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El número El número Π Π ¿ ¿ Qué es el número Qué es el número Π Π ? ? Fórmulas que contienen el Fórmulas que contienen el número número Π Π Problema de la cuadratura del Problema de la cuadratura del círculo círculo Aplicaciones del número Aplicaciones del número Π Π

El número Π ¿ Qué es el número Π? ¿ Qué es el número Π? Fórmulas que contienen el número Π Fórmulas que contienen el número Π Problema de la cuadratura

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El número El número ΠΠ

¿¿Qué es el número Qué es el número ΠΠ??Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠProblema de la cuadratura del círculoProblema de la cuadratura del círculoAplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

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¿Qué es el número ¿Qué es el número ΠΠ??

π π es la relación entre la longitud de una es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:primeras cifras, es el siguiente:

ππ≈3,14159265358979323846…≈3,14159265358979323846…

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

En geometríaEn geometría Longitud de la circunferenciaLongitud de la circunferencia

L = 2 π L = 2 π rr

Áreas:Áreas: Área del círculo de radio rÁrea del círculo de radio r

A = π A = π rr² ²

Área de la elipse con semiejes Área de la elipse con semiejes aa y y bb A = π A = π abab

Ecuaciones expresadas en radianesEcuaciones expresadas en radianes

Ángulos: 180 grados son equivalentes a Ángulos: 180 grados son equivalentes a ππ radianes. radianes.

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Áreas de cuerpos de revolución:Áreas de cuerpos de revolución: Área del cilindro Área del cilindro

A=2 π A=2 π rr ² + 2 π ² + 2 π rr h h

Área del conoÁrea del conoA=π A=π rr² + π ² + π rr g g

Área de la esfera Área de la esfera

A=4 π A=4 π rr² ²

Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

Volúmenes de cuerpos de revolución:Volúmenes de cuerpos de revolución: Volumen de la esfera de radio Volumen de la esfera de radio rr: :

V = (4/3) π V = (4/3) π rr³ ³

Volumen de un cilindro de radio Volumen de un cilindro de radio rr y altura y altura hh

V = π V = π rr² ² hh

Volumen de un cono de radio Volumen de un cono de radio rr y altura y altura hh

V = π V = π rr² ² hh / 3 / 3

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

En probabilidadEn probabilidad

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²sean primos entre sí es: 6/π²

Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la

probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4

El número medio de formas de escribir un entero positivo como El número medio de formas de escribir un entero positivo como

suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante)suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante) Experimento de la Aguja de BuffonExperimento de la Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una : si lanzamos al azar una

aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L la aguja corte a una línea es: Dπ/2L

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

En Análisis MatemáticoEn Análisis Matemático

Fórmula de Leibniz:Fórmula de Leibniz:

Producto de Wallis:Producto de Wallis:

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

Identidad de Euler:Identidad de Euler:

Euler:Euler:

Fórmula de Stirling:Fórmula de Stirling:

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

Área bajo la campana de GaussÁrea bajo la campana de Gauss

Una representación de Una representación de ΠΠ como suma de fracciones como suma de fracciones

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

Problema de Basilea, resuelto por Euler en Problema de Basilea, resuelto por Euler en 17351735

EulerEuler

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Fórmulas que contienen el número Fórmulas que contienen el número ΠΠ

Expresión de Expresión de ΠΠ como desarrollo en series como desarrollo en series

Fracciones con representación aproximada a Fracciones con representación aproximada a ΠΠ

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Problema de la cuadratura del círculoProblema de la cuadratura del círculo

Se denomina Se denomina cuadratura del círculocuadratura del círculo al al problema matemático consistente en problema matemático consistente en hallar — con sólo regla y compás — un hallar — con sólo regla y compás — un cuadrado que posea un área que sea igual cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.a la de un círculo dado.

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Problema de la cuadratura del círculoProblema de la cuadratura del círculo

Si queremos resolver el problema, por Si queremos resolver el problema, por ejemplo para un círculo de radio r=1, ejemplo para un círculo de radio r=1, tenemos que el área del círculo sería tenemos que el área del círculo sería π·π·11²= π, por lo que el área del ²= π, por lo que el área del cuadrado debería ser también π, es cuadrado debería ser también π, es decir, que decir, que ll²= π, es decir, que ²= π, es decir, que entonces debe ser entonces debe ser l l ==√√ΠΠ

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Problema de la cuadratura del círculoProblema de la cuadratura del círculo

Pero Pero π es un número trascendente, y π es un número trascendente, y estos números cumplen, entre otras, estos números cumplen, entre otras, la propiedad de que no pueden ser la propiedad de que no pueden ser calculados con sólo regla y compás. calculados con sólo regla y compás. Como π es trascendente, Como π es trascendente, √√ΠΠ también también lo es, y de ahí que este problema no lo es, y de ahí que este problema no pueda resolverse con sólo regla y pueda resolverse con sólo regla y compáscompás

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Pi en los deportesPi en los deportes Una espiral formada por semicírculosUna espiral formada por semicírculos La forma del delfínLa forma del delfín El área del círculo perdidoEl área del círculo perdido Formas de cortar una pizza en tres partes Formas de cortar una pizza en tres partes

igualesiguales Trozos tradicionalesTrozos tradicionales Trozos concéntricosTrozos concéntricos Trozos de fantasíaTrozos de fantasía

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

ΠΠ en los deportes en los deportes¿Alguna vez se te ha pasado por la cabeza ¿Alguna vez se te ha pasado por la cabeza que en las carreras de atletismo el atleta que en las carreras de atletismo el atleta que corre por la calle de dentro tiene que corre por la calle de dentro tiene ventaja sobre los demás atletas porque ventaja sobre los demás atletas porque recorre menos metros?recorre menos metros?El recorrido de los atletas estándar es de El recorrido de los atletas estándar es de 400 metros y la anchura de cada calle es 400 metros y la anchura de cada calle es de 1,25 metros, y el recorrido se compone de 1,25 metros, y el recorrido se compone de dos tramos rectos y dos semicirculares.de dos tramos rectos y dos semicirculares.

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Calle 1=2·a+ 2Calle 1=2·a+ 2ΠΠ(r+0,2)=2·a+2(r+0,2)=2·a+2ΠΠr+ r+ 22ΠΠ·0,2·0,2 Calle 2=2·a+ 2Calle 2=2·a+ 2ΠΠ(r+b+0,2)=2·a+2(r+b+0,2)=2·a+2ΠΠr+2r+2ΠΠb+b+22ΠΠ·0,2·0,2

2 2ΠΠb metros de ventajab metros de ventajaCalle 3=2·a+ 2Calle 3=2·a+ 2ΠΠ(r+2b+0,2)=2·a+2(r+2b+0,2)=2·a+2ΠΠr+4r+4ΠΠb+b+22ΠΠ·0,2·0,2

4 4ΠΠb metros de ventajab metros de ventajaCalle 4=2·a+ 2Calle 4=2·a+ 2ΠΠ(r+3b+0,2)=2·a+2(r+3b+0,2)=2·a+2ΠΠr+6r+6ΠΠb+b+22ΠΠ·0,2·0,2

6 6ΠΠb metros de ventajab metros de ventaja

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Sustituyendo los datos que teníamos de partida, a= 100 Sustituyendo los datos que teníamos de partida, a= 100 m, b=1,25 m, por lo tanto, como el recorrido ha de m, b=1,25 m, por lo tanto, como el recorrido ha de ser de 400 m, tenemos que ser de 400 m, tenemos que 2·a+22·a+2ΠΠr+ r+ 22ΠΠ·0,2= 400 ·0,2= 400 de donde de donde

r=(500-r=(500-ΠΠ)/(5 )/(5 ΠΠ)≈31,63 m)≈31,63 m

Las ventajas de los demás atletas serían las siguientes:Las ventajas de los demás atletas serían las siguientes:

El de la Calle 2 tendrá una ventaja= El de la Calle 2 tendrá una ventaja= 22ΠΠb ≈7,85 mb ≈7,85 m

El de la Calle 3 tendrá una ventaja= 4El de la Calle 3 tendrá una ventaja= 4ΠΠb ≈15,71 mb ≈15,71 m

El de la Calle 4 tendrá una ventaja= 6El de la Calle 4 tendrá una ventaja= 6ΠΠb ≈23,56 m b ≈23,56 m

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Una espiral formada por semicírculosUna espiral formada por semicírculosVamos a medir la longitud de la espiral y el área de Vamos a medir la longitud de la espiral y el área de

la espiral en la siguiente figura formada por la espiral en la siguiente figura formada por semicírculos cuyos puntos Msemicírculos cuyos puntos M0 0 y My Muu están a una están a una distancia a y son, respectivamente, los centros de distancia a y son, respectivamente, los centros de los semicírculos:los semicírculos:

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

La longitud de de la espiral es la suma de todos La longitud de de la espiral es la suma de todos los b= los b= ΠΠa+ 2a+ 2ΠΠa+ 3a+ 3ΠΠa+ 4a+ 4ΠΠa+ 5a+ 5ΠΠa+ 6a+ 6ΠΠa+ a+ 77ΠΠa+ 8a+ 8ΠΠa+ 8a+ 8ΠΠa=44a=44ΠΠaa

Para comprobar que hemos hecho bien las Para comprobar que hemos hecho bien las áreas de los semianillos vamos a sumar las áreas de los semianillos vamos a sumar las áreas de cada uno de ellos, con que áreas de cada uno de ellos, con que deberíamos obtener el área del círculo deberíamos obtener el área del círculo grande:grande:

ΠΠaa²1/2+ 2Π²1/2+ 2Πaa²+ 4Π²+ 4Πaa²+ 6Π²+ 6Πaa²+ 8Π²+ 8Πaa²+ 10Π²+ 10Πaa²+ ²+ 12Π12Πaa²+ 14Π²+ 14Πaa²+ Π²+ Πaa²15/2=64Π²15/2=64Πaa²= Π(8²= Π(8·a)·a)²²

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

La forma del delfínLa forma del delfínVamos a calcular el área y el perímetro de la Vamos a calcular el área y el perímetro de la

figura que presentamos a continuación a figura que presentamos a continuación a la que llamaremos forma del delfín, donde la que llamaremos forma del delfín, donde el lado de cada cuadrado es de longitud ael lado de cada cuadrado es de longitud a

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Para ello, nos ayudamos de la figura completa:Para ello, nos ayudamos de la figura completa:

El perímetro es, por lo tanto, ¼·El perímetro es, por lo tanto, ¼·22ΠΠa+ a+ ¼·¼·22ΠΠa+ a+ ¼· ¼· 22ΠΠ(2·a)+(2·a)+ ¼· ¼· 22ΠΠ(2·a)= 3(2·a)= 3ΠΠaa

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Vamos a calcular ahora el área del “delfín”:Vamos a calcular ahora el área del “delfín”:

El área del segmento coloreado para un radio r El área del segmento coloreado para un radio r cualquiera es ¼cualquiera es ¼ΠΠrr²-²-rr²/2=(Π-2)²/2=(Π-2)rr²/4²/4

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Por tanto Por tanto

Área SÁrea S1 1 + Área S+ Área S22= (= (Π-2)Π-2)(2·a)(2·a)²/4 + ²/4 + ((Π-Π-2)2)(2·a)(2·a)²/4 = 2²/4 = 2((Π-2)Π-2)aa²²

Área SÁrea S3 3 + Área S+ Área S33= (= (Π-2)Π-2)aa²/4 + ²/4 + ((Π-Π-2)2)aa²/4 = ½²/4 = ½((Π-2)Π-2)aa²²

Por tanto, tenemos que el área del Por tanto, tenemos que el área del “delfín” es“delfín” es

22((Π-2)Π-2)aa² - ½² - ½((Π-2)Π-2)aa² = 3² = 3((Π-2)Π-2)aa²/2²/2

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

El área del círculo perdidoEl área del círculo perdidoSupongamos que tenemos cuatro trozos de cuerda Supongamos que tenemos cuatro trozos de cuerda

iguales. Con el primero formamos un círculo, el iguales. Con el primero formamos un círculo, el segundo lo cortamos en dos partes iguales para segundo lo cortamos en dos partes iguales para formar dos círculos iguales, el tercer trozo lo cortamos formar dos círculos iguales, el tercer trozo lo cortamos en tres partes iguales y formamos tres círculos, y de en tres partes iguales y formamos tres círculos, y de forma similar formaríamos cuatro círculos con el forma similar formaríamos cuatro círculos con el cuarto trozocuarto trozo

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Por lo tanto, concluimos a partir de la Por lo tanto, concluimos a partir de la tabla que la suma de las longitudes tabla que la suma de las longitudes de las circunferencias es siempre la de las circunferencias es siempre la misma, pero las áreas son más misma, pero las áreas son más pequeñas cuantos más círculos pequeñas cuantos más círculos formemos con el trozo de cuerda, formemos con el trozo de cuerda, ¡algo que aparentemente no ¡algo que aparentemente no esperábamos que ocurriese!esperábamos que ocurriese!

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Formas de cortar una pizza para tres Formas de cortar una pizza para tres personas en partes igualespersonas en partes iguales

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Trozos tradicionalesTrozos tradicionales

Es la forma más sencilla y más utilizada para cortar Es la forma más sencilla y más utilizada para cortar las pizzas. Basta con que cada trozo de pizza las pizzas. Basta con que cada trozo de pizza tenga el ángulo interior de 120º. Una forma tenga el ángulo interior de 120º. Una forma sencilla de hacerlo consistiría en tomar una sencilla de hacerlo consistiría en tomar una cuerda y colocarlo alrededor de la pizza. cuerda y colocarlo alrededor de la pizza. Después, cortamos la cuerda en tres partes Después, cortamos la cuerda en tres partes iguales para tener los extremos de cada trozo de iguales para tener los extremos de cada trozo de pizzapizza

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Círculos concéntricosCírculos concéntricosEl problema consiste en hallar, sabiendo el radio de El problema consiste en hallar, sabiendo el radio de

la pizza r, los radios rla pizza r, los radios r11 y r y r22 de manera que las tres de manera que las tres áreas sean iguales.áreas sean iguales.

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

El área del círculo interior es la más El área del círculo interior es la más sencilla=sencilla=ππrr11²²

El área del anillo BC sería πEl área del anillo BC sería πrr22² - π² - πrr11²²

El área del anillo AC sería πEl área del anillo AC sería πrr² - π² - πrr22²²

Igualamos las tres áreas y resolvemos el Igualamos las tres áreas y resolvemos el sistema de ecuaciones con lo que sistema de ecuaciones con lo que obtenemos que robtenemos que r11=r=r√3/3 y que √3/3 y que rr11=r=r√6/3 √6/3

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Trozos de fantasíaTrozos de fantasíaDado el radio del círculo r, buscamos hallar rDado el radio del círculo r, buscamos hallar r11 y r y r22

de manera que el segmento AB quede dividido en de manera que el segmento AB quede dividido en tres partes iguales, de donde concluimos que tres partes iguales, de donde concluimos que rr11=2r/3 y r=2r/3 y r22=r/3=r/3

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Aplicaciones del número Aplicaciones del número ΠΠ

Vamos a calcular el área de la lágrima de Vamos a calcular el área de la lágrima de abajo=Áreaabajo=ÁreaSC(M)SC(M)-Área-ÁreaSC(M1)SC(M1)+Área+ÁreaSC(M2)SC(M2)= = ΠΠrr²/2 ²/2 - 2Π- 2Πrr²/9 + Π²/9 + Πrr²/18= Π²/18= Πrr²/3²/3

Por tanto, podemos trazar otra lágrima de Por tanto, podemos trazar otra lágrima de igual área en la parte superior y la pizza igual área en la parte superior y la pizza nos quedaría así:nos quedaría así: