BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG · bỘ cÔng thƯƠng trƯỜng cao ĐẲng kỸ thuẬt cao thẮng bài giảng:xÁc suẤt và thỐng kÊ (lưu

BỘ CÔNG THƯƠNGTRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Bài giảng:XÁC SUẤT và THỐNG KÊ(Lưu hành nội bộ)

TP. HỒ CHÍ MINH 2010

Mục lục

Chương 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1

1.1. Tập Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Các phép toán tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Giải Tích Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.4. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.5. Hoán vị lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.6. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.7. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chương 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 6

2.1. Khái Niệm Biến Cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1. Phép thử, không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

i

MỤC LỤC

2.1.2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3. Các phép toán của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4. Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.5. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Định Nghĩa Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1. Định nghĩa (cổ điển) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.3. Định nghĩa theo hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.4. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. Công Thức Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3. Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Công Thức Xác Suất Đầy Đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1. Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2. Công thức Bayès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.3. Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 13

3.1. Khái Niệm Đại Lượng Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Hàm Phân Phối Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1. Định nghĩa và tính chất của hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.2. Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Khoa Giáo Dục Đại Cương ii Xác Suất Và Thống Kê

MỤC LỤC

3.2.3. Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Các Đặc Trưng Của Đại Lượng Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.2. Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.3. Mode và trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4. Các Quy Luật Phân phối Xác Suất Thông Dụng . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.1. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . 20

3.4.2. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . 23

3.5. Định Lí Giới Hạn Trung Tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6. Véctơ Ngẫu Nhiên - Đại Lượng Ngẫu Nhiên 2 Chiều . . . . . . . . . . . . . 31

3.6.1. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều . . . . . 31

3.6.2. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều . . . . . . . . 32

3.6.3. Hệ Số Tương Quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Chương 4. LÝ THUYẾT MẪU 36

4.1. Mẫu Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1. Khái niệm tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.2. Các phương pháp chọn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3. Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.4. Các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Phương pháp tính tham số mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Khoa Giáo Dục Đại Cương iii Xác Suất Và Thống Kê

MỤC LỤC

Chương 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 40

5.1. Ước Lượng Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.1. Bài toán ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.2. Ước lượng không chệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2. Ước Lượng Khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.1. Khái niệm ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.2. Phương pháp ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Chương 6. LÝ THYẾT KIỂM ĐỊNH 46

6.1. Khái Niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1.1. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1.2. Các bước kiểm định giả thiết: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Kiểm Định Giả Thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2.1. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2.2. Kiểm định giả thiết về trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2.3. Kiểm định giả thiết về phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3. Kiểm Định So Sánh Các Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3.1. So sánh hai tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3.2. So sánh hai giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3.3. So sánh hai phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Khoa Giáo Dục Đại Cương iv Xác Suất Và Thống Kê

Chương 1

GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1 Tập Hợp

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, không được định nghĩa. Ví dụ như kháiniệm tập hợp sinh viên của một trường Đại học, tập hợp các nghiệm của phương trìnhx3 − x+ 6 = 0, tập hợp N các số tự nhiên,...

Nếu a là một phần tử thuộc tập hợp A ta viết a ∈ A, ngược lại ta viết a /∈ A.

Tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅.

Để xác định một tập hợp ta có thể dùng một trong hai cách thông dụng sau:

∗ Cách 1: Xác định tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó như A = 0, 1, 2, ..., 9,B = a1, a2, a3,...

∗ Cách 2: Xác định tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của phần tử thuộc nó.Chẳng hạn, S = x ∈ R : x3 − 5x+ 1 = 0, T = n ∈ N : n là ước của 26,...

Tập hợp A gọi là con của B, nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B, kýhiệu A ⊂ B.

A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ BNếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói A,B là hai tập bằng nhau và viết A = B.

A = B ⇔ x ∈ A ⇔ x ∈ B

1

CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1.2 Các phép toán tập hợp

Cho A và B là hai tập hợp tùy ý.

a. Phép hợp: Hợp của của A và B là tập gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B,ký hiệu là A ∪ B.

A ∪ B = x/x ∈ A ∨ x ∈ B

b. Phép giao: Giao của A và B là tập gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B,ký hiệu A ∩ B.

A ∩ B = x/x ∈ A ∧ x ∈ B

c. Phép hiệu: Hiệu của tập X đối với tập A là tập hợp gồm các phần tử thuộc Xnhưng không thuộc A. Ký hiệu: X \ A.

X \ A = x/x ∈ X ∧ x /∈ A

Đặc biệt, nếu A ⊂ X thì X \A gọi là phần bù của A trong X và ký hiệu A. Vậy X \A = A.

1.2 Giải Tích Tổ Hợp

1.2.1 Quy tắc nhân

Một công việc có thể được thực hiện qua 2 giai đoạn I và II. Trong đó: Giai đoạn I có n cách thực hiện, Giai đoạn II có m cách thực hiện.Khi đó, để hoàn thành công việc có n×m cách thực hiện.

Ví Dụ 1.1. Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc hoặc máy bay.Đi từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc, tàu hỏa hoặc máy bay. Hỏi cóbao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C, bắt buộc phải ghé qua tỉnh B?

Khoa Giáo Dục Đại Cương 2 Xác Suất Và Thống Kê


A

ôtô

tàu cao tốc

máy bay

B

ôtô

tàu cao tốcmáy bay

tàu hỏa

C

Tổng quát: Một công việc được thực hiện qua k giai đoạn 1, 2, 3, ..., k. Trong đó: Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện, Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện, Giai đoạn 3 có n3 cách thực hiện,....................................................... Giai đoạn k có nk cách thực hiện.Khi đó, để hoàn thành công việc có n1 × n2 × n3 × ...× nk =

∏k

i=1 ni cách thực hiện.Ví Dụ 1.2. Một người có 5 cái quần 3 cái áo 4 đôi giày. Mỗi lần đi chơi người đó chọnmột quần, một áo và một đôi giày. Hỏi có bao nhiêu cách để lựa chọn?

1.2.2 Chỉnh hợp

Định Nghĩa 1.1. Một cách chọn lần lượt không hoàn lại (không lặp, có thứ tự) k phầntử từ một tập hợp có n phần tử, được gọi là một chập hợp chập k của n phần tử.Định Lí 1.1. Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, ký hiệu là Ak

n vàđược tính bởi công thức sau:

Akn = n(n− 1)(n− 2)...[n− (k − 1)] (Quy ước 0! = 1)

Ta có thể viết gọn lại là

Akn =

n(n− 1)(n− 2)...[n− (k − 1)](n− k)[n− (k + 1)]...3.2.1

(n− k)[n− (k + 1)]...3.2.1=

n!

(n− k)!

Ví Dụ 1.3. Có 20 đội bóng tham dự một giải bóng đá. Biết rằng, các đội sẽ thi đấu vòngtròn 2 lượt (lượt đi và lượt về). Hỏi để chọn được đội vô địch thì phải tổ chức tất cả baonhiêu trận đấu?

1.2.3 Hoán vị

Định Nghĩa 1.2. Một phép hoán vị của n (n ≥ 1) phần tử phân biệt là một cách sắpthứ tự của n phần tử đó.



Ví Dụ 1.4. Một kệ sách có thể sắp được 5 quyển sách. Hỏi có thể có bao nhiêu cách sắpxếp 5 quyển sách lên kệ.

1.2.4 Tổ hợp

Định Nghĩa 1.3. Một cách chọn k (0 < k ≤ n) phần tử không để ý thứ tự, không lặp từmột tập có n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Định Lí 1.2. Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là Ckn và được cho bởi biểu

thức:

Ckn =

Akn

k!=

n!

k!(n− k)!

Ví Dụ 1.5. Một lớp có 30 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên để làmban cán sự lớp.

Tính Chất 1.1. Cho n, k ∈ N. khi đó:

i) Ckn = Cn−k

n với 0 ≤ k ≤ n;

ii) Ckn + Ck−1

n = Ckn+1 với 1 ≤ k ≤ n.

1.2.5 Hoán vị lặp

Định Nghĩa 1.4. Một cách sắp thứ tự của n phần tử mà trong đó có k (k 6= n) phần tửgiống nhau được gọi là một hoán vị lặp. Ký hiệu là Pn(k) và được xác định bởi biểu thức:

Pn(k) =n!

k!

Ví Dụ 1.6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số, biết rằngtrong số đó chữ số 3 xuất hiện 3 lần và các chữ số còn lại đều khác nhau.

1.2.6 Chỉnh hợp lặp

Định Nghĩa 1.5. Một cách chọn có lặp k phần tử có thứ tự từ một tập có n phần tửđược gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.

Định Lí 1.3. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được tính theo công thức:

Akn = nk

Ví Dụ 1.7. Có 6 quyển sách xếp tùy ý vào 3 ngăn trên kệ, hỏi rằng có tất cả bao nhiêucách sắp xếp?



1.2.7 Nhị thức Newton

(a+ b)n =C0na

nb0 + C1na

n−1b1 + C2na

n−2b2 + ... + Ckna

n−kbk + ... + Cnna

0bn

=

n∑

i=0

C ina

n−ibi =

n∑

i=0

C ina

ibn−i,

khai triển trên gọi là nhị thức Newton.


Chương 2

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦABIẾN CỐ

2.1 Khái Niệm Biến Cố

2.1.1 Phép thử, không gian mẫu

Phép thử: Khi ta làm một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng mà có chú ý đếnkết quả thì gọi là phép thử. Ký hiệu phép thử là: T.

Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của một phép thử được gọilà không gian mẫu. Ký hiệu: Ω.

2.1.2 Biến cố

Biến cố: Tập con A của Ω, được gọi là biến cố.

Ví Dụ 2.1. Xét một số ví dụ về biến cố sau đây:

Gieo một con xúc xắc thì việc xuất hiện số chấm lẻ là một biến cố;

Tung một đồng xu là một phép thử, biến cố là mặt xấp xuất hiện hay mặt ngữa xuấthiện.

a. Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử ω của Ω được gọi là biến cố sơ cấp.

6

CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

b. Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: Ω

c. Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Kýhiệu: ∅

Ví Dụ 2.2. Tung một con xúc xắc. Ta có:Không gian mẫu là Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Các biến cố sơ cấp là: 1, 2, 3, 4, 5, 6.Biến cố chẵn: A = 2, 4, 6. Biến cố chắc chắn: B = Ω. Biến cố không thê: C = 7.

d. Biến cố đồng khả năng: Là những biến cố có khả năng xuất hiện như nhau khithực hiện phép thử. Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều có khả năngxảy ra như nhau thì số phần tử của không gian mẫu được gọi là số trường hợp dồngkhả năng.

2.1.3 Các phép toán của biến cố

a. Phép tổng: Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi vàchỉ khi hoặc A hoặc B xảy ra. Ký hiệu C = A+B = A ∪B.

Ví Dụ 2.3. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. A là biến cố người thứ nhất bắn trúngbia, B là biến cố người thứ hai bắn trúng bia. Nếu gọi C là biến cố bia bị trúng đạn thìkhi đó C = A+B.

b. Phép tích: Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khicả A và B cùng xảy ra. Ký hiệu C = A.B = A ∩ B.

Ví Dụ 2.4. Một sinh viên dự thi hai môn văn và toán. Gọi A là biến cố sinh viên thiđậu môn văn, B là biến cố sinh viên thi đậu môn toán và C la biến cố sinh viên thi đậucả hai môn. Khi đó C = A.B

2.1.4 Quan hệ giữa các biến cố

a. Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùngxảy ra trong một phép thử. Ký hiệu A ∩B = ∅.

Ví Dụ 2.5. Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện số nút chẵn, B là biến cốxuất hiện số nút lẽ. Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc.

b. Họ các biến cố xung khắc: Họ các biến cố A1, A2, ..., An được gọi là họ xung khắcnếu một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra. Nghĩalà:

Ai.Aj = ∅, ∀i, j(i 6= j)



c. Biến cố đối lập: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập, nếu:i) A và B xung khắc.ii) A +B = Ω Hai biến cố A và B trong ví dụ trên là đối lập.

d. Họ đầy đủ Họ các biến cố A1, A2, ..., An được gọi là một họ đầy đủ nếu chúng thỏa:i) Họ xung khắc: Ai.Aj = ∅, ∀i, j(i 6= j)ii) A1 + A2 + ...+ An = Ω

e. Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu biến cố này xảy ra hay khôngthì không phụ thuộc vào biến cố kia.

Ví Dụ 2.6. Bắn hai phất đạn vào bia. Gọi A là biến cố phát thứ nhất trúng bia, B làbiến cố phát thứ hai trúng bia. Khi đó A và B là hai biến cố độc lập.

2.1.5 Tính chất

Cho A,B,C ⊂ Ω. Khi đó:

a. A+A = A; A.A = A; AΩ = A; A+B = B+A; A.B = B.A; A+(B+C) = (A+B)+C

b. A ⊂ B ⇒ B ⊂ A; A ⊂ A +B; A.B ⊂ B

c. A.(B + C) = AB + AC; A.B = A+B; A+B = A.B

Ví Dụ 2.7. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bàycác cách biểu diễn qua Ak các biến cố sau:

a. A: tất cả các sản phẩm đều xấu.

b. B: có ít nhất một sản phẩm xấu.

c. C: có ít nhất một sản phẩm tốt.

d. D: không phải tất cả sản phẩm đều tốt.

e. E: có đúng một sản phẩm xấu.

f. F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt.



2.2 Định Nghĩa Xác Suất

2.2.1 Định nghĩa (cổ điển)

Định Nghĩa 2.1. Gia sử một phép thử có n trường hợp đồng khả năng. Trong đó có mtrường hợp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó, xác suất của biến cố A. Ký hiệu P (A) và xácđinh bởi công thức.

P (A) =m

n=

Số trương hợp thuận lợiSố trường hợp đông khả năng

Ví Dụ 2.8. Một hộp chứa 10 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm.Tính xác suất hai sản phẩm được chọn là sản phẩm tốt.

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định Nghĩa 2.2. Giả sử phép thử được thực hiện n lần độc lập trong đó biến cố A xuấthiện mA lần. Khi đó, mA được gọi là tần số xuất hiện của biến cố A và tỉ số

mA

n= fn(A)

được gọi là tần suất (tần số tương đối) của biến cố A.

Ví Dụ 2.9. Qua thống kê dân số, người ta tổng kết được xác suất để một em bé ra đờilà trai hay gái xấp xỉ

1

2.

2.2.3 Định nghĩa theo hình học

Định Nghĩa 2.3. Cho miền Ω. Khi đó độ đo của miền Ω có thể là độ dài, điện tích hoặcthể tích. Gọi A là biến cố điểm M ∈ S ⊂ Ω.

P (A) =độ đoSđộ đoΩ

.

Ví Dụ 2.10. Tìm xác suất của điểm M rơi vào tam giác đều nội tiếp đường tròn bánkính là 1.

2.2.4 Tính chất

i) ∀A ⊂ Ω, 0 ≤ P (A) ≤ 1,

ii) Nếu A ⇒ B thì P (A) ≤ P (B). Do đó, nếu A ⇔ B (A = B) thì P (A) = P (B)

iii) Nếu A = Ω thì P (A) = 1 và nếu A = ∅ thì P (A) = 0.



2.3 Công Thức Xác Suất

2.3.1 Công thức cộng

Cho A1, A2, A3, ..., An là hệ các biến cố tùy ý. Khi đó ta có công thức sau

P (n∑

i=1

Ai) =n∑

i=1

P (Ai)−∑

1≤i<j≤n

P (AiAj)+∑

1≤i<j<k≤n

P (AiAjAk)+· · ·+(−1)n−1P (A1...An)

gọi là công thức cộng xác suất.∗ Đặc biệt, nếu họ A1, A2, A3, ..., An xung khắc từng đôi thì

P (

n∑

i=1

Ai) =

n∑

i=1

P (Ai)

Cho A và B là hai biến cố tùy ý: P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB)∗ Đặc biệt, nếu A và B xung khắc thìP (A+B) = P (A) + P (B) Cho A, B và C là 3 biến cố tùy ý, có:

P (A+B + C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (AB)− P (BC)− P (CA) + P (ABC).

∗ Đặc biệt, nếu A,B và C xung khắc từng đôi thì: P (A+B+C) = P (A)+P (B)+P (C)

Ví Dụ 2.11. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc, hãy tính xác suất để:

a. Có ít nhất 1 con xuất hiện mặt 4 chấm,

b. Có đúng 1 con xuất hiện mặt 4 chấm.

2.3.2 Xác suất có điều kiện

Định Nghĩa 2.4. Cho A,B ⊂ Ω với P (B) > 0. Xác suất của biến cố A được tính vớiđiều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A đối với biếncố B. Ký hiệu: P (A/B). Khi đó:

P (A/B) =P (AB)

P (B), (P (B) 6= 0)

Ví Dụ 2.12. Gieo một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt hai chấm, B là biếncố xuất hiện mặt một chấm. Tính P (A/B) và P (B/A)



2.3.3 Công thức nhân

Cho 2 biến cố A và B. Ta có: P (A.B) = P (A).P (A/B) = P (B).P (B/A). Cho A1, A2, A3, ..., An là hệ các biến cố tùy ý. Khi đó ta có công thức sau

P (A1.A2.A3...An) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2)...P (An/A1A2...An−1),

gọi là công thức nhân xác suất.

Ví Dụ 2.13. Trong 1 hộp có 100 phiếu, trong đó có 10 phiếu trúng thưởng. Tính xácsuất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba đều rút được phiếu trúng thưởng?

2.4 Công Thức Xác Suất Đầy Đủ

2.4.1 Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử, hệ các biến cố A1, A2, A3, ..., An là đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ. Khi đó:

P (B) = P (A1)P (B/A1) + P (A2)P (B/A2) + P (A3)P (B/A3) + · · ·+ P (An)P (B/An)=

∑n

i=1 P (Ai)P (B/Ai),

gọi là công thức xác suất đầy đủ.

Ví Dụ 2.14. Giả sử có 3 hãng H1, H2 và H3 sản xuất cùng một loại sản phẩm. Trong đótỉ lệ phần trăm sản phẩm của mỗi hãng trên thị trường lần lượt là 60%, 10% và 30% vớitỉ lệ sản phẩm bị khuyết tật tương ứng là 1%, 5% và 3%. Mua ngẫu nhiên một sản phẩm,tính xác suất sản phẩm được mua bị khuyết tật?

2.4.2 Công thức Bayès

Cũng với giả thiết như ở trên, ta có công thức sau gọi là công thức xác suất Bayès

P (Ak/B) =P (Ak)P (B/Ak)∑n

i=1 P (Ai)P (B/Ai), với k = 1, n.

Ví Dụ 2.15. Từ Ví dụ ở trên, giả sử sản phẩm đã mua bị khuyết tật. Hãy tính xác suấtđể sản phẩm đó thuộc hãng H3?

2.4.3 Công thức Bernoulli

a. Dãy phép thử Bernoulli



Định Nghĩa 2.5. Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau:

i) Các phép thử của dãy độc lập với nhau. Nghĩa là, kết quả của phép thử sau khôngphụ thuộc vào các phép thử trước đó;

ii) Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc A xảy ra;

iii) Xác suất để biến cố A xảy ra là cố định: P (A) = p với 0 < p < 1 nên P (A) =1− p = q.

Ví Dụ 2.16. Một hộp có 12 viên bi, trong đó có 4 bi màu xanh còn lại là bi trắng. Lầnlượt rút có hoàn lại 7 bi. Gọi A là biến cố lấy được bi xanh trong mỗi lần rút. Lúc đó tađược một dãy thử Bernoulli với n = 7, p = P (A) =

4

12=

1

3và q = 1− p =

2

3.

b. Công thức Xác suất Bernoulli để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần vớixác suất mỗi lần A xảy ra là p. Được ký hiệu là B(k, n, p) và cho bởi công thức sauđây:

B(k, n, p) = Cknp

kqn−k

gọi là công thức Bernoulli.

Ví Dụ 2.17. Với giả thiết như ở Ví dụ trên. Ta tính được xác suất để trong 7 lần rút bicó 3 bi xanh là: B(3, 7, 1

3) = C3

7(13)3(2

3)4 = 0, 256


Chương 3

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

3.1 Khái Niệm Đại Lượng Ngẫu Nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) là đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên. Đại lượngngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng những chữ in hoa như X, Y, Z, ... và dùng chữ inthường như x1, x2, x3, ... để ký hiệu cho những giá trị cụ thể của nó. Đại lượng ngẫu nhiênđược chia thành 2 loại:

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là đại lượng chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm đượccác giá trị.

Ví Dụ 3.1. Gieo n hạt lúa. Gọi X là số hạt nảy mầm. Khi đó X là một đại lượng ngẫunhiên rời rạc và X có thể nhận một trong các gia trị sau X = 0, 1, 2, ..., n.

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: là đại lượng mà giá trị của nó lấp kín cả 1 đoạn; 1khoảng hay toàn bộ trục số.

Ví Dụ 3.2. Bắn một viên đạn vào bia. Gọi X là khoảng cách từ điểm chạm của viênđạn đến bia. Khi đó X là một đlnn liên tục

3.2 Hàm Phân Phối Xác Suất

3.2.1 Định nghĩa và tính chất của hàm phân phối

Định Nghĩa 3.1. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu F (x),là hàm số thực được xác định như sau: F (x) = P [X < x], ∀x ∈ R.

13

CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Tính Chất 3.1. Tính chất:

i) 0 6 F (x) 6 1, ∀x ∈ R;

ii) F (x) không giảm. Nghĩa là nếu x1 6 x2 thì F (x1) 6 F (x2).

iii) F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞ F (x) = 1;

iv) P [a 6 X 6 b] = F (b)− F (a).

3.2.2 Bảng phân phối xác suất

Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị là x1, x2, ..., xn với xác suất tương ứnglà P [X = x1] = p1, P [X = x2] = p2, ..., P [X = xn] = pn. Khi đó, luật phân phối xác suấtcủa X gọi là bảng phân phối xác suất và được cho như sau:

X x1 x2 ... xn

P p1 p2 ... pn

Với pi > 0 và∑n

i=1 pi = 1. Ở đây n có thể hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

Xác suất để X nhận giá trị trong cả đoạn:

P [xi 6 X 6 xj ] =∑

xi6xk6xj

pk.

Nếu n hữu hạn thì hàm phân phối F (x) có dạng:

F (x) =

0 nếu x 6 x1

p1 + p2 + ... + pk−1 nếu xk−1 < x 6 xk, ∀k > 11 nếu x > xn

Nếu n vô hạn thì hàm phân phối F (x) có dạng:

F (x) =

0 nếu x 6 x1

p1 + p2 + ... + pk−1 nếu xk−1 < x 6 xk, ∀k > 1

Ví Dụ 3.3. Một hộp có 12 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sảnphẩm từ hộp để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Lập bảng phân phối xác suấtcủa X và tính P [−1 6 X 6 1]?

Ví Dụ 3.4. Cũng giá trị như ở Ví dụ trên nhưng ta lần lượt lấy có hoàn lại 2 sản phẩm.Gọi Y là số phế phẩm lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của Y.

Giải:



Do lấy lần lượt có hoàn lại các sản phẩm nên ta có dãy phép thử Bernoulli với n = 2

và p =3

12=

1

4, các xác suất được tính theo công thức Bernoulli:

P [Y = 0] = C02 .(

1

4)0.(

3

4)2 =

9

16; P [Y = 1] = C1

2 .(1

4)1.(

3

4)1 =

3

8;

P [Y = 2] = C22 .(

1

4)2.(

3

4)0 =

1

16

Do đó, ta có bảng phân phối xác suất như sau: Y 0 1 2P 9

1638

116

Ví Dụ 3.5. Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong 1 ngày làmviệc các máy đó hỏng tương ứng là 0,2 và 0,3. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làmviệc. Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của nó.

Giải:

Lập hàm phân phối xác suất của X.Gọi Ai là biến cố máy thứ i (i = 1, 2) bị hỏng. Đại lượng ngẫu nhiên X chỉ có thể nhậncác giá trị là 0; 1; 2. Do đó:P [X = 0] = P [A1A2]

ĐL= P [A1]P [A2] = 0, 7.0, 8 = 0, 56

P [X = 1] = P [A1A2 + A1A2]XK= P [A1A2] + P [A1A2]

ĐL= P [A1]P [A2] + P [A1]P [A2]

= 0, 2.0, 7 + 0, 8.0, 3 = 0, 38

P [X = 2] = P [A1A2]ĐL= P [A1]P [A2] = 0, 2.0, 3 = 0, 06

Bảng phân phối xác suất của X: X 0 1 2P 0,56 0,38 0,06

Qua đó ta có hàm phân phối xác suất của X: F (x) =

0 nếu x 6 00, 56 nếu 0 < x 6 10, 94 nếu 1 < x 6 21 nếu x > 2

Đồ thị:

1

1 20

0.560.94



3.2.3 Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Định Nghĩa 3.2. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xácsuất F (x), x ∈ R. Hàm số:

f(x) = F ′(x)

được gọi là hàm mật độ xác suất của X.

Tính Chất 3.2. i) f(x) > 0, ∀x ∈ R;

ii)∫ +∞−∞ f(x)dx = 1;

iii) P [a < X < b] =∫ b

af(x)dx.

Nhận Xét 3.1. Từ định nghĩa ở trên ta có các nhận xét sau đây:

i) P [a < X < b] = P [a 6 X < b] = P [a < X 6 b] = P [a 6 X 6 b] =∫ b

af(x)dx,

ii) P [X = a] =∫ a

af(x)dx = 0.

Khi X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì ta chỉ quan tâm tới xác suất để X nằm trong1 khoảng nào đó chứ không quan tâm tới xác suất để X nhận 1 giá trị cụ thể.

iii) Nếu có hàm f(x) thỏa điều kiện f(x) > 0, ∀x ∈ R và∫ +∞−∞ f(x)dx = 1 thì nó là hàm

mật độ của 1 đại lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó.

Ví Dụ 3.6. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

f(x) =

0 nếu x < 0 hoặc x >π

2a sin 2x nếu 0 ≤ x ≤ π

2

Xác định a và tính P [−π

4≤ X ≤ π

4].

3.3 Các Đặc Trưng Của Đại Lượng Ngẫu Nhiên

3.3.1 Kỳ vọng

Định Nghĩa 3.3. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X ký hiệu là E(X) và được tínhnhư sau:

- Nếu X là đlnn rời rạc có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 ... xn

P p1 p2 ... pn



thì E(X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 + ...+ xnpn =∑n

i=1 xipi (n có thể vô hạn).

- Nếu X là đlnn liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì E(X) =∫ +∞−∞ xf(x)dx.

Nhận Xét 3.2. Nếu lấy trung bình k giá trị quan sát độc lập của X thì:

X =n1x1 + n2x2 + ... + nkxk

n,∑k

i=1 ni = n

= x1n1

n+ x2

n2

n+ ...+ xk

nk

n= x1f1 + x2f2 + ...+ xkfk, fi =

ni

n, i = 1, k

Khi n đủ lớn: X ≈ x1p1 + x2p2 + ... + xkpk = E(X) (Đinh nghĩa xác suất theo thống kê)

Ý Nghĩa 3.1. Từ định nghĩa và qua nhận xét trên ta rút ra ý nghĩa của kỳ vọng nhưsau: Kỳ vọng là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đó.

Tính Chất 3.3. i) E(C) = C (C là hằng số)

ii) E(CX) = CE(X)

iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

iv) Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập (2 biến cố X < x, Y < y độclập ∀x, y) thì E(XY ) = E(X)E(Y ).

v) Nếu Y = ϕ(X) thì E(Y ) =

∑i ϕ(xi)pi với X rời rạc∫ +∞

−∞ ϕ(x)f(x)dx với X liên tục

Ví Dụ 3.7. Cho bảng phân phối xác suất của X là:

X 0 1 2P 0,56 0,38 0,06

a. Tính E(X);

b. Tính E(Y ) với Y = 500X.

Ví Dụ 3.8. Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) =

1

x2với x ∈ (1; 2),

0 vix 6∈ (1; 2).

a. Tính E(X); b. Tính E(Y ) với Y = X3 − 1

X.



3.3.2 Phương sai

Định Nghĩa 3.4. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là D(X) hoặc V(X)và được xác định như sau:

D(X) = E[(X − E(X))2] =

∑i(xi − µ)2pi với X rời rạc∫ +∞

−∞ (x− µ)2f(x)dx với X liên tục,

ở đây µ = E(X).

Nhận Xét 3.3. Trong thực tế người ta hay dùng công thức sau để tính phương sai củađại lượng ngẫu nhiên X.

D(X) = E(X2)− [E(X)]2, với E(X2) =

∑i x

2i pi∫ +∞

−∞ x2f(x)dx

Công thức trên được suy ra từ định nghĩa phương sai. Thật vậy:D(X) = E[(X − E(X))2]

= E(X2 − 2XE(X) + [E(X)]2)= E(X2)− 2E[XE(X)] + E[E(X)]2

= E(X2)− 2E(X)E(X) + [E(X)]2

= E(X2)− [E(X)]2

Ý Nghĩa 3.2. Ta thấy, X−E(X) là sai số của X so với trung bình nó, do đó phương saiE[(X −E(X))2] chính là trung bình của bình phương sai số đó và được gọi tắt là phươngsai. Nó đo mức độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình. Nghĩa làphương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn và ngược lại.

Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị, trong kinh doanh nó đặctrưng cho độ rủi ro của các quyết định, còn trong trồng trọt nó biểu thị cho mức độ ổnđịnh của năng suất,...

Tính Chất 3.4. Phương sai có những tính chất sau

i) D(C) = 0 (C là hằng số)

ii) D(CX) = C2D(X)

iii) Nếu X và Y độc lập thì D(X ± Y ) = D(X) +D(Y ). Do đó D(X ± C) = D(X).

Ví Dụ 3.9. Năng suất của 2 máy tương ứng là các đại lượng ngẫu nhiên X, Y (đơn vị:sản phẩm/phút) và có bảng phân phối xác suất:

X 1 2 3 4P 0,3 0,1 0,5 0,1

Y 2 3 4 5P 0,1 0,4 0,4 0,1

Nếu phải chọn mua một trong 2 máy trên thì ta nên chọn mua máy nào?



Định Nghĩa 3.5. Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là σ(X) và đượcxác định như sau: σ(X) =

√D(X)

Ví Dụ 3.10. Trọng lượng của 1 loại sản phẩm là X (đơn vị kg), có hàm mật độ xác suấtnhư sau:

f(x) =

3

16(x2 − 1) với x ∈ [2; 4],

0 vớix 6∈ [2; 4].

Tính trọng lượng trung bình và độ lệch chuẩn của X.

3.3.3 Mode và trung vị

a. Mode của X:

Định Nghĩa 3.6. Mode của ĐLNN X ký hiệu là ModX.

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suấtlớn nhất.Hay: Mod(X)= xi ⇔ pi =maxp1, p2, p3...

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X) là giá trị làm cho hàm mật độ xácsuất đạt giá trị lớn nhất.Hay: Mod(X)= c ⇔ f(c) =maxf(x), x ∈ RVí Dụ 3.11. Cho đlnn X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như sau:

X 0 1 3 4 6P 0, 35 0, 15 0, 2 0, 14 0, 16

thì Mod(X)= 0.

Ví Dụ 3.12. Cho đlnn X liên tục và có đồ thị của hàm mật độ xác suất f(x) như sau:

O x

f(x)

a

thì lúc đó Mod(X)= a.

b. Trung vị (Median): Là điểm m, ký hiệu là Med(X) thỏa:



P [X > m] ≤ 1

2và P [X < m] ≤ 1

2.

Ví Dụ 3.13. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối xác suất như bảng sau:

X -1 0 1 2P 0,15 0,2 0,3 0,35

Tìm Med(X) và tính P [|X −E(X)| < 1].

Giải:

Ta có hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X:

F (x) =

0 , x ≤ −10, 15 ,−1 < x ≤ 00, 35 , 0 < x ≤ 10, 65 , 1 < x ≤ 21 , x > 2

Nên F (1) = 0, 35 ≤ 0, 5 và F (2) = 0, 65 ≥ 0, 5 do đó Med(X)= 1Ta có:|X − E(X)| < 1 ⇔ −1 < |X −E(X)| < 1

⇔ E(X)− 1 < X < E(X) + 1

Với E(X) = −1.0, 15 + 0.0, 2 + 1.0, 1 + 2.0, 35 = 0, 65⇒ |X − E(X)| < 1 ⇔ 0, 65− 1 < X < 0, 65 + 1 ⇔ −0, 35 < X < 1, 65Do đó: P [|X − E(X)| < 1] = P [0, 35 < X < 1, 65] = 0, 2 + 0, 3 = 0, 5

3.4 Các Quy Luật Phân phối Xác Suất Thông Dụng

3.4.1 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

A. Phân phối nhị thức

Bài toán: Giả sử X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli vớiP (A) = p. Lập bảng phân phối xác suất của X.

Giải:

Ta thấy, X nhận các giá trị: 0, 1, 2, ..., n và P [X = k] = Pn(k) = Cknp

kq(n−k).Từ nhị thức Newton:(p+q)n =

∑∞k=0C

knp

kq(n−k) cho p+q = 1 thì∑∞

k=0Cknp

kq(n−k) = 1 ⇔ ∑∞k=0 P [X = k] = 1.



Định Nghĩa 3.7. Phân phối nhị thức là phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Xnhận n+ 1 giá trị 0, 1, 2, ..., n với xác suất tương ứng là

Pk = P [X = k] = Cknp

k(1− p)n−k, (k = 0, n)

Phân phối nhị thức được ký hiệu là X ∼ B(n; p).

Các Đặc Trưng 3.1. E(X) = np,D(X) = npq, Mod(X)= x0 với np−q ≤ x0 ≤ np+p.

Ví Dụ 3.14. Một xí nghiệp có 12 máy hoạt động độc lập. Xác suất để 1 máy bất kỳ hoạtđộng tốt trong ngày là 0,95. Hãy tính xác suất để trong ngày có 9 máy hoạt động tốt.

Ví Dụ 3.15. Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 10 địa điểm khác nhau. Xác suất bánđược hàng ở mỗi nơi là 0,3.

a. Tìm xác suất người đó bán được hàng trong 1 ngày.

b. Mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày, tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năngnhất trong 1 năm.

B. Phân phối siêu bội

Bài toán: Giả sử một tập hợp có N phần tử, trong đó NA phần tử có tính chất A. Từtập hợp trên lấy n phần tử.Gọi X là số phần tử có tính chất A lẫn trong n phần tử này. Lập luật phân phối của X?

NA NA

nk

N

Giải:

Ta nhận thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, ..., n ta sẽ tính xác suất để trong n phầntử lấy ra có k phần tử có tính chất A (n− k phần tử không có tính chất A). Nghĩa là Xnhận giá trị bằng k.

Lấy n phần tử từ tập N phần tử có CnN cách.

Lấy n phần tử trong đó có k phần tử mang tính chất A được thành 2 giai đoạn:

Gđ1: Lấy k phần tử có tính chất A từ NA phần tử có CkNA

cách.



Gđ2: Lấy n− k phần tử không có tính chất A từ N −NA phần tử có Cn−kN−NA

cách.Suy ra có Ck

NA.Cn−k

N−NAcách lấy được k phần tử có tính chất A.

Vậy nên Pk = P [X = k] =Ck

NA.Cn−k

N−NA

CnN

.

Ta có bảng phân phối xác suất của X:

X 0 1 ... k ... n

PC0

NACn

N−NA

CnN

C1NA

Cn−1N−NA

CnN

...Ck

NACn−k

N−NA

CnN

...Cn

NAC0

N−NA

CnN

Qua bài toán trên ta đinh nghĩa phân phối siêu bội như sau:

Định Nghĩa 3.8. Phân phối siêu bội là phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Xnhận các giá trị 0, 1, 2, ..., n với xác suất tương ứng là:

Pk = P [X = k] =Ck

NA.Cn−k

N−NA

CnN

Phân phối siêu bội được ký hiệu là X ∼ H(N,NA, n).

Các Đặc Trưng 3.2. E(X) = np, D(X) = npqN − n

N − 1với p =

NA

N, q = 1− p và

N − n

N − 1là hệ số hiệu chỉnh.

Ví Dụ 3.16. Một sọt cam có 100 quả, trong đó có 10 quả bị hư. Tính xác suất để trong8 quả lấy ra có 5 quả hư.

Định Lí 3.1 (Định lí liên hệ giữa phân phối siêu bội với phân phối nhị thức). Nếu

X ∼ H(N,NA, n), N −→ ∞ vàNA

N−→ p (p 6= 0, p 6= 1) thì X −→ B(n; p).

C. Phân phối Poisson

Bài toán: Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên trongkhoảng thời gian (t1, t2) thỏa mãn:+ Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t1, t2) không ảnh hưởng tới xácsuất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp.+ Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t1, t2) tỉ lệ với độ dài của khoảngthời gian đó. Khi đó X có phân phối Poisson, kí hiệu X ∼ P (λ) với λ = c(t2 − t1), c gọilà cường độ xuất hiện biến cố A.

Định Nghĩa 3.9. Phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0) là luật phân phối của đạilượng ngẫu nhiên rời rạc X, nhận các giá trị nguyên không âm 0, 1, 2, ..., k, ... với xác suấttương ứng là:

Pk = P [X = k] =e−λ.λk

k!, k = 0, 1, ...

Ký hiệu là X ∼ P (λ).



Các Đặc Trưng 3.3. E(X) = D(X) = λ, Mod(X)= x0 với λ− 1 ≤ x0 ≤ λ.

Ví Dụ 3.17. Số khách đến mua hàng tại một quầy hàng là ngẫu nhiên, độc lập; trungbình cứ 3 phút có 1 người. Tính xác suất trong 30 giây có 2 khách đến mua hàng.

~ Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson:

Định Lí 3.2. Xn ∼ B(n; p). Nếu số phép thử n → ∞ và xác suất P (A) → 0 sao chonp = λ thì Xn → p(λ).

Ý Nghĩa 3.3. i) Trong thực hành khi X ∼ B(n, p) với n khá lớn, p khá bé (sao cho

npq ' np) thì P [X = x] ' e−λλx

x!với λ = np

ii) Vì n lớn, p rất bé nên từ định lí trên người ta còn nói luật phân phối Poisson là luậtphân phối của biến cố hiếm.

3.4.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

A. Phân phối chuẩn

Định Nghĩa 3.10. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn vớitham số µ và σ2 (σ > 0), ký hiệu X ∼ N(µ, σ2) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

f(x) =1

σ√2π

e−(x−µ)2

2σ2 , ∀x ∈ R

f(x) là hàm mật độ xác suất vì f(x) ≥ 0 và∫ +∞−∞ f(x)dx = 1.

Đồ thị của f(x) có dạng hình chuông, trục đối xứng x = µ, các điểm uốn (µ ±σ;

1

σ√e2π

), nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Đồ thị:

O

x

f(x)

µ

1σ√2π

µ− σ

1σ√e2π

µ+ σ

Hàm phân phối xác suất của X có dạng: F (x) =∫ x

−∞ f(t)dt =1

σ√2π

∫ x

−∞ e−(t−µ)2

2σ2 dt



và không biểu diễn được thành hàm sơ cấp. Đồ thị có tâm đối xứng (µ; 0, 5) như hình vẽ:

O x

F (x)

µ

0, 5

1

Các Đặc Trưng 3.4. Mod(X)=Med(X)=µ; E(X) = µ;D(X) = σ2; σ(X) = σ.

Định Nghĩa 3.11. Phân phối chuẩn có kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1 được gọi làphân phối chuẩn tắc, ký hiệu X ∼ N(0, 1). Khi đó, hàm mật độ xác suất (hàm Laplace)

của X có dạng: ϕ(x) =1√2π

e−x2

2

O x

ϕ(x)

−x

Φ(−x)

x

1− Φ(x)

1√2π

1

1√e2π

−1

Hàm phân phối xác suất (hàm Gauss) của X lúc này ký hiệu Φ(x) được xác định bởi:

Φ(x) =∫ x

−∞ ϕ(t)dt =1√2π

∫ x

−∞ e−t2

2 dt và có tâm đối xứng (0; 0, 5).

Đồ thị:

O x

Φ(x)

0, 5

1Φ(x)

Hàm phân phối Φ(x) có tính chất: Φ(x) + Φ(−x) = 1 ⇔ Φ(−x) = 1− Φ(x).Giá trị của ϕ(x) và Φ(x) được cho sẵn ở bảng Phụ lục 1 và Phụ lục 2.

? Tính xác suất cho phân phối chuẩn tắc:

B Nếu X ∼ N(0, 1) thì P [a < X < b] = Φ(b)− Φ(a).Từ đó suy ra: P [|X| < a] = 2Φ(a)− 1 và P [|X| > a] = 2(1− Φ(a)).



B uα gọi là phân vị mức α của phân phối chuẩn tắc X nếu

Φ(uα) = P [X < uα] = α ⇔ Φ−1(α) = uα

Như vậy giá trị uα là cận trên của tích phân sao cho diện tích bằng α cho trước hay uα

là vị trí cạnh phải sao cho diện tích hình thang cong bằng α cho trước như hình vẽ.

O x

ϕ(x)

uα

Từ định nghĩa có: P [X > uα] = 1− α, P [|X| < u1−α2] = 1− α và P [|X| > u1−α

2] = α

Ví Dụ 3.18. Cho X ∼ N(0, 1). Tính P [−0, 25 < X < 1, 3];P [X < 1, 3];P [X > 1, 3].

? Tính xác suất cho phân phối chuẩn tổng quát: Nếu X ∼ N(µ; σ2) thì Y =X − µ

σ∼

N(0, 1).

Nghĩa là, nếu X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ và phương sai σ2 thì Y =X − µ

σcó

phân phối chuẩn tắc.

Đặt a =1

σ, b = −µ

σthì

X − µ

σ∼ N(0, 1) và do a < X < b ⇔ a− µ

σ<

X − µ

σ<

a− µ

σnên từ công thức tính xác suất cho phân phối chuẩn tắc ta suy ra:

X ∼ N(µ, σ2) ⇒ P [a < X < b] = Φ(b− µ

σ)− Φ(

a− µ

σ)

? Quy tắc 2 - xichma (2σ) và 3 - xichma (3σ):

B Khi X ∼ N(µ, σ2) thì P [|X − µ| < uα] = 2Φ(uα

σ)− 1.

Thật vậy:

P [|X − µ| < uα] = P [−uα

σ<

X − µ

σ<

uα

σ] = Φ(

uα

σ)− Φ(−uα

σ) = 2Φ(

uα

σ)− 1, ∀uα

Cho uα = 2σ thì P [|X − µ| < 2σ] = 2Φ(2) − 1 = 95, 44%: nghĩa là trên 95% giá trịcủa X nằm trong khoảng (µ− 2σ;µ+ 2σ).

Cho uα = 3σ thì P [|X − µ| < 3σ] = 2Φ(3)− 1 = 99, 74%: cũng như trên ta thấy gần100% giá trị của X nằm trong khoảng (µ− 3σ;µ+ 3σ).



Ý nghĩa của quy tắc là: “Trong thực hành đại lượng ngẫu nhiên X dù chưa biết phânphối xác suất nhưng nếu thỏa quy tắc 2σ hoặc 3σ thì ta coi như X có phân phối chuẩn.Mặt khác, quy tắc này cũng rất hay được dùng trong thống kê phần ước lượng và kiểmđịnh giả thiết”.

Ví Dụ 3.19. Thời gian X (tính bằng phút) của một khách hàng chờ để được phục vụtại một quầy hàng là đại lượng ngẫu nhiên với X ∼ N(4; 1, 21).

a. Tính tỉ lệ khách hàng phải chờ để phục vụ từ 3,5 phút đến 5 phút; quá 6 phút.

b. Thời gian phải chờ tối thiểu là bao nhiêu, nếu không để quá 5% khách hàng phải chờphục vụ vượt quá thời gian đó.

Ví Dụ 3.20. Một doanh nghiệp cần mua một loại trục máy có đường kính từ 1,18cmđến 1,22cm. Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính của các loại trục máyđược sản xuất ra là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với các số đặc trưng chotrong bảng:

Đường kính trung bình (cm) Độ lệnh chuẩn Giá bánNhà máy 1 1,2 0,01 3triệu/1hộp/100chiếcNhà máy 2 1,2 0,015 2,7triệu/1hộp/100chiếc

Vậy doanh nghiệp nên mua trục máy của nhà máy nào?

Giải:

Gọi Xi (i = 1, 2) là đường kính trục máy do nhà máy i sản xuất. Tỉ lệ trục máy của cácnhà máy sản xuất ra thỏa mãn yêu cầu doanh nghiệp là:P [1, 18 ≤ X1 ≤ 1, 22] = Φ(

1, 22− 1, 2

0, 01)− Φ(

1, 18− 1, 2

0, 01)

= 2Φ(2)− 1 = 2.0, 9773− 1 = 95, 44%

P [1, 18 ≤ X2 ≤ 1, 22] = Φ(1, 22− 1, 2

0, 015)− Φ(

1, 18− 1, 2

0, 015)

= 2Φ(1, 33)− 1 = 2.0, 9082− 1 = 81, 74%.Như vậy số trục máy sử dụng được khi mua của các nhà máy và số tiền chi cho 1 trụcmáy sử dụng được của:+ Nhà máy 1: 100.0, 9544 = 95, 44 chiếc với giá

3000000

95, 44' 31, 433 đồng.

+ Nhà máy 2: 100.0, 8174 = 81, 74 chiếc với giá2700000

82, 74' 33, 031 đồng.

Vậy nên mua sản phẩm của nhà máy 1.

B Khi X ∼ N(0, 1) thì P [|X| < uα] = 2Φ(uα)− 1.Thật vậy: P [|X| < uα] = P [−uα < X < uα] = 2Φ(uα)− 1

Cho uα = 1 thì P [|X| < 1] = 2Φ(1)− 1 = 0, 68



Cho uα = 1, 96 thì P [|X| < 1, 96] = 2Φ(1, 96)− 1 = 0, 95

Cho uα = 2, 58 thì P [|X| < 2, 58] = 2Φ(2, 58)− 1 = 0, 99

Cho uα = 3 thì P [|X| < 3] = 2Φ(3)− 1 = 0, 9973

Dựa vào bảng tích phân Laplace, khi biết u1−α ta tìm được 1− α = Φ(u1−α) và ngượclại nếu biết 1− α ta tìm được u1−α = Φ−1(1− α)

Ví Dụ 3.21. Cho u1−α = 1, 96 thì Φ(u1−α) = Φ(1, 96) = 0, 975 = 1 − α. Ngược lại, giảsử 1− α = 0, 99 thì u1−α = Φ−1(1− α) = Φ−1(0, 99) = 2, 33.

B. Phân phối khi bình phương χ2(n) (với n bậc tự do)

Định Nghĩa 3.12. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có phân phối χ2(n), ký hiệu X ∼χ2(n) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

f(x) =

0 với x ≤ 0x

n2−1

2n2Γ(

n

2).e−

n2 với x > 0,

ở đây Γ(x) =∫∞0

tx−1e−tdt là hàm Gamma.

O x

f(x)

Để thấy phân phối χ2(n) xuất phát từ phân phối chuẩn người ta còn định nghĩa:“X ∼ χ2(n) nếu X =

∑n

i=1X2i với Xi độc lập, Xi ∼ N(0, 1) (Tổng bình phương các phân

phối chuẩn tắc độc lập)”.

Phân vị khi bình phương, n bậc tự do, mức α là số χ2(n,α) sao cho P [X < χ2

(n,α)] = α.Giá trị χ2

(n,α) là vị trí cạnh phải sao cho diện tích hình thang cong là α cho trước nhưhình vẽ.



O x

f(x)

χ2(n,α)

Các Đặc Trưng 3.5. Ta có E(X) = n;D(X) = 2n

Tính Chất 3.5. i)X − n√

2n−→ N(0, 1) (định lí giới hạn trung tâm)

ii) Nếu X ∼ χ2(n), Y ∼ χ2(m) và X, Y độc lập thì X + Y ∼ χ2(n + m). Tính toánxác suất cho phân phối này cho trong bảng Phụ lục 3.

C. Phân phối Student T (n) (với n bậc tự do)

Định Nghĩa 3.13. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Studentvới n bậc tự do, ký hiệu X ∼ T (n) nếu hàm mật độ xác suất có dạng:

f(x) =1√πn

Γ(n+12)

Γ(n2)(1 +

x2

n)−

n+12 , ∀x ∈ R

với Γ(x) là hàm Gamma.

Do hàm mật độ là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Khi bậc tự do tăng thìphân phối Student hội tụ rất nhanh về phân phối chuẩn tắc N(0; 1). Nên khi n đủ lớn(n ≥ 30) ta có thể xấp xỉ phân phối Student bằng phân phối chuẩn tắc. Tuy nhiên khi nnhỏ (n < 30) việc xấp xỉ như vậy sẽ gặp sai số lớn.

O x

f(x)

Phân phối chuẩn

Phân phối Student



Đồ thị hình chuông tương tự như đồ thị của phân phối chuẩn nhưng có đỉnh thấp hơnvà hai phần đuôi cao hơn.

Để thấy phân phối Student xuất phát từ phân phối chuẩn và phân phối χ2(n) người ta

còn định nghĩa: “X ∼ T (n) nếu X =Z√Y n

với Z ∼ N(0, 1); Y ∼ χ2(n); X, Y độc lập”

Phân vị Student, n bậc tự do, mức α là số t(n,α) sao cho P [X < t(n,α)] = α và có tínhchất t(n,1−α) = −t(n,α) cho trong bảng Phụ lục 4. Giá trị t(n,α) cũng là vị trí cạnh phải saocho diện tích bằng α cho trước.

O x

f(x)

t(n,α)

Các Đặc Trưng 3.6. E(X) = 0 (bậc tự do n > 1); D(X) =n

n+ 2(với n > 2).

Tính Chất 3.6. Xn ∼ T (n) thì Xn −→ N(0, 1). Khi thực hành n ≥ 30 thì Xn ' N(0, 1).

3.5 Định Lí Giới Hạn Trung Tâm

Định Lí 3.3. Nếu dãy X1, X2, X3, ..., Xn, ... các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng

phân phối xác suất và M(Xn) = µ;D(Xn) = σ2, ∀n thì: Sn =

∑n

k=1Xk − nµ

σ√n

−→ N(0, 1)

Nghĩa là: limn→∞ FSn(x) =1√2π

∫ x

−∞ e−t2

2 dt.

Như vậy với n đủ lớn (n ≥ 30) thì phân phối xác suất của Sn xấp xỉ phân phối chuẩntắc, ký hiệu Sn ' N(0, 1).

Ý Nghĩa 3.4. Nếu X1, X2, ..., Xn độc lập cùng phân phối với n đủ lớn, ta có:

i) X =∑n

k=1Xk ' N(nµ;nσ2)



ii) X =

∑n

k=1Xk

n' N(µ;

σ2

n)

Thật vậy:

X = σ√n.Sn + nµ ' N(nµ;nσ2) và X =

σ√nSn + µ ' N(µ;

σ2

n).

Qua đó ta thấy: “Tổng của một số rất lớn đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phốimà sự đóng góp của mỗi thành phần trong tổng đó rất nhỏ thì tổng sẽ có phân phối xácsuất xấp xỉ phân phối chuẩn”.

Ví Dụ 3.22. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có trung bình50g, độ lệch chuẩn 10g. Các sản phẩm được đóng thành hộp, mỗi hộp 100 sản phẩm. Hộpcó trọng lượng trên 4,58kg là đạt chuẩn. Tính tỉ lệ hộp đạt chuẩn.

~ Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn:

Định Lí 3.4 (Định lí giới hạn địa phương Moivre - Laplace). Gọi Pn(k) là xác suất xuấthiện k lần biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli với P (A) = p, p không quá gần 0 vàcũng không quá gần 1 thì:

lim

√npq.Pn(k)

f(xk)= 1

Với f(x) =1√2π

e−x2

2 , q = 1− p, xk =k − np√

npqhữu hạn.

Định Lí 3.5 (Định lí giới hạn Moivre - Laplace). Giả sử X ∼ B(n; p) và Sn =X − np√

npq

thì Sn −→ N(0, 1).

Ý Nghĩa 3.5. Trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn, p không quá lớn, cũngkhông quá bé thì:

P [X = k] ' 1√npq

f(xk) với xk =k − np√

npq, f(x) =

1√2π

e−x2

2

P [k1 ≤ X < k2] = Φ(k2 − np√

npq)− Φ(

k1 − np√npq

), Φ(x) là hàm Laplace.

Chú ý:

i) Công thức ở trên xấp xỉ tốt khi np ≥ 5 và nq ≥ 5 hoặc npq ≥ 20 hoặc n > 5 và∣∣∣∣√

p

1− p−

√1− p

p

∣∣∣∣1√n< 0, 3

ii) Khi sử dụng công thức, để giảm sai số ta cần có sự hiệu chỉnh:

P [k1 ≤ X < k2] = Φ(k2 − np− 0, 5√

npq)− Φ(

k1 − np− 0, 5√npq

)



Các biến cố [a ≤ X ≤ b]; [a < X < b]; [a < X ≤ b] có thể đưa về dạng [a ≤ X < b].Chẳng hạn [a < X ≤ b] = [a + 1 ≤ X < b+ 1].

Ví Dụ 3.23. Một khách sạn nhận đặt chổ của 452 khách hàng cho 400 phòng vào ngày30 tháng 4 vì theo kinh nghiệm của những năm trước cho thấy tỉ lệ khách đặt chổ nhưngkhông đến là 10%. Tính xác suất:

a. Có 400 khách đến vào ngày 30 tháng 4 để nhận phòng.

b. Tất cả khách đến vào ngày 30 tháng 4 đều nhận được phòng.

Giải:

Gọi X là số khách đặt phòng và đến vào ngày 30 tháng 4, khi đó X ∼ B(425; 0, 9) vớinp = 425.0, 9 = 382, 5 và √

npq =√425.0, 9.0, 1 = 6, 185.

a. Ta có:P [X = 400] ' 1√

npqf(

400− np√npq

) ' 1

6, 185f(

400− 382, 5

6, 185)

' f(2, 83)

6, 185' 0, 0073

6, 185= 0, 0012

b. Xác suất tất cả khách đến vào ngày 30 tháng 4 đều có phòng:P [X ≤ 400] = P [0 ≤ X < 401] = Φ(

400− 382, 5− 0, 5

6, 185)− Φ(

−382, 5− 0, 5

6, 185)

= Φ(2, 7485)− Φ(−61, 924) = Φ(2, 7485)− (1− Φ(61, 924)) = 0, 99693

~ Xấp xỉ phân phối Piosson bằng phân phối chuẩn: Nếu X ∼ P (λ) thìX − λ√

X−→

N(0, 1). Tuy nhiên trong thực hành, khi λ > 20 và X ∼ P (λ) thì ta coi X ' N(0, 1).

3.6 Véctơ Ngẫu Nhiên - Đại Lượng Ngẫu Nhiên 2Chiều

3.6.1 Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều

a. Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều:Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều là cặp (X, Y ) với X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên. NếuX và Y đều rời rạc (liên tục) thì ta gọi đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y ) là rời rạc(liên tục). Ở đây ta chỉ xét trường hợp cả X và Y đều rời rạc hoặc đều liên tục.

b. Hàm phân phối xác suất:



Định Nghĩa 3.14. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y )hay hàm phân phối đồng thời của X và Y là hàm 2 biến được xác định như sau:

F (x, y) = P [X < x; Y < y], ∀x, y ∈ R.

Tính Chất 3.7. Cũng như trường hợp 1 chiều, hàm phân phối xác suất F (x, y) có cáctính chất sau:

i) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R.

ii) F (x, y) không giảm theo từng biến số (nghĩa là nếu biến này là hằng số thì hàm khônggiảm đối với biến kia và ngược lại).

iii) F (−∞,−∞) = 0; F (+∞,+∞) = 1 và F (x,+∞) = FX(x); F (+∞, y) = FY (y).

iv) P [x1 < X < x2; y1 < Y < y2] = F (x1, y1) + F (x2, y2)− (F (x1, y2) + F (x2, y1)). Khiđó xác suất của (X, Y ) nhận giá trị là diện tích hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

O x

y

A B

CD

x1 x2

y1

y2

Định Nghĩa 3.15. Hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y gọi là độc lập nếu F (x, y) =FX(x).FY (y), ∀x, y ∈ R.Nhận Xét 3.4. Nếu X, Y độc lập thì hàm phân phối đồng thời của X và Y được xácđịnh qua các hàm phân phối của X và của Y .

3.6.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều

a. Với đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc:Định Nghĩa 3.16. Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc(X, Y ) còn gọi là bảng phân phối đồng thời của X và Y , được cho như sau:

HHHHHH

XY

y1 y2 ... ym p(xi)

x1 p11 p12 ... p1m p(x1)x2 p21 p22 ... p2m p(x2)... ... ... ... ... ...xn pn1 pn2 ... pnm p(xn)

q(yj) q(y1) q(y2) ... q(ym) 1



Trong đó, pij = P [X = xi, Y = yj] và∑n

i=1

∑m

j=1 pij = 1.Qua bảng phân phối xác suất của (X, Y ), ta có:

1. F (x, y) =∑

xi<x

∑yj<y pij .

2. Các phân phối biên:

. Của X: X x1 x2 ... xn

P p(x1) p(x2) ... p(xn)

với p(xi) =∑m

j=1 pij (cộng theo dòng i)

. Của Y : Y y1 y2 ... ymP p(y1) p(y2) ... p(ym)

với q(yj) =∑n

i=1 pij (cộng theo cột j)

3. X và Y độc lập ⇔ pij = p(xi)q(yj), ∀i, j.

4. Phân phối có điều kiện:

. Của X với điều kiện Y = yj:X x1 x2 ... xn

P [X|Y = yj] p1|yj p2|yj ... pn|yj

Trong đó, pi|yj = P [X = xi|Y = yj] =P [X = xi, Y = yj]

P [Y = yj]=

pijq(yj)

, (i = 1, n)

. Của Y với điều kiện X = xi:Y y1 y2 ... ym

P [Y |X = xi] q1|xiq2|xi

... Pm|xi

Trong đó, qj|xi= P [Y = yj|X = xi] =

P [X = xi, Y = yj]

P [X = xi]=

pijp(xi)

, (j = 1, m)

5. Kỳ vọng có điều kiện:. Kỳ vọng của X với điều kiện Y = yj, ký hiệu E[X|Y = yj ] và được tính như sau:

E[X|Y = yj] =

n∑

i=1

xiP [X = xi|Y = yj] =

n∑

i=1

xipi|yj

. Kỳ vọng của Y với điều kiện X = xi, ký hiệu E[Y |X = xi] và được tính như sau:

E[Y |X = xi] =m∑

i=1

yjP [Y = yj|X = xi] =m∑

j=1

yjqj|xi

6. E[ϕ(X, Y )] =∑n

i=1

∑m

j=1 ϕ(xi, yj)pij .

Ví Dụ 3.24. Người ta thống kê dân số của một vùng theo 2 chỉ tiêu: Giới tính (X) vàhọc vấn (Y ) được kết quả như sau:

HHHHHH

XY Thất học: 0 Phổ thông: 1 Đại học: 2

Nam: 0 0,12 0,24 0,15Nữ: 1 0,13 0,22 0,14



a. Lập bảng phân phối xác suất của học vấn; của giới tính.

b. Học vấn có độc lập với giới tính hay không?

c. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người thì người đó không bị thất học.

d. Lập bảng phân phối xác suất học vấn của nữ; tính trung bình học vấn của nữ.

Giải:

a. Bảng phân phối xác suất của X và của Y .

X 0 1P 0, 51 0, 49

Y 0 1 2P 0, 25 0, 46 0, 29

b. Do p11 = P [X = 0, Y = 0] = 0, 12 và P [X = 0].P [Y = 0] = 0, 51.0, 25 = 0, 1275. Suyra p11 6= P [X = 0].P [Y = 0] nên học vấn không độc lập với giới tính.

c. Ta có:P [X ≥ 0, Y > 0] =

∑xi≥0

∑yj>0 pij = 0, 24 + 0, 22 + 0, 15 + 0, 14 = 0, 75

= 1− P [X ≥ 0, Y = 0]

d. Lập bảng phân phối của Y với điều kiện X = 1.Ta có: P [X = 1] = 0, 49

Do đó: P [Y = 0|X = 1] =P [X = 1, Y = 0]

P [X = 1]=

p21P [X = 1]

=0, 13

0, 49= 0, 2653

Và: P [Y = 1|X = 1] =P [X = 1, Y = 1]

P [X = 1]=

p22P [X = 1]

=0, 22

0, 49= 0, 449

P [Y = 2|X = 1] =P [X = 1, Y = 2]

P [X = 1]=

p23P [X = 1]

=0, 16

0, 49= 0, 2857

Bảng phân phối điều kiện: Y 0 1 2P [Y |X = 1] 0,2653 0,449 0,2857

b. Với đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều liên tục:Giả sử (X, Y ) là đại lượng ngẫu nhiên liên tục 2 chiều có hàm phân phối xác suất F (x, y)liên tục và có đạo hàm hỗn hợp cấp hai liên tục (trừ một số hữu hạn đường cong)

Định Nghĩa 3.17. Ta gọi f(x, y) =

∂2F (x, y)

∂x∂ynếu ∃ với (x, y)

0 nếu @

là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X, Y ).Khi đó, P [(X, Y ) ∈ D] =

∫∫Df(x, y)dxdy với D ⊂ R

2 và F (x, y) =∫ x

−∞∫ y

−∞ f(x, y)dxdy

Tính Chất 3.8. Từ định nghĩa hàm mật độ f(x, y) ta suy ra các tính chất sau:



i) f(x, y) ≥ 0;∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ f(x, y)dxdy = 1.

ii) Hàm mật độ của X: fX(x) =∫ +∞−∞ f(x, y)dy; của Y : fY (y) =

∫ +∞−∞ f(x, y)dx.

iii) X và Y độc lập ⇔ f(x, y) = fX(x).fY (y)

iv) Hàm phân phối có điều kiện:. Của X với điều kiện Y = y, ký hiệu F (x|y) và được định nghĩa

F (x|y) = P [X < x|Y = y] = limP [X < x|y ≤ Y ≤ y + δy]

Ta có F (x|y) =∫ x

−∞f(u, y)

fY (y)du nếu fY (y) > 0.

. Của Y với điều kiện X = x, ký hiệu F (y|x) và được định nghĩa tương tự

F (y|x) = P [X = x|Y < y] = limP [x ≤ X ≤ x+ δx|Y < y]

Và F (y|x) =∫ y

−∞f(x, v)

fX(x)dv nếu fX(x) > 0.

3.6.3 Hệ Số Tương Quan

Định Nghĩa 3.18. Hệ số tương quan của X, Y ký hiệu ρ(X,Y ) và được xác định bởi:

ρ(X,Y ) =cov(X, Y )√D(X)

√D(Y )

=E[XY ]− E[X ]E[Y ]√

D(X)√

D(Y )

Tính Chất 3.9. Hệ số tương quan có những tính chất sau:

i) |ρ(aX+b,cY+d)| = |ρ(X,Y )|; ∀a, b, c, d ∈ R, ac 6= 0

ii) |ρ(X,Y )| ≤ 1

iii) |ρ(X,Y )| = 1 ⇔ X, Y có sự liên hệ tuyến tính

iv) Nếu X, Y độc lập thì |ρ(X,Y )| = 0


Chương 4

LÝ THUYẾT MẪU

4.1 Mẫu Ngẫu Nhiên

4.1.1 Khái niệm tổng thể và mẫu

Tập hợp gồm tất cả những phần tử mà ta cần khảo sát gọi là tổng thể. Số phần tử củatổng thể thì được gọi là kích thước của tổng thể.

Từ tổng thể người ta kiểm tra, quan sát trên một nhóm n phần tử đại diện gọi là mẫu.n gọi là kích thước của mẫu.

4.1.2 Các phương pháp chọn mẫu

- Lấy mẫu có hoàn lại: Chọn ngẫu nhiên từ tổng thể ra một phần tử để kiểm tra, ghi lạicác thông tin đặc trưng cần thiết của phần tử đó, rồi trả nó trở lại tổng thể trước khichọn tiếp ngẫu nhiên lần sau. Khi đó kết quả ở các lần chọn độc lập với nhau.

- Lấy mẫu không hoàn lại: Tương tự như trên, chỉ khác ở chỗ là các phần tử được chọnra sẽ không được trả lại tập ban đầu. Khi đó kết quả ở các lần chọn phụ thuộc nhaunhưng nếu lấy ít từ tập có số phần tử rất lớn thì cũng có thể xem như độc lập.

36

CHƯƠNG 4. LÝ THUYẾT MẪU

4.1.3 Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể

Định Nghĩa 4.1. Tiến hành n quan sát độc lập về đại lượng ngẫu nhiên X, gọi Xi là đạilượng ngẫu nhiên chỉ kết quả quan sát ở lần thứ i của X. Khi đó W = (X1, X2, ..., Xn)được gọi là mẫu ngẫu nhiên, n được gọi là cở mẫu (kích thước mẫu).

Như vậy mẫu ngẫu nhiên kích thước n thực chất là n đại lượng ngẫu nhiên độc lậpX1, X2, ..., Xn được lập từ biến ngẫu nhiên X và có cùng luật phân phối với X.

X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên gốc ứng với tổng thể nghiên cứu. Kỳ vọng củađại lượng ngẫu nhiên gốc E(X) = µ còn gọi là trung bình của tổng thể và phương saiD(X) = σ2 gọi là phương sai của tổng thể.

Ta gọi xi là giá trị thu được trong lần quan sát thứ i của Xi. Khi đó w = (x1, x2, ..., xn)gọi là một mẫu cụ thể mà mẫu ngẫu nhiên W nhận được.

4.1.4 Các đặc trưng mẫu

a. Thống kê: Hàm của mẫu ngẫu nhiên T = T (X1, X2, ..., Xn) gọi là thống kê.

Ví Dụ 4.1. Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, ..., Xn), ta có các thống kê.

+ Trung bình của mẫu: X =1

n

∑n

i=1Xi

+ Phương sai mẫu: S2 =1

n

∑n

i=1(Xi −X)2 =1

n

∑n

i=1X2i −X

2

+ Độ lệch mẫu: S =√S2

b. Các đặc trưng mẫu: Giả sử tổng thể X có E(X) = µ, D(X) = σ2 và p là tỉ lệ.Các số đặc trưng của X gọi là các số đặc trưng lí thuyết (các số này ta chưa biết và đangcần tìm chúng).Cho mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, ..., Xn) được rút từ đại lượng ngẫu nhiên gốc X.

Trung bình mẫu ngẫu nhiên X: là thống kê được xác định bởi X =1

n

∑n

i=1Xi, nó nhận

giá trị bằng trung bình mẫu cụ thể.Kỳ vọng và phương sai:E(X) = E(

1

n

∑n

i=1Xi) =1

n

∑n

i=1E(Xi) = E(X) = µ (vì E(Xi) = E(X))

D(X) = D(1

n

∑n

i=1Xi) =1

n2

∑n

i=1D(Xi) =nD(X)

n2=

σ2

n

Phương sai mẫu ngẫu nhiên S2: là thống kê được xác định bởi S2 =1

n

∑n

i=1(Xi − X)2,

nó nhận giá trị bằng phương sai mẫu cụ thể.



Kỳ vọng: E(S2) =1

n

∑n

i=1E(Xi −X)2 =1

n

∑n

i=1E[(Xi − µ)− (X − µ)]2 =n− 1

nσ2

. Thống kê S =√S2 gọi là độ lệch chuẩn mẫu ngẫu nhiên.

Phương sai mẫu điều chỉnh S ′2: là thống kê được xác định S ′2 =1

n− 1

∑n

i=1(Xi − X)2,

nó nhận giá trị bằng phương sai điều chỉnh mẫu cụ thể.Kỳ vọng: E(S ′2) =

n

n− 1E(S ′2) =

n

n− 1

n− 1

nσ2 = σ2

. Thống kê S ′ =√S ′2 gọi là độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh.

Tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên F : là thống kê được xác định bởi F =1

n

∑n

i=1Xi, Xi nhận giá trị

là 0 hoặc 1. Nó nhận giá trị bằng tỉ lệ mẫu cụ thể.

Kỳ vọng và phương sai: E(F ) = p,D(F ) =p(1− p)

n

Qua đó ta nhận thấy về mặt trung bình thì X,S ′2 đúng bằng kỳ vọng và phương saicủa tổng thể.

c. Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu:• Tổng thể X có phân phối chuẩn X ∼ N(µ, σ2):

X ∼ N(µ,σ2

n)

U =X − µ

σ

√n ∼ N(0, 1)

T =X − µ

S ′√n ∼ T (n− 1) khi n < 30 và σ chưa biết.

K =nS2

σ2=

1

σ2

∑n

i=1(Xi − µ)2 =∑n

i=1(Xi − µ

σ)2 ∼ χ2(n)

K =n− 1

σ2S ′2 ∼ χ2(n− 1) khi µ chưa biết.

• Tổng thể X không có phân phối chuẩn:

VìX − µ

σ

√n −→ N(0, 1) và

X − µ

S ′√n −→ N(0, 1) nên với n đủ lớn (n ≥ 30), ta có các

phân phối xấp xỉ chuẩn sau đây:

Khi σ2 đã biết:X − µ

σ

√n ' N(0, 1), X ' N(µ,

σ2

n)

Khi σ2 chưa biết:X − µ

S ′√n ' N(0, 1), X ' N(µ,

S ′2

n)



Tương tự, doF − p√p(1− p)

n

−→ N(0, 1) nên với np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5 thì F ' N(p,p(1− p)

n).

Vì p chưa biết, với n đủ lớn thì F ' N(p,F (1− F )

n).

4.2 Phương pháp tính tham số mẫu cụ thể

Xét mẫu cụ thể w = (x1; x2; ...; xn) là một giá trị của mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, ..., Xn)Ta có:+ Trung bình mẫu cụ thể: x =

1

n

∑n

i=1 xi

+ Phương sai mẫu cụ thể: s2 =1

n

∑n

i=1(xi − x)2 =1

n

∑n

i=1 x2i − (x)2

+ Phương sai điều chỉnh mẫu cụ thể: s′2 =n

n− 1s2

+ Độ lệch chuẩn mẫu cụ thể: s =√s2

+ Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh: s′ =√s′2


Chương 5

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

5.1 Ước Lượng Điểm

5.1.1 Bài toán ước lượng điểm

Bài toán: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có tham số θ (trung bình, tỷ lệ, phươngsai,...) chưa biết. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, ..., Xn) ta xây dựng thống kêθ = θ(X1, X2, ..., Xn) rồi từ đó ước lượng cho θ chưa biết gọi là bài toán ước lượng điểmcủa θ.

5.1.2 Ước lượng không chệch

Định Nghĩa 5.1. Thống kê θ được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu: E(θ) = θ

Ví Dụ 5.1. Từ mẫu tổng quát W = (X1;X2), xét hai ước lượng của trung bình tổng thểmu như sau:

X =1

2X1 +

1

2X2; X ′ =

1

3X1 +

2

3X2

Chứng tỏ X và X ′ là ước lượng không chệch của µ.

40

CHƯƠNG 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

5.2 Ước Lượng Khoảng

5.2.1 Khái niệm ước lượng khoảng

Khoảng giá trị (θ1, θ2) của thông kê θ được gọi là khoảng tin cậy của tham số θ nếu vớixác suất 1− α cho trước thì P [θ1 < θ < θ2] = 1− α.Xác suất 1− α là độ tin cậy của ước lượng, θ2 − θ1 = 2ε là độ dài khoảng tin cậy và ε làđộ chính xác của ước lượng. Khi đó θ ∈ (θ1; θ2).

5.2.2 Phương pháp ước lượng khoảng

B1 : Xây dựng thống kê T = T (X1, X2, ..., Xn, θ) sao cho có thể xấp xỉ luật phân phốicủa T về một trong những luật phân phối thường gặp như phân phối chuẩn tắc,phân phối Student hay phân phối khi bình phương,...

B2 : Với mức ý nghĩa α cho trước, tìm cặp giá trị t1, t2 thỏa: P [t1 < T < t2] = 1 − α.Biến đổi về dạng P [θ1 < θ < θ2] = 1 − α. Khi đó (θ1; θ2) chính là khoảng tin cậycần tìm.

A. Ước lượng tỉ lệa. Giả sử tổng thể có tỉ lệ p các phần tử mang dấu hiệu A nào đó chưa biết. Với độ tincậy 1 − α cho trước và mẫu gồm n quan sát độc lập (x1, x2, ..., xn) ta xây dựng khoảngtin cậy (p1; p2) để ước lượng cho p sao cho P [p1 < p < p2] = 1− α.Giả sử mẫu n quan sát có m phần tử mang dấu hiệu A. Khi đó tần suất mẫu f =

m

n.

Chọn thống kê U =F − p√F (1− F )

√n ' N(0, 1) để ước lượng tỉ lệ p. Trong đó, p là tỉ lệ

chưa biết, n: cở mẫu và F là thống kê nhận giá trị bằng tần suất mẫu.Tương tự ước lượng trung bình, ta có:

1− α = P [|U | < u1−α2] = P [F + u1−α

2

√F (1− F )

n> p > F − u1−α

2

√F (1− F )

n]

= P [F − ε < p < F + ε] với ε = u1−α2

√f(1− f)

nvà nf ≥ 10, n(1− f) ≥ 10.

Vậy khoảng tin cậy cần tìm là (f − ε; f + ε).

b. Các dạng toán liên quan: Xét khoảng tin cậy đối xứng, với ε = u1−α2

√f(1− f)

nta

có 3 bài toán liên quan:

Bt1: Biết 1− α, n tìm độ chính xác ε = u1−α2

√f(1− f)

n.



Bt2: Biết ε, n tìm độ tin cậy 1− α.

Ta có ε = u1−α2

√f(1− f)

n⇒ u1−α

2= ε

√n

f(1− f)tra bảng có Φ(u1−α

2).

Suy ra 1− α = 2Φ(u1−α2)− 1.

Bt3: Biết 1− α, ε tìm cở mẫu n′ hoặc cở mẫu cần điều tra thêm ∆n = n′ − n.

Do ε = u1−α2

√f(1− f)

n⇒ √

n =√

f(1− f)u1−α

2

εnên n′ =

[f(1− f)(

u1−α2

ε)2]+ 1.

Chú ý: Giả sử N là kích thước của tổng thể.

i) Với mẫu không hoàn lại có cở mẫu n > 0, 1N , ta cần dùng hệ số hiệu chỉnh:

ε = u1−α2

√f(1− f)

n

N − n

N − 1.

Khi đó, kích thước mẫu cần điều tra là:

n =

[n1N

n1 + (N − 1)

]+ 1 với n1 =

[f(1− f)(

u1−α2

ε)2]+ 1.

ii) Khi có khoảng ước lượng của tỉ lệ thì khoảng ước lượng cho số phần tử có tính chất

đang nghiên cứu là: (Nf −Nu1−α2

√f(1− f)

n;Nf +Nu1−α

2

√f(1− f)

n)

Ví Dụ 5.2. Giám đốc 1 Ngân hàng muốn xác định số khách hàng gửi tiền tại ngân hàngđược chi trả theo tuần, lấy mẫu ngẫu nhiên 120 khách thì có 40 người được trả theo tuần.

a. Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng số khách hàng được chi trả theo tuần, biết ngânhàng có 2000 khách hàng.

b. Nếu muốn ước lượng tỉ lệ khách hàng được chi trả theo tuần với độ tin cậy như ở trênvà độ chính xác ε = 0, 05 thì cần kích thước mẫu là bao nhiêu? Giải trường hợp ngânhàng có 1000 khách.

c. Với mẫu đã cho, nếu muốn ước lượng tỉ lệ khách hàng được chi trả theo tuần có độchính xác ε = 0, 05 thì độ tin cậy lúc đó là bao nhiêu?

B. Ước lượng trung bình của tổng thểa. Giả sử tổng thể có trung bình µ chưa biết. Với độ tin cậy 1− α cho trước ta xây dựngkhoảng tin cậy (µ1;µ2) để ước lượng cho µ sao cho P [µ1 < µ < µ2] = 1− α.

Tùy thuộc vào đặc điểm của đại lượng ngẫu nhiên X đã biết phương sai hay chưa vàkích thước mẫu n có lớn hay không mà ta có công thức xác lập nên khoảng tin cậy (µ1;µ2)khác nhau. Ta xét các trường hợp sau:



Th1:

σ2 = D(X) = σ20 đã biết.

Cở mẫu n ≥ 30 hoặc n < 30

Chọn thống kê U =X − µ

σ

√n ∼ N(0, 1) để ước lượng trung bình. Trong đó

µ = M(X) chưa biết, σ =√D(X) = σ0 đã biết, n cở mẫu. X là thống kê nhận giá

trị bằng trung bình mẫu.

1− α = P [|U | < u1−α2] = P [−u1−α

2< U < u1−α

2] = P [−u1−α

2<

X − µ

σ

√n < u1−α

2]

⇔ 1−α = P [−u1−α2

σ√n< X−µ < u1−α

2

σ√n] = P [u1−α

2

σ√n> µ−X > −u1−α

2

σ√n]

= P [X + u1−α2

σ√n> µ > X − u1−α

2

σ√n] = P [X − ε < µ < X + ε] với ε = u1−α

2

σ√n

.

Vậy khoảng tin cậy cần tìm là (x− ε; x+ ε).

Th2:

σ2 = D(X) chưa biết, ta thay σ = s′.

Cở mẫu n ≥ 30


S ′√n ' N(0, 1) để ước lượng trung bình. Trong đó

µ = M(X) chưa biết, n cở mẫu. X và S ′ lần lượt là các thống kê nhận giá trịbằng trung bình và độ lệch điều chỉnh mẫu.Hoàn toàn tương tự, ta có:

Với ε = u1−α2

s′√n

, khoảng tin cậy đối xứng (x− ε; x+ ε)

Th3:

σ2 = D(X) chưa biết.Cở mẫu n < 30

Chọn thống kê T =X − µ

S ′√n ' T (n − 1) để ước lượng trung bình. Trong đó

µ = M(X) chưa biết, n cở mẫu. X và S ′ lần lượt là các thống kê nhận giá trị bằngtrung bình và độ lệch điều chỉnh mẫu.Do hàm mật độ của phân phối Student cũng là hàm chẵn nên tương tự Th1 ta có:

(x− ε; x+ ε) với ε = t(n−1,1−α2)s′√n

b. Các bài toán liên quan: Xét khoảng tin cậy đối xứng (x−ε, x+ε) với ε = u1−α2

s′√n

,

độ tin cậy 1− α, kích thước mẫu n và độ chính xác ε. Có 3 bài toán liên quan sau:

Bt1: Biết 1− α, n tìm độ chính xác ε = u1−α2

s′√n

.

Bt2: Biết ε, n tìm độ tin cậy 1− α.


s′√n⇒ u1−α

2=

ε√n

s′tra bảng có Φ(u1−α

2).



Suy ra: 1− α = 2Φ(u1−α2)− 1.

Bt3: Biết 1− α, ε tìm cở mẫu n′ hoặc cở mẫu cần điều tra thêm ∆n = n′ − n.


s′√n′

⇒√n′ = u1−α

2

s′

εnên n′ =

[(u1−α

2

s′

ε)2]+ 1; [ ]: phần nguyên.

Với khoảng tin cậy có ε = u1−α2

σ√n; ε = t(n−1,1−α

2)s′√n

cũng có các bài toán tương tự.

Ví Dụ 5.3. Tiến hành thống kê giá của một nguyên liệu A trong khoảng thời gian 50ngày, ta có bảng số liệu sau đây:

Giá (nghìn đồng/kg) 29 – 31 31 – 33 33 – 35 35 – 37 37 – 39 39 – 41Số ngày 3 9 14 15 7 2

Độ tin cậy 95% có thể nói giá trung bình của nguyên liệu A nằm trong khoảng nào?

a. Biết σ2 = 5, 0625;

b. Chưa biết σ2;

c. Giả thiết như a., để có độ tin cậy 99% thì độ chính xác lúc đó là bao nhiêu?

d. Giả thiết như a., để độ tin cậy là 99%, độ chính xác là 0, 6 thì có cần lấy thêm mẫuhay không?

Ví Dụ 5.4. Đo đường kính 23 trục máy do 1 máy tiện tự động sản xuất ra, được kết quả(đv: mm).

250 249 251 253 248 250 252 257245 248 247 249 250 280 250 247253 256 252 254 254 251 253

Giả sử đường kính của các trục máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

a. Hãy ước lượng đường kính trung bình các trục máy với độ tin cậy 98%.

b. Hãy ước lượng trung bình tối thiểu đường kính các trục máy với độ tin cậy 90%.

C. Ước lượng phương saiGiả sử tổng thể X ∼ N(µ, σ2), D(X) = σ2 chưa biết. Với độ tin cậy 1 − α và mẫu cở n,hãy tìm khoảng tin cậy (σ2

1; σ22) để ước lượng cho σ2 sao cho P [σ2

1 < σ2 < σ22] = 1 − α.

Để ước lượng ta xét 2 trường hợp sau:

Th1: µ chưa biết, s′2 đã biết.Chọn thống kê K =

n− 1

σ2S ′2 ∼ χ2

(n−1) để ước lượng phương sai σ2. Trong đó n kích



thước mẫu, S ′2 thống kê nhận giá trị bằng phương sai điều chỉnh mẫu.

Chọn các phân vị khi bình phương, n − 1 bậc tự do, mức α2

và 1 − α2

sao cho:P [K < χ2

(n−1,1−α2)] = 1− α

2, P [K < χ2

(n−1,α2)] =

α2.

Ta có:1− α = 1− α

2− α

2= P [K < χ2

(n−1,1−α2)]− P [K < χ2

(n−1,α2)]

= P [χ2(n−1,α

2) < K < χ2

(n−1,1−α2)] = P [χ2

(n−1,α2) <

n− 1

σ2S ′2 < χ2

(n−1,1−α2)]

= P [χ2(n−1,α

2)

(n− 1)S ′2 <1

σ2<

χ2(n−1,1−α

2)

(n− 1)S ′2 ] = P [(n− 1)S ′2

χ2(n−1,1−α

2)

< σ2 <(n− 1)S ′2

χ2(n−1,α

2)

]

Vậy khoảng tin cậy cần tìm là (σ21; σ

22) với σ2

1 =(n− 1)s′2

χ2(n−1,1−α

2)

, σ22 =

(n− 1)s′2

χ2(n−1,α

2)

.

Th2: µ đã biết.

Chọn thống kê K =nS2

σ2=

1

σ2

∑n

i=1(Xi − µ)2 ∼ χ2(n) để ước lượng phương sai σ2.

Trong đó n kích thước mẫu, S2 thống kê nhận giá trị bằng phương sai mẫu.Lập luận tương tự Th1, ta có:

(σ21; σ

22) với σ2

1 =

∑n

i=1(xi − µ)2

χ2(n,1−α

2)

, σ22 =

∑n

i=1(xi − µ)2

χ2(n,α

2)

.

Ví Dụ 5.5. Mức hao phí nguyên liệu của 1 loại sản phẩm X cho 1 đơn vị sản phẩm tuântheo quy luật chuẩn. Người ta cân thử một mẫu 30 sản phẩm loại này, được kết quả chotrong bảng sau:

Nguyên liệu hao phí (gam) 19,5 20,0 20,5Số sản phẩm 7 18 5

Với độ tin cậy 90% hãy tìm khoảng tin cậy cho độ lệch chuẩn của mức hao phí nguyênliệu trên trong 2 trường hợp:

a. E(X) chưa biết, b. E(X) = 20.


Chương 6

LÝ THYẾT KIỂM ĐỊNH

6.1 Khái Niệm

6.1.1 Khái niệm và định nghĩa

Kiểm định giả thiết là dùng các giả thiết thống kê để chấp nhận hay bác bỏ một giả thiếtH0 náo đó về tổng thể được gọi là kiểm định giả thiết thống kê. Các sai lầm: Do việcchấp nhận hay bác bỏ một giả thiết H0 nào đó, căn cứ vào mẫu ngẫu nhiên nên có thểmắc phải một trong hai loại sai lầm sau:

Sai lầm loại 1: “H0 đúng mà ta bác bỏ”.

Sai lầm loại 2: “H0 sai mà ta chấp nhận”.Vậy ta có thể nói, mức ý nghĩa α cũng chính là xác suất mắc sai lầm loại một.

6.1.2 Các bước kiểm định giả thiết:

B1: Phát biểu giả thiết H0 và đối thiết tương ứng H1;H2 hoặc H3,

B2: Chọn tiêu chuẩn kiểm định,

B3: Định mức ý nghĩa α, thiết lập miền bác bỏ Wα,

B4: Với mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) tính G(x1, x2, ..., xn). Nếu:

G(x1, x2, ..., xn) ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết

46

CHƯƠNG 6. LÝ THYẾT KIỂM ĐỊNH

G(x1, x2, ..., xn) /∈ Wα thì chấp nhận H0.

6.2 Kiểm Định Giả Thiết

6.2.1 Kiểm định giả thiết về tỉ lệ

Bài toán: Giả sử tổng thể X có tỉ lệ các phần tử mang dấu hiệu A là p chưa biết. Vớimức ý nghĩa α, hãy kiểm định giả thiết H0 : p = p0 (cho trước) với một trong các đốithiết H1 : p 6= p0;H2 : p > p0;H3 : p < p0.

Chọn thống kê U =F − p0√p0(1− p0)

√n ' N(0, 1) để kiểm định tỉ lệ p khi np0 ≥ 5 và

n(1 − p0) ≥ 5. Trong đó, p0 là giá trị ở giả thiết H0, n là kích thước mẫu, F là thống kênhận giá trị bằng tần suất mẫu.

Với mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn), ta tính được f =m

n(m là số phần tử có dấu hiệu A) và

giá trị quan sát u0 =f − p0√p0(1− p0)

√n.

Khi đó tùy theo dạng của đối thiết mà ta có miền bác bỏ tương ứng: Với đối thiết 2 phíaH1 : p 6= p0 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α

2) ∪ (u1−α

2; +∞)

Với đối thiết 1 phíaH2 : p > p0 miền bác bỏ Wα = (u1−α; +∞)H3 : p < p0 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α)

Kết luận: Nếu u0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng còn nếu u0 /∈ Wα

thì chấp nhận H0.

Ví Dụ 6.1. Theo báo cáo, tỉ lệ hàng phế phẩm trong kho là 12%. Kiểm tra ngẫu nhiên100 sản phẩm thấy có 13 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5% thì báo cáo trên có đáng tin cậykhông?

6.2.2 Kiểm định giả thiết về trung bình

a. Bài toán: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có trung bình µ = E(X) chưa biết. Với mứcý nghĩa α, hãy kiểm định giả thiết H0 : µ = µ0 (µ0 đã biết) với một trong các đối thiếtH1 : µ 6= µ0;H2 : µ > µ0;H3 : µ < µ0.



Th1:

D(X) = σ2 đã biết.Cở mẫu n ≥ 30 hoặc n < 30 và X ∼ N(µ, σ2)

Chọn thống kê U =X − µ0

σ

√n ∼ N(0, 1) làm tiêu chuẩn kiểm định. Trong đó

σ =√

D(X) đã biết, µ0 là giá trị trong giả thiết H0, n cở mẫu. X là thống kê nhậngiá trị bằng trung bình mẫu.Với mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) có giá trị quan sát: u0 =

x− µ0

σ

√n.

Từ mức ý nghĩa α và tùy theo đối thiết mà ta thiết lập miền bác bỏ như sau: Với đối thiết 2 phíaH1 : µ 6= µ0 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α

2) ∪ (u1−α

2; +∞)

Với đối thiết 1 phíaH2 : µ > µ0 miền bác bỏ Wα = (u1−α; +∞)H3 : µ < µ0 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α)Kết luận: Nếu u0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng còn nếuu0 /∈ Wα thì chấp nhận H0.

Th2:

σ2 = D(X) chưa biết.Cở mẫu n ≥ 30


S ′√n ∼ N(0, 1) làm tiêu chuẩn kiểm định. Trong đó µ0 là

giá trị trong giả thiết H0, n cở mẫu, X và S ′ lần lượt là các thống kê nhận giá trịbằng trung bình và độ lệch điều chỉnh mẫu.Với mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) có giá trị quan sát u0 =

x− µ0

s′√n.

Khi đó tùy theo dạng đối thiết mà ta thiết lập miền bác bỏ hoàn toàn tương tự nhưTh1, chỉ lưu ý là thay σ bởi s′.

Th3:

D(X) chưa biết.Cở mẫu n < 30 và X ∼ N(µ, σ2)

Chọn thống kê T =X − µ0

S ′√n ' T (n− 1) làm tiêu chuẩn kiểm định. Trong đó µ0

là giá trị trong giả thiết H0, n cở mẫu, X,S ′ lần lượt là các thống kê nhận giá trịbằng trung bình và độ lệch điều chỉnh mẫu.Với mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) có giá trị quan sát t0 =

x− µ0

s′√n.

Khi đó, tùy theo dạng đối thiết mà ta có miền bác bỏ như sau: Với đối thiết 2 phíaH1 : µ 6= µ0 miền bác bỏ Wα = (−∞;−t(n−1,1−α

2)) ∪ (t(n−1,1−α

2); +∞)

Với đối thiết 1 phíaH2 : µ > µ0 miền bác bỏ Wα = (t(n−1,1−α); +∞)H3 : µ < µ0 miền bác bỏ Wα = (−∞;−t(n−1,1−α))Kết luận: Nếu u0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng còn nếuu0 /∈ Wα thì chấp nhận H0.

Ví Dụ 6.2. Trọng lượng của 1 hộp sản phẩm do dây chuyền tự động đóng gói là 100g, độ



lệch chuẩn σ = 0, 8g. Sau một thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ khối lượng sản phẩmcó xu hướng tăng lên. Kiểm tra 60 sản phảm tính được trung bình mẫu x = 100, 2g.

a. Với độ tin cậy 99%, hãy kết luận về nghi ngờ trên.

b. Với độ tin cậy lớn nhất có thể được là bao nhiêu để kết luận rằng điều nghi ngờ nóitrên là đúng.

Giải:

a. Xét giả thiết H0 : µ = 100g, đối thiết H2 : µ > 100g.

Chọn thống kê U =X − µ0

σ

√n ∼ N(0, 1) làm tiêu chuẩn kiểm định. Trong đó, X là

thống kê nhận giá trị bằng trung bình mẫu.Với mẫu đã cho có µ0 = 100g, σ = 0, 8g, n = 60, x = 100, 2g nên giá trị quan sát:

u0 =x− µ0

σ

√n =

100, 2− 100

0, 8

√60 = 1, 936

Miền bác bỏ: 1−α = 0, 99 tra Phụ lục 2 có u1−α = u0,99 = 2, 32 nên Wα = (u1−α; +∞) =(2, 32;+∞).Do đó u0 = 1, 936 /∈ Wα nên chấp nhận H0, bác bỏ H2. Vì thế nghi ngờ khối lượng sảnphẩm tăng lên là không có cơ sở.

b. Giả sử với độ tin cậy 1− β điều nghi ngờ trên là đúng.Suy ra u0 ∈ Wβ = (u1−β,+∞) hay u1−β ≤ u0.Do đó, để kết luận trên là đúng với độ tin cậy lớn nhất thì u1−β = u0 = 1, 94 tra bảng có1− β = Φ(1, 94) = 0, 9738

Ví Dụ 6.3. Trọng lượng trung bình của một loại sản phẩm là 6kg. Kiểm tra 121 sảnphẩm tháy trọng lượng trung bình là 5,795 kg và phương sai s2 = 5, 712. Hãy kiểm địnhvề trọng lượng trung bình của sản phẩm với mức ý nghĩa 5%

6.2.3 Kiểm định giả thiết về phương sai

Bài toán: Giả sử tổng thể X ∼ N(µ, σ2), phương sai D(X) = σ2 chưa biết. Với mức ýnghĩa α, hãy kiểm định giả thiết H0 : σ2 = σ2

0 (σ20 đã biết) với một trong các đối thiết

H1 : σ 6= σ0;H2 : σ > σ0;H3 : σ < σ0.

Th1: Trường hợp E(X) = µ chưa biết

Chọn thống kê K =(n− 1)S ′2

σ20

∼ χ2(n− 1) làm tiêu chuẩn kiểm định. Trong đó, n

là cở mẫu, σ20 là giá trị cho trong giả thiết và S ′ thống kê nhận giá trị bằng độ lệch

điều chỉnh mẫu.



Từ mẫu cụ thể, ta tính được s′2 và giá trị quan sát k0 =(n− 1)s′2

σ20

.

Khi đó tùy theo dạng của đối thiết mà ta có miền bác bỏ tương ứng: Với đối thiết 2 phíaH1 : σ

2 6= σ20 miền bác bỏ Wα = (−∞;χ2

(n−1,α2)) ∪ (χ2

(n−1,1−α2); +∞).

Với đối thiết 1 phía:H2 : σ

2 > σ20 miền bác bỏ Wα = (χ2

(n−1,1−α); +∞).H3 : σ

2 < σ20 miền bác bỏ Wα = (−∞;χ2

(n−1,α)).Kết luận: Nếu k0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng còn nếuk0 /∈ Wα thì chấp nhận H0.

Th2: Trường hợp E(X) = µ đã biết

Chọn thống kê K =

∑(Xi − µ)2

σ20

∼ χ2(n) để kiểm định.

Làm hoàn toàn tương tự Th1, từ mẫu có giá trị quan sát k0 =

∑(xi − µ)2

σ20

.

Khi đó tùy theo dạng của đối thiết mà ta có miền bác bỏ tương ứng: Với đối thiết 2 phíaH1 : σ

2 6= σ20 miền bác bỏ Wα = (−∞;χ2

(n,α2)) ∪ (χ2

(n,1−α2); +∞).

Với đối thiết 1 phía:H2 : σ

2 > σ20 miền bác bỏ Wα = (χ2

(n,1−α); +∞).H3 : σ

2 < σ20 miền bác bỏ Wα = (−∞;χ2

(n,α)).Kết luận: Nếu k0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng còn nếuk0 /∈ Wα thì chấp nhận H0.

Ví Dụ 6.4. Nếu máy móc hoạt động bình thường thì kích thước của một loại sản phẩm(đv: cm) là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phương sai σ2 = 25cm2. Nghingờ máy hoạt động không bình thường, người ta đo thử 20 sản phẩm và tính đượcs′2 = 27, 5cm2. Với mức ý nghĩa 2% hãy kết luận về điều nghi ngờ trên.

Giải:

Xét giả thiết H0 : σ2 = 25 và đối thiết H1 : σ

2 6= 25.

Chọn thống kê K =(n− 1)S ′2

σ20

∼ χ2(n− 1) làm tiêu chuẩn kiểm định. Trong đó, n = 20

là cở mẫu, σ20 = 25 và S ′ thống kê nhận giá trị bằng độ lệch điều chỉnh mẫu.

Từ mẫu cụ thể, có s′2 = 27, 5 và giá trị quan sát k0 =(n− 1)s′2

σ20

=(20− 1).27, 5

25= 20, 9

Giả thiết α = 0, 02 ⇒

1− α

2= 0, 99 tra Phụ lục 4 có χ2

(n−1,1−α2) = χ2

(19;0,99) = 36, 191α

2= 0, 01 tra Phụ lục 4 có χ2

(n−1,α2) = χ2

(19;0,01) = 7, 633

Miền bác bỏ Wα = (−∞;χ2(n−1,α

2)) ∪ (χ2

(n−1,1−α2); +∞) = (−∞; 7, 633) ∪ (36, 191;+∞).

Do đó k0 /∈ Wα nên chấp nhận H0. Vậy với mức ý nghĩa 2%, nghi ngờ máy hoạt độngkhông bình thường là không có cơ sở.



6.3 Kiểm Định So Sánh Các Tham Số

6.3.1 So sánh hai tỉ lệ

Xét hai tổng thể X và Y cùng có đặc tính A. Giả sử p1, p2 lần lượt là tỉ lệ các phần tửmang dấu hiệu A trong X và Y.

Bài toán: Từ các mẫu độc lập (X1, X2, ..., Xm) của X và (Y1, Y2, ..., Yn) của Y . Với mứcý nghĩa α hãy kiểm định giả thiết H0 : p1 = p2 với một trong các đối thiết H1 : p1 6= p2,H2 : p1 > p2 và H3 : p1 < p2.

Giả sử H0 đúng, khi m và n đủ lớn ta chọn thống kê U =F1 − F2√

F (1− F )(1

m+

1

n)

' N(0, 1)

làm tiêu chuẩn kiểm định. Trong đó F1, F2 là các thống kê nhận giá trị bằng tỉ lệ mẫu

của X, Y và F =mF1 + nF2

m+ n.

Từ mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xm) của X và (y1, y2, ..., yn) của Y thỏa điều kiện kf ≥ 10 và

k(1 − f) ≥ 10 với k = m + n, f =k1 + k2m+ n

(k1, k2 là số phần tử mang dấu hiệu A trong

X, Y ). Giá trị quan sát u0 =f1 − f2√

f(1− f)(1

m+

1

n)

với f1 =k1m, f2 =

k2n, f =

k1 + k2m+ n

.

Khi đó tùy theo dạng của đối thiết mà ta có miền bác bỏ tương ứng như sau: Với đối thiết hai phía:H1 : p1 6= p2 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α

2) ∪ (u1−α

2; +∞)

Với đối thiết một phía:H2 : p1 > p2 miền bác bỏ Wα = (u1−α; +∞).H3 : p1 < p2 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α).Kết luận: Nếu u0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng. Còn nếu u0 /∈ Wα

thì chấp nhận H0.

Ví Dụ 6.5. Kiểm tra 120 sản phẩm ở kho I thấy có 8 phế phẩm. Kiểm tra 200 sản phẩmở kho II thấy có 20 phế phẩm. Chất lượng hàng ở hai kho khác nhau hay không với mứcý nghĩa 3%

6.3.2 So sánh hai giá trị trung bình

a. Bài toán: Giả sử X có E(X) = µ1 và Y có E(Y ) = µ2. Từ 2 mẫu độc lập (X1, ..., Xm)của X và (Y1, ..., Yn) của Y , với mức ý nghĩa α hãy kiểm định giả thiết H0 : µ1 = µ2 vớimột trong các đối thiết H1 : µ1 6= µ2, H2 : µ1 > µ2 và H3 : µ1 < µ2.Giả sử σ2

1 = D(X), σ22 = D(Y ) khi H0 đúng ta xét các trường hợp sau:



Th1:

σ21 , σ

22 đã biết.

Cở mẫu m,n ≥ 30 hoặc m,n < 30 và X ∼ N(µ1, σ21), Y ∼ N(µ2, σ

22)

Chọn thống kê U =X − Y√σ21

m+

σ22

n

' N(0, 1) làm tiêu chuẩn kiểm định giả thiết H0.

Trong đó, m và n lần lượt là kích thước mẫu; X, Y lần lượt là các thống kê nhậngiá trị bằng trung bình mẫu của X và Y

Với 2 mẫu cụ thể (x1, ..., xm) và (y1, ..., yn), ta có giá trị quan sát u0 =x− y√σ21

m+

σ22

n

Khi đó tùy theo dạng của đối thiết mà ta có miền bác bỏ tương ứng: Với đối thiết 2 phíaH1 : µ1 6= µ2 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α

2) ∪ (u1−α

2; +∞).

Với đối thiết 1 phía:H2 : µ1 > µ2 miền bác bỏ Wα = (u1−α; +∞).H3 : µ1 < µ2 miền bác bỏ Wα = (−∞;−u1−α).Kết luận: Nếu u0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng. Còn nếuu0 /∈ Wα thì chấp nhận H0.

Th2:

σ21 , σ

22 chưa biết.

Cở mẫu m,n ≥ 30

Chọn thống kê U =X − Y√S′21

m+

S′22

n

' N(0, 1) làm tiêu chuẩn kiểm định giả thiết H0.

Trong đó, S ′1 và S ′

2 lần lượt là các thống kê nhận giá trị bằng độ lệch điều chỉnhmẫu của X và Y .Với 2 mẫu cụ thể (x1, ..., xm) và (y1, ..., yn) ta có giá trị quan sát u0 =

x− y√s′21m

+s′22n

Tùy theo dạng của đối thiết mà ta có miền bác bỏ hoàn toàn tương tự như Th1.

Th3:

σ21 = σ2

2 chưa biết.Cở mẫu m,n < 30 và X ∼ N(µ1, σ

21), Y ∼ N(µ2, σ

22)

Chọn thống kê T =X − Y√S ′2( 1

m+ 1

n)∼ T (m + n − 2) làm tiêu chuẩn kiểm định giả

thiết H0. Trong đó, S ′2 =(m− 1)S ′2

1 + (n− 1)S ′22

m+ n− 2với S ′

1, S′2 là các thống kê nhận

giá trị bằng độ lệch điều chỉnh mẫu của X và Y .

Với 2 mẫu cụ thể (x1, ..., xm) và (y1, ..., yn) có s′2 =(m− 1)s′21 + (n− 1)s′22

m+ n− 2nên giá

trị quan sát t0 =x− y√

s′2(1

m+

1

n)

.

Tùy theo các dạng đối thiết mà ta có miền bác bỏ như sau: Với đối thiết 2 phíaH1 : µ1 6= µ2 miền bác bỏ Wα = (−∞;−t(m+n−2,1−α

2)) ∪ (t(m+n−2,1−α

2); +∞).



Với đối thiết 1 phía:H2 : µ1 > µ2 miền bác bỏ Wα = (t(m+n−2,1−α); +∞).H3 : µ1 < µ2 miền bác bỏ Wα = (−∞;−t(m+n−2,1−α)).Kết luận: Nếu t0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết tương ứng. Còn nếut0 /∈ Wα thì chấp nhận H0.

Ví Dụ 6.6. Cân thử 100 trái cây ở kho I, tính được x = 101, 2gr; s2x = 571, 7 và 361 tráiở kho II tính được y = 66, 39gr; s2y = 29, 72. Hãy so sánh trọng lượng trung bình của tráicây ở 2 kho với mức ý nghĩa 5%.

6.3.3 So sánh hai phương sai

Bài toán: Giả sử X ∼ N(µ1, σ21), Y ∼ N(µ2, σ

22). Từ 2 mẫu độc lập (X1, X2, ..., Xm) và

(Y1, Y2, ..., Yn) của X và Y với mức ý nghĩa α, hãy kiểm định giả thiết H0 : σ21 6= σ2

2 vớimột trong các đối thiết H1 : σ

21 = σ2

2 , H2 : σ21 > σ2

2 và H3 : σ21 < σ2

2.

Khi H0 đúng, ta chọn thống kê F =S ′21 /σ

21

S ′22 /σ

22

=S ′1

S ′2

∼ F (m− 1, n− 1) để kiểm định.

Với các mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xm), (y1, y2, ..., yn) có giá trị quan sát f0 =s′21s′22

; (s′1 > s′2).

Khi đó tùy theo dạng của đối thiết mà ta có miền bác bỏ tương ứng như sau: Với đối thiết 2 phía

H1 : σ21 6= σ2

2 miền bác bỏ Wα = (−∞;1

f1−α2(m− 1, n− 1)

) ∪ (f1−α2(m− 1, n− 1); +∞).

(Do fα2(m− 1, n− 1) =

1

f1−α2(m− 1, n− 1)

)

Với đối thiết 1 phíaH2 : σ

21 > σ2

2 miền bác bỏ Wα = (f1−α(m− 1, n− 1); +∞).(vì vai trò của σ1, σ2 như nhau nên ta không xét H3 : σ

21 < σ2

2).Kết luận: Nếu f0 ∈ Wα thì bác bỏ H0, chấp nhận đối thiết. Còn nếu f0 /∈ Wα thì chấpnhận H0.(Lưu ý: Khi s′1 < s′2 thì ta thay đổi vai trò của chúng cho nhau, lúc đó phân vị của phânphối Fisher đổi lại thành (n− 1, m− 1) bậc tự do)

Ví Dụ 6.7. Người ta dùng phương sai hay độ lệch tiêu chuẩn làm độ đo đánh giá sự rủiro của cổ phiếu. Điều tra ngẫu nhiên giá cổ phiếu của công ty A trong 25 ngày tính đượcs′21 = 6, 52; của công ty B trong 22 ngày tính được s′22 = 3, 47. Với mức ý nghĩa 5% có thểcho rằng độ rủi ro cổ phiếu của công ty A cao hơn công ty B hay không?


Documents

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG · bỘ cÔng thƯƠng trƯỜng cao ĐẲng kỸ thuẬt cao thẮng bài giảng:xÁc suẤt và thỐng kÊ (lưu