BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ THÙY LINH

NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT

LÊN TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN

CÓ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƢƠNG PHÁP

THỐNG KÊ MÔMEN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

TS. Phạm Thị Minh Hạnh

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin cảm ơn phòng Sau Đại học, ban chủ nhiệm khoa Vật Lý -

Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp tôi hoàn thành

khoá luận tốt nghiệp này.

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới TS. Phạm Thị Minh

Hạnh - ngƣời đã quan tâm, động viên và trực tiếp hƣớng dẫn, theo sát tôi

trong suốt quá trình thực hiện luận văn, cô đã cung cấp tài liệu, đã kiên trì chỉ

dạy cho tôi những phƣơng pháp nghiên cứu mà lần đầu tiên tôi đƣợc tiếp xúc.

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình và bè bạn đã bên tôi và tạo mọi điều kiện

thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt khoá luận này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày…tháng…năm 2016

Học viên

Trần Thị Thùy Linh

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp: “Nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên tính

chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê

mômen” là kết quả do tôi trực tiếp tìm tòi và nghiên cứu dƣới sự hƣớng dẫn

tận tình, hiệu quả của cô giáo – TS. Phạm Thị Minh Hạnh.

Khoá luận này không trùng với kết quả của tác giả khác.

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khoá

luận này đã đƣợc tôi cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã

đƣợc chỉ rõ nguồn gốc.

Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật.

Hà Nội, ngày…tháng…năm 2016

Học viên

Trần Thị Thùy Linh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1

2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2

5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2

6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài ............................ 2

Chƣơng 1. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỦ YẾU NGHIÊN CỨU VỀ

BÁN DẪN ......................................................................................................... 3

1.1. Sơ lƣợc về bán dẫn ................................................................................. 3

1.1.1. Cấu trúc tinh thể ............................................................................... 3

1.1.2. Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán dẫn ............................... 4

1.2. Các khuyết tật trong bán dẫn .................................................................. 4

1.2.1. Khuyết tật điểm ................................................................................. 4

1.2.2. Khuyết tật đường .............................................................................. 6

1.2.3. Khuyết tật mặt .................................................................................. 6

1.2.4. Khuyết tật khối ................................................................................. 6

1.3. Một số phƣơng pháp chủ yếu nghiên cứu về bán dẫn ............................ 7

1.3.1. Các phương pháp ab-initio .............................................................. 7

1.3.2. Phương pháp liên kết chặt.............................................................. 12

1.3.3. Các thế kinh nghiệm ....................................................................... 15

1.3.4. Các phương pháp mô hình hóa trên máy tính................................ 17

1.3.5. Phương pháp thống kê mômen ....................................................... 20

Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................ 26

Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN TRONG NGHIÊN CỨU

TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC ZnS. ................ 27

2.1. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. .................................... 27

2.2. Tính chất đàn hồi của vật rắn ................................................................ 33

2.2.1. Các yếu tố cơ bản của lý thuyết đàn hồi ........................................ 33

2.2.2. Các đặc tính đàn hồi của vật liệu đơn tinh thể và đa tinh thể ....... 36

2.3. Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn bằng phƣơng pháp thống kê

mômen ......................................................................................................... 36

2.3.1. Biểu thức mô đun đàn hồi .............................................................. 38

2.3.2. Hằng số đàn hồi ............................................................................. 44

Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................ 46

Chƣơng 3. ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT LÊN TÍNH CHẤT ĐÀN

HỒI CỦA BÁN DẪN GaAs .......................................................................... 47

3.1. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong bán dẫn .................................... 47

3.2. Các tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs trong trƣờng hợp lí tƣởng ở áp

suất P=0 ........................................................................................................ 51

3.2.1. Cách xác định thông số .................................................................. 51

3.2.2. Các tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs trong trường hợp lý tưởng

ở P=0 ........................................................................................................ 51

3.3. Các tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs trong trƣờng hợp có khuyết tật

P=0 ............................................................................................................... 52

Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................ 60

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 62

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Trong thời điểm hiện tại thì nền Công nghiệp hóa - Hiện đại hóa của

nƣớc ta đang ngày thêm phát triển một cách rõ rệt và mạnh mẽ. Và sự phát

triển không ngừng của vật liệu đã đóng góp một phần không nhỏ cho sự phát

triển của đất nƣớc. Nhờ sự phát triển của vật liệu mà ngành khoa học - kĩ

thuật nƣớc nhà đang từng bƣớc trở nên tiên tiến và hiện đại hơn rất nhiều

làm cho cuộc sống con ngƣời cũng đƣợc nâng cao với những tiện ích mà con

ngƣời không thể ngờ tới.

Bán dẫn là một loại vật liệu quan trọng góp phần lớn trong chiến lƣợc

phát triển vật liệu. Bán dẫn đã và đang có nhiều ứng dụng hữu ích. Vì vậy

mà việc nghiên cứu tính chất nhiệt động, tính chất đàn hồi của tinh thể và

hợp chất bán dẫn đã thu hút sự chú ý quan tâm của nhiều nhà khoa học.

Có nhiều phƣơng pháp nghiên cứu về bán dẫn nhƣ: Các phƣơng pháp

ab-initio, phƣơng pháp liên kết chặt, phƣơng pháp thế kinh nghiệm, phƣơng

pháp mô hình hóa trên máy tính,… mỗi phƣơng pháp này có những thành

công và hạn chế khác nhau và cũng đã thu đƣợc những kết quả đáng kể, tuy

nhiên chƣa có phƣơng pháp nào thực sự hoàn hảo. Các tính toán còn hạn chế,

các kết quả thu đƣợc đạt độ chính xác chƣa cao, có phƣơng pháp đòi hỏi giới

hạn khả năng ứng dụng của phƣơng pháp cho hệ tƣơng đối nhỏ….Nhƣ vậy,

việc nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn nói chung và ảnh hƣởng của

khuyết tật lên các tính chất đàn hồi của bán dẫn nói riêng vẫn là vấn đề hấp

dẫn nhiều nhà khoa học. Trong khoảng 30 mƣơi năm trở lại đây, một phƣơng

pháp thống kê mới gọi là phƣơng pháp thống kê mômen đã đƣợc áp dụng

nghiên cứu một cách có hiệu quả đối với tính chất nhiệt động và đàn hồi của

các tinh thể phi điều hòa.

2

Phƣơng pháp mômen đã áp dụng để nghiên cứu tinh thể kim loại, hợp

kim, bán dẫn và tinh thể kim loại, khí trơ có khuyết tật. Việc hoàn thiện

nghiên cứu tính chất đàn hồi và ảnh hƣởng của khuyết tật lên tính chất đàn

hồi của bán dẫn nói chung và GaAs nói riêng trở nên cần thiết. Với lí do đó,

em chọn đề tài nghiên cứu: “ Nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên tính

chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê

mômen”.

2. Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng các biểu thức giải tích xác định các mô đun đàn hồi, hằng số

đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS.

- Áp dụng tính số cho GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng và khuyết tật.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu một số lý thuyết chủ yếu nghiên cứu về bán dẫn.

- Tìm hiểu phƣơng pháp thống kê mômen và áp dụng phƣơng pháp

mômen để nghiên cứu ảnh hƣởng của khuyết tật lên tính chất đàn hồi của

GaAs.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs trong trƣờng hợp

lý tƣởng và khuyết tật.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phƣơng pháp thống kê mômen.

6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

- Xác định mô đun đàn hồi và các hằng số đàn hồi của bán dẫn GaAs khi

có khuyết tật.

3

Chƣơng 1

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỦ YẾU NGHIÊN CỨU VỀ BÁN DẪN

1.1. Sơ lƣợc về bán dẫn

1.1.1. Cấu trúc tinh thể

Các chất rắn thông dụng thƣờng kết tinh theo mạng tinh thể lập phƣơng

tâm diện. Trong đó, mỗi nút mạng đƣợc gắn với một gốc (basis) gồm hai

nguyên tử. Hai nguyên tử đó cùng loại nếu là bán dẫn đơn chất nhƣ Si, Ge; hai

nguyên tử đó khác loại nếu là bán dẫn hợp chất nhƣ GaAs, InSb, ZnS, CdS,…

Đối với các bán dẫn hợp chất III VA B hoặc II VIA B , nhƣ GaAs hay ZnS,

thƣờng kết tinh dƣới dạng lập phƣơng kiểu giả kẽm (Zinc Blend - ZnS), gồm

hai phân mạng lập phƣơng tâm diện lồng vào nhau, phân mạng này nằm ở ¼

đƣờng chéo chính của phân mạng kia, mạng thứ nhất cấu tạo từ một loại

nguyên tử, Ga chẳng hạn, thì mạng thứ hai cấu tạo từ loại nguyên tử khác, As

chẳng hạn [3].

Hình 1.1: Tinh thể GaAs [9].

Trong tinh thể GaAs, mỗi nguyên tử Ga là tâm của một hình tứ diện

đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử As xung quanh. Ngƣợc lại, mỗi nguyên tử As

lại là tâm của một hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử Ga xung quanh.

4

1.1.2. Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán dẫn

Vật liệu bán dẫn đƣợc nghiên cứu và ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh

vực khoa học, kĩ thuật và công nghiệp [3]. Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng

nhất và phổ biến nhất của chúng là dùng để chế tạo các linh kiện điện tử.

Chúng ta đang sống trong thời kì công nghệ thông tin. Một lƣợng lớn

thông tin có thể thu đƣợc qua internet và cũng có thể thu đƣợc một cách

nhanh chóng qua những khoảng cách xa bằng những hệ thống truyền thông vệ

tinh. Sự phát triển của các bán dẫn nhƣ điốt, transistor và mạch tích hợp đã

dẫn đến những khả năng đáng kinh ngạc này. IC thâm nhập vào hầu hết mọi

mặt của đời sống hàng ngày chẳng hạn nhƣ đầu đọc đĩa CD, máy Fax, máy

Scan laser tại các siêu thị và điện thoại di động. Photodiot là một loại công cụ

không thể thiếu trong thông tin quang học và trong các ngành kỹ thuật tự

động hóa. Điốt phát quang đƣợc dùng trong các bộ hiển thị, đèn báo, làm các

màn hình quảng cáo và làm các nguồn sáng. Pin nhiệt điện bán dẫn đƣợc ứng

dụng để chế tạo các thiết bị làm lạnh gọn nhẹ, hiệu quả cao dùng trong khoa

học, y học….

1.2. Các khuyết tật trong bán dẫn

Cấu trúc tinh thể đƣợc trình bày ở trên là cấu trúc tinh thể lý tƣởng vì khi

xét đã bỏ qua dao động nhiệt và các khuyết tật trong trật tự sắp xếp của các

nguyên tử, những khuyết tật đó đƣợc gọi là khuyết tật mạng tinh thể [4].

Phụ thuộc vào kích thƣớc theo ba chiều trong không gian, khuyết tật

mạng chia thành: Khuyết tật điểm, khuyết tật đƣờng, khuyết tật mặt và

khuyết tật khối.

1.2.1. Khuyết tật điểm

Đó là khuyết tật có kích thƣớc rất nhỏ theo ba chiều không gian. Một

khuyết tật điển hình là nút trống, nguyên tử xen kẽ, nguyên tử tạp chất.

5

1.2.1.1. Nút trống và nguyên tử xen kẽ

Trong tinh thể, nguyên tử luôn dao động nhiệt quanh vị trí cân bằng của

nút mạng. Khi một số nguyên tử nào đó có năng lƣợng cao, với biên độ dao

động lớn chúng có khả năng bứt khỏi nút mạng, để lại nút không có nguyên

tử gọi là nút trống.

Sau khi rời khỏi nút mạng, nguyên tử có thể sang vị trí giữa các nút (cơ

chế tạo nút trống Frenkel) tạo ra khuyết tật điểm dạng nguyên tử xen kẽ. Cơ

chế thứ hai gọi là cơ chế tạo nút trống của Schottky, khi nguyên tử rời vị trí

cân bằng ra bề mặt tinh thể.

1.2.1.2. Nguyên tử tạp chất.

Trong thực tế hầu nhƣ không có vật liệu hoặc kim loại sạch tuyệt đối,

các công nghệ nấu, luyện hiện đại nhất trong phòng thí nghiệm cũng chỉ cho

phép đạt độ sạch nhất là 99,999% hoặc cao hơn một chút phụ thuộc vào kích

thƣớc các nguyên tử tạp chất thay thế ở nút mạng hoặc xen kẽ giữa các nút.

Hình 1.2: Các dạng khuyết tật điểm: Nút trống và nguyên tử tự xen kẽ

(a) và các nguyên tử tạp chất (b).

Mật độ nút trống phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm số mũ, nên tăng rất

nhanh theo nhiệt độ và có giá trị lớn nhất khi sắp chảy lỏng. Nút trống có ảnh

hƣởng lớn đến cơ chế và tốc độ khuếch tán của bán dẫn ở chế độ trạng thái rắn.

6

1.2.2. Khuyết tật đường

Các khuyết tật điểm nhƣ nút trống, nguyên tử xen kẽ.… Nếu chúng nằm

liền nhau trên một đƣờng, chúng tạo khuyết tật đƣờng. Chúng có những dạng

hình học nhất định và tính ổn định cao. Ngƣời ta phân biệt những loại khuyết

tật đƣờng sau đây: Lệch thẳng (lệch biên), lệch xoắn và lệch hỗn hợp.

Hình 1.3: Khuyết tật đường: Lệch xoắn.

Hình 1.4: Khuyết tật đường: lệch biên.

1.2.3. Khuyết tật mặt

Là loại khuyết tật có kích thƣớc lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều

thứ ba.

1.2.4. Khuyết tật khối

Những khuyết tật có kích thƣớc lớn theo ba chiều trong mạng tinh thể

gọi là khuyết tật khối. Khuyết tật khối vi mô là những khuyết tật sinh ra khi

7

nấu, đúc hợp kim tập trung tạp chất xỉ trong vật đúc.

1.3. Một số phƣơng pháp chủ yếu nghiên cứu về bán dẫn

1.3.1. Các phương pháp ab-initio

Phƣơng pháp ab-initio đƣợc sử dụng trong các tính toán động lực học

phân tử (MD) của chất rắn nhằm cung cấp một cách chính xác các tính chất

điện và dao động mạng dƣới tác dụng của các lực. Các phép gần đúng hay

đƣợc sử dụng trong phƣơng pháp ab-initio phải kể đến bao gồm: Phƣơng

pháp gần đúng mật độ địa phƣơng LDA (Local Density Approximation) [16]

phƣơng pháp gần đúng gradient suy rộng GGA (GeneralizedGradient

Approximation) [23], phƣơng pháp gần đúng chuẩn điều hòa QHA

(Quasihamonic Approximation) và phƣơng pháp sóng phẳng giả thế

PPLWM (Pseudo-potential plane-wave method) [32], [33]. Nội dung của

phƣơng pháp ab-intio đƣợc trình bày vắn tắt nhƣ sau:

, ,MB i MB iH r R E r R

(1.1)

trong đó là một hàm sóng nhiều hạt thực của hệ (có sự đối xứng chính

xác), MBE là năng lƣợng riêng, ir

và R

tƣơng ứng là các hệ tọa độ điện tử

và ion và các chỉ số i và tƣơng ứng đánh số tất cả các điện tử và ion. Hàm

Hamilton của hệ có dạng:

, ,

1 1 1

2 2 2 2

iMB

i i i jii j i

P Z Z ZpH

M mr r r R R R

(1.2)

trong đó Z và M tƣơng ứng là điện tích và khối lƣợng của ion thứ , P

và

ip

tƣơng ứng là các toán tử xung lƣợng của ion thứ và điện tử thứ i .

Rõ ràng việc giải chặt chẽ phƣơng trình này trong một chất rắn là điều vô

nghĩa. Cần nhiều phép đơn giản hóa để làm cho bài toán này có thể giải đƣợc.

8

Phép đơn giản hóa đầu tiên tách riêng chuyển động điện tử và chuyển động

ion là phép gần đúng Born-Openheimer [8]:

2MB

PH E R

M

(1.3)

2MB i i

R R

PH r E R r

M

(1.4)

ở đây E R

là năng lƣợng trạng thái cơ bản của hệ một điện tử với các tọa

độ ion đông lạnh R

và iR

r

là hàm sóng điện tử của hệ nhiều hạt

(nó cần là hàm phản đối xứng).

Các lực nguyên tử khi đó có thể thu đƣợc bằng cách lấy đạo hàm của

E R

E R

F

R

(1.5)

nhƣng không thể tính đƣợc các đạo hàm này cũng nhƣ chính E R

tại mức

phức tạp hiện tại. Để làm đƣợc điều đó đơn giản là cách tiếp cận lý thuyết

trƣờng trung bình khi sử dụng lý thuyết hàm mật độ [13], [15]. Các phƣơng

pháp hàm mật độ dựa trên cơ sở định lý Hohenberg-Kohn [13] bao gồm các

nội dung chính sau:

Năng lƣợng tổng cộng của một hệ gồm các điện tử tƣơng tác có thể đƣợc

biểu diễn nhƣ một hàm chỉ phụ thuộc vào mật độ điện tích điện tử

2

2 2, ... ...e N NeR

r N r r r d r d r

9

trong đó eN là số điện tử trong hệ. Khi đó E E và ta có thể chuyển bài

toán nhiều điện tử thành bài toán một điện tử.

Mật độ điện tử trạng thái cơ bản sg r làm cực tiểu phiếm hàm E :

s .gE r E r

Năng lƣợng sgE r

biểu diễn phần đóng góp điện tử vào năng lƣợng

tổng cộng của hệ E R

:

s

1

2g

Z ZE R E r

R R

(1.6)

chính vì vậy, thay vì giải phƣơng trình nhiều hạt thực (1.4) để tìm E R

, ta

chỉ cần tìm một cực tiểu của phiếm hàm E . Khó khăn cho cách đơn giản

hóa lƣợng lớn này là chỗ ta thực sự không biết dạng chính xác của phiếm hàm

E . Tuy nhiên, bài toán này có thể giải đƣợc bằng cách áp dụng phƣơng

pháp của Kohn và Sham [15]. Trong phƣơng pháp này, phiếm hàm năng

lƣợng điện tử E r

đƣợc tách thành bốn thành phần

oe i n H XCE T E E E (1.7)

trong đó eT là động năng của các điện tử, oi nE là năng lƣợng của tƣơng

tác điện tử-ion.

o o o,i n i n i n

ZE V r r dr V r

r R

(1.8)

10

'

1,

2H H H

rE V r r dr V r dr

r r

(1.9)

HV r là thế Hartree và số hạng cuối cùng XCE là số hạng tính đến các hiệu

ứng tƣơng quan và trao đổi điện tử và chƣa biết. Ta có thể viết một biểu thức

hình thức đối với một thế tƣơng quan - trao đổi khi sử dụng đạo hàm phiếm

hàm

XC

XC

EV r

r

(1.10)

do khó đánh giá động năng của các điện tử eT một cách trực tiếp từ mật độ

điện tử r , Kohn và Sham đề xuất sử dụng các quỹ đạo một nguyên tử

i r (các quỹ đạo Kohn-Sham), khi đó r và eT có dạng:

2/2

1

/22

1

2

12

2

e

e

N

i

i

N

e i i

i

r r

T r rm

(1.11)

bây giờ có thể áp dụng nguyên lý biến phân cho phƣơng trình (1.7) và từ đó

thu đƣợc một hệ phƣơng trình đối với các quỹ đạo Kohn-Sham i r :

2 2

o

1 1

2 2i n H XC i i i iV r V r V r r V r r r

m m

(1.12)

trong đó i là trị riêng Kohn-Sham đối với quỹ đạo i r và V r

là thế tự

hợp [theo nghĩa là nó phụ thuộc vào mật độ điện tử r ]

11

'

o

'

XC

i n

rE

V r V r d rr

r r

. (1.13)

Vấn đề còn tồn tại trong phƣơng trình một điện tử loại Schrodiger đơn

giản (1.12) là chƣa biết thế tƣơng quan trao đổi /XC XCV r E r . Nếu

biết phiếm hàm XCE , phƣơng pháp Kohn-Sham sẽ cho chúng ta giá trị

chính xác của năng lƣợng trạng thái cơ bản E R

mà nhờ đó có thể thu

đƣợc các lực nguyên tử. Không may là ta không biết dạng của XCE và do

đó cần tiến hành một phép gần đúng đối với nó. Một phép gần đúng đối với

dạng hàm tƣơng quan trao đổi là phép gần đúng mật độ địa phƣơng, trong đó

XCE đƣợc giả định là phiếm hàm trơn và thay đổi chậm một cách hợp lý

của

LDA

XC XCE r dr

trong đó XC là mật độ tƣơng quan trao đổi của một khí điện tử đồng nhất

có mật độ điện tử .

Cuối cùng chúng tôi muốn đề cập tới một kỹ thuật bổ sung trong tổng

quan này là các giả thiết mà chúng đƣợc sử dụng trong các tính toán MD từ

các nguyên lý đầu tiên nhằm đơn giản hóa các tƣơng tác với các điện tử lõi.

Phƣơng pháp giả thế lợi dụng một thực tế là đối với hầu hết các loại nguyên

tử, các điện tử lõi chỉ tham gia yếu vào liên kết hóa học trong chất rắn và do

đó các đóng góp của chúng có thể đƣợc làm gần đúng bằng một thế trơn và

thay đổi chậm để có thể làm tăng mạnh hiệu quả tính toán. Chẳng hạn nhƣ

trong Silic thay cho việc xem xét tất cả 14 điện tử trên một nguyên tử, ta chỉ

cần sử dụng bốn quỹ đạo điện tử hóa trị “che giấu” đóng góp của tất cả phần

12

còn lại trong giả thế.

Ƣu điểm của việc sử dụng phƣơng pháp ab-initio

- Phƣơng pháp này có khả năng nghiên cứu các pha vật liệu khác nhau

và có thể sử dụng để mô hình hóa các môi trƣờng liên kết phức tạp nhƣ thủy

tinh và các chất rắn vô định hình hoặc các vật liệu không có sẵn số liệu (làm

khớp) thực nghiệm.

- Các lực giữa các nguyên tử, các trị riêng và vectơ riêng của điện tử tạo

ra thƣờng rất chính xác. Các tính chất cấu trúc, điện tử và dao động của một

vật liệu mô hình đều có thể tính đƣợc khi sử dụng cùng một kĩ thuật.

- Nhờ sử dụng các giả thế thích hợp có thể bao hàm vào trong các tính

toán nhiều loại nguyên tử khác nhau.

Nhƣợc điểm của việc sử dụng phƣơng pháp ab-initio

- Phƣơng pháp có khả năng ứng dụng cho các hệ tƣơng đối nhỏ, các hệ

có cấu trúc đơn giản với một vài nguyên tử trên ô mạng cơ sở.

1.3.2. Phương pháp liên kết chặt

Để nghiên cứu tính chất của các hệ mô hình lớn hơn Harrison [11] đã

sử dụng phƣơng pháp hàm Hamilton liên kết chặt.

Trong phƣơng pháp này, khi hệ ở trạng thái cơ bản năng lƣợng toàn phần

E có dạng:

i BS rep n rep

n

E R E U U

(1.14)

trong đó iR

1,...,i N là tọa độ của các nguyên tử.

Năng lƣợng cấu trúc vùng BSE là tổng của các trị riêng n đối với điện tử

lấp đầy, trong đó n là một hệ trị riêng đối với hàm Hamilton H của hệ:

n n nH

(1.15)

Dĩ nhiên là các trị riêng n của điện tử có thể phụ thuộc cực kỳ phức tạp

13

vào các tọa độ iR

Để tìm các năng lƣợng điện tử n ta cần xây dựng và chéo hóa ma trận

hàm Hamilton mnH với các phần tử

mn m nH H (1.16)

Trong các phân tử hoặc các chất rắn, các hàm riêng có thể đƣợc khai

triển thành tổ hợp tuyến tính của các quỹ đạo nguyên tử (LCAO):

,

i

n n i

i

C

(1.17)

ở đây chỉ số i chạy theo tất cả các nguyên tử trong hệ, chỉ số chạy theo tất

cả các quỹ đạo cơ sở định vị trên một nguyên tử đã cho. Chẳng hạn nhƣ trong

trƣờng hợp của Si hoặc C, ta có thể chọn cơ sở quỹ đạo nguyên tử nhỏ nhất là

các quỹ đạo hóa trị x, , ,y zs p p p nằm trên từng nguyên tử trong hệ. Khi đó tổng

số các hàm cơ sở trong hệ của chúng ta sẽ là 4N.

Thay khai triển (1.17) vào phƣơng trình (1.16), ta có thể thấy rằng các

phần tử ma trận MNH thu đƣợc nhƣ những sự kết hợp tuyến tính của các phần

tử ma trận giữa các quỹ đạo cơ sở

,i i i iH H

(1.18)

Nếu ta xem xét trƣờng hợp đơn giản nhất của hai nguyên tử Silic với các

quỹ đạo ,x yp p và zp của chúng tƣơng ứng song song với nhau và các quỹ đạo

xp nằm trên cùng một trục, các phần tử ma trận ,i iH đều có thể đƣợc biểu

diễn bởi một hệ nhỏ của các số hạng mà chúng chỉ phụ thuộc vào khoảng

cách giữa các nguyên tử ijR . Hai số hạng chéo khác nhau chính là “các năng

lƣợng quỹ đạo nguyên tử” sE và pE :

, ,i iE H

, ,s p

và bốn số hạng không chéo là “các phần tử nhảy (hopping)”

14

S ,

,

x, z

x, ,

,

, , , ,

,

S iS jS

Sp iS jS x y z

pp ip jp

pp ip jpx ipy jpy

V H

V H p p p

V H

V H H

Các phần tử ma trận giữa các hàm p vuông góc với nhau (nhƣ x,ip jpyH )

đƣợc xem nhƣ triệt tiêu do tính trực giao của các hàm cơ sở.

Trong cách tiếp cận TB kinh nghiệm (ETB), các số hạng không chéo

đƣợc làm khớp với các kết quả của các tính toán từ các nguyên lý đầu tiên và

đƣợc tham số hóa ở dạng của các hàm đơn giản phụ thuộc vào khoảng cách.

Thế đẩy repU ở (1.14) bao gồm hai số hạng năng lƣợng đẩy giữa các

điện tích hạt nhân iZ và số hạng hiệu chỉnh việc tính gấp đôi năng lƣợng

điện tử - điện tử trong số hạng cấu trúc vùng BSE :

, ij

1

2

i j

rep DC

i j

Z ZU E

R

(1.19)

Bằng cách nhƣ đối với các phần tử ma trận hàm Hamilton TB, thế đẩy

đƣợc làm khớp với số liệu ab-initio.

Cuối cùng sử dụng định lý Hellmann-Feynman, trong trƣờng hợp của

các quỹ đạo cơ sở cố định (không chuyển động với các nguyên tử), các lực

nguyên tử có dạng:

ni n n

n ni i

HF

R R

(1.20)

Các ƣu điểm của phƣơng pháp liên kết chặt

- Phƣơng pháp cung cấp thông tin về cấu trúc điện tử của vật liệu

mô hình.

- Hiệu quả tính toán cao hơn nhiều so với phƣơng pháp ab-initio.

Các nhƣợc điểm của phƣơng pháp liên kết chặt

- Phƣơng pháp phụ thuộc vào việc làm khớp với số liệu thực nghiệm

15

hoặc các tính toán ab-initio. Việc làm khớp hàm Hamilton TB để đồng thời tái

sinh các pha với liên kết hay hình học khác nhau (chẳng hạn nhƣ pha lỏng và

vô định hình) là một số vấn đề thuộc về kỹ xảo và đôi khi hoàn toàn không

thể thực hiện.

- Số hạng năng lƣợng đẩy chỉ có thể xác định bằng một công thức kinh

nghiệm (nghĩa là có thể không đƣợc làm khớp với các tính toán ab-initio).

- Phƣơng pháp đòi hỏi giải ít nhất một bài toán trị riêng hoặc vectơ

riêng của ma trận trên từng bƣớc của mô phỏng MD. Điều này giới hạn ứng

dụng của phƣơng pháp cho hệ chứa hàng trăm nguyên tử nhƣng không phải

hàng nghìn nguyên tử.

1.3.3. Các thế kinh nghiệm

Để nghiên cứu các tính chất động lực và cấu trúc của các vật rắn một

cách đơn giản và trực tiếp nhất đó là dùng thế tƣơng tác kinh nghiệm. Thế

này mô tả các tƣơng tác nguyên tử trong vật rắn và chứa các thông số có thể

điều chỉnh. Các thông số này đƣợc làm khớp với số liệu thực nghiệm và các

kết quả của các tính toán ab-initio theo cách sao cho thế tái sinh một cách tốt

nhất có thể có các đƣờng cong năng lƣợng liên kết đối với các pha đối xứng

cao khác nhau của chất rắn đƣợc nghiên cứu.

Ý tƣởng chung để xây dựng thế kinh nghiệm cho các tƣơng tác nguyên

tử nhƣ sau: Đối với một hệ chứa N hạt giống nhau, năng lƣợng toàn phần của

hệ có thể đƣợc khai triển thành các đóng góp một hạt, hai hạt, ba hạt,...

1

1 2 3 1

, , , ,...,

, , , ... ,...,k

N

i i i j i j N i iN

i i j i j k i i

E R R R R R R R R R

(1.21)

Để khai triển (1.21) có ích cho tính toán thực tế, các hàm thành phần n

cần tiến đến 0 theo sự tăng của n. Tính chất này phụ thuộc vào bản chất của

liên kết trong vật liệu nghiên cứu.

Ví dụ nhƣ đối với các tinh thể khí trơ (Ar, Kr, Xe), chỉ các tƣơng tác cặp

16

là quan trọng và (1.21) đƣợc rút gọn thành

2

,

,i i j

i j

E R R R

trong đó thế tƣơng tác cặp 2 đƣợc biểu diễn bằng thế Lennard-Jones

12 6

ij

ij ij

4LJ RR R

Đối với Si, Keating sử dụng thế bao gồm các số hạng tƣơng tác hai hạt

và ba hạt

2

22 2 2

ij 0 ij 02 2ij ij0 0

3 3 1.

16 8 3i ik

k

E R R R R R RR R

(1.22)

ở đây và là các hằng số lực mở rộng liên kết và uốn cong liên kết và 0R

là chiều dài liên kết cân bằng giữa các nguyên tử trong cấu trúc kim cƣơng,

các chỉ số j và k đánh số theo các nguyên tử lân cận gần nhất của nguyên tử i

cho trƣớc.

Một mô hình khác đƣợc sử dụng rộng rãi hiện nay để nghiên cứu các

tính chất cấu trúc và động lực của Si là thế kinh nghiệm của Stillinger và

Weber [25]:

Thế này bao gồm các đóng góp tƣơng tác hai hạt và ba hạt.

2 3

, , ,

, ,i i j ij ik

i j i j k

E R R R R R

(1.23)

trong đó:

2

11 exp

p

ij ij

ijij

R RR A B a

Ra

(1.24)

17

3 ij ik ijij ik

1, exp cos

3

ikk

RR R a

R Raa

(1.25)

ở đây x là hàm bậc Heaviside, ijk là góc giữa các liên kết ijR và ikR ,

, , , , , , ,A B p là các thông số làm khớp.

Ngoài ra còn một số thế khác nhƣ thế của Biswas và Hamann, thế tƣơng

tác giữa các nguyên tử mới phụ thuộc vào môi trƣờng (EDIP) đối với Si do

Bazant, Kaxiras và các cộng sự đƣa vào…

Các ƣu điểm của thế kinh nghiệm

- Có hiệu quả về mặt tính toán.

- Dễ áp dụng ở dạng mã chƣơng trình.

Các nhƣợc điểm của thế kinh nghiệm

- Khả năng chuyển kém cho các pha mà thế không đƣợc làm khớp.

Việc tái sinh pha vô định hình của Si đòi hỏi sự làm khớp tƣờng minh cho

pha này.

- Khả năng chuyển rất kém giữa các pha với môi trƣờng liên kết khác

nhau.

- Không sẵn có các tính chất cấu trúc điện tử.

1.3.4. Các phương pháp mô hình hóa trên máy tính

Mô hình topo đƣợc chấp nhận lần đầu tiên do Zachariasen [34] đề xuất

năm 1932 dùng để đƣa ra cấu trúc của các bán dẫn tứ giác vô định hình đƣợc

gọi là “mạng ngẫu nhiên liên tục (CRN)”. Trong mô hình này, các khối xây

dựng chính của vật liệu là tứ giác đối với Si hoặc Ge nhƣng không giống một

tinh thể lý tƣởng các khối này có thể đƣợc định hƣớng và liên kết một cách

ngẫu nhiên cho phép “chơi” trong các chiều dài và góc liên kết nguyên tử.

Mô hình CRN cơ học đầu tiên do Polk [21] xây dựng năm 1971. Nó

phản ánh topo chung của các chất bán dẫn vô định hình cơ bản nhƣng chứa

đựng các bề mặt tự do trong cấu trúc của nó do quy trình xây dựng không

18

đƣợc thúc đẩy về mặt vật lý. Rõ ràng là các mô hình CRN thế hệ tiếp theo

cần đƣợc tạo ra trên một máy tính và sử dụng các thuật toán topo có liên

quan về mặt vật lý.

Phƣơng pháp mở rộng liên kết của Wooten, Winer và Weaire (WWW)

đƣợc đƣa ra từ năm 1985 và đƣợc áp dụng thành công để mô hình hóa các

cấu trúc mạng ngẫu nhiên liên tục (CRN) đối với Si, Ge và kim cƣơng vô

định hình.

Một phƣơng pháp nổi tiếng khác để mô hình hóa a-Si là phƣơng pháp

QFM. Ý tƣởng của phƣơng pháp này là sử dụng MD để làm giống quy trình

thực nghiệm trong việc chế tạo a-Si bằng cách làm lạnh từ trạng thái lỏng.

Tinh thể Si kiểu kim cƣơng đƣợc lấy làm cấu trúc ban đầu cho việc mô hình

hóa. Sau đó khi chất lỏng cân bằng nó đƣợc làm lạnh dần dần đến pha vô

định hình. Cuối cùng, pha vô định hình đƣợc cho cân bằng tại nhiệt độ không

đổi hoặc nhiệt độ và áp suất không đổi (nhiệt độ thông thƣờng là 300K).

Trong những năm gần đây, việc mô hình hóa a-Si nhờ phƣơng pháp QFM là

một lĩnh vực hoạt động rất sôi nổi.

Phƣơng pháp Monte Carlo ngƣợc (RMC) là một kỹ thuật để tạo ra các

mô hình cấu trúc của các vật liệu bằng cách sử dụng các số liệu thực nghiệm

nhƣ một thông tin làm khớp đầu vào. Các hệ số liệu làm khớp đƣợc sử dụng

rộng rãi nhất là:

- số phối vị hệ mong muốn

- phân bố góc liên kết mong muốn

- hàm tƣơng quan cặp g(r)

- số liệu nhiễu xạ tia X nhƣ thừa số cấu trúc S(q)

Số liệu làm khớp này đƣợc coi nhƣ các áp đặt lên trên hệ. Việc mô tả

ngắn gọn đối với kỹ thuật mô hình hóa RMC nhƣ sau:

1. Cấu hình xuất phát của các hạt tại mật độ mong muốn đƣợc tạo ra.

Một hệ “các đƣờng cong áp đặt” e

iF x đƣợc tính đối với cấu hình này.

19

2. Thừa số tốt cho việc làm khớp (goodness-of-fit)

2

0

1 c e

i i

i xi

F x F

đƣợc tính, trong đó e

iF x là các hệ số liệu thực nghiệm (các áp đặt) mà mô

hình đƣợc làm khớp với nó. i là độ lệch chuẩn của hệ số liệu thực nghiệm i

3. Một cấu hình thử mới đƣợc tạo ra bằng cách làm chuyển động

ngẫu nhiên một hạt. Hệ của e

iF x và thừa số 2 2

n đƣợc tính đối với

cấu hình mới.

4. Nếu 2 2

0n chuyển động đƣợc chấp nhận. Nếu không, chuyển động

đƣợc chấp nhận với xác suất kiểu Metropolis 2 2

0exp 1/ 2 np

.

Quá trình mô hình hóa diễn ra bằng cách lặp lại các bƣớc 3 và 4; mô

hình đƣợc xem nhƣ đạt đƣợc sự cân bằng cấu trúc khi thừa số tốt cho sự làm

khớp bắt đầu dao động xung quanh một giá trị cho trƣớc mà không có sự

tăng cƣờng tiếp tục của sự làm khớp. Mặc dù đã thu đƣợc những thành công

nhất định khi sử dụng các phƣơng pháp tính toán trình bày ở trên để nghiên

cứu về bán dẫn nhƣng mỗi phƣơng pháp đều có những hạn chế nhất định. Vì

vậy, việc sử dụng những phƣơng pháp này để nghiên cứu các tính chất nhiệt

động và đàn hồi của bán dẫn còn chƣa thực sự hiệu quả.

Trong những năm gần đây đã xuất hiện một phƣơng pháp thống kê mới

rất hiệu quả trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của

các vật liệu - đó là phƣơng pháp thống kê mômen.

Phƣơng pháp mômen do GS Nguyễn Tăng đề xuất đã đƣợc phát triển đề

nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi điều hòa [19], [20].

Bằng phƣơng pháp mômen đối với các tinh thể có cấu trúc lập phƣơng

tâm diện và lập phƣơng tâm khối, các tác giả Nguyễn Tăng, Vũ Văn Hùng và

các cộng sự đã tình đƣợc biểu thức giải tích đối với một loạt các đại lƣợng

20

nhiệt động nhƣ: Độ dời của hạt khỏi nút mạng, năng lƣợng tự do của hệ, hệ số

dãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng nhiệt, nhiệt dung riêng đẳng tích, nhiệt dung

riêng đẳng áp,…. Ngoài ra nhờ phƣơng pháp này còn tìm đƣợc giới hạn bền

vững tuyệt đối của tinh thể, công thức đối với nhiệt độ giới hạn và nhiệt độ

nóng chảy của tinh thể. Lý thuyết này đã áp dụng cho tinh thể khí trơ, tinh thể

kim loại, tinh thể và hợp chất bán dẫn lý tƣởng. Chính vì vậy việc hoàn thiện

lý thuyết này để áp dụng nghiên cứu cho tinh thể bán dẫn khi có khuyết tật là

cần thiết.

1.3.5. Phương pháp thống kê mômen

1.3.5.1. Mô men trong vật lý thống kê

1.3.5.1.a. Các công thức tổng quát về mômen

Trong lý thuyết xác suất và trong vật lý thống kê, mômen đƣợc định

nghĩa nhƣ sau:

Giả sử có một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên 1 2, ,..., nq q q tuân theo quy

luật thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố 1 2, ,..., nq q q . Hàm này phải thỏa

mãn điều kiện chuẩn hóa. Trong lý thuyết xác suất ngƣời ta định nghĩa

mômen cấp m nhƣ sau:

1 2

1 1 1 2 1

, ,...,

, ,..., ...

n

m m

n n

q q q

q q q q q dq dq (1.26)

Mômen này còn đƣợc gọi là mômen gốc. Ngoài ra còn có định nghĩa

mômen trung tâm cấp m:

1 2

1 2 1

, ,..

1

.,

1 1 1( ) ( ) , ,..., ...

n

m m

n n

q q q

q q qq q q q dq dq (1.27)

Nhƣ vậy đại lƣợng trung bình thống kê q chính là mômen cấp một

và phƣơng sai 1 1

2( )q q là mômen trung tâm cấp hai. Thế nên nếu biết

đƣợc hàm phân bố 1 2, ,..., nq q q thì hoàn toàn có thể xác định đƣợc các

mômen. Trong vật lý thống kê cũng có các định nghĩa tƣơng tự. Riêng đối với

21

hệ lƣợng tử, đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê

, các mômen xác định nhƣ sau:

,m m

m m

q Tr q

q q Tr q q

(1.28)

trong đó, toán tử

tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử

,i Ht

ở đây […,…] là dấu ngoặc poisson lƣợng tử.

Nhƣ vậy, nếu biết toán tử thống kê

thì có thể tìm đƣợc mômen. Tuy

nhiên việc tính các mômen không phải là bài toán đơn giản. Ngay đối với hệ

cân bằng nhiệt động, dạng của

thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, hoặc

chính tắc lớn, v.v...), nhƣng việc tìm các mômen cũng rất phức tạp.

Giữa các mômen có quan hệ với nhau. Mômen cấp cao có thể biểu diễn

qua mômen cấp thấp hơn. Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lƣợng tử để

tìm hệ thức liên hệ giữa các mômen đã đƣợc xây dựng trong [37], [38] hệ

thức đó đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt

động của tinh thể phi tuyến nên ở đây xin đƣợc trình bày vắn tắt việc xây

dựng chúng:

Xét một hệ lƣợng tử, chịu tác động của các lực không đổi ia theo hƣớng

tọa độ suy rộng iQ . Nhƣ vậy Hamiltonian của hệ có dạng:

0 i i

i

H H a Q

(1.29)

với 0H là Hamiltonial của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.

Bằng một số phép biến đổi kỳ diệu trong [38] các tác giả đã thu đƣợc hệ

22

thức tổng quát, chính xác biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kỳ F

và tọa độ

kQ

của hệ Hamiltonial H:

22

2

0

1

2 2 !

mm

a mk k

ma a k ka

a

FB i F

F Q F Qa m a

(1.30)

trong đó ,B Bk T k là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, 2mB là hệ

số Becnouli và ....abiểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê với

Hamiltonial H. Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa đại lƣợng

F và tọa độ k

Q

. Muốn vậy cần phải biết các đại lƣợng aF

và

2m

k

a

F

a

Đại lƣợng aF

có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn

2m

k

a

F

a

từ các phƣơng trình động lực.

Trong trƣờng hợp đặc biệt, kF Q ta có biểu thức chính xác đối với

phƣơng sai:

222

2

0 2 !

mm

k a m kk k a

mk kaa

Q B QiQ Q

a m a

(1.31)

Vì kQ không phụ thuộc tƣờng minh vào ka nên đối với hệ cổ điển, công

thức (1.31) trở nên đơn giản:

2

k ak k a

ka

QQ Q

a

(1.32)

Ngoài ra, công thức (1.30) còn cho ta khả năng xác định hàm tƣơng quan

23

giữa F và kQ đối với hệ có Hamiltonian 0H :

22

2

0

00

1,

2 (2 )!

mm

a m kk k

mk k

aa

FB Fi

F Q F Qa m a

(1.33)

trong đó ... biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltian 0H

.

Trong công trình [38] các tác giả còn thu đƣợc hệ thức chính xác khác:

22

1 2

0

1, ( 1)

2 (2 )!

m nm

n mk

m k

a

B i FF Q

m a

. (1.34)

Trong trƣờng hợp đặc biệt: F Q

, chúng ta thu đƣợc hệ thức cho phép

xác định thăng giáng của xung:

2 12.

2 2

0 (2 )!

mm

m k

m ka

a

B QiQ

m a

. (1.35)

Công thức (1.30) còn đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với

mômen cấp cao [26]. Muốn vậy, tác giả đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng

quan cấp n:

1 2 31

1

1[...[ , ] ] ... ]

2n nn

n

K Q Q Q Q

. (1.36)

Nếu trong công thức (1.30) thay nF K

thì thu đƣợc công thức truy chứng:

22

21 1

01 1(2 )!

mmn

a m nn n n

ma a a n n

a

KB Ki

K K Qa m a

(1.37)

công thức này là một công thức tổng quát mômen. Về nguyên tắc, công thức

(1.37) cho phép xác định các mômen cấp tùy ý. Đó là công thức xác định

mômen cấp cao qua mômen cấp thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn qua

24

mômen cấp 1. Khi đó chúng ta thu đƣợc biểu thức khá cồng kềnh. Nhƣng đối

với các hệ cụ thể, nó có thể có dạng đơn giản, gọn gàng hơn.

1.3.5.1.b. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do.

Trong vật lý thống kê, khi biết năng lƣợng tự do ta sẽ có thông tin đầy

đủ về tính chất nhiệt động của hệ, vì vậy việc xác định nó đóng vai trò quan

trọng. Trong vật lý thống kê, năng lƣợng tự do liên kết với tổng trạng thái

qua hệ thức:

ln

H

Z

Z Tr e

(1.38)

tuy nhiên, việc tìm không đơn giản. Đối với một số hệ đơn giản có thể tìm

đƣợc biểu thức chính xác của năng lƣợng tự do, còn nói chung chỉ có thể tìm

nó dƣới dạng gần đúng. Trong [38] phƣơng pháp mômen đã đƣợc áp dụng để

xác định công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do:

Xét một hệ lƣợng tử đặc trƣng bởi Hamiltonian có dạng:

0H H V

(1.39)

với là thông số và V

là toán tử tùy ý. Dựa vào biểu thức đã thu đƣơc bằng

phƣơng pháp mômen đối với hệ cân bằng nhiệt động:

k a

k

Qa

,

ta có thể viết

aV

a

(1.40)

và nhƣ vậy năng lƣợng tự do của hệ bằng:

0

0

V d

(1.41)

25

trong đó 0 là năng lƣợng tự do của hệ với Hamiltonian 0H

và đƣợc xem

nhƣ đã biết.

Bằng cách nào đó tìm đƣợc V thì từ (1.41) có thể thu đƣợc biểu

thức đối với năng lƣợng tự do . Đại lƣợng V có thể tìm đƣợc nhờ

công thức mômen.

Nếu Hamiltonian H có dạng thức phức tạp thì tách nó thành:

0 i i

i

H H V

(1.42)

sao cho 0 1 1 2 2H V V

,... Giả sử biết rằng năng lƣợng tự do 0 ứng với

Hamiltonian 0H

của hệ, khi đó tìm năng lƣợng tự do 1 ứng 0 1 1H H V

.

Sau đấy tìm năng lƣợng tự do 2 ứng 2 1 2 2H H V

.... Cuối cùng chúng ta

thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do của hệ.

26

Kết luận chƣơng 1

Trong chƣơng này, chúng tôi đã trình bày về bán dẫn, các dạng khuyết

tật trong bán dẫn, đồng thời chúng tôi cũng đã giới thiệu một số phƣơng

pháp chủ yếu dùng để nghiên cứu về bán dẫn nói chung và về tính chất đàn

hồi cuả bán dẫn nói riêng nhƣ: Các phƣơng pháp ab-initio, phƣơng pháp liên

kết chặt, các thế kinh nghiệm, phƣơng pháp mô hình hóa trên máy tính…

Chúng tôi đã nêu qua những ƣu và nhƣợc điểm của từng phƣơng pháp.

Cũng trong chƣơng này, chúng tôi đã trình bày nội dung của phƣơng

pháp thống kê mômen - phƣơng pháp nghiên cứu chính và là cơ sở nghiên

cứu trong các chƣơng tiếp theo.

Sau đây, chúng tôi xin trình bày phƣơng pháp thống kê mômen trong

nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS.

27

Chƣơng 2

PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN TRONG NGHIÊN CỨU TÍNH

CHẤT ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC ZnS.

2.1. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng.

Đối với tinh thể bán dẫn có cấu trúc ZnS, ngoài tƣơng tác cặp là chủ yếu

còn phải kể đến đóng góp của tƣơng tác ba hạt. Khi đó thế năng tƣơng tác có

dạng:

ij ij

, , ,

1 1W

2 6i k

i i j i j k

E E

(2.1)

ij ij

,

1 1W

2 6i k

j j k

E (2.2)

trong đó, iE là thế năng tƣơng tác của hạt thứ i; ij là thế năng tƣơng tác giữa

các hạt thứ i và hạt thứ j; ijW k là thế tƣơng tác giữa các hạt i,j và k.

Trong trƣờng hợp các hạt dao động mạnh, chúng ta có thể khai triển thế

năng iE theo độ dời iu . Ở phép gần đúng cấp 4, thế năng tƣơng tác của hạt i

có dạng:

2 30

, , ,

4

, , ,

1 1

2 6

1...

24

i ii i j j j j j

j j j j j

ij j j j

j j j j

E EE E u u u u u

u u u u u

Eu u u u

u u u u

(2.3)

0

ij ij

,

, , , , , ;

1 1

2 6i i j j j

j j k

x y z

E E a a W a

(2.4)

ở đây ja là vị trí cân bằng của hạt thứ j

Dạng của các số hạng 2

i

j j eq

E

u u

vv... đƣợc xác định nhƣ sau [36]:

28

22 2

33 2

ii j j i

j j eq

ii j j j i j j j

j j j eq

EE a a E

u u

EE a a a E a a a

u u u

44

3

2

ii j j j j

j j j j eq

i j j j j j j j j

j j j j i

EE a a a a

u u u u

E a a a a a a a a

a a a a E

(2.5)

trong đó:

1 1

ij ij

1 1W

3i j k j

kj

E a aa

2 2 1 12

ij ij ij ij2 3

1 1 1 1W W

3 3i j k j j k j

k kj j

E a a a aa a

3 3 2 23

ij ij ij ij3 4

1 1

ij ij5

1 1 3 1W W

3 4 3

3 1W

3

i j k j j k j

k kj j

j k j

kj

E a a a aa a

a aa

4 4 3 34

ij ij ij ij4 5

2 2 1 1

ij ij ij ij6 7

1 1 6 1W W

3 3

15 1 15 1W W

3 3

i j k j j k j

k kj j

j k j j k j

k kj j

E a a a aa a

a a a aa a

(2.6)

với các kí hiệu (1), (2), (3), (4) trên đầu hàm ,j ja W a là đạo hàm các cấp

tƣơng ứng.

Nhƣ vậy tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i là:

29

2 3

,

4

,

1

2

1

6

i ij j j

j j j j jeq

ij j j

j j j j

E Eu u u

u u u u u

Eu u u

u u u u

Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p thì ở trạng

thái cân bằng nhiệt động ta có phƣơng trình:

2 3

,

4

,

1

2

10

6

i ij j jp p

j j j j jeq eq

ij j j p

j j j j eq

E Eu u u

u u u u u

Eu u u p

u u u u

(2.7)

Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc ZnS, các số hạng sau

đều bằng 0:

2 3 3 4 4

2 3 3 2; ; ; ;i i i i i

j j j j j j j j j jeq eq eq eq eq

E E E E E

u u u u u u u u u u

(2.8)

Nhờ công thức tổng quát về mômen (1.37), chúng ta có thể biểu diễn

mômen bậc 4 j j j j pu u u u ; mômen bậc 3 j j j p

u u u ; mômen bậc 2

j j pu u qua mômen bậc 1 nhƣ sau:

22 2

j p

j j j jp p p

uu u u u cth

a m m

2

2

2

3

2 2

j jp p

j j j j j j jp p p p p

j jp p

u uu u u u u u u

a a a

u ucth

m m

30

22

2 2

32 2

23

2 2

6

4 3

2

j p

j j j j j j j j j jp p p p p p pj

j jp p

j pj j j

j p

j jp pj j j

uu u u u u u u u u u

a

u uu

a a a

uu u

a a a m m

(2.9)

Sử dụng (2.9) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (2.8) phƣơng trình

(2.7) đƣợc viết lại nhƣ sau:

23 2

2 2

2

2

3 ( x 1)

( x 1) 0

dy d yy y xcth y

dp dp m

dyy xcth ky p

dp m

(2.10)

trong đó :

22

2

x

i

j eq

Ek m

u

; 4 4

4 2 2

x x

16 ;

6

i i

j j jyeq eq

E E

u u u

3

x

i

j jy jz eq

E

u u u

(2.11)

Phƣơng trình (2.10) nhận đƣợc khi coi rằng:

j j j pp p pu u u u .

Để giải (2.10), chúng tôi thực hiện phép biến đổi mới bằng cách đặt:

'

3y y

(2.12)

với cách biến đổi nhƣ vậy, phƣơng trình (2.10) biến đổi về dạng:

' 2 '3 ' 2 ' *

* *23 ( x 1) 0

dy d yy y xcth y Ky p

dp dp k

(2.13)

trong đó :

31

2

3K k

; * *p p K ;

2

2

2 1 2* x 1

27 3 3

kK xcth

k k

(2.14)

Phƣơng trình (2.13) là một phƣơng trình vi phân phi tuyến, chúng ta

tìm nghiệm của nó dƣới dạng gần đúng. Vì ngoại lực *p là tùy ý và nhỏ

nên ta có thể tìm nghiệm dƣới dạng đơn giản:

' ' * *

0 1 2y y A p A p (2.15)

với 0y là độ dời ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực *p ( * 0p hoặc

* *p K ).

Thay (2.15) vào (2.13) chúng ta sẽ thu đƣợc phƣơng trình đối với 1 2,A A

2 3

2 0 1 0 0 02 3 ' ' ' 1 ' 0A A y Ky xcthx yk

2 2

0 2 1 0 1 1 16 ' 3 3 ' 1 1 0y A A y A KA xcthx Ak

(2.16)

hệ này cho nghiệm:

2 2

1 4

1 21 1 1

2

xcthxA xcthx

K K

300 1 0 0

2 2 2

1 '' ' '3

2 2 2 2

x xcthx yy A y KyA

k

(2.17)

ở vùng nhiệt độ cao, khi xcthx~1, phƣơng trình (2.13) trở về dạng quen thuộc

trong [5]:

22 3

2

' '3 ' ' * 0

* *

d y dyy y Ky p

dp dp (2.18)

nghiệm của (2.18) đã đƣợc đƣa ra trong [5]:

2

0 3

2'

3y A

K

(2.19)

ở đây :

32

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

1 2 3 4 5 64 6 8 10 12A a a a a a a

K K K K K

(2.20)

1

11

2

xcthxa

2 2 3 3

2

13 47 23 1

3 6 6 2a xcthx x cth x x cth x

2 2 3 3 4 4 5 5

3

25 121 169 83 22 1

3 6 3 3 3 2a xcthx x cth x x cth x x cth x x cth x

2 2 3 3 4 4 5 5

4

43 93 169 83 22 1

3 2 3 3 3 2a xcthx x cth x x cth x x cth x x cth x

2 2 3 3

5

4 4 5 5 6 6

103 749 363 391

3 6 2 3

148 53 1

3 6 2

xcthx x cth x x cth x

a

x cth x x cth x x cth x

2 2 3 3

6

4 4 5 5 6 6 7 7

561 1489 92765

2 3 2

733 145 31 1

3 2 3 2

a xcthx x cth x x cth x

x cth x x cth x x cth x x cth x

(2.21)

trong đó: 2

x

Nhƣ vậy, nghiệm của phƣơng trình (2.18) ứng với trƣờng hợp không có ngoại

lực tác dụng có dạng:

0 0 * *'3

p p Ky y y

2 2 2

0 4

1 6 1 2 2' 1 1

3 3 3 27

ky xcthx

K K k k

. (2.22)

Khi độ dời 0y đƣợc xác định, chúng ta hoàn toàn tìm đƣợc khoảng lân

cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T

0 0a a y (2.23)

0a là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 00 K .

33

2.2. Tính chất đàn hồi của vật rắn

2.2.1. Các yếu tố cơ bản của lý thuyết đàn hồi

Trong lý thuyết thống kê về đàn hồi, vật rắn đƣợc khảo sát nhƣ là môi

trƣờng liên tục. Vị trí của mỗi điểm đƣợc đặc trƣng bởi véc tơ 1 2 3, ,r x x x .

Trong quá trình biến dạng, mỗi điểm của vật rắn ứng với r sẽ dịch chuyển

đến vị trí mới ứng với véc tơ ' ' '

1 2 3' , ,r x x x . Độ dịch chuyển của điểm đó khi

biến dạng đƣợc mô tả bởi véc tơ dịch chuyển 'u r r với các thành phần

'

i i iu x x (i=1, 2, 3). Các thành phần của véc tơ dịch chuyển

iu là hàm của

tọa độ ix .

Tenxơ biến dạng ike có dạng:

1

2

i i i iik

k i i k

u u u ue

x x x x

. (2.24)

Dễ dàng nhận thấy tenxơ này đối xứng ik kie e . Trong trƣờng hợp biến

dạng là nhỏ, thành phần thứ 3 có thể bỏ qua, tenxơ biến dạng có dạng đơn

giản (trong gần đúng tuyến tính):

1

2

i iik

k i

u ue

x x

(2.25)

Khi vật rắn biến dạng đàn hồi sẽ xuất hiện các lực muốn kéo vật về trí

cân bằng. Trong trƣờng hợp tổng quát, năng lƣợng đàn hồi đƣợc biểu diễn:

ij ij

1 1

2 2kl ij kl klmn ij kl mnF C e e C e e e (2.26)

ở đây ijklC tạo thành tenxơ hạng 4 đƣợc gọi là mô đun đàn hồi bậc 2, còn

ijklmnC tạo thành tenxơ hạng 6 gọi là mô đun đàn hồi bậc 3. Những thành phần

bậc cao hơn trong khai triển năng lƣợng đàn hồi theo bậc biến dạng ở đây quá

nhỏ. Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính thành phần thứ 2 trong (2.26) cũng

34

đƣợc bỏ qua và biểu thức tính năng lƣợng đàn hồi có dạng đơn giản hơn:

ij

1

2kl ij klF C e e (2.27)

Hơn nữa, sự liên hệ giữa ứng suất và độ biến dạng đàn hồi có đƣợc từ

định luật Hooke tổng quát:

ij ijkl kl

ij

FC e

e

(2.28)

hay là : ij ijkl kle S (2.29)

với ijklS đƣợc gọi là tenxơ đàn hồi, liên hệ với ijklC bởi biểu thức:

ij ij

1

2kl klpq pq ip jq iq jpC S I

ở đây, ijpqI là tenxơ đơn vị và ik là kí hiệu Croneker.

Rõ ràng là: iklm kilm ikml lmikC C C C (2.30)

iklm kilm ikml lmikS S S S (2.31)

Do đó, số các thành phần độc lập của iklmC và iklmS giảm bớt. Khi biểu

diễn tenxơ mô đun đàn hồi và tenxơ hằng số đàn hồi dƣới dạng ma trận, ngƣời

ta thu đƣợc dạng ma trận của định luật Hooke tổng quát.

Đối với vật rắn đàn hồi đẳng hƣớng, biểu thức để xác định năng lƣợng

đàn hồi có dạng:

2 2 2 3

2 3 3 3ik ll ik il kl ik ll ll

K G A CF Ge e e e e Be e e

(2.32)

ở đây, G là mô đun trƣợt, K là mô đun nén khối theo mọi hƣớng, còn А, B, C

là mô đun đàn hồi bậc 3 theo Landau. Từ (2.24) và (2.32), biểu thức của năng

lƣợng đàn hồi có dạng:

35

2

3

4 2 3 4

2 3 12 2 3

i k l i k l

k i l k i k

l i i k l i k l l

l k k l i k i l l

u u u u u uG K G AF G

x x x x x x

u u u u u u u u uB K G A B C

x x x x x x x x x

(2.33)

Mumaghan đã khai triển năng lƣợng đàn hồi theo độ biến dạng [18]. Các

mô đun bậc 3 theo Marnaghan (l, m và n) liên hệ với mô đun bậc 2 theo

Landau bởi hệ thức sau:

; ;

2

An A m B l B C

;B m ;2 2

n nA n C l m . (2.34)

Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính, khi bỏ qua các thành phần bậc cao thì

biểu thức của năng lƣợng đàn hồi có dạng :

2

21

2 2ik ik ll ll

KF G e e e

. (2.35)

Nhƣ vậy, từ (2.28) và (2.35) ta có thể viết lại định luật Hooke tổng quát

dƣới dạng:

12

3ik ll ik ik ik llKe G e e

1 1 1

9 2 3ik ik ll ik ik lle

K G

(2.36)

hay

1 1 2ik ik ik ll

Ee e

1

1ik ik ll ikeE

(2.37)

ở đây, E là mô đun đàn hồi Young và là hệ số Poisson.

36

2.2.2. Các đặc tính đàn hồi của vật liệu đơn tinh thể và đa tinh thể

Thực tế tất cả các đơn tinh thể là đàn hồi dị hƣớng. Các mô đun đàn hồi

E, G, K của vật liệu đa tinh thể phụ thuộc vào cấu trúc, đặc biệt là kết cấu

cũng dẫn tới tính dị hƣớng của đàn hồi. Nếu bỏ qua kết cấu thì vật liệu đa tinh

thể trong coi là đàn hồi đẳng hƣớng.

Trong [27], Voigt và Reuss đã trình bày phƣơng pháp mô đun đàn hồi

vật liệu đa tinh thể đẳng hƣớng theo các đặc trƣng đàn hồi của đơn tinh thể

bằng phƣơng pháp đó có thể tìm đƣợc những giá trị giới hạn nào đó của mô

đun đàn hồi nén khối K và mô đun trƣợt G thỏa mãn điều kiện:

min maxK K K ; min maxG G G (2.38)

ở đây, maxK , maxG , minK , minG đƣợc xác định trong công trình [28] bởi biểu

thức:

max max

1 1 1;

9 10 3iikk ikik iikkK C G C C

(2.39)

min min

1 1 2 1;

5 3iikk ikik iikkS S S

K G

(2.40)

11 22 33 12 23 31

min

12S S S S S S

K (2.41)

11 22 33 12 23 31 44 55 66

min

1 14 4 3

15S S S S S S S S S

G (2.42)

R. Hill cho rằng, muốn xác định mô đun đàn hồi của vật đa tinh thể, ta sẽ

sử dụng giá trị trung bình số học (hình học) của các mô đun đã đƣợc tính bằng

phƣơng pháp Voigt và Reuss. Trong nhiều trƣờng hợp, các kết quả tính toán

bằng phƣơng pháp Voigt-Reuss-Hill khá là phù hợp với thực nghiệm [12].

2.3. Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn bằng phƣơng pháp thống

kê mômen

Nhƣ đã trình bày ở trên, có rất nhiều tác giả quan tâm tới việc xác định

tính chất đàn hồi của vật liệu. Bên cạnh lý thuyết khảo sát vật rắn đàn hồi nhƣ

37

môi trƣờng liên tục, còn nhiều công trình chú ý đến khoảng không gian “rộng

lớn” giữa các hạt trong tinh thể. Điều này có nghĩa là thừa nhận thực tế về cấu

trúc hạt rời nhau, giữa chúng có các lực hút và lực đẩy ở nhiệt độ thông

thƣờng. Các lý thuyết đó gọi là lý thuyết đàn hồi rời rạc, nhƣng các lý thuyết

đó gặp nhiều khó khăn về phƣơng diện toán học. Tuy nhiên, với sự phát triển

của máy tính, đã xuất hiện nhiều phƣơng pháp tính nhƣ: Phƣơng pháp phần tử

hữu hạn, phƣơng pháp siêu nguyên tử, v.v... và chúng đƣợc áp dụng để nghiên

cứu biến dạng của vật rắn đàn hồi và đàn hồi dị hƣớng.

Trong phần này, chúng tôi sử dụng phƣơng pháp thống kê mômen để

nghiên cứu các mô đun đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng và cấu

trúc ZnS lý tƣởng.

Tinh thể bán dẫn của vật thể đƣợc giả thiết là tinh thể tự nhiên, nghĩa là

không có ngoại lực tác dụng trong nó không tồn tại ứng suất. Giả thiết này

không xét đến sự tồn tại của các biến dạng và ứng suất ban đầu có tính chất và

độ lớn chƣa xác định và phụ thuộc vào quá trình hình thành vật thể. Hơn nữa,

hình dạng của vật thể chỉ phụ thuộc vào tải trọng đang tác dụng, không phụ

thuộc vào quá trình đặt tải trọng trong quá khứ.

Tất cả các ý nghĩa về ứng suất về biến dạng trong mục này không dựa

trên giả thiết nào về tính chất của vật liệu. Vì vậy, các định nghĩa đó có thể áp

dụng cho mọi vật liệu có trạng thái lý tƣởng khác nhau.

Vật thể đàn hồi lý tƣởng đƣợc coi là đồng chất nếu tất cả các phân tử của

vật thể tại thời điểm khác nhau dƣới tác dụng của cùng một ứng suất nhƣ

nhau đều có biến dạng giống nhau. Giả thiết này cho phép coi các đại lƣợng

đặc trƣng cho tính chất đàn hồi của vật liệu là hằng số trên toàn bộ thể tích

của vật thể.

Vật thể đàn hồi lý tƣởng đƣợc coi là đẳng hƣớng nếu các tính chất của nó

đều nhƣ nhau theo mọi phƣơng đi qua một phân tử cho trƣớc, và bất cứ mặt

phẳng nào đi qua một phân tử cho trƣớc của vật thể đều là mặt phẳng đối

38

xứng của nó. Vật thể đồng nhất và đẳng hƣớng nếu các tính chất đàn hồi

giống nhau tại tất cả các phân tử của vật thể.

Trong phần này, chúng tôi chỉ xem xét mẫu là đồng nhất và đẳng hƣớng.

Chúng tôi cũng thừa nhận rằng khi nghiên cứu biến dạng dọc, các ứng suất

pháp tuyến không gây nên biến dạng góc (hay gọi là biến dạng trƣợt) và

ngƣợc lại ứng suất tiếp tuyến không gây ra biến dạng thể tích. Ngoài ra, hiện

tƣợng ứng suất và biến dạng tăng hay giảm theo thời gian do trọng tải ban đầu

gây ra cũng đƣợc bỏ qua.

Do giả thiết vật thế đồng nhất và đẳng hƣớng nên các đại lƣợng đặc

trƣng cho tính chất đàn hồi là hằng số trên toàn bộ thể tích vật thể. Bỏ qua sự

ảnh hƣởng kết cấu của các phần tạo thành vật đa tinh thể, chúng ta có thể tính

các mô đun đàn hồi của bán dẫn đa tinh thể, đẳng hƣớng theo giá trị đặc trƣng

đàn hồi của đơn tinh thể. Tuy nhiên đây chỉ là bƣớc đầu tiên trong việc nghiên

cứu các tính chất đàn hồi của vật đa tinh thể và trong một chừng mực nào đó,

lý thuyết cũng có ý nghĩa và độ chính xác nhất định.

2.3.1. Biểu thức mô đun đàn hồi

Sự thay đổi hình dạng hay thể tích của vật thể dƣới tác dụng của nguyên

nhân nào đó gọi là sự biến dạng. Độ biến dạng tƣơng đối khi kéo hay nén

một phía đƣợc xác định bởi biểu thức:

l

l

(2.43)

Hay 'a a a

a a

(2.44)

39

Hình 2.1: Mẫu thanh hình trụ tròn biến dạng đàn hồi.

Ở đây a và a’ tƣơng ứng là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt

độ T khi mẫu chƣa có ngoại lực và có ngoại lực tác dụng.

Khi vật rắn biến dạng, gây nên sự dịch chuyển của các hạt trong mạng

tinh thể so với nhau, làm phát sinh nội lực, tạo ứng suất trong vật liệu.

Vì ở trong trạng thái cân bằng, tác dụng của phần dƣới lên phần trên có

thế thay bởi lực '

2P bằng độ lớn 1P (nếu bỏ qua trọng lƣợng của thanh). Tác

dụng của phần trên lên phần dƣới vào tiết diện S có thể thay thế bởi lực '

1P

bằng độ lớn 2P (Hình 2.1).

Ứng suất cơ học là đại lƣợng đặc trƣng cho tác dụng của nội lực trong

vật rắn biến dạng

P

S . ( 2.45)

Ứng suất và độ biến dạng của vật rắn biến dạng đàn hồi liên hệ với

nhau bởi định luật Hooke:

40

lE E

l

(2.46)

trong đó E là mô đun Young .

Để biến dạng đàn hồi cần thực hiện công. Giả sử vật rắn biến dạng kéo

nhƣ mô tả hình 2.2. Khi đó công A đƣợc thực hiện trong sự kéo này có độ lớn

bằng diện tích tam giác AOB nhƣ hình 2.3 nghĩa là:

2

P lA

(2.47)

Hình2.2: Biến dạng dọc. Hình 2.3: Sự phụ thuộc của

lực vào độ lớn biến dạng.

Công của ngoại lực đƣợc tích lũy dƣới dạng thế năng đàn hồi trong vật

thể. Do P S nên ta có:

W2

S l (2.48)

thay (2.46) vào (2.48) ta đƣợc:

2

W2

ESl

l

(2.49)

nhƣ vậy, thế năng của vật biến dạng đàn hồi tỷ lệ với bình phƣơng của biến

dạng.

41

Công thức (2.49) có thể viết dƣới dạng:

2

W2

ESl l

l

từ đó suy ra:

21

2

WE

V (2.50)

trong đó V Sl thể tích của vật thể. Công thức (2.50) chứng tỏ năng lƣợng

biến dạng đàn hồi phân bố theo toàn bộ thể tích của vật. Mật độ năng lƣợng

của biến dạng đàn hồi tỷ lệ với bình phƣơng biến dạng tƣơng đối và phụ

thuộc vào loại vật liệu.

Gọi p là năng lƣợng tự do của một đơn vị thể tích của vật rắn bị biến

dạng đàn hồi ta có:

21

2p

WE

V (2.51)

trong đó là năng lƣợng tự do của một đơn vị thể tích của vật rắn chƣa

biến dạng.

Bằng cách xem xét sự biến của cấu trúc mạng diễn ra chậm dƣới tƣơng

tác của ngoại lực có giá trị xác định không đổi, chiều dài của mẫu sẽ thay đổi

từ l đến l l (biến dạng dọc). Ở đây chúng ta bỏ qua sự thay đổi của tiết

diện S của mẫu. Trạng thái ứng suất tại một điểm nào đó trong vật thể đàn hồi

có các trị số ứng suất xác định. Trong trƣờng hợp đang xét, trạng thái ứng

suất đơn và ứng lực do các ứng suất gây nên đối với phân tố chứa hạt trở

thành ngoại lực tác dụng lên phân tố, nghĩa là tác dụng lên hạt gây nên độ dời

khỏi vị trí cân bằng của hạt nhƣ trình bày ở nhƣ ở phần 2.1. Ở đây ứng lực

sinh ra để chống lại biến dạng do ngoại lực sinh gây nên đối với vật thể đàn

hồi ở trạng thái cân bằng.

Theo định nghĩa độ biến dạng đàn hồi (2.44)

42

'a a a

a a

trong đó : 0

0 0

' ' y;

a a

a a

y

(2.52)

với 0,y y tƣơng ứng là độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng ứng với trƣờng hợp

có ngoại lực P tác dụng và không có ngoại lực tác dụng (P=0).

Nếu bỏ qua sự thay đổi của khoảng không gian lân cận gần nhất giữa các

hạt ở nhiệt độ 0°K ( 0 0 0' 0a a a ) do tác dụng của ngoại lực không đổi P,

ta có:

0

0

'3

y yy y

a a

. (2.53)

Từ biểu thức (2.53) kết hợp với (2.15) và( 2.22) ta có:

1A P

a (2.54)

Trong biến dạng đàn hồi, quan hệ giữa các ứng suất pháp tuyến và biến

dạng tuân theo định luật Hooke (2.46) E

. Mặt khác từ (2.51) ta có:

p pE

do đó, nhờ (2.54) ta thu đƣợc:

1p A P

E a

hay 1 1 0 0 1

1 1aE

A P aA a y A

(2.55)

Vì 0 1,y A là hàm của nhiệt độ, do đó biểu thức (2.55) cho phép ta xác

định mô đun Young E ở nhiệt độ khác nhau kết quả này có dạng tƣơng tự kết

quả tìm đƣợc trong [29].

Khi nén một vật từ mọi phía với cùng ngoại lực P, sẽ dẫn tới sự giảm thể

43

tích của vật từ V đến V ’. Sự thay đổi thể tích tƣơng đối tỷ lệ với ứng suất tác

dụng phân bố đều trên mặt vật rắn

VK

V

(2.56)

trong đó K là mô đun nén khối. Sự giảm thể tích của vật bao gồm sự biến

dạng dọc và biến dạng ngang. Biến dạng dọc theo một phƣơng sẽ gây nên độ

co (dãn) theo phƣơng còn lại. Do đó độ biến dạng ngang có dấu ngƣợc với độ

biến dạng dọc. Sự biến dạng dọc đƣợc kể đến khi ta xét sự biến dạng theo

phƣơng ngang của vật và ngƣợc lại. Vì vậy, trong biến dạng đàn hồi ( 1 ),

ngƣời ta xác định đƣợc mối liên hệ giữa mô đun Young và mô đun nén khối

K dƣới dạng [29]:

3 1 2

EK

(2.57)

trong đó là hệ số Poisson đặc trƣng bởi tỷ số co ngang tƣơng đối của vật

liệu bị biến dạng.

Nhƣ chúng ta đã biết, ứng suất trong vật thể khi bị biến dạng có hai

dạng: Ứng suất pháp tuyến và ứng suất tiếp tuyến (hay ứng suất cắt) t .

Biểu thức của định luật Hooke cho ứng suất pháp tuyến có dạng (2.46), còn

đối với biến dạng trƣợt (do tác dụng của ứng suất tiếp tuyến t ) có dạng:

t

pG

S (2.58)

trong đó là góc lệch hay góc trƣợt, G là mô đun trƣợt (Hình vẽ 2.4).

Khi vật bị biến dạng trƣợt, tất cả các mặt phẳng mạng của vật rắn song

song với một mặt phẳng nào đó dịch chuyển song song với nhau, không bị

uốn cong và không thay đổi kích thƣớc.

Hình chữ nhật ABCD với B' độ dài AB, BC, CD, DA không thay đổi, bị

biến dạng thành hình bình hành AB’C ’D với các đƣờng chéo thay đổi.

44

Hình 2.4: Biến dạng trượt dưới tác dụng của ứng suất tiếp tuyến t

Trong khóa luận này, chúng tôi sẽ sử dụng mối liên hệ giữa mô đun trƣợt

G và mô men Young E thu đƣợc bởi công trình [29] để nghiên cứu các tính

chất đàn hồi của vật liệu bán dẫn :

2 1

EG

(2.59)

Nhờ các biểu thức liên hệ giữa , , ,G E K (2.57), (2.59) và (2.55) cho

phép ta xác định đƣợc G, K tại nhiệt độ T bất kì khi biết hệ số Poisson .

Cách đơn giản nhất để xác định khi nghiên cứu vật liệu bán dẫn là dùng giá

trị thực nghiệm [31]. Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày mối liên hệ

giữa các hằng số đàn hồi và mô đun Young E của bán dẫn.

2.3.2. Hằng số đàn hồi

Với vật liệu đàn hồi, mối liên hệ tuyến tính giữa ứng suất và độ biến

dạng đƣợc liên hệ bằng hệ thức :

ij ijkl ijC (2.60)

trong đó ijklC là tenxơ hạng 4, trong trƣờng hợp tổng quát gồm 81 thành phần,

ij là tenxơ ứng suất, ij là ten xơ biến dạng. Đối với Si và các bán dẫn có

cấu trúc ZnS, ma trận ijklC giảm xuống còn 36 thành phần với 3 hằng số đàn

hồi 11 12 44, ,C C C [22] :

45

11 12 12

12 11 12

12 12 11

44

44

44

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

ijkl

C C C

C C C

C C CC

C

C

C

Mặc dù các bán dẫn có cấu trúc ZnS là vật liệu dị hƣớng, nhƣng để đơn

giản ngƣời ta vẫn coi những tính chất đàn hồi của chúng nhƣ vật liệu đẳng

hƣớng. Với vật liệu đẳng hƣớng thì các hằng số đàn hồi đƣợc xác định bởi các

biểu thức [24], [35]:

11

1

1 1 2

EC

(2.61)

121 1 2

EC

(2.62)

441

EC

. (2.63)

Nhƣ vậy, bằng phƣơng pháp thống kê mômen sau khi xác định đƣợc

khoảng lân cận giữa a(T) chúng ta sẽ xác định đƣợc mô đun Young E của bán

dẫn có cấu trúc ZnS theo (2.55). Sau đó, nhờ mối liên hệ G, , E, K,

11 12 44, ,C C C chúng ta xác định đƣợc giá trị của các mô đun đàn hồi K, G, và

các hằng số đàn hồi 11 12 44, ,C C C tại nhiệt độ bất kì khi biết hệ số Poisson .

46

Kết luận chƣơng 2

Trong chƣơng này, chúng tôi đã trình bày phƣơng pháp thống kê mômen

trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS và chúng tôi

đã xây dựng đƣợc biểu thức xác định độ dời của hạt khỏi nút mạng, các đại

lƣợng đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS nhƣ: Các mô đun đàn hồi, các

hằng số đàn hồi

Trong chƣơng 3, chúng tôi sẽ áp dụng tính số từ các biểu thức giải tích

đã thu đƣợc ở chƣơng 2 cho bán dẫn GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng và trong

trƣờng hợp khuyết tật.

47

Chƣơng 3

ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT LÊN TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI

CỦA BÁN DẪN GaAs

3.1. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong bán dẫn

Trong mạng tinh thể, các hạt liên kết với nhau rất phức tạp. Ở những

điều kiện bên ngoài cho trƣớc, các tính chất của tinh thể phân tử đƣợc xác

định một cách đơn trị bởi các lực tác dụng giữa các hạt trong mạng. Việc xác

định đƣợc hàm Hamilton cho phép về nguyên lý tính toán bất kì tính chất cân

bằng nào của tinh thể nhƣ thông số mạng tinh thể, năng lƣợng liên kết, năng

lƣợng tự do,….Tuy nhiên bài toán xác định thế tƣơng tác cực kì phức tạp. Dù

vậy ta vẫn có thể phân chia sự phụ thuộc thế năng vào vị trí tƣơng đối của

chúng. Có nhiều dạng thế tƣơng tác và ứng dụng của chúng khá phong phú.

Tuy nhiên mỗi dạng thế chỉ áp dụng đƣợc một số mục tiêu đối với một số tinh

thể nhất định. Dƣới đây ta điểm qua một số dạng thế cơ bản.

Thế tƣơng tác giữa các nguyên tử đƣợc xác định bởi tƣơng tác giữa các

ion, giữa các đám mây điện tử và giữa các đám mây điện tử với các ion. Năng

lƣợng tƣơng tác giữa các nguyên tử có thể biểu diễn bằng công thức gần đúng

sau [6]:

ij

,i j

E r F V (3.1)

ở đây, ijr là khoảng cách giữa hai nguyên tử i và j; V là thể tích của hệ.

Tƣơng tác giữa hai nguyên tử gồm hai phần: Phần một gọi là thế cặp,

phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai nguyên tử, phần hai phụ thuộc vào mật

độ của vật liệu. Nghĩa là năng lƣợng tƣơng tác không chỉ phụ thuộc vào

khoảng cách giữa các nguyên tử mà còn phụ thuộc vào góc giữa các nguyên

tử lân cận. Các thế tƣơng tác khác nhau trên cơ sở các dạng gần đúng khác

48

nhau của (3.1) gọi là thế tƣơng tác nhiều hạt, trong đó thành phần thứ nhất của

(3.1) là thế tƣơng tác cặp, thành phần thứ hai là thế tƣơng tác nhiều hạt. Đối

với thế tƣơng tác nhúng, thành phần thứ hai trong (3.1) phụ thuộc vào mật độ

điện tử:

iji i

j

f r (3.2)

với if là hàm mật độ điện tử. Khi đó năng lƣợng tổng cộng của hệ đƣợc xác

định theo biểu thức:

ij ij i i

i j i

E r F

(3.3)

trong đó iF là hàm nhúng nguyên tử, mô tả phần năng lƣợng của nguyên tử i

khi nó đƣợc nhúng trong môi trƣờng mật độ điện tử .

Dựa vào tính chất mỗi loại vật liệu mà các nhà nghiên cứu đã tìm ra

những dạng thế phù hợp cho từng loại vật liệu.

Đối với tinh thể khí trơ nhƣ Ar, Kr, Xe thì chỉ tƣơng tác cặp là đóng vai

trò chủ yếu còn ảnh hƣởng của thế 3 hạt là không đáng kể. Vì vậy, với tinh

thể khí trơ thế năng tƣơng tác đƣợc chọn là thế Lennard-Jones nổi tiếng [6]:

ij

12 6

ij ij

4r r r

(3.4)

trong đó là độ sâu hố thế, có nghĩa là khoảng cách tại đó 0

và các

thông số , đƣợc xác định bằng thực nghiệm.

Để nghiên cứu các tinh thể kim loại có cấu trúc lập phƣơng tâm diện và

lập phƣơng tâm khối thì dạng thế thƣờng đƣợc chọn để nghiên cứu là thế

tƣơng tác m n có:

ij

0 0

ij ij

m n

r

r rDn

m n r r

(3.5)

49

trong đó 0r là khoảng cách giữa 2 nguyên tử tƣơng ứng với thế năng cực tiểu

lấy giá trị :D 0 ; ,r D n m là các con số có thể xác định bằng con

đƣờng kinh nghiệm dựa trên các số liệu thực nghiệm.

Đối với hợp kim vô định hình, thế cặp bán thực nghiệm Johnson và

Paka-Doyama đƣợc sử dụng phổ biến và chúng có dạng [7]:

3

rr a r b c d (3.6)

4 2

r a r b c r b e (3.7)

trong đó a, b, c, d, e là các hệ số đƣợc xác định từ số liệu thực nghiệm

Trong các mô hình oxit, thế tƣơng tác Born-Mayer và thế Pauling đƣợc

sử dụng rộng rãi. Trong thời gian gần đây, thế BKS đƣợc áp dụng để mô

phỏng các hệ 2SiO và 2GeO . Thế BKS có dạng [27], [30]:

2

ij ij ij

ij ij ij 6 8

ij ij

expi j

r C Der Z Z B

r R r r

(3.8)

trong đó ijr là khoảng cách giữa tâm các ion thứ i và thứ j; ,i jZ Z là điện tích

của các loại ion i và j; ij ij ij, ,B R C là các hệ số.

Một dạng thế khác của thế Born-Mayer là thế Born-Mayer-Huggins,

trong đó các hệ số ij ij,B R đƣợc xác định qua bán kính ,i jr r :

ij

ij

1 expj i ji

i j

Z r rZB b

n n R

(3.9)

với 0.021eb V ; ,i jn n là số electron lớp ngoài cùng đƣợc lấp đầy của ion i, j.

Thế Pauling đƣợc viết dƣới dạng:

2

ij ij ij

ij ij 6 8

ij ij

i j

n

Z Z e B C Dr

r r r r (3.10)

trong đó 8 10n . Các thông số thế đƣợc xác định từ các số liệu thực nghiệm về

mật độ, độ nén và năng lƣợng liên kết của các hợp chất trong tinh thể.

Tuy nhiên, khác với mô hình tƣơng tác ion, với các vật liệu có liên kết

50

hóa trị mạnh nhƣ bán dẫn thì việc chỉ sử dụng thế cặp là không đủ để mô tả

lực liên kết và mạng tinh thể là không bền nếu không có lực tƣơng tác ba hạt.

Trong đề tài này, để nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs

chúng tôi đã sử dụng thế Stillinger-Weber [25]. Thế này là tổng hợp của các

đóng góp hai hạt và ba hạt.

Phần tƣơng tác 2 hạt có dạng:

1 ij4

2 ij ij ij

ij

ij

r 1 exp ; ;

0;

ij

dA B r a r a r

r a

(3.11)

Phần tƣơng tác 3 hạt có dạng:

2

1 1

ij 2 ij

1W exp cos

3k ij ij kr a r a

(3.12)

ijk là góc giữa các liên kết ijd và ikd .

Các thông số làm khớp: 2, , , , ,A B đƣợc xác định từ các tính chất cơ

bản của vật liệu nhƣ: Năng lƣợng liên kết, hằng số mạng cân bằng, các tính

chất đàn hồi... Giá trị của các thông số này đƣợc cho trong bảng 3.1

Bảng 3.1: Giá trị thực nghiệm của các thông số 2, , , ,A B

của GaAs [14, 25]

Đại lƣợng GaAs

A 7,73502

B 0,696

2 ( )eV 1.63

30,25

0A 2,1342

51

3.2. Các tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs trong trƣờng hợp lí tƣởng ở

áp suất P=0

3.2.1. Cách xác định thông số

Để có thể áp dụng tính số các biểu thức giải tích trong chƣơng 2 thì

chúng ta cần phải biết các thông số , , ,k K . Muốn vậy, trƣớc hết ta cần xác

định khoảng lân cận gần nhất 0a giữa các hạt ở 00 K . Khoảng lân cận đƣợc

xác định từ phƣơng trình trạng thái hoặc từ điều kiện cực tiểu của năng lƣợng,

trong đề tài này chúng tôi xây dựng 0a từ phƣơng trình trạng thái.

Phƣơng trình trạng thái ở P=0 [2]:

01 1coth x 0

3 2

u ka x

a k a

(3.13)

ở nhiệt độ 00 K , phƣơng trình trên có dạng [2]:

0 010

3 4

u ka

a k a

(3.14)

Giải phƣơng trình (3.14) với 0

0 ij ij

,

1 1W

2 6i i j j j

j j k

u E E a a a

, khi

P=0 ta có nghiệm 0a , đây là khoảng lân cận gần nhất ở áp suất P=0 và nhiệt

độ 00 K . Với sự hỗ trợ của phần mềm Maple và Pascal chúng tôi đã thu đƣợc

8

0 5,6580(10 )a m

Sau khi xác định đƣợc 0a chúng ta sẽ xác định đƣợc giá trị của các thông

số , , ,k K của GaAs ở 00 K nhờ công thức (2.11), (2.14) và các giá trị ở

bảng 3.1.

3.2.2. Các tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs trong trường hợp lý

tưởng ở P=0

Để xác định đƣợc tính chất đàn hồi của GaAs ở áp suất P=0 ta phải tìm

đƣợc khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở các nhiệt độ khác nhau. Muốn

52

vậy ta phải xác định đƣợc độ dời của các hạt khỏi nút mạng theo công thức

(2.22), trong đó các thông số , , ,k K lấy ở 00 K . Từ đó ta xác định khoảng

lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0T K nhờ biểu thức (2.23).

Sau khi xác định đƣợc khoảng lân cận gần nhất ở các nhiệt độ khác nhau

và hệ số poissoin từ thực nghiệm [31] thì việc xác định đƣợc giá trị của mô

đun đàn hồi , ,E K G và các hằng số đàn hồi 11 12 44, ,C C C nhờ biểu thức (2.55),

(2.57), (2.59), (2.61), (2.62), (2.63) là khá dễ dàng. Và theo cách tính này,

chúng tôi đã thu đƣợc các kết quả số đối với bán dẫn GaAs lý tƣởng ở nhiệt

độ khác nhau. Các kết quả đƣợc trình bày trong bảng 3.2, bảng 3.3, bảng 3.4

và đƣợc biểu thị trên các hình vẽ 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7.

3.3. Các tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs trong trƣờng hợp có khuyết

tật P=0

Vì nồng độ nút khuyết rất nhỏ. Nên ta giả thiết rằng tinh thể vẫn đảm

bảo tính đối xứng. Khi đó, ảnh hƣởng của các nút khuyết lên các tính chất

đàn hồi của bán dẫn đƣợc tính trong tổng cấu trúc và thông số mạng. Để

tính hằng số mạng trong trƣờng hợp khuyết tật chúng tôi vẫn sử dụng

phƣơng trình trạng thái (3.14), tuy nhiên, các thông số nhƣ , , ,k K đƣợc

xác định khi đã có khuyết tật. Các kết quả chúng tôi tìm thấy đã đƣợc trình

bày trong các bảng 3.2, 3.3, 3.4 và đƣợc minh họa trong các hình vẽ 3.1,

3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7.

53

Bảng 3.2: Giá trị hằng số mạng của bán dẫn GaAs ở áp suất P=0 trong

trƣờng hợp lý tƣởng và khuyết tật.

T(K)

Lý tƣởng Khuyết tật (LDA)

[26]

TN

[9]

300 5.6580 5.6685 5.6490 5.65315

400 5.6686 5.6809 - -

500 5.6785 5.6923 - -

600 5.6878 5.7031 - -

700 5.6964 5.7130 - -

800 5.7044 5.7224 - -

900 5.7119 5.7311 - -

1000 5.7189 5.7394 - -

1100 5.7254 5.7474 - -

1200 5.7317 5.7555 - -

1300 5.7379 5.7640 - -

8(10 )ha m

54

Bảng 3.3: Giá trị các mô đun đàn hồi của bán dẫn GaAs ở áp suất P=0

trong trƣờng hợp lý tƣởng và có khuyết tật.

T(K)

E

(GPa)

K

(GPa)

G

(GPa)

Lý

tƣởng

Khuyết

tật

TN

[31]

Lý

tƣởng

Khuyết

tật

TN

[31]

Lý

tƣởng

Khuyết

tật

TN

[31]

300 82.13 65.61 85.9 72.04 57.55 75.3 31.35 25.04 32.85

400 80.41 64.00 - 70.54 56.14 - 30.69 24.43 -

500 78.56 62.27 - 68.92 54.62 - 30.00 23.77 -

600 76.60 60.45 - 67.20 53.03 - 29.24 23.07 -

700 74.56 58.57 - 65.40 51.37 - 28.46 22.35 -

800 72.44 56.63 - 63.54 49.67 - 27.65 21.61 -

900 70.27 54.66 - 61.64 47.95 - 26.82 20.86 -

1000 68.06 52.67 - 59.70 46.20 - 25.98 20.10 -

1100 65.83 50.68 - 57.75 44.45 - 25.13 19.34 -

1200 63.59 48.68 - 55.78 42.70 - 24.27 18.58 -

55

Bảng 3.4: Giá trị các hằng số đàn hồi của bán dẫn GaAs ở áp suất P=0

trong trƣờng hợp lý tƣởng, khuyết tật và thực nghiệm.

T(K)

(GPa)

(GPa)

(GPa)

Lý

tƣởng

Khuyết

tật

TN

[31]

Lý

tƣởng

Khuyết

tật

TN

[31]

Lý

tƣởng

Khuyết

tật

TN

[31]

300 113.84 90.94 117.38 51.15 40.86 52.68 62.70 50.08 59.50

400 111.46 88.71 115.94 50.08 39.85 52.04 61.38 48.85 58.8

500 108.90 86.31 114.50 48.93 38.78 51.40 59.97 47.54 58.1

700 103.35 81.17 111.62 46.43 36.47 50.12 56.91 44.71 56.7

800 100.41 78.49 110.18 45.11 35.26 49.48 55.30 43.23 56.0

1000 94.34 73.01 107.30 42.38 32.80 48.20 51.96 40.21 54.6

1200 88.14 67.48 104.42 39.60 30.32 46.92 48.94 37.16 46.9

Từ các bảng số liệu trên chúng ta có thể thấy rằng: Các kết quả thu đƣợc

từ phƣơng pháp thống kê mômen đối với các mô đun đàn hồi và hằng số đàn

hồi của bán dẫn GaAs có sự phù hợp với quy luật thực nghiệm. Khi nhiệt độ

tăng, các kết quả tính số bằng phƣơng pháp thống kê mômen và kết quả thực

nghiệm đối với các hằng số đàn hồi 11 12 44, ,C C C của GaAs đều giảm.

Các bảng số liệu trên còn dẫn đến nhận xét rằng: Ảnh hƣởng của nút

khuyết lên tính chất đàn hồi của GaAs là đáng kể (từ vài phần trăm đến trên

10 phầm trăm). Điều đó chứng tỏ không thể bỏ qua ảnh hƣởng của khuyết tật

điểm khi nghiên cứu tính chất của các tinh thể phi điều hòa.

11C 12C 44C

56

Hình 3.1: Hằng số mạng của bán dẫn GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng và

khuyết tật.

Hình 3.2: Sự phụ thuộc nhiệt độ của mô đun Young E của bán dẫn GaAs

trong trƣờng hợp lý tƣởng và khuyết tật.

57

Hình 3.3: Sự phụ thuộc nhiệt độ của mô đun nén khối K của bán dẫn

GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng và khuyết tật.

Hình 3.4: Sự phụ thuộc nhiệt độ của mô đun trƣợt G của bán dẫn GaAs

trong trƣờng hợp lý tƣởng và khuyết tật.

58

Hình 3.5: Sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số đàn hồi 11C của bán dẫn

GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng, khuyết tật và thực nghiệm.

Hình 3.6: Sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số đàn hồi 12C của bán dẫn

GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng, khuyết tật và thực nghiệm.

59

Hình 3.7: Sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số đàn hồi 44C của bán dẫn

GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng, khuyết tật và thực nghiệm.

60

Kết luận chƣơng 3

Trong chƣơng 3, chúng tôi đã áp dụng kết qủa lý thuyết tìm đƣợc trong

chƣơng 2 cho bán dẫn có cấu trúc ZnS - cụ thể là bán dẫn GaAs, chúng tôi đã

thu đƣợc những giá trị cụ thể của các đại lƣợng đàn hồi theo sự biến thiên của

nhiệt độ. Kết quả tính toán đƣợc chúng tôi trình bày cụ thể trong các bảng 3.2,

3.3, 3.4 và đƣợc minh họa trong các hình vẽ 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7.

So với thực nghiệm thì đa số các kết quả chúng tôi thu đƣợc bằng

phƣơng pháp mômen đều có sự phù hợp, chỉ sai khác vài phần trăm so với

thực nghiệm và hoàn toàn phù hợp với quy luật thực nghiệm.

Các kết quả tính toán thu đƣợc còn góp phần chứng tỏ ảnh hƣởng của

khuyết tật điểm lên tính chất đàn hồi của bán dẫn GaAs là đáng kể và chúng

ta không thể bỏ qua.

61

KẾT LUẬN

Các kết quả chính của luận văn bao gồm:

- Xây dựng lại các biểu thức tính các mô đun đàn hồi và các hằng số đàn

hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS.

- Áp dụng kết quả lý thuyết nói trên để nghiên cứu tính chất đàn hồi của

GaAs trong trƣờng hợp lý tƣởng và khuyết tật. Các kết quả tính toán thu đƣợc

trong khoảng nhiệt độ 0300 K đến gần nhiệt độ nóng chảy và ở áp suất 0P ,

các kết quả đã đƣợc so sánh với thực nghiệm và có sự phù hợp.

- Sự thành công của phƣơng pháp thống kê mômen khi nghiên cứu bán

dẫn có cấu trúc ZnS trong trƣờng hợp lý tƣởng và có khuyết tật đã cho phép ta

hi vọng vào việc áp dụng phƣơng pháp thống kê mômen để nghiên cứu các

bán dẫn có cấu trúc khác.

62

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Nguyễn Thanh Hải (1998), “Nghiên cứu tính chất nhiệt động và modul

đàn hồi của kim loại có khuyết tật”. Luận án tiến sĩ Vật Lý, Đại học Sƣ

phạm Hà Nội, Hà Nội.

[2]. Phạm Thị Minh Hạnh (2007), “Nghiên cứu tính chất nhiệt động và

modul đàn hồi của tinh thể và hợp chất bán dẫn bằng phương pháp thống kê

mômen”.Luận án tiến sĩ VậtLý, Đại học Sƣ phạm HàNội, HàNội.

[3]. Phan Thị Thanh Hồng (2013), “Nghiên cứu sự tự khuếch tán và khuếch

tán của tạp chất trong bán dẫn bằng phương pháp thống kê mô men”. Luận

án Tiến Sĩ Vật Lý – Đại học Sƣ phạm Hà Nội, Hà Nội.

[4]. Phùng Hồ và Phan Quốc Phô (2001), “Giáo trình vật lý bán dẫn”, NXB

Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội.

[5]. Vũ Văn Hùng (2009), “Phương pháp thống kê mô men trong nghiên cứu

tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể”, NXB Đại học Sƣ phạm.

[6]. Arsenault R.J, Beeler J.R., Esterling D.M (1988), “ Computer simulation

in materials science ”, pp 322.

[7]. Balashchenko D.K (1999), “Diffusion mechanism in disordered systems

computer simulation”, Physics-Uspekhi 42(4), pp 297-319.

[8]. Born M.,Oppenheimer J.R., (1927), Ann. Phys,84, p457.

[9]. Dwight R. Lide (1998), Hand book of Chemistry and Physics. Second,

pp 12 - 94

[10]. Erkoc S. (1987), Phys. Reports 278 (2), pp 81-88.

[11]. Harris W.A. (1980), Electronic Structure and the Properties of Solids:

the physics of the chemical bond, Freeman, SanFrancisco.

[12]. Hill R. (1952), The elastic behaviour of crystalline.

Agregate. Proc. Phys. Soc. A,65.

63

[13]. Hohenberg P., Kohn W. (1964), Phys. Rev. B.136, pp 864.

[14]. Ichumura M. (1996), Phys.Stat.Sol.(a),153, pp 431.

[15]. Kohn W., and Sham L. J.(1965), Phys. Rev.A.140, pp 637.

[16]. Korzhavyi P.A.et al. (1994), Phys. Rev. B59, 11693

[17]. Madomendov M. NJ. Fiz. Khimic. (1987), 61, pp 1003.

[18]. Murnaghan F. (1951), Finite deformation of elastic

solids - New York: John Wileypp 153.

[19]. Nguyen Tang and Vu Van Hung. Phys.stat.sol(b).vol. 162, 1990,

p.165 - 171.

[20]. Nguyen Tang and Vu Van Hung. Phys.stat.sol(b).vol. 162, 1990,

p.371 - 377.

[21]. Polk D. E., J. Non – Cryst. (1971), Solids 5, pp 365

[22]. Randell H.E. (2005), Applications of stress from bổn doping and other

challenges in Silicon technology, University of Florida.

[23]. Ravindran P. et al. (1998), J. Appl.Phys. 84(9), 4891

[24]. SenturiaS.D. (2001). Microsystem Design, Kluwer Academic

Publishers, Norwell, MA.

[25]. Stillinger F., and Weber T. (1985) Phys. Rev. B31, pp 5262. [27]. Su-

HuaiWei and Alexzunger. (1999), Phys. Rev.B60,pp 5404.

[26]. Su - HuaiWei and Alexzunger.(1999), Phys.Rev.B60, pp 5404.

[27]. Van Beest B.W.H., Kramer G.J, Santen R.A.Van. (1990), Phys.

Rev.Lett.64, pp 1995.

[28]. Voigh W. Lehrbuch der Kristall Physik. Springer Leipzig. (1928), S. 500.

[29]. Vu Van Hung, Nguyen Thanh Hai. (1999),

Computational Material Science14, pp 261.

[30]. Woff D., and Ruld W.G. (1999), “A molecular dynamics study of two

and three body potential models for liquid and armorphous 2SiO ”.

64

[31]. www.iofe.rssiru/SUA/NSM/Semicond.

[32]. Xie J. et al (1999), Phil. May. B79(6), pp. 911-919

[33]. Xie J. et al. (1999), Phys. Rev. B59(2), 965.

[34]. Zaichariasen W.H., Chem.J. Am. (1932), Soc. 54,pp 3841.

[35]. Zienkie O.C., and Taylo R. L. (1989), Silicon the Finnite Element

Method Fourth Edition, Volume 1, Basice Formulation and Linear Problems,

Mc Graw – Hill Book Company, London.

[36]. Лeйбфpиeд г., ЛyдBиHг B. (1963), Teopия HeлиHeйHых зффeктов

вкр исталлаx

[37]. Нгуен Танг. (1982), диссертация на соискания учебной степени

доктора физико-математических наук МГУ. Москва.

[38]. Нгуен Танг.(1981), Точные формулы для корреляционных

моментов равновесных систем. Изв.Вузов “физика” вып.6,с38-41.