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Aula - 2 Movimento em uma dimensão - svn. · PDF file Velocidade média t x t t x x v m ∆ ∆ = − − = 2 1 2 1 De 0 a 5,01 s : vm = 40m / 5.01s = 8,0 m/s De 5,01 a 10,5 s: vm

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  • Aula - 2 Movimento em uma dimensão

    Física Geral I - F-128 20 semestre, 2010

    Ilustração dos “Principia” de Newton mostrando a ideia de integral

  • Movimento em 1-D

    • Entender o movimento é uma das metas das leis da Física.

    • A Mecânica estuda o movimento e as suas causas. • A sua descrição e feita pela Cinemática. • As suas causas são descritas pela Dinâmica. • Iniciamos com o movimento em 1-D.

  • Posição – 1D

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    escolha um ponto!

    Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos. Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto de referência (observador), geralmente tomado como origem (x = 0) Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua descrição depende do observador.

    x (m)

  • O deslocamento

    Exemplo: corrida de 100 metros.

    ∆x = x2 - x1

    ∆t = t2 – t1 : deslocamento : intervalo de tempo

    O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (t2-t1) é a diferença entre a posição final (x2 ) no instante t2 e a posição inicial (x1) no t1.

  • Velocidade média

    t x

    tt xxvm ∆

    ∆= − −=

    12

    12

    De 0 a 5,01 s : vm = 40m / 5.01s = 8,0 m/s De 5,01 a 10,5 s: vm = 60m / 5,49s = 10,9 m/s Em todo o intervalo (de 0 a 10,5 s) : vm = 100m / 10,5s = 9,5 m/s

    A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo. Mas pode ser que queiramos saber a velocidade em um dado instante.

    Exemplo: Corrida de 100 metros.

    ** Se (movimento à direita, ou no sentido de crescimento de x) e se (movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x)

    00 >⇒>∆ vx 00 >⇒

  • Velocidade média

    )(tx

    t

    )(tx∆

    t∆

    0t tt ∆+0

    θ

    Velocidade média entre ttet ∆+00

    θtg t txvm =∆

    ∆= )(

    smvm /6,0≅

  • Velocidade média

    )(tx

    t

    )(tx∆

    t∆

    0t tt ∆+0

    θ

    Velocidade média entre ttet ∆+00

    smvm /2,1≅

    θtg t txvm =∆

    ∆= )(

  • Velocidade média

    )(tx

    t0t tt ∆+0

    θ

    Velocidade média entre ttet ∆+00

    smvm /5,1≅

    θtg t txvm =∆

    ∆= )(

  • Velocidade instantânea

    )(tx

    t

    θtg dt

    tdx t txtv

    t =≡

    ∆ ∆=

    →∆

    )()(lim)( 0

    θ

    0t

    Velocidade instantânea em t0

    smtv /5,1)( 0 ≅

    reta tangente à curva

    (a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo)

  • Velocidade instantânea

    ( ) dt dx

    t xtv

    t =

    ∆ ∆=

    →∆ 0 lim

    GeometricamenteConceito Derivada

    Exemplo: Na corrida, de 100 m, a velocidade em t = 2s é

    sm s

    mstv 0,8 2,11

    90)2( ≅==

    Tangente

  • Visualização gráfica da derivada

  • Algumas derivadas importantes

    0

    )(tf dttdgbdttdfa /)(/)( +)()( tgbtfa +

    dttdf /)(

    constante=a nt 1−nnt

    tωsin tωω cos tωcos tωω sin−

    teλ teλλ tλln 1−t

  • Em algumas situações, . Entretanto, as duas podem ser bastante diferentes. Ex: partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L.

    τ

    Velocidade escalar média e velocidade escalar A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a“rapidez” com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido:

    t vem ∆

    = totaldistância

    ⋅ ⋅O P

    t

    x

    τ 2 τ

    2 L

    A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido. (O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido).

    mem vv =

    Neste caso: 0=mv τ

    Lvem =e

  • Velocidade instantânea Um caso particular: velocidade constante

    0

    0)( tt xxv

    dt dxtv m −

    −===

    )(tx

    t tt ∆+ t tt ∆+

    )(tv

    Graficamente:

    )( 00 ttvxx −=− ou:

  • O cálculo de x(t) a partir de v(t)

    )( 00 ttvxx −=−

    Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de velocidade constante. Então:

    Note que v(t–t0) é a área sob a curva da velocidade v = constante em função do tempo. Este é um resultado geral. Para demonstrá-lo, usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever:

    onde v(t) é a velocidade instantânea em t.

    ,)( ttvx ∆=∆

    t

    v

    )(tv

    t0

    v

  • O cálculo de x(t) a partir de v(t)

    t∆

    )(tv

    )(tv

    t

    ( ) tdtvxx t

    t

    ′′=− ∫ 0

    0

    No limite N →∞ e ∆t→0:

    0t it

    v(ti)

    0

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    i i

    i i

    i i

    x v t t

    x t x t x

    v t t

    ∆ ≈ ∆

    ⇓ − = ∆ =

    ∑ ∑

    0t t

    Dividimos o intervalo (t-t0) em um número grande N de pequenos intervalos t∆

  • O cálculo de x(t) a partir de v(t)

    ∫ ′′=−= t

    t

    tdtvxtxe dt

    tdxtv 0

    )()()()( 0

    A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo; geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição versus tempo no instante considerado. O deslocamento é obtido pela anti-derivação (ou integração) da velocidade; geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função velocidade versus tempo.

  • Algumas integrais importantes

    )(tf )()( tGbtFa +)()( tgbtfa +

    )(tF

    1, −≠ntn 1/1 ++ nt n

    tωsin ωω /cos t− tωcos ωω /sin t

    teλ λλ /te ||ln t1−t

    atconstante=a

  • Aceleração média

    t v

    tt vvam ∆

    ∆= − −=

    12

    12Aceleração média:

    de 0s até 4s: am = 10m/s / 4s = 2,5 m/s2

    Um corredor acelera uniformemente até 10 m/s em t = 4,0 s. Mantém a velocidade nos próximos 4s e reduz a velocidade para 8,0 m/s nos 4,7s seguintes. Acelerações médias:

    de 4s até 8s: am = 0m/s / 4s = 0 m/s2

    de 8s até 12,7s: am = -2m/s / 4,7s = -0,42 m/s2

  • Aceleração média

    )(tv

    t

    )(tv∆

    t∆

    0t tt ∆+0

    θtg t tvam =∆

    ∆= )(

    θ

    Aceleração média entre ttet ∆+00

  • )(tv

    t

    θtg dt

    tdv t tvta

    t =≡

    ∆ ∆=

    →∆

    )()(lim)( 0

    θ

    0t

    Aceleração instantânea em t0

    Aceleração instantânea

    (a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo)

    reta tangente à curva da velocidade

  • Aceleração instantânea

    dt dv

    t va

    t =

    ∆ ∆=

    →∆ 0 lim

    22,2 7,2

    9,5)2( sm s smsta ===

    GráficosConceito Derivada

    Exemplo: Na corrida de 100 m, a aceleração em t = 2s é:

    2

    2

    dt xd

    dt dx

    dt d

    dt dva =

      ==

    Note que Derivada segunda

    v(t)

    v(t)

    a(t)

  • Aceleração constante

    ( ) ( ) 0

    0

    tt tvtvaa m −

    −==

    atvv += 0

    2 00 vv

    t xxvm

    +=−=

    Se a aceleração é constante

    Se t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a velocidade fica:

    Note que neste movimento a velocidade média é dada por

    2

    2

    00 attvxx ++= temos:Como tvxx m+= 0 ,

  • Resumo: aceleração constante

    As equações de movimento para o caso de aceleração constante são:

    ( )

    ( ) tvvxx

    xxavv

    attvxx

    atvv

    ++=

    −+=

    ++=

    +=

    00

    0 2 0

    2

    2 00

    0

    2 1 2

    2 1

  • Aceleração da gravidade

    Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos. Refutou as hipóteses de Aristóteles. Usando experimentos, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independentemente de sua massa.

    x ~ t2 , v ~ t ; conseqüências de uma aceleração constante!

  • Aceleração da gravidade

    Mas... devemos notar que há, em geral, outras forças atuando no corpo considerado, o que pode frustrar uma experiência se não formos suficientemente cuidadosos.

    a resistência do ar!!

  • Corpos em queda livre

    Bola jogada para cima

    Para cima