BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOhome.vinhuni.edu.vn/nqtrang/wp-content/uploads/sites/279/... · 2018. 2. 2. · 4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VŨ THỊ HỒNG THANH (CHỦ BIÊN)

ĐINH HUY HOÀNG, TRẦN VĂN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI, NGUYỄN VĂN

ĐỨC, NGUYỄN HUY CHIÊU, TRẦN ĐỨC THÀNH, NGUYỄN THỊ QUỲNH

TRANG, ĐẬU HỒNG QUÂN

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH

(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC NGÀNH KỸ

THUẬT VÀ CÔNG NGHỆ)

VINH - 2018

MỤC LỤC

Thông tin về học phần 6

Mở đầu 8

Chương 1 Số thực và giới hạn của dãy số 1

1 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Tập hợp các số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Tập hợp số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tập bị chặn, cận trên, cận dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của dãy số hội tụ . . . . . 6

2.2 Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu, số e . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Giới hạn vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Câu hỏi thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2 Giới hạn của hàm số và hàm số liên tục 20

1 Hàm số và giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Một số loại hàm số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . 25

1.4 Định nghĩa giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Các phép tính và các định lý cơ bản về giới hạn hàm . . . . . 33

1.6 Các dạng vô định, đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng

lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

3 Giáo trình Giải tích

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số liên tục . . . . 40

2.2 Tính liên tục của các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Các định lý cơ bản về hàm số liên tục trên một đoạn . . . . . 42

2.4 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Giới hạn dạng limx→a

(u(x)

)v(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Câu hỏi thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Chương 3 Phép tính vi phân hàm một biến 50

1 Đạo hàm của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2 Đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái . . . . . . . . . . . . . . 52

1.3 Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . 54

1.4 Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.5 Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . 56

2 Vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.1 Hàm khả vi và vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . . . 57

2.2 Các quy tắc lấy vi phân và tính bất biến của vi phân cấp 1 . . 58

2.3 Các định lý cơ bản về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Tính không bất biến của vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Khai triển Taylor, Maclaurin hàm khả vi . . . . . . . . . . . . 65

4 Một số ứng dụng của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1 Quy tắc L′Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Chương 4 Tích phân của hàm một biến 89

1 Nguyên hàm và tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 90


1.2 Phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần 93

1.3 Tích phân các hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.4 Tích phân một số hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.5 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân xác định . . 107

2.2 Tính tích phân từng phần, đổi biến số . . . . . . . . . . . . . 109

3 Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1 Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.2 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3 Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.4 Thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5 Tính diện tích xung quanh của mặt tròn xoay . . . . . . . . . 125

3.6 Một số ứng dụng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.1 Tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2 Tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Chương 5 Chuỗi số và chuỗi hàm 144

1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1.2 Một số tính chất của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 146

1.3 Chuỗi số dương và các dấu hiệu hội tụ . . . . . . . . . . . . . 147

1.4 Chuỗi có dấu tuỳ ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.2 Sự hội tụ đều và các dấu hiệu hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 155

3 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa . . . . . . . 158

3.2 Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . 160


3.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 162

4 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.1 Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier . . . . . . . . 166

4.3 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ và hàm bất kỳ . . . 167

Chương 6 Giới hạn, tính liên tục và vi phân của hàm nhiều biến 178

1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

1.1 Cấu trúc tuyến tính và khoảng cách trên Rn . . . . . . . . . . 179

1.2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy hội tụ trong Rn . 180

2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 182

2.2 Giới hạn lặp, giới hạn kép và mối liên hệ giữa chúng . . . . . . 185

3 Tính liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm liên tục . . . . . . 187

3.2 Tính liên tục theo từng biến và mối liên hệ với tính liên tục . 188

4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . 188

4.1 Đạo hàm riêng, tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến . . 188

4.2 Đạo hàm của hàm hợp và tính bất biến của vi phân . . . . . . 194

4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5 Cực trị không điều kiện và cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . 197

5.1 Cực trị không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Chương 7 Tích phân bội 205

1 Tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân hai lớp . . . 206

1.2 Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . 208

1.3 Đổi biến trong tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

2 Tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

2.1 Định nghĩa và các tính chất cở bản của tích phân ba lớp . . . 219


2.2 Cách tính tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2.3 Đổi biến trong tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

3 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.1 Tính diện tích miền phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.2 Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

3.3 Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

3.4 Tính khối lượng và tìm tọa độ trọng tâm của vật thể . . . . . 235

Chương 8 Phương trình vi phân 240

1 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 241

1.1 Khái niệm phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

1.2 Nghiệm và Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

2.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 243

2.2 Phương trình có biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

2.4 Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

2.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

2.6 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân . . . . . 254

2.7 Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut . . . . . . . 258

3 Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

3.1 Mở đầu về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . 260

3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . 262

3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng . . . . . 266

4 Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số . . . . . . . 273

THÔNG TIN VỀ HỌC PHẦN

Đây là học phần thuộc nhóm kiến thức cơ sở cho sinh viên khối ngành Kỹ thuật

- Công nghệ, nó được giảng dạy ở học kỳ 2 của năm thứ nhất. Nếu sinh viên đã học

học phần Đại số tuyến tính, thì việc tiếp thu nhiều kiến thức trong học phần này

sẽ được tốt hơn.

Giảng viên sẽ dạy học phần này 75 tiết trên lớp, gồm 60 tiết lý thuyết và 15 tiết

bài tập, còn sinh viên tự học 150 tiết. Thi trắc nghiệm giữa kỳ 2 lần và thi tự luận

vào cuối kỳ.

Học phần này cung cấp các kiến thức cơ sở về Toán Giải tích giúp cho sinh viên

có công cụ để tiếp thu được các các học phần chuyên ngành thuộc các ngành Kỹ

thuật - Công nghệ. Thông qua đó, rèn luyện cho sinh viên tính cẩn thận, chính xác,

tỉ mỉ và sáng tạo, đồng thời, giúp sinh viên rèn luyện và làm quen với một số kỹ

năng như hợp tác làm việc nhóm, tổ chức nhóm làm việc, chuẩn bị và thuyết trình

báo cáo kết quả làm việc nhóm trước tập thể.

7

MỞ ĐẦU

Bài giảng này dùng cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ, nó được biên

soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích trong chương trình đào tạo đại học

hệ chính qui theo chương trình tiếp cận CDIO của Trường Đại học Vinh, ban hành

năm 2017. Vì đặc thù của ngành học kỹ thuật, công nghệ và thời lượng hạn chế nên

chúng tôi cố gắng hình thành các khái niệm, giới thiệu các tính chất cơ bản, không

đi sâu vào những vấn đề nặng về lý thuyết mà tập trung vào những kết quả và ứng

dụng của nó. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng chỉ ra những tài liệu để những người có

nhu cầu nghiên cứu tìm đọc.

Nội dung chính của tập bài giảng này là lý thuyết giới hạn, liên tục, phép tính

vi phân, phép tính tích phân của hàm một biến số và lý thuyết chuỗi, hàm nhiều

biến, tính liên tục và tính khả vi của hàm nhiều biến, tích phân bội và đại cương về

phương trình vi phân. Một số vấn đề trong đó, sinh viên đã được làm quen ở chương

trình phổ thông, khi giảng dạy giảng viên có thể trình bày lướt qua như việc tính

đạo hàm, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, tìm nguyên hàm, cách tính tích phân xác

định,... Trong giáo trình này, chúng tôi vẫn trình bày đầy đủ các vấn đề trên nhưng

ở mức độ chi tiết hơn.

Bài giảng này trước đây sinh viên được lên lớp nghe giảng khoảng 90 tiết. Bây

giờ, đào tạo theo chương trình tiếp cận CDIO, để phát huy khả năng tự học, sinh

viên chỉ lên lớp nghe giảng 75 tiết, phần còn lại phải tự nghiên cứu ở nhà. Để tạo

điều kiện thuận lợi cho người đọc, sau các định nghĩa, định lý chúng tôi đưa ra nhiều

ví dụ minh hoạ, sau mỗi chương có đưa ra các vấn đề thảo luận và hệ thống bài tập.

Đây là lần đầu tiên biên soạn bài giảng theo chương trình tiếp cận CDIO, cho

nên mặc dù chúng tôi đã có rất nhiêu cố gắng nhưng chắc rằng còn có những sai

sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của người đọc.

8

CHƯƠNG 1

SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I.1. GIỚI THIỆU

Để nghiên cứu các khái niệm cơ bản của giải tích (như hội tụ, liên tục, phép tính

vi phân, phép tính tích phân,...) đòi hỏi người học phải nắm vững các khái niệm

cơ bản về số thực, dãy số, sự hội tụ của dãy số và các tính chất của chúng. Vì vậy,

chương này trình bày đại cương về số thực, dãy số, sự hội tụ của dãy số và các tính

chất của chúng.

I.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Giới thiệu cấu trúc cơ bản của tập các số thực, trình bày các khái niệm và tính

chất cơ bản của giới hạn dãy số.

I.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Giới thiệu cấu trúc cơ bản của tập các số thực, nắm được các khái niệm

và phân biệt được maximum với suprimum, minimum với infimum và biết cách tìm

inf, sup của một số tập hợp, điều kiện tồn tại sup, inf.

2. Phát biểu được các khái niệm về các loại dãy: dãy hội tụ, dãy con, dãy đơn

điệu, dãy bị chặn.

3. Phát biểu được các tính chất cơ bản của dãy số hội tụ và biết vận dụng để

tính giới hạn của dãy số.

4. Trình bày được điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu và biết vận dụng để xét

sự tồn tại giới hạn của các dãy số.

5. Trình bày được mối liên hệ giữa dãy hội tụ và dãy bị chặn.

6. Trình bày được định nghĩa dãy có giới hạn bằng ±∞ và mối quan hệ giữa

dãy có giới hạn ±∞ với dãy bị chặn.

7. Biết được các cách tìm được giới hạn của một số dãy số.

1


I.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

1 Số thực

1.1 Tập hợp các số thực

Vì thời lượng không cho phép, chúng ta không đi sâu nghiên cứu việc xây dựng

tập các số thực và các tính chất của nó. Chúng ta công nhận sự tồn tại của tập các

số thực và nhận biết tập các số thực qua những mô tả sau đây.

Như thường lệ, ta ký hiệu

Tập các số tự nhiên 0, 1, 2, ... được ký hiệu là N.

Tập các số tự nhiên dương 1, 2, ... được ký hiệu là N∗.

Tập các số nguyên ...,−2,−1, 0, 1, 2, ... được ký hiệu là Z. Các số −1, −2, −3, −4, . . .

được gọi là các số nguyên âm.

Tập các số hữu tỷmn

: m ∈ Z, n ∈ N∗

được ký hiệu là Q. Hai số hữu tỷm

n,

r

sđược gọi là bằng nhau và viết

m

n=r

snếu ms = nr. Người ta chứng minh được

rằng mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hay vô

hạn tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là các số vô tỷ.

Tập hợp gồm các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực (nói gọn

là tập số thực) và ký hiệu là R.

Các phép toán, thứ tự (các bất đẳng thức) trong tập số thực; khái niệm và tính

chất của giá trị tuyệt đối đã được giới thiệu trong chương trình toán phổ thông, ở

đây không trình bày lại, muốn tìm hiểu đầy đủ các vấn đề này cũng như việc xây

dựng tập số thực và tính chất của nó bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham

khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1. Sau đây chúng ta trình bày một số tính chất của

tập các số thực cần dùng về sau.

Trên tập các số thực R ta trang bị 2 phép toán cộng và nhân thỏa mãn các

tính chất kết hợp, giao hoán, phân phối của phép nhân với phép cộng, phép cộng có

phần tử không 0 mà cộng với bất kỳ số thực x nào cũng bằng chính nó, phép nhân

có phần tử đơn vị 1 mà nhân với bất kỳ số thực x nào cũng bằng chính nó, mỗi số

thực có phần tử đối và mỗi số thực khác 0 có phần tử nghịch đảo.

Mỗi số thực x ∈ R được đặt tương ứng với một số thực không âm duy nhất |x|


và gọi là giá trị tuyệt đối của x được cho bởi

|x| =

x nếu x ≥ 0,

−x nếu x < 0.

Trên tập các số thực R ta còn trang bị một thứ tự ≤ cho bởi

Với x, y ∈ R, x ≤ y (hay y ≥ x) ⇔ y − x ≥ 0.

Cho một trục số ∆ (Hình 1.1).

O x M

Hình 1.1

Chọn một điểm gốc O cố định trên ∆. Người ta có thể chứng minh rằng tương ứng

R ∋ x 7→M ∈ ∆ xác định như sau:

a) Độ dài của đoạn OM là |x|,

b) M ở bên phải điểm gốc O nếu x > 0, ở bên trái nếu x < 0 và M trùng với O

nếu x = 0, cho ta một song ánh từ R lên trục số ∆. Vì vậy trục số ∆ xem như một

biểu diễn hình học của R.

1.2 Tập hợp số thực mở rộng

1.2.1 Định nghĩa. Tập số thực mở rộng ký hiệu là R theo định nghĩa là tập R

cùng với hai điểm được ký hiệu là −∞ và +∞ không thuộc R,

R = R ∪ −∞,+∞, −∞,+∞ /∈ R.

Điểm −∞ được gọi là điểm âm vô cùng còn +∞ gọi là dương vô cùng.

1.2.2 Chú ý. Ta luôn quy ước

1) −∞ < x < +∞ với mọi x ∈ R.

2) −(+∞) = −∞; −(−∞) = +∞.

3) x+ (+∞) = +∞; x+ (−∞) = −∞;x

±∞= 0, với mọi x ∈ R.

4) Nếu x ∈ R, x > 0 thì x.(+∞) = +∞; x.(−∞) = −∞. Còn nếu x ∈ R, x <

0 thì x.(+∞) = −∞; x.(−∞) = +∞


1.3 Tập bị chặn, cận trên, cận dưới

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử A ⊆ R và y ∈ R. Ta nói

1) y là cận trên của A nếu x 6 y với mọi x ∈ A. Khi đó ta còn nói A bị chặn

trên bởi y.

2) y là cận dưới của A nếu x > y với mọi x ∈ A. Khi đó ta còn nói A bị chặn

dưới bởi y.

3) A là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới tức là tồn tại y, z ∈ R

sao cho

y 6 x 6 z ∀x ∈ A.

1.3.2 Ví dụ. 1) Cho A = 1− x2 : x ∈ R. Khi đó 1 là cận trên của A.

2) Cho A = x2 − 1 : x ∈ R, x = 0. Khi đó −1 là cận dưới của A.

3) Cho A = 2x2

1 + x4: x ∈ R

. Khi đó 0 là cận dưới của A và 1 là cận trên của

A. Do đó A bị chặn.

1.3.3 Định nghĩa. Giả sử A ⊆ R và A = ϕ.

1) Số nhỏ nhất (nếu tồn tại là duy nhất) trong các cận trên của A gọi là cận

trên đúng của A và viết là supA hay supx∈A

x.

2) Số lớn nhất (nếu tồn tại là duy nhất) trong các cận dưới của A gọi là cận dưới

đúng của A và viết là inf A hay infx∈A

x.

1.3.4 Nhận xét. a) Hiển nhiên supA là cận trên của A và inf A là cận dưới của

A.

b) y = supA khi và chỉ khi x 6 y ∀x ∈ A và với mọi ε > 0 tồn tại xε ∈ A sao

cho y − ε < xϵ.

y = inf A khi và chỉ khi x > y ∀x ∈ A và với mọi ε > 0 tồn tại xε ∈ A sao cho

xϵ < y + ε.

c) − supA = inf(−A), − inf A = sup(−A).

1.3.5 Ví dụ. 1) Cho A = 1− x2 : x ∈ R. Ta thấy 2 và 3 đều là cận trên của A.

Tuy nhiên cận trên đúng của A là 1. Thật vậy, rõ ràng 1 là cận trên của A. Ta cần

chứng minh 1 là cận trên nhỏ nhất. Giả sử a < 1. Lấy 0 < x <√1− a. Ta có

1− x2 > a


hay a không là cận trên của A. Do đó 1 là cận trên nhỏ nhất. Vậy supA = 1.

Tương tự ta chứng minh được B = 1 − x2 : x ∈ R, x = 0 cũng có cận trên

đúng là 1. Điều này chứng tỏ cận trên đúng có thể không phải là giá trị lớn nhất.

2) Cho A = 1n: n = 1, 2, ...

. Khi đó supA = 1 và inf A = 0.

Rõ ràng supA = 1. Ta chỉ ra inf A = 0. Thật vậy, vì x =1

n> 0 với mọi

n = 1, 2, ..., nên 0 là cận dưới của A. Với mọi ε > 0 nếu chọn

n0 =[1ε

]+ 1 ∈ N

trong đó [x] ký hiệu là phần nguyên của số thực x thì xε =1

n0

∈ A và xε < ε. Vậy

inf A = 0.

Định lý sau đây cho chúng ta điều kiện để một tập là có cận trên đúng hoặc cận

dưới đúng. Chứng minh định lý này có thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2],

[3], [5] của chương 1.

1.3.6 Định lý. (Nguyên lý supremum) Cho A ⊆ R và A = ϕ.

1) Nếu A bị chặn trên thì A có cận trên đúng.

2) Nếu A bị chặn dưới thì A có cận dưới đúng.

1.3.7 Định nghĩa. Cho a, b ∈ R với a 6 b. Đặt

[a, b] = x ∈ R : a 6 x 6 b; [a, b) = x ∈ R : a 6 x < b;

(a, b] = x ∈ R : a < x 6 b; (a, b) = x ∈ R : a < x < b.

Tập thứ nhất được gọi là đoạn, tập thứ hai và thứ ba gọi là nửa đoạn, tập cuối gọi

là khoảng với hai đầu mút là a và b.

Giả sử a ∈ R và δ > 0. Khoảng (a − δ, a + δ) được gọi là δ-lân cận bán kính δ

của a.

1.3.8 Định lý. (Bổ đề các đoạn lồng nhau) Nếu [an, bn] là dãy các đoạn lồng

nhau giảm dần, tức là

[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ ... ⊃ [an, bn] ⊃ ...

thì∞∩n=1

[an, bn] = ϕ.


1.3.9 Định lý. Nếu α và β là hai số thực và α < β thì tồn tại số hữu tỷ r sao cho

α < r < β.

1.3.10 Chú ý. 1) Định lý 1.3.9 nói lên tính trù mật của tập số hữu tỷ trong tập

các số thực và cho thấy rằng giữa hai số thực có vô số số hữu tỷ nằm giữa chúng.

2) Muốn tìm hiểu chứng minh Định lý 1.3.9 chúng ta có thể xem trong các tài

liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

1.3.11 Định nghĩa. Nếu A ⊆ R, A = ϕ không bị chặn trên hoặc +∞ ∈ A thì ta

coi supA = +∞.

Cũng như vậy nếu A ⊆ R, A = ϕ không bị chặn dưới hoặc −∞ ∈ A thì ta coi

inf A = −∞.

2 Giới hạn của dãy số

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của dãy số hội tụ

2.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp tuỳ ý. Một ánh xạ u : N∗ → X được

gọi là một dãy trong X.

Nếu X = R thì dãy trong R gọi là dãy số. Bằng cách đặt un = u(n), n ∈ N∗,

dãy u có thể viết là

u1, u2, ..., un, ... hay viết gọn un∞n=1 hoặc un.

Một phần tử của dãy được gọi là số hạng của dãy. Phần tử un được gọi là số hạng

thứ n của dãy.

Dãy được gọi là vô hạn nếu u(N∗) là tập vô hạn. Nói chung ta thường xét dãy

là vô hạn. Khi un = um với mọi n = m dãy un được gọi là dãy phân biệt.

2.1.2 Ví dụ. 1) Ánh xạ u : N∗ → R xác định bởi u(n) =n

1 + n2với mọi n ∈ N∗

là một dãy số. Dãy này là vô hạn. Ta còn viết dãy này là n

1 + n2

∞

n=1.

2) Ánh xạ u : N∗ → R xác định bởi u(n) = (−1)n với mọi n ∈ N∗ là một dãy

số. Dãy này chỉ gồm hai phần tử là ±1.


Về sau người ta còn cho một dãy số bởi công thức xác định số hạng tổng quát

của nó là un = u(n), n = 1, 2, ... Chẳng hạn, cho dãy số un =n

1 + n2, n = 1, 2, ...

Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm quan trọng nhất liên quan đến dãy số là

khái niệm giới hạn dãy số.

2.1.3 Định nghĩa. Cho dãy số un ⊂ R. Nếu tồn tại a ∈ R sao cho

∀ε > 0 ∃n0 = n0(ε) ∀n > n0 : |un − a| < ε

thì ta nói a là giới hạn của dãy un và un gọi là hội tụ tới a. Lúc đó, ta viết

a = limn→∞

un hay un → a khi n→ ∞.

Một dãy có giới hạn trong R được gọi là dãy hội tụ. Các trường hợp còn lại gọi là

dãy phân kỳ.

2.1.4 Ví dụ. 1) Dãy 1n

hội tụ đến 0 , bởi vì với mọi ε > 0 nếu ta lấy n0 =

[1ε

],

thì với mọi n > n0 =[1ε

]ta sẽ có

1

n< ε, trong đó

[1ε

]là phần nguyên của

1

ε.

2) Dãyn+ 1

n− 1

hội tụ tới 1. Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có

∣∣∣n+ 1

n− 1− 1∣∣∣ = 2

n− 1< ε

với mọi n > n0 =[2ε

]+ 1.

2.1.5 Định lý. Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng nếu |a1 − a2| < ε với mọi ε > 0 thì a1 = a2.

Thật vậy, giả sử a1 = a2. Khi đó nếu lấy ε =|a1 − a2|

2> 0 thì |a1 − a2| > ε. Điều

này mâu thuẫn với |a1 − a2| < ε với mọi ε. Vậy a1 = a2.

Bây giờ, nếu un có giới hạn là a1 và a2. Khi đó, theo Định nghĩa 2.1.3, với

ε > 0 bé tùy ý

∃n1, ∀n > n1 : |un − a1| <ε

2

∃n2, ∀n > n2 : |un − a2| <ε

2.


Khi đó, với n0 > maxn1, n2 ta có

|a1 − a2| 6 |a1 − un0 |+ |un0 − a2| <ε

2+ε

2= ε.

Từ chứng minh trên ta suy ra a1 = a2.

2.1.6 Định nghĩa. Dãy số un ⊂ R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M ∈ R

sao cho

un 6M, ∀n > 1.

Dãy un ⊂ R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m ∈ R sao cho

un > m, ∀n > 1.

Dãyun vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn. Như vậy dãy unbị chặn khi và chỉ khi

supn>1

|un| <∞.

2.1.7 Ví dụ. 1) Dãy 1n

bị chặn vì 0 <

1

n6 1, với mọi n ≥ 1.

2) Dãy (−1)n bị chặn vì |(−1)n| = 1 với mọi n ≥ 1.

3) Dãy (−1)nn không bị chặn trên vì với mọi M ∈ R đều tồn n sao cho

(−1)nn > M. Tương tự dãy này cũng không bị chặn dưới.

Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa dãy hội tụ và dãy bị chặn.

2.1.8 Định lý. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Chứng minh. Giả sử limn→∞

un = a ∈ R. Khi đó từ Định nghĩa 2.1.3 tồn tại n0 sao

cho

|un − a| < 1 ∀n > n0.

Đặt M = max|u1|, |u2|, ..., |un0 |, |a| + 1. Ta nhận được |un| 6 M ∀n > 1. Vậy

un là dãy bị chặn.

2.1.9 Chú ý. Điều ngược lại của định lý nói chung không đúng. Dãy (−1)n bị

chặn nhưng không hội tụ.

2.1.10 Định nghĩa. Cho hai dãy số un và vn. Khi đó các dãy un + vn,

un−vn, unvn vàun

vn, (vn = 0) lần lượt được gọi là dãy tổng, hiệu, tích và thương

của hai dãy trên.


Định lý sau nói về các phép toán của dãy hội tụ. Bạn đọc có thể xem chứng

minh trong tài liệu tham khảo [2], [3].

2.1.11 Định lý. Giả sử un và vn là các dãy hội tụ. Khi đó các dãy tổng, hiệu

và tích của chúng cũng hội tụ và

limn→∞

(un + vn) = limn→∞

un + limn→∞

vn;

limn→∞

(un − vn) = limn→∞

un − limn→∞

vn;

limn→∞

(unvn) = limn→∞

un. limn→∞

vn.

Nếu limn→∞

vn = 0 thì

limn→∞

un

vn=

limn→∞

un

limn→∞

vn.

Từ Định nghĩa 2.1.3 và bất đẳng thức∣∣|x| − |y|∣∣ 6 |x− y|, ∀x, y ∈ R

ta có ngay định lý sau.

2.1.12 Định lý. Nếu limn→∞

un = a thì limn→∞

|un| = |a|.

2.1.13 Chú ý. 1) Chiều ngược lại của định lý là không đúng. Chẳng hạn limn→∞

|(−1)n| =1 nhưng không tồn tại lim

n→∞(−1)n.

2) Nếu a = 0 thì chiều ngược lại của định lý vẫn đúng, tức là limn→∞

un = 0 khi và

chỉ khi limn→∞

|un| = 0.

Các định lý sau cho ta các tính chất quan trọng của dãy số hội tụ. Bạn đọc có

thể xem chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

2.1.14 Định lý. Cho un là dãy hội tụ.

1) Nếu un > α với mọi n đủ lớn, tức là tồn tại n0 ∈ N sao cho un > α với mọi

n > n0 thì limn→∞

un > α. Ngược lại, nếu limn→∞

un > α thì un > α với mọi n đủ lớn.

2) Nếu un 6 β với mọi n đủ lớn thì limn→∞

un 6 β. Ngược lại, nếu limn→∞

un < β thì

un > β với mọi n đủ lớn.

2.1.15 Định lý. (Nguyên lý kẹp) Cho un, vn là hai dãy số hội tụ, limn→∞

un =

limn→∞

vn = a và dãy số wn. Nếu khi n đủ lớn ta có un 6 wn 6 vn thì wn hội tụ

và limn→∞

wn = a.


Định lý trên có nhiều ứng dụng trong việc tìm giới hạn của dãy số.

2.1.16 Ví dụ. 1) Tìm giới hạn limn→∞

sinn

n.

Ta có

− 1

n6 sinn

n6 1

n∀n = 1, 2, ...

và

limn→∞

(− 1

n

)= lim

n→∞

1

n= 0.

Do đó limn→∞

sinn

n= 0

2) Tìm giới hạn limn→∞

(1

√n2 + 1

+1

√n2 + 2

+ ...+1

√n2 + n

).

Ta có

n√n2 + n

<1

√n2 + 1

+1

√n2 + 2

+ ...+1

√n2 + n

<n

√n2 + 1

∀n

và

limn→∞

n√n2 + n

= limn→∞

n√n2 + 1

= 1.

Vậy

limn→∞

(1

√n2 + 1

+1

√n2 + 2

+ ...+1

√n2 + n

)= 1.

2.2 Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu, số e

Trong mục này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy đơn điệu.

2.2.1 Định nghĩa. Dãy số un được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng, tăng ngặt)

nếu

un 6 un+1 (tương ứng, un < un+1) ∀n > 1.

Dãy số un được gọi là đơn điệu giảm (tương ứng, giảm ngặt) nếu

un > un+1 (tương ứng, un > un+1) ∀n > 1.

Dãy đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.

Định lý sau đưa ra điều kiện đủ để dãy đơn điệu là hội tụ.


2.2.2 Định lý. 1) Nếu dãy un đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và

limn→∞

un = supnun.

2) Nếu dãy un đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và

limn→∞

un = infnun.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham

khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

2.2.3 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của dãy số un,

un = 1 +1

4+

1

9+ ...+

1

n2, n = 1, 2, ...

Vì

un+1 − un =1

(n+ 1)2> 0 ∀n

nên dãy un đơn điệu tăng. Mặt khác

un = 1 +1

4+

1

9+ ...+

1

n2

< 1 +1

1.2+

1

2.3+ ....+

1

(n− 1)n

= 1 + 1− 1

2+

1

2− 1

3+ ...+

1

n− 1− 1

n

= 2− 1

n< 2 ∀n.

nên dãy un bị chặn trên. Do đó dãy un hội tụ.

2.2.4 Ví dụ. Số e. Xét dãy số un =(1 +

1

n

)n.

Ta chứng minh un là dãy tăng. Xét n+ 1 số dương

x1 = 1, x2 = x3 = .... = xn+1 = 1 +1

n.

Theo bất đẳng thức Cauchy

x1 + x2 + ...+ xn+1

n+ 1> n+1

√x1.x2....xn.xn+1.

⇔1 + n

(1 + 1

n

)n+ 1

> n+1

√(1 +

1

n)n ⇔

(1 +

1

n+ 1

)n+1

>(1 +

1

n

)n, ∀n.

Vậy un+1 > un ∀n hay un là dãy tăng.


Tiếp theo ta chứng minh un bị chặn trên. Dùng khai triển nhị thức Newton

ta có (1 +

1

n

)n= 1 +

n

1!

1

n+n(n− 1)

2!

1

n2+ ...+

n(n− 1)...2.1

n!

1

nn.

Vìn(n− 1)...(n− k + 1)

k!

1

nk<

1

k!<

1

2k−1∀k > 2

nên (1 +

1

n

)n= 1 +

n

1!

1

n+

(n(n− 1)

2!

1

n2+ ...+

n(n− 1)...2.1

n!

1

nn

< 1 + 1 +1

2+

1

22+ ...+

1

2n−1

= 1 +1−

1

2n

1−1

2

< 3 ∀n.

Vậy(

1 +1

n

)nlà một dãy tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Ta đặt

e = limn→∞

(1 +

1

n

)n.

Người ta chứng minh được số e là số vô tỷ và tính được giá trị gần đúng của nó:

e ≈ 2, 718281...

2.3 Tiêu chuẩn Cauchy

Trong mục này chúng ta trình bày nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của dãy số.

2.3.1 Định nghĩa. Dãy số un được gọi là dãy cơ bản (hay là dãy Cauchy) nếu

với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho

|un − um| < ε ∀m,n > n0.

Hay một cách tương đương với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho

|un+p − un| < ε ∀n > n0, ∀p ∈ N.

Định lý sau là nguyên lý Cauchy về tính đầy đủ của R.

2.3.2 Định lý. (Nguyên lý Cauchy). Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi dãy số đó là

dãy cơ bản.



khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

2.3.3 Ví dụ. 1) Khảo sát sự hội tụ của dãy

un = 1 +1

2+ ...+

1

n, n = 1, 2, ...

Ta có

a2n − an =1

n+ 1+

1

n+ 2+ ...+

1

2n>

1

2n+

1

2n+ ...+

1

2n=

1

2∀n.

Do đó dãy này không phải là dãy Cauchy. Theo Định lý 2.3.2 nó là dãy phân kỳ.

2) Khảo sát sự hội tụ của dãy un =cos 1

1!+

cos 2

2!+ ...+

cosn

n!, n = 1, 2, ....

Ta có

|un+p − un| =∣∣∣ cos(n+ 1)

(n+ 1)!+

cos(n+ 2)

(n+ 2)!+ ...+

cos(n+ p)

(n+ p)!

∣∣∣6∣∣∣ cos(n+ 1)

(n+ 1)!

∣∣∣+ ∣∣∣ cos(n+ 2)

(n+ 2)!

∣∣∣+ ...+∣∣∣ cos(n+ p)

(n+ p)!

∣∣∣<

1

(n+ 1)!+

1

(n+ 2)!+ ...+

1

(n+ p)!

<1

2n+

1

2n+1+ ...+

1

2n+p=

1

2n

(1 +

1

2+ ..+

1

2p

)

=1

2n

1−1

2p+1

1−1

2

<1

2n−1∀n, ∀p ∈ N.

Do đó với mọi ε > 0 ta có

|un+p − un| <1

2n−1< ε

với mọi n > n0 = 1+[log2

1

ε

]và p ∈ N. Vậy un là dãy Cauchy và do đó un hội

tụ.

Trong phần tiếp theo của mục này chúng tôi giới thiệu một số nguyễn lý khác

về sự hội tụ của dãy số.

2.3.4 Định nghĩa. Cho X ⊂ R, X = ϕ là một tập hợp tuỳ ý và dãy un∞n=1 ⊂ X.

Nếu n1 < n2 < ... < nk < ... là một dãy tăng ngặt các số tự nhiên thì dãy

un1 , un2 , ..., unk, ... gọi là dãy con của dãy un∞n=1.


Mệnh đề sau nói lên mối quan hệ giữa sự hội tụ của dãy và các dãy con của nó

mà chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].

2.3.5 Định lý. Nếu dãy un hội tụ và limn→∞

un = a thì mọi dãy con unk của nó

cũng hội tụ và limk→∞

unk= a.

Tiếp theo, chúng ta trình bày nguyên lý Bolzano-Weierstrass mà người ta còn

gọi là nguyên lý compact địa phương.

2.3.6 Định lý. (Nguyên lý Bolzano-Weierstrass). Mỗi dãy bị chặn trong R có một

dãy con hội tụ.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

2.3.7 Định nghĩa. Dãy các đoạn [an, bn] trong R được gọi là dãy các đoạn thắt

nếu [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] với mọi n > 1 và limn→∞

(bn − an) = 0.

Định lý sau là nguyên lý Cantor cho dãy các đoạn thắt trong R.

2.3.8 Định lý. Nếu [an, bn] là dãy các đoạn thắt trong R thì chúng có một điểm

chung duy nhất.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

Trong phần cuối của mục này chúng tôi trình bày về giới hạn trên, giới hạn

dưới và một số tính chất cơ bản của chúng. Trước hết, ta định nghĩa khái niệm giới

hạn riêng của dãy.

2.3.9 Định nghĩa. Cho dãy số un. Nếu có một dãy conunk của un hôi tụ

và limk→∞

unk= a thì a được gọi là giới hạn riêng của un.

2.3.10 Nhận xét. 1) Một dãy số có thể có nhiều giới hạn riêng khác nhau. Chẳng

hạn dãy số un = (−1)n có các giới hạn riêng là −1 và 1.

2) Theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass, mọi dãy số bị chặn un tồn tại ít nhất

một giới hạn riêng.

2.3.11 Định lý. Mỗi dãy bị chặn luôn có giới hạn riêng lớn nhất và giới hạn riêng

nhỏ nhất.


Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2],

[3].

Từ định lý này ta có định nghĩa sau.

2.3.12 Định nghĩa. Cho un là một dãy số bị chặn. Giới hạn riêng lớn nhất của

un được gọi là giới hạn trên của nó và ký hiệu limn→∞

un.

Giới hạn riêng bé nhất của un được gọi là giới hạn dưới của nó và ký hiệu

limn→∞

un.

2.3.13 Ví dụ. Xét dãy un =(−1)nn

2n+ 1, n = 1, 2, .... Ta có dãy con

u2n =2n

4n+ 1→ 1

2khi n→ ∞

và

u2n+1 =−(2n+ 1)

4n+ 3→ −1

2khi n→ ∞.

Vậy −1

2và

1

2là các giới hạn riêng của un. Mặt khác

|un| =∣∣∣(−1)nn

2n+ 1

∣∣∣ < 1

2∀n.

Suy ra limn→∞

un =1

2và lim

n→∞un = −

1

2.

Từ định nghĩa giới hạn trên, giới hạn dưới và các tính chất của cận trên đúng

và cận dưới đúng ta có định lý sau. Chứng minh của nó dành cho bạn đọc.

2.3.14 Định lý. Cho un và vn là các dãy số bị chặn. Khi đó

1) limn→∞

(un + vn) 6 limn→∞

un + limn→∞

vn.

2) limn→∞

(un + vn) > limn→∞

un + limn→∞

vn

3) − limn→∞

un = limn→∞

(−un).

Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để một dãy số hội tụ.

2.3.15 Định lý. Điều kiện cần và đủ để dãy số hội tụ là giới hạn trên và giới hạn

dưới của nó tồn tại và bằng nhau.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.


2.3.16 Chú ý. Nếu dãy un không bị chặn trên thì ta đặt limn→∞

un = +∞.

Nếu dãy un không bị chặn dưới thì ta đặt limn→∞

un = −∞.

2.4 Giới hạn vô hạn

Trong các mục trước, ta xét giới hạn hữu hạn của các dãy số. Tuy nhiên

đường thẳng thực R có hai hướng xác định vì vậy ta có thể xét giới hạn theo hai

hướng này.

2.4.1 Định nghĩa. Cho dãy số un. Nếu với mọi số M > 0 tồn tại n0 ∈ N sao

cho an > M với mọi n > n0 thì ta nói dãy un có giới hạn là dương vô cùng và ký

hiệu limn→∞

un = +∞.

Nếu với mọi số M > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho an < −M với mọi n > n0 thì ta

nói dãy un có giới hạn là âm vô cùng và ký hiệu limn→∞

un = −∞.

2.4.2 Nhận xét. 1) Nếu limn→∞

un = −∞ hoặc limn→∞

un = +∞ thì dãy un là phân

kỳ.

2) Nếu dãy un không bị chặn trên thì tồn tại một dãy con unk của nó có

giới hạn là dương vô cùng. Vì vậy dãy không bị chặn trên có thể xem có giới hạn

riêng là +∞.

Tương tự, dãy không bị chặn dưới xem là có giới hạn riêng là −∞.

3) Ta dễ dàng chứng minh được nếu dãy un đơn điệu tăng và không bị chặn

trên thì limn→∞

un = +∞. Và nếu dãy un đơn điệu giảm và không bị chặn dưới thì

limn→∞

un = −∞.

2.4.3 Chú ý. Nếu dãy un không bị chặn trên thì chưa thể kết luận limn→∞

un = +∞.

Chẳng hạn, dãy un = (−1)nn không bị chặn trên bởi vì với mọi M > 0 tồn tại

n = 2k sao cho u2k = 2k > M. Tuy nhiên, từ u2k+1 = −(2k + 1) < 0 với mọi k suy

ra limn→∞

un = +∞.

Tương tự dãy không bị chặn dưới thì chưa kết luận được

limn→∞

un = −∞.

CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 1


Câu hỏi thảo luận

1. Ôn tập các tính chất của phép toán trong tập số thực. Thực hiện các phép toán

trên tập số thực mở rộng. Ôn tập về cấu trúc thứ tự (bất đẳng thức) và giá trị

tuyệt đối trong tập số thực.

2. Phân biệt giữa giá trị bé nhất với cận dưới đúng, giá trị lớn nhất với cận trên

đúng. Thực hành tìm cận trên đúng, và cận dưới đúng của các tập hợp.

3. Nghiên cứu mối liên hệ của sự hội tụ của dãy số và sự hội của các dãy con của

nó. Mối liên hệ giữa tính hội tụ và bị chặn của dãy số. Tìm hiểu các tính chất

của dãy hội tụ.

4. Tìm hiểu các khái niệm về dãy đơn điệu tăng, giảm và dấu hiệu hội tụ của các

lớp dãy này; áp dụng vào khảo sát sự hội tụ của dãy.

5. Tìm hiểu các nguyên lý về dãy số thực.

6. Mối liên hệ giữa tính không bị chặn và giới hạn bằng ±∞ của một dãy số.

7. Giải các bài tập cuối chương.

Một số giới hạn đặc biệt

1) limn→+∞

qn = 0 nếu |q| < 1.

2) limn→∞

nk

an= 0, với (a > 1).

3) limn→∞

n√a = 1, với (a > 0).

4) limn→∞

an

n!= 0, với (a > 0).

5) limn→∞

n√n = 1.

Bài tập Chương 1

Bài 1. Tính giới hạn sau:

1) limn→∞

(1

2+

3

22+

5

23+ · · ·+

2n− 1

2n

).

2) limn→∞

( 1

2.1+

1

2.3+ ...+

1

n(n+ 1)

).


3) limn→∞

√2. 4√2. 8√2 . . . 2n

√2.

4) limn→∞

√n(√n+ 1−

√n).

5) limn→∞

√n2 + n+ 1− 2

√n2 − n+ 1

n.

6) limn→∞

(√n+ 1−

√n)

Bài 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát an sau đây là phân

kỳ.

1) an = (−1)n.

2) an = 1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n

3) an =1

ln 2+

1

ln 3+ ...+

1

lnn.

4) an = 1 +13√2+

13√3+ · · ·+

13√n.

5) an =n+ (−1)nn

n+ 2.

Bài 3. Dùng tiêu chuẩn Cauchy khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của các dãy sau:

1) xn = 1 +1

2+

1

4+ ...+

1

2n.

2) xn =

√2 +

√2 +

√2 + ....+

√2 (n dấu căn).

3) xn =sin 1

2+

sin 2

22+ ...+

sinn

2n.

4) xn = 1 +1

22+

1

32+ ...+

1

n2.

5) xn =1

√1.2

+1

√2.3

+ ...+1√

n(n+ 1).

TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 1

[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),

Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh

viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.

[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần


Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà

xuất bản Đại học Vinh.

[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản

ĐH Sư phạm.

[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB

Đại học và Trung học chuyên nghiệp.

[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải

tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.

CHƯƠNG 2

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN

TỤC

II.1. GIỚI THIỆU

Hàm số, giới hạn hàm số và tính liên tục của hàm số là các khái niệm cơ bản của

giải tích toán học. Việc nắm vững khái niệm hàm số, các tính chất của chúng, giúp

cho người học tiếp thu tốt các khái niệm và tính chất của giới hạn hàm và tính liên

tục của các hàm số để từ đó tiếp cận được với các kiến thức về phép tính vi phân,

phép tính tích phân,...

II.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của hàm số, giới hạn hàm, hàm số

liên tục.

II.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Phát biểu được các định nghĩa về hàm đơn điệu, hàm bị chặn, hàm hợp,

hàm ngược, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm số sơ cấp.

2. Trình bày được các định nghĩa về giới hạn hàm số, giới hạn trái, giới hạn

phải và biết vận dụng để tính giới hạn hàm số. Nắm được và biết vận dụng điều

kiện cần và đủ để hàm số có giới hạn tại 1 điểm.

3. Trình bày được các tính chất cơ bản của giới hạn hàm và biết vận dụng để

tính giới hạn.

4. Trình bày được định nghĩa, các tính chất cơ bản của vô cùng bé, vô cùng

lớn và biết sử dụng các tính chất này để tính giới hạn.

5. Phát biểu được các định nghĩa: hàm liên tục tại một điểm, liên tục trái, liên

tục phi, liên tục trên một tập, liên tục trên 1 đoạn và biết vận dụng để xét tính liên

20


tục của hàm số.

6. Trình bày được các tính chất đơn giản của hàm số liên tục tại một điểm,

liên tục trên một đoạn và biết vận dụng để xét tính liên tục của hàm số và một số

bài tập liên quan trực tiếp.

II.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

1 Hàm số và giới hạn của hàm số

1.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số

1.1.1 Định nghĩa. Cho X ⊂ R. Ta gọi một ánh xạ f : X → R là một hàm số.

Tập X được gọi là tập xác định của hàm f , tập Y = f(x) :∈ X := f(X) được gọi

là tập giá trị của hàm f . Lúc đó ta ký hiệu

y = f(x), x ∈ X. (2.1)

Đẳng thức (2.1) cho phép ta xác định giá trị của hàm số f tại điểm x ∈ X. Khi đó

x được gọi là biến số và y được gọi là giá trị của hàm số tại x. Nếu f(X) chỉ có một

giá trị thì ta nói f là hàm hằng trên X.

Tập Gf = (x, f(x)

): x ∈ X ⊂ R2 được gọi là đồ thị của hàm số f .

1.1.2 Ví dụ. 1) Ánh xạ f : R → R cho bởi công thức y = f(x) = x2 + 1 là một

hàm số. Tập xác định của f là X = R và tập giá trị là Y = [1,+∞).

2) Công thức

y = f(x) =x|x|2

=

x2

2nếu x > 0

− x2

2nếu x < 0.

cho ta một hàm số xác định trên R.

3) Hàm số

sign(x) =

1 nếu x > 0

0 nếu x = 0

-1 nếu x < 0.

được gọi là hàm dấu.


1.1.3 Định nghĩa. Hai hàm số f và g được gọi là bằng nhau trên tập G ⊂ R nếu

các điều kiện sau được thoả mãn

1) f và g cùng xác định trên G.

2) f(x) = g(x) với mọi x ∈ G.

Khi đó ta ký hiệu f = g trên G.

1.1.4 Ví dụ. Cho các hàm số

f(x) =

x2 − 4

x− 2nếu x = 2

a nếu x = 2

(a là hằng số cho trước) và

g(x) = x+ 2.

Khi đó f và g cùng xác định trên R. Rõ ràng f = g trên R khi và chỉ khi a = 4.

1.1.5 Định nghĩa. Hàm số f được gọi là lớn hơn hàm g trên tập G ⊂ R và viết

f > g trên G nếu các điều kiện sau đồng thời được thoả mãn

1) f và g cùng xác định trên G.

2) f(x) > g(x) với mọi x ∈ G.

1.1.6 Ví dụ. Cho các hàm số f(x) = x2 + 2x+ 2 và g(x) = 2x+ 1. Khi đó f lớn

hơn g trên R.

Giả sử f và g lần lượt là các hàm số xác định trên các tập D1 và D2. Giả sử

D = D1 ∩D2 = ϕ. Ta định nghĩa các phép toán của f và g như sau

1.1.7 Định nghĩa. 1) Hàm h được gọi là tổng của f và g nếu h(x) = f(x) +

g(x), ∀x ∈ D.

2) Hàm h được gọi là hiệu của f và g nếu h(x) = f(x)− g(x), ∀x ∈ D.

3) Hàm h được gọi là tích của f và g nếu h(x) = f(x)g(x), ∀x ∈ D.

4) Hàm h được gọi là thương của f và g nếu g(x) = 0 ∀x ∈ D và h(x) =

f(x)

g(x), ∀x ∈ D.

Định nghĩa tiếp theo đưa ra khái niệm về hàm đơn điệu


1.1.8 Định nghĩa. 1) Hàm số f được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng, đơn điệu

giảm) trên tập G ⊂ R nếu với mọi x1, x2 ∈ G sao cho x1 < x2 thì f(x1) 6 f(x2)

(tương ứng, f(x1) > f(x2)).

2) Hàm số f được gọi là đơn điệu tăng ngặt (tương ứng, đơn điệu giảm ngặt)

trên tập G ⊂ R nếu với mọi x1, x2 ∈ G sao cho x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) (tương

ứng, f(x1) > f(x2)).

3) Hàm số đơn điệu tăng (ngặt) hoặc đơn điệu giảm (ngặt) được gọi chung là

hàm số đơn điệu (ngặt).

1.1.9 Ví dụ. 1) Hàm số f(x) = x + 1 tăng ngặt trên R. Hàm số g(x) = x2 tăng

ngặt trên [0,+∞), giảm ngặt trên (−∞, 0]. Hàm số Dirichlet

D(x) =

0 nếu x ∈ Q

1 nếu x /∈ Q

là hàm không tăng và không giảm trên R.

2) Hàm số

h(x) =

x+ 1 nếu x 6 0

1 nếu 0 < x 6 2

x− 1 nếu x > 2

là hàm đơn điệu tăng trên R, nhưng không tăng ngặt trên R.

1.1.10 Định nghĩa. 1) Hàm số f được gọi là bị chặn trên trên tập D ⊂ R nếu

tồn tại số M sao cho f(x) 6M, với mọi x ∈ D.

2) Hàm số f được gọi là bị chặn dưới trên tập D ⊂ R nếu tồn tại số m sao cho

f(x) > m, với mọi x ∈ D.

3) Hàm số f được gọi là bị chặn trên tập D ⊂ R nếu nó đồng thời bị chặn trên

và bị chặn dưới trên D.

Ta dễ dàng suy ra f bị chặn trên D khi và chỉ khi tồn tại M > 0 sao cho

|f(x)| 6M, ∀x ∈ D.

1.1.11 Ví dụ. 1) Các hàm số f(x) = sinx, f(x) = cosx bị chặn trên R.

2 ) Hàm số f(x) =1

xbị chặn dưới trên (0,+∞), nhưng không bị chặn trên trên

khoảng này.


1.2 Một số loại hàm số đặc biệt

1.2.1 Định nghĩa. Cho hàm số f có tập xác định là Df .

1) Hàm số f được gọi là hàm chẵn nếu x ∈ Df thì −x ∈ Df và f(x) = f(−x),với mọi x ∈ Df .

2) Hàm số được gọi là hàm lẻ nếu x ∈ Df thì −x ∈ Df và f(−x) = −f(x), với

mọi x ∈ Df .

3) Hàm số được gọi là hàm tuần hoàn với chu kỳ T nếu với mọi x ∈ Df mà

x+ T ∈ Df thì f(x) = f(x+ T ), với mọi x ∈ Df .

1.2.2 Ví dụ. 1) Các hàm f(x) = sin x, f(x) = x3 và f(x) =1

xlà hàm số lẻ trên

tập xác định của nó.

2) Các hàm f(x) = cosx, f(x) = sin2 x là hàm chẵn trên tập xác định của nó.

3) Hàm y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = cos 4x tuần hoàn với chu

kỳπ

4trên R.

1.2.3 Nhận xét. 1) Cho hàm số f với đồ thị Gf . Nếu f là hàm số chẵn thì đồ thị

Gf đối xứng qua trục Oy trong hệ toạ độ Descartes. Nếu f là hàm số lẻ thì đồ thị

Gf đối xứng qua gốc toạ độ. Như vậy việc khảo sát hàm số chẵn, hoặc lẻ ta chỉ cần

khảo sát trên tập x > 0 ∩Df .

2) Từ định nghĩa suy ra rằng để khảo sát hàm tuần hoàn chỉ cần khảo sát trong

một chu kỳ của nó.

Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm hàm số hợp và hàm số ngược.

1.2.4 Định nghĩa. Cho X,Y và Z là các tập con của R và các hàm số

f : X → Y, g : Y → Z.

Khi đó ánh xạ F : X → Z được xác định bởi

F (x) = g(f(x)), ∀x ∈ X

được gọi là hàm số hợp của g và f . Ký hiệu F = g f .

1.2.5 Ví dụ. Cho các hàm số f(x) = 2x2 +1 và g(x) = cos x. Khi đó hàm số hợp

của g và f là

F (x) = (g f)(x) = g(f(x)) = cos(2x2 + 1), ∀x ∈ R.


1.2.6 Định nghĩa. Cho f là một hàm số xác định trên tập X và có tập giá trị

là Y = f(X). Giả sử f là một song ánh. Khi đó ánh xạ ngược f−1 : Y → X của f

được gọi là hàm số ngược của hàm số f .

Từ định nghĩa trên suy ra nếu f−1 là hàm số ngược của f thì f cũng là hàm số

ngược của f−1. Hàm số ngược của f : X → Y tồn tại khi và chỉ khi f là một song

ánh. Hơn nữa (f−1 f

)(x) = x, ∀x ∈ X;

(f f−1

)(y) = y, ∀ ∈ Y.

Như vậy nếu f có hàm số ngược và M(x, y) thuộc vào đồ thị của của hàm f thì

M ′(y, x) sẽ thuộc vào đồ thị của f−1. Mặt khác như chúng ta đã biết ở chương trình

phổ thông là trong mặt phẳng R2 với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc thì các

điểm M và M ′ đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Do đó đồ thị của f và f−1

đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

1.2.7 Ví dụ. 1) Cho a > 0 và a = 1. Khi đó hàm số y = loga x là hàm số ngược

của hàm số mũ y = ax.

2) Hàm số y = 3√x là hàm số ngược của hàm số y = x3.

3) Hàm số y = x2 không có hàm số ngược trên R bởi vì nó không phải là một

song ánh từ R vào tập giá trị của nó là [0,+∞). Tuy nhiên nếu chỉ xét nó trên

[0,+∞) thì nó có hàm ngược là y =√x.

1.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm số sơ cấp

Trong mục này chúng ta trình bày các hàm số sơ cấp thường gặp trong giải

tích.

1.3.1 Hàm luỹ thừa. Cho α là một số thực khác không. Hàm số f : R+ → R+

xác định bởi f(x) = xα được gọi là hàm luỹ thừa. Hàm này có hàm ngược f−1 :

R+ → R+ xác định bởi f−1(x) = x1α . Khi đó f−1 cũng là hàm luỹ thừa.

Trong một số trường hợp đặc biệt của số mũ α người ta có thể mở rộng tập xác

định của nó. Tuy nhiên xác định sự tồn tại các hàm ngược của chúng là cần phải

lưu ý. Chẳng hạn:

Nếu α = n ∈ N là số tự nhiên thì f(x) = xn xác định trên R. Tuy nhiên nếu n

chẵn thì nó không có hàm ngược trên R.


y

xO

y =√x

y = x2

Nếu α = n là số nguyên âm thì f(x) = xn xác định trên R \ 0. Chẳng hạn

f(x) = x−3 =1

x3.

Giả sử α =m

nlà số hữu tỷ. Khi đó vì n > 0, nên hàm f(x) = x

mn còn được viết

dưới dạng

f(x) = n√xm.

Tập xác định của hàm này có thể mở rộng hay không là tuỳ thuộc vào tính chẵn

hay lẻ của n và dấu của m.

1.3.2 Hàm số mũ. Hàm số f : R → R+ xác định bởi f(x) = ax (a > 0, a = 1)

là hàm số mũ cơ số a. Nó là một song ánh từ R vào R+ và hàm ngược của nó như

đã biết là hàm số logarit y = loga x.

O

y = loga x

y = ax

y = x

y

x

(a > 1)

O

y = loga x

y = ax

y = x

y

x

(0 < a < 1)


1.3.3 Các hàm lượng giác và hàm ngược của nó. Các hàm lượng giác

sin x, cos x, tanx, cotanx chúng ta đã biết ở chương trình phổ thông. ở đây chúng

ta trình bày sơ lược cách xây dựng hàm ngược của chúng.

i) Xét hạn chế của hàm y = sin x trên [−π

2,π

2]. Khi đó, hàm

sin : [−π

2,π

2] → [−1, 1]

là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm số ngược , ký hiệu là arcsin

arcsin : [−1, 1] → [−π

2,π

2].

Hàm y = arcsin x thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là

sin(arcsinx) = x, ∀x ∈ [−1, 1] và arcsin(sinx) = x, ∀x ∈ [−π

2,π

2].

y

x

π

2

−π2

−1

O 1

y = arcsinx

π

2

O−1 1

y

x

π

y = arccosx

ii) Xét hạn chế của hàm y = cos x trên [0, π]. Khi đó, hàm

cos : [0, π] → [−1, 1]

là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm ngược , ký hiệu là arccos

arccos : [−1, 1] → [0, π].


Hàm y = arccos x thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là

cos(arccosx) = x, ∀x ∈ [−1, 1] và arccos(cosx) = x, ∀x ∈ [0, π].

iii) Xét hạn chế của hàm y = tan x trên (−π

2,π

2). Khi đó, hàm

tan : (−π

2,π

2) → R

là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm số ngược , ký hiệu là arctan

arctan : R → (−π

2,π

2).

Từ định nghĩa dễ thấy rằng

tan(arctanx) = x, ∀x ∈ R và arctan(tanx) = x, ∀x ∈ (−π

2,π

2).

y

x

π

2

−π2

O

π

2

O

y

x

π

y = arccotanxy = arctanx

iv) Xét hạn chế của hàm y = cotan x trên (0, π). Khi đó hàm

cotan : (0, π) → R

là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm ngược , ký hiệu là arccotan

arccotan : R → (0, π).


Từ định nghĩa dễ thấy rằng

cotan(arccotanx) = x, ∀x ∈ R và arccotan(cotanx) = x, ∀x ∈ [0, π].

1.3.4 Định nghĩa. 1) Các hàm luỹ thừa, hàm số mũ, hàm lượng giác và các hàm

ngược của chúng được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản.

2) Các hàm nhận được từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán cộng, trừ,

nhân, chia và phép lấy hàm hợp được gọi là hàm số sơ cấp.

1.3.5 Các hàm hyperbolic. Tiếp sau đây chúng ta đến với một lớp hàm sơ cấp

còn được gọi là các hàm hyperbolic.

1) Hàm cosin hyperbolic là hàm

chx =ex + e−x

2, x ∈ R.

Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh được hàm ngược của hàm này trên R là

y = ln(x+√x2 + 1).

2) Hàm sin hyperbolic là hàm

sh x =ex − e−x

2, x ∈ R.

Hàm này có hàm ngược xác định trên [1,+∞) và nhận giá trị trên [0,+∞) là

y = ln(x+√x2 − 1).

3) Hàm tan hyperbolic là hàm

thx =shx

chx=ex − e−x

ex + e−x, x ∈ R.

4) Hàm cotan hyperbolic là hàm

cothx =chx

sh x=ex + e−x

ex − e−x, x ∈ R.

Bạn đọc tự chứng minh các tính sau của các hàm hyperbolic.

sh(x+ y) = sh x ch y + chx sh y;

ch(x+ y) = chx ch y + sh x sh y;

sh(x− y) = sh x ch y − chx sh y;

ch(x− y) = chx ch y − shx sh y;

ch2 x− sh2 x = 1; sh 2x = 2 sh x chx; ch 2x = ch2 x+ sh2 x.


1.4 Định nghĩa giới hạn của hàm số

Trong phần này nếu không giải thích gì thêm thì các hàm sẽ được hiểu là xác

định trên X ⊂ R.

1.4.1 Định nghĩa. Giả sử a ∈ R, ε > 0. Ta gọi khoảng (a− ε, a+ ε) là ε-lân cận

của a, hay nói gọn là một lận cận của a và ký hiệu là B(a, ε). Tập U ⊂ R được gọi

là một lân cận của điểm a nếu U chứa một ε-lân cận B(a, ε) của điểm a.

Các tập x ∈ R : x > ε và x ∈ R : x < −ε lần lượt được gọi là lận cận của

+∞ và −∞.

1.4.2 Định nghĩa. ChoX ⊂ R và x0 ∈ R. Điểm x0 được gọi là điểm tụ hay là điểm

giới hạn của tập X nếu với mỗi lận cận U của điểm x0 đều có U ∩ (X \ x0) = ϕ.

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gọi là điểm cô lập của X nếu tồn tại lận cận U

của x0 sao cho U ∩X = x0, nghĩa là x0 là điểm chung duy nhất của U và X.

1.4.3 Ví dụ. 1) Mọi điểm x0 ∈ [a, b] đều là điểm tụ của (a, b) vì với mọi ε-lân cân

(x0 − ε, x0 + ε) của x0 đều có (x0 − ε, x0 + ε) ∩((a, b) \ x0

)= ϕ.

2) Các điểm +∞ và −∞ là điểm tụ của R vì với mọi α > 0 ta có

x ∈ R : x > α ∩R = ϕ, x ∈ R : x < −α ∩R = ϕ.

3) Mọi điểm của tập số số nguyên Z đều là điểm cô lập của nó bởi vì với mỗi n ∈ Z

tồn tại lân cận U = (n−1

2, n+

1

2) là lân cận của n và Z ∩ U = n.

1.4.4 Nhận xét. Dễ dàng chứng minh được rằng, x0 là điểm tụ của X khi và chỉ

khi tồn tại một dãy xn ⊂ X sao cho xn = x0 với mọi n và xn → x0.

1.4.5 Định nghĩa. Giả sử f : X → R và x0 ∈ R là điểm tụ của X. Hàm f được

gọi là có giới hạn l ∈ R khi x tiến tới x0 và viết limx→x0

f(x) = l hay f(x) → l

khi x → x0, nếu với mọi lân cận U của l tồn tại lân cận V của x0 sao cho với mọi

x ∈ X ∩ V mà x = x0 thì f(x) ∈ U.

1.4.6 Chú ý. Sử dụng Định nghĩa 1.4.1 về lân cận ta có thể phát biểu Định nghĩa

1.4.5 dưới dạng ngôn ngữ (ε, δ), chẳng hạn xét các trường hợp sau:

1) x0 và l hữu hạn. Khi đó ta có

a) limx→x0

f(x) = l ⇔ với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà

0 < |x− x0| < δ thì ta có |f(x)− l| < ε, hay


b) limx→x0

f(x) = l ⇔ với mọi ε−lân cận của l đều tồn tại δ-lân cận của x0 sao

cho với mọi x ∈ X mà x ∈ X ∩ (x0 − δ, x0 + δ), x = x0 thì ta có f(x) ∈ (l− ε, l+ ε).

2) x0 hữu hạn, l = +∞. Khi đó ta có

limx→x0

f(x) = +∞ ⇔ với mọi α > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà

0 < |x− x0| < δ thì ta có f(x) > α.

3) x0 = +∞, l hữu hạn. Khi đó ta có

limx→+∞

f(x) = l ⇔ với mọi ε > 0 tồn tại α > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà x > α

thì ta có |f(x)− l| < ε.

4) x0 = −∞, l = +∞. Khi đó ta có

limx→−∞

f(x) = +∞ ⇔ với mọi α > 0 tồn tại β > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà

x < −β thì f(x) > α.

Tương tự như trên, bạn đọc có thể phát biểu định nghĩa cho các trường hợp còn

lại: x0 = +∞, l = ±∞; x0 hữu hạn, l = −∞; x0 = −∞, l = −∞; và x0 = −∞, l

hữu hạn.

1.4.7 Ví dụ. 1) Với mọi x0 ∈ R ta có limx→x0

cos x = cos x0.

Thật vậy,

| cos x− cos x0| = 2| sin x+ x02

sinx− x0

2| 6 2

∣∣ sin x− x02

∣∣.Mặt khác | sin t| 6 |t| với |t| 6

π

2. Như vậy với mọi ε > 0 nếu chọn

δ = minε,π

2

thì với mọi x mà 0 < |x− x0| < δ ta có

| cosx− cosx0| 6 |x− x0| < δ 6 ε.

Vậy limx→x0

cos x = cos x0.

2) limx→0

1

x2= +∞.

Thật vậy, với mọi α > 0 nếu chọn δ =

√1

αthì

1

x2> α với mọi 0 < |x| < δ. Do đó

limx→0

1

x2= +∞.


3) Dễ dàng chứng minh được limx→±∞

1

x= 0.

4) limx→1

x2 − 1

x− 1= 2.

Với mọi x = 1 ta có ∣∣∣x2 − 1

x+ 1− 2∣∣∣ = |x+ 1− 2| = |x− 1|.

Vì vậy với mọi ε > 0 nếu chọn δ = ε thì với x mà 0 < |x− 1| < δ ta có∣∣∣x2 − 1

x+ 1− 2∣∣∣ = |x− 1| < δ = ε.

Vậy limx→1

x2 − 1

x− 1= 2.

1.4.8 Nhận xét. Vì điểm tụ của một tập có thể không thuộc tập đó nên trong

Định nghĩa 1.4.5 hàm f có thể không xác định tại x0.

Các định lý sau cho ta các tính chất quan trọng của giới hạn hàm mà chứng

minh của chúng bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3],

[5] của chương 2.

1.4.9 Định lý. Giới hạn của hàm số f khi x→ x0 nếu có là duy nhất.

Định lý sau đây cho chúng ta phát biểu định nghĩa giới hạn hàm số thông qua

giới hạn dãy số.

1.4.10 Định lý. Điều kiện cần và đủ để limx→x0

f(x) = l là với mọi dãy xn ⊂ X

mà xn → x0 thì f(xn) → l.

1.4.11 Chú ý. Từ định lý trên suy ra rằng nếu tồn tại các dãy xn ⊂ X và

x′n ⊂ X đồng thời hội tụ về x0 sao cho f(xn) → l , f(x′n) → l′ và l = l′ thì hàm

số f không có giới hạn tại x0.

1.4.12 Ví dụ. limx→+∞

sin x là không tồn tại.

Thật vậy, xét các dãy xn = 2nπ, và x′n =π

2+2nπ, n = 1, 2, ... Rõ ràng xn → +∞

và x′n → +∞ khi n→ +∞. Tuy nhiên sinxn = 0 và sinx′n = 1 với mọi n. Điều này

dẫn tới limx→+∞

sinx là không tồn tại.

Tương tự chúng ta có thể chứng minh limx→0

sin1

xkhông tồn tại.


1.4.13 Định nghĩa. Cho x0 ∈ R là điểm tụ của X và l ∈ R. Hàm f được gọi là

có giới hạn trái (tương ứng giới hạn phải) là l khi x tiến tới x0 nếu với mọi lân cận

U của l đều tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà 0 < x0 − x < δ (tương ứng

0 < x− x0 < δ) thì f(x) ∈ U . Khi đó ta ký hiệu

limx→x−

0

f(x) = l (tương ứng limx→x+

0

f(x) = l).

1.4.14 Ví dụ. Xét hàm dấu signx. Ta có limx→0+

signx = 1 và limx→0−

signx = −1.

2) Dễ dàng chứng minh được limx→0+

1

x= +∞ và lim

x→0−

1

x= −∞.

Định lý sau được suy ra trực tiếp từ các Định nghĩa 1.4.5 và Định nghĩa 1.4.13.


f(x) = l là

limx→x−

0

f(x) = limx→x+

0

f(x) = l.

1.5 Các phép tính và các định lý cơ bản về giới hạn hàm

Trong mục này, giả thiết x0 ∈ R là điểm tụ của X và các hàm số xác định

trên X.

A. Các phép tính về giới hạn hàm số

Cho f, g là các hàm xác định trên X và x0 ∈ R là điểm tụ của X.

1.5.1 Định lý. Giả sử limx→x0

f(x) = a, limx→x0

g(x) = b và một trong hai số a, b là hữu

hạn. Khi đó ta có

1) limx→x0

(f(x) + g(x)

)= a+ b.

2) limx→x0

(f(x)− g(x)

)= a− b.

3) Nếu ab = 0 hoặc a, b đều hữu hạn, thì limx→x0

f(x)g(x) = ab.

4) Nếu b = 0 thì limx→x0

f(x)

g(x)=a

b.

Phần chứng minh của định lý dành cho bạn đọc.


1.5.2 Chú ý. 1) Các kết quả trong định lý trên không thay đổi nếu ta thay giới

hạn bởi giới hạn một phía.

2) Trong trường hợp cả a, b đều vô hạn ta chỉ xét cho một số trường hợp đặc

biệt sau:

i) Nếu limx→x0

f(x) = +∞, limx→x0

g(x) = +∞, thì limx→x0

[f(x) + g(x)] = +∞.

ii) Nếu limx→x0

f(x) = −∞, limx→x0

g(x) = −∞, thì limx→x0

[f(x) + g(x)] = −∞.

iii) Nếu limx→x0

f(x) = +∞ (tương ứng −∞), limx→x0

g(x) = +∞ (tương ứng −∞)

thì limx→x0

f(x)g(x) = +∞.

3) Các trường hợp còn lại nói chung giới hạn là chưa thể xác định. Người ta gọi

chung là các dạng vô định. Chẳng hạn

i) Xét f(x) = x và g(x) =1

x2. Khi đó lim

x→0f(x) = 0, lim

x→0g(x) = +∞. Nhưng

limx→0

f(x)g(x) = limx→0

1

xlà không tồn tại.

Trong khi, nếu chọn f(x) = x3 và g(x) =1

x2thì

limx→0

f(x) = 0, limx→0

g(x) = +∞

và

limx→0

f(x)g(x) = limx→0

x = 0.

ii) Xét f(x) = −1

x2+ x2 và g(x) =

1

x2. Khi đó

limx→0

f(x) = −∞, limx→0

g(x) = +∞

và limx→0

[f(x) + g(x)] = limx→0

x2 = 0.

Trong khi, nếu chọn f(x) = −1

x2và g(x) =

1

x2+

1

x4thì

limx→0

f(x) = −∞, limx→0

g(x) = +∞

và

limx→0

[f(x) + g(x)] = limx→0

1

x4= +∞.

4) Một vài giới hạn đặc biệt.

a) limx→0

sinx

x= 1, b) lim

x→0

ln(1 + x)

x= 1, c) lim

x→0

ex − 1

x= 1.


B. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số

Các định lý sau đây chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài

liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

1.5.3 Định lý. Nếu limx→x0

f(x) = l thì limx→x0

|f(x)| = |l|.

1.5.4 Chú ý. Chiều ngược lại của định lý trên nói chung là không đúng. Chẳng

hạn limx→0

| signx| = 1 nhưng limx→0

signx là không tồn tại. Tuy nhiên bạn đọc có thể tự

chứng minh được , nếu limn→x0

|f(x)| = 0 thì limn→x0

f(x) = 0.


f(x) = l và l hữu hạn thì tồn tại δ > 0 sao cho f bị chặn

trên((x0 − δ, x0 + δ) \ x0

)∩X.


f(x) = l và A < l < B với A,B ∈ R thì tồn tại δ-lân cận

của x0 sao cho

A < f(x) < B, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩X, x = x0.

1.5.7 Chú ý. Đặc biệt, nếu limx→x0

f(x) = l > 0 thì tồn tại δ lân cận U của x0 sao

cho f(x) > 0 với mọi x ∈ X ∩ U và x = x0.


f(x) = l và tồn tại lận cận U của x0 sao cho α < f(x) < β

với mọi x ∈ U ∩X, x = x0 thì α 6 l 6 β.

1.5.9 Định lý. Cho limx→x0

f(x) = l và limx→x0

g(x) = l′. Nếu l > l′ thì tồn tại lận cận

U của x0 sao cho f(x) > g(x) với mọi x ∈ U ∩X, x = x0.

Từ Định lý 1.5.9 ta nhận được hệ quả sau:

1.5.10 Hệ quả. Cho f và g là các hàm xác định trong lân cận U điểm x0 và

f(x) > g(x), ∀x ∈ U . Nếu limx→x0

f(x) = l và limx→x0

g(x) = l′ thì l > l′.

Định lý sau đây thường được dùng để tìm giới hạn của hàm số, nó còn được gọi

là nguyên lý kẹp.

1.5.11 Định lý. Cho limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = l (l hữu hạn). Nếu tồn tại lận cận

U của x0 sao cho

f(x) 6 h(x) 6 g(x)

với mọi x ∈ U ∩X, x = x0 thì limx→x0

h(x) = l.


1.5.12 Ví dụ. 1) Chứng minh limx→0

xn sin1

xm= 0 (n > 0,m > 0).

Với mọi x = 0 ta có

0 6∣∣∣xn sin 1

xm

∣∣∣ 6 |xn|.

Vì vậy từ limx→0

|xn| = 0 ta có limx→0

∣∣∣xn sin 1

xm

∣∣∣ = 0. Suy ra limx→0

xn sin1

xm= 0.

2) limx→±∞

(1 +

1

x

)x= e.

a) Đầu tiên ta chứng minh cho x → +∞. Với mọi x > 0 tồn tại n ∈ N sao

cho

n 6 x 6 n+ 1.

Ta có (1 +

1

n+ 1

)n<(1 +

1

x

)x<(1 +

1

n

)n+1

.

Mặt khác ta có

limn→∞

(1 +

1

n+ 1

)n= lim

n→∞

(1 +

1

n+ 1

)n+1n+ 1

n+ 2

= limn→∞

(1 +

1

n+ 1

)n+1

limn→∞

n+ 1

n+ 2= e

và

limn→∞

(1 +

1

n

)n+1

= limn→∞

(1 +

1

n

)nn+ 1

n= lim

n→∞

(1 +

1

n

)nlimn→∞

n+ 1

n= e.

Vì nếu x→ +∞ thì n→ ∞ nên limx→+∞

(1 +

1

x

)x= e

b) Khi x → −∞ bằng cách đặt x = −(t + 1) ta có t = −(x + 1). Khi đó nếu

x→ −∞, thì t→ +∞ và nhờ chứng minh a) ở trên ta có

limx→−∞

(1 +

1

x

)x= lim

t→+∞

(1−

1

t+ 1

)−(t+1)

= limt→+∞

( t

t+ 1

)−(t+1)

=

= limt→+∞

(1 +

1

t

)t+1

= limt→+∞

(1 +

1

t

)t(1 +

1

t

)= e.

Cũng như trong giới hạn dãy số, định lý sau đây còn gọi là tiêu chuẩn Cauchy

về sự tồn tại giới hạn hàm số


f(x) = l hữu hạn là với mọi ε-lận cận

U của 0 tồn tại δ-lân cận V của x0 sao cho f(x)− f(x′) ∈ U với mọi x, x′ ∈ V ∩X,

x = x0 và x′ = x0.



khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

1.6 Các dạng vô định, đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô

cùng lớn

A. Đại lượng vô cùng bé

1.6.1 Định nghĩa. Cho A ⊂ R, x0 là điểm tụ của A và f : A → R. Ta nói f là

vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x→ x0 nếu limx→x0

f(x) = 0.

1.6.2 Ví dụ. f(x) = sinx là vô cùng bé khi x→ 0 bởi vì limx→0

sin x = 0.

f(x) =1

xlà vô cùng bé khi x→ ±∞ bởi vì lim

x→±∞

1

x= 0.

Định lý sau đưa ra một số tính chất của VCB.

1.6.3 Định lý. 1) Cho f, g là các VCB khi x → x0. Khi đó, f ± g và fg là các

VCB khi x→ x0.

2) Giả sử f là VCB khi x → x0 và g là một hàm bị chặn trong lân cận nào đó

của x0 trừ x0, tức là tồn tại r > 0 và M > 0 sao cho

|g(x)| < M ∀x ∈ x ∈ A : 0 < |x− x0| < r.

Khi đó fg là một VCB khi x→ x0.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2],

[3].

Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày về so sánh các vô cùng bé.

1.6.4 Định nghĩa. Cho f, g là các VCB khi x→ x0 và giả sử limx→x0

f(x)

g(x)= l ∈ R.

1) Nếu l = 0 thì ta nói f là VCB có bậc cao hơn g, hay g là VCB có bậc thấp

hơn f và ký hiệu là f = o(g).

2) Nếu l = 0 và l ∈ R thì ta nói f và g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt nếu l = 1

ta nói f và g là hai VCB tương đương và ký hiệu f ∼ g.

3) Nếu l = ±∞ thì ta nói f là VCB có bậc thấp hơn VCB g.


Trong trường hợp không tồn tại limx→x0

f(x)

g(x)thì ta nói hai VCB f và g không so

sánh được với nhau.

1.6.5 Nhận xét. Cho f và g là các VCB khi x→ x0. Nếu f ∼ g thì f ∼ g+ o(g).

1.6.6 Ví dụ. 1) Xét các VCB f(x) = ln(1 + x) và g(x) = x khi x→ 0. Khi đó,

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Vì vậy hai VCB f và g là tương đương.

2) Xét các VCB f(x) = x sin1

xvà g(x) = x khi x→ 0. Khi đó

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0sin

1

x

không tồn tại. Do đó hai VCB f và g không so sánh được.

B. Đại lượng vô cùng lớn

1.6.7 Định nghĩa. Cho f : A→ R và x0 là điểm tụ của A ⊂ R. Nếu limx→x0

|f(x)| =

+∞ thì ta nói f là vô cùng lớn (viết gọn là VCL) khi x→ x0.

Từ định nghĩa ta có ngay rằng nếu f(x) là VCL khi x → x0 thì1

f(x)là VCB

khi x→ x0.

1.6.8 Ví dụ. 1) f(x) =1

sin xlà VCL khi x→ 0.

2) f(x) = x3 là VCL khi x→ ±∞.

Tương tự như các vô cùng bé, bây giờ chúng tôi giới thiệu về việc so sánh các

vô cùng lớn.

1.6.9 Định nghĩa. Cho f, g là các VCL khi x→ x0.

1) Nếuf

glà một VCL khi x→ x0 thì ta nói f là một VCL bậc cao hơn VCL g .

2) Nếu limx→x0

f(x)

g(x)= b hữu hạn thì ta nói f và g là các VCL cùng bậc.

Đặc biệt nếu b = 1 thì ta nói f và g là các VCL tương đương và ký hiệu f ∼ g.

3) Nếu không tồn tại limx→x0

f(x)

g(x)thì ta nói hai VCL f và g không so sánh được.


C. Các dạng vô định0

0và

∞∞

Cho c ∈ R. Giả sử f(x) và g(x) là các hàm xác định trong lân cận của c có thể

trừ điểm c. Xét giới hạn limx→c

f(x)

g(x).

1) Nếu limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = 0, thì giới hạn limx→c

f(x)

g(x)được gọi là dạng vô định

0

0.

2) Nếu limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = ∞, thì giới hạn limx→c

f(x)

g(x)được gọi là dạng vô định

∞∞

.

Ta có mệnh đề sau, bạn đọc có thể xem chứng minh của nó trong các tài liệu

tham khảo [2], [3].

1.6.10 Mệnh đề. Giả sử f , g, f ∗, g∗ là các VCB khi x → x0, f ∼ f ∗ và g ∼ g∗.

Khi đó ta có

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ∗(x)

g∗(x)

nếu một trong hai giới hạn trên tồn tại.

Như vậy khi khử dạng vô định0

0ta có thể thay tử số và mẫu số bởi các VCB

tương đương.

1.6.11 Ví dụ. Tìm giới hạn limx→0

ex2 − 1

ln(1− 2x2).

Ta đã biết limt→0

et − 1

t= 1 và lim

t→0

ln(1 + t)

t= 1. Vì vậy khi x→ 0 ta có

ex2 − 1 ∼ x2

và

ln(1− 2x2) ∼ −2x2.

Do đó

limx→0

ex2 − 1

ln(1− 2x2)= lim

x→0

x2

−2x2=

−1

2.

Hoàn toàn tương tự, sử dụng các vô cùng lớn tương đương ta có thể khử được

dạng vô định∞∞

.


2 Hàm số liên tục

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số liên tục

2.1.1 Định nghĩa. Giả sử X ⊂ R, f : X → R và x0 ∈ X. Hàm số f được gọi

là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà

|x− x0| < δ thì |f(x)− f(x0)| < ε.

Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0.

Hàm số được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.

2.1.2 Ví dụ. 1) Từ định nghĩa trên trực tiếp suy ra hàm hằng f(x) = c - hằng số,

với mọi x ∈ R là hàm hiên tục trên R.

2) Cho c là một hằng số khác 0 và f : R → R là hàm được cho bởi f(x) = cx,

x ∈ R. Khi đó, hàm f liên tục tại mỗi điểm x0 ∈ R. Thậy vậy, với mọi ε > 0 chọn

δ =ε

|c|thì với mọi x ∈ R mà |x− x0| < δ ta có

|f(x)− f(x0)| = |c||x− x0| < |c|δ = ε.

2.1.3 Chú ý. 1) Từ định nghĩa 1.4.2 về điểm cô lập suy ra rằng hàm số f : X → R

là liên tục tại mọi điểm cô lập của X. Do đó, từ nay về sau nếu không giải thích gì

thêm thì khi nói tới tính liên tục của một hàm số tại một điểm nào đó thì giả thiết

điểm đó không phải là điểm cô lập.

2) Nếu x0 không phải là điểm cô lập của X thì từ Định nghĩa 2.1.1 và Chú ý

1.4.6 suy ra rằng hàm số f liên tục tại x0 khi và chỉ khi limx→x0

f(x) = f(x0).

Định lý sau suy ra từ Định lý 1.4.10 và Chú ý 2.1.3.

2.1.4 Định lý. Hàm f : X → R liên tục tại x0 ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy

xn ⊂ X và xn → x0 thì f(xn) → f(x0).

Định lý sau nói lên tính liên tục của hàm số hợp.

2.1.5 Định lý. Cho A,B ⊂ R. Giả sử f : A→ B liên tục tại x0 ∈ A và g : B → R

liên tục tại y0 = f(x0) ∈ B. Khi đó hàm số hợp g f : A→ R liên tục tại x0.

Định lý sau nói lên sự tồn tại và liên tục của hàm số ngược.


2.1.6 Định lý. Cho hàm số f tăng ngặt và liên tục trên (a, b). Đặt A = infx∈(a,b)

f(x)

và B = supx∈(a,b)

f(x). Khi đó hàm ngược x = f−1(y) là tồn tại, liên tục và tăng ngặt

trên (A,B).

2.1.7 Nhận xét. Định lý trên vẫn đúng khi thay tăng ngặt bởi giảm ngặt hoặc

(a, b) bởi [a, b].

Chứng minh của 2 định lý trên, bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu

tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

2.1.8 Định nghĩa. Cho hàm số f : A → R và x0 ∈ A (không là điểm cô lập).

Hàm số f được gọi là liên tục phải tại x0 ∈ A nếu limx→x+

0

f(x) = f(x0).

Hàm số được gọi là liên tục trái tại x0 ∈ A nếu limx→x−

0

f(x) = f(x0).

Từ Định lý 1.4.15 và Chú ý 2.1.3 ta có ngay định lý sau.

2.1.9 Định lý. Hàm số f : A → R liên tục tại x0 ∈ A khi và chỉ khi nó liên tục

trái và liên tục phải tại x0.

2.1.10 Ví dụ. Xét hàm số f(x) = [x], với mọi x ∈ A, ở đây [x] là phần nguyên của x.

Tại các điểm x0 = n ∈ Z ta có

limx→n−

f(x) = n− 1, và limx→n+

f(x) = n.

và f(n) = n. Như vậy hàm liên tục phải tại x0 = n nhưng không liên tục trái tại

x0 = n. Kéo theo hàm không liên tục tại các điểm nguyên. Rõ ràng tại các điểm

không nguyên thì hàm số liên tục.

2.1.11 Định nghĩa. (Phân loại điểm gián đoạn). Cho f : [a, b] → R và x0 ∈ [a, b]

là điểm gián doạn của f . Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu x0 ∈ (a, b)

và tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải của f tại x0 và các giới hạn này là hữu hạn.

Điểm x0 = a được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu giới hạn phải của f tại x0 = a

là hữu hạn.

Điểm x0 = b được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu giới hạn trái của f tại x0 = b

là hữu hạn.

Một điểm không phải là điểm gián đoạn loại I được gọi là điểm gián đoạn loại

II.


2.1.12 Ví dụ. 1) Hàm số f(x) = [x] với mọi x ∈ R gián đoạn tại các điểm nguyên

n ∈ Z. Vì limx→n−

f(x) = n − 1 và limx→n+

f(x) = n, nên các điểm nguyên n là điểm

gián đoạn loại I của f .

2) Hàm số Dirichlet D(x) =

0 nếu x vô tỷ

1 nếu x hữu tỷlà hàm gián đoạn loại II tại

mọi điểm.

Thật vậy, giả sử x0 ∈ R. Khi đó, từ tính trù mật của tập số thực suy ra tồn

tại dãy rn các số vô tỷ và dãy qn các số hữu tỷ sao cho qn, rn < x0 với mọi

n ≥ 1 và qn → x0, rn → x0 khi n → ∞. Khi đó, ta có limn→∞

D(qn) = 1 trong khi

limn→∞

D(rn) = 0. Vì vậy không tồn tại giới hạn trái limx→x−

0

D(x).

Tương tự ta chứng minh được không tồn tại giới hạn phải limx→x+

0

D(x).

2.2 Tính liên tục của các hàm sơ cấp

Ta dễ dàng chứng minh được rằng các hàm đa thức, phân thức hữu tỷ, hàm

lượng giác là liên tục trên tập xác định của nó. Người ta cũng chứng minh được sự

liên tục của hàm số mũ (xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2).

Vì vậy từ định nghĩa các hàm số sơ cấp, các định lý về tính liên tục của hàm số hợp

và hàm số ngược ta có định lý sau.

2.2.1 Định lý. Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó.

2.2.2 Ví dụ. 1) Hàm số sin[ln(1 +√1 + x2)] liên tục tại mọi x ∈ R.

2) Hàm số

√x− 1

x2 − 1liên tục tại mọi x = ±1.

3) Hàm sốx2 − 9

x2 − 3xliên tục tại mọi x = 0 và x = 3.

2.3 Các định lý cơ bản về hàm số liên tục trên một đoạn

Trong mục này chúng ta trình bày những tính chất cơ bản của hàm số liên

tục trên một đoạn. Định nghĩa sau là cụ thể hoá định nghĩa tổng quát về tính liên

tục cho hàm số xác định trên một đoạn

2.3.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : [a, b] → R. Hàm số được gọi là liên tục trên

[a, b] nếu nó liên tục trên (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.


Sau đây là một số tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên một đoạn.

2.3.2 Định lý. Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] . Khi đó, hàm số đạt

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b]. Nói cách khác, tồn tại u, v ∈ [a, b] sao

cho

maxx∈[a,b]

f(x) = f(u); minx∈[a,b]

f(x) = f(v).

2.3.3 Định lý. Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b]. Nếu f(a)f(b) < 0 thì

tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.

2.3.4 Hệ quả. Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục, khác hằng trên [a, b]. Ký hiệu

M = maxx∈[a,b]

f(x); m = minx∈[a,b]

f(x).

Khi đó, với mọi L ∈ (m,M) tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = L.

Chứng minh của các định lý và hệ quả trên bạn đọc có thể tìm đọc trong

các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

2.4 Hàm số liên tục đều

2.4.1 Định nghĩa. Cho hàm f : A ⊆ R → R. Hàm f được gọi là liên tục đều

trên tập A nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ A mà

|x− y| < δ ta có |f(x)− f(y)| < ε.

2.4.2 Nhận xét. 1) Từ định nghĩa hàm liên tục đều suy ra nếu hàm số liên tục

đều trên A thì nó liên tục trên A, điều ngược lại là không đúng.

2) Ta có thể chứng minh được rằng hàm số f liên tục đều trên A khi và chỉ khi với

mọi dãy xn ⊂ A, yn ⊂ A mà |xn − yn| → 0 khi n→ ∞ thì |f(xn)− f(yn)| → 0

khi n→ ∞.

3) Từ Định nghĩa 2.4.1 ta suy ra rằng hàm số f không liên tục đều trên A khi

và chỉ khi tồn tại số ε0 > 0 sao cho với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, tồn tại xn ∈ A và

yn ∈ A sao cho |xn − yn| → 0 khi n→ ∞, nhưng ta có |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 với mọi

n ≥ 1.

2.4.3 Ví dụ. 1) Hàm số f(x) = x+ sin x liên tục đều trên R.

Ta có

|f(x)− f(y)| = |x− y + sin x− sin y| 6 |x− y|+ | sinx− sin y|

6 |x− y|+ 2∣∣∣ cos x+ y

2sin

x− y

2

∣∣∣ 6 |x− y|+ 2∣∣∣ sin x− y

2

∣∣∣6 |x− y|+ 2

∣∣∣x− y

2

∣∣∣ = 2|x− y| ∀x, y ∈ R.


Với mọi ε > 0 chọn δ =ε

2. Khi đó, nếu x, y ∈ R mà |x− y| < δ thì

|f(x)− f(y)| 6 2|x− y| < 2δ = 2ε

2= ε.

2) Hàm số f(x) = x2 không liên tục đều trên R. Thật vậy, Với mội số tự nhiên

n ≥ 1 ta lấy xn = n+1

n, yn = n. Khi đó ta có xn ⊂ R, yn ⊂ R. Hơn nữa

|xn − yn| =1

n→ 0 khi n→ ∞.

Tuy nhiên

|f(xn)− f(yn)| = (n+1

n)2 − n2 = 2 +

1

n2≥ 2 = ε0 với mọi n ≥ 1.

Vậy f không liên tục đều trên R.

Lưu ý rằng hàm số f(x) = x2 liên tục trên R nhưng không liên tục đều trên R.

Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để hàm f liên tục là liên tục đều.

2.4.4 Định lý. (Cantor). Cho hàm số f : [a, b] → R. Nếu hàm f liên tục trên

[a, b], thì nó liên tục đều trên đoạn đó.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham

khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

2.5 Giới hạn dạng limx→a

(u(x)

)v(x)A. Giới hạn lim

x→a

(u(x)

)v(x)Giả sử tồn tại các giới hạn lim

x→au(x) = A > 0 và lim

x→av(x) = B (A,B có thể

nhận giá trị vô hạn). Nhờ tính liên tục của hàm số mũ và hàm logarit ta có

limx→a

ln f(x) = ln(limx→a

f(x))

và limx→a

ef(x) = elimx→a

f(x).

Vì thế, ta suy ra

1) Nếu A = +∞ và B = ±∞, thì

limx→a

(u(x)

)v(x)= lim

x→aev(x) lnu(x) = e

limx→a

v(x) lnu(x)= eB lnA = AB.

2) Nếu 0 < A < 1 và B = +∞, thì lnA < 0. Do đó, limx→a

v(x) lnu(x) = −∞. Vì

vậy

limx→a

(u(x)

)v(x)= lim


limx→a

v(x) lnu(x)= 0.


3) Nếu 0 < A < 1 và B = −∞, thì lnA < 0. Do đó, limx→a

v(x) lnu(x) = +∞. Vì

vậy

limx→a

(u(x)

)v(x)= lim


limx→a

v(x) lnu(x)= +∞.

4) Nếu A > 1 và B = +∞, thì lnA > 0. Vì vậy

limx→a

(u(x)

)v(x)= lim


limx→a

v(x) lnu(x)= e

lnA limx→a

v(x)= +∞.

5) Nếu A > 1 và B = −∞, thì lnA > 0. Vì vậy

limx→a

(u(x)

)v(x)= lim


limx→a

v(x) lnu(x)= e

lnA limx→a

v(x)= 0.

6) Nếu A = 1 và B = ±∞, thì ta biến đổi như sau

(u(x)

)v(x)=(1 + u(x)− 1

)v(x)=

(1 + u(x)− 1

) 1

u(x)− 1

(u(x)−1)v(x)

.

Nếu đặt α(x) = u(x)− 1 thì limx→a

α(x) = 0. Khi đó,

limx→a

(1 + u(x)− 1

) 1

u(x)− 1 = limα(x)→0

(1 + α(x)

) 1

α(x) = e.

Vì vậy

limx→a

(u(x)

)v(x)= e

limx→a

(u(x)−1

)v(x)

.

2.5.1 Ví dụ. 1) Tìm giới hạn limx→∞

(x+ 2

2x+ 1

)x2

. Ta có u(x) =x+ 2

2x+ 1và v(x) = x2.

Do đó

limx→∞

u(x) = limx→∞

x+ 2

2x+ 1=

1

2và lim

x→∞v(x) = lim

x→∞x2 = +∞.

Vì vậy

limx→∞

(x+ 2

2x+ 1

)x2

== eln1

2lim

x→∞x2

= 0.

2) Tìm giới hạn limx→∞

(x2 + 1

x2 − 2

)x2

. Ta có u(x) =x2 + 1

x2 − 2và v(x) = x2. Do đó

limx→∞

u(x) = limx→∞

x2 + 1

x2 − 2= 1.

Vì vậy

limx→∞

(x2 + 1

x2 − 2

)x2

= elim

x→∞

(u(x)−1

)v(x)

= elim

x→∞

3x2

x2 − 2 = e3.


B. Một số giới hạn đặc biệt

Trong chương trình phổ thông chúng ta đã được làm quen với một số giới

hạn quan trọng như:

limx→0

sin x

x= 1; lim

x→0

ex − 1

x= 1; lim

x→0

ln(1 + x)

x= 1

và limx→∞

(1 +

1

x

)x= e. Sử dụng tính liên tục của hàm số chúng ta còn chứng minh

một số giới hạn quan trọng sau:

1) limx→0

(1 + x)1x = e.

2) limx→0

loga(1 + x)

x= loga e, (a > 0, a = 1).

3) limx→0

ax − 1

x= ln a, (a > 0, a = 1).

4) limx→0

(1 + x)α − 1

x= α.

Như vậy khi x→ 0 ta còn có thể viết

1) sinx ∼ x.

2) ax − 1 ∼ x ln a, (a > 0, a = 1). Đặc biệt ex − 1 ∼ x.

3) ln(1 + x) ∼ x.

4) (1 + x)α − 1 ∼ αx.


n√1 + x− 1

sinmx(m,n ∈ N∗).

Khi x→ 0 ta cón√1 + x− 1 ∼ x

n

và

sinmx ∼ mx.

Vì vậy

limx→0

n√1 + x− 1

sinmx= lim

x→0

x

nmx

=1

mn.




1) Phát biểu định nghĩa giới hạn limx→x0

f(x) = l theo ngôn ngữ (ε, δ) cho tất cả

các trường hợp. Các tính chất của giới hạn hàm. Các phép toán về giới hạn hàm.

Các phương pháp tìm giới hạn của một hàm số (Chú ý các trường hợp giới hạn tại

vô cực và giới hạn là vô cực).

2) Các khái niệm hàm liên tục, điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn. Các

tính chất của hàm liên tục. Các phép toán trên các hàm liên tục. Mối liên hệ giữa

tính liên tục và tính bị chặn, mối liên hệ giữa tính liên tục và tính liên tục đều của

hàm số. Các bước kiểm tra hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một tập. Các

bước kiểm tra tính liên tục đều của một hàm trên một tập.

3) Các khái niệm VCB, VCL. Mối liên hệ giữa VCB và VCL; VCL và tính không

bị chặn của hàm số. Ứng dụng VCB tính giới hạn.

Bài tập chương 2

A. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

Bài 1. Tìm các giới hạn sau đây

1) limx→1

x3 − x2 − x+ 1

x3 − x2 + x− 1; ; 2) lim

x→1

x1000 − 2x+ 1

x500 − 2x+ 1.

3) limx→+∞

(2x− 3)20.(2x+ 2)30

(2x+ 1)50; 4) lim

x→1

x2 − 1

x2 − 4x+ 3;

5) limx→1

√x− 1

x2 − 1; 6) lim

x→0

e4x − 3√1 + 6x

ln(1 + 2x).

7) limx→0

√1 + sin 3x− 3

√1 + 2x

sin 2x.


1) limx→0

sin2 2x

sin 4x; 2) lim

x→0

sin2 5x

1− cosx;

3) limx→a

sinx− sin a

x− a; 4) lim

x→0

sin2 2x+ sin x

sin 3x;

5) limx→0

√1 + 3 sin x−

√1− tanx

x; 6) lim

x→0

√1 + 3 sin x+

√1 + sinx− 2

sin 2x.


7) limx→0

√1 + x− 3

√1 + sin 2x

3√1− 2x−

√1− 3x

.

Bài 3. Tìm các giới hạn sau

1) limx→3

x2 − 9

x2 − 3x; 2) lim

x→0

√x+ 4− 2

x;

3) limx→1

x+ x2 + · · ·+ xn − n

x− 1, n ∈ N; 4) lim

x→π

sinmx

sinnx, m, n ∈ N.

5) limx→a

√x−

√a+

√x− a√

x2 − a2; 6) lim

x→1

m√x− 1

n√x− 1

.

7) limx→0

(1 +mx)n − (1 + nx)m

x2, m, n ∈ N.


1) limx→+∞

(3x2 − x+ 1

2x2 + x+ 1

) x2

1− x ; 2) limx→+∞

(x2 + 1

x2 − 2

)x2

.

3) limx→0

(1 + x2)cotan2x; 4) lim

x→0

(1 + tanx

1 + sinx

) 1

sin x .

B. BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 5. Xét tính liên tục của các hàm số.

1) f(x) =

∣∣∣sin xx

∣∣∣ nếu x = 0

1 nếu x = 0; 2) f(x) =

sin x

|x|nếu x = 0

1 nếu x = 0

3) f(x) =

x2 nếu 0 6 x 6 1

2− x nếu 1 < x 6 2

Bài 6. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên miền được chỉ ra.

1) f(x) =

2ex nếu x < 0

a+ 2x nếu x > 0trên toàn trục số (−∞,+∞).

2) f(x) =

2x+ a nếu x ∈ [0, 1]

ax2 + 2 nếu x ∈ (1, 2]trên [0, 2].

3) f(x) =

x tan x

ln(1 + x2)với x = 0

2a+ 1 với x = 0tại x = 0.


4) f(x) =

x sinx+ ln(1 + 2x)

sinxvới − 1

2< x < 0

x2 + sin x+ a với x > 0tại x = 0.

5) f(x) =

e3x − 1

xnếu x > 0

5x+ a nếu x ≤ 0.

trên R.

6) f(x) =

a

xnếu x > 1

3a− x2

2nếu x ≤ 1.

trên R.









ĐH Sư phạm.





CHƯƠNG 3

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

III.1. GIỚI THIỆU

Các khái niệm và tính chất của đạo hàm và hàm một biến khả vi có nhiều ứng

dụng trong thực tế, các ngành kỹ thuật, kinh tế,... Trên cơ sở các kiến thức đã được

chuẩn bị ở chương 1 và chương 2 trong chương này chúng tôi trình bày những khái

niệm và tính chất cơ bản của phép tính vi phân hàm một biến và một số ứng dụng

của chúng.

III.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm, vi phân cấp 1 và cấp

cao; các định lý cơ bản về hàm khả vi và một số ứng dụng của phép tính vi phân.

III.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Trình bày khái niệm đạo hàm, đạo hàm phải, đạo hàm trái và biết vận dụng

để tính đạo hàm.

2. Trình bày được mối quan hệ giữa tính liên tục và tính khả vi. Ý nghĩa cơ

học, ý nghĩa hình học của đạo hàm.

3. Trình bày được các quy tắc tính đạo hàm và biết vận dụng để tính đạo hàm

của các hàm sơ cấp.

4. Biết cách khảo sát được tính có đạo hàm của các hàm không sơ cấp.

5. Tính được đạo hàm và vi phân cấp một, cấp cao của hàm số.

6. Viết được khai triển Taylor, Maclourin của một số hàm số đặc biệt.

7. Biết sử dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn hàm số dạng vô định.

8. Biết sử dụng đạo hàm để tìm cực trị và xét tính đơn điệu của hàm số.

9. Biết cách vận dụng các định lí về hàm khả vi để giải quyết các bài toán liên

quan trực tiếp.

50


III.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Chúng ta đã được làm quen với khái niệm đạo hàm của hàm số trong chương

trình toán phổ thông. Đây là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải

tích toán học, nó còn có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều môn khoa học tự nhiên

và xã hội, như vật lý, hoá học, sinh học, kinh tế, xã hội học,... Nhiều bài toán trong

hình học (tìm hệ số góc của tiếp tuyến), cơ học (tìm vận tốc tức thời của chất điểm

chuyển động),... dẫn đến khái niệm đạo hàm, được Newton và Leibnitz hoàn thiện

để có phép tính vi phân hàm một biến số như ngày nay.

1 Đạo hàm của hàm một biến

1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản

1.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b), lấy số gia ∆x đủ

bé sao cho x0 + ∆x ∈ (a, b). Khi đó số ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) được gọi là số

gia hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm x0. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x0 +∆x)− f(x0)

∆x, thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm

số f theo biến số x tại x0 và ký hiệu là f ′(x0), nghĩa là

f ′(x0) = lim∆x→0

f(x0 +∆x)− f(x0)

∆x. (3.1)

1.1.2 Nhận xét. 1) Trong một số trường hợp (3.1) còn được viết

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

2) Nếu đặt x = x0 +∆x thì ta viết f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

1.1.3 Ví dụ. 1) Xét hàm số y = ax (a > 0, a = 1). Với mỗi x0 ∈ R ta có

∆y = ax0+∆x − ax0 = ax0(a∆x − 1

).

Do đó

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

ax0(a∆x − 1

)∆x

= ax0 lim∆x→0

a∆x − 1

∆x= ax0 ln a.

Vì vậy (ax)′ = ax ln a.

2) Xét hàm số y = sin x. Với mỗi x0 ∈ R ta có

∆y = sin(x0 +∆x)− sin x0 = 2 cos(x0 +

∆x

2

)sin

∆x

2.


Do đó

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0cos(x0 +

∆x

2

)sin ∆x

2∆x

2

= cos x0.

Vì vậy (sinx)′ = cos x.

1.1.4 Định lý. Cho f : (a, b) → R. Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a, b),

thì

f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0)h+ hr(h) (3.2)

trong đó r(h) → 0 khi h→ 0.

Chứng minh. Đặt r(h) =f(x0 + h)− f(x0)

h− f ′(x0). Vì hàm f có đạo hàm tại

điểm x0, nên ta suy ra r(h) → 0 khi h→ 0. Do đó khi h gần 0 ta có

f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0)h+ hr(h).

1.1.5 Hệ quả. Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x0, thì f liên tục tại điểm này.

Chứng minh. Từ (3.2) ta có limx→x0

f(x) = f(x0). Do đó f liên tục tại x0.

1.1.6 Chú ý. Điều ngược lại của Hệ quả 1.1.5 không đúng. Một hàm liên tục tại

điểm x0 có thể không có đạo hàm tại x0. Chẳng hạn, hàm f(x) = |x| liên tục tại

x = 0. Tuy nhiên, không tồn tại giới hạn

lim∆x→0

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lim

∆x→0

|∆x|∆x

,

vì lim∆x→0+

|∆x|∆x

= 1 còn lim∆x→0−

|∆x|∆x

= −1. Vậy f không có đạo hàm tại 0.

1.2 Đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái

1.2.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại

lim∆x→0+

f(x0 +∆x)− f(x0)

∆x

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm f tại điểm x0 và ký hiệu là

f ′+(x0). Tương tự nếu tồn tại

lim∆x→0−

f(x0 +∆x)− f(x0)

∆x


thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm f tại điểm x0 và ký hiệu là

f ′−(x0).

Ví dụ sau chứng tỏ các đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại một điểm có

thể khác nhau.

1.2.2 Ví dụ. Xét hàm số f(x) = |x|. Ta có

lim∆x→0+

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lim

∆x→0+

|∆x|∆x

= 1

trong khi

lim∆x→0−

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lim

∆x→0−

|∆x|∆x

= −1.

Từ đó ta có f ′+(0) = 1 = −1 = f ′

−(0).

Từ Định lý 1.4.15 Chương 2 và Định nghĩa 1.2.1 ta có định lý sau.

1.2.3 Định lý. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Khi đó, hàm f có đạo

hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải của f tại x0

và hai đạo hàm này bằng nhau:

f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′

+(x0).

1.2.4 Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số sau tại x = 1

f(x) =

1

xnếu x > 1

3− x2

2nếu x < 1.

Ta có

lim∆x→0+

f(1 + ∆x)− f(1)

∆x= lim

∆x→0

1

1 + ∆x− 1

∆x= −1

và

lim∆x→0−

f(1 + ∆x)− f(1)

∆x= lim

∆x→0

3− (1 + ∆x)2

2− 1

∆x= −1.

Do đó f ′+(1) = f ′

−(1) = −1. Vậy hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 và f ′(1) = −1.


1.3 Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm

1.3.1 Ý nghĩa hình học. Cho hàm số f liên tục trên (a, b) có đồ thị Gf như hình

vẽ. Giả sử M0

(x0, f(x0)

)và M

(x, f(x)

)là hai điểm thuộc đồ thị Gf . Khi đó đường

thẳng M0M là một cát tuyến của Gf nó có hệ số góc

tan β =f(x)− f(x0)

x− x0.

y

x

M

M0

x0 x

f(x0)

f(x)

αβ

O

Nếu x → x0 thì M → M0. Khi đó cát tuyến MM0 dần đến tiếp tuyến (nếu có)

của Gf tại M0. Do đó nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tồn tại thì nó có hệ số

góc là

tanα = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= f ′(x0).

Như vậy đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị

hàm số f tại điểm (x0, f(x0)). Người ta cũng chứng minh được nếu hàm số f(x) có

đạo hàm tại x0 thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (x0, f(x0)). Khi đó tiếp tuyến có

phương trình

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).

1.3.2 Ý nghĩa cơ học. Giả sử chất điểm chuyển động trong một hệ quy chiếu

chọn trước. Khi đó quảng đường S(t) mà chất điểm di chuyển được phụ thuộc theo


biến thời gian t. Quảng đường mà chất điểm di chuyển từ thời điểm t đến thời điểm

t+∆t là

∆S = S(t+∆t)− S(t).

Nếu chất điểm chuyển động đều thì quảng đường tỉ lệ với thời gian, khi đó vận tốc

đều (hằng số) của nó là∆S

∆t.

Trong trường hợp tổng quát, vận tốc của chất điểm không nhất thiết phải đều thì tỉ

số trên biểu thị vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian [t, t+∆t].

Nếu ∆t nhỏ thì vận tốc trung bình sẽ gần với vận tốc tức thời tại thời điểm t. Như

vậy

S ′(t) = lim∆t→0

∆S

∆t

là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.

1.4 Các quy tắc tính đạo hàm

Ta nhắc lại và không chứng minh các quy tắc tính đạo hàm đã được làm

quen trong chương trình phổ thông.

1.4.1 Định lý. Cho f, g : (a, b) → R. Giả sử f, g khả vi tại điểm x0 ∈ (a, b). Khi đó

các hàm f ± g , cf , fg khả vi tại điểm x0 trong đó c là hằng số thực. Nếu g(x0) = 0

thìf

gkhả vi tại x0 và ta có

1) (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g′(x0).

2) (cf)′(x0) = cf ′(x0).

3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).

4)

(f

g

)′

(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g

′(x0)

g2(x0).

Định lý sau nói lên sự khả vi của hàm số hợp và công thức tính đạo hàm của

nó.

1.4.2 Định lý. Cho các hàm số f : (a, b) → (c, d) và g : (c, d) → R. Giả sử hàm

y = f(x) khả vi tại x0 ∈ (a, b) và z = g(y) khả vi tại y0 = f(x0) ∈ (c, d). Khi đó

hàm số g f : (a, b) → R khả vi tại x0 và

z′(x0) =(g f

)′(x0) = g′

(f(x0)

)f ′(x0).



khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

1.4.3 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = (1 + x2)100.

Đặt y = u100 và u = 1 + x2. Khi đó ta có y′(u) = 100.u99 và u′(x) = 2x. Áp

dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có

y′(x) = 100.u99.2x = 100.(1 + x2)99.2x.

Định lý sau trình bày về tính khả vi của hàm số ngược.

1.4.4 Định lý. Cho hàm số f : (a, b) → R. Giả sử

1) Hàm f liên tục và đơn điệu ngặt trên (a, b).

2) Hàm f có đạo hàm f ′(x0) = 0 tại x0 ∈ (a, b).

Khi đó, hàm ngược g = f−1 của hàm f có đạo hàm tại y0 = f(x0) và g′(y0) =1

f ′(x0).


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

1.4.5 Ví dụ. 1) Tính đạo hàm của hàm số y = loga x (a > 0, a = 1).

Ta có x = ay là hàm ngược của hàm y = loga x. Từ Ví dụ 1.1.3 ta có x′y = ay ln a.

Vì thế áp dụng Định lý 1.4.4 ta có

y′x =1

x′y=

1

ay ln a=

1

x ln a, ∀x ∈ R.

2) Xét hàm số y = arcsin x, x ∈ (−1, 1). Hàm này là hàm ngược của hàm

x = sin y, y ∈ (−π2,π

2). Ta có

(arcsin x)′ =1

x′y=

1

cos y=

1√1− sin2 y

=1√

1− x2, x ∈ (−1, 1).

1.5 Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

Trong mục này, ta nhắc lại bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp mà chúng

ta đã làm quen ở chương trình phổ thông.

1) y = c (c là hằng số), y′ = 0.

2) y = xα, y′ = αxα−1.


3) y = ax, y′ = ax ln a (y = ex, y′ = ex).

4) y = loga |x|, y′ =1

x ln a(y = ln |x|, y′ =

1

x).

5) y = sinx, y′ = cos x.

6) y = cosx, y′ = − sin x.

7) y = tanx, y′ =1

cos2 x.

8) y = cotan x, y′ = − 1

sin2 x.

9) y = arcsinx, y′ =1√

1− x2.

10) y = arccosx, y′ = − 1√1− x2

.

11) y = arctanx, y′ =1

1 + x2; 12) y = arccotan x, y′ = − 1

1 + x2.

13) y = shx, y′ = chx

14) y = chx, y′ = shx.

2 Vi phân của hàm một biến

2.1 Hàm khả vi và vi phân của hàm một biến

2.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R. Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm

x0 ∈ (a, b), thì f được gọi là khả vi tại điểm x0.

Hàm f được gọi là khả vi trên (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc (a, b).

Nếu đạo hàm f ′ liên tục trên (a, b) thì ta nói f là hàm khả vi liên tục trên (a, b).

2.1.2 Định nghĩa. Cho hàm số f : [a, b] → R. Hàm số được gọi là khả vi trên

[a, b] nếu có f khả vi trên (a, b), có đạo hàm bên phải tại x = a và có đạo hàm bên

trái tại x = b.

2.1.3 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R khả vi tại x0 ∈ (a, b). Khi đó, nhờ

Định lý 1.1.4 số gia ∆y của hàm số y = f(x) tại điểm x0 có thể viết được dưới dạng

∆y = f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ o(∆x),

trong đó o(∆x) là một vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x.

Ta gọi đại lượng f ′(x0)∆x trong đẳng thức cuối cùng ở trên là vi phân của hàm


số y = f(x) tại điểm x0 và ký hiệu là dy hay df(x0), nghĩa là

dy = df(x0) = f ′(x0)∆x.

2.1.4 Nhận xét. 1) Từ định nghĩa vi phân và đạo hàm ta suy ra rằng nếu hàm f

khả vi tại x0 thì

f(x0 +∆x)− f(x0) = df(x0) + o(∆x)

khi ∆x→ 0, nghĩa là

f(x0 +∆x)− f(x0) ≈ df(x0) = f ′(x0)∆x,

khi ∆x→ 0.

2) Vì hàm số y = f(x) = x có đạo hàm y′ = f ′(x) = 1 tại mọi x ∈ R, nên ta có

dy = dx = ∆x. Vì vậy, vi phân của hàm f tại điểm x có thể viết

dy = df(x) = f ′(x)dx.

Do đó, đạo hàm của hàm số y = f(x) còn được ký hiệu một cách khác là f ′(x) =dy

dx.

2.2 Các quy tắc lấy vi phân và tính bất biến của vi phân

cấp 1

Từ các tính chất và phép toán của đạo hàm ta có định lý sau.

2.2.1 Định lý. Giả sử f, g : (a, b) → R khả vi tại x0 ∈ (a, b). Ký hiệu df, dg lần

lượt là vi phân của f, g tại x0. Khi đó

1) d(f + g) = df + dg.

2) d(cf) = cdf , c là hằng số.

3) d(fg) = gdf + fdg.

4) d(fg

)=gdf − fdg

g2,(nếu g(x0) = 0

).

2.2.2 Tính bất biến của vi phân cấp 1. Cho các hàm số f : (a, b) → (c, d) khả

vi tại điểm x ∈ (a, b). Khi đó, từ Nhận xét 2.1.4 2) vi phân của hàm f tại điểm x

được tính theo công thức

df = f ′(x)dx. (3.3)


Bây giờ, nếu x : (c, d) → R lại là hàm khả vi tại điểm t ∈ (c, d) và x = x(t), thì

hàm f [x(t)] cũng khả vi tại điểm t. Do đó, từ Nhận xét 2.1.4 2) ta có

df =(f [x(t)]

)′dt và dx = x′(t)dt. (3.4)

Nhờ Định lý 1.4.2 về đạo hàm hàm hợp ta có(f [x(t)]

)′= f ′(x).x′(t). (3.5)

Từ các công thức (3.4) và (3.5) ta có

df =(f [x(t)]

)′dt = f ′(x).x′(t)dt = f ′(x)dx. (3.6)

So sánh các công thức (3.3) và (3.6) ta thấy rằng dạng vi phân của hàm không thay

đổi khi các biến của nó là độc lập hay phụ thuộc. Tính chất này còn gọi là tính bất

biến của vi phân cấp 1 đối với biến số độc lập.

2.3 Các định lý cơ bản về hàm khả vi

Trong mục này chúng ta trình bày những định lý cơ bản về hàm số khả vi.

2.3.1 Định nghĩa. (Cực trị địa phương). Cho hàm f : (a, b) → R. Ta nói hàm f

đạt cực đại địa phương (tương ứng, cực tiểu địa phương) tại x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại

δ > 0 sao cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) và

f(x) 6 f(x0) (tương ứng, f(x) > f(x0))

với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

Điểm x0 mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu đại phương được

gọi chung là điểm cực trị của hàm f . Ta sẽ gọi cực đại (cực tiểu) để thay cho cực

đại địa phương (tương ứng, cực tiểu địa phương).

Định lý sau còn gọi là bổ đề Fermat, đưa ra một điều kiện cần để điểm x0 là

điểm cực trị của hàm f . Chứng minh của định lý sau đây bạn đọc có thể tham khảo

trong các tài liệu [2], [3].

2.3.2 Định lý. Cho hàm f : (a, b) → R. Nếu c ∈ (a, b) là điểm cực trị của f và f

khả vi tại c thì f ′(c) = 0.

2.3.3 Chú ý. Điểm c mà tại đó f ′(c) = 0 được gọi là điểm dừng của hàm f . Như

vậy nếu hàm khả vi trên (a, b) thì hàm chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.


Ba định lý sau đây cho ta các tính chất của hàm khả vi trên một đoạn.

2.3.4 Định lý. (Định lý Rolle). Cho hàm số f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và

khả vi trong (a, b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = 0.

2.3.5 Định lý. (Định lý Cauchy). Cho các hàm số f, g : [a, b] → R liên tục trên

[a, b] và khả vi trong (a, b). Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho(f(b)− f(a)

)g′(c) =

(g(b)− g(a)

)f ′(c).

Ngoài ra nếu g′(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì công thức trên có thể viết dưới dạng

(f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c).

Định lý sau là trường hợp riêng của định lý Cauchy với g(x) = x. Đây là định

lý Lagrange hay còn gọi là định lý số gia giới nội.

2.3.6 Định lý. (Định lý Lagrange). Cho hàm số f : [a, b] → R liên tục trên [a, b]

và khả vi trong (a, b). Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c).

Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu [2],

[3].

2.3.7 Nhận xét. 1) Giả sử f khả vi trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Lấy số gia ∆x > 0

sao cho x0 + ∆x ∈ (a, b). Khi đó, theo định lý Lagrange tồn tại c ∈ (x0, x0 + ∆x)

sao cho

f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(c)∆x.

Viết lại c dưới dạng c = x0 + θ∆x trong đó θ ∈ (0, 1) ta có

f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0 + θ∆x)∆x.

Người ta còn gọi công thức này là công thức số gia giới nội Lagrange.

2) Từ công thức trên suy ra nếu f ′(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm đơn

điệu tăng trên (a, b) và nếu f ′(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm đơn điệu giảm

trên (a, b).


2.4 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng

2.4.1 Công thức tính gần đúng nhờ vi phân. Giả sử f(x) là hàm khả vi tại

điểm x0 ∈ (a, b). Khi đó, từ hệ thức

f(x0 + h)− f(x0) = df(x0)(h) + o(h) khi h→ 0

suy ra khi |h| đủ bé thì

f(x0 + h) ≈ f(x0) + df(x0)(h).

2.4.2 Ví dụ. 1) Tính gần đúng sin 31o. Xét hàm số f(x) = sinx. Ta có

sin(x+ h) ≈ sin x+ h cosx

khi |h| đủ bé. Vì vậy

sin 31o = sin31π

180= sin

(π6+

π

180

)≈ sin

π

6+

π

180cos

π

6

≈ 0.5 +

√3

2.0.01745 ≈ 0, 5151.

2) Tính gần đúng√410 và 3

√128.

Xét hàm số f(x) = x1n , (x > 0, n ∈ N∗). Khi đó, với |h| đủ bé ta có

(x+ h)1n ≈ x

1n +

1

n

x1n

xh.

Đặc biệt, với x = an, (a > 0) ta có

(x+ h)1n ≈ a+

h

an−1n.

Vì vậy√410 =

√202 + 10 ≈ 20 +

10

20.2= 20, 25

và3√128 =

3√53 + 3 ≈ 5 +

3

25.3= 5, 04.


3 Đạo hàm và vi phân cấp cao

3.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân cấp cao

3.1.1 Định nghĩa. Cho f : (a, b) → R là hàm số khả vi trong (a, b). Khi đó, ta

xác định được hàm số f ′ : (a, b) → R, cho bởi x 7→ f ′(x) với mọi x ∈ (a, b).

Nếu tại x0 ∈ (a, b) hàm số f ′ khả vi thì ta nói hàm f khả vi cấp 2 tại x0 và đạo

hàm của f ′ tại x0 được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f tại x0. Ký hiệu đạo hàm

cấp 2 là f ′′(x0),

f ′′(x0) = (f ′)′(x0).

Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n− 1 của hàm số f trong (a, b).

Khi đó, xác định hàm số

f (n−1) : (a, b) → R, x 7→ f (n−1)(x)

trong đó f (n−1)(x) là đạo hàm cấp n− 1 của f tại x. Nếu hàm f (n−1) khả vi tại x0

thì đạo hàm của nó tại x0 gọi là đạo hàm cấp n của f tại x0 và ký hiệu là f (n)(x0),

f (n)(x0) = (f (n−1))′(x0).

Hàm số có đạo hàm cấp n tại x0 được gọi là khả vi cấp n tại x0.

Hàm số được gọi là khả vi liên tục đến cấp n trên (a, b) nếu đạo hàm f (n) cấp n

của nó là hàm số liên tục trên (a, b).

Hàm số được gọi là khả vi vô hạn tại x0 nếu nó có đạo hàm mọi cấp tại x0.

3.1.2 Ví dụ. 1) Hàm f(x) = xn, (n là số tự nhiên) khả vi vô hạn trên R và

f (k)(x) = n(n− 1)...(n− k + 1)xn−k với k 6 n

và

f (k)(x) = 0, ∀k > n.

2) f(x) = sinx khả vi vô hạn trên R và

f (n)(x) = sin(x+nπ

2).

3) Hàm f(x) =1

ax+ b, (với a = 0) khả vi vô hạn trên R \ − b

a và

f (n)(x) =(−1)nann!

(ax+ b)n+1.


3.1.3 Chú ý. 1) Các đạo hàm trái, đạo hàm phải cấp cao được định nghĩa tương

tự. Chẳng hạn

f ′′+(x0) = (f ′

+)′+(x0) = lim

∆x→0

f ′+(x0 +∆x)− f ′

+(x0)

∆x;

f ′′−(x0) = (f ′

−)′−(x0) = lim

∆x→0

f ′−(x0 +∆x)− f ′

−(x0)

∆x.

2) Giả sử f, g : (a, b) → R là các hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ (a, b). Khi đó, ta có

các công thức sau:

a) (f + g)(n)(x0) = f (n)(x0) + g(n)(x0).

b) (cf)(n)(x0) = cfn(x0), c là hằng số.

3.1.4 Định nghĩa. Cho hàm f : (a, b) → R khả vi cấp n tại mọi x ∈ (a, b). Vi

phân của df tại x được gọi là vi phân cấp 2 của hàm f tại x và được ký hiệu là

d2f(x). Như vậy

d2f(x) = d(df)(x) = (df)′(x)dx = (f ′′(x)dx)dx = f ′′(x)(dx)2 = f ′′(x)dx2.

trong đó ký hiệu dx2 dùng để chỉ (dx)2.

Một cách tổng quát vi phân cấp n của hàm f tại x ∈ (a, b) ký hiệu là dnf là vi

phân của vi phân cấp n− 1 của hàm f tại x, trong đó dx được coi là một hằng số

đối với mọi vi phân và mọi x ∈ (a, b). Như vậy

dnf(x) := d(dn−1f)(x).

Dễ thấy rằng

dnf(x) = f (n)(x)dxn, với mọi n ∈ N∗.

Do đó đạo hàm cấp n của hàm f có thể biểu diễn qua vi phân cấp n của nó

f (n)(x) =dnf(x)

dxn. Trường hợp hàm số f cho bởi y = f(x), khi đó ta có f (n)(x) =

dny

dxn.

3.2 Công thức Newton-Leibniz

Đối với đạo hàm cấp n của f.g tại x0 ta có công thức tính như sau đây còn gọi

là công thức Leibnitz.

3.2.1 Định lý. Giả sử f, g : (a, b) → R là các hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ (a, b).

Khi đó hàm fg khả vi cấp n tại x0 và

(fg)(n)(x0) =n∑

k=0

Cknf

(k)(x0)g(n−k)(x0), n = 1, 2, ... (3.7)



khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

3.2.2 Ví dụ. Cho hàm số f(x) = x3ex. Tính đạo hàm cấp 7 của hàm số. Ta có

f (7)(x) =7∑

k=0

Ck7 (x

3)(k)(ex)(7−k) = C07x

3ex + 3C17x

2ex + 6C27xe

x + 6C37e

x

= ex(x3 + 21x2 + 126x+ 210).

3.3 Tính không bất biến của vi phân cấp cao

3.3.1 Nhận xét. 1) Vi phân cấp hai, tổng quát hơn là vi phân cấp n > 2 không

bất biến khi thay biến số độc lập bởi biến số phụ thuộc. Thật vậy, với y = f(x) ta

có dy = f ′(x)dx. Từ đó theo định nghĩa trên ta có

d2y = d(f ′(x)dx

)= dxd(f ′)(x) + f ′(x)d(dx) = f ′′(x)dx2 + f ′(x)d2x. (3.8)

Nếu x = φ(t) với φ là hàm khả vi cấp 2 trên khoảng (α, β) nào đó thì d2x =

φ′′(t)dt2 = 0. Vì vậy số hạng f ′(x)d2x sẽ không bị triệt tiêu. Điều này cho thấy vi

phân cấp 2 của hàm f khi xem x là hàm theo biến t có dạng khác với vi phân cấp

2 của nó khi xem x là biến độc lập là d2y = f ′′(x)dx2.

Nói cách khác vi phân cấp n > 2 không bất biến khi thay biến số độc lập bởi

biến số phụ thuộc.

2) Từ (3.6) ta cũng nhận được

f ′′(x) =d2y − f ′(x)d2x

dx2=d2ydx− dyd2x

dx3. (3.9)

Do đó nếu hàm f cho bởi tham sốx = x(t)

y = y(t), t ∈ (α, β).

trong đó x(t), y(t) là các hàm khả vi cấp 2 trên (α, β), thì bằng cách sử dụng công

thức đạo hàm của hàm số cho bởi tham số ta có

f ′(x) =dy

dx=x′(t)

y′(t).

Hơn nữa

dx = x′(t)dt, d2x = x′′(t)dt2


và

dy = y′(t)dt, d2y = y′′(t)dt2.

Vì vậy theo (3.9) ta có

f ′′(x) =d2ydx− dyd2x

dx3=y′′(t)x′(t)− x′′(t)y′(t)(

x′(t))3 . (3.10)

3.3.2 Ví dụ. Đường Xycloid có phương trình

x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), a = 0, t ∈ R.

Ta có

y′x =x′(t)

y′(t)= cos

t

2

và

y′′x =y′′(t)x′(t)− x′′(t)y′(t)(

x′(t))3 = − 1

4a sin4 t

2

.

3.4 Khai triển Taylor, Maclaurin hàm khả vi

Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b) ta có

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

Vế phải là một đa thức bậc nhất của đối với x. Như vậy giá trị của hàm f được

xấp xỉ bởi một đa thức bậc nhất. Trong trường hợp f khả vi đến cấp n thì chúng

ta còn thu được một xấp xỉ f(x) bởi một đa thức bậc n, đây là nội dung của công

thức Taylor mà chúng ta trình bày sau đây. Với n càng lớn thì sự xấp xỉ có độ chính

xác càng cao. Đây là một công thức quan trọng trong các phương pháp tính toán

sau này.

3.4.1 Định lý. (Khai triển Taylor với số dư Lagrange) Giả sử f : (a, b) → R có

đạo hàm đến cấp (n+ 1) trong (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó với mọi x ∈ (a, b) ta có

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1 (3.11)

trong đó c là một điểm ở giữa x và x0.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.


3.4.2 Chú ý. 1) Vì c nằm giữa x0 và x nên tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho c =

x0 + θ(x− x0). Do đó công thức (3.9) có thể viết lại

f(x) = pn(x) + rn(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +f (n+1)

(x0 + θ(x− x0)

)(n+ 1)!

(x− x0)n+1

trong đó θ ∈ (0, 1).

Đại lượng

rn(x) =f (n+1)(x0 + θ(x− x0)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

đựoc gọi là số dư thứ n dạng Lagrange của khai triển Taylor.

2) Nếu chọn hàm ψ(t) = x− t thì ta có

ψ(x0) = x− x0, ψ(x) = 0 và ψ′(c) = −1.

Thay vào (3.14) và viết

(x− c)n =(x− x0 − θ(x− x0)

)n= (1− θ)n(x− x0)

n

ta sẽ nhận được biểu thức sau đây của số dư

rn(x) =f (n+1)

(x0 + θ(x− x0)

)n!

(1− θ)n(x− x0)n+1.

Biểu thức này được gọi là số dư thứ n dạng Cauchy của khai triển Taylor.

3) Nếu x0 = 0 ∈ (a, b) thì khai triển Taylor với số dư Lagrange được gọi là khai

triển Maclaurin. Khi đó

f(x) =n∑

k=0

f (k)(0)

k!xk +

f (n+1)(θx)

(n+ 1)!xn+1.

4) Khi n = 0 thì công thức Taylor với số dư Lagrange trở thành công thức số

gia giới nội Lagrange (xem Nhận xét 2.3.7).

Trong một số trường hợp nếu chúng ta chỉ quan tâm đến bậc của vô cùng bé

của số dư đối với x− x0 khi x → x0 mà không quan tâm đến biểu thức cụ thể của

số dư thì chúng ta dùng công thức khai triển Taylor với số dư Peano sau đây:

3.4.3 Định lý. (Khai triển Taylor với số dư Peano) Giả sử f : (a, b) → R có đạo

hàm đến cấp n trong (a, b), f (n) liên tục trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó với mọi

x ∈ (a, b) ta có

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k + o((x− x0)

n). (3.12)


Ta gọi rn(x) = o((x− x0)

n)

là số dư Peano.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

3.4.4 Ví dụ. Chúng ta viết khai triển Macraulin của một số hàm số sơ cấp thường

gặp.

1) Hàm f(x) = ex. Hàm số này khả vi mọi cấp trên R và

f (k)(x) = ex, ∀x ∈ R, ∀k = 1, 2, ...

Ta có thể khai triển Macraulin (Taylor) hàm số đến bậc tuỳ ý

f(x) =n∑

k=0

f (k)(0)

k!xk +

f (n+1)(θx)

(n+ 1)!xn+1

trong đó θ ∈ (0, 1). Suy ra

ex =n∑

k=0

1

k!xk +

eθx

(n+ 1)!xn+1 = 1 + x+

x2

2!+ · · ·+ xn

n!+

eθx

(n+ 1)!xn+1 (3.13)

ở đây rn(x) =eθx

(n+ 1)!xn+1 là số dư Lagrange thứ n của khai triển. Công thức (3.13)

có thể viết lại dưới dạng khai triển với số dư Peano

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ o(xn). (3.14)

Tương tự ta chứng minh được các công thức sau

2)

sinx = x− x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)!+ o(x2n). (3.15)

3)

cos x = 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·+ (−1)n

x2n

(2n)!+ o(x2n+1

). (3.16)

4)

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n−1x

n

n+ o(xn), (x > −1). (3.17)

5)

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2!+ · · ·+ α(α− 1)...(α− n+ 1)

n!xn + o

(xn)

(3.18)

trong đó x > −1, α ∈ R.


3.4.5 Ví dụ. Trong một số trường hợp, chúng ta có thể dùng khai triển Taylor để

khử các vô cùng bé bậc cao trong quá trình tìm giới hạn. Chẳng hạn, tìm giới hạn

limx→0

3√1 + 3x−

√1 + 2x

x2.

Theo công thức (3.18) ta có

3√1 + 3x = (1+3x)

13 = 1+

1

3(3x)+

1

3(1

3− 1)(3x)2 + o

((3x)2

)= 1+ x− 2x2 + o(x2)

và

√1 + 2x = (1+ 2x)

12 = 1+

1

2(2x) +

1

2(1

2− 1)(2x)2 + o

((2x)2

)= 1+ x− x2 + o(x2).

Vì vậy

limx→0

3√1 + 3x−

√1 + 2x

x2= lim

x→0

(1 + x− 2x2 + o(x2)

)−(1 + x− x2 + o(x2)

)x2

= limx→0

−x2 + o(x2)

x2= −1.

3.4.6 Ví dụ. Tính gần đúng số e với sai số nhỏ hơn 0, 001.

Ta có

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+

eθx

(n+ 1)!xn+1

với θ ∈ (0, 1). Vì vậy

e = 1 + 1 +12

2!+ · · ·+ 1

n!+

eθ

(n+ 1)!.

Chọn n sao choeθ

(n+ 1)!<

e

(n+ 1)!<

3

(n+ 1)!< 0, 001.

Ta thấy với n = 6 bất đẳng thức được thoả mãn. Khi đó

e ≈ 1 + 1 +1

2+

1

6+

1

24+

1

120+

1

720≈ 2, 718.

4 Một số ứng dụng của phép tính vi phân

Trong phần này chúng ta trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân trong

việc khử dạng vô định tìm giới hạn của hàm số, khảo sát hàm số. Bạn đọc có thể

tìm hiểu thêm một số ứng dụng khác như tính gần đúng nghiệm của phương trình,

và một số ứng dụng hình học trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương

3.


4.1 Quy tắc L′Hospital

Dưới đây, chúng ta trình bày một số điều kiện đủ để khử dạng vô định bằng đạo

hàm. Chúng được gọi là quy tắc L’Hospital. Các quy tắc này chỉ được phát biểu với

đạo hàm tuy nhiên nó vẫn đúng cho đạo hàm bên trái (tương ứng với giới hạn trái)

và đạo hàm bên phải (tương ứng với giới hạn phải) .

Cho c ∈ R. Giả sử f(x) và g(x) là các hàm xác định trong lân cận của c có thể

trừ điểm c. Xét giới hạn limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = 0. Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu các

ứng dụng của đạo hàm để khử các dạng vô định0

0và

∞∞

. Vì rằng các dạng vô định

khác có thể đưa về hai dạng vô định này bởi một số phép biến đổi thích hợp.

A. Khử dạng vô định0

0

4.1.1 Định lý. (Quy tắc L’ Hospital I) Cho f và g là các hàm xác định trong (a, b)

có thể trừ điểm c ∈ (a, b) sao cho limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = 0. Giả sử trong một lân cận

nào đó của điểm c ( có thể trừ điểm c) tồn tại các đạo hàm của f , g và g′(x) = 0.

Khi đó, nếu limx→c

f ′(x)

g′(x)tồn tại hữu hạn thì

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x).


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

4.1.2 Chú ý. Trong định lý trên vì c ∈ (a, b) nên c là hữu hạn.


2x − 1

3x − 1.

Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có

limx→0

2x − 1

3x − 1= lim

x→0

2x ln 2

3x ln 3=

ln 2

ln 3.

Nếu cả hai đạo hàm f ′ và g′ vẫn dần tới 0 khi x→ c và chúng thoả mãn các giả

thiết của định lý thì chúng ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa. Một

cách tổng quát ta có định lý sau.

4.1.4 Định lý. Cho f, g : (a, b) → R. Nếu trong một lân cận nào đó của điểm

c ∈ (a, b) các hàm f và g có đạo hàm cấp n, g(n)(x) = 0 ( có thể trừ điểm c) và

f(c) = g(c) = f ′(c) = g′(c) = ... = f (n−1)(c) = g(n−1)(c) = 0


thì

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f (n)(x)

g(n)(x).


x3

x− sinx.

Áp dụng quy tắc L’Hospital ( 3 lần ) ta có

limx→0

x3

x− sin x= lim

x→0

3x2

1− cos x= lim

x→0

6x

sin x= lim

x→0

6

cosx= 6.

Định lý sau trình bày cho trường hợp c = +∞. Trường hợp c = −∞ được phát

biểu tương tự. Chứng minh của nó bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham

khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

4.1.6 Định lý. Giả sử f và g là các hàm xác định trên (a,+∞) sao cho

1) limx→+∞

f(x) = limx→+∞

g(x) = 0.

2) f và g khả vi trên (a,+∞) và trên đó g′(x) = 0.

3) limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= I. Khi đó

limx→+∞

f(x)

g(x)= I.

B. Khử dạng vô định∞∞

4.1.7 Định lý. (Quy tắc L’ Hospital II) Cho f và g xác định trong một δ−lân cận

U của c sao cho

1) limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = +∞.

2) f và g khả vi trên lân cận U ( có thể trừ điểm c) và g′(x) = 0 ∀x ∈ U \ c.

3) limx→c

f ′(x)

g′(x)= I. Khi đó

limx→c

f(x)

g(x)= I.

Ta bỏ qua chứng minh định lý này. Bạn đọc có thể xem chứng minh của nó trong

các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

4.1.8 Chú ý. 1) Trong định lý trên, c có thể là các điểm vô hạn ±∞ và I có thể

nhận giá trị +∞.

2) Định lý vẫn đúng khi limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = −∞.


4.1.9 Ví dụ. Tìm giới hạn limx→+∞

xα

ax, (a > 1, α > 0).

Tồn tại số tự nhiên n sao cho n < α 6 n+ 1. Áp dụng n lần quy tắc L’Hospital

II ta có

limx→∞

xα

ax= lim

x→∞

α(α− 1)...(α− n)x(α−n−1)

ax(ln a)n= lim

x→∞

α(α− 1)...(α− n)

x(n+1−α)ax(ln a)n= 0.

4.1.10 Chú ý. Các quy tắc L’Hospital vừa trình bày chỉ là điều kiện đủ mà không

là điều kiện cần để có giới hạn limx→c

f(x)

g(x), tức là có những trường hợp không tồn tại

limx→c

f ′(x)

g′(x)nhưng vẫn tồn tại lim

x→c

f(x)

g(x). Chẳng hạn bạn đọc có thể chứng minh

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0

x2 sin1

xsinx

= 0.

Tuy nhiên

limx→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

2x sin1

x− cos

1

xcos x

là không tồn tại.

C. Khử các dạng vô định khác

Các dạng vô định khác như ∞−∞, 0.∞, ∞0, 1∞, 00 có thể khử được bằng

quy tắc L’Hospital sau khi thực hiện các phép biến đổi thích hợp. Chúng ta đến với

một ví dụ minh hoạ.

4.1.11 Ví dụ. 1) Tìm limx→0+

(1x

)tanx

.

Đặt u =(1x

)tanx

. Ta có

lnu = − tanx lnx =1

cosx

− lnx1

sinx

.

Do đó

limx→0+

lnu = limx→0+

1

cos xlimx→0+

− lnx1

sinx

= limx→0+

1

xcosx

sin2 x

= limx→0+

sin x

xtanx = 0.

Vậy

limx→0+

(1x

)tanx

= limx→0+

elnu = elim

x→0+lnu

= e0 = 1.


2) Tìm giới hạn limx→0

((1 + x)

1

x

e

)1

x.

Đặt u =

((1 + x)

1

x

e

)1

x. Ta có

ln v =1

x

(1

xln(1 + x)− 1

)=

ln(1 + x)− x

x2.

Do đó

limx→0

ln v = limx→0

ln(1 + x)− x

x2= lim

x→0

1

1 + x− 1

2x= lim

x→0

−x2(1 + x)x

= −1

2.

Vậy

limx→0

((1 + x)

1

x

e

)1

x= lim

x→0eln v = e

limx→0

ln v= e−

12 .

4.2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Việc khảo sát hàm số trong hệ trục toạ độ Descartes đã được trình bày trong

chương trình phổ thông. Ở đây, chỉ trình bày việc khảo sát hàm số cho dưới dạng

tham số và hàm số trong hệ toạ độ cực.

A. Khảo sát hàm số cho bởi dạng tham số

Giả sử quan hệ của hàm y với biến x được cho thông qua hệ phương trìnhx = x(t)

y = y(t), t ∈ [α, β].

Ta muốn khảo sát sự phụ thuộc của y và x. Nếu có thể tìm được t theo x từ phương

trình x = x(t) thì thay vào phương trình y = y(t) bài toán dẫn tới việc khảo sát hàm

trong hệ toạ độ Descartes mà chúng ta đã quen thuộc ở chương trình phổ thông.

Do đó khó khăn ở đây thường là không thể giải được (hoặc không giải được hoàn

toàn) t theo x từ phương trình x = x(t).


Quá trình khảo sát hàm số cho bởi hệ phương trìnhx = x(t)

y = y(t), t ∈ [α, β].

cũng được tiến hành như hàm số y = f(x) nhưng tiến hành đồng thời cho cả hai

hàm x = x(t) và y = y(t).

Nó được thực hiện theo các bước sau:

1) Tìm miền xác định (thông thường α, β là chưa biết), tìm các điểm gián đoạn

của x(t) và y(t). Xét tính tuần hoàn, chẵn, lẻ của x(t), y(t).

2) Khảo sát sự biến thiên của x(t) và y(t) theo t bằng cách tính đạo hàm.

3) Tìm tiện cận: Nếu t→ t0 ∈ R

+) x(t) → a và |y(t)| → ∞ thì đường thằng x = a là tiệm cận đứng;

+) |x(t)| → ∞ và y(t) → b thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang;

+) |x(t)| → ∞,|y(t)| → ∞ và

limt→t0

y(t)

x(t)= k, lim

t→t0

(y(t)− kx(t)

)= b

ta có tiệm cận xiên y = kx+ b.

4) Vẽ đồ thi: Để vẽ đồ thị chúng ta phải dựa vào các dữ liệu về sự biến thiên,

tiệm cận và một số điểm đặc biệt của nó.

4.2.1 Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi dạng tham sốx = tet

y = te−t.

Rõ ràng hai hàm x(t) và y(t) xác định với mọi t ∈ R.

Ta có x′(t) = (t + 1)et và y′(t) = (1 − t)e−t và do đó x′(t) = 0 khi t = −1,

y′(t) = 0 khi t = 1 .


t −∞ +∞

x′(t)

x(t)

y′(t)

y(t)

−1 1

− + +0

0 −1

2+∞

+ + −0

−∞0

1

2

x

y

O

e

1

e

−e

−1

e

Vì

limt→−∞

x(t) = limt→−∞

tet = 0, limt→−∞

y(t) = limt→−∞

te−t = −∞

nên đồ thị có tiệm cận đứng là x = 0. Đồng thời

limt→+∞

x(t) = limt→+∞

tet = +∞, limt→+∞

y(t) = limt→+∞

te−t = 0

suy ra đồ thị có tiệm cận ngang y = 0.

Ta nhận được bảng biến thiên cho cả hai hàm x(t) và y(t) như Hình 3.2.

Ta có hai điểm M(− 1

e,−e

)và N

(e,1

e

)thuộc đồ thị hàm số. Ngoài ra đồ thị

còn đi qua điểm gốc O(0, 0). Đồ thị có dạng như trên ( Hình 3.3) .


4.2.2 Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi dạng tham sốx = cos4 t

y = sin4 t.

1) Rõ ràng hai hàm x(t) và y(t) xác định với mọi t ∈ R. Miền giá trị là [0, 1].

Mặt khác chúng tuần hoàn theo chu kỳ π. Do đó chúng ta chỉ cần khảo sát chúng

trên [0, π].

t

x′(t)

x(t)

y′(t)

y(t)

− +0

0

+ −0

0

π

2 π

0 0

1 1

0

00

0

1

O

x

y

1

1

Ta có

x′(t) = −4 cos3 t sin t = 0 khi t = 0, t =π

2, và t = π


y′(t) = 4 sin3 t cos t = 0 khi t = 0, t =π

2, và t = π

y′(x) =y′(t)

x′(t)= − tan2 t = 0 khi t = 0, và t = π.

Bảng biến thiên như trên.

Đồ thị đi qua M(0, 1) và N(1, 0) có dạng (Hình 3.4).

Tương tự như trên ta có thể vẽ được đồ thị của các đường cong sau đây:

2) Đường Astroid với phương trình (Hình 3.5)x = a cos3 t

y = a sin3 t (a > 0).

Đường này còn có phương trình x

2

3 + y

2

3 = a

2

3 (trong hệ toạ độ Descartes).

a−a O

x

y

−a

a

3) Lá Descartes với phương trình tham số (Hình 3.6)

x =3at

1 + t3, y =

3at2

1 + t3.


O

x

y

−a

−a a 3√2

a 3√2

a 3√4

a 3√4

4) Đường cong Xycloid (Hình 3.7)x = a(t− sin t)

y = a(1− cos t) (a > 0).

O

x

y

πa 2πa

2a


B. Khảo sát hàm số trong hệ toạ độ cực

4.2.3 Hệ tọa độ cực. Trong mặt phẳng, chúng ta đã quen dùng hệ toạ độ Descartes

để biểu thị vị trí của các điểm. Tuy nhiên người ta còn có thể dùng nhiều hệ toạ độ

khác. Một trong những hệ toạ độ quan trọng là hệ toạ độ cực. Hệ toạ độ này được

xây dựng như sau:

O

x

y

φ

r

M

Chọn một điểm O trong mặt phẳng gọi nó là điểm cựcvà một tia Ox được định

hướng từ trái sang phải và gọi nó là trục cực. Khi đó, một điểm M tuỳ ý trong mặt

phẳng được hoàn toàn xác định bởi cặp số (r, φ) trong đó

r = |−−→OM |

(r còn gọi là toạ độ dài của vectơ−−→OM) và

φ =

(Ox,→OM)

là góc giữa trục Ox và−−→OM với 0 6 φ 6 2π.

Chú ý rằng điểm cực O ứng với r = 0 còn φ tuỳ ý trong [0, 2π].

Nếu chọn hệ trục toạ độ Descartes Oxy với trục hoành là trục cực và O là điểm

cực thì ta có mối liên hệ giữa toạ độ (x, y) của điểm M với toạ độ cực (r, φ) như

sau: x = r cosφ

y = r sinφ

và r2 = x2 + y2

tanφ =y

x(r > 0).


Trục Oy là trục vuông góc với trục cực.

Cũng như toạ độ Descartes trong hệ toạ độ cực hàm số được cho dưới dạng

r = f(φ)

hoặc cho dưới dạng hàm ẩn

F (r, φ) = 0.

4.2.4 Ví dụ. 1) Trong hệ toạ độ cực, đồ thị của hàm số có phương trình r = a (a >

0) chính là đường tròn tâm O bán kính a.

2)Xét hàm số r = x0 cosφ+ y0 sinφ ( x20 + y20 = 0). Ta nhận dạng đồ thị hàm số

này. Ta có

r2 = x0r cosφ+ y0r sinφ

suy ra

x2 + y2 = x0x+ y0y ⇔ (x− x02)2 + (y − y0

2)2 =

x20 + y204

.

Vậy đồ thị là đường tròn tâm(x02,y02

)bán kính

√x20 + y202

.

4.2.5 Các bước khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực.

Bây giờ chúng ta khảo sát hàm số

r = f(φ)

trong hệ toạ độ cực. Các bước vẫn tiến hành như sau:

1) Tìm miền xác định, điểm gián đoạn, tính tuần hoàn, tính đối xứng của đồ thị

qua trục cực, đối xứng qua trục vuông góc với trục cực và tính đối xứng qua điểm

cực.

2) Lập bảng biến thiên, bằng cách tính đạo hàm.

3) Xác định một số điểm đặc biệt và phác hoạ đồ thị.

4.2.6 Chú ý. a) Về tính đối xứng.

+) Nếu f(φ) = f(φ+ π) thì đồ thị đối xứng qua điểm cực.

+) Nếu f(φ) = f(−φ) thì đồ thị đối xứng qua trục cực.

+) Nếu f(φ) = f(φ+

π

2

)thì đồ thị đối xứng qua trục vuông góc với trục cực.

b) Xác định tiếp tuyến.

Giả sử θ là góc giữa bán kính vectơ→OM và tiếp tuyến của đồ thì r = f(φ) tại

M(r, φ) và α là góc giữa tiếp tuyến với trục cực.


O

x

y

φ

Mα

θ

Ta có

tan θ = tan(α− φ) =tanα− tanφ

1 + tanα tanφ.

Đường cong r = f(φ) viết lại dưới dạngx = r(φ) cosφ

y = r(φ) sinφ

Do đó (hệ số góc của tiếp trong hệ toạ độ Descartes)

tanα =y′(φ)

x′(φ)=r′ sinφ+ r cosφ

r′ cosφ− r sinφ.

Từ đó ta nhận được

tan θ =r

r′.

4.2.7 Ví dụ. (Đường Lemniscat-Bernoulli). Khảo sát và vẽ đường Lemniscat-

Bernoulli có phương trình

r2 = 2a2 cos 2φ.

Tập xác định cos 2φ > 0. Hàm số liên tục trên tập xác định, tuần hoàn với chu kỳ

π. Đồ thị hàm số đối xứng qua cực. Viết lại hàm số dưới dạng

r = a√2√cos 2φ.


θ 0

π

4

r′

r

a√2

0

−

O

x

y

−a√2

a√2

Ta có r(φ) = r(−φ) vậy đồ thị hàm số đối xứng qua trục cực. Do vậy ta chỉ cần

khảo sát hàm số trên [0,π

4]. Ta có

r′ = −a√2

sin 2φ√cos 2φ

.

Suy ra r′ 6 0 khi φ ∈ [0,π

4]. Ta có bảng biến thiên của hàm số như trên.

Đồ thị của hàm số nhận được từ đồ thị trên [0,π

4] lần lượt lấy đối xứng qua trục

cực và điểm cực (Hình 3.8).

4.2.8 Ví dụ. (Đường Pascal) .Khảo sát và vẽ đường Pascal có phương trình:

r = 2a cosφ+ h (a > 0, h > 0).


Hàm số xác định với mọi φ, tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm số là hàm chẵn, đồ thị

hàm số đối xứng qua trục cực. Do vậy ta chỉ cần khảo sát hàm số trên [0, π]. Ta có

r′ = −2a sinφ. Suy ra r′ 6 0 khi φ ∈ [0, π]. Ta có bảng biến thiên của hàm số

0

π

4

r′

r

−

π

−

h+ 2a

h− 2a

h

φ

Đồ thị của hàm số có dạng sau:

1) Nếu h > 2a thì đường cong có dạng (Hình 3.9)

O

x

a

2) Nếu h < 2a thì đường cong có dạng (đường ốc sên) (Hình 3.10)

O

x

a


3) Nếu h = 2a thì đường cong có dạng (đường hình tim Cardionid) (Hình 3.11)

O

a 4a x

4.2.9 Ví dụ. (Đường hoa hồng 3 cánh) .Khảo sát và vẽ đường cong có phương

trình

r = a sin 3φ (a > 0).

Hàm số xác định với mọi φ, tuần hoàn với chu kỳ2π

3. Khảo sát hàm số trên [0,

π

3].

Ta có

r′ = 3a cos 3φ.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

0

r′

r

−

φ

π

3

π

6

3a −3a0+

0 0

a

Đồ thị của hàm số trong [0,π

3] gồm một cánh. Sau đó qua lần lượt quay đồ thị

một góc2π

3ta thu được hai cánh còn lại (Hình 3.12).


x

y

O



1) Các khái niệm đạo hàm, hàm khả vi, vi phân của hàm số. Các tính chất của

hàm khả vi.

2) Các ứng dụng của phép tính vi phân trong cơ học và tính toán (tính gần

đúng).

3) Các định lý về gia trị trung bình (Rolle, Cauchy, Lagrange).

4) Ý nghĩa của công thức Taylor là xấp xỉ hàm bởi đa thức. Đánh giá số hạng

dư dạng Lagrange, Cauchy, Peano trong các xấp xỉ đó.

5) Ứng dụng của công thức Taylor để tính gần đúng và tìm giới hạn.

6) Ứng dụng quy tắc L’Hopital tìm giới hạn.



Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1) y = ln(x+√x2 + 1).

2) y = xx2.

3) y =3

7x3√x− 4

11x5√x+

2

15

√x.

4) y = (x2 + 2x+ 2)e−x

.

5) y = e√2x(

√2x− 1).

6) y =23x

32x.

7) y = x arccosx

2−√4− x2.

8) y = x2 + 2x cos x− 2 sin x.

9) y = (sin x)tanx.

10) y = arctan

√1− x

1 + x.

11) y = ln

√1 + sinx

1− sinx.

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1) y = x|x|.

2) y =

1− x nếu x ∈ (−∞, 1)

(1− x)(2− x) nếu x ∈ [1, 2]

−(2− x) nếu x ∈ (2,+∞).

3) y =

x2. sin1

xnếu x = 0

0 nếu x = 0.

4) y =

(x− a)2(x− b)2 nếu x ∈ [a, b]

0 nếu x /∈ [a, b].

Bài 3. 1) Cho hàm số f(x) = (x−a)φ(x) trong đó φ(x) là hàm liên tục tại điểm

x = a. Tính f ′(a).

2) Cho hàm số f(x) = |x−a|φ(x) trong đó φ(x) là hàm liên tục tại điểm x = a


và φ(a) = 0. Chứng minh rằng f(x) không có đạo hàm tại x = a. Tính f ′+(a), f

′−(a).

Bài 4. Hãy xác định a, b để các hàm số sau khả vi trên R.

1) f(x) =

x2 nếu x 6 0

ax+ b nếu x > 0.

2) f(x) =

e−2x(x+ 1) nếu x 6 0

x2 + ax+ b nếu x > 0.

Bài 5. Giả sử F (x) = f(x) + g(x).

1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0, còn g(x) không có đạo hàm tại điểm

này thì hàm số F (x) có đạo hàm tại x0 hay không?

2) Nếu cả hai hàm f(x) và g(x) đều không có đạo hàm tại x0 thì hàm F (x) có

thể có đạo hàm tại điểm này hay không? Cho ví dụ.

Bài 6. Giả sử G(x) = f(x).g(x).

1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0, còn g(x) không có đạo hàm tại điểm

này thì hàm số G(x) có đạo hàm tại x0 hay không?

2) Nếu cả hai hàm f(x) và g(x) đều không có đạo hàm tại x0 thì hàm G(x) có

thể có đạo hàm tại điểm này hay không?

Bài 7. Tính các đạo hàm cấp cao

1) Tính y(20) nếu y = x2.e2x.

2) Tính y(8) nếu y =x2

1− x.

3) y =ax+ b

cx+ dtrong đó a, b, c, d là các hằng số, c = 0. Tính y(n).

4) y =1

x2 − 3x+ 2. Tính y(n).

5) Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x) = x. ln(x+√x2 + 1).

6) Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số f(x) = x4.e2x.

7) Tính đạo hàm cấp 2017 của hàm số f(x) =1

2x+ 3.

8) Tính đạo hàm cấp 2017 của hàm số y =1

2x− 1tại các điểm thuộc tập xác

định của hàm.

Bài 8. Giả sử f(x) là hàm xác định và có đạo hàm hữu hạn cho đến cấp 2 với


x 6 0. Hãy xác định hằng số a, b và c để cho hàm số:

F (x) =

f(x) với x 6 0,

ax2 + bx+ c với x > 0

có đạo hàm hữu hạn cho đến cấp 2 tại x = 0.

Bài 9. Tính gần đúng

1) 3√1, 02.

2) sin 460.

Bài 10. Cho hàm số

f(x) =

3− x2

2với 0 6 x < 1

1

xvới 1 6 x.

Hãy xác định giá trị c ∈ (0, 2) sao cho:

f(2)− f(0) = 2.f ′(c).

Bài 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) | sin x− sin y| 6 |x− y|, với mọi x, y ∈ R.

2) | arctanx− arctan y| 6 |x− y|, với mọi x, y ∈ R.

3)a− b

a< ln

a

b<a− b

b, nếu 0 < b < a.

Bài 12.

1) Khai triển đa thức P (x) = 1 + 3x+ 5x2 − 2x3 theo lũy thừa nguyên duơng

của (x+ 1).

2) Khai triển hàm f(x) = ln(cos x) theo lũy thừa nguyên duơng của x đến x3.

Bài 13. Dùng quy tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau

1) limx→0

tanx− x

x− sinx.

2) limx→0

x cotx− 1

x2.

3) limx→0

arcsin 2x− 2 arcsinx

x3.

4) limx→0

x cotx− 1

x2.


5) limx→0

(sinx

x

) 1x2

.

6) limx→0+

(ln

1

x

)x

.









ĐH Sư phạm.





CHƯƠNG 4

TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

IV.1. GIỚI THIỆU

Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của

phép tính tích phân hàm một biến và một số ứng dụng của chúng.

IV.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản, cách tính tích phân bất định, tích

phân xác định, tích phân suy rộng và một số ứng dụng của tích phân.

IV.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Trình bày được định nghĩa nguyên hàm, tính phân không xác định và tích

phân xác định. Nắm được các tính chất của tính phân không xác định và tích phân

xác định.

2. Biết thực hiện các phương pháp tính tích phân không xác định và tích phân

xác định.

3. Biết áp dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích miền phẳng, thể tích,

diện tích xung quanh và thể tích của các hình tròn xoay.

4. Biết tính tích phân suy rộng loại 1 và loại 2 và hiểu ý nghĩa của chúng.

IV.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

89


1 Nguyên hàm và tích phân không xác định

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

1.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R. Hàm số F (x) khả vi trên (a, b)

được gọi là một nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) nếu

F ′(x) = f(x), với mọi x ∈ (a, b). (4.1)

Chú ý. 1) Nếu f : [a, b] → R và F ′(x) = f(x) với mọi x ∈ [a, b] trong đó đạo hàm

của F tại x = a là đạo hàm bên phải và đạo hàm của F tại x = b là đạo hàm bên

trái thì ta cũng gọi F (x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b].

2) Người ta chứng minh được rằng mọi hàm liên tục trên [a, b] đều tồn tại nguyên

hàm trên đó.

Định lý sau mô tả tập hợp các nguyên hàm của một hàm cho trước. Chứng minh

của kết quả này có thể đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương

4.

1.1.2 Định lý. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a, b) thì tập tất cả các

nguyên hàm của f(x) trên (a, b) có dạng F (x) + C : C ∈ R.

1.1.3 Định nghĩa. Tập tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) được gọi

là tích phân không xác định (hay tích phân bất định) của hàm f(x) trên (a, b) và

được ký hiệu là ∫f(x)dx.

Ta gọi f(x) là hàm dưới dấu tích phân, x là biến số lấy tích phân và f(x)dx là biểu

thức lấy tích phân.

Từ Định lý 1.1.2 và Định nghĩa 1.1.3 ta thấy rằng nếu F (x) là một nguyên hàm

của hàm f(x) thì ta có thể viết∫f(x)dx = F (x) + C (C ∈ R).

Mặt khác do biểu thức vi phân dF (x) = F ′(x)dx nên tích phân trên còn có thể viết

dưới dạng ∫dF (x) = F (x) + C.


1.1.4 Ví dụ. a) Nguyên hàm của hàm ex là chính nó trên toàn bộ R và∫exdx = ex + C.

b) Từ (ln |x|)′ = 1

xvới mọi x = 0, suy ra ln |x| là nguyên hàm của

1

xtrên R\0.

Khi đó ∫dx

x= ln |x|+ C

chỉ được xét trên (−∞, 0) hoặc (0,+∞).

c) Hàm f(x) = |x| có một nguyên hàm trên R là hàm

F (x) =x|x|2

=

x2

2nếu x > 0

−x2

2nếu x < 0.

Vậy

∫|x|dx =

x|x|2

+ C.

Trong Định nghĩa 1.1.1 ta nhận thấy rằng đẳng thức (4.1) không phụ thuộc

vào biến số (lấy tích phân) x, t hay u,... miễn sao biến số đó thuộc (a, b). Như vậy∫f(x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và (a, b) chứ không phụ thuộc vào biến số

lấy tích phân. Ta có tính chất sau đây:

1.1.5 Mệnh đề. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a, b) thì

∫f(x)dx không phụ thuộc

vào biến số lấy tích phân trên (a, b), nghĩa là∫f(x)dx =

∫f(u)du = ...

trong đó x, u, ... đều biến thiên trên (a, b).

Các tính chất sau đây được suy ra từ các định nghĩa.

1.1.6 Mệnh đề. Nếu f(x) và g(x) là các hàm có nguyên hàm trên (a, b) và α là

hằng số khác 0 thì f(x)± g(x) và αf(x) có nguyên hàm trên (a, b) và

a)

∫(f(x)± g(x))dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx;

b)

∫αf(x)dx = α

∫f(x)dx.


1.1.7 Mệnh đề. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a, b) thì

a)(∫

f(x)dx)′

= f(x);

b) d(∫

f(x)dx)= f(x)dx.

Trong tính chất trên ta quy ước lấy đạo hàm hay vi phân của tích phân không

xác định là lấy đạo hàm hay vi phân của từng phần tử của nó.

1.1.8 Bảng tích phân không xác định của một số hàm số. Từ bảng đạo

hàm của các hàm sơ cấp và định nghĩa nguyên hàm ta có các tích phân không xác

định sau đây.

1.

∫αdx = αx+ C, α ∈ R;

2.

∫xαdx =

xα+1

α+ 1+ C, α ∈ R \ −1;

3.

∫dx

x= ln |x|+ C, x thuộc khoảng mở không chứa 0;

4.

∫axdx =

ax

ln a+ C, (0 < a = 1);

5.

∫exdx = ex + C;

6.

∫dx

1 + x2= arctan x+ C;

7.

∫dx√1− x2

= arcsinx+ C = − arccos x+ C;

8.

∫sin xdx = − cos x+ C;

9.

∫cos xdx = sinx+ C;

10.

∫dx

cos2 x= tan x+ C;

11.

∫dx

sin2 x= − cotanx+ C;

12.

∫chxdx = sh x+ C;


13.

∫shxdx = chx+ C;

14.

∫dx

ch2 x= th x+ C;

15.

∫dx

sh2 x= − coth x+ C.

1.2 Phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng

phần

A. Phương pháp đổi biến số

1.2.1 Định lý. Giả sử f(x) là một hàm số xác định và có nguyên hàm F (x) trên

(a, b).

1) Nếu φ : (α, β) → (a, b) là một hàm khả vi thì∫f(φ(x))φ′(x)dx = F (φ(x)) + C, x ∈ (α, β). (4.2)

2) Nếu φ : (α, β) → (a, b) là một hàm khả vi liên tục có hàm ngược ψ(x) sao cho

g = (f φ).φ′ có nguyên hàm G trên (α, β) thì∫f(x)dx = F (x) + C = G(ψ(x)) + C, x ∈ (a, b). (4.3)


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.

Từ định lý trên cho ta các phương pháp để tính tích phân bất định, gọi là phương

pháp đổi biến số. Có hai cách sau đây thường dùng trong phương pháp đổi biến số.

Giả sử cần tìm

∫f(x)dx.

1) Phương pháp 1. Nếu f(x) = g(φ(x))φ′(x), x ∈ (a, b) thì bằng cách đặt

u = φ(x), nhờ khẳng định 1) của Định lý 1.2.1 ta có∫f(x)dx =

∫g(φ(x))φ′(x)dx =

∫g(u)du.

Bài toán dẫn tới đi tìm

∫g(u)du.

Chúng ta minh họa phương pháp đổi biến số này bằng các ví dụ sau:


1.2.2 Ví dụ. a) Tìm I1 =

∫sinx cos xesin

2 xdx ?

I1 =

∫sinx cosxesin

2 xdx =

∫eu

2du (đặt u = sin2 x) =

eu

2+ C.

Vậy

I1 =

∫sinx cos xesin

2 xdx =esin

2x

2+ C.

b) Tìm I2 =

∫dx

sinx?

I2 =

∫dx

sin x=

∫dx

2 sinx

2cos

x

2

=

∫ dx

cos2x

2

2 tanx

2

.

Đặt u = tanx

2, du =

dx

2 cos2x

2

. Ta nhận được

I2 =

∫du

u= ln |u|+ C = ln

∣∣ tan x2

∣∣+ C.

c) Tìm I3 =

∫ (ln

1

x

)αx

dx, (α = −1).

I3 =

∫ (ln

1

x

)αx

dx

= −∫uαdu (đặt u = ln

1

x)

= − uα+1

α + 1+ C

= −

(ln

1

x

)α+1

α+ 1+ C.

2) Phương pháp 2. Trong một số trường hợp ta có thể đặt x = φ(t) với φ là

hàm số thoả mãn điều kiện 2) trong Định lý 1.2.1. Khi đó, ta có∫f(x)dx =

∫f(φ(t))φ′(t)dt =

∫g(t)dt = G(t) + C.

Sau cùng chuyển tích phân về biến x nhờ hàm ngược t = ψ(x).

Chúng ta minh họa phương pháp đổi biến số này bằng các ví dụ sau:


1.2.3 Ví dụ. Tính J1 =

∫x2√a2 − x2dx (a > 0).

Hàm dưới dấu tích phân chỉ xác định trên [−a, a]. Đặt x = φ(t) = a sin t,

t ∈ [−π2,π

2]. Khi đó φ có hàm ngược trên [−a, a] là t = arcsin

x

a. Theo điều kiện 2)

của Định lý 1.2.1 ta có

J1 = a4∫

sin2 t| cos t| cos tdt (t ∈ [−π2,π

2])

= a4∫

sin2 t cos2 tdt =a4

8

∫(1− cos 4t)dt

=a4

8(t− sin 4t

4) + C

=a4

8arcsin

x

a− a3x

8

√1− x2

a2

√1− 2

x2

a2+ C.

b) Tính J2 =

∫dx√x2 + a2

(a > 0). Đăt x = φ(t) = a sh t, t ∈ (−∞,+∞).

Khi đó φ có hàm ngược được xác định

t = ln(x+√x2 + a2).

Ta thu được

J2 =

∫dx√x2 + a2

=

∫a ch tdt

a ch t= t+ C = ln(x+

√x2 + a2) + C.

Tương tự bằng cách đặt x = a ch t ta tính được

J2 =

∫dx√x2 − a2

(a > 0) = ln |x+√x2 − a2|+ C.

c) Tính J3 =

∫ √x2 + a2dx, (a > 0). Đặt x = a sh t ta có

J3 =

∫ √a2 sh2 t+ a2a ch tdt = a2

∫ √sh t2 + 1 ch tdt

= a2∫

ch2 tdt =a2

2

∫(ch 2t+ 1)

=a2

2

(ch 2t2

+ t)+ C

=a2

2(sh t

√sh2 t+ 1 + t) + C

=x

2

√x2 + a2 +

a2

2ln |x+

√x2 + a2|+ C.

Hoàn toàn tương tự ta tính được∫ √x2 − a2dx =

x

2

√x2 − a2 − a2

2ln |x+

√x2 + a2|+ C, (a > 0).


B. Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u(x), v(x) là các hàm khả vi trên một khoảng (a, b) nào đó. Khi đó

[u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x).

Như vậy nếu một trong hai hàm u′(x)v(x), u(x)v′(x) có nguyên hàm thì hàm kia

cũng có nguyên hàm và ta có công thức∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx.

hay viết gọn ∫udv = uv −

∫vdu. (4.4)

Công thức (4.4) được gọi là công thức tích phân từng phần.

1.2.4 Ví dụ. a) Tính I1 =

∫x arctanxdx.

Đặt u = arctan x và dv = xdx. Ta nhận được du =dx

1 + x2và v =

x2

2. Theo công

thức tích phân từng phần ta có

I1 =x2

2arctanx− 1

2

∫x2dx

1 + x2=x2

2arctanx− 1

2

(∫dx−

∫dx

1 + x2

)=

1

2(x2 arctanx− x+ arctanx) + C.

b) Tính I2 =

∫xn lnxdx (n = −1).

Đặt u = ln x và dv = xndx . Suy ra du =dx

xvà v =

xn+1

n+ 1. Ta thu được

J2 =xn+1 lnx

n+ 1− 1

n+ 1

∫xndx =

xn+1 lnx

n+ 1− xn+1

(n+ 1)2+ C.

c) Tính I =

∫eax cos bxdx và J =

∫eax sin bxdx, trong đó a, b là các hằng số

khác 0.

Đặt u = eax và dv = cos bxdx. Suy ra du = aeaxdx và v =sin bx

b. Khi đó ta có

I =1

beax sin bx− a

b

∫eax sin bxdx =

1

beax sin bxdx− a

bJ. (4.5)

Tương tự ta có

J = −1

beax sin bxdx+

a

bI. (4.6)


Từ (4.5) và (4.6) ta thu được

I =eax

a2 + b2(a cos bx+ b sin bx) + C

và

J =eax

a2 + b2(a cos bx− b sin bx) + C.

Chú ý. 1) Việc tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần phụ thuộc

rất nhiều vào cách chọn u và dv sao cho phù hợp. Nói chung trong mỗi tích phân cụ

thể có thể có nhiều cách chọn khác nhau.

2) Khi tính tích phân

∫f(x)dx trong trường hợp f(x) là tích của một đa thức

với hàm số mũ, hàm số lượng giác hoặc các hàm số ngược của chúng người ta thường

dùng phương pháp tích phân từng phần.

Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp tính tích phân bất định của một số lớp

hàm sơ cấp thường gặp. Đầu tiên ta sẽ đến với tích phân của hàm hữu tỷ.

1.3 Tích phân các hàm hữu tỷ

1.3.1 Phương pháp chung. Trong phần này chúng ta sẽ trình bày phương pháp

chung để tính tích phân bất định của hàm hữu tỷ. Hàm hữu tỷ là hàm được viết

dưới dạng thương của hai đa thức hệ số thực

f(x) =P (x

Q(x),

trong đó Q(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Về mặt lý thuyết tích phân này có thể

tính được theo các bước:

1) Phân tích f(x) thành tổng của một đa thức và các phân thức hữu tỷ đơn

giản. Phân thức hữu tỷ đơn giản là các phân thức có dạng sau

A

(x+ a)n,

Bx+ C

(x2 + px+ q)m,

trong đó x2+ px+ q bất khả quy trong R tức là tam thức bậc hai x2+ px+ q không

có nghiệm thực; A,B và C là các hằng số.

2) Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đơn giản.


1.3.2 Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đơn giản. Trước hết bằng phép

chia đa thức ta có thể viết lại

f(x) =P (x)

Q(x)= R(x) +

P1(x)

Q(x),

trong đó R(x), P1(x) là các đa thức và bậc của P1(x) bé hơn bậc của Q(x). Do tích

phân của đa thức R(x) được tính đơn giản nên việc tính tích phân của f(x) quy

về tính

∫P1(x)

Q(x)dx. Như vậy chúng ta chỉ cần xét cho trường hợp f(x) =

P (x

Q(x), với

bậc của P (x) bé hơn bậc của Q(x).

Theo định lý cơ bản trong lý thuyết đa thức đại số, đa thức Q(x) luôn phân tích

được dưới dạng sau:

Q(x) = A(x− a1)k1 ...(x− an)

kn(x2 + p1x+ q1)l1 ....(x2 + pmx+ qm)

lm ,

trong đón∑

i=1

ki + 2m∑j=1

lj = bậc của Q(x)

và x2 + pjx + qj là đa thức bậc 2 bất khả quy trong R với mọi j = 1, 2, ...,m. Khi

đó, f(x) =P (x)

Q(x)có thể phân tích được dưới dạng sau

P (x)

Q(x)=

n∑i=1

ki∑s=1

Ai,s

(x− ai)s+

m∑j=1

lj∑r=1

Bj,rx+ Ci,r

(x2 + pjx+ qj)r.

Bằng cách sử dụng phương pháp hệ số bất định (quy đồng và đồng nhất các hệ số

cùng bậc ở tử số ) ta sẽ tìm được các hệ số Ai,s , Bj,r và Cj,r trong đẳng thức trên.

Ví dụ. Xét phân thức

f(x) =P (x)

Q(x)=

−2x4 + 14x+ 6

x5 − 4x2 + 3x.

Ta có Q(x) = x5 − 4x2 + 3x = x(x− 1)2(x2 + 2x+ 3). Dó đó có thể viết

−2x4 + 14x+ 6

x5 − 4x2 + 3x=A

x+

B

x− 1+

C

(x− 1)2+

Dx+ E

x2 + 2x+ 3.

Quy đồng mẫu số và đồng nhất các hệ số cùng bậc ở tử số hai vế với nhau ta thu

được một hệ phương trình tuyến tính với các ẩn A,B,C,D và E. Giải hệ này ta có

A = 3, B = −4, C = 2, D = 0, E = 1.


1.3.3 Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đặc biệt. Trong phần này chúng

tôi trình bày cách tính các phân thức hứu tỷ đặc biệt sau:

1) Tính In =

∫dx

(x+ a)n(n ≥ 1).

Ta dễ dàng có được

∫dx

(x+ a)n=

ln |x+ a|+ C nếu n = 1

1

1− n

1

(x+ a)n−1+ C nếu n > 1.

2) Tính Jm =

∫(Bx+ C)dx

(x2 + px+ q)m(m ≥ 1).

Đầu tiên có thể viết được tích phân này dưới dạng

Jm =M

∫(2x+ p)dx

(x2 + px+ q)m+N

∫dx

(x2 + px+ q)m.

Do ∫(2x+ p)dx

(x2 + px+ q)m=

∫d(x2 + px+ q)

(x2 + px+ q)m

=

ln |x2 + px+ q|+ C nếu m = 1

1

1−m

1

(x2 + px+ q)m−1+ C nếu m > 1

nên để tính Jm ta chỉ cần tính tích phân Km =

∫dx

(x2 + px+ q)m. Vì tính bất khả

quy của x2+px+q nên nó có thể viết được dưới dạng x2+px+q = (x+b)2+c2 (c =0).

a) Nếu m = 1 thì

K1 =

∫dx

x2 + px+ q=

∫dx

(x+ b)2 + c2

=1

c

∫ d(x+ b

c

)(x+ b

c

)2+ 1

=1

carctan

(x+ b

c

)+ C.


b) Nếu m > 1 thì

Km =

∫dx

((x+ b)2 + c2)m

=1

c2

∫ (c2 + (x+ b)2 − (x+ b)2

)dx

((x+ b)2 + c2)m

=1

c2Km−1 −

1

c2

∫(x+ b)2dx

((x+ b)2 + c2)m

=1

c2Km−1 −

1

2c2

∫(x+ b)

2(x+ b)dx

((x+ b)2 + c2)m.

Đặt u = x+ b và dv =2(x+ b)dx

((x+ b)2 + c2)m. Suy ra du = dx và

v =1

(1−m)((x+ b)2 + c2)m−1.

Theo công thức tích phân từng phần ta có

Km =1

c2Km−1 −

1

2c2(1−m)

( x+ b

((x+ b)2 + c2)m−1−∫

dx((x+ b)2 + c2

)m−1

).

Ta thu được công thức quy nạp

Km =1

2c2(m− 1)

x+ b

((x+ b)2 + c2)m−1+

1

c22m− 3

2m− 2Km−1.

Vậy tích phân Km được tính hoàn toàn.

Như vậy tích phân bất định của hàm hữu tỷ hoàn toàn tính được.

1.3.4 Một số ví dụ tính tích phân các hàm hữu tỷ. Bây giờ chúng tôi giới

thiệu một số ví dụ áp dụng các phương pháp tính tích phân các hàm hữu tỷ đã

trình bày ở trên.

1) Tính tích phân

I1 =

∫2x7 + x5 − 10x4 + 6x3 − 4x2 + 17x+ 6

x5 − 4x2 + 3xdx.

Thực hiện phép chia đa thức ta có

2x7 + x5 − 10x4 + 6x3 − 4x2 + 17x+ 6

x5 − 4x2 + 3x= 2x2 + 1 +

−2x4 + 14x+ 6

x5 − 4x2 + 3x


Vì vậy theo Ví dụ ở Mục1.3.2 ta có

I =

∫2x7 + x5 − 10x4 + 6x3 − 4x2 + 17x+ 6

x5 − 4x2 + 3xdx

=

∫(2x2 + 1)dx+

∫−2x4 + 14x+ 6

x5 − 4x2 + 3xdx

=2x3

3+ x+ 2

∫dx

x− 4

∫dx

x− 1+ 3

∫dx

(x− 1)2+

∫dx

x2 + 2x+ 3

=2x3

3+ x+ 2 ln |x| − 4 ln |x− 1| − 3

x− 1+

∫d(x+ 1)

(x+ 1)2 + 2

=2x3

3+ x+ 2 ln |x| − 4 ln |x− 1| − 3

x− 1+

1√2arctan

x+ 1√2

+ C.

b) Tính tích phân

I2 =

∫3x2 + x+ 1

x4 + x.

Ta có x4 + x = x(x+ 1)(x2 − x+ 1). Viết lại hàm dưới dấu tích phân dưới dạng

3x2 + x+ 1

x4 + x=A

x+

B

x+ 1+

Cx+D

x2 − x+ 1.

Bằng phương pháp hệ số bất định ta thu được A = 1, B = −1, C = 0, D = 2. Suy

ra

I2 =

∫3x2 + x+ 1

x4 + x

=

∫dx

x−∫

dx

x+ 1+

∫dx

x2 − x+ 1

= ln |x| − ln |x+ 1|+ 2√3arctan

( 2√3(x− 1

2))+ C.

Chú ý. Trong một số trường hợp đặc biệt người ta có thể dùng phương pháp

đổi biến số thích hợp sẽ cho cách tính tích phân đơn giản hơn so với phướng pháp

hệ số bất định. Đặc biệt khi mẫu số là các đa thức bậc cao.

c) Tính tích phân

J1 =

∫dx

x10 + x.

Ta có

J1 =

∫dx

x10 + x=

∫x8dx

x9(x9 + 1)

=1

9

∫ ( 1x9

− 1

x9 + 1

)dx9

=1

9(ln |x9| − ln |x9 + 1|) + C =

1

9ln( x9

x9 + 1

)+ C.


d) Tính tích phân

J2 =

∫(x2 − 1)dx

(x2 − 3x+ 1)(x2 + 5x+ 1).

Ta có

J2 =

∫(x2 − 1)dx

(x2 − 3x+ 1)(x2 + 5x+ 1)=

∫ (1− 1

x2)dx

(x− 3 +1

x)(x+ 5 +

1

x).

Đặt u = x+1

xsuy ra du = (1− 1

x2)dx. Ta thu được

J2 =

∫du

(u− 3)(u+ 5)=

1

8

∫ ( 1

u− 3− 1

u+ 5

)du

=1

8lnu− 3

u+ 5+ C

=1

8lnx+

1

x− 3

x+1

x+ 5

+ C

=1

8lnx2 − 3x+ 1

x2 + 5x+ 1+ C.

1.4 Tích phân một số hàm vô tỷ

Trong mục này, chúng ta trình bày cách tính tích phân bất định của một số

hàm vô tỷ bằng phương pháp đổi biến số thích hợp để đưa về tích phân của hàm

hữu tỷ.

1.4.1. Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R(x, xmn , ..., x

sr ), trong đó R là hàm

số hữu tỷ nhiều biến và m,n, s, r, ... ∈ N∗

Để tính

I =

∫R(x, x

mn , ..., x

sr )dx

ta dùng phép đổi biến số t = x1k trong đó k là bội chung nhỏ nhất của n, ..., s. Khi

đó

I =

∫R(tk, tk1 , ..., tkl)ktk−1dt

là tích phân của một hàm hữu tỷ.

Ví dụ. Tính tích phân

I =

∫ √x

3√x+ 4

√xdx.


Đặt t = x112 . Suy ra x = t12 và dx = 12t11dt. Ta có

I =

∫ √x

3√x+ 4

√xdx = 11

∫t17dt

t4 + t3= 11

∫t14

t+ 1dt

= 11

∫(t13 − t12 + t11 − t10 + t9 − t8 + t7 − t6 + t5 − t4 + t3 − t2 + t− 1 +

1

t+ 1)dt

= 11(t1414

+t13

13+t12

12+t10

10+t9

9+t8

8+t7

7+t6

6+t5

5+t4

4+t3

3+t2

2+ t+ ln |t+1|

)+C

với (t = x112 ).

1.4.2. Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R

x, n

√ax+ b

cx+ d

, trong đó a, b, c, d

là các hằng số, n là số tự nhiên, ad− bc = 0 và R(u, v) là một hàm hữu tỷ

theo các biến u, v.

Để tính tích phân ∫R(x,

n

√ax+ b

cx+ d

)dx

ta thực hiện phép đổi biến số

t =n

√ax+ b

cx+ dhay tn =

ax+ b

cx+ d.

Suy ra

x =b− dtn

ctn − a.

Thực hiện phép thay biến ta nhận được một tích phân của hàm hữu tỷ.

Ví dụ. Tính

I =

∫1

(x− 1)23

√x+ 1

x− 1dx.

Đặt t = 3

√x+ 1

x− 1. Kéo theo t3 =

x+ 1

x− 1, suy ra x =

t3 + 1

t3 − 1và

dx =−6t2

(t3 − 1)2.

Ta nhận được

I =

∫1

(x− 1)23

√x+ 1

x− 1dx

=

∫t(t3 − 1)2

4

−6t2

(t3 − 1)2dt

= −3

2

∫t3dt = −3

8t4 + C

= −3

8

(3

√x+ 1

x− 1

)4+ C.


1.4.3. Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R(x,√ax2 + bx+ c), trong đó a, b, c

là các hằng số (a = 0, R(u, v)) là một hàm hữu tỷ.

Trong trường hợp này, người ta dùng phép đổi biến số còn gọi là phép đổi biến

Euler.

1) Nếu ax2 + bx+ c có hai nghiệm thực x1 và x2 thì ta dùng phép đổi biến

t =

√x− x1x− x2

nếu a > 0.

Khi đó, ta nhận được

ax2 + bx+ c = (x+b

2a)t−

√−b

2 − 4ac

anếu a < 0.

2) Nếu ax2 + bx+ c không có nghiệm thực, tức ∆ = b2 − 4ac < 0 và a > 0 (nếu

a < 0 thì ax2 + bx+ c < 0, ∀x ∈ R ) thì đặt

t =√ax2 + bx+ c+ x

√a (hoặc t =

√ax2 + bx+ c− x

√a).

Ta thu được

x =t2 − c

2t√a+ b

và√ax2 + bx+ c = t− x

√a = t− t2 − c

2t√a+ b

√a.

Sau khi thực hiện phép thay biến ta thu được tích phân hàm hữu tỷ.

Ví dụ. Tính

I =

∫dx

x+√x2 + x+ 1

.

Ta dùng phép đổi biến√x2 + x+ 1 = t− x. Suy ra

x =t2 − 1

1 + 2tvà dx =

2t2 + 2t+ 2

(1 + 2t)2dt.

Thay biến mới vào ta nhận được tích phân

I =

∫2t2 + 2t+ 2

t(1 + 2t)2dt.

Bằng phương pháp hệ số bất định ta có

I =

∫2t2 + 2t+ 2

t(1 + 2t)2dt = −3

∫dt

(1 + 2t)2− 3

∫dt

1 + 2t+ 2

∫dt

t

=3

2(1 + 2t)+

1

2ln

t4

|1 + 2t|3+ C,


trong đó t = x+√x2 + x+ 1.

1.4.4. Tích phân của vi phân nhị thức. Biểu thức xm(a + bxn)pdx, trong đó

a, b ∈ R và m,n, p ∈ Q được gọi là biểu thức vi phân nhị thức. Người ta chứng minh

được rằng chỉ có ba tích phân của biểu thức vi phân nhị thức sau đây có thể đưa

về tích phân hàm hữu tỷ bởi các phép đổi biến thích hợp. Đó là

1) Nếu p nguyên thì đặt x = tN với N là mẫu số chung của m,n .

2) Nếum+ 1

nnguyên thì đặt a+ bxn = tN với N là mẫu số của p.

3) Nếum+ 1

n+ p nguyên thì đặt ax−n + b = tN với N là mẫu số của p.

Ví dụ. Tính

I =

∫dx

4√1 + x4

.

Ta có biểu thức dưới dấu tích phân là một nhị thức vi phân với m = 0, n = 4 và

p = −1

4. Khi đó

m+ 1

n+ p = 0 (nguyên). Đặt t4 = x−4 + 1 hay t = 4

√x−4 + 1. Suy

ra

x = (t4 − 1)−14 và dx = −t3(t4 − 1)−

54dt.

Vì 4√1 + x4 = xt = t(t4 − 1)−

14 nên

I =

∫dx

4√1 + x4

=

∫−t3(t4 − 1)−

54

t(t4 − 1)−14

dt = −∫

t2

t4 − 1dt

=1

4

∫ ( 1

t+ 1− 1

t− 1

)dt− 1

2

∫dt

t2 + 1

=1

4

(ln |t+ 1| − ln |t− 1|

)− 1

2arctan t+ C,

với t = 4√x−4 + 1.

1.5 Tích phân các hàm lượng giác

1.5.1 Phương pháp chung. Trong mục này, chúng ta trình bày cách tính một

số tích phân hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số để đưa về tích phân

hàm số hữu tỷ. Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng R(sinx, cos x) trong đó R(u, v)

là một hàm số hữu tỷ đối với các biến u, v . Phương pháp chung là dùng phép đổi

biến t = tanx

2. Khi đó,

x = 2arctan t; dx =2dt

1 + t2; sin x =

2t

1 + t2; cos x =

1− t2

1 + t2.


Thực hiện phép thay biến ta sẽ thu được một tích phân hữu tỷ.

Tuy nhiên trong một số trường hợp hàm R(u, v) có những tính chất đặc biệt,

chúng ta có thể chọn được những cách đổi biến đơn giản hơn, ví dụ:

1) Nếu R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cos x) thì đổi biến số t = cos x.

2) Nếu R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cos x) thì đổi biến số t = sin x.

3) Nếu R(− sinx,− cosx) = −R(sinx, cos x) thì đổi biến số t = tan x hoặc

t = cotan x.

1.5.2 Ví dụ. Tính

I =

∫dx

1 + sin x+ cos x.

Đặt t = tanx

2. Ta thu được

I =

∫ 2dt

1 + t2

1 +2t

1 + t2+

1− t2

1 + t2

=

∫dt

t+ 1+ C = ln |1 + tan

x

2|+ C.

1.5.3 Ví dụ. Tính

I =

∫cos3 x+ cos5 x

sin2 x+ sin4 xdx.

Trong trường hợp này, nếu dùng phép đổi biến t = tanx

2thì việc tính toán khá

phức tạp. Ta có R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cos x) trong đó R(u, v) =v3 + v5

u2 + u4.

Đặt t = sin x. Ta nhận được

I =

∫cos3 x+ cos5 x

sin2 x+ sin4 xdx

=

∫(1− t2)(2− t2)

t2 + t4dt

=

∫ (1 +

2

t2− 6

1 + t2

)dt

= t− 2

t− 6 arctan t+ C = sin x− 2

sin x− 6 arctan(sinx) + C.

Chú ý. 1) Trên đây, chúng ta chỉ trình bày sơ lược một số cách tìm tích phân của

một số lớp hàm thường gặp. Muốn tìm hiểu sâu thêm vấn đề này bạn đọc có thể

tìm đọc thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.


2) Nhắc lại rằng nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) có nguyên hàm trên

đoạn đó, hay

∫f(x)dx tồn tại. Tuy nhiên không phải lúc nào nguyên hàm của hàm

liên tục cũng đều có thể biểu diễn được qua các hàm sơ cấp. Chẳng hạn người ta có

thể chứng minh được rằng nguyên hàm của các hàm sau

sinx2, cos x2, e−x2

,sin x

x, ...

không phải là một hàm sơ cấp. Có nhiều tích phân quan trọng trong các bài toán

vật lý hay kỹ thuật không thể biểu diễn qua các hàm sơ cấp chúng ta sẽ nghiên cứu

riêng về sau.

2 Tích phân xác định

Trong phần này, chúng ta trình bày tích phân Riemann của hàm một biến

trên [a, b] ∈ R hay còn gọi là tích phân xác định.

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân xác

định

2.1.1 Định nghĩa. Cho f là một hàm số bị chặn trên [a, b] và chỉ gián đoạn tại

hữu hạn điểm. Giả sử Φ là một nguyên hàm liên tục của f trên [a, b]. Tích phân xác

định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] ký hiệu là

b∫a

f(t)dt được định nghĩa là

b∫a

f(t)dt = Φ(b)− Φ(a). (4.9)

Lúc đó ta cũng nói rằng hàm f(x) khả tích trên đoạn [a,b].

2.1.2 Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta có

1)

a∫a

f(x)dx = 0, với mọi a ∈ R.

2) Nếu f khả tích trên [a, b] thì đặt

a∫b

f(x)dx = −b∫

a

f(x)dx.


2.1.3 Ví dụ. Ta có

1∫0

x(x2 + 1)dx =1

2(x2 + 1)2

∣∣∣10=

1

2(4− 1) =

3

2.

Người ta chứng minh được rằng một số lớp hàm quen thuộc như hàm liên tục,

đơn điệu,... là khả tích.

2.1.4 Định lý. Nếu hàm f liên tục trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó.

Từ các tính chất của tích phân không xác định và định nghĩa tích phân xác định

ta chứng minh được các tính chất sau:

2.1.5 Định lý. Nếu hàm f và g là hai hàm khả tích trên [a, b] và α, β là các hằng

số thì αf + βg cũng là hàm khả tích trên [a, b] và

b∫a

(αf(x) + βg(x))dx = α

b∫a

f(x)dx+ β

b∫a

g(x)dx.

2.1.6 Định lý. 1) Nếu hàm f hàm khả tích trên [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn

con của [a, b].

2) Cho f : [a, b] → R và c ∈ [a, b]. Khi đó, nếu f khả tích trên các đoạn [a, c] và

[c, b] thì f khả tích trên [a, b] và

b∫a

f(x)dx =

c∫a

f(x)dx+

b∫c

f(x)dx.

2.1.7 Định lý. Cho f : [a, b] → R là hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó,

1) Nếu f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] và a 6 b thì

b∫a

f(x)dx > 0.

2) Nếu f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] và a < b thì

b∫a

f(x)dx > 0.


2.1.8 Hệ quả. Nếu f và g là hai hàm khả tích trên [a, b] (b > a) và

f(x) 6 g(x) ∀x ∈ [a, b]

thìb∫

a

f(x)dx 6b∫

a

g(x)dx.

2.1.9 Định lý. Nếu f là hàm khả tích trên [a, b] thì |f | cũng khả tích trên [a, b] và

∣∣∣ b∫a

f(x)dx∣∣∣ 6 b∫

a

|f(x)|dx.

2.1.10 Định lý. Nếu f là hàm khả tích trên [a, b] và

M = supx∈[a,b]

f(x), m = infx∈[a,b]

f(x)

thì tồn tại m 6 µ 6M sao cho

b∫a

f(x)dx = µ(b− a).

2.1.11 Hệ quả. Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho

b∫a

f(x)dx = (b− a)f(c).

2.1.12 Hệ quả. Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì hàm số

F (x) =

x∫a

f(t)dt, x ∈ [a, b]

là nguyên hàm của hàm số f , nghĩa là

F ′(x) =( x∫

a

f(t)dt)′

= f(x), x ∈ [a, b]. (4.7)

2.2 Tính tích phân từng phần, đổi biến số

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày hai phương pháp thường dùng để tính tích

phân xác định đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần.

Về cơ bản việc áp dụng các phương pháp này được làm giống như trong tích phân

bất định. Tuy nhiên có một số lưu ý trong việc xác định cận và tính khả tích của

hàm sau khi thực hiện các phép đổi biến.


I. Phương pháp đổi biến

2.2.1 Định lý. Cho f là hàm liên tục trên [a, b]. Giả sử tồn tại hàm φ : [α, β] →[a, b] sao cho

1) φ(α) = a, φ(β) = b ; khi t biến thiên trong [α, β] thì x = φ(t) biến thiên liên

tục từ a đến b,

2) φ khả vi liên tục trên [α, β].

Khi đó, ta có công thức

b∫a

f(x)dx =

β∫α

f(φ(t))φ′(t)dt.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.

2.2.2 Ví dụ. Tính tích phân I =

a∫0

√a2 − x2dx (a > 0).

Đặt x = φ(t) = a sin t, t ∈ [0,π

2]. Khi đó φ : [0,

π

2] → [0, a] là hàm khả vi liên

tục, a = φ(π

2) và 0 = φ(0). Ta có

I =

a∫0

√a2 − x2dx =

π2∫

0

√a2 − a2 sin2 ta cos tdt

= a2

π2∫

0

| cos t| cos tdt = a2

π2∫

0

cos2 tdt

= a2

π2∫

0

1 + cos 2t

2dt =

a2

2

(t+

sin 2t

2

)∣∣∣π20=πa2

4.

2.2.3 Định lý. Cho f là hàm liên tục trên [a, b] và φ : [a, b] → [α, β] là hàm khả

vi liên tục trên [a, b]. Giả sử g là hàm liên tục trên [α, β] sao cho

f(x) = g(φ(x))φ′(x), ∀x ∈ [a, b].

Khi đó ta có công thức

b∫a

f(x)dx =

b∫a

g(φ(x))φ′(x)dx =

φ(b)∫φ(a)

g(t)dt,

trong đó t = φ(x).



khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.

2.2.4 Chú ý. Trong định lý trên điều cốt yếu là sự tồn tại hàm g liên tục trên

[α, β] (chứa tập giá trị của hàm φ). Hàm φ không cần điều kiện gì thêm ngoài điều

kiện khả vi liên tục.

2.2.5 Ví dụ. 1) Tính tích phân I =

1∫0

x7√1 + 3x4dx.

Đặt u =√1 + 3x4. Ta thu được u(0) = 1, u(1) = 2 và x4 =

u2 − 1

3. Ta có

x3dx =udu

6.

Vì vậy

I =

1∫0

x7√1 + 3x4dx =

1∫0

x4√1 + 3x4(x3dx) =

2∫1

(u2 − 1

3)u(

udu

6)

=1

18

2∫1

(u4 − u2)du =1

18(u5

5− u3

3)∣∣∣21=

29

135.

.

2) Tính tích phân J =

e∫1

lnxdx

x(1 + ln2 x)

Đặt u = ln x. Ta nhận được

J =

1∫0

udu

1 + u2=

1

2

1∫0

d(1 + u2)

1 + u2=

1

2ln(1 + u2)

∣∣∣10=

ln 2

2.

B. Phương pháp tích phân từng phần

2.2.6 Định lý. Giả sử u, v là các hàm khả vi liên tục trong [a, b]. Khi đó ta có

b∫a

u(x)v′(x)dx =(u(x)v(x)

)∣∣∣ba−

b∫a

u′(x)v(x)dx. (4.7)

Công thức (4.7) còn gọi là công thức tích phân từng phần. Việc chứng minh là

dễ dàng và dành cho bạn đọc.


2.2.7 Ví dụ. 1) Tính tích phân I =

π∫0

ex sinxdx.

Đặt u = ex và dv = sin xdx. Suy ra du = exdx và v = − cos x. Theo công thức

tích phân từng phần

I = −ex cos x∣∣∣π0+

π∫0

ex cosxdx = eπ + 1 +

π∫0

ex cosxdx.

Tương tự ta có

I = (eπ + 1) + ex sinx∣∣∣π0−

π∫0

ex sinxdx = (eπ + 1)− I.

Suy ra I =eπ + 1

2.

2) Tính J =

e∫1

sin(ln x)dx.

Đặt u = sin(ln x) và dv = dx. Ta có du =cos(lnx)

xvà v = x. Theo công thức

tích phân từng phần

J =

e∫1

sin(lnx)dx = x sin(lnx)∣∣∣e1−

e∫1

cos(lnx)dx = e sin 1−e∫

1

cos(lnx)dx.

Tiếp tục áp dụng công thức tích phân từng phần ta có

J = e sin 1−e∫

1

cos(ln x)dx = e sin 1− e cos 1 + 1−e∫

1

sin(lnx)dx

= e sin 1− e cos 1 + 1− J.

Ta thu được J =e(sin 1− cos 1) + 1

2.

3) Tính tích phân K(m,n) =

1∫0

xm(lnx)ndx (m,n ∈ N).

Để ý rằng hàm số dưới dấu tích phân không xác định tại x = 0. Tuy nhiên chúng

ta dễ dàng chứng minh được limx→0+

xm(lnx)n = 0. Xét hàm số

f(x) =

xm(lnx)n nếu x > 0

0 nếu x = 0.


Khi đó hàm số f liên tục trên [0, 1] và

K(m,n) =

1∫0

xm(lnx)ndx =

1∫0

f(x)dx.

Đăt u = (lnx)n và dv = xm+1. Suy ra du =(lnx)n−1dx

xvà v =

xm+1

m+ 1. Theo công

thức tích phân từng phần ta có

K(m,n) =xm+1

m+ 1(lnx)n

∣∣∣10− n

m+ 1

1∫0

xm(lnx)n−1dx = − n

m+ 1K(m,n− 1).

Vậy ta nhận được

K(m,n) = − n

m+ 1K(m,n− 1).

Áp dụng công thức này n lần ta có

K(m,n) =(−1)nn!

(m+ 1)nK(m, 0).

Mặt khác

K(m, 0) =

1∫0

xmdx =1

m+ 1.

Do dó

K(m,n) =(−1)nn!

(m+ 1)n+1.

3 Ứng dụng của tích phân xác định

3.1 Tính độ dài cung

3.1.1 Cung trong Rn. Một ánh xạ γ : [a, b] → Rn cho bởi

γ(t) =(γ1(t), γ2(t), ...., γn(t)

), t ∈ [a, b], (4.8)

trong đó γi : [a, b] → R, i = 1, 2, ..., n là các hàm số liên tục trên [a, b] được gọi

là một cung hay đường cong trong Rn. Khi đó, ta thường đồng nhất γ với ảnh

γ([a, b]) ⊂ Rn. Các điểm A = γ(a), B = γ(b) gọi là các điểm đầu mút của cung và

ta viết γ =

AB. Đẳng thức (4.11) còn có thể viết dưới dạng

xi = γi(t), t ∈ [a, b], i = 1, 2, ..., n,


và được gọi là biểu diễn tham số của cung γ.

Nếu γ là một đơn ánh thì ta gọi γ là cung đơn hay cung Jordan. Nếu γi, i = 1, ..., n

là các hàm khả vi liên tục thì γ là cung trơn. Nếu γ(a) = γ(b) thì γ gọi là cung kín.

3.1.2 Ví dụ. 1) Trong Rn cho các điểm A = (a1, a2, ..., an) và B = (b1, b2, ..., bn).

Ánh xạ γ : [0, 1] → Rn được xác định bởi

γ(t) =(a1t+ b1(1− t), a2t+ b2(1− t), ...., ant+ bn(1− t)

)là biểu diễn tham số của đoạn thẳng AB.

2) Ánh xạ γ : [0, 2π] → R2 cho bởi

γ(t) =(x(t), y(t)

)=(a sin t, b cos t

), x ∈ [0, 2π] (a, b > 0)

là biểu diễn tham số của Elip trong R2 có phương trìnhx2

a2+y2

b2= 1.

3) Cho f là hàm số liên tục trên [a, b]. Khi đó ánh xạ γf : [a, b] → R2 xác định

bởi

γf (x) =(x, f(x)

), x ∈ [a, b]

cho ta biểu diễn tham số một cung trong R2, là đồ thị của hàm số f .

3.1.3 Định nghĩa. Xét cung trong R2 hoặc R3.

Cho cung đơn γ := γ([a, b]) =

AB. Cho T là một phân hoạch của [a, b] với các

điểm chia

a = t0 < t1 < ... < tn = b.

A =M0

M1

M2

Mn = B

Từ đây ta phân hoạch cung γ([a, b]) =

AB bởi các điểm chia

A = γ(a) =M0, γ(t1) =M1, ..., γ(tn) =Mn = B.


Nối các điểm Mi−1 và Mi bằng một đoạn thẳng (i = 1, 2, ..., n) ta được một đường

gấp khúc ký hiệu là γ(T ). Gọi d(Mi−1,Mi) là khoảng cách giữa hai điểm Mi−1 và

Mi. Đặt

d(γ(T )) = maxi=1,...,n

d(Mi−1,Mi).

Từ tính liên tục của γ suy ra nếu đường kính của phân hoạch d(T ) → 0 thì

d(γ(T )) → 0. Nếu độ dài đường gấp khúc γ(T ) có giới hạn hữu hạn khi d(γ(T )) → 0

thì ta nói cung γ có độ dài và giới hạn đó được gọi là độ dài của cung γ, ký hiệu là

l(γ).

3.1.4 Công thức tính độ dài cung. Chúng ta lập công thức tính độ dài các

cung trơn, đơn trong R2. Xét phân hoạch T của [a, b] với các điểm chia

a = t0 < t1 < ... < tn = b.

Đặt Mi = γ(ti) =(x(ti), y(ti)

), i = 1, 2, ..., n. Theo công thức số gia giới nội

Lagrange ta có

x(ti)− x(ti−1) = x′(ξi)∆ti;

y(ti)− y(ti−1) = y′(ηi)∆ti,

trong đó ∆ti = ti − ti−1 và ξi, ηi ∈ [ti−1, ti]. Khi đó độ dài đoạn thẳng

Mi−1Mi =

√(x(ti)− x(ti−1)

)2+(y(ti)− y(ti−1)

)2=

√(x′(ξi)

)2+(y′(ηi)

)2∆ti.

Vậy độ dài đường gấp khúc γ(T ) là

l(γ(T )) =n∑

i=1

√(x′(ξi)

)2+(y′(ηi)

)2∆ti.

Đặt

σ(T, ξ) =n∑

i=1

√(x′(ξi)

)2+(y′(ξi)

)2∆ti.

Khi đó, do các hàm x(t), y(t) là khả vi liên tục trên [a, b] nên

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2khả tích trên [a, b]. Vì vậy

limd(T )→0

σ(T, ξ) =

b∫a

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2dt.


Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra

limd(T )→0

l(γ(T )) =

b∫a

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2dt.

Áp dụng bất đẳng thức∣∣∣√A2 +B2 −√A2 + C2| 6 |B − C|, ∀A,B,C ∈ R

ta nhận được

∣∣l(γ(T ))− σ(T, ξ)∣∣ 6 n∑

i=1

∣∣∣√(x′(ξi))2 + (y′(ηi))2 −√(x′(ξi))2 + (y′(ξi))2∣∣∣∆ti6

n∑i=1

|y′(ηi)− y′(ξi)|∆ti.

Vì y′(t) liên tục trên [a, b] nên nó liên tục đều trên đoạn đó. Khi đó với mọi ε > 0

tồn tại δ1 > 0 sao cho với mọi T là phân hoạch của [a, b] mà d(T ) < δ1 ta có

|y′(ηi)− y′(ξi)| <ε

2(b− a).

Suy ra

∣∣l(γ(T ))− σ(T, ξ)∣∣ 6 n∑

i=1

|y′(ηi)− y′(ξi)|∆ti <ε

2(b− a)(b− a) =

ε

2. (4.9)

Mặt khác từ

limd(T )→0

σ(T, ξ) =

b∫a

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2dt = I

và định nghĩa tích phân tồn tại δ2 > 0 sao cho với mọi phân hoạch T của [a, b] mà

d(T ) < δ2 ta có

|σ(T, ξ)− I| < ε

2. (4.10)

Đặt δ = minδ1, δ2. Từ (4.9) và (4.10) ta suy ra với mọi phân hoạch T của [a, b]

mà d(T ) < δ∣∣l(γ(T ))− I| 6∣∣l(γ(T ))− σ(T, ξ)

∣∣+ ∣∣σ(T, ξ)− I∣∣ = ε

2+ε

2= ε.

Nói cách khác

limd(T )→0

l(γ(T )) = I =

b∫a

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2dt.


Vậy độ dài cung γ là

l(γ) =

b∫a

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2dt.

Tương tự nếu γ là cung trơn, đơn trong R3 có biểu diễn tham số

γ(t) =(x(t), y(t), z(t)

), t ∈ [a, b]

thì độ dài cung được tính theo công thức

l(γ) =

b∫a

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2+(z′(t)

)2dt. (4.11)

Nếu f : [a, b] → R là một hàm khả vi liên tục. Độ dài cung phẳng γf =(x, f(x)

):

x ∈ [a, b] là

l(γf ) =

b∫a

√1 +

(f ′(x)

)2dx . (4.12)

Nếu γ là cung trơn, đơn có phương trình trong toạ độ cực là

r = r(φ), α 6 φ 6 β.

Khi đó

l(γ) =

β∫α

√r2(φ) +

(r′(φ)

)2dφ. (4.13)

3.1.5 Ví dụ. 1) Tính độ dài cung Γ có phương trình tham số

x = a(t− sin t)

y = a(1− cos t)0 6 t 6 2π, (a > 0).


Áp dụng công thức tính độ dài cung trong R2 ta có

l(Γ) =

2π∫0

√(x′(t)

)2+(y′(t)

)2dt

=

2π∫0

√a2(1 + cos2 t− 2 cos t+ sin2 t)

=

2π∫0

√2a2(1− cos t) =

2π∫0

√4a2 sin2 t

2

= 2a

2π∫0

sint

2dt = −4a cos

t

2

∣∣∣∣∣2π

0

= 8a.

2) Tính độ dài cung có phương trình y = a chx

a(a > 0) từ điểm A(0, a) đến điểm

B(b, h) (b > 0). Áp dụng công thức (4.12) ta có

l(

AB) =

b∫0

√1 +

(y′(x)

)2dx =

b∫0

√1 + sh2 x

adx

=

b∫0

chx

adx = a sh

x

a

∣∣∣∣∣b

0

= a shb

a

= a

√ch2 b

a− 1 = a

√h2

a2− 1 =

√h2 − a2.

3) Tính độ dài cung Γ cho bởi phương trình trong toạ độ cực.

r = a(1 + cosφ), 0 6 φ 6 2π.

Cung đã cho là kín, đối xứng. Áp dụng công thức (4.13) ta có

l(Γ) = 2

π∫0

√r2(φ) +

(r′(φ)

)2dφ

= 2

π∫0

√a2(1 + 2 cosφ+ cos2 φ) + a2 sin2 φdφ

= 2a

π∫0

√2(1 + cosφ)dφ = 2a

π∫0

√4a cos2

φ

2dφ

= 4a

π∫0

cosφ

2dφ = 8a sin

φ

2

∣∣∣∣∣π

0

= 8a.


3.2 Tính diện tích hình phẳng

A. Tính diện tích hình phẳng trong hệ toạ độ Đềcác

3.2.1 Khái niệm diện tích của miền trong R2. Cho D là một miền trong R2.

Gọi F∗(D) là tập hợp các đa giác nằm trong D và F∗(D) là tập hợp tất cả các đa

giác chứa D.

D

x

y

O

Ký hiệu S(P ) là diện tích của đa giác P . Khi đó

S(P ) 6 S(Q), ∀P ∈ F∗(D), ∀Q ∈ F∗(D).

Vì vậy tồn tại

S∗(D) = supS(Q) : Q ∈ F∗(D)

và

S∗(D) = infS(P ) : P ∈ F∗(D).

Nếu S∗(D) = S∗(D) thì ta nói miền D có diện tích hay đo được và giá trị

S(D) = S∗(D) = S∗(D)

gọi là diện tích của miền D.

3.2.2 Diện tích tích hình thang cong. Trong R2 với hệ trục toạ độ Descartes

vuông góc Oxy cho miền D giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0, y = f(x)

trong đó f(x) liên tục trên [a, b] và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b]. D được gọi là một hình

thang cong. Theo định nghĩa S∗(D) và S∗(D), với mọi phân hoạch T của [a, b] ta có

sf (T ) 6 S∗(D) 6 S∗(D) < Sf (T ).


trong đó sf (T ) và Sf (T ) lần lượt là các tổng Darboux trên và dưới của f đối với

phân hoạch T . Từ giả thiết f liên tục kéo theo f khả tích trên [a, b]. Do dó

limd(T )→0

(Sf (T )− sf (T )

)= 0.

Do đó hình thang cong D có diện tích là

S(D) = limd(T )→0

Sf (T ) = limd(T )→0

sf (T ) =

∫ b

a

f(x)dx.

Tương tự nếu f(x) < 0 thì diện tích hình thang cong là

S(D) = −∫ b

a

f(x)dx.

Tổng quát, diện tích hình phằngD giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0, (a < b)

và y = f(x) là

S(D) =

∫ b

a

|f(x)|dx. (4.14)

Giả sử D là một hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = f(x), y =

g(x) trong đó f và g là các hàm liên tục trên [a, b].

x

y

y = f(x)

y = g(x)

x = a x = b

Khi đó, diện tích hình phẳng D là

S(D) =

∫ b

a

|f(x)− g(x)|dx. (4.15)


3.2.3 Ví dụ. Tính diện tích hình Elipx2

a2+y2

b2= 1.

Phương trình của Elip có thể viết lại dưới dạng y = ± ba

√a2 − x2, x ∈ [−a, a].

Do tính đối xứng qua các trục toạ độ nên diện tích của nó là

S = 4

a∫0

b

a

√a2 − x2dx.

Đổi biến x = a sin t ta tính được S = 4 ba

π2∫

0

a2 cos2 tdt = πab.

B. Tính diện tích hình phẳng trong hệ toạ độ cực

3.2.4 Công thức tính. Cho miền phẳng D được giới hạn bởi các đường cong

trong toạ độ cực

φ = α; φ = β; r = r(φ), (α 6 φ 6 β).

α

β

φ

r(φ)

O x

D

Nếu r(φ) là hàm liên tục thì người ta chứng minh được

S(D) =1

2

β∫α

r2(φ)dφ. (4.16)

3.2.5 Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng D giói hạn bởi đường Cardioid trong

toạ độ cực r = a(1 + cosφ). Vì D đối xứng qua trục Ox nên ta có


S(D) = 2(12

π∫0

a2(1 + cosφ)2dφ)= a2

π∫0

(1 + cosφ)2dφ = a2π∫

0

(1 + 2 cosφ+ cos2 φ)dφ)

= a2π∫

0

(3

2+ 2 cosφ+

cos 2φ

2)dφ = a2(

3

2φ+ 2 sinφ+

sin 2φ

4)

∣∣∣∣∣π

0

=3πa2

2.

3.3 Tính thể tích của vật thể

Trong không gian R3 với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho vật

thể (hay miền) Ω được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a và

x = b, (a < b). Giả sử thiết diện của vật thể Ω và mặt phẳng x = x0 với x0 ∈ [a, b]

có diện tích là S(x0).

S(x)

O

x

a

b

y

z

Xét một phân hoạch T của [a, b] bởi các điểm chia

a = x0 < x1 < ... < xn = b.

Qua các điểm chia ta dựng các mặt phẳng x = xi, i = 1, 2, ..., n. Khi đó, các mặt

phẳng chia Ω thành n phần. Trên mỗi đoạn ∆i = [xi−1, xi] lấy điểm ξi tuỳ ý. Khi đó

S(ξi)∆xi i = 1, 2, ..., n là thể tích các hình trụ với đáy có diện tích S(ξi) và chiều


cao ∆xi. Ta có

σ(T, ξ) =n∑

i=1

S(ξi)∆xi

là giá trị xấp xỉ của thể tích Ω. Nếu T càng mịn thì việc xấp xỉ càng tốt. Ta có định

nghĩa sau

3.3.1 Định nghĩa. Nếu σ(T, ξ) có giới hạn hữu hạn khi d(T ) → 0 (không phụ

thuộc vào phân hoạch T và cách chọn bộ điểm ξ) thì ta nói Ω là miền có thể tích

(hay đo được) và gọi giới hạn đó là thể tích của Ω, ký hiệu V (Ω).

V (Ω) =

b∫a

S(x)dx. (4.17)

trong đó S(t) là diện tích của thiết diện của Ω cắt bởi mặt phẳng x = t.

Như vậy nếu S(x) khả tích trên [a, b] thì miền Ω có thể tích và

V (Ω) =

b∫a

S(x)dx.

3.3.2 Ví dụ. Tính thể tích của elipsoidx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

Cắt elipsoid bởi mặt phẳng x = x0, x0 ∈ [−a, a]. Khi đó thiết diện của elipsoid

với mặt cắt này là elip có phương trìnhy2(

b

√1− x2

0

a2

)2 +z2(

c

√1− x2

0

a2

)2 = 1.


z

x

y

O

Theo Ví dụ 3.2.3, diện tích của thiết diện là

S(x0) = πbc(1− x20

a2

).

Vậy thể tích của elipsoid là

V =

a∫−a

S(x)dx = πbc

a∫−a

(1− x2

a2

)dx =

4

3πabc.

3.4 Thể tích của vật thể tròn xoay

3.4.1 Công thức tính. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x =

b, y = f(x), (a < b) trong đó f là hàm liên tục trên [a, b] và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b].


xa b

y

z

x

AB

O

Khi quay hình thang cong này quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay

Ω. Dễ thấy thiết diện của vật thể này cắt bởi mặt phẳng x = x0, x0 ∈ [a, b] là hình

tròn có bán kính là f(x0). Do đó diện tích của thiết diện là

S(x0) = π(f(x0)

)2.

Vì vậy thể tích của vật thể tròn xoay Ω là

V (Ω) = π

b∫a

f 2(x)dx. (4.18)

3.4.2 Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng

được giới hạn bởi các đường y = 2x− x2 và y = 0.

Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 0 và x = 2. Thể tích khối tròn xoay là

V = π

2∫0

(2x− x2)dx = π

2∫0

(4x2 − 4x3 + x4)dx =4x3

3− x4 +

x5

5

∣∣∣∣∣2

0

=16π

15.

3.5 Tính diện tích xung quanh của mặt tròn xoay

3.5.1 Công thức tính. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x =

b, y = f(x) (a < b) trong đó f là hàm khả vi liên tục trên [a, b] và f(x) > 0, ∀x ∈[a, b]. Quay hình thang quanh trục Ox ta nhận được vật thể tròn xoay Ω. Chúng ta

sẽ đưa ra khái niệm và thành lập công thức tính diện tích xung quanh của vật thể

này.


O xixi−1

Ai

Ai−1

Xét phân hoạch T của [a, b] bởi các điểm chia

a = x0 < x1 < ... < xn = b.

Khi đó đường cong y = f(x), (x ∈ [a, b]) được chia thành n cung nhỏ bởi các điểm

(a, f(a)) =M0,M1 = (x1, f(x1)), ...,Mn = (b, f(b)).

Khi quay các đoạn thẳng Mi−1Mi quanh trục Ox sẽ tạo thành các hình nón cụt có

diện tích xung quanh là

Si = πli(f(xi−1) + f(xi)

)trong đó f(xi−1), f(xi) lần lượt là các bán kính của mặt cắt và li là độ dài của đoạn

thẳng Mi−1Mi. Áp dụng định lý số gia giới nội Lagrange ta có

li =

√(xi − xi−1)2 +

(f(xi)− f(xi−1

)2=

√(xi − xi−1)2 +

(f ′(ξi)

)2(xi − xi−1)2

=

√1 +

(f ′(ξi)

)2∆xi.

Khi đó

Pn =n∑

i=1

π

√1 +

(f ′(ξi)

)2∆xi

(f(xi−1) + f(xi)

)là một giá trị xấp xỉ của diện tích xung quanh của vật thể Ω. Nếu Pn có giới hạn

hữu hạn khi d(T ) → 0 thì giới hạn đó được gọi là diện tích xung quanh của Ω.

Vì f có đạo hàm liên tục nên tồn tại tích phân

b∫a

2πf(x)

√1 +

(f ′(x)

)2dx = I.


Tương tự như trong phần 3.1.4 về thiết lập công thức tính độ dài cung ta chứng

minh được

limd(T )→0

Pn =

b∫a

2πf(x)

√1 +

(f ′(x)

)2dx.

Vậy diện tích xung quanh của vật thể Ω là

Sxq(Ω) = 2π

b∫a

f(x)

√1 +

(f ′(x)

)2dx. (4.19)

3.5.2 Ví dụ. Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay Ω khi quay hình

thang cong giới hạn bởi các đường y = 0, y = ex, x = 0, x = 1 quanh trục Ox.

Ta có

Sxq(Ω) =

1∫0

2πex√1 + e2xdx = 2π

e∫1

√1 + u2du (với u = ex)

= 2π

(u

2

√1 + u2 +

1

2ln∣∣u+√

1 + u2∣∣)∣∣∣∣∣

e

1

= π

(e√1 + e2 −

√2 + ln

e+√1 + e2

1 +√2

).

3.6 Một số ứng dụng vật lý

A. Tính công một lực biến thiên trên đường thẳng

3.6.1 Công thức tính. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho một chất

điểm có khối lượng m = 1 chuyển động từ x = a tới x = b trên trục Ox dưới tác

dụng của một lực−→F có cường độ biến thiên theo hàm F (x). Tính công của lực

−→F

sinh ra khi lực làm chất điểm chuyển động từ x = a đến x = b?

Giả sử T là phân hoạch của [a, b] bởi các điểm chia

a = x0 < x1 < ... < xn = b.

Trên mỗi đoạn con ∆i lấy điểm ξi tuỳ ý. Nếu d(T ) bé thì có thể xem trên mỗi ∆i

cường độ lực là không đổi và bằng F (ξi), i = 1, 2, ..., n. Khi đó, trên mỗi đoạn ∆i

công có thể tính gần đúng bằng

αi = F (ξi)∆i.


Khi đó, tổng

An =n∑

i=1

F (ξi)∆i

là giá trị xấp xỉ công cần tính. Nếu khi d(T ) → 0 thì An dần đến giá trị hữu hạn,

giới hạn đó là công cần tính A. Đặc biệt nếu F khả tích thì

A =

b∫a

F (x)dx.

3.6.2 Ví dụ. Lực đẩy của hai điện tích e1 và e2 cùng dấu đặt cách nhau một

khoảng r được cho bởi công thức

F =e1e2r2

.

Giả sử e1 được đặt tại điểm gốc có hoành độ x = 0. Hãy tính công sinh ra khi điện

tích e2 được đẩy trên đường thẳng Ox từ điểm có hoành độ x = r1 đến điểm có

hoành độ x = r2.

Ta có công của lực đẩy là

A =

∫ r2

r1

e1e2r2

dr =e1e2(r2 − r1)

r1r2.

B. Tính khối lượng, mômen, trọng tâm của một đoạn vật

chất

3.6.3 Công thức tính. Giả sử có một đoạn vật chất [a, b] nằm trên trục Ox và

tại mỗi điểm x ∈ [a, b] đoạn vật chất này có mật độ khối lượng là ρ(x). Bằng lý luận

tương tự như các mục trên ta chứng minh được các công thức

a) Khối lượng của đoạn vật chất

m =

∫ b

a

ρ(x)dx.

b) Mômen khối lượng của đoạn vật chất [a, b] đối với điểm x = a

Mx=a =

∫ b

a

xρ(x)dx.


c) Trọng tâm của đoạn vật chất

xG =

∫ b

a

xρ(x)dx∫ b

a

ρ(x)dx

.

3.6.4 Ví dụ. Trên trục toạ độ Ox cho đoạn vật chất OA có mật độ khối lượng

phân bố theo phương trình của hoành độ

ρ(x) = x2.

Giả sử A có hoành độ x = a. Tìm khối lượng, trọng tâm của đoạn vật chất OA.

Khối lượng của đoạn vật chất là m =

∫ a

0

x2dx =a3

3.

Mômen khối lượng của đoạn vật chất đối với điểm O là Mx=0 =

∫ a

0

x3dx =a4

4.

Hoành độ trọng tâm của đoạn vật chất là xG =

∫ a

0

x3dx∫ a

0

x2dx

=

a4

4

a3

3

=3a

4.

4 Tích phân suy rộng

Trong phần trước chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định của một hàm

số. Khi đó, hàm dưới dấu tích phân là hàm bị chặn và tập lấy tích phân [a, b] là

tập bị chặn. Trong lý thuyết và ứng dụng việc mở rộng tập lấy tích phân lên miền

không bị chặn; cũng như hàm dưới dấu tích phân không bị chặn là rất cần thiết.

Trong phần này chúng ta nghiên cứu hai hướng mở rộng này và thu được hai loại

tích phân suy rộng.

4.1 Tích phân suy rộng loại I

Cho a ∈ R và f : [a,+∞) → R là một hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b], (b > a).

Khi đó đẳng thức

F (b) =

∫ b

a

f(x)dx, b > a (4.20)

xác định một hàm F : [a,+∞) → R. Ta có định nghĩa sau


4.1.1 Định nghĩa. Nếu hàm F trong (4.20) có giới hạn I (hữu hạn hoặc vô hạn)

khi b → +∞ thì I được gọi là tích phân suy rộng của hàm f trên [a,+∞) và ký

hiệu ∫ +∞

a

f(x)dx (4.21)

Như vậy ta có thể viết∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx. (4.22)

Ta còn gọi

+∞∫a

f(x)dx là tích phân suy rộng loại I.

Trong định nghĩa trên nếu I là hữu hạn thì ta nói rằng tích phân

+∞∫a

f(x)dx hội

tụ về I và viết ∫ +∞

a

f(x)dx = I.

Ngược lại, nếu I vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân

+∞∫a

f(x)dx phân kỳ.

Tương tự như trên ta có định nghĩa sau:

4.1.2 Định nghĩa. Cho f : (−∞, a] → R là hàm khả tích trên mọi đoạn [b, a], (b 6a). Tích phân suy rộng của hàm f trên (−∞, a] là giới hạn (nếu có)∫ a

−∞f(x)dx := lim

b→−∞

∫ a

b

f(x)dx. (4.23)

4.1.3 Định nghĩa. Cho f : (−∞,+∞) → R là hàm khả tích trên mọi đoạn

[a, b], (a 6 b). Tích phân suy rộng của hàm f trên (−∞,+∞) được xác dịnh bởi∫ +∞

−∞f(x)dx :=

∫ a

−∞f(x)dx+

∫ +∞

a

f(x)dx. (4.24)

trong đó a ∈ R và tổng trong vế phải là có nghĩa.

Ta có thể chứng minh được sự xác định của

+∞∫−∞

f(x)dx không phụ thuộc vào

a ∈ R.

4.1.4 Ví dụ. 1) Tính tích phân

+∞∫−∞

dx

1 + x2.


Ta có+∞∫0

dx

1 + x2= lim

b→+∞

b∫0

dx

1 + x2= lim

b→+∞

(arctanx

∣∣∣∣∣b

0

)= lim

b→+∞arctan b =

π

2

và0∫

−∞

dx

1 + x2= lim

b→−∞

0∫b

dx

1 + x2= lim

b→−∞

(arctanx

∣∣∣∣∣0

b

)= − lim

b→−∞arctan b =

π

2.

Ta thu được+∞∫

−∞

dx

1 + x2=

0∫−∞

dx

1 + x2+

+∞∫0

dx

1 + x2= π.

2) Tính tích phân

+∞∫0

xe−x2

dx. Ta có

+∞∫0

xe−x2

dx = −1

2lim

b→+∞

∫ b

0

e−x2

d(−x2)

= −1

2lim

b→+∞

(e−x2

∣∣∣∣∣b

0

)= −1

2lim

b→+∞(1− e−b2) = −1

2.

Ví dụ sau đây là một kết quả thường được sử dụng trong khảo sát sự hội tụ của

tích phân suy rộng loại I.

4.1.5 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân

+∞∫a

dx

xαtrong đó a > 0 và α ∈ R.

Ta có với b > a > 0 hàm f(x) =1

xα= x−α liên tục trên [a, b]. Do đó

b∫a

dx

xαlà

tồn tại và

b∫a

dx

xα=

ln b− ln a nếu α = 1

1

1− α

(b1−α − a1−α

)nếu α = 1.

Cho b→ +∞ ta thu được

+∞∫a

dx

xα=

+∞ nếu α 6 1

a1−α

α− 1nếu α > 1.


Vậy tích phân hội tụ khi và chỉ khi α > 1.

Từ định nghĩa tích phân suy rộng loại I và các tính chất của giới hạn hàm số

chúng ta dễ dàng có các tính chất sau (việc chứng minh dành cho bạn đọc).

4.1.6 Định lý. Điều kiện cần và đủ để

+∞∫a

f(x)dx hội tụ là với mọi ε > 0 tồn tại

b0 > a sao cho∣∣∣ ∫ b

a

f(x)dx−∫ b′

a

f(x)dx∣∣∣ = ∣∣∣ ∫ b′

b

f(x)dx∣∣∣ < ε, ∀ b, b′ > b0.

4.1.7 Định lý. 1)

+∞∫a

f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi

+∞∫A

f(x)dx hội tụ với mọi A > a

và

∫ +∞

a

f(x)dx =

∫ A

a

f(x)dx+

+∞∫A

f(x)dx.

2) Nếu

+∞∫a

f(x)dx hội tụ thì limA→+∞

+∞∫A

f(x)dx = 0.

4.1.8 Định lý. Giả sử

+∞∫a

f(x)dx và

+∞∫a

g(x)dx hội tụ. Khi đó,

+∞∫a

(αf(x) +

βg(x))dx hội tụ với mọi α, β ∈ R và

+∞∫a

(αf(x) + βg(x)

)dx = α

+∞∫a

f(x)dx+ β

+∞∫a

g(x)dx.

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu về tích phân suy rộng của hàm

không âm. Đối với hàm không âm ta sẽ có nhiều dấu hiệu tốt cho việc khảo sát sự

hội tụ của nó.

4.1.9 Định lý. Cho hàm f : [a,∞) → R, f(x) > 0 với mọi x > a và f khả tích

trên mọi [a, b], (a < b). Khi đó,

+∞∫a

f(x)dx hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại K > 0 sao

chob∫

a

f(x)dx 6 K, ∀ b > a.



khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.

Định lý sau còn gọi là dấu hiệu so sánh.

4.1.10 Định lý. Cho các hàm f, g : [a,∞) → R, 0 6 f(x) 6 g(x), ∀x > a và f, g

khả tích trên mọi [a, b], (a < b). Khi đó,

1) Nếu

+∞∫a

g(x)dx hội tụ thì

+∞∫a

f(x)dx hội tụ.

2) Nếu

+∞∫a

f(x)dx phân kỳ thì

+∞∫a

g(x)dx phân kỳ.

Chứng minh của định lý này suy trực tiếp từ Định lý 4.1.9.

Từ Định lý 4.1.7 và Định lý 4.1.10 ta có hệ quả sau. Chứng minh của nó dành

cho bạn đọc.

4.1.11 Hệ quả. Cho f, g : [a,∞) → R là hai hàm không âm trên [a,+∞) và f, g

khả tích trên mọi [a, b], (a < b). Giả sử limx→+∞

f(x)

g(x)= A, (0 6 A 6 +∞). Khi đó

1) Nếu 0 6 A < +∞ và

+∞∫a


+∞∫a

f(x)dx hội tụ.

2) Nếu 0 < A 6 +∞ và

+∞∫a


+∞∫a

g(x)dx phân kỳ.

3) Nếu 0 < A < +∞ thì

+∞∫a

f(x)dx hội tụ (phân kỳ) khi và chỉ khi

+∞∫a

g(x)dx

hội tụ (tương ứng phân kỳ).

4.1.12 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân

+∞∫0

ln(1 + x)

1 + x5dx.

Viết lại tích phân dưới dạng

+∞∫0

ln(1 + x)

1 + x5dx =

1∫0

ln(1 + x)

1 + x5dx+

+∞∫1

ln(1 + x)

1 + x5dx.

Ta chứng minh+∞∫1

ln(1 + x)

1 + x5dx


hội tụ. Thật vậy, ta có

0 <ln(1 + x)

1 + x5<

x

1 + x56 x

2x52

=1

2x32

, ∀x > 1.

Từ tích phân

+∞∫1

dx

x32

hội tụ suy ra

+∞∫1

ln(1 + x)

1 + x5dx hội tụ. Vậy

+∞∫0

ln(1 + x)

1 + x5dx hội

tụ.

Trong phần còn lại của mục này ta sẽ nghiên cứu tích phân suy rông loại I của

hàm với dấu tùy ý.

4.1.13 Định nghĩa. Cho tích phân

+∞∫a

f(x)dx. Tích phân này được gọi là hội tụ

tuyệt đối nếu tích phân

+∞∫a

|f(x)|dx hội tụ.

4.1.14 Định lý. Nếu tích phân

+∞∫a

f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.

4.1.15 Nhận xét. Chiều ngược lại trong định lý trên không đúng. Xét tích phân+∞∫1

sinx

xdx. Theo phương pháp tích phân từng phần ta có

b∫1

sinx

xdx = −cosx

x

∣∣∣∣∣b

1

+

∫ b

1

cosx

x2dx = 1− cosb

b+

∫ b

1

cosx

x2dx.

Mặt khác ∣∣∣cos xx2

∣∣∣ 6 1

x2∀x > 1

suy ra

∫ +∞

1

cosx

x2dx hội tụ, nghĩa là

limb→+∞

∫ b

1

cos x

x2=

∫ +∞

1

cos x

x2dx.

Từ limb→+∞

cos b

b= 0 ta thu được

+∞∫1

sin x

xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

sinx

x= 1 +

∫ +∞

1

cos x

x2dx.


Tức là

+∞∫1

sinx

xdx hội tụ.

Giả sử

+∞∫a

sinx

xdx hội tụ tuyệt đối. Khi đó, bất đẳng thức

sin2 x

x6∣∣∣sinxx

∣∣∣ ∀x > 1

kéo theo tích phân

+∞∫1

sin2 x

xdx hội tụ. Viết lại tích phân

+∞∫1

sin2 x

xdx dưới dạng

+∞∫1

sin2 x

xdx =

+∞∫1

1

2xdx−

+∞∫1

cos 2x

2xdx.

Tương tự như trên ta chứng minh được

+∞∫1

cos 2x

2xdx hội tụ. Suy ra

+∞∫1

1

2xdx hội

tụ. Ta nhận được điều vô lý. Vậy

+∞∫a

sinx

xx hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.

Sau đây, chúng ta trình bày một vài dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của tích phân

suy rộng loại I của hàm có dấu tuỳ ý. Đầu tiên là dấu hiệu Abel.

4.1.16 Định lý. Cho các hàm f, g : [a,+∞) → R. Nếu

1)

+∞∫a

f(x)dx hội tụ,

2) Hàm g đơn điệu và bị chặn trên [a,+∞),

thì

+∞∫a

f(x)g(x)dx hội tụ.

Tiếp theo là dấu hiệu Dirichlet.

4.1.17 Định lý. Cho các hàm f, g : [a,+∞) → R. Giả sử

1) f khả tích trên [a, b] và∣∣∣ b∫a

f(x)dx∣∣∣ 6 K với mọi b > a;

2) Hàm g đơn điệu và limx→+∞

g(x) = 0.

Khi đó,

+∞∫a

f(x)g(x)dx hội tụ.


Chúng ta bỏ qua chứng minh các định lý này. Nếu bạn đọc quan tâm các chứng

minh có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4. .

4.1.18 Ví dụ. Với α > 0 các tích phân

+∞∫1

sin x

xαdx và

+∞∫1

cosx

xαdx hội tụ theo dấu

hiệu Dirichlet.

4.2 Tích phân suy rộng loại II

Trong mục này ta xét tích phân

b∫a

f(x)dx trong đó f là hàm không bị chặn trên

[a, b]. Tích phân này còn được gọi là tích phân suy rộng loại II.

4.2.1 Định nghĩa. Cho c ∈ [a, b] và hàm số f xác định trên [a, b] trừ tại điểm

x = c. Nếu tồn tại một lân cận U của điểm c trong [a, b] sao cho f không bị chặn

trên U \ c thì ta gọi c là điểm kì dị của f .

4.2.2 Ví dụ. Điểm x = 0 là điểm kỳ dị của hàm f(x) =1

xtrên [0, 1]. Điểm x = 1

là điểm kỳ dị của hàm f(x) =1

lnxtrên [1,+∞).

4.2.3 Định nghĩa. Cho f : [a, b) → R và b là điểm kì dị của f . Giả sử f khả tích

trên mọi đoạn [a, b− ε] với 0 < ε < b− a. Nếu tồn tại giới hạn limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx, thì

ta gọi I là tích phân suy rộng loại II của f trên [a, b] và ký hiệu là

b∫a

f(x)dx. Như

vậyb∫

a

f(x)dx := limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx. (4.25)

Tương tự nếu f : (a, b] → R, a là điểm kì dị của f và f khả tích trên mọi đoạn

[a+ ε, b] với 0 < ε < b− a thì ta định nghĩa

b∫a

f(x)dx := limε→0

∫ b

a+ε

f(x)dx. (4.26)

Nếu c ∈ (a, b) là điểm kì dị của hàm f trên [a, b] thì ta định nghĩa

b∫a

f(x)dx :=

c∫a

f(x)dx+

b∫c

f(x)dx,


trong đó các tích phân

c∫a

f(x)dx và

b∫c

f(x)dx được xác định như trên và tổng ở vế

phải là hữu hạn.

Nếu các giới hạn trong (4.28), (4.29) tồn tại và hữu hạn thì ta nói các tích phân

tương ứng hội tụ. Nếu ngược lại thì các tích phân tương ứng được gọi là phân kỳ.


1∫0

dx√1− x2

.

Đây là một tích phân suy rộng của hàm f(x) =1√

1− x2với điểm kì dị là x = 1.

Từ định nghĩa ta có

1∫0

dx√1− x2

= limϵ→0

1−ε∫0

dx√1− x2

= limε→0

(arcsinx

∣∣∣∣∣1−ε

0

)= lim

ε→0arcsin(1− ε) =

π

2.


b∫a

dx

(x− a)α, (a < b, α ∈ R).

Đây là một tích phân suy rộng của hàm f(x) =dx

(x− a)αvới điểm kì dị là x = a.

Ta cób∫

a+ε

dx

(x− a)α=

ln(b− a)− ln ε nếu α = 1.1

1− α

((b− a)1−α − ε1−α

)nếu α = 1.

Suy ra

limε→0

b∫a+ε

dx

(x− a)α=

+∞ nếu α > 1.1

1− α(b− a)1−α nếu α < 1.

Vì vậy

b∫a

dx

(x− a)αhội tụ nếu α < 1 và phân kỳ nếu α > 1.

4.2.6 Nhận xét. 1) Bằng phép đổi biến x = b + a − u thì điểm kì dị a của f(x)

được đưa về điểm kì dị b của hàm g(u) = f(b+ a−u) trên [a, b]. Như vậy ta chỉ cần

khảo sát tích phân suy rộng có dạng

b∫a

f(x)dx với b là điểm kì dị.

2) Bằng phép đổi biến x = b− 1

ythì tích phân

b−ε∫a

f(x)dx =

1ε∫

1b−a

f(b− 1

y)dy

y2=

1ε∫

1b−a

g(y)dy.


Vì vậy tích phân suy rộng loại II có dạng

b∫a

f(x)dx có thể đưa về tích phân suy

rộng loại I có dạng∞∫1

b−a

g(y)dy.

Như vậy các tính chất của tích phân suy rộng loại II có thể suy ra từ các tính chất

của tích phân suy rộng loại I.

Trong mục này, chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của tích phân suy

rộng loại II, bỏ qua các chứng minh. Như nhận xét trong mục trước, ta có thể nhận

được các tính chất này từ các tính chất của tích phân suy rộng loại I. Trong cả mục

này, chúng ta xét tích phân

b∫a

f(x)dx với b là điểm kì dị. Tuy nhiên các kết quả này

vẫn còn đúng cho trường hợp a là điểm kì dị.

4.2.7 Định lý. Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng

b∫a

f(x)dx hội tụ là với

mọi ε > 0 tồn tại δ0 > 0 sao cho∣∣∣ ∫ b−δ′

b−δ

f(x)dx∣∣∣ < ε với mọi δ, δ : 0 < δ, δ′ < δ0.

4.2.8 Định lý. Cho f : [a, b) → R và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b). Điều kiện cần và đủ

để tích phân suy rộng

b∫a

f(x)dx hội tụ là tồn tại K > 0 sao cho

∣∣∣ ∫ b−ε

a

f(x)dx∣∣∣ < K với mọi ε ∈ (0, b− a).

4.2.9 Định lý. Cho f, g : [a, b) → R là các hàm số không âm, f(x) 6 g(x) ∀x ∈[a, b) và b là điểm kì dị của chúng. Khi đó,

1) Nếu

b∫a


b∫a

f(x)dx hội tụ.

2) Nếu

b∫a


b∫a

g(x)dx phân kỳ.


4.2.10 Hệ quả. Giả sử f ,g xác định như trong định lý trên và limx→b−

f(x)

g(x)= K (0 6

K 6 +∞). Khi đó

1) Nếu 0 6 K < +∞ và

b∫a


b∫a

f(x)dx hội tụ.

2) Nếu 0 < K 6 +∞ và

b∫a

g(x)dx phân kỳ thì

b∫a

f(x)dx phân kỳ.

3) Nếu 0 < K < +∞ thì

b∫a

f(x)dx,

b∫a

g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

4.2.11 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

1∫0

dx

sinα x.

Ta có f(x) =1

sinα x> 0 với mọi x ∈ (0, 1]. Xét hàm g(x) =

1

xα> 0 với mọi

x ∈ (0, 1]. Ta có

limx→0+

f(x)

g(x)= lim

x→0+

xα

sinα x= 1

và

1∫0

dx

xαhội tụ khi và chỉ khi α < 1. Do đó

1∫0

dx

sinα xhội tụ khi và chỉ khi α < 1.

4.2.12 Định nghĩa. Cho f : [a, b) :→ R và b là điểm kì dị của f . Tích phân suy

rộng

b∫a

f(x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

b∫a

|f(x)|dx hội tụ.

Rõ ràng nếu tích phân hội tụ

b∫a

f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ. Điều

ngược lại là không đúng.

4.2.13 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân

1∫0

sin 3xdx√x− 1

.

Ta có ∣∣∣ sin 3x√x− 1

∣∣∣ 6 1√x− 1

, ∀x ∈ [0, 1).

Do tích phân

1∫0

dx√x− 1

hội tụ, nên

1∫0

∣∣∣ sin 3x√x− 1

∣∣∣dx hội tụ, hay

1∫0

sin 3xdx√x− 1

hội tụ

tuyệt đối. Suy ra

1∫0

sin 3xdx√x− 1

hội tụ.




1) Các khái niệm nguyên hàm, tích phân không xác định, phương pháp tính

nguyên hàm của các lớp hàm hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác.

2) Khái niệm tích phân xác định, các tính chất của tích phân xác định. Mối liên

hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định. Các phương pháp tính tích phân xác

định.

2) Các ứng dụng của tích phân xác định trong việc tính độ dài cung, diện tích,

thể tích,...; trong vật lý và kỹ thuật .

3) Các khái niệm cơ bản của tích phân suy rộng và xét sự hội tụ của tích phân

suy rộng.

Bài tập của chương 4

Bài 1. Chọn phép biến đổi thích hợp tính các tích phân sau:

1)

∫x2 3√1− xdx.

2)

∫x2√1− x

dx.

3)

∫dx

ex2 + ex

.

4)

∫dx√1 + ex

.

5)

∫x2dx√x2 − 2

.

Bài 2. Dùng phuơng pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau

1)

∫x3e−x2

dx.

2)

∫x2 sin 2xdx.

3)

∫x arctanxdx.

4)

∫x arcsinxdx.


5)

∫x3e−x2

dx.

6)

∫x2 sin 2xdx.

7) a)

∫eax sin bxdx, b)

∫eax cos bxdx.

8)

∫ √x2 − a2dx

Bài 3. Tính các tích phân sau

1)

∫xdx

(x+ 1)(x+ 2).

2)

∫ 1

x(x2 + x+ 1)dx.

3)

∫ x+ 1

x2 + 2x+ 5dx.

4)

∫x2 + 1

(x+ 1)(x+ 2)2dx.

5)

∫dx

x4 − 1.

6)

∫ x+ 1

x3 − 1dx.


1)

∫sin 5x. cosxdx.

2)

∫cos4 x

sin3 xdx.

3)

∫sin3 x

cos4 xdx.

4)

∫dx

sin x sin 2x.

5)

∫dx

4 sin x+ 3 cos x+ 5

Bài 5. Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−a, a]. Chứng minh

rằng

1)

a∫−a

f(x)dx = 2

a∫0

f(x)dx, nếu f(x) là hàm chẵn.


2)

a∫−a

f(x)dx = 0, nếu f(x) là hàm lẻ.

Bài 6. Tính các tích phân sau:

1)

1∫0

x15√1 + 3x8dx; 2)

e∫1

e

| lnx|dx.

3)

∫ 12

− 12

dx√1− x2

; 4)

2∫0

ex.|x− 1|dx.

5)

1∫0

x. lnxdx; 6)

1∫−1

xdx

x2 + x+ 1.

Bài 7. Tính độ dài cung của các đuờng sau:

1) y2 = 2px, với (0 6 x 6 a), p > 0.

2) x =1

4y2 − 1

2ln y, với (1 6 y 6 e).

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đuờng cho trong hệ tọa độ

Descartes:

1) y = x2 + 1, x+ y − 3 = 0.

2) y = 0, y = (x+ 1)2, x+ y − 4 = 0.

3) y2 = 2x+ 1, x− y − 1 = 0.

4) y = |x2 − 4x+ 3|, y = x+ 3.

Bài 9. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D được giới hạn

bởi các đồ thị hàm số

1) y = 0, y = x3 và x = 2 quanh trục Ox.

2) y = −x2 + 5 và y = 0 quanh trục Ox.

3) x = 0, y =x

2và y = 4 xung quanh trục Oy.


1)

+∞∫e

dx

x ln2 x; 2)

+∞∫1

e−1xdx

x2;


3)

1∫0

lnxdx; 4)

2∫1

(x− 2)dx√x− 1

.









ĐH Sư phạm.





CHƯƠNG 5

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

V.1. GIỚI THIỆU

Trong chương này chúng tôi trình bày những kết quả cơ bản của lý thuyết chuỗi

số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi lượng giác, mà chúng có nhiều ứng dụng trong

ngành toán học khác và các ngành kỹ thuật, kinh tế,...

V.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi số;

chuỗi hàm và miền hội tụ, chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier.

V.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Trình bày được định nghĩa và các tính chất cơ bản của chuỗi số hội tụ.

2. Tính được tổng của một số chuỗi số đặc biệt.

3. Sử dụng được dấu hiệu hội tụ để xét sự hội tụ của chuỗi số dương.

4. Sử dụng được dấu hiệu Lepnit để xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu. Khảo

sát được sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số.

5. Trình bày được các khái niệm về miền hội tụ của chuỗi hàm, tổng của chuỗi

hàm.

6. Tìm được miền hội tụ của chuỗi hàm.

7. Tìm được bán kính hội tụ, miền hội tụ và tính được tổng của chuỗi lũy

thừa. Viết được khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa.

8. Trình bày được các khái niệm hệ số Fourier, chuỗi Fourier. Viết được khai

triển thành chuỗi Fourier của các hàm chẵn, lẻ, tuần hoàn và không tuần hoàn.

V.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

144


Trong chương này chúng ta trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản về

chuỗi số và chuỗi hàm số thực.

1 Chuỗi số

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa. Cho dãy số thực an∞n=1. Ta gọi tổng hình thức

a1 + a2 + · · ·+ an + · · · (5.1)

là một chuỗi số và ký hiệu là∞∑n=1

an, an được gọi là số hạng thứ n của chuỗi số (5.1).

Với mỗi n = 1, 2, ... đặt

Sn = a1 + a2 + ...+ an =n∑

i=1

ai

và gọi Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi số (5.1). Dãy Sn được gọi là dãy tổng riêng

của chuỗi (5.1).

Nếu tồn tại limn→∞

Sn = S hữu hạn thì chuỗi (5.1) được gọi là hội tụ và có tổng

bằng S. Khi đó ta ký hiệu∞∑n=1

an = S.

Nếu chuỗi không hội tụ thì nó được gọi là phân kỳ. Trong trường hợp limn→∞

Sn =

±∞ thì ta viết là∞∑n=1

an = ±∞.

Như vậy, chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó hội tụ trong R, và∞∑n=1

an = S khi và chỉ khi limn→∞

Sn = S. Hơn nữa, nếu chuỗi (5.1) có tổng bằng S thì

với mỗi n = 1, 2, ... chuỗi∞∑i=n

ai cũng hội tụ và có tổng bằng S − Sn−1.

1.1.2 Định nghĩa. Với mỗi n = 1, 2, ... ta đặt rn =∞∑

i=n+1

ai và gọi rn là phần dư

thứ n của chuỗi (5.1).

Như vậy nếu chuỗi (5.1) hội tụ và có tổng S thì rn = S − Sn hội tụ tới 0 khi

n→ ∞.


1.1.3 Ví dụ. 1) Xét chuỗi số∞∑n=1

1

n(n+ 1). Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi là

Sn =1

1.2+

1

2.3+ ...+

1

n(n+ 1)

= 1− 1

2+

1

2− 1

3+ ...+

1

n− 1

n+ 1= 1− 1

n+ 1.

Từ đó ta có limn→∞

Sn = limn→∞

(1−

1

n+ 1

)= 1. Vì vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng

bằng 1.

2) Xét chuỗi số∞∑n=1

1√n. Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi là

Sn = 1 +1√2+ ...+

1√n>

1√n+ ...+

1√n=

n√n=

√n.

Vì vậy limn→∞

Sn = +∞. Do đó chuỗi phân kỳ.


(−1)n. Dễ thấy dãy tổng riêng của chuỗi này có hai dãy con

S2n = 0 và S2n+1 = −1. Do đó dãy tổng riêng phân kỳ, kéo theo chuỗi phân kỳ.


qn (q ∈ R). Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi này là

Sn =n∑

i=1

qi =

q1− qn

1− qnếu q = 1

n nếu q = 1.

Vì vậy nếu |q| < 1 thì limn→∞

Sn =q

1− q, hay chuỗi hội tụ. Nếu |q| > 1 thì chuỗi phân

kỳ.

1.2 Một số tính chất của chuỗi hội tụ

Định lý sau cho ta một điều kiện cần để chuỗi hội tụ.

1.2.1 Định lý. Nếu chuỗi (5.1) hội tụ thì limn→∞

an = 0.

Định lý trên cho chúng ta một dấu hiệu quen thuộc để nhận biết chuỗi phân

kỳ. Chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1],

[2], [3], [5] của chương 5.


1.2.2 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số∞∑n=1

n sin1

n.

Ta có an = n sin1

n. Vì vậy

limn→∞

an = limn→∞

n sin1

n= lim

n→∞

sin 1n

1n

= 1 = 0.

Do đó chuỗi đã cho phân kỳ.

1.2.3 Nhận xét. Định lý 1.2.1 chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ

để chuỗi hội tụ. Ta có thể chỉ ra chuỗi số∞∑n=1

an với limn→∞

an = 0 nhưng chuỗi phân

kỳ. Chẳng hạn, chuỗi số∞∑n=1

1√n.

Định lý sau còn gọi là tiêu chuẩn Cauchy, đưa ra một điều kiện cần và đủ để

chuỗi số hội tụ. Nó được suy ra từ định nghĩa sự hội tụ của chuỗi và tiêu chuẩn

Cauchy về dãy số hội tụ.

1.2.4 Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số∞∑n=1

an hội tụ khi và chỉ khi với mọi

ε > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho |an+1 + ...+ an+p| < ε với mọi n > n0 và mọi p ∈ N.

Định lý sau đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Bạn đọc tự chứng minh.

1.2.5 Định lý. Nếu các chuỗi số∞∑n=1

an,∞∑n=1

bn hội tụ, có tổng lần lượt là a, b và

α ∈ R, thì các chuỗi∞∑n=1

(an + bn),∞∑n=1

αan cũng hội tụ và lần lượt có tổng là a+ b,

αa.

1.3 Chuỗi số dương và các dấu hiệu hội tụ

Trong mục này chúng ta nghiên cứu lớp các chuỗi số dương, đối với loại chuỗi

này có nhiều dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của nó.

1.3.1 Định nghĩa. Chuỗi số∞∑n=1

an được gọi là chuỗi số dương nếu an > 0 với mọi

n ≥ 1.

Nhận xét. Đối với chuỗi số dương, dãy tổng riêng của nó luôn là dãy tăng. Do

đó nhờ tính chất của giới hạn ta suy ra chuỗi số dương∞∑n=1

an hội tụ khi và chỉ khi


dãy các tổng riêng của nó bị chặn. Trong trường hợp chuỗi∞∑n=1

an phân kỳ thì tổng

của chuỗi sẽ là +∞. Sau đây, chúng ta đưa ra một số dấu hiệu để nhận biết sự hội

tụ của các chuỗi số dương.

Định lý sau cho một phương pháp so sánh theo giới hạn, chứng minh của nó bạn

đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

1.3.2 Định lý. (Dấu hiệu so sánh 1) Cho các chuỗi số dương∞∑n=1

an,∞∑n=1

bn. Giả sử

tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn l = limn→∞

an

bn. Khi đó, ta có các kết luận sau:

1) Nếu 0 < l < +∞ thì các chuỗi∞∑n=1

an và∞∑n=1

bn đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.

2) Nếu l = 0 và chuỗi∞∑n=1

an hội tụ thì chuỗi∞∑n=1

bn hội tụ.

3) Nếu l = +∞ và chuỗi∞∑n=1

bn phân kỳ thì chuỗi∞∑n=1

an phân kỳ.

Định lý sau đưa ra phương pháp so sánh theo bất đẳng thức.

1.3.3 Định lý. (Dấu hiệu so sánh 2) Cho các chuỗi số dương∞∑n=1

an,∞∑n=1

bn. Giả sử

tồn tại K > 0 và n0 ∈ N sao cho an 6 K.bn, với mọi n > n0. Khi đó

1) Nếu chuỗi∞∑n=1

bn hội tụ thì chuỗi∞∑n=1

an hội tụ.

2) Nếu chuỗi∞∑n=1

an phân kỳ thì chuỗi∞∑n=1

bn phân kỳ.

1.3.4 Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng chuỗi∞∑n=1

1

ns(với s là hằng số)

hội tụ nếu s > 1 và phân kỳ nếu s 6 1 (xem Ví dụ 1.3.13). Nhờ tính chất này, chuỗi

∞∑n=1

1

nsthường được dùng làm chuẩn để so sánh, khi xét sự hội tụ hay phân kỳ của

các chuỗi số dương.

Bây giờ chúng ta đến với một vài ví dụ áp dụng dấu hiệu so sánh.

1.3.5 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1)∞∑n=1

sin1

nα, (α > 0).


Ta có limn→∞

sin1

nα

1

nα

= 1. Vì vậy từ dấu hiệu so sánh 1 và sự hội tụ của chuỗi

∞∑n=1

1

nαta suy ra chuỗi

∞∑n=1

sin1

nαhội tụ với α > 1 và phân kỳ với α 6 1.

2)∞∑n=1

1√n(n+ 1)

. Ta có limn→∞

1

n1√

n(n+ 1)

= 1. Do chuỗi∞∑n=1

1

nphân kỳ nên

chuỗi∞∑n=1

1√n(n+ 1)

phân kỳ.

1.3.6 Định lý. (Dalambert) Cho chuỗi số dương∞∑n=1

an. Giả sử tồn tại giới hạn

hữu hạn hay vô hạn d = limn→∞

an+1

an. Khi đó

1) Nếu 0 6 d < 1 thì chuỗi hội tụ;

2) Nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

1.3.7 Nhận xét. Nếu d = limn→∞

an+1

an= 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được tính

hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các dấu

hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.

1.3.8 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:∞∑n=1

n!an

nn(a > 0).

Ta có an =n!an

nnvà

d = limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

a(1 +

1

n

)n =a

e.

Vậy theo dấu hiệu Dalambert ta có.

- Với a < e tức là d < 1, thì chuỗi hội tụ.

-Với a > e tức là d > 1, thì chuỗi phân kỳ.


-Với a = e tức là d = 1, thì chưa có kết luận.

Tuy nhiên, từ bất đẳng thức(1 + 1

n

)n< e với mọi n ta nhận được

an+1

an=

e(1 + 1

n

)n > 1

với mọi n. Suy ra an+1 > an với mọi n. Do đó an > a1 = e với mọi n. Vì vậy

limn→∞

an = 0. Do đó chuỗi phân kỳ.

1.3.9 Định lý. (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương∞∑n=1

an. Giả sử tồn tại giới

hạn hữu hạn hay vô hạn c = limn→∞

n√an. Khi đó

1) Nếu 0 6 c < 1 thì chuỗi hội tụ.

2) Nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

1.3.10 Nhận xét. 1) Nếu c = limn→∞

n√an = 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được

tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các

dấu hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.

2) Trong Định lý 1.3.9 nếu thay giới hạn c = limn→∞

n√an bởi giới hạn trên c =

limn→∞

n√an thì kết luận của định lý vẫn còn đúng.

1.3.11 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1)∞∑n=1

(n− 1

n+ 1

)n(n+1)

.

Ta có an =(n− 1

n+ 1

)n(n+1)

và

c = limn→∞

n√an = lim

n→∞

(n− 1

n+ 1

)n+1

= limn→∞

(1−

2

n+ 1

)n+1

=1

e2< 1.

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi số đã cho hội tụ.

2)∞∑n=1

(2 + (−1)n

)n4n

.

Ta có

c = limn→∞

n√an = lim

n→∞

2 + (−1)n

4=

3

4< 1.

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ.


1.3.12 Định lý. (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương∞∑n=1

an. Giả sử

tồn tại hàm f(x) đơn điệu giảm và liên tục trên [a,+∞) với a > 1 sao cho f(n) = an

với mỗi n = 1, 2, ... Khi đó nếu tích phân suy rộng

+∞∫a

f(x)dx hội tụ (tương ứng

phân kỳ) chuỗi∞∑n=1

an hội tụ (tương ứng phân kỳ).

Chứng minh của định lý này bạn đọc tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],

[2], [3], [5] của chương 5. Chúng ta đến với một ví dụ áp dụng của nó.

1.3.13 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số∞∑n=1

1

ns(s ∈ R).

- Với s < 0 ta có limn→∞

1

ns= +∞, nhờ điều kiện cần để chuỗi hội tụ ta suy ra

chuỗi phân kỳ.

- Với s = 0 thì dễ thấy chuỗi đã cho phân kỳ.

- Với s > 0 ta xét hàm số f(x) =1

xstrên [1,+∞). Ta có f ′(x) =

− s

xs+1< 0 với

mọi x > 1. Do vậy f(x) đơn điệu giảm trên [1,+∞). Hơn nữa an =1

ns= f(n) với

mỗi n = 1, 2, .... Mặt khác ta có

∫ ∞

1

dx

xs= lim

A→∞

∫ A

1

dx

xs=

limA→∞

( 1

(1− s)xs−1

∣∣∣A1

)nếu s = 1

limA→∞

(lnx∣∣∣A1

)nếu s = 1.

Từ đó suy ra ∫ ∞

1

dx

xs=

1

s− 1nếu s > 1

+∞ nếu 0 < s 6 1.

Vì vậy theo dấu hiệu tích phân Cauchy chuỗi∞∑n=1

1

nshội tụ nếu s > 1 và phân

kỳ nếu s ≤ 1.

1.4 Chuỗi có dấu tuỳ ý

Trước hết ta xét một trường hợp đặc biệt của chuỗi có dấu bất kỳ là chuỗi đan

dấu, đó là trường hợp các số hạng của chuỗi lần lượt nhận dấu dương rồi dấu âm,


hoặc lần lượt nhận dấu âm rồi dấu dương.

1.4.1 Định nghĩa. Cho an là dãy số dương. Chuỗi số có dạng∞∑n=1

(−1)n−1an

(hoặc∞∑n=1

(−1)nan) được gọi là chuỗi đan dấu.

Sự hội tụ của chuỗi đan dấu thường được nhận biết bởi dấu hiệu sau.

1.4.2 Định lý. (Dấu hiệu Leibnitz) Nếu an là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn)

và limn→∞

an = 0 thì chuỗi đan dấu∞∑n=1

(−1)n−1an hội tụ.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

1.4.3 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi

1)∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1.

Ta có an =1

2n− 1>

1

2n+ 1= an+1 với mọi n và lim

n→∞

1

2n− 1= 0. Theo dấu

hiệu Leibnitz thì chuỗi hội tụ.

2)∞∑n=1

sin( 1n+ nπ

).

Ta có sin( 1n+ nπ

)= (−1)n sin

1

nvà vì dãy an với an = sin

1

nlà dãy đơn điệu

giảm hội tụ về 0. Do đó theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi đã cho hội tụ.

1.4.4 Định nghĩa. Chuỗi số∞∑n=1

an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi∞∑n=1

|an|

hội tụ. Một chuỗi hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện

hay bán hội tụ.

Nhận xét. Dùng tiêu chuẩn Cauchy bạn đọc có thể chứng minh được mọi chuỗi

hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Điều ngược lại nói chung là không đúng.

1.4.5 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của chuỗi∞∑n=1

(−1)n−1

npvới p ∈ R.

Với p 6 0 ta có limn→∞

(−1)n−1

np= 0. Do đó chuỗi phân kỳ.

Với p > 1 ta có chuỗi∞∑n=1

1

nphội tụ, tức là chuỗi

∞∑n=1

(−1)n−1

nphội tụ tuyệt đối.


Với 0 < p 6 1 ta có chuỗi∞∑n=1

1

npphân kỳ, tức là chuỗi

∞∑n=1

(−1)n−1

npkhông hội tụ

tuyệt đối. Tuy nhiên trong trường hợp này dễ thấy chuỗi∞∑n=1

(−1)n−1

nphội tụ theo

dấu hiệu Leibnitz. Như vậy chuỗi này bán hội tụ.

1.4.6 Định lý. (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử

1) Chuỗi∞∑n=1

an có dãy tổng riêng bị chặn, nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho

|a1 + a2 + ....+ an| < M với mọi n,

2) bn là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn ) và limn→∞

bn = 0.

Khi đó, chuỗi số∞∑n=1

anbn hội tụ.

1.4.7 Định lý. (Dấu hiệu Abel) Giả sử

1) Chuỗi∞∑n=1

an hội tụ

2) bn là dãy số đơn điệu và bị chặn.

Khi đó, chuỗi số∞∑n=1

anbn hội tụ.

Chứng minh của các định lý trên bạn đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo

[1], [2], [3], [5] của chương 5.

1.4.8 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi∞∑n=1

cos 2n

n.

Ta cón∑

k=1

cos kx =1

2 sin x2

(sin(2n+ 1)

x

2− sin

x

2

).

Vì vậy ∣∣ n∑k=1

cos 2k∣∣ = ∣∣∣ 1

2 sin 1(sin(2n+ 1)− sin 1

)∣∣∣ < 1

sin 1

với mọi n. Như vậy, chuỗi∞∑n=1

cos 2n có dãy tổng riêng bị chặn. Mặt khác bn =1

n

đơn điệu giảm về 0. Theo dấu hiệu Dirichlet thì chuỗi∞∑n=1

cos 2n

nhội tụ.


2 Chuỗi hàm

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa. Cho X ⊆ R. Ký hiệu A là tập hợp tất cả các hàm số xác định

trên X và N∗ = 1, 2, ... Ta gọi mỗi ánh xạ f : N∗ → A đặt tương ứng mỗi n ∈ N∗

với một hàm f(n) ∈ A là một dãy hàm xác định trên X.

Ta ký hiệu dãy hàm này là fn(x) hay

f1(x), f2(x), ..., (5.2)

trong đó fn(x) = f(n).

Trong một số trường hợp dãy hàm còn được ký hiệu gọn là fn hay f1, f2, ...

2.1.2 Định nghĩa. Cho dãy hàm fn xác định trên X ⊆ R. Ta gọi tổng hình

thức

f1(x) + f2(x) + ... (5.3)

là một chuỗi hàm và ký hiệu là∞∑n=1

fn(x) hay∞∑n=1

fn.

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) nếu chuỗi số∞∑n=1

fn(x0)

hội tụ.

Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) được gọi là miền hội tụ của

chuỗi hàm (5.3).

Giả sử chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) có miền hội tụ A ⊆ X. Với mỗi x ∈ A đặt

S(x) = limn→∞

n∑i=1

fi(x).

Khi đó, chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) được gọi là hội tụ đến S(x) trên A, S(x) được gọi là

tổng của chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) trên A và ký hiệu là∞∑n=1

fn = S trên A.

2.1.3 Ví dụ. Xét chuỗi hàm∞∑n=1

xn

2n.

Nếu∣∣∣x2

∣∣∣ > 1 thì limn→∞

xn

2n= 0. Do đó chuỗi

∞∑n=1

xn

2nphân kỳ.


Nếu∣∣∣x2

∣∣∣ < 1 thì chuỗi∞∑n=1

xn

2nhội tụ tuyệt đối theo dấu hiệu Cauchy. Vì vậy chuỗi

đã cho hội tụ và

S(x) =∞∑n=1

xn

2n= lim

n→∞

n∑i=1

(x2

)i= lim

n→∞

x

2

1−(x2

)n1−

x

2

=x

2− x.

Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là −2 < x < 2 và tổng của chuỗi trên miền hội

tụ là S(x) =x

2− x.

2.1.4 Định nghĩa. Cho chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) trên X ⊆ R, hội tụ đến hàm S(x)

trên X0 ⊆ X. Với mỗi x ∈ X0 đặt

Sn(x) = f1(x) + ....+ fn(x) =n∑

k=1

fk(x), n = 1, 2...

và

rn(x) = S(x)− Sn(x) =∞∑

k=n+1

fk(x).

Khi đó, các dãy hàm Sn(x), rn(x) lần lượt được gọi là dãy tổng riêng và dãy

phần dư của chuỗi hàm (5.3). Hơn nữa dãy hàm Sn hội tụ đến S trên X0.

2.2 Sự hội tụ đều và các dấu hiệu hội tụ

2.2.1 Định nghĩa. Chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) được gọi là hội tụ đều đến hàm S(x) trên

tập A ⊆ X0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại n0 = n0(ε) sao cho với mọi n > n0 ta có

|S(x)− Sn(x)| < ε với mọi x ∈ A.

Một cách tương đương, chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi với

mọi ε > 0 tồn tại n0 = n0(ε) sao cho với mọi n > n0, với mọi x ∈ A thì

|rn(x)| < ε.

2.2.2 Nhận xét. 1) Từ định nghĩa ta suy ra nếu chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) hội tụ đều

đến S(x) trên A thì hội tụ đến S(x) trên A. Điều ngược lại là không đúng.

2) Chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi limn→∞

supx∈A

|rn(x)| = 0.


2.2.3 Ví dụ. Xét chuỗi hàm∞∑n=0

xn. Ta thấy chuỗi này hội tụ đến S(x) =1

1− xtrên (0, 1). Tuy nhiên chuỗi không hội tụ đều đến S(x) trên (0, 1). Thật vậy, ta có

rn(x) =∞∑

k=n+1

xk =xn+1

1− x, ∀x ∈ (0, 1).

Vì vậy, với mỗi n ≥ 1 bằng cách chọn xn = 1−1

n∈ (0, 1) ta có

limn→∞

supx∈(0,1)

|rn(x)| = limn→∞

supx∈(0,1)

xn+1

1− x≥ lim

n→∞n(1− 1

n

)n+1

= +∞.

Do đó chuỗi∞∑n=0

xn không hội tụ đều đến S(x) =1

1− xtrên (0, 1).

Định lý sau đây còn được gọi là tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của chuỗi

hàm.

2.2.4 Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x) hội tụ đều trên A khi

và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 = n0(ε) sao cho với mọi n ≥ n0 và

mọi p ∈ N ta có

|fn+1(x) + ...+ fn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A.

Sau đây là một số dấu hiệu nhận biết sự hội tụ đều của chuỗi hàm mà chứng

minh của chúng bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5]

của chương 5.

2.2.5 Định lý. (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm∞∑n=1

fn(x). Nếu

1) |fn(x)| 6 an với mọi x ∈ A và với mọi n > n0, (n0 là một số tự nhiên cố

định),

2) Chuỗi số∞∑n=1

an hội tụ,

thì∞∑n=1

fn(x) hội tụ đều trên A.

2.2.6 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm∞∑n=0

nx sinnx

1 + n5x2trên R.

Ta có ∣∣∣nx sinnx1 + n5x2

∣∣∣ 6 |nx|1 + n5x2

6 1

2n32

, với mọi x ∈ R, với mọi n ∈ N∗.


Vì chuỗi số∞∑n=0

1

2n32

hội tụ, nhờ dấu hiệu Weierstrass ta suy ra chuỗi hàm∞∑n=0

nx sinnx

1 + n5x2

hội tụ đều trên R.

2.2.7 Định lý. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho các dãy hàm fn, gn xác định trên

A ⊆ R. Giả sử

1) Dãy tổng riêng của chuỗi∞∑n=1

fn(x) bị chặn đều trên A, tức là tồn tại M > 0

sao cho ∣∣ n∑k=1

fk(x)∣∣ 6M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2, ...

2) Dãy số gn(x) đơn điệu giảm với mỗi x ∈ A và gn hội tụ đều đến 0 trên

A.


fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.

2.2.8 Định lý. (Dấu hiệu Abel). Cho các dãy hàm fn, gn xác định trên A ⊆ R.

Giả sử


fn(x) hội tụ đều trên A.

2) Dãy số gn(x) đơn điệu với mỗi x ∈ A và gn bị chặn đều trên A, tức là

tồn tại M > 0 sao cho

|gn(x)| 6M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2, ...


fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.

Tiếp theo chúng ta trình bày các tính chất cơ bản của tổng chuỗi hàm.

Ta đã biết tổng của hữu hạn các hàm liên tục trên A là một hàm liên tục trên

A. Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để điều trên đúng cho tổng vô hạn.

2.2.9 Định lý. (Tính liên tục) Cho A ⊆ R và dãy hàm fn xác định trên A. Nếu

1) fn là hàm liên tục trên A với mỗi n = 1, 2, ...,


fn(x) hội tụ đều đến hàm S(x) trên A,

thì S là hàm liên tục trên A.

Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi

hàm.


2.2.10 Định lý. (Tính khả vi) Cho dãy hàm fn xác định trên (a, b). Nếu

1) fn là hàm liên tục trên (a, b) với mỗi n = 1, 2, ...,


fn(x) hội tụ đến hàm S(x) trên (a, b),


f ′n(x) hội tụ đều trên (a, b),

thì S là hàm khả vi trên (a, b) và

S ′(x) =( ∞∑

n=1

fn(x))′

=∞∑n=1

f ′n(x)

với mọi x ∈ (a, b).

Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy tích phân từng số hạng của chuỗi

hàm.

2.2.11 Định lý. (Tính khả tích) Cho dãy hàm fn xác định trên [a, b]. Nếu

1) fn là hàm liên tục trên [a, b] với mỗi n = 1, 2, ...,


fn(x) hội tụ đến hàm S(x) trên [a, b],

thì S là hàm khả tích trên [a, b] và∫ b

a

S(x)dx =

∫ b

a

( ∞∑n=1

fn(x))dx =

∞∑n=1

∫ b

a

fn(x)dx.

Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham

khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

3 Chuỗi luỹ thừa

3.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa

3.1.1 Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng∞∑n=0

an(x− x0)n, trong đó

x0, a0, a1, a2, ... ∈ R.

Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi luỹ thừa. Rõ ràng chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ

tại tâm của nó.

Nếu đặt y = x − x0 thì chuỗi luỹ thừa được đưa về dạng∞∑n=0

anyn có tâm tại

y = 0.


3.1.2 Bổ đề. (Abel) Cho chuỗi luỹ thừa

∞∑n=0

anxn. (5.4)

Khi đó

1) Nếu chuỗi (5.4) hội tụ tại x0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x mà

|x| < |x0|.

2) Nếu chuỗi (5.4) phân kỳ tại x1 thì nó phân kỳ tại mọi điểm x mà |x| > |x1|.


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

3.1.3 Nhận xét. Gọi A là miền hội tụ của chuỗi (5.4). Hiển nhiên chuỗi hội tụ tại

x = 0. Do đó A = ϕ và nếu đặt

R = supx : x ∈ A

thì R > 0.

Ta dễ dàng đưa ra các ví dụ về chuỗi (5.4) mà R = 0, R <∞ và R = +∞ (chuỗi

hội tụ trên toàn R). Từ Bổ đề Abel ta chứng minh được rằng nếu R > 0 thì

1) Chuỗi (5.4) hội tụ tuyệt đối trong khoảng (−R,R) và hội tụ đều trong mỗi

đoạn [a, b] ⊂ (−R,R).

2) Chuỗi (5.4) phân kỳ tại mỗi x mà |x| > R.

3.1.4 Định nghĩa. Số R ∈ [0,+∞) trong Nhận xét 3.1.3 được gọi là bán kính hội

tụ của chuỗi luỹ thừa (5.4). Khoảng (−R,R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi

luỹ thừa (5.4)

Định lý sau cho ta cách tính bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.

3.1.5 Định lý. (Cauchy- Hadamard) Cho chuỗi luỹ thừa∞∑n=0

anxn. Giả sử rằng

ρ = limn→∞

n√|an| (hoặc ρ = lim

n→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣).Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi được tính theo công thức sau

R =

1

ρnếu 0 < ρ < +∞

+∞ nếu ρ = 0

0 nếu ρ = +∞.



khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

3.1.6 Ví dụ. Tìm miền hội tụ chuỗi hàm

∞∑n=0

(−1)n

n

(1− x

1 + x

)n.

Giải. Đặt u =1− x

1 + x, (với x = −1). Ta thu được chuỗi lũy thừa

∞∑n=0

(−1)n

nun. Bán

kính hội tụ của chuỗi trên là

R = limn→∞

∣∣∣ anan+1

∣∣∣ = limn→∞

∣∣n+ 1

n

∣∣ = 1.

Khoảng hội tụ của chuỗi là (−1, 1).

Với u = 1 ta thu được chuỗi∞∑n=0

(−1)n

nhội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.

Với u = −1 ta thu được chuỗi∞∑n=0

1

nphân kỳ.

Do đó miền hội tụ của chuỗi∞∑n=0

(−1)n

nun là −1 < u 6 1. Trở lại với chuỗi ban

đầu, miền hội tụ của chuỗi là tập những x ∈ R thoả mãn

−1 <1− x

1 + x6 1.

Giải hệ bất phương trình trên ta thu được miền hội tụ của chuỗi ban đầu là [0,+∞).

3.2 Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa

Các kết quả này suy từ các tính chất tương ứng của tổng chuỗi hàm và tính

hội tụ đều của chuỗi lũy thừa trên các đoạn [−r, r] ⊂ (−R,R).

3.2.1 Định lý. (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0

anxn có bán kính hội tụ

R > 0. Khi đó tổng S(x) của nó liên tục trên khoảng hội tụ (−R,R)

3.2.2 Định lý. (Tính liên tục tại điểm mút) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0

anxn có bán

kính hội tụ R > 0. Khi đó

1) Nếu chuỗi hội tụ tại x = R thì tổng S(x) liên tục trái tại x = R, tức là

limx→R−

S(x) = S(R).


2) Nếu chuỗi hội tụ tại x = −R thì tổng S(x) liên tục phải tại x = R, tức là

limx→−R+

S(x) = S(−R).

3.2.3 Định lý. (Tích phân từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0

anxn có bán

kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng S(x) của nó khả tích trên mọi đoạn [a, b] trong

khoảng hội tụ (−R,R) và

b∫a

S(x)dx =∞∑n=0

an

b∫a

xndx.

Đặc biệt, nếu x ∈ (−R,R) thì

x∫0

S(t)dt =∞∑n=0

anxn+1

n+ 1.

3.2.4 Định lý. (Tính khả vi và đạo hàm từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0

anxn có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó

1) Chuỗi∞∑n=0

nanxn−1 cũng có bán kính hội tụ là R.

2) Tổng S(x) là hàm khả vi trong khoảng (−R,R) và

S ′(x) =∞∑n=0

nanxn−1.

Chứng minh của những định lý trên bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu

tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

3.2.5 Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng trên miền hội tụ của chuỗi

∞∑n=0

xn

n2n.

Giải. Đặt u =x

2. Ta thu được chuỗi

∞∑n=0

un

n. Dễ dàng tìm được bán kính hội tụ của

chuỗi vừa nhận được R = 1 và miền hội tụ −1 6 u < 1. Do vậy miền hội tụ của

chuỗi ban đầu là −2 6 x < 2.

Tiếp theo ta tính tổng S(u) của chuỗi∞∑n=0

un

n. Khoảng hội tụ của nó là (−1, 1).

Lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ta có

S ′(u) =∞∑n=1

un−1 =1

1− u


với mọi u ∈ (−1, 1). Suy ra

S(u) =

∫du

1− u= − ln |1− u|+ C

trong đó C là một hằng số cần tìm. Để ý rằng S(0) = 0, vì vậy

0 = − ln 1 + C,

hay C = 0. Do đó S(u) = − ln(1− u).

Theo Định lý 3.2.2 ta có

S(−1) = limu→−1+

S(u) = limu→−1+

− ln |1− u| = − ln 2.

Như vậy

S(u) = − ln(1− u), u ∈ [−1, 1).

Thay u =x

2ta nhận được

S(x) = − ln∣∣∣1− x

2

∣∣∣, với mọi x ∈ [−2, 2).

3.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

3.3.1 Định nghĩa. Cho hàm f xác định trong (a, b). Ta nói rằng hàm f khai triển

được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại δ > 0 và

dãy an sao cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) và với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ta có đẳng

thức

f(x) =∞∑n=0

an(x− x0)n.

3.3.2 Định nghĩa. Giả sử f là hàm xác định và khả vi vô hạn lần trên (a, b) và

x0 ∈ (a, b). Khi đó chuỗi

f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) + ...+

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n + ...

=∞∑n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n (5.5)

được gọi là chuỗi Taylor của hàm f . Chuỗi Taylor với tâm tại x0 = 0 được gọi là

chuỗi Maclaurin.


Ta có định lý sau.

3.3.3 Định lý. Giả sử f là hàm xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Nếu hàm f được

khai triển thành chuỗi lũy thừa

f(x) =∞∑n=0

an(x− x0)n (5.6)

trong lân cận của x0 thì trong lân cận này f khả vi vô hạn lần và chuỗi (5.6) là

chuỗi Taylor của nó, tức là các hệ số của nó được tính theo công thức

an =f (n)(x0)

n!, n = 0, 1, ...


khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

Từ Định lý 3.3.3 ta suy ra hệ quả sau.

3.3.4 Hệ quả. Phép khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của điểm

cho trước là duy nhất.

Tiếp theo ta nghiên cứu các lớp hàm có thể khai triển được thành chuỗi lũy

thừa trong một lân cận của điểm nào đó. Từ định lý trên ta thấy nếu hàm khai

triển được thành chuỗi lũy thừa thì nó khả vi vô hạn lần và chuỗi khai triển chính

là chuỗi Taylor của hàm tại điểm đó. Ta biết rằng nếu hàm khả vi vô hạn lần trong

lân cận của x0 thì nó tồn tại chuỗi Taylor. Vấn đề đặt ra là phải chăng mọi hàm

khả vi vô hạn lần trong lân cận của điểm x0 đều có thể khai triển thành chuỗi lũy

thừa? Câu trả lời là phủ định. Chẳng hạn, xét hàm

f(x) =

e− 1

x2 nếu x = 0

0 nếu x = 0.

Ta thấy hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận tùy ý của 0. Hơn nữa

f (n)(0) = 0

với mọi n. Do đó chuỗi Taylor của f tại 0 là

f(x) = 0 + 0x+ 0x2 + ...+ 0xn + ...

Rõ ràng tổng của chuỗi đồng nhất bằng 0 trong mọi lận cận của 0. Do đó nếu f

khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận nào đó của 0 thì chuỗi đó phải

đồng nhất bằng 0 trong lân cận đó. Điều này mâu thuẫn với f(x) = 0 với x = 0.

Định lý sau cho một điều kiện đủ để khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa. Bạn

đọc tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.


3.3.5 Định lý. Giả sử f là hàm khả vi vô hạn lần trên khoảng (x0 − R, x0 + R).

Nếu đạo hàm các cấp của f bị chặn trong khoảng (x0 − R, x0 + R) thì f khai triển

thành chuỗi lũy thừa trên (x0 −R, x0 +R).

Sau đây ta trình bày một vài ví dụ về khai triển thành chuỗi lũy thừa của một

vài hàm sơ cấp cơ bản.

3.3.6 Ví dụ. 1) f(x) = sinx. Vì hàm sinx khả vi vô hạn lần trên R, và

|f (n)(x)| = | sin(x+ nπ

2)| 6 1, ∀x ∈ R, n = 0, 1, 2, ...

nên khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại 0 của hàm là

sinx = x− x3

3!+ ...+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ ..., ∀x ∈ R. (5.7)

Tương tự có các khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại 0 của các hàm cos x, ex,1

1− xvà ln(1 + x) như sau

cos x = 1− x2

2!+ ...+ (−1)n

x2n

(2n)!+ ..., ∀x ∈ R; (5.8)

ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+ ..., ∀x ∈ R; (5.9)

1

1− x= 1 + x+ x2 + ...+ xn + ..., ∀x ∈ (−1, 1); (5.10)

và

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− ...+ (−1)n−1x

n

n+ ..., ∀x ∈ (−1, 1).

3.3.7 Ví dụ. Khai triển hàm f(x) =1

x+ 3thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của

điểm x = 1.

Ta có

f(x) =1

x+ 3=

1

4

1

1−1− x

4

=1

4

∞∑n=0

(1− x

4

)n=

∞∑n=0

(−1)n

4n+1(x− 1)n

với x ∈ (−3, 5).


4 Chuỗi Fourier

4.1 Chuỗi lượng giác

Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về hàm số tuần hoàn cần dùng

cho các trình bày về sau.

4.1.1 Định nghĩa. Hàm f : R → R được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T nếu tồn

tại T = 0 sao cho

f(x+ T ) = f(x), với mọi x ∈ R.

Như đã biết hàm sin x, cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π, hàm tanx tuần hoàn với

chu kỳ π.

4.1.2 Nhận xét. 1) Nếu f tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi số nguyên k = 0 ta

có kT cũng là chu kỳ của f .

2) Nếu T1, T2 là chu kỳ của f thì T1 ± T2 cũng là chu kỳ của f .

3) Nếu hàm f có chu kỳ T thì hàm g(x) = f(nx) (n = 0) có chu kỳ làT

n.

Sau đây là một tính chất quan trọng của hàm tuần hoàn mà chứng minh của nó

bạn đọc có thể tìm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

4.1.3 Tính chất. Tích phân của hàm tuần hoàn với chu kỳ T trên các đoạn có độ

dài bằng T có giá trị không phụ thuộc vào ví trí của đoạn đó trên trục số.

4.1.4 Định nghĩa. Chuỗi có dạng

a0 + (a1 cosx+ b1 sinx) + (a2 cos 2x+ b2 sin 2x) + ...

+ (an cosnx+ bn sinnx) + ... = a0 +∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx)(5.11)

được gọi là chuỗi lượng giác, trong đó a0, a1, b1, ..., an, bn, ... là các hằng số thực.

4.1.5 Nhận xét. Các số hạng của chuỗi (5.11) là những hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π. Như vậy nếu chuỗi hội tụ trên R thì tổng của nó cũng là hàm tuần hoàn với

chu kỳ 2π.

Từ dấu hiệu Weierstrass ta dễ dàng suy ra kết quả sau.


4.1.6 Định lý. Nếu chuỗi số∞∑n=1

(|an| + |bn|) hội tụ thì chuỗi (5.11) hội tụ tuyệt

đối và đều trên R.

4.1.7 Định nghĩa. Hệ vô hạn các hàm

1, cos x, sin x, ..., sinnx, cosnx, ... (5.12)

được gọi là hệ hàm lượng giác cơ sở.

4.1.8 Định nghĩa. Hai hàm φ(x) và ψ(x) được gọi là trực giao trên đoạn [a, b] ⊂ R

nếu

b∫a

φ(x)ψ(x)dx = 0.

Ta có mệnh đề sau.

4.1.9 Mệnh đề. Các hàm của hệ lượng giác cơ sở (5.12) là đôi một trực giao với

nhau trên [−π, π].

Chứng minh của mệnh đề này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham

khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

4.1.10 Ví dụ. Từ Tính chất của hàm tuần hoàn và mệnh đề trên ta suy ra các

hàm của hệ hàm lượng giác cơ sở là trực giao trên đoạn [a, a+ 2π] với mọi a ∈ R.

4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier

Đầu tiên ta nghiên cứu khai triển Fourier cho hàm tuần hoàn chu kỳ 2π. Ta

cần định lý sau.

4.2.1 Định lý. Giả sử f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và thỏa mãn đẳng

thức

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx

)(5.13)

với mọi x ∈ R, trong đó chuỗi ở vế phải của (5.13) hội tụ đều trên R. Khi đó

a0 =1

π

π∫−π

f(x)dx

an =1

π

π∫−π

f(x) cosnxdx n = 1, 2, ...

bn =1

π

π∫−π

f(x) sinnxdx n = 1, 2, ....

(5.14)


Các số a0, an, bn được gọi là hệ số Fourier của hàm f .

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].

4.2.2 Định nghĩa. 1) Chuỗi lượng giác với các hệ số xác định như trong Định lý

4.2.1 được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .

2) Nếu hàm f thỏa mãn đẳng thức

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx

)với các hệ số a0, an, bn được xác định như trong Định lý 4.2.1 thì ta nói f khai triển

được thành chuỗi Fourier của nó.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với điều kiện nào của hàm f tuần hoàn với

chu kỳ 2π trên R thì nó khai triển được thành chuỗi Fourier. Ta công nhận kết quả

sau của Dirichlet về điều kiện đủ để hàm khai triển được thành chuỗi Fourier.

4.2.3 Định lý. Giả sử rằng

i) f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π,

ii) f và f ′ là các hàm liên tục trừ ra đếm được điểm gián đoạn.

Khi đó, chuỗi Fourier của hàm f hội tụ tại mọi x đến tổng S(x) và

a) S(x) = f(x) tại các điểm liên tục của f ,

b) S(x) =f(x+ 0) + f(x− 0)

2tại các điểm f gián đoạn,

c) Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm x thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối và

đều.

4.2.4 Nhận xét. 1) Nếu hàm f được cho trên đoạn [−π, π] và điều kiện i) được

thỏa mãn thì f(−π) = f(π).

2) Nếu hàm f đã cho liên tục trên [−π, π] và thỏa mãn f(−π) = f(π) thì nhờ

mở rộng tuần hoàn ta thu được hàm f liên tục trên R. Trong hầu hết các trường

hợp khác mở rộng tuần hoàn là hàm gián đoạn.

4.3 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ và hàm bất kỳ

Từ tính chất của hàm chẵn và lẻ ta dễ dàng thu được kết quả sau.


4.3.1 Định lý. Giả sử f thỏa mãn các điều kiện của Đinh lý 4.2.3. Khi đó

1) Nếu f là hàm chẵn thì chuỗi Fourier của nó có dạng

a0

2+

∞∑n=1

an cosnx. (5.15)

2) Nếu f là hàm lẻ thì chuỗi Fourier của nó có dạng

∞∑n=1

bn sinnx. (5.16)

4.3.2 Ví dụ. Khai triển Fourier hàm f(x) = |x|, x ∈ [−π, π].

Giải. Hàm f(x) = |x| là hàm chẵn, đồ thị của f và thác triển tuần hoàn của nó

được mô tả như Hình 5.1. Dễ thấy f thoả mãn các điều kiện của Định lý 4.2.3, vì

vậy f khai triển được thành chuỗi Fourier. Vì f chẵn nên các hệ số Fourier được

tính theo công thức:

bn = 0, với mọi n ≥ 1,

a0 =1

π

∫ π

−π

|x|dx =2

π

∫ π

0

xdx = π.

an =1

π

∫ π

−π

|x| cosnxdx =2

π

∫ π

0

x cosnxdx =

− 4

πn2với n lẻ,

0 với n chẵn.

Do đó với mọi x ∈ [−π, π] ta có

|x| = π

2− 4

π

(cos x+

cos 3x

32+

cos 5x

52+ ...

).

4.3.3 Ví dụ. Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier trên đoạn [−π, π]

f(x) =

−x nếu −π 6 x 6 0

x2

πnếu 0 6 x 6 π

Đồ thị của f và mở rộng tuần hoàn của nó được mô tả như Hình 5.2.


O

y

x

(π, π) (π, 3π)(−π, π)(−3π, π)

y = −xy = x2.

−π π

Hàm liên tục trên [−π, π]. Đạo hàm của nó xác định và liên tục với mọi x ∈ R

trừ các điểm x = kπ, k ∈ Z. Do đó chuỗi Fourier của f hội tụ đến f(x) với mọi x.

Hệ số Fourier được xác định như sau

a0 =1

π

∫ π

−π

f(x)dx =1

π

∫ 0

−π

(−x)dx+ 1

π

∫ π

0

x2

πdx =

5π

6,

an =1

π

∫ π

−π

f(x) cosnxdx

=1

π

(∫ 0

−π

(−x) cosnxdx+∫ π

0

x2

πcosnxdx

)=

3(−1)n − 1

πn2,

bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sinnxdx

=1

π

(∫ 0

−π

(−x) sinnxdx+∫ π

0

x2

πsinnxdx

)

=

− 4

π2n3với n lẻ

0 với n chẵn.

Từ đó ta nhận được khai triển Fourier của hàm f là

f(x) =5π

12+

∞∑n=1

(3(−1)n − 1

πn2cosnx−

4

π2(2n− 1)3sin(2n− 1)x

).

4.3.4 Nhận xét. 1) Trong nhiều trường hợp hàm f được cho trên đoạn [0, π]. Khi

đó ta có thể thác triển f lên R thành hàm chẵn có chu kỳ 2π. Thật vậy, đầu tiên

ta dựng đồ thị hàm số trên [0, π] sau đó lấy đối xứng qua trục tung ta được hàm


số chẵn xác định trên [−π, π], tiếp tục mở rộng tuần hoàn f lên R ta được hàm số

cần tìm. Bây giờ nếu hàm f thỏa mãn các điều kiện để khai triển Fourier thì

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnx

trong đó bn = 0 với mọi n và

a0 =1

π

∫ π

−π

f(x)dx, an =1

π

∫ π

−π

f(x) cosnxdx.

2) Hoàn toàn tương tự ta có thể mở rộng f thành hàm số lẻ tuần hoàn với chu kỳ

2π.

4.3.5 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2d. Giả

sử f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2d, đơn điệu từng khúc, bị chặn. Bằng phép biến

đổi x′ =π.x

dta có x =

d.x′

π. Khi đó nếu x biến thiên từ −d đến d, thì x′ biến thiên

từ −π đến π và ta thu được f(x) = f(d.x′π

)= F (x′), với F (x′) là hàm tuần hoàn

chu kỳ 2π đơn điệu từng khúc, bị chặn. Vì thế, sử dụng các kết quả thu được ở trên

ta khai triển được hàm F (x′) thành chuỗi Fourier

F (x′) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx

′ + bn sinnx′),

hay

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos

nπx

d+ bn sin

nπx

d

), (5.17)

trong đó

a0 =1

π

π∫−π

F (x′)dx′ =1

d

d∫−d

f(x)dx

an1

π

π∫−π

F (x′) cosnx′dx′ =1

d

d∫−d

f(x) cosnπx

ddx

bn1

π

π∫−π

F (x′) sinnx′dx′ =1

d

d∫−d

f(x) sinnπx

ddx.

(5.18)

4.3.6 Ví dụ. Khai triển Fourier tại các điểm liên tục của hàm

f(x) = x− [x] = x


trong đó x là phần thập phân của x.

Hàm f tuần hoàn với chu kỳ d =1

2và f(x) = x với mọi x ∈ [0, 1]. Vì vậy các hệ

số Fourier được xác định như sau

a0 = 2

12∫

− 12

xdx = 1.

an =1

d

d∫−d

f(x) cosπn

dxdx = 2

12∫

− 12

f(x) cosnxdx

= 2

1∫0

f(x) cosnxdx = 2

1∫0

x cosnxdx = 0,

bn =1

d

d∫−d

f(x) sinπn

dxdx = 2

12∫

− 12

f(x) sinnxdx

= 2

1∫0

f(x) sinnxdx = 2

1∫0

x sinnxdx = − 1

nπ.

Do đó

x =1

2− 1

π

∞∑n=1

sin 2πnx

n.

4.3.7 Ví dụ. Khai triển hàm f(x) = | cos x| thành chuỗi Fourier tại các điểm liên

tục.

Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ π, vì thế ta có d =π

2. Hơn nữa nó là hàm

chẵn nên ta có bn = 0 với mọi n = 1, 2, . . .. Sử dụng phương pháp trên, tính các hệ

số theo công thức (5.18) tại các điểm liên tục x ta được

a0 = 2.1π2

π2∫

0

cosxdx =4

π.

an = 2.1π2

π2∫

0

f(x) cosnπxπ2

dx =4

π

π2∫

0

cosx cos 2nxdx

=4

π.2

π2∫

0

[cos(2n+ 1)x+ cos(2n− 1)x]dx =4

π.(−1)n+1

4n2 − 1.


Do đó, ta có

| cosx| = 2

π+

4

π

∞∑n=1

(−1)n+1 cos 2nx

4n2 − 1.

Vì hàm f(x) = | cosx| liên tục tại mọi x ∈ R, nên ta có

| cos x| = 2

π+

4

π

∞∑n=1

(−1)n+1 cos 2nx

4n2 − 1với mọi x ∈ R.

4.3.8 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm bất kỳ. Giả sử f(x) là hàm

đơn điệu từng khúc, bị chặn trên đoạn [a, b]. Bây giờ ta mở rộng tuần hoàn f(x)

(như cách đã làm ở trên) thành một hàm tuần hoàn g(x) xác định trên toàn bộ R

sao cho thỏa mãn các điều kiện

(a) g(x) là một hàm tuần hoàn chu kỳ T = 2d > b− a;

(b) g(x) là hàm đơn điệu từng khúc và bị chặn;

(c) g(x) = f(x) với mọi x ∈ [a, b]

và áp dụng khai triển Fourier cho hàm g(x) trên R. Từ đó ta nhận được khai triển

Fourier của hàm f(x) trên đoạn [a, b].

4.3.9 Nhận xét. Lưu ý rằng khi mở rộng tuần hoàn theo cách này thì sẽ có nhiều

hàm g(x) như vậy và hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Fourier, mà tổng của

chuỗi này bằng g(x), và do đó tổng này sẽ bằng f(x) tại những điểm liên tục của

hàm f(x). Đặc điểm của chuỗi thu được là:

- Nếu hàm g(x) chẵn, thì chuỗi khai triển Fourier thu được chỉ gồm toàn hàm

số cosin.

- Nếu hàm g(x) lẻ, thì khai triển Fourier thu được chỉ gồm toàn hàm số sin.

4.3.10 Ví dụ. Khai triển hàm số f(x) =

1 nếu 0 ≤ x < 1,

2− x nếu 1 ≤ x ≤ 2.

Hãy khai triển hàm này thành chuỗi Fourier sao cho chuỗi thu được

(a) chỉ chứa hàm số sin;

(b) chỉ chứa hàm số cosin.

Thật vậy, (a) Ta xét hàm số f1(x) =

f(x) nếu x ∈ [0, 2],

−f(−x) nếu x ∈ [−2, 0]. Khi đó

f1(x) là hàm số lẻ, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [−2, 2]. Bằng cách mở

rộng tuần hoàn hàm f1(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm số g1(x) là hàm số lẻ đơn


điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2d = 4. Vì thế hàm số g1(x) có thể

khai triển được thành chuỗi Fourier. Hơn nữa, vì hàm g1(x) lẻ nên chuỗi Fourier chỉ

chứa hàm số sin. Do đó, sử dụng phương pháp trên, tính các hệ số theo công thức

(5.18) tại các điểm liên tục x ta được

an = 0 với mọi n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

2

2∫2

g1(x) sinnπx

2dx =

2∫0

f1(x) sinnπx

2dx =

=

1∫0

sinnπx

2dx+

2∫1

(1− x) sinnπx

2dx = · · · =

2

nπ−

4

(nπ)2sin

nπ

2

=

2

nπ−

4

n2

(−1)k−1

(2k − 1)2nếu n = 2(k − 1),

2

nπnếu n = 2k.

Do đó, ta có

g1(x) =2

π

∞∑n=1

1

nsin

nπx

2+

4

π2

∞∑n=1

(−1)n−1

(2n− 1)2sin

(2n− 1)πx

2.

Vì trên đoạn [0, 2] ta có g1(x) = f(x), và f(x) liên tục trên [0, 2] nên ta có

f(x) =2

π

∞∑n=1

1

nsin

nπx

2+

4

π2

∞∑n=1

(−1)n−1

(2n− 1)2sin

(2n− 1)πx

2với mọi x ∈ [0, 2].

(b) Bây giờ ta xét hàm số f2(x) =

f(x) nếu x ∈ [0, 2],

f(−x) nếu x ∈ [−2, 0]. Khi đó f2(x)

là hàm số chẵn, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [−2, 2]. Bằng cách mở rộng

tuần hoàn hàm f2(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm số g2(x) là hàm số chẵn đơn

điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2d = 4. Vì thế hàm số g2(x) có thể

khai triển được thành chuỗi Fourier. Hơn nữa, vì hàm g2(x) chẵn nên chuỗi Fourier

chỉ chứa hàm số cosin. Do đó,tương tự như trên ta tính các hệ số an, với n = 0, 1, . . .

và các hệ số bn = 0 với mọi n = 1, 2, . . .. Do đó, ta có

g2(x) =3

4+

4

π2

[cos

πx

2− 2

22cos

2πx

2+

1

32cos

3πx

2

− 2

42cos

4πx

2+

1

52cos

5πx

2− 2

62cos

6πx

2+ · · ·

].

Vì trên đoạn [0, 2] ta có g2(x) = f(x), và f(x) liên tục trên [0, 2] nên ta có

f(x) =3

4+

4

π2

[cos

πx

2− 2

22cos

2πx

2+

1

32cos

3πx

2

− 2

42cos

4πx

2+

1

52cos

5πx

2− 2

62cos

6πx

2+ · · ·

]


với mọi x ∈ [0, 2].

Trong phần còn lại chúng tôi trình bày một ứng dụng của khai triển hàm thành

chuỗi Fourier để tỉnh tổng của các chuỗi số.

4.3.11 Ví dụ. Cho hàm số f(x) = x2 xác định trên đoạn [−π, π]. Hãy khai triển

hàm f(x) thành chuỗi Fourier. Dựa vào khai triển thu được, hãy tính tổng của các

chuỗi

a)∞∑n=1

(−1)n−1 1

n2b)

∞∑n=1

1

n2c)

∞∑n=1

1

(2n− 1)2.

Vì hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn

[−π, π]. Bằng cách mở rộng tuần hoàn hàm f(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm

số g(x) là hàm số chẵn đơn điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2π. Vì

thế hàm số f(x) có thể khai triển được thành chuỗi Fourier với các hệ số bn = 0 với

n = 1, 2, . . . còn các hệ số an với n = 0, 1, 2, . . . được theo công thức như sau

a0 =2

π

π∫0

x2dx =2π2

3, an =

2

π

π∫0

x2 cosnxdx =4(−1)n

n2.

Do đó, ta có

f(x) =π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)n

n2cosnx.

Từ khai triển trên của hàm f(x) với những giá trị đặc biệt của biến x ta có

(a) Với x = 0 ta có f(0) = 0. Do đó ta có đẳng thức

0 = f(0) =π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)n

n2.

Từ đẳng thức này ta suy ra∞∑n=1

(−1)n

n2=π2

12.

(b) Với x = π ta có f(π) = π2. Do đó ta có đẳng thức

π2 = f(π) =π2

3+ 4

∞∑n=1

1

n2.

Từ đẳng thức này ta suy ra∞∑n=1

1

n2=[π2 −

π2

3

]14=π2

6.


(c) Cuối cùng ta có

∞∑n=1

1

(2n− 1)2=

1

2

[ ∞∑n=1

(−1)n−1 1

n2+

∞∑n=1

1

n2

]=π2

8.




1) Sự hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

và tính tổng của chuỗi số. Các dấu hiệu hội tụ.

2) Sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm, chuỗi hàm và các tính chất của tổng chuỗi

hàm. Mối quan hệ giữa hội tụ đều và hội tụ của dãy hàm và chuỗi hàm.

3) Xác định bán kính hội tụ, miền hội tụ, miền hội tụ đều và tính tổng của chuỗi

luỹ thừa. Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa.

4) Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier.


Bài 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi và tính tổng (nếu có).

1)∞∑n=1

1

(2n+ 1)(2n+ 3); 2)

∞∑n=1

1

(3n− 2)(3n+ 1);

3)∞∑n=1

n+ 1

(2n+ 1)2(2n+ 3)2; 4)

∞∑n=1

2n+ 1

n2(n+ 1)2

5)∞∑n=1

2 + 3n

5n

Bài 2. Dùng các dấu hiệu khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau

1)∞∑n=1

n sin1

n; 2)

∞∑n=1

1

n!;

3)∞∑n=1

(n− 1

n+ 1

)n(n−1)

.

Bài 3. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm trên miền xác định đã cho

1)∞∑n=1

3n sinx

5ntrên [0, 1]; 2)

∞∑n=1

cosnx√n3 + x2

, −∞ < x < +∞,

3)∞∑n=1

xn

n(n+ 1)trên [−1, 1]; 4)

∞∑n=1

xn

n 3√n+ 2

trên (−1, 1).

5)∞∑n=1

xne−nx trên [0,+∞).

Bài 4. Tìm bán kính và miền hội tụ của chuỗi hàm


1)∞∑n=1

(n!)3

(3n)!xn; 2)

∞∑n=1

n3 + 3

n!(x− 1)2n; 3)

∞∑n=1

xn√n

;

4)∞∑n=1

xn

n.4n; 5)

∞∑n=1

x2n

32n; 6)

∞∑n=1

n!

nn(x− 2)n.









ĐH Sư phạm.





CHƯƠNG 6

GIỚI HẠN, TÍNH LIÊN TỤC VÀ VI PHÂN

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

VI.1. GIỚI THIỆU

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu những vấn đề cơ bản về giới hạn, tính

liên tục, phép tính vi phân của hàm nhiều biến.

VI.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về giới hạn, tính liên tục, đạo hàm

riêng và tính khả vi của hàm nhiều biến, cực trị của hàm nhiều biến.

VI.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Hiểu được khái niệm và tính được giới hạn của dãy trong Rn

2. Hiểu được khái niệm và tính được giới hạn của hàm nhiều biến.

3. Khảo sát được tính liên tục của hàm nhiều biến.

4. Tính được các đạo hàm riêng, khảo sát được tính khả vi của hàm nhiều

biến.

5. Tính được đạo hàm riêng của hàm hợp.

6. Tính được đạo hàm riêng cấp cao.

7. Biết cách tìm cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện.

8. Trình bày được điều kiện cần để hàm có cực trị có điều kiện và biết cách

tìm cực trị hàm nhiều biến có điều kiện.

VI.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu những vấn đề cơ bản về phép tính vi

178


phân của hàm nhiều biến.

1 Không gian Rn

Trong mục này, chúng ta trình bày các vấn đề về phép toán và sự hội tụ trên

Rn.

1.1 Cấu trúc tuyến tính và khoảng cách trên Rn

Ký hiệu R là tập hợp các số thực, với mỗi số tự nhiên n > 1, ta đặt

Rn = x = (x1, ..., xn) : xi ∈ R, i = 1, ..., n.

Với mỗi x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, ta gọi xi, i = 1, ..., n là toạ độ thứ i của x. Trên Rn

ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng xác định như sau:

Phép toán cộng. Với mọi x = (x1, .., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn ta đặt

x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn).

Phép nhân vô hướng. Với mọi x = (x1, .., xn) ∈ Rn và λ ∈ R ta đặt

λx = (λx1, ..., λxn).

Dễ dàng kiểm tra được rằng với hai phép toán trên Rn là không gian tuyến tính

(không gian vectơ) trên trường R với phần tử không là (0, ..., 0).

1.1.1 Định nghĩa. Hàm d : Rn ×Rn → R cho bởi công thức

d(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2, với mọi x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn,

được gọi là mêrtic Euclide hay khoảng cách thông thường trên Rn.

1.1.2 Định nghĩa. Cho a ∈ Rn và số thực r > 0. Ta gọi các tập

B(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) < r,

B(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) 6 r

thứ tự là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a bán kính r.


1.1.3 Nhận xét. - Trên R hình cầu mở B(a, r) là khoảng (a− r, a + r), hình cầu

đóng B(a, r) là đoạn [a− r, a+ r].

- Trên R2 (mặt phẳng) hình cầu mở tâm a = (a1, a2) bán kính r là những điểm

nằm trong hình tròn (x1−a1)2+(x2−a2)2 < r2 (không lấy các điểm nằm trên đường

tròn). Hình cầu đóng tâm a = (a1, a2) bán kính r là hình tròn (x1−a1)2+(x2−a2)2 6r2.

- Trên R3 hình cầu mở tâm a = (a1, a2, a3) bán kính r là những điểm trong hình

cầu (x1 − a1)2 + (x2 − a2)

2 + (x3 − a3)2 < r2 (không lấy các điểm trên mặt cầu).

Hình cầu đóng là hình cầu (x1 − a1)2 + (x2 − a2)

2 + (x3 − a3)2 6 r2.

1.1.4 Định nghĩa. Cho a ∈ Rn. Tập con U ⊂ Rn được gọi là một lân cận của

điểm a nếu tồn tại hình cầu mở B(a, r) sao cho B(a, r) ⊂ U .

Dễ thấy hình cầu mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

1.1.5 Định nghĩa. Cho a ∈ Rn và A ⊂ Rn.

1) a được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(a, r) ⊆ A.

2) a được gọi là điểm biên của A nếu với mọi r > 0 thì B(a, r) ∩ A = ∅ và

B(a, r) ∩ (Rn \ A) = ∅. Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của tập A

và ký hiệu là ∂A.

3) a được gọi là điểm tụ hay điểm giới hạn của A nếu với mọi r > 0 thì B(a, r)∩(A \ a) = ∅.

1.1.6 Ví dụ. Mọi điểm của hình cầu mở B(a, r) đều là điểm trong của nó. Biên

của hình cầu mở B(a, r) trùng với biên của hình cầu đóng B(a, r) và bằng mặt cầu

S(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) = r. Hơn nữa tất cả các điểm biên của hình cầu mở là

điểm giới hạn của nó.

1.1.7 Định nghĩa. Tập con E của Rn được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó

đều là điểm trong.

Tập con A của Rn được gọi là tập đóng nếu Rn \ A là tập mở.

1.2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy hội tụ trong

Rn

Như đã nói ở trước trong phần này khoảng cách được xét là khoảng cách

thông thường.


1.2.1 Định nghĩa. Cho dãy xk∞k=1 ⊂ Rn, với xk = (xk1, ..., xkn) ∈ Rn, k = 1, 2, ...

Dãy xk được gọi là hội tụ tới a ∈ Rn nếu d(xk, a) → 0 khi k → ∞.

1.2.2 Định lý. Dãy xk = (xk1, ..., xkn) ∈ Rn hội tụ tới a = (a1, ..., an) ∈ Rn khi và

chỉ khi xki → ai khi k → ∞, với mọi i = 1, ..., n.

Chứng minh. Xem Bài giảng.

1.2.3 Ví dụ. Trong R2 dãy( 1

n,n− 1

n

)hội tụ tới (0, 1), bởi vì lim

n→∞

1

n= 0 và

limn→∞

n− 1

n= 1.

Định lý sau nêu lên một đặc trưng của tập đóng theo ngôn ngữ dãy. Chứng minh

của nó bạn đọc tìm hiểu trong tài liệu tham khảo [1] của chương 6..

1.2.4 Định lý. Tập A ⊂ Rn là đóng khi và chỉ khi nếu mọi dãy xk ⊂ A mà hội

tụ tới a thì a ∈ A.

Sau đây, chúng ta trình bày sơ lược các nguyên lý của dãy hội tụ trong Rn. Đây

là sự tổng quát của các nguyên lý Cauchy, Cantor và Bonzano-Weierstrass đã biết

trong R. Các chứng minh của các nguyên lý này nếu quan tâm bạn đọc tìm hiểu

trong tài liệu tham khảo [1] của chương 6.

1.2.5 Định nghĩa. Dãy xk∞k=1 ⊂ Rn được gọi là dãy cơ bản, hay dãy Cauchy nếu

limk,l→∞

d(xk, xl) = 0, nghĩa là với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên k0 sao cho

d(xk, xl) < ε, với mọi k, l > k0.

1.2.6 Định lý. (Nguyên lý Cauchy). Dãy xk∞k=1 ⊂ Rn hội tụ khi và chỉ khi nó là

dãy Cauchy.

1.2.7 Định nghĩa. Tập con A của Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại r > 0 sao

cho A ⊂ B(0, r).

Dãy xk∞k=1 ⊂ Rn được gọi là bị chặn nếu tập xk : k = 1, 2, ... là tập bị chặn.

Các tính chất khác của dãy hội tụ và của các tập con trong Rn có thể xem trong

các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.


2 Giới hạn của hàm nhiều biến

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa. Cho A ⊆ Rn. Ánh xạ f : A → R được gọi là một hàm n biến

xác định trên A và nhận giá trị trong R. Khi đó A được gọi là tập xác định của hàm

f , f(A) = y = f(x) : x ∈ A ⊆ R được gọi là tập giá trị của hàm f .

2.1.2 Ví dụ. 1) Hàm f(x, y, z) =x+ y

x2 + y2 + z2là hàm ba biến số xác định trên

R3 \ (0, 0, 0).

2) Hàm

f(x, y) =

xy

x2 + y2nếu (x, y) = (0, 0),

0 nếu (x, y) = (0, 0)

là hàm hai biến số xác định trên R2.

2.1.3 Định nghĩa. Cho A ⊂ Rn, hàm f : A ⊆ Rn → R và a là một điểm giới hạn

của A. Ta nói f có giới hạn l ∈ R khi x→ a và viết

limx→a

f(x) = l hay f(x) → l khi x→ a

nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ A mà 0 < d(x, a) < δ thì

|f(x)− l| < ε.

Nói một cách tương đương: limx→a

f(x) = l nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của

a sao cho

|f(x)− l| < ε

với mọi x ∈ A ∩ (U \ a).

Định lý sau đây được chứng minh tương tự như đối với giới hạn của hàm một

biến.

2.1.4 Định lý. Nếu hàm f có giới hạn khi x→ a thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý sau cho ta một định nghĩa khác của giới hạn hàm nhiều biến theo ngôn

ngữ dãy.


2.1.5 Định lý. limx→a

f(x) = l nếu và chỉ nếu với mọi dãy xk ⊂ A mà xk → a thì

limk→∞

f(xk) = l.

Nhận xét. Nhờ định lý trên để chứng minh hàm f(x, y) không có giới hạn khi

(x, y) → (a1, a2) ta chỉ cần chỉ ra 2 dãy (xn, yn), (x′n, y′n) mà (xn, yn) → (a1, a2)

và (x′n, y′n) → (a1, a2), nhưng lim

n→∞f(xn, yn) = lim

n→∞f(x′n, y

′n).

Ví dụ. Xét hàm số f(x, y) =xy

x2 + y2. Hàm này không có giới hạn khi (x, y) →

(0, 0). Bằng cách chọn các dãy xn, yn) = ( 1n, 1n) và (x′n, y′n) = ( 2

n, 1n). Ta có

limn→∞

f(xn, yn) =1

2=

2

5= lim

n→∞f(x′n, y

′n).

Các định lý sau đây được chứng minh tương tự như đối với giới hạn của hàm một

biến.

2.1.6 Định lý. Nếu limx→a

f(x) = l > 0 (tương ứng < 0) thì tồn tại lân cận U của a

sao cho f(x) > 0 (f(x) < 0) với mọi x ∈ A ∩ U .

2.1.7 Định lý. Giả sử f, g xác định trên A ⊆ Rn và tồn tại các giới hạn limx→a

f(x) = l

và limx→a

g(x) = r. Khi đó

1) limx→a

[f(x)± g(x)

]= l ± r.

2) limx→a

f(x)g(x) = lr.

3) limx→a

f(x)

g(x)=l

rnếu r = 0.

2.1.8 Định lý. (Nguyên lý Cauchy). Cho f là hàm xác định trên A ⊆ Rn và a là

điểm giới hạn của A. Khi đó limx→a

f(x) = l nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 tồn tại

δ > 0 sao cho

|f(x)− f(x′)| < ε ∀x, x′ ∈ B(a, δ) ∩ (A \ a).

2.1.9 Định lý. Nếu limx→a

f(x) = l thì limx→a

|f(x)| = |l|.

2.1.10 Nhận xét. Chiều ngược lại của định lý trên là không đúng. Tuy nhiên, ta

dễ dàng chứng minh được limx→a

f(x) = 0 khi và chỉ khi limx→a

|f(x)| = 0.

Định lý sau đây còn gọi là Nguyên lý kẹp trong giới hạn của hàm nhiều biến số.


2.1.11 Định lý. Cho f, g và h là các hàm số xác định trên A ⊆ Rn, a là điểm giới

hạn của A và

f(x) 6 g(x) 6 h(x), với mọi x ∈ A.

Khi đó, nếu limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = l thì limx→a

g(x) = l.

2.1.12 Ví dụ. Tìm các giới hạn sau

1) lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

.

Ta có

0 6∣∣∣ xy√

x2 + y2

∣∣∣ 6x2 + y2

2√x2 + y2

=

√x2 + y2

2

với mọi (x, y) = (0, 0). Từ lim(x,y)→(0,0)

√x2 + y2 = 0 suy ra

lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

= 0.

2) lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2.

Đặt f(x, y) =xy

x2 + y2. Xét các dãy (xn, yn) =

( 1n,1

n

)và (x′n, y

′n) =

(−

1

n,1

n

)với mỗi n = 1, 2, ... Khi đó (xn, yn) → (0, 0) và (x′n, y

′n) → (0, 0) khi n → ∞. Tuy

nhiên

f(xn, yn) =1

2

và

f(x′n, y′n) =

−1

2, với mọi n = 1, 2, ...

Do đó theo Định lý 2.1.5, không tồn tại giới hạn lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2.

3) lim(x,y)→(0,0)

x cos1

x2 + y2.

Ta có

0 6∣∣∣x cos 1

x2 + y2

∣∣∣ 6 |x|, với mọi (x, y) = (0, 0).

Vì lim(x,y)→(0,0)

|x| = 0 ta suy ra

lim(x,y)→(0,0)

x cos1

x2 + y2= 0.


2.2 Giới hạn lặp, giới hạn kép và mối liên hệ giữa chúng

Một trong những khác biệt giữa giới hạn của hàm n biến với giới hạn của hàm

một biến là khái niệm giới hạn lặp. Để đơn giản chúng ta trình bày cho trường hợp

n = 2. Trường hợp n > 2 được mở rộng một cách tương tự.

Cho A ⊂ R2 và f : A→ R. Với mỗi x ∈ R đặt

Ax = y ∈ R : (x, y) ∈ A

và với mỗi y ∈ R đặt

Ay = x ∈ R : (x, y) ∈ A.

Nếu y ∈ R mà Ay = ∅ thì công thức

f y(x) = f(x, y), x ∈ Ay

xác định một hàm số một biến trên Ay.

Tương tự ta định nghĩa

fx(y) = f(x, y), y ∈ Ax

nếu Ax = ∅.

Giả sử x0 là điểm giới hạn của Ay, xét

limx→x0

f y(x) = limx→x0

f(x, y).

Đặt

Ax0 = y ∈ R : tồn tại limx→x0

f(x, y).

Khi đó công thức

g(y) = limx→x0

f y(x) = limx→x0

f(x, y)

xác định một hàm g trên Ax0 .

Nếu y0 là điểm giới hạn của Ax0 ta xét giới hạn

limy→y0

g(y) = limy→y0

(limx→x0

f y(x))

= limy→y0

(limx→x0

f(x, y))= lim

y→y0limx→x0

f(x, y).(6.1)

Tương tự ta có thể xét giới hạn

limx→x0

(limy→y0

f(x, y))= lim

x→x0

limy→y0

f(x, y). (6.2)


2.2.1 Định nghĩa. Ta gọi các giới hạn (6.1) và (6.2) (nếu tồn tại) là các giới hạn

lặp của hàm f tại điểm (x0, y0) và gọi giới hạn trong Định nghĩa 2.1.3 là giới hạn

kép tại điểm (x0, y0).

2.2.2 Ví dụ. Cho hàm số f(x, y) =x+ y

x− y.

Ta có

limx→0

limy→0

f(x, y) = limx→0

x

x= 1

và

limy→0

limx→0

f(x, y) = limy→0

y

−y= −1.

Định lý sau đưa ra mối quan hệ giữa giới hạn kép (giới hạn) và các giới hạn lặp.

2.2.3 Định lý. Cho hàm số f xác định trên A ⊆ R2 và (x0, y0) là điểm giới hạn

của A. Nếu tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) và một trong hai giới hạn lặp tồn tại

thì các giới hạn đó bằng nhau.

Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.

2.2.4 Nhận xét. 1) Từ sự tồn tại giới hạn của hàm số khi (x, y) → (x0, y0) không

thể suy ra được sự tồn tại của các giới hạn lặp của hàm tại (x0, y0). Chẳng hạn, bạn

đọc tự kiểm tra hàm

f(x, y) = (x+ y) sin1

xsin

1

y

có giới hạn bằng 0 khi (x, y) → (0, 0). Trong khi cả hai giới hạn lặp không tồn tại.

2) Từ sự tồn tại của hai giới hạn lặp tại (x0, y0), thậm chí hai giới hạn lặp bằng

nhau không thể suy ra được sự tồn tại của giới hạn của hàm khi (x, y) → (x0, y0).

Chẳng hạn, bạn đọc dễ dàng chứng minh được hàm

f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x2 − y2)2

có hai giới hạn lặp tại (0, 0) là limx→x0

limy→y0

f(x, y) = 0 và limy→y0

limx→x0

f(x, y) = 0. Trong

khi giới hạn của hàm f tại (0, 0) là không tồn tại.

Thật vây. Vì nếu chọn (xn, yn) =( 1n,1

n

)và (x′n, y

′n) =

(0,

1

n

)thì ta có (xn, yn) →

(0, 0) và (x′n, y′n) → (0, 0) và

limn→∞

f(xn, yn) = 1 = 0 = limn→∞

f(x′n, y′n).


3 Tính liên tục của hàm nhiều biến

3.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm liên tục

3.1.1 Định nghĩa. Cho A ⊆ Rn và f : A→ R.

1) Hàm f được gọi là liên tục tại a ∈ A nếu limx→a

f(x) = f(a).

2) Hàm f được gọi là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi điểm của A.

3) Hàm f được gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao

cho với mọi x, y ∈ A mà d(x, y) < δ thì |f(x)− f(y)| < ε.

3.1.2 Nhận xét. Từ Định nghĩa 3.2.1 ta trực tiếp suy ra rằng 3) ⇒ 2) ⇒ 1).

Từ định nghĩa tính liên tục và tính chất của giới hạn ta có định lý sau.

3.1.3 Định lý. Cho hàm f : A ⊆ Rn → R và a ∈ A. Khi đó các mệnh đề sau là

tương đương

1) f liên tục tại a.

2) Với mọi lân cận V của f(a) đều tồn tại lân cận U của a sao cho f(U∩A) ⊆ V.

3) Với mọi dãy xk ⊂ A mà xk → a thì f(xk) → f(a).

Định lý sau đây suy ra từ định nghĩa hàm liên tục, Định lý 2.1.6 và Định lý

2.1.7.

3.1.4 Định lý. Nếu các hàm f, g : A ⊆ Rn → R liên tục tại a ∈ A thì các hàm

f ± g, fg vàf

g(với g(a) = 0) cũng liên tục tại a.

3.1.5 Định lý. (Tính liên tục của hàm hợp) Cho A ⊂ Rn, B ⊂ Rm, f : A → R

là hàm liên tục tại a = (a1, ..., an) ∈ A và gi : B → R là các hàm liên tục tại

b = (b1, ..., bm) ∈ B với mọi i = 1, ..., n sao cho (g1(b), ..., gn(b)) = (a1, ..., an) = a vàn∏

i=1

gi(B) ⊂ A. Khi đó hàm hợp f(g1(u), ..., gn(u)

)) : B → R liên tục tại b.


3.2 Tính liên tục theo từng biến và mối liên hệ với tính liên

tục

3.2.1 Định nghĩa. Cho A ⊆ Rn và f : A → R. Hàm số f được gọi là liên tục

theo biến xi, với i = 1, ..., n tại điểm a = (a1, ..., an) ∈ A nếu hàm một biến

xi 7→ f(a1, .., ai−1, xi, ai+1, ..., an)

liên tục tại tại ai ∈ Ai = xi ∈ R : (a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an) ∈ A.

Nếu f liên tục theo biến xi tại a với mọi i = 1, ..., n thì ta nói f liên tục theo

từng biến tại a ∈ A.

Định lý sau cho thấy mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm với tính liên tục

theo từng biến.

3.2.2 Định lý. Nếu hàm f : A → R liên tục tại a = (a1, .., an) ∈ A ⊂ Rn thì nó

liên tục theo từng biến tại a.

Chứng minh của các định lý trên bạn đọc tìm hiểu trong tài liệu tham khảo [1].

3.2.3 Nhận xét. Chiều ngược lại của Định lý 3.2.6 là không đúng, nghĩa là hàm f

liên tục theo từng biến, thì chưa chắc đã liên tục. Bạn đọc hãy tìm hiểu thông qua

Bài tập 6 của chương này.

Các tính chất khác của hàm liên tục trên một tập có thể xem trong các tài liệu

tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.

4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến

Để đơn giản ta trình bày cho hàm 2 biến. Đối với các hàm nhiều biến hơn,

các kết quả được suy ra một cách hoàn toàn tương tự.

4.1 Đạo hàm riêng, tính khả vi và vi phân của hàm nhiều

biến

Cho hàm số f xác định trên tập mở G ⊂ R2 và điểm (x0, y0) ∈ G. Với mỗi

y ∈ R cố định ta đặt Gy = x ∈ R : (x, y) ∈ G ⊂ R. Nếu Gy = ∅, thì công thức


f y(x) = f(x, y), x ∈ Gy xác định một hàm f y : Gy → R trên Gy. Do đó ta có thể

xét đạo hàm của hàm f y trên Gy.

4.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : G→ R xác định trên tập mở G ⊂ R2 và điểm

(x0, y0) ∈ G. Nếu hàm f y0 : Gy0 → R tồn tại đạo hàm tại điểm x0 thì ta gọi đạo

hàm đó là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x tại điểm (x0, y0) và ký hiệu là

f ′x(x0, y0), hoặc

∂f

∂x(x0, y0), nghĩa là ta có

f ′x(x0, y0) = lim

∆x→0

f y0(x0 +∆x)− f y0(x0)

∆x

= lim∆x→0

f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0)

∆x.

(6.3)

Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f theo biến y tại điểm (x0, y0) và

ký hiệu là f ′y(x0, y0), hoặc

∂f

∂y(x0, y0), nghĩa là

f ′y(x0, y0) = lim

∆y→0

f(x0, y0 +∆y)− f(x0, y0)

∆y. (6.4)

4.1.2 Nhận xét. Các đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên các kết

quả của đạo hàm của hàm một biến đều được áp dụng cho đạo hàm riêng của hàm

hai biến. Chẳng hạn, tính đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = ex2+y3 .

Ta có

f ′x(x, y) = 2xex

2+y3 , f ′y(x, y) = 3y2ex

2+y3 .

4.1.3 Định nghĩa. Cho hàm số f : G → R xác định trên tập mở G ⊂ R2 và

điểm (x, y) ∈ G. Cho x một số gia là ∆x và y một số gia là ∆y đủ bé sao cho

(x+∆x, y +∆y) ∈ G. Ký hiệu ∆f(x, y) hay gọn hơn là ∆f là biểu thức

∆f(x, y) = f(x+∆x, y +∆y)− f(x, y)

và gọi nó là số gia của hàm số f tại điểm (x, y) tương ứng với cặp số gia (∆x,∆y)

của đối số. Hàm f được gọi là khả vi tại điểm (x, y) nếu tồn tại các số thực A,B

phụ thuộc vào (x, y) mà không phụ thuộc vào ∆x,∆y sao cho

lim(∆x,∆y)→(0,0)

∆f −(A∆x+B∆y

)ρ

= 0 (6.5)

trong đó ρ =√

∆x2 +∆y2.

Khi đó, biểu thức A∆x+B∆y được gọi là vi phân toàn phần (hay vi phân) của

hàm f tại điểm (x, y) và ký hiệu là df(x, y), nghĩa là df(x, y) = A∆x+B∆y.

Hàm f được gọi là khả vi trên G nếu nó khả vi tại mọi điểm của G.


4.1.4 Định lý. Nếu hàm f khả vi tại điểm tại điểm (x, y) ∈ G thì f liên tục và có

các đạo hàm riêng tại điểm này. Hơn nữa A = f ′x(x, y) và B = f ′

y(x, y).


4.1.5 Nhận xét. 1) Từ Định lý 4.1.4 ta thấy nếu hàm f khả vi tại điểm (x, y) thì

vi phân của nó tại điểm đó là tồn tại duy nhất và

df(x, y) = f ′x(x, y)∆x+ f ′

y(x, y)∆y.

2) Như đã biết, đối với hàm một biến, sự khả vi và sự tồn tại đạo hàm tại một

điểm là tương đương. Đối với hàm hai biến sự tồn tại các đạo hàm riêng của một

hàm tại một điểm không suy ra được sự khả vi của nó tại điểm đó. Chẳng hạn, xét

hàm số

f(x, y) =√|xy|.

Ta có

f ′x(0, 0) = lim

∆x→0

f(∆x, 0)− f(0, 0)

∆x= lim

∆x→0

0

∆x= 0

và tương tự f ′y(0, 0) = 0.

Nếu f khả vi tại (0, 0) thì từ Định nghĩa 4.1.3 và Định lý 4.1.4 ta có

lim(∆x,∆y)→(0,0)

∆f(0, 0)−(f ′x(0, 0)∆x+ f ′

y(0, 0)∆y)

ρ

= lim(∆x,∆y)→(0,0)

√|∆x∆y|

∆x2 +∆y2= 0.

Tuy nhiên, với ∆x = ∆y > 0 ta có

lim(∆x,∆y)→(0,0)

√|∆x∆y|

∆x2 +∆y2= lim

∆x→0

∆x√2∆x

=1√2.

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ f không khả vi tại điểm (0, 0).

Lưu ý rằng hàm số trên liên tục tại (0, 0).

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ của tính khả vi của hàm hai biến.

4.1.6 Định lý. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng f ′x(x, y) và f ′

y(x, y) trong một lân

cận của điểm (x0, y0) ∈ G và các đạo hàm riêng đó liên tục tại điểm (x0, y0) thì f

khả vi tại điểm (x0, y0).



4.1.7 Nhận xét. 1) Từ Định lý 4.1.6 ta thấy các hàm φ(x, y) = x và ψ(x, y) = y

khả vi trên R2 và

dφ = dx = ∆x

dψ = dy = ∆y.

Do đó, kết hợp với Nhận xét 4.1.5 ta có thể viết vi phân của các hàm f khả vi tại

(x, y) dưới dạng

df(x, y) = f ′x(x, y)dx+ f ′

y(x, y)dy.

2) Định lý 4.1.6 chỉ là điều kiện đủ để hàm khả vi tại một điểm mà không phải

là điều kiện cần, nghĩa là tồn tại những hàm có đạo hàm riêng không liên tục tại

điểm nào đó nhưng hàm vẫn khả vi tại đó. Chẳng hạn, xét hàm

f(xy) =

(x2 + y2) sin

1

x2 + y2nếu (x, y) = (0, 0),

0 nếu (x, y) = (0, 0).

Dễ dàng tính được f ′x(0, 0) = f ′

y(0, 0) = 0 và

f ′x(x, y) = 2x sin

1

x2 + y2− 2x

x2 + y2cos

1

x2 + y2

với (x, y) = (0, 0).

Với dãy (xn, yn) =( 1

2√πn,

1

2√πn

)→ (0, 0), ta có

f(xn, yn) → −∞,

khi n→ ∞. Do đó đạo hàm f ′x không liên tục tại điểm (0, 0). Tuy nhiên, hàm f vẫn

khả vi tại điểm (0, 0) vì

limρ→0

∆f(0, 0)−(f ′x(0, 0)∆x+ f ′

y(0, 0)∆y)

ρ

= limρ→0

√∆2x+∆2y sin

1

∆2x+∆2y= 0.

3) Nếu f khả vi tại điểm (x, y) thì

∆f(x, y) = f ′x(x, y)∆x+ f ′

y(x, y)∆y + α


trong đó α là vô cùng bé bậc cao hơn ρ. Từ đây ta nhận được công thức gần đúng

f(x+∆x, y +∆y) ≈ f(x, y) + f ′x(x, y)∆x+ f ′

y(x, y)∆y .

Ví dụ. Tính gần đúng a = (1, 04)2,03. Xét hàm f(x, y) = xy. Ta có f ′x(x, y) =

yxy−1 và f ′y(x, y) = xy lnx (với x > 0). Từ đó nhờ Định lý 4.1.6 ta suy ra f khả vi

trên G = (x, y) ∈ R2 : x > 0. Với điểm M(1, 2) ∈ G ta có

f ′x(1, 2) = 2, f ′

y(1, 2) = 0.

Vì vậy với ∆x = 0, 04 và ∆y = 0, 03 ta nhận được

a = (1, 04)2,03 = f(1, 04, 2, 03) ≈ f(1, 2) + 2.(0, 04) + 0.(0, 03)

= 12 + 0, 08 = 1, 08.

Trong phần còn lại của mục này chúng ta tìm hiểu về đạo hàm theo hướng và

mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng, đạo hàm riêng và hàm khả vi.

4.1.8 Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên tập mở G ⊂ R2, điểm M(x, y) ∈ G

và d là nửa đường thẳng xuất phát từ M hợp với chiều dương của trục Ox một góc

φ (Hình 6.1).

y

x

Ox

yM φ

x+∆x

y +∆y M ′

d

Giả sử B(M, r) là hình cầu mở nằm trong G. Lấy điểm M ′(x + ∆x, y + ∆y) ∈d ∩B(M, r), ký hiệu ρ =

√∆x2 +∆y2. Lập tỉ số

∆f

ρ=f(x+∆x, y +∆y)− f(x, y)

ρ.


Nếu tồn tại giới hạn limρ→0

∆f

ρkhi M ′ tiến về M dọc theo đường thẳng d. thì ta gọi

giới hạn này là đạo hàm theo hướng φ của hàm f tại điểm (x, y) và ký hiệu là

Dφf(x, y).

4.1.9 Nhận xét. Từ các định nghĩa đạo hàm riêng và đạo hàm theo hướng ta thấy

đạo hàm riêng f ′x(x, y) tồn tại khi và chỉ khi D0f(x, y) và −Dπf(x, y) tồn tại và

bằng nhau.

Tương tự, đạo hàm riêng f ′y(x, y) tồn tại khi và chỉ khi Dπ

2f(x, y) và −D 3π

2f(x, y)

tồn tại và bằng nhau.

Định lý sau đây cho một điều kiện đủ để tồn tại các đạo hàm theo mọi hướng.

4.1.10 Định lý. Nếu hàm f khả vi tại điểm (x, y) ∈ G thì nó có đạo hàm theo mọi

hướng tại điểm (x, y) và

Dφf(x, y) = f ′x(x, y) cosφ+ f ′

y(x, y)(x, y) sinφ.


4.1.11 Nhận xét. 1) Vì cos(φ+ π) = − cosφ và sin(π + φ) = − sinφ nên từ Định

lý 4.1.10 suy ra

Dφ+π = −Dφ.

2) Ta có thể mở rộng đạo hàm theo hướng cho hàm n biến (với n > 2).

3) Chiều ngược lại của Định lý 4.1.10 là không đúng, tức là tồn tại những hàm

có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm (x, y) nhưng không khả vi tại điểm đó. Chẳng

hạn, xét hàm số

f(x, y) = x+ y +√

|xy|.

Hàm số này có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm (0, 0) nhưng không khả vi tại điểm

đó. Thật vậy, theo hướng φ tùy ý ta có

∆f = ∆x+∆y +√|∆x∆y| = (cosφ+ sinφ+

√| cosφ sinφ|)ρ.

Do vậy

Dφ = limρ→0

∆f

ρ= cosφ+ sinφ+

√| cosφ sinφ|.

Việc chứng minh f không khả vi tạo (0, 0) là dễ dàng và dành cho bạn đọc.


4.2 Đạo hàm của hàm hợp và tính bất biến của vi phân

4.2.1 Định lý. Cho hàm f xác định trên tập mở G và x = x(t), y = y(t) là các hàm

một biến xác định trên (a, b) ⊂ R sao cho(x(t), y(t)

)∈ G với mọi t ∈ (a, b). Nếu f

khả vi trên G còn các hàm x(t), y(t) khả vi trên (a, b) thì hàm hợp f(x(t), y(t)

)có

đạo hàm tại mọi điểm t ∈ (a, b) và

f ′t = f ′

xx′t + f ′

yy′t. (6.6)


Tương tự ta chứng minh được kết quả sau.

4.2.2 Định lý. Cho hàm f xác định trên tập mở G và x = x(u, v), y = y(u, v) là

các hàm hai biến xác định trên tập mở D ⊂ R2 sao cho(x(u, v), y(u, v)

)∈ G với mọi (u, v) ∈ D.

Nếu hàm f khả vi trên G còn các hàm x(u, v), y(u, v) khả vi trên D, thì hàm hợp

f(x(u, v), y(u, v)

)có đạo hàm riêng tại mọi điểm (u, v) ∈ D vàf ′

u = f ′xx

′u + f ′

yy′u,

f ′v = f ′

xx′v + f ′

yy′v.

(6.7)

4.2.3 Nhận xét. Cho các hàm số f, x, y như trong Định lý 4.2.2 Nếu xem f =

f(x, y) là hàm của hai biến độc lập (x, y) ∈ G thì

df = f ′xdx+ f ′

ydy. (6.8)

Bây giờ, nếu xem x, y và f là các hàm phụ thuộc vào (u, v) ∈ D thì

df = f ′udu+ f ′

vdv. (6.9)

Thay (6.7) vào (6.9) và biến đổi ta có

df = (f ′xx

′u + f ′

yy′u)du+ (f ′

xx′v + f ′

yy′v)dv

= f ′x(x

′udu+ x′vdv) + f ′

y(y′udu+ y′vdv) = f ′

xdx+ f ′ydy.

(6.10)

So sánh (6.8) và (6.10) ta thấy rằng dạng vi phân của hàm không thay đổi khi các

biến của nó là độc lập hay phụ thuộc. Tính chất này cũng giống như tính bất biến

của vi phân cấp 1 của hàm một biến.


4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Nếu hàm f có các đạo hàm riêng f ′x, f

′y tại mọi điểm (x, y) trong tập mở G ⊂ R2

thì các đạo hàm riêng này của hàm f cũng là các hàm hai biến trên G (ta gọi chúng

là các đạo hàm riêng cấp 1 của f). Do đó ta có thể xét các đạo hàm riêng của f ′x và

f ′y.

4.3.1 Định nghĩa. Nếu tồn tại các đạo hàm riêng của các đạo hàm f ′x, f

′y tại điểm

(x, y) ∈ G thì ta gọi chúng là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f tại điểm (x, y).

Như vậy, ta có thể có tất cả bốn đạo hàm riêng cấp hai của hàm f tại điểm

(x, y) ∈ G và được ký hiệu là

∂

∂x

(∂f∂x

)=∂2f

∂x2(hay f ′′

xx),

∂

∂y

(∂f∂x

)=

∂2f

∂x∂y(hay f ′′

xy),

∂

∂x

(∂f∂y

)=

∂2f

∂y∂x(hay f ′′

yx),

∂

∂y

(∂f∂y

)=∂2f

∂y2(hay f ′′

yy).

Các đạo hàm riêng cấp 3, 4, ..., n của f được xác định tương tự.

Các đạo hàm riêng cấp cao lấy theo các biến khác nhau được gọi là các đạo hàm

riêng hỗn hợp, chẳng hạn∂2f

∂x∂y,∂3f

∂x2∂y.

Kết quả sau đây của Schwartz cho một điều kiện đủ để các đạo hàm riêng hỗn

hợp cùng cấp bằng nhau. Chứng minh của nó nếu quan tâm bạn đọc có thể tìm

hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.

4.3.2 Định lý. Giả sử f là hàm xác định trên tập mở G ⊂ R2, có các đạo hàm

riêng cấp một f ′x, f

′y và các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai f ′′

xy, f′′yx tại mọi điểm

của G. Khi đó, nếu f ′′xy, f

′′yx liên tục tại (x0, y0) ∈ G thì f ′′

xy(x0, y0) = f ′′yx(x0, y0).

4.3.3 Nhận xét. Từ định lý trên ta dễ dàng chứng minh được rằng hai đạo hàm

riêng hỗn hợp cùng bậc, chỉ sai khác nhau về thứ tự lấy đạo hàm mà liên tục tại

(x, y) ∈ G thì chúng bằng nhau tại điểm đó.


Bây giờ cho f là hàm khả vi trên tập mở G ⊆ R2. Vi phân của hàm f tại điểm

(x, y) ∈ G là

df(x, y) = f ′x(x, y)dx+ f ′

y(x, y)dy.

Vì df(x, y) là hàm của hai biến (x, y) (xem dx, dy là các hằng số) nên ta có thể xét

vi phân của nó tại điểm nào đó. Ta gọi df là vi phân cấp một của f .

4.3.4 Định nghĩa. Nếu tồn tại vi phân của df tại điểm (x0, y0) ∈ G thì ta gọi

vi phân đó là vi phân cấp hai của hàm f tại điểm đó và ký hiệu là d2f . Như vậy

d2f = d(df).

4.3.5 Nhận xét. a) Khi lấy vi phân của df ta xem dx, dy là các hằng số. Do đó

d2f = d(f ′xdx+ f ′

ydy)=(f ′′xxdx+ f ′′

yxdy)dx+

(f ′′xydx+ f ′′

yydy)dy

= f ′′xxdx

2 + 2f ′′yxdxdy + f ′′

yydy2

(với giả thiết các đạo hàm hỗn hợp cấp hai bằng nhau).

b) Các vi phân cấp 3, 4, ... được định nghĩa tương tự và ký hiệu là d3f, d4f, ...

Một cách tổng quát, nếu tồn tại d n−1f thì

d nf = d(d n−1f).

Ta thấy rằng, nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng đến cấp n và chúng liên tục

tại điểm (x0, y0) ∈ G, thì f có vi phân cấp n tại điểm đó.

c) Để tính vi phân cấp cao, ta dùng công thức sau đây

d nf =( ∂∂xdx+

∂

∂ydy)nf (6.11)

Trong công thức (6.11), ta hiểu các phép toán theo nghĩa hình thức∂

∂xdx là tích

của∂

∂xvới dx,

( ∂∂xdx +

∂

∂ydy)n

là lũy thừa bậc n của nhị thức trong dấu ngoặc.

Muốn có công thức tính vi phân d nf ta thực hiện vế phải của (6.11) mọi phép toán

một cách hình thức. Chẳng hạn,

d2f =( ∂∂xdx+

∂

∂ydy)2f

=( ∂2∂x2

dx2 + 2∂2

∂x∂ydxdy +

∂2

∂y2dy2)f

=∂2f

∂x2dx2 + 2

∂2f

∂x∂ydxdy +

∂2f

∂y2dy2.

Bạn đọc tự kiểm tra công thức (3.15) cho những n lớn hơn.


Trong phần cuối của mục này chúng tôi giới thiệu công thức Taylor đối với hàm

nhiều biến. Cũng như đối với hàm một biến, công thức Taylor đối với hàm nhiều

biến cho ta xấp xỉ một hàm nhiều biến bởi một đa thức. Để đơn giản ta xây dựng

công thức Taylor đối với hàm hai biến từ công thức Taylor đối với hàm một biến.

4.3.6 Định lý. Cho hàm f xác định trên tập mở G ⊂ R2, có các đạo hàm riêng

liên tục đến cấp n tại mọi điểm của G. Giả sử (x, y) ∈ G và h, k là các số gia của

x, y tương ứng sao cho (x+ h, y + k) ∈ G. Khi đó ta có

f(x+ h, y + k) = f(x, y) + h∂f

∂x(x, y) + k

∂f

∂y(x, y)+

1

2!

(∂2f∂x2

h2 + 2∂2f

∂x∂yhk +

∂2f

∂y2k2)(x, y) + · · ·

+1

(n− 1)!

n−1∑r=0

Crn−1h

n−1−rkr∂n−1f

∂xn−r−1∂yr(x, y)

+1

n!

n∑r=0

Crnh

n−rkr∂nf

∂xn−r∂yr(x+ θh, y + θk),

(6.12)

trong đó 0 < θ < 1 và các đạo hàm riêng được lấy tại điểm (x, y).

Công thức (6.12) được gọi là công thức Taylor.


5 Cực trị không điều kiện và cực trị có điều kiện

5.1 Cực trị không điều kiện

5.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số n biến f : G→ R xác định trên tập G ⊂ Rn. Điểm

P ∈ G được gọi là điểm cực đại địa phương (tương ứng, điểm cực tiểu địa phương)

của f hay hàm f có cực đại địa phương (có cực tiểu địa phương) tại P nếu tồn tại

lân cận U của P sao cho

f(Q) < f(P ), (tương ứng, f(Q) > f(P ) ), với mọi Q ∈ U \ P.

Các điểm cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được định nghĩa ở trên được

gọi chung là điểm cực trị địa phương, hay điểm cực trị không điều kiện và hàm f

được gọi là đạt cực trị hay đạt cực trị không điều kiện tại điểm P .


Vấn đề đặt ra ở đây là tìm điểm cực trị địa phương của hàm f . Định lý sau đây

cho ta một điều kiện cần của điểm cực trị địa phương.

5.1.2 Định lý. Nếu hàm f có cực trị địa phương tại điểm P (a1, ..., an) ∈ G và có

các đạo hàm riêng tại P thì các đạo hàm riêng đó bằng 0.


5.1.3 Định nghĩa. Điểm P ∈ G được gọi là điểm dừng của hàm f nếu các đạo

hàm riêng của f tại điểm đó tồn tại và bằng 0.

5.1.4 Quy tắc tìm cực trị của hàm 2 biến. Để tìm cực trị địa phương của hàm

2 biến z = f(x, y) ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1. Tìm∂f

∂x,∂f

∂y.

Bước 2. Giải hệ phương trình∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

để tìm các điểm dừng P (a, b).

Bước 3. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 f ′′xx, f

′′xy, f

′′yy. Đặt A = f ′′

xx(a, b), B =

f ′′xy(a, b), C = f ′′

yy(a, b).

Bước 4. Đặt Xét dấu ∆ = AC −B2 và kết luận

a) Nếu AC −B2 > 0, A < 0, thì hàm đạt cực đại tại điểm P (a, b).

b) Nếu AC −B2 > 0, A > 0, thì hàm đạt cực tiểu tại điểm P (a, b).

c) Nếu AC −B2 < 0, thì hàm không có cực trị tại điểm P (a, b).

d) Nếu AC − B2 = 0, thì ta chưa có kết luận gì. Khi đó để xét cực trị địa

phương của hàm f(x, y) ta phải sử dụng Định nghĩa 5.1.1.

5.1.5 Ví dụ. Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.

Giải. Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệf ′x(x, y) = 3x2 − 3y = 0

f ′y(x, y) = 3y2 − 3x = 0.

Giải hệ này ta nhận được các điểm dừng của hàm f là P1(0, 0), P2(1, 1). Ta lại có

f ′′xx = 6x, f ′′

xy = −3, f ′′yy = 6y.


a) Tại điểm dừng P1(0, 0) ta có A = C = 0 và B = −3. Vì vậy ∆ = AC −B2 =

−9 < 0. Do đó f không có cực trị tại (0, 0).

b) Tại điểm dừng P2(1, 1) ta có A = C = 6 > 0, B = −3. Vì vậy ∆ = AC−B2 =

27 > 0. Do đó f có cực tiểu tại (0, 0).

5.2 Cực trị có điều kiện

Bài toán tìm cực trị có điều kiện là bài toán tìm các điểm cực trị địa phương

của hàm f(x1, ..., xn) với ràng buộc các điểm cực trị đó phải thỏa mãn các điều kiện

cho bởi hệ:

Fi(x1, ..., xn) = 0, i = 1, 2, ...,m (với m < n).

Dựa vào lý thuyết hàm ẩn (mà chúng ta không trình bày ở đây), người ta có thể

tìm được điều kiện cần để có cực trị có điều kiện. Để đơn giản các ký hiệu ta trình

bày cho trường hợp n = 4 và m = 2.

5.2.1 Định lý. Giả sử hàm số f xác định trên tập mở G ⊂ R4, đạt cực trị tại điểm

P0(x0, y0, z0, t0) ∈ G thỏa mãn hệ phương trìnhF1(x, y, z, t) = 0

F2(x, y, z, t) = 0(6.13)

trong đó f, F1, F2 cùng với các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong một lân cận

nào đó của điểm P0 và

J =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂F1

∂z

∂F1

∂t∂F2

∂z

∂F2

∂t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

tại P0. Khi đó tồn tại các số λ1, λ2 sao cho

∂f

∂x+ λ1

∂F1

∂x+ λ2

∂F2

∂x= 0

∂f

∂y+ λ1

∂F1

∂y+ λ2

∂F2

∂y= 0

∂f

∂z+ λ1

∂F1

∂z+ λ2

∂F2

∂z= 0

∂f

∂t+ λ1

∂F1

∂t+ λ2

∂F2

∂t= 0

(6.14)

(tất cả các đạo hàm riêng lấy tại P0).


5.2.2 Nhận xét. Định lý 5.2.1 cho ta một điều kiện cần để điểm P0(x0, y0, z0, t0)

là điểm điểm cực trị có điều kiện của hàm f , đó là tọa độ của P0 phải thỏa mãn

các hệ phương trình (6.13) và (6.14). Tuy nhiên ví dụ sau đây cho thấy có thể dùng

điều kiện cần đó để tìm cực trị có điều kiện như thế nào.

5.2.3 Ví dụ. Tìm cực trị của hàm

f(x, y, z) = x+ y + z

thỏa mãn điều kiện

F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0.

Giải. Ta xét hệ

x2 + y2 + z2 − 1 = 0

1 + 2λx = 0

1 + 2λy = 0

1 + 2λz = 0.

Từ 3 phương trình sau của hệ ta suy ra

x = y = z = −1

2λ.

Thay vào phương trình đầu ta thu được

x = y = z = ± 1√3.

Như vậy nếu hàm f có cực trị địa phương thỏa mãn điều kiện F (x, y, z) = 0 thì nó

chỉ đạt tại hai điểm P1

( 1√3,1√3,1√3

)hoặc P2

(−

1√3,−

1√3,−

1√3

). Mặt khác vì f

là hàm liên tục trên mặt cầu

S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1

và S là tập compắc nên f phải có cực đại (trong trường hợp này là giá trị lớn nhất)

và cực tiểu (giá trị nhỏ nhất) trên S. Từ đó ta thấy rằng f đạt cực đại tại P1 và

cực tiểu tại P2.




1) Mối liên hệ giữa giới hạn kép và giới hạn lặp của hàm nhiều biến.

2) Mối liên hệ giữa tính liên tục và liên tục theo từng biến của hàm nhiều biến.

3) Mối quan hệ giữa tính khả vi, tính liên tục, sự tồn tại và tính liên tục của các

đạo hàm riêng của hàm nhiều biến.

4) Phương pháp xét tính liên tục, khả vi của hàm nhiều biến.

5) Cách tìm cực trị, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.


Bài 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau.

a) z =

√1−

x2

a2−y2

b2; b) z =

xy

x2 − y2; c) z = 1√

x2+y2.

Bài 2. Cho hàm số f(x, y) =x− y

x+ y. Chứng minh rằng

limx→0

limy→0

f(x, y) = 1, limy→0

limx→0

f(x, y) = −1

nhưng không tồn tại

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Bài 3. Tìm các giới hạn sau.

a) lim(x,y)→(0,0)

sinxy

x; b) lim

(x,y)→(∞,∞)

x+ y

x2 − xy + y2.

c) lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2)x2y2 .

Bài 4. Chứng minh rằng hàm

f(x, y) =

xy

x2 + y2nếu (x, y) = (0, 0),

0 nếu (x, y) = (0, 0).

liên tục theo từng biến tại điểm (0, 0) nhưng không liên tục tại điểm đó.


Bài 5. Chứng minh rằng, hàm

f(xy) =

x2y

x4 + y2nếu (x, y) = (0, 0),

0 nếu (x, y) = (0, 0)

liên tục tại điểm (0, 0) trên mỗi tia (t cosα, t sinα) (0 6 t <∞), theo từng biến tại

điểm (0, 0) nhưng không liên tục tại (0, 0).

Bài 6. Xét tính liên tục đều của các hàm số sau trên các miền đã chỉ ra.

1) f(x, y) = 2x+ 3y + 1 trên R2.

2) f(x, y) = sinπ

1− x2 − y2trên miền x2 + y2 < 1.

Bài 7. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau đây

a) z =√x4 + y4.

b) u = x√y +

y3√x

.

c) z = xxy.

d) u = ln(x+ ln y).

Bài 8. Xét tính khả vi của các hàm số sau đây tại điểm (0, 0) ∈ R2.

a) f(x, y) = |xy|.

b) f(x, y) =√x2 + y2.

Bài 9. Cho hàm số

f(xy) =

xy√x2 + y2

nếu (x, y) = (0, 0),

0 nếu (x, y) = (0, 0).

Chứng minh rằng:

1) f liên tục tại điểm (0, 0).

2) f không khả vi tại điểm (0, 0).

Bài 10. Tính gần đúng

1) a = arctan

1, 97

1, 02− 1

.


2) c =√

(1, 04)1,99 + ln(1, 02).

Bài 11. Tính đạo hàm được chỉ ra của các hàm số sau:

a) u = ex−y, x = sin t, y = t2. Tính u′t.

b) z = x2y − y2x x = u cos v, y = u sin v. Tính z′u, z′v.

Bài 12. Tính đạo hàm đến các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:

a) z = ln(x+√x2 + y2). Tìm z′′xx, z

′′yy.

b) z = x ln(xy) . Tìm z′′xy.

Bài 13. Tìm vi phân đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau đây.

a) d2u với u = x2 + y2 + 6xy(x− y).

b) d10u với u = ln(x+ y).

Bài 14. Tìm cực trị của các hàm số

a) z = x2 + y2 + 2x− 6y + 9.

b) z = x2 + (y − 1)2.

c) z = e2x+3y(8x2 − 6xy + 3y2).

d) z = xy ln(x2 + y2).

Bài 15. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số

a) z =x

a+y

bvới điều kiện x2 + y2 = 1, (a > 0, b > 0).

b) u = xy + xz với các điều kiện x2 + y2 = 1, y + z = 2, (x, y, z > 0).


[1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải và Đinh Huy Hoàng (1998), Toán cao cấp, Tập 3

(Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất bản Giáo dục.




[3] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích 3 (Dành cho

sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh.




[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, ...(2000), Toán cao cấp, Tập 3, Nhà xuất bản

Giáo dục.

CHƯƠNG 7

TÍCH PHÂN BỘI

VII.1. GIỚI THIỆU

Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của

phép tính tích phân hàm một biến và một số ứng dụng của chúng.

VII.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản, cách tính và một số ứng dụng của

tích phân 2 lớp và 3 lớp.

VII.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Nắm được định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân 2 lớp.

2. Nắm được phương pháp đổi biến số để tính tích phân 2 lớp.

3. Nắm được cách tính và tính được tích phân 2 lớp.

4. Nắm được định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân 3 lớp.

5. Nắm được các phương pháp đổi biến số để tính tích phân 3 lớp.

6. Nắm được cách tính và tính được tích phân 3 lớp.

7. Biết vận dụng tích phân bội để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể

trong R3, diện tích mặt cong, tính khối lượng và tọa độ trọng tâm vật thể.

VII.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Trong chương này chúng ta nghiên cứu các mở rộng tích phân Riemann trên

đoạn [a, b] ⊂ R, dẫn tới khái niệm tích phân bội. Đầu tiên ta trình bày tích phân

trên miền phẳng (tích phân hai lớp), tiếp đến là tích phân trên miền không gian

(tích phân ba lớp). Do đặc thù của ngành học chúng ta không đi sâu nghiên cứu

chi tiết cách xây dựng, tính chất của tích phân bội mà tập trung đề cập đến các

phương pháp thực hành tính tích phân bội và các ứng dụng của nó. Muốn tìm hiểu

sâu hơn về tích phân bội, chúng ta có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],

205


[2], [3], [5] của chương 7.

1 Tích phân hai lớp

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân hai

lớp

Trong tiết 3 chương 4 chúng ta đã xây dựng được công thức tính diện tích hình

phẳng từ tích phân xác định một lớp. Trước khi xây dựng định nghĩa tích phân 2

lớp chúng tôi trình bày một số tính khái niệm và tính chất của miền phẳng trong

R2.

1.1.1 Định nghĩa. Cho D là một miền trong R2. Ta nói rằng miền D là đo được

nếu diện tích của nó hữu hạn.

Người ta chứng minh được kết quả sau.

1.1.2 Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng

1) Diện tích của một miền con của một miền đo được bé hơn diện tích của miền

đó.

2) Nếu miền được chia thành các miền con không có chung điểm trong thì tổng

diện tích các miền con bằng diện tích cả miền.

3) Nếu các miền D1, D2 đo được thì D1 ∩D2 và D1 ∪D2 đo được.

1.1.3 Định nghĩa. Cho D là một miền bị chặn của R2. Khi đó

d(D) = supd(M,N) :M,N ∈ D,

được gọi là đường kính của miền D, với d(M,N) là khoảng cách giữa hai điểm M

và N .

1.1.4 Định nghĩa. Cho D là một miền đo được của R2. Tập hợp các miền đo được

D1, ..., Dn được gọi là một phép chia của D nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

1) D =n∪

i=1

Di;

2) Di ∩Dj = ∂Di ∩ ∂Dj, với mọi i = j.

Lúc đó ta cũng ký hiệu π = D1, D2, . . . , Dn.


Tập hợp tất cả các phép chia của miền D được ký hiệu là P(D). Giả sử π ∈ P(D)

và π = D1, ..., Dn. Đặt d(π) = maxd(Di) : i = 1, ..., n. Số d(π) được gọi là đường

kính của phép chia π.

1.1.5 Định nghĩa. Cho D là miền bị chặn đo được trong R2 và f : D → R

là hàm số xác định trên D. Chia miền D bởi phép chia π thành các miền nhỏ

D1, D2, ..., Dn và ký hiệu S(Di) là diện tích của miền nhỏ Di, i = 1, . . . , n. Trên

mỗi miền nhỏ Di ta chọn điểm tùy ý Mi(ξi, ηi) ∈ Di, i = 1, . . . , n và lập tổngn∑

i=1

f(ξi, ηi).S(Di). Ký hiệu d(π) là đường kính của phép chia π. Nếu tồn tại giới

hạn (hữu hạn) limd(π)→0

n∑i=1

f(ξi, ηi).S(Di) = I, mà giới hạn này không phụ thuộc vào

phép chia π và cách chọn các điểm Mi(ξi, ηi), thì ta nói hàm f khả tích trên miền D

còn I là tích phân hai lớp của hàm f(x, y) trên miền D và kí hiệu là

∫∫D

f(x, y)dxdy,

nghĩa là

∫∫D

f(x, y)dxdyS = I.

Người ta chứng minh được kết quả quan trọng sau.

1.1.6 Hệ quả. Mọi hàm f(x, y) liên tục trên miền đo được, đóng và bị chặn D ⊂ R2

đều khả tích trên miền đó.

1.1.7 Nhận xét. Cũng như tích phân một lớp, điều kiện cần để hàm f khả tích

trên miền D là f bị chặn trên D.

Tương tự như tích phân một lớp ta chứng minh được tích phân hai lớp có các

tính chất sau.

1.2.1. Tính chất tuyến tính. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên D và α, β ∈ R.

Khi đó αf + βg khả tích trên D và∫∫D

(αf(x, y) + βg(x, y)

)dxdy

= α

∫∫D

f(x, y)dxdy + β

∫∫D

g(x, y)dxdy.

1.2.2.Tính chất cộng tính. Giả sử f là hàm xác định trên D = D1 ∪D2, trong đó

D1, D2 là các miền đo được, không có chung điểm trong. Khi đó, nếu f khả tích


trên D1 và D2 thì f khả tích trên D và∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫∫D1

f(x, y)dxdy +

∫∫D2

f(x, y)dxdy.

1.2.3. Tính chất đơn điệu. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên D và f(x, y) 6g(x, y), với mọi (x, y) ∈ D. Khi đó∫∫

D

f(x, y)dxdy 6∫∫D

g(x, y)dxdy.

1.2.4. Tính khả tích tuyệt đối. Giả sử f là hàm khả tích trên D. Khi đó |f | khả

tích trên D và ∣∣∣ ∫∫D

f(x, y)dxdy∣∣∣ 6 ∫∫

D

|f(x, y)|dxdy.

1.2.5.Định lý giá trị trung bình. Giả sử f là hàm liên tục trên miền D liên thông.

Khi đó tồn tại (x0, y0) ∈ D sao cho∫∫D

f(x, y)dxdy = f(x0, y0)S(D),

trong đó S(D) là diện tích của miền D.

1.2.6.Tính chất hình học

a)

∫∫D

dxdy là diện tích của miền D.

b) Nếu f(x, y) > 0 thì

∫∫D

f(x, y)dxdy là thể tích của hình trụ cong trong R3

với đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, mặt trên được giới hạn bởi mặt cong có

phương trình z = f(x, y).

1.2 Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp

Trong mục trước chúng ta đã nghiên cứu định nghĩa và các tính chất cơ bản của

tích phân hai lớp. Cũng như tích phân một lớp sẽ rất khó khăn nếu dùng trực tiếp

định nghĩa để tính các tích phân hai lớp. Trong thực hành tính tích phân hai lớp

chúng ta dựa vào kết quả căn bản của Định lý Fubini để đưa tích phân hai lớp về

tích phân lặp. Chúng ta chấp nhận các kết quả này mà không trình bày chứng minh


của chúng. Người đọc có thể tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1],

[2], [3], [5] của chương 7.

1.2.1 Định lý. (Fubini) Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trên miền

D = (x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, φ1(x) 6 y 6 φ2(x)

trong đó φ1, φ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó D là miền đo được, f khả tích

trên D và ∫∫D

f(x, y)dxdy =

b∫a

( φ2(x)∫φ1(x)

f(x, y)dy)dx. (7.1)

y

O xa b

y = φ1(x)

y = φ2(x)

x = ax = b

Do vai trò của x và y là như nhau nên ta có kết quả tương tự sau.

1.2.2 Định lý. (Fubini) Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trên miền

D = (x, y) ∈ R2 : c 6 y 6 d, φ1(y) 6 x 6 φ2(x)

trong đó φ1, φ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó D là miền đo được và

∫∫D

f(x, y)dxdy =

d∫c

( φ2(y)∫φ1(y)

f(x, y)dx)dy. (7.2)


O x

y

y = b

y = a

x = φ1(y)

x = φ2(y)

1.2.3 Nhận xét. Trong nhiều trường hợp chúng ta viết

b∫a

dx

φ2(x)∫φ1(x)

f(x, y)dy

thay chob∫

a

( φ2(x)∫φ1(x)

f(x, y)dy)dx.

Chúng ta đến với một vài ví dụ minh họa.

1.2.4 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫D

(x+ y)dxdy

trong đó

1) D là hình chữ nhật: D = (x, y) : 0 6 x 6 1, 1 6 y 6 2.

2) D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y =1

xvà x = 2.

Giải. 1) Áp dụng công thức (4.1) ta có∫∫D

(x+ y)dxdy =

∫ 1

0

( 2∫1

(x+ y)dy)dx =

1∫0

((xy +

y2

2

)∣∣∣21

)dx

=

1∫0

(x+

3

2

)dx =

(x22

+3x

2

)∣∣∣10= 2.


2) Miền D giới hạn bởi các đường y = x, y =1

xvà x = 2 được xác định như sau:

D =(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2,

1

x6 y 6 x

.

O

y

x

y = x

y =1

x

1

x = 2

Vì vậy

∫∫D

(x+ y)dxdy =

2∫1

( x∫1x

(x+ y)dy)dx =

1∫0

((xy +

y2

2

)∣∣∣x1x

)dx

=

2∫1

(3x22

− 1− 1

2x2

)dx =

(x32

− x+1

2x

)∣∣∣21=

9

4.


(x+ y)dxdy

trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y =1

x, y = 0 và x = 2.

Giải. Miền D giới hạn bởi các đường y = x, y =1

x, y = 0 và x = 2 được xác định

như sau: D = D1 ∪D2 với

D1 =(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x


và

D2 =(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2, 0 6 y 6 1

x

.

O

y

x

y = x y =1

x

1

x = 2

Vì vậy∫∫D

(x+ y)dxdy =

∫∫D1

(x+ y)dxdy +

∫∫D2

(x+ y)dxdy

=

1∫0

( x∫0

(x+ y)dy)dx+

2∫1

( 1x∫

0

(x+ y)dy)dx

=

1∫0

((xy +

y2

2

)∣∣∣x0

)dx+

2∫1

((xy +

y2

2

)∣∣∣ 1x0

)dx

=

1∫0

(x2 +x2

2)dx+

2∫1

(1 +1

2x2)dx =

7

4.

1.3 Đổi biến trong tích phân hai lớp

Trong tích phân một lớp các phương pháp đổi biến số là công cụ hữu hiệu

để thực hành tính tích phân. Trong mục này, chúng ta trình bày phương pháp đổi

biến số cho tích phân hai lớp.

Cho D là một miền bị chặn, đo được của R2. Phép đổi biến trong tích phân hai

lớp được thực hiện nhờ phép chuyển từ các biến (x, y) đến các biến mới (u, v) theo


các công thức x = x(u, v)

y = y(u, v)(u, v) ∈ D∗. (7.3)

Ánh xạ Φ biến miền D∗ trong mặt phẳng tọa độ (u, v) thành miền D được xác định

bởi

(u, u) 7→ (x, y) =(x(u, v), y(u, v)

), với (u, v) ∈ D∗.

Ta có định lý sau.

1.3.1 Định lý. Giả sử rằng:

1) Φ là một song ánh từ D∗ vào D.

2) Các hàm x(u, v) và y(u, v) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên D∗.

3) Jacobi của ánh xạ Φ

J(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (7.4)

tại mọi điểm của D∗. Khi đó nếu f(x, y) là một hàm liên tục trên D thì∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫∫D∗

f(x(u, v), y(u, v)

)∣∣J(u, v)∣∣dudv. (7.5)

Công thức (7.5) được gọi là công thức đổi biến trong tích phân hai lớp.

Chúng ta đến với vài ví dụ minh họa.


(x+ 2y)dxdy,

trong đó D là hình bình hành giới hạn bởi các đường thẳng x + y = 0, x + y =

1, x− 2y = 1 và x− 2y = 2.

Giải. Đặt x+ y = u, x− 2y = v. Suy rax =

2u+ v

3

y =u− v

3.

Khi đó D là ảnh của miền

D∗ = (u, v) ∈ R2 : 0 6 u 6 1, 1 6 v 6 2


qua phép đổi biến Φ cho bởi Φ(u, v) =(2u+ v

3,u− v

3

), với (u, v) ∈ D∗. Khi đó ta

có

J(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

3

1

31

3

− 1

3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−1

3.

Sử dụng công thức đổi biến cho tích phân hai lớp ta có∫∫D

(x+ 2y)dxdy =

∫∫D∗

4u− v

3

1

3dudv

=1

9

1∫0

( 2∫1

(4u− v)dv)du

=1

9

1∫0

(4u− 3

2)du =

1

18.


y2

x3dxdy,

trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y = 2x , y = x2 và

y = 2x2.

Giải. Đặty

x= u,

y

x2= v. Suy ra

x =u

v

y =u2

v.

Khi đó, D là ảnh của miền

D∗ = (u, v) ∈ R2 : 1 6 u 6 2, 1 6 v 6 2

qua phép đổi biến Φ cho bởi Φ(u, v) =(uv,u2

v

), với (u, v) ∈ D∗. Khi đó ta có

J(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣1

v

− u

v2

2u

v

− u2

v2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =u2

v3.


Sử dụng công thức đổi biến cho tích phân hai lớp ta có

∫∫D

y2

x3dxdy =

∫∫D∗

uvu2

v3dudv =

2∫1

( 2∫1

u3

v2dv)du

=

2∫1

1

2u3du =

15

8.

1.3.4 Nhận xét. Một trong những phép đổi biến thường gặp trong tích phân 2 lớp

là phép đổi biến sang tọa độ cực. Các vấn đề liên quan cụ thể hơn đến tọa độ cực

bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo.

O

y

xφ

M(x, y)

r

Chúng ta đến với phép đổi biến này.

Trong mặt phẳng R2 với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy ta đưa vào hệ

tọa độ cực (r, φ) với cực tại O và trục cực là Ox. Khi đó hệ phương trìnhx = r cosφ

y = r sinφ,0 6 r <∞, 0 6 φ 6 2π, (7.6)

thực hiện phép biến đổi mặt phẳng tọa độ cực thành mặt phẳng tọa độ Descartes.

Ta có

J(r, φ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂φ

∂y

∂r

∂y

∂φ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣cosφ −r sinφsinφ r cosφ

∣∣∣∣∣ = r.

Giả sử miền D là ảnh của D∗ qua ánh xạ đổi biến (7.6). Khi đó ta có công thức đổi


biến của tọa độ cực∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫∫D∗

f(r cosφ, r sinφ

)rdrdφ. (7.7)

Phép đổi biến tọa độ cực đặc biệt có hiệu lực khi tích phân được lấy trên các miền

có biên là các đường tròn. Sau đây là một số miền quen thuộc được đổi biến sang

tọa độ cực.

1) Hình tròn

D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 R2

là ảnh của miền

D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 R, 0 6 φ 6 2π.

2) Hình vành khăn

D = (x, y) ∈ R2 : R21 6 x2 + y2 6 R2

2


D∗ = (r, φ) : R1 6 r 6 R2, 0 6 φ 6 2π.

3) Hình quạt

D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 R2, tanα 6 y

x6 tan β


D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 R, α 6 φ 6 β.

Chúng ta đến với vài ví dụ minh họa.


sin√x2 + y2dxdy

với D là miền (x, y) ∈ R2 : 1 6 x2 + y2 6 4.

Giải. Dùng phép đổi biến tọa độ cựcx = r cosφ

y = r sinφ,0 6 r <∞, 0 6 φ 6 2π,

ta có D là ảnh của

D∗ = (r, φ) : 1 6 r 6 2, 0 6 φ 6 2π.


Vì vậy ∫∫D

sin√x2 + y2dxdy =

∫∫D∗

r sin rdrdφ

=

2∫1

( 2π∫0

r sin rdφ))dr = 2π

2∫1

r sin rdr

= 2π(− r cos r

∣∣∣21+

2∫1

cos rdr)= 2π(cos 1− 2 cos 2 + sin 2− sin 1).


√x2 + y2dxdy

với D là miền giới hạn bởi đường tròn x2 + y2 = 2x.

Giải. Dùng phép đổi biến tọa độ cựcx = r cosφ

y = r sinφ.

Từ

D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 2x

suy ra 0 6 r 6 2 cosφ và −π

26 φ 6

π

2. Vậy D là ảnh của

D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 2 cosφ, −π

26 φ 6

π

2.

Vì vậy ∫∫D

√x2 + y2dxdy =

∫∫D∗

r2drdφ

=

π2∫

−π2

( 2 cosφ∫0

r2dr)dφ =

8

3

π2∫

−π2

cos3 φdφ

=8

3

π2∫

−π2

(1− sin2 φ)d(sinφ) =32

9.


1.3.7 Ví dụ. Tính tích phân∫∫D

√1− x2

a2− y2

b2dxdy,

trong đó D là hình elipx2

a2+y2

b26 1.

Giải. Ta dùng phép đổi biến dạng tọa độ cực suy rộngx = ra cosφ

y = rb sinφ.

Khi đó D là ảnh của miền

D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π

và Jacobian của phép đổi biến là

J(r, φ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂φ

∂y

∂r

∂y

∂φ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣a cosφ −ar sinφb sinφ br cosφ

∣∣∣∣∣ = abr.

Vì vậy∫∫D

√1− x2

a2− y2

b2dxdy = ab

∫∫D∗

r√1− r2drdφ

= ab

2π∫0

dφ

1∫0

r√1− r2dr

= πab

1∫0

(1− r2

) 12d(r2) = −

2πab

3

(1− r2

) 32

∣∣∣10=

2πab

3.


2 Tích phân ba lớp

Trong mục trước, chúng ta đã trình bày khái niệm, tính chất và cách tính của

tích phân hai lớp (cho hàm hai biến số). Trong phần này chúng ta nghiên cứu tích

phân ba lớp (cho hàm ba biến số). Việc xây dựng tích phân ba lớp là hoàn toàn

tương tự như xây dựng tích phân hai lớp.

2.1 Định nghĩa và các tính chất cở bản của tích phân ba lớp

Trong tiết 3 chương 4 chúng ta đã xây dựng được công thức tính thể tích vật

thể từ tích phân xác định một lớp. Trước khi xây dựng định nghĩa tích phân 3 lớp

chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất của vật thể trong R3.

2.1.1 Định nghĩa. Cho Ω là một miền trong R3. Ta nói rằng miền Ω là đo được

nếu thể tích của nó hữu hạn.

2.1.2 Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng

1) Cho miền bị chặn, đo được Ω ⊂ R3 và G ⊂ Ω. Khi đó V (G) ≤ V (Ω).

2) Nếu miền được chia thành các miền con không có chung điểm trong thì tổng

thể tích các miền con bằng thể tích của miền đó.

3) Nếu các miền Ω1, Ω2 đo được thì Ω1 ∩ Ω2 và Ω1 ∪ Ω2 đo được.

2.1.3 Định nghĩa. Cho Ω là một miền bị chặn của R3. Khi đó

d(Ω) = supd(M,N) :M,N ∈ Ω,

được gọi là đường kính của miền Ω, với d(M,N) là khoảng cách giữa hai điểm M

và N .

2.1.4 Định nghĩa. Cho Ω là một miền đo được của R3. Tập hợp các miền đo được

Ω1, ...,Ωn được gọi là một phân hoạch của Ω nếu

1) Ω =n∪

i=1

Ωi,

2) Ωi ∩ Ωj = ∂Ωi ∩ ∂Ωj, ∀i = j.

Lúc đó ta cũng ký hiệu π = Ω1,Ω2, . . . ,Ωn.

Tập hợp tất cả các phân hoạch của miền Ω được ký hiệu là P(Ω). Giả sử π ∈ P(Ω)

với π = Ω1, ...,Ωn. Đặt d(π) = maxd(Ωi) : i = 1, ..., n. Số d(π) được gọi là đường

kính của phép phân hoạch π.


2.1.5 Định nghĩa. Cho Ω ⊂ R3 là miền đo được bị chặn và f(x, y, z) làm một hàm

số bị chặn trên Ω. Chia miền Ω bởi phép chia π thành các miền nhỏ Ω1,Ω2, ...,Ωn

và ký hiệu V (Ωi) là thể tích của miền nhỏ Ωi, i = 1, . . . , n. Trên mỗi miền nhỏ Ωi ta

chọn điểm tùy ý Mi(ξi, ηi, γi) ∈ Ωi, i = 1, . . . , n và lập tổngn∑

i=1

f(ξi, ηi, γi).V (Ωi).

Ký hiệu d(π) là đường kính của phép chia π. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

limd(π)→0

n∑i=1

f(ξi, ηi, γi).V (Ωi) = I, mà giới hạn này không phụ thuộc vào phép chia π

và cách chọn các điểm Mi(ξi, ηi, γi), thì ta nói hàm f khả tích trên miền Ω còn I là

tích phân ba lớp của hàm f(x, y, z) trên miền Ω và kí hiệu là

∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz,

nghĩa là

∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydzS = I.

Người ta chứng minh được kết quả quan trọng sau.

2.1.6 Hệ quả. Mọi hàm f(x, y, z) liên tục trên miền đo được, đóng và bị chặn

Ω ⊂ R3 đều khả tích trên miền đó.

2.1.7 Nhận xét. Cũng như tích phân một lớp và tích phân hai lớp, điều kiện cần

để hàm f(x, y, z) khả tích trên miền Ω là hàm f bị chặn trên Ω.

Tương tự như tích phân một lớp và hai lớp ta chứng minh được tích phân ba

lớp có các tính chất sau.

2.2.1. Tính chất tuyến tính. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên Ω và α, β ∈ R.

Khi đó αf + βg khả tích trên Ω và∫∫∫Ω

(αf(x, y, z) + βg(x, y, z)

)dxdydz

= α

∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz + β

∫∫∫Ω

g(x, y, z)dxdydz.

2.2.2. Tính chất cộng tính. Giả sử f là hàm xác định trên Ω = Ω1 ∪ Ω2, trong đó

Ω1,Ω2 là các miền đo được, không có chung điểm trong. Khi đó, nếu f khả tích trên

Ω1 và Ω2 thì f khả tích trên Ω và∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫Ω1

f(x, y)dxdydz +

∫∫∫Ω2

f(x, y)dxdydz.


2.2.3. Tính chất đơn điệu. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên Ω và f(x, y, z) 6g(x, y, z), với mọi (x, y, z) ∈ Ω. Khi đó∫∫∫

Ω

f(x, y, z)dxdydz 6∫∫∫Ω

g(x, y, z)dxdydz.

2.2.2. Tính khả tích tuyệt đối. Giả sử f là hàm khả tích trên Ω. Khi đó |f | khả

tích trên Ω và ∣∣∣ ∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz∣∣∣ 6 ∫∫∫

Ω

|f(x, y, z)|dxdydz.

2.2.5. Định lý giá trị trung bình. Giả sử f là hàm liên tục trên miền Ω đóng, liên

thông. Khi đó tồn tại (x0, y0, z0) ∈ Ω sao cho∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz = f(x0, y0, z0)V (Ω),

trong đó V (Ω) là thể tích của miền V .

2.2.6. Tính chất hình học.

∫∫∫Ω

dxdydz là thể tích của miền Ω.

2.2 Cách tính tích phân ba lớp

Cũng như tích phân hai lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân ba lớp là

đưa tích phân ba lớp về tích phân lặp bởi định lý Fubini.

Giả sử Ω ⊂ R3 là miền đo dược bị chặn cho bởi

Ω =(x, y, z) ∈ R3 : a 6 x 6 b, y1(x) 6 y 6 y2(x), z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y)

(7.8)

trong đó y1(x), y2(x) là các hàm liên tục trên [a, b] và z1(x, y), z2(x, y) là các hàm

liên tục trên miền

D =(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, y1(x) 6 y 6 y2(x)

.


z = z2(x, y)

z = z1(x, y)

D

Ω

x

y

z

O

Khi đó, chú ý rằng D là hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy. Ta có định lý

sau.

2.2.1 Định lý. (Fubini) Giả sử Ω là miền xác định như trong công thức (7.8) và

f(x, y, z) là một hàm số liên tục trên Ω. Khi đó

∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz =

b∫a

( y2(x)∫y1(x)

[ z2(x,y)∫z1(x,y)

f(x, y, z)dz]dy)dx. (7.9)

2.2.2 Nhận xét. 1) Chúng ta thường dùng ký hiệu

b∫1

dx

y2(x)∫y1(x)

dy

z2(x,y)∫z1(x,y)

f(x, y, z)dz

thay chob∫

1

( y2(x)∫y1(x)

[ z2(x,y)∫z1(x,y)

f(x, y, z)dz]dy)dx.

2) Trong công thức (7.9) vai trò của x, y, z có thể hoán đổi nếu ta thay đổi sự

biểu diễn của miền Ω.

3) Nếu miền Ω viết dưới dạng

Ω =(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y)


với D là miền đo dược bị chặn trong R2. Khi đó∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫D

dxdy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z)dz (7.10)

2.2.3 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫∫Ω

dxdydz

(1 + x+ y + z)3,

với Ω ⊂ R3 là miền giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, z = 0 và x+ y + z = 1.

Hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy là

D = (x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1− x.

Miền Ω được cho bởi

Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1− x, 0 6 z 6 1− x− y

= (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, 0 6 z 6 1− x− y.

x

y

z

O

1

1

1


Vì vậy áp dụng công thức (4.7) ta có∫∫∫Ω

dxdydz

1 + x+ y + z

3

=

1∫0

dx

1−x∫0

dy

1−x−y∫0

dz

(1 + x+ y + z)3

=1

2

1∫0

dx

1−x∫0

( 1

(1 + x+ y)2− 1

4

)dy

=1

2

1∫0

( 1

1 + x+x− 3

4

)dx =

1

2

(ln 2− 5

8

).

2.2.4 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫∫Ω

zdxdydz,

với Ω ⊂ R3 là miền giao giữa hai hình cầu x2+y2+ z2 6 1 và x2+y2+(z−1)2 6 1.

Giải. Biên của miền Ω gồm hai phần, phía trên là một phần mặt cầu có phương

trình

z =√

1− x2 − y2,

phía dưới là phần mặt cầu có phương trình

z = 1−√

1− x2 − y2.

Hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 =3

4, z =

1

2.

O

x

y

z

1

2

x2 + y2 =3

4


Từ đó suy ra hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy là hình tròn

D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 3

4.

Miền Ω được cho bởi

Ω =(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, 1−

√1− x2 − y2 6 z 6

√1− x2 − y2

.

Vì vậy theo công thức (4.7) ta có

I =

∫∫∫Ω

zdxdydz =

∫∫D

dxdy

√1−x2−y2∫

1−√

1−x2−y2

zdz

=

∫∫D

(√1− x2 − y2 − 1

2

)dxdy.

Dùng cách tính trong tọa độ cực ta có

I =

∫∫D

(√1− x2 − y2 − 1

2

)dxdy =

2π∫0

( √3

2∫0

(√1− r2 − 1

2

)rdr)dφ

= 2π[−

1

2

√32∫

0

(1− r2)

12d(1− r2)−

1

2

√3

2∫0

rdr]= 2π

[− 1

3

(1− r2)

32

∣∣∣√32

0− r2

4

∣∣∣√32

0

]=

5π

24.

2.3 Đổi biến trong tích phân ba lớp

A. Đổi biến trong hệ tọa độ Đề các. Tương tự như tích phân hai lớp , phép

đổi biến trong tích phân ba lớp∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz (7.11)

là phép chuyển từ các biến x, y, z sang các biến mới u, v, w thích hợp theo công thứcx = x(u, v, w)

y = y(u, v, w)

z = z(u, v, w),

(u, v, w) ∈ Ω∗ (7.12)

trong đó Ω∗ là miền đo được trong R3 xác định bởi hệ tọa độ (u, v, w). Xét ánh xạ

Φ : (u, v, w) 7→(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)với (u, v, w) ∈ Ω∗.

Ta có định lý về công thức đổi biến số trong tích phân ba lớp.


2.3.1 Định lý. Giả sử

1) Φ là một song ánh từ Ω∗ vào Ω.

2) Các hàm x(u, v, w) , y(u, v, w), z(u, v, w) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục

trên Ω∗.

3) Jacobi của ánh xạ Φ

J(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (7.13)

tại mọi điểm của Ω∗. Khi đó, nếu f(x, y, z) là một hàm liên tục trên Ω thì

∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz

=

∫∫∫Ω∗

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)∣∣J(u, v, w)∣∣dudvdw. (7.14)

Công thức (7.14) được gọi là công thức đổi biến trong tích phân ba lớp.

Chúng ta trình bày hai phương pháp đổi biến quen thuộc trong tích phân ba lớp

là đổi biến sang tọa độ cầu và tọa độ trụ.

B. Đổi biến sang tọa độ cầu.

Phép đổi biến Φ : R3 → R3 từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ cầu (r, φ, θ)

cho bởi công thức x = r cosφ sin θ

y = r sinφ sin θ

z = r cos θ

(7.15)

trong đó r > 0, 0 6 φ 6 2π, 0 6 θ 6 π.


M(x, y, z)

M ′

φ

x

y

z

Or

θ

Khi đó

J(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂r

∂x

∂φ

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂φ

∂y

∂θ

∂z

∂r

∂z

∂φ

∂z

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣sin θ cosφ −r sin θ sinφ r cos θ cosφ

sin θ sinφ r sin θ cosφ r cos θ sinφ

cos θ 0 −r sin θ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −r2 sin θ.

(7.16)

Vì vậy, nếu Ω = Φ(Ω∗) thì∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫Ω∗

f(r cosφ sin θ, r sinφ sin θ, r cos θ

)r2 sin θdrdφdθ.

(7.17)

2.3.2 Ví dụ. Tính tích phân

I =

∫∫∫Ω

(x2 + y2)dxdydz,

với Ω là nửa trên hình cầu x2 + y2 + z2 6 R2, z > 0.

Giải. Sử dụng phép đổi biến sang tọa độ cầux = r cosφ sin θ

y = r sinφ sin θ

z = r cos θ

ta nhận được Ω là ảnh của Ω∗ được xác định như sau

Ω∗ = (r, φ, θ) ∈ R3 : 0 6 r 6 R, 0 6 φ 6 2π, 0 6 θ 6 π

2.


Từ đó suy ra

I =

∫∫∫Ω

(x2 + y2)dxdydz =

∫∫∫Ω∗

r4 sin3 θdrdφdθ =

2π∫0

dφ

π2∫

0

dθ

∫ R

0

sin3 θr4dr =

= 2π[r55

∣∣∣R0

π2∫

0

(cos2 θ − 1)d(cos θ)]

= 2πR5

5

[cos3 θ3

− cos θ]∣∣∣π2

0= 2π

R5

5

[− 1

3+ 1]=

4πR5

15.


I =

∫∫∫Ω

√x2 + y2 + z2dxdydz,

trong đó Ω = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 z.

Giải. Sử dụng phép đổi biến sang tọa độ cầux = r cosφ sin θ

y = r sinφ sin θ

z = r cos θ


Ω∗ = (r, φ, θ) ∈ R3 : 0 6 r 6 cos θ, 0 6 φ 6 2π, 0 6 θ 6 π

2.

Từ đó suy ra

I =

∫∫∫Ω

√x2 + y2 + z2dxdydz =

∫∫∫Ω∗

r3 sin θdrdφdθ =

2π∫0

dφ

π2∫

0

dθ

cos θ∫0

sin θr3dr =

=π

2

π2∫

0

cos4 θ sin θdθ = − π

10cos5 θ

∣∣∣π20=

π

10.

C. Đổi biến sang tọa độ trụ.

Phép đổi biến Φ : R3 → R3 từ (x, y, z) sang tọa độ trụ (r, φ, z) cho bởi công

thức x = r cosφ

y = r sinφ

z = z

(7.18)


trong đó r > 0, 0 6 φ 6 2π, −∞ < z <∞.

M(x, y, z)

M ′

φ

x

y

z

O

r

Khi đó

J(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂r

∂x

∂φ

∂x

∂z

∂y

∂r

∂y

∂φ

∂y

∂z

∂z

∂r

∂z

∂φ

∂z

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣cosφ −r sinφ 0

sinφ r cosφ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = r. (7.19)

Vì vậy nếu Ω = Φ(Ω∗) thì∫∫∫Ω

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫Ω∗

f(r cosφ, r sinφ, z

)rdrdφdθ.


I =

∫∫∫Ω

√x2 + y2dxdydz,

trong đó Ω = (x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 6 z 6 1.

Giải. Sử dụng phép đổi biến sang toạ độ trụx = r cosφ

y = r sinφ

z = z



Ω∗ = (r, φ, z) ∈ R3 : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π, r 6 z 6 1.

Từ đó suy ra

I =

∫∫∫Ω

√x2 + y2dxdydz =

∫∫∫Ω∗

r2drdφdz

=

2π∫0

dφ

1∫0

dr

∫ 1

r

r2dz =

2π∫0

dφ

1∫0

r2(1− r)dr =π

6.


I =

∫∫∫Ω

√x2 + y2dxdydz,

trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt nón z =√x2 + y2 và mặt paraboloide

z = 2− x2 − y2.

Giải. Ta có miền Ω được xác định bởi

Ω = (x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 6 z 6 2− x2 − y2.

Sử dụng phép đổi biến sang tọa độ trụx = r cosφ

y = r sinφ

z = z


Ω∗ = (r, φ, z) ∈ R3 : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π, r 6 z 6 2− r2.

Từ đó suy ra

I =

∫∫∫Ω

√x2 + y2dxdydz =

∫∫∫Ω∗

r2drdφdz

=

2π∫0

dφ

1∫0

dr

∫ 2−r2

r

r2dz =

2π∫0

dφ

1∫0

r2(2− r − r2)dr =13π

30.


3 Ứng dụng của tích phân bội

3.1 Tính diện tích miền phẳng

Giả sử D là một miền phẳng đo được, bị chặn của R2. Từ định nghĩa tích phân

hai lớp ta có diện tích của D được tính bởi công thức.

S(D) =

∫∫D

dxdy. (7.20)

3.1.1 Ví dụ. Tính diện tích hình elip (E)x2

a2+y2

b26 1.

x

y

O

a

b

Dùng phép đổi biến

x = ar cosφ

y = br sinφta có J(r, φ) = abr và E là ảnh của miền

D∗ = (r, φ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π. Do đó ta có

S(E) =

∫∫E

dxdy =

∫∫D∗

abrdrdφ =

2π∫0

dφ

1∫0

abrdr = abπ.

3.1.2 Ví dụ. Tính diện tích hình sao (D) x23 + y

23 6 a

23 .

Dùng phép đổi biến cho bởi các công thức

x = ar cos3 φ

y = ar sin3 φta có D là ảnh

của miền

D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π


và Jacobi của phép đổi biến

J(r, φ) =

∣∣∣∣∣a cos3 φ −3ar sinφ cos2 φ

a sin3 φ 3ar cosφ sin2 φ

∣∣∣∣∣ = 3a2r cos2 φ sin2 φ.

x

y

O a

Vì vậy

S(D) =

∫∫D

dxdy =

∫∫D∗

3a2r cos2 φ sin2 φdrdφ =

2π∫0

dφ

1∫0

3a2 cos2 φ sin2 φrdr

= 3a22π∫0

cos2 φ sin2 φdφ

1∫0

rdr =3a2

4

2π∫0

sin2 2φ(r22

∣∣∣10

)dφ

=3a2

8

2π∫0

sin2 2φdφ =3a2

16

2π∫0

(1− cos 4φ)dφ =3a2π

8.

3.2 Tính thể tích của vật thể

Giả sử Ω là một miền phẳng đo được, bị chặn của R3. Từ định nghĩa tích

phân ba lớp ta có thể tích của Ω được tính bởi công thức.

V (Ω) =

∫∫∫Ω

dxdydz. (7.21)

Đặc biệt, nếu miền Ω có dạng

Ω = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y),


trong đó D là miền đo được trong R2 và z1, z2 là các hàm liên tục trên D thì thể

tích được tính theo công thức

V (Ω) =

∫∫D

(z2(z, y)− z1(x, y)

)dxdy. (7.22)

3.2.1 Ví dụ. Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi các mặt z =√x2 + y2 và

z = 6− x2 − y2.

Giải. Hai mặt cong cắt nhau theo giao tuyến

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 4, z = 2.

Vì vậy hình chiếu của Ω trên miền mặt phẳng xOy là

D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4.

Do đó

Ω = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D,√x2 + y2 6 z 6 6− x2 − y2.

Áp dụng công thức (7.22) ta nhận được V (Ω) =

∫∫D

(6−x2−y2−

√x2 + y2

)dxdy.

Dùng phép đổi sang tọa độ cực x = r cosφ, y = r sinφ, miền D là ảnh của miền

D∗ = (r, φ) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ 2π trong tọa độ cực. Khi đó ta có

V (Ω) =

∫∫D

(6− x2 − y2 −

√x2 + y2

)dxdy

=

∫∫D∗

(6− r2 − r)rdrdφ =

2π∫0

dφ

2∫0

(6− r2 − r)rdr =32π

3.

3.2.2 Ví dụ. Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi các mặt z = x2+y2, z = 2(x2+y2),

y = x và y = x2.

Giải. Hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy là

D = (x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, x2 6 y 6 x.

Do đó Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, x2 6 y 6 x, x2 + y2 6 z 6 2(x2 + y2). Vì

vậy áp dụng công thức tính thể tích vật thể ta nhận được

V (Ω) =

∫∫∫Ω

dxdydz =

1∫0

dx

x∫x2

dy

2(x2+y2)∫x2+y2

dz

=

1∫0

dx

x∫x2

(x2 + y2)dy =

∫ 1

0

(4x33

− x4 − x6

3

)dx =

3

35.


3.3 Tính diện tích mặt cong

Giả sử P là mặt cong xác định bởi phương trình z = f(x, y) trong đó f(x, y)

và các đạo hàm riêng của nó liên tục trên miền đo được, bị chặn D ⊂ R2. Khi đó

người ta chứng minh được công thức tính diện tích của P là

S(P) =

∫∫D

√1 +

(∂f∂x

)2+(∂f∂y

)2dxdy (7.23)

Nếu mặt cong P được xác định bởi phương trình tham sốx = x(u, v)

y = y(u, v)

z = z(u, v), (u, v) ∈ D,

(7.24)

trong đó x(u, v), y(u, v),z(u, v) là các hàm có các đạo hàm riêng liên tục trên miền

bị chặn, đo được D trong mặt phẳng uOv. Khi đó, ta có công thức tính diện tích

mặt cong P

S(P) =

∫∫D

√EF −G2dudv (7.25)

trong đó E,F,G là các hệ số Gauss của mặt được xác định bởi

E =(∂x∂u

)2+(∂y∂u

)2+(∂z∂u

)2;

F =(∂x∂v

)2+(∂y∂v

)2+(∂z∂v

)2;

G =∂x

∂u

∂x

∂v+∂y

∂u

∂y

∂v+∂z

∂u

∂z

∂v.

3.3.1 Ví dụ. Tính diện tích của phần mặt nón z = f(x, y) =√x2 + y2 nằm phía

dưới mặt phẳng z = 4.

Giải. Mặt nón cắt mặt phẳng z = 4 theo giao tuyến

(x, y, z) ∈ R3 : z = 4, x2 + y2 = 16.

Do đó hình chiếu của phần mặt nón cần tính diện tích trên mặt phẳng xOy là

D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 16.

Như vậy ta cần tính diện tích của mặt có phương trình

z = f(x, y) =√x2 + y2, (x, y) ∈ D.


Áp dụng công thức (4.20) ta có

S =

∫∫D

√1 +

x2

x2 + y2+

y2

x2 + y2dxdy =

√2

∫∫D

dxdy = 16√2π.

3.4 Tính khối lượng và tìm tọa độ trọng tâm của vật thể

Cho Ω là một vật thể trong không gian R3 với khối lượng riêng phân bố theo

hàm tọa độ ρ(x, y, z). Giả sử rằng Ω là miền bị chặn, đo được và ρ liên tục trên Ω.

Khi đó, ta có công thức tính khối lượng m của Ω là

m =

∫∫∫Ω

ρ(x, y, z)dxdydz. (7.26)

Tọa độ trọng tâm G của vật thể Ω được xác định như sau

xG =1

m

∫∫∫Ω

xρ(x, y, z)dxdydz

yG =1

m

∫∫∫Ω

yρ(x, y, z)dxdydz

zG =1

m

∫∫∫Ω

zρ(x, y, z)dxdydz,

(7.27)

trong đó m là khối lượng của vật thể Ω.

3.4.1 Ví dụ. Cho khối nón

Ω = (x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 6 z 6 2

có khối lượng riêng phân bố theo hàm ρ(x, y, z) = x2 + y2.

a) Tính khối lượng của Ω.

b) Tìm tọa độ trọng tâm của Ω.

Giải. a) Theo công thức tính khối lượng (7.26) ta có

m =

∫∫∫Ω

(x2 + y2)dxdydz.

Dùng phép đổi biến tọa độ trụ x = r cosφ, y = r sinφ, z = z ta có Ω là ảnh của

miền Ω′ = (r, φ, z) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ 2π, r ≤ z ≤ 2 trong tọa độ trụ. Do đó

ta có khối lượng của Ω là


m =

∫∫∫Ω

(x2 + y2)dxdydz =

∫∫∫Ω′

r2.rdrdφdz

=

2π∫0

dφ

2∫0

dr

2∫r

r3dz = 2π

2∫0

r3(2− r)dr =16π

5.

b) Gọi G là trọng tâm của Ω. Khi đó, theo công thức (7.27) ta có

xG =1

m

∫∫∫Ω

xρ(x, y, z)dxdydz =5

16π

∫∫∫Ω

x(x2 + y2)dxdydz

=5

16π

2π∫0

cosφdφ

2∫0

dr

2∫r

r4dz = 0;

yG =1

m

∫∫∫Ω

yρ(x, y, z)dxdydz =5

16π

∫∫∫Ω

y(x2 + y2)dxdydz

=5

16π

2π∫0

sinφdφ

2∫0

dr

2∫r

r4dz = 0.

và

zG =1

m

∫∫∫Ω

zρ(x, y, z)dxdydz =5

16π

∫∫∫Ω

z(x2 + y2)dxdydz

=5

16π

2π∫0

dφ

2∫0

dr

2∫r

r3zdz =5

3.

Vậy trọng tâm G có tọa độ(0, 0,

5

3

).



1) Tính tích phân hai lớp, ba lớp và đổi biến trong tích phân hai lớp và ba lớp.

2) Ứng tích phân hai lớp hoặc ba lớp để tính diện tích, tính thể tích, tính khối

lượng và tìm toạ độ trọng tâm của vật thể.




1) I =

∫∫D

(x+ y)dxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường thẳng

y = x+ 2, y = x− 1, y = −2x+ 1 và y = −2x+ 4.

2)

∫∫Ω

xy2dxdy, trong đó Ω là miền được giới hạn bởi parabol y2 = 2px và đường

thẳng x =p

2, p > 0.

3)

∫∫Ω

|xy|dxdy, trong đó Ω là hình tròn bán kính a, và tâm là gốc toạ độ.

4)

∫∫Ω

(x2 + y2)dxdy, trong đó Ω là hình bình hành được giới hạn bởi các đường

thẳng: y = x, y = x+ a, y = a, y = 3a, (a > 0).

5)

∫∫x2+y26a2

√x2 + y2dydy.

6)

∫∫D

√1−

x2

a2−y2

b2dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi đường ellipse

x2

y2+y2

b2= 1.

7)

∫∫D

(x+ y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi đường cong:

y2 = 2x, x+ y = 4, x+ y = 12.


1)

∫∫∫B

xy2z3dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi các mặt z = xy, y =

x, x = 1 và z = 0.

2)

∫∫∫B

xyzdxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi các mặt x2+y2+z2 =

1, x > 0, y > 0, z > 0


3)

∫∫∫B

(x2

a2+y2

b2+z2

c2

)dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi mặt

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

4)

∫∫∫B

√x2 + y2dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi các mặt:x2+y2 =

z2 và z = 1.

Bài 3.Tính diện tích của miền D được giới hạn bởi các đường cong

1) xy = a2, x+ y =5

2a, (a > 0).

2) (x− y)2 + x2 = a2, (a > 0).

3) xy = a2, xy = 2a2, y = x và y = 2x, (x > 0, y > 0).

4) x2 = ay, x2 = by, x3 = cy2 và x3 = dy2, (0 < a < b, 0 < c < d).

Bài 4.Tính thể tích của miền Ω được giới hạn bởi các mặt:

1) z = x+ y, z = 0, x+ y = 1, x = 0, y = 0.

2) z = x2 + y2, x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x, z = 0.

3) z = x2 + y2, z = x+ y.

4) z = xy, x2 = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x, z = 0.

Bài 5.Tính diện tích của phần mặt được xác định là giao của các mặt sau:

1) x2 + y2 = a2, y2 + z2 = a2.

2) x2 + y2 + z2 = a2,x2

a2+y2

b2= 1.

Bài 6. Tính khối lượng của hình cầu bán kính bằng 2 nếu khối lượng riêng tại mỗi

điểm tỉ lệ với bình phương khoảng cách từ điểm đó tới tâm và khối lượng riêng bằng

γ nếu khoảng cách nói trên bằng đơn vị.













Giáo dục.

CHƯƠNG 8

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

VIII.1. GIỚI THIỆU

Trong chương này chúng ta trình bày những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết

phương trình vi phân thường mà chúng có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.

VIII.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày cách giải một số phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân

cấp 2 có hệ số hằng số và cách giải hệ phương trình vi phân.

VIII.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1. Nắm được các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân: Khái niệm phương

trình, khái niệm các loại nghiệm.

2. Nhận dạng được và biết cách giải các loại phương trình vi phân cấp 1:

Phương trình tách biến, phương trình vi phân đẳng cấp, phương trình vi phân

tuyến tính, phương trình Becnoulli, phương trình vi phân toàn phần, phương trình

Lagrange, phương trình Clero.

3. Nắm được khái niệm và biết cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp

2 có hệ số là hằng số.

4. Nắm được khái niệm và giải được hệ phương trình vi phân tuyến tính.

VIII.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Trong chương này chúng ta trình bày những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết

phương trình vi phân thường, nó có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.

240


1 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân

1.1 Khái niệm phương trình vi phân

Khi nghiên cứu các hiện tượng trong vật lý và trong các lĩnh vực khoa học kỹ

thuật, nhiều quy luật được phát hiện nằm trong mối quan hệ (phương trình) giữa

một hàm cần tìm với các đạo hàm của nó, các phương trình như vậy được gọi là

phương trình vi phân. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến số thì phương

trình vi phân được gọi là phương trình vi phân thường, hay nói gọn là phương trình

vi phân. Nếu hàm cần tìm phụ thuộc nhiều biến số thì ta gọi là phương trình đạo

hàm riêng.

Ví dụ. 1) Các phương trình

y sinx+ y′ cosx− 1 = 0 (a)

y′′3 − 7y3 = 1 (b)

y′′′2 − 3y′4 = ex − x+ 5 (c)

là các phương trình vi phân thường.

2) Phương trình

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0 (d)

là phương trình vi phân đạo hàm riêng.

3) Trong chương trình vật lý chúng ta đã biết phương trình của dao động điều

hoà của chất điểm có dạng

x = A sin(ωt+ φ), t ∈ R, (8.1)

trong đó A là biên độ của giao động, ω là tần số góc, φ là pha ban đầu và x là li độ

ở thời điểm t. Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là

x′ = Aω cos(ωt+ φ)

và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t là

x′′ = −Aω2 sin(ωt+ φ) (8.2)

Từ (8.1) và (8.2) ta thu được

x′′ = −ω2x. (8.3)


Phương trình (8.3) là một phương trình vi phân nó biểu thị quy luật của giao động

điều hoà.

1.1.1 Định nghĩa. Dạng tổng quát của phương trình vi phân là

F (x, y, y′, ..., y(n)) = 0, (8.4)

trong đó F là một hàm n+1 biến cho trước thoả mãn một số điều kiện về liên tục,

khả vi,...; x là biến số độc lập; y = y(x) là hàm chưa biết cần tìm; y′, y′′, ...y(n) là

các đạo hàm của y.

Cấp cao nhất của đạo hàm của y có mặt trong phương trình vi phân được gọi

là cấp của phương trình vi phân.

1.1.2 Ví dụ. 1) y′′ + xy′ + y = ex là một phương trình vi phân cấp 2.

2) y′ + y = sinx là phương trình vi phân cấp 1.

Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của

chương 8.

1.2 Nghiệm và Bài toán Cauchy

1.2.1 Định nghĩa. Nghiệm của phương trình vi phân (8.4) là hàm y = y(x) có các

đạo hàm y′, y′′, ...y(n) trên miền X ⊂ R thoả mãn đẳng thức

F (x, y(x), y′(x), ..., y(n)(x)) = 0, với mọi x ∈ X.

Đồ thị của nghiệm của phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân của

phương trình.

Giải phương trình vi phân là tìm tất cả nghiệm của phương trình đã cho. Việc

giải các phương trình vi phân bao giờ cũng là quá trình thực hiện một số phép lấy

tích phân nên ta còn gọi là tích phân phương trình vi phân.

1.2.2 Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy là bài toán tìm khoảng (a, b) ⊂ R và

nghiệm y = y(x) xác định trên khoảng (a, b) của phương trình (8.4) thỏa mãn điều

kiện y(x0) = y0 với điểm x0 ∈ (a, b) và y0 cho trước. Điều kiện y(x0) = y0 được gọi

là điều kiện đầu.


2 Phương trình vi phân cấp một

2.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản

2.1.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng tổng

quát

F (x, y, y′) = 0 (8.5)

trong đó F là hàm ba biến số xác định trên miền Ω ⊂ R3, y = y(x) là hàm cần tìm,

x là biến số độc lập và y′ là đạo hàm của hàm y.

Nghiệm của phương trình (8.5) là hàm y khả vi trên khoảng (a, b) ⊂ R nào đó

thoả mãn đẳng thức

F (x, y(x), y′(x)) = 0,

với mọi x ∈ (a, b) và (x, y(x), y′(x)) ∈ Ω.

Nếu phương trình (8.5) có thể viết dưới dạng

y′ =dy

dx= f(x, y), (8.6)

trong đó f là hàm hai biến xác định trên miền D ⊂ R2 thì ta gọi (8.6) là phương

trình vi phân đã giải ra được đối với đạo hàm.

2.1.2 Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 là

bài toán tìm nghiệm y = y(x) của phương trình vi phân (8.6) thoả mãn y(x0) = y0,

với (x0, y0) là một điểm cho trước thuộc mặt phẳng R2. Điều kiện y(x0) = y0 được

gọi là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân.

Về mặt hình học thì bài toán Cauchy là tìm đường cong tích phân của phương

trình đi qua điểm (x0, y0). Trong các trường hợp cụ thể bài toán Cauchy có thể có

nghiệm hoặc vô nghiệm.

Định lý cơ bản sau đây trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

Cauchy. Chúng ta bỏ qua chứng minh của định lý này, nếu quan tam bạn đọc có

thể tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo.

2.1.3 Định lý. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân

y′ = f(x, y). (8.6)


Nếu trên hình chữ nhật

D = (x, y) : xo − a ≤ x ≤ xo + a, yo − b ≤ y ≤ yo + b

hàm f(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau đây

1) f(x, y) liên tục (và do đó tồn tại số M để |f(x, y)| ≤M với mọi (x, y) ∈ D);

2) f(x, y) thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với biến y

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ N |y1 − y2|

với mọi (x, y1) ∈ D, (x, y2) ∈ D,N = const, thì trên đoạn [xo − h, xo + h] với

h = mina, bM phương trình vi phân (8.6) có nghiệm duy nhất y = y(x) thỏa mãn

điều kiện đầu y(x0) = y0.

2.1.4 Các loại nghiệm. 1) Ta gọi mỗi nghiệm duy nhất y = y(x) của phương

trình vi phân (8.6), thỏa mãn điều kiện ban đầu y(xo) = yo là một nghiệm riêng

của phương trình (8.6).

2) Hàm số y = y(x,C) phụ thuộc một tham số C được gọi là nghiệm tổng quát

của phương trình vi phân (8.6) nếu nó thỏa mãn các điều kiện

a) y(x,C) thỏa mãn phương trình (8.6) với mọi giá trị C ∈ R.

b) Với điều kiện ban đầu bất kỳ cho trước y(xo) = yo với (xo, yo) ∈ G luôn

tìm được giá trị C = Co sao cho nghiệm y = y(x,Co) thỏa mãn điều kiện ban đầu

này.

3) Ta gọi nghiệm của phương trình (8.6) là một nghiệm kỳ dị nếu tại mỗi điểm

thuộc nó tính duy nhất nghiệm bị vi phạm.

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, nhiều khi ta đi đến một hệ

thức dạng

Φ(x, y, C) = 0. (8.7)

Ta gọi hệ thức (8.7) là tích phân tổng quát của phương trình vi phân (8.6).

Ta nói giải hay tích phân một phương trình vi phân có nghĩa là

a) Tìm nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát (nếu không biết điều kiện

ban đầu) và tìm mọi nghiệm kỳ dị của phương trình, hoặc

b) Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu

cho trước.

Ví dụ . Xét phương trìnhdy

dx= −y

x. (8.8)


Ta có (8.8) khi và chỉ khi xdy + ydx = 0 khi và chỉ khi d(xy) = 0 khi và chỉ khi

xy = C với C là hằng số tùy ý.

Muốn tìm nghiệm riêng của phương trình (8.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu

y(2) = 1 ta chỉ việc thay xo = 2, yo = 1 vào công thức nghiệm tổng quát ta được

1 = C2, ta tìm được C0 = 2. Vậy nghiệm riêng phải tìm là y =

2

x.

2.1.5 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân. Cho phương trình vi phân

y′ = f(x, y) (8.6) trong đó f(x, y) xác định trong một miền mở G nào đó trong

mặt phẳng. Giả sử rằng y = y(x,C) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

(8.6). Khi đó tại mỗi điểm P (x, y) ∈ G phương trình vi phân (8.6) cho ta hệ số góc

của tiếp tuyến với đường cong tích phân tại điểm đó. Vì vậy, phương trình vi phân

(8.6) cho ta tập hợp mọi hướng của tiếp tuyến. Ta nói rằng phương trình vi phân

(8.6) xác định một hướng trường trên G. Khi đó bài toán giải phương trình vi phân

(8.6) là: Tìm các đường cong sao cho tiếp tuyến của mỗi đường tại mỗi điểm của nó

trùng với hướng trường tại điểm đó.

2.1.6 Nhận xét. 1) Như vậy, tích phân tổng quát hay tìm nghiệm tổng quát của

một phương trình vi phân là tìm ra họ các đường cong phẳng phụ thuộc một hằng

số và thỏa mãn phương trình vi phân đã cho. Còn tìm nghiệm riêng của một phương

trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y(xo) = yo đã cho là chỉ ra một đường

cong thuộc họ các đường cong phẳng tìm được mà đường cong đó đi qua điểm có

tọa độ (xo, yo).

2) Định lý 2.1.3 khẳng định sự tồn tại nghiệm của một lớp các phương trình vi

phân, song không phải tất cả các phương trình vi phân, nghiệm của nó đều có thể

biểu diễn dưới dạng một tổ hợp các phép toán của các hàm sơ cấp và tích phân của

nó. Chẳng hạn người ta chứng minh được nghiệm của phương trình

y′ = y2 − x

không thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp các phép toán của các hàm sơ cấp và tích

phân của nó. Trong một số trường hợp đặc biệt của hàm f(x, y) thì chúng ta có thể

giải được phương trình (8.6), tức là có thể tìm được nghiệm của nó sau hữu hạn

phép lấy tích phân thích hợp.


chương 8.


Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số lớp phương trình vi phân cấp một quen

thuộc và cách giải của nó.

2.2 Phương trình có biến số phân ly

2.2.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân có dạng

M(x)dx+N(y)dy = 0 (8.9)

trong đó M(x) và N(y) là các hàm số liên tục trên khoảng nào đó, được gọi là

phương trình vi phân biến số phân ly (hay phương trình tách biến).

2.2.2 Cách giải. Nếu y = y(x) là nghiệm của phương trình (8.9) thì

M(x)d(x) = −N(y(x))dy(x).

Lấy tích phân hai vế ta nhận được∫M(x)dx = −

∫N(y(x))dy(x) = −

∫N(y)dy + C,

hay ∫M(x)dx+

∫N(y)dy = C

là tích phân tổng quát của (8.9).

2.2.3 Ví dụ. Giải phương trình vi phân

xdx

1 + x2+

ydy

1 + y2= 0.

Giải. Lấy tích phân hai vế ∫xdx

1 + x2+

∫ydy

1 + y2= C ′,

1

2ln(1 + x2) +

1

2ln(1 + y2) = C ′,

ta thu được tích phân tổng quát

ln(1 + x2)(1 + y2) = C với C = 2C ′.


2.2.4 Nhận xét. Phương trình có dạng

M(x)N(y)dx+ P (x)Q(y)dy = 0, (8.9′)

trong đó M(x), N(y), P (x), Q(y) là các hàm liên tục trên khoảng nào đó, có thể đưa

về phương trình biến số phân ly.

Tại các điểm có N(y)P (x) = 0 chia hai vế phương trình cho N(y)P (x) ta nhận

đượcM(x)

P (x)dx+

Q(y)

N(y)dy = 0

là phương trình biến số phân ly. Tích phân hai vế ta thu được tích phân tổng quát.

Nếu y = b là nghiệm của phương trình N(y) = 0, thì y = b cũng là nghiệm của

phường trình vi phân (8.9’).


x√1− y2dx+ y

√1− x2dy = 0.

Giải. Miền xác định

G = (x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1.

Với |x| < 1, |y| < 1 chia hai vế phương trình cho√1− x2

√1− y2 ta nhận được

xdx√1− x2

+ydy√1− y2

= 0.

Tích phân hai vế phương trình ta có tích phân tổng quát là

√1− x2 +

√1− y2 = C.

Hiển nhiên các đường y = ±1 với −1 < x < 1 là nghiệm kỳ dị của của phương trình

đã cho.

2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp

2.3.1 Định nghĩa. Cho G ⊂ R2 và hàm f : G → R. Hàm f được gọi là đẳng cấp

(hay thuần nhất) bậc m (m ∈ N) nếu

f(tx, ty) = tmf(x, y), với mọi t > 0 và (tx, ty) ∈ G.


Phương trình vi phân có dạng

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (8.10)

được gọi là phương trình vi phân đẳng cấp (hay phương trình vi phân thuần nhất)

nếu các hàm M(x, y), N(x, y) là hàm đẳng cấp (thuần nhất) bậc m, m ∈ N.

2.3.2 Cách giải. Viết lại phương trình (8.10) dưới dạng

y′ =dy

dx= −M(x, y)

N(x, y)= −

M(x, x yx)

N(x, x yx)

= −xmM(1, y

x)

xmN(1, yx)= −

M(1, yx)

N(1, yx):= f

(yx

)với x = 0. Như vậy phương trình đẳng cấp luôn có thể biến đổi về dạng

dy

dx= f

(yx

). (8.11)

Đặt u =y

x. Ta có y = ux và

dy

dx= u+ x

du

dx.

Thay vào phương trình (8.11) ta nhận được

xdu

dx= f(u)− u.

Với f(u)− u = 0, phương trình viết lại dưới dạng biến số phân ly như sau

du

f(u)− u=dx

x.

Tích phân hai vế phương trình ta được tích phân tổng quát

ln |x| =∫

du

f(u)− u+ ln |C|, (C = 0).

Thay u =y

xta nhận được tích phân tổng quát của phương trình ban đầu.

Nếu u = a là nghiệm của phương trình f(u)− u = 0, thì đường thẳng y = ax là

nghiệm của phương trình (8.10).


(x2 + y2)dx+ xydy = 0.


Giải. Đây là phương trình đẳng cấp với các hàm M(x, y) = x2+ y2 và N(x, y) = xy

là các hàm đẳng cấp bậc 2. Với x = 0 chia hai vế cho x2 ta nhận được

(1 +y2

x2)dx+

y

xdy = 0.

Đặt y = xu, suy ra dy = xdu+ udx, thay vào phương trình trên ta có

(1 + u2)dx+ u(xdu+ udx) = 0.

Phương trình tương đương với

dx

x= − udu

1 + 2u2.

Tích phân hai vế ta có

ln |x| = − ln(1 + 2u2)

4+ ln |C| (C = 0).

Dễ dàng suy ra

x =C

4√1 + 2u2

Thay u =y

xta nhận được tích phân tổng quát của phương trình là

x2(x2 + 2y2) = C4.

2.3.4 Nhận xét. Xét phương trình có dạng

dy

dx= f

(a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

)(8.12)

trong đó a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈ R. Phương trình dạng này có thể biến đổi về phương

trình đẳng cấp hoặc biến số phân ly như sau.

1) Nếu ∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣∣ = 0.

thì đặt x = u+ α

y = v + β,

trong đó α và β là nghiệm của hệ phương trìnhαa1 + b1β + c1 = 0

αa2 + b2β + c2 = 0.


Khi đó, phương trình (8.12) có dạng

dy

dx=du

dv= f

(a1u+ b1v

a2u+ b2v

)là một phương trình đẳng cấp.

2) Nếu ∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣∣ = 0.

thì a1 = αa2 và b1 = αb2 với α là một hằng số nào đó. Do đó phương trình (8.12)

trở thànhdy

dx= f

( a1x+ b1y + c1α(a1x+ b1y) + c2

).

Đặt u = a1x+ b1y ta có

du

dx= a1 + b1

dy

dx= a1 + b1f

( u+ c1αu+ c2

)= g(u).

Ta nhận được một phương trình biến số phân ly.


dy

dx= −2x− 4y + 6

x+ y − 3.

Giải. Từ hệ phương trình 2α− 4β + 6 = 0

α + β − 3 = 0

suy ra α = 1 và β = 2. Đặt x = u+ 1

y = v + 2.

Phương trình ban đầu trở thành

dy

dx=du

dv= −2u− 4v

u+ v.

Đặt u = vz, suy ra

du

dv= z + v

dz

dv= −2

z − 2

z + 1.

Phương trình được viết lại dưới dạng

vdz

dv= −(z − 1)(z + 4)

z + 1.


Nếu (z − 1)(z + 4) = 0 thì

dv

v+

(z + 1)dz

(z − 1)(z + 4)= 0,

haydv

v+

1

5

( 2dz

z − 1+

3dz

z + 4

)= 0.

Lấy tích phân hai vế ta thu được

ln |v|+ 1

5

(ln |z − 1|2 + ln |z + 4|3

)= lnC1.

Thay z =u

vta có

ln |u− v|2|u+ 4v|3 = lnC2.

Thay u = x − 1 và v = y − 2 ta nhận được tích phân tổng quát của phương trình

ban đầu là

ln(x− y + 1)2|x+ 4y − 9|3 = C.

2.4 Phương trình tuyến tính

2.4.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân dạng

y′ + p(x)y = f(x) (8.13)

trong đó p(x) và f(x) là những hàm liên tục theo biến x trên khoảng (a, b) được gọi

là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

Nếu f(x) = 0 trên (a, b), thì ta gọi phương trình

y′ + p(x)y = 0. (8.14)

là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với phương trình (8.13).

Nếu f(x) = 0 trên (a, b), thì phương trình (8.13) được gọi là phương trình vi

phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1.

2.4.2 Nhận xét. Nếu y1 là một nghiệm khác 0 của phương trình (8.14) thì y = Cy1

là nghiệm tổng quát của (8.14) với C là hằng số tùy ý.


2.4.3 Cách giải. Trước hết ta giải phương trình thuần nhất (8.14). Phương trình

y′ + p(x)y = 0 luôn có nghiệm tầm thường y = 0. Với y = 0 ta có

y′

y= −p(x).

Tích phân hai vế ta có ln |y| = −∫p(x)dx+ ln |C| với C = 0. Suy ra nghiệm tổng

quát của (8.14) là

y = Ce−

∫p(x)dx

.

Để tìm nghiệm tổng quát của (8.13) ta dùng phương pháp sau của Bernouli: Đó là

tìm nghiệm của (8.13) dưới dạng y = u(x)v(x). Thay y′ = u′v+uv′ vào (8.13) ta có

u(v′ + p(x)v

)+ u′v = f(x).

Tiếp theo ta xác định v sao cho v′ + p(x)v = 0. Đây là phương trình vi phân tuyến

tính thuần nhất nên

v = e−

∫p(x)dx

.

Khi đó hàm u thỏa mãn phương trình

du =f(x)

v(x)dx.

Suy ra

u =

∫f(x)

v(x)dx =

∫f(x)e

∫p(x)dx

dx+ C.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (8.13) là

y = e−

∫p(x)dx(∫

f(x)e

∫p(x)dx

dx+ C)

(8.15)

2.4.4 Ví dụ. Giải phương trình

y′ +y

x= x2.

Giải. Nghiệm tổng quát của phương trình là

y = e−

∫dx

x(∫

x2e

∫dx

x dx+ C)

= e− ln |x|(∫

x2eln |x|dx+ C)=

1

x

(x44

+ C).


2.5 Phương trình Bernoulli

2.5.1 Định nghĩa. Phương trình dạng

y′ + p(x)y = yαf(x) (8.16)

trong đó p(x), f(x) à các hàm số liên tục của biến x trên khoảng (a, b) và α là số

thực bất kỳ, được gọi là phương trình Bernoulli.

2.5.2 Cách giải. Nếu α = 0 hoặc α = 1 thì (8.16) là phương trình vi phân tuyến

tính cấp một.

Nếu α = 0 và α = 1 thì bằng phép đổi biến z = y1−α ta sẽ đưa phương trình

(8.16) về phương trình vi phân tuyến tính cấp một theo z. Thật vậy, từ cách đặt

z = y1−α ta có

z′ = (1− α)y−αy′.

Chia hai vế của (8.16) cho yα (phương trình luôn có nghiệm tầm thường là y = 0)

ta có

y′y−α + p(x)y1−α = f(x)

hay

z′ + (1− α)p(x)z = (1− α)f(x).

Ta nhận được một phương trình tuyến tính cấp một đã biết cách giải ở trên. Giải

phương trình này theo z rồi thay z = y1−α ta được nghiệm tổng quát của phương

trình Bernoulli (8.16).

2.5.3 Ví dụ. Giải phương tình

y′ + xy = x3y3.

Giải. Đây là phương trình Bernoulli với α = 3. Rõ ràng phương trình có nghiệm

y = 0. Để tìm nghiệm y = 0 ta chia hai vế cho y3 nhận được

y−3y′ + xy−2 = x3.

Đặt z = y−2 ta có z′ = −2y−3y′. Thay vào phương trình trên ta thu được

z′ − 2xz = −2x3.


Nghiệm tổng quát của phương trình

z = y−2 = e

∫2xdx(∫

−2x3e−

∫2xdx

dx+ C)

= ex2(− 2

∫x3e−x2

dx+ C)= x2 + 1 + Cex

2

,

hay y = ±1

√x2 + 1 + Cex2

.

2.6 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân

1. Phương trình vi phân toàn phần

2.6.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân dạng

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 (8.17)

trong đó P,Q và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trên miền D ⊂ R2, được gọi

là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm U(x, y) trên D sao cho

dU = P (x, y)dx+Q(x, y)dy.

2.6.2 Cách giải. Vì tồn tại hàm U(x, y) trên D sao cho

dU = P (x, y)dx+Q(x, y)dy.

Do đó tích phân tổng quát phương trình (8.17) là

U(x, y) = C.

Định lý sau cho ta một cách nhận biết phương trình vi phân toàn phần.

2.6.3 Định lý. Điều kiện cần và đủ để phương trình (8.17) là phương trình vi phân

toàn phần là∂P

∂y=∂Q

∂x.

2.6.4 Nhận xét. 1) Để tìm hàm U(x, y) có nhiều cách, ở đây chúng ta trình bày

cách tìm như sau. Ta có

∂U(x, y)

∂x= P (x, y),

∂U(x, y)

∂y= Q(x, y).


Từ phương trình thứ nhất suy ra

U(x, y) =

∫P (x, y)dx+ C(y), (8.18)

trong đó C(y) là hàm khả vi theo y cần tìm. Từ phương trình còn lại suy ra

C ′(y) =∂U(x, y)

∂y−∂( ∫

P (x, y)dx)

∂y= Q(x, y)−

∫∂P (x, y)

∂ydx

= Q(x, y)−∫∂Q(x, y)

∂xdx = Q(x, y)−Q(x, y) + ϕ(y).

Ta thu được C(y) =

∫ϕ(y)dy. Thay vào (8.18) ta có được tích phân tổng quát của

phương trình.

2) Tích phân tổng quát của phương trình vi phân toàn phần có thể được tính

theo một trong 2 công thức sau∫ x

xo

P (x, y)dx+

∫ y

yo

Q(xo, y)dy = C,

∫ x

xo

P (x, yo)dx+

∫ y

yo

Q(x, y)dy = C,

với (x0, y0) ∈ D.


(2xy + 3y2)dx+ (x2 + 6xy − 3y2)dy = 0.

Ta có P (x, y) = 2xy + 3y2 và Q(x, y) = x2 + 6xy − 3y2. Dễ thấy

∂P

∂y=∂Q

∂x= 2x+ 6y với moi (x, y) ∈ R2.

Như vậy vế trái của phương trình là một vi phân toàn phần của hàm U(x, y) nào

đó. Suy ra

dU(x, y) = (2xy + 3y2)dx+ (x2 + 6xy − 3y2)dy.

Khi đó ∂U(x, y)

x= 2xy + 3y2

∂U(x, y)

y= x2 + 6xy − 3y2.

Từ phương trình thứ nhất suy ra

U(x, y) =

∫(2xy + 3y2)dx = x2y + 3xy2 + C(y),


trong đó C(y) là hàm khả vi cần tìm. Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo y ta

nhận được

C ′(y) =∂U(x, y)

y− (x2 + 6xy) = x2 + 6xy − 3y2 − (x2 + 6xy) = −3y2.

Do đó

C(y) =

∫(−3y2)dy = −y3.

Ta thu được

U(x, y) = x2y + 3xy2 − y3.

Vậy tích phân tổng quát của phương trình là

x2y + 3xy2 − y3 = C.

2. Thừa số tích phân

2.6.6 Định nghĩa. Trong trường hợp, phương trình (8.17)

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0

không phải là phương trình vi phân toàn phần nhưng tồn tại hàm µ(x, y) sao cho

µ(x, y)P (x, y)dx+ µ(x, y)Q(x, y)dy = 0

là phương trình vi phân toàn phần, thì ta gọi µ(x, y) là thừa số tích phân của phương

trình (8.17).

Định lý sau cho ta một cách nhận biết một phương trình vi phân có thừa số tích

phân.

2.6.7 Định lý. Nếu phương trình (8.17) có tích phân tổng quát U(x, y) = C, trong

đó U(x, y) thuộc lớp C2, thì phương trình (8.17) có thừa số tích phân.

2.6.8 Cách tìm thừa số tích phân. Việc tìm thừa số tích phân là không dễ dàng

trong trường hợp tổng quát. Từ điều kiện∂µP

∂y=∂µQ

∂xta suy ra

Q∂µ

∂x− P

∂µ

∂y= µ

(∂P∂y

− ∂Q

∂x

).

Chia hai vế cho µ ta nhận được

Q∂(lnµ)

∂x− P

∂(lnµ)

∂y=(∂P∂y

− ∂Q

∂x

)(8.19)


(có thể xem µ > 0 do có thể thay µ bởi −µ). Việc giải phương trình (8.19) nói chung

là phức tạp vì đây là phương trình đạo hàm riêng. Trong các trường hợp sau, ta tìm

được thừa số tích phân.

1) Nếu µ chỉ phụ thuộc vào x, tức là µ = µ(x) thì từ (8.19) ta có phương trình

d lnµ

dx=

∂P∂y

− ∂Q∂x

Q.

Trường hợp này xẩy ra khi vế phải của đẳng thức trên chỉ phụ thuộc vào x. Ta nhận

được

µ(x) = e

∫ ∂P∂y

− ∂Q∂x

Qdx.

2) Nếu µ chỉ phụ thuộc vào y, tức là µ = µ(y) thì từ (8.19) ta có phương trình

d lnµ

dy= −

∂P∂y

− ∂Q∂x

P.

Trường hợp này xẩy ra khi vế phải của đẳng thức trên chỉ phụ thuộc vào y. Ta nhận

được

µ(y) = e−

∫ ∂P∂y

− ∂Q∂x

Qdy.


(x2 − y)dx+ (x2y2 + x)dy = 0.

Ta có P (x, y) = x2 − y, Q(x, y) = x2y2 + x và

∂P

∂y= −1,

∂Q

∂x= 2xy2 + 1.

Do đó∂P∂y

− ∂Q∂x

Q=

−2xy2 − 2

x2y2 + x=

−2

x.

Như vậy thừa số tích phân µ(x, y) chỉ phụ thuộc vào x và

µ(x) = e−2

∫dx

x = e−2 ln |x| =1

x2.

Nhân hai vế với phương trình ban đầu với µ(x) =1

x2ta được(

1− y

x2

)dx+

(y2 +

1

x

)dy = 0

là phương trình vi phân toàn phần. Tích phân phương trình này ta được tích phân

tổng quát

3x3 + xy3 + 3y − Cx = 0.


2.7 Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut

Trong mục này chúng ta nghiên cứu hai loại phương trình vi phân cấp một chưa

giải ra được đối với đạo hàm đó là phương trình Lagrange và phương trình Clairaut.

2.7.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân có dạng

y = xφ(y′)+ ψ

(y′)

(8.20)

trong đó φ, ψ là các hàm cho trước thỏa mãn các điều kiện liên tục, khả vi nào đó,

được gọi là phương trình Lagrange. Đặc biệt nếu φ(y′)= y′ thì phương trình

y = xy′ + ψ(y′)

(8.21)

được gọi là phương trình Clairaut.

2.7.2 Cách giải. Đặt y′ = p. Ta có

y = φ(p)x+ ψ(p) (8.22)

Do đẳng thức dy = pdx ta có

φ(p)dx+(φ′(p)x+ ψ′(p)

)dp = pdx

hay (φ(p)− p

)dx+

(φ′(p)x+ ψ′(p)

)dp = 0.

1) Trường hợp φ(p) − p = 0 với mọi p, tức là phương trình trở thành phương

trình Clairaut. Khi đó φ(p) = p, suy ra φ′(p) = 1. Do đó(x+ ψ′(p)

)dp = 0.

Suy ra dp = 0 hoặc x = −ψ′(p). Với dp = 0 hay p = C. Thay vào phương trình

(8.20) ta được tích phân tổng quát của phương trình là

y = Cx+ ψ(C).

Với x = −ψ′(p) thay vào (8.20) ta được nghiệm tổng quát của phương trình cho

dưới dạng tham số x = −ψ′(p)

y = −pψ′(p) + ψ(p).


2) Trường hợp φ(p)− p = 0 ta có

dx

dp+

φ′(p)

φ(p)− px =

ψ′(p)

p− φ(p). (8.23)

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một đối với x. Giải phương trình này

ta nhận được nghiệm có dạng

x = A(p)C +B(p)

trong đó A(p), B(p) là các hàm khả vi theo biến p. Thay vào biểu thức y = φ(p)x+

ψ(p) ta có

y = A1(p)C +B1(p).

Vậy đường cong tích phân tổng quát của phương trình cho dưới dạng tham sốx = A(p)C +B(p)

y = A1(p)C +B1(p)).

Ngoài ra nếu φ(p) = p có nghiệm p0 thì đường thẳng y = p0x+ψ(p0) cũng là nghiệm

của phương trình.


y = xy′2+ y′

2.

Đặt y′ = p ta có

dy = d(xp2 + p2) = p2dx+ x2pdp+ 2pdp = pdx

hay

(p2 − p)dx+ 2p(x+ 1)dp = 0.

Giả sử p2 − p = 0. Khi đó, ta có

dx

dp+

2

p− 1x =

2

p− 1.

Từ công thức nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp một ta nhận được

x =C

(p− 1)2− 1.

Thay vào đẳng thức y = xp2 + p2 ta có

y =Cp2

(p− 1)2.


Vậy đường cong tích phân tổng quát có dạng tham sốx =

C

(p− 1)2− 1

y =Cp2

(p− 1)2.

Ngoài ra với p = 0 ta nhận được nghiệm y = 0; với p = 1 ta nhận được nghiệm

y = x+ 1.

3 Phương trình vi phân cấp hai

Trong mục này chúng ta trình bày một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân

cấp hai. Một cách tự nhiên những vấn đề này có thể trình bày cho trường hợp tổng

quát cấp n > 2, tuy nhiên để tiện trong việc trình bày và phù hợp với khả năng của

đối tượng người học chúng tôi chỉ trình bày cho n = 2.

3.1 Mở đầu về phương trình vi phân cấp hai

3.1.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng tổng

quát

F (x, y, y′, y′′) = 0, (8.24)

trong đó F = F (x1, x2, x3, x4) là một hàm xác định trong miền Ω ⊂ R4, hay có

dạng

y′′ = f(x, y, y′), (8.25)

trong đó f = f(x1, x2, x3) là một hàm xác định trong miền D ⊂ R3.

Dạng (8.25) được gọi là phương trình đã giải ra được đối với đạo hàm cấp 2.

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 dạng (8.24) hoặc dạng (8.25) là hàm số

y = y(x) xác định, liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên một khoảng (α, β) nào đó

sao cho khi thay y = y(x) vào (8.24) hoặc (8.25) ta được một đồng nhất thức trên

khoảng (α, β).

3.1.2 Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương

trình (8.25) thỏa mãn các điều kiện y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 với (x0, y0, y

′0) ∈ D.


Các điều kiện y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 và (x0, y0, y

′0) ∈ D được gọi là điều kiện

đầu của phương trình.

Bài toán Cauchy có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm. Chúng ta công nhận định lý

sau về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (8.25).

3.1.3 Định lý. (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp 2

y′′ = f(x, y, y′) (8.26)

với điều kiện ban đầu

y(xo) = yo, y′(xo) = y′o. (8.27)

Nếu trong hình hộp D = (x, y, y′) ∈ R3 : |x − xo| ≤ a, |y − yo| ≤ b (trong đó

a, b là những số dương) hàm f thỏa mãn 2 điều kiện:

1) f(x, y, y′) liên tục theo tất cả các biến trên miền D (vì thế tồn tại số M > 0

sao cho |f(x, y, y′)| ≤M với mọi (x, y, y′) ∈ D);

2) hàm số f(x, y, y′) thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với các biến y, y′, nghĩa là

|f(x, y2, y′2)− f(x, y1, y′1)| ≤ L(|y2 − y1|+ y′2 − y′1|)

trong đó (x, y1, y′1), (x, y2, y

′2) ∈ D và L là hằng số dương, thì tồn tại duy nhất nghiệm

y = y(x) thỏa mãn điều kiện đầu (8.27), xác định và liên tục cùng với đạo hàm của

nó đến cấp 2 trong đoạn [xo−h, xo+h] với h = min

a,

b

maxM, |y|, . . . , |y(n−1)|

.

3.1.4 Định nghĩa. Nghiệm tổng quát của phương trình (8.26) là hàm số y =

φ(x,C1, C2) trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện.

1) φ(x,C1, C2) là nghiệm của phương trình (8.26) với mọi C1, C2.

2) Với mỗi (x0, y0, y′0) ∈ D mà tại đó điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm được

thỏa mãn, tồn tại C01 , C

02 sao cho y = y(x) = φ(x,C0

1 , C02) thảo mãn điều kiện đầu

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0.

Nếu nghiệm tổng quát được cho dưới dạng hàm ẩn φ(x, y, C1, C2) = 0, thì ta

gọi nó là tích phân tổng quát của phương trình (8.26).

Nghiệm duy nhất y = y(x,C01 , C

02) hay φ(x, y, C0

1 , C02) = 0 của phương trình vi

phân (8.26), thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 được gọi là một

nghiệm riêng hay (tích phân riêng) của phương trình (8.26).


chương 8.


3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

3.2.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có

dạng

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (8.28)

trong đó p(x), q(x), và f(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b).

Nếu f(x) = 0 thì phương trình

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (8.29)

được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (8.28). Rõ ràng

phương trình thuần nhất có nghiệm tầm thường y = 0.

Nếu f(x) ≡ 0, thì phương trình (8.28) được gọi là phương trình không thuần

nhất.

Trong phần tiếp theo ta nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình vi

phân tuyến tính cấp hai thuần nhất.

3.2.2 Định lý. Nếu y1(x) và y2(x), với x ∈ (a, b) là các nghiệm của phương trình

(8.29) thì hàm

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

với C1, C2 là các hằng số tùy ý, cũng là nghiệm của phương trình (8.29).

Chứng minh. Ta có y′(x) = C1y′1(x) + C2y

′2(x) và y′′x) = C1y

′′1(x) + C2y

′′2(x). Thay

y′(x) và y′′(x) vào (8.29), nhờ y1(x) và y2(x) là nghiệm của (8.29) ta nhận được(C1y

′′1(x) + C2y

′′2(x)

)+ p(x)

(C1y

′1(x) + C2y

′2(x)

)+ q(x)

(C1y1(x) + C2y2(x)

)= C1

(y′′1(x) + p(x)y′1(x) + q(x)y1(x)

)+C2

(y′′2(x) + p(x)y′2(x) + q(x)y2(x)

)= 0

với mọi x ∈ (a, b). Vì vậy y(x) là nghiệm của (8.29).

3.2.3 Định nghĩa. Hai hàm y1(x), y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính trên (a, b)

nếu từ đẳng thức

α1y1(x) + α2y2(x) = 0, với mọi x ∈ (a, b)

suy ra α1 = α2 = 0.

Hai hàm y1(x), y2(x) không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.


3.2.4 Ví dụ. 1) Các hàm eαx, eβx với α = β là độc lập tuyến tính trên R.

2) Các hàm sinαx và cosαx độc lập tuyến tính trên R.

3.2.5 Định nghĩa. Một hệ hai nghiệm y1(x), y2(x) của phương trình (8.29) độc

lập tuyến tính trên (a, b) được gọi là hệ nghiệm cơ sở của phương trình đó.

3.2.6 Định lý. Cho y1(x) và y2(x), với x ∈ (a, b) là các nghiệm của phương trình

(8.29). Khi đó,

1) y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính trên (a, b) khi và chỉ khi∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣ = 0, với mọi x ∈ (a, b).

2) Nếu y1(x), y2(x) là hệ nghiệm cơ sở của (8.29) thì nghiệm tổng quát của

phương trình đó là

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x),

với C1, C2 là hằng số tùy ý.

Chứng minh. 1) Điều kiện cần. Giả sử y1(x), y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính

trên (a, b). Đặt

A(x) =

[y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

].

Ta chứng minh detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b). Giả sử tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho

detA(x0) = 0. Khi đó hệ phương trìnhα1y1(x0) + α2y2(x0) = 0

α1y′1(x0) + α2y

′2(x0) = 0

.

có nghiệm không tầm thường, tức là tồn tại α1, α2 không đồng thời bằng không

là nghiệm của hệ đó. Theo Định lý 3.2.2 ta có y(x) = α1y1(x) + α2y2(x) cũng là

nghiệm của phương trình (8.29) thoả mãn điều kiện đầu y(x0) = 0 và y′(x0) = 0.

Bởi vì y = 0 cũng là nghiệm (tầm thường) của (8.29) nên theo định lý tồn tại và

duy nhất nghiệm ta có

y(x) = α1y1(x) + α2y2(x) = 0, với mọi x ∈ (a, b).

Điều này mâu thuẫn với sự độc lập tuyến tính của y1(x), y2(x) trên (a, b). Do đó

detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).


Điều kiện đủ. Giả sử detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b). Nếu y1(x) và y2(x) phụ

thuộc tuyến tính thì tồn tại C sao cho y1(x) = Cy2(x) với mọi x ∈ (a, b). Khi đó

detA(x) =

∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣y1(x) Cy1(x)

y′1(x) Cy′1(x)

∣∣∣∣∣ = 0

với mọi x ∈ (a, b). Mâu thuẫn với detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).

2) Nếu y1(x) và y2(x), x ∈ (a, b) là hệ nghiệm cơ sở của (8.29) thì từ khẳng định

a) của Định lý 3.2.6 ta suy ra

detA(x) =

∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣ = 0

với mọi x ∈ (a, b). Theo Định lý 3.2.2 thì

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

là nghiệm của (8.29) với mọi hằng số C1, C2. Giả sử u(x) là một nghiệm tùy ý của

(8.29), ta cần chỉ ra tồn tại C01 , C

02 sao cho

u(x) = C01y1(x) + C0

2y2(x).

Thật vậy, lấy x0 ∈ (a, b), đặt u(x0) = u0 và u′(x0) = u′0. Khi đó, từ detA(x0) = 0

suy ra hệ phương trình tuyến tínhC1y1(x0) + C2y2(x0) = u0

C1y′1(x0) + C2y

′2(x0) = u′0.

có duy nhất nghiệm C01 , C

02 . Do đó nghiệm y(x) = C0

1y1(x)+C02y2(x) thỏa mãn điều

kiện đầu y(x0) = u0 và y′(x0) = u′0. Theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm thì

y(x) = C01y1(x) + C0

2y2(x)

phải trùng với nghiệm u(x), tức là u(x) = C01y1(x) + C0

2y2(x).

Định lý sau mô tả cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

không thuần nhất

y′′ + p(x)y′ + q(x) = f(x).

3.2.7 Định lý. Nghiệm tổng quát của phương trình (8.28) là tổng của một nghiệm

riêng của nó với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (8.29).


Chứng minh. Giả sử y∗ là nghiệm riêng của (8.28) và y = C1y1 + C2y2 là nghiệm

tổng quát của (8.29), trong đó y1, y2 là hệ nghiệm cơ sở của (8.29). Đặt

y = y + y∗.

Khi đó dễ dàng kiểm tra được y là nghiệm của phương trình (8.28). Ta còn phải

chứng minh y là nghiệm tổng quát. Thật vậy, giả sử y0 là một nghiệm tùy ý nào

đó của phương trình không thuần nhất (8.28). Khi đó, vì y∗ và y0 là nghiệm của

phương trình (8.28) nên ta có

y′′0 + p(x)y′0 + q(x)y0 = f(x)

và

y∗′′ + p(x)y∗′ + q(x)y∗ = f(x)

suy ra

(y0 − y∗)′′ + p(x)(y0 − y∗)′ + q(x)(y0 − y∗) = 0.

Như vậy y0 − y∗ là nghiệm của phương trình thuần nhất (8.29). Do vậy tồn tại

C01 , C

02 sao cho

y0 − y∗ = C01y1 + C0

2y2.

Ta nhận được

y0 = C01y1(x) + C0

2y2(x) + y∗.

Do đó, y = y + y∗ là nghiệm tổng quát của (8.29).

Ta dễ dàng chứng minh được định lý sau.

3.2.8 Định lý. Nếu y1(x), y2(x), x ∈ (a, b) là các nghiệm riêng tương ứng của hai

phương trình

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f1(x)

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f2(x)

thì y = y1 + y2 là nghiệm riêng của phương trình

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f1(x) + f2(x).


3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

3.3.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng có dạng

y′′ + py′ + qy = f(x) (8.30)

trong đó p, q là các hằng số thực, f(x) là hàm liên tục trên (a, b).

3.3.2 Cách giải. Phương trình (8.30) là trường hợp riêng của (8.28), vì vậy các kết

quả về nghiệm của nó là đã biết. Đối với phương trình này việc tìm nghiệm tổng

quát của nó là đơn giản hơn, mà chúng ta trình bày sau đây.

Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

y′′ + py′ + qy = 0. (8.31)

Người ta chứng minh được phương trình (8.31) luôn có nghiệm có dạng y = ekx

với k là một hằng số phức. Chúng ta tìm nghiệm có dạng này. Ta có y′ = kekx,

y′′ = k2ekx. Thay vào (8.31) ta nhận được phương trình

k2 + pk + q = 0, (8.32)

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (8.31). Khi đó xẫy ra các

trường hợp sau

1) Nếu ∆ = p2 − 4q > 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân

biệt k1 = k2. Khi đó phương trình thuần nhất có hai nghiệm riêng độc lập tuyến

tính y1 = ek1x và y2 = ek2x. Theo Định lý 3.2.6 ta có nghiệm tổng quát của (8.31) là

y = C1ek1x + C2e

k2x.

2) Nếu ∆ = p2 − 4q = 0 thì phương trình đặc trưng có nghiệm bội (thực)

k0 =− p

2. Khi đó phương trình thuần nhất có nghiệm riêng y1 = ek0x. Nghiệm riêng

y2 độc lập tuyến tính với y1 là

y2(x) = y1(x)

∫e−

∫pdx

y21(x)dx = y1(x)

∫e−px

e−pxdx = xy1(x).

Nghiệm tổng quát của (8.31) là

y = C1ek0x + C2xe

k0x.


3) Nếu ∆ = p2 − 4q < 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức

k1,2 = α± iβ,

với α =− p

2và β =

√|∆|2

. Khi đó phương trình thuần nhất có hai nghiệm

y∗1 = e(α+iβ)x = eαx(cos βx+ i sin βx)

)y∗2 = e(α+iβ)x = eαx

(cos βx− i sin βx)

)(áp dụng công thức Euler). Theo Định lý 3.2.2 ta có

y1 =1

2(y∗1 + y∗2) = eαx cos βx

và

y2 =1

2i(y∗1 − y∗2) = eαx sin βx

là các nghiệm, độc lập tuyến tính của (8.31). Vì vậy nghiệm tổng quát của (8.31) là

y = eαx(C1 cos βx+ C2 sin βx

).

Từ nghiệm tổng quát y của (8.31), để tìm nghiệm tổng quát của phương trình

không thuần nhất (8.30) ta có thể dùng phương pháp biến thiên hàng số Lagrange.

3.3.3 Ví dụ. Giải các phương trình

1) y′′ − 5y′ + 6y = 0.

2) y′′ − 6y′ + 9y = 0.

3) y′′ − 2y′ + 5y = 0.

Giải. 1) Phương trình đặc trưng k2 − 5k + 6 = 0 có nghiệm k1 = 2, k2 = 3. Suy ra

nghiệm tổng quát là y = C1e2x + C2e

3x.

2) Phương trình đặc trưng k2− 6k+9 = 0 có nghiệm kép k0 = 3. Suy ra nghiệm

tổng quát là y = C1e3x + C2xe

3x.

3) Phương trình đặc trưng k2 − 2k+5 = 0 có nghiệm phức k1,2 = 1± 2i. Suy ra

nghiệm tổng quát là y = ex(C1 cos 2x+ C2 sin 2x

).


y′′ − 4y′ + 3y = e2x


Giải. Phương trình đặc trưng k2 − 4k+ 3 = 0 có hai nghiệm thực k1 = 1 và k2 = 3.

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y = C1ex+C2e

3x. Để tìm nghiệm

tổng quát của phương trình không thuần nhất ban đầu ta dùng phương pháp biến

thiên hằng số Lagrange. Nghiệm tổng quát của y′′ − 4y′ + 3y = e2x có dạng

y = C1(x)ex + C2(x)e

3x,

với C1(x), C2(x) thoả mãn hệC ′1(x)e

x + C ′2(x)e

3x = 0

C ′1(x)e

x + 3C ′2(x)e

3x = e2x.

Giải hệ ta nhận được C ′1(x) = −

ex

2, C ′

2(x) =e−x

2. Suy ra

C1(x) = −ex

2+ C1, C2(x) = −

e−x

2+ C2

với C1, C2 là các hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của y′′ − 4y′ + 3y = e2x là

y =(−ex

2+ C1

)ex +

(−e−x

2+ C2

)e3x = C1e

x + C2e3x − e2x.

3.3.5 Phương pháp hệ số bất định. Trong mục này chúng ta trình bày một

phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất

hệ số hằng số bằng phương pháp hệ số bất định. Phương pháp cho phép giảm bớt

các phép tính tích phân hơn so với phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Tuy

nhiên, phương pháp này chỉ áp dụng được cho các trường hợp đặc biệt của hàm

f(x).

Xét phương trình

y′′ + py′ + qy = f(x)

với p, q là hằng số thực và f(x) là hàm số liên tục trên (a, b).

1) Nếu f(x) = eαxPn(x), với Pn(x) là một đa thức bậc n của x. Khi đó nghiệm

riêng của phương trình trên có dạng sau:

(a) y = eαxQn(x), nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng;

(b) y = xeαxQn(x), nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng;

(c) y = x2eαxQn(x), nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng;

trong đó Qn(x) là một đa thức bậc n của x. Việc tìm nghiệm riêng dẫn tới tìm các

hệ số của Qn(x) bằng phương pháp hệ số bất định.


2) Nếu f(x) = eαx(Pn1(x) cos βx+ Pn2(x) sin βx

), với Pn1(x), Pn2(x) là các đa

thức bậc n1, n2 tương ứng của x. Khi đó nghiệm riêng của phương trình trên có

dạng sau:

(a) y = eαx(Qn(x) cos βx + Rn(x) sin βx

), nếu α + iβ không phải là nghiệm

của phương trình đặc trưng;

(b) y = xeαx(Qn(x) cos βx+Rn(x) sin βx

), nếu α+ iβ là nghiệm của phương

trình đặc trưng;

trong đó n = maxn1, n2 và Qn(x), Rn(x) là các đa thức bậc n của x. Việc tìm

nghiệm riêng dẫn tới tìm các hệ số của Qn(x), Rn(x) bằng phương pháp hệ số bất

định.

3.3.6 Ví dụ. Giải phương trình y′′ − 3y′ + 2y = 2xex

Giải. Phương trình đặc trưng k2−3k+2 = 0 có nghiệm k1 = 1, k2 = 2. Vậy nghiệm

tổng quát của phương trình thuần nhất là y = C1ex + C2e

2x. Từ f(x) = 2xex ta

thấy α = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng và n = 1. Suy ra nghiệm

riêng của phương trình không thuần nhất có dạng

y = x(ax+ b)ex.

Ta có

y′ =(ax2 + (2a+ b)x+ b

)ex, y′′ =

(ax2 + (4a+ b)x+ 2b+ 2a

)ex.

Thay vào phương trình y′′ − 3y′ + 2y = 2xex ta nhận được(ax2 + (4a+ b)x+ 2b+ 2a

)ex − 3

(ax2 + (2a+ b)x+ b

)ex

+2(ax2 + bx)ex = 2xex.

với mọi x ∈ R. Rút gọn ta thu được

−2ax+ 2a− b = 2x

với mọi x ∈ R. Suy ra −2a = 2

2a− b = 0.

Giải hệ ta nhận được a = −1, b = −2. Vậy nghiệm riêng của phương trình là

y∗ = −x(x+ 2)ex. Nghiệm tổng quát là

y = y + y∗ = C1ex + C2e

2x − x(x+ 2)ex, (C1, C2 ∈ R).



y′′ + y′ − 2y = emx, (m là tham số thực).

Giải. Phương trình đặc trưng k2 + k − 2 = 0 có nghiệm k1 = 1, k2 = −2. Nghiệm

tổng quát của phương trình thuần nhất

y = C1ex + C2e

−2x.

Để tìm nghiệm riêng của phương trình ban đầu ta xét các trường hợp sau:

1) Nếu m = 1 và m = −2 thì nghiệm riêng có dạng

y = aemx.

Ta có y′ = amemx, y′′ = am2emx. Thay vào phương trình y′′ + y′ − 2y = emx ta

nhận được

a(m2 +m− 2)emx = emx.

Suy ra a =1

m2 +m− 2, hay nghiệm riêng của phương trình ban đầu là

y∗ =emx

m2 +m− 2.

Vậy nghiệm tổng quát là

y = y + y∗ = C1ex + C2e

−2x +emx

m2 +m− 2, (C1, C2 ∈ R).

2) Nếu m = 1 nghiệm riêng có dạng y = axex. Tính các đạo hàm thay rồi vào

phương trình y′′ + y′ − 2y = ex ta nhận được a = 13. Vậy nghiệm tổng quát là

y = y + y∗ = C1ex + C2e

−2x +ex

3, (C1, C2 ∈ R).

3) Nếu m = −2 nghiệm riêng có dạng y = axe−2x. Tính các đạo hàm thay rồi

vào phương trình y′′ + y′ − 2y = e−2x ta nhận được a =− 1

3. Vậy nghiệm tổng quát

là

y = y + y∗ = C1ex + C2e

−2x −x.e−2x

3, (C1, C2 ∈ R).


chương 8.


4 Hệ phương trình vi phân cấp một

4.1 Các khái niệm cơ bản

4.1.1 Định nghĩa. Ta gọi hệ phương trình

dy1

dx= f1(x, y1, y2, ..., yn)

dy2

dx= f2(x, y1, y2, ..., yn)

......................................

dyn

dx= fn(x, y1, y2, ..., yn)

(8.33)

là hệ phương trình vi phân cấp một chuẩn tắc, trong đó x là biến độc lập, yk(x) là

các hàm chưa biết cần tìm và fk(x, y1, ..., yn) là các hàm cho trước xác định trên

Ω ⊂ Rn+1, k = 1, 2, ...n.

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (8.33) thoả mãn điều kiện

y1(x0) = y10, ..., yn(x0) = yn0 . (8.34)

được gọi là bài toán Cauchy, với (y10, ..., yn0) là một điểm trong không gian n chiều.

Điều kiện (8.34) được gọi là điều kiện đầu.

4.1.2 Định lý. Nếu các hàm f1, f2, ..., fn liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một

của chúng trên miền Ω chứa điểm (x0, y10, ..., yn0) thuộc không gian Rn+1 thì trong

lân cận nào đó của điểm x0 trong R tồn tại duy nhất một nghiệm(y1(x), ..., yn(x)

)của hệ (8.33) thỏa mãn điều kiện đầu (8.34).

4.1.3 Định nghĩa. Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (8.33) là một bộ n hàm

yi(x) = ϕi(x,C1, ..., Cn), i = 1, ..., n

với C1, C2, ..., Cn là các hằng số tùy ý thảo mãn các tính chất sau:

1) Các hàm yi thỏa mãn đẳng thức (8.33) với mọi giá trị C1, ..., Cn.

2) Với mỗi điểm (x0, y10, ..., yn0) ∈ Rn+1 mà tại đó điều kiện tồn tại duy nhất

nghiệm của hệ được thỏa mãn thì tồn tại C01 , ..., C

0n sao cho các hàm

yi = ϕi(x,C01 , ..., C

0n), i = 1, ..., n


thỏa mãn điều kiện đầu: yi(x0) = yi0 với mọi i = 1, ..., n.

Nghiệm riêng của hệ (8.33) là nghiệm có được khi cho các hằng số Ci trong

nghiệm tổng quát các giá trị cụ thể.

4.1.4 Liên hệ giữa phương trình cấp cao và hệ phương trình chuẩn tắc.

Xét phương trình vi phân cấp n đã giải được đối với đạo hàm cấp n

y(n) = f(x, y, y′, ..., y(n−1)

). (8.35)

Đặt y = y1, y′ = y2,...,y

(n−1) = yn. Khi đó, ta đưa (8.35) về hệ phương trình sau mà

nó được gọi là hệ phương trình chuẩn tắc

dy1

dx= y2

dy2

dx= y3

.............

dyn

dx= f(x, y1, y2, ..., yn).

(8.36)

Ngược lại từ một hệ phương trình chuẩn tắc ta có thể đưa về phương trình vi

phân cấp cao bằng cách lần lượt khử các hàm số trong hệ. Để đơn giản ta trình bày

cho hệ có hai ẩn hàm: dy1

dx= f(x, y1, y2)

dy2

dx= g(x, y1, y2).

(8.37)

Đạo hàm hai vế phương trình thứ nhất của (8.37) ta được

y′′1 = f ′x + f ′

y1y′1 + f ′

y2y′2.

Thay y′1, y′2 từ hệ (8.37) vào phương trình vừa nhận được ta có

y′′1 = F (x, y1, y2). (8.38)

Tiếp tục rút y2 từ phương trìnhdy1

dx= f(x, y1, y2) ta có

y2 = h(x, y1, y′1).

Thay y2 vừa nhận được vào (8.38) ta có

y′′1 = Φ(x, y1, y′1) (8.39)


là một phương trình vi phân cấp hai đối với hàm y1. Nếu y1, y2 là nghiệm của hệ

thì y1, y2 phải là nghiệm của (8.39). Bài toán giải hệ phương trình sẽ quy về giải

phương trình.


chương 8.

4.1.5 Ví dụ. Giải hệ phương trình vi phândx

dt= y

dy

dt= x.

(8.40)

Đạo hàm hai vế phương trình

dx

dt= y

theo t ta nhận được

x′′ = y′ = x.

Ta nhận được phương trình vi phân cấp hai x′′−x = 0. Phương trình này có nghiệm

tổng quát

x = C1et + C2e

−t.

Từ đó suy ra

y = x′ = C1et − C2e

−t.

4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số

Trong mục này ta xét một trường hợp đơn giản nhất của hệ phương trình vi

phân.

4.2.1 Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số là hệ có dạng

dy1

dx= a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn

dy2

dx= a21y1 + a22y2 + ...+ a2nyn

..................................................

dyn

dx= an1y1 + an2y2 + ...+ annyn

, (8.41)


trong đó các aij là các hằng số cho trước, i = 1, ..., n; j = 1, ..., n. Hệ trên còn được

viết dạng ma trận

y′ = Ay (8.42)

trong đó

y =

y1(x)

y2(x)

..

yn(x)

, y′ =

y′1(x)

y′2(x)

..

y′n(x)

, A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

..

an1 a12 ... ann

.

4.2.2 Phương pháp khử. Phương pháp này thực hiện như trong trường hợp tổng

quát, đưa hệ phương trình về phương trình vi phân bậc n. Trong trường hợp này

ta sẽ thu được phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Ta đến với ví dụ minh

họa sau.


chương 8.

4.2.3 Ví dụ. Giải hệ phương trìnhy′1 = y1 + y2

y′2 = 4y1 + y2.

Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất của hệ theo x ta có

y′′1 = y′1 + y′2 = y′1 + (4y1 + y2) = y′1 + 4y1 + y′1 − y1 = 2y′1 + 3y1.

Ta thu được phương trình

y′′1 − 2y′1 − 3y1 = 0.

Nghiệm tổng quát của phương trình là

y1 = C1e−x + C2e

3x.

Suy ra

y2 = y′1 − y1 = −C1e−x + 3C2e

3x − C1e−x − C2e

3x = −2C1e−x + 2C2e

3x.




1) Phương pháp giải các phương trình vi phân cấp 1 đặc biệt.

2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng.

3) Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng.


Bài 1. Giải các phương trình vi phân sau

a) (1 + ex)yy′ = ex, thoả mãn y(0) = 1.

b) y′ + sin(x+ y) = sin(x− y).

c) y′ sinx = y ln y.

d) y′ =1

x− y+ 1.

e) xy′ − y = y3.


1) xydx+ (x+ 1)dy.

2) (x2 − 1)y′ + 2xy2 = 0 với y(0) = 1.

3) y′ =√4x+ 2y − 1.


1) 2x3y′ = y(2x2 − y2).

2) y2 + x2y′ = xyy′.

3) (y′ + 1) lny + x

x+ 3=y + x

x+ 3.

4) 2xy′ + y = y2√x− x2y2.


1) xy′ − 2y = 2x4.

2) (2x+ 1)y′ = 4x+ 2y.

3) x(y′ − y) = ex.

4) (2x2y ln y − x)y′ = y.



1) e−ydx− (2y + xe−y)dy = 0.

2) (1 + y2 sin 2x)dx− 2y cos2 xdy = 0.

3) (x2 + y2 + x)dx+ ydy = 0.

4) (x2 + 3 ln y)ydx = xdy.


1) y = 3xy′ − 7y′3.

2) xy′ − y = ln y′.

3) y′3 = 3(xy′ − y).

4) xy′(y′ + 2) = y.


1) y′2 + 2yy′′ = 0.

2) y′′ + y′2 = 2e−y.

3) xyy′′ − xy′2 = yy′.

4) y′′2 − y′y′′ =(yx

)2.


1) y′′ + 4y′ + 3y = 0.

2) y′′ − 4y′ + 5y = 0.

3) y′′ + 4y = 0.


1) y′′ − 2y′ − 3y = e4x.

2) y′′ + y′ − 2y = 3xex.

3) y′′ − 4y′ + 8y = e2x + sin 2x.

4) y′′ + 3y′ − 4y = e−4x + xe−x.


1) x2y′′ − xy′ + 2y = x lnx.


2) (2x+ 1)2y′′ − 4(2x+ 1)y′ + 8y = −4(2x+ 1).

3) y′′ +1

xy′ +

1

x2y = 2 sin(lnx).

Bài 11. Giải các hệ phương trình vi phân sau

a)

dy

dx= ex−y

dz

dx=

2z

2x− z2.

b)

xdy

dx= y +

√y2 − x2

dz

dx=

y + z

z2 − x.

c)

dx

dt=x2

y

dy

dt=

1

2x.

d)

dx

dt= y

dy

dt=y2

x.












Giáo dục.

Documents

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOhome.vinhuni.edu.vn/nqtrang/wp-content/uploads/sites/279/... · 2018. 2. 2. · 4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier