faculteit wetenschappen

en bio-ingenieurswetenschappen

Vakgroep Wiskunde

Bachelorproef II

Hyperconvexiteit van

metrische ruimten

Jeroen Ooge

3de Bachelor wiskunde

Promotor: prof. Mark Sioen

academiejaar 2014-2015

Inhoudsopgave

Inleiding 1

1 Metrische convexiteit 2

2 Hyperconvexiteit 9

3 Voorbeelden van hyperconvexe metrische ruimten 13

4 Injectiviteit van metrische ruimten 14

5 Fixpuntstelling 17

6 Hyperconvexe omhullende van metrische ruimten 21

Conclusie 23

Referenties

Inleiding

In deze paper doen we een inleidend onderzoek naar het concept ‘hyperconvexiteit’ van

metrische ruimten. We werken toe naar een mooie stelling, die vergelijkbaar is met de

beroemde Banach-fixpuntstelling.

In het eerste hoofdstuk behandelen we metrische convexiteit en bewijzen we een bekende

stelling van Karl Menger uit 1928. Daarvoor hebben we een heleboel opbouwende resultaten

nodig met als hoogtepunten de intersectiestelling van Georg Cantor en de fixpuntstelling

van James Caristi.

Vervolgens tonen we enkele eigenschappen aan van `∞ en R en introduceren op basis

daarvan hyperconvexiteit. Daarna volgt een nuttige karakterisatie van dit nieuwe concept.

Om hyperconvexiteit wat tastbaarder te maken, geven we in de volgende sectie enkele

voorbeelden van metrische ruimten die deze eigenschap al dan niet bezitten.

In hoofdstuk 4 maken we een kleine zijsprong naar injectiviteit van metrische ruimten, die in

1956 werd ingevoerd door Nachman Aronszajn en Prom Panitchpakdi. Injectiviteit zal niet

alleen equivalent blijken te zijn met hyperconvexiteit, maar tegelijkertijd de verwachting

creeren dat er voor hyperconvexe metrische ruimten een fixpuntstelling voorhanden is.

Het voorlaatste hoofdstuk vormt de apotheose van deze paper: hier bewijzen we de

aangekondigde fixpuntstelling. Doordat deze zich afspeelt in een breder kader dan Banachs

resultaat, zal blijken dat de fixpuntenverzameling een interessante eigenschap krijgt.

Ten slotte halen we een laatste argument aan voor het belang van hyperconvexiteit. De

Amerikaan John Isbell toonde in 1964 namelijk aan dat iedere metrische ruimte isometrisch

ingebed kan worden in een zogenaamde ‘hyperconvexe omhullende’.

1

1. Metrische convexiteit

In dit hoofdstuk wordt metrische convexiteit ingevoerd. Hiervoor werden referenties [11]

(p. 35) en [3] (p. 11) gebruikt. Vervolgens wordt een belangrijke stelling van Menger

bewezen via de opbouw uit [9] (p. 23-26) en een hulpresultaat uit [1] (p. 75).

In deze paper werken we steeds met niet-lege metrische ruimten. Zoals gezien in [6], is een

metrische ruimte (X, d) een verzameling X, uitgerust met een afbeelding d : X ×X → R+

(een zogenaamde metriek), die voldoet aan drie voorwaarden:

∀x ∈ X : d(x, x) = 0 (reflexiviteit)

∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x) (symmetrie)

∀x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). (driehoeksongelijkheid)

We voeren nu het begrip ‘metrische convexiteit’ in, wat intuıtief betekent dat we tussen

ieder paar verschillende punten in de metrische ruimte een ander punt kunnen vinden.

Definitie 1.1. Een metrische ruimte (X, d) heet metrisch convex als er voor ieder

paar verschillende punten x, y ∈ X een punt z ∈ X bestaat met z 6= x en z 6= y, zodat

d(x, y) = d(x, z) + d(z, y).

In de literatuur (bijvoorbeeld in [3]) wordt soms gewerkt met een alternatieve definitie.

Definitie 1.2. Een metrische ruimte (X, d) heet metrisch convex als er voor ieder

paar verschillende punten x, y ∈ X en iedere ontbinding d(x, y) = α + β met α, β > 0

een punt z ∈ X bestaat, zodat d(x, z) = α en d(z, y) = β.

Voor beide definities zeggen we dat het punt z zich metrisch tussen x en y bevindt. We

noteren dit met xzy en schrijven

xXy := { z ∈ X | xzy }.

Definitie 1.2 impliceert duidelijk definitie 1.1 als we α = β = 12d(x, y) kiezen. De

omgekeerde implicatie is echter niet altijd geldig. Neem bijvoorbeeld x = 0, y = 1, α =√

2

en β = 1−√

2 in (Q, dE), waarbij dE de Euclidische metriek is. Dan geldt er wel dat

dE(x, y) = |x− y| = 1 = α + β,

maar aangezien√

2 /∈ Q, is er geen punt in Q waarvoor de afstand tot x gelijk is aan√2. Later zullen we bewijzen dat de definities wel equivalent zijn in volledige metrische

ruimten. Tot dan werken we met definitie 1.1 als we de term ‘metrisch convex’ gebruiken.

2

Merk op dat metrische convexiteit niet bewaard wordt bij het nemen van doorsneden. Zo

kunnen we de eenheidscirkel in het reele vlak beschouwen, waarbij we de afstand tussen twee

punten definieren als de lengte van de kortste boog die hen verbindt. De bovenste halve

cirkel A en onderste halve cirkel B zijn dan metrisch convex, maar A ∩B = {−1, 1} niet.

De volgende eigenschap toont aan dat de relatie ‘metrisch tussen’ transitief is, zoals we

intuıtief verwachten.

Eigenschap 1.3. Zij (X, d) een metrische ruimte. Als er voor p, q, r, s ∈ X geldt dat

pqr en prs, dan ook pqs en qrs.

Bewijs. Uit het gegeven volgt dat

d(p, q) + d(q, r) = d(p, r) en (I)

d(p, r) + d(r, s) = d(p, s). (II)

pqs We tonen dat d(p, q) + d(q, s) = d(p, s) met behulp van de driehoeksongelijkheid:

d(p, s) ≤ d(p, q) + d(q, s)

≤ d(p, q) + d(q, r) + d(r, s)

= d(p, r) + d(r, s) (door I)

= d(p, s). (door II)

qrs Door gebruik te maken van de zonet bewezen gelijkheid, volgt er meteen:

d(q, s) = d(p, s)− d(p, q)

= d(p, r) + d(r, s)− d(p, q) (door II)

= d(p, q) + d(q, r) + d(r, s)− d(p, q) (door I)

= d(q, r) + d(r, s).

We introduceren nu een nieuw begrip en werken toe naar een stelling van Menger (1.9),

die in het volgende hoofdstuk een cruciale rol zal spelen.

Definitie 1.4. Een deelverzameling van een metrische ruimte (X, d) heet een metrisch

segment met eindpunten x, y ∈ X als er een interval [a, b] in (R, dE) en een isometrie

ϕ : [a, b]→ X bestaan, zodat ϕ(a) = x en ϕ(b) = y.

3

We hebben allereerst een mooie fixpuntstelling van Caristi nodig (het originele bewijs staat

in [5]). Om die te bewijzen, gebruiken we een resultaat van Cantor. We voeren meteen

ook het begrip diameter van een verzameling A in een metrische ruimte (X, d) in:

diam(A) := sup { d(a, b) | a, b ∈ A }.

Stelling 1.5 (Intersectiestelling van Cantor). Veronderstel dat we in een volledige

metrische ruimte een dalende rij (An)n hebben van niet-lege, gesloten verzamelingen

en dat limn→∞ diam(An) = 0. Dan is⋂∞n=0An een singleton.

Bewijs. Veronderstel dat we werken in een volledige metrische ruimte (X, d). Omdat de

rij (An)n dalend is, geldt er voor alle n ∈ N dat An+1 ⊆ An. Er kunnen nooit twee punten

zitten in A :=⋂∞n=0An, want als a, b ∈ A, dan is d(a, b) ≤ diam(An) voor iedere n ∈ N,

dus wordt d(a, b) = 0, wat impliceert dat a = b.

Om te zien dat A 6= ∅, kiezen we in iedere An een element xn. Kies een vaste n0 ∈ N.

Voor elke p, q ≥ n0 met p ≥ q is limq→∞ d(xp, xq) ≤ limq→∞ diam(Aq) = 0, dus (xn)n is

een Cauchyrij. Aangezien X volledig is, convergeert deze rij naar een element x ∈ X. Kies

nu n ∈ N willekeurig. Omdat xm ∈ An voor iedere m ≥ n en An gesloten is, zal ten slotte

ook x = limm→∞ xm ∈ An, dus z ∈ A.

Het bewijs van Caristi’s stelling maakt gebruik van het befaamde lemma van Zorn:

een niet-lege partieel geordende verzameling, waarvoor iedere niet-lege, totaal geordende

deelverzameling een bovengrens heeft, bezit een maximaal element.

Een verzameling V is partieel geordend als er een orderelatie ‘≤’ op gespecificeerd is, die

voldoet aan de volgende drie eigenschappen:

∀x ∈ V : x ≤ x (reflexiviteit)

∀x, y ∈ V : x ≤ y en y ≤ x =⇒ x = y (antisymmetrie)

∀x, y, z ∈ V : x ≤ y en y ≤ z =⇒ x ≤ z. (transiviteit)

We noemen V totaal geordend als we bovendien elk tweetal kunnen vergelijken, d.w.z.

∀x, y ∈ V : x ≤ y of y ≤ x.

Ten slotte heet een element m ∈ V maximaal als

∀x ∈ V : m ≤ x =⇒ m = x.

4

Stelling 1.6 (Caristi). Zij (X, d) een volledige metrische ruimte en ϕ : X → R+ een

continue functie. Een willekeurige functie f : X → X heeft een fixpunt als

∀x ∈ X : d(x, f(x)

)≤ ϕ(x)− ϕ

(f(x)

).

Bewijs. Plaats een partiele orderelatie ‘�’ op X, die voor x, y ∈ X gedefinieerd is door

x � y als d(x, y) ≤ ϕ(x)− ϕ(y).

Stel voor iedere x ∈ XTx := { y ∈ X | x � y }.

Veronderstel dat x � y voor x, y ∈ X en kies een willekeurige z ∈ Ty. Dan is x � y � z,

zodat er door de transiviteit van ‘�’ geldt dat z ∈ Tx. Bijgevolg is Ty ⊆ Tx. Zij V 6= ∅ een

totaal geordende deelverzameling van X. Definieer voor elke v ∈ V

Sv := {w ∈ Tv | ϕ(w) ≥ r } met r := inf {ϕ(v) | v ∈ V }.

Merk op dat Sv gesloten is. Inderdaad: voor een element u ∈ cl(Sv) bestaat er een rij

(wn)n in Sv die naar u convergeert en vanwege de continuıteit van ϕ bekomen we dan dat

d(u, v) = limn→∞

d(wn, v) ≤ ϕ(v)− limn→∞

ϕ(wn) = ϕ(v)− ϕ(u) en ϕ(u) = limn→∞

ϕ(wn) ≥ r,

zodat u ∈ Sv. Voor alle w ∈ Sv is ook d(v, w) ≤ ϕ(v)− ϕ(w) ≤ ϕ(v)− r, dus

diam(Sv) ≤ 2(ϕ(v)− r

).

Omdat we ϕ(v) willekeurig dicht naar r kunnen laten naderen, is limϕ(v)→r diam(Sv) = 0.

We tonen nu aan dat er een bovengrens bestaat voor V door twee gevallen te onderscheiden.

Geval 1. Veronderstel dat er een v0 ∈ V bestaat, zodat ϕ(v0) = r. Omdat V totaal

geordend is, geldt er voor iedere v ∈ V dat v � v0 of v0 � v. In het tweede geval is

d(v0, v) ≤ ϕ(v0)− ϕ(v) = r − ϕ(v) ≤ 0,

dus is v = v0, wat aantoont dat v0 een bovengrens is van V .

Geval 2. Veronderstel daarentegen dat ϕ(v) > r voor alle v ∈ V . Dan kunnen we voor

elke n ∈ N0 een verschillend element vn ∈ V vinden met ϕ(vn) − r ≤ 1/n, zodat de rij(ϕ(vn)

)n

daalt. Aangezien V totaal geordend is, geldt er voor willekeurige n ∈ N0 dat

vn+1 � vn of vn � vn+1. Indien het eerste geval zou voorkomen, dan zou

d(vn+1, vn) ≤ ϕ(vn+1)− ϕ(vn) ≤ 0,

5

waaruit volgt dat vn = vn+1. Dit is in tegenspraak met de keuze van de elementen vn,

dus hebben we voor iedere n ∈ N0 dat vn � vn+1. Daarom geldt er dat Tvn+1 ⊆ Tvn en

bijgevolg Svn+1 ⊆ Svn . De verzameling {Svn | n ∈ N0 } bestaat dus uit geneste, willekeurig

kleine, gesloten delen. De intersectiestelling van Cantor (1.5) levert dan:⋂{Svn | n ∈ N0 } = {z}

voor een zekere z ∈ X. Voor elke n ∈ N0 hebben we dat z ∈ Svn ⊆ Tvn , dus vn � z.

Kies nu voor een willekeurige v ∈ V een vn0 , zodat ϕ(v) > ϕ(vn0). Dan kan onmogelijk

vn0 � v, want d(vn0 , v) = ϕ(vn0)− ϕ(v) < 0. Omdat V totaal geordend is, moet bijgevolg

v � vn0 � z. Dit toont aan dat z een bovengrens is voor V .

Door het lemma van Zorn bestaat er een maximaal element m ∈ X. Per aanname is

d(m, f(m)

)≤ ϕ(m)− ϕ

(f(m)

), wat betekent dat m � f(m). Uit de maximaliteit van m

kunnen we ten slotte concluderen dat m = f(m) en dus is m een fixpunt van f .

Een alternatief bewijs, dat gebruikmaakt van netten, kan gevonden worden in [11] (p. 57-58).

We gebruiken Caristi’s stelling om het volgende lemma aan te tonen.

Lemma 1.7. Zij (X, d) een volledige metrische ruimte en x, y ∈ X met x 6= y. Kies

een vaste 0 < λ < d(x, y) en definieer S(x, y, λ) := { z ∈ xXy | d(x, z) ≤ λ } ∪ {x}.Dan bestaat er een maximum tλ in S(x, y, λ). Dat betekent:

als z ∈ xXy met xtλz, dan is z /∈ S(x, y, λ).

Bewijs. We onderscheiden twee exhaustieve gevallen voor S := S(x, y, λ).

Geval 1. Veronderstel dat er een t ∈ S bestaat met d(x, t) < λ, zodat er voor iedere

z ∈ xXy geldt dat z /∈ S als xtz. Dan voldoet t meteen aan de gewenste voorwaarden.

Geval 2. Veronderstel dat er voor iedere z ∈ S met d(x, z) < λ een wz ∈ xXy bestaat,

zodat xzwz en wz ∈ S. Definieer de afbeeldingen

f : S → S : z 7→

wz als d(x, z) < λ

z als d(x, z) = λ

en

ϕ : S → R+ : z 7→ λ− d(x, z).

De functie ϕ is continu als verschil van continue afbeeldingen en voor elke z ∈ S geldt:

ϕ(z)− ϕ(f(z)

)= λ− d(x, z)−

[λ− d

(x, f(z)

)]= d(x, f(z)

)− d(x, z)

= d(z, f(z)

),

6

waarbij de laatste gelijkheid evident is voor f(z) = z en geldt voor f(z) = wz, omdat dan

d(x,wz) = d(x, z) + d(z, wz) vanwege de aanname xzwz.

Voor t ∈ cl(S) bestaat er voor elke ε > 0 een z ∈ S, zodat

d(x, t) ≤ d(x, z) + d(z, t) < λ+ ε.

Omdat ε willekeurig klein gemaakt kan worden, is t ∈ S en dus is S gesloten. Door

de volledigheid van X is S dan ook volledig. De stelling van Caristi (1.6) garandeert

het bestaan van een fixpunt xf ∈ S van f . De definitie van f impliceert ten slotte dat

d(x, xf ) = λ, zodat xf een maximum is in S.

Het volgende lemma bewijst de aangekondigde equivalentie tussen definities 1.1 en 1.2 in

volledige metrische ruimten.

Lemma 1.8. Zij (X, d) een volledige, metrisch convexe metrische ruimte en kies

twee verschillende punten x, y ∈ X. Dan bestaat er voor iedere 0 < λ < d(x, y) een

z ∈ xXy, zodat d(x, z) = λ.

Bewijs. Lemma 1.7 garandeert het bestaan van een tλ ∈ S(x, y, λ), waarvoor geldt:

als z ∈ xXy met xtλz, dan is d(x, z) > λ. (III)

Definieer µ := d(x, y)− λ.

Geval 1. Stel dat d(tλ, y) = µ. Aangezien xtλy, is

d(x, tλ) = d(x, y)− d(tλ, y) = (λ+ µ)− µ = λ,

dus tλ is het gezochte element.

Geval 2. Stel dat d(tλ, y) 6= µ. Omdat tλ ∈ S(x, y, λ), verkrijgen we dat

µ = d(x, y)− λ = d(x, tλ) + d(tλ, y)− λ ≤ d(tλ, y),

dus 0 < µ < d(tλ, y). Door lemma 1.7 bestaat er een tµ ∈ S(y, tλ, µ), zodat:

als z ∈ yXtλ met ytµz, dan is d(y, z) > µ. (IV)

Doordat ytµtλ, is tµ 6= tλ. Door de convexiteit van X bestaat er een z ∈ tλXtµ. De

aannamen leveren drie relaties op: xtλy, tλztµ en tλtµy. Dankzij eigenschap 1.3 hebben we:

tλztµ en tλtµy impliceren ztµy en tλzy, (V)

xtλy en tλzy impliceren xtλz en xzy. (VI)

7

Uit (III) en (VI) volgt er dat d(x, z) > λ en (IV) en (V) leveren d(y, z) > µ op. Dus geldt:

d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) > λ+ µ = d(x, y).

Dit is een contradictie en dus kan het tweede geval niet voorkomen.

We kunnen nu eindelijk de hoofdstelling van dit hoofdstuk bewijzen. In [4] is een alternatief

bewijs te vinden dat de vorige twee lemma’s niet gebruikt.

Stelling 1.9 (Menger). In een volledige, metrisch convexe metrische ruimte zijn iedere

twee punten de eindpunten van een metrisch segment.

Bewijs. Kies in een metrische ruimte (X, d) twee verschillende punten x, y ∈ X. Noteer

x0 := x, x1 := y en d := d(x0, x1). We spreken af dat we op [0, d] en delen ervan steeds de

Euclidische metriek plaatsen.

Door lemma 1.8 bestaat er een punt x1/2 ∈ x0Xx1, zodat d(x0, x1/2) = d(x1/2, x1) = d/2.

We noemen x1/2 het middelpunt van het koppel (x0, x1). Definieer nu een afbeelding

f : { 0, d/2, d } → X door

f(0) := x0, f(d/2) := x1/2 en f(d) := x1.

Het is meteen duidelijk dat f een isometrie is. Opnieuw door toepassing van lemma 1.8

bestaan er punten x1/4 en x3/4, die respectievelijk middelpunten zijn van de koppels

(x0, x1/2) en (x1/2, x1). Wanneer we stellen dat

f(d/4) := x1/4 en f(3d/4) := x3/4,

hebben we f uitgebreid tot een afbeelding f : { 0, d/4, d/2, 3d/4, d } → X en met behulp van

de transitiviteit van ‘metrisch tussen’ (eigenschap 1.3) zien we deze f ook een isometrie is.

Per inductie construeren we volgens hetzelfde procede een verzameling van punten in X:

{xk/2n | 0 ≤ k ≤ 2n, n ∈ N }, waarbij xk/2n het middelpunt is van (xk−1/2n , xk+1/2n) voor

iedere n ∈ N en 1 ≤ k ≤ 2n − 1. Schrijf D := { kd/2n | 0 ≤ k ≤ 2n, n ∈ N }. Door

f(kd/2n) := xk/2n

te stellen voor alle n ∈ N en 0 ≤ k ≤ 2n, definieren we een afbeelding f : D → X, waarvan

we op analoge wijze kunnen tonen dat het een isometrie is. Aangezien X volledig is en

D dicht is ingebed in [0, d], kunnen we f ten slotte op een unieke manier uitbreiden tot

f : [0, d]→ X. Dit is het gezochte metrisch segment tussen x en y.

8

2. Hyperconvexiteit

In dit hoofdstuk bestuderen we eerst enkele eigenschappen van R en `∞ die de introductie

van hyperconvexiteit motiveren. Daarna zetten we de studie van dat begrip voort in een

algemeen metrisch kader en leggen we een link met de vorige sectie. We gebruiken [11]

(p. 71-74, 78-79) als voornaamste referentie.

We starten met een observatie in R.

Eigenschap 2.1. Zij {Ai | i ∈ I } een verzameling van begrensde, gesloten intervallen

in R, die twee aan twee een niet-lege doorsnede hebben. Dan is ook⋂i∈I

Ai 6= ∅.

Bewijs. Veronderstel dat⋂i∈I Ai = ∅. Kies een vaste i0 ∈ I en definieer voor elke i ∈ I

het gesloten, niet-lege interval Bi := Ai ∩ Ai0 . Dan geldt er voor iedere i ∈ I:

Bi ⊆ Ai0 = Bi0 en⋂i∈I

Bi = Ai0 ∩⋂i∈I

Ai =⋂i∈I

Ai = ∅.

Enerzijds heeft iedere verzameling van niet-lege gesloten delen in Bi0 met de eindige

intersectie-eigenschap een niet-lege doorsnede, omdatBi0 compact is (eigenschap 5.2.2 in [8]).

We kunnen dit in het bijzonder toepassen op {Bi | i ∈ I }: aangezien deze verzameling een

lege doorsnede heeft, kan ze de eindige intersectie-eigenschap niet hebben. Dat betekent:

∃ i1, . . . , in :n⋂j=1

Bij =n⋂j=0

Aij = ∅.

Door eventuele hernummering en weglating van een aantal indices, kunnen we zonder

beperking van de algemeenheid aannemen dat

A :=n−1⋂j=0

Aij 6= ∅ en A ∩ Ain = ∅.

Dan zijn A en Ain disjuncte, gesloten intervallen. Omdat R\{A∪Ain} open is, kunnen we

een element x ∈ R strikt tussen A en Ain kiezen. Voor alle i ∈ I geldt echter per aanname

dat Ai ∩ Ain 6= ∅. Dat impliceert noodzakelijkerwijze dat x ∈ A. Dat is echter in strijd

met de keuze van x, dus⋂i∈I Ai 6= ∅.

We definieren de verzameling van begrensde rijen in R als volgt:

`∞ :={

(xn)n∣∣ supn∈N|xn| <∞

}.

9

We noteren een rij (xn)n vaak eenvoudig met x. Zoals gezien in [12], kunnen we `∞ volledig

maken door er een metriek d∞ op te plaatsen, die gedefinieerd is door

d∞(x, y) := supn∈N|xn − yn|.

De vorige eigenschap voor R kan uitgebreid worden naar `∞.

Eigenschap 2.2. Zij {Ai | i ∈ I } een verzameling van begrensde, gesloten bollen

in `∞, die twee aan twee een niet-lege doorsnede hebben. Dan is ook⋂i∈I

Ai 6= ∅.

Bewijs. Definieer Lk := { (xn)n ∈ `∞ | xn = 0 als n 6= k } voor elke k ∈ N. Dan is (Lk, d∞)

isometrisch met (R, dE) en is {Ai ∩ Lk | i ∈ I } een verzameling van begrensde, gesloten

intervallen die elkaar twee aan twee snijden. Vanwege eigenschap 2.1 bestaat er dan een

ak ∈⋂i∈I

Ai ∩ Lk.

Er volgt dat (an)n ∈⋂i∈I Ai en dus is de doorsnede van {Ai | i ∈ I } niet leeg.

We bewijzen nog een eenvoudige eigenschap in `∞, die evident is in (R, dE).

Eigenschap 2.3. Zij B∗(x, r1) en B∗(y, r2) gesloten bollen in `∞. Dan zijn equivalent:

1. B∗(x, r1) ∩B∗(y, r2) 6= ∅.

2. d∞(x, y) ≤ r1 + r2.

Bewijs. We bewijzen de twee implicaties afzonderlijk.

1.⇒ 2. Kies z ∈ B∗(x, r1)∩B∗(y, r2). Dan volgt er meteen uit de driehoeksongelijkheid:

d∞(x, y) ≤ d∞(x, z) + d∞(z, y) ≤ r1 + r2.

2.⇒ 1. Per definitie van d∞ geldt er voor elke n ∈ N dat |xn − yn| ≤ r1 + r2. Stel nu

zn :=r2 xn + r1 ynr1 + r2

.

Dan is d∞(x, z) ≤ r1 en d∞(y, z) ≤ r2, aangezien we voor iedere n ∈ N hebben dat

|xn − zn| =|r1 xn − r1 yn|

r1 + r2≤ r1 en |yn − zn| =

|r2 yn − r2 xn|r1 + r2

≤ r2.

We kunnen concluderen dat z ∈ B∗(x, r1) ∩B∗(y, r2).

10

Als we eigenschappen 2.2 en 2.3 combineren, dan verkrijgen we dat een verzameling van

gesloten bollen {B∗(xi, ri) | i ∈ I } in `∞ een niet-lege doorsnede heeft als ze voor iedere

i en j in de indexverzameling I voldoet aan d∞(xi, xj) ≤ ri + rj . We gebruiken nu precies

deze eigenschap als definitie voor hyperconvexiteit in een algemene setting.

Definitie 2.4. Een metrische ruimte (X, d) is hyperconvex als er voor iedere verza-

meling van gesloten bollen {B∗(xi, ri) | i ∈ I } in X met de eigenschap

∀ i, j ∈ I : d(xi, xj) ≤ ri + rj

geldt dat⋂i∈I B

∗(xi, ri) 6= ∅.

Door ons voorbereidende werk weten we dat (`∞, d∞) een niet-triviaal voorbeeld is van een

hyperconvexe metrische ruimte. We bestuderen hyperconvexiteit nu verder in een abstract

kader. Zoals de naamgeving suggereert, bestaat er een verband met metrische convexiteit.

Eigenschap 2.5. Een hyperconvexe metrische ruimte is metrisch convex.

Bewijs. Kies twee verschillende punten x en y in een metrische ruimte (X, d) en een

willekeurige 0 < α < 1. Definieer r1 := α d(x, y) en r2 := (1 − α) d(x, y). Aangezien

d(x, y) = r1 + r2, geldt er vanwege de hyperconvexiteit van X dat B∗(x, r1)∩B∗(y, r2) 6= ∅.Kies een element z in deze doorsnede. Dan is d(x, z) ≤ r1 en d(y, z) ≤ r2. Door de keuze

van α is x 6= z 6= y en door toepassing van de driehoeksongelijkheid verkrijgen we dat

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ r1 + r2 = d(x, y).

Aldus is d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) en is z een geschikt element om aan de voorwaarde

voor metrische convexiteit te voldoen.

Een natuurlijke vraag is wanneer de omgekeerde implicatie geldt. Daarvoor hebben we

behoefte aan een nieuw begrip.

Definitie 2.6. Een metrische ruimte (X, d) heeft de binaire intersectie-eigenschap

als er voor iedere verzameling van gesloten bollen {B∗(xi, ri) | i ∈ I } in X, waarbij

alle bollen twee aan twee een niet-lege doorsnede hebben, geldt:⋂i∈I

B∗(xi, ri) 6= ∅.

Aangezien bollen in R intervallen zijn, zegt eigenschap 2.1 dat R de binaire intersectie-

eigenschap bezit. Er blijkt dat het eisen van de binaire intersectie-eigenschap er precies

voor zorgt dat een volledige metrisch convexe metrische ruimte ook hyperconvex is.

11

Stelling 2.7. Zij (X, d) een volledige metrische ruimte. Dan zijn equivalent:

1. X is hyperconvex.

2. X is metrisch convex en heeft de binaire intersectie-eigenschap.

Bewijs. We bewijzen de twee implicaties afzonderlijk.

1.⇒ 2. Bij eigenschap 2.5 zagen we reeds dat hyperconvexiteit metrische convexiteit

impliceert. We moeten dus alleen nog aantonen dat een hyperconvexe metrische ruimte

steeds de binaire intersectie-eigenschap heeft. Neem daartoe een verzameling van gesloten

bollen {B∗(xi, ri) | i ∈ I } in X en veronderstel dat alle bollen twee aan twee een niet-lege

doorsnede hebben. Kies z ∈ B∗(xi, ri)∩B∗(xj, rj) voor willekeurige i, j ∈ I. Er geldt dan:

d(xi, xj) ≤ d(xi, z) + d(xj, z) ≤ ri + rj.

Door de hyperconvexiteit van X er volgt zoals gewenst dat⋂i∈I B

∗(xi, ri) 6= ∅.

2.⇒ 1. Zij {B∗(xi, ri) | i ∈ I } een verzameling van gesloten bollen in X, die voldoet aan

∀ i, j ∈ I : d(xi, xj) ≤ ri + rj.

Kies i, j ∈ I willekeurig. Door de stelling van Menger (1.9) bestaat er een metrisch segment

in X met eindpunten xi en xj, dat wil zeggen dat er een isometrie ϕ : ([a, b], dE)→ (X, d)

is met ϕ(a) = xi en ϕ(b) = xj. Aangezien

dE(a, b) = d(ϕ(a), ϕ(b)

)= d(xi, xj) ≤ ri + rj,

bestaat er een punt t ∈ [a− ri, a+ ri] ∩ [b− rj, b+ rj]. We verkrijgen enerzijds dat

d(ϕ(t), xi

)= d(ϕ(t), ϕ(a)

)= dE(t, a) ≤ ri

en anderzijds dat

d(ϕ(t), xj

)= d(ϕ(t), ϕ(b)

)= dE(t, b) ≤ rj.

Bijgevolg zit ϕ(t) zowel in B∗(xi, ri) als in B∗(xj, rj) en dus is B∗(xi, ri) ∩B∗(xj, rj) 6= ∅.Door de binaire intersectie-eigenschap van X is dan

⋂i∈I B

∗(xi, ri) 6= ∅, zodat we kunnen

besluiten dat X hyperconvex is.

12

3. Voorbeelden van hyperconvexe metrische ruimten

In dit hoofdstuk geven we enkele voorbeelden van al dan niet hyperconvexe metrische

ruimten. We bewijzen eerst een eigenschap uit [11] (p. 80). Nadien volgen er nog enkele

voorbeelden, die door de auteur zelf werden uitgewerkt.

De volgende eigenschap toont aan dat niet-volledige metrische ruimten een triviaal voor-

beeld zijn van niet-hyperconvexe metrische ruimten.

Eigenschap 3.1. Een hyperconvexe metrische ruimte is volledig.

Bewijs. Beschouw een Cauchyrij (xn)n in de metrische ruimte (X, d). Dat wil zeggen:

∀ ε > 0, ∃n0 ≥ 0, ∀ p, q ≥ n0 : d(xp, xq) ≤ ε.

Definieer λn := sup { d(xm, xn) | m ≥ n } voor alle n ∈ N. Dan is duidelijk limn→∞ λn = 0.

Voor iedere m ≥ n hebben we ook dat

d(xm, xn) ≤ λn ≤ λn + λm,

zodat er vanwege de hyperconvexiteit van X een element z in⋂n∈NB

∗(xn, λn) bestaat. We

besluiten dat de rij (xn)n naar z convergeert, omdat limn→∞ d(xn, z) ≤ limn→∞ λn = 0.

We gaan nu op zoek naar iets interessantere gevallen.

In de opmerking na definitie 2.6 vermeldden we reeds dat (R, dE) de binaire intersectie-

eigenschap bezit. Het is ook meteen duidelijk dat R metrisch convex is, want voor elke

a, b ∈ R ligt het element |a− b|/2 opnieuw in R en voldoet het aan de eisen in definitie 1.1.

Er volgt dus uit stelling 2.7 dat de volledige metrische ruimte (R, dE) hyperconvex is.

Stelling 2.7 laat eveneens toe een niet-hyperconvexe metrische

ruimte te vinden: (R2, dE). We kunnen namelijk gemakkelijk een

tegenvoorbeeld voor de binaire intersectie-eigenschap construeren:

teken op ieder hoekpunt van een gelijkzijdige driehoek met zijde 1

een bol met straal 1/2. Zoals op de figuur hiernaast te zien is,

snijden deze bollen elkaar twee aan twee, maar hebben ze geen

gezamenlijke doorsnede.

Merk overigens op dat (R2, dM) wel hyperconvex is als dM de maximummetriek voorstelt,

aangezien we hiervoor het bewijs van eigenschap 2.2 kunnen herhalen. Hyperconvexiteit

wordt dus niet overgedragen door equivalente metrieken! We kunnen uiteraard een analoge

constructie maken in (Rn, dE) en dezelfde conclusie trekken voor (Rn, dM) met n ≥ 3.

13

4. Injectiviteit van metrische ruimten

We voeren nu een nieuw begrip in dat equivalent zal blijken te zijn met hyperconvexiteit:

injectiviteit. Voor de bewijsvoering gebruiken we hier [11] (p. 77, 81-83).

We zullen werken met specifieke afbeeldingen die de afstand tussen punten niet vergroten.

Definitie 4.1. Een afbeelding f : X → Y tussen metrische ruimten (X, d) en (Y, d′)

heet niet-expansief als

∀x, y ∈ X : d′(f(x), f(y)

)≤ d(x, y).

In overeenstemming met de terminologie uit [7] (definitie 1.2.5), is een niet-expansieve

afbeelding dus Lipschitz met Lipschitzconstante 1.

Definitie 4.2. Zij (X, d) en (Z, d′) metrische ruimten. We noemen X injectief als er

voor iedere deelruimte (Y, d′Y ) van Z met een niet-expansieve afbeelding f : Y → X een

niet-expansieve afbeelding f : Z → X bestaat met f |Y = f . f heet een extensie van f .

Voorgesteld in een commutatief diagram geeft dit:

(Y, d′Y ) (X, d)

(Z, d′)

f

ιf

waarbij ι de canonieke inbedding is. We tonen nu dat injectiviteit en hyperconvexiteit

voor metrische ruimten equivalente begrippen zijn. Het oorspronkelijke bewijs staat in [2].

Stelling 4.3 (Aronszajn-Panitchpakdi). Voor een metrische ruimte (X, d) zijn equivalent:

1. X is injectief.

2. X is hyperconvex.

Bewijs. We tonen de twee implicaties afzonderlijk aan.

1.⇒ 2. Dankzij stelling 2.7 is het voldoende te bewijzen dat X metrisch convex is en de

binaire intersectie-eigenschap heeft.

Metrische convexiteit. Kies x 6= y in X. Definieer Y := {x, y} en Z := {x, y, z} met

z /∈ {x, y}. Rust Z uit met een metriek d′, die gedefinieerd wordt door

d′(x, y) = d(x, y) en d′(x, z) = d′(y, z) =1

2d(x, y).

14

Aangezien id : Y → X niet-expansief is en X injectief is, bestaat er een niet-expansieve

extensie id : Z → X met id|Y = id, zodat het onderstaande diagram commutatief is.

(Y, d′Y ) (X, d)

(Z, d′)

id

ιid

Er geldt dan dat

d(x, y) ≤ d(x, id(z)

)+ d(id(z), y

)= d(id(x), id(z)

)+ d(id(z), id(y)

)≤ d′(x, z) + d′(z, y)

= d(x, y)

en dus is d(x, y) = d(x, id(z)

)+ d(id(z), y

), wat aantoont dat X metrisch convex is.

Binaire intersectie-eigenschap. Zij {B∗(xi, ri) | i ∈ I } een verzameling van gesloten bollen

in X, die elkaar twee aan twee snijden. Definieer Y := {xi | i ∈ I } en Z := Y ∪ {z} voor

een willekeurige z /∈ Y . Breid d uit op Z tot d′ door voor iedere i ∈ I te stellen dat

d′(xi, xj) = d(xi, xj) en d′(xi, z) = inf { r > 0 | ∃ j ∈ I : B∗(xj, rj) ⊆ B∗(xi, r) }.

Om na te gaan dat d′ een metriek is op Z, moeten we alleen de driehoeksongelijkheid

controleren. Aangezien B∗(xi, ri) ⊆ B∗(xi, ri), weten we zeker dat er voor elke i ∈ I geldt

dat d′(xi, z) ≤ ri. Voor gegeven k, l ∈ I bestaan er dus m,n ∈ I, zodat

B∗(xm, rm) ⊆ B∗(xk, d

′(xk, z))

en B∗(xn, rn) ⊆ B∗(xl, d

′(xl, z)).

Aangezien B∗(xm, rm) ∩ B∗(xn, rn) 6= ∅, zal ook B∗(xk, d

′(xk, z))∩ B∗

(xl, d

′(xl, z))6= ∅,

zodat d′(xk, xl) ≤ d′(xk, z) + d′(xl, z). We moeten nu nog tonen dat voor elke k, l ∈ I ook

d′(xk, z) ≤ d′(xk, xl) + d′(xl, z). Definieer voor i, j ∈ I

ρ(i, j) := inf{ r > 0 | B∗(xj, rj) ⊆ B∗(xi, r) }.

Dan is d′(xk, z) = inf{ ρ(k, j) | j ∈ I }, zodat het voldoende is aan te tonen dat

ρ(k, j) ≤ d(xk, xl) + ρ(l, j)

voor iedere j ∈ I. Dit volgt uit de driehoeksongelijkheid voor d, want die impliceert dat

B∗(xj, rj) ⊆ B∗(xl, ρ(l, j)

)⊆ B∗

(xk, d(xk, xl) + ρ(l, j)

).

We kunnen nu hetzelfde commutatieve diagram als bij de metrische convexiteit opstellen

en door de injectiviteit van X besluiten dat er een niet-expansieve extensie id : Z → X

bestaat. Ten slotte is id(z) ∈⋂i∈I B

∗(xi, ri), omdat er voor iedere i ∈ I geldt dat

d(xi, id(z)

)= d(id(xi), id(z)

)≤ d′(xi, z) ≤ ri.

15

2.⇒ 1. Zij (Z, d′) een metrische ruimte met deelruimte (Y, d′Y ) en f : Y → X een

niet-expansieve afbeelding. We zoeken nu een niet-expansieve extensie van f en zullen

daarvoor het lemma van Zorn toepassen. Definieer eerst de verzameling

F := { (V, fV ) | Y ⊆ V ⊆ Z en fV : (V, d′V )→ (X, d) is een niet-expansieve extensie van f }.

Deze verzameling is niet leeg, want (Y, f) ∈ F . We kunnen F partieel ordenen met een

orderelatie ‘≤’ door voor (V1, fV1), (V2, fV2) ∈ F te stellen dat

(V1, fV1) ≤ (V2, fV2) als V1 ⊆ V2 en fV2|V1 = fV1 .

Beschouw een niet-lege, totaal geordende deelverzameling G := { (Vi, fVi) | i ∈ I } van F .

Als we V :=⋃i∈I Vi stellen en fV : V → X bepalen door fV |Vi := fVi voor elke i ∈ I, dan is

(Vi, fVi) ≤ (V, fV )

voor iedere i ∈ I, zodat (V, fV ) een bovengrens is voor G. Het lemma van Zorn stelt dus

dat F een maximaal element (M, fM ) heeft. Als we zouden kunnen aantonen dat M = Z,

dan bestaat er zoals gewenst een niet-expansieve extensie van f , zodat X injectief is. We

bewijzen nu dat dit inderdaad het geval is.

Stel uit het ongerijmde dat M ⊂ Z. Er bestaat dan een z ∈ Z\M . We willen nu op

N := M ∪ {z} een niet-expansieve extensie fN van fM definieren. Beschouw de verzameling{B∗(fM(m), d′(m, z)

) ∣∣ m ∈M }. Aangezien er voor elk paar m1,m2 ∈M geldt dat

d(fM(m1), fM(m2)

)≤ d′(m1,m2) ≤ d′(m1, z) + d′(z,m2),

volgt er uit de hyperconvexiteit van X dat⋂m∈M B∗

(fM(m), d′(m, z)

)6= ∅. Kies een ele-

ment w in deze doorsnede en definieer de gezochte fN door fN (z) := w en fN |M := fM . Deze

afbeelding is niet-expansief, aangezien fM niet-expansief is en er voor alle m ∈M geldt:

d(fN(m), fN(z)

)= d(fM(m), w

)≤ d′(m, z).

We concluderen dat (M, fM) < (N, fN), maar dat is in tegenspraak met de maximaliteit

van (M, fM). De bewering dat Z = M is dus correct, wat het bewijs afrondt.

16

5. Fixpuntstelling

In het vorige hoofdstuk zagen we dat er een sterk verband bestaat tussen hyperconvexe

metrische ruimten en niet-expansieve afbeeldingen via injectiviteit. Het lijkt daarom

aannemelijk dat er een fixpuntstelling voor dergelijke afbeeldingen bestaat. In deze sectie

tonen we aan dat dit inderdaad het geval is op basis van [11] (p. 36, 79, 84-87).

We starten met het definieren van een concept dat hier een erg belangrijke rol zal spelen.

Definitie 5.1. Een begrensde verzameling in een metrische ruimte (X, d) heet

admissibel als ze geschreven kan worden als een doorsnede van gesloten bollen in X.

We noteren de collectie van alle admissibele verzamelingen in X met A(X).

Merk op dat A(X) gesloten is onder het nemen van doorsneden.

Definitie 5.2. De cover van een verzameling A in een metrische ruimte (X, d) is

gedefinieerd door cov(A) :=⋂{B | B is gesloten bol in X en A ⊆ B }.

Uit de definitie van cov(A) volgt er meteen dat cov(A) ∈ A(X) en A ⊆ cov(A). We

kunnen tevens een gemakkelijke equivalentie bewijzen.

Stelling 5.3. Voor een verzameling A in een metrische ruimte (X, d) zijn equivalent:

1. A is admissibel.

2. cov(A) = A.

Bewijs. Beide implicaties zijn eenvoudig aan te tonen.

1.⇒ 2. Als A admissibel is, dan kan A geschreven worden als doorsnede van een

verzameling gesloten bollen {Bi | i ∈ I }. In dat geval geldt er voor iedere i ∈ I natuurlijk

dat A ⊆ Bi. Aangezien {Bi | i ∈ I } ⊆ {B | B is gesloten bol in X en A ⊆ B }, volgt er

dat cov(A) ⊆ A en dus is cov(A) = A.

2.⇒ 1. cov(A) is per definitie een doorsnede van gesloten bollen, dus A is admissibel.

Hieruit volgt er dat een begrensde metrische ruimte X steeds admissibel is, want de enige

gesloten bol die X kan omvatten is X zelf, zodat cov(X) = X. Admissibele verzamelingen

van een hyperconvexe metrische ruimte hebben een interessante eigenschap.

Eigenschap 5.4. Een admissibele verzameling in een hyperconvexe metrische ruimte

is zelf ook hyperconvex.

17

Bewijs. Zij A een admissibele verzameling in een hyperconvexe metrische ruimte (X, d).

Schrijf dan A =⋂i∈I B

∗(xi, ri) met xi ∈ X. Beschouw een verzameling van gesloten bollen

{B∗(aj, sj) | j ∈ J } met aj ∈ A en d(aj1 , aj2) ≤ sj1 + sj2 voor iedere j1, j2 ∈ J . We

moeten tonen dat de doorsnede van deze verzameling niet leeg is in A.

Door de hyperconvexiteit van X weten we dat⋂j∈J B

∗(aj, sj) 6= ∅. Definieer

B := {B∗(xi, ri) | i ∈ I } ∪ {B∗(aj, sj) | j ∈ J }.

Aangezien elke aj ∈ A, geldt er voor alle i ∈ I en j ∈ J dat aj ∈ B∗(xi, ri), zodat

d(xi, aj) ≤ ri ≤ ri + sj.

Hieruit volgt er ook voor iedere i1, i2 ∈ I en een vaste a ∈ A dat

d(xi1 , xi2) ≤ d(xi1 , a) + d(a, xi2) ≤ ri1 + ri2 .

Door de hyperconvexiteit van X kunnen we zoals gewenst concluderen dat

A ∩⋂j∈J

B∗(aj, sj) =⋂

B 6= ∅.

We herhalen een fundamenteel resultaat van Banach (eigenschap 1.4.9 in [7]).

Stelling 5.5 (Banach-fixpuntstelling). Zij (X, d) een volledige metrische ruimte. Iedere

contractie f : X → X heeft een uniek fixpunt xf ∈ X en xf = limn→∞ fn(x), ∀x ∈ X.

We gaan nu een fixpuntstelling bewijzen, die iets andere voorwaarden heeft: enerzijds

versterken we de eis op de metrische ruimte X en anderzijds zwakken we de eis op f af.

Zoals zal blijken, verkrijgen we daardoor extra informatie over Fix(f), de verzameling van

de fixpunten van f , maar hebben we geen constructieve methode meer om de fixpunten

expliciet te bepalen. In het bewijs noteren we voor A ⊆ X en x ∈ X:

rx(A) := sup { d(x, a) | a ∈ A }.

Stelling 5.6. Zij (X, d) een begrensde, hyperconvexe metrische ruimte en f : X → X

een niet-expansieve afbeelding. Dan is Fix(f) 6= ∅ en hyperconvex.

Bewijs. We bewijzen de twee beweringen apart.

Deel 1. Om te verifieren dat Fix(f) 6= ∅, gebruiken we weer het lemma van Zorn. Stel

F := {A ∈ A(X) | A 6= ∅ en f(A) ⊆ A }.

18

Omdat X ∈ A(X), is X ∈ F . We plaatsen nu een partiele orderelatie ‘≤’ op F :

∀A,B ∈ F : A ≤ B als A ⊇ B.

Beschouw een totaal geordende deelverzameling {Vi | i ∈ I } van F . We tonen eerst aan

dat V :=⋂i∈I Vi ∈ F . Daarvoor gaan we de drie voorwaarden uit de definitie van F na.

Omdat admissibiliteit bewaard blijft onder het nemen van doorsneden, is V ∈ A(X).

Aangezien f(Vi) ⊆ Vi voor iedere i ∈ I, is ook f(V ) ⊆ V . Om te bewijzen dat V 6= ∅,schrijven we elke admissibele Vi als

⋂j∈Ji B

∗(xij, rij) voor zekere xij ∈ X. Veronderstel voor

willekeurige i1, i2 ∈ I dat Vi1 ⊆ Vi2 en kies z ∈ Vi1 . Voor alle j1 ∈ Ji1 en j2 ∈ Ji2 geldt dat

d(xi1j1 , xi2j2

) ≤ d(xi1j1 , z) + d(z, xi2j2) ≤ ri1j1 + ri2j2 ,

dus volgt er uit de hyperconvexiteit van X dat

V =⋂i∈I

⋂j∈Ji

B∗(xij, rij) 6= ∅.

Natuurlijk is Vi ≤ V voor elke i ∈ I, dus V is een bovengrens voor {Vi | i ∈ I }. Het

lemma van Zorn garandeert dan het bestaan van een maximaal element M , dat uiteraard

minimaal is ten opzichte van de inclusierelatie ‘⊆’. Het is nu voldoende te bewijzen dat

M een singleton is, want dan volgt er uit f(M) ⊆M dat M een fixpunt van f is.

Ten eerste merken we op dat een begrensde verzameling A ⊆ X bevat is in B∗(x, rx(A)

)voor elke x ∈ X, dus is A ⊆

⋂x∈X B

∗(x, rx(A)), zodat cov(A) ⊆

⋂x∈X B

∗(x, rx(A)). De

omgekeerde inclusie geldt ook, want als A ⊆ B∗(x, r) met x ∈ X, dan is rx(A) ≤ r,

zodat B∗(x, rx(A)

)⊆ B∗(x, r) en bijgevolg

⋂x∈X B

∗(x, rx(A))⊆ B∗(x, r). Ten tweede is

rx(f(M)

)≤ rx(M), omdat f niet-expansief is. We bekomen nu:

cov(f(M)

)=⋂x∈X

B∗(x, rx(f(M))

)⊆⋂x∈X

B∗(x, rx(M)

)= cov(M) = M,

Bijgevolg is f(

cov(f(M)

))⊆ f(M) ⊆ cov

(f(M)

), dus cov

(f(M)

)∈ F . Maar aangezien

cov(f(M)

)⊆M en M minimaal is ten opzichte van ‘⊆’, moet cov

(f(M)

)= M . Hieruit

besluiten we dat

M =⋂x∈X

B∗(x, rx(f(M))

), (VII)

wat op zijn beurt impliceert dat rx(M) ≤ rx(f(M)

)en dus hebben we voor iedere x ∈ X:

rx(M) = rx(f(M)

). (VIII)

Definieer nu

δ := diam(M) en C :=⋂x∈M

B∗(x, δ2).

19

Voor alle x, y ∈M is d(x, y) ≤ δ = δ/2+δ/2, zodat C 6= ∅ door de hyperconvexiteit van X.

We controleren nu dat D := C ∩M 6= ∅. Door (VII) is M admissibel. We schrijven

M =⋂i∈I

B∗(xi, ri)

en beschouwen de verzameling

G := {B∗(xi, ri) | i ∈ I } ∪ {B∗(x, δ2) | x ∈M }.

Kies een z ∈M . Voor iedere i, j ∈ I en x ∈M geldt er dat

d(xi, xj) ≤ d(xi, z) + d(xj, z) ≤ ri + rj en

d(xi, x) ≤ ri ≤ ri + δ2.

We concluderen wederom door de hyperconvexiteit van X:

D =⋂G 6= ∅.

Kies ten slotte een element w ∈ D. Aangezien f niet-expansief is, is rf(w)(f(M)

)≤ rw(M).

Omdat w ∈⋂G, geldt er voor alle x ∈M dat w ∈ B∗(x, δ/2). Samen met (VIII) geeft dit:

rf(w)(M) = rf(w)(f(M)

)≤ rw(M) ≤ δ

2.

Natuurlijk is ook rf(w)(M) ≥ δ/2, want f(w) ∈ M . Uit rf(w)(M) = δ/2 kunnen we

besluiten dat f(w) ∈ D, dus f(D) ⊆ D. Aangezien D ⊆ M admissibel is, geldt er dat

D ∈ F en uit de minimaliteit van M ten opzichte van ‘⊆’ volgt dat M = D. We bekomen:

δ = diam(M) = diam(D) ≤ δ2.

Dat kan alleen als δ = 0, wat betekent dat M een singleton is. Dit rondt deel 1 af.

Deel 2. We tonen nu aan dat Fix(f) hyperconvex is. Neem daarvoor een verzameling

van gesloten bollen {B∗(xi, ri) | i ∈ I } met xi ∈ Fix(f) en d(xi, xj) ≤ ri + rj voor alle

i, j ∈ I. We bewijzen dat de doorsnede van deze verzameling niet leeg is in Fix(f).

Vanwege de hyperconvexiteit van X is B :=⋂i∈I B

∗(xi, ri) 6= ∅. Aangezien B admissibel is,

is B ook hyperconvex door eigenschap 5.4. Kies een willekeurig element b ∈ B. Voor

iedere i ∈ I geldt er dan dat

d(f(b), xi

)= d(f(b), f(xi)

)≤ d(b, xi) ≤ ri,

dus f(b) ∈ B en f(B) ⊆ B. Uit deel 1 kunnen we besluiten dat f een fixpunt heeft in B,

wat bewijst dat

Fix(f) ∩⋂i∈I

B∗(xi, ri) = Fix(f) ∩B 6= ∅.

20

6. Hyperconvexe omhullende van metrische ruimten

In dit laatste hoofdstuk schetsen we de theorie van Isbell, die stelt dat iedere metrische ruimte

een hyperconvexe omhullende heeft. Bewijzen zijn terug te vinden in [11] (p. 91-97) en [10].

Laten we starten met de definitie van een hyperconvexe omhullende. In de literatuur wordt

vaak ook ‘injectieve omhullende’ gebruikt, met het oog op stelling 4.3. Engelse werken

gebruiken de termen ‘injective envelope’ en ‘hyperconvex hull’.

Definitie 6.1. De hyperconvexe omhullende van een metrische ruimte X is een

injectieve metrische ruimte X die een isometrische kopie van X bevat en die isometrisch

is met een deelruimte van iedere hyperconvexe metrische ruimte die een isometrische

kopie van X bevat.

Isbell startte zijn onderzoek naar de constructie van hyperconvexe omhullenden met een

observatie in een metrische ruimte (X, d). Definieer voor alle x ∈ X een functie

fx : X → R+ : y 7→ d(x, y).

Door gebruik te maken van de driehoeksongelijkheid, volgt er voor alle a, x, y ∈ X dat

d(x, y) ≤ d(a, x) + d(a, y) = fa(x) + fa(y).

Zij f : X → R+ een andere functie, waarvoor geldt dat d(x, y) ≤ f(x) + f(y) voor elke

x, y ∈ X en veronderstel dat er een a ∈ X bestaat, zodat f(x) ≤ fa(x) voor iedere x ∈ X.

In het bijzonder is f(a) ≤ fa(a) = d(a, a) = 0, dus f(a) = 0. Voor alle x ∈ X geldt er dan:

fa(x) = d(a, x) ≤ f(a) + f(x) = f(x).

Bijgevolg is f = fa. De afbeelding f bezit dus een soort minimaliteitseigenschap. Om

deze kenmerken te veralgemenen, introduceerde Isbell de volgende definitie:

Definitie 6.2. Zij A een verzameling in een metrische ruimte (X, d). Een afbeelding

f : A→ R+ heet extremaal als er voor iedere x, y ∈ A geldt dat

d(x, y) ≤ f(x) + f(y)

en als f puntsgewijs minimaal is met betrekking tot deze eigenschap. Dat wil zeggen

dat als er een andere afbeelding g : A→ R+ bestaat, waarbij

d(x, y) ≤ g(x) + g(y)

voor elke x, y ∈ A en g(x) ≤ f(x) voor alle x ∈ A, er dan volgt dat f = g.

De verzameling van alle extremale functies op A wordt genoteerd met ε(A).

21

Gebruikmakend van de zonet ingevoerde notatie, kunnen we stellen dat fa ∈ ε(A) voor

iedere a ∈ A. Beschouw nu de afbeelding

e : A→ ε(A) : a 7→ fa.

Als we de functieruimte ε(A) uitrusten met de supremummetriek d∞ (definitie 2.1.10 in [7]),

dan is e een isometrie, want voor iedere a, b ∈ A is

d(e(a), e(b)

)= d∞(fa, fb) = sup

x∈A|fa(x)− fb(x)| = sup

x∈A|d(a, x)− d(b, x)| = d(a, b).

We geven zonder bewijs enkele eigenschappen van extremale functies.

Eigenschap 6.3. De onderstaande uitspraken zijn waar.

1. Als f ∈ ε(A), dan voldoet f aan

f(x) ≤ d(x, y) + f(y)

voor iedere x, y ∈ A. We hebben bovendien dat

f(x) = supy∈A|f(y)− fx(y)| = d∞

(f, e(x)

).

2. Voor iedere f ∈ ε(A), δ > 0 en x ∈ A bestaat er een y ∈ A, zodat

f(x) + f(y) < d(x, y) + δ.

3. Als A compact is, dan is ε(A) ook compact.

4. Als g een extremale functie is op de metrische ruimte(ε(A), d∞), dan is g ◦ e

extremaal op A.

Het verband met hyperconvexiteit wordt duidelijk in de volgende stelling.

Stelling 6.4 (Isbell). De onderstaande uitspraken zijn waar.

1. ε(A) is hyperconvex.

2. ε(A) is een hyperconvexe omhullende van A. Dat betekent dat er geen echte

hyperconvexe deelverzameling van ε(A) is die A omvat. Veronderstel dat Y een

hyperconvexe metrische ruimte is, die A omvat en waarvan iedere echte deelruimte

die A omvat niet hyperconvex is. Dan geldt er dat Y isometrisch is met ε(A).

Uit onze korte verkenning van Isbells theorie kunnen we besluiten dat iedere metrische

ruimte X isometrisch ingebed kan worden in een hyperconvexe omhullende. Bovendien is

elk paar hyperconvexe omhullenden van X isometrisch.

22

Conclusie

Hyperconvexiteit duikt op vrij natuurlijke wijze op in metrische ruimten. Ondanks het

gegeven dat het enkele schijnbaar noodzakelijke kenmerken mist, zoals het feit dat de

eigenschap niet wordt overgedragen op deelruimten of door equivalente metrieken, kent het

concept rijke theoretische toepassingen. Door het werk van tal van wiskundigen over de

jaren heen ontstond een samenhangend geheel dat doorspekt is met interessante resultaten.

Zo leverde het duo Aronszajn-Panitchpakdi een mooie karakterisatie, die een verband

legt met een volledig ander aspect van de analyse. De fixpuntstelling voor hyperconvexe

metrische ruimten illustreert prachtig het belang van veralgemening binnen de wiskunde,

waarbij teruggegrepen wordt naar gekende resultaten. Ten slotte openden Isbells ideeen een

deur naar een ongetwijfeld brede theorie, die zeker aan nader onderzoek onderworpen moet

worden. De vermelde referenties kunnen alvast een aanzet zijn voor de geınteresseerde lezer.

23

Referenties

[1] ALIPRANTIS, C., BORDER, K. Infinite Dimensional Analysis. A Hitchhiker’s Guide.

Berlijn, Springer-Verlag, 2006. (p. 75)

[2] ARONSZAJN, N., PANITCHPAKDI, P. Extensions of uniformly continuous transfor-

mations and hyperconvex metric spaces. Uit: Pacific Journal of Mathematics, vol. 6,

1956. (p. 405-439)

[3] BAILLON, J.-B. Nonexpansive Mapping and Hyperconvex Spaces. Uit: Fixed Point

Theory and Its Applications, American Mathematical Society, Contemporary Mathe-

matics, vol. 72, 1988. (p. 11-19)

[4] BLUMENTHAL, L. M. Theory and Applications of Distance Geometry. Chelsea

Publishing Company, New York, 1970. (p. 41-43)

[5] CARISTI, J. Fixed Point Theorems for Mappings Satisfying Inwardness Conditions.

Uit: Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical

Society, vol. 215, 1976. (p. 241-251)

[6] COLEBUNDERS, E. Verzamelingen en reele getallen. Dienst Uitgaven VUB, Brussel,

2012.

[7] COLEBUNDERS, E. Analyse II. Dienst Uitgaven VUB, Brussel, 2013.

[8] COLEBUNDERS, E. Topologie. Dienst Uitgaven VUB, Brussel, 2014.

[9] GOEBEL, K., KIRK, W. A. Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge

University Press, Cambridge, 1990. (p. 23-26)

[10] ISBELL, J. R. Six theorems about injective metric spaces. Uit: Commentarii mathe-

matici Helvetici, vol. 39, 1964. (p. 65-76)

[11] KHAMSI, M. A., KIRK, W. A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point

Theory. John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001. (p. 35-38, 57-58, 71-99)

[12] SIOEN, M. Inleiding tot functionaalanalyse. Dienst Uitgaven VUB, Brussel, 2013.