Bab II Pencerminan

1

PENCERMINAN

Definisi:

Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang

didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

(i) Jika P s maka Ms (P) = P.

Gambar 1

(ii) Jika P s maka Ms (P) = P sehingga garis s adalah sumbu 'PP .

Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s

disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin.

Gambar 2

Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan

itu suatu transformasi.

Penyelidikan:

Bukti:

(1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V.

(2) Akan dibuktikan Ms surjektif.

Ambil sebarang .' VX

Kasus 1: Andaikan .' sX

Maka 'XX sebab ')( XXXM s

Kasus 2: Andaikan .' sX

s

P = Ms(P)

s

P

P

2

Dari sifat geometri ada VX sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini

berarti bahwa Ms(X) = X. Artinya setiap X memiliki prapeta.

Jadi Ms surjektif.

(3) Akan dibuktikan Ms injektif.

Andaikan BA .

Kasus 1: sA dan .

Maka ( ) dan ( ) .

Jadi .

Kasus 2: sA dan .

Maka ( ) dan ( ) dengan .

Jadi .

Kasus 3: .

Andaikan ( ) ( ) atau .

Jadi dan . Ini berarti dari satu titik A ada dua garis

berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin.

Jadi pengandaian bahwa jika maka ( ) ( ) adalah tidak

benar sehingga pengandaian itu salah.

Jadi jika maka ( ) ( ).

Jadi ( ) injektif.

Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi.

Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema:

Teorema 1

Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.

Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka

apabila ( ) dan ( ), . Jadi jarak setiap dua titik sama

dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang

dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M

adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:

3

Definisi:

Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q

berlaku PQ = PQ dengan P = T(P) dan Q = T(Q).

Gambar 3

Teorema:

Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.

Jadi jika A = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = AB.

Bukti:

Ambil Sebarang A, B, A, B V dengan Ms(A) = A dan Ms(B) = B.

Akan ditunjukkan AB = AB.

Kasus I

Jika A, B s maka Ms(A) = A = A dan Ms(B) = B = B.

Jadi AB = AB.

Kasus II

Jika A S, B s, maka Ms(A) = A = A dan Ms(B) = B.

Akan ditunjukkan AB = AB.

Perhatikan CABABC '& .

AC = AC (berimpit).

(karena siku-siku).

BC = BC (karena S sumbu simetri).

Jadi CABABC ' .

Diperoleh AB = AB.

s

A = A

B B C

s

P

P

Q

Q

4

C

A

s

A

B B

D

Kasus III

Jika A, B S dan Ms(A) = A, Ms(B) = B.

Akan ditunjukkan AB = AB

(i) Perhatikan .

DC = DC (berimpit)

( )

AD = AD (karena s sumbu simetri)

Jadi ( ).

Diperoleh AC = AC dan

(ii) Perhatikan .

AC = AC (pembuktian (i))

( ).

( ).

Diperoleh AB = AB.

Jadi AB = AB.

Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika A = Ms(A), B = Ms(B)

maka AB = AB.

Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.

5

SOAL LATIHAN

1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan

pula Mg(B).

A B

Mg(A) = B dan Mg(B) = A

2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1).

Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!

Diket : A (1,3), B (-2,-1)

Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B.

Jawab :

Persamaan garis AB

0534

4493

)1(4)3(3

12

1

31

3

12

1

12

1

yx

xy

xy

xy

xx

xx

yy

yy

Gradien

.

Gradien yang tegak lurus AB,

Titik tengah AB = )1,2

1(

2

)2,1(

2

)1,2()3,1(

Persamaan garis yang melalui )1,2

1( dengan

adalah

y y1 = m (x x1)

X

Y

A(1,3)

B(-2,1)

X

Y

A(1,3)

B(-2,1)

6

y 1 = - 4

3(x +

2

1)

y = - 4

3x -

8

3 + 1

y = - 4

3x +

8

5

8y + 6x 5 = 0

6x + 8y 5 = 0

Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y 5 = 0

3. Diketahui: g = -3x, yx

Ditanya:

a. A=Mg(A), bila A(2,1).

b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .

c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.

B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,1) =

2

1,

2

2

2,

2

''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,2(2,6 '' AA yx

1,8, '' AA yx

Jadi A = (-8,1)

b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah

y=7.

D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,7) =

2

7,

2

1

2,

2

'' CCCCCC yxyyxx

Jelas )7,1(14,6 CC yx

X

Y

A(2,1)

(-1,7) g x=-3

7

7,5, CC yx

Jadi C = (-5,7)

c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (-3, yp) =

2,

2

'' pppp yyxx

pppp

ppppp

yxyx

yyxxy

,6,

),(2,6

'

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (-6 x,y).

4. Diketahui g = 2y, yx

Ditanya:

a. Jika A = 2,3 , tentukan A = Mg(A). b. Jika D = (2,-4), tentukan prapeta D oleh Mg.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.

Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (3,2) =

2

2,

2

3

2,

2

''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,3(4,6 '' AA yx

( ) ( )

( ) ( )

24,3, '' AA yx

Jadi A = (3, 24 )

b. Persamaan garis yang melalui D = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.

Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,

8

Maka (2,2) =

2

)4(,

2

2

2,

2

'' DDDDDD yxyyxx

Jelas )4,2(4,4 DD yx ( )

( )

Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8).

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.


Jelas Q = (xQ, 2) =

2,

2

'' pppp yyxx

pppp

ppppp

pppp

p

yxyx

yyxxx

yyxxx

4,,

,4,2

)2

,2

(2,

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x, 4 - y).

5. Diketahui h = xy, yx

Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A = Mh(A).

b. Jika D = (2,-4), tentukan prapeta dari B oleh Mh.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)

Jawab:

a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus

dengan garis h adalah m1 = -1.

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah

)( 111 xxmyy

1

32

)2(13

xy

xy

xy

Mencari perpotongan y = x dan y = -x 1 yaitu dengan cara y = x,

disubtitusikan ke persamaan . Diperoleh :

9

substitusikan x = -2

1 ke persamaan y = x

diperoleh y = -2

1.

Jadi titik tengah 'AA (-2

1,-

2

1).

Jelas (-2

1,-

2

1) titik tengah 'AA , maka

2

3,

2

2

2,

22

1,

2

1 ''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(1,1 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A = (-3,2)

b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah

m= -1

Maka persamaan garis yang melalui B(-3,5) dan tegak lurus g dengan

m = -1 adalah

)( 11 xxmyy

2

53

)3(15

xy

xy

xy

Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x

disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh

substitusikan x = 1 ke persamaan y = x

diperoleh y = 1.

10

Jadi titik tengah 'BB (1,1).

Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2

)3(

2,

21,1 '' BBBBBB

yxyyxx

Jelas )5,3(2,2 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A = (5,-3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah

pp

pp

yxxy

xxmyy

)(


Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2

'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyx

yyxxyx

2,2,

),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x 2xQ, y 2yQ).

6. Diketahui k = 0yx, yx

Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A = Mk(A).

b. Jika B = (-3,5), tentukan prapeta dari B oleh Mk.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis k xyyx 0

Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m =

1 adalah

)( 11 xxmyy

11

5

32

)2(13

xy

xy

xy

Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan

ke persamaan , diperoleh :

-x = x 5

substitusikan x = 2

5 ke persamaan y = -x

diperoleh y = -2

5.

Jadi titik potongnya (2

5, -

2

5)

Karena (2

5, -

2

5) titik tengah 'AA , maka

2

3,

2

2

2,

22

5,

2

5 '''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(5,5 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A = (3,-2)

b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis

tersebut adalah m = 1.

Maka persamaan garis yang melalui B(-3,5) dan tegak lurus g dengan m =

1 adalah

8

53

)3(15

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan

ke persamaan , diperoleh.

12

substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x

diperoleh y = 4.

Jadi titik potongnya (-4,4).

Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2

)3(

2,

24,4 '' BBBBBB

yxyyxx

Jelas )5,3(8,8 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A = (-5, 3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1

adalah

pp

pp

yxxy

xxmyy

)(


Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2

'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyx

yyxxyx

2,2,

),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x 2xQ, y 2yQ).

7. Diketahui g = 1y x, yx

Ditanya:

a. Mg(0)

b. Mg(A) dengan A(1,2).

c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.

13

Jawab:

a. Dipunyai g = 1y x, yx , dari x + y = 1 y = 1 x.

Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g

adalah m = 1

Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m

= 1 adalah

xy

xy

xxmyy

)0(10

)( 11

Jadi {( )| }

Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan ke

dalam persamaan sehingga diperoleh

substitusikan x = 2

1 ke persamaan y = x

diperoleh y = 2

1.

Jadi titik potongnya (2

1,

2

1)

Karena (2

1,

2

1) titik tengah 'OO , maka

2

0,

2

0

2,

22

1,

2

1 '0'0'00'00 yxyyxx

Jelas ),(1,1 '0'0 yx

1,1, '0'0 yx

Jadi Mg(O) = (1,1)

b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m

= 1 adalah

14

1

12

)1(12

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Jadi {( )| }

Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan

ke dalam persamaan , diperoleh

substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x

diperoleh y = 1.

Jadi titik potongnya (0,1).

Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka

2

2,

2

1

2,

21,0 '''' BBoooo

yxyyxx

Jelas )2,1(2.0 '' oo yx

0,1, ' oo yx

Jadi A = (-1,0)

c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1y x, yx

Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP

Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx

Dan y = 0 + 1 = 1

Jadi Mg(P) = (0,1).

15

8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).

Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A

Jawab : Dipunyai x 3y +1 = 0,

Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.

Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.

Untuk x = 2 maka x 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1

Jadi nilai k = 1.

9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)

Tentukan a apabila Mk(B) = B!

Karena Mk(B) = B, maka

B = (3,-1) terletak pada garis k.

Diperoleh a.3 3(-1) + 1 = 0

3a +3 +1 = 0

3a = - 4

a = - 3

4

Jadi nilai a = - 3

4.

10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk

semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat

tersebut dapat diperluas secara umum?

Selesaian:

Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)

P = (x, y) V

Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?

Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.

Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1P2 = P1P2

Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)

16

T(P1) = P1 = (x1-5, y1+3)

T(P2) = P2 = (x2-5, y2+3)

2122

1221P yyxxP

2122

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

''P

)3355''P

)3()3()5()5(''P

''''''P

yyxxP

yyxxP

yyxxP

yyxxP

Diperoleh P1P2 = P1P2.

karena P1P2 = P1P2, maka T suatu isometri.

Apa syarat tersebut dapat diperluas?

Jawab:

Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)

T(P1) = P1 = (x1 + k, y1 +l)

T(P2) = P2 = (x2 + k, y2 + l)

2122

1221P yyxxP

2122

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

''P

)''P

)()()()(''P

''''''P

yyxxP

lylykxkxP

lylykxkxP

yyxxP

Diperoleh P1P2 = P1P2.

Karena P1P2 = P1P2, maka T suatu isometri.

Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.

11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai

T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri?

Selesaian:

Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)

17

Jelas 22 pqpq yyxxPQ

Menurut definisi 1,2)( pp yxPT dan 1,2)( qq yxQT

Jelas

224 pqpq yyxx

Diperoleh )()( QTPT PQ

Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak

Jadi T bukan isometri.

12. Diketahui garis g dan titik A, A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di

bawah ini.

a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan B=Mg(B) dan

C=Mg(C)

b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar.

Selesaian:

a. Gambar

22 )1()1(22)()( pqpq yyxxQTPT

B

A

A

C

g

B

A

A

C

g

B

C

18

b. Bukti:

Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari

, , dan . Sehingga B = Mg(B), A = Mg(A), C = Mg(C).

Jadi, lukisan di atas benar.

13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang

didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P

= (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan

membuktikan:

a. T(P) = P apabila P(x,y) g.

b. Apabila P(x,y) g maka g adalah sumbu ruas garis

Selesaian :

a. Dipunyai P(x,y) g

Maka T(P) = P = (y,x).

Karena (x,y) g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga

T(P) = P = (y,x) = (x,y).

Karena T(P) = P untuk P g maka T merupakan refleksi garis pada g.

b. Dipunyai P(x,y) g

(i) Akan dibuktikan .

Jelas mg = 1.

Karena P(x,y) g maka T(P) = P = (y,x).

=

( )

Diperoleh mg = 1 =

.

Jadi g .

(ii) Akan dibuktikan PO = PO, jika O adalah titik persekutuan antara

dan g.

Misalkan Q titik tengah .

(

)

(

)

g

P(x,y)

P(y,x)

O

19

Jelas

.

Maka , sehingga g.

Jadi Q = O.

Karena Q titik tengah dan Q = O, maka PO = PO.

Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas

garis .

14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1,

tentukan:

a. A jika Mh(A) = (-2,3)

b. Mh(P) untuk P=(x,y)

Selesaian:

c. h melewati (0,0) dengan m = -1.

Persamaan garis h :

y-y1 = m(x-x1)

y 0 = -1(x 0)

y = -x

x + y = 0.

Jelas melalui (-2,3) dengan gradien m = 1

Persamaan garis :

y-y1 = m(x-x1)

y 3 = 1(x + 2)

y 3 = x + 2

y = x + 5.

Perpotongan garis h dan

h : y = -x; : y = x + 5

diperoleh y = y

-x = x + 5

2x = -5

x =

.

20

y = -x = - (

) =

.

Diperoleh titik tengah = (xp,yp) = (

,

).

Jelas (xp,yp) = (

)

(

,

) = (

)

Diperoleh x 2 = -5 x = -3, dan y + 3 = 5 y = 2.

Jadi A = (-3,2).

b.

garis PP h berarti m = 1 dan

melalui (a,b).

Persamaan garis PP: y y1 = m(x x1)

y b = 1(x a)

y = x a + b.

Perpotongan garis h dan PP

y = y -x = x a + b 2x = a b x =

y = -x =

.

Titik tengah PP = (

,

)

Jelas (

,

) = (

,

)

(

,

) = (

,

)

Diperoleh x = -b dan y = -a.

Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh P=(-b,-a)=(-y,-x).

P (a,b)

a

b

h

21

15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap

titik P pada bidang V sebagai berikut:

Jika Pg maka T(P) = P

Jika P g maka T(P) = P sehingga P adalah titik tengah ruas garis

orthogonal dari P ke g.

a. Apakah T suatu transformasi?

b. Apakah T suatu isometri?

c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga AB = AB dengan A = T(A),

B= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B?:

Jawab:

a. Ditunjukkan T suatu transformasi

i. Ditunjukkan T surjektif

Ambil sebarang titik PV

Jika P g jelas PVg T(P)=P

Jika P , maka sehingga jadi sumbu ruas

Ini berarti Ms(P)=P

Jadi PV memiliki prapeta

Jadi T surjektif

ii. Ditunjukkan T injektif

Ambil sebarang titik P,QV dengan PQ

{ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan

ruas garis orthogonal Q ke g.

Ditunjukkan P Q=> T(P)T(Q)

Andaikan T(P)=T(Q)

Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P

ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan

Q ke g

Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.

22

Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis

orthogonal Q ke g.

Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu

titik .

Jadi P = Q

Kontradiksi dengan PQ

Haruslah PQ => T(P) T(Q)

Jadi T injektif

Dapat disimpulkan T suatu transformasi

b. Ditunjukkan T suatu isometri

Pilih Pg dan Q g

Jelas T(P)=P dan T(Q)=QP

Jelas T(Q)=Q dengan Q adalah titik tengah

ruas garis orthogonal dari Q ke Q

Jelas PQPQ=PQ

Jadi T bukan Isometri

c. T isometri jika

i) Ag, Bg

ii) A g ,B g

Jadi AB = AB jika

i) Ag, Bg

ii) A g ,B g

16. Andaikan h = 3xy , yx , Apabila A = (4,3)

Ditanya: tentukan koordinat koordinat A =Mh(A).

Selesaian:

Jelas gradient dari garis adalah . Gradient garis yang tegak

lurus garis tersebut adalah

Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m =

adalah

P

23

( )

( )

Perpotongan garis h dan

dapat dicari dengan mensubtitusikan

ke dalam persamaan

, diperoleh

Diperoleh titik terjadi (

)

Jelas (

) (

)

(

) (

)

(

) ( )

( ) (

)

(

)

Jdi koordinat (

).

17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T

suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.

Penyelesaian:

Karena Isometri, maka | | | |

24

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

9+1 = 4+ (1-k)2

(1-k)2 = 10 4

(1-k)2 = 6

1-k =

k = 1 + .

19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.

Ada g = 1yx, yx .

a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .

b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B

c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!

Jawab:

a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus

garis tersebut adalah m = 1

Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m =

1 adalah

1

21

)1(12

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan

persamaan ke persamaan , diperoleh

substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1

diperoleh y = 1.

Jadi titik tengah 'AA (0,1).

25

Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka

2

2,

2

1

2,

21,0 ''' AAAAAA

yxyyxx

)2,1(2,0 '' AA yx

0,1, '' AA yx

Jadi A = (-1,0)

b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1

Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan

m=1 adalah

6

42

)2(14

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.

substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x

diperoleh y = 3.

Jadi titik tengah BC (-2,3).

Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka

2

4,

2

2

2,

23,2 CCCBCB

yxyyxx

)4,2(6,4 CC yx

2,2, CC yx

Jadi A = (-2,2)

26

c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah

21

21 )(

PPxy

PxmPy

Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (Q1,Q2) =

2,

2

'22'11 PPPP

2211'2'1

'22'1121

2,2,

),(2,2

QPQPPP

PPPPQQ

Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P = 2211 2,2 QPQP .

Documents

Bab II Pencerminan