Embed Size (px)
Citation preview
Outline
BAB 7. Integral
Program Studi Teknik Mesin
Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember
31st May 2017
Outline
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Pengertian
MATEMATIKA LANJUT
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Pengertian
Integral
Y Y ′ Y”
Turunan Turunan
Integral
Figure: Anti turunan
Secara umum
jika y ′ = dydx atau dy = y ′dx maka
Rdy = y =
Ry ′
Dapat ditulis
Untuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulisRF ′(x)dx = F (x) + c
Integral
Pengertian
Integral
Y Y ′ Y”
Turunan Turunan
Integral
Figure: Anti turunan
Secara umum
jika y ′ = dydx atau dy = y ′dx maka
Rdy = y =
Ry ′
Dapat ditulis
Untuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulisRF ′(x)dx = F (x) + c
Integral
Rumus dasar
MATEMATIKA LANJUT
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x2 − 4x) dx =
2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x2 − 4x) dx =
2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x2 − 4x) dx =
2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Sifat
MATEMATIKA LANJUT
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Teknik pengintegralan
MATEMATIKA LANJUT
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
c. Integral parsial (pertemuan minggu depan)
Bentuk umum integral parsial:R
u dv = uv −R
v du. Contoh:R3x .cos2x dx =
Integral
Penerapan integral
MATEMATIKA LANJUT
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =R b
a y dx
2 L2 = −R c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =R b
a y dx
2 L2 = −R c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =R b
a y dx
2 L2 = −R c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)
1 L1 =R b
a x dy
2 L2 = −R c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)
1 L1 =R b
a x dy
2 L2 = −R c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)
1 L1 =R b
a x dy
2 L2 = −R c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y1 = f (x)
x = a x = b
Y2 = g(x)
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva
1 L =R b
a (y1 − y2) dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y1 = f (x)
x = a x = b
Y2 = g(x)
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva
1 L =R b
a (y1 − y2) dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y = f (x)
x = a x = b
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x
1 v =QR b
a y2 dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y = f (x)
x = a x = b
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x
1 v =QR b
a y2 dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
X
y = b
y = a
X = f (y)
Y
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y
1 v =QR b
a x2 dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
X
y = b
y = a
X = f (y)
Y
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y
1 v =QR b
a x2 dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh
1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !
2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh
1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !
2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh
1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !
2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Thank You
