www.briliantprivate.co.cc Page 1

www.briliantprivate.co.cc Page 2

SUKU BANYAK ( POLINOMIAL )

1. PENGERTIAN SUKU BANYAK

Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n biasanya dituliskan secara umum sebagai berikut :

01

2

2

2

2

1

1 ........ axaxaxaxaxa n

n

n

n

n

n ++++++ −−

−−

Untuk n bilangan cacah dan naaaa .......,,,, 210 konstanta dan 0≠na .

naaaa ,.......,,, 321 disebut koefisien dan 0a disebut konstanta sedangkan x disebut variabel

(peubah)

Penulisan suatu suku banyak biasanya terurut dari pangkat yang tertinggi ke pangkat yang lebih

rendah.

Contoh 1 : Pada suku banyak 36742 235 −++− xxxx tentukan derajat suku banyak tersebut,

koefisien 45 , xx dan konstantanya !

Jawab : ……………

2. NILAI SUKU BANYAK

Untuk menentukan nilai suatu suku banyak dalam x atau sering ditulis f(x) pada suatu harga x = c

ada 2 cara, yaitu :

1. cara substitusi, yaitu dengan mengganti variabel x dengan harga c atau f(c)

2. cara skema (pembagian sintetis), yaitu dengan mengoperasikan koefisien-koefisiennya dengan

pola tertentu.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini !

Contoh 2 : Tentukan nilai suku banyak 1452 23 ++− xxx pada x = 2 !

Jawab : cara I (dengan substitusi)

=)(xf 1452 23 ++− xxx maka 518201612.42.52.2)2( 23 =++−=++−=f

cara II (dengan skema)

2 2 -5 4 1

4 -2 4

+

2 -1 2 5 Nilai suku banyak yang dimaksud.

berarti kalikan bilangan yang di bawah dengan 2.

Jika pada suatu suku banyak tidak terdapat variabel tertentu (urutan derajat variabel meloncat)

maka koefisien variabel tersebut dianggap 0.

Misal suku banyak 764 35 −+− xxx maka koefisien dari 24 xdanx dianggap 0.

www.briliantprivate.co.cc Page 3

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah nilai suku banyak berikut pada masing-masing harga x dengan cara substitusi !

18432)(.

3

25239)(.

2

11262)(.

338)(.

2234)(.

234

23

234

3

2

−=−−−−=

=−++=

=−+−=

−=+−=

=++=

xuntukxxxxxfe

xuntukxxxxfd

xuntukxxxxfc

xuntukxxxfb

xuntukxxxfa

2. Hitunglah nilai suku banyak pada soal no. 1 dengan cara skema /pembagian sintetis!

3. Jika 203204)( 234 +++−= axxxxxf untuk x = 5 nilai f(5) = 0 maka tentukan nilai a !

3. PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Untuk membagi suatu suku banyak dengan pembagi (x – c) ada 2 cara, yaitu :

1. cara pembagian biasa seperti pembagian suatu bilangan dengan bilangan lain yang lebih kecil

(bagi kurung). Dalam hal ini derajat sisanya harus kurang dari derajat pembagi.

2. cara pembagian sintetis /skema seperti yang sudah dijelaskan di atas dengan mengambil x =

c dengan operasi tambah atau x = -c dengan operasi kurang.

Contoh 1 : Tentukan hasil bagi dan sisa dari 17253 234 +−+− xxxx dibagi x – 2

143 23 +++ xxx hasil bagi

Jawab : cara I :

x – 2 17253 234 +−+− xxxx

34 63 xx −

-

23 2xx +

23 2xx −

-

xx 74 2 −

xx 84 2 −

-

2

1

−

+

x

x

-

3 sisa

Jadi hasil baginya : 143 23 +++ xxx dan sisanya 3 atau bisa ditulis :

17253 234 +−+− xxxx = (x – 2) ( 143 23 +++ xxx ) + 3

cara IIa :

2 3 -5 2 -7 1

6 2 8 2

+

3 1 4 1 3 sisa

hasil bagi

www.briliantprivate.co.cc Page 4

cara IIb :

-2 3 -5 2 -7 1

-6 -2 -8 -2

-

3 1 4 1 3 sisa

hasil bagi

Jadi hasil baginya : 143 23 +++ xxx dan sisanya 3.

LATIHAN SOAL

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut dengan cara pembagian bentuk biasa dan cara

pembagian sintetis!

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) )2(:64.

5:125.

3

1:2469.

1:128352.

2:92.

)3(:)723(.

3:86.

6

3

23

234

23

2

−−

+−

++++

++++−

++−

−−−

−+

xxg

xxf

xxxxe

xxxxxd

xxxc

xxxb

xxa

2. Tentukan nilai a jika 3423 +−+ xaxx dibagi (x – 5) mempunyai sisa 283 !

3. Tentukan nilai a jika 203204 234 +++− axxxx habis dibagi (x – 5) !

4. Tentukan k jika 42 ++ kxx dibagi dengan (x – 1) dan (x + 1) memberikan sisa yang sama !

4. TEOREMA SISA

Suatu suku banyak f(x) yang dibagi oleh pembagi (x – c) dan menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa

S dapat ditulis :

f(x) = (x – c).H(x) + S

Jika x = c maka f( c) = (c – c).H(c ) + S atau S = f(c )

Jadi jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x – c , maka sisanya adalah f(c ).

Pernyataan di atas sering dikenal dengan nama teorema sisa. Jadi untuk menentukan sisa dari

pembagian f(x) oleh x – c bisa digunakan cara substitusi x oleh c atau dengan pembagian

skema/sintetis.

Contoh 1 : Tentukan sisa pembagian 532 24 +− xx oleh x + 2

Jawab : Sisanya = f(-2) = 255)2(3)2(2 24 =+−−−

www.briliantprivate.co.cc Page 5

5. PEMBAGIAN DENGAN AX - B

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh ax – b dapat ditulis :

f(x) = (ax – b).H(x) + S

f(x) = a(x - a

b).H(x) + S

f(x) = (x - a

b).a H(x) + S

Menurut teorema sisa di atas maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi ax – b adalah

f(a

b). Hasil baginya harus dibagi a supaya kembali ke H(x).

Contoh 2 : Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 1634 24 +−+ xxx oleh 2x – 1

Jawab : Dengan menggunakan pembagian sintetis :

2

1 4 0 3 -6 1

2 1 2 -2

4 2 4 -4 -1

Jadi sisanya = -1 dan hasil baginya = 2222

4424 2323

−++=−++

xxxxxx

LATIHAN SOAL

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :

( )( )( ) ( )( ) )13(:81153.

32:442.

)12(:264.

)43(:11425.

)12(:)5432(.

23

23

2

23

234

−+−+

−+++

−−+

++−+

++++

xxxxe

xxxxd

xxxc

xxxxb

xxxxxa

2. Tentukan a jika axxxx +−+− 813124 234 habis dibagi 2x – 1

3. Tentukan a jika 272 23 +−− axxx habis dibagi 2x + 1

4. Tentukan a jika 105222 23 −−+ xaxx habis dibagi 2x + 5

6. TEOREMA FAKTOR

Suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x – c) menghasilkan sisa 0, maka dikatakan (x – c) merupakan

faktor dari f(x).

Jadi suku banyak f(x) mempunyai faktor (x – c) jika dan hanya jika f(c ) = 0

Untuk mencari faktor-faktor dari suku banyak f(x) bisa digunakan cara pembagian

sintetis/skema, yaitu dengan mencoba-coba faktor-faktor dari konstanta suku banyak yang

menghasilkan sisa 0.

Contoh 1: Faktorkanlah suku banyak 8292 234 ++−− xxxx

www.briliantprivate.co.cc Page 6

Jawab : Faktor-faktor dari konstanta 8 adalah 8,4,2,1 ±±±±

-1 1 -2 -9 2 8

-1 3 6 -8

+

1 -3 -6 8 0

1 1 -2 -8

+

1 -2 -8 0

-2 -2 8

+

1 -4 0

Jadi )4)(2)(1)(1(8292 234 −+−+=++−− xxxxxxxx

LATIHAN SOAL

1. Faktorkanlah tiap-tiap suku banyak berikut atas faktor-faktor rasionalnya !

12198.

310126.

4343.

22.

592.

23

234

23

23

2

−+−

+−+−

+−−

−−+

−+

ttte

xxxxd

pppc

xxxb

xxa

2. Tentukan a jika 144 234 ++−+ xaxxx mempunyai faktor :

a. x + 1

b. x – 1

3. Tentukan p sehingga pxxxx ++++ 3592 234 mempunyai faktor x + 4

4. Hitunglah a dan b jika baxxxx ++−+ 234 72 habis dibagi oleh 322 −+ xx

5. Buktikan bahwa :

a. x – 2 adalah faktor dari 1036 23 ++− xxx

b. 2x + 3 adalah faktor dari 35932136 234 −−−+ xxxx

6. Buktikan bahwa :

a. 12 −nx habis dibagi oleh x + 1

b. 1212 ++ + nn ax habis dibagi oleh x + a

c. nn ba − habis dibagi oleh a – b

7. PERSAMAAN SUKU BANYAK

Persamaan suku banyak berbentuk f(x) = 0 dimana f(x) merupakan suku banyak bisa diselesaikan

jika f(x) difaktorkan terlebih dahulu. Kemudian dengan menggunakan prinsip A.B = 0 maka A = 0

atau B = 0.

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 8292 234 ++−− xxxx = 0 !

www.briliantprivate.co.cc Page 7

Jawab : Seperti contoh mengenai teorema faktor di atas , maka :

8292 234 ++−− xxxx = 0

)4)(2)(1)(1( −+−+ xxxx = 0

x = -1, x = 1, x = -2 atau x = 4

HP : {-2,-1,1,4}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan suku banyak berikut :

0310126..

082256.

012209.

06116.

043.

234

23

23

23

2

=+−+−

=−++

=−+−

=−+−

=−+

xxxxe

xxxd

xxxc

xxxb

xxa

2. Buktikan bahwa –4 merupakan akar persamaan 0245875 23 =−−+ xxx dan tentukan akar-akar

yang lain

3. Buktikan bahwa 3

1− merupakan akar persamaan 0751851216 234 =++−− xxxx dan tentukan

akar-akar yang lain !

4. Tentukan koordinat titik potong kurva 652 23 +−−= xxxy dengan sumbu X

5. Tentukan himpunan penyelesaian untuk π20 ≤≤ x dari 03sin8sin3sin2 23 =+−+ xxx

8. PEMBAGIAN DENGAN BENTUK KUADRAT

Jika pembaginya berbentuk kuadrat maka sisanya harus berupa linier (berderajat 1) atau

konstanta.

Cara menentukan sisanya ada 2 cara, yaitu dengan pembagian bagi kurung atau dengan

menggunakan teorema sisa.

Contoh 1 : Tentukan sisa pembagian 41173 23 +−− xxx oleh 22 −− xx

43 −x

Jawab :

22 −− xx 41173 23 +−− xxx

xxx 633 23 −−

-

- 454 2 +− xx

- 844 2 ++ xx

-

49 −− x

Jadi sisanya = -9x – 4

Cara lain dengan teorema sisa :

41173 23 +−− xxx = ( 22 −− xx ).H(x) + Sisa

41173 23 +−− xxx = (x – 2) (x + 1).H(x) + (ax + b)

www.briliantprivate.co.cc Page 8

Menurut teorema sisa :

Untuk x = 2 maka f(2) = 2a + b atau 2a + b = -22 ………. (1)

Untuk x = -1 maka f(-1) = -a + b atau –a + b = 5 ……….. (2)

Dari (1) dan (2) didapat a = -9 dan b = -4 sehingga sisa = ax + b = -9x – 4

LATIHAN SOAL

1. Tentukan sisa pembagian suku banyak berikut :

( )( )( )( )( ) )3(:24.

)4(:52.

)6(:722.

)9(:42.

)23(:236.

223

234

224

223

223

+++−+

++−

−+−−

−−+

+−−+−

xxxxxe

xxxd

xxxxc

xxxb

xxxxxa

2. Tentukan nilai a dan b jika baxxxx ++−+ 234 72 habis dibagi oleh 322 −+ xx

3. Diketahui abxxax 2)1( 23 ++−− habis dibagi x + 2. Jika dibagi oleh x – 2 bersisa –4. Tentukan

nilai a dan b serta ketiga akar-akar persamaan tersebut !

4. Suatu fungsi f jika dibagi x – 1 sisanya 2 dan jika dibagi x – 2 sisanya 61. Tentukan sisanya jika f

dibagi oleh (x – 1)(x – 2)

5. Jika suku banyak baxbaaxx −−−−− 3)( 234 dibagi oleh 22 −+ xx maka sisanya x – 3.

Tentukan nilai a dan b !

6. Suatu suku banyak berderajat dua dalam x habis dibagi x + 2. Jika suku banyak itu dibagi dengan

x – 1 maka sisanya 6 dan jika dibagi dengan x – 2 maka sisanya 12. Tentukan rumus suku banyak

tersebut !