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Aula de hoje
1 Séries de Laurent2 Singularidades
(UFPR) 2017 - Curitiba 1 / 9
Série de Laurent
Theorem (Série de Laurent)Considere f : Ar,R ⊂ C→ C uma função analítica no anel
Ar,R = {z ∈ C; r < |z− z0| < R}.
Então, para cada z ∈ Ar,R, temos que
f (z) =∞∑
n=−∞an(z− z0)
n =
∞∑n=1
a−n(z− z0)−n +
∞∑n=0
an(z− z0)n,
sendo
an =1
2πi
∫γ
f (η)(η − z0)n+1 dη, n ∈ Z,
eγ(t) = z0 + seit, 0 6 t 6 2π, r < s < R.
(UFPR) 2017 - Curitiba 2 / 9
Observações
O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo
de f em z0. Utilizaremos a notação
Res(f )|z=z0 .
Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.
Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;
É sempre bom manter em mente a série geométrica:
∞∑n=0
zn =1
1− z, |z| < 1.
(UFPR) 2017 - Curitiba 3 / 9
Observações
O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo
de f em z0. Utilizaremos a notação
Res(f )|z=z0 .
Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.
Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;
É sempre bom manter em mente a série geométrica:
∞∑n=0
zn =1
1− z, |z| < 1.
(UFPR) 2017 - Curitiba 3 / 9
Observações
O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo
de f em z0. Utilizaremos a notação
Res(f )|z=z0 .
Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.
Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;
É sempre bom manter em mente a série geométrica:
∞∑n=0
zn =1
1− z, |z| < 1.
(UFPR) 2017 - Curitiba 3 / 9
Observações
O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo
de f em z0. Utilizaremos a notação
Res(f )|z=z0 .
Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.
Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;
É sempre bom manter em mente a série geométrica:
∞∑n=0
zn =1
1− z, |z| < 1.
(UFPR) 2017 - Curitiba 3 / 9
Observações
O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo
de f em z0. Utilizaremos a notação
Res(f )|z=z0 .
Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.
Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;
É sempre bom manter em mente a série geométrica:
∞∑n=0
zn =1
1− z, |z| < 1.
(UFPR) 2017 - Curitiba 3 / 9
Exemplos
Example
Considere f : C/{0} → Z dada por f (z) = e1/z
Example
Considere f : C/{1, 2} → Z dada por
f (z) =1
(z− 1)(z− 2)
e o anelA1,2 = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}.
(UFPR) 2017 - Curitiba 4 / 9
Exemplos
Example
Considere f : C/{0} → Z dada por f (z) = e1/z
Example
Considere f : C/{1, 2} → Z dada por
f (z) =1
(z− 1)(z− 2)
e o anelA1,2 = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}.
(UFPR) 2017 - Curitiba 4 / 9
Exemplos
Example
Considere f : C/{0} → Z dada por f (z) = e1/z
Example
Considere f : C/{1, 2} → Z dada por
f (z) =1
(z− 1)(z− 2)
e o anelA1,2 = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}.
(UFPR) 2017 - Curitiba 4 / 9
Aplicação: Cálculo de integrais
ExampleVamos calcular as integrais∫
γz3 sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π
e ∫γ
sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π.
Começamos relembrando que
sin(ω) =∞∑
n=0
(−1)n
(2n + 1)!ω2n+1, ω ∈ C.
(UFPR) 2017 - Curitiba 5 / 9
Aplicação: Cálculo de integrais
ExampleVamos calcular as integrais∫
γz3 sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π
e ∫γ
sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π.
Começamos relembrando que
sin(ω) =∞∑
n=0
(−1)n
(2n + 1)!ω2n+1, ω ∈ C.
(UFPR) 2017 - Curitiba 5 / 9
Singularidades
Definition
Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em
A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.
Example
f (z) =sen(z)
z, g(z) =
1z2018 e h(z) = e1/z.
Definition
Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.
Example
f (z) =1
sen(1/z)
(UFPR) 2017 - Curitiba 6 / 9
Singularidades
Definition
Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em
A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.
Example
f (z) =sen(z)
z, g(z) =
1z2018 e h(z) = e1/z.
Definition
Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.
Example
f (z) =1
sen(1/z)
(UFPR) 2017 - Curitiba 6 / 9
Singularidades
Definition
Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em
A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.
Example
f (z) =sen(z)
z, g(z) =
1z2018 e h(z) = e1/z.
Definition
Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.
Example
f (z) =1
sen(1/z)
(UFPR) 2017 - Curitiba 6 / 9
Singularidades
Definition
Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em
A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.
Example
f (z) =sen(z)
z, g(z) =
1z2018 e h(z) = e1/z.
Definition
Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.
Example
f (z) =1
sen(1/z)(UFPR) 2017 - Curitiba 6 / 9
Classificação de singularidades
DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:
(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que
g(x) ={
f (z), se z 6= z0c, caso contrário.
(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que
g(x) ={
(z− z0)mf (z), se z 6= z0
c, caso contrário.
(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.
(UFPR) 2017 - Curitiba 7 / 9
Classificação de singularidades
DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:
(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que
g(x) ={
f (z), se z 6= z0c, caso contrário.
(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que
g(x) ={
(z− z0)mf (z), se z 6= z0
c, caso contrário.
(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.
(UFPR) 2017 - Curitiba 7 / 9
Classificação de singularidades
DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:
(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que
g(x) ={
f (z), se z 6= z0c, caso contrário.
(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que
g(x) ={
(z− z0)mf (z), se z 6= z0
c, caso contrário.
(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.
(UFPR) 2017 - Curitiba 7 / 9
Classificação de singularidades
DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:
(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que
g(x) ={
f (z), se z 6= z0c, caso contrário.
(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que
g(x) ={
(z− z0)mf (z), se z 6= z0
c, caso contrário.
(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.
(UFPR) 2017 - Curitiba 7 / 9
ExampleConsidere
f (z) =sen(z)
z.
ExampleConsidere
f (z) =1zm .
(UFPR) 2017 - Curitiba 8 / 9
ExampleConsidere
f (z) =sen(z)
z.
ExampleConsidere
f (z) =1zm .
(UFPR) 2017 - Curitiba 8 / 9
ExampleConsidere
f (z) =sen(z)
z.
ExampleConsidere
f (z) =1zm .
(UFPR) 2017 - Curitiba 8 / 9
Observação
Suponha z0 um pólo de f e considere c1, c2 não nulos, m1,m2 inteirospositivos e g1, g2 analíticas tais que
g1(z) ={
(z− z0)m1 f (z), se z 6= z0
c1, caso contrário.
e
g2(z) ={
(z− z0)m2 f (z), se z 6= z0
c2, caso contrário.
DefinitionO inteiro m, na definição de pólo, é dito ordem do pólo.
(UFPR) 2017 - Curitiba 9 / 9
Observação
Suponha z0 um pólo de f e considere c1, c2 não nulos, m1,m2 inteirospositivos e g1, g2 analíticas tais que
g1(z) ={
(z− z0)m1 f (z), se z 6= z0
c1, caso contrário.
e
g2(z) ={
(z− z0)m2 f (z), se z 6= z0
c2, caso contrário.
DefinitionO inteiro m, na definição de pólo, é dito ordem do pólo.
(UFPR) 2017 - Curitiba 9 / 9