homogenines.wxmx 1 / 9

Homogeninės pirmosios eilės diferencialinėslygtys

1 pavyzdys

(%i1) eq:2·x·y·'diff(y,x)=y^2−x^2;

(eq) 2 x y⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟d

d xy = y 2−x2

(%i2) ode2(eq,y,x);

(%o2) −x

y 2+ x2=%c

(%i3) %^−1;

(%o3) −y 2+ x2

x=

1

%c

(%i4) %·(−x);

(%o4) y 2+ x2= −x

%c

Atsakymas:

(%i5) ats:subst(%c=−1/C,%);

(ats) y 2+ x2= C x

Integralinės kreivės yra apskritimai, kurių lygtys yra:

(%i6) (x−C/2)^2+y^2=C^2/4;

(%o6) y 2+⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟x −

C

2

2=

C2

4

(%i7) kr:makelist(ev(ats),C,[−4,−2,−1,1,2,4]);

(kr) [y 2+ x2= −4 x,y 2+ x2= −2 x,y 2+ x2= −x,y 2+ x2= x,y 2+ x2= 2 x,y 2+ x2= 4 x]

(%i8) load(implicit_plot)$

(%i9) wximplicit_plot(kr,[x,−4,4],[y,−2,2],same_xy);

(%t9)

(%o9)

(%i10) load(drawdf)$

(%i11) f:rhs(eq/(2·x·y));

(f)y 2−x2

2 x y

homogenines.wxmx 2 / 9

(%i12) wxdrawdf(f,[x,−4,4],[y,−2,2],color=magenta, implicit(kr[1],x,−4,4,y,−2,2),implicit(kr[2],x,−4,4,y,−2,2), implicit(kr[3],x,−4,4,y,−2,2), implicit(kr[4],x,−4,4,y,−2,2), implicit(kr[5],x,−4,4,y,−2,2),implicit(kr[6],x,−4,4,y,−2,2), proportional_axes = 'xy )$

(%t12)

2 pavyzdys

(%i13) eq:'diff(y,x)=(x^2+2·x·y−5·y^2)/(2·x^2−6·x·y);

(eq)d

d xy =

−5 y 2+ 2 x y + x2

2 x2−6 x y

(%i14) ode2(eq,y,x);

(%o14) %c x=x6 %e

2 atan⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23

(%i15) %/x;

(%o15) %c=x5 %e

2 atan⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23

Atsakymas:

(%i16) ats:reverse(%);

(ats)x5 %e

2 atan⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23=%c

Sprendinio patikrinimas:

(%i17) depends(y,x);

(%o17) [y( )x ]

(%i18) diff(ats,x);

(%o18) −

3 x5 %e2 atan⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟y

x ⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟2 y

⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

d

d xy + 2 x

( )y 2+ x24

+

2 x5 %e2 atan⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟y

x⎛ ⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

d

d xy

x−

y

x2

( )y 2+ x23 ⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟y 2

x2+ 1

+5 x4 %e

2 atan⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23

= 0

(%i19) solve(%,'diff(y,x));

(%o19) [d

d xy =

5 y 2−2 x y −x2

6 x y −2 x2]

homogenines.wxmx 3 / 9

(%i20) subst(%,eq);

(%o20) 5 y 2−2 x y −x2

6 x y −2 x2=

−5 y 2+ 2 x y + x2

2 x2−6 x y

(%i21) ratsimp(%);

(%o21) 5 y 2−2 x y −x2

6 x y −2 x2=

5 y 2−2 x y −x2

6 x y −2 x2

(%i22) is(%);

(%o22) true

➔ ;

Nubrėšime keletą integralinių kreivių ir krypčių lauką:

(%i23) kr:makelist(ev(ats),%c,[−4,−2,−1,1,2,5]);

(kr) [x5 %e

2 atan⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23= −4,

x5 %e2 atan⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23= −2,

x5 %e2 atan⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23= −1,

x5 %e2 atan⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23= 1,

x5 %e2 atan⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23= 2,

x5 %e2 atan⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23= 5]

(%i24) load(implicit_plot)$

(%i25) wxplot_size;

(%o25) [600,400]

(%i26) wximplicit_plot(kr,[x,−2,2],[y,−1,1.5],same_xy),wxplot_size=[800,600];

(%t26)

(%o26)

Nubrėšime paskutinę kreivę atskirai.

(%i27) last(kr);

(%o27) x5 %e

2 atan⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟y

x

( )y 2+ x23= 5

homogenines.wxmx 4 / 9

(%i28) wximplicit_plot(last(kr),[x,−0.2,0.4],[y,−0.15,0.2],same_xy);

(%t28)

(%o28)

(%i29) load(drawdf)$

(%i30) f:rhs(eq);

(f)−5 y 2+ 2 x y + x2

2 x2−6 x y

(%i31) wxdrawdf(f,[x,−2,2],[y,−1,1],color=magenta, implicit(kr[1],x,−2,2,y,−1,1),implicit(kr[2],x,−2,2,y,−1,1), implicit(kr[3],x,−2,2,y,−1,1), implicit(kr[4],x,−2,2,y,−1,1), implicit(kr[5],x,−2,2,y,−1,1),implicit(kr[6],x,−2,2,y,−1,1), proportional_axes = 'xy ),wxplot_size=[800,600]$

(%t31)

3 pavyzdys

(%i32) eq:'diff(y,x)=(y+2)/(2·x+y−4);

(eq)d

d xy =

y + 2

y + 2 x −4

(%i33) ats:ode2(eq,y,x);

(ats) −y + x −1

y 2+ 4 y + 4=%c

homogenines.wxmx 5 / 9

Sprendinio patikrinimas:

(%i34) depends(y,x);

(%o34) [y( )x ]

(%i35) diff(ats,x);

(%o35)

( )y + x −1⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟2 y

⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

d

d xy + 4

⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

d

d xy

( )y 2+ 4 y + 42

−

d

d xy + 1

y 2+ 4 y + 4= 0

(%i36) solve(%,'diff(y,x));

(%o36) [d

d xy =

y + 2

y + 2 x −4]

(%i37) subst(%,eq);

(%o37) y + 2

y + 2 x −4=

y + 2

y + 2 x −4

(%i38) is(%);

(%o38) true

Nubrėšime keletą integralinių kreivių ir krypčių lauką:

(%i39) kr:makelist(ev(ats),%c,[−4,−2,−1,0,1,2,4]);

(kr) [−y + x −1

y 2+ 4 y + 4= −4,−

y + x −1

y 2+ 4 y + 4= −2,−

y + x −1

y 2+ 4 y + 4= −1,−

y + x −1

y 2+ 4 y + 4= 0,−

y + x −1

y 2+ 4 y + 4= 1,−

y + x −1

y 2+ 4 y + 4

= 2,−y + x −1

y 2+ 4 y + 4= 4]

(%i40) load(implicit_plot)$

(%i41) wximplicit_plot(kr,[x,1,6],[y,−3,0],same_xy),wxplot_size=[800,600];

(%t41)

(%o41)

(%i42) load(drawdf)$

(%i43) f:rhs(eq);

(f)y + 2

y + 2 x −4

homogenines.wxmx 6 / 9

(%i44) wxdrawdf(f,[x,1,6],[y,−3,0],color=red,line_width=2, implicit(kr[1],x,1,6,y,−3,0),implicit(kr[2],x,1,6,y,−3,0), implicit(kr[3],x,1,6,y,−3,0), implicit(kr[4],x,1,6,y,−3,0), implicit(kr[5],x,1,6,y,−3,0),implicit(kr[6],x,1,6,y,−3,0), proportional_axes = 'xy ),wxplot_size=[800,600]$

(%t44)

4 pavyzdys

(%i45) eq:'diff(y,x)=(x+6·y−7)/(8·x−y−7);

(eq)d

d xy =

6 y + x −7

−y + 8 x −7

(%i46) ode2(eq,y,x);

(%o46) false

Nepavyko išspręsti su ode2, todėl spręsime "žingsnis po žingsnio" metodu nesinaudodamiode2

(%i47) L1:num(rhs(eq))=0;

(L1) 6 y + x −7= 0

(%i48) L2:denom(rhs(eq))=0;

(L2) −y +8 x −7= 0

(%i49) solve([L1,L2]);

(%o49) [[y = 1,x= 1]]

(%i50) [x0,y0]:subst(%[1],[x,y]);

(%o50) [1,1]

(%i51) keit:u(x)=(y−y0)/(x−x0);

(keit) u( )x =y −1

x −1

(%i52) akeit:solve(keit,y)[1];

(akeit) y = ( )x −1 u( )x +1

(%i53) subst(akeit,eq),ratsimp;

(%o53) d

d x( )( )x −1 u( )x +1 = −

6 u( )x + 1

u( )x −8

homogenines.wxmx 7 / 9

(%i54) ev(%,diff);

(%o54) ( )x −1⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟d

d xu( )x +u( )x = −

6 u( )x + 1

u( )x −8

(%i55) eq1:%−u(x),factor;

(eq1) ( )x −1⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟d

d xu( )x = −

( )u( )x −12

u( )x −8

(%i56) eq1/rhs(eq1)/(x−1);

(%o56) −

( )u( )x −8⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

d

d xu( )x

( )u( )x −12

=1

x −1

(%i57) partfrac(lhs(%),u(x))=rhs(%);

(%o57)

7⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

d

d xu( )x

( )u( )x −12

−

d

d xu( )x

u( )x −1=

1

x −1

(%i58) integrate(%,x);

(%o58) − log( )u( )x −1 −7

u( )x −1= log( )x −1 +%c1

(%i59) subst(keit,%);

(%o59) −7

y −1

x −1−1

− log⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟y −1

x −1−1 = log( )x −1 +%c1

(%i60) %−log(x−1);

(%o60) −7

y −1

x −1−1

− log⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟y −1

x −1−1 − log( )x −1 =%c1

(%i61) logcontract(%);

(%o61) − log( )y −x −7

y −1

x −1−1

=%c1

(%i62) map(factor,lhs(%))=rhs(%);

(%o62) − log( )y −x −7 ( )x −1

y −x=%c1

Atsakymas:

(%i63) ats:lhs(%·(−1))=C;

(ats) log( )y −x +7 ( )x −1

y −x= C

Patikrinimas:

(%i64) depends(y,x);

(%o64) [y( )x ]

(%i65) diff(ats,x);

(%o65)

d

d xy −1

y −x−

7 ( )x −1⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

d

d xy −1

( )y −x 2+

7

y −x= 0

(%i66) solve(%,'diff(y,x,1));

(%o66) [d

d xy = −

6 y + x −7

y −8 x+ 7]

(%i67) subst(%,eq);

(%o67) −6 y + x −7

y −8 x+ 7=

6 y + x −7

−y + 8 x −7

homogenines.wxmx 8 / 9

(%i68) ratsimp(%);

(%o68) −6 y + x −7

y −8 x+ 7= −

6 y + x −7

y −8 x+ 7

(%i69) is(%);

(%o69) true

Brėžiniai:

(%i70) kr:makelist(ev(ats),C,[−2,−1,0,1,2]);

(kr) [ log( )y −x +7 ( )x −1

y −x= −2, log( )y −x +

7 ( )x −1

y −x= −1, log( )y −x +

7 ( )x −1

y −x= 0, log( )y −x +

7 ( )x −1

y −x= 1,

log( )y −x +7 ( )x −1

y −x= 2]

(%i71) load(implicit_plot);

(%o71) C:\maxima−current\share\maxima\branch_5_41_base_531_g39e125c_dirty\share\contrib\implicit_plot.lisp

(%i72) wximplicit_plot(kr,[x,x0−5,x0+5],[y,y0−5,y0+5],[gnuplot_preamble, "set key center right out"]),wxplot_size=[900,600];

(%t72)

(%o72)

Pastebėsime, kad y=x taip pat yra sprendinys.

Krypčių laukas:

(%i73) load(drawdf);

(%o73) C:\maxima−current\share\maxima\branch_5_41_base_531_g39e125c_dirty\share\diffequations\drawdf.mac

(%i74) f:rhs(eq);

(f)6 y + x −7

−y + 8 x −7

homogenines.wxmx 9 / 9

(%i75) wxdrawdf(f,[x,−4,6],[y,−4,6],implicit(kr[1],x,−4,6,y,−3,6));

(%t75)

(%o75) 0

Pastebėsime, kad brėžiant tik vieną kreivę log(y-x)+(7*(x-1))/(y-x)=-2, nusibrėžė dar tiesė y=x.Kai y=x funkcijos log(y-x) ir (7*(x-1))/(y-x) virsta begalybe.