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Aula 2
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MECÂNICA DA
FRATURA LINEAR
ELÁSTICA
Conteúdo
• Origens da Mecânica da Fratura• O Trabalho de Griffith
• Conceito de Defeito
• Conceito de Esforço
• Tenacidade à Fratura
• Tipos de Fratura• Fratura Dúctil
• Fratura Frágil
• Causas da Fratura Frágil• Estado Triaxial de Tensões
• Velocidade de aplicação da carga ou deformação elevada
• Baixas Temperaturas
19/05/2015 2
• Tipos de defeitos que podem
ser considerados entalhes
• Efeito de um Entalhe
• Conceito de Fenda
• Fator de Intensidade de
Tensões
• Tenacidade à Fratura
• Método de Determinação da
Tenacidade à Fratura
• Fatores que influenciam a
tenacidade à fratura
• Resistência Residual
Tipos de defeitos que podem ser
considerados entalhes• A presença de um entalhe pode provocar afratura frágil;• Como visto anteriormente.
• O efeito de entalhe pode ser introduzidopropositadamente, ou pode ser introduzido pelapresença de um defeito:• Riscos superficiais;
• Poros;
• Vazios em cordões de soldadura;
• Inclusões não metálicas;
• Delaminações;
• Fissuras.
19/05/2015 3
Placa infinita com um furo de forma
elíptica
Factor de concentração de tensões, Kt, em função da forma de um furo elíptico.
19/05/2015 4
Placa infinita com um furo de forma
elíptica• O fator de concentração de tensões é conhecido:
• Se o raio de curvatura da elipse for zero, isto é, o eixo a forzero…
• 𝐾𝑡 = 1 +2𝑏
𝑎= 1 + 2
𝑏
𝜌
• 𝜎𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙ℎ𝑒 = 𝜎 1 + 2𝑏
𝜌
• O furo converge para uma fenda, mas a tensãodiverge para infinito… Tal não pode acontecer!!!
19/05/2015 5
Placa infinita com um furo de forma
elíptica
19/05/2015 6
Placa com fenda circular:
300 MPa de tensão nominal
Entalhe 5 mm
Concentração de Tensões - 𝐾𝑡 =911
300= 3.04
Placa infinita com um furo de forma
elíptica
19/05/2015 7
Placa com fenda circular:
300 MPa de tensão nominal
Entalhe 2.5 mm
Concentração de Tensões - 𝐾𝑡 =1051
300= 3.50
Placa infinita com um furo de forma
elíptica
19/05/2015 8
Placa com fenda circular:
300 MPa de tensão nominal
Entalhe 1.25 mm
Concentração de Tensões - 𝐾𝑡 =911
300= 3.93
Placa infinita com um furo de forma
elíptica
19/05/2015 9
Placa com fenda circular:
300 MPa de tensão nominal
Entalhe 0.5 mm
Concentração de Tensões - 𝐾𝑡 =911
300= 5.09
Variação das tensões
• Placa com fenda central:
• 300 MPa de tensão nominal
19/05/2015 10
Placa infinita com um furo de forma
elíptica
19/05/2015 11
Variação das tensões
19/05/2015 12
Tensão necessária para iniciar a
deformação plástica na frente do
entalhe.
• Plasticidade na frente da fenda, pelo
critério de Tresca: 𝜎𝑥𝑥 = 0 e 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑐𝑒𝑑;
• No interior da zona de plastificação:
𝜎𝑥𝑥 ≠ 0, 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑐𝑒𝑑 + 𝜎𝑥𝑥 e 𝜎𝑧𝑧 =𝜎𝑦𝑦+𝜎𝑥𝑥
2;
Efeito de um Entalhe
• Desta forma o entalhe e o estado triaxial de tensões por
este introduzido, faz aumentar a tensão de cedência do
material, e pode desta forma alterar o comportamento
deste.
• Isto é, materiais com comportamento dúctil, podem
passar a comportamento frágil na presença de entalhes.
19/05/2015 13
Efeito de um Entalhe
19/05/2015 14
Tensão
Entalhe Profundo
Entalhe Pequeno𝜎𝑐𝑒𝑑
𝜀𝑓
Conteúdo
• Origens da Mecânica da Fratura• O Trabalho de Griffith
• Conceito de Defeito
• Conceito de Esforço
• Tenacidade à Fratura
• Tipos de Fratura• Fratura Dúctil
• Fratura Frágil
• Causas da Fratura Frágil• Estado Triaxial de Tensões
• Velocidade de aplicação da carga ou deformação elevada
• Baixas Temperaturas
19/05/2015 15
• Tipos de defeitos que podem
ser considerados entalhes
• Efeito de um Entalhe
• Conceito de Fenda
• Fator de Intensidade de
Tensões
• Tenacidade à Fratura
• Método de Determinação da
Tenacidade à Fratura
• Fatores que influenciam a
tenacidade à fratura
• Resistência Residual
Conceito de Fenda
• Como vimos existem vários tipos de defeitos que podemfuncionar com um entalhe.
• Uma fenda também funciona como um entalhe, masno caso limite em que o raio de concordância é iguala zero.
• Logo é importante determinar a distribuição de tensõesna presença de uma fenda.
19/05/2015 16
Modos de Abertura de uma Fenda
19/05/2015 17
Nomenclatura
19/05/2015 18
Campo de tensões (Modo I)
Análise de Irwin-Westergaard
19/05/2015 19
• 𝜎𝑥𝑥 =𝐾𝐼
2𝜋𝑟𝑐𝑜𝑠
𝜃
21 − 𝑠𝑒𝑛
𝜃
2𝑠𝑒𝑛
3𝜃
2
• 𝜎𝑦𝑦 =𝐾𝐼
2𝜋𝑟𝑐𝑜𝑠
𝜃
21 + 𝑠𝑒𝑛
𝜃
2𝑠𝑒𝑛
3𝜃
2
• 𝜏𝑥𝑦 =𝐾𝐼
2𝜋𝑟𝑐𝑜𝑠
𝜃
2𝑠𝑒𝑛
𝜃
2𝑐𝑜𝑠
3𝜃
2
𝜎𝑧𝑧 = 0 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜
𝜗 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜
Campo de tensões (Modo I)
Análise de Irwin-Westergaard• No caso de uma fenda as tensões variam de acordo com
a seguinte expressão (Irwin – Westergaard):
𝜎𝑖𝑗 =𝐾𝐼
2𝜋𝑟𝑓𝑖𝑗 𝜃 + ⋯
• Sendo KI o valor do fator de intensidade de tensões,
para a fenda em estudo:
𝐾𝐼 = 𝑓 𝑔 𝜎 𝜋𝑎𝐾𝐼 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎
19/05/2015 20
Conteúdo
• Origens da Mecânica da Fratura• O Trabalho de Griffith
• Conceito de Defeito
• Conceito de Esforço
• Tenacidade à Fratura
• Tipos de Fratura• Fratura Dúctil
• Fratura Frágil
• Causas da Fratura Frágil• Estado Triaxial de Tensões
• Velocidade de aplicação da carga ou deformação elevada
• Baixas Temperaturas
19/05/2015 21
• Tipos de defeitos que podem
ser considerados entalhes
• Efeito de um Entalhe
• Conceito de Fenda
• Fator de Intensidade de
Tensões
• Tenacidade à Fratura
• Método de Determinação da
Tenacidade à Fratura
• Fatores que influenciam a
tenacidade à fratura
• Resistência Residual
Fator de Intensidade de Tensões
• Como se verifica as tensões variam em função da
posição em relação à frente da fenda, e também em
função do Fator de Intensidade de Tensões.
• Este por sua vez é função da tensão nominal (remotamente
aplicada), da dimensão da fenda (a) e também da sua geometria
(Y).
19/05/2015 22
𝐾𝐼 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎
Exemplos de Fatores Geométricos
• 𝑌 = 𝑠𝑒𝑐𝜋𝑎
2𝑏
19/05/2015 23
• Se a plana for considerada
infinita, isto é, 2𝑏 = ∞, então
é possível considerar 𝑌 = 1.
• Só neste caso se pode
considerar Y constante.
Fator de Intensidade de Tensões e
Distribuição de Tensões
19/05/2015 24
• 𝐾𝐼 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎
• 𝐾𝐼 = 𝑠𝑒𝑐𝜋𝑎
2𝑏𝜎 𝜋𝑎
• 𝜎𝑥𝑥 =𝑠𝑒𝑐
𝜋𝑎
2𝑏𝜎 𝜋𝑎
2𝜋𝑟𝑐𝑜𝑠
𝜃
21 − 𝑠𝑒𝑛
𝜃
2𝑠𝑒𝑛
3𝜃
2
• 𝜎𝑦𝑦 =𝑠𝑒𝑐
𝜋𝑎
2𝑏𝜎 𝜋𝑎
2𝜋𝑟𝑐𝑜𝑠
𝜃
21 + 𝑠𝑒𝑛
𝜃
2𝑠𝑒𝑛
3𝜃
2
• 𝜏𝑥𝑦 =𝑠𝑒𝑐
𝜋𝑎
2𝑏𝜎 𝜋𝑎
2𝜋𝑟𝑐𝑜𝑠
𝜃
2𝑠𝑒𝑛
𝜃
2𝑐𝑜𝑠
3𝜃
2
Exemplos de Fatores Geométricos
• 𝑌 = 1.12 + 0.203𝑎
𝑏−
1.197𝑎
𝑏
2− 1.930
𝑎
𝑏
3
19/05/2015 25
• Se a plana for considerada
infinita, isto é, 2𝑏 = ∞, então
é possível considerar 𝑌 =1,12.
• Só neste caso se pode
considerar Y constante.
Exemplos de Fatores Geométricos
• 𝑌 = 1.12 − 0.231𝑎
𝑏+
10.55𝑎
𝑏
2− 21.72
𝑎
𝑏
3+
30.39𝑎
𝑏
4
19/05/2015 26
• Se a plana for considerada
infinita, isto é, 2𝑏 = ∞, então
é possível considerar 𝑌 =1,12.
• Só neste caso se pode
considerar Y constante.
Exemplos de Fatores Geométricos
• 𝜎 =𝑀
𝑏
2𝑡𝑏3
12
=𝑀6
𝑡𝑏2
• 𝑌 = 1.12 − 1.40𝑎
𝑏+ 7.33
𝑎
𝑏
2− 13.08
𝑎
𝑏
3+ 140
𝑎
𝑏
4
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Fator de Intensidade de Tensões
• Este fator pode ainda ser determinado para os três
modos de solicitação e abertura de uma fenda.
• Modo:
• I – Tensão normal;
• II – Tensão de corte (no plano da fenda);
• III – Tensão de corte (na direcção transversal).
19/05/2015 28
Efeito de uma fenda na variação de
tensões
19/05/2015 29
Exemplo da variação de tensões, para um caso em que Y=1 –Tensões tendem para infinito!!!
Singularidade na distribuição de tensões:
Modos de Abertura de uma Fenda
19/05/2015 30
Zona deformada plasticamente
• Tendo em conta que a maioria dos materiais tem
capacidade para se deformar plasticamente:
• As tensões na frente da fenda não divergem para
valores infinitos;
• Assim que é ultrapassado o limite de cedência forma-se
na frente da fenda uma zona plasticamente deformada,
cuja dimensão pode ser estimada por:
𝑟𝑦 =
1
2𝜋
𝐾𝐼
𝜎𝑐𝑒𝑑
2
; 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑒𝑛𝑠õ𝑒𝑠
1
6𝜋
𝐾𝐼
𝜎𝑐𝑒𝑑
2
; 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠
19/05/2015 31
Zona deformada plasticamente
19/05/2015 32
Dimensão da zona deformada plasticamente em função do critério de plasticidade escolhido.
Zona deformada plasticamente
19/05/2015 33
Extensão da MFLE para plasticidade
• Este raio pode ser utilizado para corrigir a dimensão da
fenda, continuando assim a ser válido o fator de
intensidade de tensões (apesar de existir deformação
plástica localizada na frente da fenda).
• 𝐾𝐼𝑒𝑞 = 𝑌𝜎 𝜋 𝑎 + 𝑟𝑦
19/05/2015 34
Conteúdo
• Origens da Mecânica da Fratura• O Trabalho de Griffith
• Conceito de Defeito
• Conceito de Esforço
• Tenacidade à Fratura
• Tipos de Fratura• Fratura Dúctil
• Fratura Frágil
• Causas da Fratura Frágil• Estado Triaxial de Tensões
• Velocidade de aplicação da carga ou deformação elevada
• Baixas Temperaturas
19/05/2015 35
• Tipos de defeitos que podem
ser considerados entalhes
• Efeito de um Entalhe
• Conceito de Fenda
• Fator de Intensidade de
Tensões
• Tenacidade à Fratura
• Método de Determinação da
Tenacidade à Fratura
• Fatores que influenciam a
tenacidade à fratura
• Resistência Residual
Tenacidade à fratura
1. Quem controla o estado de tensão?
2. Quando ocorre a fratura?....1. Fator de intensidade de tensões (FIT) K.
2. Quando este fator atingir um valor crítico!!!
• Neste caso Kc é denominado Tenacidade à Fratura erepresenta uma propriedade do material.
19/05/2015 36
Tenacidade à fratura
• A tenacidade à fratura é uma função do material,
apresentando-se como uma propriedade da sua
capacidade em resistir à fratura.
• Para o mesmo material é função da sua espessura:
• Atingindo em modo I um valor mínimo para espessuras muito
elevadas.
19/05/2015 37
Tenacidade à fratura
19/05/2015 38
Tenacidade à fratura
• Na primeira zona do gráfico encontram-se as
placas de espessura reduzida.
• Neste caso a tensão na direção da espessura é
quase nula (estado plano de tensões).
• A fratura ocorre num plano a 45º com o eixo
longitudinal, pois as componentes de corte são as
mais elevadas.
• A energia necessária para produzir fratura é mais
elevada, pois é gasta na deformação plástica do
material.
• A tenacidade à fratura do material é máxima.
19/05/2015 39
Tenacidade à fratura
• Com o aumento da espessura a tenacidade à
fratura diminui.
• Com o aumento das tensões longitudinais (segundo a
espessura), a tensão de corte máxima vai sendo
reduzida.
• A deformação de corte diminui, pelo que diminui
também a energia necessária a fraturar o material.
• Nesta zona de transição a tenacidade à fratura do
material diminui com o aumento da espessura.
19/05/2015 40
Tenacidade à fratura
• Para espessuras elevadas, o estado é plano de
extensões.
• A deformação plástica do material é mínima.
• A tenacidade à fratura do material atinge o seu valor mínimo.
• O material possui um comportamento frágil.
19/05/2015 41
Conteúdo
• Origens da Mecânica da Fratura• O Trabalho de Griffith
• Conceito de Defeito
• Conceito de Esforço
• Tenacidade à Fratura
• Tipos de Fratura• Fratura Dúctil
• Fratura Frágil
• Causas da Fratura Frágil• Estado Triaxial de Tensões
• Velocidade de aplicação da carga ou deformação elevada
• Baixas Temperaturas
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• Tipos de defeitos que podem
ser considerados entalhes
• Efeito de um Entalhe
• Conceito de Fenda
• Fator de Intensidade de
Tensões
• Tenacidade à Fratura
• Método de Determinação da
Tenacidade à Fratura
• Fatores que influenciam a
tenacidade à fratura
• Resistência Residual
Fatores que influenciam a tenacidade à
fratura• Espessura dos provetes• Já é conhecido o seu efeito.
• Resistência à tração (tensão de cedência erotura).• Existe entre estes valores uma relação de
proporcionalidade inversa. Ou seja, quanto menor fora tensão de cedência de um material, maior será asua tenacidade à fratura
• Temperatura e velocidade• Tal como já foi visto a diminuição de temperatura
fragiliza o material, o que significa que faz baixar atenacidade à fratura deste.
19/05/2015 43
Tenacidade à Fratura
• É o parâmetro fundamental da Mecânica daFratura Linear Elástica.
• É determinado experimentalmente;
• É uma função do material, do esforço e do defeito(entalhe) presente;
• É válido em condições de elasticidade linear;
• É um elemento fulcral na seleção de materiais e nasespecificações de projeto.
19/05/2015 44
Conteúdo
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• Conceito de Defeito
• Conceito de Esforço
• Tenacidade à Fratura
• Tipos de Fratura• Fratura Dúctil
• Fratura Frágil
• Causas da Fratura Frágil• Estado Triaxial de Tensões
• Velocidade de aplicação da carga ou deformação elevada
• Baixas Temperaturas
19/05/2015 45
• Tipos de defeitos que podem
ser considerados entalhes
• Efeito de um Entalhe
• Conceito de Fenda
• Fator de Intensidade de
Tensões
• Tenacidade à Fratura
• Método de Determinação da
Tenacidade à Fratura
• Fatores que influenciam a
tenacidade à fratura
• Resistência Residual
Resistência Residual
• Definição:
• Por definição será o valor de tensão a que um
componente fissurado pode ser sujeito sem
fraturar.
• Em função da tenacidade à fratura do material,
da dimensão da fenda, e da tensão aplicada,
temos que um componente não irá fraturar se:
• 𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 < 𝐾𝐼𝐶
19/05/2015 46
Resistência Residual
19/05/2015 47
Esta equação pode ser
representada
geometricamente por
uma curva.
Em função do defeito
existente, é possível
saber qual o valor mais
elevado de tensão que
pode ser aplicado, para
que não haja fractura
frágil.a=b
Colapso Plástico
• Isto é, considerando uma placa de largura 2b e
espessura t, a força máxima suportada pela placa é:
• 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑡 2𝑏 − 2𝑎 𝜎𝑐𝑒𝑑
• Sendo a força máxima suportada pelo material definida
por:
• 𝜎𝐶𝑃 =𝑃𝑚𝑎𝑥
𝑡2𝑏=
2𝑏−2𝑎 𝜎𝑐𝑒𝑑
2𝑏
19/05/2015 48
Tipos de Fractura
• Fractura instável:
• Neste caso da definição do fator de intensidade de tensões e da
tenacidade à fratura resulta uma curva e todos os pontos abaixo
desta, não levam à fratura.
• Colapso plástico:
• No caso de materiais com maior tenacidade à fratura, a curva de
fratura por colapso plástico encontra-se por baixo da anterior e a
fratura será definida por:
• 𝜎𝐶𝑃 < 𝜎𝑐𝑒𝑑2𝑏−2𝑎
2𝑏ou 𝜎𝐶𝑃 <
𝜎𝑐𝑒𝑑
𝐾𝑡
2𝑏−2𝑎
2𝑏, no caso de
existir concentração de tensões.
19/05/2015 49
Tipos de Fratura
19/05/2015 50
Fractura
Dúctil
Fratura Frágil
a=b