Az Eötvös-versenyek feladatai II. - tankonyvtar.hu · 1 Created by XMLmind XSL-FO Converter. Bevezetés Ez a könyv a Vermes Miklós által írt „Az Eötvös Loránd fizikaversenyek

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Az Eötvös-versenyek feladatai II.

1989-1997

Radnai, Gyula

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Az Eötvös-versenyek feladatai II.: 1989-1997 írta Radnai, Gyula Szerzői jog © 1998 Radnai Gyula

A mű digitális megjelenítése az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Felsőoktatási Tankönyv- és Szakkönyvtámogatási Pályázat keretében történt.

Minden jog fenntartva. Jelen könyvet, ill. annak részeit tilos reprodukálni, adatrögzítő rendszerben tárolni, bármilyen formában vagy eszközzel elektronikus úton vagy más módon közölni a kiadók engedélye nélkül.

www.typotex.hu

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom

Bevezetés ............................................................................................................................................ 1 Az 1989. évi verseny .......................................................................................................................... 6

1. A verseny eredménye .......................................................................................................... 13 Az 1990. évi verseny ........................................................................................................................ 15






1. A verseny végeredménye .................................................................................................... 77 Az 1996. évi verseny ........................................................................................................................ 79

1. A verseny végeredménye .................................................................................................... 84 Az 1997. évi verseny ........................................................................................................................ 87

1. A verseny eredménye .......................................................................................................... 96

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Bevezetés Ez a könyv a Vermes Miklós által írt „Az Eötvös Loránd fizikaversenyek feladatai 1959-1988” c. könyv

folytatása, ezért 1989-től szerepelnek benne a feladatok. Másrészt 1998-ban emlékezünk meg Eötvös Loránd

születésének 150. évfordulójáról, ennek tiszteletére jelenik meg a róla elnevezett versenyekről szóló könyv

1998-ban.

Összesen tehát feladatot, s ezek megoldását találhatja meg itt az érdeklődő olvasó,

kiegészítve a verseny eredményét ismertető, a díjazott versenyzők és felkészítő tanáraik nevét évenként

felsoroló rövid összefoglalásokkal.

A feladatok tematikája nagyjából megfelel a szokásos középiskolai fizikafeladatok tematikájának. Mindig van

egy mechanikai és egy elektromosságtani feladat, és többször van még termodinamikai tárgyú is. Nem egyszer

találkozhatunk „vegyes típusú” feladatokkal, amikor több témakörből vett összefüggések együttes alkalmazása

vezet a megoldáshoz. A jelenségkör, amire a feladatok épülnek, általában a diák közvetlen környezetében

megfigyelhető jelenségek köre, esetenként az iskolai egyszerű kísérletek, eszközök világa. A Versenybizottság

legrégebbi tagja, Károlyházy Frigyes, különösen mestere az egyszerű jelenségek mögötti mély fizikai tartalom

feltárásának, s előszeretettel választ a fizikai gondolatok kifejtésére olyan jól ismert hétköznapi jelenségeket és

tárgyakat, mint amilyen például a tejeszacskó, a lemezjátszó, a pingpong labda, a felfújható lufi, az alufólia, az

iránytű, a vízzel - maximum sós vízzel - megtölthető edény. A könyvben közölt feladatok mintegy fele

Károlyházy Frigyestől származik. Gnädig Péter 1988 óta tagja a Versenybizottságnak, az ő feladatai néhány

alkalommal az olimpiai előkészítőn felmerült, ott meg nem tárgyalt problémákból születtek. Boros János, aki

1991-ben bekövetkezett haláláig volt tagja a Versenybizottságnak, elsősorban az értékelésben vett részt.

A Versenybizottság elnökének feladata az egész verseny megszervezése a feladatjavaslatok összegyűjtésétől

kezdve a kitűzésen és megíratáson át az értékelés, majd az eredményhirdetés lebonyolításáig. Ezt a munkát

végezte 1988-ig Vermes Miklós, s végzi azóta e könyv szerzője, immár 25 éves versenybizottsági tapasztalattal.

A 90-es években készített feladatai elsősorban az egyébként hiányzó témakörök bevezetésére vagy éppen

visszaállítására születtek: Boltzmann eloszlás (1990), merev test síkmozgása (1992), az egyensúly stabilitása

(1994), fizikai optika (1995), csillagászat (1997).

E könyvben öt olyan feladat van, amely nem a Versenybizottság tagjaitól származik: Tichy Géza (1993/3) és

Varga István (1993/1., 1995/2., 1997/3.) segítették jó ötleteikkel a Versenybizottságot, míg a fekvő fatörzset

átugró szöcske a KVANT egyik feladatából ugrott át az 1996. évi Eötvös versenybe.

A feladatok kitűzése a verseny szakmai értékét meghatározó, egyik legfontosabb része a Versenybizottság

munkájának. Az Eötvös verseny ugyanis egy fordulós, és mint tudjuk, ezen a versenyen bármilyen magukkal

hozott segédeszközt: könyveket, jegyzeteket, táblázatokat, zsebszámológépet használhatnak a diákok. A

megfelelő feladatok kitalálása kemény próba elé állítja a Versenybizottság minden egyes tagját.

Még javában folyik a feladat-kitűző munka, amikor már elkezdődik a verseny szervezése az országban. A

verseny gazdája az Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Budapesten és minden vidéki helyszínen van egy tagja a

Társulatnak, aki felelősen intézi a verseny lebonyolítását: megfelelő tantermet biztosít a versenyzéshez,

megszervezi a felügyeletet, felel a dokumentumok titkos kezeléséért, s a verseny szabályszerű lebonyolításáért.

A verseny időpontját a Versenybizottság tűzi ki, egyeztetve a Kürschák versenyt szervező Bolyai János

Matematikai Társulattal. A kialakult gyakorlat szerint az Eötvös és a Kürschák verseny két egymást követő

héten, péntek délutánonként zajlik, október második felében. A fizika feladatok megoldására 5 óra (300 perc) áll

rendelkezésre.

A verseny szervezői, akik legtöbb esetben a felügyeletben is részt vettek, 1989 és 1997 között a Társulat

következő tagjai voltak:

Békéscsaba (1994-97) : Varga István

Bonyhád (1989-90) : Jurisits József

Budapest (1989-97) : Radnai Gyula

Bevezetés


Debrecen (1989-97) : Nagy Mihály, Kopcsa József

Eger (1989-97) : Vida József, Szombathy Miklós

Győr (1989-97) : Tolnai László, Zábrádi Antal

Miskolc (1989-97) : Zsúdel László, Ambrózy Béla

Nagykanizsa (1989-97) : Soós Sándor, Piriti János

Nyíregyháza (1989-97) : Beszeda Imre, Pocsai Péter

Paks (1994-96) : Csajági Sándor

Pécs (1989-97) : Kotek László, Szűcs József

Sopron (1989-97) : Nagy Márton, Tolvaj László

Szeged (1989-97) : Sárkány Béla, Molnár Miklós

Szekszárd (1997) : Jurisits József

Székesfehérvár (1994-97) : Ujvári Sándor

Szombathely (1989-97) : Kovács László, Németh Sándor

Tamási (1991) : Kaszás Dezső

Veszprém (1989-97) : Méray László, Gergelyi Gábor

A Társulat budapesti Titkárságán Nagy Zsigmondné intézte a feladatlap sokszorosítását és postázását a fenti

szervezők számára, akik a lezárt borítékot azután csak a verseny kezdetekor bontották fel, majd kiosztották

pontban 3 órakor a feladatlapokat.

A versenyen - mint az közismert - mindig az abban az évben érettségizettek és középiskolai tanulók vehetnek

részt. Részben a szervezők feladata a verseny propagálása is; elsősorban a középiskolák tájékoztatása a verseny

pontos helyéről és időpontjáról. Nem minden középiskola érdeklődik az Eötvös verseny iránt; vannak kiugróan

jó iskolák, és bizony vannak olyan középiskolák, ahonnan még soha, egyetlen tanuló sem indult a versenyen.

Igaz, ez a verseny a legjobbaknak való, de a versenyrutin megszerzéséhez érdemes lehet olyan versenyen is

elindulni, ahol nincs sok esély a verseny megnyerésére.

1993 óta indulhatnak a versenyen a környező országokban élő, de a fizikát magyarul tanuló és értő diákok is.

Hasonlóképp indulhatnak a Magyarországon élő és tanuló külföldi állampolgárságú versenyzők. Előzetesen

jelentkezni nem kell az Eötvös versenyre, elég, ha pontosan megjelenik valaki a verseny valamelyik helyszínén,

s ott igazolja, hogy jogosult a versenyzésre. Érdekes, hogy 1993-ban 20, 1994-ben 11, 1995-ben 4, 1996-ban 10,

1997-ben 3 külföldi versenyző vett részt az Eötvös versenyen. Nem is eredménytelenül. 1994-ben egy 3. díjat,

1995-ben egy dicséretet, 1996-ban két 2. díjat nyertek Szlovákiában, ill. Romániában tanuló vagy ott

érettségizett diákok.

Az alábbi táblázatban az egyes helyszíneken a különböző években beadott dolgozatok számát követhetjük

soron:

89 90 91 92 93 94 95 96 97

Békéscs - - - - - 11 2 5 7 25

Bevezetés


aba

Bonyhád 4 2 - - - - - - - 6

Budapes

t 114 85 88 105 117 149 101 99 101 959

Debrece

n 49 57 38 41 22 23 34 23 7 294

Eger 21 6 16 8 7 5 8 7 15 93

Győr 3 4 3 1 14 7 7 8 4 51

Miskolc 20 8 7 4 4 14 18 8 4 87

Nagykan

izsa 4 8 2 2 9 4 6 13 17 65

Nyíregy

háza 22 10 15 6 8 10 8 10 6 95

Paks - - - - - 8 12 7 0 27

Pécs 6 10 27 21 25 27 15 12 16 159

Sopron 2 3 4 9 20 10 6 0 3 57

Szeged 6 25 30 45 26 36 16 15 16 215

Szekszár

d - - - - - - - - 7 7

Székesfe

hérvár - - - - - 2 13 7 4 26

Szombat

hely 11 3 2 3 8 3 1 1 4 36

Tamási - - 2 - - - - - - 2

Veszpré

m 11 21 31 1 11 27 15 3 5 125

273 242 265 246 271 336 262 218 216 2329

Vermes Miklósnak az előző kötetben tett megállapítása, mely szerint „a résztvevők száma 200 és 300 között

szokott lenni”, látjuk, a 90-es években is igaz maradt. Egyedül a centenáriumi, jubileumi évben, 1994-ben nőtt a

létszám 300 fölé, azóta viszont fokozatosan csökken, közelít a 200-hoz.

A részletesebb elemzés azt mutatja, hogy elsősorban az utolsó éves, érettségiző versenyzők száma csökken az

utóbbi években. Ez összefüggésben lehet azzal, hogy régebben az érettségi előtt álló, egyetemi, főiskolai

továbbtanulásra jelentkező tanulók számára nagy vonzerőt jelentett az a kedvezmény, hogy az Eötvös verseny

első 10 helyezettje felvételi nélkül bejuthatott bármelyik egyetemen olyan szakra, ahol matematikából és

fizikából kellett volna felvételiznie. Az utóbbi években azonban ez már nem olyan nagy előny, annyi féle

kedvezményt nyújtanak az egyetemek a hozzájuk jelentkező diákoknak. Ma is érvényes, hogy az első 10

Bevezetés


helyezettnek nem kell felvételiznie, de még az Eötvös versenyen helyezetlen tanuló is bejuthat felvételi nélkül

bizonyos szakokra, ha elég jó a középiskolai bizonyítványa.

Amint ezt az egyes versenyek végeredményét mutató statisztikai adatokból majd látni fogjuk, eddig mindig a

IV. osztályos, érettségi előtt álló versenyzők voltak a legtöbben a versenyen. Jó lenne tehát, ha nem csökkenne

már a számuk.

A feladatok megoldásához szükséges tárgyi tudás a legtöbb esetben nem lép túl a középiskolai tananyagon. Ezt

a kritériumot persze nem kell olyan szigorúan venni, mint mondjuk a felvételi vizsgán, már csak azért sem, mert

az Eötvös versenyen akár egyetemi tankönyveket is használhatnak a versenyzők a megoldáshoz. A tapasztaltabb

versenyzők sokszor egy nagy sportszatyorral érkeznek, benne a literes Cola, valamint egy csomó középiskolai

és egyetemi példatár, tankönyv. A Versenybizottság minden esetre igyekszik olyan feladatokat adni, amelyek

megoldásához sokkal inkább jó fizikai szemléletre, mint részletekbe menő tárgyi tudásra van szükség.

És a matematika? Tudjuk, a matematika a fizika nyelve, megkerülhetetlen. Mégis, az Eötvös verseny

feladatainak megoldásához általában nem a felsőbb matematikai módszerek ismeretére van szükség, hanem arra

a jó értelemben vett matematikai gondolkodásra, amely a fogalmak szabatos használatában, hibátlan

következtetésekben, a rutinszerű lépések gyors és pontos végrehajtásában nyilvánul meg. Elképzelhető persze,

hogy a pontos végeredmény meghatározásához bizonyos integrál vagy más határérték kiszámítására is szükség

lenne. Ilyen esetben a Versenybizottság megelégszik közelítő értékekkel is, ugyanakkor az a tapasztalat, hogy a

legjobb versenyzők könnyedén kiszámítják a szükséges határértékeket.

A versenydolgozatok értékelése kizárólag a Versenybizottság feladata. Még Vermes Miklós vezette be azt az

eljárást, hogy sorszámot kapnak a dolgozatok, s azután egészen a döntés meghozataláig csak ezekre a számokra

hivatkozva beszélünk a versenyzőkről, valahogy így: „… a 17-es megoldása a harmadik feladatra ugyanazon az

ötleten alapul, mint a 192-esé…”. Az az igazság, hogy az ember könnyebben jegyzi meg a legfeljebb

háromjegyű számokat, mint a hosszú, bonyolult neveket, s kevesebbet is kell írni, ha a dolgozatról írt saját

feljegyzések elé nem egy hosszú nevet, hanem csak egy számot írunk. Az emberi kényelmességre és

feledékenységre építő módszerek általában jól beváltak - így vagyunk ezzel is. A döntés délutánján azután ott a

többszáz sorszámozott és átnézett dolgozat; kiválasztjuk közülük azokat, amelyeket a Versenybizottság

bármelyik tagja díjra vagy dicséretre érdemesnek tartott, s ha kell, újra átnézzük, egymás mellé tesszük, újra

értékeljük őket. Érvek, vélemények, ízlések ütköznek egymással egy-egy konkrét esetben, hiába értünk egyet

egymással általában. Nem készül előre pontozási utasítás a feladatokhoz - az Eötvös verseny feladatok nem is

viselnék el a bürokratikus, túl formális módszereket a megoldások értékelésében. Majdnem minden évben

előfordul, hogy találunk olyan megoldási próbálkozást, amilyenre a feladat kitűzésekor a Versenybizottság

egyik tagja sem gondolt. Természetes, hogy ilyenkor a megoldás értékelése nem történhet valamilyen előre

megszabott mintamegoldással való összevetés alapján, hanem az új próbálkozást önmagában (ötletessége,

különlegessége, valamint a gondolatmenet következetes végigvitele, befejezettsége, az elvégzett számítások

helyessége alapján) kell értékelni.

A Versenybizottság sok éve kialakult gyakorlata szerint első díjat az a versenyző kaphat, akinek mind a három

feladatra adott megoldása helyes. Ha több ilyen versenyző van, akkor ők megosztott első díjat kapnak. Sor

kerülhet a második és a harmadik díj megosztására is az egymást között egyenlőnek ítélt dolgozatok között. Az

a versenyző, aki a három feladat közül csak egyet tudott megoldani, legfeljebb dicséretet kaphat, azt is csak

akkor, ha megoldása különösen érdekes és értékes. Tekintettel az egyetemi felvételire vonatkozó, már említett

kedvezményre, a Versenybizottság döntésében egyértelműen rögzíti, hogy kik tekinthetők a verseny első tíz

helyezettjének. Azokat a versenyzőket, akik nem kerültek a díjazottak vagy a dicséretesek közé, a

Versenybizottság nem rangsorolja, ezért nem lehet megmondani pl., hogy ki a verseny 65. helyezettje.

Amint megszületik a Versenybizottság döntése, erről jegyzőkönyv készül, s e jegyzőkönyv alapján írásbeli

meghívást kapnak a díjazott, ill. dicséretet nyert versenyzők és felkészítő tanáraik az Eötvös verseny ünnepélyes

eredményhirdetésére. Ez általában november végén, egyik péntek délután szokott lenni, a pontos időpont már a

feladatlapon is szerepel.

Az eredményhirdetés nyilvános. Helye az e könyvben szereplő valamennyi esetben az Eötvös Loránd

Tudományegyetem Múzeum körúti Főépületének második emeletén lévő nagy fizikai előadóterem volt. Az

ehhez kapcsolódó Előkészítőben lévő egyetemi kísérleti eszközök lehetővé tették, hogy szinte minden Eötvös

verseny feladathoz kapcsolódóan valamilyen érdekes kísérletet is össze tudtunk állítani. Ezeket a feladatok

megoldásának közös diszkussziója után a Versenybizottság tagjai, ill. tanítványaik, fizika tanár szakos egyetemi

hallgatók mutatták be, akik olykor több héten át készültek erre az eseményre.

Bevezetés


Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat azzal is kifejezi, hogy magáénak tekinti a versenyt, hogy a díjakat és a

jutalmakat a Társulat vezető tisztségviselői adják át. 1989 és 1997 között három esetben a Társulat elnöke

(1989: Kroó Norbert, 1994: Kiss Dezső, 1997: Marx György), öt esetben az elnök képviseletében az alelnök

(1991: Boros Dezső, 1995: Németh Judit), ill. a Versenybizottság elnöke (1990, 1992, 1993) volt a díjátadó.

1996-ban a Versenybizottság két régi Eötvös verseny nyertes versenyzőt kért fel a díjak átadására: Hoffmann

Tibor 1940-ben, Bakos Tibor 1926-ban (!) nyert matematikából is, fizikából is első díjat az akkori Eötvös

Loránd, ill. Károly Irén tanulóversenyen.

Az állami versenyeken ma már bevált és meghonosodott gyakorlat, hogy a sikeres versenyzők tanárait is

megjutalmazzák. A társulati versenyek díjainak átadásakor annak idején Eötvös Loránd mindig kifejezte mind a

maga, mind a Társulat köszönetét a nyertes diákok tanárainak, de külön jutalomban nem részesültek a tanárok.

Az utóbbi években szerencsésen megnőtt a tankönyvkiadással foglalkozó vállalatok érdeklődése a

tanulóversenyek iránt. Ezt az alkalmat ragadta meg a Versenybizottság, amikor felkérte a kiadókat: ajánljanak

fel jutalomkönyveket az Eötvös versenyen sikeresen szereplő diákok tanárai számára, s ha van rá lehetőség, a

diákok társulati jutalmát is egészítsék ki könyvekkel, könyvutalványokkal. Az eddigiekben a legjelentősebb

hozzájárulást a Nemzeti Tankönyvkiadó és a Calibra-Műszaki Kiadó adta, de nem hanyagolhatók el a Scolar, a

Talentum és a TYPOTEX kiadók felajánlásai sem.

Az eredményhirdetésről, a megoldások diszkussziójáról, a bemutatott kísérletekről, valamint a díjátadásról az

utóbbi években számos fénykép készült, amelyek egyszer még jó szolgálatot tehetnek egy, az Eötvös verseny

nyerteseit bemutató kiadványban. Itt említjük meg, hogy az utóbbi években már a régi Eötvös versenyek

nyertesei is meghívót kapnak az ünnepélyes eredményhirdetésre - sokan el is jönnek közülük. Életpályájuk,

karriertörténetük számos tanulsággal szolgálhatna mindannyiunk számára.

Radnai Gyula

a Versenybizottság elnöke


Az 1989. évi verseny 1. feladat. Gergő gyakran segít a háztartásban. A zacskós tejet az 1989.1. ábrán látható módon a zacskónál

valamivel szűkebb keresztmetszetű, levágott tetejű és alul kilyukasztott műanyag flakonban szokták tárolni.

Gergő megfigyelése szerint a szájával lefelé fordított flakonból a még felbontatlan zacskós tej magától kiesik,

viszont a tetejénél megfogott tejes zacskóról még akkor sem esik le a flakon, ha alulról egy másik zacskó tejet

akasztunk rá.

1989.1. ábra.

Mi lehet a magyarázat?

Megoldás. A flakont a súrlódási erő tartja meg. A súrlódási erő a flakon falára ható nyomóerővel arányos, ez a

nyomóerő pedig a tej hidrosztatikai nyomásából származik. A súrlódási erő nagyságát becsléssel állapítjuk meg.

Azt kell megmutatnunk, hogy a flakonra ható súrlódási erő az 1989.1. ábrán látható helyzetben -nál is

nagyobb lehet, viszont a szájával lefelé fordított flakonban a tejeszacskóra -nál kisebb súrlódási erő

hat.

Most egy becsléssel megmutatjuk, hogy ez teljesül. Az egyszerűség kedvéért mérjük a távolságot centiméterben

(1989.2. ábra).

Az 1989. évi verseny


1989.2. ábra.

A tejeszacskó kerülete valamivel kisebb, mint , ezért a flakonban a zacskó kissé meggyűrődik, így

a tej egyenletesen nyomja a zacskót a flakon falához. A zacskóban a tej fölött levegő van, ennek nyomása

megközelítőleg egyenlő a külső légnyomással. Esetleg még nagyobb is lehet, ha - miközben tartjuk - jól meg is

szorítjuk a zacskót. Ezzel a nyomóerőt és így a súrlódási erőt is tovább növeljük. Most azonban ezt ne vegyük

figyelembe; enélkül is meg kell tartsa a flakont (a ráakasztott másik zacskó tejjel együtt) a súrlódási erő.

Mivel a hidrosztatikai nyomás lefelé lineárisan nő, átlagos értéke az 1989.2. ábra alapján:

A flakon falának területe:

E kettő szorzatának -szorosa adja meg a súrlódási erő maximális értékét. ( a tapadási súrlódási

együttható, amelynek értéke legalább 0,3 és legfeljebb 0,6 a zacskó és a flakon fala között.) A legkisebb

értéket véve is:

tehát a súrlódási erő valóban meg tudja tartani a mintegy súlyú másik zacskó tejet.

A feladat megoldása akkor teljes, ha azt is megmutatjuk, hogy a lefelé fordított flakonból magától kiesik a

tejeszacskó, még a lehető legnagyobb esetén is.

Tegyük fel, hogy a lefelé fordítás után a zacskó még nem mozdult el, csak a tej ömlött át a zacskó alsó részébe

(1989.3. ábra).



1989.3. ábra.

A flakon falára ható hidrosztatikai nyomás átlagértéke most csak

és ez a kisebb nyomás ráadásul kisebb területen is hat a flakon falára:

E két érték szorzatának -szorosa még esetén is csak , tehát

Ezért a tejeszacskó kiesik a lefelé fordított flakonból.

Megjegyzés. A megoldáshoz tartozik értékének becslése is. A példaképpen bemutatott gondolatmenetben a

becslést alkalmaztunk, ez összhangban van a Középiskolai Fizikai Táblázatokban,

ill. középiskolai és egyetemi tankönyvekben közölt adatokkal. Ugyanakkor, ha a tejeszacskó kívül zsíros,

jóval kisebb is lehet, s a zsíros tejeszacskóról bizony lecsúszhat a flakon a ráakasztott másik liter tejjel együtt.

Most azonban nem erről a tapasztalatról volt szó, nem ezt kellett megmagyarázni.

2. feladat. Egy keskeny, hosszú csőben (kapillárisban) magasra emelkedik a víz a csövön kívüli

szinthez képest. A víz felszíne -os szöget zár be a cső falával az érintkezési vonalnál. A csövet benyomjuk

a vízbe (így az teljesen megtelik), majd a felső végén ujjunkkal befogva, függőleges helyzetben egészen kiemeljük

a csövet a vízből. Ezután a befogott nyílást újra szabaddá tesszük, s ekkor a víz egy része kifolyik.

Lehet-e a függőleges helyzetű csőben maradó vízoszlop hossza

a) ; b) ; c) ; d) ?

Megoldás. Amikor a cső a vízbe nyúlik (1989.4. ábra), nagyságú erő emeli

magasságra az keresztmetszetű csőben a vizet:

(1)



1989.4. ábra.

Jelen esetben , , és ha behelyettesítjük a víz sűrűségének és felületi

feszültségének táblázati adatait, meghatározhatjuk a kapilláris sugarát:

A sugár kiszámítása nem volt feladat, ezt az adatot nem is fogjuk felhasználni a továbbiakban, viszont segít a

kapilláris elképzelésében. Úgy képzeljük, hogy a cső fala elég vékony, még a kapilláris belső átmérőjéhez

képest is elhanyagolható a fal vastagsága.

Ebben az esetben amikor kiemeljük a csövet a vízből, a cső alján akkor lép fel a legnagyobb felfelé mutató erő,

ha pontosan félgömb alakú, jó közelítéssel sugarú „csepp” alakul ott ki (1989.5. ábra).

Most az egyensúly feltétele:

(2)

1989.5. ábra.

Ha az (1) és (2) egyenleteket összevetjük, a csőben maradó vízoszlop maximális hosszára az alábbi egyszerű

összefüggés adódik:



Ebbe behelyettesítve a és megadott értékeket:

Máris kizárhatjuk az a) esetet: a csőben maradó vízoszlop hossza nem lehet .

-nél rövidebb azonban lehet a vízoszlop hossza,mivel az alsó felület még

lehet -nél nagyobb sugarú gömbsüveg, lehet akár vízszintes felület, sőt, lehet olyan is, amely fölfelé

domborodik, alulról homorú! Így a csőben maradó vízoszlop akármilyen rövid is lehet, tehát 0 és

között minden hossz lehetséges:

Ezért a b), c) és d) esetben kérdezett hosszak bármelyike megvalósulhat.

1989.6. ábra.

A helyes válasz tehát:

a) nem lehetséges;

b), c), d) lehetséges.

Megjegyzés. Érdemes külön is megvizsgálni, hogyan alakulhatnak ki az említett felületek a cső alján annak

ellenére, hogy az illeszkedési szög mindig kell maradjon! Néhány ilyen esetet rajzoltunk

meg az 1989.6. ábrán. Ha nem ilyen vékony a cső fala, hanem - mint az üvegkapillárisok esetén gyakran



előfordul - vastagabb, akkor az alul kialakuló csepp alakja elég bonyolult is lehet. Több versenyző szép

kvalitatív diszkussziót adott ezekre az esetekre is.

3. feladat. Az iskolai -os, -es váltóáramú áramforrásra sorba kapcsoltunk egy ,

-os izzót és egy kapacitású kondenzátort. Az izzó alig világít. Rendelkezésünkre

áll még egy induktivitású tekercs is. Hogyan lehetne a kapcsolást úgy átalakítani, hogy az izzó szép

fényesen világítson? (A tekercs ohmos ellenállása elhanyagolható. Csak a kapcsolást szabad átalakítani, az

alkatrészeket nem.)

Megoldás. A , -os izzó ellenállása:

A -os kondenzátor váltóáramú ellenállása:

A induktivitású tekercsre:

Mivel e két váltóáramú ellenállás egyenlő, az embernek azonnal a rezonancia jut az eszébe. Kapcsoljuk sorba

mindhárom elemet! Ekkor az eredő impedancia az ohmos ellenállással egyenlő, s erre jut a generátor teljes

feszültsége - mégsem ez a legjobb megoldás. Igaz, eredetileg a kondenzátorra és az ellenállásra együtt jutott

, most pedig magára az ellenállásra egyedül, de hát hol van ez még attól a -tól, ami az izzó

üzemi feszültsége? Jobban világít az izzó, de ez még nem az igazi.

Ha mindhárom elemet párhuzamosan kapcsoljuk, akkor is csak juthat az izzóra.

Térjünk vissza az eredeti ötlethez, a soros rezonancia esetéhez! A sorbakapcsolt tekercsen és kondenzátoron

külön-külön sokkal nagyobb lehet a feszültség, mint a generátor feszültsége. Nem lehetne ezt kihasználni?

Kössük sorosan a tekercset és a kondenzátort a generátorra, és kapcsoljuk az izzót valamelyik elemmel

párhuzamosan! Mivel eredetileg a kondenzátor és az izzó voltak párhuzamosan kapcsolva, a legegyszerűbb az

lesz, ha a már összeállított kapcsolásban az izzóra párhuzamosan rákötjük a tekercset (1989.7. ábra).

Hogyan határozhatjuk meg most az izzóra jutó feszültséget?

1989.7. ábra.



Az izzóra és a tekercsre ugyanaz a feszültség jut. A tekercsen átfolyó áram negyed periódust ( -ot) késik

ehhez a feszültséghez képest, az izzón átfolyó áram pedig ugyanabban a fázisban van, mint a rá jutó feszültség.

Ez azt jelenti, hogy a tekercsen és az izzó ellenállásán átfolyó áram között van fáziskülönbség. A

szokásos vektoros ábrázolással még a kondenzátoron átfolyó áramot is megkaphatjuk, mint a kettő vektori

összegét (1989.8. ábra).

1989.8. ábra.

1989.9. ábra.

Az ábra alapján értéke:

Az áramok vektorábráját felhasználva szerkeszthetjük meg a feszültségek vektorábráját. Az ellenálláson a

feszültség ugyanolyan fázisú, mint a rajta folyó áram, tehát és vektora ugyanolyan irányú. A

kondenzátoron a feszültség -kal van elmaradva a kondenzátoron folyó áramhoz képest, ahogy azt az

1989.9. ábra mutatja. értéke az ábra alapján



1989.10. ábra.

Ezt az összefüggést felhasználva szerkeszthetjük meg a generátor feszültségének vektorát is (1989.10. ábra).

Az 1989.10. ábráról már leolvasható az izzóra jutó és a generátor feszültsége közti összefüggés:

Ekkor már mondhatjuk, hogy a -os izzó fényesen világít.

Ugyanilyen jó megoldás az is, ha az izzót a kondenzátorral kötjük párhuzamosan, és velük sorba a tekercset.

Az összes többi esetben az izzóra ennél kisebb feszültség jut.

Megjegyzés. Akik ismerik e vektoros számítás mélyebb hátterét, az ún. komplex formalizmust, azok algebrai

úton is kiszámíthatják mindazt, amit a fenti geometriai megoldásból kaptunk. A komplex formalizmusban az

áramokat és a feszültségeket olyan komplex számokkal jellemezzük, amelyek abszolút értéke adja az áramok és

feszültségek csúcsértékét, a valós tengellyel bezárt szög pedig a fázisszöget. A komplex impedanciák:

ahol komplex egységgyök.

Érdeklődők számára az alapfokú egyetemi és főiskolai elektromosságtani tankönyvek és jegyzetek

tanulmányozását javasoljuk.

Hangsúlyozzuk azonban, hogy a feladatot meg lehetett oldani a komplex formalizmus ismerete nélkül is.

1. A verseny eredménye

Összesen 273 versenyző adott be dolgozatot. Közülük 99-en budapesti középiskolában tanulnak vagy

érettségiztek, 174-en pedig vidéken.

Érettségizett versenyző összesen 42 volt (23 budapesti és 19 vidéki), IV. osztályos 158 (47 budapesti, 111

vidéki), még fiatalabb versenyző pedig 73 (29 budapesti és 44 vidéki).

A versenyzők iskolatípusonkénti és életkor szerinti megoszlásáról tájékozódhatunk az alábbi táblázatból. Az

egész jegyre kerekített százalékérték mindig az összes beadott dolgozathoz (273)-hoz viszonyított hányadot

mutatja.

BUDAPESTEN

érettségizett IV. osztályos fiatalabb



gimn. szakközép. gimn. szakközép. gimn. szakközép.

8% 0% 15% 2% 10% 1%

VIDÉKEN



5% 2% 27% 14% 11% 5%

Az ünnepélyes eredményhirdetésre 1989. november 24-én került sor Budapesten, az ELTE TTK főépületének

II. emeletén lévő fizikai előadóteremben.

Külön meghívót kaptak a nyertes versenyzők és tanáraik, valamint a Középiskolai Matematikai Lapok Fizika

Rovatának 1988-89-es pontversenyén és a Bolyai Farkas Fizikaversenyen legjobban szerepelt versenyzők.

A program az Eötvös verseny feladatainak ismertetésével, a megoldások közös megbeszélésével kezdődött. A

diszkussziót Radnai Gyula vezette, a feladatokhoz kapcsolódó kísérleteket Gnädig Péter mutatta be.

Utána került sor az Eötvös verseny díjainak átadására. Erre a Versenybizottság elnöke az Eötvös Loránd Fizikai

Társulat elnökét kérte fel, felújítva ezzel azt a régi hagyományt, amikor még Eötvös Loránd maga adta át a

Társulat tanulóversenyének a díjait.

Kroó Norbert akadémikus meleg szavakkal köszöntötte a nyertes versenyzőket, s gratulált tanáraiknak is. Ezután

átadta a díjakat.

Első díjat kapott Antal Csaba, a BME I. éves mérnökhallgatója, aki Budapesten az Apáczai Csere János

gimnáziumban érettségizett mint Flórik György tanítványa, valamint Rékasi János, a gyöngyösi Berze-Nagy

János gimnázium IV. osztályos tanulója, Kiss Lajos tanítványa.

Második díjat kapott Laux Adám, a budapesti Táncsics Mihály gimnázium IV. osztályos tanulója, Holicsné

Csejk Gabriella és Szabó László tanítványa; Somfai Ellák, az ELTE I. éves fizikus hallgatója, aki Pápán a a

Petőfi Sándor gimnáziumban érettségizett mint Dankó Ferenc tanítványa, valamint Szabó Szilárd, az ELTE I.

éves fizikus hallgatója, aki Budapesten az ELTE Apáczai Csere János gimnáziumban érettségizett mint Holics

László tanítványa.

Harmadik díjat kapott Boncz András, a zalaegerszegi Zrínyi Miklós gimnázium III. osztályos tanulója, Pálovics

Róbert tanítványa; Késmárki Szabolcs, a BME I. éves mérnökhallgatója, aki Kecskeméten a Bányai Júlia

gimnáziumban érettségizett mint Borsos Ferenc tanítványa, valamint Kovács Attila, a debreceni Mechwart

András műszaki középiskola IV. osztályos tanulója, Kopcsa József tanítványa.

Dicséretet kapott Fülöp Gábor, a budapesti Fazekas Mihály gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor

tanítványa és Horváth Tibor, a kecskeméti Katona József gimnázium IV. osztályos tanulója, Kocsisné Domján

Erzsébet tanítványa.


Az 1990. évi verseny 1. feladat. Lemezjátszó korongjának közepére helyezett tálban víz van. A vízen egy pingponglabda úszik. Mi

történik a pingponglabdával, miután megindítottuk a lemezjátszót?

Megoldás. Miután megindítottuk a lemezjátszót, a tálban a víz a koronggal együtt forog. A közel azonos

szögsebességet a víz belső súrlódása biztosítja.

1990.1. ábra.

A viszonylag alacsony fordulatszám miatt turbulencia nem lép fel. A felület közelítőleg forgásparaboloid alakú,

amint az - inerciarendszerből nézve - az alábbi módon látható:

s ezt az összefüggést egy kicsiny, alapterületű, „magasságú” folyadékdarabkára alkalmazva

Egyszerűsítések után:

1990.2. ábra.



A bal oldalon - határátmenetben - az érintő meredeksége áll; a vízszintessel bezárt hajlásszöggel kifejezve

Ezt az összefüggést közvetlenül is megkaphatjuk, ha gyorsuló ( szögsebességgel forgó)

koordinátarendszerből írjuk le a jelenséget. Felhasználva, hogy a folyadék szabad felülete minden pontjában

merőleges az ott ható külső erők eredőjére:

A görbe meredekségét ismerve integrálással kaphatjuk meg a görbe egyenletét.

amennyiben az origó a görbe legalsó pontja. A parabola egyenletét kaptuk, tehát a felület

valóban forgásparaboloid.

1990.3. ábra.

Vizsgáljuk meg a vízen úszó pingponglabdára ható erőket! A jelenséget a továbbiakban végig az

szögsebességgel forgó koordinátarendszerben írjuk le, de megkülönböztetünk egymástól két esetet aszerint,

hogy figyelembe vesszük-e a levegő közegellenállását, vagy sem.

Először tekintsünk el a levegő közegellenállásától. Ekkor a pingponglabdára háromféle erő hat:

1. A nehézségi erő ( ); koncentrálható a pingponglabda tömegközéppontjába.

2. A centrifugális erő ( ) ugyancsak a pingponglabda középpontjába koncentrálható (ezt az állítást

azonban még be kell bizonyítanunk).

3. A felhajtóerő ( ) a kiszorított víz volt tömegközéppontjába koncentrálható.

A pingponglabdára ható erők eredőjének meghatározásához bontsuk fel a felhajtóerőt is függőleges és vízszintes

összetevőkre. Mekkora a vízszintes összetevő? Amekkora a kiszorított vízre ható centrifugális erő volt. A

kiszorított víz tömege jó közelítéssel megegyezik a pingponglabda tömegével. (egyensúly esetén egyezne meg

vele pontosan.) Írhatjuk tehát:



ahol jelenti a kiszorított víz volt tömegközéppontjának távolságát a forgástengelytől.

1990.4. ábra.

A pingponglabdára ható centrifugális erő nagysága:

ahol a labda középpontjának távolsága a forgástengelytől (1990.4. ábra).

Igen ám, de , hiszen a labda kiemelkedik a ferde vízfelületből, s ezért középpontja

közelebb van a forgástengelyhez, mint a vízbe merülő részé!

A pingponglabdára tehát egy „befelé” mutató eredő erő hat mindaddig, amíg csak a labda be nem úszik középre.

Ezután ott marad, egyensúlyi helyzete stabilis lesz.

Hátra van még annak bizonyítása, hogy a labdára ható centrifugális erő a labda középpontjába koncentrálható,

pontosabban a centrifugális erő nagysága és iránya ugyanakkora, mintha a labda teljes tömege a

tömegközéppontban volna.

A bizonyítást Bodor András versenynyertes dolgozatából idézzük, aki egy szellemes ötlettel egyszerűsítette le

ezt az első pillanatban bonyolultnak látszó problémát.

1990.5. ábra.

„Vágjuk fel a labdát a forgástengelyre merőleges síkokkal vékony körgyűrűkre. Elég belátnunk, hogy

akármelyik gyűrűre ható centrifugális erő nagysága



ahol a gyűrű középpontjának és a forgástengelynek a távolsága. Osszuk fel a gyűrűt darab kis

hosszú részre; legyen az egységnyi hosszú kerületdarab tömege . Ekkor a gyűrűre ható centrifugális erő:

Az nyilvánvaló, hogy ez az összeg a középpontot a forgástengellyel összekötő egyenessel ( ) párhuzamos

lesz, ezért elég az összegzéskor csak az egyenessel párhuzamos komponensek összegét venni:

Vegyünk most egy kis szakaszt, és ennek a gyűrű középpontjára vett tükörképét, -t. Ezek hossza

egyenlő. A kettejükre ható centrifugális erők összege:

Mivel , így párosával véve a kis

szakaszokat

Tehát a pingponglabdára ható centrifugális erő valóban .”

Megjegyezzük, hogy a centrifugális erő nagysága akármilyen alakú test esetében az össztömeg és a

tömegközéppont helyzetének megfelelő gyorsulás szorzata; ez következik az inerciarendszerben

megfigyelhető mozgásra felírható tömegközéppont-tételből. A centrifugális erő hatásvonala azonban általában

nem megy át a tömegközépponton.

Végül vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor nem tekinthetünk el a levegő közegellenállásától. A levegő nem

forog együtt a rendszerrel, ezért fékezi a labdát. A labda szögsebessége kisebb, mint a kiszorított víz

szögsebessége volt. Ezáltal a centrifugális erő még kisebb, mint a közegellenállás nélküli esetben, s a labdára

ható Coriolis erő (mivel a labda most mozog a forgó vízhez képest) ugyancsak befelé mutat. Még hamarabb,

még gyorsabban úszik be középre a pingponglabda.

2. feladat. Vízszintes helyzetű körlemezekből álló síkkondenzátort feltöltünk. A kondenzátor közelében a lemezek

közti távolságot felező vízszintes síkban kis iránytűt helyezünk el. Ezután a kondenzátort a függőleges

szimmetriatengely körüli forgásba hozzuk. Megmozdul-e az iránytű, s ha igen, merre?

Megoldás. A kondenzátoron lévő töltéseket körmozgásra kényszerítjük azáltal, hogy a kondenzátort

megforgatjuk. Lehet, hogy a töltéssűrűség kifelé haladva kissé nőni fog, ez azonban semmit sem változtat azon a

tényen, hogy lényegében szimmetrikus köráramok (1990.6. ábra) mágneses terének eredőjét kell

meghatároznunk.



1990.6. ábra.

1990.7. ábra.

Az 1990.7. ábrán két ilyen szimmetrikus köráram eredő mágneses terének B-vonalait ábrázoltuk egy, a

forgástengelyen átmenő, függőleges síkban. Minden B-vonal benne van egy-egy, a forgástengelyen is átmenő

függőleges síkban. Ezen síkok közül választottunk ki egyet az ábrán.

A lemezek közötti távolságot felező vízszintes síkban, a kondenzátor közelében helyezkedik el az iránytű.

Szimmetriaokok miatt az áramokból származó vektor ezen a helyen pontosan a forgástengely felé mutat (ez

látható az ábrán megrajzolt esetben), vagy ezzel az iránnyal éppen ellentétes, ha akár a töltések előjele, akár a

forgásirány az ábrán felrajzolthoz képest ellentétes.

A kondenzátor mozgó töltéseinek fenti mágneses tere a földi mágneses térre szuperponálódik, azt elvileg

módosítja. (Gyakorlatilag csak kevéssé, ezért a jelenséget iskolai körülmények között nem lehet

megfigyelhetővé tenni.)

Az iránytű, amely a földi mágneses térnek megfelelően állt be, biztosan nem mozdul meg a kondenzátor

megforgatásakor, ha a mozgó töltésektől származó az iránytű helyén a földi -vel pontosan megegyező



vagy ellentétes irányú. Minden más esetben az eredő a földi -től némileg eltérő irányú, ezért az

iránytűnek elvileg el kell fordulnia, hogy beállhasson az eredő irányába.

3. feladat. Vízben szuszpendált, átmérőjű, gömb alakú részecskék termikus egyensúlyi

eloszlását vizsgáljuk mikroszkópon keresztül. A mikroszkóp tubusa függőleges. A részecskék anyagának

sűrűsége , a hőmérséklet . A mikroszkóp mélységélessége kicsi, mindig

csak egy igen vékony vízrétegben lévő részecskék láthatóak élesen. Mennyivel kell lejjebb süllyeszteni a

mikroszkóp tubusát, hogy kétszer annyi részecskét lássunk? A víz törésmutatója .

Megoldás. Mivel a részecskék átmérője a látható fény hullámhosszával azonos nagyságrendű, ezért egy-egy

részecske éles képe a mikroszkóp sötét látóterében egy-egy világító pont.

A részecskék magasság szerinti eloszlása az állandó hőmérsékletű vízben Boltzmann-eloszlás lesz. Ennek

megfelelően a és magasságban elhelyezkedő részecskék átlagos számának aránya:

Hogyan lehet meghatározni a magasságban lévő részecske potenciális (magassági) energiáját?

Vegyük figyelembe, hogy a részecskére nemcsak a nehézségi erő, hanem a felhajtóerő is hat. Ekkor

A fenti egyenletekből a magasságkülönbség:

A mikroszkóp tubusát azonban nem kell ennyivel lejjebb süllyeszteni, mivel vízbe kell nézni. (A vízben lévő

tárgyak „felemelkedve” látszanak.)

A helyes válasz: .

Adatok: , , ,

, , ,

.

A víz sűrűsége 23 ?-on a középiskolai fizikai táblázatokban lévő adatokból interpolációval kapható:

, de elfogadható volt az is, ha valaki a szokásos

-rel számolt.

A helyes végeredmény (5% pontossággal):

A mikroszkóp tubusát tehát 0,08 milliméterrel kell lejjebb süllyeszteni.




Összesen 242 versenyző adott be dolgozatot. A beadott dolgozatok terjedelme széles skálán mozog: az alig fél

oldalas bátortalan próbálkozástól a 10-15 oldalas diszkusszióig mindenre akad példa. Hozzávetőleges

tájékozódást nyújt a verseny iránti érdeklődésről az a táblázat, amely az összes beadott dolgozathoz viszonyított

százalékos arányban adja meg a versenyzők életkor szerinti és iskolatípusonkénti eloszlását Budapesten és

vidéken. Az 1990. évi Eötvös versenyen e táblázat a következőképpen alakult:

BUDAPESTEN



3% 0% 9,5% 0,5% 14% 0%

VIDÉKEN



6% 2% 32% 12% 10% 11%

Feltűnő, hogy milyen kevés az érettségizettek száma: az összes versenyzőknek csupán 11%-a. Tegyük hozzá,

hogy az Eötvös versenyen eredetileg csak érettségizettek indulhattak! A középiskolások száma a 70-es években

nőtt meg ugrásszerűen, tekintettel a felvételi kedvezményekre. A versenybe benevező érettségizettek száma

viszont a 80-as években érte el a csúcsot, amikor ez az előfelvett és katonai szolgálatra behívott hallgatóknak

jelentett szabadságot, a hazamenetel lehetőségét. 1988 óta az előfelvett hallgatók száma rohamosan csökkent,

így az Eötvös versenyen most már tényleg azok indulhatnak, akiket a fizika szeretete s a szellemi erőpróba

lehetősége sarkall.

Az ünnepélyes eredményhirdetésre 1990 november 30-án került sor az Eötvös Loránd Tudományegyetemen. A

megoldásokat először a legjobb versenyzők mutatták be, majd a Versenybizottság jelenlévő tagjai egészítették

ki az elmondottakat. Az első feladat megoldását Zóka Gábor és Bodor András ismertette, a másodikét Maróti

Miklós, a harmadikét Egyedi Péter. A hallgatóság élénk figyelemmel s nagy vitatkozó kedvvel vett részt a

diszkusszióban.

A második feladattal kapcsolatban Boros János 1 versenybizottsági tag írásban küldte el észrevételeit,

kiegészítéseit a feladat megoldásához, ezt a bizottság elnöke felolvasta.

Ezután került sor a díjkiosztásra.

Első díjat kapott:

Bodor András, az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumának IV. osztályos tanulója, Zsigri Ferenc

tanítványa.

Második díjat kapott:

Horváth Tibor, a kecskeméti Katona József Gimnázium IV. osztályos tanulója, Kocsisné Domján Erzsébet

tanítványa; valamint

Zóka Gábor, A BME I. éves villamosmérnök hallgatója, aki Nagyatádon az Ady Endre Gimnáziumban

érettségizett mint Knapp Ottó tanítványa.

1Boros János (1912-1991) harminckét éven át vett részt a Versenybizottság munkájában, Kísérleti fizikus volt, Gyulai Zoltán tanítványa és munkatársa. Az említett kiegészítésben is azt vizsgálta, mérhető-e a feladat megoldása során kikövetkeztetett effektus… Idős ember volt

már, 1991 januári halálhíre mégis váratlanul ért bennünket. Emlékszem, néhány évvel ezelőtt, amikor Szegeden volt a középiskolai tanári

ankét, elment az egyetemre, megkérte a kollégákat, engedjék be a szertárba. „Meg akarom simogatni azokat a régi eszközöket.” - mondta. Ahogy neki hiányoztak a régi eszközök, úgy hiányzik ő is nekünk.



Harmadik díjat kapott

Egyedi Péter, a pécsi Leőwey Klára Gimnázium IV. osztályos tanulója, Csikós Istvánné tanítványa;

Maróti Miklós, a szegedi Radnóti Miklós Gimnázium IV. osztályos tanulója, Dudás Zoltánné

tanítványa;valamint

Tokodi Tamás, a JATE I. éves fizikus hallgatója, aki Szegeden, a JATE Ságvári Endre Gyakorló

Gimnáziumban érettségizett mint Kocsis Vilmos és Győri István tanítványa.

Dicséretet kaptak a verseny 7-13.helyezettjei:

7. helyezett: Hegedűs Pál, a soproni Berzsenyi Dániel Gimnázium IV. osztályos tanulója, Lang Jánosné

tanítványa.

8. helyezett: Kiss Gyula, a zalaegerszegi Zrínyi Miklós Gimnázium IV. osztályos tanulója, Pálovics Róbert

tanítványa.

9. helyezett: Falus Péter, az ELTE Ságvári Endre Gyakorló Gimnáziumának IV. osztályos tanulója, Honyek

Gyula tanítványa.

10. helyezett: Gulyás Ferenc, a pécsi Zipernovszky Károly Ipari Szakközépiskola V. osztályos tanulója, Kiss

Jenő tanítványa.

11. helyezett: Csilling Ákos, az ELTE I. éves fizikus hallgatója, aki Budapesten, a Fazekas Mihály Gyakorló

Gimnáziumban érettségizett mint Horváth Gábor tanítványa.

12. helyezett: Földvári Zoltán, a veszprémi Lovassy László Gimnázium IV. osztályos tanulója, Farkas István

tanítványa.

13. helyezett: Bilics Péter, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth

Gábor tanítványa.

A díjakat a Versenybizottság elnöke adta át.

Az Eötvös verseny eredményhirdetése után került sor a KöMaL 1989-90. évi fizika pontversenyének

eredményhirdetésére, majd az egyetemisták számára meghirdetett Ortvay verseny díjainak kiosztására. A

KöMaL pontverseny nyerteseit Gnädig Péter köszöntötte, és mutatta be egymásnak és a hallgatóságnak, az

Ortvay verseny nyerteseinek pedig Czakó Ferenc adta át azok leveleket és a jutalmakat.

Idén is feltűnt, hogy az Ortvay verseny nyertesei közül milyen sokan voltak az Eötvös verseny díjazottjai, illetve

a KöMaL pontverseny helyezettjei. Úgy látszik, hogy a tehetségesek kiválasztásában jó úton járunk.


Az 1991. évi verseny 1. feladat. Egy rögzített tengely körül könnyen forgó sugarú mókuskerékbe hosszúságú létrát

szereltünk. Egy olyan pillanatban, amikor a kerék éppen nyugalomban van és a létra vízszintes, a mókus elindul

az pontból, és úgy fut át a létrán a pontba, hogy közben a kerék mozdulatlan marad (1991.01. ábra).

1991.01. ábra.

Hogyan kell a mókusnak mozognia? Mennyi idő alatt fut át a létrán?

Megoldás. A kerék akkor marad mozdulatlan, ha a kerékre ható erők és forgatónyomatékok eredője egyaránt

zérus marad, miközben a mókus végigfut a létrán. Az erők eredőjének zérus voltát a rögzített tengely biztosítja.

Ha pedig a mókus által a létrára kifejtett erőhatásvonala átmegy a tengelyen, akkor az eredő

forgatónyomaték is zérus marad.Newton III. törvénye értelmében ekkor a létra által a mókusra kifejtett erőnek

is olyan irányúnak kell lennie, hogy hatásvonala menjen át a tengelyen. Ez az erő két erő eredőjeként adódik:

egyik a függőlegesen felfelé irányuló nyomóerő, másik pedig vízszintes súrlódási erő, amely a mókus

gyorsulásának irányába mutat. A mókusra ható erők eredőjének nagysága (1991.02. ábra):

1991.02. ábra.

A mókus helyzetét az 1991.02. ábrán látható szög helyett a létra közepétől mért távolsággal is

megadhatjuk:



mivel a szabályos háromszög oldala hosszúságú. Ha előjeles távolságot („helykoordinátát”) jelent, akkor

a dinamika felírt alaptörvényéből előjelesen is helyesen következik:

A kitéréssel arányos nagyságú, de ellentétes irányú gyorsulása a harmonikus rezgőmozgást végző testnek van,

vagyis a mókusnak úgy kell futnia, hogy mozgása harmonikus rezgőmozgás legyen. Ilyenkor

A kitérés időfüggvénye:

Az -ból -be való átfutás egy „félrezgésnek” felel meg, az ehhez szükséges idő:

Megjegyzések. 1. A feladatot Ciolkovszkijnak egyik ötlete inspirálta. ő maga középiskolai tanár volt, s egyszer

az alábbi feladatot adta:

„Hogyan kell egy bogárnak végigmásznia egy falhoz támasztott szalmaszálon, hogy ne csússzék el a szalmaszál,

annak ellenére, hogy se a falnál, se a talajnál nincs súrlódás?”

2. Meglepő ötlettel állt elő az egyik versenyző a mostani Eötvös versenyen: legyen a létra végtelen nagy tömegű

a mókushoz képest, akkor a mókus nyugodtan végigsétálhat rajta (ahogy egy légy is végigmászhat a létrán)

anélkül, hogy mérhető módon megmozdulna a kerék …

3. Többen kísérleteztek azzal az ötlettel is, nem tud-e átugorni a mókus -ból -be úgy, hogy közben ne

mozduljon meg a kerék. úgy gondolták, hogy a kerék érintőjére merőlegesen kell elugrani -ból, és a -beli

érintőre merőlegesen kell megérkezni a pontba. Azután gyorsan kiszállni a kerékből … 1

1Nem vették észre, hogy ehhez a mókusnak végtelen nagy erőt kellene kifejtenie - igaz: elhanyagolhatóan rövid ideig!



1991.03. ábra.

Tegyük fel, hogy az elugró mókust ideig állandó erő gyorsítja fel 0-ról sebességre az pontban,

majd ugyanekkora, megfelelő erő fékezi le -ben (1991.03. ábra). Jelöljük -val az elugrás sebességének

a vízszintessel bezárt szögét! Ekkor az pontban a kerékre két erő hat: függőlegesen lefelé egy

nagyságú erő, a sebességgel ellentétes irányban pedig . A két erő ellentétes forgató hatást fejt ki a kerékre, s

az egyensúly feltétele:

Az erő nagyságú impulzusa (erőlökése) ad a mókusnak nagyságú lendületet:

Ezt felhasználva, az előző egyenletből kapjuk:

Kifejtve értékét:

Ha a mókus ideig van a levegőben repülés közben, akkor

így -re a következő másodfokú egyenlet adódik:

Jól látszik, hogy a repülés ideje függ az elugrás idejétől, ami viszont nem volt megadva a feladatban.



Sem a végtelen nagy tömegű mókuslétra, sem az ugró mókus nem felel meg a feladat feltételeinek, csupán azért

idéztük fel őket, hogy illusztráljuk a versenyzők találékonyságát, kifogyhatatlan ötleteit. Szerencsére ötvennél is

több versenyzőnek volt igazán helyes megoldása erre a feladatra.

2. feladat. Egy zárt hengert könnyen mozgó, jól záró dugattyú oszt két részre. Kezdetben a dugattyú középen áll.

Mindkét oldalon térfogatú, nyomású, hőmérsékletű levegő van, a bal oldali

részben ezen kívül még egy tömegű jégdarabka is található.

A rendszert lassan -ra melegítjük. Hol fog elhelyezkedni a dugattyú?

Megoldás. -on a bal oldalon már nem lesz jég, hanem víz és vízgőz keveréke, esetleg már csak

vízgőz, ha minden víz elpárolgott. (Ezt még külön meg kell vizsgálnunk!)

1991.4. ábra.

Jelöljük -zel a gőzállapotban lévő molekulák számát a bal oldalon, a -os

végállapotban. Mivel ezen az oldalon megnőtt a molekulák száma, a dugattyúnak is el kellett mozdulnia jobbra.

Jelöljük -vel a térfogat növekedését a bal oldalon, ugyanennyivel csökken a térfogat a jobb oldalon (1991.4.

ábra).

Az állapotjelzők kezdetben mindkét oldalon a következők:

A végállapotban a bal oldalon

A végállapotban a jobb oldalon

A gázmolekulák száma kezdetben mindkét oldalon

A végállapotban a jobb oldalon marad ugyanennyi, a bal oldalon viszont megnő a molekulák száma:

Vizsgáljuk meg, hogy mekkora lehet ! Teljesen elpárologhat a felolvadt összes jég? Számítsuk ki,

hogy vízgőz mekkora térfogatot tölt be hőmérsékleten, s az ennek megfelelő

nyomáson! Ideális gáz közelítést alkalmazva:



Hasonló értéket kapunk akkor is, ha a -os vízgőz sűrűségének mért és táblázatban megadott

értékével számolunk.

A rendelkezésre álló térfogat viszont legfeljebb lehet! Ebből következik, hogy a víz nem párolog

el teljesen a bal oldalon.

Mennyi párolog el? Ez -től is függ:

és között még egy összefüggésre van szükségünk. Ehhez azt használjuk fel, hogy a

végállapotban a két oldalon azonos a nyomás és a hőmérséklet, vagyis a térfogatok aránya egyenlő a

gázmolekulák számának arányával:

A két egyenletbe az ismert adatokat behelyettesítve és értéke meghatározható. A megoldás:

vagyis a bal oldalon , a jobb oldalon térfogat alakul ki, így fog

elhelyezkedni a dugattyú.

Érdekes, hogy , , adódik, ami annak következménye,

hogy a levegő nyomása gyakorlatilag ugyanakkora volt a kezdőállapotban, mint a telítési nyomása a

végállapot hőmérsékletén.

Megjegyzés. A feladat megoldásának kulcsa a vízgőzre vonatkozó állapotegyenlet helyes felírása. Sok hibás

megoldás abból keletkezett, hogy az összes víz elpárolgását feltételezve határozták meg -t. Mások

viszont ezzel ellentétben azt állították, hogy egyetlen molekula sem fog a vízből elpárologni, mert a víz nem fog

felforrni. Az egyetlen jogos ellenvetés, amit a fenti megoldással szemben tehetünk az az, hogy alkalmazhatjuk-e

az ideális gáz közelítést a -os vízgőzre? A válasz az, hogy alkalmazhatjuk! Valóban jó közelítés ez,

amint arról bárki meggyőződhet, ha fellapoz egy vízgőztáblázatot.

3. feladat. Fémből készült, igen vékony falú, zárt gömbhéj belsejében fonálon egy kétrét hajtott alufólia-csík

függ. A gömb két átellenes pontjára kívülről az ábrán látható módon feszültséget kapcsolunk (1991.5. ábra).



1991.5. ábra.

Megmozdul-e az alufólia-csík, s ha igen, hogyan?

Megoldás. A vékony gömbhéj ellenállása nem hanyagolható el. Lesz elektromos mező a gömb belsejében,

mégpedig forgásszimmetrikus abban az esetben, ha a gömb belül üres. (A szimmetriatengely a csatlakozási

pontokat összekötő átmérő.)

Ha a gömb közepén ott van a kettéhajtott alufólia, akkor ezen megosztás jön létre azért, hogy a fólia

ekvipotenciális legyen. A megosztott töltések tere kioltja a gömb belső terét a fólia két ága között (1991.6. ábra).

1991.6. ábra.

A fólia bármely ágára a külső térerősség és a másik ágból származó ( -nél kisebb) térerősség hat, vagyis

a fóliaágra a külső tér van nagyobb hatással.

Ezért a kettéhajtott fólia kinyílik, és egy olyan helyzetben állapodik meg, amikor már a rá ható elektromos,

gravitációs stb. erők és forgatónyomatékok eredője egyaránt zérus.

Megjegyzés. Az összeállítás emlékeztet a „Faraday-kalitkára”, ezért sok versenyző úgy gondolta, hogy nem

lehet a gömb belsejében elektromos mező. Elfelejtették, hogy ez csak elektrosztatikában igaz, amikor a fém

felülete ekvipotenciális. Most a fémen áram folyik, ezért a fémgömb különböző pontjai között általában van

feszültség s így van - nemcsak benne, de körülötte is - elektromos mező. Ha valami, akkor a kétrét hajtott

fóliaág képezhet ebben a feladatban Faraday-kalitkát, és e „kalitkának” a belsejében kell, hogy a térerősség

közel zérus legyen.


1991. október 18-án délután és között tartotta meg a fennállásának 100. évfordulóját ünneplő

Eötvös Loránd Fizikai Társulat sorrendben 68. fizikai tanulmányi versenyét.

A verseny Budapesten a centenáriumi ünnepséggel párhuzamosan zajlott, lehetővé téve az érdeklődő hazai és

külföldi vendégeknek, hogy személyesen is meglátogathassák. Ugyanabban az épületben, aznap délelőtt nyílt

meg a centenáriumi poszter kiállítás, s a versenyre érkezők megtekinthették az itthoni és a szomszédos

országokban élő magyar diákok és tanárok színvonalas munkáit.



Budapesten kívül még 12 vidéki városban folyt a vetélkedés, mindenütt a Társulat helyi csoportjának

szervezésében.

Az összesen beadott 265 dolgozat legnagyobb részét azokban a városokban írták, ahol tudományegyetem is

működik (Budapest, Debrecen, Szeged, Pécs). Lelkes szervezők dolgoznak a többi helyen is, de úgy tűnik, hogy

a tanulók érdeklődése nagyobb a tudományegyetemi városokban. A századfordulón, Eötvös idejében, csak két

városban volt tudományegyetem - Budapesten és Kolozsváron - és csak ebben a két városban rendezték meg a

versenyt. Debrecenben és Pozsonyban az első világháború idején létesült tudományegyetem; Trianon után a

kolozsvári Szegedre, a pozsonyi Pécsre költözött.

Némi áttekintést nyújt az 1991. évi versenyről az alábbi táblázat, amely az összes beadott dolgozathoz

viszonyított százalékos arányban közli a versenyzők életkor szerinti és iskolatípusonkénti tagozódását

Budapesten és vidéken.

BUDAPESTEN



4% 0,5% 14% 1% 5,5% 2%

VIDÉKEN



4,5% - 26% 18% 15,5% 9%

Akárcsak az utóbbi években, 1991-ben is jellemző volt az érettségizettek alacsony aránya: tavaly 11%, idén már

csak 9%, igaz, hogy Budapesten a tavalyi 3%-ról 4,5%-ra nőtt, vidéken azonban a tavalyi 8%-ról 4,5%-ra

csökkent az arányuk. A versenyzők legnagyobb része 1991-ben is a negyedikesek közül került ki, arányuk

Budapesten a tavalyi 10%-ról idén 15%-ra nőtt, vidéken a tavalyi 44% maradt. A legfeljebb III. osztályos

versenyzők száma Budapesten 14%-ról 7,5%-ra csökkent, vidéken a tavalyi 21%-ról 24,5%-ra emelkedett.

Bizonyos arányok állandók maradtak: idén is, tavaly is az összes beadott dolgozat 27%-át írta olyan versenyző,

aki budapesti középiskolába járt vagy ott érettségizett.

Ha azt vizsgáljuk, hogy milyen sikeresen szerepeltek az egyes iskolák az Eötvös versenyen, akkor a legjobb

eredményt 1991-ben vitathatatlanul a budapesti Fazekas Mihály gimnázium tanulói érték el: 17-en indultak és

adtak be dolgozatot a versenyen, s közülük 5-en értek el jó helyezést vagy kaptak dicséretet.

Az ünnepélyes eredményhirdetésre 1991. november 29-én került sor Budapesten, az ELTE Múzeum körúti

főépületében.

A legjobb versenyzők mutatták be a feladatok megoldásait, diszkutálták az eredményeket. A harmadik

feladathoz kapcsolódó kísérleteket, amelynek elvégzésében Csík Árpád II. éves fizikatanár szakos hallgató

segített a Versenybizottság elnökének, a jelenlévő versenyzők és tanáraik érdeklődéssel figyelték. Ez a feladat

bizonyult ugyanis a legnehezebbnek; az összes versenyző közül csak ketten tudták megoldani.

Nem volt nehéz dolga a Versenybizottságnak, amikor a verseny két győztesét kellett kiválasztania:

Az első díjat egyenlő arányban megosztva nyerte

Bodor András, az ELTE I. éves fizikus hallgatója, aki az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumban

érettségizett mint Zsigri Ferenc tanítványa, és

Káli Szabolcs, az ELTE I. éves fizikus hallgatója, aki Budapesten a Fazekas Mihály Gimnáziumban

érettségizett mint Horváth Gábor tanítványa.



A II. és III. díjat a Versenybizottság összevonta, és egyenlő arányban megosztotta nyolc versenyző között:

Egyedi Péter, a BME I. éves villamosmérnök hallgatója, aki Pécsett a Leöwey Klára Gimnáziumban

érettségizett mint Csikós Istvánné és Kotek László tanítványa;

Gefferth András, a budapesti Fazekas Mihály Gimnázium III. osztályos tanulója, Tóth László és Horváth

Gábor tanítványa;

Katz Sándor, a bonyhádi Petőfi Sándor Gimnázium III. osztályos tanulója, Erdélyesi János tanítványa;

Kőszegi Botond, a budapesti Fazekas Mihály Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa;

Miklós György, a BME I. éves villamosmérnök hallgatója, aki Budapesten a Szt. István Gimnáziumban

érettségizett mint Kovács István tanítványa;

Nagy Benedek, a KLTE I. éves fizikus hallgatója, aki Debrecen a KLTE Gyakorló Gimnáziumban érettségizett

mint Dudics Pál tanítványa;

Rózsa Balázs, a budapesti Fazekas Mihály Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváthné Dvorák Cecília

tanítványa;

Szendrői Balázs, a budapesti Fazekas Mihály Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa.

A fenti nyolc versenyző egyenlő helyezésben a verseny 3-10. helyezettje.

Dicséretet kapott az alábbi hat versenyző: Almos Attila, a budapesti Berzsenyi Dániel Gimnázium IV.

osztályos tanulója, Istók Katalin tanítványa; Boncz András, az ELTE I. éves matematikus hallgatója, aki

Zalaegerszegen a Zrínyi Miklós Gimnáziumban érettségizett mint Pálovics Róbert tanítványa; Egedi Péter, a

szegedi Radnóti Miklós Gimnázium IV. osztályos tanulója, Mike János tanítványa; Nagy Gyula, a jászberényi

Erősáramú Szakközépiskola IV. osztályos tanulója, Bakki Árpád tanítványa; Nemes Norbert Marcell, a

budapesti Fazekas Mihály Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa és Somlai Ákos, a

BME I. éves villamosmérnök hallgatója, aki Pécsett a Nagy Lajos Gimnáziumban érettségizett mint Orovicza

Márkné tanítványa.

A díjakat s a jutalmakat a Társulat nevében Boros Dezső alelnök adta át. Neki, mint Jászberény

alpolgármesterének, külön kellemes meglepetést jelentett, hogy jászberényi diák is bekerült a dicséretet nyert

versenyzők közé.


Az 1992. évi verseny 1. feladat. Vékony falú, belül üres félgömböt kétféleképpen hozunk - kis kitérésű - lengésbe. Egyik esetben a

domború oldalán fekszik egy vízszintes asztalon, másik esetben homorú oldalával lefelé, középen egy függőleges

tű hegyére támaszkodik.

1992.1. ábra.

Melyik esetben lesz nagyobb a lengésidő? (A tömegközéppont mindkét esetben síkmozgást végez.)

Megoldás. Először a tű hegyére támasztott félgömb lengésidejét határozzuk meg. Ha ezt a fizikai ingát a földi

nehézségi erőtérben szöggel kilendítjük, akkor

nagyságú forgatónyomaték igyekszik azt visszatéríteni. (Szokásosan -sel jelültük a tömegközéppont és a

forgáspont távolságát.)

1992.2. ábra.

A forgástengely a tű hegyén átmenő vízszintes egyenes, az 1992.2. ábránkon a papír síkjára merőleges. Erre a

tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a Steiner-tétel szerint

ahol a tömegközépponton átmenő, az előbbivel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi

nyomatékot, pedig az üres félgömb tömegét jelöli. A lengés során nem változik meg.

A forgómozgás alapegyenlete: , esetünkben (előjelre is helyesen):

ahonnan a kis szögekre megengedhető közelítéssel kapjuk:



Teljesül tehát a harmonikus torziós rezgés feltétele és a rezgésidő kiszámítható:

Ezek után határozzuk meg az asztalon billegő félgömb mozgásának periódusidejét! Ez az előbbinél nehezebb

feladat, mivel most a testnek egyetlen pontja sem rögzített. Ilyenkor is felírhatjuk azonban a forgómozgás

alapegyenletét a tömegközépponton átmenő tengelyre, annak ellenére, hogy a tömegközéppont mozog, sőt,

gyorsul is. (A tömegközéppont gyorsulását a test szöggyorsulásával lehet majd kapcsolatba hozni.)

Lendítsük ki szöggel a vízszintes asztalon levő üres félgömböt! A testre a következő erők hatnak:

a tömegközéppontban, függőlegesen lefelé;

az asztal és a félgömb érintkezési pontjában, függőlegesen felfelé;

súrlódási erő az érintkezési pontban, vízszintesen, a kimozdulással ellentétes irányban.

1992.3. ábra.

Most használjuk fel azt a megszorítást, hogy a kitérés kicsi. Minél kisebb a kitérés, annál inkább elhanyagolható

a tömegközéppont emelkedése a vízszintes elmozduláshoz képest. A tömegközéppont vízszintes elmozdulása

A tömegközéppont függőleges elmozdulása

(Pontosabban is fogalmazhatunk: Míg a kicsiny -val arányosan elsőrendűen kicsiny, addig az

emelkedés -tel arányos, ún. másodrendűen kicsiny mennyiség.)

Az elmozdulásokból a sebességekre, majd a gyorsulásokra következtethetünk. A tömegközéppont gyorsulása a

fentiek szerint



Vízszintes irányban a súrlódási erő gyorsít:

Függőlegesen és egyensúlyt tartanak (hiszen ):

Végül pedig felírhatjuk a forgómozgás alapegyenletét a tömegközépponton átmenő vízszintes tengelyre:

(az erőkarok az 1992.4. ábráról leolvasható közelítő értékek). Behelyettesítve az erőket

ahonnan kifejezhető:

Ismét alakú összefüggést kaptunk, a mozgás tehát harmonikus rezgés és a periódusidő

1992.4. ábra.

A két rezgésidő aránya



1992.5. ábra.

Most már csak a tömegközéppont helyzetét, vagyis értékét kell meghatároznunk. Ez többféle módszerrel is

lehetséges. Elegáns módszer kínálkozik, ha felhasználjuk a gömbövek egyik érdekes tulajdonságát: két

párhuzamos, egymástól távolságra lévő síkkal bárhogyan elmetszve egy gömbhéjat, mindig

azonos felszínű gömbövet kapunk:

Ha tehát a vékony félgömbhéjat gondolatban összenyomjuk a szimmetriatengelyére, akkor ott egy egyenletes

tömegeloszlású pálcát kapunk, amelynek tömegközéppontja a felezőpontjában van.

Ezek szerint , a rezgésidők kérdéses aránya:

A két lengésidő tehát kis kitérések esetén közelítőleg egyenlő egymással.

Megjegyzések. 1. Ha nem hanyagoljuk el a tömegközéppont emelkedését az asztalon billegő félgömb esetén,

akkor erre a lengésidőre kissé nagyobb érték adódik. Így a valóságos, kísérletileg is ellenőrizhető esetben a

félgömb - ha azonos szögkitérésű helyzetekből indítjuk, - valamivel lassabban billeg az asztallapon, mint a tű

csúcsán.

2. Az összefüggés is csak közelítőleg igaz, mivel a gömbhéj vastagsága nem zérus, - csak

éppen elhanyagoltuk. (A jó fizikus a lényeg megragadásának és a probléma szempontjából lényegtelen dolgok

elhanyagolásának művésze.)

2. feladat. Körülbelül keresztmetszetű, hosszú, felül nyitott üvegcsövet színültig

megtöltünk higannyal. A cső felső végére ráhúzzuk és befőttesgumival a csőhöz szorítjuk egy teljesen

összelappadt (levegőt nem tartalmazó) lufi száját. Ezután a csövet a levegőben tartva felfordítjuk.

Mi fog történni? (Készítsen rajzot is!)

Megoldás. Feltételezhetjük, hogy amikor ráhúzzuk az összelappadt lufit az üvegcső szájára, a higany feletti

részben nem lesz levegő, és később sem tud bejutni levegő a lufi belsejébe.



Fordítsuk meg a csövet!

Függőleges helyzetben a cső - most már alul levő - szájánál a lufihártyára belülről magas

higanyoszlop nyomása, kívülről pedig a külső levegő nyomása hat. (Vegyük ez utóbbit -

nek.)

A belső, nagyobb nyomás kissé szétnyitja az összelappadt lufit, s a higany elindul lefelé.

higany lefut egészen a lufi aljára, és ekkor a folyamat leáll. A csőben marad

magas higanyoszlop, fölötte vákuum (a higanygőz nyomása elhanyagolható). Alul, a cső szájától kezdve a lufi

újra összelappadt állapotban van, mert a külső légnyomás összenyomja. Legalul, az összelappadt lufiban lévő

higany kicsi, kidudorodó zacskóban gyűlik össze.

A folyamat legfontosabb pillanatait az 1992.6. ábrasorozat szemlélteti („oldalnézetben”).

1992.6. ábra.

Ha túl gyorsan fordítjuk meg a csövet, esetleg a végén még meg is lökjük kissé, -nél több higany is

le tud folyni a lufi aljára. Ekkor a végállapotban a külső légnyomás kissé visszanyomná a lufit a cső szájánál a

cső belseje felé. Ugyanakkor a lufit a higany lefelé húzza, kissé megnyújtja a gumit, s ez a hatás a cső szájánál is

érvényesül. Mindezek azonban olyan kicsiny nyomáskülönbséget és többleterőt eredményeznek, hogy a lufinak

ebből származó alakváltozása szabad szemmel alig vehető észre, s a megoldást lényegesen nem módosítja.

3. feladat. Két egyforma szigetelő tartón két egyforma fémgömb nyugszik egymás közelében. Töltés egyiken

sincs. Egy néhányszáz voltos telep egyik sarkát leföldeljük, a másik sarokhoz csatlakozó vezeték végével pedig

megérintjük először az egyik (mondjuk a bal oldali), azután a másik (jobb oldali) gömböt, majd a telepet

eltávolítjuk. Ezután felülről, szigetelő fonálon, kicsiny, töltetlen golyócskát engedünk le a két gömb közé,

lehetőleg pontosan középre.

1992.7. ábra.



Mit tapasztalunk?

Megoldás. Első tekintetre úgy tűnik, hogy semmi különbség nincs a két gömb feltöltése között. Mindkét gömb

töltetlen, azonos sugarú, s a földtől is ugyanakkora távolságra vannak. A megoldás kulcsa mégis az, hogy

észrevegyük: más-más „környezetben” történik a feltöltés. Amikor az első gömböt töltjük fel, egy töltetlen

gömb áll közben mellette. Amikor a másodikat töltjük, amellett már egy töltött gömb áll!

Jelöljük -gyel azt a töltést, amelyet egy magányos gömb venne fel a telepből.

Az első gömb feltöltésekor -nél nagyobb, mondjuk töltés áramlik erre a gömbre, mert a

mellette álló töltetlen gömbön elektromos megosztás történik, s ez leköt a gömbön töltést.

A második gömbre -nél kisebb, mondjuk töltés vihető fel ugyanarról a telepről, mert

emellett már egy ugyanilyen előjelű töltéssel feltöltött gömb áll.

Könnyebben áttekinthető és kvantitatívan is tárgyalható a probléma, ha bevezetjük a gömböknek mind a

földhöz, mind egymáshoz képesti kapacitásait.

Jelöljük -gyel egy gömb és a föld közötti, -vel pedig a két gömb közötti kapacitást (ld. 1992.8. ábra).

1992.8. ábra.

Az első (mondjuk a bal oldali) gömböt megérintve az feszültségű telep pozitív sarkához csatlakozó

vezeték végével, az 1992.9. ábrán látható elektromos állapot fog kialakulni. (A feltüntetett - fiktív - vezetékek

megkönnyítik a kapcsolás felismerését.)

1992.9. ábra.

Mindkét gömb ekvipotenciális, de a jobb oldali gömb potenciálja kisebb. Ez ugyanis

míg a bal oldali gömbre:



Innen az alábbi összefüggések adódnak:

A bal oldali gömbre összesen

nagyságú töltés kerül.

Ezek után érintjük hozzá a telep pozitív sarkáról jövő vezeték végét a jobb oldali gömbhöz. Ennek potenciálja

lesz, felmegy rá töltés; a föld felé, a másik gömb felé, s így az 1992.10.

ábrán látható elektromos állapot alakul ki.

1992.10. ábra.

Most is felírható az feszültség kétféle módon:

Innen pedig a következő összefüggésekhez jutunk:

mivel . A jobb oldali gömb töltése végül:



A két gömb töltéseinek aránya:

Ha felülről, szigetelő fonálon, kicsiny, töltetlen golyócskát engedünk le a két gömb közé, lehetőleg pontosan

középre, akkor ez a golyócska az ottani térerősség hatására dipóllá válik (akár szigetelő, akár vezető, csak a

mechanizmus más), és a nagyobb töltésű gömb maga felé húzza.

A golyócska kilendül, balra.

Megjegyzés. , vagyis a bal oldali gömb földhöz képesti feszültsége nagyobb lesz, mint

a telepé! Ha pl. és , akkor ,

. A bal oldali gömb töltése , a jobb oldalié lesz

az adott esetben.


Ez az 1992-es, 69. verseny bizonyos tekintetben új szabályok szerint zajlott. A Eötvös Loránd Fizikai Társulat

Tanácsa a Versenybizottság javaslatára úgy döntött, hogy kiszélesíti a versenyzők körét: lehetővé teszi, hogy ne

csak magyar állampolgárságú tanulók indulhassanak az Eötvös versenyen. Ezután a hazai diákokkal azonos

feltételek mellett vehetnek részt az itt tanuló külföldi diákok és a szomszédos országokban tanuló, magyarul értő

diákok is.

Magyarország 12 városában a Társulat felelős képviselői várták izgatottan az érkező versenyzőket: vajon hány

magyar és hány külföldi diák jelenik meg a versenyen, s közülük hányan adnak be dolgozatot.

Budapesten a tavalyinál többen, összesen 105-en adtak be dolgozatot. Köztük öt külföldi versenyző volt: egy itt

tanuló lengyel diák és négy erdélyi, akik közül hárman 1992-ben érettségiztek, a negyedik még középiskolás

volt.

Szegeden 45 dolgozat született, másfélszer annyi, mint tavaly. A versenyzők közül öten jöttek külföldről,

mindannyian Szabadkáról.

Debrecenben is valamivel többen adtak be dolgozatot, mint tavaly, a 41 versenyző között viszont nem volt

külföldi.

Pécsett összesen 21 dolgozatot adtak be, egyikük egy itt tanuló romániai diák volt.

Ami a résztvevők számát illeti, a négy tudományegyetemi város (Budapest, Szeged, Debrecen, Pécs) az

eddigieknél is jobban elhúzott a többiektől: a verseny további nyolc helyszínén sehol sem érte el a beadott

dolgozatok száma a tízet.

Összesen 246 dolgozatot adtak be a diákok ebben az évben, ezek közül 9-et írt olyan versenyző, aki nem

Magyarországon járt középiskolába. A többiek életkor szerinti és iskolatípusonkénti eloszlását

tanulmányozhatjuk az alábbi táblázaton:

BUDAPESTEN



5% 1% 13% 1,5% 9% -



VIDÉKEN



8% 1% 31% 12% 10% 8,5%

Örvendetes változás tavalyhoz képest az érettségizettek arányának növekedése, bár a versenyzők legnagyobb

részét még mindig a IV. osztályosok teszik ki. A legtöbb gimnazista versenyző 1992-ben is a budapesti Fazekas

Mihály gimnáziumból jött, a legtöbb szakközépiskolás pedig Debrecenből. A vidéki gimnáziumok közül a

kecskeméti Katona, a szegedi Deák és a debreceni KLTE gyakorló indított az átlagosnál több versenyzőt.

Eredményesség tekintetében a budapesti Fazekas ebben az évben is megelőzte a többieket: egyedül ebből a

gimnáziumból került egynél több versenyző a nyertesek közé.

A beérkezett 246 dolgozat között volt egy kiemelkedő: Katz Sándor bonyhádi IV. osztályos tanulódolgozata.

Mindhárom feladatot tökéletesen megoldotta, ráadásul az első feladatot olyan szép gondolatmenettel, amely

megérdemli, hogy itt is felidézzük. Változtatás nélkül közöljük Katz Sándor megoldását:

„Határozzuk meg először a súlypont helyét. A függvénytáblázat1 szerint, ha a külső, a belső sugár, ez a

középponttól

távolságra van. Legyen . Ekkor

jelen esetben , így .

1992.11. ábra.

1Az Eötvös versenyen minden segédeszköz (könyvek, jegyzetek, zsebszámológép) használható, természetesen a függvénytáblázat és képlettár is.



Egy szögű helyzetben legyen az alátámasztási pont , az felezőpontja , és .

A gömbhéj tehetetlenségi nyomatéka a pontra a Steiner tétel szerint

Legyen a helyzeti energia null szintje az pont magasságában. Ekkor a gömbhéj összes energiája:

Ha a kezdeti kitérési szög volt, akkor

mivel a szélső helyzetben a test nem mozog. Innen

Az 1992.11. ábrán , mivel ,

így .

1992.12. ábra.

A másik esetben a tehetetlenségi nyomaték a forgáspontra:

A helyzeti energia nullpontja legyen a forgásponttól lefelé távolságban. Ekkor az összenergia



Ismét legyen az indítási szög . Ekkor

Mivel minden esetben , így

Tehát azonos indítási szögnél a második esetben a test mindenhol gyorsabb (kivétel az egyensúlyi helyzet, ott

egyenlő gyorsak), így hamarabb ér a másik szélső helyzetbe, majd vissza is.

Tehát .”

Az ünnepélyes eredményhirdetésre 1992. november 27-én került sor az ELTE Múzeum körúti főépületében.

Itt a megjelent versenyzők, tanárok, vendégek megtekinthették mind a három feladat kísérleti bemutatását,

meggyőződhettek a kiszámolt vagy kikövetkeztetett megoldások helyességéről.

Az első feladatot két átmérőjű, egyforma műanyag félgömb demonstrálta: egyikük egy tű hegyén,

másikuk az asztalra helyezett sínen lengett. Mozgásukat kivetítve, felnagyítva lehetett látni, s össze lehetett

hasonlítani egy hosszúságú fonálinga lengésidejével.

A bemutatott dinamikai megoldást Katz Sándor egészítette ki saját energetikai megoldásával.

A második feladathoz több demonstrációs eszköz is készült: négy, egyaránt hosszú és

keresztmetszetű üvegcső, színültig megtöltve higannyal. Csupán a rájuk erősített, összelappadt lufik mérete volt

különböző. Pálfalvi László III. osztályos pécsi gimnazista, Papp Zsombor IV. osztályos zalaegerszegi

gimnazista és Tóth Gábor V. osztályos budapesti technikumi tanuló mutatta be a kísérletet egy-egy csővel, majd

a táblánál ismertették saját helyes megoldásukat.

A harmadik feladat kísérleti bemutatása volt a legnehezebb, főleg a szigetelési problémák miatt. A két

átmérőjű vörösréz gömb egyszer már jó szolgálatot tett egy Eötvös verseny feladat kísérleti

bemutatásánál, jó pár évvel ezelőtt. most sokkal kevesebb töltést kellett kimutatni velük. A gömbök feszültségét

sztatikus voltmérőkkel mértük, s egy pihentetett fonálon függő, grafittal bevont pingponglabda ereszkedett le

közéjük.

A kísérletek bemutatása után a hivatalos végeredményt a Versenybizottság elnöke ismertette, s átadta a díjakat.

I. díjat kapott Katz Sándor, a bonyhádi Petőfi Sándor Evangélikus Gimnázium IV. osztályos tanulója, Jurisits

Documents

Az Eötvös-versenyek feladatai II. - tankonyvtar.hu · 1 Created by XMLmind XSL-FO Converter. Bevezetés Ez a könyv a Vermes Miklós által írt „Az Eötvös Loránd fizikaversenyek