A.S.E.3.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 3 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12,

A.S.E.A.S.E. 3.3.11

ARCHITETTURA DEI SISTEMI ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICIELETTRONICI

LEZIONE N° 3LEZIONE N° 3

• Sistema numericoSistema numerico• Base 2, 3, 4, 5, 8, Base 2, 3, 4, 5, 8, 1010, 12, 16, 12, 16• Conversione da base “N” a base 10 Conversione da base “N” a base 10 • Conversione da base 10 a base “N” Conversione da base 10 a base “N” • Aritmetica binariaAritmetica binaria• Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno

A.S.E.A.S.E. 3.3.22

Sistema NumericoSistema Numerico• BaseBase

• Numero di simboli diversi di un sistema numericoNumero di simboli diversi di un sistema numerico

• Digit (Cifra)Digit (Cifra)• ciascun simbolo = DIGIT denota una quantitàciascun simbolo = DIGIT denota una quantità

BasBasee

SistemaSistema DigitDigit

22 binariobinario 0, 10, 1

33 ternarioternario 0, 1, 20, 1, 2

44 quaternariquaternarioo

0, 1, 2, 30, 1, 2, 3

55 quinarioquinario 0, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4

88 ottaleottale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

1010 decimaledecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1212 duodecimaduodecimalele

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B

1616 esadecimalesadecimalee

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, FD, E, F

A.S.E.A.S.E. 3.3.33

Notazione PosizionaleNotazione Posizionale

N d d d d dn n 1 2 2 1 0

• Per rappresentare una quantità maggiore di Per rappresentare una quantità maggiore di quella associata a ciascun digitquella associata a ciascun digit si usano più si usano più digit per formare un numerodigit per formare un numero

• La posizione relativa di ciascun digit all’interno La posizione relativa di ciascun digit all’interno del numero è associata ad un pesodel numero è associata ad un peso

• N = 587 = 5x10N = 587 = 5x1022 + 8x10 + 8x1011 + 7x10 + 7x1000

• Notazione posizionaleNotazione posizionale

• Rappresenta il polinomioRappresenta il polinomio

N d b d b d b d bnn

nn

1

12

21

10

0

A.S.E.A.S.E. 3.3.44

Rappresentazione completaRappresentazione completa

• Se si usano basi diverse, lo stesso Se si usano basi diverse, lo stesso numero rappresenta quantità diverse in numero rappresenta quantità diverse in funzione della base usatafunzione della base usata

• Si deve quindi indicare la base utilizzataSi deve quindi indicare la base utilizzata

• EsempiEsempi

10287287

2416810 1001011 ,23,AD45,345,287

1012 287287

A.S.E.A.S.E. 3.3.55

DecimaleDecimale BinarioBinario OttaleOttale EsadecimaleEsadecimale

00 00 00 00

11 11 11 11

22 1010 22 22

33 1111 33 33

44 100100 44 44

55 101101 55 55

66 110110 66 66

77 111111 77 77

88 10001000 1010 88

99 10011001 1111 99

1010 10101010 1212 AA

1111 10111011 1313 BB

1212 11001100 1414 CC

1313 11011101 1515 DD

1414 11101110 1616 EE

1515 11111111 1717 FF

TabellaTabella

A.S.E.A.S.E. 3.3.66

Conversione in base 10Conversione in base 10• Direttamente dalla rappresentazione Direttamente dalla rappresentazione

posizionaleposizionale

• ESEMPIO 1ESEMPIO 1– Convertire il numero 1101 in base 2 Convertire il numero 1101 in base 2

nell’equivalente in base 10nell’equivalente in base 10

– Convertire il numero D3F in base 16 Convertire il numero D3F in base 16 nell’equivalente in base 10nell’equivalente in base 10

N d b d b d b d

x x x x

nn

nn

mm

mm

11

22

1 0

11

11

1 010 10 10

1101 1 2 1 2 0 2 1 2

8 4 0 1 132

3 2 1 0

D3F = D 16 + 3 16 + F

= 13

2 1

16

256 3 16 15 3391

0

A.S.E.A.S.E. 3.3.77

Divisione tra InteriDivisione tra Interi

• La divisione tra interi e’ definita nel modo La divisione tra interi e’ definita nel modo seguente:seguente:dati due numeri dati due numeri mm e e nn , l’operazione m div n , l’operazione m div n produce due numeri produce due numeri pp e e q q tali che tali che

mm = = npnp++qq, 0, 0qq((nn-1)-1)• Dati due numeri Dati due numeri m m e e nn, si definisce, si definisce

||mm||nn==q (leggesi “m modulo n”)q (leggesi “m modulo n”)• Teorema: |Teorema: |mm||nn= |= |mm++knkn||nn

• Prova: dalla definizione,Prova: dalla definizione, m m++kn = np'+q', p' kn = np'+q', p' ee q' q' ottenuti tramite divisioneottenuti tramite divisione, , mama p'=[(m+kn)/n]=[k+m/n]=k+[m/n]=k+p, p'=[(m+kn)/n]=[k+m/n]=k+[m/n]=k+p, ([x] = ([x] = parte intera di parte intera di x) x) quindiquindiq' = (m+kn)-np' = m+kn-n(k+p) = m-np = q, CVDq' = (m+kn)-np' = m+kn-n(k+p) = m-np = q, CVD

A.S.E.A.S.E. 3.3.88

Rappresentazioni FiniteRappresentazioni Finite

• Nei computer, il numero di cifre a Nei computer, il numero di cifre a disposizione per la rappresentazione dei disposizione per la rappresentazione dei numeri e’ finitanumeri e’ finita

• Esempio: con 3 cifre in base 10 possiamo Esempio: con 3 cifre in base 10 possiamo rappresentare solo i numeri da 0 a 999 rappresentare solo i numeri da 0 a 999 (=10(=1033-1)-1)– Cio’ significa che in questo caso i numeriCio’ significa che in questo caso i numeri

763 763 11763763 19481948763763

sarebbero tutti uguali e pari a 763, ovverosarebbero tutti uguali e pari a 763, ovvero

|763||763|10001000 = |1763| = |1763|10001000 = |1948763 | = |1948763 |10001000

• In generale, lavorare con n cifre in base b In generale, lavorare con n cifre in base b significa operare significa operare modulo modulo bbnn

A.S.E.A.S.E. 3.3.99

01

0

01

31

211

00

11

22

11

di resto

dbNN

db

N

bdbdbdb

NN

bdbdbdbdN

nn

nn

nn

nn

Conversione da base 10 a base Conversione da base 10 a base “n” “n”

• Tecnica delle divisioni successiveTecnica delle divisioni successive

– Perché dividendo un numero per la sua base, il resto è Perché dividendo un numero per la sua base, il resto è l’ultimo digitl’ultimo digit

A.S.E.A.S.E. 3.3.1010

Esempio 1Esempio 1

• Convertire il numero 52 in base 10 Convertire il numero 52 in base 10 nell’equivalente in base 2nell’equivalente in base 2

• QuindiQuindi

52 11010010 2

5252 22

00 2626 22

00 1313 22

11 6 6 2 2

00 3 3 2 2

11 1 1

A.S.E.A.S.E. 3.3.1111

Esempio 2Esempio 2


• QuindiQuindi

5850610 16E48A

5850585066

1616

1010 36563656 1616

(A)(A) 88 228228 1616

(8)(8) 4 4 14 14

(4) (4) (E)(E)

A.S.E.A.S.E. 3.3.1212

Esempio 3Esempio 3


• QuindiQuindi

810 62212158506

5850585066

88

22 73137313 88

11 914914 88

22 114 114 88

22 1414 88

66 11

A.S.E.A.S.E. 3.3.1313

Numeri frazionari 1Numeri frazionari 1

• Conversione da base “Conversione da base “bb” a base 10” a base 10• Non presenta problemiNon presenta problemi

• EsempioEsempio• Convertire il numero binario 1101.101Convertire il numero binario 1101.101

mm

nn bdbdbdbdN

11

00

11 .

625.13125.05.0148

125.0125.005.01.11204181

212021.21202121101.1101 3210123

A.S.E.A.S.E. 3.3.1414

Numeri frazionari 2Numeri frazionari 2

• Conversione da base 10 a base “Conversione da base 10 a base “bb” ” • La parte intera procedimento prima vistoLa parte intera procedimento prima visto• Per la parte frazionaria in base Per la parte frazionaria in base b si hab si ha

• Moltiplicando per la base si haMoltiplicando per la base si ha

• La conversione può non avere fine, si arresta una La conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desideratavolta raggiunta la precisione desiderata

mmF bdbdbdN

22

11

''2

2132

'

'1

1121

Fm

mF

Fm

mF

NdbdbddNb

NdbdbddNb

A.S.E.A.S.E. 3.3.1515

EsempioEsempio

• Conversione da base 10 a base 16Conversione da base 10 a base 16

16

4

3

2

1

10

7.0

F616.15976.016E976.14936.0167936.7496.016D496.138435.016

8435.0

EFDN

dddd

N

F

F

A.S.E.A.S.E. 3.3.1616

ERROREERRORE

• Avendo arrestato la conversione al Avendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un certo quarto passaggio si commette un certo erroreerrore

• L’entità dell’errore si può valutare L’entità dell’errore si può valutare convertendo il risultato in base dieciconvertendo il risultato in base dieci

0000093994.08434906006.08435.0

8434906006.0161616716

7.0

8435.0

101

432110

1

16161

FF

F

F

F

NN

FEDN

EFDN

N

A.S.E.A.S.E. 3.3.1717

Binario => OttaleBinario => Ottale• Dato un numero binario Dato un numero binario

• FattorizzandoFattorizzando

33

22

11

00

11

22

33

44

55

66

77

88

321012345678

222

222222222

.

ddd

ddddddddd

ddddddddddddN

10

31

22

100

01

12

2

103

14

25

206

17

28

303

12

21

000

11

22

303

14

25

606

17

28

82228222

82228222

22222222

22222222

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

A.S.E.A.S.E. 3.3.1818

MetodoMetodo

• Basta raggruppare i digit del numero binario Basta raggruppare i digit del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel corrispondente digit ottalecorrispondente digit ottale

• EsempioEsempio

• NotaNota Sono stati aggiunti degli zeri in testa e in Sono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di tremultipli di tre

153267.472

010111100.111110010011101001

10011101.1101111101011010

A.S.E.A.S.E. 3.3.1919

Binario => EsadecimaleBinario => Esadecimale

• Stesso procedimento del caso precedente, però Stesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattroora si raggruppano i bit quattro a quattro

• EsempioEsempio

• Per le conversioni ottale => binario e Per le conversioni ottale => binario e esadecimale => binario si opera in modo simile esadecimale => binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binarionumero binario

D6B7.9D

11011001.0111101101101101

10011101.1101111101011010

A.S.E.A.S.E. 3.3.2020

Ottale => EsadecimaleOttale => Esadecimale(Esadecimale => Ottale)(Esadecimale => Ottale)

• Conversione intermedia in binario Conversione intermedia in binario • EsempioEsempio

– Ottale => EsadecimaleOttale => Esadecimale

– Esadecimale => OttaleEsadecimale => Ottale

16

8

F53001101011111

0110101011117523

8

16

174741100111100111001001

11000011111110019F3C

A.S.E.A.S.E. 3.3.2121

Aritmetica binaria 1Aritmetica binaria 1

• Somma di due bitSomma di due bit• x + yx + y• s = Sommas = Somma• c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO)

• EsempioEsempio

xx yy ss cc

00 00 00 00

00 11 11 00

11 00 11 00

11 11 00 11

11 11 11 11

11 00 11 11 00 00 11

11 11 11 00 11 00 11

11 11 00 00 11 11 11 00

carry

89 + 117 = 206

A.S.E.A.S.E. 3.3.2222

Aritmetica binaria 1Aritmetica binaria 1bisbis

• Somma di due bitSomma di due bit• x + y + cx + y + cinin {s, c {s, coutout}}

• s = Sommas = Somma• c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO)

xx yy ccinin ss ccoutout

00 00 00 00 00

00 11 00 11 00

11 00 00 11 00

11 11 00 00 11

00 00 11 11 00

00 11 11 00 11

11 00 11 00 11

11 11 11 11 11+x

y

cin

cout

s

A.S.E.A.S.E. 3.3.2323


• Sottrazione di due bitSottrazione di due bit• x -yx -y• d = Differenzad = Differenza• b = Borrow (Prestito)b = Borrow (Prestito)

• EsempioEsempio

xx yy dd bb

00 00 00 00

00 11 11 11

11 00 11 00

11 11 00 00

11 11 11 11

11 11 00 00 11 11 11 00

11 11 11 00 11 00 11

11 00 11 11 00 00 11

borrow

206 - 117 = 89

xx yy ss cc

00 00 00 00

00 11 11 00

11 00 11 00

11 11 00 11

A.S.E.A.S.E. 3.3.2424

Aritmetica binaria 2Aritmetica binaria 2bisbis

• Sottrazione di due bitSottrazione di due bit• x - y - bx - y - binin {d, b {d, boutout}}

• d = Differenzad = Differenza• b = Borrow (Prestito)b = Borrow (Prestito)

xx yy bbinin dd bboutout

00 00 00 00 00

00 11 00 11 11

11 00 00 11 00

11 11 00 00 00

00 00 11 11 11

00 11 11 00 11

11 00 11 00 00

11 11 11 11 11-x

y

bin

bout

d

A.S.E.A.S.E. 3.3.2525


• Prodotto di due bitProdotto di due bit• a x ba x b• p = Prodottop = Prodotto

• EsempioEsempio

aa bb pp

00 00 00

00 11 00

11 00 00

11 11 1111 11 00 11

11 00 11

11 11 00 11

00 00 00 00

11 11 00 11

11 00 00 00 00 00 11

13 x 5 = 65

A.S.E.A.S.E. 3.3.2626

Numeri binari con segnoNumeri binari con segno

• Il numero massimo di bit usato da un Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso calcolatore è noto e fisso

• Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)(Word)• 8 bit formano un Byte 8 bit formano un Byte

• Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno• Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica

• Modulo e segnoModulo e segno• Complemento a 1Complemento a 1• Complemento a 2Complemento a 2• In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

• In pratica, il bit più significativo indica il segnoIn pratica, il bit più significativo indica il segno• 0 = +0 = +• 1 = -1 = -

A.S.E.A.S.E. 3.3.2727

Varie rappresentazioni su 4 bitVarie rappresentazioni su 4 bit Base 10Base 10 Mod e segMod e seg comp a comp a

11comp a comp a

22trasl.trasl.

77 0.1110.111 0.1110.111 0.1110.111 1.1111.11166 0.1100.110 0.1100.110 0.1100.110 1.1101.11055 0.1010.101 0.1010.101 0.1010.101 1.1011.10144 0.1000.100 0.1000.100 0.1000.100 1.1001.10033 0.0110.011 0.0110.011 0.0110.011 1.0111.01122 0.0100.010 0.0100.010 0.0100.010 1.0101.01011 0.0010.001 0.0010.001 0.0010.001 1.0011.00100 0.0000.000 0.0000.000 0.0000.000 1.0001.00000 1.0001.000 1.1111.111 0.0000.000 1.0001.000-1-1 1.0011.001 1.1101.110 1.1111.111 0.1110.111-2-2 1.0101.010 1.1011.101 1.1101.110 0.1100.110-3-3 1.0111.011 1.1001.100 1.1011.101 0.1010.101-4-4 1.1001.100 1.0111.011 1.1001.100 0.1000.100-5-5 1.1011.101 1.0101.010 1.0111.011 0.0110.011-6-6 1.1101.110 1.0011.001 1.0101.010 0.0100.010-7-7 1.1111.111 1.0001.000 1.0011.001 0.0010.001-8-8 -- -- 1.0001.000 0.0000.000

A.S.E.A.S.E. 3.3.2828

Modulo e segnoModulo e segno

• Se si dispone di “n” bitSe si dispone di “n” bit

• Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è

• Il range dei numeri risultaIl range dei numeri risulta

• Esempio n = 4Esempio n = 4

021 dddw nn

00

33

2210 2221 1 dddw n

nn

ndn

1221 110

1 nn w

5510101 0 6611110 1

A.S.E.A.S.E. 3.3.2929

Complemento a 1Complemento a 1



• Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta


021 dddw nn

00

33

221

110 22221 ddddw n

nn

nnn

1221 110

1 nn w

550810101 161811110

A.S.E.A.S.E. 3.3.3030






021 dddw nn

00

33

221

110 2222 ddddw n

nn

nnn

122 110

1 nn w

55080101 26181110

A.S.E.A.S.E. 3.3.3131

TraslazioneTraslazione





021 dddw nn

100

22

1110 2222

nnn

nn dddw

122 110

1 nn w

3850101 68141110

A.S.E.A.S.E. 3.3.3232

Trasformazione da numeri positivi a Trasformazione da numeri positivi a numeri negativi e viceversanumeri negativi e viceversa

• Per la rappresentazione in modulo e segnoPer la rappresentazione in modulo e segno• Basta cambiare il bit di segno Basta cambiare il bit di segno

• Per la rappresentazione in complemento a 1Per la rappresentazione in complemento a 1• Si complementano tutti bitSi complementano tutti bit

• Per la rappresentazione in complemento a 2Per la rappresentazione in complemento a 2• Si complementano tutti bit e si somma 1Si complementano tutti bit e si somma 1

• Per la rappresentazione in tralazionePer la rappresentazione in tralazione• Si somma sempre 2Si somma sempre 2n-1n-1

110105001015 NN

110105001015 NN

110111110105001015 NN

010115165101015165 NN

A.S.E.A.S.E. 3.3.3333

Interi AssolutiInteri Assoluti

• Base 2Base 2• Dinamica Dinamica • dati “N” bitdati “N” bit

• Esempio N = 8Esempio N = 8Base 10Base 10 Base 2Base 2

0 0 0000000000000000

1616 0001000000010000

9595 0101111101011111

255255 1111111111111111

A.S.E.A.S.E. 3.3.3434

Somma di Interi AssolutiSomma di Interi Assoluti• N = 8N = 8

Base 10Base 10 Base 2Base 2

43+43+

25=25=

68 . 68 .

0111011001110110

0010101100101011

0001100100011001

0100010001000100

139+139+

141=141=

280. 280.

110001111000111100

1000101110001011

1000110110001101

110001100000110000

Il carry N+1 indica l’overflow

La somma di due numeri di N bit è rappresentabile sempre su N + 1 bit

24

A.S.E.A.S.E. 3.3.3535

Sottrazione di Interi AssolutiSottrazione di Interi Assoluti• N = 8N = 8


143-143-

86=86=

57 . 57 .

1111000011110000

1000111110001111

0101011001010110

0011100100111001

95-95-

141=141=

-46. -46.

110000000000000000

0101111101011111

1000110110001101

111101001110100100

Il borrow N+1 indica l’errore

210

A.S.E.A.S.E. 3.3.3636

Prodotto di Interi AssolutiProdotto di Interi Assoluti

• N = 5N = 5 Base 10Base 10 Base 2Base 2

19 x19 x23 =23 =57 . 57 . 380 .380 .

437 . 437 .

100111001110111101111001110011

10011010011010011001001100

0000000000000000100110000100110000011011010011011010

11

Il prodotto di due numeri su N bit è rappresentabile su 2N bit

A.S.E.A.S.E. 3.3.3737

Interi RelativiInteri Relativi

• Complemento a 2Complemento a 2• Dinamica Dinamica • dati “N” bitdati “N” bit

• Esempio N = 8 (+128 > W > -129)Esempio N = 8 (+128 > W > -129)

Base 10Base 10 Base 2 C-Base 2 C-22

87 87 256+87=34256+87=3433

0101011010101111

-123-123 256-256-123=133123=133

1000010100001011

A.S.E.A.S.E. 3.3.3838


• Primo metodoPrimo metodo• Applicare la definizioneApplicare la definizione

• Secondo metodoSecondo metodo• complemento bit a bit più 1complemento bit a bit più 1

A.S.E.A.S.E. 3.3.3939

Somma di Interi Relativi (C-2)Somma di Interi Relativi (C-2)• Se non c’è overflow la somma è sempre Se non c’è overflow la somma è sempre

correttacorretta– W’ rappresentazione di W in C-2W’ rappresentazione di W in C-2– Z’ rappresentazione di Z in C-2Z’ rappresentazione di Z in C-2


43+43+

25=25=

68 . 68 .

0111011001110110

0010101100101011

0001100100011001

0100010001000100


43+43+

-25=-25=

18 . 18 .

111101111110111100

0010101100101011

1110011111100111

0001001000010010

A.S.E.A.S.E. 3.3.4040

Sottrazione di Interi Relativi (C-Sottrazione di Interi Relativi (C-2)2)

• Coincide con la sommaCoincide con la somma

A.S.E.A.S.E. 3.3.4141

Prodotto di Interi Relativi (C-2)Prodotto di Interi Relativi (C-2)

• N = 5N = 5 Base 10Base 10 Base 2 (C-Base 2 (C-2)2)

14 x14 x-13 =-13 =

42 .42 .14 .14 .

-182 . -182 .

011100111010011100110111001110

01110001110000000000000000

0000000000000000011100000011100000010000101010000101

00

Il prodotto di due numeri in C-2 non torna per i numeri negativi

A.S.E.A.S.E. 3.3.4242

Prodotto di Interi Relativi (C-2)Prodotto di Interi Relativi (C-2)

• N=5 Estensione a 10N=5 Estensione a 10 Base 10Base 10 Base 2 (C-Base 2 (C-2)2)

-13 x-13 x14 =14 =42 .42 .

14 .14 .-182 . -182 .

11111100111111100111

00000011100000011100

00000000000000000000

11111001111111001100

11110011011110011000

11100110011100110000

00000000000000000000

11010010111010010100

Il prodotto di due numeri in C-2 torna se si estende larappresentazione a 2N bit

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A.S.E.3.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 3 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12,