BAB XIII

TRANSFORMASI LAPLACE

13.1. Pendahuluan

Transformasi Laplace sangat berguna dalam analisa rangkaian dengan

perangsang sinusuida maupun nonsinusuida. Prinsip transformasi Laplace adalah

rangkaian ditransformasikan dari daerah waktu ke daerah frekuensi atau daerah

phasor yang kemudian hasilnya ditransformasikan lagi ke daerah waktu. Pembahasan

dalam bab ini difokuskan beberapa sifat transformasi Laplace, invers transformasi

Lapace, fungsi alih, aplikasi transformasi Laplace dalam analisa rangkaian.

13.2. Definisi Transformasi Laplace

Dalam kalkulus untuk teorema transformasi Laplace dinyatakan, sebuah

fungsi f(t) untuk , maka transformasi Laplacenya dari f(t) dinyatakan oleh £ .

Lambang £ menunjukkan operator transformasi Laplace maupun invers transformasi

laplace. Suatu fungsi t dinyatakan dengan huruf kecil f(t) , maka transformasi laplace

dinyatakan dengan huruf besar . Transformasi laplace dinyatakan dengan

£ =

(13.1)

dimana parameter s adalah variabel kompleks, yaitu

Batas bawah mentyatakan waktu sebelum t = 0, yang mencakup titik asal dan

diskontinyu dari f(t) di titik t = 0.

Persamaan (13.1) dikenal dengan transformasi Laplace satu sisi. Transformasi

Laplace dua sisi diberikan sebagai

(13.2)

Penyelesaian transformasi laplace untuk seluruh waktu adalah

(13.3)

Persamaan (13.3) harus difahami bahwa integrasi tersebut hanya berlaku untuk t > 0.

195

Kebalikan atau invers dari transformasi laplace persamaan (13.3) dinyatakan sebagai

£

(13.4)

Dalam penyelesaian invers transformasi laplace tidak diselesaikan dengan

menggunakan persamaan (13.4), akan tetapi menggunakan tabel yang telah

disediakan untuk keperluan ini. Fungsi f(t) dan dari persamaan (13.3) dan

(13.4) merupakan pasangan transformasi laplace yang dituliskan sebagai

(13.5)

Persyaratan yang cukup untuk menjamin bahwa transformasi laplace ada adalah jika

sebuah fungsi dapat diintegrasikan untuk daerah dimana .

Beberapa pasangan transformasi laplace diberikan dalam Tabel 13.1.

196

13.3. Beberapa Sifat Penting Transformasi Laplace

a. Sifat Linier

Jika adalah konstanta sebarang, sedang dan adalah

transformasi laplace dari dan , maka

£

(13.6)

Persamaan (13.6) dapat diperluas untuk lebih dari dua buah fungsi.

Contoh 13.1

£ 5£ + 2£ – 3£

= 5

b. Sifat pergeseran terhadap waktu

Jika suatu fungsi f(t) mengalami pergeseran menjadi f(t – a) maka transformasi

laplace dari fungsi tersebut dinyatakan sebagai

£{ f(t – a) u(t – a)} =

(13.7)

Jadi transformasi dari suatu fungsi yang mengalami pergeseran waktu selama a maka

transformasi dari fungsi tersebut adalah transformasi daerah waktu harus dikalikan

dengan .

Contoh 13.2

£

c. Sifat pergeseran terhadap frekuensi

Jika £ , maka

197

£

(13.8)

Hasil transformasi dari £ dengan mengganti setiap suku s dengan (s – a).

Contoh 13.3

£

d. Sifat pengubah skala

Jika £ , maka

£

(13.9)

Hasil transformasi dari £ dengan mengganti setiap suku s dengan (s/a).

Contoh 13.4

£

e. Turunan terhadap waktu

Jika £ , maka transformasi laplace dari turunan fungsi

£

(13.10)

Untuk transformasi laplace dari fungsi turunan kedua adalah

£

(13.11)

Dengan cara yang sama untuk turunan yang lebih tinggi, dihasilkan transformasi

laplace untuk turunan ke-n sebagai

£

(13.12)

198

Contoh 13.5

(dari kombinasi transformasi laplace terhadap pergeseran waktu dan turunan)

£ £

f. Turunan terhadap frekuensi

Jika £ , maka

£

(13.13)

Untuk turunan yang lebih tinggi dengan turunan ke-n, dihasilkan sebagai

£

(13.14)

Contoh 13.6

Karena £ , maka dengan sifat persamaan (13.13) untuk

£

g. Transformasi Laplace Integral

Jika £ , maka transformasi laplace dari integral fungsi

£

(13.15)

Contoh 13.7

Karena £ , maka dengan sifat persamaan (13.15) untuk

199

£

h. Periode waktu

Jika mempunyai periode T > 0, sehingga sebagaimana

ditunjukkan dalam Gambar 13.1.

Maka

£

(13.16)

dimana adalah transformasi laplace hanya pada periode pertama, .

Contoh 13.8

Dengan menuliskan fungsi periodik Gambar 13.1 secara analitis

t > 0

(13.17)

maka fungsi dapat diselesaikan

Transformasi laplace dari fungsi periodik dengan persamaan (13.16), yaitu membagi

hasil diatas menghasilkan

£

200

i. Teorema harga awal

Jika £ , maka limit dari untuk dinyatakan sebagai harga awal

.

(13.17)

Contoh 13.9

Jika , maka transfomasi laplace dari

£

Dengan menggunakan persamaan (13.17) didapatkan hasil

j. Teorema harga akhir

Jika £ , maka limit dari untuk dinyatakan sebagai harga akhir

.

(13.18)

Contoh 13.10

Jika , maka transformasi laplace dari

£

Dengan menggunakan persamaan (13.18) mendapatkan hasil

Tabel 13.2 menyediakan beberapa sifat transformasi laplace yang merupakan

ringkasan dari pembahasan yang baru dibahas.

201

Contoh Soal 13.11

13.1. Tentukan transformasi laplace dari

Penyelesaian :

£

Dengan menggunakan sifat transformasi laplace dari turunan terhadap frekuensi dari

persamaan (13.14) dihasilkan

£

202

Contoh 13.12.

Carilah transformasi laplace dari sinyal Gambar 13.2.

Penyelesaian :

Pernyataan dari sinyal Gambar 13.2 dapat dituliskan sebagai

Transformasi laplace dari fungsi menghasilkan

£ £

Contoh Soal 13.13.

Sebuah sinyal gelombang seperti ditunjukkan dalam Gambar 13.3. Carilah

transformasi laplacenya dari sinyal tersebut.

Penyelesaian :

Pernyataan untuk fungsi periodik pada periode pertama dituliskan sebagai

, t > 0

203

Transformasi laplace bagi fungsi adalah

=

Transformasi laplace bagi dengan menggunakan persamaan (13.16) dihasilkan

£

Alternatip lain

Pernyataan untuk fungsi periodik pada periode pertama dengan alternatip lain adalah

t > 0

= £ £

Transformasi laplace dengan penerapan persamaan (13.7) untuk fungsi

dihasilkan

Conth Soal 13.14.

Sebuah rangkaian RL ditunjukkan dalam Gambar 13.4. Jika = 3 A, carilah arus

daerah waktu , .

Penyelesaian :

Dengan penerapan hukum Kirchoof tegangan pada loop tunggal dapat diturunkan

persamaan

204

Penyelesaian dengan transformasi lapalce didapatkan

£ £

Penyelesaian daerah waktu arus dengan invers transformasi laplace dihasilkan

£

Bentuk pecahan diselesaikan dengan memfaktorkan menjadi

Ruas kiri dan kanan dikalikan dengan dihasilkan

£

Contoh Soal 13.15.

Carilah tegangan bagi rangkaian yang ditunjukkan dalam Gambar 13.5, jika

diketahui Volt.

Penyelesaian :

Dengan penerapan hukum Kirchoff tegangan untuk loop tunggal dihasilkan

205

Dengan transformasi laplace, dihasilkan

£ = £

Penyelesaian daerah waktu dengan invers transformasi laplace dihasilkan

£

13.4. Teorema Konvolusi

Sebuah masukan fungsi pemaksa pada interval , untuk sebuah

jaringan linier, terdapat fungsi respon , dimana akan ada untuk t >a. Jika

digunakan dan bila respon inpuls dari jaringan , maka sebagai

fungsi keluaran dinyatakan dengan

(13.19)

Persamaan (13.19) dikenal sebagai integral konvolusi. Dalam cara penulisan

dinyatakan sebagai

(13.20)

yang dibaca respon keluaran adalah sama dengan masukan dikonvolusi dengan

respon impuls. Secara lengkap integral konvolusi dituliskan sebagai

(13.21)

Atau dapat dituliskan sebagai

(13.22)

Jika dan adalah transformasi laplace dari dan , maka invers

transformasi laplace konvolusi persamaan (13.22) adalah

206

£ £

Karena untuk t < 0 tidak ada, jadi persamaan diatas diubah lagi

£

Dengan mengganti persamaan diatas diubah lagi menjadi

£

(13.23)

dimana

Contoh Soal 13.16

Dapatkan invers transformasi laplace dari sebuah transfomasi Laplace menggunakan

teorema konvolusi

Penyelesaian

Dengan menuliskan sebagai perkalian dua transformasi

yang penyelesaian transformasi Laplacenya adalah

£

£

Dalam bentuk perkalian konvolusi dituliskan

£

207

Jika keluaran dalam transformasi Laplace dituliskan sebagai

£ £ £

Dengan mengambil bagian dari

£

(13.24)

dimana adalah fungsi alih yang sama dengan transformasi respon impuls.

Dengan persamaan (13.23) didapatkan pasangan transformasi Laplace sebagai

Contoh Soal 13.17

Jika diketahui dan dapatkan invers transformasi

Laplace menggunakan teorema konvolusi.

Penyelesaian :

Penyelesaian invers transformasi Laplace masing-masin adalah

£

£

Dengan menggunakan persamaan (13.23) teorema konvolusi, didapat hasil

208

£

Contoh Soal 13.18

Jika diketahui dan , dapatkan konvolusi dari

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan (13.23) didapatkan

£

= £

= £

Penyelesaian pecahan parsial adalah

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan diatas dengan didapatkan

£

Soal Soal Latihan

209

13.1. Carilah invers transformasi Laplace menggunakan teorema konvolusi daerah

waktu dari untuk :

a)

b)

c)

13.2. Tentukan fungsi alih daerah s, dan respon impuls untuk rangkaian dalam

gambar 13.6, dengan mengambil keluaran sebagai

a)

13.3. Jika diketahui . Carilah konvolusi dari

13.4. Tentukan konvolusi dua sinyal

13.5. Dapatkan konvolusi dua sinyal

Contoh Soal 13.19.

Penyelesaian integral konvolusi dengan teorema konvolusi grafik diberikan dengan

contoh berikut.

Carilah konvolusi dari dua sinyal dalam Gambar 13.7.

210

Penyelesaian

Langkah pertama adalah memutar sinyal Gambar 13.7(a) terhadap sumbu tegaknya,

ditunjukkan dalam Gambar 13.8(a)

Perkalian dua sinyal antara dan untuk berbagai harga t diberikan

dalam analisis berikut.

Untuk , kedua sinyal tidak tumpang tindih ditunjukkan Gambar 13.9(a), dan hasil

perkaliannya adalah

Untuk , kedua sinyal tumpang tindih diantara 0 dan t, ditunjukkan dalam

Gambar 13.9(b). Didapatkan hasil

211

Untuk kedua sinyal tumpang tindih diantara dan t, ditunjukkan dalam

Gambar 13.9(c). Didapatkan hasil

Kombinasi secara lengkap dihasilkan

Gambar 13.10 menunjukkan sinyal respon hasil contoh soal 13.17.

Contoh Soal 13.20

212

Carilah respon dengan konvolusi untuk rangkaian dalam Gambar 13.11(a)

dengan sinyal penguatan Gambar 13.11(b).

Penyelesaian :

Dengan teknik pembagi tegangan untuk rangkaian Gambar 13.20, dihasilkan

Dengan membagi kedua ruas dengan dihasilkan fungsi alih

Respon impuls adalah invers dari fungsi alih adalah

= £

Rangkaian ekivalen Gambar 13.11 untuk daerah s dan respon impuls

ditunjukkan dalam Gambar 13.12.

Perkalian dua sinyal atau bentuk konvolusi kedua sinyal, untuk daerah t < 0 tidak ada

tumpang tindih, ditunjukkan dalam Gambar 13.13(a)

Untuk , dua sinyal tumpang tindih diantara 0 dan t ditunjukkan dalam Gambar

13.13(b), hasil konvolusi adalah

213

Gambar 13.12 menunjukkan hasil konvolusi untuk contoh soal 13.20.

Berikut ini diberikan contoh soal penerapan untuk persamaan diferensial dan integral

dalam transformasi Laplace.

Contoh 13.21.

Gunakanlah transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan differensial dari

Penyelesaian :

Penyelesaian transformasi Laplace dari maing-masing suku diatas adalah

214

Penyelesaian pecahan parsial menghasilkan

Dengan transformasi Laplace dihasilkan

£

Soal-soal Latihan

13.1. Tentukan nol (zero) dari

13.2. Tentukan kutub (pole) dari

13.3. Carilah jika diketahui

13.4. Carilah )(tv jika diketahui

13.5. Dapatkan transformasi Laplace dari

13.6. Dapatkan transformasi Laplace dari

13.7. Carilah transformasi Laplace dari 2

13.8. Carilah transformasi Laplace dari

13.9. Carilah transformasi Laplace dari

13.10. Carilah transformasi Laplace dari

13.11. Carilah transformasi Laplace dari

13.12. Carilah transformasi Laplace dari

215

13.13. Hitunglah harga akhir dari dengan transformasi,

13.14. Selesaikan invers transformasi Laplace dari

13.15. Carilah konvolusi dari dan

13.16. Carilah transformasi Laplace dari

(a) sinh 5t

(b) cosh 5t

13.17. Carilah transformasi Laplace dari

(a)

13.18. Carilah transformasi Laplace dari

13.19. Carilah transformasi Laplace dari

13.20. Carilah untuk

13.21. Hitunglah transformasi Laplace untuk Gambar 13.13.

13.22. Carilah transformas Laplace sinyal dalam Gambar 13.14.

216

13.23. Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi masing-masing dalam Gambar

13.15(a), (b), (c), (d), (e) dan (f).

217

13.24. Carilah invers transformasi Laplace dari :

(a)

(b)

(c)

13.25. Carilah dari masing-masing

218

(a)

(b)

13.26. Carilah harga awal dan akhir dari masing-masing transformasi Laplace

(a)

(b)

(c)

13.27. Tentukan harga dan bila diketahui

(a)

(b)

13.28. Tentukan invers transformasi Laplace masing-masing fungsi berikut

(a)

(b)

(c)

(c)

13.29. Carilah konvolusi dari jika diberikan dalam Gambar

13.16(a) dan (b).

219

13.30. Konvolusikan secara grafik dari dua sinyal Gambar 13.17 (a) dan (b).

13.31. Carilah dari dua fungsi Gambar 13.18 (a) dan (b).

13.32. Carilah dari dua sinyal dalam Gambar 13.19(a) dan (b).

13.33. Carilah dari dua sinyal dalam Gambar 13.20(a) dan (b).

13.34. Carilah dari dua sinyal dalam Gambar 13.21(a) dan (b).

220

13.35. Carilah dari dua sinyal dalam Gambar 13.22(a) dan (b).

13.36. Carilah dari dua sinyal dalam Gambar 13.23(a) dan (b).

13.37. Tentukan konvolusi setiap pasangan sinyal yang berikut ini.

(a)

(b)

(c)

13.38. Carilah £ dengan konvolusi, jika diketahui

221

13.39. Carilah dengan konvolusi, jika diketahui

(a)

(b)

13.40. Jika diketahui respon impuls adalah dan sinyal masukan adalah

.

Carilah out-put dengan konvolusi.

13.41. Selesaikan persamaan differensial ini dengan transformasi Laplace

13.42. Selesaikan persamaan differensial ini dengan transformasi Laplace

13.43. Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan differensial

berikut ini.

Jika

13.44. Arus mengalir dalam sebuah rangkaian dinyatakan sebagai

Carilah jika diketahui keadaan awal

13.45. Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan differensial

berikut.

13.46. Arus mengalir dalam sebuah rangkaian dinyatakan sebagai

Carilah jika diketahui keadaan awal

13.47. Carilah dalam persamaan differensial jika kondisi awal adalah nol.

13.48. Selesaikan untuk dalam persamaan integral

222

jika

13.49. Selesaikan persamaan integral berikut menggunakan metode transformasi

Laplace.

jika

13.50. Selesaikan persamaan integral berikut

jika

13.51. Selesaikan persamaan integral berikut

jika

223

224

225

226

227