BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ … · Chương III sẽ được dành cho quá trình phân rã stop và sbottom khi tính đến bổ chính SUSY–QCD 1–vòng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Đức Vinh

BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP e+e- VỚI

THAM SỐ PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên Ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã Số : 60.44.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011

Luận văn thạc sĩ khoa học

Nguyễn Đức Vinh 3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Đức Vinh

BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP e+e- VỚI

THAM SỐ PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội-2011



LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới

thầy giáo TS.PHẠM THÚC TUYỀN. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn, chỉ

bảo em nhiệt tình trong suốt quá trình học tập môn học và quá trình em

thực hiện luận văn này

Qua đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ vật

lý lý thuyết và vật lý toán, các thầy cô trong khoa Vật Lý, ban chủ

nhiệm khoa Vật lý trường Đại học khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo

điều kiện giúp đỡ em trong thời gian làm khóa luận cũng như trong

suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các bạn trong tập thể

lớp Cao học 2008- 2010 và gia đình em đã giúp đỡ và tạo điều kiện

giúp em thực hiện luận văn này.

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011

Học viên: Nguyễn Đức Vinh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 CHƯƠNG I : MSSM TRONG NGÔN NGỮ TRƯỜNG THÀNH PHẦN .......... 4 1.1. SM............................................................................................................... 4 1.2. Siêu đối xứng, SUSY ................................................................................ 12 1.3. Các thành phần bất biến siêu đối xứng của tổ hợp siêu trường................... 18 1.4 .Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, SGFT ............................................ 20 1.5. MSSM ....................................................................................................... 22 1.6. Vi pham siêu đối xứng............................................................................... 28 CHƯƠNG II : LAGRANGIAN VÀ ĐỈNH TƯƠNG TÁC TRONG MSSM .... 35 2.1 Phổ khối lượng của siêu hạt đồng hành ...................................................... 35 2.1a Lĩnh vực sfermion .................................................................................... 35 2.1b. Lĩnh vực trường Higgs vô hướng ............................................................. 36 2.1c Lĩnh vực chargino ..................................................................................... 37 2.1d Lĩnh vực neutralino .................................................................................. 38 2.2. Lagrangian tương tác và quy tắc Feynman trong MSSM ........................... 38 2.2.1.Quark-quark-gauge boson: ...................................................................... 40 2.2.2. Squark-squark-gauge boson: ................................................................... 41 2.2.3 Quark-quark-Higgs boson: ...................................................................... 42 2.2.4. Squark-squark-Higgs boson: ................................................................... 43 2.2.5. Quark-squark-chargino ........................................................................... 47 2.2.6. Quark-squark-neutralino ......................................................................... 48 2.2.7. Tương tác với gluino .............................................................................. 49 2.2.8. Squark-squark-gauge boson-gauge boson ............................................... 50 2.2.9.Tương tác bốn squark .............................................................................. 53 2.2. Hàm truyền của các hạt ............................................................................. 53 CHƯƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO CẶP SQUARK VỚI THAM SỐ PHỨC ......................................................................................................................... 55 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 60 TÀI LIỆU DẪN (REFERENCES) ................................................................... 62



MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, càng ngày càng có nhiều cơ sở để tin rằng thế giới

tự nhiên thực sự là siêu đối xứng [1]. Nếu tự nhiên là siêu đối xứng, ngoài việc ta sẽ có

một lý thuyết trường lượng tử tự tái chuẩn và ngoài việc thống nhất boson với fermion,

ta còn có cơ hội để xây dựng một lý thuyết trường tương thích về hấp dẫn. Nó cũng là

một đảm bảo để lời giải đối với bài toán phân hóa tương tác thành các bậc khác nhau

sẽ không bị ảnh hưởng bởi các bổ chính bức xạ. Điều này cũng có nghĩa là, các siêu

hạt đồng hành1có thể tồn tại ở trong vùng năng lượng cỡ TeV và do đó không ít cơ hội

để chúng ta tìm thấy chúng trong các điều kiện kỹ thuật hiện nay.

Các kết quả nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành sẽ cho phép ta xây

dựng thử nghiệm những mô hình bán hiện tượng luận cho các quá trình sinh hủy và tán

xạ phi đàn tính sâu của các hạt cơ bản. Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu bán

hiện tượng luận về stop và sbottom (siêu hạt đồng hành của quark đỉnh, top quark, và

quark đáy, bottom quark) trong khuôn khổ của sự mở rộng tối thiểu mô hình tiêu

chuẩn, mà ta sẽ gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu. Để tránh dài dòng, ta

sẽ ký hiệu Mô hình tiêu chuẩn (Standard Model) bằng SM và Mô hình tiêu chuẩn siêu

đối xứng tối thiểu (Minimal Supersymmetric Standard Model) là MSSM.

Các nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành cho ta hai kết quả rất quan

trọng sau đây:

Một là: trong một quá trình phân rã hoặc sinh hủy, siêu hạt bao giờ cũng có đôi.

Hai là: siêu hạt nhẹ nhất, Lightest Supersymmetric Particle, mà sau đây ta sẽ ký

hiệu là LSP, sẽ là hạt bền.

Nghiên cứu trong những năm gần đây thuộc lĩnh vực hạt cơ bản đã chứng tỏ

rằng, thế hệ thứ ba của sfermion, stop sbottom, stau và tauonic sneutrino, tỏ ra có vai

trò đặc biệt. Điều này do hai nguyên nhân chính sau đây:

Thứ nhất, vì hệ số Yukawa của chúng rất lớn làm cho chúng khác biệt so với

đồng bạn ở các thế hệ khác

Thứ hai, sfermion của thế hệ thứ ba nói chung lại nhẹ hơn sfermion của hai thế

hệ đầu [2]. Vì lẽ đó, có thể là một trong số những hạt của thế hệ này sẽ là siêu hạt tích 1Tiếng Anh là superpartner. Khi có siêu đối xứng mỗi hạt thông thường như quark, lepton và các hạt chuẩn đều có những hạt có spin nhỏ hơn ½ đồng hành với chúng. Các hạt này được gọi là siêu hạt đồng hành với các hạt thông thường. Để ngắn gọn, siêu hạt đồng hành sẽ được gọi là siêu đồng hành.



điện nhẹ nhất, và sự lộ diện của nó, ví dụ trong các thí nghiệm đang được tiến hành

trên máy gia tốc LHC hiện này và sau này, sẽ là bằng chứng thực nghiệm đầu tiên của

siêu đối xứng.

Vì những lý do đã trình bày ở trên, việc nghiên cứu lý thuyết các quá trình liên

quan đến siêu đồng hành thuộc thế hệ thứ ba như phân rã, tán xạ, … sẽ là một việc làm

mang tính chất thời sự.

Mục tiêu được đặt ra cho Luận văn này là nghiên cứu quá trình hủy cặp e e

trong đó có sự hình thành của siêu đỉnh stop và siêu đáy, sbottom. Chúng ta lựa chọn

quá trình trong máy gia tốc lepton (LEP và LEP2) bởi vì dữ liệu thực nghiệm về quá

trình này rất phong phú và thường xuyên được phân tích kỹ lưỡng. Vì vậy, mỗi thông

tin lý thuyết sẽ được kiểm chứng nhanh nhất.

Điều khác biệt so với những nghiên cứu tương tự là một số tham số được coi là

phức. Vấn đề này cũng đã được tiến hành đối với một số sản phẩm của phản ứng trong

[7,8,9]. Thông thường tham số phức sẽ dẫn đến vi phạm đối xứng CP. Người ta cho

rằng, SM đã chứa đựng hầu như tất cả các nguồn dẫn đến vi phạm CP và do đó không

cần có thêm những nguồn vi phạm CP khác của MSSM. Vì vậy, những tham số không

nằm trong tương tác Yukawa dẫn đến vi phạm CP đều được giả định là thực. Tuy

nhiên, đây chỉ là giả thiết. Ta sẽ bàn kỹ vấn đề này trong phần cuối của chương 1 và

trong chương 3.

Luận văn này có cấu trúc như sau:

Chương I sẽ được dùng để nhập môn lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng

(SGFT). Đây là vấn đề khó khăn nhất vì tài liệu về SUSY xuất hiện nhiều hơn bất cứ

về lĩnh vực nào của vật lý lý thuyết, cho nên, đọc và lĩnh hội chúng là một việc rất

nặng nhọc. Chúng tôi chỉ muốn tóm lược những điểm chính yếu và nhất là chỉ nêu lên

những gì chúng tôi cần đến ở những phần sau của luận án. Phần cuối của chương,

chúng tôi cũng sẽ điểm qua nội dung vật chất của mô hình MSSM và diễn giải vai trò

quan trọng của stop và sbottom trong mô hình đó. Bàn đến số tham số độc lập khả dĩ

của MSSM.

Chương II sẽ được dùng để cụ thể hóa MSSM, trong đó, trường thành phần sẽ

không còn là trường nguyên thủy mà là trường vật lý. Như vậy, ta sẽ phải bàn đến vi

phạm đối xứng (cả vi phạm mềm lẫn vi phạm tự phát) và thông qua cơ chế Higgs ta sẽ

có phổ khối lượng các hạt vật lý. Ta cũng sẽ bàn đến quá trình sinh ra stop và sbottom



trong các máy va chạm lepton. Chúng tôi sẽ tìm biểu thức giải tích cho thiết diện sinh

các siêu hạt đồng hành này trong quá trình hủy cụ thể e e . Các ước lượng số có thể

phần nào kiểm chứng được tính khả tín của kết quả thu được khi sử dụng kết quả thực

nghiệm từ LEP, LEP2, e e - Linear Collider hoặc Muon Collider [3].

Chương III sẽ được dành cho quá trình phân rã stop và sbottom khi tính đến bổ

chính SUSY–QCD 1–vòng với tham số trong siêu thế Higgs là phức.

Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận.



CHƯƠNG I

MSSM TRONG NGÔN NGỮ TRƯỜNG THÀNH PHẦN

1.1. SM

Mô hình tiêu chuẩn (SM) được coi là sự tổng quát hóa mô hình Glashow -

Weinbenrg - Salam, vốn được xây dựng để mô tả tương tác điện từ - yếu và từ việc

hoàn chỉnh mô hình Georgi - Glashow vốn được xây dựng để mô tả tương tác mạnh -

yếu điện từ. Mô hình tiêu chuẩn đang được coi là lý thuyết chính thống cho tương tác

các hạt cơ bản ở thời điểm hiện tại [4].

Mô hình tiêu chuẩn là một lý thuyết bất biến chuẩn với nhóm chuẩn G là tích

trực tiếp của ba nhóm đơn SU(3)C, SU(2)L và U(1) vốn được dùng để mô tả tương tác

mạnh, yếu, điện từ một cách riêng rẽ:

3 2 1C L YG SU SU U 1.1

Nội dung hạt nguyên thủy của SM được tóm tắt như sau:

-Tất cả hạt chất trong SM được chia thành ba thế hệ, với các đặc trưng giống

nhau, chỉ khác nhau về khối lượng. Thành phần thuận phải, tay đăm (right-handed), và

thành phần thuận trái, tay chiêu (left-handed), của chất được coi là các hạt khác nhau

vì chúng tương tác yếu khác nhau. Vì tính đăm, chiêu là bất biến tương đối tính khi và

chỉ khi khối lượng của hạt chất bằng không, cho nên, ta giả thiết điều này cho khối

lượng “trần” và coi khối lượng “vật lý” khác không là do cơ chế Higgs với số hạng vi

phạm tự phát dạng Yukawa.

a) Để mô tả thế hệ thứ nhất của tương tác yếu, ta cần năm trường lượng tử như

sau:

, , , , eR R R

LL

ul e q u d

de

1.2a

trong đó, các nhãn dưới L và R được dùng để chi thành phần thuận trái, thuận phải

của spinơ:



5 51 1, 2 2L R

1.2b

Thực nghiệm chứng tỏ rằng, không tồn tại neutrino tay đăm và phản neutrino

tay chiêu. Phần tay chiêu của neutrino và electron tạo thành lưỡng tuyến của nhóm

tương tác yếu 2 LSU , còn phần tay đăm Re , là đơn tuyến của nhóm đó.

Cả phần tay đăm và tay chiêu của quark , u d đều tồn tại, phần tay chiêu của

chúng tạo nên lưỡng tuyến q còn phần tay đăm, ,R Ru d sẽ là các đơn tuyến của nhóm

tương tác yếu.

Cho hai thế hệ sau, ta chỉ cần thay e , u c t và d s b .

Các hạt nói trên, còn tham gia tương tác điện với nhóm chuẩn là 1 YU . Siêu

tích yếu Y của chúng cũng thỏa mãn hệ thức Gell-Man – Nishijima như với đối xứng

isospin của tương tác hạt nhân:

3 12

Q I Y 1.3a

trong đó, 3I là hình chiếu isospin yếu (không nhầm với isospin hạt nhân do

Heisenberg đề xuất). Như vậy, l là một lưỡng tuyến, isospin yếu của nó bằng 1 / 2 ,

hình chiếu isospin yếu của neutrino lên trục thứ ba là 1 / 2 , điện tích của nó bằng

không, vậy siêu tích của nó 1Y , và để đảm bảo bất biến 1 YU , electron tay chiêu

cũng có siêu tích yếu bằng 1 . Cho lưỡng tuyến quark tay chiêu ,L Lq u d , ta có:

3

3

2 1 1 1 13 2 2 2 3

1 1 1 1 13 2 2 2 3

L

L

u

d

Q I Y Y Y

Q I Y Y T

1.3b

Với các đơn tuyến isospin yếu của electron và quark tay đăm, , , R R Re u d , siêu tích sẽ

bằng hai lần điện tích tương ứng của chúng: 2ReY , 4 / 3

RuY , 2 / 3RdY .

Do không tham gia tương tác mạnh, các lepton là các đơn tuyến màu, trong khi

đó, các quark đều là tam tuyến màu của 3SU . Như vậy, Ru chẳng hạn sẽ có ba

thành phần màu: đỏ (Red), xanh (blue) và vàng (yellow). Các chỉ số màu và chỉ số

Lorentz (chỉ số spinơ) đều được bỏ qua để các công thức đỡ phức tạp.



b) Hạt trường sẽ là lượng tử của trường chuẩn. Trường chuẩn sẽ bao gồm: một

trường B , tương ứng với nhóm 1 YU , ba trường Yang-Mills , 1,2,3iW i , tương

ứng với nhóm 2 LSU và tám trường gluon , 1,2,...,8aG a , tương ứng với

nhóm 3SU .

Tương tác mạnh giữa các hạt quark sẽ được thực hiện thông qua trường gluon aG có mặt trong đạo hàm hiệp biến:

, 1,2,...,82

aaSD quark ig G quark a

1.4

cho dù quark là tay chiêu hoặc tay đăm, còn Sg là màu tích. Ma trận / 2a là vi tử

sinh của nhóm 3SU với a là các ma trận Gell-Mann:

1 2 3 4

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 11 0 0 , 0 0 , 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

ii

5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 010 0 0 , 0 0 1 , 0 0 , 0 1 030 0 0 1 0 0 0 0 0 2

ii

i i

1.5

Tương tác yếu và điện từ giữa các hạt sẽ được thực hiện thông qua trường

Yang-Mills , 1,2,3iW i và trường B có mặt trong đạo hàm hiệp biến của chúng.

Khác với tương tác mạnh, các hạt có các “tích” điện yếu khác nhau, cho nên, đạo hàm

hiệp biến của chúng cũng khác nhau. Ví dụ, với trường lepton tay chiêu, do vi tử sinh

của 2 1SU U là / 2 và / 2 1 / 2Y , với là ma trận Pauli, ta có:

2 2i iD l g W g B l

1.6a

Cho trường lepton tay đăm, do là đơn tuyến 2 LSU và có 2Y , cho nên:

R RD e ig B e 1.6b

Còn cho trường quark, ta sẽ có tương tự:



2, , 2 6 313

R R

R R

i iD q g W g B q D u ig B u

D d ig B d

1.6c

Tương tác chuẩn được diễn tả thông qua tensơ cường độ trường. Đối với tương

tác mạnh:

,2

aa a b c

s abcF D D G G g f G G 1.7

trong đó, abcf là hằng số cấu trúc của nhóm 3SU . Lagrangian tương tác mạnh của

hệ quark sẽ có dạng:

3

12SUL qi D

14

a aq F F 1.8

trong đó D D .

Tensơ cường độ trường yếu - điện từ ta cũng định nghĩa tương tự bằng hai

tensơ:

,B B B B B 1.9

, 1,2,32 2

i i i ijk j ki iF F W W g W W i

Như vậy, Lagrangian cho tương tác điện từ - yếu của tất cả các hạt trong SM sẽ có

dạng:

12FL qi D q li D Rl u i D R Ru d i D R Rd e i D

1 14 4

i iRe B B F F

1.10

Chú ý rằng, trong các công thức (1.8) và (1.10) ta đã bỏ qua chỉ số thế hệ, chỉ số màu

và chỉ số Lorentz.

c) Như đã nói ở trên, trong Lagrangean (1.8) và (1.10) không có số hạng khối

lượng các hạt bởi vì sự có mặt của chúng sẽ làm vi phạm đối xứng thuận tay (chiral).

Khối lượng của hạt sẽ được sinh ra nhờ cơ chế Higgs và để thực tế hóa điều này ta giả

sử trong SM còn có một đa tuyến 2 LSU của một trường “vô hướng phức”, không

màu, gọi là trường Higgs:



0

hH

h

1.11

trong đó, nhãn “+” và “0” là chỉ điện tích của nó (đừng lầm lẫn với dấu liên hợp

Hermite “† ” mà đôi khi để tiện chế bản, ta cũng dùng dấu ). Do là phức, một lưỡng

tuyến Higgs sẽ có bốn bậc tự do thực. Với cách lựa chọn điện tích như trên và do

trường Higgs có isospin yếu bằng 1/2, siêu tích yếu của nó sẽ là 1Y . Tương tác giữa

trường Higgs và trường chuẩn, như thường lệ, sẽ được diễn tả thông qua đạo hàm hiệp

biến:

'W2 2i igD H g B H

1.12

Khi đó, với Lagrangian cho trường Higgs sẽ có dạng:

†1 ( )2HL D H D H V H

1.13

Phần đầu chính là “động năng” của trường Higgs (trong đó có cả phần tương tác của

nó với trường gauge), phần sau là thế Higgs. Thế năng V H được chọn dưới dạng:

2 21 1( ) ( )2 24

V H H H H H 1.14

trong đó, các hệ số 2 và thỏa mãn điều kiện 2 0 và 0 để trường Higgs có

chân không suy biến và bền vững.

Nếu lựa chọn giá trị trung bình chân không của trường Higgs là:

21 0 , / 62

H 1.15

thì thông qua tương tác với trường chuẩn Yang-Mills, ba bậc tự do của nó sẽ bị trường

này “nuốt” để tạo nên ba bậc tự do thứ ba của trường chuẩn và nhờ đó trường chuẩn sẽ

trở nên có khối lượng:

2 2 WW

W

, '2 2 cosZ

g MM M g g

1.16

trong đó, 1 2W W Wi , Z là sự pha trộn giữa 3W và B với W là góc pha trộn,

gọi là góc Weinberg.



Bậc tự do còn lại của trường Higgs sẽ diễn tả hạt vô hướng thực có khối lượng: 22 2HM 1.17

Đó chính là hạt Higgs mà chúng ta cần tìm kiếm.

Do 2

2W82

FG gM

với FG 1,16639x10-5GeV-2 là hằng số Fermi, được xác định

bằng thời gian sống của muon, suy ra tham số sẽ có giá trị cỡ:

1/2W2 2 246 F

M G GeVg

1.18

Tương tự, có thể thấy W/ sing e , trong đó e là điện tích pozitron. Do đó ta có:

1/2

W WW

/ 2os

sinF

Z

GM M c

1.19

Với hằng số cấu trúc tinh tế 1/137 và sin2W0,23, suy ra, khối lượng của boson

Yang-Mills truyền tương tác yếu MW78GeV và MZ89GeV. Các hạt này sau đó đã

được phát hiện với khối lượng sai khác không đáng kể so với kết quả lý thuyết: 2 280,398 0,023 GeV / , 91,1876 0,0021 GeV /W zM c M c .

Khối lượng của hạt Higgs được cho bởi (1.17) trong đó được cho bằng

(1.18). Tuy nhiên, do HM còn phụ thuộc vào , cho nên, hiện chưa có đủ cơ sở để xác

định giá trị của nó. Thực nghiệm hiện nay mới chỉ tìm được giá trị giới hạn dưới

60 HM GeV , bởi vì nếu không, quá trình phân rã Z thành phản hạt của nó và hạt

Higgs Z ZH đã có thể nhìn thấy. Với việc vận hành của máy gia tốc LHC, hy vọng

sẽ tìm được hạt Higgs.

Để sinh khối cho các trường chất, lepton và quark, ta phải đưa vào các số hạng

tương tác dạng Yukawa giữa trường Higgs và trường vật chất. Những số hạng này nói

chung là tổ hợp tuyến tính giữa trường chất và trường Higgs sao cho chúng là vô

hướng Lorentz, vô hướng 2 LSU và siêu tích yếu bằng không. Các số hạng đó có

dạng:

, , R R RqHd lHe qHu 1.16



và các liên hợp Hermitian của chúng. Dẫu gạch ngang trên ký hiệu spinơ, ví dụ q , là

chỉ liên hợp Dirac của chúng. Ta thấy số hạng thứ ba không thỏa mãn điều kiện siêu

tích bằng không, vì tổng siêu tích các thừa số của nó bằng 1. Tuy nhiên, nếu không có

số hạng này, cơ chế Higgs không thể sinh khối cho quark u và không thể khử được dị

thường dòng trục. Vì vậy, thay cho việc phải đưa thêm vào một lưỡng tuyến Higgs

mới, ta xét:

* 0*

*02

0 11 0

h hH i H h h

1.17

Lưỡng tuyến H có siêu tích bằng 1 và có thể dùng để thay cho H . Như vậy:

.u d eYukawa R R RL y qHu y qHd y lHe h c 1.18

trong đó, , , u d ey y y là các hệ số Yukawa và chúng được xác định bằng thực nghiệm.

Số lượng của hệ số Yukawa không phải là 3, mà tối đa có thể là 81, bởi vì nó còn có

chỉ số thế hệ, chỉ số màu và các hệ số này không nhất thiết phải bằng nhau.

Tóm lại, Lagrangian của SM có dạng sau đây:

L qi D 12

q qi D q li D Rl u i D R Ru d i D R Rd e i D

2 21 1 1 ( ) ( )2 2 241 1 1 4 4 4

.

R

m

i i a a

u d eR R R

e

D H D H H H H H

B B F F F Fy qHu y qHd y lHe h c

1.19

Mô hình tiêu chuẩn với Lagrangian (1.19) là lý thuyết tái chuẩn hóa được và

giải thích được hầu hết các kết quả thực nghiệm đã có đến nay, dự đoán được nhiều sự

kiện mà sau đó đã được kiểm chứng. Điển hình là tiên đoán được sự tồn tại dòng trung

hòa và quark duyên.

Tương tác Yukawa, rất cần để tạo khối lượng cho các fermion, thế nhưng,

chúng không được suy ra từ một loại đối xứng nào đó, kiểu như đối xứng chuẩn. Nếu

có, nhóm đối xứng sẽ cố định được dạng của Lagrangian tương tác và hệ số Yukawa

độc lập sẽ giảm đi rất nhiều. Lagrangian Yukawa phải được chéo hóa bằng các ma trận

unitary khác nhau cho trường tay đăm và tay chiêu một cách riêng rẽ. Từ các ma trận

này ta thu được ma trận pha trộn kiểu CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa). Khi sử

dụng ma trận để xây dựng dòng trung hòa, ta thấy không có sự pha trộn nào giữa



lepton và quark. Sự tự khử những số hạng làm thay đổi hương trong dòng trung hòa đã

được Glashow, Iliopoulos và Maiani giải thích là nhờ một cơ chế, sau này được gọi là

GIM. Cơ chế GIM đòi hỏi tồn tại một hương quark mới, đó là quark duyên mà sau đó

nó đã được tìm thấy.

Đó chính là toàn bộ nội dung hạt và trường của SM cổ điển. Nếu lượng tử hóa

SM, ta sẽ được tất cả các hạt chất và trường.

Tuy có rất nhiều ưu điểm, nhưng Mô hình tiêu chuẩn cũng có rất nhiều nhược

điểm cần phải khắc phục.

Thứ nhất, mô hình có quá nhiều tham số tùy ý, cần được xác định bằng thực

nghiệm. Do đó SM chỉ là mô hình, khó có thể trở thành lý thuyết của thế giới vật chất.

Thứ hai, mô hình không giải thích được tại sao nhóm chuẩn là tích trực tiếp của

3 2 1C L Y

SU SU U nhưng chỉ có tương tác yếu là vi phạm chẵn lẻ. Nó không

giải thích được sự lượng tử hóa điện tích.

Thứ ba, nó không giải thích được tại sao dù có ba thế hệ chất nhưng trong thế

giới quen thuộc lại chỉ thế hệ thứ nhất có mặt. Nó không cho phép xác định khối lượng

quark và lepton (mà phải dùng giá trị thực nghiệm của các đại lượng khác để xác định

chúng và qua chúng để xác định hệ số tương tác Yukawa).

Thứ tư, nó chưa có cơ chế để xác định khối lượng hạt Higgs. Sự tồn tại của

trường Higgs kéo theo rất nhiều sơ đồ có bổ chính phân kỳ khối lượng của Higgs, ví

dụ bổ chính QCD một vòng. Nếu tính đến các bổ chính này, điều kiện 2 0 có thể sẽ

bị vi phạm.

Thứ năm, nó không giải thích được vấn đề vi phạm CP của tương tác mạnh.

Cuối cùng, nó không giải quyết được bài toán phân hóa tương tác thành các cấp

khác nhau (hierarchy problem). Nghĩa là nó không giải thích được tại sao tương tác

thống nhất, thống trị thế giới vật chất ở thời điểm ban đầu sau Big Bang, lại bị phân

hóa thành bốn loại tương tác có các cấp khác nhau ở mức năng lượng hiện nay (cỡ

GeV ).

Để giải quyết các vấn đề trên đã có rất nhiều phương pháp khác nhau được đưa

ra nhằm mở rộng mô hình tiêu chuẩn.



1.2. Siêu đối xứng, SUSY

Một trong những ý tưởng tự nhiên giúp giải quyết những khó khăn kể trên của

mô hình tiêu chuẩn là mở rộng nhóm đối xứng chuẩn, thu được từ việc định xứ (local)

hóa nhóm đối xứng trong. Việc thay đổi nhóm chuẩn (1.1) của SM bằng những nhóm

đơn khả dĩ như 5 , 10 ,...SU SO là một xu hướng nổi bật vào những năm 70 của thế

kỷ trước. Chúng được gọi là lý thuyết thống nhất lớn, Grand Unified Theory (GUT).

Một xu hướng khác là tìm cách mở rộng nhóm đối xứng ngoài, tức là đối xứng

không thời gian, sao cho liên kết của nó với đối xứng trong là không tầm thường, tức

là không đơn giản là tích trực tiếp giữa hai loại đối xứng đó.

Đối xứng ngoài là những phép biến đổi không thời gian, không làm thay đổi các

phương trình động lực của hệ vật lý. Trong vật lý cổ điển, đó là nhóm quay một góc

bất kỳ quanh một trục đi qua gốc tọa độ. Trong vật lý tương đối tính, đó là nhóm

Lorentz của không gian Minkowski, đó là nhóm Poincaré khi ngoài nhóm Lorentz có

thêm vào phép tịnh tiến và đối với hệ hạt không khối lượng, đó là nhóm bảo giác, khi

ngoài nhóm Poincaré có tính thêm phép co giãn (dilatation) và phép nghịch đảo

(inversion) không gian.

Đối xứng trong là những phép biến đổi tác động trực tiếp lên hàm trường (trong

cơ học lượng tử là hàm sóng) không làm thay đổi quy luật của hệ vật lý. Ví dụ nhóm

phép biến đổi pha toàn xứ Abelian 1U , liên quan đến bảo toàn điện tích, siêu tích,

siêu tích yếu, nhóm toàn xứ non-Abelian 2SU , liên quan đến bảo toàn isospin,

isospin yếu hay phép biến đổi toàn xứ non-Abel 3SU liên quan đến bảo toàn màu

tích. Các nhóm trong đóng vai trò quan trọng trong vật lý đều là nhóm tựa đơn vị

(unitary).

Nếu khả năng liên kết giữa đối xứng trong và ngoài tồn tại, phép biến đổi trong

sẽ cảm sinh một phép biến đổi ngoài, và nhóm đối xứng ngoài sẽ được mở rộng hơn,

ngoài những nhóm đã được liệt kê. Đối xứng này là dấu hiệu tồn tại của một số hạt cơ

bản mới, gọi là hạt siêu đồng hành, giống như bất biến chuẩn là dấu hiệu tồn tại của

boson chuẩn. Sự có mặt của của những hạt mới sẽ cho ta các hệ quả vật lý mới.

Tuy nhiên, hướng này ban đầu đã gặp phải một trở ngại lớn, đó là định lý no-go

của Coleman và Mandula. Theo định lý này, đối xứng trong và đối xứng ngoài chỉ có



thể là tích trực tiếp với nhau, vì nếu không, sự hạn chế do việc kết hợp không tầm

thường của chúng gây ra sẽ làm nhiều đại lượng vật lý có phổ cố định, trong khi thực

tế, chúng lại có phổ với giá trị tùy ý.

Sau đó đã phát hiện ra rằng, trong khi chứng minh định lý no-go, ta chỉ xét đến

những nhóm đối xứng ngoài mà vi tử sinh là các đại lượng “boson” (vô hướng, vectơ,

tensơ). Ví dụ, với nhóm Poincaré, vi tử sinh sẽ là xung lượng (vectơ) và mômen góc

Tensơ). Với nhóm trong 2SU của isospin yếu, vi tử sinh là / 2 , giao hoán tử của

chúng với vi tử sinh của nhóm Poincaré sẽ luôn bằng không. Điều đó nghĩa là vi tử

sinh của đối xứng trong luôn là vô hướng Lorentz.

Tuy nhiên, nếu bên cạnh các vi tử sinh boson, mà ta sẽ gọi là “chẵn”, còn có vi

tử sinh fermion (spinơ), mà sau đây ta sẽ gọi là “lẻ”, thì những hạn chế do định lý no-

go gây ra sẽ không còn nữa [5]. Vi tử sinh lẻ sẽ thỏa mãn điều kiện phản giao hoán,

trong khi cho các vi tử sinh chẵn là giao hoán. Nhóm đối xứng có chứa cả vi tử sinh

chẵn, lẻ với phép toán giữa các vi tử sinh gồm cả giao hoán tử lẫn phản giao hoán tử,

được gọi là siêu nhóm. Đại số với cả hai loại phép toán nói trên, gọi là đại số Lie phân

cấp, hay siêu đại số Lie. Vì lý do đó, đối xứng cho bởi siêu nhóm và siêu đại số, sẽ

được gọi là siêu đối xứng, supersymmetry, mà sau đây ta sẽ ký hiệu là SUSY [6]. Như

vậy, SUSY không phải là thứ đối xứng siêu thực, không tự nhiên, nó chỉ là loại đối

xứng có sự kết hợp không tầm thường giữa đối xứng ngoài và đối xứng trong. Nó là

một phép đối xứng ngoài.

Nếu ký hiệu vi tử sinh lẻ là Q (không nhầm với toán tử điện tích định nghĩa

trong (1.3)), do là spinơ, nó sẽ thỏa mãn điều kiện:

, Q boson fermion Q fermion boson 1.20

Vì lẽ đó, SUSY còn được gọi là đối xứng giữa boson và fermion. Ta sẽ thấy, trường

boson có thứ nguyên là 1 và trường fermion có thứ nguyên 3 / 2 , cho nên, sẽ là hợp lý

khi thứ nguyên của Q là 1 / 2 .

Siêu đối xứng dẫn đến rất nhiều hệ quả [7].

Một là, trong một “siêu đa tuyến” sẽ có cả trường boson lẫn trường fermion và

số lượng của chúng (số bậc tự do) phải bằng nhau. Ví dụ, trước ta có đa tuyến gồm

một lepton, bây giờ ta phải thay nó bằng một siêu đa tuyến có cả lepton lẫn hạt có spin

không, gọi là lepton vô hướng, scalar lepton, hay ngắn gọn, là slepton. Nếu đa tuyến



lepton được mô tả bằng một spinơ Dirac phức, tức là có 8 bậc tự do fermion, thì trong

siêu đa tuyến lepton phải tồn tại 8 slepton vô hướng thực hoặc 4 slepton vô hướng

phức. Slepton được gọi là hạt siêu đồng hành của lepton. Tương tự, quark sẽ có siêu

đồng hành là quark vô hướng hay squark. Các hạt truyền tương tác, hạt gauge, sẽ có

siêu đồng hành là gaugino: photon có photino, gluon có gluino, W có wino, Z có

zino. Nói ngắn gọn, siêu đồng hành của hạt chất thì thêm tiền tố “s”, siêu đồng hành

của hạt trường thì thay hậu tố “on” (nếu có) bằng “ino”.

Hai là, không có hạt đã biết nào là siêu đồng hành của một hạt đã biết khác.

Như vậy, đến nay chúng ta chưa biết đến bất kỳ một hạt siêu đồng hành nào. Số lượng

hạt cơ bản trong SM sẽ được nhân đôi trong một lý thuyết SUSY tương ứng.

Có nhiều cách thức xây dựng lý thuyết trong đó có SUSY. Trong luận văn này,

ta chỉ xét đến một cấu trúc đơn giản nhất, gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối

thiểu, Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM. Trong mô hình này, ta chỉ có

một vi tử sinh lẻ, đó là spinơ Majorana Q , hay spinơ hai thành phần Q và liên hợp

Hermite Q của nó. Nó thường được gọi là 1N siêu đối xứng, ký hiệu là

1N SUSY [1, 2, 3], mà ta sẽ gọi đơn giản là siêu đối xứng.

Để thuận tiện cho việc diễn tả phép biến đổi siêu đối xứng, ta dùng khái niệm

siêu không gian và siêu trường [8]-[9]. Spinơ, nếu không nói ngược lại, sẽ được hiểu là

spinơ Weyl hai thành phần. Khi đó, Q không phải là liên hợp Dirac của Q mà là đối

ngẫu của *Q . Khi sử dụng spinơ Dirac bốn thành phần, Q là spinơ Majorana. Điều

kiện này nhằm giảm đi một nửa số bậc tự do quark, và do đó cũng hạn chế số hạt siêu

đồng hành cần thiết phải đưa thêm vào trong lý thuyết.

Siêu không gian được hiểu là một đa tạp, trong đó, ngoài tọa độ “boson” x

giao hoán nhau, ta còn có tọa độ “fermion” , thỏa mãn điều kiện phản giao hoán:

, , , 0 1.21

Các tọa độ fermion này còn được gọi là các biến Grassmann (biến lũy linh). Do vi tử

sinh là spinơ, tham số biến đổi tương ứng cũng là spinơ. Tọa độ và tham số biến đổi

có thứ nguyên là 1 / 2 bởi vì:

Q Q 1.22



là toán tử không có thứ nguyên. Q và Q được coi là vi tử sinh của phép tịnh tiến tọa

độ lẻ. Tuy nhiên, phép tịnh tiến này cũng cảm sinh một phép tịnh tiến tọa độ boson.

Nếu ký hiệu 1, , 1,

, ta có:

, , x x a x 1.23

Trong luận văn này, ta xét nhóm đối xứng ngoài là nhóm Poincaré (khi xét đến

lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, ta phải xét đến nhóm bảo giác). Vi tử sinh của

nó được biểu diễn trong không gian siêu trường bằng xung lượng và mômen góc

, P J . Khi đó, giao hoán tử giữa các vi tử sinh chẵn với chẵn và chẵn với lẻ sẽ được

cho bằng giao hoán tử:

1 1, 0, , , 0, , , ,2 2

, , ,

1 1, 4 4

P P P Q P Q J Q Q J Q Q

J J i g J g J g J g J J P i g P g P

1.2

4

. Còn hệ thức giữa các vi tử sinh lẻ sẽ được cho bằng phản giao hoán tử:

, , 0, , 2Q Q Q Q Q Q P

1.25

(chữ cái giữa bảng, , , ,... là chỉ số Lorentz không - thời gian, lấy giá trị từ 0 đến 3,

các chữ cái đầu bảng, không chấm , ,... , hoặc có chấm , , là chỉ số spinơ, chúng

lấy hai giá trị 1,2). Chỉ số không chấm cho spinơ Weyl loại I, có chấm cho spinơ loại

II. Các hệ thức (1.24) là tính chất của nhóm Poincaré. (1.25) là hệ quả của đồng nhất

thức Jacobi cho ba vi tử chẵn lẻ lẻ. Chúng cũng có thể đoán nhận được, vì phản giao

hoán tử của hai vi tử sinh lẻ phải là một vectơ và đó cũng là cách lựa chọn duy nhất.

Phép biến đổi siêu đối xứng vi phân sẽ được viết là:

1U i Q Q P 1.26a

Còn phép biến đổi siêu đối xứng hữu hạn sẽ được viết dưới dạng:

expU i Q Q P 1.26b

Với siêu không gian, đại số siêu đối xứng (1.25) sẽ được biểu diễn bởi:



, Q i Q i

(chú ý i P ).

Siêu trường là hàm phức xác định trong siêu không gian. Hàm này có thể là vô

hướng, spinơ,… và có thứ nguyên tùy vào mục tiêu mà siêu trường đó được sử dụng.

Một siêu trường vô hướng , ,x , khai triển Taylor của nó theo tọa độ fermion chỉ

có thể có hữu hạn số hạng:

, ,

x x x x M x N x

A x x D x

1.27

trong đó 1 2 2 1 . Mỗi số hạng là một hàm trường thông thường chỉ phụ

thuộc vào không thời gian. Như vậy, một siêu trường sẽ là tập hợp của nhiều trường

thông thường. Tập hợp này còn gọi là một siêu đa tuyến. Siêu trường vô hướng

trong (1.27) diễn tả một siêu đa tuyến bao gồm 4 trường vô hướng , , ,F M N D , một

trường vectơ A và bốn trường spinơ , , , . Nói chung, một siêu đa tuyến thường

chứa nhiều trường thành phần. Số lượng đó đôi khi nhiều hơn mức cần thiết đối với

một mục tiêu cụ thể.

Đạo hàm theo biến fermion không hiệp biến với phép biến đổi siêu đối xứng.

Điều này có thể thấy rõ, vì vi tử sinh , Q Q có chứa tọa độ fermion. Ta sẽ thay chúng

bằng đạo hàm hiệp biến. Xét phép biến đổi vi phân tác động lên một siêu trường vô

hướng:

, ,

1

x

i

1.28a

Từ đó suy ra, đạo hàm hiệp biến có dạng:

, D i D i

1.28b

Có thể kiểm tra trực tiến rằng, đạo hàm hiệp biến phản giao hoán với các vi tử sinh

fermion. Nhờ các đạo hàm này, ta có thể hạn chế số thành phần của siêu trường bằng

những yêu cầu nào đó, xác định bằng đạo hàm hiệp biến. Khi đó, điều kiện mà ta áp

đặt sẽ bất biến đối với phép biến đổi siêu đối xứng.



a) Siêu trường thuận tay (chiral superfield)

Do spinơ Dirac là một cặp spinơ Weyl tay chiêu và tay đăm, cho nên, nếu siêu

trường chỉ “phụ thuộc” vào một trong hai biến và , nó sẽ được gọi là siêu trường

thuận tay (chiral). Theo định nghĩa, siêu trường không “phụ thuộc” vào một biến

Grassmann nào đó, nếu đạo hàm hiệp biến theo biến tương ứng là bằng không. Như

vậy, ta có điều kiện:

0D cho siêu trường tay chiêu và

0D cho siêu trường tay đăm 1.29

Do định nghĩa bằng đạo hàm hiệp biến, tính thuận tay sẽ bất biến đối với phép biến đổi

siêu đối xứng. Nhận xét rằng, 0D x i D y , cho nên, siêu trường thuận

tay chỉ phụ thuộc vào x dưới dạng tổ hợp y x i . Từ (1.27) suy ra, một siêu

trường thuận tay có dạng khai triển Taylor như sau:

, 2

22

x y y Fix i x x x F x

1.30a

* *

* * *

, 2

22

x y y F y

ix i x x x F x

1.30b

Như vậy, đa tuyến của một siêu trường thuận tay chỉ chứa một trường spinơ , trường

vô hướng và một trường vô hướng phụ trợ F (có 4 bậc tự do fermion và bốn bậc tự

do boson).

b) Siêu trường vectơ

Một siêu trường vô hướng được gọi là vectơ, nếu nó thỏa mãn điều kiện

Hermitian, nghĩa là:

V V 1.31

Nó được gọi là vectơ bởi vì trong khai triển Taylor của nó



, ,2 2

12 2 2

i iV x C x i x i x M x iN x M x iN x V

i ii x x i x x D x C x

1.3

2

có chứa trường vectơ V .

Từ một siêu trường thuận tay ta có thể lập được một siêu trường vectơ:

*2 Re 2 2 Im

1 Re22 2

G G

i i

1.33a

Trong đó, Re , Im là phần thực và phần ảo của . Nhận xét rằng, phép biến đổi:

V V V 1.34a

dẫn đến phép biến đổi gradient cho trường vectơ A :

2 ImV V V 1.34b

cho nên, (1.34a) được coi là phép biến đổi chuẩn siêu đối xứng. Nếu chọn sao cho:

2Re , / 2, / 2C i G i M iN 1.35

Thì siêu trường vectơ sẽ có dạng:

12

V V i x i x D x 1.36

Chuẩn (1.35) được gọi là Wess-Zumino và siêu trường vectơ trong chuẩn Wess-

Zumino sẽ chỉ chứa một trường vectơ thực V , một trường spinơ và một trường vô

hướng phụ trợ D . Nếu chọn siêu trường vectơ V làm siêu đa tuyến cho trường chuẩn,

tức là V có thứ nguyên bằng 1, thì V sẽ có thứ nguyên bằng 0. Tuy gọi là siêu trường

vectơ, V vẫn chỉ là một hàm vô hướng.

1.3. Các thành phần bất biến siêu đối xứng của tổ hợp siêu trường

Từ tính chất phản giao hoán của tọa độ lẻ suy ra, tích một số siêu trường thuận

tay cũng là siêu trường thuận tay. Ví dụ, đối với siêu trường tay chiêu:



1 2 1 2 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3

3 2 1 1 2 3 3 1 2

2 3 1 1 2 3 3 1 2 2 3 1

2

+

2

y y y y y y

y F y y F y y y

y y y y y y y y y

y y y y y F y y y F y

y y F y y y y y y y y y y

1.37a

Tuy nhiên, tích K , thường được gọi là dạng Kähler, lại không phải là siêu

trường thuận tay:

* * * * * *

* *

*

* * * *

2 2

2 22

22

1 1 14 4 2 2 2

F F i

i F

i F

i iF F

1.37b

Khi xây dựng tác dụng, ta phải tính tích phân của Lagrangian trong toàn siêu

không gian. Một siêu trường luôn là hàm đối với tọa độ chẵn. Đối với tọa độ lẻ, siêu

trường tay chiêu chỉ phụ thuộc vào , còn siêu trường tay đăm chỉ phụ thuộc vào

, . Vì thế, nếu Lagrangian chứa dạng Kähler K , độ đo tích phân sẽ là 4 2 2d xd d , còn nếu nó chứa tích của các siêu trường thuận tay, độ đo tích phân chỉ là 4 2d xd hoặc 4 2d xd . Mặt khác, tích phân theo tọa độ lẻ cũng được định nghĩa giống

như đạo hàm theo biến đó:

1 1 1 1 2 2 1 1 2 10, 1, 1, 12

d d d d d d 1.38

suy ra, Lagrangian khả dĩ cho một số siêu trường tay chiêu là:

* *

1 1 .2 2

1 .2

i i i i ik i k ikl i k l i i

i i i i ik i k i k ikl i k l i k l i i

L m g h c i

F F m F g F F h c

1.39



Như vậy, (1.39) rất thích hợp để coi là Lagrangian cho trường chất. Số hạng trong

ngoặc vuông thường được gọi là siêu thế. Nó thường được chọn tùy thuộc vào mục

tiêu sử dụng.

1.4 .Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, SGFT

Với nhóm chuẩn Abel, siêu trường vectơ V đóng vai trò của trường chuẩn.

Tuy nhiên, do nó có thứ nguyên bằng 0 cho nên D V sẽ có thứ nguyên 1/2, chứ không

phải bằng 2 như yêu cầu của tensơ cường độ trường chuẩn. Để có được tensơ cường

độ trường chuẩn hợp lý, ta lập W DDD V . Nó sẽ là siêu trường spinơ tay chiêu và

có thứ nguyên 3 / 2 và do đó, W W sẽ có thứ nguyên bằng 3. Hệ số của khai

triển W W sẽ có thứ nguyên bằng 4, vì cùng với thứ nguyên 1 của ta sẽ có thứ

nguyên 3 của W W . Đó chính là tích tensơ cường độ trường vectơ. Thực vậy, ta có:

14 214 2

,

iW DDD V i y D y F y

iW DDD V i y D y F y

y F V V

1.40

F chứa trong khai triển của W có dạng của tensơ cường độ trường chuẩn. Khi đó,

trường thành phần tương ứng với số hạng chứa tích của W W sẽ có thứ nguyên

4 và có dạng:

21 22 2

iW W F F i D F F 1.41

Số hạng thứ nhất có dạng động năng của trường chuẩn, số hạng thứ hai là dạng động

năng của siêu hạt đồng hành, số hạng thứ ba là bình phương hàm phụ trợ, nó sẽ bị loại

bỏ bằng phương trình chuyển động còn số hạng cuối cùng có biểu thức trùng với dị

thường dòng trục. Nó sẽ bị khử khi tính đến đóng góp của một lưỡng tuyến Higgs thứ

hai.

Đối với trường chuẩn non-Abelian, siêu trường chuẩn sẽ được cho bằng

exp 2gV , trong đó hàm mũ được hiểu là khai triển Taylor của nó và g là tích tương



tác và V là siêu trường vectơ nào đó. Ta nhận thấy rằng, do 3 0V , còn 2V trong

chuẩn Wess-Zumino sẽ là:

2 12

V V V 1.42a

Như vậy, siêu trường chuẩn dưới dạng hàm mũ cũng chỉ khác siêu trường V ở số hạng

chứa , có dạng khối lượng hay còn gọi là D term. Trong chuẩn bất kỳ:

2 2 21 12 2

1 2 2 2

V V V M N

i i C C CD

1.42b

Như vậy, D term được xác định không chỉ bởi trường vectơ mà còn bởi cả trường vô

hướng C và trường spinơ . Phép biến đổi chuẩn (1.34) sẽ được thay bằng:

2 2 2 2 2gV gV ig gV ige e e e e 1.43

trong đó, là siêu trường thuận tay bất kỳ. Hiển nhiên, theo công thức Baker -

Campbell - Hausdorff, (1.43) sẽ cho lại (1.34) khi V là trường chuẩn Abel.

Cũng giống như trong SM, để diễn tả tương tác trong MSSM, ta xét siêu trường

tay chiêu mô tả hạt chất. Trường này là một phần tử của biểu diễn nào đó của nhóm

gauge. Xét phép biến đổi chuẩn:

2ige U 1.44

với là siêu trường tay chiêu. Khi đó dạng Kähler K sẽ không bất biến chuẩn

vì siêu trường không phải là siêu trường thực. Để khôi phục tính bất biến chuẩn, ta

thêm vào siêu trường chuẩn vectơ V cò vai trò “trường bù” biến đổi theo quy luật:

2 2 2 2gV ig gV ige e e e 1.45a

Khi đó, nếu chọn dạng Kähler 2 gVK e , nó sẽ bất biến chuẩn:

2 2 2 2 2 2ig ig gV ig ig gVK e e e e e e K 1.45b

Để diễn tả động năng của trường chuẩn, ta sẽ định nghĩa siêu trường tensơ cường độ

trường W , tương tự như (1.40):



2 214

gV gVW DDe D e 1.46a

Khác với (1.40) cho nhóm chuẩn Abelian, siêu trường định nghĩa bằng (1.46a) cho

nhóm chuẩn non-Abelian, không bất biến chuẩn. Do là tay chiêu và là tay đăm,

ta có thể tính trực tiếp:

2 2 2 2 2 2 114

ig gV ig ig gV igW DDe e e D e e e UW U

1.46b

Và do đó:

1W W UW W U

1.46a

Như vậy, thay cho (1.41), giống như trong SM, ta chọn Lagrangian dưới dạng:

214 4

itr W W k F F i D F F

1.47a

trong đó, để cố định dạng của Lagrangian, ta sẽ chọn vi tử sinh của nhóm chuẩn sao

cho:

2a b abtrT T 1.47b

1.5. MSSM

MSSM là SQFT với nhóm chuẩn là 3 2 1C L YSU SU U . Khi đó, thay

cho các trường thông thường, ta có các siêu trường sau đây:

• Thay cho ba trường chuẩn vectơ ta xét ba siêu trường vectơ 1 2 3ˆ ˆ ˆ, , V V V :

1

2 w

3

ˆ , , ,

ˆ , , , 1,2,3

ˆ , , , 1,...,8

B

i i i i

a a a ag

B V B B D

W V W W D i

G V g G D a

1.48

Các trường siêu đồng hành của trường gauge sẽ có spin 1 / 2 và gọi là “gaugino”. Siêu

đồng hành của B , iW và aG được ký hiệu tương ứng là B , iW và ag . Từ các

gaugino B , iW sẽ tạo nên photino , Z –ino Z và W ino. ag là gluino. Các

D term là các hàm trường phụ trợ. Từ ba siêu trường vectơ ta lập nên ba tensơ cường



độ trường W bằng công thức (1.46a) (không lầm lẫn với trường Yang – Mills iW ) và

từ đó ta có ba Lagrangian dạng (1.47).

• Mỗi trường chất vốn được diễn tả bằng một spinơ tay chiêu trong SM được

thay bằng một siêu trường tay chiêu trong MSSM. Trong siêu trường này ngoài thành

phần trường spinơ còn có thành phần spin–0 của siêu đồng hành. Trường spinơ cùng

trường vô hướng siêu đồng hành lập thành một siêu đa tuyến. Ví dụ, với lưỡng tuyến

lepton, trong MSSM ta có lưỡng tuyến gồm hai siêu trường:

ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,

ˆ ˆ ˆ ˆ2L eL e

L L

e e y y F y

y y F y

1.49a

Chú ý, khái niệm tay chiêu có hai định nghĩa khác nhau. Cho siêu trường, đó là đạo

hàm hiệp biến của nó theo bằng không, còn cho spinơ e , thì đó là phần 51 / 2e của nó. Trong (1.48a) tính tay chiêu của siêu trường thể hiện bằng khai triển theo ,

còn tính tay chiêu của trường spinơ thể hiện bằng nhãn “ L ” ở bên cạnh hàm trường.

Ta có thể viết tường minh spinơ tay chiêu eL như sau:

1

2eL

ee

1.49b

Do có hai bậc tự do fermion, trong siêu đa tuyến cần có thêm hai trường boson đồng

hành. Để ký hiệu siêu hạt đồng hành, ta sẽ thêm dấu lượn sóng bên trên ký hiệu các

trường tương ứng: , ,L R Lq q l và Rl ,…. Số hạng F (còn gọi là F term) của siêu trường

sẽ được đánh dấu bằng nhãn dưới. Như vậy, ta có các thay thế sau đây cho một thế hệ:

- Lưỡng tuyến 2SU tay chiêu được thay bằng lưỡng tuyến 2SU siêu

trường tay chiêu L .

- Đơn tuyến 2SU tay đăm (spinơ) được thay bằng siêu trường E tay đăm

(siêu trường):

ˆ ˆ ˆ ˆ2R ER EE e y y F y 1.50a

Tuy nhiên, để có dạng Kähler cho lý thuyết trường khả tích, ta chỉ được dùng spinơ tay

chiêu (điều kiện thuận tay), vì thế, thay cho (1.50a), ta dùng:



*ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 cc

R EL EE E e y y F y 1.50b

Đơn tuyến này sẽ chứa trường “phản electron” (tức positron, phản muon và phản

tauon) tay chiêu và “phản selectron”. Phản electron tay chiêu là:

4*

3*cE L

ee

1.50c

- Một lưỡng tuyến 2SU tay chiêu “quark” LQ (không nhầm với vi tử sinh

siêu đối xứng và toán tử điện tích). Nó sẽ chứa quark tay chiêu và squark.

- Hai đơn tuyến 2SU tay chiêu cho “quark” , U D được dùng để diễn tả

“quark” u và d tay đăm. Tuy nhiên, thay cho ,U D ta sẽ dùng siêu trường liên hợp cU và cD để nó chứa ‘phản quark” tay chiêu và “phản squark”.

Từ các siêu trường tay chiêu, ta lập nên dạng Kähler (1.45) với ba siêu trường

vectơ khác nhau.

• Giống như với SM, ta cần một lưỡng tuyến Higgs phức với siêu tích 1 để

sinh khối cho lepton và cho quark và các siêu đồng hành.

10 0

ˆˆ ˆ

ˆd

d

d

hHH H H

hH

1.51

Tuy nhiên, để đảm bảo tính khả tích, không thể dùng dH và dH cùng một lúc như

trong SM, cho nên, ta cần đến một siêu trường Higgs thứ hai để tạo khối cho quark D

và cũng cần thiết để khử dị thường dòng trục do tương tác của lưỡng tuyến thứ nhất

với trường chuẩn. Siêu trường Higgs thứ hai có isospin yếu bằng 1/ 2 nhưng có siêu

tích yếu bằng 1 :

0

2

ˆˆ ˆ

ˆu

u

u

hH H

h

1.52

Các siêu trường Higgs h sẽ có siêu đồng hành là Higgsino h có spin 1/ 2 :

ˆ ˆ ˆ ˆ2 h hh h y y F y 1.53

Khi đó, tương tác Yukawa sẽ có dạng (1.18), trong đó, mỗi số hạng là tích của ba siêu

trường tay chiêu dạng (1.37a):



3

, 1

W = E c D c U cY ij d i j ij d i j ij u i j u d

i jy H L E y H Q D y H QU H H

1.54a

trong đó, ,i j là chỉ số thế hệ, còn chỉ số liên quan đến nhóm Lorentz, nhóm

2 , 3SU SU đều được bỏ qua. Biểu thức WY có thể coi là sử mở rộng SUSY của

SM. (Ký hiệu 1 2,H H sẽ được dùng khi không cần nêu cụ thể là chúng liên kết với loại

quark nào). Điều khác biệt duy nhất là sự có mặt của số hạng có chứa tích của hai siêu

trường Higgs (số hạng ). Khai triển (1.55) theo các siêu trường thành phần được

thực hiện theo quy tắc nhân các spinơ Weyl. Ví dụ:

0ˆ ˆˆ ˆc c c cd i j d i j d i j d iL d i jH L E H L E H L E h e h v E

1.54b

Mới nhìn ta được một biểu thức không phức tạp lắm, tuy nhiên, khai triển chúng theo

trường thành phần là rất phức tạp, như ta đã nhìn thấy trong (1.37a), (1.54). Ví dụ, tích

ˆ ˆ ˆ cuQH U sẽ có dạng:

0ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆc cu u uQH U uh dh U 1.55a

Vế phải của (1.54b) là tích của ba siêu trường tay chiêu. Biểu thức khai triển của nó, ví

dụ, số hạng thứ nhất của (1.54b) sẽ là:

* * * * *

* *

ˆˆ

cu

cu u u

cu L u L R uL u RU h

uL R uL L ELEh h h

uh U u y h y F y u y F y u y F y h y u y

y y e y y y F u y y y

1.55b

Cũng cần lưu ý rằng, trong khai triển (1.55b), các trường còn phụ thuộc vào biến y

chứ chưa phải biến x . Khi khai triển chúng theo biến x , các công thức sẽ phức tạp

hơn nhiều lần. Ta sẽ trình bày biểu thức khai triển cụ thế của tất cả các số hạng trong

Lagrangian kể cả tương tác Yukawa trong chương 2 của luận văn này.

Nhận xét rằng, bên cạnh WY , còn có những tích ba siêu trường tay chiêu cho

biểu thức bất biến siêu đối xứng:

1 2 3 4W ck ci cj i ck j i ck j jY ijk ijk ijk i uy U D D y Q D L y L E L y L H 1.56

Nếu chỉ có một mình, số hạng thứ nhất ngăn khả năng dao động neuton-phản neutron,

số hạng thứ hai ngăn sự vi phạm tính phổ quát của hằng số Fermi trong dòng phân rã



quark và lepton tích điện, số hạng thứ ba ngăn sự vi phạm tính phổ quát của hằng số

Fermi trong dòng phân rã lepton tích điện và số hạng thứ tư ngăn không cho neutrino

có khối lượng lớn. Nếu có mặt cùng một lúc, nó dẫn đến phân rã proton. Những số

hạng này phá vỡ bảo toàn số baryon và lepton vốn được thực nghiệm kiểm chứng một

cách rất chính xác là không bị vi phạm. Số hạng thứ nhất làm số baryon thay đổi một

đơn vị, ba số hạng sau làm số lepton thay đổi một đơn vị. Để có thể loại bỏ các số

hạng này một cách hợp lý, người ta đưa vào yêu cầu toàn R-chẵn lẻ. R-chẵn lẻ được

định nghĩa bằng:

3( ) 21 B L sRP 1.57

trong đó, , ,B L s là số baryon, số lepton và spin của hạt. Các hạt thuộc SM sẽ có R-

chẵn lẻ bằng 1, các siêu đồng hành có R-chẵn lẻ bằng 1 . Bảo toàn R-chẵn lẻ đảm bảo

để các slepton và squark không biến đổi thành nhau và do đó số baryon và số lepton

bảo toàn trong SUSY. Ta có thể gắn R-chẵn lẻ với nhóm đối xứng liên tục 1RU tác

động lên siêu trường:

, ,

, , , ,, ,

, ,

i i

i i

iu d u d

V x V x e ex e x e

H x H x e

1.58

Như vậy, R-chẵn lẻ sẽ tương ứng với tham số biến đổi . Đó là nhóm con 2Z của

1RU . Với nhóm con này:

Hạt hạt, Siêu hạt Siêu hạt 1.59a

Hay cụ thể hơn:

1 211 cho , ; cho , , , ,2

c c cR H H R L E Q U D 1.59b

Nhóm R-chẵn lẻ 2Z là dấu vết gián đoạn của nhóm Lie 1RU . Tuy nhiên, nếu áp đặt

cả nhóm 1RU cho tương tác Yukawa, số hạng khối lượng Majorana cho gaugino sẽ

bị cấm. Điều này không thật thích hợp vì về mặt hiện tượng luận, trong một lý thuyết

có siêu hấp dẫn, gravitino (siêu đồng hành của graviton) và gluino sẽ nhận khối lượng.

Như vậy, có hai xu hướng lựa chọn. Một là chỉ yêu cầu bất biến đối với nhóm gián



đoạn 2Z hoặc là yêu cầu tính bất biến đối với toàn nhóm 1RU nhưng nhóm đó sẽ bị

vi phạm tự phát. Trong luận văn này ta dùng cách lựa chọn, thứ nhất.

Hệ quả của tính bảo toàn R-chẵn lẻ là siêu đồng hành phải xuất hiện thành cặp

và điều này nghĩa là, siêu đồng hành nhẹ nhất (LSP) phải là hạt bền, vì nếu không bền,

nó phải phân rã và sản phẩm phân rã sẽ là một siêu đồng hành khác nhất thiết phải nhẹ

hơn.

Tất cả những điều đã nói ở trên về nội dung vật chất của MSSM được thu gom

trong Bảng 1.1.

Siêu trường Hạt Siêu đồng hành

Ký hiệu spin Ký hiệu spin

1

2

3

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

B

W

g

V V

V V

V V

i

a

BWG

111

i

a

BWg

1/ 21/ 21/ 2

ˆ

ˆ

ˆ

c

c

Q

U

D

, L

R

R

u dud

1/ 21/ 21/ 2

*

*

,L

RR

R

u d

ud

000

ˆ

ˆ c

L

E , L

R

ee

1/ 21/ 2

*

, L

R

ee

00

1

2

ˆ ˆ

ˆ ˆd

u

H H

H H

0

0

,

,

d d

u u

h h

h h

00

0

0

,

,

d d

u u

h h

h h

1/ 21/ 2

Bảng 1.1 Nội dung hạt của MSSM

Lagrangian của MSSM sẽ có dạng (1.19) với các trường được thay bằng các siêu

trường tương ứng. Sau khi tính toán, ta sẽ lấy tích phân theo toàn bộ siêu không thời

gian để được hàm tác dụng. Số hạng dưới dấu tích phân theo không thời gian sẽ là

Lagrangian cần tính. Tích phân theo tọa độ lẻ tương đương với việc lấy thành phần

của biểu thức thu được sau khi thực hiện phép nhân các siêu trường.



Để làm ví dụ, ta viết Lagrangian cho một hạt mô tả bằng siêu đa tuyến

, , F , tham gia tương tác chuẩn mô tả bằng siêu trường vectơ , ,V D trong

chuẩn Wess-Zumino (không kể số hạng Higgs):

22

* * * *

116

2

1 14 2

gV

a a a a a a

a a a a a a

L e Tr W W W Wkg

D D i D F F i g T T gD T

F F i D D D

1.55a

trong đó, aT là vi tử sinh của nhóm chuẩn, g là cường độ (coupling) tương tác, còn

đạo hàm hiệp biến sẽ là:

a a

a a

a a abc b c

a a a abc b c

D igV T

D igV T

D igf V

F V V gf V V

1.55b

Sau khi tính toán, ta sẽ lấy tích phân theo toàn bộ siêu không thời gian để được hàm

tác dụng. Số hạng dưới dấu tích phân theo không thời gian sẽ là Lagrangian cần tính.

1.6. Vi pham siêu đối xứng

Nếu siêu đối xứng thực sự là đối xứng của tự nhiên thì nó chắc chắn cũng

không phải là đối xứng hoàn toàn chính xác mà bị vi phạm đến một mức độ nào đó.

Điều này có thể nhìn thấy rõ, bởi vì nếu không, khối lượng của selectron đã bằng khối

lượng của electron và do đó nhất định selectron đã được phát hiện. Sự khác nhau về

khối lượng của các hạt trong một đa tuyến có thể có nguyên nhân từ sự vi phạm tự

phát hoặc từ sự vi phạm thực sự nào đó hoặc cả hai. Tuy nhiên người ta đã chỉ ra rằng,

nếu trong SM, vi phạm đối xứng tự phát đóng vai trò quan trọng trong việc tạo khối

lượng cho các hạt, thì trong MSSM vai trò này lại là của sự vi phạm thực sự. Số hạng

vi phạm đối xứng này không được làm hỏng lời giải bài toán phân cấp tương tác, cho

nên, chúng được gọi là số hạng vi phạm SUSY mềm (soft SUSY breaking term) [10].

Việc vừa khẳng định có một đối xứng nào đó rồi ngay lập tức lại giả thiết đối

xứng đó bị vi phạm, cho dù đó chỉ là mềm, cũng là một bất lợi, nhất là khi SUSY chưa



có một kết quả thực nghiệm nào xác nhận. Vì vậy, người ta cho rằng, SUSY không bị

vi phạm, mà chỉ là vi phạm tự phát tại một “khu vực ẩn” nào đó. Thang năng lượng có

sự vi phạm tự phát này cao hơn nhiều so với thang năng lượng của tương tác yếu. Sự

vi phạm tự phát này được lan truyền thông qua tương tác chuẩn hoặc tương tác hấp

dẫn để đến được “khu vực hiện” của MSSM và làm nảy sinh số hạng vi phạm mềm.

Nói chung, Lagrangian vi phạm mềm sẽ bao gồm tương tác Yukawa và các số hạng

sau đây:

+ Số hạng khối lượng gaugino

+ Số hạng khối lượng vô hướng

+ Số hạng tương tác vô hướng bậc hai và bậc ba.

22of

, ,..

1,2,3

ii

s t u d a aa Q U

ij E c ij D c ij U ci i i e ij i d j ij d i j u ij u i jd

i

L B H H m

M A y L H E A y H Q D A y H QU hc

1.56

Điều này có nghĩa là chúng ta đã đưa vào thêm 17 tham số thực mới và 31 tham số

phức mới vào lý thuyết (mi, Mi, B, Aijk, tính cho cả ba thế hệ) mà không phải mọi tham

số đều xác định được bằng hiện tượng luận.

Trước tiên ta hãy xem xét về mặt hiện tượng luận, cần có những yêu cầu gì đối

với các tham số vi phạm mềm. Hai hạn chế quan trọng nhất là:

1. Không dẫn đến dòng trung hòa lớn có thay đổi hương vị (FCNC) và không

có vi phạm số lepton

2. Lý thuyết không dẫn đến vi phạm CP quá lớn.

Ta có thể hình dung vì sao các tham số vi phạm mềm nếu được đưa vào một

cách tổng quát sẽ dẫn đến FCNC lớn thông qua sự pha trộn K 0 - K 0 . Trong SM ta chỉ

có đóng góp của sơ đồ thứ nhất còn trong MSSM ta có thêm đóng góp từ sơ đồ thứ hai

của hình 1, trong đó đường trung gian là gauginos và squarks còn dấu “ ” là chỉ có sự

vi phạm mềm của khối lượng squark. Trong sơ đồ thứ 2, thừa số CKM xuất hiện ở các

đỉnh. Do đó, phần quyết định của sơ đồ này là tỷ lệ thuận với V†M2V, trong đó, V là

ma trận CKM. Trong SM, cơ chế GIM cho tiên đoán đúng đắn pha trộn K 0 - K 0 bởi

vì phần chủ yếu của sơ đồ tỷ lệ với V†V = 1. Trong MSSM, M2 là một ma trận tùy ý và

do đó V†M2V 1. Như vậy, để có được dự đoán của cơ chế GIM, ta phải có 2 2 .1M m , tức là, khối lượng squarks phải gần như suy biến. Cũng với lập luận tương



tự cho quá trình μ → eγ kết quả là khối lượng sleptons cũng gần như suy biến. Điều

này rõ ràng là khó chấp nhận.

Hình 1: Sơ đồ phần đóng góp cho pha trộn K0 - K 0 trong MSSM

Hạn chế thứ hai xuất phát từ thực tế là, SM đã chứa đựng hầu như tất cả các

nguồn dẫn đến vi phạm CP. Do đó không cần có thêm những nguồn vi phạm CP khác

của MSSM. Vì vậy, những tham số không nằm trong tương tác Yukawa dẫn đến vi

phạm CP đều được giả định là thực. Trong chương 3, ta sẽ chỉ ra sự đóng góp mới vào

vi phạm CP khi tham số là phức.

Bây giờ chúng ta xem xét những giả thiết đối với tham số vi phạm mềm và cách

thức làm giảm giảm số lượng của các tham số đó:

1. Thống nhất gaugino (các gaugino có khối lượng chung ở kích thước Planck)

2. Thống nhất khối lượng mềm (các vô hướng trong số hạng vi phạm mềm có

khối lượng bằng nhau ở kích thước Planck)

3. Thống nhất hệ số liên kết mềm bậc ba Aijk (các hệ số của số hạng vi phạm

mềm bậc ba là như nhau ở kích thước Planck)

4. Tất cả các tham số vi phạm mềm là thực nếu không muốn là tăng vi phạm đối

xứng CP.

Các giả thiết trên có thể làm giảm đáng kể số lượng các tham số độc lập tùy ý

của lý thuyết. Tuy nhiên cũng phải nhấn mạnh rằng đây chỉ là giả thiết, chúng không

có cơ sở vững chắc về nguồn gốc. Căn cứ mạnh nhất có lợi cho các giả thiết này là nếu

có lý thuyết siêu hấp dẫn với thế Kähler siêu hấp dẫn tối thiểu, trong đó SUSY bị vi

phạm ở “khu vực ẩn” và vi phạm này được truyền đến các “khu vực hiện” thông qua

trung gian là trường hấp dẫn thì ta sẽ thu được những số hạng khối lượng độc lập với

hương vị, những số hạng- thực ở thang Planck và những số hạng khối lượng gaugino

thực.



Căn cứ cho sự thống nhất gaugino là như sau. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, các

hệ số liên kết chuẩn sẽ thống nhất trong MSSM. Tuy nhiên phương trình nhóm tái

chuẩn 1-vòng cho khối lượng gaugino qua công thức [5]:

0 1, 2,3 logi

i GUT

d i tdt M M

1.57

Ở đây α i = g2/4π, gi là các hệ số liên kết chuẩn và Mi khối lượng gaugino. Tỷ số giữa

hệ số liên kết chuẩn và khối lượng gaugino là bất biến thang bậc. Vì vậy, nếu hệ số

liên kết chuẩn thống nhất thì khối lượng gaugino cũng phải như vây. Nếu ta chấp nhận

những lập luận như vậy, thì những số hạng vi phạm mềm độc lập A0, m0, B và M1 / 2 (ở

thang Planck), sẽ được cho bởi:

22of 0 1/2

1,2,3, ,..

01,2,3

pii

s t M a i i u dia Q U

E c D c U cij i d j ij d i j ij u i j

i

L m M B H H

A L H E H Q D H QU hc

1.58

Lagrangian ở thang tương tác yếu có thể thu được bằng cách giảm tham số chạy từ

thang Planck về thang tương tác yếu. Quá trình này sẽ thu được một số thích đáng

những khối lượng của squark và slepton và nếu các số hạng vi phạm mềm là thực ở

thang Planck, ta sẽ không thu được phần ảo nào ở thang tương tác yếu. Như vậy,

những giả thiết trên thỏa mãn các yêu cầu của hiện tượng luận và làm tăng đáng kể khả

năng tiên đoán của lý thuyết. Thông thường những giả thiết trên về các số hạng vi

phạm mềm được coi như một phần của định nghĩa MSSM. Tuy nhiên, cũng không đòi

hỏi chúng nhất thiết phải thỏa mãn.

Trong phần này ta xét vi phạm đối xứng SU(2)U(1). Thế Higgs không kể đến

những số hạng vi phạm mềm được cho bởi (chú ý, nhãn “ ” là chỉ liên hợp Hermite):

2 22 22 22

US',

2 2S Y u d u d u u d d u u d dg gV H H H H H H H H H H H H

1.59

Cực tiểu của thế là 0u dH H , vì thế chúng ta phải đưa thêm các số hạng vi

phạm mềm để dẫn tới sự phá vỡ điện-yếu. Các thế Higgs đầy đủ ở thang Planck

(GUT) là.



2 22 20

2 22 2

, .

'2 2

u d u d u dGUT

u u d d u u d d

V H H m H H B H H h cg gH H H H H H H H

1.60

Thế này vẫn chưa đủ để phá vỡ SU(2)U(1). Thực vậy, để thế Higgs tổng quát (với

1 2,H H thay cho ,u dH H ):

1 2

2 22 22 22 2 21 2 12 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

'.2 2H Hg gm H m H m H H hc H H H H H H H H

1.61

có cực tiểu không tầm thường các hệ số bậc hai phải thỏa mãn các bất đẳng thức sau

đây:

1 2

1 2

2 2 212

22 2 212

2H H

H H

m m m

m m m

1.62

Các bất đẳng thức đầu tiên là cần thiết để thế bị chặn dưới khi H1 = H2,, trong khi bất

đẳng thức hai là cần thiết để các số hạng bậc hai chứa phần âm đủ để nó có cực tiểu

không tầm thường. Chúng ta có thể thấy rằng thế trong công thức (1.61) không thể

thỏa mãn cả hai bất đẳng thức cùng lúc, như vậy đối xứng điện yếu không bị phá vỡ ở

mức cây. Tuy nhiên những bổ chính bức xạ có thể thay đổi tình trạng này. Để tính toán

các hiệu ứng bức xạ đó cần đánh giá thế hiệu dụng một vòng:

1 oo ee 1l p trV V V 1.63

trong đó, eetrV là siêu thế thang cây với các tham số chạy được ước lượng ở thang ,

còn ΔV 1 là đóng góp của sơ đồ một vòng vào thế hiệu dụng quả, đánh giá theo

phương pháp Coleman và Weinberg. Các tham số chạy ở thế mức cây được sinh ra bởi

phương trình nhóm tái chuẩn hóa một vòng (RGE). Vtree + ΔV1 là độc lập đối với ở

gần đúng một vòng kín. Nếu chúng ta chọn thang Λ gần với thang khối của các hạt của

lý thuyết (nghĩa là Mweak ), ΔV1 sẽ không chứa số hạng logarit lớn, do đó hiệu ứng

một vòng chủ đạo sẽ được phát sinh nhờ các tham số chạy của thế mức cây giữa thang

Planck và thang yếu. Để ước lượng hiệu ứng tham số chạy cho các hệ số Higgs chúng

ta bỏ qua tất cả các liên kết Yukawa ngoại trừ liên kết Yukawa của quark đỉnh. Khi đó,

RGE cho số hạng khối lượng vi phạm mềm của trường vô hướng tham gia vào các liên

kết Yukawa với quark đỉnh của siêu thế là [5]:



2

3

22 2 2 2 2 2 21 1 2 2

2

2 2 2 2 2 2 21 1 3 3

22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

3 3 35

16 16 215 3

1 16315 3

Ht t

tt t

Qt t

dmg M g M m A

dtdm

g M g M m Adt

dmg M g M g M m A

dt

1.64a

Trong đó:

2 3

22 2 2 2

2 21, log

16GUT

H t QMm m m m t

1.64b

là thang năng lượng, gi là hệ số liên kết chuẩn, At là các tham số phá vỡ mềm bậc

ba tương ứng với các liên kết Yukawa của quark đỉnh, Mi khối lượng gaugino và λt các

liên kết Yukawa đỉnh. Ta có thể thấy rằng, sự đóng góp của các vòng chuẩn và

Yukawa là độc lập với nhau và sự đóng góp của các vòng chuẩn là độc lập với khối

lượng vi phạm mềm 2im . Do đó ta có thể giải phương trình (1.64a) bằng cách đặt các

liên kết chuẩn bằng không và đến cuối ta mới cộng thêm sự đóng góp chuẩn vào kết

quả tìm được. Như vậy, ta phải giải hệ phương trình dưới đây:

2 2

3 3

2 2

2 2 2 2 2

2 2

3 3 3 32 2 2 21 1 1 1

H H

t t tt t

Q Q

m md m m Adt m m

1.65a

Hệ phương trình vi phân này có thể được giải quyết dễ dàng nếu bỏ qua tham số chạy

λt và At. Nghiệm tương ứng với điều kiện biên phổ quát ở t = 0 ( = MGUT),

2 3

2 2 2 20H t Qm m m m trong giới hạn t → ∞, được cho bởi:

2

3

2 20

2

2 20

12

012

H

t

Q

m m

m

m m

1.65b

Như vậy, chúng ta có thể thấy rằng các bổ chính bức xạ do hệ số liên kết Yukawa của

quark đỉnh gây nên có xu hướng đổi dấu tham số khối lượng vi phạm mềm hệ số liên

kết của loại up-Higgs. Điều này đủ để thỏa mãn điều kiện (1.62) để có sự phá vỡ điện

yếu ở thang tương tác yếu. Các vòng chuẩn sẽ mang thêm đóng góp dương tỉ lệ với 21/2M , và nghiệm của (1.65a) sẽ phức tạp hơn nếu xét thêm tham số chạy λ t và A t .



Tuy nhiên, tính năng quan trọng nhất của nghiệm (1.65b) là không đổi, đó là, sự lựa

chọn thích hợp các tham số đầu vào M1/2, m0, A0 và λt sẽ dẫn đến tham số khối lượng

vi phạm mềm của loại up-Higgs là âm và điều này sẽ dẫn đến vi phạm đối xứng điện

yếu. Cơ chế này được gọi là vi phạm bức xạ điện yếu.

Như vậy, ta đã thấy rằng, bổ chính một vòng quả thực thay đổi thế Higgs sao

cho có sự vi phạm tự phát đối xứng SU(2)U(1). Tuy nhiên, cho dù dẫn đến đối xứng

bị vi phạm tự phát, nó chưa đủ để cho lại giá trị cực tiểu của SM. Thế Higgs ở thang

yếu có thể viết dưới dạng:

1 2

2 22 22 22 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

'( ) ( ) .2 2H Hg gm H m H B HH hc H H H H H H H H

1.66

Nếu chọn giá trị trung bình chân không (VEV) của lưỡng tuyến Higg là:

21 2

1

0 , 0H H 1.67

và chúng ta định nghĩa 2 2 22 1 1 2tan / , . Cực tiểu hóa thế Higgs, ta thấy rằng,

để cố định khối lượng của W, Z bằng giá trị thực nghiệm, thì:

1 2

1 2

2 2 22 2

2

2 2 2

tan 12tan 1

2 sin 2

2

H HZ

H H

m mM

m mB

1.68

trong đó, tất cả các tham số được xem xét ở thang yếu.

Bây giờ ta có thể xác định được các tham số độc lập của MSSM. Trong khu vực

vi phạm mềm, chúng ta đã có m0, M1/2, A0 và B. Trong khu vực Higgs chúng ta có tanβ

và μ. Vì khối lượng quark đỉnh không đo được bằng thực nghiệm và λt có xu hướng

tiến tới một giá trị cố định tại MZ,, cho nên, λt (MG) cơ bản là một ẩn số của lý thuyết.

Tuy nhiên từ công thức (1.68) μ2 và B là xác định (nhưng dấu của μ thì không). Do đó,

MSSM với R-chẵn lẻ, tham số vi phạm mềm phổ quát và vi phạm bức xạ điện yếu, sẽ

được xác định bởi 5 +1 tham số: m0, M1/2, A0, tanβ, λ t và dấu của μ.



CHƯƠNG II

LAGRANGIAN VÀ ĐỈNH TƯƠNG TÁC TRONG MSSM

Để thực hiện việc tính toán cụ thể các quá trình tán xạ, sinh, hủy trong khuôn

khổ của MSSM ta không thể dùng Lagrangian (1.55a) cộng với số hạng vi phạm mềm

(1.56). Các trường trong Lagrangian nói trên không phải là các trường vật lý. Để tìm

trường vật lý, ta phải chéo hóa các ma trận khối lượng có mặt trong Lagrangian, tái

định nghĩa trường khi tính đến sự vi phạm tự phát. Mục tiêu của chương này là tìm

Lagrangian của MSSM thông qua các trường vật lý và qua đó tìm các quy tắc

Feynman cho các dạng tương tác của tất cả các loại hạt. Dĩ nhiên trong chương 3 ta chỉ

xét quá trình có sự tham gia của một số hạt, và do đó, chỉ một số công thức trong

chương này là được dùng đến. Chuẩn được dùng là ’t Hooft-Feynman. Chuẩn này có

ưu điểm là số hạng Lagrangian cho trường ma là rất đơn giản. Tuy nhiên bù lại, chúng

vẫn còn số hạng Goldstone. Có thể tham khảo Lagrangian của MSSM trong chuẩn

unitary ở [11]. Do dạng tường minh của Lagrangian toàn phần là rất phức tạp, cho nên,

ta sẽ phân chia chúng một cách tương đối thành nhóm các số hạng khác nhau, đặt tên

theo nhóm hạt chính có mặt trong phần Lagrangian tương tác đó. Trước hết, ta sẽ diễn

tả các hạt siêu đồng hành vật lý trên cơ sở pha trộn các hạt siêu đồng hành nguyên

thủy.

2.1 Phổ khối lượng của siêu hạt đồng hành

2.1a Lĩnh vực sfermion

Ta sẽ xét những khả năng pha trộn giữa các trường của hạt siêu đồng hành và từ

đó suy ra các ma trận khối lượng mức cây [1, 5, 14].

Về nguyên tắc người ta phải chéo hóa ma trận 66 tương ứng với sự pha trộn

của vô hướng tay chiêu và tay đăm L , R thuộc cả ba thế hệ. Để đơn giản ta bỏ qua sự

pha trộn giữa các thế hệ và chỉ tính đến pha trộn L R .

a. Squark

Các ma trận khối lượng trong cơ sở L R cho mỗi thế hệ vô hướng loại quark lên (up-quark type) là:



,

2 2 2W2

2 2 2W

1 2 sin cot2 3

2cot sin3

L R

u u uQu

u u uu

m m D mM

m m m D

2.1

trong đó các tham số khối lượng có dấu ngã chỉ các tham số khối lượng vi phạm mềm

của squark, các tham số khối lượng không có dấu ngã là khối lượng quark thông

thường, 2 cos2ZD M . Còn ma trận khối lượng cho loại quark xuống (down – quark

type)

,

2 2 2W2

2 2 2W

1 1 sin tan2 3

1tan sin3

L R

d d dQd

d d dd

m m D m AM

m A m m D

2.2

Nguồn duy nhất cho sự pha trộn thế hệ là siêu thế, do đó trong trường hợp tổng

quát các yếu tố đường chéo 2um và 2

dm phải được thay đổi bằng 22,1 , ,u d u d ik

, trong

đó ,i k là chỉ số thế hệ, còn là trường gaugino. Tuy nhiên do ma trận pha trộn CKM

là rất nhỏ, số hạng khối lượng vi phạm mềm là lớn số hạng khối lượng quark, cho nên,

các hiệu ứng này thực sự có thể bỏ qua.

b. Slepton

Vẫn dùng các ký hiệu như trên, khối lượng sneutrino là:

2 2 1

2v LM M D 2.3

trong khi đó, ma trận khối lượng cho , , e :

,

2 2 22 W

2 2 2W

1 sin tan2

tan sinL R

e e eLe

e e ee

m m D m AM

m A m m D

2.4

2.1b. Lĩnh vực trường Higgs vô hướng

Chúng ta nhắc lại ký hiệu



01 2

1 201 2

, h hH Hh h

2.5

Khối lượng ở mức cây được tính từ các ma trận khối lượng:

22ee

0 0

22 2ee

0 0

22ee

1 1 tan 1sin 2 1 cot2 2Im Im1 1 1tan 1 cot 1sin 2 sin 21 cot 1 tan2 2 2Re Re

1 tan 1sin 2 1 cot2

tr

i j

trz

i j

trh

i j

V Mh h

V M Mh h

V Mh h

2.6

Trong đó:

1 2

2 2 2 2 2 2W2 , , , 1,2H H HM m m M M M i j 2.7

Ma trận khối lượng đầu tiên có trị riêng là 0 (Goldstone boson bị Z boson ăn)

và 2M (vô hướng CP lẻ).

Ma trận thứ hai cho khối lượng cho hạt boson nhẹ và nặng Higgs:

22 2 2 2 2 2 2 2,

1 4 os 22H h A Z A Z A ZM M M M M M M c

2.8

Ma trận thứ ba có trị riêng là 0 (các Goldstone boson tích điện W± boson ăn) và 2HM (vô hướng tích điện).

Điều quan trọng cần nhấn mạnh là đối với một số khối lượng Higgs bổ chính

một vòng có thể là đáng kể. Ví dụ, từ các công thức trên có thể thu được mh ≤ MZ,,

trong khi nếu kể thêm bổ chính một vòng, trạng thái liên kết sẽ bị thay đổi đến mh ≤

150GeV.

2.1c Lĩnh vực chargino

Chargino là sự pha trộn giữa các Higgsino tích điện và các gaugino tích điện

1,2W . Khối lượng ma trận được cho bởi ( 2 1W W / 2i ):



2 2 122 22 1

2 2 22 2

1

0 00 0

0 00 0

M gg hh h M g

g h

2.9

Với trị riêng là :

1,2

2 22 2 2 2 2 2 22 W 2 W 2 W

1 2 4 sin 22CM M M M M M M

2.10

2.1d Lĩnh vực neutralino

Neutralino là pha trộn giữa các Higgsino trung hòa và các gaugino trung

hòa 3,WB . Ma trận khối lượng ma trận của chúng được cho bởi:+

1 1 20 0 32 2 1 2 2 03 1 2

11 2 10

2 2 2 2

0 ' / 2 ' / 2W0 / 2 / 2W

' / 2 / 2 0' / 2 / 2 0

iBM g giM g giB i h hhg g

g g h

2.11

Như vậy, thay cho các hạt nguyên thủy của MSSM ta sẽ dùng các hạt vật lý

trong đó, ta đã tính đến sự pha trộn giữa chúng.

2.2. Lagrangian tương tác và quy tắc Feynman trong MSSM

Để thu được phổ khối lượng của các hạt vật lý trong một lý thuyết ta phải tiến

hành quy trình tiêu chuẩn phá vỡ đối xứng với giá trị trung bình chân không của

trường Higgs. Ta sẽ chọn trung bình chân không của hai đa tuyến Higgs như sau:

11 2

2

01 1, 02 2

H H

2.12

với 1 2, thỏa mãn phương trình:

1

2

222 2 2

1 2 1 22 2

222 2 2

1 2 2 12 2

8sin cos

8sin cos

H S

H S

e m

e m

2.13



Điện tích e của hạt liên quan đến các hệ số liên kết 1,2g thông qua một tham số

được gọi là góc Weinberg 1 2cos sine g g .

Thay cho trường nguyên thủy, sẽ có các trường vật lý như sau trong MSSM [b]:

Photon: trường vectơ A

Trường wion và zion: trường vectơ , W Z

Gluon: trường vectơ aG , 1,2,...,8a

Gaugino: Majorana spinơ a , 1,2,...,8a

Chargino: Dirac spinơ i , 1,2i

Neutralino: Majorana spinơ 0i , 1,2,3,4i

Neutrino: Dirac spinơ I , 1,2,3I

Electron: Dirac spinơ Ie , 1,2,3I

Quark: Dirac spinơ Iuq , I

dq , 1,2,3I

Sneutrino: vô hướng I , 1,2,3I

Selectron: vô hướng iL , 1,2,...,6i

Squark: vô hướng , i iU D , 1,2,...,6i

Hạt Higgs: Trong 8 thành phần của hai đa tuyến Higgs, 3 thành phần đã

bị các trường Yang-Mills “nuốt” để chúng trở nên có khối lượng, năm thành

phần còn lại tạo thành năm hạt Higgs, một hạt trung hòa CP lẻ (giả vô hướng),

hai hạt trung hòa CP chẵn (vô hướng) và hai hạt tích điện:

Hai hạt Higgs tích điện: vô hướng H

Hai hạt Higgs vô hướng trung hòa 0 0, h H

Một hạt Higgs giả vô hướng trung hòa 0A

Tương tác giữa các trường đó được diễn tả bằng các Lagrangian sau đây và tương ứng

với chúng là các đỉnh tương tác:



2.2.1.Quark-quark-gauge boson:

Đó là Lagrangian tương tác giữa trường quark q và các trường chuẩn photon

( ), wion, zion và gluon ( g ):

3 2 2W W

W

W

3 2, , W

sin sincos

cos

sin

2

qq q

qqZ qL q L q R

qL L qR R

qL R qL R q

qqW L L

a aqqg s rs r s

L ee q qAgL q I e P e P qZ

g q C P C P q

C I egL W t P b W b P t

L g T G q q

2.35

qee

Wcos qL L qR R

g C P C P

2 Lig P



as rsig T

2.2.2. Squark-squark-gauge boson:

Đó là tương tác giữa các siêu đồng hành của quark (quark vô hướng) với trường

chuẩn. Chúng gồm:

- Squark-squark-photon

* *

*1 1 2 2

*

qq q L L R R

q q q qq i j i j j ii

q ij j i

L iee q q q q A

iee A R R R R q q

iee A q q

2.36

- Squark-squark- 0Z

* * *

W Wcos cosqqZ qL L L qR R R ij j iig igL Z C q q C q q c Z q q

2.37

trong đó:

3 2 2 3W

1 1 2 23 3 2 2

W

1cos sin sin 22

1 sin2 sin sin2

qL q q qL qq q q q

ij qL i j qR i j

qL q qL q q

I e Ic C R R C R R

I I e

2.38

- Squark-squark-W

* * * *1 1 2 22 2q q q q

qq W L L R R i j j i i j j iig igL W t b W b t R R W t b R R W b t

2.39

- Squark-squark-gluon

* * *a a a aqqg s rs Lr Ls Rr Rs s rs ij jr isL ig T G q q q q ig T G q q

2.40

Quy tắc Feynman trong những trường hợp này sẽ là:



*j i i jA B A B A B q q i k k

2.41

trong đó, ,i jk k là xung lượng bốn chiều của squark ,i jq q .

q ijee p k

Wcos ij

ig p k c

1 12q qi j

ig p k R R

as rs ijig T p k

2.2.3 Quark-quark-Higgs boson:

Đó là tương tác giữa trường quark với năm trường Higgs:

0 0 0 51 2 3 4 4 4 4q q q t b b t

qqH L R L RL s h qq s H qq s A q q H t s P s P b H b s P s P t 2.42

trong đó:



1 1W W

2 2W W

3 3W W

1 4W W

cos , sin2 sin 2 cos

sin , cos2 sin 2 cos

cot , tan2 2

cot , tan2 2

t bt t

t bt t

t bt b

t bt b

gm gms sm m

gm gms sm m

gm gms i s im m

gm gms sm m

2.43

1qis

2qis

53qis

4 4q q

L Ri s P s P

2.2.4. Squark-squark-Higgs boson:

Định nghĩa 0 0 0, , ,kH h H A H , tương tác giữa squark và Higgs boson có thể

viết dưới dạng tổng quát như sau:



* * *ˆ, LqqH k L R k k k j iij

R

qL H q q G G H q q

q

2.44

trong đó, , ,... là chỉ số hương. Với 1,2,3k thì , với 4k , ta có:

4 4 4ˆ ˆ ˆ Tu dG G G

. ˆkG và kG liên hệ với nhau qua đẳng thức:

4 4

ˆ , 1,2,3

ˆ ˆ,

Tq q q qk k

T T Tt t b b b tk k

G R G R k

G R G R G R G R

2.45

ˆ T

k k ijiji R G R i G

Cụ thể hóa cho từng trường sẽ là:

- Squark-squark- 0h boson

0

22 0 *

WW W

22 0 *

WW W

0 * 0 *

W

22

WW

1 2 sin sin coscos 2 3 sin

2 sin sin cos3 cos sin

cos sin2 sin

1 1 sin sincos 2 3

tZL Rqqh

tZR R

tt R L L R

bZ

mmL g h t tm

mm h t tm

m A h t t h t tm

mm

0 *

W

22 0 *

WW W

0 * 0 *

W

sincos

1 sin sin sin3 cos sin

sin cos2 cos

L L

bZR R

tb R L L R

h b bm

mm h b bm

m A h b b h b bm

2.46

và như vậy:



W1

W

12cos 2ˆ

1 2cos2

ZqL q q q q

q

Zq q qR q q

c c sgm C s m h h As s c

Gc s cgmh A C s m h

s c s

2.47

tương ứng cho loại quark up

down

, trong đó:

3 2 2W Wcos , sin , sin , sinqL qL q qR qc s C I e C e 2.48a

với là góc pha trộn trong Lĩnh vực Higgs boson trung hòa bất biến CP (CP chẵn),

qh là hệ số liên kết Yukawa:

W W

, 2 sin 2 cos

t bt b

gm gmh hm m

2.48b

- Squark-squark- 0H boson

0

22 0 *

WW W

22 0 *

WW W

0 * 0 *

W

2W

W

1 2 sin cos sincos 2 3 sin

2 sin cos sin3 cos sin

sin cos2 sin

1 1 sin coscos 2 3

tZL RqqH

tZR R

tt R L L R

bZ

mmL g H t tm

mm H t tm

m A H t t H t tm

mm

20 *

W

22 0 *

WW W

0 * 0 *

W

coscos

1 sin cos cos3 cos sin

cos sin2 cos

L L

bZR R

bb R L L R

H b bm

mm H b bm

m A H b b H b bm

2.49

và như vậy:



W2

W

12cos 2ˆ

1 2cos2

ZqL q q q q

q

Zq q qR q q

s s cgm C c m h h Ac c s

Gs c sgmh A C c m hc s c

2.50

Nhận xét rằng, 2ˆ qG có thể thu được từ 1

ˆ qG bằng cách thay / 2 .

- Squark-squark- 0A boson

00 * 0 *

W

0 * 0 *

cot2

tan

t t R L L RqqA

b b R L L R

igL m A A t t A t tm

m A A b b A b b

2.51

và như vậy:

3W

cot0

tanˆ2 cot

0tan

qqq

q

Aigm

Gm

A

2.52

Trong trường này ta có 3 3ˆq qG G bởi vì 3

ˆ qG là ma trận phản giao hoán và qR là

unitary.

- Squark-squark- H boson

2 2 2 * *W

W

* *

2tan cot sin 2sin 22

cot tan .

t bb t L L R RqqH

t t L R b b R L

m mgL m m m H t t H t tm

m A H t b m A H t b H c

2.53

2 2 2W

4W

tan cot sin 2 tanˆ 22 tan

sin 2

b t b q

t bt t

m m m m AgG m mm m A

2.54



2.2.5. Quark-squark-chargino

1 2 2

1 2 2

* *1 2 2

* *1 2 2

j R t j L j L b j R j Rqq

c cj R b j L j L t j R j R

j j L t j R L j b j L R

c cj j L b j R L j t j L R

bij R ij L j

L gt U P YV P b gt Y V P b

gb V P Y U P t gb YV P t

g U P YV P tb g Y V P tb

g V P Y U P bt g YV P bt

gt l P k P

2

1 2 2

* *1 2 2

* *1 2 2

L b j R j R

c cj R b j L j L t j R j R

j j L t j R L j b j L R

c cj j L b j R L j t j L R

b gt Y V P b

gb V P Y U P t gb YV P t

g U P YV P tb g Y V P tb

g V P Y U P bt g YV P bt

2.55

Hệ số qijl , q

ijk của liên kết i jq q có thể viết dưới dạng:

1 11 2

2 2

, , , j jq q q q q q t bij in jn ij i j j j

n t j b j

V Ul R O k R O O O

YV Y U

2.56

còn hệ số Yukawa /q qY h g :

W W

, 2 sin 2 cos

t bt b

m mY Ym m

2.57

U và V là ma trận hai hàng cột chéo hóa ma trận khối lượng của gaugino-Higgsino

tích điện.

t tij R ij Lig l P k P

b bij R ij Lig l P k P



t tij L ij Rig l P k P

b bij L ij Rig l P k P

2.2.6. Quark-squark-neutralino

00 0

0 0 *

.

q q q qLk R Lk L k L Rk R Rk L k Rqq

q q q qik R ik L k i k ik L ik R i

L gq f P h P q gq h P f P q H c

gq a P b P q g a P b P qq

2.58

Hệ số ,q qik ika b cho liên kết 0

i kq q được cho bởi:

1 2, , , a a

Lk Lkq q q q q q q bij in jn ij i j j jq q

n Rk Rk

f ha R A b R B A B

h f

2.59

và:

3 2 2W 1 W

W

W W 2 1

3 4

3 4

2 sin 2 sincos

2 sin tan

sin cos

cos sin

q kLk q k qL q

qRk q k k

t tLk t k k Rk

b bLk b k k Rk

Nf e N I e

f e N N

h Y N N h

h Y N N h

N là ma trận chuẩn hóa ma trận khối lượng gaugino-Higgsino trung hòa.

t tij R ij Lig a P b P



b bij R ij Lig a P b P

t tij L ij Rig a P b P

b bij L ij Rig a P b P

2.2.7. Tương tác với gluino

- Quark-squark-gluino

* *

*1 2 1 2

2

2

a a a a aqqg s rs r R Ls r R Rs L r Ls L r Rs

a q q a a q qs rs r i R i L is i L i R r is

L g T q P g q q P g q g P q q g P q q

g T q R P R P g q g R P R P q q

2.60

Chú ý đên dấu khác nhau giữa phần “tay đăm” và “tay chiêu” của squark trái nhau bởi

vì Rq là 3SU phản tam tuyến, và vi tử sinh của nó sẽ là †aT .

- Gluon-gluino-gluino

2a b cs

ggg abcigL f G g g 2.61

Do bản chất Majorana của spinơ ta phải nhân với 2 để thu được quy tắc Feynman, tức

là ta phải thêm giản đồ trong đó g g ):

1 22 a q qs rs i L i Rig T R P R P



1 22 a q qs rs i R i Lig T R P R P

s abcg f

2.2.8. Squark-squark-gauge boson-gauge boson

2 2 * * 2 2 *

22 * 2 *

2W

22 2 *

1 1 2 22W

2*

2W

cos

cos

cos

qq q L L R R q ij j i

qqZZ qL L L qR R R

q q q qqL i j qR i j j i

ij j i

L e e A A q q q q e e A A q q

gL Z Z C q q C q q

g Z Z C R R C R R q q

g z Z Z q q

2.62

Với:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1cos sin sin 22

1 sin 2 sin cos2

qL q qR q qL qR q

ij

qL qR q qL q qR qij

C C C Cz

C C C C

2.63

2 * 2 *1 1

* * *

W W

* *

* *1 1 1 1

1 12 22 2

cos cos

2

2

q qqqWW L L i j j i

qq Z qL L L qR R R ij j i

qq W Q L L L L

b t t bi j j i i j j i

L g W W q q g R R W W q q

eg egL A Z C q q C q q c A Z q q

egL Y A W t b W b t

eg A R R W t b R R W b t

2.64

trong đó, siêu tích yếu được định nghĩa bằng:



3 12 ,...,3q QY e I Y 2.65

22 * *

WW

22 * *

W 1 1 1 1W

sin2 cos

sin3 2 cos

qq WZ Q L L L L

b t t bi j j i i j j i

gL y Z W t b W b t

g Z R R W t b R R W b t

2.66

2 * * 2 * *

2 *

1 16 21 1 2 3

a a a b cqq gg s L L R R s abc L L R R

c a bs ab abc ij j i

L g G G q q q q g d G G T q q q q

g d T G G q q

2.67

* * *2 2a a a aqq g q s L L R R q s ij j iL ee g T G A q q q q ee g T G A q q

2.68

* * *

W W

2 2cos cos

a a a as sqq Z qL L L qR R R ij j i

gg ggL T G C q q C q q T c G Z q q 2.69

* *

* *1 1 1 1

2

2

a aqq gW s L L L L

a a b t t bs i j j i i j j i

L gg T G W t b W b t

gg T G R R W t b R R W b t

2.70

Đỉnh tương tác tương ứng sẽ là

2 2q ijie e g

2

Wcos ijig z g

2

1 22q qi j

ig R R g



W

2cos ij

ieg c g

1 23 2q qi j

ieg R R g

2

1 2W3 2 cos

q qi j

ig R R g

21 12 3

cs ab abcig d T g

2 aq s ijiee g T g

W

2cos

q s aij

iee gT c g

1 12 a q qs i jigg T R R g



2.2.9.Tương tác bốn squark

12

a a i iV D D D D DD 2.71

trong đó, 1,...,8a , 1,2,3i tương ứng với số tham số độc lập của các nhóm chuẩn.

Phần đầu có dạng:

2 * * * *1 12 2

a a a aqqqq s kl rs Lk Ll Rk Rl Lr Ls Rr RsL D D g T T q q q q q q q q 2.72

trong đó , là chỉ số hương của quark. Sau khi pha trộn, ta có:

2 * *1 1 2 2 1 1 2 2

2 * *

121 2

a aqqqq s mn rs i j i j jm in k l k l kr ls

a as mn rs ij kl jm in kr ls

L g T T R R R R q q R R R R q q

g T T S S q q q q

2.73

với:

1 1 2 2

cos2 sin 2sin 2 cos2

q qij i j i j

q q ij

S R R R R

2.74

Tương ứng với Lagrangian nói trên, ta có giản đồ Feynman:

2 a a a as mn rs ij kl ms nr il kjig T T S S T T S S

2.2. Hàm truyền của các hạt

Xét về mặt hình học, hàm trường trong MSSM thuộc bốn loại sau đây [12]-[13]:

- Trường vô hướng phức cho hạt Higgs

- Trường vô hướng thực cho hạt squark và slepton,

- Trường spinơ Dirac cho hạt chất,

- Trường spinơ Majorana cho hạt gaugino,

- Trường vectơ cho hạt chuẩn (gauge).



Như vậy, ta có ba loại hàm truyền:

Cho hạt Higgs, fermion vô hướng (squark và slepton):

2 2i

p m 2.74

Cho hạt fermion, ta có hai loại, loại Dirac cho hạt chất và loại Majorana cho hạt siêu

đồng hành của hạt chuẩn (gaugino):

2 2

igp m

2.74

Cho hạt vectơ:

i

p m 2.74

Cho hạt ma

2 2i

p m 2.74

trong đó, p p . Trên đây là Lagrangian tương tác cho tất cả các loại hạt và các

đỉnh tương tác tương ứng. Thực ra các hạt Các kết quả trên đây sẽ được áp dụng để

tính toán trong chương 3.



CHƯƠNG III

BỔ CHÍNH QCD CHO CẶP SQUARK VỚI THAM SỐ PHỨC

Cho đến gần đây đa phần các nghiên cứu hiện tượng luận về siêu hạt đồng hành

thường giả định các tham số của MSSM là thực. Các nghiên cứu đều chỉ ra rằng, siêu

hạt đồng hành của thế hệ thứ ba có vai trò tương đối quan trọng, bởi vì hệ số tương tác

Yukawa của chúng khá lớn. Những hạt này có khối lượng nhẹ hơn khối lượng của siêu

hạt đồng hành tương ứng với hai thế hệ trước [14,15]. Bổ chính QCD cho sự sinh cặp

squark trong va chạm e+e− với tham số thực đã được tính trong [d].

Tuy vậy, không có lý do thuyết phục nào cho giả thuyết thực của các tham số

siêu đối xứng. Một số tham số có thể là phức trong đó có tham số liên quan đế khối

lượng Higgsino. Nếu nó là phức, bổ chính một vòng kín sẽ có đóng góp vào pha bất

đối xứng CP và điều này có thể quan sát được. Ví dụ, trong trường hợp rã sfermion đã

quan sát được sự bất đối xứng của tiết diện tán xạ [15,16] và trong kết quả đối với hàm

liên quan ba điểm [17,18,19] hiện tượng này cũng đã quan sát được.

Sự có mặt của siêu hạt đồng hành làm cho việc tính toán đóng góp của tất cả

các hạt trong một quá trình khó có thể tính được bằng tay. Chỉ cần xét phân rã của stop

thành sbottom và hạt gauge, số lượng giản đồ cần xét đên đã rất nhiều (xem hình 3.1).

Vì lẽ đó, trong luận văn này, việc tính toán chỉ giới hạn trong một số ít các giản đồ khả

dĩ. Việc xét đến toàn bộ đóng góp sẽ được thực hiện nhờ những phần mềm chuyên

dụng.





Hình 3.1. Các giản đồ một vòng kín cho quá trình rã stop thành top,

bottom hoặc sbottom và chargino

Sau đây là kết quả thu được cho độ rộng phân rã hạt t và b khi thỏa mãn là

phức. Trước hết, ta sẽ cụ thể hóa các công thức trong chương 2 dành cho quark ở thế

hệ thứ 3. Như vậy, q sẽ là top t hoặc bottom b . Mặt khác, tương ứng với mỗi bậc tự

do fermion ta có một vô hướng, cho nên, ta có it và ib , với 1,..,4i .

Sự pha trộn phần tay chiêu và tay đăm của squark được cho bằng (2.1) trong đó,

Q và , u d được hiểu là lưỡng tuyến của thế hệ thứ 3 và đơn tuyến , t b . Lagrangian

tương tác cho liên kết bottom, stop (top, sbottom) và chargino b t , t b đã

được cho trong 2.2.5. Lagrangian cho tương tác bottom, stop (top, sbottom) và

neutralino đã được cho trong 2.2.6.

Khi đó, độ rộng riêng phần của phân rã iq ( , i i iq t b ) thành trạng thái fermion

cuối cùng sẽ là:



12 2 2 22

3

2 2 2 2 2 *

, ,

16

4 Re

i k

i

i k k

q q

i kq

q q q qik ik q q ik ik q

g m m mq q

m

k l m m m k l m m

3.1

Và:

0

0 0

12 2 2 22

03

2 2 2 2 2 *

, ,

16

4 Re

i k

i

i k k

q q

i kq

q q q qik ik q q ik ik q

g m m mq q

m

a b m m m a b m m

3.2

Trong đó, 2 2 2, , 2x y z x y z xy yz zx .

Tương tự, độ rộng riêng phần của phân rã iq ( , i i iq t b ) thành trạng thái boson

cuối cùng (gauge và Higgs) sẽ là:

2 1

2

2 1

322 2 2 22

2 3

322 2 2 22

211 2 3

322 2 2 22

3

122 † 2 2 221 2

1

, ,W

16

, ,16

, ,

16

, ,

16

i j i j

i

j i i j

i

i

Wq q q W q

i kW q

Zq Z q

iZ q

Hq q q qH

i jq

i q H qi i

g A m m mq q

m m

g B m m mq Z q

m m

g C m m mq H q

m

g C q H q m m mq H q

m

2

3q

3.3

Trong đó, các hệ số được cho trong phần (2.5.8).

Ta có nhận xét sau đây về kết quả đã nhận được ở trên. Quá trình i je e q q

diễn ra thông qua kênh s với hạt truyền là photon và Z boson (hình 3.2).



Hình 3.2. Phản ứng hủy cặp thành squark

Khi chỉ tính đến sơ đồ cây, hệ số liên kết của tương tác i jZq q được cho trong

phần (2.2.2), biên độ không phụ thuộc vào pha của . Nhưng nếu tính đến đóng góp

một vòng kín, do sự pha trộn, mô đun các hệ số phụ thuộc vào pha của tham số. Điều

này sẽ kéo theo sự vi phạm CP của các độ rộng phân rã. Sự vi phạm này có thể nhận

biết được nếu năng lượng của các máy gia tốc được cải thiện.

Khi tính đến sự phức hóa các tham số khác, ví dụ, khối lượng gaugino và hệ số

liên kết ba trường Higgs, sự đóng góp vào số hạng vi phạm CP càng lớn [20]



KẾT LUẬN

Luận văn nghiên cứu bổ chính QCD cho sinh cặp Squark trong quá trình

hủy cặp Electron và Pozitron đã thu được một số kết quả sau :

1, Kết quả tính biên độ cho quá trình sinh cặp squark ở mức cây trong

gauge ’t Hooft-Feynman trùng với kết quả trong gauge unitary.

2, Xây dựng lagranian cho các quá trình tương tác trong gauge ’t Hooft-

Feynman, nếu tính đến bổ chính SUSY- QCD một vòng kín, việc tính toán đơn

giản hơn ở phần trường ma, tuy nhiên, trong lý thuyết vẫn còn trường không

khối lượng (trường Goldstone) giả vô hướng và vô hướng.

3, Khi tính toán tham số của lý thuyết là phức thì pha của nó không

cho đóng góp vào biên độ sinh cặp squark. Tuy nhiên, khi tính đến bổ chính

một vòng, pha của đã bổ xung thêm phần vi phạm CP vào nguồn vi pạm CP

của SM.

4, Từ kết tính toán với tham số là phức cho tất cả các giản đồ khả dĩ

có thể cho kết luận về tính phức của các tham số trong MSSM.





TÀI LIỆU DẪN (REFERENCES)

[1] H.E. Haber and G.L. Kane, Phys. Rep. 117 (1985) 75;

H.P. Nilles, Phys. Rep. 110 (1984) 1.

X.R. Tata, in Proceedings of the Mt Sorak Symposium on the Standard Model and

Beyond, Mt Sorak, Korea, 1990.

[2] E. Witten, Nucl. Phys. B188 (1981) 513;

N. Sakai, Z. Phys. C11 (1981) 153;

S. Dimopoulos and H. Georgi, Nucl. Phys. B193 (1981) 150.

[3] J. Ellis, D.V. Nanopoulos and D.A. Ross, CERN report TH.6824/93.

J. Ellis and H. Kowalski, Phys. Lett. B157 (1985) 437;

G. Altarelli, B. Mele and S. Petrarca, Phys. Lett. B160 (1985) 317;

V. Barger, S. Jacobs, J. Woodside and K. Hagiwara, Phys. Rev. D33 (1986) 57.

H.A. Baer, M. Drees, R.M. Godbole, J.F. Gunion and X.R. Tata, Phys. Rev. D44

(1991) 725.

M. Drees and M.M. Nojiri, Nucl. Phys. B369 (1992) 54, and Phys. Rev. D47 (1993)

376.

[4] Phạm Thúc Tuyền, Lý thuyết hạt cơ bản, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010.

[5] W. Beenakker, W. Hollik and S. C. van de Marck, Nucl. Phys. B365 (1991) 24.

G. ’t Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B153 (1979) 365.

W. Hollik, Fortschr. Phys. 38 (1991) 165.

[6] J. Wess, B. Zumino, Nucl. Phys. B70 (1974) 39-50;

J. Wess, B. Zumino, Nucl. Phys. B78 (1974) 1-14.

[7] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press (2000).

[8] A. Salam, J. Strathdee, Nucl. Phys. B76 (1974) 477. 131

[9] J. Wess, J. Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press

(1992)

[10] X.R. Tata, in Proceedings of the Mt Sorak Symposium on the Standard Model

and

Beyond, Mt Sorak, Korea, 1990.

J. Rosiek, Phys. Rev. D (1990) 41.



[11] G.F. Giudice and G. Ridolfi, Z. Phys. C41 (1988) 447;

For a recent review, see L.E. Ibanez and G.G. Ross, CERN report TH–6412–92, to

appear in Perspectives in Higgs Physics, G.L. Kane, editor.

[12] See e.g. M. Kamionkowski, Supersymmetric Dark Matter, in the Proceedings of

the

Workshop on High Energy Atrophysics, Honolulu, Hawaii, March 1992, edited by

J.G.

Learned and X.R. Tata.

[13] U. Amaldi, W. de Boer and H. F¨urstenau, Phys. Lett. B260 (1991) 447;

P. Langacker and M. Luo, Phys. Rev. D44 (1991) 817;

J. Ellis, S. Kelley and D.V. Nanopoulos, Phys. Lett. B260 (1991) 131.

[14] M. Davier, in Proceedings of the Joint International Lepton–Photon Symposium

and

European Conference on High Energy Physics, Geneva, Switzerland, 1991, edited by

S.

Hegarty, K. Potter and E. Quereigh (World Scientific, Singapore, 1992).

[15] CDF Collab., F. Abe et al., Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 3439.

[16] S. Bertolini, F. Borzumati, A. Masiero and G. Ridolfi, Nucl. Phys. B353 (1991)

591,

and references therein.

[17] K. Hagiwara and H. Murayama, Phys. Lett. B246 (1990) 533.

[18] Nguyen Thi Thu Huong et al., Int. Jour. Theor. Phys. 46 (2007) 41-50.

[19] J. Jerzak, E. Laermann and P. M. Zerwas, Phys. Rev. D25 (1980) 1218;

A. Djouadi, Z. Physik C39 (1988) 561.

[20] A. Djouadi, J. H. Kuhn and P. M. Zerwas, Z. Physik C46 (1990) 411.

Documents

BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ … · Chương III sẽ được dành cho quá trình phân rã stop và sbottom khi tính đến bổ chính SUSY–QCD 1–vòng