Aula 4 de FT II

Prof. Gerônimo

Equação diferencial de Condução

Vamos considerar a taxa de geração interna de calor q’’’ = 𝐸 g .

Coordenada x, y e z. Regime transiente.

Volume de controle diferencial, dx dy dz, para análise de condução em coordenadas cartesianas.

Considerando: q = q”

Da primeira lei da TD, temos:

(1) mas, (2) e dU = mc (3)

Vamos aplicar o balanço de energia somente na dimensão x:

(4)

Em função do fluxo te

v

entra sai gera acum

Q dU Qq T

t t t

E E E E

mos:

(5)

Mas para sólidos e líquidos sabe-se que c

e da definição de massa específica, = ou m= V

da figura tem-se que, V=A x. Su

x x x v

GeraEntra SaiAcumula

p v

TAq Aq q V mc

t

c c

m

V

bst. na (5) temos:

( A x)

ou

levando ao limite quando x 0 e t 0

aplicando o conceito de derivada parcial, temos:

x x x

x x x x x x

TAq Aq q V cA x

t

q q q qT Tq c q c

x t x t

mas da lei de Fourrier, q = -k

- (6)

q T Tq c

x t x

T T T Tk q c k q c

x x t x x t

(6)

Considerando a condutividade térmica constante k = cte

ou

Mas .....difusividade térmica (relacionada a capaci

T Tk q c

x x t

T T T q c Tk q c

x x t x x k k t

k

c

2

2

2 2 2

2 2 2

dade

de conduzir calor pela capacidade de armazenar calor)

1 forma conservativa T = T(x, t)

1 forma dissipativa

Em 3D, temos:

T q T

x x k t

T q T

x k t

T T T q

x y z k

1 T

t

2

1 1p

T T T Tkr k k q c

r r r z z tr

• Coordenada cilíndrica:

Volume de controle diferencial, dr rd dz, para análise de condução em coordenadas

cilíndricas (r, , z).

• Coordenada Esférica

2

2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinp

T T T Tkr k k q c

r r tr r r

Volume de controle diferencial, dr rsen()d rd, para análise de condução em

coordenadas cilíndricas (r, , ).

Condições de contorno (CC)

1. Temperatura da superfície constante

2. Fluxo térmico na superfície constante

a) Fluxo térmico diferente de zero

b) Superfície isolada termicamente ou adiabática

0|x s

Tk q

x

0, sT t T

0| 0x

T

x

0| 0x

Tk

x

Condições de contorno (CC)

3. Condição de convecção na superfície

0| 0,x

Tk h T T t

x

Uma forma usando o operador diferencial del (nabla).

2 2 2

2 2 2

2

1

1

T T T q T

x y z k t

q TT

k t

As propriedades térmicas da matéria

• Para usar a lei de Fourier, a condutividade térmica do material deve ser conhecida, o qual é uma propriedade de transporte que fornece uma indicação da taxa na qual a energia é transferida pelo processo de difusão.

• A taxa depende da estrutura física da matéria, atômica e molecular, que está relacionada ao estado da matéria.

• A condutividade térmica depende da temperatura

• Em geral a condutividade térmica de um sólido é maior do que de um líquido, que por sua vez, é maior do que a de um gás.

/

xx

qk

T x

Faixas de condutividade térmica de vários estados da matéria a

temperaturas e pressões normais.

Dependência da condutividade

térmica com a temperatura de

Alguns sólidos selecionados.

Outra propriedade relevante:

Difusividade Térmica ()

É a capacidade de conduzir

energia térmica em relação à

sua capacidade de

armazená-la

p

k

C

Exercícios literais

1. Para a parede plana mostrada a seguir e considerando o processo

em regime permanente, calcule o perfil de temperatura T(x) e a

posição e o valor da temperatura máxima Tmáx. Considere que a

taxa de geração interna de calor seja constante, q”’ = cte.

q”’

k

T1 T2

L

x

2 1q TT

k t

Exercícios literais

2. Considere o cilindro mostrado a seguir, onde adota-se condições de

regime permanente, 1D (unidimensional), geração interna de calor q”’ =

cte e conhecidas também a temperatura na superfície da parede (Ts), a

condutividade térmica do material (k) e o raio do cilindro R. Determine:

a) O perfil de temperatura T(r);

b) A temperatura máxima e a posição onde ela ocorre.

2 1q TT

k t

K q”’

R

Ts

Exercício

3. Uma parede plana é composta por duas camadas de materiais, A e B. Na parede de material A há geração de calor uniforme q”’ = 1,5 x 106 W/m3, kA = 75 W/(mk) e a espessura é LA = 50 mm. A parede de material B não apresenta geração de calor, kB = 150 W/(mk) e a espessura é LB = 20 mm. A superfície interna do material A está perfeitamente isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de água com T∞ = 30 C e h = 1000 W/(m2K).

a) Esboce a distribuição de temperatura que existe na parede composta em condições de regime estacionário.

b) Determine a temperatura T0 na superfície isolada e T2 na superfície resfriada.

2 1q TT

k t