Bài Tập Lớn XTLH

Bài tập lớn Xử lý tín hiệu Project 3: Reconstruction of signals from samples

MỤC LỤC

Đề bài……………………………………………………………………………2

Bài tập 3.1……………………………………………………………………….4

Bài tập 3.2……………………………………………………………………….6

Bài tập 3.2……………………………………………………………………….10

Bài tập 3.4………………………………………………………………………..15

Đào Lê Giang – ĐKTĐH4- K561


PROJECT 3: KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Xử lý tín hiệu số bao gồm rất nhiều lĩnh vực, một trong số đó là khôi phục tín hiệu tương tự từ các mẫu dạng số. Đề tài này đưa ra rất nhiều phương pháp có thể thực hiện việc khôi phục này.

Xét trường hợp có 3 mẫu của tín hiệu tương tự x(t) như biểu diễn trong hình 1.5a:

x(0) = 2, x(1) = 1, x(2) = x(t)|t=2 = -1 (3 – 1)

Không có dữ kiện nào được đưa thêm. Vậy các mẫu trên tương ứng với tín hiệu tương tự nào? Trên thực tế không có câu trả lời đúng tuyệt đối cho vấn đề này. Nó phụ thuộc vào giả thiết và phương pháp khôi phục mà ta sử dụng.

Chẳng hạn, một tín hiệu tương tự khả thi tương ứng với các mẫu trong hình 1.5a được biểu diễn trong hình 1.5b. Ta vẽ một đường cong bất kỳ đi qua các điểm lấy mẫu.Không cần chỉ rõ với các đường bên ngoài khoảng đồ thị, và số lượng các đường cong thêm vào là không giới hạn.

Để cụ thể hóa, ta cần chỉ rõ các giả thiết và phương pháp khôi phục. Chẳng hạn ta thấy ở đây 3 tín hiệu mẫu tương đương ngắt quãng. Có thể giả thiết các mẫu được lấy với mọi n [ - ; + ], và chỉ 3 mẫu được tìm thấy là khác 0. Trong trường hợp khác, ta có thể giả sử rằng 3 mẫu trên là một đa thức của tất cả các mẫu với n [ - ; + ], nhưng không tìm được mẫu nào khác 0 ngoài 3 mẫu này.

Trong việc chọn phương pháp khôi phục, ta phải lựa chọn để ghép với một đa thức, hoặc với một sóng sin, hoặc sử dụng nội suy tuyến tính, hoặc bộ lọc thông thấp, hay bất kỳ giải pháp tốt nào khác. Trong đề tài này, ta sẽ thử ghép 3 điểm dữ liệu với một sóng sin, một đa thức, sau đó sẽ thử với bộ lọc thông thấp lý tưởng và không lý tưởng.

Bài tập 3.1: Xác định sóng sin

Giả thiết rằng 3 tín hiệu mẫu tương ứng với một sóng dạng sin theo công thức

x(t) = Acos( t + ) (3 – 2)

Ta có x(0), x(1) và x(2). Như vậy đã đủ dữ kiện để xác định A, và chưa? Hãy lập hệ phương trình. Hệ phương trình này có phải luôn có nghiệm không? Nếu không hãy chỉ ra các giá trị tại đó hệ vô nghiệm.



Có thể đưa ra nghiệm chính xác không? Nếu có hãy tìm một nghiệm với tần số khác. Biểu diễn kết quả dạng sin trên đồ thị với khoảng cách nhỏ hơn Δt = 0.01s.

Bài tập 3.2: Nội suy tuyến tính và nội suy đa thức

a. Sử dụng MATLAB, nối các điểm mẫu bằng đường thẳng, biểu diễn kết quả trên đồ thị với khoảng thời gian Δt = 0.01s , giải thích tại sao hàm plot sẽ làm việc này tự động

b. Nhân chập mẫu đã cho với xung tam giác sau khi đã chèn 4 điểm 0 vào giữa các mẫu, sử dụng đáp ứng xung 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2. Chỉ ra rằng kết quả đồng nhất với nội suy tuyến tính nếu giả sử các mẫu tại t = -1 và t = +3 bằng 0.

c. Sử dụng MATLAB, xác định đã thức bậc 2 cho 3 điểm mẫu ( xem hàm polyfit và polyval). Biểu diễn đa thức trên đồ thị với -5 t 5.

Bài tập 3.3: Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Bộ lọc thông thấp lý tưởng không tồn tại trong thực tế. Tuy nhiên ta có thể tính toán dạng sóng mà kết quả gần như bộ lọc thông thấp lý tưởng: quá trình lọc thông thấp tương ứng với một khuếch đại phổ của tín hiệu bằng hàm cửa sổ cha nhật trong miền tần số. Tương ứng với phép nhân chập với công thức Fourier ngược,chính là hàm sinc trong miền thời giang. ước lượng nội suy:

(3-3)

Trong đó mẫu x(tl) được lấy tại tl = lTs.

a. Viết nội suy sinc theo công thức (3-3). Giả thiết chỉ có hữu hạn các tín hiệu mẫu là khác 0 và tín hiệu chỉ cần được khôi phục trong khoảng thời gian hữa hạn.

b. Nội suy một mẫu điểm đơn với giá trị 1 tại t = 0. Biểu diễn kết quả trong khoảng -5 đến +5.

c. Nội suy 3 điểm được cho trong (3-1) và hình 1.5. So sánh kết quả nhận được với dạng sóng sin.



Bài tập 3.1: Fitting a Sine Wave. (Xác định sóng sin)

Gỉa sử một tín hiệu x(t)=Acos(t+) ,ta đã biết các giá trị x(0),x(1),x(2).Dựa vào đồ thị ta có hệ 3 phương trình :

{2= Acosφ ¿ {1=A cos (ω+φ )¿ ¿¿¿Từ hệ phương trình trên ta có :

{φ=±arccos2A

+k 12π ¿ {ω=±arccos1A

±arccos2A

+k2 2π ¿ ¿¿¿ Nhận thấy hệ phương trình trên không phải luôn luôn giải được.Gỉa sử với A=1 ta có 2=cos() (vô lý).

Với A=2 thì hệ trên có vô số nghiệm.Ta đưa ra 2 nghiệm có dạng

(1=/3, 1=0) và (2=/3+2, 2=0)ta có với nghiệm thứ nhất :

xlabel('Nghiem 1'); grid;t=0:0.01:2;x1=2*cos((pi/3)*t); % ham 1 omega=(1/3)piplot(t,x1,'g');



Với nghiệm thứ 2 :

xlabel('Nghiem 2'); grid;t=0:0.01:2;x2=2*cos((2*pi+pi/3)*t); % ham 2 omega=(2+1/3)piplot(t,x2);



BÀI TẬP 3.2: Linear and Polynomial Interpolation (Nội suy tuyến tính và đa thức)

A.Kết nối tín hiệu mẫu của đề ra bằng hàm plot.thời gian delta t =0.01s

x=[0,1,2];y=[2,1,-1];plot(x,y);hold on;stem(x,y);



B.Nhân chập mẫu đã cho với một xung tam giác ,sử dụng đáp ứng xung (0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2),chèn 4 điểm 0 vào giữa các tín hiệu

a=0:0.2:2b=1-abs(a-1);x=[0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2];y=[2,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1];conv(b,y);plot(conv(b,y));grid;hold on;stem(conv(b,y))



Nội suy tuyến tính với giả thiết các mẫu tại t=-1 và t=3 bằng 0

x=-1:1:3; y=[0 2 1 -1 0];plot(x,y);



Ta thấy 2 kết quả này là hoàn toàn giống nhau

C.Từ 3 điểm đã cho,ta xác định một đa thức bậc 2

t=([0 1 2]);x=([2 1 -1]);p=polyfit(t,x,2);k=-5:0.1:5;y=p(1)*k.^2+p(2)*k+p(3);



plot(k,y); grid;

BÀI TẬP 3.3: Ideal Low-Pass Filtering (Bộ lọc thông thấp lý tưởng)

Ta có hàm cửa sổ trong miền tần số chính là hàm sin(x)/x trong miền thời gian.Do đó công thức nhân chập trong bài ra chính là công thức nhân chập trong miền thời gian giữa một tín hiệu x(tl) với tín hiệu của mạch lọc thông thấp lí tưởng để thu được tín hiểu khôi phục ,từ đó khôi phục lại tín hiệu gốc

Ta có hàm truyền đạt :

ezplot('sin(pi*(x)/(1/10))/(pi*(x)/(1/10))',[-2,2]),axis([-2 2 -1 1]);grid;



đây chính là đồ thị của hàm sin(x)/x

cho 1l chạy tu -10 tới 10 với tín hiệu ban đầu làa=sin(2*pi*t+pi/4)Dùng công thức nhân chập của đề bài với fs=10Hzhold onezplot('sin(2*pi*1*(-10)/10+pi/4)*sin(pi*(x--10*1/10)/(1/10))/(pi*(x--10*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-9)/10+pi/4)*sin(pi*(x--9*1/10)/(1/10))/(pi*(x--9*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-8)/10+pi/4)*sin(pi*(x--8*1/10)/(1/10))/(pi*(x--8*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-7)/10+pi/4)*sin(pi*(x--7*1/10)/(1/10))/(pi*(x--7*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-6)/10+pi/4)*sin(pi*(x--6*1/10)/(1/10))/(pi*(x--6*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-5)/10+pi/4)*sin(pi*(x--5*1/10)/(1/10))/(pi*(x--5*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-4)/10+pi/4)*sin(pi*(x--4*1/10)/(1/10))/(pi*(x--4*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-3)/10+pi/4)*sin(pi*(x--3*1/10)/(1/10))/(pi*(x--3*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(-2)/10+pi/4)*sin(pi*(x--2*1/10)/(1/10))/(pi*(x--2*1/10)/(1/10))



+sin(2*pi*1*(-1)/10+pi/4)*sin(pi*(x--1*1/10)/(1/10))/(pi*(x--1*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(0)/10+pi/4)*sin(pi*(x-0*1/10)/(1/10))/(pi*(x-0*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(1)/10+pi/4)*sin(pi*(x-1*1/10)/(1/10))/(pi*(x-1*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(2)/10+pi/4)*sin(pi*(x-2*1/10)/(1/10))/(pi*(x-2*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(3)/10+pi/4)*sin(pi*(x-3*1/10)/(1/10))/(pi*(x-3*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(4)/10+pi/4)*sin(pi*(x-4*1/10)/(1/10))/(pi*(x-4*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(5)/10+pi/4)*sin(pi*(x-5*1/10)/(1/10))/(pi*(x-5*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(6)/10+pi/4)*sin(pi*(x-6*1/10)/(1/10))/(pi*(x-6*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(7)/10+pi/4)*sin(pi*(x-7*1/10)/(1/10))/(pi*(x-7*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(8)/10+pi/4)*sin(pi*(x-8*1/10)/(1/10))/(pi*(x-8*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(9)/10+pi/4)*sin(pi*(x-9*1/10)/(1/10))/(pi*(x-9*1/10)/(1/10))+sin(2*pi*1*(10)/10+pi/4)*sin(pi*(x-10*1/10)/(1/10))/(pi*(x-10*1/10)/(1/10))',[-1,1]) ta thu được tín hiệu khôi phục:



B.Ta có tín hiệu đầu vào là một xung Durac,để tính tín hiệu đầu ra ta có thể thực hiện như sau: nhân chập trong miền thời gian hoặc nhân thường trong miền tần số.

Trong miền tần số xung durac là một đường thẳng có tung độ là 1,do đó khi nhân thường trong miền thời gian giữa xung durac với một hàm cửa sổ thì chính là hàm của sổ đó,còn khi chuyển sang miền tần số thì nó chính là một hàm dạng sin(x)/x



C.Từ 3 điểm được đưa ra trong bài 3.1 : x(0)=2;x(1)=1;x(2)=-1 và với tần số lẫy mẫu là f=1 Hz



ezplot('2*sin(pi*x)/(pi*x)+1*sin(pi*(x-1))/(pi*(x-1))+-1*sin(pi*(x-2))/(pi*(x-2))',[0,2])

Ta nhận thấy tín hiệu sau khi khôi phục gần giống với tín hiệu khôi phục của nghiêm 1 bài 3.1 với việc chọn tần số lẫy mẫu hợp lí (thỏa mãn định lí lấy mẫu shannon)

EXERCISE 3.4: Choice of Assumed Bandwith

Ta có với một bộ lọc thông thấp lí tưởng có tần số cắt là fB thì các tín hiệu có tần số fmax=fB thì sẽ được bộ lọc cho qua hoàn toàn,nên tín hiệu được khôi phục hoàn toàn

t=-1:0.1:1;

nn=-42:0.1:42;

y=zeros(1,10);



for i=-10:9

y=[y, 1-abs(t), zeros(1,19)];

end

y=[y,1-abs(t),zeros(1,10)];

size(y);

stem(nn,y);

plot(nn,y);axis([-42 42 -1 1]);grid;

xlabel('XUNG TAM GIAC')

sau khi biến đổi fourier ngược sang miền thời gian tín hiệu trở thành :

Tần số fB=1Hz



f=-1:0.01:1y=1-abs(f);a=ifft(y,202); plot(a,f);


Documents

Bài Tập Lớn XTLH