BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Graf berarah (quiver) yang selanjutnya hanya dikatakan graf saja, dapat di-

pandang secara aljabar sebagai 4-tupel, E = (E0, E1, s, r) yang terdiri dari him-

punan titik-titik E0, himpunan sisi-sisi E1 dan dua buah fungsi s, r dari E1 ke E0.

Fungsi s disebut sumber (source) sisi dan fungsi r disebut ujung (range) sisi. Jika

E0 himpunan berhingga maka graf E disebut graf berhingga. Graf E disebut graf

baris berhingga (row-finite graph) jika invers fungsi s berhingga untuk setiap titik.

Sebuah lintasan (path) dengan panjang n dalam suatu graf adalah barisan

n buah sisi-sisi sedemikian sehingga ujung sisi ke-i sama dengan sumber sisi ke-

(i+ 1) dengan i = 1, 2, ..., n− 1. Suatu lintasan disebut sikel (cycle) jika ujung dan

sumber dari lintasan tersebut sama, tetapi tidak ada sisi dalam lintasan tersebut yang

mempunyai sumber yang sama. Adapun sikel dengan panjang satu disebut loop.

Himpunan semua lintasan dengan panjang n dinotasikan dengan En, sedangkan

Path(E) menotasikan himpunan semua lintasan dalam E. Abrams, dkk. (2014)

Telaah tentang aljabar lintasan atas lapangan K pada graf E yang dino-

tasikan dengan KE dilakukan oleh Assem, dkk. (2006), Ara, dkk. (2007), Moli-

na (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010). Aljabar lintasanKE didefinisikan sebagai

suatu K-aljabar bebas dengan basis Path(E) yang memenuhi dua syarat:

1. Setiap titik dalam graf bersifat idempoten dan perkalian sebarang dua buah

titik berbeda hasilnya nol.

2. Sebarang sisi dikalikan ujungnya sama dengan sumbernya dikalikan sisi terse-

but dan sama dengan sisi itu sendiri.

Beberapa sifat penting aljabar lintasan yang telah dibahas Assem, dkk. (2006),

antara lain: aljabar lintasan KE = ⊕m≥0

KEm merupakan aljabar bertingkat yang

1

2

assosiatif, KE merupakan aljabar unital jika E0 berhingga, serta KE berdimensi

hingga jika graf E berhingga dan asiklis. Hasil penelitian mutakhir oleh Moli-

na (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010) tentang aljabar lintasan KE adalah dite-

mukannya syarat perlu dan cukup pada suatu graf E sedemikian sehingga aljabar

lintasan KE merupakan aljabar semiprima.

Sebarang graf E dapat diperluas dengan cara menambahkan himpunan sisi-

sisi dengan arah kebalikan dari sisi-sisi dalam E1. Sisi-sisi dalam E1 disebut sisi-

sisi nyata (real edges) dan sisi-sisi dengan arah kebalikannya disebut sisi-sisi hantu

(ghost edges). Himpunan semua sisi hantu dinotasikan (E1)∗. Selanjutnya, graf

perluasan (extended graph) didefinisikan oleh Leavitt (1962) sebagai pasangan 4-

tupel, E = (E0, E1 ∪ (E1)∗, s′, r′), dengan dua fungsi s′, r′ dari E1 ∪ (E1)∗ ke

E0 didefinisikan sebagai s′|E1 = s, s′|(E1)∗ = r, r′|E1 = r, r′|(E1)∗ = s. Aljabar lin-

tasanKE yang terbentuk dari graf perluasan Leavitt disebut aljabar lintasan Leavitt

(Leavitt Path Algebra), jika memenuhi dua syarat Cuntz-Krieger. Aljabar lintasan

Leavitt pada graf E atas lapangan K dinotasikan dengan LK(E) yang juga meru-

pakan K-aljabar bebas.(Abrams dan Aranda Pino,2008)

Selain aljabar lintasan, penelitian aljabar lintasan Leavitt atas lapangan terus

berkembang yang menghasilkan teori-teori baru. Beberapa topik penelitian telah

dilakukan dan diperoleh hasil antara lain ditemukannya syarat perlu dan cukup pada

graf E sedemikian sehingga aljabar lintasan Leavitt LK(E) berdimensi berhingga

(Aranda Pino, dkk., 2007); LK(E) bersifat sederhana (Abrams dan Aranda Pino,

2005, 2008); LK(E) adalah Locally Finite atau Noether (Abrams, dkk. , 2008);

dan LK(E) merupakan aljabar prima (Aranda Pino, dkk., 2006, 2009; Larki,2012).

Hasil lain dari penelitian Aranda Pino, dkk. (2008, 2010), bahwa sebarang aljabar

lintasan Leavitt LK(E) bersifat nondegenerate atau merupakan aljabar semiprima.

Aljabar lintasan Leavitt LK(E) bersifat sederhana bukan karena lapangan

yang pasti merupakan ring sederhana, namun bergantung pada struktur graf yang

memenuhi syarat tertentu. Syarat perlu dan cukup dari aljabar tersebut berdimensi

berhingga bergantung pada grafnya yang asiklis. Demikian pula sifat semiseder-

3

hana dan prima dari LK(E), bahkan keprimaan ideal bertingkat dalam LK(E)

bergantung pula pada struktur grafnya. Selain itu, syarat perlu dan cukup aljabar

lintasan KE semiprima bergantung pada struktur grafnya pula. Hal inilah yang

menimbulkan dugaan bahwa hasil-hasil penelitian di atas dapat dikembangkan pada

ruang lingkup yang lebih umum. Perumuman ruang lingkup yang dapat dilakukan

antara lain pengembangan aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring ko-

mutatif dengan elemen satuan.

Ide pengembangan aljabar lintasan Leavitt LR(E) atas ring komutatif de-

ngan elemen satuan, telah dimulai oleh Tomforde (2011). Aljabar lintasan Leavitt

LR(E) merupakan R-aljabar bebas dengan basisnya suatu subhimpunan dari him-

punan semua lintasan dari graf perluasan E, yang dinyatakan sebagai :

LR(E) = SpanR {αβ∗ : α, β ∈ Path(E), r(α) = r(β)} (1.1)

Selanjutnya, Tomforde mengkaji sifat-sifat aljabar lintasan Leavitt yang tetap berlaku

pada LR(E), dan beberapa sifat yang sedikit berbeda antara LK(E) dan LR(E),

seperti Teorema Ketunggalan Bertingkat dan Teorema Ketunggalan Cuntz-Krieger.

Temuan lain yang menarik untuk dikaji lebih jauh dari Tomforde (2011)

adalah ditemukannya definisi ideal dasar (basic ideal) pada LR(E). Ideal I dari

LR(E) dikatakan ideal dasar, jika memenuhi sifat :

∀c ∈ R\{0},∀v ∈ E0, cv ∈ I ⇒ v ∈ I (1.2)

Sifat (1.2) selalu berlaku pada setiap ideal dalam LK(E), karena setiap koefisien

tak nol dalam K selalu memiliki invers. Artinya, sebarang ideal dalam LK(E)

merupakan ideal dasar.

Berdasar definisi ideal dasar tersebut, Tomforde (2011) mendefinisikan al-

jabar sederhana mendasar (basically simple algebras) pada LR(E).Aljabar lintasan

Leavitt LR(E) bersifat sederhana mendasar jika ideal dasar dari LR(E) hanyalah

{0} dan LR(E). Selanjutnya, Tomforde (2011) menemukan syarat perlu dan cukup

aljabar lintasan Leavitt LR(E) sederhana mendasar yang bergantung pada bentuk

grafnya. Hal ini sejalan dengan temuan Abrams dan Aranda Pino (2005, 2008).

4

Aljabar (ring) semisederhana adalah aljabar (ring) yang merupakan hasil

tambah langsung dari ideal-ideal minimalnya, yaitu ideal yang tidak memuat ideal

sejati selain dirinya sendiri. Secara analog, ideal dasar dalam LR(E) yang tidak

memuat ideal dasar sejati selain dirinya sendiri dikatakan ideal dasar minimal. Se-

cara analog pula, LR(E) bersifat semisederhana mendasar jika LR(E) merupakan

hasil tambah langsung dari ideal-ideal dasar minimal dalam LR(E). Salah satu ke-

las khusus lain dari aljabar berdasarkan sifat idealnya adalah aljabar (semi) prima

(Wisbauer (1991) dan Lam (1991)). Senada dengan kelas khusus tersebut, dapat

didefinisikan ideal dasar (semi) prima dari LR(E) yang menentukan sifat aljabar

LR(E) yang (semi) prima mendasar.

Uraian di atas menginspirasikan penelitian atau kajian guna menyelidiki

syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam LR(E) bersifat prima. Hasil ini

berimplikasi syarat perlu dan cukup pada graf sedemikian sehingga aljabar lintasan

Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan LR(E) merupakan aljabar prima

mendasar. Selain itu, berdasar temuan Abrams dan Aranda Pino (2008) dan Aranda

Pino, dkk. (2010) bahwa sebarang LK(E) merupakan aljabar semiprima, akan dise-

lidiki apakah sebarang LR(E) juga semiprima mendasar. Hal ini menginspirasikan

perlunya diselidiki sifat semiprima dari ideal-ideal dasar dalam LR(E).

Aljabar lintasan KE merupakan subaljabar bertingkat dari aljabar lintasan

Leavitt LK(E) (Aranda Pino, dkk.,2010). Namun, berbeda dengan aljabar lintasan

Leavitt LK(E), aljabar lintasan KE tidak selalu merupakan aljabar semiprima.

Temuan Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010) tentang syarat perlu dan

cukup pada suatu graf E sehingga KE merupakan aljabar semiprima, memberikan

indikasi bahwa syarat tersebut merupakan syarat perlu keprimaan KE.

Konstruksi aljabar lintasan Leavitt LR(E) oleh Tomforde (2011) dan Lar-

ki (2012), menginspirasikan perumuman aljabar lintasan atas ring komutatif dengan

elemen satuan,RE.Aljabar lintasanRE juga merupakanR-aljabar bebas, mengacu

pada konstruksi aljabar lintasan KE dari Assem, dkk. (2006), Molina (2008) dan

Aranda Pino, dkk. (2010). Jika diperhatikan konstruksi ideal sisi (arrow ideal)

5

dalam KE serta ideal-ideal yang termuat dalam ideal sisi (Assem, dkk.,2006), ma-

ka konstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE, tidak dapat secara langsung

dianalogkan dengan ideal dasar dalam LR(E). Konstruksi ideal dasar dalam aljabar

lintasan RE merupakan masalah sangat penting untuk mengkaji sifat-sifat aljabar

lintasan RE, khususnya keprimaan mendasarnya.

Secara umum, aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt merupakan al-

jabar bebas. Jika diberikan aljabar bebas A atas lapangan K dan ideal I ′ ⊆ A maka

selalu berlaku sifat bahwa

∀ basis X ⊂ A, ∀k ∈ K\{0},∀x ∈ X, kx ∈ I′ ⇒ x ∈ I′ (1.3)

Sifat (1.3) belum tentu berlaku pada ideal I ′ dalam R-aljabar bebas atas ring komu-

tatif dengan elemen satuan. Kita dapat mendefinisikan ideal dasar dalam R-aljabar

bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, yakni ideal yang memenuhi (1.3)

dengan menggantikan lapangan K dengan ring komutatif R dengan elemen satuan.

Definisi ini merupakan generalisasi ideal dasar dalamLR(E) oleh Tomforde (2011).

Merujuk Wisbauer (1991) dan Lam (1991), ideal dasar minimal dan ideal

dasar (semi) prima dalam R-aljabar bebas dapat didefinisikan. Secara analog pu-

la, R-aljabar bebas dapat dikarakterisasi berdasarkan sifat ideal dasarnya, seperti :

R-aljabar bebas merupakan aljabar (semi) prima mendasar jika ideal nolnya meru-

pakan ideal dasar (semi) prima. Kajian tentang sifat ideal dasar (semi) prima dalam

R-aljabar bebas sangat mendukung pembahasan tentang sifat prima dan semiprima

mendasar aljabar lintasan RE dan aljabar lintasan Leavitt LR(E).

1.2 Rumusan Masalah

Uraian dalam latar belakang masalah di atas menyiratkan banyaknya masalah

terbuka dalam aljabar lintasan maupun aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif

dengan elemen satuan. Namun, gagasan utama yang dikaji dalam disertasi ini

adalah keprimaan mendasar aljabar lintasan RE dan aljabar lintasan Leavitt LR(E)

atas ring komutatif dengan elemen satuan pada graf berhingga. Pembatasan graf

berhingga dimaksudkan untuk mendapatkan aljabar lintasan dan aljabar lintasan

6

Leavitt unital, karena definisi sifat (semi) prima mendasar mensyaratkan R-aljabar

bebas unital. Secara terperinci, masalah-masalah dalam telaah keprimaan mendasar

aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Bagaimana konstruksi ideal dasar dalam aljabar bebas atas ring komutatif

dengan elemen satuan sebagai generalisasi ideal dasar dalam aljabar lintasan

Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan. Ideal dasar ini yang akan

mengkarakterisasi sifat-sifat prima dan semiprima mendasar aljabar bebas

tersebut. Sifat-sifat tersebut akan mendukung pembuktian sifat-sifat kepri-

maan mendasar aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt ini.

2. Bagaimana konstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE yang dibangun

oleh subhimpunan herediter dan tersaturasi sebagai generalisasi ideal dasar

dalam aljabar lintasan Leavitt LR(E) dan sekaligus generalisasi dari ideal sisi

dalam aljabar lintasan RE. Konstruksi ini sangat penting dalam penentuan

syarat perlu dan cukupnya ideal dasar tersebut merupakan ideal dasar (semi)

prima, sehingga dapat ditentukan syarat perlu dan cukup suatu graf sehingga

aljabar lintasan RE (semi) prima mendasar.

3. Apakah syarat perlu dan cukup suatu graf sedemikian sehingga aljabar lin-

tasan Leavitt LR(E) merupakan aljabar prima mendasar, sama dengan pada

sifat prima aljabar lintasan Leavitt atas lapangan. Demikian pula, apakah

sebarang LR(E) bersifat semiprima mendasar, dan bagaimana dengan ke-

semiprimaan ideal-ideal dasar dalam LR(E).

1.3 Tujuan Penelitian

Terdapat tiga (3) bagian permasalahan yang diselesaikan dalam penelitian

ini. Berdasarkan rumusan masalah di atas, ditetapkan bahwa tujuan dari penelitian

disertasi ini adalah sebagai berikut :

1. Menelaah R-aljabar bebas yang merupakan generalisasi dari aljabar lintasan

dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan, se-

7

hingga menghasilkan konstruksi ideal dasar dalam R-aljabar bebas beserta

sifat-sifatnya.

2. Menemukan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam R-aljabar bebas

merupakan ideal dasar (semi) prima yang akan menghasilkan syarat perlu dan

cukup R-aljabar bebas merupakan aljabar (semi) prima mendasar.

3. Menghasilkan konstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE yang diben-

tuk oleh subhimpunan herediter tersaturasi beserta sifat-sifatnya.

4. Menemukan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam RE adalah pri-

ma, yang berakibat ditemukannya syarat perlu dan cukup suatu graf sehingga

aljabar lintasan RE merupakan aljabar prima mendasar.

5. Menentukan syarat perlu dan cukup suatu graf sehingga aljabar lintasan RE

merupakan aljabar semiprima mendasar, dengan menentukan syarat perlu dan

cukup suatu ideal dasar dalam RE adalah semiprima.

6. Menentukan syarat perlu dan cukup aljabar lintasan Leavitt LR(E) prima

mendasar.

7. Menyelidiki keberlakuan bahwa sebarang ideal dasar dalam LR(E) adalah

semiprima sehingga sebarang aljabar lintasan Leavitt LR(E) pasti semiprima

mendasar.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi pengem-

bangan ilmu pengetahuan, khususnya yang berkaitan dengan struktur aljabar dan

lebih khusus lagi berkaitan dengan aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas

ring komutatif dengan elemen satuan. Secara rinci, manfaat yang diharapkan dalam

penelitian ini adalah :

1. Membuka peluang untuk mengembangkan definisi ideal dasar dari LR(E)

pada aljabar bebas pada umumnya, sehingga dapat memperkaya pengetahuan

8

tentang sifat (semi) sederhana mendasar dan (semi) prima mendasar pada al-

jabar bebas.

2. Ideal dasar dalam R-aljabar bebas dapat diaplikasikan untuk mengkonstruk-

si ideal dasar dalam aljabar lintasan RE, sehingga dapat ditentukan syarat

perlu dan cukupnya suatu graf sehingga aljabar lintasan RE (semi) prima

mendasar.

3. Membawa hasil-hasil penelitian sebelumnya tentang syarat perlu dan cukup

sifat sederhana mendasar aljabar lintasan leavitt LR(E) atas ring komutatif

dengan elemen satuan, ke permasalahan yang lebih umum yaitu syarat perlu

dan cukup LR(E) prima mendasar ataupun semiprima mendasar.

4. Mampu menjadi motivasi dan ide bagi para peneliti lain untuk dapat mengem-

bangkan permasalahan yang belum terpecahkan dalam penelitian ini.

1.5 Tinjauan Pustaka

Aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt merupakan aljabar bebas. Peneli-

ti merujuk Grillet (2007) untuk mengkaji R-aljabar bebas unital dengan R adalah

ring dengan elemen satuan. Karena aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas

ring komutatif dengan elemen satuan sebagai ruang lingkup penelitian ini, maka

pembicaraan R-aljabar bebas unital dikhususkan dengan R ring komutatif dengan

elemen satuan.

Ideal dasar dalam aljabar lintasan Leavitt LR(E) yang didefinisikan oleh

Tomforde (2011) sangat berperan dalam pengembangan penelitian ini. Definisi ini

dapat diperumum menjadi definisi ideal dasar dalamR-aljabar bebas, menggunakan

sifat basisnya. Selanjutnya,R-aljabar bebas dapat dikarakterisasi berdasarkan ideal-

ideal dasar, analog dengan aljabar (ring) yang dapat dikarakterisasi berdasarkan

ideal-idealnya sebagaimana dalam Wisbauer (1991) dan Lam (1991).

Pengembangan aljabar lintasan Leavitt telah banyak dilakukan dalam dekade

terakhir ini. Para peneliti telah mengkonstruksi aljabar lintasan Leavitt baik atas la-

9

pangan maupun atas ring komutatif dengan elemen satuan. Beberapa teorema atau

lema penting telah dihasilkan dari penelitian-penelitian tersebut.

Pengembangan aljabar lintasan RE atas ring komutatif dengan elemen sa-

tuan dilakukan dengan mengacu kajian aljabar lintasan atas lapangan KE dari As-

sem, dkk. (2006), Ara, dkk. (2007), Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010).

Berdasarkan pengertian ideal sisi dalam KE oleh Assem, dkk. (2006), dapatlah

didefinisikan ideal sisi dalam RE dengan E graf berhingga terhubung, sebagai ide-

al yang terdiri dari kombinasi linear dari lintasan-lintasan dengan panjang ≥ 1.

Ideal sisi ini merupakan ideal dasar dalam RE yang tidak memuat titik, dan dapat

diperumum menjadi ideal dasar dalam RE pada graf yang tidak terhubung. Se-

lain itu, ideal dasar tersebut memuat subhimpunan herediter tersaturasi yang cara

membentuknya, senada dengan ideal dasar dalam LR(E) yang dikonstruksi oleh

Tomforde (2011) dan ideal dalam LK(E) oleh Aranda Pino, dkk. (2009). Namun,

sifat-sifat ideal dasar dalamRE tidak sama persis dengan ideal dasar dalam LR(E).

Temuan penting dalam aljabar lintasan KE oleh Molina (2008) dan Aranda

Pino, dkk. (2010) adalah syarat perlu dan cukup suatu graf sedemikian sehingga

KE merupakan aljabar semiprima. Temuan ini tidak diikuti dengan kajian kepri-

maan ideal dalam KE. Namun, temuan tersebut menginspirasikan bahwa syarat

tersebut tetap bertahan pada aljabar lintasan RE yang semiprima mendasar. Selain

itu, temuan tersebut juga mengisyaratkan bahwa syarat perlu dan cukup tersebut

merupakan syarat perlunya aljabar lintasan KE merupakan aljabar prima. Hal ini

sebagai motivasi untuk meneliti bagaimana syarat perlu dan cukup aljabar lintasan

RE merupakan aljabar prima mendasar. Kajian diawali dengan mencari syarat perlu

dan cukup ideal dasar dalam RE yang dibentuk oleh subhimpunan herediter tersa-

turasi, merupakan ideal dasar prima. Kajian ini didukung pula oleh temuan Aranda

Pino, dkk., (2006, 2009) tentang syarat perlu dan cukup ideal yang dibentuk sub-

himpunan herediter tersaturasi dalam LK(E) merupakan ideal prima.

Aljabar lintasan Leavitt LR(E) oleh Larki (2012) dipandang sebagai ring

(aljabar atas dirinya sendiri), yang kajiannya menghasilkan syarat perlu dan cukup

10

LR(E) merupakan ring prima, yaituRmerupakan daerah integral danE0 memenuhi

kondisi ekor maksimal. Karena lapangan pasti merupakan daerah integral, maka

sifat ini berakibat bahwa syarat perlu dan cukup LK(E) merupakan aljabar (ring)

prima adalah E0 memenuhi kondisi ekor maksimal. Temuan yang sama dihasilkan

oleh Aranda Pino, dkk., (2006, 2009), sebagai akibat dari suatu proposisi yang

menyatakan bahwa ideal yang dibentuk oleh subhimpunan herediter tersaturasi H,

yakni IH merupakan ideal prima jika dan hanya jika M = E0\H memenuhi kon-

disi ekor maksimal. Uraian ini memberikan inspirasi bahwa syarat perlu dan cukup

tersebut tetap berlaku pada keprimaan ideal dasar IH dalam LR(E).

Temuan lain dalam aljabar lintasan Leavitt LK(E) dari Aranda Pino, dkk.,

(2008, 2009) adalah bahwa sebarang LK(E) memenuhi sifat nondegenerate yang

ekuivalen dengan aljabar semiprima. Temuan ini menjadikan dasar untuk menduga

bahwa sebarang LR(E) merupakan aljabar semiprima mendasar. Namun, dalam

pembuktiannya tidak dengan ditunjukkan bahwa LR(E) memenuhi sifat nondege-

nerate. Hal ini dikarenakan aljabar semiprima mendasar belum tentu merupakan

aljabar semiprima, yang ditunjukkan dengan suatu contoh penyangkal.

Kajian aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif de-

ngan elemen satuan pada graf berhingga memerlukan penguasaan materi dasar teori

graf, teori ring, aljabar dan aljabar lintasan. Graf sebagai objek kombinatorial be-

serta istilah-istilah dalam graf dipelajari dari buku Rosen (2003) dan referensi dari

Godsil dan Royle (2001). Graf atau quiver dengan pendekatan aljabar banyak diru-

juk dari Assem, dkk. (2006), Ara, dkk. (2007), Molina (2008) dan Aranda Pino,

dkk. (2010).

Pembahasan tentang ring komutatif, lapangan, ideal, ideal (semi) prima, dan

ring (semi) prima beserta sifat-sifatnya, juga teori modul dan aljabar mengacu pada

referensi Dummit dan Foote (2004), Rotman (2003), Grillet (2007), Lam (1991)

dan Wisbauer (1991,1996). Penggabungan graf yang dipandang secara aljabar se-

bagai semigrup multiplikasi dengan lapangan atau ring, secara teori dapat dirujuk

dalam buku Passman (1997) dan Wisbauer (1991). Guna memahami paper Tom-

11

forde (2011) diperlukan teori latis (Lattice theory) yang dipelajari dalam Chajda,

dkk. (2007).

Berbeda dengan penelitian-penelitian sebelumnya, dalam penelitian ini akan

dilakukan hal-hal berikut :

1. Akan ditelaah R-aljabar bebas dengan sifat-sifatnya sehingga menghasilkan

konstruksi ideal dasar dalam R-aljabar bebas. Selanjutnya, akan diteliti sifat-

sifat (semi) prima mendasar dari R-aljabar bebas. Pengkajian ini tidak ter-

lepas dari keterkaitan terminologi ideal dasar (semi) prima beserta sifat-sifat-

nya. Hasil ini akan digunakan untuk membuktikan sifat (semi) prima aljabar

lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satu-

an.

2. Akan dikonstruksi aljabar lintasan RE atas ring komutatif dengan elemen

satuan sehingga dihasilkan konstruksi ideal dasar di dalamnya beserta sifat-

sifatnya.

3. Akan dicari syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam RE merupakan

ideal dasar (semi) prima, sehingga ditemukan syarat perlu dan cukupnya RE

merupakan aljabar (semi) prima mendasar.

4. Akan dicari syarat perlu dan cukup LR(E) bersifat prima mendasar dengan

menentukan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam LR(E) bersifat

prima, secara analog dalam aljabar lintasan Leavitt LK(E) atas lapangan.

5. Akan diselidiki apakah sebarang ideal dasar dalam LR(E) merupakan ide-

al dasar semiprima, sehingga sebarang aljabar lintasan Leavitt LR(E) selalu

merupakan aljabar semiprima mendasar.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini merupakan reseach and development yang didasarkan pada

studi pustaka dan kajian teoritis. Sebagian metode yang digunakan dalam peneli-

tian ini adalah metode deduksi-induksi. Deduksi adalah cara berpikir yang di-

12

tangkap atau diambil dari pernyataan yang bersifat umum lalu ditarik kesimpulan

yang bersifat khusus. Sebaliknya, metode induktif adalah metode yang digunakan

dalam berpikir dengan bertolak dari hal-hal khusus ke umum.

Secara umum langkah-langkah yang dilakukan selama penelitian sampai

dengan diperolehnya hasil penelitian adalah sebagai berikut :

1. Kajian teori-teori dasar yang berkaitan dengan aljabar lintasan (KE) dan al-

jabar lintasan Leavitt (LK(E)) atas lapangan, serta ide konstruksi aljabar lin-

tasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan (LR(E)) pada graf

berhingga sebagai generalisasi LK(E), terutama ide didefinisikannya ideal

dasar dan sifat sederhana mendasar aljabar LR(E).

2. Pengembangan penelitian diawali dengan metode deduksi-induksi sehing-

ga diperoleh definisi ideal dasar minimal, ideal dasar prima dan ideal dasar

semiprima dalam LR(E) pada graf berhingga sampai dengan sifat-sifat semi-

sederhana mendasar dan keprimaan mendasar pada aljabar tersebut.

3. Kajian aljabar bebas atas ring komutatif R dengan elemen satuan (R-aljabar

bebas) diperlukan karena aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt meru-

pakan aljabar bebas, dan diperolehlah generalisasi ideal dasar dalamR-aljabar

Bebas. Selanjutnya, dihasilkan pula sifat-sifat penting dari R-aljabar bebas

yang (semi) sederhana mendasar dan (semi) prima mendasar.

4. Konstruksi ideal dasar IH dalamRE yang memuat subhimpunan herediterH,

yang evolusinya berawal dari definisi ideal sisi dalam KE. Selain merupakan

generalisasi ideal dasar dalam LR(E), ideal dasar IH dalam RE berperan

dalam penemuan syarat perlu dan cukup suatu graf berhingga sehingga RE

bersifat (semi) prima mendasar berdasarkan temuan syarat perlu dan cukup

ideal dasar tersebut (semi) prima.

5. Pengembangan penelitian dilakukan untuk mencari syarat perlu dan cukup

ideal dasar IH dalam LR(E) merupakan ideal dasar prima, sehingga diper-

oleh syarat perlu dan cukup aljabar lintasan Leavitt LR(E) bersifat prima

13

mendasar. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa sebarang ideal dasar dalam

LR(E) merupakan ideal dasar semiprima, yang berakibat sebarang aljabar

lintasan Leavitt LR(E) bersifat semiprima mendasar.

Langkah-langkah penelitian di atas dapat disederhanakan dengan diagram

dalam Gambar 1.1 berikut :

Gambar 1.1 Flowchart Langkah-langkah Penelitian Disertasi

Anak panah menunjukkan hubungan antara teori, konsep yang melandasi, dan hasil

yang diperoleh. Lebih khusus, anak panah warna biru menandai suatu proses peru-

muman (generalisasi) dan warna hijau menunjukkan adanya perluasan. Perumuman

maupun perluasan yang dilakukan peneliti, ditandai oleh anak panah dengan garis

putus-putus. Adapun hasil penelitian yang diperoleh, ditandai dengan garis putus-

putus warna coklat.

14

1.7 Sistematika Penulisan

Laporan penelitian disertasi ini terdiri dari lima (5) bab, dengan masing-

masing bab terdiri dari beberapa subbab dan subsubbab. Penulisan kutipan yang

digunakan adalah bodynote dengan tanda kurung terdiri dari nama penulis (au-

thor) dan tahun penerbitan referensi, sesuai dengan template yang ditentukan. Jika

penulis lebih dari dua orang, akan dituliskan penulis pertama ditambahkan dkk.

Secara umum, definisi, lema, proposisi, teorema, dan contoh yang merujuk su-

atu referensi, kutipan disisipkan setelah penomerannya. Penomeran definisi, lema,

proposisi, teorema dan contoh diurutkan berdasarkan bab dan subbabnya. Ada-

pun penomeran gambar maupun persamaan hanya berdasarkan bab tanpa memper-

hatikan subbab ke berapa.

Bab I adalah Pendahuluan, terdiri dari tujuh (7) subbab. Latar belakang

masalah menjelaskan ide atau motivasi terpilihnya topik disertasi sehingga muncul

rumusan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat penelitian. Tinjauan pustaka meng-

gambarkan perjalanan penelitian-penelitian serupa yang menjadi inspirator dan dasar

pengembangan penelitian ini, serta menunjukkan posisi dan perbedaan penelitian

disertasi ini dengan penelitian sebelumnya. Langkah-langkah penelitian dijabarkan

pada metode penelitian, sedangkan subbab terakhir tentang sistematika penulisan.

Penulisan laporan penelitian disertasi ini tidak mengkhususkan landasan atau

dasar teori dalam bab tersendiri, namun tersebar dalam bab II, III, dan IV yang juga

berisi hasil penelitiannya. Namun demikian, bab II tetap merupakan pijakan untuk

membuktikan beberapa temuan dalam bab berikutnya. Pemilihan sistematika terse-

but beralasan agar fokus dari setiap bab lebih tegas, bab II lebih umum dari bab III,

bab III lebih umum dari bab IV, namun bab IV lebih luas dari bab III.

Bab II berisi dua (2) subbab, dengan subbab 2.1 merupakan dasar teori ten-

tang graf yang terdiri dua (2) subsubbab dan subbab 2.2 terdiri dari tiga (3) sub-

subbab. Tidak ada hal yang baru dalam subbab 2.1 dan subsubbab 2.2.1. Beberapa

temuan penting dalam bab II dipaparkan dalam subsubbab 2.2.2 dan 2.2.3. Temuan

penting dalam bab ini antara lain definisi dan sifat dari ideal dasar dan ideal bebas

15

dalam R-aljabar bebas, syarat perlu dan cukup ideal dasar dalam R-aljabar bebas

merupakan ideal dasar minimal maupun (semi) prima, juga syarat perlu dan cukup

R-aljabar bebas merupakan aljabar (semi) prima mendasar.

Salah satu topik besar disertasi ini adalah ”Sifat Prima dan Semiprima Men-

dasar Aljabar Lintasan”, disajikan dalam bab III yang terdiri dari empat (4) subbab.

Mayoritas kajian dalam bab ini merupakan hal baru, kecuali subbab 3.1 tentang Al-

jabar lintasan RE dan sifat-sifatnya yang merupakan perumuman aljabar lintasan

KE. Temuan berharga dalam bab ini adalah konstruksi ideal dasar bertingkat IH

dalam RE yang memuat subhimpunan herediter H, disajikan dalam subbab 3.2.

Evolusi ideal dasar tersebut diawali dari definisi ideal sisi dalam RE yang harus

didefinisikan pada graf berhingga dan terhubung. Evolusi tersebut memperlihatkan

berbagai bentuk ideal dasar dalamRE. Temuan penting lainnya dibahas dalam sub-

bab 3.3 dan 3.4, yaitu teorema tentang syarat perlu dan cukup ideal dasar IH meru-

pakan ideal dasar (semi) prima, jika subhimpunan herediterH juga tersaturasi. Teo-

rema tersebut berakibat ditemukannya syarat perlu dan cukup aljabar lintasan RE

bersifat (semi) prima mendasar.

Bab IV terdiri dari enam (6) subsubbab yang terbagi dalam tiga (3) sub-

bab, memaparkan tentang Sifat Prima dan Semiprima Mendasar Aljabar Lintasan

Leavitt. Tidak ada hal yang baru dalam subsubbab 4.1.1, 4.1.2 dan 4.2.1, kecuali

beberapa sifat LR(E) yang merupakan perumuman sifat LK(E). Secara beruru-

tan, ketiga subsubbab ini berisi tentang konstruksi aljabar lintasan Leavitt LR(E)

dan sifat-sifatnya serta konstruksi ideal dasar dalam LR(E). Adapun ketiga subsub-

bab terakhir dalam bab IV merupakan temuan hasil penelitian, kecuali tentang sifat

sederhana mendasar LR(E) dalam subsubbab 4.2.2 tentang beberapa sifat LR(E)

berdasarkan ideal dasarnya. Secara umum temuan dalam bab ini merupakan pe-

rumuman temuan-temuan sebelumnya, namun dibuktikan secara berbeda karena

peran ideal dasarnya. Perbedaan signifikan tampak pada subsubbab 4.3.1 akhir dan

4.3.2, terutama temuan bahwa sebarang ideal dasar bertingkat dalam LR(E) meru-

pakan ideal dasar semiprima yang berakibat sebarang LR(E) merupakan aljabar

semiprima mendasar.

16

Bab V hanya terdiri dari dua (2) subbab, yaitu Kesimpulan dan Masalah

Terbuka. Kesimpulan merupakan jawaban dari rumusan masalah yang merupakan

tujuan dari penelitian disertasi ini. Adapun Masalah Terbuka memaparkan kajian

yang berpeluang untuk dikembangkan dan ditindaklanjuti pada penelitian berikut-

nya.