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Aula 08
Função derivada e derivadas de ordem superior
A Derivada com uma Função
Para , podemos considerar os valores de para os quais o limite abaixo existe
Assim podemos considerar como uma nova função chamada derivada de definida pela expressão acima.
xR:f R R
'ff
Vamos Recordar!
Sabemos que o valor de em
pode ser interpretado geometricamente
como a inclinação da reta tangente de
no ponto
'f
f
Reta tangente
Observação
A função é denominada derivada de ,
e o seu domínio é o conjunto
e pode ser menor que o domínio de .
'f f
; ( ) existex f x
f
Exemplos
2) a) Se encontre uma fórmula
para . b) Ilustre, comparando os gráficos de e .
3( )f x x x
'( )f x
'ff
Exemplos
Exemplos
3) Se , encontre a derivada de . Estabeleça o domínio de .
( )f x x
f 'f
Exemplos
Exemplos
4) Encontre se .
'f1
( )2
xf x
x
Notações
Para , onde é a variável independente e a variável dependente,
Para ,
ou .
( )y f x xy
x a
Definição
Uma função é derivável ou diferenciável em se existir. É derivável ou diferenciável em um intervalo abertoou ou ou , se for diferenciável em cada número do intervalo.
fa '( )f a
( , )a b( , )a ( , )a ( , )
Exemplo
Onde a função é diferenciável?( ) | |f x x
Exemplo
Teorema
Se uma função é diferenciável em , então é contínua em .
A recíproca é falsa: é contínua em pois,
Mas, pelo exemplo anterior, não é diferenciável em .
( ) | |f x x
ff
aa
0x
0x
Funções não diferenciáveis
Funções não diferenciáveis
Funções não diferenciáveis
Derivadas de ordem superior
Segunda derivada de :
Notação de Leibniz
( ') ' ''f f
f
Exemplos
1) Se , encontre e interprete
.
''( )f x
3( )f x x x
( ) 6f x x
Exemplos
Aceleração
Se for a função posição de um objeto que se move em uma reta, então a velocidade é a taxa de variação do espaço dada por
,
( )s s t
( ) '( )ds
v t s tdt
Aceleração
e, a taxa de variação da velocidade é a aceleração dada por
2
2
( ) '( ) ''( )
a t v t s t
dv d s
dt dt
Derivadas de ordem superior
Terceira derivada de :
A n-ésima derivada de denotada por é obtida derivando n vezes
2 3
2 3( '') ' '''
d d y d yf f
dx dx dx
f
f nff
Exemplos
2) Se , encontre e . '''( )f x3( )f x x x (4) ( )f x
( ) 6f x
(4) ( ) 0f x
