Embed Size (px)
Citation preview
Guía docente de la asignatura
Guía docente de la asignatura
Asignatura Topología Algebraica
Materia Geometría y Topología
Módulo
Titulación Grado en Matemáticas
Plan 431 Código
Periodo de impartición Primer Semestre Tipo/Carácter Optativa
Nivel/Ciclo 2 Curso 2016-17
Créditos ECTS 6
Lengua en que se imparte Español
Profesor/es responsable/s Javier Finat
Datos de contacto (E-mail,
teléfono…)
Despacho A340, Facultad de Ciencias [email protected],
Lab 2.2, Edificio I+D, Parque Científico, Tfno 983 184398
Horario de tutorías Martes 12h 30m – 14h y Jueves 12h 30m-14h
Departamento Álgebra, Análisis, Geometría y Topología
Universidad de Valladolid1 de 12
Guía docente de la asignatura
Asignatura: Nombre de la asignatura
Materia: Indicar el nombre de la materia a la que pertenece la asignatura
Módulo: En el caso de que la titulación esté estructurada en Módulo/Materia/Asignatura, indicar el nombre del
módulo al que pertenece la asignatura.
Titulación: Nombre de la titulación a la que pertenece la asignatura.
Plan: Nº identificativo del plan
Nivel/ ciclo: Grado/ Posgrado (Master Universitario/ Doctorado)
Créditos ECTS: Nº de créditos ECTS
Lengua: Idioma en el que se imparte la asignatura.
Profesores: Profesor o profesores responsables de la asignatura
Datos de contacto: Requerido al menos el correo electrónico del profesor o profesores responsables de las
asignaturas.
Horario de tutorías: Enlace a la página web donde se encuentra el horario de tutorías.
Departamento: Departamento responsable de la asignatura.
Código: Código de la asignatura
Tipo/ Carácter: FB: Formación Básica / OB: Obligatoria / OP: Optativa / TF: Trabajo Fin de Grado o Master /
PE: prácticas Externas
Curso: Curso en el que se imparte la asignatura
Universidad de Valladolid2 de 12
Guía docente de la asignatura
1. Situación / Sentido de la Asignatura
1.1 Contextualización
Los problemas fundamentales a resolver en Topología o en Geometría son de existencia, caracterización (módulo
equivalencias) y de Cr- clasificación (a poder ser en un número finito de tipos no-equivalentes) de estructuras
superpuestas. Dependiendo del ``marco'' elegido se utilizan unas herramientas u otras. El marco se refiere al tipo o
clase de Cr- objetos y transformaciones equivalentes. Así, p.e., para r = 0 (caso continuo) el marco es el de la
Topología General con los homeomorfismos como C0 -equivalencias al que habitualmente nos restringiremos en
esta asignatura. Una aproximación lineal a esta categoría está dada por la PL-categoría (PL: Piecewise Linear ó
Lineal a Trozos) con “mallas generalizadas” como PL-objetos y aplicaciones lineales biyectivas como PL-morfismos.
En cierto modo, se puede decir que la Topología es una Geometría que se aborda desde un enfoque cualitativo.
Esta observación se traduce, por un lado, en tratar de reemplazar la rigidez de los objetos geométricos con
respecto a transformaciones lineales (subgrupos del grupos lineal general) por la capacidad de deformación real
con respecto a deformaciones (subgrupos del grupo de los homeomorfismos). En otras palabras, las
transformaciones lineales (asociadas a los diferentes grupos clásicos) se reemplazan por una colección de
(pseudo-)grupos de transformaciones que representan las diferentes estrategias para deformar Cr--objetos
dependiendo del significado de r. La Topología Algebraica añade a este enfoque la estrategia que consiste en
asociar objetos algebraicos (grupos, anillos, espacios vectoriales, etc) y sus invariantes (rango, dimensión, etc) para
facilitar la manipulación y comparación entre los objetos topológicos originales. En las subsecciones siguientes se
desarrolla esta idea intuitiva. En el caso más simple, la Topología Algebraica estudia objetos y morfismos usando
o Lazos y sus generalizaciones que dan lugar a las Teorías de Homotopía. Un lazo es un camino cerrado
simple que es topológicamente equivalente a la circunferencia; esta construcción se extiende al estudio de
imágenes de esferas k-dimensionales que representan la componente del borde de “células
básicas”(pares dados por un disco y su frontera) lo cual motiva el desarrollo de la Homotopía de orden
superior y el estudio de complejos celulares obtenidos pegado de células.
o PL-estructuras superpuestas a espacios topológicos X (como una extensión de las mallas triangulares que
dan lugar a las Teorías de (co)homología. Las piezas básicas son aplicaciones continuas definidas sobre
símplices k-dimensionales superpuestos a la variedad X; las funciones definidas sobre las piezas básicas
(símplices, células) permiten recuperar propiedades del soporte (enfoque cohomológico).
Desde un punto de vista metodológico, esta doble aproximación se puede considerar como el estudio de
funcionales definidos sobre entidades básicas (caminos o esferas, símplices, células) que tienen con llegada en X.
Para ello, utiliza inicialmente métodos combinatorios que se extienden a métodos algebraicos más generales
utilizando un formalismo asociados a complejos graduados. En esta asignatura se presentan las nociones básicas,
los métodos y resultados fundamentales de ambas estrategias (lazos y mallas) con algunas aplicaciones teóricas a
variedades y otras de carácter más práctico relacionadas con problemas cotidianos, tales como el reconocimiento
de caracteres, la planificación de caminos para vehículos autónomos, el modelado de objetos planares ó bien
volumétricos, el reconocimiento de formas a partir de la abstracción de las apariencias, el estudio cualitativo de las
deformaciones, etc. Otras aplicaciones más avanzadas conciernen a la Física Teórica (Gran Unificación) o el
modelado funcional de tareas complejas en Robótica avanzada, incluyendo algunos modelos básicos para el
Sistema Nervioso Central (CNS).
Universidad de Valladolid3 de 12
Guía docente de la asignatura
1.2 Relación con otras materias
Esta materia está relacionada con Topología General (conexión, compacidad, separación) y Funciones de Una
Variable Compleja (lazos en el plano para la homotopía más simple) que proporcionan fundamentos y algunas
motivaciones, respectivamente. Asimismo, proporciona soporte para todas las Geometrías de Variedades
(Diferenciables, Algebraicas, Analíticas). Por ello, algunos ejemplos básicos y aplicaciones proceden de dichas
Geometrías.
Otras materias que extienden el enfoque presentado conciernen a la fusión de la homotopía y la (co)homología en
relación con el estudio de complejos superpuestos a variedades o espacio topológicos y, sobre todo, la Topología
Geométrica. En este último caso, la caracterización y la clasificación de variedades topológicas de dimensiones tres
o cuatro, siguen presentando una gran cantidad de problemas abiertos que guardan relación no sólo con
cuestiones avanzadas de Física Teórica (topologías del espacio-tiempo, unificación de los diferentes tipos de
interacciones presentes en la Naturaleza), sino con cuestiones aparentemente más pedestres como el modelado de
objetos eventualmente deformables, la Visión Computacional y algunas de sus aplicaciones (a imágenes
biomédicas, p.e.), Robótica (en relación con localización, planificación y seguimiento simultáneo de varios objetos
móviles, p.e.), la Teoría Económica (más allá de las teorías neoclásicas del Equilibrio General y las Expectativas
Racionales), la Animación o el vídeo 3D. Algunos comentarios introductorios sobre estos aspectos se pueden
consultar en la página web del grupo MoBiVAP.
1.3 Prerrequisitos
La Topología Algebraica presupone conceptos básicos de Topología General, incluyendo las nociones básicas de
conexión por arcos, compacidad o separación. Asimismo, utiliza elementos de la Teoría de Grupos finito-
dimensionales relacionados con la generación y presentación de grupos; es aconsejable adquirir una familiaridad
con los morfismos de grupos incluyendo aspectos básicos de sucesiones exactas de grupos.
No es imprescindible tener conocimientos de Funciones Analíticas de una Variable Compleja (o de su versión
geométrica en términos de Superficies de Riemann), aunque dicho conocimiento facilita la comprensión de algunos
de los resultados fundamentales clásicos de Cauchy y de Riemann.
Universidad de Valladolid4 de 12
Guía docente de la asignatura
2. Competencias
2.1 Generales
Código DescripciónCG1 Conocimiento del método científico.CG2 Competencia para aplicar los conocimientos adquiridos.CG3 Capacidad crítica, de análisis y síntesis, y capacidad de interpretación.CG4 Competencias metodológicas.CG5 Capacidad para valorar la originalidad y creatividadCG6 Capacidades de comunicación.CG7 Capacidad de trabajo en equipo.CG9 Desarrollar el interés por la formación permanente.CG10 Capacidad de aprendizaje autónomo
2.2 Específicas
Código DescripciónCE1 Adquisición de destrezas técnicas generales en el ámbito de las disciplinas Matemáticas.CE2 Capacidad de comprensión de las bases teóricas y técnicas en las que se apoyan los
conceptos y métodos de las materias propias de las especialidades de las Matemáticas.CE4 Capacidad y destrezas para la gestión de las fuentes de documentación en Matemáticas.CE5 Capacidad de aplicar y adaptar los modelos teóricos y las técnicas específicas tanto a
problemas abiertos en su línea de especialización, como a problemas provenientes de
otros ámbitos ya sean científicos o técnicos.CE6 Capacidad de analizar problemas, detectando el posible uso de modelos matemáticos
para contribuir a su comprensión y resolución.CE7 Capacidad de defender trabajos de investigación avanzados en el ámbito de sus líneas
de especialización así como de mantener debates científicos sobre los mismos, ya sean
estos propios o adquiridos.CE9 Capacidad de comprender nuevos avances y perspectivas científicas en el ámbito de la
investigación en las líneas de su especialización.CE10 Capacidad de detectar líneas de trabajo e investigación emergentes en al ámbito de las
Matemáticas o de sus aplicaciones, identificando la relación, origen e influencia con el
estado de conocimiento propio de cada una de las especializaciones de las Matemáticas.CE11 Capacidad para modelar matemáticamente fenómenos de la realidad y describir, en el
ámbito de esos fenómenos, la relevancia de los resultados matemáticos.
Universidad de Valladolid5 de 12
Guía docente de la asignatura
3. Objetivos
o Mostrar la utilidad de herramientas de Topología General y Teoría de Grupos para resolver problemas
de caracterización y clasificación de variedades o, con más generalidad, espacios topológicos.
o Desarrollar metodologías específicas para aproximar objetos complejos mediante estructuras
superpuestas asociadas a caminos o mallas.
o Familiarizarse con estrategias combinatorias para la resolución de problemas algebraicos ó
topológicos.
o Entender las diferentes estrategias de pegado entre herramientas algebraicas (grupos, anillos,
módulos) que extienden las estrategias de pegado presentadas para Cr-variedades
o Comprender la naturaleza local o global de distintos problemas topológicos y su utilidad para abordar
problemas geométricos similares relativos a variedades.
o Comprender la formulación intrínseca para problemas de integración y diferenciación en términos
combinatorios en relación con problemas similares en Variedades.
o Obtener invariantes que permiten abordar el problema de la clasificación de variedades o, con más
generalidad, espacios topológicos.
Universidad de Valladolid6 de 12
Guía docente de la asignatura
o Visualizar algunas de las aplicaciones más relevantes relacionadas con las TIC (Robótica y Visión
Computacional)
4. Tabla de dedicación del estudiante a la asignatura
ACTIVIDADES PRESENCIALES HORAS ACTIVIDADES NO PRESENCIALES HORAS
Clases teórico-prácticas (T/M) 40Estudio y trabajo autónomo
individual60
Clases prácticas de aula (A) 10Estudio y trabajo autónomo
grupal30
Seminarios (S) 6
Exposiciones orales y evaluación
(fuera del periodo oficial de exámenes)4
Total presencial 60 Total no presencial 90
Universidad de Valladolid7 de 12
Guía docente de la asignatura
De acuerdo con la tabla precedente, las actividades presenciales ocupan un total de 2.4 ETCS, mientras que las
no-presenciales (a realizar por cada alumno de forma individual o en grupo) ocupan los 3.6 ETCS restantes.
5. Bloques temáticos1
Bloque 1: Métodos de homotopíaCarga de trabajo en créditos ECTS: 1.5
a. Contextualización y justificación
Los métodos de homotopía surgen a finales del s.XVIII en relación con problemas de planificación de recorridos
(puentes de Koenigsberg por Euler). Posteriormente, se aplican a la resolución de problemas de integración de
ciclos sobre los modelos reales de curvas algebraicas (Abel, Cauchy, Riemann). La necesidad de integración sobre
superficies de Riemann arbitrarias lleva a resolver el problema de clasificación de superficies orientables o no
(finalizado por Poincaré).
Estas estrategias se aplican a problemas relacionados con planificación de movimientos para vehículos autónomos
(Robótica), Reconocimiento automático de caracteres (Sistemas Expertos en Informática), Análisis de Imágenes
Biomédicas (Visión Computacional) ó Modelado de mecanismos de activación-inhibición. Para otras aplicaciones
más avanzadas a Física Teórica ver mis apuntes del módulo 7 (Física-Matemática).
b. Objetivos de aprendizaje
o Adaptar la Topología General y la Teoría de Grupos al estudio topológico de Variedades.
o Familiarizarse con metodologías de pegado (Teorema de Van Kampen) y de cálculo de invariantes de
los objetos básicos (inicialmente grupos) asociados a los espacios topológicos.
o Entender los resultados fundamentales asociados a la clasificación de superficies (Poincaré).
c. Contenidos
Tras presentar algunas motivaciones iniciales ya mencionadas, este módulo contiene los apartados siguientes:
1. Espacios de caminos. Algunas motivaciones clásicas. Planificación de trayectorias.
2. Espacios punteados. Visibilidad relativa desde una localización. Representaciones esqueletales
3. Grupos de Homotopía. Lazos. Grupos de Homotopía absolutos y relativos. Ejemplos básicos. Sucesión
exacta de un par. Grupos fundamentales de poliedros.
4. Espacios recubridores. Conceptos básicos. Elevación de caminos.
5. Pegado de datos. El Teorema de Van Kampen. Algunas consecuencias básicas.
6. Clasificación topológica de superficies. El caso orientable. El caso no-orientable.
7. Grupos de homotopía de orden superior. El caso de esferas. Cálculos explícitos
1Añada tantas páginas como bloques temáticos considere realizar.
Universidad de Valladolid8 de 12
Guía docente de la asignatura
d. Métodos docentes
Exposiciones por parte del profesor, presentaciones, respuesta a cuestionarios vinculados a presentaciones,
lecturas y resolución de ejercicios por parte del alumno con resoluciónde dudas.
e. Evaluación
El 10% de la nota corresponde a respuestas a cuestionario on-line, 30% correspondiente al examen al final del
bloque 2, 40% elaboración de Memoria sobre un tema seleccionado de común acuerdo con el profesor y 20%
presentación y defensa del trabajo realizado.
g. Bibliografía básica
La referencia actual más completa de Topología Algebraica es el libro de A.Hatcher que se encuentra disponible en
la web (https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf )
Algunas referencias clásicas próximas a un enfoque más geométrico son (por orden alfabético):
[Bre93] G.E. Bredon: Topology and Geometry. Springer-Verlag. 1993.
[Mas67] W. Massey: Algebraic Topology: An Introduction, Harcourt, Brace and World, New York, 1967 (trad. esp.
edEd.Reverté, 1972).
[Mas91] W.S. Massey: A basiccourse in AlgebraicTopology. Springer-Verlag. 1991.
h. Bibliografía complementaria
Un manual de interés por su carácter sintético y que se utilizan en otros módulos de Topología más avanzados son:
[Gre81] M.J. Greenberg and J. R. Harper: Algebraictopology, a firstcourse. Benjamin/ Cummings, 1981.
Dos textos que cubren tópicos más avanzados sobre Homotopía que los considerados aquí son:
[Swi75] R.M. Switzer: Algebraictopology. Homotopy and homology. Springer-Verlag. 1975.
[Whi78] G.W. Whitehead: Elements of homotopy theory. Springer-Verlag. 1978.
Universidad de Valladolid9 de 12
Guía docente de la asignatura
Se facilitará el acceso a apuntes de la asignatura en pdf a través de la aplicación Moodle. Para descargar
materiales relacionados es necesario responder correctamente al 80% de las cuestiones planteadas en un
cuestionario (tipo test) que estará disponible en la aplicación informática. El cuestionario es relativo a una
presentación sintética de los materiales de cada capítulo. La selección de las cuestiones es aleatoria cada vez que
se entra a la aplicación, así como el orden de las posibles respuestas. Hay un tiempo limitado para la resolución del
cuestionario. Caso de no responderse de forma adecuada, se pueden realizar otros dos intentos; en este caso, se
recomienda leer atentamente la presentación sintética antes de responder nuevamente al cuestionario.
Bloque 2: Complejos simpliciales y(co)homologíaCarga de trabajo en créditos ECTS: 1.5
a. Contextualización y justificación
La estrategia que se adopta en este bloque presenta un carácter complementario a la expuesta en el módulo
anterior: en lugar de analizar caminos (información 1-dimensional en objetos físicos, variedades o espacios de
funciones, p.e.), se superponen estructuras adicionales con una descripción combinatoria para identificar
características ó, de una forma más precisa, invariantes que permitan distinguir unos objetos de otros, entre los que
cabe destacar los números de Betti y la característica de Euler-Poincaré. Se muestran técnicas de tipo combinatorio
para calcularlos; en el módulo siguiente se muestran métodos más eficientes y rápidos para calcular estos
invariantes cuando se dispone de una estructura diferencial.
El caso más intuitivo de estructuras superpuestas corresponde a mallas triangulares sobre objetos de dimensiones
2 o 3 que deben verificar condiciones de incidencia entre elementos que faciliten operaciones de
pegado/descomposición ó refinamiento/agrupamiento, para construir otros objetos a partir de los dados y facilitar la
discriminación entre unos objetos y otros. Los invariantes se describen en términos de la combinatoria de la
estructura superpuesta al espacio ó la variedad X, lo cual da lugar a diferentes Teorías de Homologíaó dualmente,
en términos de la combinatoria de funciones ó funcionales definidos sobre (intersecciones de) abiertos/cerrados
que recubren el objeto X, lo cual da lugar a diferentes Teorías de Cohomología.
b. Objetivos de aprendizaje
o Familiarizarse con las técnicas de tipo combinatorio asociadas a estructuras superpuestas a
variedades u objetos topológicos más generales.
o Aprender a calcular invariantes en términos de grupos asociados a estructuras de tipo combinatorio.
o Comprender la diferencia entre propiedades locales y globales usando PL-estructuras y técnicas de
pegado de estructuras algebraicas (grupos, módulos sobre anillos, espacios vectoriales) que
extienden las utilizadas para variedades.
o Aplicar el cálculo de invariantes para problemas de clasificación.
o Evaluar las diferencias entre las diferentes aproximaciones (lineal a trozos y singular)
c. Contenidos
1. Homología simplicial. Grupos de Homología simplicial. Algunos cálculos explícitos
2. Homología singular. Escisión. Homología Relativa. Cálculo para esferas
Universidad de Valladolid10 de 12
Guía docente de la asignatura
3. Pegando datos: Sucesiones de Mayer-Vietoris. Una aproximación práctica al pegado de datos.
4. Grado de una aplicación. Nociones básicas. Cálculo para esferas. Clasificación homotópica de
aplicaciones sobre esferas.
5. Cohomología: Cohomología singular. Productos. Elementos de dualidad. Dualidad de Poincaré.
Productos. Emparejamiento de intersección.
6. Orientabilidad: Orientabilidad Local. Orientabilidad global. Localización
d. Métodos docentes
Exposiciones por parte del profesor, presentaciones, respuesta a cuestionarios vinculados a presentaciones,
lecturas y resolución de ejercicios por parte del alumno con resoluciónde dudas.
e. Evaluación
10% respuestas a cuestionario on-line, 30% correspondiente al examen al final del bloque 2, 40% elaboración de
Memoria sobre un tema seleccionado de común acuerdo con el profesor y 20% presentación y defensa del trabajo
realizado.
g. Bibliografía básica
La referencia actual más completa de Topología Algebraica es el libro de A.Hatcher que se encuentra disponible en
la web (https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf )
Las referencias citadas en el apartado similar correspondientes al bloque I son asimismo de utilidad
h. Bibliografía complementaria
Además de los ya citados en las referencias del módulo 1, los manuales siguientes tienen interés adicional para
este módulo con una presentación más próxima al enfoque formal de los años 60 y 70 del sigo XX:
[Dol95] A. Dold: LecturesonAlgebraicTopology, (reprint of the 1972 edition). Springer-Verlag. 1995.
[DFN3] B.A.Dubrovin , A.T.Fomenko y S.P.Novikov: Modern Geometry (Vol.3), GTM, Springer-Verlag (trad. esp. en
Ed. Mir, Moscú, 1987).
[Hil60] P.J. Hilton and S. Wylie: Homologytheory. Cambridge UniversityPress. 1960
[Mun84] J.R. Munkres: Elements of algebraictopology. Addison Wesley. 1984.
[Rot86] J.J. Rotman: Anintroduction to AlgebraicTopology, GTM 119, Springer-Verlag. 1986.
[Spa66] E. Spanier: AlgebraicTopology. McGraw-Hill. 1966.
Universidad de Valladolid11 de 12
Guía docente de la asignatura
7. Tabla resumen de los instrumentos, procedimientos y sistemas de evaluación/calificación
INSTRUMENTO/PROCEDIMIENTO PESO EN LA
NOTA FINAL
OBSERVACIONES
Respuestas a cuestionario on-line
10%
Se deberá responder a un cuestionario tipo
test a partir de presentaciones disponibles en
la web. La respuesta satisfactoria dará acceso
a una versión formal de los apuntes
Examen al final de cada bloque 30%Cuestiones con respuestas a desarrollar
relacionadas con el contenido del bloque.
Realización de la Memoria 40%Se suministrarán materiales relacionados con
el tópico elegido por cada alumno matriculado
Presentación y defensa de la Memoria 20% La defensa será siempre individual
8. Consideraciones finales
En el caso de segunda convocatoria habrá una única prueba escrita (40%) correspondiente a los dos bloques con
una exposición y defensa del trabajo asignado de común acuerdo con el profesor de la asignatura (60%).
Universidad de Valladolid12 de 12
