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AULA 19
Estatísticas Quânticas II
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Data Aula Dia Tópico27 Abril 12 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas I
29 Abril 13 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas II
04 Maio 14 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas III
06 Maio 15 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas IV e Efeito Zeeman
11 Maio 16 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas V e Efeito Zeeman
13 Maio 17 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas VI, Efeito Zeeman, Efeito Paschen-Back, Exercícios
18 Maio 18 2a Estatísticas Quânticas
20 Maio - 4a Reunião de Avaliação de curso
01 Junho 19 2a Estatísticas Quânticas II
Você também pode ler sobre esta aula no capítulo 11 e no Apêndice C do livro
do Eisberg & Resnick.
Qual é o tipo de problema a tratar?
•Consideremos um sistema que consiste de um conjunto
de entidades idênticas.
•Essas entidades podem trocar energia entre si.
•Suponhamos que a energia total do sistema é constante
(e finita, claro). O sistema está isolado.
•A Física Estatística Clássica nos prediz que na situação
de equilíbrio térmico, a energia estará repartida segundo
uma certa distribuição de probabilidade, cuja forma é
especificada pela temperatura T.
•Queremos descobrir como a energia está distribuída
entre as entidades, ou seja, como é a função distribuição.
3
Uma analogia...
•Considere um conjunto de habitantes de um país. Como
está distribuída a renda entre os habitantes?
•Como você imaginaria um gráfico representando o
número de pessoas que recebem acima de um valor v
mensalmente?
4
Uma analogia...
• Considere um conjunto de habitantes de um país. Como
está distribuído o dinheiro entre os habitantes:
5
Tomemos como exemplo os
dados da distribuição de renda
na região Sul do país em 1960.
Aqui está mostrada a fração
dos que recebem renda mensal
per capita maior do que v .
Queremos conhecer como é uma distribuição...
•As distribuições nas quais estamos interessados são
diferenciais.
•Por exemplo, se temos N entidades idênticas (podem ser
elétrons, fótons, átomos, etc.), queremos saber quantas
entidades dN = N (E) têm energias entre E e E + dE.
•O exemplo do slide anterior é uma distribuição integral:
damos o resultado em função da fração dos habitantes com
renda maior do que o valor na abscissa. Essa função
integral corresponderia à integral de N(E)dE desde aquele
valor até infinito.
6
Para começar,..
•Vamos considerar um sistema de entidades idênticas (moléculas, osciladores harmônicos, etc...), que podem trocar energia entre si.
•O sistema está isolado e a energia total a ser repartida é fixa, portanto, constante.
•Vamos assumir que estamos estudando a situação de equilíbrio térmico.
•Esta situação requer que, para que o sistema chegue ao equilíbrio, as entidades possam trocar energia entre si e também com as paredes que contêm o conjunto de entidades (uma entidade trocar energia com a parede tem o mesmo efeito de trocar energia com uma outra entidade, já que o sistema está em equilíbrio).
7
Note bem..
•O nosso ponto de vista agora não é o que acontece com um átomo ou um fóton ou um elétron, mas com muitos deles.
•Não olharemos o problema do ponto de vista individual, como p. ex., um elétron num átomo sofrendo uma transição entre dois estados, ou um fóton incidindo num átomo dando efeito Compton.
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Espectro discreto de vapor de Hg (baixa densidade)
Espectro contínuo de lâmpada de bulbo incandescente
(filamento sólido: muitos átomos, não apenas um)
Comprimento de onda/nm
Inte
nsid
ade r
ela
tiva
•Mesmo que o vapor de mercúrio do exemplo e o
filamento sólido de tungstênio contenham um número de
átomos da mesma ordem de grandeza, no primeiro caso
podemos ignorar a presença de outros átomos (estão
longe uns dos outros), enquanto que no segundo caso,
precisamos considerar a influência mútua dos muitos
átomos no sistema.
9
Veremos neste capítulo...
•A distribuição de uma quantidade de energia entre muitos
componentes de um sistema não pode ser discutida em
termos de eventos individuais isolados.
•A análise desses fenômenos requer uma abordagem de
Física Estatística, em que estaremos interessados não
em saber o valor exato de um resultado de um evento
único e isolado, mas sim, queremos predizer o resultado
médio de muitos eventos baseados em uma distribuição
estatística de possíveis resultados.
•Veremos que alguns sistemas são governados pela
estatística clássica, já outros requerem uma estatística
quântica.
10
Exemplo de um sistema complexo
•Comecemos pensando em um gás.
•Se temos, digamos, 1020 átomos, podemos adotar um ponto
de vista microscópico, especificando, p. ex., a posição e a
velocidade de cada átomo ou molécula. Rapidamente, o
problema fica intratável e complexo, além de nos fornecer
muitos detalhes que não nos são úteis.
•O segundo ponto de vista é adotar um ponto de vista
macroscópico, focando p. ex., na temperatura e na pressão
do gás (triunfo do século XIX). A Teoria Cinética dos Gases
relaciona justamente as propriedades microscópicas com as
macroscópicas.
•Em geral, o que vamos fazer é uma análise estatística de
contar o número de modos diferentes de obter as
propriedades microscópicas de um sistema.
11
Microestados Macroestados
•Consideremos que queremos distribuir 2 unidades de
energia em um “gás” de 4 partículas idênticas e
distinguíveis.
•Consideremos ainda que cada partícula possa adquirir
energia somente em unidades inteiras de energia.
•De quantas maneiras essas 4 partículas poderão dividir
entre si as 2 unidades de energia?
12
Macroestados do sistema simples
Microestados (energia das partículas)
Macroestado Partícula 1 Partícula 2 Partícula 3 Partícula 4
2 0 0 0
13
um microestado
Macroestados do sistema simples
Microestados (energia das partículas)
Macroestado Partícula 1 Partícula 2 Partícula 3 Partícula 4
2 0 0 0
0 2 0 0
14
Macroestados do sistema simples
Microestados (energia das partículas)
Macroestado Partícula 1 Partícula 2 Partícula 3 Partícula 4
A 2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
15
Os 4 microestados correspondem ao mesmo macroestado:
uma partícula carrega todas as 2 unidades de energia.
Macroestados do sistema simplesMicroestados (energia das partículas)
Macroestado Partícula 1 Partícula 2 Partícula 3 Partícula 4
A 2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
B 1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
16
Macroestados do sistema simplesMicroestados (energia das partículas)
Macroestado Partícula 1 Partícula 2 Partícula 3 Partícula 4
A 2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
B 1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
17
4
6
Multiplicidades (nº de microestados que correspondem a um macroestado)
A evolução do sistema• Uma aplicação dos princípios da estatística é determinar a direção da
evolução natural de um sistema.
• A 2a Lei da Termodinâmica nos diz que sistemas isolados evoluem
numa direção tendendo ao aumento da multiplicidade (o que na
Termodinâmica tem a ver com o aumento da entropia).
o Se o sistema estiver inicialmente no macroestado A e nós deixarmos as 4
partículas interagirem umas com as outras, em um instante posterior nós
poderemos encontrar o sistema no macroestado B.
o Entretanto, se o sistema iniciou no macroestado B, seria menos provável dele
se encontrar num instante posterior no macroestado A, porque envolveria um
decréscimo na multiplicidade de estados, o que é menos provável.
o Conforme o número de partículas no sistema aumenta, as diferenças entre as
multiplicidades dos macroestados ficarão maiores e mudanças envolvendo
decréscimo na multiplicidade ficarão tão improváveis que não são observadas.
18
1ª hipótese:
•Todos os microestados são igualmente prováveis.
• No nosso exemplo, temos 10 microestados e apenas 2
macroestados.
• Se tivermos um número grande de sistemas idênticos ao nosso,
observaremos 6/10 = 60% deles no macroestado B e apenas 4/10
= 40% deles no macroestado A.
•Considerando ainda um número grande de sistemas
idênticos ao nosso, podemos também responder a
perguntas do tipo: qual é a probabilidade de uma
partícula das quatro ter 2 unidades de energia? Ou
ainda, qual é a energia média de uma partícula?
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Estatística Clássica Estatísticas Quânticas
•Para explicar a diferença, ilustraremos com um exemplo.
•Vamos inicialmente estudar a distribuição de um total de
6 unidades de energia entre um conjunto de 5 partículas
idênticas e distinguíveis.
•Suponhamos que as partículas só possam assumir
energias de um valor que é um número inteiro de
unidades.
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São 10 macroestados possíveis:E/u.a. A B C D E F G H I J
6 1
5 1
4 1 1
3 1 2 1
2 1 1 3 2 1
1 1 2 1 3 2 4
0 4 3 3 2 2 3 2 1 1
Multipli
cidade
W
5 20 20 30 60 10 10 20 30 5
21
0 1 2 3 4 5 6
!
! ! ! ! ! ! !
NW
N N N N N N N=
Nº de permutações com repetição
Nº total de estados (N partículas repartindo
Q unidades de energia)
( )
( )
1 !
! 1 !total
N QW
Q N
+ −=
−
Exemplo: qual a probabilidade?
•Qual a probabilidade de uma partícula ter uma energia 0?
•Precisamos fazer uma média sobre os vários
macroestados, ponderando pela multiplicidade de cada
um deles:
22
( )
10
110
1
i i
i
i
i
N W
p E
N W
=
=
=
Exemplo:
Probabilidade de uma partícula ter energia 3 u.a. => (1x60+2x10+1x20)/(5x210) =0,095
Obteremos para a probabilidade de
uma partícula ter a energia E:
Energia E Probabilidade
0 0,400
1 0,267
2 0,167
3 0,095
4 0,048
5 0,019
6 0,005
23
A curva contínua azul representa o melhor ajuste aos
pontos tabelados conseguido com uma função do tipo p e−E.
Repetiremos a brincadeira com partículas quânticas:
•O que será diferente??
1. Na Física Quântica, as partículas são indistinguíveis.
Mais para a frente iremos colocar um critério para esta
consideração.
• Se observamos duas partículas idênticas, não podemos conhecer
simultaneamente sua posição e seu momento. Isto é o que nos diz
o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Assim, não
conseguiremos “acompanhar” cada partícula a ponto de distinguir
entre elas. Se suas funções de onda se sobrepõem, não
saberemos qual parte da função de onda total é a contribuição de
qual partícula.
24
Partícula 1 Partícula 1
Partícula 1 Partícula 1
Partícula 2
Partícula 2
Partícula 2
Partícula 2
25
Por quê indistinguíveis??
Repetiremos a brincadeira com partículas quânticas:
•O que será diferente??
1. Na Física Quântica, as partículas são indistinguíveis.
Mais para a frente iremos colocar um critério para esta
consideração.
2. A Física Quântica pode limitar o número máximo de
partículas que podem estar em um dado estado de
energia: o Princípio de Exclusão de Pauli se aplica a
todos os férmions (spins semi-inteiro), mas não aos
bósons (spins inteiros).
26
Como fica a nossa tabela?
27
E/u.a. A B C D E F G H I J
6 1
5 1
4 1 1
3 1 2 1
2 1 1 3 2 1
1 1 2 1 3 2 4
0 4 3 3 2 2 3 2 1 1
Multipli
cidade
W
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1. A indistinguibilidade entre as partículas traz como
consequência uma redução das multiplicidades:
Recalculando a probabilidade de uma
partícula ter a energia E: •Supondo que nossas partículas são bósons (spin inteiro):
28
Energia E Probabilidade
0 0,420
1 0,260
2 0,160
3 0,080
4 0,040
5 0,020
6 0,020
A curva que melhor ajusta aos pontos
cresce mais do que uma exponencial
para as energias mais baixas.
Calculando a probabilidade...
29
•Exemplo:
Probabilidade de um dos bósons ter energia 3 u.a. =>
(1x1+1x1+2x1)/(5x10) = 4/50 = 0,080.
1. A tabela anterior está OK para bósons, mas não para férmions!!
2. Suponhamos que estamos lidando com partículas de spin 1/2:
poderemos no máximo ter 2 partículas em cada estado de
energia ( ou ).
30
Como fica a nossa tabela?
E/u.a. A B C D E F G H I J
6 1
5 1
4 1 1
3 1 2 1
2 1 1 3 2 1
1 1 2 1 3 2 4
0 4 3 3 2 2 3 2 1
Multipli
cidade
W
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
•Supondo que nossas partículas são férmions (spin semi-
inteiro) com spin 1/2:
31
Recalculando a probabilidade de uma
partícula ter a energia E:
Energia E Probabilidade
0 0,333
1 0,333
2 0,200
3 0,067
4 0,067
5 0,000
6 0,000
A curva que melhor ajusta aos pontos
tende a uma constante para as
energias mais baixas.
Recalculando a probabilidade...
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•Exemplo:
Probabilidade de um dos férmions ter energia 3 u.a. =>
(1x1+0x1+0x1)/(5x3) = 1/15 = 0,067.
• A distribuição de Boltzmann em função da energia
caracteriza-se pela exponencial
A distribuição clássica de Boltzmann
33
( )
( )
/MB
/MB /
1
E kT
E kT
E kT
f E Ae
f E e ee e
−
− −
=
= =
As distribuições quânticas
• Sistemas constituídos de bósons obedecem a
distribuição de Bose-Einstein:
•Sistemas constituídos de férmions seguem a distribuição
de Fermi-Dirac:
34
( )BE /
1.
1E kTf E
e e=
−
( )FD /
1.
1E kTf E
e e=
+
Boltzmann
35
T (K)
Bose-Einstein
36
T (K)
Fermi-Dirac
37
T (K)
Ressalvas:
•Os sistemas que vimos até agora devem ser vistos apenascomo exemplos para indicar algumas diferenças entre a estatística clássica e as estatísticas quânticas.
•As funções distribuição de energia para sistemas de muitaspartículas são diferentes das funções que obtivemos para o nosso sistema simples de 5 partículas.
•Partículas com spin inteiro são descritas por uma funçãodistribuição (Bose-Einstein) que é aproximadamenteexponencial, mas que cresce mais acentuadamente a baixasenergias. Veremos quais consequências interessantes daídecorrerão.
•Partículas que obedecem o princípio de exclusão de Pauli sãodescritas por uma função distribuição (Fermi-Dirac) muitodiferente das anteriores, a qual satura a baixas energias, também acarretando consequências interessantes.
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Resumo
•Estudamos exemplos simples de poucas partículas no
caso das partículas serem idênticas e distinguíveis
(Estatística Clássica) e no caso delas serem idênticas e
indistinguíveis (Estatísticas Quânticas).
•Mostramos que temos duas distribuições quânticas:
• Se as partículas tiverem nº quântico de spin inteiro, são
classificadas como bósons e seguem a distribuição de Bose-
Einstein.
• Se as partículas tiverem nº quântico de spin semi-inteiro, são
classificadas como férmions e seguem a distribuição de Fermi-
Dirac.
39
