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§B. 生産者行動の理論
仮定B.1(企業の目的)
§B.1. 生産者(企業)の目的と制約
企業≡生産活動を行う経済主体
利潤最大化
財・サービスの生産
販売収入-生産費用 定義B.1
仮定B.2(完全競争的企業)
各企業:価格受容者(価格を与件として行動)
2
定義B.2 (計画期間 - planning horizon)
企業が意思決定を行う時間単位
短期 - short run:固定生産要素有り長期 - long run:全生産要素が可変{
定義B.3 (生産技術 - production technology)
対象となる計画期間で実現可能な投入・産出量の関係
3
§B.2. 生産技術
§B.2.1. 生産可能集合
定義B.4 (生産計画 - production plan)
企業の産出ベクトル:
投入ベクトル:
生産計画(投入・産出ベクトルの組み合わせ):
y = (y1, . . . ym) ∈ Rm+
x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn+
xj ≥ 0
(x, y) ∈ Rm+n+
yi ≥ 0生産財 i の産出量:
生産要素 j の投入量:
4
定義B.5 (生産可能集合 - production possibility set)
企業により実行可能な全ての生産計画の集合:Y ⊂ Rm+n+
O x1
x2
y
5
O x1
x2
y
Y(x2)
x2
定義B.6 (短期生産可能集合 - short-run production possibility set)
xv ≡ (x1, . . . , xk) ∈ Rk+
x̄f ≡ (x̄k+1, . . . , x̄n) ∈ Rn−k+
Y(x̄f ) = {(xv, y) ∈ Rm+k+ |(xv, x̄f , y) ∈ Y}
可変生産要素:固定生産要素:
短期生産可能集合:
6
定義B.7 (必要投入量集合 - input requirement set)
V(y) = {x ∈ Rn+|(x, y) ∈ Y}
O x1
x2
y
y
V(y)
7
仮定B.3 (非空 - nonempty):
生産可能集合の性質に関する仮定
Y �= ∅
仮定B.4 (閉集合 - closed set)
仮定B.5 (フリーランチ不可能 - no free lunch):
y > 0 & (x, y) ∈ Y ⇒ x > 0
Y( )x
x
y
O x
y
O(a) (b)
Y( )x
フリーランチ可能
8
仮定B.6 (操業停止可能 - possibility of inaction):
y
Y
x
(a)
yx2
x1
x2
45°
(b)
O
短期生産可能集合長期生産可能集合
埋没費用
O
(0, 0) ∈ Y
操業停止不可能
9
仮定B.7 (無償廃棄可能 - free disposability):
(x, y) ∈ Y
x� ≥ x
y� ≤ y
⇒ (x�, y�) ∈ Y}生産要素・生産財を資源を使わずに廃棄可能
O
A
B
C
y
x
}必要投入量集合の単調性:
⇒
⇒ V(y�) ⊂ V(y)y� ≥ y ≥ 0
y �= y�
10
定義B.8 (効率的生産計画 - efficient production plan):
「 は に優越する」(x, y) (x�, y�)かつ
x ≤ x� & y ≥ y�
x < x� or y > y�} ⇒
他のどの生産計画にも優越されない生産計画
(x, y) (x�, y�) /∈ Y}
定義B.9 (効率的生産集合 - efficient production set):
が に優越するならば
(x�, y�) ∈ Y(x�, y�) �= (x, y) であるどの にも優越されない}
Y ∗ ≡ {(x, y) ∈ Y|
= {(x, y) ∈ Y|(x�, y�)
11
O x
y
(a) O x
y
Y*(x)
(b)
Y*(x)
Y(x)
Y(x)
定義B.10 (生産関数 - production function):
効率的生産可能集合のグラフ
複数生産財:
単一生産財:f(x) = y
F (x, y) = 0⇔ (x, y) ∈ Y∗}
12
生産財が1種類の場合:
仮定B.5 (フリーランチ不可能):f(0) = 0
仮定B.7 (無償廃棄可能):
y ∈ [0, f(x)] ⇒ (x, y) ∈ Y
x > x� ⇒ f(x) ≥ f(x�)
かつ:増加関数
(x, y) /∈ Y
f(x)
x
f(x)
x
13
定理B.1 (必要投入量集合の凸性):
生産関数 f が準凹関数 ⇒ 必要投入量集合 は凸集合 V(y)
実数値関数 f : X → R
凸集合⊂ Rn
上方位集合{x ∈ X : f(x) ≥ y}
f(αx+ (1− α)x�) ≥ min{f(x), f(x�)}
任意 y ∈ R
が凸集合について
x, x� ∈ X
α ∈ [0, 1]} ⇒
準凹関数
同値
y
x1
x2
14
実数値関数 f : X → R
凸集合⊂ Rn
強い意味の準凹関数
x, x� ∈ X}⇒α ∈ (0, 1)
x �= x� f(αx+ (1 + α)x�) > min{f(x), f(x�)}
15
f(x)
f(x�)f(x��)
x�� = αx+ (1− α)x�
強準凹関数の例
16
準凹だが強準凹でない関数の例
水平部分を持つ場合 平面部分を持つ場合
17
※ 準凹関数のエッセンス: 等量曲線の垂直接断面が凹関数(最適2階条件)
18
定理B.2 (必要投入量集合の凸性):
生産関数 f が準凹(凹)関数 ⇒ 短期生産関数 も の準凹(凹)関数f(xv, xf ) xv
19
§B.2.2. 生産性の概念
定義B.11 (収穫非逓増 - non-increasing returns to scale):
∀t ∈ [0, 1], ∀(x, y) ∈ Y ⇒ (tx, ty) ∈ Y
20
定義B.12 (収穫非逓減 - non-decreasing returns to scale):
∀t ≥ 1, ∀(x, y) ∈ Y ⇒ (tx, ty) ∈ Y
21
定義B.13 (収穫一定 - constant returns to scale):
∀t ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Y ⇒ (tx, ty) ∈ Y
22
いずれでもない場合
23
定義B.14 (収穫逓増 - increasing returns to scale):
生産財が1種類の場合:
f(0) = 0f(tx) ≥ tf(x), ∀t > 1, ∀x > 0f(tx) > tf(x), ∀t > 1, ∃x > 0
(i) 広義の意味
45°
f(x)
xO
24
(ii) 狭義の意味�
f(0) = 0f(tx) > tf(x) ∀t > 1, ∀x > 0
f(x)
xO
y = f(x)
x tx
ty
f(tx)
25
f(0) = 0f(tx) ≤ tf(x), ∀t > 1, ∀x > 0f(tx) < tf(x), ∀t > 1, ∃x > 0
定義B.15 (収穫逓減 - decreasing returns to scale):
(i) 広義の意味
45°
f(x)
x
26
(ii) 狭義の意味�
f(0) = 0f(tx) < tf(x) ∀t > 1, ∀x > 0
f(x)
xO x tx
y = f(x)
ty
f(tx)
27
定義B.16 (収穫一定 - constant returns to scale):
f(tx) = tf(x) ∀t ≥ 0, ∀x ≥ 0
O
f(x)
xx tx
ty
y
28
仮定B.10 (可分性 - divisibility) ⇐ 定義B.13(収穫非逓増):
ある投入ベクトルを x 使って産出量 y が実現可能
同じ生産工程(投入量比)でいくらでも比例縮小生産できる。
(x, y) ∈ Y & 0 < λ < 1 ⇒ (λx,λy) ∈ Y
⇒
x1
x2
λx2
λx1
λy
y
O
29
O x
y
A
B
C
x x’
y
y’
D
E
仮定B.11 (加法性 - additivity):
(x, y) ∈ Y & (x�, y�) ∈ Y ⇒ (x+ x�, y + y�) ∈ Y
2つの生産工程を分けて行う 1つの生産工程としてまとめて行う
i.e., まとめることによるメリットもデメリットもない
30
定理B.3 (Yの加法・可分性):
Yが加法・可分性を満たす ⇒ Yは(0,0)を頂点とする凸錘
α,β ≥ 0
(x, y), (x�, y�) ∈ Y(αx+ βx�,αy + βy�) ∈ Y⇒}
O x1
x2
y
y
Y(x) ⇒ Yは収穫一定かつ凸
α > 0 & (x, y) ∈ Y
(αx,αy) ∈ Y
⇒
※ (0,0) を頂点とする錘
31
x tx
∆f(tx)
x1
x2
yε(x) ≡ df(tx)
dt
t
f(tx)
����t=1
=df(tx)
f(tx)
�dt
t
定義B.17 (局所的な規模の生産性 - local returns to scale):
投入ベクトル x における生産規模の弾力性:
32
一要素の場合:
df(x)
dx=
BC
AB
x
f(x)=
OB
BC
�(x) < 1 ⇒
�(x) > 1 ⇒
�(x) = 1 ⇒
収穫逓減
収穫逓増
収穫一定{
限界生産性平均生産性
ε(x) =df(x)
dx
x
f(x) =
O x
yA
A B
CD
29
x2
tx1 (t+dt)x1
tx2
(t+dt)x2
tx
(t+dt)x
O
(dt/t) 100%
(dt/t) 100
(dt/t) 100
(dt/t) 100
x133
定義B.18 (生産要素 i に関する産出量弾力性 - output elasticity of factor i):
εi(x) ≡∂f(x)
∂xi
xi
f(x)
定理B.6 (生産規模と生産要素に関する産出量弾力性):
ε(x) =n�
ι=1
εi(x)
34
定義B.19 (生産要素の生産性 - 単一生産財の場合)
O x
y
O x
D A B
C
E
APMP
f(x)
MP(x)AP(x)
(a)
(b)
APi(x) =f(x)
xi
MPi(x) =∂f(x)
∂xi
要素 i の平均生産性:
要素 i の限界生産性:
MP (x) > AP (x) ⇒ ∂f(x)
∂x> 0
局所的収穫逓増:
局所的収穫逓減:
MP (x) < AP (x) ⇒ ∂f(x)
∂x< 0
平均生産性の上昇局面
平均生産性の低下局面
35
定義B.21 (等量曲線 - isoquant)
V∗(y) ≡ {x ∈ V(y)|x� < x ⇒ x� /∈ V(y)}(⊂ V(y))
必要投入量集合の中で効率的な投入ベクトルの集合:
O x1
x2
y
y
V(y)
y
y
x1
x2
V(y)
V∗(y)
36
定義B.22 (技術的限界代替率 - marginal rate of technical substitution)
TRSij(x, y) = − dxj
dxi
����dy=0
dxk=0,k �=i,j
=∂f(x)/∂xi
∂f(x)/∂xj
O x1A B
CD
x2
f(x) = y
x1
x2
f(x) = y
∂f(x)
∂xidxi +
∂f(x)
∂xjdxj = 0
TRS12 =AC
AB
所与の産出量の下で 要素 i 1単位と同等な生産性を持つ要素 j の単位数
37
定理B.7 (限界代替率逓減の原理)
x, x� ∈ V∗(y)
x�i/x
�j > xi/xj
xk = x�k ∀k �= i, j
V(y)が凸集合
TRSij(x�, y) ≤ TRSij(x, y)}
⇒
※1. 特定の生産要素を集約度⤴ → その要素の生産性⤵
※2. 規模の経済の存在: 特定の生産要素を集約度⤴ → その要素の生産性⤴
38
定義B.23 (技術的代替の弾力性 - elasticity of technical substitution)
σij ≡ − fi/fjxi/xj
d(xi/xj)
d(fi/fj)= −TRSij
xi/xj
d(xi/xj)
dTRSij
・等量曲線の一種の曲率
−d(x1/x2)
x1/x2=
d(x2/x1)
x2/x1≈ ∆x2/x1
x2/x1
σ12 ≈ ∆x2/x1
x2/x1
�∆TRS12
TRS12⇒
・等量曲線上で 要素iの(jに対する)相対的生産性1%の変化に対する 投入量比の変化%数
x2
(x1*, x2*)
x2*/x1* x1
x2/x1
(x1,x2)
f(x1,x2) = y
O
A
B
E
D C39
∆x2
x1≡ x∗
2x∗1− x2
x1=
BD
OD− ED
OD=
BE
OD
ステップ1) 投入比率の変化
∆x2
x1
�x2
x1= BE
OD
�ED
OD=
BE
ED
!f1 /f2
!f1 */f2*
O F
K
J
I
H
G
D
(x1*, x2*)B
(x1,x2)A
f(x1,x2) = y
x2
x1
40
ステップ2) 限界代替率の変化
∆TRS12 ≡ ∆f1f2
=f∗1
f∗2
− f1f2
=BD
DH− KD
DH=
BK
DH
∆TRS12/TRS12 = BK
DH
�KD
DH
=BK
KD
O C F
K
J
I
H
G
E
D
(x1*, x2*)B
(x1,x2)A
f(x1,x2) = y
!f1 */f2*
!f1 /f2
x2*/x1*x2/x1
x2
x1
41
σ12 ≈∆
x2x1
�x2x1
∆TRS12/TRS12=
BE
ED
�BK
KD
ステップ3) 技術的代替弾力性と生産要素の代替・補完関係
σ12 > 1
σ12 < 1
:代替的
:補完的{ → 限界代替率変化に敏感に反応
42
σ12 低い
σ12 高い
O
K
M
E
D L
>>
>>
//
//
(x1*, x2*)B
(x1,x2)A f(x1,x2) = y
x2
x1
43
定義B.24 (CES生産関数)f(x1, x2) = [αxρ
1 + (1− α)xρ2]
1ρ
生産要素が2種類の場合α ∈ (0, 1), ρ < 1
σ ≡ σ12 = σ21 = 1/(1− ρ)
x2
x1
(x1,x2)
O
A
B
CD
! = ! ", " = 0! = 1, " = "! = 0, " = 1#/(1!#)
(x1 *,x2*)
45°
E//
// y = αx1 + (1− α)x2
limρ→0
y = xα1 x
1−α2
limρ→∞
y = min {x1, x2}レオンチェフ型
コブ=ダグラス型
3つの特殊ケース
44
定義B.26 (同次関数)
f : Rn+ → R
∀t > 0 ∀x ∈ Rn+ f(tx) = tkf(x)
s.t.
k次同次関数
( ) (k < 1) 規模に関して収穫逓減 ( ) (k > 1)規模に関して収穫逓増
O
( )(k = 1) 規模に関して収穫一定
2x
1x
2x
1x
yyy
2x
1x
O O
k < 1規模に関して収穫逓減
k > 1規模に関して収穫逓増
k = 1規模に関して収穫一定
45
定理B.9 (オイラーの定理 - Euler’s law)
n�
i=1
xi∂
∂xif(x) = kf(x)
f : Rn+ → R微分可能なk 次同次関数
定理B.11 (同次関数の導関数)
f : Rn+ → R微分可能な k>0 次同次関数
∂
∂xif(x) (i = 1, . . . , n):(k-1)次同次→
46
定義B.27 (ホモセテイック関数 - homothetic function)
f : Rn+ → R微分可能な同次関数
g : R → R
φ(x) ≡ g(f(x))
:微分可能な単調増加関数
O x1A B
D
x2
//
>>
>>
//
f(x) = y
f(x) = y
定理B.12 (等量曲線の相似性)
∀(x, y), (x�, y�) ∈ Yxi
xj=
x�i
x�j
⇒ TRSij(x, y) = TRSij(x�, y�)
s.t.
:ホモセティック関数
例:CES関数
47
定義B.28 (生産物変形曲線 - product transformation curve)
異なる生産財間の産出量のトレードオフ
T (x) ≡ {y ∈ Rm+ |(x, y) ∈ Y∗}
O y1
y2
x1+x2 = x
x1
x2
F(x,y1,y2) = 0
x
y1
y2
O
x
(a)
(b)
T(x)
y2
48
O y1
y2
x1+x2 = x
x1
x2
F(x,y1,y2) = 0
x
y1
y2
O
x
(a)
(b)
T(x)
※ 同じ生産要素 x
x1 → 財1の生産x2 → 財2の生産{
y1
y2
x2
x1
x1 + x2 = x
T (x)
y2 = f2(x)
y1 = f1(x)