Univerza v LjubljaniPedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvoKatedra za algebro in analizo

Marko Razpet

BABILONSKI ZAPIS ŠTEVILŠtudijsko gradivo

Zgodovina matematike

Ljubljana, januar 2015

VsebinaPredgovor 3

1 Uvod 7

2 Realna števila 11

3 Pitagorejske trojke 12

4 Tablice množenj 14

5 Tablice obratnih vrednosti, koreni 16

6 Zametki algebre 22

7 Primerjava z egipčanskim zapisom 23

8 Egipčanski ulomki 26

9 Babilon po Babilonu 28

Za konec 37

Literatura in spletni viri 38

PredgovorKot vemo, so se prve civilizacije začele pred več tisočletji hitro razvijati naporečjih velikih rek, ki so pogosto poplavljale in odlagale plodno zemljo, kiso jo ljudje pridno obdelovali in vedno znova in znova odmerjali. Gradiliso razmeroma velika mesta in namakalne sisteme, kar je samo po sebi pri-neslo razvoj geometrije in astronomije, zapise vseh vrst, od knjigovodskihin pravnih do literarnih, pa tudi zapisovanje števil in računanje z njimi terastronomske in druge tablice. Podrobneje si bomo ogledali babilonski načinzapisovanja števil, primerjali pa ga bomo z egipčanskim.

Na univerzi Yale, New Haven, Connecticut, ZDA, hranijo okroglo glinastoploščico premera približno 7 cm, na kateri je razločno narisan kvadrat zdiagonalama. Ploščica ima kataloško oznako YBC 7289. YBC je kratica zaYale Babylonian Catalogue. Nad eno stranico nekaj piše v klinopisni pisavi,prav tako na eni od diagonal in pod njo. Ploščica je nastala v Mezopotamijiv obdobju 1800 do 1600 pne. Številski znaki na sliki 1 in njihov razporedse zaradi tehničnih težav le malenkostno razlikujejo od tistih na ploščici. Ennapis je z diagonale nekoliko dvignjen zaradi boljše berljivosti.

Po temeljitem preučevanju se je izkazalo, da je napis na diagonali kvadratapribližek za število

√2 v babilonskem šestdesetiškem sistemu. Če preraču-

namo v običajni desetiški sistem, dobimo:

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋 = 1 + 2460 + 51602 + 10603 = 3054721600 .= 1.414212962.Nekaj točnih decimalk pa je:

√2

.= 1.414213562373. To pomeni, da približek

na omenjeni ploščici da na pet decimalk točen približek za√2. V delu bomo

skušali razložiti, kako so prišli do tega približka. Nad stranico kvadrata jezapisano število

𒌍 = 30,kar pomeni dolžino stranice kvadrata v nekih enotah. Pod diagonalo kvadratapa je zapisan približek za dolžino diagonale kvadrata s stranico 30 enot:

𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊 = 42 + 2560 + 35602 = 30547720 .= 42.42638888.Če izračunamo v desetiškem sistemu, dobimo 30

√2

.= 42.4264068711, kar se

3

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

𒌍

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋

𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

..............................................................................................................................................................................................................................

...................

....................

......................

........................

...........................

...............................

......................................

.............................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................

................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Slika 1: Preris glinaste ploščice YBC 7289.

z babilonskim približkom ujema na treh decimalkah.Ker je vse to lahko razumeti, je ploščica YBC 7289 postala ena od najbolj

znanih glinastih ploščic z matematično vsebino iz Mezopotamije. Navajajojo skoraj vse knjige, ki obravnavajo zgodovino matematike.

Beseda diagonala je grškega izvora. Nastala je iz besed διά, kar pomeniprek, čez, skozi, in γωνία, kot, vogal. Prav tako Mezopotamija: μέσος pomenimed, sredi, ποταμός pa reka. Mezopotamija bi torej lahko poslovenili vMedrečje. Beseda ni čisto primerna, ker ne označuje le dežele med rekamaEvfrat, Εὔϕράτης, in Tigris, Τίγρις, ampak skoraj celotno njuno porečje.Beseda sistem je grška: σύστημα pomeni sestav, načrt, red, urejena celotanečesa. Tudi besedo Babilon smo prevzeli od Grkov, ki so ga zapisali kotΒαβυλών.

Številski sistem z osnovo 60 se imenuje šestdesetiški ali seksagezimalni.

4

Slednja beseda je latinska, izvedena vrstilnega števnika sexagesimus, šestde-seti. Ta ustreza glavnemu števniku sexaginta, šestdeset. V več jezikih je tako,da besede za dele celote izvajamo iz vrstilnih števnikov: tri, tretji, tretjina;deset, deseti, desetina. V angleščini: three, third, one third; ten, tenth, onetenth. V nemščini: drei, dritte, ein Drittel; zehn, zehnte, ein Zehntel.

Izjema je polovica, ki ni po prejšnji logiki drugina. Tudi v drugih jezikihje polovica izjema: two, second, half; zwei, zweite, eine Halbe. Celo stariEgipčani so pogosto uporabljali za polovico znak M, ne pa dvojke (znak ||)pod ustnicami (znak r).

Deloma šestdesetiški sistem uporabljamo v vsakdanjem življenju v zvezis časom. Ura je razdeljena na 60 minut, minuta na 60 sekund. Pri sekundahpa govorimo le o njenih stotinkah. Pravimo: smučarka je zmagala v smukus časom 1:50,48, kar pomeni 1 minuta, 50 sekund, 48 stotink sekunde. To bipo babilonsko zapisali kot 1′ 50′′ 28′′′ 48′′′′. Kdo ve, zakaj pa so se pri časuodločili za skrpucalo med šestdesetiškim in desetiškim številskim sistemom.

Prav tako pri kotih še vedno deloma uporabljamo šestdesetiški številskisistem. Kotna stopinja je razdeljena na kotnih 60 minut, minuta na 60 kotnihsekund. Enota radian se je pojavila v matematiki relativno pozno. Vpeljalasta ga Thomas Muir (1844–1934) in James Thomson (1822–1892). Spom-nimo: en radian je v krogu kot, ki ustreza ločni dolžini enega polmera tegakroga.

V študijskem gradivu se bomo nekoliko bolje seznanili z babilonskim nači-nom zapisovanja števil. Ljubiteljem TEX-a so na razpolago ustrezni naboriznakov in paketi, s katerimi jih lahko zapisujemo. V preambuli izvirnegadokumenta, ki ga moramo pisati z vključitvijo kodne tabele UTF-8, moramododati vrstici

\usepackage{pgffor,babyloniannum}\newcommand{\Bnum}[1]{{\LARGE \babyloniannum{#1}}}

V besedilu nato dosežemo izpis naravnega števila z ukazom \Bnum. Primer:zapis števila 1949 dosežemo z ukazom \Bnum{1949} in dobimo

𒌍𒈫 𒌋𒌋𒐎5

Včasih je treba z znanimi ukazi kakšen številski znak nekoliko dvigniti alispustiti, včasih malo premakniti v levo ali desno, kar ni težko. Seveda je trebaposkrbeti za namestitev naborov znakov Santakku.ttf, SantakkuM.ttf terslogov pgffor.sty in babyloniannum.sty, ki jih brez težav dobimo namedmrežju.

Velikost znakov lahko spremenimo, če spremenimo velikost v ukazu

\newcommand{\Bnum}[1]{{\LARGE \babyloniannum{#1}}}

Zapis števila 666 je videti v različnih velikostih tako:

𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋Z rimskimi številkami zapišemo 666 s samimi različnimi črkami: DCLXVI.

Za pisanje števil na babilonski način lahko uporabimo tudi neposrednodaljši ukaz \babyloniannum in spreminjamo znake z ukazi paketov graphicxin color.

𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋Zgornja zapisa dosežemo z ukazoma

\textcolor{blue}{\scalebox{5}{\babyloniannum{666}}}

\colorbox{black}{\textcolor{white}{\scalebox{5}{\babyloniannum{666}}}}

Ko pripravimo dokument z besedilom in vsemi ukazi, seveda datoteko, ki jidamo končnico .tex, varno shranimo. Nato poženemo program xelatex, kinam ustvari dokument v pdf (Portable Document Format).

Programski orodji XƎTEX in XƎLATEX sta veliko bolj sposobni glede naborovznakov kot orodji TEX in LATEX. Paziti je treba le, da pri pripravi osnovnegadokumenta ves čas uporabljamo kodno tabelo UTF-8.

Ljubljana, januarja 2015 Dr. Marko Razpet

6

1 UvodMezopotamijo pogosto imenujejo zibelka civilizacije. Tako kot Nil v Egiptu,v Mezopotamiji že od nekdaj reki Evfrat in Tigris skrbita s svojimi poplavamiza rodovitno zemljo. Zato so se tu ljudje naselili in začeli obdelovati zemljo.Ker jo je bilo treba pogosto deliti, meriti in napovedovati čas poplav, sta setu hitro razvili geometrija in astronomija, ki sta terjali zapisovanje besedilin števil z znaki. Najbolj je bila pripravna tamkajšnja glina, ki jo je bilo napretek. Iz nje so za potrebo gradbeništva izdelovali opeko, ki so jo sušili nasoncu ali pa žgali v preprostih pečeh. Hitro so ugotovili, da se da na svežeglinaste plošče pisati s priostrenimi paličicami iz trstja. Zato so zelo zgodajizumili klinopis, v slovenščini tako poimenovan zaradi klinaste oblike znakov,angleško cuneiform, nemško Keilschrift. Plošče so se posušile in zapisi sopostali zelo obstojni. V 2. stoletju starih klinopisov že nihče ni več znalbrati. Našli so jih v novejši dobi na tisoče in po več tisoč letih so v 19.stoletju uspeli razvozlati pozabljeno pisavo. Tako so se nam ohranila imenamest, pokrajin, ljudstev, vladarjev, zakoniki, epi in tablice z matematičnovsebino. Od literarnih del se nam je skoraj v celoti ohranil sumerski Epo Gilgamešu, iz katerega se da razbrati, kakšno je bilo življenje Sumercevv stari Mezopotamiji. Del epa pripoveduje o vesoljnem potopu. Navedimotisti del (prevod Mirko Avsenak), ki opisuje priprave nanj:

Petega dne sem napravil načrt njenih mer:eno polje je merila spodnja ploskev,desetkrat dvanajst komolcev so bile visoke njene stene,desetkrat dvanajst komolcev pa rob njenega stropa.

Mezopotamija je bila zanimiva za osvajalce vseh vrst. Tako zasledimona njenih tleh od približno leta 3000 pne. naprej sumersko, akadijsko, novo-sumersko, starobabilonsko, asirsko, novobabilonsko, kaldejsko, medijsko, perz-ijsko kraljestvo, če navedemo samo nekatera. Klinopisno pisavo so poznaliže Sumerci, druga ljudstva so ga prevzela in prilagodila svojim jezikom. Celostaroperzijska pisava je bila klinopisna. Dolgo je bil Babilon osrednje mesto v

7

Mezopotamiji, zato bomo v nadaljevanju govorili kar o Babiloncih, babilon-skih številskih znakih in babilonskem načinu zapisovanja števil.

Babilonci so torej zapisovali tudi števila s klinopisno pisavo. Tako kotstari Egipčani, so naravna števila od 1 do 9 zapisovali z ustreznim številomčrtic. Ena taka črtica je imela obliko 𒁹. Število 10 je očitno imelo posebenpomen tudi pri Babiloncih, kajti zanj so uporabljali nov znak: 𒌋 . Takeznake so ustrezno večkrat ponovili, da so dobili desetiške večkratnike številod 1 do 5. Da, samo do 5, kajti babilonski številski sistem je bil šestdesetiški,seksagezimalni, z mestnimi vrednostmi, tako kot naš desetiški.

Slika 2: Mezopotamija.

Števila od 1 do 9 so pisali v obliki:

𒁹 𒈫 𒐈 𒃻 𒐊 𒐋 𒐌 𒐍 𒐎Kot vidimo, so pisali števila od 4 do 9 tako, da so enico 𒁹 nanizali vnadstropja. Podobno so zapisovali desetiške večkratnike:

8

𒌋 𒌋𒌋 𒌍 𒐏 𒐐Preostala števila od 1 do 59 so zapisali z združitvijo desetic in enic in v bistvudobljeno kombinacijo znakov obravnavali kot en znak. Število 49 = 40 + 9so na primer dobili tako:

𒐏 + 𒐎 −→ 𒐏𒐎Zapisi vseh babilonskih številk od 1 do 59 so zbrani v tabeli 1. Poljubno

1 𒁹 16 𒌋𒐋 31 𒌍𒁹 46 𒐏𒐋2 𒈫 17 𒌋𒐌 32 𒌍𒈫 47 𒐏𒐌3 𒐈 18 𒌋𒐍 33 𒌍𒐈 48 𒐏𒐍4 𒃻 19 𒌋𒐎 34 𒌍𒃻 49 𒐏𒐎5 𒐊 20 𒌋𒌋 35 𒌍𒐊 50 𒐐6 𒐋 21 𒌋𒌋𒁹 36 𒌍𒐋 51 𒐐𒁹7 𒐌 22 𒌋𒌋𒈫 37 𒌍𒐌 52 𒐐𒈫8 𒐍 23 𒌋𒌋𒐈 38 𒌍𒐍 53 𒐐𒐈9 𒐎 24 𒌋𒌋𒃻 39 𒌍𒐎 54 𒐐𒃻

10 𒌋 25 𒌋𒌋𒐊 40 𒐏 55 𒐐𒐊11 𒌋𒁹 26 𒌋𒌋𒐋 41 𒐏𒁹 56 𒐐𒐋12 𒌋𒈫 27 𒌋𒌋𒐌 42 𒐏𒈫 57 𒐐𒐌13 𒌋𒐈 28 𒌋𒌋𒐍 43 𒐏𒐈 58 𒐐𒐍14 𒌋𒃻 29 𒌋𒌋𒐎 44 𒐏𒃻 59 𒐐𒐎15 𒌋𒐊 30 𒌍 45 𒐏𒐊

Tabela 1: Osnovne babilonske številke.

naravno število a so zapisali kot linearno kombinacijo potenc števila 60:

a = an · 60n + . . .+ a1 · 60 + a0.

9

Pri tem so koeficienti an, . . . , a1, a0 cela števila od 0 do 59, lahko jim rečemoštevke. Le-te število a enolično določajo, če jih navedemo v dogovorjenemzaporedju in pišemo

a = an . . . a1a0.

Števila 0 Babilonci niso poznali. V zapisu so namesto 0 pustili prazen pros-tor, kar je sicer lahko vodilo v nesporazume in zlorabe. Manjši prazen pros-tor je bil tudi med posameznimi števkami. Prednost njihovega zapisa predegipčanskim je zagotovo v tem, da lahko tako zapišemo še tako veliko število.Verjetno so za osnovo izbrali število 60 zato, ker ima veliko več deliteljev kot10. Tudi naš zapis je tak, samo da število zapišemo kot vsoto potenc števila10, koeficienti so pa cela števila od 0 do 9.

Zapišimo števila

91 = 1·60+31, 3899 = 1·602+4·60+59, 9 746 373 = 45·603+7·602+19·60+33.

po babilonsko:

𒁹 𒌍𒁹 , 𒁹 𒃻 𒐐𒐎 , 𒐏𒐊 𒐌 𒌋𒐎 𒌍𒐈Števila

95 = 1 · 60 + 35, 3635 = 1 · 602 + 35, 216035 = 1 · 603 + 35

imajo podobne zapise:

𒁹 𒌍𒐊 , 𒁹 𒌍𒐊 , 𒁹 𒌍𒐊Razlikujejo se v dolžini presledka med števkami. V prvem primeru ločuje

presledek števki, v drugem pa večji presledek označuje odsotnost 601, v tret-jem pa še večji presledek odsotnost 602 in 601. Kasneje (šele okoli leta 300pne.) so uvedli znak za 0, ki pa je imel samo vlogo zapolnjevalca praznegamesta. Dolgo časa je preteklo, preden so ljudje začeli 0 obravnavati kot

število. Zapolnjevalec praznega mesta je imel obliki 𒈫 ali 𒈫 . Znjim bi števili 3635 in 216035 zapisali takole:

10

𒁹 𒈫 𒌍𒐊 , 𒁹 𒈫 𒈫 𒌍𒐊Pravijo, da so Babilonci iz konteksta razbrali, za katero število gre tudi

brez uporabe znaka 𒈫 .

2 Realna številaPodobno kot v desetiškem sistemu pišemo decimalne ulomke, so Babiloncipisali šestdesetiške ulomke, na primer

1

60,31

602,59

603, . . .

in realna števila

a = an · 60n + . . .+ a1 · 60 + a0 +a−160

+a−2602

+a−3603

+ . . .

Mestni zapis števila a je torej

a = ana1 . . . a0; a−1a−2a−3 . . .

Pri tem so an, a1, . . . , a0; a−1, a−2, a−3, . . . cela števila od 0 do 59, razporejenav točno takem vrstnem redu, kot smo ga zapisali. Ni znano, da bi Babilonciuporabljali poseben znak, ki bi ustrezal naši decimalni vejici ali piki. V tembesedilu bomo vsemu navkljub, zaradi boljšega označevanja, od tu naprejuporabljali podpičje. Babilonci pa so iz konteksta ugotovili, kje naj bi bilonaše podpičje.

Zapišimo za primer števila 911/240, 71/480, 7801/600 v šestdesetiškemsistemu. Najprej jih izrazimo s šestdesetiškimi ulomki, nato jih zapišimo šepo babilonsko:

911

240= 3 +

47

60+

45

602,

71

480=

8

60+

52

602+

30

603,7801

600= 2 · 60 + 10 + 1

60,

𒐈 ; 𒐏𒐌 𒐏𒐊 , ; 𒐍 𒐐𒈫 𒌍 , 𒈫 𒌋 ; 𒁹11

Seveda se lahko zgodi, da je za podpičjem nešteto števk, tako kot je lahkonešteto števk za decimalno vejico v desetiškem sistemu. Kako bi na primer pobabilonsko zapisali število 355/113, kar je dober indijski približek za številoπ? Najprej ga je treba izraziti kot vsoto

355

113= 3 +

8

60+

29

602+

44

603+

4

604+

14

605+ . . . ,

kar da krajšo obliko:355

113= 3; 8 29 44 4 14 . . . ,

z babilonskimi števkami na nekaj seksagezimalk pa

𒐈 ; 𒐍 𒌋𒌋𒐎 𒐏𒃻 𒃻 𒌋𒃻Upajmo, da ne bo pohujšanja, če vpeljemo besedo seksagezimalka, ki

v šestdesetiškem številskem sistemu igra enako vlogo kot decimalka v de-setiškem. Števila π Babilonci še niso poznali posebno natančno. Njihovpribližek je bil 3 = 𒐈 in v najboljšem primeru 3, 125 = 25/8 = 3; 7 30 = 𒐈; 𒐌 𒌍 .

3 Pitagorejske trojkePravokoten trikotnik, ki ima dolžine katet a, b in hipotenuze c izražene znaravnimi števili neke dolžinske enote, je pitagorejski, če je a2 + b2 = c2.Namesto o pitagorejskem trikotniku govorimo tudi o pitagorejski trojki (a, b, c).Pitagorejsko trojko (a, b, c) sestavljajo naravna števila a, b, c (a < c, b < c), zakatere je a2+ b2 = c2. Trikotnik, ki ima v takem primeru stranice v razmerjua : b : c, je po obratu Pitagorovega izreka pravokoten. Pitagorejska trojkaje primitivna, če naravna števila a, b, c nimajo skupnega delitelja razen 1.Primitivnih pitagorejskih trojk je nešteto. Vse so zajete v obrazcih

a = m2 − n2, b = 2mn, c = m2 + n2,

če izberemo tuji si števili m,n, m > n in m,n različnih parnosti, torej enoliho, drugo sodo. Pitagora, Πυθαγόρας, po katerem se imenuje slavni izrek

12

in omenjeni trikotniki ter trojke, je živel od leta 570 do leta 495 pne. Vsekaže, da so relacijo a2 + b2 = c2 v pravokotnem trikotniku poznali že velikoprej, kar nam izpričuje glinasta tablica Plimpton 322, ki jo hrani UniverzaColumbia v New Yorku.

Plimpton 322 je kataloška oznaka zbirke te univerze, ime pa je dobila poameriškem publicistu in filantropu Georgeu Arthurju Plimptonu (1855–1936),ki je univerzi daroval mnogo starin. Beseda filantrop, človekoljub, je nastalaiz grških besed ϕίλος, prijatelj, in ἄνθρωπος, človek.

Na tablici je 15 vrstic klinopisno zapisanih števil v šestdesetiškem števil-skem sistemu. Nekaj vrstic je poškodovanih in v nadaljevanju kljub temupišemo, kaj je bilo na mestih poškodb zapisano v glini. V prvem stolpcu zdesne so zaporedne številke vrstic. V drugem stolpcu so v vseh vrsticah istiznaki, ki so morda bolj za okras. Ugotovili so, da so v tretjem stolpcu zdesne dolžine hipotenuz c, v četrtem stolpcu z desne dolžine katet, denimoa, v petem stolpcu pa kvocienti a2/b2 pitagorejskega trikotnika (a, b, c). Vsikvocienti niso točno zapisani, ker tudi ne morejo biti, saj imajo nešteto sek-sagezimal. Tabela 2 kaže primer prve, pete in enajste vrstice. Izračunane soše katete po formuli b =

√c2 − a2 in dodani običajni zapisi.

a2/b2, 5. st. a, 4. st. c, 3. st. b n, 1. st.

; 𒐐𒐎 𒌋𒐊 𒁹 𒐐𒐎 𒈫 𒐏𒐎 𒁹0; 59 0 15 1; 59 2; 49 114161/14400 119 169 120

; 𒐏𒐍 𒐐𒃻 𒁹 𒐏 𒁹 𒐊 𒁹 𒌍𒐌 𒐊0; 48 54 1 40 1; 5 1; 37 54225/5184 65 97 72

; 𒌍𒐈 𒐏𒐊 𒐏𒐊 𒁹 𒌋𒐊 𒌋𒁹0; 33 45 45 1; 15 119/16 45 75 60

Tabela 2: Plimpton 322, tri izbrane vrstice. Univerza Columbia.

13

Pitagorejske trojke na plošči Plimpton 322 so precej velike, večina je pri-mitivnih, ni pa znano, kako so do njih prišli. V drugi vrstici najdemo primi-tivno pitagorejsko trojko (3367, 3456, 4825). Za a2/b2 dobimo v tem primeruulomek 11336689/11943936, ki ima babilonsko obliko

0; 56 56 58 14 50 6 17 49 . . .

Na plošči pa v drugi vrsti za a2/b2 piše

; 𒐐𒐋 𒐐𒐋 𒐐𒐍 𒌋𒃻 𒐐 𒐋 𒌋𒐊 ,kar je

0; 56 56 58 14 50 6 15 . . .

Zapisa se ujemata na šestih seksagezimalnih mestih.Če zberemo po vrsti vse pitagorejske trojke s tablice Plimpton 322, do-

bimo tabelo 3.V 11. vrstici pitagorejska trojka ni primitivna:

(45, 60, 75) = 15(3, 4, 5).

Ustrezni pravokotni trikotnik je podoben egipčanskemu s stranicami 3, 4, 5.Dobro je znano, da so si Egipčani v praksi pomagali z njim konstruirati pravikot. V ta namen je obstajala posebna služba, katere naloga je bila meriti zvrvjo in odmerjati prave kote. Izvajali so jo napenjalci vrvi, harpedonapti,kakor so jih imenovali Grki, po grško ἁρπεδονάπται. Beseda je nastala izἁρπεδόνη, vrv, vrvica, ἅπτω, pritikam, privezujem, pripnem.

4 Tablice množenjV Babiloniji so našli tudi tablice množenj. Primer kaže tabela 4. Navadnoje bilo na drugi strani tablice nadaljevanje.

Take tablice so bile seveda zelo koristne, saj so olajšale množenje števil.Medtem ko v desetiškem številskem sistemu ne potrebujemo veliko tovrstnihtablic, so v šestdesetiškem sistemu verjetno sestavili tablice za 2-kratnike,

14

n a b c

1 119 120 1692 3367 3456 48253 4601 4800 66494 12709 13500 185415 65 72 976 319 360 4817 2291 2700 35418 799 960 12499 481 600 769

10 4961 6480 816111 45 60 7512 1679 2400 292913 161 240 28914 1771 2700 322915 56 90 106

Tabela 3: Plimpton 322, pitagorejske trojke.

3-kratnike, …, 59-kratnike vseh števil od 1 do 59. Sestavili so tudi tablicekvadratov in kubov, ki so jih uporabljali za reševanje kvadratnih in kubičnihenačb. Tablice kvadratov so uporabljali tudi za množenje. V ta namen souporabljali enakost

xy =(x+ y)2 − (x− y)2

4.

Z njeno pomočjo so znali rešiti sistem enačb x + y = a, xy = b za pozitivništevili a in b. Zgornja enakost nam da enačbo b = a2/4− ((x−y)/2)2. S temdobimo sistem linearnih enačb

x+ y

2=

a

2,

x− y2

=

√(a

2

)2− b.

15

𒁹 𒐋 𒌋𒐈 𒁹 𒌋𒐍𒈫 𒌋𒈫 𒌋𒃻 𒁹 𒌋𒌋𒃻𒐈 𒌋𒐍 𒌋𒐊 𒁹 𒌍𒃻 𒌋𒌋𒃻 𒌋𒐋 𒁹 𒌍𒐋𒐊 𒌍 𒌋𒐌 𒁹 𒐏𒈫𒐋 𒌍𒐋 𒌋𒐍 𒁹 𒐏𒐍𒐌 𒐏𒈫 𒌋𒐎 𒁹 𒐐𒃻𒐍 𒐏𒐍 𒌋𒌋 𒈫𒐎 𒐐𒃻 𒌋𒌋𒁹 𒈫 𒐋𒌋 𒁹 𒌋𒌋𒈫 𒈫 𒌋𒈫𒌋𒁹 𒁹 𒐋 𒌋𒌋𒐈 𒈫 𒌋𒐍𒌋𒈫 𒁹 𒌋𒈫 𒌋𒌋𒃻 𒈫 𒌋𒌋𒃻

Tabela 4: Mnogokratniki števila 6.

Tega ni težko rešiti:

x =a

2+

√(a

2

)2− b, y = a

2−

√(a

2

)2− b.

Seveda so problem znali rešiti le za primer a2 ≥ 4b. Odštevanje večjegaštevila od manjšega ni imelo za Babilonce nobenega pomena.

5 Tablice obratnih vrednosti, koreniBabilonci so sestavili tudi tablice obratnih vrednosti glede na število 60. Topomeni tablice števil x, y, za katere je xy = 60.

V drugem tisočletju pred našim štetjem so v Babiloniji računali kvadratnikoren pozitivnega števila N po približni, iterativni metodi. Najprej so prib-

16

𒁹 𒁹𒁹 ; 𒐋 𒐏 𒐐𒃻𒁹 ; 𒌋𒈫 𒐐𒁹 ; 𒌋𒐊 𒐏𒐍𒁹 ; 𒌋𒌋 𒐏𒐊𒁹 ; 𒌍 𒐏𒁹 ; 𒐏 𒌍𒐋

𒁹 ; 𒐐𒈫 𒌍 𒌍𒈫𒈫 𒌍

𒈫 ; 𒌋𒐈 𒌋𒌋 𒌋𒌋𒐌

Tabela 5: Obratne vrednosti glede na število 60.

ližno z x1 > 0 ocenili√N , nato pa po formuli

xn+1 =1

2

(xn +

N

xn

), n = 1, 2, 3, . . . ,

računali boljše in boljše približke za√N . Vse so seveda delali v šestde-

setiškem številskem sistemu.Do rekurzivne formule so prišli s preprostim sklepanjem. Če je x1 že√

N , potem je N/x1 = x1 in račun je končan. Če pa je x1 <√N , potem je

N/x1 > x1; če je x1 >√N , potem je N/x1 < x1. Boljši približek x2 je nekje

vmes med x1 in N/x1. Najbolje je vzeti kar aritmetično sredino števil x1 inN/x1:

x2 =1

2

(x1 +

N

x1

).

Nato isto zgodbo ponovimo s približkom x2, da dobimo približek x3 in po-navljamo do želene natančnosti

√N . V resnici ni hudo važno, kaj vzamemo

za x1.Izračunajmo na primer v desetiškem številskem sistemu po babilonskem

17

postopku kvadratni koren števila 𒐊 𒐏𒈫 𒐐𒐋 𒐌 , to pomeni√5 · 603 + 42 · 602 + 56 · 60 + 7 =

√1 234 567

na 6 decimalk.Prvi, grobi približek za

√1 234 567 dobimo, če števke pod korenom razde-

limo na skupine po dve z desne proti levi, izberemo najbližji naravni prib-ližek kvadratnega korena skupine skrajno levo, nato pa mu pripišemo nadesni toliko ničel, kolikor je preostalih skupin:

√1|23|45|67 .= 1000 = x1.

Nato računamo iterativno približke xn po rekurzivni formuli, kjer vzamemoN = 1234 567, in jih zapišemo v tabelo:

n xn

1 1 000,0000002 1 117,2835003 1 111,1277574 1 111,1107055 1 111,110705

Tabela 6: Iterativno računanje kvadratnega korena.

Četrti in peti približek se ujemata že na 6 decimalk, zato je zagotovo na6 decimalk

√1 234 567

.= 1111, 110705. Malo po naše, malo po babilonsko

lahko zapišemo:√𒐊 𒐏𒈫 𒐐𒐋 𒐌 .= 𒌋𒐍 𒌍𒁹 ; 𒐋 𒌍𒐍 𒌍𒈫 𒌋𒐋 𒐏𒐍

Rekurzivno formulo za izračun√N lahko opravičimo tudi drugače. Za-

pišemo N = a2 + b, kjer sta a in b pozitivni števili, b < a2. Potem velja√N =

√a2(1 + b/a2) = a

√1 + b/a2 ≈

≈ a(1 + b/(2a2)) = a+ b/(2a) = (1/2)(a+ a+ b/a) = (1/2)(a+N/a).

Pri tem smo uporabili prva dva člena v razvoju funkcije x 7→√1 + x v

Maclaurinovo vrsto:√1 + x = 1 + x/2− x2/8 + . . .

18

Iz grafov funkcij x 7→√1 + x in x 7→ 1 + x/2 vidimo, da je približek 1 + x/2

vedno večji od√1 + x razen za x = 0. Zato je približek a + b/(2a) večji od√

a2 + b.

Slika 3: Graf korenske funkcije s tangento.

Hitro se vidi, da primer x21 = N potegne za sabo konstantno zaporedjex1 = x2 = x3 = . . . =

√N . Zato obravnavajmo primer x21 ̸= N . Tedaj

konvergira opisano zaporedje približkov x1, x2, x3, . . . proti√N , kar lahko

dokažemo s teorijo zaporedij. V vsakem primeru je zaporedje navzdol ome-jeno, saj so vsi členi pozitivni. Spodnjo mejo lahko natančno izračunamo.Za n ≥ 1 je namreč

xn+1 =1

2

(xn +

N

xn

)>

√xn ·

N

xn=

√N,

kjer smo upoštevali, da geometrijska sredina dveh pozitivnih števil ne presegaaritmetične sredine istih dveh števil. Velja torej relacija xn ≥

√N za vse

n ≥ 2. Za take n pa velja še

xn − xn+1 = xn −1

2

(xn +

N

xn

)=

1

2

(xn −

N

xn

)=

x2n −N2xn

> 0.

Zaporedje je padajoče in navzdol omejeno. Po osnovnem izreku za realnazaporedja obstaja x = limn→∞ xn. Iz rekurzije potem dobimo enačbo x =(x+N/x)/2, ki ima pozitivno rešitev x =

√N .

19

Slika 4: Namesto ničle funkcije iščemo ničle linearnega približka funkcije.

Približne ničle zveznih in odvedljivih funkcij f včasih računamo s tan-gentno ali Newtonovo metodo. Pri njej namesto ničle funkcije zaporednoiščemo ničle linearnega približka funkcije v približkih (slika 4). Če je x1približek ničle funkcije f , potem z rekurzijo

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

računamo naslednje približke. Za računanje√N vzamemo funkcijo f : x 7→

x2 −N in dobimo

xn+1 = xn −x2n −N2xn

=1

2

(xn +

N

xn

),

kar je ista rekurzija kot prva.Na znameniti ploščici YBC 7289 je zapisan približek za

√2. Babilonski

matematik ga je verjetno izračunal z rekurzijo

xn+1 =1

2

(xn +

2

xn

), x1 =

3

2= 1; 30.

Dobil je približka

x2 =17

12= 1; 25, x3 =

577

408= 1; 24 51 10

20

Slika 5: Zaporedni približki za√N .

in slednjega vpisal ali dal vpisati na glinasto ploščico kot 𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋 .Rekurzijo za izračun

√N lahko obravnavamo tudi z Banachovim skrčit-

venim načelom. Funkcija f : x 7→ (x + N/x)/2 iz poltraka [√N/3,∞] vase

namreč krči prostor: če sta x′ in x′′ poljubni števili tega poltraka, potem poizreku o povprečni vrednosti med njima leži število ξ, odvisno od x′ in x′′,tako da velja zveza

f(x′′)− f(x′) = f ′(ξ)(x′′ − x′).

Odvodf ′(x) =

1

2

(1− N

x2

)pa za vsak x ∈ [

√N/3,∞] po absolutni vrednosti ne presega 1/2, tako da

velja relacija|f(x′′)− f(x′)| < 1

2· |x′′ − x′|.

Funkcija f ima na poltraku natančno eno negibno točko x, kar pomeni:

x =1

2

(x+

N

x

).

Za rešitev te enačbe, dobimo x =√N . Skrčitveno načelo pove še več:

če izberemo poljubno točko x1 na poltraku [√N/3,∞], potem zaporedje

21

x1, x2, x3, . . ., ki ga dobimo z rekurzijo xn+1 = f(xn), konvergira proti ne-gibni točki funkcije x =

√N . To se lepo vidi na sliki 5, kjer se stopnice med

krivuljo y = f(x) in premico y = x spuščajo proti točki (√N,

√N).

Banachovo skrčitveno načelo se da formulirati v splošnem polnem metričnemprostoru. Ime je dobilo po poljskem matematiku Stefanu Banachu (1892–1945).

6 Zametki algebreBabilonci so reševali v povezavi s konkretnimi problemi linearne enačbe, patudi kvadratne enačbe oblike

x2 + px = q,

x2 = px+ q,

x2 + q = px

s pozitivnimi koeficienti p, q, r. Lotili pa so se tudi kubičnih enačb tipa

ax3 + bx2 = c

s pozitivnimi koeficienti a, b, c. V vseh primerih so jih zanimale le pozitivnerešitve. V tistih časih namreč še niso poznali negativnih števil, pa tudi neštevila nič.

Znan je tudi primer transcendentne enačbe, do katere so prišli pri prob-lemu iz denarništva. Vprašali so se, po kolikem času naraste kapital nadvakratno vrednost pri letni obrestni meri 20 %? Problem nas privede doenačbe (

1 +1

5

)x= 2.

Našli so oceno za rešitev: 3 < x < 4. S približnimi metodami ugotovimo:

x = 4 leta − 2; 22 42 55 46 meseca.

Če drugega ne, vsaj sedaj vemo, da so Babilonci operirali z zelo visokimiobrestmi, ki pa niti niso bile tako oderuške, kot jih dandanes terja marsikateriposojilodajalec.

22

7 Primerjava z egipčanskim zapisomStari Egipčani so za zapis števil uporabljali naslednje znake:

| = 1, 2 = 10, 3 = 100, 4 = 1 000, 5 = 10 000, 6 = 100 000, 7=1 000 000.Znak za 1 je palčka, ki je tudi v drugih kulturah najbolj pogost znak za toštevilo. Egipčani so ga pisali pokončno, nekatera ljudstva pa tudi vodoravno.Za število 10 so Egipčani uvedli znak, ki spominja na podkev, za 100 na koszvite vrvi, za 1 000 na lotus, za 10 000 na človeški prst, za 100 000 na žabjegapaglavca, včasih kar žabo, in za 1 000 000 na človeka, morda tudi na nekobožanstvo v posebni telesni pozi. Za števila od 1 do 9 so Egipčani zapisaliustrezno število znakov |, za 10-kratnike teh števil ustrezno število znakov 2in tako naprej. Zaradi varčevanja s prostorom so znake zapisovali tudi eneganad drugim, na primer:

|||| = |||| = 4, |||||| = |||||| = 6, 2222 = 2222 = 40, 222222 = 222222 = 60.Večja števila so zapisovali preprosto, z združevanjem ustrezno mnogo os-novnih števk, na primer:

442||||| = 442||||| = 2015.Pomanjkljivost egipčanskega zapisa števil je v kar sedmih osnovnih znakih,

s katerimi lahko zapišemo največje število 9 999 999, ki niti ni videti posebnozapleteno:

777777777

666666666

555555555

444444444

333333333222222222 |||||||||

Za zapis večjih števil bi morali vpeljati dodatne simbole za 10 milijonov,100 milijonov in tako naprej. To ne pomeni, da so bili Egipčani slabi mate-matiki. Razvili so metode računanja, geometrijo, astronomijo, vse za prak-tične potrebe njihovega življenja in dela. Dokazovali niso ničesar. Na srečose je ohranilo precej zapisov na papirusu in v kamnu, na stenah svetišč ingrobnic, iz katerih se da razbrati, s čim so se ukvarjali. Za matematiko stapomembna ohranjena Rhindov ali Ahmesov papirus in moskovski papirus.Prvi je nastal okoli leta 1650 pne., drugi je starejši, nastal okoli leta 1850

23

pne. Vsebujeta veliko konkretnih primerov, kako se nekaj izračuna. Vsekakoregipčanski način zapisovanja števil ni bil primeren za napredek matematike.Tudi grški in hebrejski zapis s črkami ni bil dosti boljši, da o rimskem splohne govorimo.

Babilonski zapis števil, čeprav s 59 simboli (glej tabelo 1), ki so sicersestavljeni samo iz dveh osnovnih, 𒁹 in 𒌋 , je bil naprednejši, ker je bilzgrajen na principu mestnih vrednosti. Čudno, da ga niso prevzeli Grki, kiso se od Babiloncev naučili marsikaj. Babilonski in egipčanski zapisi teh 59števil so si zelo podobni. Nekaj primerov je zbranih v tabeli 7.

31 𒌍𒁹 222|32 𒌍𒈫 222||33 𒌍𒐈 222|||34 𒌍𒃻 222||||35 𒌍𒐊 222|||||36 𒌍𒐋 222||||||37 𒌍𒐌 222|||||||38 𒌍𒐍 222||||||||39 𒌍𒐎 222|||||||||40 𒐏 222250 𒐐 2222299 𒁹 𒌍𒐎 222222222|||||||||

999 𒌋𒐋 𒌍𒐎 333333333222222222|||||||||

Tabela 7: Babilonske in egipčanske številke.

Težko je reči, ali so se Indijci od njih naučili mestnega zapisa ali obratno,dejstvo je, da so Indijci poznali mestni zapis, za osnovo pa so vzeli manjšeštevilo 10. Poleg tega so vpeljali znak za ničlo in jo priznali za število.

24

Tudi računanje z indijskimi številkami je bilo lažje kot z babilonskimi. Zamnoženje s slednjimi je tudi poštevanka dosti bolj obširna. V obeh sistemihpa lahko zapišemo s končno mnogo znaki poljubno veliko naravno število.Zapis z mestnimi vrednostmi se je dobro obnesel in bistveno pripomogel khitrejšemu razvoju matematike.

Pogosto menjavanje vladajočega naroda in jezika v Mezopotamiji, pri če-mer pa so klinopisna znamenja ostala, le izgovarjala so se različno, je pripo-mogla k nekakšni mali internacionalizaciji matematičnih znakov na tistempodročju za daljše obdobje. To je nekaj podobnega kot na primer danes, koceli svet uporablja iste simbole za števila in osnovne računske operacije.

Za pisanje egipčanskih številk v TEX-u uporabimo paket hieroglf, ki jesestavni del debelega MikTEX-a in ga vključimo v preambuli dokumenta zukazom

\usepackage{hieroglf}

Osnovni ukaz, ki nam da egipčanski številski znak, je \pmglyph. Za temukazom v zavitem oklepaju sledijo znaki na tipkovnici.

Za 1 uporabimo znak |, z ukazom \pmglyph{|} dobimo |,za 10 uporabimo znak 2, z ukazom \pmglyph{2} dobimo 2,za 100 uporabimo znak 3, z ukazom \pmglyph{3} dobimo 3,za 1 000 uporabimo znak 4, z ukazom \pmglyph{4} dobimo 4,za 10 000 uporabimo znak 5, z ukazom \pmglyph{5} dobimo 5,za 100 000 uporabimo znak 6, z ukazom \pmglyph{6} dobimo 6,za 1 000 000 uporabimo znak 7, z ukazom \pmglyph{7} dobimo 7.Znake ločimo z -, posamezna nadstropja pišemo v zavite oklepaje, nad-

stropja pa ločimo z dvopičjem :. Ukaz

{\Huge\pmglyph{{2-2}:{2}-{|-|}:{|-|}}}

nam na primer da število 34 v obliki

25

222 ||||Tudi stari Egipčani so nam zapustili nekaj lepih pesmi, na primer Pesem

nosačev žita. V slovenščino jo je prevedel Gregor Strniša, sliši pa se takole:

Snope in belo žitonosimo dan za dnem.Kašče prepolne so,polne vse ladje.Zrnje že teče čez krov.Nas pa še zmeraj priganjajo.Lačni in sključeni stopamo.Naša pleča so bron,naša srca so bron,ko nosimo dan za dnem.

Razen delovnih pesmi so Egipčani gojili tudi ljubezensko liriko in re-ligiozne himne. Njihovo prozo sestavljajo razne modrosti, poduki, izreki,zgodovinska poročila, pravljice in novele. Hieroglifno pisavo je leta 1822razvozlal Jean-François Champollion (1770–1832).

8 Egipčanski ulomkiUlomke so stari Egipčani pisali na svojevrsten način. Vse so izrazili kot vsotoulomkov s števcem 1. Tega števca seveda potem niso pisali. Za ulomkovočrto so uporabljali znak r. Primeri:

1

3=r||| , 1

4=r|||| , 5

12=

1

4+

1

6=r||||r|||||| .

Za nekatere ulomke so obstajali posebni znaki, na primerM za 1/2 inrsza 2/3. Če je bil imenovalec sestavljen iz veliko znakov, so znak r zapisalisamo nad prvimi, na primer

r333222222 za 1/360.26

Dandanes ulomkom s števcem 1 pravimo egipčanski ulomki. O njih seje razvila cela teorija. Dokazati se da, da lahko vsak pravi ulomek, ki gasestavljata naravni števili, zapišemo kot vsoto egipčanskih ulomkov. Zapisni enoličen. Ulomek 5/7 na primer lahko zapišemo kot 1/2 + 1/7 + 1/14 alipa kot 1/2 + 1/6 + 1/21.

V resnici tudi desetiški zapis decimalnih števil ni enoličen, saj lahkopišemo na primer

1

2= 0, 5 = 0, 49,

kjer črtica nad 9 pomeni neskončno ponavljanje decimalke 9. Res je

0, 49 =4

10+

9

100+

9

1000+ . . . =

4

10+

9

100· 1

1− 110

=4

10+

9

90=

5

10= 0, 5.

Pri tem smo po znani formuli sešteli neskončno geometrijsko vrsto.Egipčani so te ulomke pisali v padajočem zaporedju, tako da je bil na

prvem mestu ulomek z najmanjšim imenovalcem, na zadnjem pa tisti z naj-večjim. Primer: ulomek 2/7 = 1/4 + 1/28 lahko zapišemo kotr|||| r22||||||||Včasih so se stari Egipčani zadovoljili tudi s približnim zapisom ulomka

kot vsoto egipčanskih ulomkov. To pomeni, da njihova vsota ni čisto točnoenaka danemu ulomku. Kakorkoli že, računanje ni bilo ravno lahko. V tanamen so že sestavljali potrebne tabele. Rhindov papirus na primer vsebujetabelo razvojev nekaterih ulomkov oblike 2/n za lihe n v vsoto egipčanskihulomkov.

Predstavljajmo si, da bi morali v astronomiji pisati efemeride z egipčan-skimi ulomki. Ali pa sestaviti tabele trigonometričnih funkcij. To ne bi bilonič kaj prijetno delo. Efemeride so zbirke podatkov, ki povedo, kje so vdoločenem obdobju nebesna telesa na nebu, kdaj so Sončevi in Lunini mrki,kdaj vzideta oziroma zaideta Sonce in Luna in podobno. Sama beseda efe-merida je nastala iz rodilnika ἐϕημερίδος grškega samostalnika ἐϕημερίς, kipomeni dobesedno dnevnik, zapiski in je zlepek predloga ἐπί, kar pomeni na,in samostalnika ἡμέρα, dan, čas.

27

Stari Grki so tudi nekaj časa pisali ulomke, λεπτά, na egipčanski način,seveda s svojimi simboli za številke, ne pa s hieroglifi. Zanimiv je Diofant izAleksandrije (200/214–284/298), Διόϕαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, ki je pri ulomkihštevec pisal pod imenovalec, mi pa dandanes ravno obratno. Nismo pa popol-noma prepričani, če je uporabljal tudi ulomkovo črto.

9 Babilon po BabilonuBabilon je postal v času vladanja (550–530 pne.) Kira Velikega (600–529pne.) znanstveno središče, kjer sta se razvijali matematika in astronomija,izdelovali so zvezdne karte in sestavljali tabele. Leta 331 pne. je Babilonzavzel Aleksander Veliki (356–323 pne.), ki je tam po pohodu do Indije innazaj tudi umrl. Že pred njegovo smrtjo je začel Babilon stagnirati.

Od Egipčanov in Babiloncev so se tudi Grki marsikaj naučili, na primerfilozof, matematik in astronom Tales iz Mileta (624–546 pne.), Θαλῆς ὁΜιλήσιος, eden od sedmerice modrih. Babilonski šestdesetiški številski sis-tem je preživel kljub propadu Babilona, zlasti v astronomiji. Kot vemo, sože Babilonci polni kot razdelili na 360 stopinj, stopinjo na 60 minut, minutona 60 sekund. Tako razdelitev uporabljamo še danes. V grškem svetu pasta jo v 2. stoletju pne. uvedla Hipsikles, ῾Υψικλῆς, matematik in astronom,ter Hiparh, ῞Ιππαρχος, matematik, astronom in geograf. Hiparh je izračunaltabelo tetiv, ki v krogu ustrezajo središčnim kotom od 7◦30′ do 180◦ na vsake7◦ 30′, kar je četrtina kota 30◦.

Tako kot stari Grki niso bili politično složni, si niso bili enotni niti vjeziku niti v pisavi. Tudi števila so zapisovali različno. Oglejmo si samonjihov alfabetični aleksandrijski način, kot kaže tabela 8.

Število so zapisali z nizanjem osnovnih številk z leve proti desni v pada-jočem vrstnem redu. Vsota vseh je bilo dano število, na primer 365 = τξεʹ.Za razločevanje števil od običajnih besed so uporabljali črtico (ʹ) za številomzgoraj do 999, od 1 000 naprej pa črtico (͵) pred številom spodaj. Najdemopa tudi zapise števil z daljšo črto zgoraj, na primer σνα za 251.

V tem sistemu lahko pišemo tisoče, χίλιοι, in deset tisoče, μύριοι. Največje

28

1 2 3 4 5 6 7 8 9αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ

10 20 30 40 50 60 70 80 90ιʹ κʹ λʹ μʹ νʹ ξʹ οʹ πʹ ϙʹ

100 200 300 400 500 600 700 800 900ρʹ σʹ τʹ υʹ ϕʹ χʹ ψʹ ωʹ ϡʹ

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000͵α ͵β ͵γ ͵δ ͵ε ͵ϛ ͵ζ ͵η ͵θ

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000͵ι ͵κ ͵λ ͵μ ͵ν ͵ξ ͵ο ͵π ͵ϙ

Tabela 8: Osnovne grške številke.

število, ki se ga da zapisati v tem sistemu, je 99 999: ͵ϙ͵θϡϙθʹ.Okrogle deset in sto tisoče so Grki izražali v deset tisočih, mirijadah (M).

Presežke nad mirijadami so dopisali. Število 315 467 pišemo kot 315 467 =31 · 10 000 + 5 467. Grk bi napisal število 315 467 v obliki

λα

M͵ευξζʹ.Za šestdesetiški zapis je bil grškim astronomom pomemben šestdesetiški

ulomek. Šestdesetina je šestdeseti del (ἑξηκοστὰ τμήμα, λεπτά, tenka, drobna,majhna, latinsko minuta) celote. To je prva (πρῶτα) delitev. Druga delitev jedelitev šestdesetine celote na šestdesetine (δεύτερα ἑξηκοστά, druga, latinskosecunda). Lahko bi to počeli še s tretjo, četrto, … delitvijo. Zato še danesuporabljamo besedi minuta, sekunda.

Šestdesetiški številski sistem je veliko uporabljal Klavdij Ptolemaj (90–168),Κλαύδιος Πτολεμαῖος, aleksandrijski matematik, astronom, astrolog in ge-ograf. Napisal je veliko del, ki so bila še dolgo časa pomembna za islamsko inevropsko znanost. Njegovo najpomembnejše delo je Matematična razprava,Μαθηματικὴ σύνταξις, ki je postalo bolj znano kot Velika razprava, ῾Η μεγάλησύνταξις, in celo Največja razprava, ῾Η μεγίστη σύνταξις. Arabski prevodima zato naslov ù¢j. ÒË@, iz grškega ženskega presežnika μεγίστη, največja,prevod iz arabščine v latinščino pa Almagest. Ptolemaju gre zasluga, da jeza več kot tisoč let postavil geocentrični svetovni sistem.

29

Almagest med drugim vsebuje tabele dolžin tetiv, ki ustrezajo v krogu spolmerom 60 enot (delov, τμήματα) izbranim središčnim lokom. Če ustrezaloku središčni kot α, je tedaj tetiva AB dolga 120 sinα/2.

Slika 6: Tetiva, lok in ustrezni središčni kot.

Z vpeljavo funkcije crd, ki središčnemu kotu α v krogu s polmerom 60priredi tetivo AB, lahko zapišemo |AB| = crdα = 120 sinα/2. Potem jecrd(180◦−α) = 120 cosα/2 in enakost, analogna enakosti sin2 α+cos2 α = 1,se glasi:

crd2 α + crd2(180◦ − α) = 1202.

Enakost lahko vidimo tudi kot posledico Pitagorovega in Talesovega izreka(slika 7). Ime funkcije crd izhaja iz grške besede χορδή, črevo, struna izčrev. Tetiva je namreč videti kot struna, napeta na krožni lok. Funkcijacrd je dolgo služila namesto sinusa, ki je prišel iz Indije. Sinus kota je vsodobni matematiki v enotskem krogu dolžina polovične tetive, ki ustrezapolovičnemu središčnemu kotu cele tetive.

Tabelo tetiv, ki ustrezajo krožnim lokom od 1/2 ◦ do 180◦ na vsake polstopinje, je Ptolemaju uspelo sestaviti zato, ker je obvladal tetive lokov72◦, 36◦, 54◦, 18◦, 9◦ v pravilnem petkotniku. Seveda je obvladal tudi tetivelokov 30◦, 60◦, 45◦, 15◦, 75◦, s tem pa tudi 3◦, 1◦ 30′, 45′. Z interpolacijo jenašel tetive lokov 1◦ in 30′. Veliko točnejšo vrednost tetive za 1◦ je izračunal

30

Slika 7: Tetivi suplementarnih središčnih kotov.

šele Al Kaši (1380–1429), ki je uporabil povsem drugačen prijem kot Ptole-maj, namreč metodo zaporednih približkov, ki je taka kot tista za izračunkvadratnih korenov po babilonski metodi, samo zaporedne približke dobimopo drugačnem predpisu. Al Kaši je sin 3◦ izrazil s sin 1◦ in dobil za slednjekubično enačbo, ki jo je potem reševal z metodo zaporednih približkov, ki darezultat s tako natančnostjo, kot jo želimo.

α crdα ∆ crdα/∆απδ̸ ′ π μα γ O O μϛ κεπε πα δ ιε O O μϛ ιδπε̸ ′ πα κζ κβ O O μϛ γ

Tabela 9: Del tabele tetiv.

Posamezne seksagezimale v šestdesetiškem številskem sistemu je Ptolemajnapisal z grškimi številkami. Seksagezimalo, ki je enaka 0, je označil z O (odοὐδέν, nič), za razliko od o, ki lahko pomeni tudi število 70. Celega dela nipisal v šestdesetiškem sistemu. Ptolemaj je poznal adicijske izreke za svojekotne funkcije, ki jih je dobil z izrekom, ki se imenuje po njem: v konveksnemtetivnem štirikotniku je vsota produktov nasprotnih stranic enaka produktu

31

diagonal.Za eno polovico je Ptolemaj uporabljal znak ̸ ′, ki spominja na ustrezni

egipčanski znakM. Njegove tabele tetiv štejejo 360 vrstic. Tabele so razdel-jene na tri glavne stolpce. V prvem so loki, lahko bi danes rekli tudi središčnikoti α na vsake pol stopinje (∆α = 1/2 ◦), v drugem ustrezne tetive crdα,izražene s celim delom in necelim delom s prvima dvema seksagezimalama,v tretjem pa količniki ∆ crdα/∆α = (crd(α + ∆α) − crdα)/∆α, ki služijolinearni interpolaciji za kote, ki jih ni v tabelah.

V glavi tabel v resnici piše namesto naših treh oznak po vrsti: περιϕερειῶν,εὐθειῶν in ἑξηκοστῶν. To so rodilniki množine samostalnikov περιϕερεία,obod, krog, lok, εὐθεῖα, ravna črta, tetiva, in ἑξηκοστά, šestdesetina.

Zanimivo je pogledati ujemanje Ptolemajevih tetiv v njegovih tabelah zanekatere loke.

α crdα ∆ crdα/∆αα α β ν O α β νξ ξ O O O O νδ καϙ πδ να ι O O μδ κρκ ργ γε κγ O O λα ιηλϛ λζ δ νε O O νθ μγ

Tabela 10: Tetive za nekatere loke.

Za lok 60◦, po Ptolemaju μοιρῶν ξ, je rezultat eksakten, saj je crd 60◦ =120 sin 30◦ = 60, torej je tetiva dolga ξ delov. To je seveda prav, saj jetrikotnik SBA v tem primeru enakostraničen.

Za lok 1◦ je tetiva po njegovih tabelah dolga

crd 1◦ .= 1; 2 50 = 1 + 260

+50

3600=

377

360.

To tetivo imamo lahko za stranico pravilnega 360-kotnika, ki je včrtan krogu spolmerom 60. Obseg tega pravilnega 360-kotnika je približno 360 ·377/360 =377. Razmerje tega obsega s premerom kroga je približek za število π =

32

3, 141592653 . . .:

π.=

377

120= 3; 8 30 = 3 +

8

60+

30

3600= 3.1416.

Za lok 90◦, po Ptolemaju μοιρῶν ϙ, je tetiva po njegovih tabelah dolgapribližno

84; 51 10 = 84 +51

60+

10

3600=

30547

360.

Točna dolžina te tetive pa je crd 90◦ = 120 sin 45◦ = 60√2. Iz tega sledi

Ptolemajev približek√2

.=

30547

21600= 1; 24 51 10 = 1 +

24

60+

51

3600+

10

216000= 1, 4142129629.

Točneje je√2

.= 1, 414213562373.

Za lok 120◦, po Ptolemaju μοιρῶν ρκ, je tetiva po njegovih tabelah dolgapribližno

103; 55 23 = 103 +55

60+

23

3600=

374123

3600.

Točna dolžina te tetive pa je crd 120◦ = 120 sin 60◦ = 60√3. Iz tega sledi

Ptolemajev približek√3

.=

374123

216000= 1; 43 55 23 = 1 +

43

60+

55

3600+

23

216000= 1, 7320509259.

Točneje je√3

.= 1, 732050807568877. Ujemanje je kar dobro in zato ni

čudno, če so bile Ptolemajeve tablice dovolj točne za kar nekaj stoletij.Za vajo izračunajmo še crd 36◦. Kot 36◦ med seboj oklepata diagonali v

vsakem oglišču pravilnega petkotnika. Vemo pa, da je v pravilnem petkot-niku razmerje diagonale d in stranice a enaka znamenitemu zlatemu razmerjuτ = (1 +

√5)/2. Iz enakokrakega trikotnika ABD na sliki 8 dobimo, če vza-

memo d = 60, za stranico a = d/τ in zato je

crd 36◦ = a = 60/τ = 30(√5− 1) .= 37.08203932 = 37; 4 55 20.

Klavdij Ptolemaj ima v Almagestu pod lokom 36◦ (λϛ) napisano za tetivo vnaših znakih 37; 4 55, kar se ujema z našim rezultatom na dve seksagezimali.

33

Slika 8: Pravilni petkotnik.

Evklid, Εὐκλείδης, v svojih Elementih, Στοιχεῖα, ne uporablja izraza zlatorazmerje, ampak skrajno in srednje razmerje, ἄκρος καὶ μέσος λόγος. V ob-dobju renesanse so temu razmerju rekli divina proportione, göttliche Propor-tion, božansko razmerje.

Slika 9: Uporaba Ptolemajevega izreka.

Izpeljimo še eno enakost v jeziku Ptolemajevih tetiv. V krogu s polmerom60 enot narišemo središčni kot α in pripadajočo tetivo EC, kot kaže slika

34

9. Simetrala s te tetive seka krožnico v točkah A in B. Simetrala s sekapremer kroga DE v njegovem središču S po kotom α/2. Daljica DC je zatovzporedna simetrali s in tetivni štirikotnik ABCD je enakokrak trapez. Zanjvelja Ptolemajev izrek:

|AB| · |DC|+ |AD| · |BC| = |AC| · |BD|.

Ker je |AB| = 120, |DC| = crd(180◦ − α), |AC| = |BD| = crd(180◦ − α/2))in |AD| = |BC| = crdα/2, velja:

120 crd(180◦ − α) + crd2 α/2 = crd2(180◦ − α/2).

Ker sta trikotnika DEB in DEC pravokotna, veljata še enakosti

crd2 α/2 + crd2(180◦ − α/2) = 1202, crd2 α + crd2(180◦ − α) = 1202,

tako da imamo

120 crd(180◦ − α) + crd2 α/2 = 1202 − crd2 α/2.

Iz tega sledi enakost:

crd2 α/2 = 60(120−√1202 − crd2 α).

Dobljeni rezultat izkoristimo za izračun crd 18◦. Najprej je

crd2 18◦ = 60(120−√1202 − crd2 36◦) = 60

(120−

√1202 − 302(

√5− 1)2

).

Po poenostavitvi dobimo stranico pravilnega dvajsetkotnika, ki je včrtankrogu s polmerom 60:

crd 18◦ =

√√√√√60120−

√120− 30

√10 +

√5

.V šestdesetiškem številkem sistemu je to

crd 18◦ .= 18; 46 19 41 = ιη; μϛ ιθ μα.

35

V Almagestu imamo rezultat zapisan na dve seksagezimali, ki se z našimaprvima dvema lepo ujemata.

Babilonski način zapisovanja števil so še precej časa uporabljali, sčasomapa je prevladal desetiški številski sistem in indijsko-arabske števke. Omenimoše Al Kašija, ki je izračunal število 2π po arhimedski metodi na oba načina.V šestdesetiškem sistemu je dobil na 9 seksagezimalk

2π.= 6; 16 59 28 1 34 51 46 14 50.

Preračunano v decimalni sistem dobimo:

2π.= 6, 28318530717958648.

Dandanes poznamo število π na milijarde decimalk. Napišimo število 2π namalo več seksagezimalk in decimalk, kot jih je v Al Kašijevem približku:

2π.= 6; 16 59 28 1 34 51 46 14 49 55 12 35 26 8 58 14 20 7,

2π.= 6, 283185307179586476925286766559005768394.

Vidimo, da je 16 decimalk v al Kashijevem približku točnih. V številu točnihdecimalk je Al Kašija po dolgotrajnem računanju, po arhimedski metodi,prehitel šele leta 1596 Ludolph van Ceulen (1540–1610), po katerem pogostoimenujejo število π kar Ludolfovo število.

Al Kaši je izračunal tudi tabelo sinusov kotov za vsako kotno stopinjona 4 seksagezimalna mesta natančno. Trigonometrične tablice vsake vrste sov glavnem uporabljali astronomi. V islamskem svetu so vsakovrstne zbirketabel in navodil za astronomijo imenovali zidž, perzijsko i. K P. V Evropise za zidž dolgo niso zanimali, potrebe geografije, geodezije in astronomijepa so zahtevale čedalje bolj natančne tabele, boljše od Ptolemajevih. PrviEvropejec, ki je storil korak naprej, je bil Georg von Peuerbach (1423–1461),profesor astronomije na dunajski univerzi. Sestavil je tabele sinusov, ki jih ješe izboljšal Johannes Müller (1436–1476), znan tudi kot Regiomontanus. Bilje vsestranski nemški matematik, astronom, astrolog, prevajalec, izdelovalecinštrumentov in škof. Izračunal je sinuse kotov za vsako kotno minuto innapisal pet knjig o trigonometriji in njeni uporabi pri razreševanju trikot-nikov, ravninskih in sfernih.

36

Za konecObravnave babilonskega zapisa števil sicer nismo tako načrtno in lepo razdelili,kot piše o rešilni ladji v zgodbi o vesoljnem potopu v Epu o Gilgamešu:

Napravil sem načrt in ga zarisal:šest stropov sem vrisal vanjo,na sedem nadstropij sem jo razdelil.

Upajmo pa, da smo kljub vsemu dovolj lepo pokazali, zakaj pri tem gre.Nekoliko smo se sprehodili skozi zgodovino matematike in vsaj bežno spoz-nali, da so ljudje pred štiri tisoč leti znali šteti, zapisovati števila in z njimiračunati ter da še danes vsaj deloma uporabljamo šestdesetiški številski sis-tem. Za bolj natančen študij zgodovine matematike pa so na voljo bogataliterarna dela. Pokazali smo tudi, da lahko ob računalniku sami napišemokakšno besedilo iz zgodovine matematike. Za ilustracijo smo oblikovali ma-gični kvadrat, kakršnega je upodobil Albrecht Dürer (1471–1528) iz Nürn-berga na svoji znameniti grafiki Melencolia I. Dürer je bil slikar, grafik,matematik in teoretik. V magični kvadrat smo za vajo pustavili babilonske

𒃻 𒌋𒐊 𒌋𒃻 𒁹

𒐎 𒐋 𒐌 𒌋𒈫

𒐊 𒌋 𒌋𒁹 𒐍

𒌋𒐋 𒐈 𒈫 𒌋𒐈

Slika 10: Dürerjev magični kvadrat.

klinopisne številke. Če jih seštejete po vrsticah, stolpcih in obeh diagonalah,dobite vselej 34, 𒌍𒃻 . Seštevamo lahko posebej enice in desetice.

37

Literatura in spletni viri[1] M. Avsenak (prev.), Ep o Gilgamešu, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1963.[2] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, New York, 2008.[3] U. C. Merzbach, C. B. Boyer, A history of mathematics, Third edition,

John Wiley & Sons, Hobiken, New Jersey, 2011.[4] A. Ostermann, G. Wanner, Geometry by its history, Springer, Heidelberg

in drugje, 2012.[5] C. Ptolemaeus, Syntaxis mathematica, Teubner, Leipzig, 1898.[6] D. Reimer, Count like an Egyptian, A hands-on introduction to ancient

mathematics. Princeton University Press, 2014.[7] D. Richeson, Babylonian cuneiform, 2014, spletni vir.[8] S. Schwartzman, The Words of mathematics, The Mathematical Associ-

ation of America, Washington DC, 1994.[9] J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer, New York in drugje,

2010.

Slika 11: Ura z babilonsko številčnico.

© Dr. Marko Razpet, Ljubljana 2015

38