8/13/2019 askgenikis 24.1

http://slidepdf.com/reader/full/askgenikis-241 1/4

1.  Έστω δείγμα μεγέθους με παρατηρήσεις το οποίο έχει μέση

τιμή και διασπορά .

Αν και

α)Να δείξετε ότι

)Να δείξετε ότι

γ)Αν επιπ!έον είναι τότε"

#)Να ρεθεί η μέση τιμή$ η τυπική απόκ!ιση και το δείγμα του δείγματος.

##)Να ρείτε το δείγμα αν είναι $ οι δ%ο μικρότερες παρατηρήσεις είναι ίσες μεταξ%

τους και η μεγα!%τερη είναι .

2. Α) Έστω τα ενδεχόμενα ενός δειγματικο% χ&ρου τα οποία είναι ασυμίαστα $ με

.Να ρεθεί ό αριθμός .

') (ια να ρείτε τα ενδεχόμενα "

" να πραγματοποιηθεί ένα το πο!% από τα *

" να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα *

3.  Ένα δείγμα αποτε!είται από ακέραιες θετικές τιμές $ όχι κατ ανάγκη δια+ορετικές μεταξ%

τους .

Α) , μέση τιμή του δείγματος είναι και όταν ά!ουμε και την τιμή η νέα μέση τιμή

γίνεται .

Να ρεθεί το μέγεθος του αρχικο% δείγματος.

') Αν η διάμεσος του δευτέρου δείγματος είναι $ οι τρεις μικρότερες είναι ίσες μεταξ% τους

και οι τέσσερις μεγα!%τερες ίσες μεταξ% τους $

να ρεθεί η μεγα!%τερη δυνατή τιμή που μπορο%ν να πάρουν οι τέσσερις μεγα!%τερες

παρατηρήσεις.

4. -ίνεται ο δειγματικός χ&ρος ενός πειράματος τ%χης και τα ενδεχόμενά του .ν /0 δείγμα των

αριθμ&ν έχει μέση

τιμή και διάμεσο

να με!ετήσετε τη μονοτονία της

συνάρτησης " .

8/13/2019 askgenikis 24.1

http://slidepdf.com/reader/full/askgenikis-241 2/4

5. -ίδονται οι συναρτήσεις με

όπου

α)Να δειχθεί ότι

)Αν η ε!άχιστη τιμή της διαμέσου των παρατηρήσεωνείναι τότε"

#)να ρεθεί η τιμή του

##)Έστω ο δειγματικός όπου οι πιθανότητες

των στοιχειωδ&ν ενδεχομένων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με !όγο .

1εωρο%με τα ενδεχόμενα"

" το τέτοιο &στε η ε+απτομένη της στο να διέρχεται από την

αρχή των αξόνων.

" το τέτοιο &στε η να έχει δ%ο άνισες πραγματικές ρί2ες.

Να οριστεί η

6. ίνεται η συνάρτηση με τ%πο με

3) Να δειχθεί οτι είναι γνήσια +θίνουσα στο

4) Αν είναι δ%ο απ!ά ενδεχόμενα ενός δειγματικο% χ&ρου $ με ισοπίθανα απ!ά

ενδεχόμενα

&στε $ να δειχθεί οτι

 

5) ν να ρεθεί η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται

κανένα απο τα

ενδεχόμενα

6) Να υπο!ογιστεί το όριο

7. -ίνονται τα δείγματα για τα οποία

ισχ%ουν "

.

α) 7α ρεθο%ν τα "

) Να συγκριθο%ν ως προς την ομοιογένεια τα δείγματα

και .

8. -ίνεται ο παρακάτω πίνακας αθροιστικ&ν σχετικ&ν συχνοτήτων μιας μετα!ητής.

8/13/2019 askgenikis 24.1

http://slidepdf.com/reader/full/askgenikis-241 3/4

7α ρεθο%ν οι τιμές των αν ισχ%ουν" .

9. 1εωρο%με το δείγμα με παρατηρήσεις 8 )" $ το οποίο έχει

διάμεσο $

Α)Να αποδείξετε ότι ο είναι περιττός

')Να αποδείξετε ότι

(ια

()Να ρείτε την μέση τιμή τ&ν παρατηρήσεων

-)9χηματί2ουμε τις παρατηρήσεις $ τέτοιες &στε

και

Να ρεθο%ν 0ι

10. στω συνάρτηση γνησίως α%ξουσα στο πεδίο ορισμο% της. Αν δειγματικός

χ&ρος ενός πειράματος τ%χης και ενδεχόμενο του με και

ισχ%ει για κάθε 

τότε

11. -ίνεται ο δειγματικός χ&ρος ενός πειράματος τ%χης και τα ενδεχόμενα του για τα

οποία ισχ%ει "

$ όπου περιττός +υσικός. Έστω$

επίσης$ ένα δείγμα μεγέθους

με τιμές και . Αν η είναι ίση με το

μέγιστο της

και η είναι ίση με τη σχετική συχνότητα της τιμής "

α) 7α ρείτε τις πιθανότητες .

) Να δείξετε ότι ισχ%ει " .

γ) Να ρείτε την τιμή του και την τιμή της .

12. -ίνεται ο δειγματικός χ&ρος ενός πειράματος τ%χης με και με

ισοπίθανα στοιχει&δη ενδεχόμενα.

 Έστω επίσης η συνάρτηση . ν ενδεχόμενο

του με

8/13/2019 askgenikis 24.1

http://slidepdf.com/reader/full/askgenikis-241 4/4

και $

α) Να ρείτε τα ακρότατα της συναρτήσει του .

) 7α δείξετε ότι .

γ) Να ρείτε την .

13. -ίνονται τα ενδεχόμενα ενός δειγματικο% χ&ρου των οποίων οι πιθανότητες είναι οι

ρί2ες της εξίσωσης "

με .

α) 7α ρεθο%ν οι πιθανότητες .

) Να δείξετε ότι τα δεν είναι ασυμίαστα.

γ) Αν επιπ!έον ισχ%ει " $ να δείξετε ότι .

14.