Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Bahan Ajar Matematika Dasar 1B Untuk Perguruan
Tinggi
OLEH
Nurina Yasin, ST,. MT.
UNIVERSITAS GUNADARMA
JAKARTA
2020
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas
segala rahmat, taufik, dan hidayah-Nya, sehingga setelah melalui proses akhirnya
penyusunan bahan ajar matematika dasar 1B untuk perguruan tinggi ini dapat
terselesaikan.
Penyusunan bahan ajar ini berdasarkan rujukan buku “Matematika Dasar
Untuk Pergurungan Tinggi”, penulis Yusuf Yahya dkk. Bahan ajar ini nantinya
akan digunakan sebagai penunjang perkuliahan mahasiswa Fakultas Ilmu
Komputer dan Teknologi Industri.
Meskipun bahan ajar ini telah diselesaikan, penulis menyadari bahwa bahan
ajar ini masih jauh dari kesempurnaan, sehingga penulis mengharapkan teguran,
kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Akhir kata penulis berharap
semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak dan penulis
mendo’akan kepada pihak – pihak yang telah membantu, semoga Allah SWT
membalasnya dengan pahala dan kebaikan, karena sebaik-baiknya pembalas adalah
Allah swt.
Depok, April 2020
Nurina Yasin, ST,. MT.
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
KATA PENGANTAR ..................................................................................... ii
DAFTAR ISI .................................................................................................... iii
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... vi
BAB 1 FUNGSI
1.1 DEFINISI FUNGSI ................................................................ 1
1.2 DERAH DEFINISI DAN DAERAH NILAI ......................... 2
1.3 GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM KOORDINAT ................ 3
1.3.1 Latihan Fungsi ............................................................ 4
1.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI ............................................. 4
1.5 BEBERAPA DEFINISI FUNGSI LAIN ............................... 4
1.5.1 Fungsi Satu-Satu (Injektif) ......................................... 4
1.5.1.1 Soal dan Pembahasan .................................... 4
1.5.2 Fungsi Kepada (Surjektif) .......................................... 5
1.5.2.1 Soal dan Pembahasan .................................... 5
1.5.3 Fungsi Gabungan (Bijektif) ........................................ 6
1.5.4 Fungsi Invers .............................................................. 6
1.5.4.1 Soal dan Pembahasan .................................... 7
1.6 KOMPOSISI FUNGSI ........................................................... 7
iv
BAB 2 FUNGSI LANJUTAN
2.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ................................... 8
2.1.1 Fungsi Linier .............................................................. 9
2.1.2 Fungsi Kuadrat ........................................................... 10
2.1.2.1 Soal dan Pembahasan .................................... 7
BAB 3 LIMIT BARISAN
3.1 DEFINISI LIMIT ................................................................... 13
3.1.1 Soal dan Pembahasan ................................................. 14
3.2 LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN ...................................... 15
3.2.1 Soal dan Pembahasan ................................................. 15
3.3 SIFAT LIMIT FUNGSI ......................................................... 17
3.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI ...................................... 18
3.5 LIMIT TAK HINGGA ........................................................... 18
3.2.1 Soal dan Pembahasan ................................................. 19
BAB 4 KEKONTINUAN FUNGSI
4.1 FUNGSI KONTINU .............................................................. 20
4.1.1 Soal dan Pembahasan ................................................. 22
4.2 KONTINU KIRI DAN KONTINU KANAN ........................ 23
4.3 DISKONTINU ....................................................................... 23
v
BAB 5 TURUNAN
5.1 DEFINISI TURUNAN .......................................................... 25
5.2 ATURAN PENCARIAN TURUNAN ................................... 26
5.3 ATURAN RANTAI ............................................................... 27
5.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT ....................................... 27
5.4.1 Soal dan Pembahasan ................................................. 28
5.5 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT ........................................... 29
5.6 TURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA ............. 30
5.7 TURUNAN DARI FUNGSI DALAM
PERSAMAAN PARAMETER .............................................. 31
5.8 TURUNAN KEDUA DAN LEBIH TINGGI ........................ 31
5.8.1 Soal dan Pembahasan ................................................. 31
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... vii
vi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Relasi Fungsi ................................................................................. 2
Gambar 2 Ilustrasi Fungsi .............................................................................. 2
Gambar 3 Contoh Relasi Fungsi dan Bukan Fungsi ................................... 2
Gambar 4 Grafik Fungsi ................................................................................. 3
Gambar 5 Fungsi Satu-Satu ........................................................................... 4
Gambar 6 Fungsi Kepada ............................................................................... 5
Gambar 7 Fungsi Bijektif ............................................................................... 6
Gambar 8 Invers Fungsi ................................................................................. 6
Gambar 9 Komposisi Fungsi .......................................................................... 7
Gambar 10 Grafik Linier ............................................................................... 9
Gambar 11 Grafik Fungsi Kuadrat................................................................ 10
Gambar 12 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ................................................... 11
Gambar 13 Grafik Fungsi Kuadrat pada Soal .............................................. 12
1
BAB 1
FUNGSI
TIU:
Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi, menentukan daerah definisi dan
daerah nilai dari sebuah fungsi dan mengenal beberapa jenis fungsi.
TIK:
1. Mahasiswa memahami fungsi sebagai relasi, khususnya fungsi satu
variabel.
2. Mahasiswa mengenal cara penyajian fungsi dalam bentuk grafik .
3. Mahasiswa mengenal sistim koordinat cartesian.
4. Mahasiswa mengenal daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah fungsi.
5. Mahasiswa dapat menentukan daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah
fungsi.
6. Mahasiswa mengenal beberapa fungsi riil : fungsi polinom, fungsi aljabar,
fungsi transenden, fungsi trigonometeri, fungsi siklometri dan fungsi
hiperbolik.
7. Mahasiswa mengenal fungsi konstanta, fungsi identitas, fungsi satu-satu,
fungsi pada, fungsi eksplisit, fungsi implisit, fungsi berharga banyak dan
fungsi genap.
1.1 DEFINISI FUNGSI
DEFINISI: Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke
B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
ATURAN:
1. setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.
2. tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
2
1.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH NILAI
Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut
kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B disebut bayangan (image)
dari a. Himpunan Rf:= { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah
(range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut
bayangan (image) himpunan S oleh fungsi f.
Gambar 1 Relasi Fungsi
Sumber: Sukirman, 2020
Gambar 2 Ilustrasi Fungsi
Sumber: Sukirman, 2020
Gambar 3 Contoh Relasi Fungsi dan Bukan Fungsi
Sumber: Sukirman, 2020
3
1.3 GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM KOORDINAT
Misalkan f: A → B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut
{(a,f(a) | a ∈ A}.
Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2,
f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:
1.3.1 Latihan Fungsi
1. Fungsi kuadrat f: R → R, dimana f(x) := x2+x+1.
2. Fungsi nilai mutlak f: R → R+, dimana fungsi ini ditulis juga f(x): = |x|.
3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota
di dunia, f: A → B dimana f(x): ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x)
= Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.
4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah
“diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef.
fungsi f: A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x.
5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif
Fungsi f: A → B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S =
(1001101) maka f(S) = 4.
6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi?
Gambar 4 Grafik Fungsi
Sumber: Sukirman, 2020
4
1.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI
1. Misalkan f, g: A → B maka fungsi f + g, cf dan f g didefinisikan oleh:
(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).
2. Contoh: misalkan f, g: R → R dimana f(x) = x2 dan g(x):= x – x2. Diperoleh
(f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4.
3. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) =
g(x) untuk setiap x dalam domainnya.
4. Apakah fungsi f(x): = x-2 dan g(x): = (x2-4)/(x+2) sama?
1.5 BEBERAPA DEFINISI FUNGSI YANG LAIN
1.5.1 Fungsi Satu-Satu (Injektif)
Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x =
y ], atau [x y → f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut
TRUE: ∀x ∀y [f(x) = f(y) → x = y] atau ∀x ∀y [x y → f(x) f(y)] maka fungsi
f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y)
maka f tidak satu-satu.
1.5.1.1 Soal Dan Pembahasan
1 CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4,
f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif? PENYELESAIAN:
karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi
ini injektif.
Gambar 5 Fungsi Satu-satu
Sumber: Sukirman, 2020
5
2 CONTOH: Apakah fungsi f: R → R dengan f(x) = x2 satu-satu?
PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada
x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.
3 CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?
PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y, diperoleh x + 5 ≠ y + 5
→ g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.
1.5.2 Fungsi Kepada (Surjektif)
Fungsi f: A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B terdapat
x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A.
Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:
∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x)
maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ B sehingga setiap x∈A, f(x)≠ y maka f tidak
surjektif.
1.5.2.1 Soal Dan Pembahasan
1 CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN:
Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2
= f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.
2 CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?
PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3 → x = y+3 memenuhi
h(x) = y. Jadi h surjektif.
Gambar 6 Fungsi Kepada
Sumber: Sukirman, 2020
6
1.5.3 Fungsi Gabungan (Bijektif)
Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi
bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.
CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}→ {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan
f(d)=3 bijektif.
PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena
semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.
1.5.4 Fungsi Iners
Misalkan f: A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang
mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi
f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL,
y = f(x) ↔ x = f -1 (y). Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
Gambar 7 Fungsi Bijektif
Sumber: Sukirman, 2020
Gambar 8 Invers Fungsi
Sumber: Sukirman, 2020
7
1.5.4.1 Soal Dan Pembahasan
1 CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2,
f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.
PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertible dengan f -1(1)=c, f -
1(3)=b dan f -1(2)=a.
2 CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.
PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak
invertibel. Jadi invresnya tidak ada.
1.6 KOMPOSISI FUNGSI
Misalkan g: A → B dan f: B → C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦
g adalah fungsi f ◦ g: A → C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). Bila f: A → B dan g: D →
E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A)⊂ D.
Gambar 9 Komposisi Fungsi
Sumber: Sukirman, 2020
8
BAB 2
FUNGSI LANJUTAN
TIU:
Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi, menentukan daerah definisi dan
daerah nilai dari sebuah fungsi dan mengenal beberapa jenis fungsi.
TIK:
1 Mahasiswa mengenal apa yang dimaksud dengan : fungsi komposisi, fungsi
invers, fungsi periodik, fungsi terbatas dan fungsi monoton.
2 Mahasiswa dapat menentukan komposisi fungsi.
3 Mahasiswa dapat menentukan invers sebuah fungsi.
4 Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi dalam koordinat Cartesian.
5 Mahasiswa mengenal fungsi dalam bentuk parameter.
6 Mahasiswa dapat mengubah sebuah fungsi dari bentuk parameter kedalam
bentuk biasa.
7 Mahasiswa dapat mengubah sebuah fungsi dalam bentuk polar kedalam
bentuk cartesian dan sebaliknya.
8 Mahasiswa mampu menggambarkan fungsi dalam koordinat polar.
2.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Grafik sebuah fungsi adalah sebuah representasi visual dari sifat sebuah
fungsi pada diagram x-y. Grafik bisa membantu kita memahami aspek-aspek
berbeda dari sebuah fungsi, yang bisa jadi sulit dipahami dengan hanya melihat
fungsi itu sendiri. Anda bisa menggambar grafik dari ribuan persamaan, dan
masing-masing memiliki rumus yang berbeda satu sama lain. Artinya, selalu ada
cara untuk menggambar sebuah fungsi jika Anda melupakan langkah seharusnya
untuk menggambar fungsi tertentu.
9
2.1.1 Fungsi Linear
Ada tiga langkah untuk melukis grafik fungsi linier, dianaranya adalah :
1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A(x1, 0)
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B(0, y1)
3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus
CONTOH:
Lukislah grafik dari y = 2x - 6
PENYELESAIAN:
1. Titik potong dengan sumbu x → y = 0
y = 2x - 6
0 = 2x - 6
6 = 3x
x1 = 3 → (3, 0)
2. Titik potong dengan sumbu y → x = 0
y = 2x - 6
y = (2. 0) - 6
y = 0 - 6
y1 = -6 → (0, -6)
3. Maka lukisan grafinya adalah grafiknya :
Gambar 10 Grafik Linier
Sumber: Admin, 2017
10
2.1.2 Fungsi Kuadrat
Ada cara yang dapat digunakan untuk menentukan gambaran umum dari
grafik sebuah persamaan kuadrat dengan cara melihat nilai determinannya. Nilai
Determinan dari sebuah fungsi kuadrat adalah .
Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki berapa banyak akar yang dimiliki
sebuah persamaan kuadrat. Selain itu, determinan dapat digunakan untuk
menentukan jenis akar yang dimiliki suatu persamaan kuadrat.
Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan:
1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya,
grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).
2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya,
grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak
real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).
Nilai (koefisien dari ) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut
terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai :
1. Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.
2. Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.
Gambar 11 Grafik Fungsi Kuadrat
Sumber: Admin, 2017
11
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:
1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0).
3. Menentukan sumbu simetri .
4. Menentukan titik puncak ( , ) atau hitung nilai puncak y
menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan
nomor 3 ke dalam persamaan f(x).
2.1.2.1 Soal dan Pembahasan
Gambarlah grafik fungsi kuadrat
1. Nilai artinya grafik akan terbuka ke atas.
2. Nilai , nilai D > 0 artinya
grafik akan memotong sumbu x pada dua titik.
Sketsa gambarnya kurang lebih akan seperti gambar di bawah:
Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0)
Gambar 12 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Sumber: Admin, 2017
12
Jadi, diperoleh titik potong dengan sumbu x (4, 0) dan (-2, 0).
Langkah 2: Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)
Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, -8).
Langkah 3: Menentukan sumbu simetri
Diketahui: , , dan , maka sumbu simetri .
Langkah 4: Menentukan titik puncak ( , )
atau substitusi nilai x = 1 (hasil perhitungan pada Langkah 3) pada persamaan
sehingga diperoleh
Jadi, koordinat titk puncaknya adalah (1, – 9).
Selanjutnya tinggal menghubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga menjadi
kurva seperti terlihat pada gambar 13.
Gambar 13 Grafik Fungsi Kuadrat pada Soal
Sumber: Admin, 2017
13
BAB 3
LIMIT BARISAN
TIU:
Mahasiswa dapat menentukan limit dari sebuah barisan dan dapat menentukan
konvergensi/ divergensi dari sebuah barisan.
TIK:
1 Mahasiswa memahami barisan bilangan.
2 Mahasiswa mampu menentukan suku umum dari sebuah barisan bilangan.
3 Mahasiswa dapat menentukan limit sebuah barisan.
4 Mahasiswa dapat membuktikan bahwa sebuah barisan tidak mempunyai
limit.
5 Mahasiswa dapat memeriksa barisan yang konvergen dan barisan yang
divergen, dengan menggunakan limit.
6 Mahasiswa mengenal apa yang disebut dengan limit tak sebenarnya.
7 Mahasiswa memahami sifat-sifat limit barisan.
8 Mahasiswa dapat memanfaatkan sifat-sifat tersebut untuk menentukan limit
dari sebuah barisan.
9 Mahasiswa mengenal beberapa barisan istimewa dan limit dari barisan-
barisan tersebut.
3.1 DEFINISI LIMIT
Pengertian limit secara intuisi adalah:
1
1)(
2
−
−=
x
xxf
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk
0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1.
14
Pengertian limit secara grafik adalah:
Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati
1. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:
21
1lim
2
1=
−
−
→ x
x
x
Dibaca “ limit dari 1
12
−
−
x
x
untuk x mendekati 1 adalah 2 .
3.1.1 Soal dan Pembahasan
15
3.2 LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
3.2.1 Soal dan Pembahasan
16
17
3.3 SIFAT LIMIT FUNGSI
18
3.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
3.5 LIMIT TAK HINGGA
19
3.5.2 Soal dan Pembahasan
20
BAB 4
KEKONTINUAN FUNGSI
TIU:
Mahasiswa dapat mencari limit sebuah fungsi dan mampu menggunakan limit
untuk menentukan kontinuitas sebuah fungsi.
TIK:
1 Mahasiswa memahami dan dapat menentukan limit sebuah fungsi.
2 Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan limit kiri dan limit kanan
sebuah fungsi.
3 Mahasiswa mengenal dan mengerti sifat limit fungsi.
4 Mahasiswa dapat memanfaatkan sifat-sifat limit fungsi untuk menentukan limit
sebuah fungsi
4.1 FUNGSI KONTINU
21
22
4.1.1 Soal dan Pembahasan
23
4.2 KONTINU KIRI DAN KONTINU KANAN
4.3 DISKONTINU
Dicirikan dengan adanya loncatan/ “gap” pada grafik fungsi. Terdapat 3
jenis diskontinuitas:
1 tak hingga di a jika limitnya (kiri dan kanan) tak hingga (tidak ada);
24
2 loncat berhingga di a jika limit kiri dan kanannya berhingga namun tak sama;
3 dapat dihapuskan / dihilangkan di a jika nilai fungsi dan limitnya ada, tetapi
tidak sama,
)()(lim afxfax
→
25
BAB 5
TURUNAN
TIU:
Mahasiswa memahami konsep turunan dan mampu mencari turunan dari sebuah
fungsi.
TIK:
1. Mahasiswa mengerti akan turunan dari fungsi satu variabel
2. Mahasiswa mampu menggunakan limit untuk mencari turunan sebuah
fungsi.
3. Mahasiswa mampu menyelidiki apakah sebuah fungsi mempunyai
turunan pada sebuah titik.
4. Mahasiswa mengenal rumus dasar turunan.
5. Mahasiswa dapat memanfaatkan rumus dasar turunan untuk menentukan
turunan berbagai fungsi.
6. Mahasiswa dapat memanfaatkan rumus dasar turunan untuk menentukan
turunan berbagai fungsi.
5.1 DEFINISI TURUNAN
Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring
perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan
bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam
menemukan turunan disebut diferensiasi. Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel
y terhadap variabel x dinotasikan dengan atau
26
5.2 ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Aturan pencarian turunan dalam teori turunan adalah sebagai berikut:
)`()()()()`()()()()`()`( maka
,)()()()( Jika .7
)(
)`()()()`()`( maka 0)( ,
)(
)()( Jika .9
)`()()`( maka ,)()( Jika .8
)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7
)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6
)`()`( maka ,)()( Jika 5.
)`( maka ,)( Jika 4.
)`( maka ,)( Jika .3
1)`( maka ,)( Jika 2.
0)`( maka ,)( Jika 1.
2
1
1
1
xwxvxuxwxvxuxwxvxuxf
xwxvxuxf
xv
xvxuxvxuxfxv
xv
xuxf
xuxunxfxuxf
xvxuxvxuxfxvxuxf
xvxuxfxvxuxf
xCuxfxCuxf
CnxxfCxxf
nxxfxxf
xfxxf
xfCxf
nn
nn
nn
++=
=
−==
==
+==
==
==
==
==
==
==
−
−
−
27
5.3 ATURAN RANTAI
xx
xy
x
xy
xy
v
uvvuy
v
uy
uvvuyuvy
vuyvuy
kkuykuy
x
vuy
ln
1 3.
cos 2.
.2 1.
:Contoh
.``
` maka Bila 4.
.̀`` maka Bila 3.
.̀`` maka Bila 2.
konstan. ,̀` maka Bila 1.
berlaku Maka . dari fungsimerupakan
,dan dari fungsiadalah dimana rumit, fungsi-fungsiUntuk
2
x3
2
+
+=
=
=
−==
+==
==
==
5.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT
)`( )`()`(.)(`)`(
:lain simboldengan ditulisatau
. maka
,)()(
)(),(
:berikut sebagai
ditentukan yangkomposit fungsiadalah F biladan ,diturunkan
dapat yang dan dari fungsiadalah masing-masing dan Bila
xfugxfxfgxF
dx
du
du
dy
dx
dy
xfgxFy
xfuugy
uxgf
==
=
==
==
28
5.4.1 Soal dan Pembahasan
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )131238
261234
12344 ,26
diperoleh ,
123 subtitusidengan Maka
.123 dari h 1.Hitungla
32
32
323
4
2
42
−+−=
−+−==
+−==−=
=
+−=
+−=
xxx
xxxdx
du
du
dy
dx
dy
xxudu
dyx
dx
du
uy
xxu
xxydx
dy
( )
( ) ( )1
1)2(12
1
11
2)`(1
.1
:Contoh
.`)(n maka ,)( Jika
2
2
121
2
12
21
22
2
2
1-nn
+=+=+=
+=+=
=→+=
+=
==
−−
x
xxxxx
dx
dy
xxy
xxfxf(x)
xy
(x)fxfdx
dyxfy
( ) ( )1cos2)2.(1cos
2)`(1
.)1sin(
:Contoh
.`)(cos maka ,)(sin Jika
22
2
2
+=+=
=→+=
+=
==
xxxxdx
dy
xxfxf(x)
xy
(x)fxfdx
dyxfy
29
( )12sin22).12sin(
2)`(12
.)12cos(
:Contoh
.`)(sin maka ,)(cos Jika
+−=+−=
=→+=
+=
−==
xxdx
dy
xfxf(x)
xy
(x)fxfdx
dyxfy
5.5 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
1`
0`1
01
0``
adalah 0 dari pertamaTurunan
0.(0)`kanan ruasTurunan
1 v`maka
1` maka
0
:Contoh suku. demisuku menurunkankemudian , dari fungsi sebagaisuku tiap-tiap
memandang kita maka,0,implisit fungsi dari pertama turunan menghitungUntuk
−=
=+
=+
=+
=+
=
====
===
=+
=
y
y
dx
dy
vu
yx
dx
dy
dx
dy
dy
dv
dx
dvyv
dx
duuxu
yx
x
y)f(x
30
5.6 TURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA
x
x
x
x
x
x
x
v
eyyy
xyxy
xyey
ey
yy
y
xyxy
xy
y
y
uy
===
==
==
=
==
=
==
==
=
=
=
`1`y
1
)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian
ln maka ,
. dariurunan Tentukan t 2.
22ln2ln`
2ln`y
1
)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian
2ln)2ln(ln
2
.2 dariurunan Tentukan t 1.
:Contoh
a. turunannymencari
untuk logaritman menggunakamudah lebih ,berbentuk fungsi Pada
+=
+=
+=
+==
==
=
=
=
=
xx
xxxy
xx
xxyy
xx
xxy
uvvuyuvy
xyxy
xxy
xy
xy
xy
x
x
x
x
sin1
lncos`
sin1
lncos`
sin1
lncos`y
1
)``` maka
dan 1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian
lnsinln
)ln(ln
. dariurunan Tentukan t 3.
sin
sin
sin
sin
31
5.7 TURUNAN DARI FUNGSI DALAM PERSAMAAN PARAMETER
t
t
t
t
t
t
t
ee
e
dt
dx
dt
dy
dx
dy
ey
ex
ey
ex
dt
dx
dt
dy
dx
dytgy
tfx
23
3
3
33
3`
`
fungsi dariurunan Tentukan t
:Contoh
. maka )(
)( parameter persamaan dalam fungsiSuatu
==
=
=
=
=
=
==
=
5.8 TURUNAN KEDUA DAN LEBIH TINGGI
5.8.1 Soal dan Pembahasan
Jika y = sin 2x,
maka :
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 2 cos 2x
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = -4 sin 2x
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 = -8 cos 2x
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 = 16 sin 2x
vi
DAFTAR PUSTAKA
Admin. 2017. Cara Melukin Grafik Linier.
https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2017/01/cara-melukis-grafik-
fungsi-linier.html (diakses pada tanggal 24 April 2020).
Admin. 2017. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.
https://idschool.net/sma/matematika-sma/cara-menggambar-grafik-fungsi-
kuadrat/ (diakses pada tanggal 24 April 2020).
Sukirman, Edi. 2010. Matematika Dasar 1.
http://ediskm.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.0 (diakses pada
tanggal 23 April 2020)
Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus Sumin. 1994. Matematika Dasar untuk
Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia.