Banda de Moebius y sus Aplicaciones

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QUE ES LA BANDA DE MOEBIUS?

La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /'møbis/ o en español a menudo "moebius", pero nunca "mobius") es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

PROPIEDADES

Tiene sólo una cara: Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase en la imagen). Tiene sólo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.

Esta superficie no es orientable: Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

GEOMETRIA

Donde:

CURVATURA GAUSSIANA

En coordenadas cilíndricas

TEOREMA DE STOKES

=

Si fabricamos con papel y pegamento un modelo B de la banda de Moebius vemos que, dado cualquier punto de la banda, se puede dibujar un camino continuo dentro de la banda que empieza en ese punto por una cara determinada y acaba en el mismo punto pero por la otra cara, y sin tocar en ningún momento el borde de la banda.  Si ahora intentamos transportar continuamente a lo largo de este camino un vector de norma uno n perpendicular a la superficie, vemos que al volver al punto inicial el vector apunta en sentido opuesto.Esto hace ver que es imposible definir un campo de vectores de norma uno y perpendiculares a B que sea continuo en todos los puntos, es decir, B no es orientable.

Por otra parte, no es difícil ver que el teorema de Stokes falla en B. En efecto, podemos dividir B en dos superficies para métricas simples B1 y B2 obtenidos al cortar B transversalmente por dos sitios diferentes. Pero resulta imposible orientar B1 y B2 de modo que, en los segmentos donde se pegan, las orientaciones del borde de B1 y del borde de B2 sean opuestas. Esto supone que si aplicamos el teorema de Stokes a B1 y B2 y sumamos las igualdades obtenidas vamos a deducir que:

y también:

Por tanto, si el teorema de Stokes fuera cierto en B para uno de estos camposF llegaríamos a que una contradicción.  Conclusión:  Existen superficies que no son orientables y a las que no seles puede aplicar el teorema de Stokes.

AplicacionesEs un cartucho con cinta de tinta para escribir o imprimir. La banda tintada tiene un medio giro, en forma de lazo de Möbius, que dobla su longitud efectiva. La tinta depositada en la cinta (que se mueve por medio de un rodillo transportador) puede volverse a llenar por medio de una almohadilla de tinta que está en contacto con la cinta.

Diseño y Escultura  La mesa de café de moebius está compuesta por una base en madera veteada y una superficie de cristal suspendida

Laboratorios químicos La molécula de Möbius no se encuentra en la naturaleza, sino que se ha sintetizado en el laboratorio, el proceso comienza con la síntesis de una molécula en forma de escalera con tres escalones (cada escalón es una cadena carbón-carbón doble).La escalera se curva hasta que sus finales se juntan para formar un lazo. En la mitad de los casos, el lazo es sencillamente una banda circular, pero en la otra mitad, el lazo es una banda de Möbius.

Máquinas Dos cables metálicos se extienden a lo largo de todo el raíl. Un cuerpo en movimiento con ruedas de material magnético está magnéticamente enganchado a los cables.

Textileria Elisabeth Zimmermann introdujo en 1983 las bufandas de Möbius, excelentes para el frío, que no han dejado de ser imitadas por numerosas firmas.

Arquitectura

En arquitectura se puede encontrar varios ejemplos de proyectos basados en la banda de mobius, ya sea en términos de forma, estructura y espacial

Conclusiones: 

En el presente trabajo se ha hecho una breve semblanza biográfica de August Ferdinand Möbius. Su descubrimiento de la Cinta de Möbius, variedad bidimensional, no-orientable superficie de una sola cara. Además se presentan algunas de las características peculiares de estas entidades topológicas y otras derivadas de ellas. En particular, se enfatiza las aplicaciones de la cinta de mobius las cuales se encuentran en todos los campos de la ciencia

GRACIAS