8/18/2019 Bab 10 Tekuk

1/19

 Bupkling (Tekuk)

BAB X

BUPKLING (TEKUK)

10.1. Pendahuluan

  Suatu struktur menerima beban tekan dinamis, struktur ini dapat

 berkedudukan mendatar, miring maupun tegak. Untuk struktur yang tegak 

(vertikal) dinamakan kolom. Jika sebuah kolom menerima beban tekan maka pada

 batang akan terjadi tegangan tekan yang besamya.

σ  = F/

!engan, σ " #egangan tekan ($%a) & F " 'aya tekan ()

" uas penampang batang (mm* )

%ada kolom pendek apabila gaya yang diberikan ditambah sedikit demi sedikit

kolom akan han+ur dan bila kolomnya panjang batang tidak akan han+ur 

melainkan akan menekuk (buckling).

eberapa +ontoh batang yang menerima beban tekan

*-

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

2/19

 Bupkling (Tekuk)

Gambar 10.1 Beberapa conoh baan! mener"ma beban e#an

Sumber" yars, .F& Snyder, 0. ! dan %lants, 1., ngineering me+hani+s o2 

!e2ornable odies

3ita tinjau tiga keadaan yang ekivalen dengan kolom yang menerima beban aksial

-. Stabil

ola berada dalam pipa (-) bila bola didorong

sampai bergerak (*) dan jika gaya dorong

ditiadakan maka bola akan kembali ke posisi

semula () kejadian demikian diketahui bah4a

 bola stabil.

*-5

Gambar 10.$ Bola dalam p"pa

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

3/19

 Bupkling (Tekuk)

*. $eta stabil

ola berada di atas plat rata (-) bila bola didorong

sampai bergerak (*) dan jika gaya dorong

ditiadakan maka bola tidak akan kembali seperti

semula tapi berada di posisi (). 3ejadian demikian

dikatakan bah4a bola dalam keadaan meta stabil

Gambar 10.% Bola d" aa& pla raa

. abil (tak stabil)

ola berada di atas pipa (-) bila bola

didorong sampai bergerak (*) dan jika gaya

dorong ditiadakan maka bola akan menjauh

dari posisi semula () kejadian demikian

dikatakan bah4a bola tersebut labil.

Gambar 10.' Bola d" aa& p"pa

3eadaan ini analog (sama) dengan batang/balok yang dibebanl deh gaya tekan %.

Gambar 10. Baan! mener"ma beban P dan

• %ada gambar (-6.7.a) batang ditekan oleh beban % (% 8 %2 ) dan beban

diberikan di tengah9tengah batang, jika beban F dihilangkan, maka batang aka

kembali seperti semula. 3ejadian demikian dikatakan bah4a batang  dalam

keadaan stabil.

*-7

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

4/19

 Bupkling (Tekuk)

• %ada gambar (-6.7.b) batang ditekan oleh beban % (% = %2 ) dan beban

diberikan di tengah9tengah batang, jika beban  F dihilangkan maka batangtidak  kembali seperti semula tetapi berada pada posisi (). 3ejadian demikia :

dikatakan bah4a batang dalam keadaan meta stabil.

• %ada gambar (-6.7.+) batang ditekan oleh beban % (% ; % 2 ) dan beban F+

tengah9tengah batang, jika beban F dihilangkan batang akan melentur makii

lama makin besar dan akhirnya batang patah. 3ejadian demikian disebu

 batang menekuk ( Buckling ), gaya tekan yang menyebabkan batang menekul

disebut gaya tekuk (Critical load ) " %+r  " %+riti+al

ngka kerampingan ( slenderness Ratio).

λ  = e / r .

!engan,   λ  = 0atio kerampingan batang

e = %anjang tekuk (panjang e2ekti2) (mm)

r = Jari9jari girasi = l/  (mm)

< = $omen inersia batang (mm

'

) = uas penampang (mm*)

Untuk menentukan suatu batang yang menerima beban tekan apakah terjadi tekuk 

(Buckling) atau tidak   berdasarkan pada 2aktor kerampingan (λ).

λ 8 6 (disebut kolom pendek) & 6 ≤ λ ≤ -66 (disebut kolom sedang) & λ ≥ -66

(disebut kolom panjang)

Gambar 10.*  Kond"&" #olom unu# ba+a berda&ar#an ra"o #eramp"n!an

*-

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

5/19

 Lendutan

10.$ K olom pan+an! den!an rumu& euler

  nalisis teoritis beban kritis kolom panjang dibuat oleh seorang

matematika4an S4iss yaitu eonhard uler pada tahun :>7>, analisisnya

 berdasarkan persamaan de2erensial kurva elasitis " l (d* y / d?*) = $.

eliau mengatakan kolom panjang apabila kolom dengan angka kerampingan (λ)

-66.

$a+am9ma+am kondisi euler.

3ondisi euler metiputi"

kedua ujung batang diberi engsel (engsel9engsel)&

salah satu ujung batang dijepit sedang ujung yang lain babas (jepit 9 babas)&

kedua ujung batang dijepit (jepit9jepit)&

salah satu ujung batang dijepit dan yang lain diberi engsel (jepit 9 engsel).

Kond"&" baan! en!&el , en!&el

suatu kolom apabila kedua ujungnya diberi engsel dan menerima beban kritis %,

maka akan  terjadi lendutan seperti pada gambar -6.>. endutan maksimum δ

sangat ke+il sehingga tidak ada perbedaan  berarti antara panjang asli kolom dan

 proyeksinya pada bidang tegak. !engan kondisi ini, kemiringan dy/d? sangat

ke+il sehingga dapat digunakan pendekatan persamaan de2erensial kurva elastis

 batang l (d* y / d?*) = $.

kita tinjau potongan sejauh ?, maka  $? = 9 %.@& $? berhar+ja negati2 karena

lendutan y negati2, bila kolom melendut dalam arah berla4anan, maka y positi2 

sedang $ masih negati2 karena konversi tanda disesuaikan dengan konversi

momen lentur (lihat persamaan momen)

*->

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

6/19

 Lendutan

Gambar 10.-. Kond"&" baan! en!&el,en!&el

!engan demikian, persamaannya menjadi " l (d* y / d?*) = $? = $ 9 % . y.

l yA B % . y = 6

yC B (%/l). y = 6 & (%/l) dimisalkan

yA B k * . y = 6

%ersamaan (a) merupakan ja4aban persamaan di2erensial (%!) turunan ke dua

dari persamaan.

y = +os k ? B sin k ?

%embuktian "

y = +os k ? B sin k ?

y: = 9 . k ?. sin k? B .k +os k ?

y: = 9.k *. +os k ? 9 .k *. sin k ?

yA = 9 k * ( +os k ? B sin k ? )

y: = 9 k * . y

y: B k * y 9 6 (terbukti).

Syarat batas dari persamaan (b) " y " +os k? B b sin k?

• Untuk " ? = 6 & maka " y = 6 & sehingga = 6

 persamaan (b) menjadi " y = sin k ?

• Untuk " ? = maka y = 6, sehingga persamaan (+) menjadi 6 = sin k .

*-D

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

7/19

 Lendutan

= 6 & sin k. = 6 atau k = n.n & (n = 6, -, *, ...) ambil k = π & maka =

k =)π   . k * = %/l (π/)* & maka " % =

*

*

)l.π  

%+r   =( ) *

*

)e

l.π  & e =

!engan,

%+r   = gaya tekuk 

e  = panjang e2ekti2 untuk kondisi sendi9sendi

l = kekakuan lentur  

  Kond"&" baan! +ep" beba&

3olom dengan panjang salah satu ujungnya dijepit sedang ujung yang lain

 bebas, apabila kolom menerima beban kritis % maka kolom akan mengalami

lendutan seperti pada gambar -6.D.

3ita tinjau potongan sejauh ?, momen di titik 

 x : Mx = P (a-) persa!aan lendutan :

 El =*

*

d?

yd = El y" = Mx = P.a - P.y'

 "l # $ P . = P . a

y: B %/l . y =l

%.y& %/l = k * 

(misal) yA B k * . y = k * . a

Gambar 10.. Kond"&" baan! +ep" beba&

%ersamaan (a) merupakan ja4aban persamaan di2erensial turunan ke dua dari

 persamaan "

= +os k? B sin ? B a

E = 9 .k sin k? B k +os k.?

= 9 .k  * +os k.? 9 . k * sin k?

= 9 k * ( +os k.? B sin k()

= 9 k  * (y9a)

A B k * y = k * a (terbukti)

*-G

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

8/19

 Lendutan

Syarat dari konstruksi "

dari persamaan (b) "

untuk ? = 6 & y ∅ & maka " ∅ = B a & sehingga " = 9a

dari persamaan (+)

untuk ? = 6 & y: = 6 & maka " 6 = .k & sehingga " = 6

3ita substitusikan persamaan (b) menjadi "

= 9a +os k ? B 6 B a = a (- H +os k.?)

dari persamaan (d) "

untuk ? = & y = a& sehingga " a = a (-9+os k.) = a9a +os k.

6 = 9a +os k. & maka +os k = ∅ atau k = π/*& π/*& 7π/*& ...

diambil " k = π/* k = π/*-& 3 * = (π/*.)*  *

*

5.)

I

l

%=

Jadi, %er   =( ) ( )

&)e

l.I

)e

l.I

).5

l.I*

*

*

*

*

*

== e = *

!engan, %er  = 'aya tekuk 

e  = %anjang e2ekti2 untuk kondisi jepit 9 bebas

l = 3ekakuan lentur 

  Kond"&" baan! +ep" , +ep"

3olom dengan panjang yang kedua ujung batangnya dijepit, setelah

menerima beban % kolom mengalami lendutan seperti diperlihatkan pada gambar

3ita tinjau potongan sejauh ? untuk batang yang dijepit

 pada ujungnya akan terdapat momen jepit yang

disebabkan oleh beban yang besamya kita sebut $o.

esarnya momen di ? = $? = $o 9 %. y.

Gambar 10./. Kond"&" baan! +ep",+ep"

**6

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

9/19

 Lendutan

%ersamaan lendutan " l =*

*

d?

yd= $? = $o H % . y

yC Bl

%&

l

$

l.

y.% o?  =  = k * (misal)

yC B k *y =%

$o

%ersamaan (a) merupakan ja4aban umum persamaan di2erensial turunan ke dua

dari persamaan "

y = +os k? B sin k? B $o/%

y: = Hk sin k? B .k +os k ?

syarat batas konstruksi "

• dari persamaan (b) "

untuk ? = 6& y = 6& maka " 6 = B $6/%& sehingga " = 9 $o/%

• dari persamaan (+) "

untuk ? = 6& y: = 6& maka " 6 " .k & sehingga = 6

3ita substitusikan persamaan (b) menjadi "

y = 9 $o/% +os k ? B ∅ B $o/%

y = $o/% (- 9 +os k?)

• dari persamaan (d) "

untuk ? = & y = 6 & maka " 6 = $o/% (- 9 +os k.)& 6 = - 9 +os k.

+os k = atau k. = 6, *π, 5π,

diambil paling ke+il yang harganya tidak sama dengan not yaitu" *π

k = *π  k = *π/*

k * = (*π/)* = 5 π* / ? 

% / l = 5 π*/* 

Jadi, %+r  =( ) ( ) *e

*

*

*

)

l.I

)/*

l.I= & e = /*

dengan"

%+r   = 'aya tekuk 

e  = %anjang e2ekti2 untuk kondisi jepit9jepit

**-

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

10/19

 Lendutan

l = 3ekakuan lentur 

Kond"&" baan! +ep" en!&el

3ita perhitungkan kolom dengan panjang , dijepit di dan diberi engsel di

. Setelah menerima beban akan mengatami lendutan seperti pada gambar -6.-6.

3ita tinjau potongan sejauh ? $omen di ?

karena beban dan reaksi normal.

$? = 1 ( 9 ?) H% . y

%ersamaan lendutan " l y: = $?

ly: = 1 ( 9 ?) H% . y

Gambar 10.10. Kond"&" baan! +ep",en!&el

l yC B % . y = 1 ( H ?)& %/l = k * (misal)

yC B k *y =( )

%

?) 1   −

%ersamaan (a) merupakan ja4aban umum persamaan di2erensial (%.!) turunan

kedua dari persamaan "

y = +os k ? B sin k ? B( )

%

?) 1   −

yK = 9 . k sin k ? B .k +os k ? H 1/p

syarat batas konstruksi "

• dari persamaan (b) "

untuk ? = 6& y = 6& maka " 6 = B 1. /p & sehingga = 9 1./%

• dari persamaan (+) "

untuk ? = 6& y: = 6& maka " 6 = .k 9 1/% sehingga " = 1 / (k.%)

3ita substitusikan persamaan (b) menjadi "

y =%

).1− +os k ? B

 p.k

1sin k ? B

( )

%

?) 1   −

• dari persamaan (d) "

***

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

11/19

 Lendutan

untuk " ? = & y = 6

maka 6 = 9 (1. / %) +os k. B (1 / k.%) sin k. B( )

%

?) 1   −

(1. / %) +os k. = (1 / k.F) sin k. B 6 ⇒ tan k. = k.

Jika dihitung sudut dalam radian diperoleh k = 5,5G radian, dibulatkan

= k = 5,7 radian.

k = 57 /

k *  =*

*

*

*

)

I.*

)

*6,*

)

5,7== 

  

  

l

%=

*

*

)

I.*

Jadi, %+r   =( ) *e

*

*

*

*

*

)

l.I

*/)

l.I

)

l.I.*== & e = *

*

)

dengan"

%+r   = 'aya tekuk 

e  = %anjang e2ekti2 untuk kondisi jepit9jepit

l = 3ekakuan lentur 

Contoh soal 1

Suatu batang penyangga yang panjangnya *,7 m dan berdiameter pm, salah satu

ujungnya dapat bergerak melalui engsel, sedang ujung lainnya dipakukan.

#entukan beban tekan yang diperbolehkan dengan menggunakan rumus ulerL

Jika 2aktor keamanan ,7 dan modulus elastisitas *,-.-6 kg/+m*.

Penele&a"an

%anjang e2ekti2 "

e = /* *

= (*,7/*) . *   = -,>D m

= ->,D +m.

'ambar -6.-- Montoh soal -

**

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

12/19

 Lendutan

$omen =,D.7,

=,=*l.-6.*,-.

)e.O

l. =*

*

*π  π  

==% 

 P cr 

 = *5--6,* kg

Jadi, beban tekan yang paling aman maksimum *5,- ton.

Contoh soal 2

#entukan perbandingan antara kekuatan kolom baja pejal dan kolom baja

 berongga yang luas penampangnya sama, yang diameter dalamnya sama dengan

setengah kali diameter luarnya. %anjang kedua kolom sama dan kedua ujungnya

adalah sendi.

Penele&a"an

Untuk kolom - (pejal)"

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

13/19

 Lendutan

*

-

+r*

+r-

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

14/19

 Lendutan

σ4  =( )

SF

Q

M+*

R - yp*

*

  −

FS adalah 2aktor keamanan yang diberikan oleh persamaan "

FS =( )

M+D

R 

M+D

R 

7−+

!engan,

σ4  = #egangan kerja ($%a)

λ = 0atio kerampingan (slenderness ratio)

M+ = 0atio kerampingan menurut < S MFs = Faktor keamanan

%ada gambar -6.- ditunjukkan berbagai kolompok baja untuk kolom menurut <

S M.

Gambar 10.1%. Te!an!an boleh unu# #olom an! d"beban" &ecara  #on&enr"& per &pe&"2"#a&"

AI3

Contoh soal 3

Suatu batang baja berbentuk lingkaran me"idapat gaya tekan sebesar -6 3,

 panjang = -, m & O = - & = *,*. -67 $%a.

1itung garis tengahnya bila k "dua ujungnya diberi engselL

**

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

15/19

 Lendutan

 Penyelesaian

uler = F+r   =( ) *

*

+r iNin*

e

*

)O.l.I

OF F&

).l.I ==    e =

$omen inersia " l =( )

*,*.

-6-6

-6.*,*.

-=66-6.-=.-=

.

).F.O*

*5

7*

*5

*π  π  π  

== " 

= 6-D*7,G mm5 

l = π/5 . d5 = 6-D*7,G

d =I

6-D*=7,G.=5

I

l.=5 55=  = DD, mm

ngka kerampingan = λ = /r  r =5

- = d/5

λ = /(d/5) = 5/d = 5.(-66/DD,) = >*,>

karena λ ≤ G6, jadi menurut uler   perhitungan ini adalah tidak tepat, tetapi yang

rnemenuhi syarat adalah rumus Tet!aer.

#egangan kritis baja"

σ = 6 H -,57 . λ

σ = (6 H -,57 5/d)

Untuk baja pejal bentuk lingkaran

FiNin  =( )

O

d.I/5)/d5.-,576

O

.Q *+r    −=

  6/5 . π . d* H -,57 π . . d (Fijin . O) = 6

6/5 . π . d* H -,57 . π . -6 . d -6666 . - = 6

maka d = -G6 mm& jadi diameter batang baja maksimum yang dibolehkan -G6mm.

Contoh soal 4

#entukan panjang terpendek sebuah tiang baja berujung pasak yang mempunyai

 penampang 6 ? -6 mm, dan rumus uler berlaku, bila = *66 '%a dan anggap

 batas proporsional *76 $%a.

**>

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

16/19

 Lendutan

 Penelesaian

lmin  = ( ) ( )-*6=,6-,6

-*h=

=  = -,D . -69 m5 

lmin  =( ) ( ) =

=*

+r 

**9=

min

-6.*76

-6.*66.I

Q

.IR &

R 

.I

6,-6,6=

-6.-D

l====  = D66 . π* 

σ+r   = =

=*

+r 

**

-6.*76

-6.*66.I

Q

.IR &

R 

.I== = D66 . π* 

λ = /r   = λ . r = D66 π* . 6,6-> = -,75 m

Jadi, panjang batang

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

17/19

 Lendutan

!engan "

2 a  = #egangan aksial aktual.

= F/ ($%a)

2  b  = #egangan lentur desak boleh bila momen lentur saja yang ada.

= % . e/N ($%a)

Fa  = #egangan aksial yang dihitung

Fa  =( )

( )$%as.F

S.

M+*

)/r -

yp

*

*

   

  

 −

F b = #egangan Montoh soal 7

onoh &oal

Sebuah kolom baja S#$ berbentuk T 6 ? -6 yang panjangnya G m

mendapat beban tekan sebesar %- = *6 k dan %* = 6 k seperti pada gambar,

 bila kondisi kolom engsel9engsel dan = *.-67 $%a. #entukan jarak (e) antara

sumbu dengan pusat %*L

Penele&a"an 5

3olom berbentuk T 6 ? -

= -7*6 mm* N = **6. -6 mm 

r min  = G,G mm

/r = G666/G,G = G7,D7

M+ =*76

-6.*.I*

y

.I*   7**

=

/r 8 M+ (#etmayer)

Gambar 10.1 onoh &oal

F . S 6 7/ B /D (/r) / (D.M+) 9 (/r) / (D.M+)

= 7/( )

( )( )

( )G,-

==,-*7D

D7,G7

==,-*7D

D7,G7

=−

**G

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

18/19

 Lendutan

σ4  =

( )   ( )

( )

−

=

−

G,-

==,-*7*

D7,G7-

.*

/-

*

*

*

*

 p

 *) 

Cc

r  L

σ    . *76 = G, $%a

σma?  =U

e.F

FF -*- ++

σma?  =( )

-6.**=6

.=6

-=7*6

-6*=6=6+

+ = >,7 B 6,-7G . e

Supaya kolom aman, σma?  ≤ σ4 

G, ≥  >,7 B 6,-7G e

e ≤ 6,-7G

7,>,G   −  e ≤ 76,D mm

Mek 

2a/Fa B 2b/Fb ≤ -

2a =

FF *-  +  = >,7 $%a

2b =U

e.F*   = 6,-7G . 76,D = 77,>D $%a

*76

>D,77

G,

>,7+  ≤ -

6,5* B 6,>* ≤ -  6,>>5 ≤ -

Jadi, jarak antara sumbu dengan pusat beban %* adalah 76,D mm

Contoh soal 6 

Suatu baja pro2it T6 ? -*7 dari bahan S#$ yang panjangnya -6 m

mendapat beban maksimum % sedang e 66 m (seperti pada gambar) blia kondisi

kolom jepit 9 babas. #entukan besarnya gaya % supaya pro2it mampu menahannyaL

Penele&a"an

*6

8/18/2019 Bab 10 Tekuk

19/19

 Lendutan

%ro2il " T 6 ? -*7

= -7G56 mm* & r = >,> mm

= =,>

-6666.*

r 

)=  = *6,D

λ ≥  M+ (U0)

σT  =( ) ( ) *

7*

*

e

*

*=6,D*

-6.*.I.-*

/)*

.I.-*=

r = -7,-5 $%a

$ = % . e = 66 p (mm)

σT  = %/ B $/N   -7,-5 = %/-7G56 B 66 %/*-56.-6 

% = >56G,G = >5,- 3

Mek 

2a / Fa B 2b / Fb ≤ -

2a = %/ = >56G,G / -7G56 = 5,D- $%a

2b = $/ = -6.*-56

66.G,>5=6G = -6,5 $%a

2a = σT  = -7,-5 $%a

2b = 6, σy  = . *76 = -76 $%a

-76

5=,-6

-5,-7

=D-,5+  ≤  -

6,6G B 6,6G> ≤ -   6,>G ≤ - (ok)

*-