …A.150 D. 20B.120 E. 5C. 60

2. Dari angka1,2,3,4,5,6,7 dibuat bilangan terdiri dari 3 angka. Jika angka tidak boleh berulang, maka bilangan ganjil yang dapat terbentuk sebanyak …A. 30 D. 120B. 65 E. 210C. 90

3. 2 !×4 !=¿ …A. 24 D. 720B. 48 E. 840


109

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11C. 120

4. Nilai dari (n+2 ) !n !

adalah …

A. n2+2n D. (n−2 ) (n−1 )B. n2+3n+2 E. n2+n−2C. n2+3n+3

5. Dari 6 siswa, akan dipilih 3 siswa sebagai teladan I , II dan III. Banyaknya cara pemilihan yang bisa dilakukan sebanyak … caraA. 21 D. 210B. 35 E. 720C. 120

6. Terdapat 5 pemain bulu tangkis putra di tempat latihan. Jika akan dibuat tim ganda putra, maka banyaknya pasangan yang bisa dibuat adalah …A. 20 D. 8B. 14 E. 3C. 10

7. Banyaknya kata berbeda yang bisa dibuat dari kata “DADANG” adalah …A. 120 D. 180B. 128 E. 240C. 148

8. Di sebuah jamuan makan, posisi duduk dibuat melingkar. Jika terdapat 6 kursi, maka banyaknya susunan duduk yang mungkin adalah …A. 720 D. 88B. 120 E. 75C. 100

9. P415=…

A. 32.760 D. 11.140B. 21.280 E. 6.840C. 12.400

10. C220=…

A. 150 D. 270B. 190 E. 300C. 200

11. Tiap sekolah diberi kesempatan untuk mengirim 4 orang siswa untuk mengikuti seleksi lomba matematika. Calon dari SMKN 15 Purbalingga terdiri dari 4 laki-laki dan 5 perempuan. Banyaknya susunan yang mungkin terjadi jika yang mengikuti seleksi harus terdiri dari 2 laki-laki dan 2 perempuan adalah …A. 10 D. 120 B. 20 E. 150C. 60

12. Dari seperangkat kartu remi, akan diambil satu kartu secara acak. Peluang terambilnya kartu bukan As adalah…

A.1

52 D. 3

13

B.552 E.

1213


110

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11C.

113

13. Seorang pedagang mempunyai 6 sepeda hitam dan 4 sepeda merah. Akan dijual 5 sepeda sekaligus. Peluang terjual 3 sepeda diantaranya berwarna merah adalah …

A.1

40 D. 521

B.3

40 E. 1021

C.2140

14. Pada pelemparan dua dadu bersama-sama sebanyak satu kali, peluang muncul mata dadu jumlah 3 atau jumlah 10 adalah …

A.3

36 D. 6

36

B.4

36 E. 7

36

C.5

3615. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika diambil 2 bola sekaligus,

peluang yang terambil adalah 1 bola merah dan 1 bola putih adalah …

B.1564 D.

828

C.828 E.

864

D.1528

16. Dalam suatu ruangan tersedia 4 kursi.Jika terdapat 15 orang, maka banyaknya cara duduk berdampingan adalah…A. 32.760 D. 11.140B. 21.280 E. 6.840C. 12.400

17. Sebuah nomor undian terdiri atas satu huruf dan dua angka yang berbeda. Jika angka yang terbentuk harus genap, bayaknya nomor undian yang bias dibuat adalah …A. 1.160 D. 1.180B. 1.165 E. 1.300C. 1.170

18. Dari 9 finalis lomba, akan dipilih secara acak 3 yang terbaik untuk maju ke babak final. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah…A. 72 D. 360B. 84 E. 720C. 120

19. Dalam suatu pertemuan terdapat 20 peserta. Jika masing-masing peserta satu sama lain saling berjabat tangan sekali, maka banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah..A. 140 B. 190 C. 200 D. 220 E. 235

20. Dari 300 percobaan pelemparan sebuah dadu, frekuensi harapan muncul mata dadu faktor prima dari 6 adalah..A. 200 B. 150 C. 100 D. 75 E. 50


111

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

B. Selesaikanlah pertanyaan di bawah ini dengan benar!

1. Hitung banyaknya sususan huruf berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “STATISTIK”.

2. Seorang pedagang akan membeli 3 kambing dan 4 sapi dari sorang pedagang lain yang memiliki 5 kambing dan 5 sapi. Hitung cara berbeda untuk memilih kambing dan sapi.

3. Sebuah kantong berisi 6 bola putih dan 5 bola hitam. Dari kantong diambil 4 bola sekaligus.Tentukan banyak cara berbeda untu mengambil :a. Bola warna bebasb. Bola warna putih dan hitam masing-masing 2

4. 3 keping uang logam dilempar bersama-sama. Hitung peluang:a. Ketiganya sisi angkab. 2 angka dan 1 gambarc. Paling tidak 1 sisi gambar

5. Pada pelemparan 2 buah dadu sekaligus, hitung peluang :a. Jumlah kedua dadu adalah 8b. Dadu pertama bilangan genap

LIMIT dan TURUNAN FUNGSI

Standar Kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah


112

limx→c−

f (x )=limx→cf (x )=lim

x→c+f ( x )

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Kompetensi Dasar : 1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan

trigonometri 3. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi4. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan

masalah 5. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan

penafsirannyaTujuan Pembelajaran :1. Siswa dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga2. Siswa dapat menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi

aljabar dan trigonometri3. Siswa menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi4. Siswa dapat menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan

memecahkan masalah5. Siswa dapat menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim

fungsi dan penafsirannya

A. LIMIT FUNGSI2. LIMIT FUNGSI ALJABAR

Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis limx→ c

f ( x ) dibaca “limit x

mendekati c dari f(x)”.

Artinya x mendekati bilangan c sedekat mungkin baik dari sebelah kiri limx→c−

f (x )

maupun dari sebelah kanan limx→c+

f (x ).

Contoh:

Tentukan limx→2(3 x−1 )

Penyelesaian: Jika f(x) = 3x - 1, dengan menggunakan tabel :

1,99 2,01

F(x)Dari tabel bisa terlihat bahwa jika x mendekati 2, baik dari sebelah kiri maupun kanan, maka f(x) mendekati ... .

Jadi limx→2(3 x−1 )

= ...Contoh:

Tentukan limx→3

x2−9x−3

Penyelesaian:Dengan menggunakan tabel:


113

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11x

2 2,5 2,9 2,99

→ 3 ← 3,01

3,1 3,5 4

f(x) ... ... ... ... → ... ← ... ... ... ...

Jadi limx→3

x2−9x−3 = ....

Contoh:

Tentukan limx→0

1x

Penyelesaian: Dengan pendekatan tabel sebagai berikut :

x-3 -2 -1 -

0,1-0,01

→ 0 ← 0,01

0,1 1 2 3

f(x)... ... ... … … → ... ← … … ... ... ...

Jadi limx→0

1x = ...

3. Limit

a) Limx→c f(x) dimana f(x) bentuk pecahan yang dapat difaktorkan

1) Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) ¿ 0 maka

Limx→c f(x) = f(c)

2) Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) =

00 maka f(x) harus

difaktorkan pembilang atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga

menghasilkan bentuk bukan

00 jika x diganti dengan c.

Contoh:

Tentukan Limx→1

x2−1x−1

Penyelesaian:

Limx→1

x2−1x−1 = …………….

LATIHAN SOAL Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

114

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Tentukan limitnya !

1.

Limx→3 5x+6 5.

Limx→2

x2−4x−2 9.

Limx→3

x2−x−6x2−7 x+12

2.

Limx→3

5 x−14 x+2 6.

x2−xx 10.

Limx→−5

2 x2+9 x−54 x2+17 x−15

3.

Limx→2

3x−6x+1 7.

Limx→2

x2+2x−8x−2 11.

x3+2x2+3xx2−x

4.

Limx→−1

2x−1x+1 8.

Limx→−5

x+52x2+9x−5 12.

x3−1x2−1

b)Limx→c f(x) dimana f(x) pecahan bentuk akar

Diselesaikan dengan mengalikan sekawan f(x) yang berharga 1 sehingga dapat

diserhanakan menjadi bentuk yang berharga bukan

00 jika x diganti dengan c.

Contoh :

Tentukan Limx→1

3−√x+8x−1

Penyelesaian:

Limx→1

3−√x+8x−1 = …………………..

LATIHAN SOALTentukan limitnya !

1. 7.

2. 8.

3. 9.


115

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

4.

2−√5−xx−1 10.

Limx→2

√x−2x2−4

5.

Limx→2

3−√4 x+1x−2 11.

Limx→3

√x+4−√2 x+1√3x+1−√x+7

6.

5 x6−√36−2 x 12.

Limh→0

√x+h−√ xh

4. Limit

Contoh:

Tentukan

Limx→∞

1x dengan pendekatan tabel !

Penyelesaian : x 1 10 100 1000 ... ..f(x) ... ... ... ... ... ...

Jadi

Limx→∞

1x = ...

Untuk menyelesaikan limit untuk x mendekati ∞ digunakan cara :

1. Jika pada Limx→∞

f ( x )menjumpai bentuk

∞∞ pada substitusi x dengan ∞ , maka diselesaikan

dengan membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.

2. Jika f(x) berupa bentuk ∞−∞ untuk x→∞ maka diselesaikan dengan mengalikan sekawan dari f(x) yang berharga 1, kemudian diselesaikan dengan cara no.1

Contoh:

Tentukan Limx→∞

5 x2+2 x+37−x2

Penyelesaian:

Limx→∞

5 x2+2 x+37−x2

= |: . .. . .|

= ……………..

Contoh:

Tentukan Limx→∞

√x2+3 x−√x2−2x

Penyelesaian :


116

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Limx→∞

√x2+3 x−√x2−2x= .......

=

Limx→∞ ...

=

Limx→∞ ...|: . .. . .. .|

=

Limx→∞ ....

= ..... = .....

LATIHAN SOAL

1.

Limx→∞

2 x+14 x2+3 x 6.

Limx→∞

3x+13x−1

2.

Limx→∞

4 x3−2 x3 x2+x 7.

Limx→∞

5x−5−x

5x+5− x

3.

Limx→∞

5+2 x+ x3

5x3+2x2+1 8.

Limx→∞ √ x2+1−√x2−1

4.

Limx→∞

x3−4 x2+73−6 x2−2x3

9.

Limx→∞ √ x+1−√ x−1

5.

Limx→∞ 10.

Limx→∞

5. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

C Karena AB = AD = r = 1, maka AE = cos x , DE = sin x D dan BC = tan x

x A E B

L Δ ADE < L juring ABD < L Δ ABC12AE .DE< x

2ππ12<1

2AB .BC

12

cos x sin x< 12x<1

2tan x

cos x< xsin x

< 1cos x


117

Limx→0

xsin x =

Limx→0

sin xx = 1

Limx→0

xtgx=

Limx→0

tgxx=

1

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

cos x <

1 <

Limx→0

xsin x

<¿ ¿1

Jadi

Sehingga :

Contoh:

Tentukan

Limx→0

sin 5 x3 x

Penyelesaian: Limx→0

sin 5 x3 x . ....

=

Limx→0

sin 5 x. .. . . ...

= ...

Contoh:

Tentukan

Limx→0

2−2cos xx2

Penyelesaian: Limx→0

2−2cos xx2

=

=

Limx→0

2( .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .)x2

=

Limx→0 4. .....

LATIHAN SOALTentukan limitnya !

1.

Limx→0

sin 4 xx 4.

Limx→0

2sin 3 x4 x 7.

Limx→0

1−cos2 x2 x2


118

y '= f '( x )=dydx=

Jika maka y '=anxn−1

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

2.

Limx→0

tg3 xcos 4 x 5.

Limx→0

sin2 xx2

8.

Limx→0

1−cos xx

3.

Limx→0

sin 5 xtg 4 x 6.

Limx→0

1−cos xsin x 9.

Limx→0

xtgx1−cos x

B. TURUNAN SUATU FUNGSI

1. PENDAHULUAN TURUNANTurunan y = f(x) didefinisikan dengan

Contoh:Tentukan turunan dari y = 5x + 2

Penyelesaian:y = f(x) = 5x + 2f(x+h) = ... = ....

= ...

= ... = ...

LATIHAN SOAL

Tentukan turunan dari fungsi berikut dengan menggunakan rumus y’ = 1. y = 5 7. y = 2. y = c 8. y = 3. y = 2x - 1 9. y = 4. y = 10x + 7 10. y = 5. y = cx + d 11. y = 6. y = 12. y =

2. TURUNAN y=axn

Dengan menggunakan definisi turunan y’ = , kita mencoba

menentukan turunan dari y = a, y = ax, y = , , dan , maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut :


119

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

Contoh: Tentukan turunan dari :

a. y = 3 d. b. y = 4x e. y = c. y = 5x + 1

Penyelesaian: : a. y ’ = ... d. y ’ = ... b. y ’ = ... e. y ’ = ... c. y ’ = ...

Contoh: Tentukan turunan dari :

a. b. c. Penyelesaian:

a. = …….. maka y ’ = .…….

b. = ……..maka y ’ = .……..

c. y= 3√ x = …….. maka y ’ = ..………

LATIHAN SOALTentukan turunannya dengan menggunakan rumus y’ =

1. y = 10 8. y =

2. y = 8x 9. y =

3. y = 4x + 3 10. y =

4. y = 11. y =

5. y = 12. y =

6. y = 13. y =

7. y =

3. RUMUS-RUMUS TURUNAN

Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x, maka :


120

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-111. Jika y = u v maka y ’ = u ’ v ’2. Jika y = ku maka y ’ = ku’3. Jika y = uv maka y ’ = u ’v + uv ’

4. Jika y = maka y ’ = 5. Jika y = maka y ’ =

Di mana k dan n suatu konstanta.

Misal kita akan membuktikan salah satu rumus di atas, misalnya rumus ke-4 sbb :

y = uv atau lengkapnya y = f(x) = u(x)v(x)

y’ =

=

=

= = u’(x)v(x+0) + u(x)v’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) = u’v + uv’

Contoh 1 : Tentukan turunan dari :

a. y = d. y = b. y = (2x-1)(3x+4)

c. y =

Penyelesaian : a. y ’ = ... b. y ’ = ... c. y ’ = ...

d. y ’ = ...

LATIHAN SOALTentukan turunannya dengan menggunakan rumus-rumus turunan

1. 7. y = Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

121

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-112. y = (4x+2)(2x+5) 8. y =

3. y = (-x+1)(3-x) 9. y =

4. y = 10. y =

5. y = 11. y =

6. y = 12. y =

4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIKita akan mencoba menentukan turunan dari y = sin x dengan menggunakan rumus turunan .y = f(x) = sin xf(x+h) = sin(x+h)

y’ =

=

=

=

=

limh→0

= = cos x

Dengan cara yang sama akan di dapat jika y = cos x maka y’ = -sin x.

Jadi turunan fungsi sinus dan cosinus dapat digambarkan sbb:

Contoh:Tentukan turunan dari :

a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x b. f(x) =

Penyelesaian: a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x


122

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11 f ’(x) = …… = …… b. f(x) = f ’(x) = …. (gunakan rumus y = uv)

LATIHAN SOALTentukan turunannya dari :1. f(x) = cos x + sin x 9. f(x) = (4x+2) sin x

2. f(x) = -2 sin x + 5 cos x 10. f(x) =

3. f(x) = 3 cos x - 2 sin x 11. f(x) =

4. f(x) = cos x 12. f(x) =

5. f(x) = 13. f(x) =

6. f(x) = x sin x 14. f(x) =

7. f(x) = sin x cos x 15. f(x) = 8. f(x) =

5. TAFSIRAN GEOMETRIS TURUNANa) PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

Perhatikan gambar di bawah ini :

y = f(x) Y g f(x+h) Q Garis g memotong kurva y = f(x) di titik P dan Q

P f(x)

0 x x+h X

Seperti kita ketahui, gradien garis g adalah m = Jika garis g kita putar dengan titik P sebagai titik putarnya, sehingga titik Q yang

memotong kurva y = f(x) bergerak. Pada saat h mendekati 0 ( , maka titik P dan Q akan berimpit sehingga akan di dapat suatu garis singgung di titik P.


123

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Jadi gradien garis singgung pada y = f(x) di titik P adalah :

m =

atau m = f ’(x)Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = di titik (3,4)

Penyelesaian : y ’= ….Gradiennya di titik (3,4) adalah m = f’(3) = ….

Persamaan garis singgung kurva dengan gradien 4 dan melalui titik (3,4) adalah : y− y1=m ( x−x1) ……………. …………….

Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva y = yang tegak lurus garis y-2x = 1

Penyelesaian : Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah saling berlawanan berkebalikan

Atau

y - 2x = 1 y = 2x + 1 maka m1=.. .. . .

Karena maka m2=.. .. . ( gradien garis singgung)

m2= y '=2 x⇔2 x=. .. .. .

x=. .. . ..sehingga y = x2=.. .. . ..= .. .. .. . ..

Jadi persamaan garis singgungnya : …………..

…………..LATIHAN SOAL1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut di setiap titiknya :

a. di titik (2,8) c. dengan absis 2

b. di titik (-1,2) d. dengan ordinat -92. Tentukan persaman garis singgung kurva :

a. di titik (1,1) e. di x = 3

b. di titik (2,4) f. di x = 1

c. di titik (4,2) g. di y = 5


124

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

d. di titik h. di y = 3

3. Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 5

4. Tentukan persamaan garis singgung yang membentuk sudut dengan sumbu X

5. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar garis 3x-y+1=0

6. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x+4y-5=0

b) FUNGSI NAIK DAN TURUN

Perhatikan gambar berikut ini :

Y B

A C

D

0 X

Untuk membaca sebuah kurva ada aturannya, yaitu dari kiri ke kanan. Pada gambar di atas, dari titik A ke titik B dikatakan kurva dalam keadaan naik, sedangkan dari titik B ke titik C kurva dalam keadaan turun

Kurva Naik

Pada kurva dalam keadaan naik dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin

besar ( dan harga y juga semakin besar ( . Karena gradien (m) = dan m = y’ maka

syarat kurva naik jika y '>0 (karena

++ )

Kurva Turun

Pada kurva dalam keadaan turun dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin

besar ( dan harga y semakin kecil ( . Karena gradien (m) = dan m = y’ maka syarat


125

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11

kurva turun jika y ’ < 0 (karena

Contoh 1 : Tentukan interval di mana fungsi f(x) = a. naik b. turun

Penyelesaian : f(x) = f’(x) = .... ... = 0 (:3)

( ... )( ... ) = 0x = ...atau x = ...Dengan bantuan garis bilangan sebagai berikut :

+ - + ... ...

Berdasarkan gambar di atas disimpulkan :Kurva naik pada interval ... atau ...Kurva turun pada interval ...

LATIHAN SOAL1. Tentukan interval kurva naik dan turun dari fungsi berikut :

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. Tunjukkan bahwa fungsi selalu naik

3. Tunjukkan bahwa fungsi tidak pernah naik

4. Tunjukkan bahwa fungsi selalu turun

c) NILAI STASIONER

Perhatikan gambar berikut ini Y A Titik A dan B disebut titik-titik stasioner/ titik ekstrem/titik puncak. Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

126

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11 B Titik A disebut titik balik maksimum Titik C disebut titik balik minimum

C Titik B disebut titik belok/titik belok horisontal

0 X

Pada gambar di atas terlihat bahwa gradien pada titik-titik stasioner berupa garis lurus yang mendatar. Pada titik stasioner, keadaan ini kurva tidak naik dan juga tidak turun.

Jadi syarat titik stasioner pada kurva y = f(x) jika y ’= 0

Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut bisa digunakan uji kiri kanan pada titik stasioner tersebut, atau bisa juga dengan menggunakan turunan kedua.

Misal titik stasionernya , maka:I. Dengan uji kiri kanan titik stasioner

- jika + lalu - maka titik balik maksimum

- jika - lalu + maka titik balik minimum

- jika - lalu - atau + lalu + maka titik belokII. Dengan menggunakan turunan kedua

- jika f’’( maka titik balik minimum

- jika f’’( maka titik balik maksimum

- jika f’’( maka titik belok

Contoh 1 : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) =

Penyelesaian : f ’(x) = 0 ... = 0 (:3) ... = 0( ... )( ... ) = 0

x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...)x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...)

Jenisnya :Cara I ... ... ...

... ...Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

Cara IIf(x) = f ’(x) = ...


127

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11f ’’(x) = ...Untuk x = 1 maka f ’’(1) = ...Untuk x = 3 maka f ’’(3) = ...

Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

LATIHAN SOALTentukan nilai stasioner dan jenisnya dari :

1. f ( x )=2 x2−3 x+1 6. f ( x )=x+ 1

x

2. f ( x )=9−4 x−x27. f ( x )=(x

2−4 )2

3. f ( x )=x3−12x 8. f ( x )=x

4−4 x3

4. f ( x )=x3−6 x2

9. f ( x )=x5−5 x3

5. f ( x )=x3−6 x2+12x 10.

f ( x )=x3+48x

d) NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA SELANG TERTUTUPPerhatikan gambar berikut ini :

Y E B

A C

D X

Pada gambar di atas terlihat, pada selang x1≤x≤x2 kurva mencapai nilai maksimum pada titik E dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum).

Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup a≤x≤b pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut :1. Tentukan nilai-nilai ujung interval2. Tentukan nilai-nilai stasionernya3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum

Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f ( x )=2 x3−15 x2+36 x pada interval


128

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11Penyelesaian : f(1) = ...f(5) = ...

f ’(x) = 0 ... = 0 ... ...x = ... maka y = ...x = ... maka y = ...Jadi nilai maksimum = ... dan nilai minimum = ...

LATIHAN SOALTentukan nilai maksimum dan minimum dari :

1. untuk 6. untuk

2. untuk 7. untuk

3. untuk 8. untuk

4. untuk 9. untuk

5. untuk 10. untuk

e) PENERAPAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUMDalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan.Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu persamaan matematika berderajat lebih dari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva yang terbentukjnya.Dengan menggunakan y’ = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.

Contoh:Dua bilangan jumlahnya 8. Tentukan hasil kali maksimumnya !Penyelesaian:Misal kedua bilangan itu x dan y, maka :

x + y = 8 x = ... Misal z = xy Substitusi x = ... ke z = xy sehingga : z = xy z = ( ... ) y = ... z’ = 0 ... = 0 y = ... maka z = ...

LATIHAN SOAL1. Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimum dan ukuran persegi

panjang itu !2. Dua bilangan selisihnya 4. Tentukan hasil kali minimumnya !


129

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-113. Tentukan nilai terbesar jika x + y = 484. Ali memagari sepanjang tembok berbentuk persegi panjang dengan kawat. Jika panjang

kawat 24 m, tentukan ukuran kandang yang harus dibuat agar luasnya maksimum, jika salah satu sisinya berupa tembok yang ada !

5. Suatu roket bergerak ke atas dengan persamaan gerak . Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai roket tersebut !

6. Ibu ingin membuat kotak tanpa tutup. Kotak itu berisi 4 . Jika alas kotak itu berupa persegi, tentukan ukuran kotak itu agar memerlukan karton seminimum mungkin !

7. Sehelai karton persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm. Pad keempat sudut karton itu dipotong bujur sangkar yang sisinya x cm. Tentukan ukuran kotak tanpa tutup itu agar isinya maksimum

8. Tentukan jarak terdekat dari garis y = 2x + 5 ke titik (4,3)9. Y Jika jari-jari lingkaran 10 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang yang diarsir ! X 0

LATIHAN

A. Pilhlah jawaban yang benar

1. limx→2−3x+5=…

A. – 11 D. 5B. – 1 E. 6C. 1

2. limx→2

x2−4x3+1

=…

A. 0 D. 23

B. 1 E.

C.19

3. limx→a

x3−ax2

x2−a2 =…

A. a D. 14a

B.12a E.

15a


130

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11C.

13a

4. limx→−1

x2−2x−3x2−3 x−4

=…

A. 0 D. 1

B.45 E.

C.23

5. limx→3

x2+3x−18x2−3x

=…

A. 0 D. 3B. 1 E. 6C. 2

6. limx→∞

x3−4 x2+22 x3−7 x+1

=…

A.−12 D.

35

B.12 E.

75

C.14

7. limx→0

sin 2 x3x

=…

A.23 D.

26

B.32 E.

66

C.36

8. Turunan pertama dari f ( x )=6x3−2x2 adalah …A. 18 x2−4 x D. 12 x2− xB. 5 x2−x E. 18 x2−2xC. 6 x2−2 x

9. Diketahui ( x )=4 x3−2 x2+3 x+7 . Nilai dari f '(3) adalah …A. 99 D. 63B. 97 E. 36C. 91

10. Turunan pertama dari f ( x )=sin2 x adalah …

A.12

sin 2x D. 2sin 2x

B.12

cos2 x E. −2 cos2 x

C. 2 cos2 x


131

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-1111. Jarak s meter yang ditempuh dalam t detik dinyatakan oleh s= t2+2 t . Kecepatan benda setelah bergerak 5 detik adalah…A. 35 m/det D. 12 m/detB. 20 m/det E. 11 m/detC. 15 m/det

12. Turunan pertama dari 2x−15x+3 adalah…

A.11

(1+2 x)2 D.

−11(1+2 x)2

B.3 x−4(1+2 x)2

E. 5

(1+2 x)2

C.115 x−3(1+2 x)2

13. Sebuah kotak tertutup volumenya 36 dm3, alas kotak berbentuk persegi panjang dengan panjang tiga kali lebarnya. Jika kotak tersebut dibuat dengan luas permukaan sekecil mungkin, maka panjang kotak adalah …A. 2 dm D. 6 dmB. 3 dm E. 8 dmC. 4 dm

14. Grafik f ( x )=x3+3 x2−9 x turun pada interval…A. −1<x<3 D. x<−3atau x>1B. −3<x<1 E. x<−1atau x>3C. 3<x<1

15. Grafik f ( x )=2x3−4 12x2+3 pada interval…

A. x<0atau x>3 D. −3<x<0B. 0<x<3 E. x>3C. x<−3atau x>0

16. Reaksi sebuah obat dinyatakan dengan persamaan f (t )=6 t−t 2, dimana t adalah waktu per jam. Reaksi maksimum yang dicapai terjadi pada waktu …A. 5 jam D. 9 jamB. 6 jam E. 10 jamC. 8 jam

17. Kaleng berbentuk silinder tanpa tutup mempunyai volume 64 π cm3. Agar luas permukaannya minimum, jari-jari alasnya adalah …A. 25 cm D. 6 cmB. 20 cm E. 4 cmC. 16 cm

18. Jika f ( x )=sin2 x cos3x , maka f ' ( x )=… A. 2 cos2 xcos3 x+3sin 2xsin3 x D. cos2 xcos3 x−sin 2 xsin3 x

B. 2cos2 xcos3 x−3 sin 2xsin 3x E. 12

cos2 xcos3 x−13

sin 2 xsin3 x

C. cos2 xcos3 x−3sin 2 xsin3 x

19. Jika y=( x2−1 )(x3+3) , maka dydx=…

A. (2 x )(3x2) D. 5 x4−3 x2−6 x Modul Matematika SMK – X I 3 dan 4

132

F. 73/ WKS1. 18

0/01-10-11B. 5 x4−3 x2+6 x E. -x4+3 x2+6 xC. 5 x4+3 x2+6 x

20. Turunan pertama dari y=x−1x−3 adalah …

A. 2 x−2(x−3)2

D. −2

(x−3)2

B.2 x+2(x−3)2

E. 2

(x−3)2

C.2 x

(x−3)2

B. Selesaikanlah pertanyaan berikut ini.

1. Tentukan interval fungsi f ( x )=x (6−x )2 akan naik.

2. Tentukan titik dimana fungsi f ( x )=x5−15x4 akan maksimum.

3. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya sebesar (x3−2.000 x2+300.000 x ) rupiah.Hitung banyaknya barang harus diproduksi, apabila diinginkan biaya produksi paling rendah.

4. Tentukan turunan pertama dari f ( x )=2−3xx+1

5. Tentukan titik maksimum f ( x )=−x2+8 x−12


133

Documents

BARISAN DAN DERET xi-enan.docx · Web viewApabila banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil maka terdapat suku tengah yang dilambangkan dengan Ut. Besarnya suku tengah