Kalkulus 1 1

Sistem Bilangan Real

Kalkulus 1 2

1.1 SISTEM BILANGAN REAL Semesta pembicaraan dalam Kalkulus : Himp. Bilangan

Real. Himp. Bilangan Real merupakan gabungan dari himp.

bilangan Rasional dan himp. Bilangan Irasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut:

R = Himp.Bil. Real

Q = Himp.Bil. Rasional

Z = Himp.Bil. Bulat

N = Himp. Bil. Asli Gb. 1.1 Diagram Venn Himpunan Bilangan Real

Kalkulus 1 3

Garis bilangan : Interval dan himpunan

Himpunan Bilangan Real ( R ) secara kongkrit dapat dinyatakan sebagai suatu garis bilangan.

Bagian yang lebih kecil dari garis bilangan disebut interval ( selang ).

R

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Gb. 1.2 Garis bilangan Real

koordinat

2

Kalkulus 1 4

Interval dan Penulisannya

[ , ] |a b x a x b

( , ) |a b x a x b

[ , ) |a b x a x b

( , ] |a b x a x b

( , ) |a x x a

axxa |],(

a b

a b

a b

a b

a

a

interval tutup

interval buka

interval setengah buka

interval setengah buka

interval tak terbatas

interval tak terbatas

),(

R

Kalkulus 1 5

1.2 Pertaksamaan

Bentuk umum pertaksamaan adalah :

(1.1)

dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) suku banyak.

( tanda < dapat diganti oleh : >, , ). Himpunan semua bilangan Real x yang memenuhi

pertaksamaan (1.1) disebut Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang)

A x

B x

C x

D x

( )

( )

( )

( )

Kalkulus 1 6

Cara menentukan himpunan penyelesaian :

Buat ruas kanan (1.1) menjadi nol atau Bentuk menjadi

Faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier dan atau faktor kuadrat definit positif

Tentukan titik pemecah ( pembuat nol ) dari masing-masing faktor linier , lalu gambarkan dalam garis bilangan.

Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval pada garis bilangan

0)(

)(

)(

)(

xD

xC

xB

xA

0)(

)(

xQ

xP

Kalkulus 1 7

Contoh

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari : Jawab :

12

xx

012

xx

0)2)(1(

02 2

x

xx

x

xx

titik pemecah : x=1 , x=-2 , x=0 ++ --- ++ ---

Maka 1,02, Hp-2 10

Kalkulus 1 8

1.3 Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak Definisi nilai mutlak adalah :

Sifat-sifat nilai mutlak :

0,

0,

xx

xxx

|||| yxxy 1. dan 0,||

|| y

y

x

y

x

2. Jika maka 0aaxaax

22 ax axatauaxax

22 ax |||||| yxyx

| | | |x y x y 2 2

3.

4.

Kalkulus 1 9

Contoh : Tentukan Hp dari

Jawab : Dengan menggunakan sifat yang ke 2 bagian 2, kita dapatkan

atau

Ini tak lain merupakan dua pertaksamaan yang akan dicari penyelesaiannya.

15

2 x

15

2 x

15

2 x

0505

052

015

2

xatauxx

x

x

xx

x(i).

03

50

530

5201

52

x

x

x

x

xx

x

Sehingga Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan tersebut adalah :

(ii).

.,00,3

55,0,

3

5,05,

Kalkulus 1 10

1.4 Akar Kuadrat Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya,

dua akar kuadrat dari 4 adalah 2 dan -2 ; dua akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan -4.

Untuk , lambang disebut akar kuadrat utama dari a, yang

menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a.

Jadi dan

• Jadi , penting untuk diingat bahwa ,

a

24 10100)10( 2

0a

||2 xx

Soal Latihan

MA 1114 Kalkulus 1 11

22212 xx

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3232 xx

1.

2.

3.

2 21

4 2

xx

x

4.

3

122

x

x

x

x

5.

23 xx6.

47. 1 1

x

28. 1x

x

631

.9 x

1

2

1.10

x

x

x

x

5|1|||3.11 xx

6||2.12 2 xx

2 3 4 5x x

2 513. 1

2x x

214. 2 3 0x x

215. 1 0x x