aula2-teoria cinética

Ciclamio Leite Barreto

Gilvan Luiz Borba

Rui Tertuliano de Medeiros

Fsica e Meio AmbienteD I S C I P L I N A

Teoria cintica dos gases

Autores

aula

07

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzidasem a autorizao expressa da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN)

Diviso de Servios Tcnicos

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Barreto, Ciclamio Leite.

Fsica e meio ambiente / Ciclamio Leite Barreto, Gilvan Luiz Borba, Rui Tertuliano de Medeiros. Natal, RN : EDUFRN, 2006.

316p. : il

ISBN 978-85-7273-334-2

1. Fsica. 2. Meio ambiente. 3. Sociedade. I. Borba, Gilvan Luiz. II. Medeiros, Rui Tertuliano de. III. Ttulo.

CDD 53RN/UF/BCZM 2006/87 CDU 579

Aula 07 Fsica e Meio Ambiente 1

Objetivos

4

3

2

1

Apresentao

Nesta aula, discutiremos a construo do modelo de um gs ideal e o seu tratamento pelos mtodos da teoria cintica clssica, o que nos leva naturalmente a relacionar o conceito de temperatura ao de agitao trmica das molculas constituintes. Nesse contexto, a temperatura ser quanti cada em termos da energia cintica mdia de translao das molculas, ou seja, a energia do deslocamento linear. Essa relao equivalente equao de estado do gs ideal, causando uma distribuio de estados acessveis descrita pela funo de distribuio de Maxwell-Boltzmann.

Relacionar as grandezas macroscpicas de um gs s suas grandezas microscpicas.

Relacionar a presso do gs velocidade mdia das molculas.

De nir a energia cintica das molculas de um gs em funo da sua temperatura.

Relacionar a energia interna do gs energia cintica mdia das molculas do gs.

Aula 07 Fsica e Meio Ambiente2

Estados da matria

No decorrer de nossas tarefas dirias, lidamos com o que geralmente chamamos de matria, a qual pode ser agrupada em quatro estados distintos. Inicialmente, vamos falar do estado slido, citando, como exemplo, uma chave, uma frigideira, um bloco de glo, uma pedra, um pedao de ferro etc. Com relao ao estado lquido, podemos citar como exemplo a gua que bebemos ou em que nadamos, a gasolina consumida pelos automveis, leos em geral etc. No estado gasoso, podemos citar o vapor dgua, o ar que respiramos e que permite o vo dos pssaros e dos avies, o gs liquefeito de petrleo (GLP) que compramos periodicamente para uso no fogo da cozinha, e o gs natural veicular (GNV), que desponta como uma fonte alternativa de energia.

Captado diretamente na boca do poo de petrleo, o GNV canalizado para o uso adequado, mas at o incio da dcada de 1990, esse gs era desperdiado, pois era queimado na torre do poo de petrleo. Por ltimo, o estado de Plasma, constitudo de um gs eletricamente neutro, composto por partculas neutras e carregadas positiva e negativamente. Um exemplo conhecido por todos o gs ionizado no interior das lmpadas uorescentes quando ligadas. Outro exemplo o da camada da atmosfera terrestre situada entre 60 km e 1000 km de altitude, conhecida como ionosfera. O efeito da radiao solar nessa regio, principalmente a radiao ultravioleta, ioniza os componentes atmosfricos, ou seja, forma um par on-eltron.

Como visto na disciplina de Cincias da Natureza e Realidade, o vento solar tambm um plasma constitudo de partculas energticas que so ejetadas do Sol durante o processo conhecido como erupo solar (para maiores informaes, voc pode visitar a pgina da NASA na web. Veja Referncias, na pgina 19). O perfeito entendimento dos estados da matria, fundamental para o avano dos conhecimentos e interpretao do mundo fsico.

De todas as idias sugeridas para explicar as semelhanas e diferenas nas propriedades exibidas pelos slidos, lquidos, gases e plasmas, a Teoria Cintica mostrou-se mais abrangente na totalidade das explicaes. Essa teoria assume, como fundamento bsico, que toda matria composta de uma enorme quantidade de minsculas partculas invisveis, sempre em movimento. Segundo essa teoria, os gases so constitudos por uma coleo de numerosas molculas livres, movendo-se e colidindo -se em alta velocidade, similarmente teoria das colises elsticas, que obedece lei de conservao do momento linear, como, por exemplo, numa coleo de bolinhas de ping-pong agitadas dentro de uma caixa. Esse assunto foi estudado na aula 5 (Leis de conservao da Mecnica I), quando mostramos a coliso entre duas partculas.

Veri cando o comportamentodo gs em movimento

Para a con rmao do movimento das molculas de um determinado gs, imagine a seguinte experincia feita com um fogo solar (Figura 1). Suponha uma panela de alumnio


com tampa (material leve), de modo que a tampa encaixe na panela, mas no que muito justa, coloque gua at a metade e leve ao fogo. Quando a gua comear a entrar em ebulio (temperatura de 100 0C), voc comear a perceber que a tampa da panela est vibrando, como se estivesse sendo empurrada de dentro para fora. Como a gua est no estado de vapor, ou estado gasoso, suas molculas assumem um movimento aleatrio que, quando se chocam com a tampa, exercem uma fora sobre esta, ou seja, exerce presso. A tampa no jogada fora do lugar porque a camada de ar da atmosfera terrestre exerce tambm uma presso sobre ela, a qual obtida pela razo entre o peso do ar mais o peso da tampa da panela e a rea de contato do corpo com o ar. No nvel do mar, sabemos que essa presso do ar de uma atmosfera (1 atm). Ento, quando voc perceber que a tampa est sendo um pouco erguida, a presso interna feita pelo gs sobre a tampa maior que a presso externa exercida sobre ela. Como conseqncia, escapa um pouco de vapor dgua, a presso interna ca menor, e a tampa volta ao seu lugar. Instantes depois, mais gua entra em ebulio, mais vapor se forma na parte interna da panela e o processo se repete, sendo observado o movimento vibratrio da tampa.

A panela que aparece na gura colocada no ponto focal do espelho parablico, onde consegue uma temperatura no foco entre 300 0C e 350 0C dependendo do material re etor utilizado.

Figura 1 Fogo solar

A Figura 1 mostra um fogo solar, cuja nalidade concentrar a radiao solar no foco de um espelho parablico cncavo. Esse tipo de fogo exige para o seu funcionamento a presena da radiao solar direta, ou seja, quanto mais o cu estiver claro, sem nebulosidades, maior ser sua e cincia. Por essa razo, as reas potencialmente utilizveis para tal aplicao acham-se situadas nas zonas do semi-rido nordestino, onde temos na maior parte do ano essa condio de cu limpo. Alm disso, o seu uso seria tambm justi cado em virtude do alto grau de deserti cao dessa regio, evitando, assim, o desmatamento que ocorre com a utilizao da lenha nos foges lenha, bastante presentes na zona rural. Tambm ajudaria as famlias de baixa renda que usam foges gs a diminuir os gastos com GLP.


Veri cando o comportamentodos slido e lquidos

Vamos discutir o comportamento de slidos e lquidos luz da teoria cintica. Partiremos do princpio de que todas as molculas so eletricamente neutras (carga eltrica efetiva nula) e apresentam uma atrao recproca. Essas foras de atrao so chamadas foras de van der Waals, em homenagem ao cientista holands Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) pelo seu trabalho sobre as equaes de estado aquelas que envolvem presso, volume e temperatura para gases e lquidos, que lhe valeu o Prmio Nobel de Fsica em 1910. Van der Waals foi o primeiro a perceber a necessidade de levar em conta os volumes das molculas e as foras intermoleculares (agora genericamente conhecidas como foras de Van der Waals) e estabeleceu uma relao entre presso, volume e temperatura de gases e lquidos.

Desse modo, quando a velocidade das molculas de um gs vai diminuindo, isso implica na diminuio da temperatura. Assim, as foras de Van der Waals se intensi cam agrupando as molculas do gs, at o ponto onde o gs passa para o estado lquido. Um resfriamento mais acentuado ainda determinar um agrupamento mais rgido de molculas, caracterizando o estado slido.

Modelo da teoria cintica do gsFaremos uma descrio qualitativa de uma substncia como sendo um gs ideal. A partir

disso, obteremos uma descrio quantitativa, incluindo a presso e a temperatura do gs ideal em termos das velocidades moleculares.

O modelo da teoria cintica para um gs ideal baseia-se nas hipteses que seguem.

O gs constitudo por um nmero muito grande de molculas (partculas) em movimento desordenado descrito pelas leis de Newton.

O volume prprio das molculas desprezvel diante do volume do recipiente que o gs est ocupando.

As foras intermoleculares so desprezveis, exceto nas colises mtuas e com as paredes do recipiente.

As colises so elsticas e de durao desprezvel.


A caracterstica mais importante desse modelo que as molculas, na maior parte do tempo, no exercem foras umas sobre as outras, exceto quando colidem. Assim, as propriedades macroscpicas de um gs, presso, volume e temperatura (p, V, T) so conseqncias primrias do movimento das molculas, ou seja, das velocidades das molculas do gs. Isso a teoria cintica dos gases.

Clculo cintico da pressoVamos utilizar a velocidade das molculas do gs a m de obter uma expresso para a sua

presso. A idia fundamental vem da lei de conservao do momento linear, explorada na aula 5, que diz: estando uma partcula de massa m em movimento, colidindo com outra partcula de mesma massa, ou ainda se chocando frontalmente ou obliquamente com um obstculo, de modo que a soma das foras externas que agem sobre ela seja nula, (

F ext = 0), ento,

o momento linear total, (Ptotal), se conserva. Para isso, vamos imaginar dentre N molculas o movimento de uma nica partcula no interior de uma caixa cbica de aresta L, cujo volume dado por (V = L3), como ilustrado na Figura 2. Consideremos inicialmente o movimento da molcula em uma s direo, por exemplo, a direo x, de modo que a molcula desloca-se com velocidade vx, perpendicular parede A1 da caixa. Se antes de colidir com a parede A1 da caixa, a molcula tem momento linear na direo x dado por

Pix = mvx

ento, aps a coliso, ela tem momento linear

Pfx = mvx

A1A2

y

x

z

vmL

LL

Figura 2 Caixa cbica contendo um gs de N molculas

(Eq. 1)

(Eq. 2)

(Eq. 3)

Assim, a variao de momento linear sofrida pela molcula vale

P = mvx mvx = 2mvx


Para que a variao total do momento linear da molcula mais a variao da parede sejam nulas, o momento linear da parede deve sofrer uma variao representada na equao a seguir:

P = 2mvx

A molcula, ao ser re etida, vai at a parede A2, colide com a mesma e retorna parede

A1. O tempo gasto para que a partcula zesse esse percurso foi t = 2L/vx. Esse o tempo

entre duas colises sucessivas da molcula com a parede A1. Assim, a molcula transfere momento linear parede por uma fora F que dada pela razo entre a variao do momento e o tempo entre duas colises sucessivas. Observe que essa transferncia de momento pode ser feita inclusive por outras molculas do gs atravs de sucessivas colises entre elas.

Podemos representar matematicamente essa expresso por

F =Pt

=mv2xL

Sabemos que a presso exercida sobre uma parede dada pela fora por unidade de rea. Portanto, dividindo-se a equao 5 pela rea L2, chegamos seguinte expresso:

p =mv2xL3

Como o gs constitudo de N molculas, vamos considerar que a presso exercida por todas elas sobre a parede A1 da caixa dada pela soma das presses de cada uma, ou seja,

p =Ni=1

pi =Ni=1

mv2xiL3

em que o smbolo N

i=1representa a soma de N termos. Como os termos m e L3 independem

do somatrio, cujo smbolo apenas um fator multiplicador na expresso, temos

p =m

L3

Ni=1

v2xi

Se multiplicarmos e dividirmos a equao 8 pelo nmero N de molculas do gs e considerando a razo NV = N/L3 como sendo o nmero de molculas por unidade de volume, a equao 8 torna-se

p =mNVN

Ni=1

v2xi

(Eq. 4)

(Eq. 5)

(Eq. 6)

(Eq. 7)

(Eq. 8)

(Eq. 9)


Observe que na equao 9 a presso se relaciona com a velocidade da molcula. O termo mNV justamente a densidade volumtrica do gs que vamos de nir como

= mNV

O termo restante, que a razo entre o somatrio e o nmero de partculas N, representa o valor mdio do quadrado da componente x da velocidade, ou seja,

v2x

=

Ni=1

v2xi

N

Assim, a presso exercida pelo gs

p = v2x

Por outro lado, se o valor mdio da velocidade ao quadrado nas direes y e z igual

ao valor da direo x, ou seja, v2x

=v2y

=v2z, podemos escrever

v2x

=13v2, em

que v2

o valor mdio da velocidade ao quadrado do gs, assim,

p =13v2

A raiz quadrada do termo denominada de velocidade quadrtica mdia, ou vqm, que representa um valor e caz da velocidade molecular. Logo:

vqm =

3p

Aqui, podemos compreender como uma propriedade microscpica do gs, que a velocidade molecular, est associada a uma grandeza macroscpica, que a presso.

Do conceito de presso como sendo fora por unidade de rea, atribumos a unidade de medida no Sistema Internacional, newton por metro quadrado, chamada de pascal (Pa), ou 1 Pa = 1 N/ m2 = 1 J/ m3 = 1 kg/ms2. Com essa unidade, foi homenageado o eminente matemtico, fsico e lsofo francs Blaise Pascal (1623-1662). comum encontrar medidas prticas do ar atmosfrico na unidade chamada atmosfera (abreviada atm). 1 atm a presso que o ar atmosfrico exerce sobre ns ao nvel do mar: 1 atm = 1,01 x 105 Pa. Os meteorologistas costumam usar a unidade expressa em milibar (mb), nesse caso, 1 atm = 1000 mb. Para um aprofundamento sobre as unidades de presso e seus fatores de converso, consulte Young e Freedman (2003).

(Eq. 10)

(Eq. 11)

(Eq. 12)

(Eq. 13)

(Eq. 14)


Atividade 1

Exemplo 1 Calcule a velocidade quadrtica mdia do oxignio molecular, O2, nas condies normais

(padro) de temperatura e presso (CNTP).

Soluo

Nas CNTPs a temperatura T = 273 K, a presso p = 1 atm = 1,01 x 105 Pa e a densidade do gs = 1,43 kg/m3. Usando a expresso

vqm =

3p

=

3 1, 01 105

1, 43m/s, logo vqm = 461 m/s.

Obtenha a velocidade quadrtica mdia (vqm) para o ar atmosfrico cuja densidade = 1,29 kg/m3. (Sugesto: use o mesmo raciocnio do Exemplo 1)

Temperatura como medida da energia cinticaPara encontrarmos a relao entre energia cintica e temperatura, vamos relembrar a

equao de estado de um gs ideal que mostra a relao entre a presso p, o volume V e a temperatura T

pV = RT

em que o nmero de moles e R, a constante universal dos gases que vale 8,31 J/mol.K.

Agora, vamos substituir o valor da presso na equao 14, obtendo

RT =13V

v2

(Eq. 15)

(Eq. 16)


O valor V = mg a massa total do gs, quando a dividimos pelo nmero de moles obtemos a massa molecular do gs, ou seja, M = mg/. Substituindo esse resultado na equao 16, temos a expresso

13Mv2

= RT

Vamos multiplicar a equao 17 pelo fator , rearranjando de modo que podemos chegar a uma expresso extremamente conhecida, ou seja,

12Mv2

=32RT

Observe que o lado esquerdo da equao 18 representa a energia cintica mdia de translao por mol das molculas. Essa energia diretamente proporcional temperatura do gs dada em Kelvin.

Se dividirmos a equao 18 por NA (o nmero de Avogadro), que representa o nmero de molculas contido em um mol de um gs, encontramos

12

M

NA

v2

=32

R

NAT

Temos do lado esquerdo a razo m = M/NA, que representa a massa m de uma molcula, e no lado direito a razo R/NA = k, chamada constante de Boltzmann k = 1, 38 1023 J/K.Assim, temos

12mv2

=32kT

A leitura da equao 20 nos diz: a energia cintica mdia de translao de cada molcula diretamente proporcional temperatura do gs. Das equaes 18 e 20, podemos veri car os seguintes resultados

vqm =v2 =

3RTM

=

3kTm

Como as molculas de um gs ideal tm somente energia cintica, despreza-se a energia potencial de interao.

(Eq. 17)

(Eq. 18)

(Eq. 19)

(Eq. 20)

(Eq. 21)


Atividade 2

Atividade 3

A distribuio develocidades de Maxwell

Outra leitura da equao 20 pode nos dizer o seguinte: a energia cintica mdia por molcula do gs diretamente proporcional a sua temperatura absoluta. Como falamos em valores mdios, evidentemente que nem todas as molculas do gs tero a mesma velocidade, podendo haver molculas lentas e molculas extremamente rpidas.

Vamos aqui relatar uma observao que voc pode veri car na sua regio. Sabemos que no semi-rido nordestino muitas famlias da zona rural que ainda no conseguiram ser bene ciadas com o programa do Governo Federal Luz para todos, colocam gua de beber em potes de barro (Figura 3) para que a gua que mais fresca.

Comparando-se dois gases que esto a uma mesma temperatura, veri camos pela equao 6 que suas velocidades quadrticas mdias so diferentes. Encontre a razo entre as velocidades quadrticas mdias do O2 com massa molecular de 32 g/mol e do H2 com massa molecular de 2 g/mol.

Faa a seguinte experincia: coloque uma quantidade dgua num recipiente de plstico e a mesma quantidade num pote de barro, deixe os dois cobertos em um canto da casa. Ao meio-dia, beba um pouco da gua colocada nos dois recipientes e relate as diferenas encontradas.


A fabricao de um bom pote deve ter algumas caractersticas importantes, de modo que a gua seja resfriada o mximo possvel. Uma delas que o material seja poroso, permitindo a gua uir atravs dos poros da parede interna para a parede externa. O que faz ento a gua esfriar? As molculas mais quentes tero maior velocidade, com isso, elas chegam primeiro parede externa do pote e se evaporam. Esse processo pode ser acelerado se o pote estiver num lugar muito ventilado, dessa forma, as molculas que se evaporam so retiradas da parede externa do pote mais rapidamente e, assim, mais molculas podem se evaporar, restando no pote as molculas de gua mais frias.

Figura 3 Pote de barro utilizado para armazenar gua de beber

Um outro exemplo que na poca da estao chuvosa na regio do semi-rido, principalmente os meses de fevereiro, maro e abril (nos quais se concentram os maiores ndices pluviomtricos dessa estao), se voc entra na beira de um aude, por exemplo, prximo ao meio-dia, sentir a temperatura da gua bastante elevada. Por outro lado, se voc faz essa mesma experincia nos meses de setembro e outubro, que so meses secos (sem chuva), sentir a gua mais fria que nos meses de chuva. Por que isso acontece? Observe que durante os meses da estao chuvosa o vento sopra com uma intensidade quase nula. Portanto, as molculas da gua que se evaporam da superfcie do aude permanecem acima da superfcie da gua, formando uma espcie de pelcula (colcho de ar), di cultando a evaporao de outras molculas, o que faz com que as molculas mais quentes da gua quem presas na superfcie. J nos meses de setembro e outubro, o vento sopra com intensidade forte, de modo que as molculas quando se evaporam so levadas para uma posio fora do aude e, conseqentemente, facilitam a evaporao das molculas quentes sobre a superfcie da gua, tornando-a realmente mais fria.

Em meados do sculo XIX, vrias di culdades com as teorias existentes de calor, como a teoria calrica, levaram algumas pessoas a olharem novamente para a teoria cintica dos gases. Maxwell em 1859 trabalhou com um modelo cintico no qual os tomos ou molculas de um gs sofriam colises elsticas entre si. O seu movimento obedecia s leis de Newton, por outro lado, as molculas sofriam colises umas com as outras e tambm com as paredes dos recipientes e seguiam trajetrias retilneas entre colises sucessivas. Assim, devido quantidade de partculas, era praticamente impossvel tentar


analisar o sistema usando as leis de Newton, mesmo que isso, em princpio, pudesse ser feito. O problema que existem muitas variveis, tornando o trabalho de escrever as equaes de todas as molculas muito complexo. Ele observou que no era necessria a descrio completa de como cada molcula se movia. O importante era compreender em que circunstncia o modelo microscpico estava conectado com as propriedades macroscpicas, que representam as mdias de um nmero enorme de molculas.

A informao microscpica relevante no seria o conhecimento das posies e das velocidades de cada molcula a cada instante de tempo (como descrevemos a partir da mecnica newtoniana), mas uma funo de como essas molculas se distribuem no gs. Em outras palavras, que porcentagem de molculas ocupa uma certa parte do recipiente e que porcentagem possui velocidades dentro de certo intervalo, a cada instante de tempo. Para um gs em equilbrio trmico, a funo denominada funo de distribuio independente do tempo. Assim, ignorando pequenas correes devido ao da gravidade, o gs se distribuir uniformemente no recipiente.

A funo de distribuio de MaxwellMaxwell obteve a distribuio de velocidades das molculas de um gs em equilbrio

trmico pelos seguintes argumentos baseados em simetria.

a) Para um gs de N partculas, existe uma frao de suas molculas que tem velocidade na direo x entre vx e vx + vx, sendo vx uma pequena mudana do valor de vx.

b) Para molculas em um recipiente fechado, pelo menos longe das paredes, todas as direes so iguais, de modo que a mesma funo dar a distribuio de probabilidade para as outras direes. Assim, a probabilidade medida em funo das velocidades entre vx e vx + vx, vy e vy + vy, e vz e vz + vz.

Observe que soma dessas fraes sobre todos os intervalos de velocidade entre 0 e corresponde o nmero total de partculas N.

O principal argumento foi construdo a partir da seguinte observao: como qualquer direo pode ser apropriadamente adequada, a funo deve depender apenas da velocidade total da partcula, e no de cada componente da velocidade separadamente.

Falando do ponto de vista de possibilidades ou de probabilidades, vocs j devem estar acostumados com resultados de pesquisa de opinio pblica sobre diversos assuntos, entre os quais, a eleio de presidente, governador, senador etc. Nesse caso, toma-se, por exemplo, uma amostra de 1000 pessoas e ao nal da pesquisa publica-se o seguinte: o candidato A tem 51% de chance de ser eleito, o candidato B tem 30%, o C tem 12% e o D tem 2%; os 5% restantes correspondem aos eleitores que no sabem ou no opinaram. Podemos dizer, ento, que a probabilidade do candidato A ser eleito de 51% e assim sucessivamente para os demais.


Ao observarmos a distribuio de velocidades das molculas do gs, j falamos que algumas delas tm velocidades que vo de 0 a , e que, entretanto, a probabilidade do gs ter molculas com velocidades nesses extremos praticamente nula. Portanto, a funo que mostra a distribuio de velocidades deve tender a zero nesses dois extremos. De acordo com Maxwell, deve existir poucas molculas medida que se tem velocidades mais altas, sendo a funo desse comportamento uma funo exponencial negativa:

f(v) AeBv2

em que A e B so constantes arbitrrias.

importante imaginar uma distribuio de partculas no espao no qual as coordenadas de posio so trocadas pelas coordenadas de velocidade, ou seja, um espao tri-dimensional (vx, vy, vz), em que cada partcula representada por um ponto tendo coordenadas correspondentes velocidade da partcula. Assim, todos os pontos que cam em uma superfcie esfrica centrada na origem correspondem mesma velocidade. Logo, o nmero de partculas possuindo velocidades entre v e v + v igual ao nmero de pontos entre duas esferas centradas na origem, com raios v e v + v. Esse um espao que substitui o pequeno volume (o volume de uma casca esfrica a rea 4v2 multiplicada pela espessura v: 4v2v). Logo, a funo distribuio das velocidades deve satisfazer a condio de molculas com velocidade nula, devendo ter o seguinte formato:

f(v) = 4v2A3eBv2

As constantes A e B podem ser determinadas integrando-se (processo de integrao) a funo de distribuio de probabilidades sobre todas as velocidades para encontrar o nmero total de partculas N, e sua energia total E. Como uma partcula movendo-se com velocidade v possui energia cintica mv2, podemos usar a distribuio de probabilidade para encontrar a energia cintica mdia por partcula (mdia ponderada em que os pesos so as probabilidades de cada valor de v):

12mv2

=

0

12mv2f(v)dv

N

Nessa expresso, embora o seu entendimento parea complicado, possvel tentar estabelecer uma descrio do gs que contm N molculas discretas. Essa expresso, como j foi dito, a mdia ponderada, tal qual usamos para de nir o valor mdio de uma funo do gs em que o valor desta no o mesmo para todas as molculas do gs. O smbolo

(chamado de

integral) indica que estamos fazendo uma soma envolvendo valores muito prximos.

(Eq. 22)

(Eq. 23)

(Eq. 24)

Processo de integrao

O processo de integrao uma poderosa ferramenta matemtica que voc aprender a usar nas disciplinas de Clculo I e II.


Tomando, ento, um gs com N molculas, a funo que permite calcular a velocidade mdia dessas molculas dada por

v =

Ni=1

nivi

N

sendo ni o nmero de molculas do gs com velocidade vi e N =i=1

ni o nmero total de molculas do gs. Analogamente, o valor mdio de v2

v2 =

Ni=1

niv2i

N

Se multiplicamos a equao 26 por m, podemos veri car que as equaes 24 e 26 fornecem o mesmo resultado.

Como j foi dito, a funo de distribuio permite entender que no gs existem partculas com velocidades distribudas entre zero e in nito: 0 < v < .

Vamos agora de nir uma grandeza muito importante para nossa discusso, que a velocidade mais provvel do gs (vp), como sendo a velocidade da maior frao de partculas do gs. Quando resolvemos a integral da equao 24, encontramos a seguinte expresso:

12mv2

=

3m4B

.

Utilizando o resultado da equao 15, obtemos

3m4B

=32kT .

Ou ainda

B =2KTm

.

f(v) v2emv2/2Kt

A constante de proporcionalidade correspondente equao 29 obtida a partir da integrao de f(v) sobre todas as velocidades e fazendo tal integral igual a 1, ou seja,

0

f(v)dv = 1, sendo

f(v) = Av2e mv2/2kT .

(Eq. 25)

(Eq. 26)

(Eq. 27)

(Eq. 28)

(Eq. 29)


Com isso, obtm-se A = 4( m2kT

)3/2.

Utilizando tais conceitos, obtm-se uma funo distribuio dada por:

f(v) = 4( m2kT

)3/2v2emv2/2kT

Observe que essa funo aumenta parabolicamente de zero para pequenas velocidades, chegando a um mximo, com o termo v2, e a partir da diminui exponencialmente. A Figura 4 representa o gr co da funo distribuio em funo da velocidade para duas temperaturas diferentes. Observe que o mximo da funo desloca-se para a direita, mas tambm diminui, se a temperatura aumenta. A rea total abaixo da curva sempre unitria (igual a um), por de nio de probabilidade.

f(v)

v

T1

T2

T2T1 Ciclamio Leite Barreto

> Gilvan Luiz Borba

> Rui Tertuliano de Medeiros

Fsica e mensurao. Movimentos e conceitos da mecnica. Relatividade. Temperatura, calor e termodinmica. Ondas, som e audio. Eletricidade e magnetismo. Ondas, luz e viso. Meio ambiente e Fsica Moderna. Aplicaes tecnolgicas contemporneas

FSICA E MEIO AMBIENTE INTERDISCIPLINAR

AUTORES

AULAS

01 O meio ambiente e a Fsica

02 Fsica e mensurao

03 Movimentos: conceitos fundamentais e descrio

04 Fora e movimento

05 Leis da conservao da mecnica I

06 Leis da conservao da mecnica II

07 Teoria cintica dos gases

08 Calor e termodinmica

09 Ondas, som e audio

10 Eletricidade e magnetismo I

11 Eletricidade e magnetismo II

12 Ondas, luz e viso

13 Relatividade

14 Fsica moderna e meio ambiente

15 Energia nuclear e seus usos na sociedade

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aula2-teoria cinética