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8/15/2019 Aula 02 e 03 Coeficientes Binomiais e Fórmula Do Binõmio - 2ano
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FATORIALUnidade 1 – 2º Médio
2º Bimestre
8/15/2019 Aula 02 e 03 Coeficientes Binomiais e Fórmula Do Binõmio - 2ano
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O produto dos n primeiros naturais positivos é denotado com
n! e denomina-se n-fatorial . Assim, para obtermos 7-fatorial, ou7!, multiplicamos os 7 primeiros naturais positivos:
Também:
Defnição
7654321!7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
4032087654321!8
50407654321!7
720654321!6
12054321!5
244321!4
6321!3
221!2
1!1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅==⋅⋅=
=⋅=
=
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Definiço!
Se#ue n e p números naturais com . O "oefi"iente #inomia$ denotado com definido por . $%emplos:
Coefcientes binomiais
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 10
!1!9
10!9
!910!9
!10
9
10
1!10!0
!10
!010!0
!10
0
10
1!0!10
!10
!1010!10
!10
10
10
161700321
1009998
!3!97
1009998!97
!97100!97
!100
97
100
161700321
1009998
!97!3
1009998!97
!3100!3
!100
3
100
1264321
9876
!5!4
9876!5
!49!4
!9
4
9
=⋅
⋅=
−=
=⋅
=−
=
=⋅=−=
=⋅⋅⋅⋅
=⋅
⋅⋅⋅=
−=
=⋅⋅⋅⋅
=⋅
⋅⋅⋅=
−=
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
⋅⋅⋅⋅=
−=
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Definiço!
Os coeficientes binomial e di&em-se "omp$ementares se %
'or e%emplo, coeficientes binomiais, tais como e s(ocomplementares) note ue . Além disso, como vimosanteriormente, . "a*, a propriedade ue se#ue.
Propriedade!
Se os coeficientes binomiais e s(o complementares, istoé, , ent(o ele s(o iguais.
Coefcientes binomiaiscomplementares
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Demonstraço!
Sejam e coeficientes binomiais complementares. Sendo ,temos:
Se#ue da* ue , isto é, coeficientes binomiaiscomplementares s(o i#uais.
Coefcientes binomiaiscomplementares
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$nvolvendo os coeficientes binomiais, + uma rela(o ue é
importante na resolu(o de problemas sobre tais coeficientes. a Re$aço de &tiffe$, apresentada a se#uir.
'ara os naturais n e p, , temos:
Relação de Stiel
++
=
+
+
1
1
1 p
n
p
n
p
n
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Demonstraço!
Relação de Stiel
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )membro2º
1
1
!!1
!1
!!1
1!
!!1
1!
!!1
!!1
!1!1
!
!!
!
1 membro1º
=
++
=−⋅+
+=
−⋅++⋅
=
=−⋅+ −++⋅=−⋅+ ⋅−+⋅+=
=−−⋅+
+−⋅
=
+
+
=
p
n
pn p
n
pn p
nn
pn p
pn pn
pn p
n pnn p
pn p
n
pn p
n
p
n
p
n
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A Re$aço de &tiffe$ nos permite escrever, por e%emplo:
Relação de Stiel
+=
+
−
= +
=
+
p
n
p
n
p
n 1
1
1
4
1
3
0
3
3
5
3
4
2
4
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/alculando os valores dos coeficientes binomiais, obtemos o ue
se costuma c+amar de Tri'n()$o Aritméti"o de Pas"a$:0
0 0
0 1 0
1 2 2 0
0 3 4 3 0
0 5 06 06 5 0
2 4 05 16 05 4 0............................................
O triângulo aritmético de Pascal
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$sse trin#ulo foi descrito em 0452 por Blaise Pascal . ele, a
partir da lin+a 2, ualuer elemento 8e%ceto o primeiro e o último,ambos i#uais a 09 é obtido somando-se dois elementos da lin+aanterior: o elemento imediatamente acima e o anterior a esse
elementos.
00 0
0 1 0
0 2 2 0
0 3 4 3 0
0 5 06 06 5 0
ote ue essa propriedade do Trin#ulo d um método para asua constru(o.
O triângulo aritmético de Pascal
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A se#uir, apresentamos al#umas das mais importantes
propriedades do Trin#ulo de 'ascal.0;9 Em uma linha, as extremidades (primeiro e último
coeficientes) são iguais a 1
1;9 Em uma mesma linha, os coeficientes euidistantes dos
extremos são iguais
ote ue os coeficientes euidistantes dos e%tremos s(o
complementares.
Propriedade do Triângulo de Pascal
1
6
6
6
5
6
15
4
6
20
3
6
15
2
6
6
1
6
1
0
6
6Linha
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2;9 " partir da linha #, ualuer elemento (exceto as
extremidades) $ igual a soma de dois elementos da linha anterioro elemento imediatamente acima e o anterior a esse elemento (%
esuerda). $ssa propriedade, utili&ada na constru(o do trin#uloé uma e%press(o da Re$aço de &tiffe$:
3;9 " soma dos elementos da linha n $ & n
'inha 1 &
'inha 1 1 * 1 & 1
'inha & 1 * & * 1 & &
'inha # 1 * # * # * 1 & #
'inha + 1 * + * * + * 1 & +
Propriedade do Triângulo de Pascal
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'ara todo natural n, temos:
Propriedade do Triângulo de Pascal
n
n
nnnn2...
210=
++
+
+
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A notação
Dada uma sequência ... Podemos escrever a soma dosseus n primeiros termos usando a notação de somatória
ou a notaçãosigma. A notação é assim usada:
O lado esquerdo da igualdade é lido; ”A soma de para de! até n.” A letra é c"amada !ndice de somatória; a
ideia é su#stituir na e$pressão pelos inteiros !% &%'%(%...%n e somar as e$press)es que assim resultam%o#tendo o lado esquerdo da igualdade.
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A *+rmula do #in,mio
-nicialmente% o#serve o desenvolvimento de para alguns valores de.
O que acontece se separarmos ordenadamente os coecientes dossucessivos desenvolvimentos/
O#temos o 0ri1ngulo de Pascal
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A *+rmula do #in,mio
< 2e dese3amos o#ter o desenvolvimento de % utili4ando oteorema anterior% #asta *a4er 5 e o#teremos:
<
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O 0ermo geral
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