Pangkat Positif

Dalam pelajaran biologi atau fisika kadang-kadang

dijumpai bilangan yang sangat besar. Contohnya bilangan

Avogadro 6,02205 × 1023 atau massa bumi 3,98 × 1024 kg.

Demikian juga sering dijumpai bilangan yang sangat kecil

seperti konstanta gravitasi Newton 6,67 × 10-11 atau

diameter sel darah merah 7,75 × 10-7 m. Bilangan-bilangan

yang sangat besar atau sangat kecil ini ditulis dalam

notasi ilmiah atau notasi baku

a × 10n, dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan bulat

Pada penulisan a × 10n , n disebut pangkat.

Karena n bilangan bulat maka n dapat berupa bilangan

postif, negatif atau nol.

Dari pelajaran sebelumnya kalian sudah memahami bahwa: 32 = 3 × 3 (-2)3 = (-2) × (-2) × (-2) 54 = 5 × 5 × 5 × 5 210 = 2 × 2 × ….. × 2 10 faktor a6 = a × a × ….. × a 6 faktor Secara umum bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang

pada bilangan yang sama.

Apa yang akan kamu pelajari?

Menjelaskan pengertian bilangan berpangkat dengan pangkat positif, negatif dan nol

Mengubah pangkat positif menjadi negatif dan sebaliknya.

Mengenal arti pangkat positif dan negatif

Mengenal bentuk akar

Kata Kunci • Pangkat Positif • Pangkat Negatif • Pangkat Nol • Bentuk akar

5.1

94

Jika a sebarang bilangan dan n bilangan bulat positif maka an = a × a × ….. × a

n faktor

a disebut bilangan pokok atau basis n disebut pangkat atau eksponen

Bagaimana jika n = 1? Disepakati a1 = a. Contoh 1: Tentukan nilai dari

a. 123 b. 3,45 c. (-6) 7 Jawab:

a. 123 = 12 × 12 × 12 = 1728

b. 3,45 = 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 = 454.35424

c. (-6) 7 = -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 = -279936

Pangkat Negatif

Di depan kalian dapat menyatakan konstanta gravitasi Newton 0,0000000000667

dalam notasi baku sebagai 6,67 × 1110− . Perhatikan

6,67 × 1110− = 0,0000000000667

= 6,67 × 001000000000

1

= 6,67 × 1110

1

Maka 10-11 = 1110

1

Dapatkah kamu menyatakan diameter sel darah merah 0,000000775 m dalam bentuk pangkat? Secara umum, jika a sebarang bilangan tidak nol dan n bilangan bulat maka

nn

aa 1

=−

Mengapa a ≠ 0?

Contoh 2: Tentukan nilai dari

a. 2-3 b. 1,2-4 c. (-3) -5 Jawab:

a. 2-3 = 81

2221

213 =

××= = 0,125

b. 1,2-4 = 073621

212121211

211

4 ,,,,,,=

×××= = 0.4823

c. (-3) -5 = 2431

333331

31

5 −=

−×−×−×−×−=

− = -0.0041

Pangkat Nol Perhatikan bentuk pangkat berikut 23 = 8 22 = 4 21 = 2 Berapakah 20 ? Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya berkurang satu. Pada ruas kanan dari atas ke bawah selalu dibagi 2. Dengan demikian 20 = 1. Berapakah 30? 50? a0?

Ingat Semua bilangan kecuali nol jika dipangkatkan nol hasilnya 1.

96

Bentuk Akar Aulia mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Aulia akan menambahkan renda di salah satu sisinya. Berapa panjang renda yang diperlukan Aulia?

Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Aulia harus menentukan n × n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 90. Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai 900 = 30. Bentuk 900 dibaca ” akar kuadrat dari 900 ”. Berapakah nilai dari 5 ? Kita tidak dapat menentukan suatu bilangan rasional n sedemikian hingga n2 = 5. Selanjutnya ” akar kuadrat

dari 5 ” tetap ditulis dalam bentuk akar 5 dan 5 merupakan bilangan irrasional. Apakah ,,,, 20012174 merupakan bilangan irrasional? Mengapa ?

Jika 2 × 2 × 2 = 23 = 8 maka dapat ditulis 3 8 = 2.

Jika -3 × -3 × -3 × -3 × -3 = -243 maka 32435 −=− Tetapi walaupun -5 × -5 = 25 nilai dari 25 = 5. Untuk akar pangkat genap hanya digunakan nilai yang positif. Secara umum, Menyederhanakan Bentuk Akar Jika a, b bilangan positif maka babaab ×=×= Contoh 3: Sederhanakan bentuk akar berikut:

amu

ngan at

akar at

n

Jika n bilangan genap dan a suatu bilangan positif maka an = b berarti abn =

Jika n bilangan ganjil maka an = b berarti abn =

a. 8 b. 500 Jawab: a. 8 = 24× = 222224 =×=×

b. 500 = 5100× = 5105105100 =×=×

1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat

a. 7 × 7 × 7 × 7 × 7 b. 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 b. 8 × 32 d. n × n × n × n × n × n 2. Tentukan nilai dari

a. 54 b. 4

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ c. 35− d.

3

53⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan bentuk perpangkatan dari

bilangan 3 dan -4. 4. Ubahlah dalam pangkat negatif

a. 231 b. 5

1a

c. 32

p d. 4

5x

5. Ubahlah dalam pangkat positif

a. 42− b. 3−a c. 52 −p d. ( ) 63 −x

6. Tentukan nilai dari

a. 144 b. 256 c. 3 125 d. 3 343− 7. Sederhanakan

a. 128 b. 80 c. 450a 8. Ambil seutas benang atau tali, kemudian potong menjadi tiga bagian.

Satukan ketiga bagian tersebut kemudian potong lagi menjadi tiga bagian.

98

Berapa potong benang/tali yang akan diperoleh? Perkirakan berapa potong benang/tali yang akan diperoleh jika dilakukan pemotongan sebanyak 5 kali.

9. Sebuah bank menerapkan sistem bunga majemuk atau berganda, dimana

bunga yang diterima dibungakan lagi. Misal bank tersebut menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Jika Aulia menabung Rp 100.000,00 maka 1 bulan kemudian tabungan Aulia menjadi: 100000 + (100000 × 1%) = 100000 + (100000 × 0,01) = 100000 × ( 1 + 0,01) = 100000 × 1,01 Dua bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 1%) = (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 0,01)

= (100000 × 1,01) × ( 1 + 0,01) = 100000 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,012

Tiga bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01 × 1,01 ) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 1%) = (100000 × 1,01 × 1,01) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 0,01) = (100000 × 1,01 × 1,01) × (1 + 0,01) = 100000 × 1,01 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,013 Nyatakan besar tabungan Aulia dalam bentuk pangkat selama satu tahun.

10. Penampang melintang sebuah batang tumbuhan

dikotil di musim hujan mempunyai ukuran tertentu. Pada musim kemarau mengkerut sejauh x seperti pada gambar. Hitunglah prosentase penyusutan luas penampang batang tumbuhan dikotil tersebut.

•

√x

√x √x

√x

Operasi pada Bilangan Berpangkat

Setelah mengenal bilangan berpangkat dan bentuk akar, berikut ini kalian akan mempelajari operasi yang berlaku pada bilangan berpangkat dan bentuk akar serta bagaimana menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. Masalah 1 1. Lengkapilah 52 × 53 = (5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 5 × 5 × ... × ... × ... = 5...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan a. 34 × 33 b. (-2)3 × (-2)4 c. b2 × b5 d. 3-2 × 3-3 e. (-5)-4 × (-5)-2 f. a-3 × a-6

3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari am × an ?

Masalah 2 1. Lengkapilah

......×××××

=22222

22

2

5

= ... × ... × ... = 2...

Apa yang akan kamu pelajari?

Menyelesaikan operasi kali, bagi, tambah, kurang, dan pangkat pada bilangan berpangkat

Menyelesaikan operasi yang melibatkan bentuk akar

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar

Kata Kunci • Merasionalkan

penyebut

5.2

100

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:

a. 2

5

33 b. ( )

( )36

22

−

−

c. 5

2

cc d. 4

6

22−

−

−

−

)()(

e. 3

4

−

−

xx f. 6

5

−

−

aa

3. Jika a sebarang bilangan tidak nol dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk

sederhana dari n

m

aa ?

Masalah 3 1. Lengkapilah (32)3 = 32 × 32 × 32 = (3 × 3) × (... × ...) × (... × ...)

= 3... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:

a. (23)4 b. ((-3)2)5

c. (c2)4 d.

23

31

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

e. (c-5)2 f. (a-3)-1 3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari (am)n

Masalah 4 1. Lengkapilah (a × b)3 = (a × b) × (a × b) × (a × b) = (a × a × a) × (… × ... × ...) = a... × b... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:

a. (-2 × 3)5 b. (3 × 5)2 c. (p × q)4 d. (x × y)5(3 × 2)-3 e. (a × b)-2 f. (x × y)-5

3. Jika a dan b sebarang bilangan, n bilangan bulat , apakah bentuk sederhana dari: (a × b)n ?

Masalah 5 1. Lengkapilah

32

32

32

32

32 4

×××=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ............

××××××

3322

= ...

...

32

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan:

a. 3

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − b.

5

43⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

c. 4

27⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ d.

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qp

, q ≠ 0

e. 3

32 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f.

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

qp

, q ≠ 0

3. Jika a dan b sebarang bilangan, b ≠ 0, dan m bilangan bulat positif apakah bentuk

sederhana m

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ?

Rangkuman Jika m dan n bilangan bulat, dan a, b sebarang bilangan maka berlaku sifat-sifat berikut.

1. nmnm aaa +=×

2. ( ) mnnm aa =

3. nmn

ma

aa −= , a ≠ 0

4. ( ) nnn baba ×=×

5. m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , b ≠ 0

102

Menggunakan Kalkulator Untuk menghitung nilai bilangan berpangkat dapat digunakan kalkulator. Kalkulator jenis scientific biasanya memuat tombol

untuk menentukan nilai yx

atau tombol untuk menentukan akar pangkat dua. Contoh 1: Hitunglah 3,456 Jawab: Tekan tombol akan menghasilkan nilai Contoh 2: Hitunglah 789 Jawab: Tekan tombol akan menghasilkan nilai Contoh 3:

Hitunglah 5 456 Jawab:

5 456 = 51

456 = 20456 , Tekan tombol akan menghasilkan nilai

yx

3 . 4 5 = yx

1686.221298140625

28.089143810376278537410115784912

7 8 9

3.4024595321284907652092505444728

4 5 6 = yx 2 .

Menggunakan Komputer

Beberapa software komputer dapat digunakan untuk menghitung nilai bilangan berpangkat, diantaranya Microsoft Excel.

Contoh 4: Hitunglah 5,67-8 Jawab: Pada salah satu sel ketiklah: =5.67^-8 atau =POWER(5.67,-8) Contoh 5: Hitunglah 789 Jawab: Pada salah satu sel ketiklah: =SQRT(789) Contoh 6: Hitunglah 5 456

Jawab: 5 456 = 51

456 = 20456 , Pada salah satu sel ketiklah: =POWER(456,1/5)

Hasil 9.36129E-07 berarti 71036129,9 −× = 0,000000736129

104

1. Tentukan nilai dari

a. 82 × 84 b. (-3)2 × (-3)4 c. 5

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ d. (3 × 105) × (5 × 106)

b. 6

8

44 f . ( )

( )35

33

−− g. (53)5 h.

62

31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2. Jika a, b, dan c sebarang bilangan dan tidak nol, sederhanakan

a. (2a3)4 b. (4a5b2)2 × (2a3b-5)5 c. (-8(2c)-3)4 d. 425

543

cbacba

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan hasil operasi perpangkatan

dari bilangan 2, 3, dan 4. 4. Ubah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat negatif

a. 432 b. 4

5a

c. 54 31

31× d. 47

11aa

×

e. 22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ba f. 53

1a

5. Ubahlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat positif.

a. 3-2 × 3-5 b. 33 × 3-4 c. (-2)-2 × (-2)-4 d. (-3)3 × (-3)-5

e. ( )65

44−

−

−

−

)( f. 5

3

44

)()(

−

− −

6. Penalaran. Apakah an × bm = (ab)n+m ?

Jika ya beri alasan. Jika tidak beri contoh.

7. Hitunglah jika a ≠ 0 a. (5 a2)0 b. (22 × a0)4

8. Produksi baju suatu perusahaan garmen mengikuti

fungsi ( ) 3213

5−−

=t

b , dengan t bilangan bulat positif

yang menya-takan waktu berjalan dalam tahun. Keuntungan perusa-haan dinyatakan oleh p dari persamaan p = b × (10-3 × 22)-3. Berapakah keuntungan perusahaan selama 3 tahun? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

9. Bank A menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Bank B menerapkan bunga majemuk 12,5% per tahun. Jika Aulia ingin menabungkan uang Rp 100.000,00 selama 3 tahun, bank manakah yang menghasilkan tabungan lebih banyak? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

10. Salah satu tolok ukur tingkat kemakmuran suatu

negara diukur dari besarnya Gross National Product (GNP). Kenaikan GNP suatu negara setelah n tahun (Tn) dihitung dengan rumus Tn = GNP × tn, dimana t adalah rata-rata pertumbuhan GNP. Pada tahun 1986, GNP di Jepang 1.204 trilyun dolar, dengan rata-rata pertumbuhan GNP 4.85 % per tahun. Jika diasumsikan rata-rata pertumbuhan GNP Jepang tidak berubah, tentukan kenaikan GNP Jepng pada tahun 1990 dibandingkan tahun 1986.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

Pangkat Pecahan Bentuk 22 × = 2 dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat

sebagai 1222 =× xx . Ini berarti x + x = 1, atau 21=x .

Dengan demikian dapat dinyatakan 21

22 = .

Bentuk 3 2 dibaca ”akar pangkat 3 dari 2” yang berarti 3 2 × 3 2 × 3 2 = ( 3 2 )3 = 2. Dalam bentuk bilangan berpangkat dapat dinyatakan 2y × 2y × 2y = (2y)3 = 2

sehingga y = 31 . Dengan demikian 3 2 = 3

12 .

al-irsyad0.tripod.com

www.i-mrt.jp

106

Masalah 6 Tulislah dalam bentuk akar

a. 31

4

b. 51

3

c. 31

5

Nyatakan na1

dalam bentuk akar. Selidikilah syarat-syarat untuk a dan n. Apakah syarat a untuk n genap? Masalah 7

Di depan sudah dipahami makna dari 01

≥= a,aa nn , a bilangan positif,

n > 1 untuk n genap dan a bilangan sebarang untuk n ganjil.

Sekarang apakah makna dari nm

a , dengan m, n bilangan bulat lebih dari 1? Berikut 2 cara untuk menunjukkan hubungan akar dan pangkat pecahan. Cara 1 Cara 2

( )23

2

31

32

7

77

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

3 2

31

232

7

77

Ubahlah nm

a dalam bentuk akar!

Operasi pada Bentuk Akar

Masalah 8

Kalian telah memahami bahwa ( )mnn m aa = , nnn b.aab = dan ( )nma = amn.

Gunakan ketiga hal di atas untuk menghitung:

1. ( )23

2. 33 24 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3. 24 332 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4 . 63 23 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ a

5 . 64 22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

6. kn ma ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , jika a > 0, m, n bilangan bulat positif

Masalah 9

Sederhanakan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1. cbca + 2. cbca − 3. 2324 + 4. 333532 ++ 5. 575352 +− 6. 250546 ++ 7. ( )323334 −−

Ingat Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc

108

Masalah 10

Di atas kalian sudah mempelajari baab ×= . Bentuk ini dapat juga ditulis

sebagai perkalian bentuk akar abba =× . Hitunglah: a. 32 × b. 312 ×

c. 33 819 ×

d. 5 45 3 32 . e. b.a , a > 0 , b > 0

f. nn b.a , a > 0, b > 0, n bilangan bulat positif

g. n kn m b.a , a > 0 , b > 0, m, n bilangan bulat positif

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Kalian sudah memahami bahwa √2, √3, √5, √7 adalah bilangan irrasional.

Demikian juga 7

15

13

12

1 ,,, merupakan bilangan irrasional. Penyebut dari

pecahan-pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional, dan pengubahan ini disebut merasionalkan bentuk akar.

Contoh 1: Rasionalkan bentuk

a. 2

1

b. 32

3

Jawab:

a. 22

21

21

×= (pembilang dan penyebut dikalikan √2)

= 42

= 221

22 atau

Ingat

(a + b)(a - b) = a2 – b2

b. 33

323

323

×= (pembilang dan penyebut dikalikan √3)

= 9233

= 321

3233=

×

1. Hitunglah

a. 41

256 b. 21

15 c. 65

64 d. 32

27−

e. 47

41

77 × f.

4

43

5⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ g.

4143

16

16 h. 32

21

8

−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat

a. 36ba b. 4 828 yx c. 3 32125 ba d. 5 8532 yx

3. Nyatakan dalam bentuk akar

a. 32

x b. ( ) 83

85

7 ba c. 34

32

31

4 ya d. 63

64

61

cba

4. Mengapa n p tidak terdefinisi jika n genap dan p < 0?

5. Tulis bentuk lain yang ekuivalen dengan 3 46

6. Sederhanakan a. 5√3 + 4√3 + 6√2 - 3√2 b. √6 + √54 - √200

c. aaaa 183222 33 −+ d. (3 + √2)(3 - √2)

110

e. (√a - √b)(√a + √b)

f. 5423 baba

7. Arsitektur. Seorang arsitek akan membuat dinding dengan mengambil ide dari gelembung sabun jika luas permukaan gelembung sabun a maka volumenya v

diberikan oleh persamaan 3940 a,v = . Tentukan luas permukaan gelembung jika volumenya 7,5 cm3.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 8. Periode orbit dari satelit yang mengelilingi bumi

adalah 90 menit, jari-jari bumi adalah 6400 km.

Diberikan rumus 2

2

4πgmtr = , disini r

menyatakan jarak dalam meter dari pusat bumi ke satelit, g = 6,67 x 10-11, t menyatakan waktu dalam detik, m menyatakan massa bumi yaitu 5,98 x 1024 kg.

Tentukan jarak bumi dengan satelit. (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

9. Rasionalkan bentuk akar berikut

a. 8

2 b. 6

18 c. 41b

d. 53

6 e. 82

3

10. Dalam pelajaran fisika terdapat persamaan 31

3311 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ba. Ubahlah

persamaan tersebut dalam bentuk paling sederhana tanpa pangkat negatif.

Brasouw.tripod.com

www.censolar.es