Bab 14

Bab 14

Nonparametrik: Data Runtun

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Bab 14

NONPARAMETRIK: DATA RUNTUN

A. Pendahuluan

1. Data Statistika

• Selain menggunakan data frekuensi, tanda, dan peringkat, statistika nonparametrik juga menggunakan runtun

• Runtun mencakup peralihan dua unsur pada barisan data (dikotomi)

• Pengujian terutama dilakukan untuk keacakan data atau kesamaan data melalui data runtun

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

2. Data Runtun pada Barisan

Contoh 1

Misalkan pada sejumlah lemparan koin (M = muka, dan B = belakang), kita menemukan barisan data

MMMBBMMBBBBMBMBBMMM

Pada barisan data ini tampak peralihan dari M ke B atau dari B ke M

MMM BB MM BBBB M B M BB MMM

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Banyaknya peralihan ini (di sini 9 kali) dikenal sebagai runtun (r)

Barisan data di atas terdiri atas 9 runtun atau r = 9

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 2

Terdapat barisan data yang terdiri atas dua unsur (B = betul dan S = salah) sebagai berikut

BBSSBSBBBSSBSSS

Letak barisan data ini dapat diperjelas melalui

BB SS B S BBB SS B SSS

sehingga tampak bahwa runtun r = 8

Contoh 3

Barisan data adalah L = lelaki dan P = perempuan

LLLLLLLLLLPPPPPPPPPP

r =

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 4

Antrian yang terdiri atas L = lelaki dan P = perempuan adalah sebagai berikut

LPLPLPLPLPLPLPLPLPLP

Runtun r =

Contoh 5

Tentukan runtun r untuk barisan data berikut

(a) MMMMMMBBBBMMMMBBBBBB

(b) LLLGGLGGGLLLGGGGGLLGLL

(c) LPLPLLLPPLPLPLPLLLPLPLPLLPPPLPLPLPLLPLLPLLLLPLPLL

(d) TTTEEEETEEETTTTEETEETTTEETTTEEETEETTEEEETEEEETTEEEE

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

3. Data Runtun di Atas dan Bawah Median

Contoh 6

Pada barisan bilangan, kita dapat menentukan median, misalnya

5 2 2 1 6 5 3 3 1 6 5 2 1 4 4

Median bilangan ini adalah 3,27

Selanjutnya bilangan di atas median dinyatakan sebagai + , di bawah median dinyatakan sebagai , dan sama dengan median dinyatakan sebagai 0

Dengan ketentuan ini, barisan bilangan ini membentuk runtun berupa + dan

+ ++ ++ ++

sehingga r = 7

Beberapa buku menyatakan bahwa 0 sebaiknya diabaikan saja (+++0++ = 1 runtun)

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 7

Pada barisan bilangan

24 28 21 27 29 26 22 25 23

Median adalah 25 sehingga runtun di atas dan di bawah median adalah

+ + + + 0

Sehingga r = 5

Contoh 8

Tentukan runtun di atas dan di bawah median untuk barisan bilangan

82 73 68 72 78 75 92 84 76 85 77 85 79 84 88

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 9

Hitung runtun di atas dan di bawah median untuk barisan bilangan sebagai berikut

(a) 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 (ini adalah pecahan desimal pada )

(b) 04433 80674 24520 18222 10610 95794 37515 48611 62866 33963 (sengaja diberi spasi agar mudah dibaca; diambil dari tabel bilangan acak)

(c) 61 21 89 31 81 65 67 34 64 45 97 97 29 20 98 20 22 3 61 42 92 98 14 59 69 19 36 83 71 80 17 72 28 23 91 15 14 42 49 75 58 73 57 20 77 9 24 73 67 48 32 68 65 18 12 14 65 80 23 80 52 28 91 84 26 30 66 42 43 28 23 6 96 5 94 27 83 70 18 16 10 84 94 79 50 23 9 34 22 66 81 78 76 60 14 95 25 47 47 36

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

4. Pengujian Hipotesis Keacakan

• Hipotesis keacakan dapat diuji melalui runtun, runtun pada barisan serta runtun di atas dan di bawah median

• Jika runtun terlalu sedikit maka data tidak acak karena seperti diatur

• Jika runtun terlalu banyak maka data juga tidak acak karena seperti diatur

• Data adalah acak jika runtun tidak terlalu sedikit dan tidak terlalu banyak

• Uji hipotesis dilakukan melalui pendekatan ke distribusi probabilitas normal dengan melihat berapa jauh runtun r dari rerata (terlalu jauh dari rerata berarti tidak acak)

• Untuk sampel kecil uji hipotesis menggunakan tabel khusus

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

B. Uji Hipotesis Keacakan

1. Uji Hipotesis pada Sampel Besar

• Sampel dianggap besar jika ada n > 20

• Runtun di antara data X dan Y

• Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas normal

• Rerata dan kekeliruan baku r dan r adalah

)()(

)(

1

22

12

2

YXYX

YXYXYXr

YX

YXr

nnnn

nnnnnn

nn

nn

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 10

Pada suatu sampel antrian L dan P terdapat

nL = 30 nP = 20 r = 35

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel ini berasal dari populasi acak

• Hipotesis

H0 : Antrian acak

H1 : Antrian tidak acak

• Sampel

Statistik sampel menunjukkan

nL = 30 nP = 20 r = 35

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

• Distribusi probabilitas pensampelan

Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas normal dengan rerata dan kekeliruan baku

• Statistik uji

2512030

203021

2

))()((

PL

PLr nn

nn

35643

1

22

120302030

20302030220302

2

2

,

)()(

)(

)()(

))()(())()((

PLPL

PLPLPLr nnnn

nnnnnn

98235643

2535,

,

r

rrz

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

• Kriteria pengujian

Taraf signifikansi = 0,05

Pengujian pada dua ujung

Nilai kritis

Ujung bawah z(0,025) = 1,96

Ujung atas z(0,975) = 1,96

Tolak H0 jika z < 1,96 atau z > 1,96

Terima H0 jika 1,96 z 1,96

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 11

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 5 (c) berasal dari populasi barisan acak

Contoh 12

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 5 (d) berasal dari populasi barisan acak

Contoh 13

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 9(a) berasal dari populasi bilangan acak

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 14

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 9(b) berasal dari populasi bilangan acak

Contoh 15

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 9(c) berasal dari populasi bilangan acak

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

2. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil

• Sampel kecil adalah sampel dengan n 20

• Prinsip pengujian hipotesis adalah sama dengan uji hipotesis pada sampel besar

• Jika r terlalu sedikit maka data tidak acak karena data seperti diatur

• Jika r terlalu banyak maka data juga tida acak karena data seperti diatur

• Data adalah acak jika r tidak terlalu sedikit dan tidak terlalu banyak

• Pada sampel kecil, batas r sedikit dan r banyak disusun dalam satu tabel

• Nilai kritis pada taraf signifikansi 0,05 untuk runtun tercantum pada tabel berikut

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Tabel Nilai Kritis untuk Runtun ( = 0,05)

Nilai terbesar di antara n1 dan n2

n kecil 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

5 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5

10 10 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

6 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6

11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 7 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6

13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16 16

8 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7

14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17

9 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8

15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 18

10 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9

16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Nilai terbesar di antara n1 dan n2

n kecil 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9

17 18 19 19 19 20 20 20 21 21

12 7 8 8 8 9 9 9 10 10

19 19 20 20 21 21 21 22 22

13 8 9 9 9 10 10 10 10

20 20 21 21 22 22 23 23

14 9 9 10 10 10 11 11

21 22 22 23 23 23 24

15 10 10 11 11 11 12

22 23 23 24 24 25

16 11 11 11 12 12

23 24 25 25 25

17 11 12 12 13

25 25 26 26

18 12 13 13

26 26 27

19 13 13

27 27

20 14

28

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 16

Pada lemparan koin (M = muka dan B = belakang) sampel acak menghasilkan barisan dengan

nM = 10 nB = 10 r = 4

Pada taraf signifikansi = 0,05, uji apakah sampel ini berasal dari populasi acak

• Hipotesis

H0 : Lemparan koin adalah acak

H1 : Lemparan koin tidak acak

• Sampel

nM = 10 nB = 10 r = 4

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

• Distribusi Probabilitas Pensampelan

Sampel kecil dengan n terbesar = 10. Pengujian dilakukan melalui tabel nilai kritis


Dari tabel nilai kritis untuk = 0,05 diperoleh bahwa hipotesis H0 diterima pada

6 r 16

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05, tolak H0

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 17

Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 1

Contoh 18


Contoh 19


Contoh 20


Contoh 21

Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 5(a)

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 22

Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 5(b)

Contoh 23


Contoh 24


Contoh 25


------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

C. Uji Wald-Wolfowitz untuk Kesamaan Fungsi Distribusi Dua Populasi

1. Ketentuan Runtun

• Dua sampel, misalkan X dan Y, digabung dan disusun ke dalam peringkat

• Di dalam peringkat, urutan X dan Y yang bergantian membentuk runtun

• Apabila terdapat peringkat sama, ada buku yang menganjurkan agar data itu diabaikan

• Tetapi ada buku yang menganjurkan untuk melakukan undian dalam penentuan urutan

• Dan ada buku yang menganjurkan untuk melihat runtun rendah dan runtun tinggi

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

2. Penentuan Runtun

Contoh 26

Sampel X dan Y menunjukkan data sebagai berikut

X 20 37 55 50 64 41

Y 75 21 72 71 85 43 34 65 90 35

• Data X dan Y digabung sementara identitas tiap X dan Y tetap dikenal

• Gabungan data ini disusun ke dalam peringkat naik

• Urutan X dan Y pada peringkat itu membentuk runtun

• Daripadanya diperoleh nX, nY, dan r

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Peringkat data gabungan X dan Y

Asal Data Peringkat

X 20 1

Y 21 2

Y 34 3

Y 35 4 nX = 6

X 37 5

X 41 6 nY = 10

Y 43 7

X 50 8 r = 6

X 55 9

X 64 10

Y 65 11

Y 71 12

Y 72 13

Y 75 14

Y 85 15

Y 90 16

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 27

Hitung runtun pada sampel berikut

X 68 67 58 62 60 67

Y 60 59 72 73 56 53 43 50 65 56 56 56 57 36

Contoh 28


X 83 91 94 89 89 96 91 92 90

Y 78 82 81 77 79 81 80 81

Contoh 29


X 74 72 77 76 76 73 75 73 74 75

Y 75 77 78 79 77 73 78 79 78 80

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 30


X 86 69 72 65 113 65 118 45 141 104 41 50

Y 55 40 22 58 16 7 9 16 26 36 20 15

Contoh 31


X 39,1 41,2 45,2 46,2 48,4 48,7 55,0 40,6 52,1 47,2

Y 35,2 39,2 40,9 38,1 34,4 29,1 41,8 24,3 32,4 32,6

Contoh 32


X 20 55 29 24 75 56 31 45 Y 23 8 24 15 8 6 15 15 21 23 16 15 24 15

21 15 18 14 22 15 14

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 33


X 227 55 184 174 176 234 147 194 252 194 88 248 149 247 161 206 16 99 171 89

Y 209 271 63 19 14 151 184 127 165 235 53 151 171 147 228 101 292 99 271 179

Contoh 34


X 14,8 7,2 5,6 6,3 9,0 4,2 10,6 12,5 12,9 16,1 11,4 2,7

Y 12,7 14,2 12,6 2,1 17,7 11,8 16,9 7,9 16,0 10,6 5,6 5,6 7,6 11,3 8,3 6,7 3,6 1,0 2,4 6,4 9,1 6,7 18,6 3,2 6,2 6,1 15,3 10,6 1,8 5,9 9,9 10,6 14,8 5,0 2,6 4,0

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

3. Pengujian Hipotesis

• Uji hipotesis ditujukan untuk kesamaan fungsi distribusi dua populasi

• Jika satu fungsi distribusi lebih besar dari fungsi distribusi lainnya, maka yang besar akan terkumpul di peringkat tinggi dan yang kecil terkumpul di peringkat rendah; runtun menjadi sedikit

• Pada sampel besar, n > 20 distribusi pensampelan mendekati distribusi probabilitas normal dengan rerata dan kekeliruan baku seperti pada runtun satu sampel

• Pada sampel kecil n 20, nilai kritis pengujian hipotesis menggunakan tabel khusus seperti pada runtun satu sampel

------------------------------------------------------------------------------Bab 34

------------------------------------------------------------------------------

4. Uji Hipotesis pada Sampel Besar

• Sampel besar bila n terbesar > 20

• Distribusi probabilitas pensampelan mendekati distribusi probabilitas normal

• Rerata r dan kekeliruan baku r adalah

)()(

)(

1

22

12

2

YXYX

YXYXYXr

YX

YXr

nnnn

nnnnnn

nn

nn

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 35

Pada taraf signifikansi 0,05 diuji apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distribusinya

Sampel setelah dihitung runtunnya adalah sebagai berikut

nX = 8 nY = 21 r = 6

• Hipotesis

H0 : Populasi X dan Y adalah sama

H1 : Populasi X dan Y tidak sama

• Sampel

nX = 8 nY = 21 r = 6

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------


Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas normal dengan rerata dan kekeliruan baku

• Statistik uji

59121218

21821

2,

))()((

PL

PLr nn

nn

092

1

22

1218218

21821822182

2

2

,

)()(

)(

)()(

))()(())()((

PLPL

PLPLPLr nnnn

nnnnnn

153092

59126,

,

,

r

rrz

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------


Taraf signifikansi = 0,05

Pengujian pada dua ujung

Nilai kritis

Ujung bawah z(0,025) = 1,96

Ujung atas z(0,975) = 1,96

Tolak H0 jika z < 1,96 atau z > 1,96

Terima H0 jika 1,96 z 1,96

• Keputusan


------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 36

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distrbusinya untuk Contoh 32

Contoh 37


Contoh 38


------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

5. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil

Sampel kecil adalah n terbesar 20

Kriteria pengujian menggunakan tabel nilai kritis seperti pada runtun satu sampel

Contoh 39

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distribusinya, apabila sampel acak adalah

nX = 6 nY = 10 r = 6

• Hipotesis

H0 : Populasi X dan Y adalah sama

H1 : Populasi X dan Y tidak sama

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

• Sempel

nX = 6 nY = 10 r = 6


Sampel kecil, menggunakan tabel khusus


Dari tabel nilai kritis pada = 0,05, diperoleh bahwa hipotesis H0 diterima pada

4 r 13

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 40

Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi adalah sama fungsi distribusinya apabila sampel acak adalah seperti pada Conton 26

Contoh 41


Contoh 42


------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 43


Contoh 44


Contoh 45


------------------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

6. Uji Hipotesis pada Sampel Tidak Terlalu Besar

• Jika n terbesar > 20 maka pengujian hipotesis dilakukan pada distribusi probabilitas normal

• Statistik uji adalah

• Tetapi kalau n tidak terlalu besar di atas 20, maka statistik uji dapat dikoreksi menjadi

r

rrz

r

rrz

50,||

-----------------------------------------------------------------------Bab 14

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 46

Kita gunakan rumus ini untuk contoh 35 dan dalam hal ini

• Statistik uji

• Keputusan


922092

505912650,

,

,|,|,||

r

rrz

Documents

Bab 14