Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks

Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan

perincian sebagai berikut:

(1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan Penaf-

siran secara geometris.

(2) Pertemuan II: Bentuk kutub, Pangkat, dan Akar.

(3) Pertemuan III: Pengertian-pengertian topologis.

Di dalam Kalkulus telah diperkenalkan sistem bilangan realR beserta operasi-

operasi hitung dan relasi urutan yang berlaku di dalamnya. Karena untuk setiap

x ∈ R, x2 ≥ 0, maka mudah dipahami bahwa persamaan

x2 + 1 = 0 (1.1)

tidak mempunyai penyelesaian di dalam R. Dari permasalahan ini, kemudian

muncul pemikiran untuk mengkonstruksikan suatu sistem bilangan yang lebih

besar dariR sehingga persamaan (1.1) mempunyai penyelesaian. Sistem bilangan

yang dimaksud selanjutnya dikenal dengan nama sistem bilangan kompleks.

Di dalam bab ini, akan dibicarakan sistem bilangan kompleks beserta sifat-

sifat aljabar dan sifat-sifat geometrisnya. Untuk itu para pembaca dianggap

sudah memahami sifat-sifat terkait di dalam R.

1.1 Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai pasangan berurutan

z = (x, y) (1.2)

dengan x, y ∈ R, masing-masing dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari

z, dan ditulis

Re(z) = x dan Im(z) = y

1

Selanjutnya, himpunan semua bilangan kompleks ditulis dengan notasi C. Jadi,

C = {(x, y) : x, y ∈ R}

Ada korespondensi 1-1 antara R dengan {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C. Oleh karena itu,

sistem bilangan real R dapat dipandang sebagai himpunan bagian di dalam C.Bilangan kompleks berbentuk (0, y) disebut bilangan imajiner (khayal) murni.

1.2 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks

Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real dan bagian imajiner

kedua bilangan tersebut masing-masing sama. Jadi,

(x1, y1) = (x2, y2)⇔ x1 = x2 y1 = y2

Selanjutnya, diberikan dua bilangan kompleks z1 = (x1, y1) dan z2 = (x2, y2). O-

perasi penjumlahan z1+z2 dan operasi perkalian z1z2, masing-masing didefinisikan

sebagai berikut:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (1.3)

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) (1.4)

Khususnya,

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0),

yaitu operasi penjumlahan dan perkalian di dalam R. Dengan demikian, sistem

bilangan kompleks merupakan perluasan sistem bilangan real.

Mudah dipahami bahwa

(x, y) = (x, 0) + (0, y) (1.5)

KarenaR ⊂ C, maka setiap k ∈ R dapat dinyatakan sebagai (k, 0) = k. Sehingga

untuk sebarang bilangan kompleks z = (x, y) dan k ∈ R, berlaku

k(x, y) = (k, 0)(x, y) = (kx, ky)

2

Selanjutnya, apabila dinotasikan (0, 1) = i, maka berdasarkan persamaan (1.5)

bilangan kompleks z = (x, y) dapat pula dituliskan sebagai

z = (x, y) = x+ iy

Seperti halnya di dalam R, di dalam sistem bilangan kompleks C disepakati pula

z2 = zz, z3 = zz2, z4 = zz3, dst. Selanjutnya, diperoleh

i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0),

yaitu

i2 = −1

. Sebagai informasi tambahan, dalam bidang teknik elektro biasa digunakan

notasi j untuk bilangan imajiner i.

Apabila dicermati, ternyata semua sifat penjumlahan dan perkalian pada bi-

langan kompleks sama dengan sifat penjumlahan dan perkalian pada bilangan

real. Beberapa di antaranya, dapat dibuktikan langsung berdasarkan definisi,

diberikan di dalam pernyataan berikut ini.

Sifat 1.2.1 Untuk sebarang z, z1, z2, z3 ∈ C berlaku

i. Hukum komutatif: z1 + z2 = z2 + z1 dan z1z2 = z2z1.

ii. Hukum assosiatif: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) dan (z1z2)z3 = z1(z2z3).

iii. Hukum distributif: z(z1 + z2) = zz1 + zz2.

Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y), berlaku:

(0, 0) + (x, y) = (x, y), dan (1.6)

(1, 0)(x, y) = (x, y) (1.7)

Jadi, ada elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu (0, 0) = 0, dan ada elemen

identitas terhadap perkalian, yaitu (1, 0) = 1. Jadi, untuk sebarang bilangan

kompleks z ∈ C,z + 0 = z dan z.1 = z

3

Mudah ditunjukkan bahwa 0 dan 1 masing-masing tunggal adanya.

Selanjutnya, untuk sebarang (x, y) ∈ C, maka (−x,−y) ∈ C dan berlaku

(x, y) + (−x,−y) = (0, 0)

Jadi, untuk sebarang z ∈ C terdapat (dengan tunggal) −z ∈ C sehingga

z + (−z) = 0 (1.8)

Berdasarkan (1.8) dapat diturunkan definisi operasi pengurangan pada bilangan

kompleks, yaitu

z1 − z2 = z1 + (−z2) (1.9)

Jadi, apabila z1 = (x1, y1) dan z2 = (x2, y2), maka

z1 − z2 = (x1 − x2, y1 − y2) = (x1 − x2(+i(y1 − y2)

Sampai di sini belum dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol

sejati. Oleh karena itu, persamaan z2 − 2z + 2 = 0 tidak dapat diselesaikan de-

ngan faktorisasi ruas kiri. Namun demikian, dengan hanya menggunakan operasi-

operasi yang telah dibicarakan sebelumnya, penyelesaian persamaan tersebut da-

pat ditentukan. Untuk itu, perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 1.2.2 Tentukan penyelesaian persamaan z2 − 2z + 2 = 0.

Penyelesaian: Misalkan z = (x, y), maka

z2 − 2z + 2 = 0

⇔ (x, y)(x, y)− 2(x, y) + 2 = 0

⇔ (x2 − y2 − 2x+ 2, 2xy − 2y) = 0

⇔ x2 − y2 − 2x+ 2 = 0 (I) dan 2xy − 2y = 0 (II)

Dari (II) diperoleh x = 1 atau y = 0. Untuk y = 0, maka (I) menjadi

x2 − 2x+ 2 = 0

4

Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian karena diskriminannya negatif.

Sedangkan untuk x = 1, maka (I) menjadi

1− y2 = 0⇔ y = ±1

Jadi, z = (1, 1) atau z = (1,−1). 2

Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y) 6= 0, maka ( xx2+y2

, −yx2+y2

) ∈ C, dan

berlaku

(x, y)(x

x2 + y2,−y

x2 + y2) = (1, 0)

Dengan kata lain, untuk sebarang bilangan kompleks z 6= 0 terdapat (dengan

tunggal) z−1 ∈ C sehingga

zz−1 = 1 (1.10)

Selanjutnya, operasi perbagian pada bilangan kompleks dapat diturunkan berda-

sarkan (1.10), yaitu

z1z2

= z1.z−12 , z2 6= 0 (1.11)

Dengan adanya inverse terhadap operasi perkalian, maka dapat ditunjukkan

bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Hal itu dinyatakan di dalam perny-

ataan berikut.

Sifat 1.2.3 Untuk sebarang z1, z2 ∈ C: z1z2 = 0 jika dan hanya jika z1 = 0 atau

z2 = 0.

Bukti:(⇒) : Diketahui z1z2 = 0. Apabila z1 6= 0, maka terdapat z−11 ∈ Csehingga z−11 z1 = 1. Selanjutnya, diperoleh

z2 = 1.z2 = (z−11 z1)z2 = z−11 (z1z2) = z−11 .0 = 0

(⇐) : Mudah ditunjukkan. 2

Dengan adanya Sifat 1.2.3, maka Contoh 1.2.2 dapat diselesaikan dengan cara

melakukan faktorisasi ruas kiri persamaan dalam contoh tersebut.

5

Apabila di dalam (1.11) diambil z1 = 1, maka diperoleh

1

z2= z−12 (1.12)

sehingga perbagian dapat pula dituliskan sebagai

z1z2

= z1(1

z2), z2 6= 0

Karena untuk sebarang z1, z2 6= 0 berlaku

(z1z2)(z−11 z−22 ) = (z1z

−11 )(z2z

−22 ) = 1

maka (z1z2)−1 = (z−11 z−22 ). Berdasarkan persamaan (1.12) diperoleh

1

z1z2= (

1

z1)(

1

z2), z1, z2 6= 0 (1.13)

Selanjutnya, mudah dipahami

z1 + z2z3

=z1z3

+z2z3

;z1z2z3z4

= (z1z3

)(z2z4

), z3, z4 6= 0

Contoh 1.2.4

(1

2− i)(

1

3 + 2i) =

1

(2− i)(3 + 2i)=

1

8 + i

= (1

8 + i)(

8− i8− i

) =8− i65

=8

65+

1

65i

Latihan

1. Nyatakan bilangan-bilangan kompleks berikut ini ke dalam a+ ib:

a. (1 + i)(2− 3i) b. (3 + i)(2− i)(15

+ 110i)

c. 1+2i4−3i d. 1

−1+3i

e. (1 + i)4 f. 1+2i3−4i + 2−i

5i

g. (i− 1)(2− i) h. 5(1−i)(3−i)

6

2. Tunjukkan:

a. (2,−1)(1, 3) = (5, 5) b. 54−3i = 4 + 3i

c. (2− 2i)4 = −64 d. 2−i1+i

= −52i

e. 2i1+i

= 1 + i f. 2−i2+i

= 3−4i5

3. Tunjukkan: (z + 1)2 = z2 + 2z + 1.

4. Tunjukkan bahwa perkalian pada bilangan kompleks memenuhi sifat komu-

tatif.

5. Tunjukkan bahwa z = (−12,±√32

) merupakan akar-akar persamaan z2 + z+

1 = 0.

6. Jika zz1 = zz2 dengan z 6= 0, maka tunjukkan z1 = z2.

7. Dengan induksi matematika tunjukkan, apabila z1z2 . . . zn = 0 maka terda-

pat i, i = 1, 2, . . . , n, sehingga zi = 0.

8. Tunjukkan:

a. Re(iz) = −Im(z); b. 11/z

= z (z 6= 0); c. (−1)z = −z

9. Tunjukkan bahwa elemen netral dan elemen identitas tunggal adanya, masing-

masing adalah 0 dan 1.

1.3 Penyajian Secara Geometris

Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam

bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan den-

gan tepat satu bilangan kompleks. Sebagai contoh, bilangan 2 + 3i dapat dis-

ajikan dengan titik (2, 3). Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem bilangan

kompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu, sebarang bilangan kompleks

z = x + iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x, y) atau sebagai vektor

posisi dari titik asal ke titik (x, y).

7

Gambar 1.1

Karena sebarang bilangan kompleks z = x+iy secara geometris dapat dinyatakan

sebagai titik (x, y), maka bidang datar xy seringkali disebut sebagai bidang kom-

pleks atau bidang-z. Sumbu-x dan sumbu-y masing-masing disebut sebagai sumbu

real dan sumbu imajiner.

Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2.

Terkait dengan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks, maka z1 + z2 dapat

disajikan dengan titik (x1 + x2, y1 + y2) atau dapat pula disajikan dengan vektor

posisi OA, dengan A(x1 + x2, y1 + y2). Dengan demikian z1 + z2 dapat diperoleh

dengan cara menjumlahkan vektor z1 dan vektor z2. Demikian pula, vektor z1−z2dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z1 dengan vektor −z2.

Gambar 1.2

Modulus (atau nilai mutlak) bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan

notasi |z|, didefinisikan sebagai

|z| =√x2 + y2 (1.14)

Sebagai contoh, |3− 4i| = 5, | − 1 + i√

3| = 2, | − 2− 3i| =√

13, dan seterusnya.

Mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang z ∈ C,

|z| ≥ 0

dan

|z| = 0⇔ z = 0

8

Gambar 1.3

Dari (1.14) dan Gambar 1.3, |z| secara geometris dapat diartikan sebagai jarak

titik asal ke titik (x, y), atau panjang vektor posisi z. Apabila y = 0, maka

|z| = |x|, yaitu nilai mutlak di dalam sistem bilangan real R.

Untuk dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2,

|z1 − z2| secara geometris adalah jarak antara titik z1 dan titik z2. Hal ini dapat

diterangkan pula dengan persamaan (1.14), yaitu

|z1 − z2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Gambar 1.4

9

Dari persamaan (1.14) pula diperoleh hubungan antara |z|, Re(z), dan Im(z),

yaitu sebagai berikut:

|z|2 = (Re(z))2 + (Im(z))2

Akibatnya,

Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|, Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z| (1.15)

Sekawan (konjugat) bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan notasi z,

adalah bilangan kompleks x− iy. Jadi

z = x− iy (1.16)

Dari (1.16) dapat dilihat bahwa z disajikan oleh titik (x,−y), yang tidak lain

adalah pencerminan titik (x, y) terhadap sumbu real.

Gambar 1.5

Selanjutnya, dapat ditunjukkan sifat-sifat berikut ini.

Sifat 1.3.1 Untuk sebarang z, z1, z2 ∈ C berlaku:

i. (z) = z dan |z| = |z|,

ii. z1 + z2 = z1 + z2, z1 − z2 = z1 − z2,

iii. z1z2 = z1z2,

( z1z2

) = z1z2, z2 6= 0,

10

iv. z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z)

Untuk sebarang z = x+ iy ∈ C,

zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 + y2 = |z|2 (1.17)

Berdasarkan persamaan (1.17) dapat diberikan cara lain untuk menyatakan z1z2

,

yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan z2. Sebagai gambaran,

perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1.3.2

2 + i

2− 3i=

2 + i

2− 3i

2 + 3i

2 + 3i=

1 + 8i

13=

1

13+

8

13i

Selanjutnya, mudah ditunjukkan sifat berikut ini.

Sifat 1.3.3 Untuk sebarang z1, z2 ∈ C berlaku:

i. |z1z2| = |z1||z2|,| z1z2| = |z1|

|z2| , z2 6= 0,

ii. Ketaksamaan segitiga:

||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|,||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| ≤ |z1|+ |z2|.

Bukti: Akan dibuktikan pertidaksamaan pertama pada ii, yang lain dipersi-

lahkan para pembaca untuk mencobanya. Berdasarkan (1.17),

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = z1z1 + z1z2 + z1z2 + z2z2

= z21 + (z1z2 + z1z2) + z22 = z21 +Re(z1z2) + z22

≤ z21 + |z1z2|+ z22 = z21 + |z1||z2|+ z22

= (|z1|+ |z2|)2

Karena modulus tidak negatif, maka |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|. Selanjutnya, menggu-

nakan hasil ini berturut-turut akan diperoleh

11

a. |z1| = |z1 − z2 + z2| ≤ |z1 − z2|+ |z2|⇔ |z1| − |z2| ≤ |z1 − z2|.

b. |z2| = |z2 − z1 + z1| ≤ |z1 − z2|+ |z1|⇔ |z2| − |z1| ≤ |z1 − z2|.

Dari (a) dan (b) diperoleh: ||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2|. 2

Latihan

1. Gambar bilangan-bilangan kompleks berikut:

a. (2− 3i) b. (3 + i)

c. (1 + 2i()4− 3i) d. 1−1+3i

e. (1− i)4 f. 1+2i3−4i + 2−i

5i

g. (i− 1)(2− i) h. 5(1−i)(3−i)

2. Tentukan |z| jika diketahui

a. z = (4− 3i) b. z = (3 + i)

c. z = (√

5 + 2i()4− 3i) d. z = 1−1+3i

e. z = (1− i)4 f. z = 1+2i3−4i

2−i5i

g. z = (i√

3− 1)(√

2− i√

2) h. z = 5(1−i)(3−4i)

3. Tunjukkan:

a. z ∈ R jika dan hanya jika z = z.

b. z merupakan bilangan real atau imajiner murni jika dan hanya jika

(z)2 = z2.

4. Tunjukkan bahwa Re(z) + Im(z) ≤√

2|z|.

5. Tunjukkan bahwa

a. z1z2z3 . . . zn = z1z2 . . . zn b. zn = (z)n, n ∈ Z.

6. Tunjukkan Sifat 1.3.3.

12

7. Jika |z3| 6= |z4|, maka tunjukkan

|z1 + z2z3 + z4

| ≤ |z1|+ |z2|||z3| − |z4||

8. Tunjukkan bahwa |z − z0| = r, r > 0, merupakan persamaan lingkaran

dengan pusat z0 dan jari-jari r.

9. Jika |z| = 1, maka tunjukkan |z2 + z + 1| ≤ 3.

10. Jika |z − i| < 12, maka tunjukkan bahwa |z| ≥ 1

2.

11. Secara geometris, |z1 − z2| dapar diartikan sebagai jarak titik z1 dan titik

z2. Berikan gambaran geometris dari

a. |z − 2i|+ |z + 2i| = 5 b. |z − 3i| = |z + 3i|

12. Jika |z| = 2, maka tunjukkan

| 1

z4 − 4z2 + 3| ≤ 1

3

1.4 Bentuk Kutub

Seperti telah dijelaskan pada Bagian 1.2, bilangan kompleks z = x + iy dapat

disajikan dengan titik (x, y) di dalam bidang-xy. Selanjutnya, sebarang bilangan

kompleks tak nol z = x + iy atau z = (x, y), di dalam sistem koordinat kutub,

dapat disajikan dengan (r, θ), dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik

asal dan θ sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik tersebut ke

titik asal dan garis horisontal, arah berlawanan jarum jam. Karena

x = r cos θ dan y = r sin θ

maka z dapat pula dinyatakan sebagai

z = r(cos θ + i sin θ) (1.18)

Pernyataan (1.18) disebut bentuk kutub bilangan kompleks z. Berbeda dengan

di dalam kalkulus, di dalam sistem bilangan kompleks ini r tidak diperkenankan

13

bernilai negatif. Sedangkan θ bisa bermacam-macam (tak hingga banyak) ni-

lainya, termasuk negatif.

Bilangan r adalah modulus (panjang) bilangan kompleks z, yaitu

r =√x2 + y2 = |z|

sedangkan θ disebut argument z, biasa ditulis arg z. Secara geometris arg z me-

nyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi z terhadap sumbu real positif

dan diukur dalam radian. Apabila θ merupakan arg z, maka θ+2kπ, k ∈ Z, juga

merupakan arg z. Jadi, arg z bernilai tidak tunggal. Untuk z = 0, arg z tidak

didefinisikan. Sedangkan untuk z 6= 0, nilai arg z dapat ditentukan dengan rumus

θ = arctan(y

x) , x 6= 0 (1.19)

atau

θ = arcsin(y

r) = arccos(

x

r) (1.20)

Apabila menggunakan rumus (1.19), maka kuadran yang memuat z harus diper-

hatikan. Perlu diperhatikan pula bahwa berdasarkan keterangan tersebut di atas,

apabila bilangan kompleks z dinyatakan dalam bentuk kutub, maka selalu dimak-

sudkan z 6= 0, meskipun hal itu tidak dikatakan secara eksplisit.

Gambar 1.6

Nilai utama (principal value) arg z, ditulis dengan notasi Arg z, adalah suatu

nilai arg z (tunggal) sehingga −π < arg z ≤ π.

14

Contoh 1.4.1 Untuk bilangan kompleks z = −1− i√

3,

arg z =4π

3+ 2kπ, k ∈ Z

tetapi

Arg z = −2π

3

Diberikan dua bilangan kompleks sebarang:

z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

maka diperoleh

z1z2 = r1(cos θ1 + i sin θ1)r2(cos θ2 + i sin θ2)

= r1r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 + i sin θ2)

= r1r2{(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2)}

= r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))

Jadi,

z1z2 = r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)) (1.21)

Dengan demikian diperoleh suatu persamaan

arg z1z2 = arg z1 + arg z2 (1.22)

Apabila θ1 dan θ2 masing-masing adalah nilai arg z1 dan arg z2, maka berdasarkan

(1.22) θ1+θ2 merupakan suatu nilai arg z1z2. Sebaliknya, diberikan sebarang nilai

arg z1 dan nilai arg z1z2, misalkan masing-masing adalah

arg z1 = θ1 + 2kπ, n ∈ Z, dan

arg z1z2 = (θ1 + θ2) + 2nπ, n ∈ Z

Karena

(θ1 + θ2) + 2nπ = (θ1 + 2kπ) + (θ2 + 2(n− k)π)

15

maka persamaan (1.22) akan dipenuhi apabila nilai arg z2 = θ2 + 2(n−k)π. Jadi,

sebarang arg z1z2 sama dengan suatu arg z1 ditambah suatu arg z2. Dalam hal ini

perlu diperhatikan bahwa sebarang arg z1z2 tidak sama dengan sebarang arg z1

ditambah sebarang arg z2. Demikian pula, Arg z1z2 belum tentu sama dengan

Arg z1 ditambah Arg z2 Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1.4.2 Diberikan z1 = −1 dan z2 = −1 + i√

3, maka z1z2 = 1 − i√

3.

Berturut-turut diperoleh:

arg z1 = π + 2kπ, k ∈ Z, Arg z1 = π

arg z2 =2π

3+ 2kπ, k ∈ Z, Arg z2 =

2π

3,

arg z1z2 = −π3

+ 2kπ, k ∈ Z, Arg z1z2 = −π3.

Selanjutnya, apabila diberikan zk = rk(cos θk + i sin θk), k = 1, 2, . . . , n, maka

secara induktif dapat ditunjukkan

z1z2 . . . zn = r1r2 . . . rn(cos(θ1 + θ2 + . . .+ θn) + i sin(θ1 + θ2 + . . .+ θn)) (1.23)

Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol z = r(cos θ + i sin θ), maka

mudah ditunjukkan bahwa

1

z=

1

r(cos(−θ) + i sin(−θ)) (1.24)

Demikian pula

z = r(cos(−θ) + i sin(−θ)) (1.25)

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (1.21) dan (1.24), maka untuk dua bi-

langan kompleks sebarang:

z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

berlaku

z1z2

= (r1r2

)(cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)) (1.26)

16

Jadi, seperti halnya pada (1.22), dari (1.26) dapat dikatakan bahwa sebarang

arg( z1z2

) sama dengan suatu arg z1 dikurangi suatu arg z2.

Apabila pada persamaan (1.23), zk = z = (cos θ + i sin θ), k = 1, 2, . . . , n,

maka diperoleh

zn = (cos θ + i sin θ)n = (cosnθ + i sinnθ) (1.27)

Selanjutnya, berdasarkan (1.24) dan (1.27), maka untuk n ∈ N diperoleh

z−n =1

zn=

1

(cosnθ + i sinnθ)= cos(−n)θ + i sin(−n)θ (1.28)

Jadi, dari (1.27) dan (1.28) diperoleh

(cos θ + i sin θ)n = (cosnθ + i sinnθ) (1.29)

untuk setiap n ∈ Z. Persamaan (1.29) ini dikenal dengan nama rumus De Moivre.

Contoh 1.4.3 Tentukan Re(z) dan Im(z) jika diketahui z = (1−i√3)2

(1+i√3)6(1+i)6

.

Penyelesaian: Berdasarkan (1.29),

(1− i√

3)2 = {2(cos(−π3

) + i sin(−π3

))}2 = 22(cos(−2π

3) + i sin(−2π

3))

(1 + i√

3)6 = {2(cos(π

3) + i sin(

π

3))}6 = 26(cos 2π + i sin 2π)

(1 + i)6 = {√

2(cos(π

4) + i sin(

π

4))}6 = 23(cos(

3π

2) + i sin(

3π

2))

sehingga

z =22(cos(−2π

3) + i sin(−2π

3))

26(cos 2π + i sin 2π)23(cos(3π2

) + i sin(3π2

))= 2−7(cos(−π

6) + i sin(−π

6))

= 2−7(−√

3

2− 1

2)

Jadi, Re(z) = −√3

28dan Im(z) = − 1

28. 2

1.5 Akar Bilangan Kompleks

Diberikan bilangan kompleks z dan n ∈ N . Bilangan kompleks w dikatakan

merupakan akar pangkat n dari z jika wn = z. Selanjutnya, akar pangkat n dari z

17

ditulis dengan notasi z1n . Misalkan z = r(cos θ+i sin θ) dan w = R(cosφ+i sinφ).

Karena wn = z, maka berdasarkan rumus de Moivre

Rn(cos(nφ) + i sin(nφ)) = r(cos θ + i sin θ)

sehingga

Rn cos(nφ) = r cos θ dan Rn sin(nφ) = r sin θ (1.30)

Karena R ≥ 0 maka dengan menyelesaikan (1.30) diperoleh

R = r1n dan φ =

θ + 2kπ

n, k ∈ calZ (1.31)

Tetapi karena cosinus dan sinus merupakan fungsi yang periodik dengan periode

2π maka (1.31) menjadi

R = r1n dan φ =

θ + 2kπ

n, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1 (1.32)

Jadi, jika diberikan bilangan kompleks tak nol z = r(cos θ + i sin θ) dan n ∈ N ,

maka akar pangkat n dari z adalah bilangan-bilangan kompleks

zk = r1n (cos(

θ + 2kπ

n) + i sin(

θ + 2kπ

n)), k = 0, 1, 2, . . . , n− 1 (1.33)

Dari (1.33) dapat diketahui bahwa akar pangkat n merupakan fungsi bernilai

sebanyak n (tidak tunggal). Hal ini berbeda dengan pengertian fungsi bernilai

real yang selalu bernilai tunggal. Namun demikian, apabila yang diperhatikan

salah satu cabangnya saja, yaitu untuk satu nilai n tertentu, maka akar pangkat n

merupakan fungsi bernilai tunggal. Apabila pada (1.33) diambil−π < arg zk ≤ π,

maka zk terkait dinamakan cabang utama dari z1n .

Contoh 1.5.1 Tentukan (−8− 8i√

3)14 .

Penyelesaian: Karena z = −8 − 8i√

3 = 16(cos(4π3

) + sin(4π3

)), maka menurut

(1.33) akar pangkat 4 dari z = −8− 8i√

3 adalah bilangan-bilangan kompleks

zk = (16)14 (cos(

4π3

+ 2kπ

4) + i sin(

4π3

+ 2kπ

4)), k = 0, 1, 2, 3

18

atau

z0 = 1 + i√

3, z1 = −√

3 + i

z2 = −1− i√

3, z3 =√

3− i2

Latihan

1. Nyatakan ke dalam bentuk kutub

a. 2− 2i√

3 b. 1 + i

c. 2i d.√

3− i

e. i(1− i√

3)(√

3 + i) f. (1− i)9

g. 2i1+i√3

h. (√3+i)12

(1−i√3)10

2. Tentukan Arg z jika diketahui

a. z = −2− 2i√

3 b. z = i1+i

c. z = (2 + 2i)5 d. z =√

3− i

e. z = i(1−i

√3)(√3+i)

f. z = i(1− i)9

g. z = −2+2i1+i√3

h. (√3+i)12

(1−i)(1−i√3)10

3. Tentukan bagian real dan bagian imajiner dari bilangan-bilangan

a. z = (2 + 2i)5 b. z = (−1+i)7(1+i)2

c. z = (2 + 2i√

3)14 d. z = (

√3−i)37

(1−i)3

4. Tentukan

a. (8− 8i√

3)14 b. 8

16

c. (−16)14 d. (4 + 4i

√3)

13

5. Tentukan z jika

a. z = (1− i√

3)4 b. z = (3 + i√

3)10

19

c. z = (3− i√

3)5(−1 + i)7 d. z = (√3+3i)4

(1+i)10

6. Tentukan semua nilai z sehingga z4 + 8(1 + i√

3) = 0.

7. Jika Re(z1) > 0 dan Re(z2) > 0, maka tunjukkan

Arg z1z2 = Arg z1 + Arg z2

8. Tunjukkan cos(π7)− cos(2π

7) + cos(3π

7) = 1

2.

9. Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 6= 1, maka tunjukkan

1 + z + z2 + z3 + . . .+ zn−1 = 0

10. Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 6= 1, maka tentukan

1 + 2z + 3z2 + 4z3 + . . .+ nzn−1

11. Jika sin( θ2) 6= 0, tunjukkan

1 + cos θ + cos 2θ + . . .+ cosnθ =1

2+

sin(n+ 12)θ

2 sin θ2

1.6 Daerah (Region) di Dalam Bidang Kompleks

Di dalam bagian ini akan dibicarakan himpunan dan titik di dalam bidang kom-

pleks, serta hubungan antara titik dan titik atau antara titik dan bidang di dalam

bidang kompleks.

Untuk sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r > 0, himpunan

N(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r}

disebut persekitaran (neighborhood) z0 dengan jari-jari (radius) r. Selanjutnya,

berdasarkan pengertian persekitaran didefinisikan pengertian beberapa titik dan

himpunan di dalam bidang kompleks.

Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik dalam (interior point) A jika terdapat r > 0

sehingga N(z0, r) ⊂ A. Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik luar (exterior point) A

20

jika z0 titik dalam Ac. Titik z0 disebut titik batas (boundary point) A ⊂ C jika z0

bukan titik dalam dan bukan titik luar A. Dengan kata lain, z0 disebut titik batas

A ⊂ C jika untuk setiap r > 0 berlaku N(z0, r) ∩ A 6= ∅ dan N(z0, r) ∩ Ac 6= ∅.Himpunan A ⊂ C dikatakan terbuka (open) jika setiap titiknya merupakan

titik dalam.

Teorema 1.6.1 Setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka.

Bukti: Diambil sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r > 0. Akan ditunjukkan

N(z0, r) terbuka.

Diambil sebarang z1 ∈ N(z0, r), artinya |z1− z0| < r, maka terdapat bilangan

real p > 0 sehingga |z1 − z0| = p < r. Didefiniskan

r1 = r − p

maka r1 > 0. Jika diambil sebarang z ∈ N(z1, r1), maka

|z − z0| ≤ |z − z1|+ |z1 − z0| < r1 + p = r

Jadi, z ∈ N(z0, r). Karena berlaku untuk z ∈ N(z1, r1), maka N(z1, r1) ⊂N(z0, r). Bukti selesai. 2

Diberikan himpunan A ⊂ C. Titik z0 ∈ C disebut titik limit (limit point) A

jika untuk setiap bilangan real r > 0, N(z0, r)∩A− {z0} 6= ∅. Himpunan A ⊂ Cdikatakan tertutup (closed) jika A memuat semua titik limitnya.

Himpunan A ⊂ C dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik

berbeda z1, z2 ∈ A dapat dihubungkan dengan sebanyak berhingga segmen (peng-

gal) garis yang kesemuanya berada di dalam A. Himpunan terbuka yang ter-

hubung disebut domain. Mudah dipahami bahwa setiap persekitaran merupakan

domain. Suatu domain ditambah (atau tidak ditambah) beberapa atau semua

titik batasnya disebut daerah (region).

Himpunan A ⊂ C dikatakan terbatas (bounded) jika terdapat bilangan real

M > 0 sehingga |z| ≤M untuk setiap z ∈ A. Jadi, A terbatas jika ada lingkaran

|z| = R sehingga setiap z ∈ A berada di dalam lingkaran tersebut.

21

Latihan

1. Diberikan A = {z ∈ C : − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1} ∪ {2 + i}. Tentukan

a. semua titik dalam A.

b. semua titik limit A.

c. semua titik batas A.

2. Jika E = {z ∈ C : − 2 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 1}, maka tunjukkan E tidak

terbuka tetapi tertutup.

3. Selidiki apakah himpunan yang tidak terbuka pasti tertutup.

4. Tunjukkan A tertutup jika dan hanya jika Ac terbuka.

5. Jika z0 bukan titik dalam dan bukan titik luar himpunan A, maka tunjukkan

bahwa z0 merupakan titik batas A.

6. Jika A tidak terbuka, maka tunjukkan bahwa A memuat suatu titik batas-

nya.

7. Jika A tidak tertutup, maka tunjukkan terdapat titik batas A yang tidak

termuat di dalamnya.

8. Tunjukkan bahwa A = {z1, z2, . . . , zn} tidak mempunyai titik limit. Dengan

demikian A tertutup.

9. Tunjukkan bahwa setiap titik di dalam suatu domain merupakan titik limit

domain tersebut.

22