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Aula IX – Técnicas de análise de registros– métodos quantitativos
Metodologia da Pesquisa em Ensino de Ciências I
Curso de Metodologia da Pesquisa – Aula 9 Prof. Paulo Rosa Curso de Mestrado em Ensino de Ciências - UFMS
Primeiro aviso inicial
A Análise Estatística apenas pode nos dizer se há alguma diferença entre amostras de um grupo. Ela não pode nos informar sobre a origem desta diferença (porque ela existe).
Isto somente um modelo teórico pode fazer.
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Segundo aviso inicial
A Análise Estatística mais sofisticada possível não pode salvar registros obtidos de maneira inadequada.Apenas bons testes produzem boa análise estatística, no sentido de que as conclusões obtidas sejam válidas.
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Parte I – Conceitos Básicos de Estatística
Alguns conceitos básicos• Estatística descritiva: se preocupa com a
organização e representação dos dados;• Estatística inferencial: se preocupa com
inferências que possam ser feitas a partir dos dados coletados.
[email protected] Curso de Metodologia da Pesquisa – Aula 9 Prof. Paulo Rosa Curso de Mestrado em
Ensino de Ciências - UFMS
5
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População
População: conjunto de sujeitos que queremos estudar.
Estatística Inferencial - Definições
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Elementos da amostra.População
Estatística Inferencial - Definições
Amostra: subconjunto da população.
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Estatística Inferencial – Problema Básico
Problema Básico da Estatística Inferencial: dada uma amostra da
população como inferir informações sobre a própria população?
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Parte II - Descrevendo a amostra e a população
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Estatística Inferencial – Medidas de tendência central
São quantidades que nos dão uma ideia sobre o comportamento da população ou da amostra.
Medidas de Tendência
Central
Média Moda
Mediana
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Estatística Inferencial – Medidas de Dispersão
São quantidades que nos dão uma ideia sobre o como os valores se distribuem em torno da média, ou seja, se os valores estão próximos ou distantes do valor médio.
Medidas de Dispersão
Variância Desvio padrão
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Estatística Inferencial – Curva Distribuição de Valores
Considere que em um teste tenhamos obtido os seguintes valores para as notas dos alunos:
Notas no teste Número de alunos com a nota0,0 5,00,5 8,01,0 13,01,5 20,02,0 22,02,5 25,03,0 35,03,5 42,04,0 60,04,5 85,05,0 69,05,5 60,06,0 55,06,5 43,07,0 34,07,5 26,08,0 18,08,5 12,09,0 9,09,5 6,0
10,0 2,0
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Estatística Inferencial – Curva Distribuição de Valores
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
20
40
60
80
100
Núme
ro de
alun
os
Notas
Valor médio
Curva Distribuição de Notas
Vamos traçar um gráfico colocando no eixo das ordenadas os valores das notas e no eixo das abscissas o número de alunos que obtiveram aquela nota.
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Estatística Inferencial – Curva de Distribuição de Valores (cont.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
20
40
60
80
100
Dados brutos Curva normal
Núme
ro de
alun
os
Notas
Valor médio
Curva Distribuição de Notas
Podemos aproximar esta curva por outra, chamada Curva Normal.
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A curva normal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
20
40
60
80
100
Núme
ro de
alun
os
Notas
Valor médio
Curva Distribuição de Notas
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Equação para a curva normal
Dada uma população com desvio padrão e média conhecidos, então a curva normal desta população será dada por:
2
1/2 2
1 1 ( )( ) exp
(2 ) 2p p
x xy x
Desvio padrão da população.
Valor médio de x para a população
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Equação normalizada para a curva normal
21 1( ) exp
22y x z
Nesta expressão:
p
x xz
Desvio padrão 1.
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Curva normal e probabilidades
Se integrarmos a curva normal, o resultado será 1:
21 1( ) exp
22
( ) 1
y z dz z dz
y z dz
Podemos interpretar a
área sob a curva normal como uma
probabilidade
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Curva normal e Probabilidades (cont.)
Quando integramos a curva normal entre dois valores, obtemos a probabilidade de encontrar um valor dentro deste intervalo. Por exemplo, qual a probabilidade de encontrar um valor entre -1 e +1?
1 2
1
1 1( 1,1) exp
22( 1,1) 0,68
p z dz
p
Ou seja, temos uma possibilidade de encontrar um dos valores em uma
medida entre o valor médio menos um desvio padrão e o valor médio mais um
desvio padrão!
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Curva de Distribuição Normal
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0Cu
rva No
rmal
x
MédiaModaMediana
Largura de 2 desviospadrão
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Intervalos de confiança
Um intervalo de confiança é um intervalo de valores para o qual uma nova medida da variável possui certa probabilidade de estar.Exem
plos
68%
95%
;
2 ; 2
p p
p p
I x x
I x x
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Parte III – Analisando testes
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Fidedignidade de testesO objetivo da análise de fidedignidade é responder
à seguinte questão:
Se aplicado novamente a um grupo nas mesmas condições o teste nos dará o mesmo resultado?
www.dfi.ufms.br/prrosa
Se o teste for aplicado na mesma situação , o
resultado do teste será o mesmo?
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Podemos estimar a fidedignidade de um teste a partir do coeficiente α de Cronbach:
Cálculo da fidedignidade de testes
Número de
questões no teste
Variância de cada item no
teste
Variância total no teste
11( 1)
n
ii
T
Vnn V
Fidedignidade da pesquisa é relacionada com a fidedignidade dos seus instrumentos de coleta de dados.
Coeficiente α de Cronbach
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• Os valores do coeficiente α de Cronbach variam, teoricamente entre 0 e 1;
• Somente valores positivos fazem sentido;• Quanto mais próximo de 1, melhor o teste;• Valores abaixo de 0,7 indicam um teste
não confiável.
Cálculo da fidedignidade de testes (cont.)
Um exemplo de cálculo de
fidedignidade
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O que fazer se o coeficiente de fidedignidade do teste for ruim?
Análise de Consistência Interna (cont.)
Temos que descobrir quais itens do teste fazem com que o
resultado seja ruim.
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Ideia básica: a fidedignidade de um teste é baixa porque as questões no teste medem conteúdos e/ou habilidades cognitivas diferentes.
Análise de Consistência Interna (cont.)
Isto sendo verdadeiro, não há sentido em somar os resultados obtidos em cada item do teste e
construir um escore total.
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Solução: calcular a correlação entre os itens e o escore total no teste.
Análise de Consistência Interna (cont.)
Hipótese: os itens com correlação baixa com o escore total estão
medindo conteúdos e/ou atividades diferentes.
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Correlação
Correlação
O coeficiente de correlação mede se duas variáveis têm a mesma tendência.
O coeficiente de correlação é um número que varia entre -1 e +1.
A correlação não indica relação de causalidade entre duas variáveis.
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Correlação (cont.)
Coeficiente de
Correlação
Valores próximos de -1 indicam que as duas séries têm tendências opostas: quanto uma cresce outra diminui ().
Valores próximos de +1 indicam que as duas séries têm tendências iguais: quanto uma cresce outra cresce, quando uma diminui a outra diminui ( ou ) .
Valores próximos de 0 (zero) indicam que as duas séries não têm relação.
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Valor médio de y.
Valores de x.
Equação para o Coeficiente de Correlação entre duas variáveis x e y:
Correlação (cont.)
1
2 2
1 1
n
i ii
xy n n
i ii i
x x y yr
x x y y
Coeficiente
de correlação Valor médio
de x.Valores de
y.
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Considere dois testes que são aplicados a um grupo de alunos. Um teste mede a habilidade na leitura de textos em literatura e outro a habilidade na interpretação de enunciados de problemas em Física. Os dois testes são respondidos por 20 alunos. Veja a tabela a seguir.
Correlação (cont.) – Um exemplo
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Correlação (cont.) – Um exemplo
Aluno Teste 1
Teste 21 2,5 3,82 3,5 2,93 2,8 3,24 8,4 7,65 6,1 5,86 0,5 2,17 9 7,58 4,8 59 7 6,1
10 7,6 7,911 8,2 4,512 2,5 3,513 3,8 4,714 4,9 615 1,5 2,616 2 0,817 4,9 3,418 0,5 119 0,5 1,120 3 2,9
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Mostramos a seguir as transformações necessárias para obter o coeficiente de correlação:
Correlação (cont.) – Um exemplo
Aluno Teste 1 Teste 2 x-xm y-ym (x-xm)(y-ym) (x-xm)^2 (y-ym)^2
1 2,5 3,8 -1,7 -0,32 0,544 2,89 0,1024
2 3,5 2,9 -0,7 -1,22 0,854 0,49 1,4884
3 2,8 3,2 -1,4 -0,92 1,288 1,96 0,8464
4 8,4 7,6 4,2 3,48 14,616 17,64 12,1104
5 6,1 5,8 1,9 1,68 3,192 3,61 2,8224
6 0,5 2,1 -3,7 -2,02 7,474 13,69 4,0804
7 9 7,5 4,8 3,38 16,224 23,04 11,4244
8 4,8 5 0,6 0,88 0,528 0,36 0,7744
9 7 6,1 2,8 1,98 5,544 7,84 3,9204
10 7,6 7,9 3,4 3,78 12,852 11,56 14,2884
11 8,2 4,5 4 0,38 1,52 16 0,1444
12 2,5 3,5 -1,7 -0,62 1,054 2,89 0,3844
13 3,8 4,7 -0,4 0,58 -0,232 0,16 0,3364
14 4,9 6 0,7 1,88 1,316 0,49 3,5344
15 1,5 2,6 -2,7 -1,52 4,104 7,29 2,3104
16 2 0,8 -2,2 -3,32 7,304 4,84 11,0224
17 4,9 3,4 0,7 -0,72 -0,504 0,49 0,5184
18 0,5 1 -3,7 -3,12 11,544 13,69 9,7344
19 0,5 1,1 -3,7 -3,02 11,174 13,69 9,1204
20 3 2,9 -1,2 -1,22 1,464 1,44 1,4884
xm 4,2 4,12 soma 101,86 144,06 90,452
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O coeficiente de correlação pode ser calculado agora:
Correlação (cont.) – Um exemplo
101,86144,06 90, 452
0,892325
xy
xy
r
r
O Coeficiente de Correlação dado pela função CORREL do Excel é exatamente
igual.
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Análise de Consistência Interna – Algoritmo básico
Análise de Consistência InternaCalcule o
coeficiente de α
Cronbach para o teste
É adequa
doSim
Bom teste.
Fim
Não
Calcule o coeficiente de
correlação entre cada
item do teste e o escore
total
Descarte os itens com
coeficiente de correlação
com o escore total baixos
(ou negativos).
Calcule novamente o coeficiente α
Cronbach para o teste sem os itens retirados
É adequa
do
Sim
Não Refaça o teste
Fim
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Fim da aula 9
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Variância (V) em um conjunto de dados
Número de sujeitos que
responderam ao item
Escore de cada sujeito no item
Valor médio dos escores
2
21
1 1
N
ii
xNV x
N N
A variância mede o quão dispersos os valores estão em torno do valor médio do conjunto de dados. Quanto mais próximos do valor médio os dados estiverem menor será a variância do conjunto.
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• Outra expressão para a variância de um conjunto de valores é dada por:
Variância (V de um conjunto de dados – Uma expressão alternativa
2
1
1
N
ii
x xV
N
Esta expressão é
equivalente à anterior.
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• Considere um teste no qual os alunos (em número de 10) tenham tirado as seguintes notas em uma questão:
Um exemplo de cálculo de variância
Aluno Item 1 Escores ao quadradoJoão 4,5 20,3Maria 6,5 42,3Karla 7,2 51,8José 5,6 31,4Paulo 9,8 96,0Vera 7,5 56,3Kamila 6,9 47,6Ronaldo 8,3 68,9Daniel 6,2 38,4Carlos 5,2 27,0Cassiano 5,8 33,6
Valor médio = 6,68Valor médio ao quadrado
=44,6 Soma dos escores ao quadrado = 513,6
10 alunos -> N=10
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Cálculo da variância
2
21
2513,6 6,10
6, 1
N
ii
xV x
N
V
VVoltar
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Valor médio do conjunto de
valores medidos
Número de valores medidos
Valor de uma medida
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância de uma distribuição de valores:
Desvio Padrão
2
1
1
N
ii
s
x x
N
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Considere a distribuição de valores mostrada na tabela abaixo:
Desvio padrão – Um exemplo
Aluno Nota na avaliaçãoJoão 4,5Maria 6,5Karla 7,2José 5,6Paulo 9,8Vera 7,5Kamila 6,9Ronaldo 8,3Daniel 6,2Carlos 5,2Cassiano 5,8
Valor médio = 6,69
11 alunos -> N=11
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Vamos agora adicionar uma coluna na tabela que nos mostre a diferença entre a nota do aluno e o valor médio da turma:
Desvio Padrão – Um exemplo
AlunoNota na avaliação
(xi) Nota na avaliação menos o valor médio
(xi – xm)João 4,5 -2,2Maria 6,5 -0,2Karla 7,2 0,5José 5,6 -1,1Paulo 9,8 3,1Vera 7,5 0,8Kamila 6,9 0,2Ronaldo 8,3 1,6Daniel 6,2 -0,5Carlos 5,2 -1,5Cassiano 5,8 -0,9
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Vamos agora adicionar uma coluna na tabela que nos mostre a diferença entre a nota do aluno e o valor médio da turma tomada ao quadrado:
Desvio Padrão – Um exemplo
Aluno
Nota na avaliação
(xi)
Nota na avaliação menos o valor médio
(xi – xm) (xi – xm)2
João 4,5 -2,2 4,76Maria 6,5 -0,2 0,03Karla 7,2 0,5 0,27José 5,6 -1,1 1,17Paulo 9,8 3,1 9,72Vera 7,5 0,8 0,67Kamila 6,9 0,2 0,05Ronaldo 8,3 1,6 2,62Daniel 6,2 -0,5 0,23Carlos 5,2 -1,5 2,20Cassiano 5,8 -0,9 0,78
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Vamos agora somar a coluna na tabela que nos mostra a diferença entre a nota do aluno e o valor médio da turma tomada ao quadrado:
Desvio Padrão – Um exemplo
Aluno
Nota na avaliação
(xi)
Nota na avaliação menos o valor médio
(xi – xm) (xi – xm)2
João 4,5 -2,2 4,76Maria 6,5 -0,2 0,03Karla 7,2 0,5 0,27José 5,6 -1,1 1,17Paulo 9,8 3,1 9,72Vera 7,5 0,8 0,67Kamila 6,9 0,2 0,05Ronaldo 8,3 1,6 2,62Daniel 6,2 -0,5 0,23Carlos 5,2 -1,5 2,20Cassiano 5,8 -0,9 0,78
Soma = 22,50
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Podemos agora calcular o desvio padrão do conjunto de valores:
Desvio Padrão – Um exemplo
2
1
1
N
ii
s
x x
N
22,5011 1
1,49
s
s
Voltar
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• Considere um teste com cinco questões, aplicado a dez alunos. Veja a tabela abaixo.
Um exemplo do cálculo da fidedignidade de um teste
Aluno Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Nota no testeJoão 4,5 0,3 5,6 8,6 9,4 28,4Maria 6,5 4,3 4,9 6,4 6,9 29Karla 7,2 5,8 8,2 3,5 6,5 31,2José 5,6 3,4 8,5 1,5 4,9 23,9Paulo 9,8 9,0 9,3 9,4 3,2 40,7Vera 7,5 5,3 5,6 3,2 9,0 30,6Kamila 6,9 4,6 6,9 5,9 4,3 28,6Ronaldo 8,3 6,9 3,5 5,8 6,5 31Daniel 6,2 3,4 9,5 9,5 6,5 35,1Carlos 5,2 2,0 4,4 3,5 9,0 24,1Cassiano 5,8 3,6 6,5 0,5 2,5 18,9
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Variância em cada item
Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Escore total
6,7 7,5 8,5 12,3 9,4 119,2
Soma das variâncias nos itens: 44,4
5
111
10 44,41
10 1 119,2
0,70
ii
T
Vn
n V
Voltar
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Dado um conjunto de N valores de uma variável X, a média do conjunto é dada por:
Média Aritmética Simples
1 2 3 1
1
... N N
N
ii
X X X X XXN
XX
N
Símbolo de somatório
Na Média Aritmética Simples supomos que todos os valores são igualmente importantes (têm o mesmo peso).
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Dado um conjunto de N valores de uma variável X, a média aritmética ponderada do conjunto é dada por:
Média Aritmética Ponderada
1 1 2 2 3 3 1 1
1 2 3 1
1
1
...
...N N N N
N N
N
i iiN
ii
p X p X p X p X p XXp p p p p
p XX
p
Na Média Aritmética Ponderada supomos que os valores não são
igualmente importantes (têm peso diferentes).
pi Peso de cada
escore.
Voltar
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• É o valor em um conjunto de registros ordenados para o qual 50 % dos valores são superiores e 50 % dos valores são inferiores.
Mediana
1 2 1 1
50% dos valores 50% dos valores
... ...M M M NX X X X X X
Voltar
Mediana da distribuição
.
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Valores tabelados da distribuição t de Student
glTeste Unilateral
15% 10% 5% 2,5% 2% 1% 0,5% 0,1% 0,05% Teste Bilateral
30% 20% 10% 5% 4% 2% 1% 0,2% 0,1%
1 1,9626 3,0777 6,3137 12,7062 15,8945 31,8210 63,6559 318,2888 636,5776 2 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9645 9,9250 22,3285 31,5998 3 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8408 10,2143 12,9244 4 1,1896 1,5332 2,1318 2,7765 2,9985 3,7469 4,6041 7,1729 8,6101 5 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 5,8935 6,8685 6 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 5,2075 5,9587 7 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9979 3,4995 4,7853 5,4081 8 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 4,5008 5,0414 9 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498 4,2969 4,7809 10 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 4,1437 4,5868 11 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 4,0248 4,4369 12 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 3,9296 4,3178 13 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 3,8520 4,2209 14 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 3,7874 4,1403 15 1,0735 1,3406 1,7531 2,1315 2,2485 2,6025 2,9467 3,7329 4,0728 16 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 3,6861 4,0149 17 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 3,6458 3,9651 18 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 3,6105 3,9217 19 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 3,5793 3,8833 20 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 3,5518 3,8496 21 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 3,5271 3,8193 22 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 3,5050 3,7922 23 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 3,4850 3,7676 24 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7970 3,4668 3,7454 25 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 3,4502 3,7251 26 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 3,4350 3,7067 27 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 3,4210 3,6895 28 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 3,4082 3,6739 29 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 3,3963 3,6595 30 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500 3,3852 3,6460 35 1,0520 1,3062 1,6896 2,0301 2,1332 2,4377 2,7238 3,3400 3,5911 40 1,0500 1,3031 1,6839 2,0211 2,1229 2,4233 2,7045 3,3069 3,5510 50 1,0473 1,2987 1,6759 2,0086 2,1087 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960 60 1,0455 1,2958 1,6706 2,0003 2,0994 2,3901 2,6603 3,2317 3,4602 120 1,0409 1,2886 1,6576 1,9799 2,0763 2,3578 2,6174 3,1595 3,3734 + 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,0537 2,3264 2,5758 3,0902 3,2905
Curso de Metodologia da Pesquisa – Aula 9 Prof. Paulo Rosa Curso de Mestrado em Ensino de Ciências - UFMS
Dado um conjunto de valores, a moda é o valor que mais aparece no conjunto.
Moda
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3, , , , , , , , , , ,X X X X X X X X X X X X
A moda do conjunto de valores é o valor X1 o qual aparece seis vezes
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