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25/03/2015
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Parte VI: Introdução aos Processos
Estocásticos e Teoria das Filas
Professor: Reinaldo [email protected]
Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos
Processos Estocásticos
� Família de VAs indexadas com o parâmetro tempo� Fenômeno varia de forma imprevisível com o tempo
� Para cada w ∈ S, associamos uma função X(w, t)
� Essa família de funções (uma para cada w) forma um PE� Exemplos
� O número de clientes fazendo compras em um supermercado
� O número de chamadas feitas a uma central telefônica
� A cotação de uma empresa de software na bolsa de valores
� Esses números se apresentam em função do tempo� Processos Estocásticos também são denominados Processos
Randômicos
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Classificação de PEs
� Os processos estocásticos podem ser classificados conforme:� Espaço de estados
� Conjunto de possíveis valores (estados) para X (t)
� Espaço discreto: espaço de estados finito ou contável (PE é uma cadeia)
� Espaço contínuo: espaço de estados é um intervalo contínuo, finito ou infinito
� Tempo: parâmetro indexador� Tempo Discreto: os (instantes de) tempo(s) permitidos para as trocas de
estados (transição entre estados) são finitos e contáveis
� Tempo Contínuo: os (instantes de) tempo(s) permitidos para as trocas de estados ocorrem em um intervalo finito ou infinito
� Dependências estatísticas entre as VAs X (t) para diferentes valores de t� Relação entre os membros da família: X (t1), X (t2), ...
� Determinar a distribuição de probabilidades conjunta ou a função densidade de probabilidade desse conjunto de variáveis aleatórias
Parâmetros de um PE
� Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o período de tempo T envolvido: quando ele será observado
� Se T é contínuo, T={t: 0 ≤ t < ∞)� Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros
Contínuos: Poisson
� Se T é discreto, T={0, 1, 2, ...}� Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros
Discretos: Séries Temporais em geral
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Estados de um PE
� O conjunto de valores que X(t) pode assumir é chamada de Espaço de Estados, e os valores específicos de X(t) em dado momento são os Estados do Processo� Se X(t) representa alguma contagem: Espaço de
Estados poderia ser uma seqüência finita ou infinita de inteiros� Processo de Estado Discreto ou Cadeia Aleatória
� Se X(t) representa uma medida: Espaço de Estados poderia ser um intervalo de números reais� Processo de Estado Contínuo
Análise de um PE
� Para um valor t, X(t) será uma variável aleatória que descreve o estado do processo no tempo t
� Dada qualquer coleção finita t1, t2, ..., tn de tempos, então X(t1), X(t2), ..., X(tn) constituem um conjunto de n variáveis aleatórias com distribuição conjunta
� A estrutura de probabilidades do processo X(t) é totalmente determinada desde que:� Distribuição conjunta de cada conjunto de variáveis aleatórias é
determinada
� Função de densidade de cada conjunto de variáveis aleatórias é determinada
� Consiste em determinar as distribuições conjuntas e usá-las para prever comportamento futuro, dado o comportamento passado
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Classes de PE
� Estacionários
� Independentes
� Processos de Markov
� Processos Nascimento e Morte
� Processos de Poisson (Nascimento Puro)
� ...
PEs Estacionários
� Um PE é dito estacionário se Fx(x, t) é invariante aos deslocamentos no tempo para todos os valores de seus argumentos
� Fx(x, t+ τ ) = Fx(x, t) (τ = cte)
� t+ τ é o vetor (t1 + τ, t2 + τ, t3 + τ, ....., tn + τ)
Obs.: Fx(x ; t) = P[X(t) ≤ x) (PDF)
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PEs Independentes
Fx(x ; t+ τ ) ∆ Fx1,x2, ... ,xn(x1, x2, ..., xn; t1, t2, ..., tn )
= Fx1 (x1 ; t1) · Fx2 (x2 ; t2) · ... · Fxn (xn ; tn)
� {x n} : conjunto de VAs independentes
� A fdp conjunta é igual ao produto das fdps dos fatores
Processos de Markov
� Processos “sem memória”: probabilidade de xt assumir um valor futuro depende apenas do estado atual� Desconsidera estados passados
� Sejam:� pij : probabilidade de uma transição ir para o estado j, estando no estado i
� f τ : distribuição de tempo entre transições de estados.
� xn : sequência estocástica ou randômica
� Para um Processo de Markov, temos:� pij arbitrária
� f τ sem memória� PE com tempo discreto: Distribuição Geométrica
� PE com tempo contínuo: Distribuição Exponencial
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Processos de Nascimento e Morte (PNM)
� Modelam as alterações em uma “população”
� Estado do processo no instante t representa o tamanho da população no instante t� Número de pacotes em uma rede, fila de um banco
� Assume-se que “nascimentos” e/ou “mortes” múltiplos ocorrem ao mesmo tempo com probabilidade zero
� As transições ocorrem apenas entre estados vizinhos� pij = 0, para | j - i | > 1
� f τ sem memória
Processos de Nascimento e Morte (PNM)
� Processos com tempos discretos ou contínuos
� Extremamente importante na Teoria das Filas� Tipo especial de processos de Markov
� Limitação nas transições possíveis
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Processo de Poisson
� Também conhecido como Processo de Nascimento Puro (PNP)� Processo de chegada onde só temos nascimentos
� Utilizado em processos de contagem� N(t1) < N(t2) se tivermos t1 < t2
� λi = λ, com λ > 0
� µi = 0
� f τ sem memória
Relacionamento entre PEs
PP
p ij arbitráriafτ arbitrária
PSM
PM
p ij = q j-ifτ arbitrária
PNM
p ij arbitráriafτ sem memória
p ij = 0,p/ | j - i | > 1fτ sem memória
PR
q1 = 1 eq i = 0, para i ≠ 1fτ arbitrária
PRλi= λ
µi=0PNP
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Classificação de PEs
� Processos de Markov
� Processos Nascimento e Morte
� Processos de Poisson (Nascimento Puro)
Processos de Markov
� Para estudar sistemas de filas mais facilmente, podemos caracterizar o estado completo da fila em um determinado tempo e estudar o comportamento da fila observando como a fila se comporta em função do tempo
� F(n,t), onde:� n ∈ N = no de fregueses no sistema (fila + servidor)
� t ∈ R = tempo em que o sistema permanece com n fregueses (tempo para transição)
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Processos de Markov
� Se eliminarmos t, ficamos apenas com o estado n, que indica a quantidade de fregueses no sistema
� Passamos a ter um Processo Estocástico com espaço de estado discreto Cadeia
� Quais as conseqüências?� Probabilidades de transição são independentes de n
permitindo que a probabilidade de transição seja Pij
� Probabilidades de transição estacionária
� Processo de Markov homogêneo no tempo
� Representação do estado do processo em um instante de tempo t, uma vez que o mesmo será constante
Processos de Markov
� Um Processo Estocástico é dito ser um Processo Markoviano se o estado futuro depende apenas do estado presente e não dos estados passados� Processo estocástico onde, para qualquer conjunto de
n+1 componentes, t1 < t2 < ... < tn < tn+1, do conjunto índice, X(tn+1) depende apenas de X(tn)
� Este tipo de Processo Estocástico é também denominado de processo sem memória, uma vez que o passado é "esquecido" (desprezado)
� O que isso representa?
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Processos de Markov
� A história (passado) do processo deve ser completamente resumida no estado n
� O estado (n) deve ser a única informação que vai influenciar o futuro do processo
� Se os sistema permaneceu no estado (n) durante t0 segundos, esse valor t0 não deve fornecer informação sobre o futuro
� A distribuição entre as mudanças de estado (n) deve ser a mesma, embora seja conhecido que t0 segundos passaram desde a última mudança
D(t)
D(t)
t
ta ta+to tb
Processos de Markov
� A distribuição do tempo entre mudanças de estados deve ser uma distribuição sem memória
� Quando o espaço de estados do processo é discretotemos uma Cadeia de Markov� Cadeia de Markov com tempo discreto
� Distribuição Geométrica
� Cadeia de Markov com tempo contínuo� Distribuição Exponencial
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Processos de Markov
� Exemplo de transições em um Processo de Markov
Processos de Nascimento e Morte (PNM)� Processos que podem ser usados com tempos
discretos ou contínuos
� Tipo especial de Cadeia de Markov� As transições entre estados só ocorrem entre estados
vizinhos Ek+1, Ek e Ek-1
� pij = 0, para | j - i | > 1
� f τ sem memória
� PE importante na Teoria das Filas� Adequado para modelar mudanças de população
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Processos de Nascimento e Morte (PNM)
� λk = Taxa de nascimento quando ao população tem comprimento k
� µk = Taxa de morte quando a população tem comprimento k
Ek+1
Ek
Ek-1
Ek
Possíveis transições entre estados
morte
nascimento
Sem mudanças
Processos de Nascimento e Morte (PNM)
0 1 2 K-1 k K+1
Diagrama taxa-transição de estado para um PNM
µ1 µ2 µk µK+1
λk-1 λkλ0 λ1
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Processos de Nascimento e Morte (PNM)
K-1 k K+1
µk µK+1
λk-1 λk
nós: estados
Arcos: transições
Valores nos arcos: taxas de transição
fluxo de entrada em E k = fluxo de saida de E k
Processos de Nascimento e Morte (PNM)
K-1 k K+1
µk µK+1
λk-1 λk
fluxo de entrada em E k = λk-1 Pk-1(t) + µK+1 Pk+1(t)fluxo de saida de E k = (λk + µK) Pk(t)
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Processos de Nascimento e Morte (PNM)
Fluxo de entrada - fluxo de saída =
d Pk(t) /dt = λk-1 Pk-1(t) + µK+1 Pk+1(t) - (λk + µK) Pk(t)
d P0(t) /dt = - λ0 P0(t) + µ1 P1(t)
Estado transiente: Conjunto de equações diferenciai s-diferenças que representam a dinâmica do sistema (equações de pendentes do tempo).
Processo de Poisson
� Processos de Poisson são também conhecido como Processo de Nascimento Puro
� Caso especial de um PNM ⇒ processo de nascimento Puro com taxa de nascimento constante
λk = λ, ∇kµk = 0, ∇k
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Processo de Poisson
d Pk(t) /dt = λPk-1(t) - λ Pk(t), k ≥ 1
d P0(t) /dt = - λ0 P0(t)
Temos agora um conjunto de equações de 1a ordem (linear).
Assumindo a condição inicial para cada Pk(t)
1, para k=0
Pk(0) =
0, para k #0
Há 0 (zero) membros nosistema quando t = 0
Processo de Poisson
d Pk(t) /dt = λPk-1(t) - λ Pk(t), k ≥ 1
d P0(t) /dt = - λP0(t)
Temos:
P0(t) = e - λt
Queremos: P1(t), P2(t), ..... , Pk(t)
P1(t) = ?
d P1(t) /dt = λ P0(t) - λ P1 (t)
= λ e - λt - λ P1 (t) ∴ P1(t) = λ t e - λt
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Processo de Poisson
Queremos: P1(t), P2(t), ..... , Pk(t)
P1(t) ?
d P1(t) /dt = λ P0(t) - λ P1 (t)
= λ e - λt - λ P1 (t) ∴ P1(t) = λ t e - λt
(λ t)k e - λt
Pk(t) = –––––––––– , para k ≥ 0 e t ≥ 0K!
Esse é o Processo de Poisson
Como usar os processos
� Examinaremos apenas PNM em equilíbrio, i.e., consideramos o nosso sistema de filas no regime permanente
� No regime permanente, o comprimento da fila varia, naturalmente. O que fica estável (não depende do tempo) é a probabilidade da fila ter k fregueses (pk). Com essa suposição, eliminamos t (tempo),
Desejamos: pk ∆ lim Pk(t)
t → ∞
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Como usar os processos
k-1
pk = p0 ∏ λi / µi+1
i=0
∞ k-1
p0 = 1 / ( 1 + Σ ∏ (λi / µi+1))k=1 i=0
Para: ∞Σ pk = 1k=0
Equações Básicas da Teoria das Filas
Como usar os processos
O sistema é estável:
pk > 0 ( a probabilidade de ocorrer uma chegada em umestado k não é nula)
p 0 ≠ 0 (o sistema esvazia em algum tempo)
pk vai diminuindo depois de um certo k
λk / µk < 1 , para k ≥ k0
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Teoria da Filas
Teoria das Filas
� Teoria dos processos Estocásticos aplicada ao estudo de Sistemas de Filas
� Os processos de interesse são aqueles nos quais os fregueses chegam a um sistema de filas, esperam em fila para serem atendidos nos seus requisitos de serviço e, eventualmente, partem do sistema
� A caracterização de um sistema de filas é feita conforme:� O processo estocástico de chegadas de fregueses
� O processo estocástico de serviço para cada freguês
� A estrutura do sistema
� A disciplina de atendimento aos fregueses na fila
� O comportamento dos fregueses no sistema
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Rede de Filas
� Sistemas de Redes de Filas� São sistemas de filas interconectados segundo uma dada
topologia
� Tipos de Sistemas de Redes de filas� Redes Abertas: fregueses entram no sistema e
eventualmente saem deste
� Redes Fechadas: possuem um número fixo de fregueses (população) circulando na rede. Do ponto de vista do usuário, é como se não houvesse entrada e saída de fregueses
� Redes Mistas:são do tipo abertas para certas classes de fregueses e fechadas para outras
Processo de chegadas
� O processo de chegadas é caracterizado pela especificação da Função Distribuição de Probabilidade (FDP) dos tempos de interchegadas (inter-arrival times), A(t),de fregueses no sistema
A(t) = P[tempo de interchegada≤ t] (1)
� Para simplificação matemática, pode-se adotar a hipótese de que os tempos de interchegadas são variáveis aleatórias independentes estatisticamente distribuídas de acordo com A(t), i.e., o processo de chegadas de freguês é um processo regenerativo, caracterizado por essa função� Processo estocástico que possui a propriedade de se regenerar
probabilisticamente (existem instantes no tempo em que o PE assumirá probabilisticamente um estado anteriormente alcançado)
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Processo de Serviço
� O processo de serviço é caracterizado pela especificação da FDP do tempo de serviço, B(x), para cada um dos fregueses� O tempo de serviço de um freguês é o tempo que o
servidor leva para atender a sua demanda de serviço
B(x) = P[tempo de serviço ≤ x]
� Para simplificação matemática, assume-se que o processo de serviço é independente do processo de chegada e que os tempos de serviços dos fregueses são VAs independentes
Estrutura do Sistema
� A estrutura do sistema é caracterizada:� Capacidade de enfileiramento (comprimento de fila, vagas
na fila)
� Número de servidores
� Classes de fregueses
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Disciplina de Atendimento
� A disciplina de atendimento descreve a ordem em que os fregueses em fila são atendidos pelo(s) servidores(s)� FCFS (First Come, First Served): primeiro que chega,
primeiro a ser atendido
� LCFS (Last Come First Served): último que chega, primeiro a ser atendido
� Randômica: um freguês em fila é escolhido de forma randômica para ser atendido
Comportamento de Fregueses
� O comportamento dos fregueses nas filas impacta as características do sistema� fregueses aguardam em fila até serem atendidos,
� fregueses podem saltar de fila, e
� fregueses podem desertar da fila
� Essas características são definidas durante a criação do modelo, de acordo com as classes de fregueses, a interação entre elas, a priorização dada, etc.
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Notação
� Notação para um sistema de fila: A/B/m/K/N
� A: Função de Distribuição de Probabilidade (FDP) dos tempos de interchegadas de clientes
� B: Função Distribuição de Probabilidade dos tempos de serviços
� m: número de servidores
� K: Comprimento máximo de fila
� N: População do sistema
� Notação simplificada: A/B/m
M/M/m/K/N
fila servidorChegada de Fregueses Partida de
Freguses
Freguesesesperandoserviço
{t} {x}(w) (x)
T
servidores
1
m(K)
N: População
Exp(λ) Exp(µ)
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Significado dos termos
� Conjunto de FDPs mais usadas
� M - Exponencial (M vem de Markovian Process)
� U - Uniforme
� D - Determinístico
� G - Geral
Hipóteses Simplificadoras
� A Distribuição Exponencial� Representa a distribuição dos intervalos de tempo entre
a ocorrência de eventos aleatórios distintos sucessivos (independentes), descrevendo um processo completamente desordenado (pior hipótese)
� Em modelos de redes de filas que podem representar sistemas de recursos compartilhados, a suposição de tempos de interchegadas de fregueses com distribuição exponencial é razoável se o sistema apresentar um número grande de fregueses independentes
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Lei de Little
Lei fundamental da Teoria das Filas
Sejam:λt ∆ taxa de chegada média de fregueses no intervalo (0,t)
Tt ∆ tempo de resposta médio dos fregueses no intervalo (0,t)
Nt ∆ número médio de fregueses no sistema
No regime permanente; lim λt = λ e lim Tt = Tt →∞ t →∞
Nt = λtTt
N = λ .T
Lei de Little
� Lei fundamental da Teoria das Filas� O número médio de fregueses em um sistema de filas é
igual a taxa média de chegada de fregueses vezes o tempo médio gasto nesse sistema
� Vale para qualquer sistema
� Por extensão:� Nq ∆ número médio de fregueses em fila
� Ns ∆ número médio de fregueses no serviço
� Para: W = tempo de fila médio
X = tempo de serviço médio
Nq = λ .W
Ns = λ .X
T = W + X
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Utilização
� Fator de Utilização (ρ )� Considerando os parâmetros R e C, sendo:
� R ∆ carga de trabalho “que entra no sistema”
� C ∆ Capacidade máxima para fazer o “trabalho”
ρ ∆ R/C
Para uma fila G/G/1: ρ = R/C = λ .X / 1 ρ = λ .X
Para uma fila G/G/m: ρ = R/C = λ .X / m ρ = λ .X/m
Utilização
Interpretação para ρ
0 ≤ ρ ≤ 1 ρ = E [fração de servidores ocupados]
Condição de Estabilidade
Para G/G/1 R < C 0 ≤ ρ < 1
Distribuições limites existem para todas as VAs de interesse
Todos os fregueses eventualmente serão servidos
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Utilização
Interpretação de ρ para o sistema G/G/1 estável
Seja: p0: probabilidade que o servidor está livre
ρ = fração de tempo em que o servidor permanece ocupa do
De outra forma:
Pela Lei de Little:
Ns = λ .X (Ns =número médio de fregueses no serviço)
ρ = 1 - p0
Ns = ρ = λ .X
PNM em Equilíbrio
� Teoria das Filas elementar somente estuda sistemas abertos com distribuição de probabilidades exponencial (sistemas Markovianos)� M/M/1: 01 servidor (sistema de fila clássica)
� M/M/m: m servidores
� M/M/ ∞ : infinito servidores
� M/M/1/K: armazenamento finito (K)
� M/M/m/m: sistema de perdas, m servidores
� M/M/1//M: população finita
� M/M/ ∞ //M: infinito servidores, população finita
� M/M/m/K/M: m servidores, armazenamento finito(K) e população finita (M)
Vamos abordar mais detalhes referentes ao sistema M/M/1
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Sistemas M/M/1
fila servidorChegada de Fregueses Partida de
Freguses
Freguesesesperandoserviço µλ
(sem limite)
População: sem limite
Sistema de Filas M/M/1
Sistemas M/M/1
Entre as medidas de desempenho do sistema M/M/1, interessam-nos principalmente:
ρ : fator de utilização do sistemaρ = λ / µ , para λ ≤ µ 0 ≤ ρ < 1
N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor)
N = ρ / (1 - ρ ),
T: Tempo médio de resposta (Tempo médio de fila (W) + tempo médio de serviço (X)
T = (1/ µ ) / (1 - ρ )
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Sistemas M/M/1
ρ : fator de utilização do sistema
ρ = λ . X = λ / µ
Condição de estabilidade: λ < µ 0 ≤ ρ < 1
Cálculo de pk e p0
Desenvolvendo (Vide PNM), chega-se a:
p0 = (1 - λ / µ) = 1 - ρ (já conhecíamos)
e
pk = (1 - ρ )ρk , para k = 0,1,2, ....
Sistemas M/M/1
N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor)∞
N = Σ k. p k , desenvolvendo chega-se ak=0
N = ρ / (1 - ρ)
N
ρ →
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Sistemas M/M/1
T: Tempo médio de resposta (tempo médio de fila (W) + tempo médio de serviço (X = 1/ µ )
Usando a Lei de Little: N = λ TT = N/ λ
T = [ρ/(1 - ρ)] / λ= [ρ/(1 - ρ)] * (1 / λ) = (λ / µ) * [1 / λ(1 - ρ )]= 1/ [µ (1 - ρ )]
Equação básica na análisede atrasos em sistemas deredes de filas
T
ρ →
1/µ
Sistemas M/M/1
� Exemplo 1� Transações chegam a SBD conforme um processo de
Poisson com média 10 por minuto. O SBD processa uma transação de cada vez. O tempo de atendimento é conforme uma distribuição exponencial com média de 4 segundos
� Qual a probabilidade de formar uma fila de transações?
� Qual o comprimento médio dessa fila?
� Qual o tempo médio (espera) para uma transação em fila?
� Quantos segundos por minuto o SBD fica livre para atender ao DBA?
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Sistemas M/M/1
� Exemplo 1 – Solução� λ : taxa média de chegada = 10 transações/minuto = 10/60 tps
� µ: taxa média de atendimento = 0,25 transação / s
� ρ: fator de utilização = λ / µ = (0,167) / 0,25 = 0,67
fila servidorChegada de Fregueses Partida de
Freguses
Freguesesesperandoserviço
Sistema M/M/1
(λ)(µ)
Sistemas M/M/1
� Exemplo 1 - Solução� Qual a probabilidade de formar uma fila de transações?
P [formar fila] = 1 - (p0 + p1), Temos: pk = (1 -ρ) ρk
P [formar fila] = 1 - [(1-0,67) + (1-0,67)·0,67]
P [formar fila] = 0,45
� Qual o comprimento médio dessa fila?Nq = λ . W = λ .(T - X)
= λ .(1/ [µ (1 -ρ )] - 1/ µ) = λ ρ / [µ (1 -ρ )]
= 0,167* 0,67 / [0,25 (1 –0,67)]
= 1,36 transações
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Sistemas M/M/1
� Exemplo 1 – Solução� Qual o tempo médio para uma transação no sistema?
T = 1/ [µ (1 -ρ )] = 1 / (0,25*0,33) = 12 s
� Quantos segundos por minuto o servidor fica livre para o DBA?% tempo livre = p0 = 1 -ρ = 1 – 0,67 = 0,33 => 20 s por m
Sistemas M/M/1
� Exemplo 2� Um canal de comunicação com capacidade igual a 50 Kbits/seg é o
enlace principal de uma rede de comutação de pacotes
� O comprimento dos pacotes na rede é de 1k bits
� Pacotes chegam a um roteador para serem transmitidos pelo canal conforme uma distribuição exponencial com taxa média de 35 pacotes/seg (processo de chegada Poisson)
� Supõe-se que há buffers suficientes para atender a demanda de pacotes que devem aguardar a vez de serem transmitidos, um de cada vez, conforme ordem de chegada (disciplina FCFS)
λ = 35 p/s (1kbits)
C = 50 p/s
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Sistemas M/M/1
� Exemplo 2� Desejamos Conhecer
� A utilização do canal
� O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço)
� O atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão)
λ = 35 p/s (1kbits)
C = 50 p/s
Sistemas M/M/1
� Exemplo 2
λ = 35 p/s
C = 50 p/s
(1kbits)
fila servidorChegada de Fregueses Partida de
Freguses
Freguesesesperandoserviço
µλ
Sistema M/M/1
O canal é
o servidor
A fila se forma
no roteador
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Sistemas M/M/1
� Exemplo 2 - Solução� Temos: λ = 35 pacotes/seg
� Para usarmos a solução M/M/1, assumimos que a distribuição dos comprimentos dos pacotes é exponencial (geométrica), com média 1kbit
� Podemos agora determinar o tempo de transmissão de um pacote no canal conforme a distribuição exponencial com média igual a 1/µC = 0,02 seg (a taxa média de transmissão de pacotes no canal é µC = 50 pacotes / seg)
Sistemas M/M/1
� Exemplo 2 – Solução� Utilização do Canal: ρ = λ / µ
� ρ = λ / µC = 35 / 50 = 0, 7 (o canal transmite durante 70% do tempo)
� O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço): N = ρ / (1 - ρ) � N = 0,7/ (1 - 0,7 ) = 2,33 pacotes
� Atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão): T = (1/ µ ) / (1 -ρ ) � T = (1/ µ C) / (1-ρ) = 1 / (µC-λ) =
� = (1 / (50 - 35) = 0,066 seg
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Redes de Filas
Redes de Filas
� Conjunto de estações de serviço (facilidades/nós) conectadas de forma a atender às solicitações de serviço dos fregueses; ou
� Múltiplas estações de serviço e suas classes, operando de forma assíncrona e concorrente
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Rede de Filas Mista
Aberta para as classes 1 e 2 e fechada para a class e 3
µ3Fonte 1
(classe 1)nó 1
nó 2
nó 3
Fonte 2
(classe 2)
k freg.
(classe 3)
µ2µ1
Sorvedouro
Redes de Filas Tandem
µ2
Solução: RFs abertas sem realimentação
Fontenó 1 nó 2
µ1
Sorvedouro
?λ
Teorema de Burke
M/M/1 ?/M/1
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Teorema de Burke
� No regime permanente, a saída de uma fila M/M/m, com taxa de entrada γ, com cada servidor i atendendo com taxa µi , é um Processo de Poisson com taxa γ, estatisticamente independente do processo de entrada
� Consequência: o nó 2 também é M/M/1 com taxa de chegada de fregueses γ e pode ser analisado independentemente do nó 1.� TRF = T1 + T2 = (1/µ1) / (1 -ρ1) + (1/ µ2) / (1 -ρ2)
para ρ i = γ / µi M/M/1
Generalização de Burke
� Numa Rede de Filas aberta, em que:� Cada nó tem um ou mais servidores exponenciais
� Os processos de entrada são Poisson (não há realimentação, o que destruiria a suposição Processo de Poisson)
cada nó pode ser analisado independentemente (M/M/m)
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Avaliação de Sistemas
µ3nó 1
nó 2nó 3
µ2
µ1γ1
γ2
γ1+ γ2 γ1+ γ2
γ1 < µ1
Condição de estabilidade γ1+ γ2 < µ2
γ1+ γ2 < µ3
Teorema de Jackson
� Seja:� Uma Rede de Filas com N nós, onde o nó i tem mi
servidores exponenciais, cada um com parâmetro µi ;
� O processo de chegada externo ao sistema para o nó i é Poisson, com taxa γi
� Um freguês saindo do nó i passa ao nó j com probabilidade rij
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Teorema de Jackson
Temos:
� r ii ≥ 0
� Pode haver realimentaçãoN
� O freguês parte do nó i com probabilidades 1 - Σ r ijj=1
Deseja-se calcular λi , a taxa média total de chegadas no nó i, isto é, a soma de todas as chegadas externas (Poisson) com as chegadas (não necessariamente Poisson) dos nós internos
Teorema de Jackson
µ3nó 1
nó 2 nó 3
µ2
µ1
γ1
γ2
γ1+ γ2 γ1+ γ2
r21
r31
Temos: N
λi = γi + Σ λj r ji , i = 1, 2,..., Nj=1
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Teorema de Jackson
µ3nó 1
nó 2 nó 3
µ2
µ1
γ1
γ2
γ1+ γ2 γ1+ γ2
r21
r31
Condição de Estabilidade:
λi ≤ m i µ1 , i = 1, 2 e 3 (m i : # servidores no nó i)
Teorema de Jackson
� Jackson provou que apesar do processo de chegada aos nós não ser necessariamente Poisson, a Rede de Filas se comporta como se cada nó fosse uma fila M/M/m i, com um processo de entrada Poisson com taxa µ1