Aula-10-Derivadas-Parciais

5/6/2018 Aula-10-Derivadas-Parciais - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aula-10-derivadas-parciais 1/42

Funções de várias variáveisFunções de várias variáveis

Aula-10




Cálculo Variacional x Cálculo Diferencial A diferença básica entre esses dois cálculos é o domínio

dos respectivos objetos a serem otimizados.

Enquanto o domínio no cálculo diferencial são os números,o do cálculos variacional são as funções (curvas).



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisExemplo-1

Qual dos números: 2, 3, 4, 5 ou 6 produz em f(x) = -x2 + 8x +12 o valor máximo?

f(x)

x = 2 p

x = 3 p

x = 4 p

x = 5 p

x = 6 p

p f(x) = 24

p f(x) = 27

p f(x) = 28

p f(x) = 27

p f(x) = 24




Exemplo-2 Qual dos funções abaixo delimita uma área máxima sob seu

traçado quando integrada de 2 a 6? f 1(x) = 180,18 lnx 121,13; f 2(x) = 49,48x-95,21; f 3(x) = -228,57 sen T.x/3 + 201,71; f 4(x) = 6,18x2 20,98.

pA1= 482,0

pA2 = 410,9

pA3 = 1.139,2

pA4 = 344,9

f 1(x) p

f 2(x) p

f 3(x) p

f 4(x) p

´!6

2

)( dx x f A



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisPropriedades de curvas Assim cada curva tem sua propriedade. Cabe escolher aquela que se adequa melhor ao projeto.

MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Curva Propriedade Uso em:

Catenária

f(x) = cos hx Resistência Cúpulas

Reta

f(x) = ax + b Menor distância Rotas

Ciclóide

y = a( U - sen U)x = a(1 cos U)

MenorTempo

Relógios

Semicírculo Maior Área Jóias

Parábola

f(x) = ax2 +bx + c Focal faróis

22)( xr x f !




Derivadas Parciais Para este curso, discutiremos o caso de funções de duas

variáveis independentes, que permitem uma visualização gráfica,possibilitado desta maneira, uma tradução de maneira simples doconceito de derivadas parciais. Mas, os resultados aqui obtidospodem ser generalizados para os casos de funções com umnúmero maior de variáveis.



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisDefinição

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais, a derivada

parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (x0,y0), designada por

(x0,y0), é a derivada dessa função em relação a x aplicada no

ponto (x0,y0), mantendo-se y constante, Analogamente, em

relação a y aplicada no ponto (x0,y0), designando por

mantendo-se x constante.

x

f

x

x

y

f

x

x




Exemplo-1 Calcule a derivadas parciais da função f(x,y)=yx3 + xy2.

2

0

2

0000 3),( y x y y x x

f !

x

x

00

3

000 2),( y x x y x y

f !

x

x




Exemplo-2 Calcule as derivadas parciais da função no ponto

(1,2). 1.º método

3),(

34 x y

x y x f !

34

33 y

x x

f !

x

x

22

3

3 x y

x y

y

f !!

x

x

3

20

3

84

3

)2()1(4)2,1(

33 !!!

x

x

x

f

42.1)2,1( 2 !!x

x

y

f




Exemplo-2 2.º método

Encontramos a derivada parcial de f(x,y) em relação a x noponto (1,2) fazendo y=2 e derivando a função para umaúnica variável.

3

20

3

84)1('

384)('

3

8)2,()(

3

4

!!

!

!!

g

x x g

x x x f x g




Analogamente, para x=1:

Logo,

4)2('

)('

31),1()(

2

3

!

!

!!

h

y yh

y y f yh

4)2,1( !xx y f

320)2,1( !

xx x f e




Interpretação geométrica Sob a ótica geométrica, a obtenção das derivadas parciais nos

dá a intersecção da curva com o plano de y (ou de x), já umadas variáveis se mantém constante enquanto calcula-se aderivada da outra.

Manter x (ou y) constante significa interceptar a superfíciedefinida pelo gráfico de f com o plano x = x0 (ou y = y0).



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisDerivadas Parciais de ordens superiores

Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computandoas derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadassão derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos.

Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)

= 2x3.e5y.

Temos que: ye x y x

x

f 52.6),( !

x

x

ye x y x

y

f 53.10),( !

x

x




Portanto, a segunda derivada, em relação a x é:

E a segunda derivada, em relação a y é:

ye x y x

x

f 5

2

2

.12),( !x

x

ye x y x y

f 53

2

2

.50),( !x

x



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveis Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial

em relação a y, calculada agora em relação a x:

E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x,calculada agora em relação a y:

y y e xe x x

y x y x

f 52532

.30)10(),( !x

x!

xx

x

y y e xe x y

y x x y

f 52522

.30)6(),( !x

x!

xx

x




Derivadas Parciais de ordens superiores As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são

chamadas de puras ;

As duas últimas são chamadas de mistas.




Notação Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de

segunda ordem com suas respectivas notações de acordocom as expressões abaixo:

),(),(2

2

y x f y x z x

z

x x

z xx xx !!

x

x

x

x!

x

x

),(),(2

2

y x f y x z y

z

y y

z yy yy !!x

x

x

x

!x

x

),(),(2

y x f y x z x

z

x y x

z y x y x !!

x

x

x

x!

xx

x

),(),(2

y x f y x z x

z

y x y

z x y x y !!

x

x

x

x!

xx

x




Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deramo mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorredesde certas condições sejam satisfeitas.




Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram

o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorredesde certas condições sejam satisfeitas.

Proposição

Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal

que as derivadas existem e são contínuas nessa

vizinhança, então . x y

f e y x

f

y

f

x

f

xx

x

xx

x

x

x

x

x 22

,,

x y

f

y x

f

xx

x!

xx

x 22




Regra da Cadeia A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito

de calcular derivadas parciais de funções compostas de váriasvariáveis.

Suponha que a função P=p(x,y) com derivadas parciaiscontínuas represente a quantidade produzida de umdeterminado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua

vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).




A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, deacordo com a seguinte expressão:

P = p(x(t) , y(t)) = P(t ) A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:

dt

d y

x

p

dt

dx

x

pt P ..)( ¹

º

¸©ª

¨

x

x¹ º

¸©ª

¨

x

x!




Exemplo Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função

R(x,y) = xy2

, onde x e y representam as quantidades de doisbens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam docapital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3le y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relaçãoao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis.

Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as

seguintes derivadas parciais: .l

ye

k

y

l

x

k

x

y

R

x

R

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x,,,,




Exemplo

3!xxl

x

22 )13( !!

x

xk y

x

R

)13)(34(22 !!x

xk l k x y

y

4!x

x

k

x

3!x

x

k

y

1!x

x

l

y



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisExemplo

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

3).3)(34(24.)3( 2l k l k l k

k

y

yk

x

x

R

k

R!

x

x

x

x

x

x

x

x!

x

x

1).3)(34(23.)3( 2l k l k l k

l

y

y

R

l

x

x

R

l

R!

x

x

x

x

x

x

x

x!

x

x




Aplicação A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no

plano XOY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2.

Determine a taxa de variação de T em relação à distância noponto (-1,2) e na direção de OU;

Partindo-se do ponto (-1,2) e deslocando-se na direção doeixo OX a temperatura aumenta ou diminui?




Solução

)(402)(20 2222 y x y y y x

y

T !!

x

x

)(402)(20 2222 y x x x y x x

T !!

x

x

400)21(2.402.2)21(20)2,1( 2222 !!!

x

x

y

T

200)1.(2]2)1[(20)2,1( 22 !!x

x

x

T




Curvas de nível As curvas de nível são maneiras de descrever,

geometricamente, o comportamento das funções de duas

variáveis. A idéia básica é semelhante ao mapeamento dorelevo de um terreno.

Dando-se um valor particular para z, digamos z=c,obtemosuma equação em duas variáveis f(x,y)=c.

Esta equação define uma curva no plano xy, que se chamauma curva de nível da função f(x,y) referente ao valor c.

Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curva-intersecção do plano z=c com o gráfico da função z=f(x,y)




Curvas de nível Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível, basta

esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z=c, para diferentes

valores de c.Exemplo-1 Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função

z = f(x,y) = x2 + y2. Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação: x2+y2=c.

Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecçãodo plano horizontal z = c com o gráfico da função possui talequação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem eraio .

Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é umparabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2

em torno do eixo z.

c




Exemplo-1



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisExemplo-1



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisExemplos de outras curvas




Exemplos de outras curvas



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisGradiente de uma função

O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0), designadopor �f(x

0,y

0) ou grad f(x

0,y

0), é o vetor livre cujas coordenadas

são:

),( 00 y x x

f

x

x),( 00 y x

y

f

x

xe



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveis Simbolicamente:

Exemplo-2 Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto

(1,3).

¼

½

»¬«

x

x

x

x!� ),(),,(),( 000000 y x

y

f y x

x

f y x f



Funções de várias variáveisFunções de várias variáveisResolução

Calculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação a xe y:

No ponto (1,3):

23

1

003

26),( y x x y y x

x

f

!x

x y x x y x y

f 32

2

00 23),( !x

x

¼½

»¬«

x

x

x

x!� )3,1(),3,1()3,1(

y

f

x

f f

12618)3()1(3

23.1.6)3,1( 23

1

!!!x

x

x

f

3)3()1(2)1(3)3,1( 3

2

2 !!x

x

y

f

Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3) é o vetor �f(1,3)=[12,-3].




Gradiente de uma função

Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual secalcula o gradiente.




Gradiente de uma função Dessas considerações é possível pensar num campo de vetores

gradiente de uma função, que podem ser representados

geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem emcada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função.




Relação entre Gradiente Curvas de Nível Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana, dada

pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele éortogonal ao vetor [x(t), y(t)], que é o vetor tangente à curva.

Teorema O gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é ortogonal à

curva de nível da função que passa por esse ponto.




Prova Os pontos (x,y) que satisfazem essa equação podem, por

pertencerem a uma curva plana, ser parametrizados por uma

variável t: x = x(t) e y = y(t); Como f(x0,y0)=C, então, f(x(t),y(t))=C; Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t,

obtemos, pela regra da cadeia:

0)(')].(),([)(')].(),([ !x

xx

xt yt yt x y

f t xt yt x x

f




Prova O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos

vetores �f(x(t),y(t)) e [x(t),y(t)]; Mas, [x(t),y(t)] é o vetor tangente à curva de nível no ponto

(x(t),y(t)); Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é ortogonal ao

vetor tangente à curva de nível no ponto (x,y).




Exemplo-3 Se f(x,y)=x2+y2, então, g(x,y)=�f(x,y)=2x+2y.

Calculado no ponto (a,b) teremos o vetor g(x,y)=�f(x,y)=2a+2b.



Métodos de Cálculo II Bibliografia utilizada:

Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. PersonEducation. São Paulo, 1992.

Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.São Paulo, 2006.

Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-

Verlag. New York, 1979.

Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990. Ricieri, A.P. Matemática aplicada à vida. Prandiano. São

Paulo, s/d. n.º 5/2.

Documents

Aula-10-Derivadas-Parciais