Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
arX
iv:c
s.C
C/0
2120
02 v
2 2
0 Ja
n 20
03������ � ��� � ��� � �� � ����� � �� � ����� �� ����
� � ����������(1,3) ! � ! "#��$
(2) % � &�''(���(3)
1 )*+,-*.+/0*.1 2 34 001 5 0- 678.*3,7 2+97/,: ;2)226< =8/. > ,/-9+ ?= @A BCC D-/,:+,= )+.1E
2F.G0-.+0/-, 7, H4E:/I9 , D4 J0-/I9 , ,+ K 07L1,: 2+.+/:+/I9 ,:=MNO 2 .*7 P*/8,-:/+J H .-/: 297=> Q+R BCC= ?BA CS T-:.E UVWVX = Y-.*3,
1 D4 , 6 G79: 2.1.Z )*+,-*.+/0*.1 M,*+-, 5 0- D4 ,0-,+/3.1 H4E:/3: ;) M DH< =2+- R M0:+/,-. BB= @A BCC D-/,:+,= )+.1E
[\ ]^_` a bc^d e]fg]hi bccjkl_ m^g`i ^d_ m]^nmo]pnqn^i rs h]f`rt qi u_f_h]^_` srhtgq]m srht _` pi
M vq]gm_m rs _w]v^qiKqn^_h]qm rx_h
N yrrq_]f x]hn]p q_m z {rh ] unx_f x]qg_ rsN
^d_ |hrpq_t nm }fr~ f ^r p_ t rm^ `n� vgq^~ n^d
α = M/N vqrm_ ^r ^d_ _w|_hnt _f^]q ^dh_mdrq`αc
m_|]h]^nfu ^d_ h_unrf ~ d_h_ ]qt rm^ ]qqsrhtgq]m ]h_ ��� shrt ^d_ h_unrf ~ d_h_ ]qq srhtgq]m ]h_ �� ��� z �_v_f^ h_mgq^m shrt ] m^]^nm^nv]q|dimnvm ]f]qi mnm mguu_m^ ^d]^ ^d_ `n� vgq^i nm h_q]^_` ^r ^d_ _w nm^_fv_ rs ] vqgm^_hnfu |d_frt _frfrs ^d_ mrqg^nrfm ~ d_f
αnm vqrm_ ^r [pg^ mt ]qq_h ^d]f k
αc
z l_ nf^hr`gv_ ] f_~ ^i|_ rs t _mm]u_|]mmnfu ]qurhn^dt ~ dnvd ]qqr~ m ^r of` _� vn_f^qi ] m]^nmo]pq_ ]mmnuft _f^ rs ^d_ x]hn]p q_m nf ^d_`n� vgq^ h_unrf z �dnm ]qurhn^dt nm n^_h]^nx_ ]f` vrt |rm_` rs ^~r t ]nf |]h^m z �d_ ohm^ nm ] t _mm]u_�|]mmnfu |hrv_`gh_ ~ dnvd u_f_h]qn�_m ^d_ gmg]q t _^dr`m qn}_ �gt ��hr`gv^ rh y_qn_s �hr|]u]^nrf a n^|]mm_m t _mm]u_m ^d]^ ]h_ mghx_im rx_h vqgm^_hm rs ^d_ rh`nf]hi t _mm]u_m z �d_ m_vrf` |]h^ gm_m ^d_`_^]nq_` |hrp]pnqnm^nv nfsrht ]^nrf rp^]nf_` shrt ^d_ mghx_im nf rh`_h ^r ow x]hn]p q_m ]f` mnt |qnsi^d_ |hrpq_t z �x_f^g]qqi� ^d_ mnt |qno_` |hrpq_t ^d]^ h_t ]nfm nm mrqx_` pi ] vrfx_f^nrf]q d_ghnm^nv z
� � �� � � �� � �� ���������������� ���� ��� � ��'( �� ������ ������� ��� ���� ���� � �� �� �����'��� �� �� �(� ����� '��� ��� � ��� ������'��
��� ������������ ���� ���� �� ����� (�������' �������(� � � ¡��� $��� ���� �(� ���� ¢£ ����� (�� �(�� � �(�� �(� (��$������'�� � ���$�� ¤¥¦�§ ��� '��'�������$ �� � ������ ���$ ���� �(� '����'�� ����� � �(� ���� �� � '����������� �� �������� �� � (�'( �(� ������� � �'�� �� �������� ���� ¨¢ © ª « ¬ �
! ��� ��'����� �� (�� � ��� � ������� �� ���'( ��� � ��$������$��� � � (�� (��� ��� �� �(� �������� ���'� � �(� ��������� �(�� �(���(��$ �� ������'(�$ ¨® ¯ � ¡��� ����� �(� �(���(��$ � ������' ������� (�� � ��� ��������� � (�'( ���$ �� ��� ��� ����� '�� ���� ° �(� ��� � ��� ����� � ��� ������� ���� ��� � '����'��$ '������ �� � (�'( �� �� �������� �� ��$ ����( ������� ��� ��������� �(�� ��±����� �(��� ����� ���� ²��'( ���� � '����'����� ������� ���� �� �(� ���( ��� '���������(�� �� ³ �� � ��� $�����'�´ � ³ ��'� ����$� �������(� � ��$ ��(�� ��� ��� (�������'� '�� ���$��� �$���� � � ���������� � �� '�� ����'( ��� '��� �
����� �� �(� '����'�� �(���(��$ (������ �(� �������� ���'� ������ �� ���� � ��� �� ����� '������� � ¦�������� ���������� '�� ����� ��� ��������� �� ����� � ¡ (�� µ� ����� '�� ����� �(�� '������ ��$ �� ������� ��������� ¥� (�'( ����� ���� � ��� ��� ��� � �(� '����������¥ ��� �¶� ���������� � ��� ��� ����� �(�� �(� '������� � '�� ����� ��������� ��$ �'��� ����� �� �� '�� ����'( �������(� � �
¡� ��� ��� ���� �� �� �������(� '����$ ������ ����������� �(�� �· '������ ��$� ��������� �� � ��� ������� ������'���� �(�� (��$ ������ ��'��$��� �� ����'�� ��� ����� �� ��� ������� � ��(� $ � ¸�� �¶�� ��� �� ���$�� ª¥¦�§ �� ��� ������ ����� ������'�� '���� �� �(� �(���(��$ �� � ����� � '���������� � �� �������� �±��� ��
4.2 �� �� ��#�� � ��$��107��������� ° �(� '�� ���������� ��� � �� �( �� ����� � �� ���$ �¶� ���� ������� �� �'��� ����(�� ��
N lnN�
§(� � ��(� $ �� � � ������ ������� ��� '�$��� � (�'( ��������� �� ��� � ���� �'�� �(� ��������� �������(� ���� � �� � ���� ����������� ¨¹ ��� � ��( ��� � '��'��� $�º����'�� � §(� � ������� ���� ����� �(� ����( ��$������� �(� '�� ����������������� ��� ������� � ��� � ���� ������ ������� � ������� » ����������� $������������ ����� ����#�$ �� � ��� ��� ��� »� (�'( $��'��� � (�� �(� ������ ������� ��������� ��� �¶��'��$ �� ¼�'����� ��� '������ �� '������ � ½�'� �(� ����������±������� �� ��'( ����������� $������������ (��� ���'(�$ '��������'� �� �� �������� �� �$���� � �(� ������� ������ ���� (�'( '�� � � �� ��� �¶�$ ��$ �� ��� ��� � �(� ������� �''��$������ §(� � (��� ��� '�$��� �� �(�� �������$ �� �(����������� ����� � �������� �� ���$ �
§(� � ��(� $ �(�� � ��� � ���� �� �(� (��$ ������ � ����� ����� � (��� '��������� � ''��� � §(�� '��������� �(���� ������ �����'������ $�· '��� �� ���$� �� ���$�� ������ � ��� ��'��� �������� �� ��������'�� �(���'� (�� ��� �����$ ��� ��· '���� (�������' � ��(� $� ���� �(� '����� � ��(� $ ¨¾ � (�'( ����� �� ��� ±����������� �������� �� � ������� � '���� �§��� ��� �(�� ���� � ������'( ���� � �������� �(���� �� �� �� �� ���¿ �'� � '������ ������'( ¨¢£ ¢¢ � À� �(� '��� � (��(�� ��� � ����' '������������ ������� � ��'( �� ���$�� ¤¥Á ½%¥¦�§ �(� ����$��� � �(� ��������'�� �(���'� ��������'�� �� '����� �$ �� �������� ���$��� ¨¢© ¢ª � ! ������� �� ��'( ������� � �(��� �¶ ��� � ������ ��� �������(� � � (�'(
©(��� � ��� �(�� � ¨¢« �� ��$����� � $��� ���' '(���� �� � �� ��� ��±����� ��� � (�� '��������� ���� �� �
§(� �����'����� � �(� '����� � ��(� $ �� �(� ���$�� ª¥¦�§ ������� ���$�'�� � �(��� $������ � ��( �� ������ �$�����(��� �¶( ������� �(� '��������� �(���� ���� ¨® ¯ ��$ �(�� �(������'�� �������� (�� ��������$ �(� $������� ��� � �(������� ����������� �������(� ��� �����$ �� ! "#��$ ��$ &�''(��� �� �� � ¨¯ � §(� ��� � �(�� ��� �� �� �� �����$� �$������$ ��� ¥'�������$ $��'������� � �(�� �������(� � (�'( $��� ��� ���� �� �(� ��������'�� �(���'� ��'������$ � ¡��(��� ��� �� �(� $��'������� �� �(� ����� � � (��� ��������� �¶ ��� �(� �� '����$ ¦�§ �(��� ° ��� � � � $��'����� � �(��������(� ����� � �� �$$���� �(� ����� �#����� ������� � � ���� �#��� �(� ���� �� � �������$ '���������� �� �(� ��¦�§�(��� ��� �� � ��� ��� �� $��'����$ (��� �
¡ (��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� ���� �� ���� ��� � �������� ������� �����(�� � ��( �� �¶���'�� '�� ������� � ��( �(�� ���� ����������� ��� '�$���� �� ������� �(��� �¶ ���� �� �������� ���� � '��������'� � �(� �������(� � ³������ �������$� '���� ��� ���'�� ���$��'� � ��� ��� ��� ��'� ���� ���'(� ���� ������� � � (�'( ��� ��� �� � � �� ������ �(���(��� � (�'( '�� � � (��$��$ �� ������� �����¥� ¥�(�¥��� �������(� � �
§(� ��� �� �� ��������$ �� ����� � � ¦�'� � ÀÀ $��'��� �� �(� ������������� ���� ��� ��$ ��� ����(�'�� ���������������� ���� � � � �'��� ����( � ¦�'� � ÀÀÀ �¶����� � � ��� ��� � ������ ��� '�$��� � (�'( ���������� ��� � �������� ������(� ����( � §(�� �� �� ��¶�'� �������(� �� ���� �'��� ����(� � À� ������� �� �� ��� � ���� ��� $ �������(� ��� �� ���(�� � (��� � �'���� �(��� �������� ��� �(� ����' ����$��� ��� '�� � ��� ������ ����������� �������(� � À� ��'� � À� ��$��'��� �(� ��¼���'� � ����� ��$ �(� '��������� � ��������� ���$ ��� �(� ��������'�� �(���'� �������� � �(� ���$��ª¥¦�§ ������� � ¦�'� � � �¶������ �(� ������ ����������� �������(� ����� ��$ ��'� � � À �(�� � (�� �� '�� �� ���$�� � $�'�� ����� ��� '�$��� �� ��� ��� � �������� �� �������� ���� �� $�· '��� ������� � � À� ��'� �� ÀÀ �� ���� � �������$��'������ � �(� $�º����'� � ������ �(� ������ ���������� ��$ �(� ����� � ���� ����������� �������(� � ¦�'� � � ÀÀÀ'������� � �� '�� � ���� �
§(� ���$�� �(���$ ��� '�� ��� �(� �(��� $�º����� � ������ ������� ��� '�$���� � (�'( ��� $��'����$ �� �(�� ����� � �������� ����������� �������(� ²¡ � ´ �� � (�'( ���� ������
0, 1� ������� ��� �����$ � ������ �� $�� �� ��'� � À ÀÀ ���
������ ����������� ²¦� ´ �� ��'� � � ��$ �(� ����$��$ ����� ����������� ²�� ´ �� ��'� � � ÀÀ �
�� � ��� ��� � ���� �� � ��� ��� �� ���� ������� ��� ���¡� '����$�� � ������������� ������� '��������� �
N������� ������ ���
{xi ∈ {0, 1}}²{0, 1} ≡ {F, T }
´ � ��(i ∈
{1, ..., N} � ��(M
'���������� � À� �(� ¦�§ ������� ��'( '��������� �� � '����� � (�'( �� �(� ����'�� ½% � �(� ������ ����� � �(��� ��������� � � '�����
a�� '(���'����#�$ �� �(� ��� � ������ ���
i1, ..., iK� (�'( �� '������� ��$ �(� ���� �
�(��� � (�'( ��� ������$ � (�'( '�� �� '(���'����#�$ �� � ��� � K
��� ����Ja
ir∈ {±1}
�� ����� � � §(� '����� ��� ������ ��
(zi1 ∨ ... ∨ zir∨ ... ∨ ziK
)²¢´
� (���zir
= xir
� Ja
ir= −1
��$zir
= xir
� Ja
ir= 1
� §(� ������� �� �� ��$ � (��(�� �(��� �¶���� �� ������� ��� � �(�xi ∈ {0, 1}
� (�'( �� ��'( �(�� ��� �(�M
'������ ��� ���� � ¡� $���� �(� ����� '���C
� � '�����������x = (x1, ..., xN )�� �(� ���� �� � �������$ '������ �
À� � (�� ����� � �� �(��� �$��� �(� �'��� ����( �������������� ¨¢¬ � �(� ¦�§ ������� � §(�� �������������� ��'����� ���� ��'���� �� �����$�� �� ���� ����(�'�� $��'������� �� �(� � ������ ������� ��� '�$���� � (�'( �� �(��� $������ �À� ���� ������� �� � � �$� ������� � $�º����� '������������ ������� � �(����� �����$��� � �����$ �������� �
§(� ¦�§ ������� '�� � � ����������$ ����(�'���� �� ����� � ²��� �� �¢´ � � �'( � �(�N
��������� �� ���� '����$ �� ������¶ �� �(� ����( '����$ � ��������� ��$�� ²'��'��� �� �(� ����(�'�� �������������� ´ ��$ ��'( � �(�
M'������ ��
����'����$ �� ����(�� ���� � �����¶ �� �(� ����( '����$ � � ��'���� �� $�� ²�±����� �� �(� ����(�'�� �������������� ´ �� ��'���� �� $�
a�� '����'��$ �� � �������� ��$�
i�� �� �$�� � (������ �(� ������ ��
xi
²�� ��� �������� ´ ��� ������ �(� '�����
a� À� �(� ����(�'�� �������������� �� ��� � ��� ���� � ������
a��$
i� (������ �(� ������ �� ��� ������
�� �(� '����� ��xi
²� �� �Ja
i = −1´ � $��(�$ ���� � (������ �(� �������� ��������� �� �(� '����� ��
xi
²� �� �Ja
i = 1´ �
�������� �� $�� '�� ���� �(� ���X
²|X | = N
´ ��$ ��'���� �� $�� �(� ���A
²|A| = M
´ �À� ��� � ��� ��'( ¦�§ ������� '�� �� $��'����$ �� � ��������� ����( G = (X ∪ A; E = X × A)
� (���E
�� �(��$�� ��� ��$ �� �(� ��� � �'���������
{J ia}
���$�$ �� $���� ��'( ��'���� �� $� � ¸�� �(� ¤¥¦�§ ������� � (��� ��'('����� '�������
K��������� �(� '����'��� ��� � ��� �(� ��'���� �� $�� ��
K�
§(����(��� �(�� ��� �� �(� �������� �� $�� ��$�'�� ��� ����� ��i, j, k, ... � (��� �(� ��'���� �� $�� ��$�'�� ��� ����� ��
a, b, c, ...� ¸�� ����� �������� �� $�
i �� $����� ��V (i)
�(� ��� � ��'���� �� $��a
�� � (�'( �� �� '����'��$ �� �� �$�� ��n(i) = |V (i)|
�(� '����'��� ��� � �(� �� $� ��V+(i)
�(� ������ � V (i)
'��������� � ��'���� �� $��a
� (��� �(��������� ������� ��¥������$ ²�(� �$��
a − i�� � � �� ����´ ��$ ��
V−(i)�(� '�� ���� ������ ������ �
V (i)'���������
� ��'���� ��$��a
� (��� �(� ������ �� ��� ���� ������$ ²�(� �$��a− i
�� � $��(�$ ����´ �V (i) \ b
$������ �(� ��� � ²�´� ��(��� � �� $�
b� ¦�� ������ �� ��'( ��'���� ��$�
a �� $����� ��V (a) = V+(a) ∪ V−(a)
�(� ��� � ����(� ������������� �� $�� $�'�� ����$ �''��$��� �� �(� ���� � �$�� '����'����
a��$
i ��$ ��n(a)
�(� '����'�������
ª
1 2
3
4
56
a
b
c d
e
f
{nugh_ � a �f _w]t |q_ rs ] s]v^rh uh]|d ~ n^d6
x]hn]p q_ fr`_mi = 1, .., 6
]f`6
sgfv^nrf fr`_ma, b, c, d, e, f
z �d_ srhtgq] ~ dnvdnm _fvr`_` nm a
F = (x1 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x4) ∧ (x3 ∨ x5) ∧ (x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x2 ∨ x4 ∨ x6) ∧ (x5)
§(� ��� � �������������� '�� � � ���$ �� ��(�� '������������ ������� � � (��� ��'( ��'���� �� $�a
$����� ����������� ��'���� ���� �(� ���
Xa ⊂ X� �������� �� $�� �� � (�'( �� '����'��$ ��$ '�� �$ ���� ������� (�$$��
��������� �
��� � ��� ������� ������ ���� � ��� � ��� �� � � ���
À� �(� �� �'��� '��� �� � (�'( �(� �'��� ����( � � ¦�§ ������� �� � ���� �(� ������� '�� � � ������ �����$ �� � ���� ��(� $� � ³ ��� �� �(��� $��'���� � � ������ ������� �������� � §(�� �������� ���� ���� ������ � ������� �����$ ������(� ����( '����$ '����� ������ ��$ '����� ���$� � À� � ��� � � ��� � � �� � ���� ���� �� $������ �(� �������(� �(�� ����� �� �(� ������� ²���¥����´ '��� � (��� �� �(��� ���� � ��� ���� ����� � ������� � (�'( ��� ����������$ �� �����������$������������ � �(� ���� ������ � ������� � ³��� �� ���� $���� �(� � ������� �(�� ���� �(� ����� �� '�� ���� �(�� ��$������ �(�� (�� �(�� ������ �(� ¦�§ ������� �� � ���� �
� � � ��������� ���� � �� ��� ���� ��� �� ��� ����
§(� ����' ���� ������ � ������ �����$ ��� ��� ��'���� �� $�a
�� � ��������i
²'����'��$ �� �� �$��´ �� � ����������� ��
ua→i ∈ {0, 1}'����$ � ������ � ��� �
§(� ����' ���� ������ � ������ �����$ ��� ��� �������� �� $�j
�� � ��'���� �� $�a
²'����'��$ �� �� �$��´ �� ��������� ���� ��
hj→a
'����$ � ������ ���� �À� ��$�� �� '�� ���� �(� '����� ���$
hj→a �(� ��������
j'����$��� �(� ��'�� ��� '����� ������ � (�'( �� ��'����� ���
��� �(� ��'���� �� $��b
�� � (�'( �� �� '����'��$ �¶'���b = a
²(��'� �(� ��� � �'������ ´ ��$ ��� ��� � �(� ��� �
hj→a =
∑
b∈V+(j)\a
ub→j
−
∑
b∈V−(j)\a
ub→j
²©´
À j
(�� �� ��(�� ����(� �� �(��a �(��
hj→a = 0�
À� ��$�� �� '�� ���� �(� '����� ����ua→i
�(� ��'���� �� $�a
'����$��� �(� ��'�� ��� '����� ���$� � (�'( �� ��'����� ��� ��� �(� ������ �� �� $��
j�� � (�'( �� �� '����'��$ �¶'���
j = i� À �(��� �� �� ����� ���
j ∈ V (a) \ i��'( �(��
hj→aJaj ≤ 0 �(��
ua→i = 0 ��(��� ���ua→i = 1
� À a
(�� �� ��(�� ����(� �� �(��i �(��
ua→i = 1� §(��� ��� �
ua→i =∏
j∈V (a)\i
θ(
hj→aJaj
)
,²ª´
«� (���
θ(x)�� � ���� ��'���� ������ ������
θ(x) = 0 ��
x ≤ 0��$
θ(x) = 1 ��
x > 0�
� ���� � ��'���� �� $�a
��$ ��� � ��� ������ ��� �� $��i �(�� �(� '����� ���$�
hj→a
²j 6= i
´ '�� �� �����$ �� ��������$
ua→i
�� �(� ������ � §(� �������������� � �(� � ������� ��$ �(� � ������¥������� ��� '�$��� �� �(� � ���� ��� � �'����� ����
ua→i = 1'�� �� ����������$ �� � ������� ���� ��� ��'���� �� $�
a ������� �(� ������ ��i
�(�� �� �(���$�$��� �(� '����'� ����� �� ����� ���� �(� '�����
a� §(�� �� $�'�$�$ ��
a�''��$��� �� �(� � ������� � (�'( �� ��'����$
��� ��� �(� ��(�� ���������j
�� � (�'( �� �� '����'��$ � � hj→aJa
j > 0 �( �� � ���� �(�� �(� ���$��'� �� ����j
²���(� �����'� �
a´ ����$ � � �� ���� � ����� � (�'( $��� ��� ����� � '�����
a� À ��� ����(����
j ∈ V (a) \ i��� �� �( ��
��������� �(��a
���$� � ������� ��i�
� ��������� ����� �� � ������ ����������
§(� �� ��� � ������ ������� ��� '�$��� '�� �� ����$ �� ��� ¦�§ ������� � §(� ��� �'�� ��������� $���� �'� ���� �(�'����� ������ �� ����' � ������� � §(�� ��� ��������#�$ �� ���$�� ������ ² �� �� ����'�
ua→i = 0, 1� ��( �����������
1/2´ �
§(�� �� ��'( ��������� ��� ������ �(� ��� � �$��� �� � ���$�� ��$�� ��$ �� $���� ��� �(� '��������$��� '����� ������ �À �(� ��� '��� '�������� �(�� $���� �'� $����� � �¶�$ ��� � '����� ������
u∗a→i
� §(��� '�� �� ���$ �� '�� ���� ����'( ��������
i �(� � �� '�� ���$�Hi
��$ �(� �'�����$�'���� ���� ���ci
� (�'( ��� ��� �������� $����$ �� �
Hi =∑
b∈V+(i)
u∗b→i −
∑
b∈V−(i)
u∗b→i
²«´
ci = 1�
∑
b∈V+(i)
u∗b→i
∑
b∈V−(i)
u∗b→i
> 0²¬´
= 0��(��� ��� � ²®´
§(� �� '�� ���$Hi
�� �� ��$�'����� � �(� ��� ����$ ����� � �(� ��������i�
xi = 1�
Hi > 0 xi = 0�
Hi < 0� §(�
'�����$�'���� ���� �� ��$�'���� � (��(�� �(� �������� � (�� ��'����$ '��¼�'���� � ������� �§(�� ������� ������� ²¡ � ´ ��� '�$��� �� � ���$ � �$�������� �� �(� ¦�§ ������� � �(� �! ��¥¦�� � �������(� � (�'( �� ����� � ��� ����� '��� � �(� ���� ���� � �¦�� ¥� �� $�'�� �������(� � �$��� ���$ �� ������� '����¶�� �� ����������
� ������� ������������� � ������'���� $��'���� ��������� ���� ����(� ²��� ¨¢¬ �� � ������ ��$ � $������$ ���� � �� ����'���� �������� �����´ � � $������$ '�� ������� � ������ ��� �������(� � ��$ �(� ¦�� ¥� �� $�'� �������(� �� '�������$ ����'� � � ÀÀ � §(� ¡ � �������(� '�� �� ��� � ���#�$ �� ��� ��� �� � ������ � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� �� � � � �� �� �� ��� � ������ �� !
tmax"����� � �� #$"�%&'(&) �� *� �! �� ������+ ����tmax
!,��� ! - �� �� �! ������+ � � � !�� ���� ��� ��. ��!�!
u∗a→i
-
/ - 0� � �� �t = 0
� 1 ���. �+��a → i
� � � ���� ��� 2 ��+� �. �� �� ����3� � � ��� ��. ��!
ua→i(t = 0) ∈ {0, 1}
4 - 1t = 1
�t = tmax
�
4 -4 !,��� � � !�� � �+��! �� � ��+� +� 2 ��+ ��+��� !�5���� ����. � � ��� ��. ��!�! ���� � � �+��! � � � ��� 2 ������ ��� � � �����!
ua→i(t)2 � !��� !� �� ��� ��)0�& -
4 -6 ��ua→i(t) = ua→i(t− 1)
� ��� � � �+��! 2 � � ����� �� �! ������+ ��+ �������+u∗
a→i =ua→i(t)
� � � 6 -
6 - ��t = tmax
���� �� #$"�%&'(&) - ��t < tmax
���� � � !�� � � ���+ ���� ��� ��. ��!�!
u∗a→i = ua→i(t)
7� �� ��� ��)0�&(ua→i)
-����� � 7�� � ��� ��� ��. ��!�! � �� ��� �� ��� �� �� �� �+�
j ∈ V (a) \ i"����� � ��, ����� � � � ��� ��. ��!ua→i
-
4 1 ���.j ∈ V (a) \ i
2 ������ � � ��� ��. � ���+hj→a =
(
∑
b∈V+(j)\a ub→j
)
−(
∑
b∈V−(j)\a ub→j
)
¬6 � !��� � �!� ��� ��. � ���+!
hj→a
2 ������ � � ��� ��. ��!ua→i =
∏
j∈V (a)\i θ(
hj→aJaj
)
�� �¶�� ��� � �(� ��� � ¡ � �� �(�� � �� �� � © � §(� �������� �� ¡ � ������� '�� �� ��� �(� �'� �(�� �� ����� �(��¶�'� �������� �� ������� � � (��� �(� �'��� ����( �� � ���� � ¸�� �(� ¦�§ '��� �(�� �� ��� � ���#�$ �� �(� � ���� ������ ��� �(����� �
������� ����� � � ���� �� �� �� � � ���� � � �� �� ��� �� � ����� � ��� � � � �� � �� �� �� ��� ������ �� ��
�� � !�"! � �� # $ � � ��� �� ��% ��� u∗
a→i &�� � � ��% � �� � ����� �� ��% ��� � '� �� � �� � �� ��
���� � ���� ����������� !� � �ci
� "!�� ��1 &
�� � ���� � � ()���&��� �� � �� � �� ��
*+,��-.�,��� � À� �(� '��� � (��� �(� ������� �� ¦�§ �(� ��'�� ���$�Hi
'�� �� ���$ �� ��$ �� ������� ��� � �(���������� ����� � ��� ��� �(� '������ � ¡ (��
Hi 6= 0 �(� ��������i
�� '���������$ � ½�� �(���$ �¶xi = 1
� (��Hi > 0 ��$
xi = 0� (��
Hi < 0� � ������ �� � ��(
Hi = 0�� ��$��¥'���������$ � (�'( � ���� �(�� �(��� �¶ ���� ����������
������� ���� � (��� �� ��1
��$ ��(��� � (��� �� ��0
� À� ��$�� �� '�� ����� �(� $����� ������� � � ���������� ������� ��� ��� '�� ��´ �¶ ��� '���������$ ��������� ��$ ���� ����� ��� '������ � (�'( ��� �������$ �� �(�� '(��'� ��$ ��� ��� � �(� ���� � �(� ������ ���´ '(���� ���$�� �� ��� ��$��¥'���������$ �������� �¶ �� �� ��� ����� ²
0, 1´ � � ��� ����� ��� '������ � (�'( ��� �������$
�� �( �� '(��'� ��$ ��� ��� � �(� ���� � �(� ��� ��� ����´ ��� ����� �(� ¡ � �������(� �� �(� ��� ������'� ��$ ������� �(� � (��� ��� '��� �
§(�� �������(� �� $����� �� ��� � ������ ���� ������� ��� �¶�'� �� ���� ��� � � ��( � ���� �'��� ����( � (�'( �� '����¡������ À������$ / �'�� ������ �� ¡ À/ �� ��� � ���#�$ �� ����� � �
� 01 ��� �� � ������ � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� ��"����� � �� #$"�%&'(&) 2 !���� ! � � � ����� 270� ��70� 3 � �� � � ����� �! 70� � ���!!���� ��� , �� !�� �!� ��! ��� ���� !�! -
4 - * ��� � � ��� � � ��� ���+ �� �� ��! �!> 0
2 + �
4 -4 '�� *�4 -6 �� *� +�! �� ������ 2 ���� �� #$"�%&'(&) - &�!� ������ � � ���� � ���+!
Hi
��+ � �����+ ��� �� ��� � !
ci
2 � !��� �5! - 24 253 -
6 - �� � �� �! �� ���!� �� ����+ ��� �� ��� �ci = 1
2 ���� ��70� - &�!� �
6 -4 �� � �� �! �� ���!� �� ���� � ���+Hi 6= 0
� � �� ��� �� �� ��! , �� Hi 6= 0
2Hi >
0 ⇒ xi = 1��+
Hi < 0 ⇒ xi = 03 2 ��+ ����� � � ��� 2 , �� � ��� ! �
{�� �� � �
���� !�! !�� �!� ��+ . � �! ��� ��� 2 �+� �� � � ���� !�! � �� ������ � � � ���+ �� �� ��, �� ��!��� ������ 2 ��+��� � � ��� � � ��� ���+ �� �� ��!
}- ("�" �� �� 4 - &�!� �
6 -6 $ !� �� ������+ �� �� �� 2 � �� �� � �� � ���. ����� 2 ����� � � ��� - ("�" �� ��4
•���� � � !�� � �!!���� ���! � ��� � � �� �� ��! -
����6 � �(� �(����� �§(� '��������'� � ¡ � �� ���� ����(� �� � ���� ���� � ������ ²��� � �� �¨¢¬´ � ¡� ���� (��� �� ���� ������ ���� �
'��������'� �� �(� �� �'�� ' '��� � ¦�§ ��$ �(�� �(�� (�� �(� ������� ��Hi
��$ci
����� �����
E�(� ��� � �� $�� � /���� �(� ������ � �(� ���� �� �(� �� $�� � '����'��� ���
1� ¸�� ��� �$��
a− i'����'����
� ��'���� �� $�a
�� � ������ �� �� $�i $���� ��� �����
r�� � ���� � � ��� ��� �(� �$��
a− i��$ '����$�� �(� ��� ������
�������( '���������a
� §(�� �������(Ta−i
�� � ���� �'��� ����( $������ � ��� ¦�§ ������� � §(� �����r
�� �(�� �¶�� �� $�����'� � ������
a��$ ��� �(� ������ �� �(� �������(
Ta−i
²�(� $�����'� � ������ ��� �� $�� � �(� ����( ���(� ���� �� � �$��� � �(� �(������ ���( '����'���� �(�� ´ � À �� �$��
a − i(�� �����
r = 0²� (�'( � ���� �(��
a��
� ��� � �(� �������(´ ua→i(t) = 1 �� ���
t ≥ 1� À
a − i(�� �����
r = 1 �(��ua→i(t) = 0
�� ���t ≥ 1
� ¸��� �(���������� ���� � '����� ����
ua→i
�� �����r
�� � ��� $����� ���$ ��� �(� ���� ��$�� � ��� �(� '����� ������ub→j
��������
≤ r − 2� §(��� ��� �(� '����� ����
ua→i(t)�� � �����
r�� ���������$ �� ���� � �¶�$ �����
u∗a→i
��t ≥ 1 + r/2
�7�� � � ��� ���� �� �(� ���$� � �� '�� ���$� ��$ '�����$�'���� ���� ��� �¡� ���� ����� �(� ����� ��� ��88 � �
'� � �� ��% ���u∗
a→i = 1&�� ���!
a� ����� � � �� � �!� � �� � � ���� � � # � �% �� !�� ��� �
Ta→i
�§(�� �� ��������� ���� � �(� �$�� (�� �����
r = 0��
r = 1� ¦��� ����� �(�� �� (��$� �� ��� ������
≤ r− 2 ��� '����$����� �$��
a − i�� �����
r � ��(u∗
a→i = 1� ¸��� ²ª´ �(�� � ���� �(�� �� ��� �������� ��$��
j ∈ V (a) \ i �(� �� $�j
®
ab
c
d
ef
gh
i
1 2
3
45
6
7
1
0 0
1
1
0 0
1 1
0
0 0
0
0
08
0
{nugh_ b a �f _w]t |q_ rs h_mgq^ rp^]nf_` pi ^d_ l � ]qurhn^dt rf ] ^h__ |hrpq_t ~ n^dN = 8
x]hn]p q_m ]f`M = 9 vq]gm_m z
�d_ fgtp_h rf _]vd _`u_ rs ^d_ uh]|d nm ^d_ x]qg_ rs ^d_ vrhh_m|rf`nfu v]xn^i pn]mu∗
z �d_ qrv]q o_q`m rf ^d_ x]hn]pq_ ]h_^dgm a
1,−1, 1, 2, 0, 0, 0, 0z �d_ m]^nmo]pq_ ]mmnuft _f^m ]h_ mgvd ^d]^
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1�x7 ∈ {0, 1}
�(x5, x6, x8) ∈
{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}z �f_ v]f vd_v} ^d]^ ^d_ x]hn]pq_m ~ n^d frf�_hr qrv]q o_q` ^]}_ ^d_ m]t _ x]qg_ nf ]qq ���
]mmnuft _f^m z �f ^d_ y �\ ]qurhn^dt � ^d_ x]hn]p q_m1, 2, 3, 4
]h_ ow_` ^rx1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1 �
^d_ h_t ]nfnfu ^h__ d]mrfqi ^d_ vq]gm_m
h]f`
ih_t ]nf nfu � ]f` ]qq ^d_ ~]hfnfum ]h_
u∗ = 0z �d_ x]hn]p q_
x7
~ nqq p _ ow_` ]hp n^h]hnqiz �s rf_ vdrrm_msrh nfm^]fv_
x5 = 1� ^d_ h_t ]nf nfu uh]|d q_]x_m
x8
gfvrfm^h]nf_` pg^ nt |rm_mx6 = 1
� ]m v]f p_ vd_v}_` pi ]||qi nfu ^r n^ ^d_y� ]qurhn^dt z
��'����� �� ����� ��� � ������ ��� � ����(������ �'��� �� $�b ∈ V (j) \ a
� ��(ub→j = 1
� §(� �$��b − j
�� �� �����≤ r − 2 �(��� ��� �(� ��$�'�$ ���� ��� �� �(� ����(
Tb−j
�� ��¦�§ ��$ �(��� ��� �(� '�����b
�� ����� �(� ����� � �(� ��������
j�� � �
1²§���´ �
Jbj = −1 ��
1²¸����´ �
Jbj = 1
� �� �(��� ��� �(�� '�����b
�¶�� �(� ����� � ��������j
�§(�� �� ���� �� ���
j ∈ V (a) \ i � (�'( � ���� �(�� �(� ��$�'�$ ������� ��Ta−i
�� �� ¦�§ �� �±���������� �(� '�����a
�¶�� �(� ����� � ��������i�
³ ����� �(�� � �(��u∗
a→i = 1�� ����� �(�� '�����
a�¶�� �(� ����� � ��������
i �� �� '���� ��� ²®´ �(�� � ���#���'�����$�'���� ���� ��
ci
�� ����� �(�� �(� ������ �� ��¦�§ �À ��� �(�
ci
�����( �(� ������ �� ¦�§ �½�� '�� ����� �(�� �� �� ����'� �� �(�� ��� �(�� �(� ¡ À/ �������(� ��������� � ¦�§ �������� ��� � §(� ������ ���
� ��(Hi 6= 0
��'���� ��� � ���#���u∗
a→i = 1��$ ��� �¶�$ � ½�� �(�� µ'����� µ �(� ����( � (�'( � ���� � ��� ��� �(�
'������ �������$ �� �(�� �¶ ��� ��$�'� �(� '������ �(�� ������� �(� �¶�$ �������� � ��( �������� ������� � �� $�������� �( �� ��� '��� (�� ��� ���$ ��� �(� ����( ��� �(� �$��� �� � (�'( �(��� ��� � ���#��� '����� � ��� � ¦� �� �(� �������( ��� �(� �$��� (���
u∗ = 0� ¸����� ��� �(� ���� © �© � �À/ ��� '(����� ���$�� �� � ��������
i ��� �¶�� �� ���� ��������� �����
xi ��$ '����� �(� ����( � §(� '������
a'����'��$ ��
i� (�'( ��� �������$ �� �(� '(��'�
xi
������ ���$ ° �(� '������ ��$��� �������(� ��� ����� � (��� ��� �(� �$��� (���
u∗ = 0� � '�����
a'����'��$ ��
i� (�'(
��� ��� �������$ �� �(� '(��'�xi
� �� ���$ ��� �u∗ = 1
� ������� ²�(�� (��� ��� � ��'( � '����� (�$ '����'��� ���2� � ��� �¶ ��� ������ ��
i´ � ³������ ������� ¡ � �� �(� '��������$��� �������(
Ta−i �(� ��� � '����� ������ '�� ���
(��� � '�����$�'���� � � ��������j
�� �(�� �������( '�� ��'���� �� � ��� ���u∗ = 1
������� '�� ��� ��� �(� ���±�����( � (�'( '����'��
j��
a� §(��� ���
cj = 0� ��� ��������� � �À/ (�� ��������$ � ����'��� �� ����� ����( � ��( ��
'�����$�'���� � �� ��$�'���� �� �(�� ��$� � ¦�§ ������� ��� ��½�� �(���$ ����'� �(�� �(� ��������� � (�'( ��� �¶�$ �� �(� ���� ��������� � ¡ À/ ²�(��� � ��( ���¥#���
Hi
´ ���'���������$ �� ���� �(� ��� � ����� �� ��� ���������� ������� ���� �
�� � �� �� �� � ��� ���� ��� � ���� � ��� � � ��� ���� � ��� � �� �����½�� '�� ��� �� ��� �(� ¡ � �������(� � �(� �������� ��'���� �� �(� '��� � (��� �(� �'��� ����( '������� ����� �
À� ��� � '���� �� � �� ���� �� �� ��� ��� ���� � ��� �(� ��������� $��� ��� '������� � � ���������� �������� � (�'( �������� ������� � �(��� ��� �� ���� '����� �� �(� ���� ��� ��� � ��( ��� � ������� #��� �
§(� '��� � ���$�� �� ��������$ ª¥¦�§ ��� ���� �� � ��� $ ����¥� �$ �� '(�'���� �(� ��(����� � �������(� � � ¡� ����M = αN
��$ �������� '������ �� '(������ �������� � ��������� �� ���$�� � ��( ��� ��� ������������ §(�J
� ��� ���
¯��
±1� ��( �±��� ������������ §(� ���� '����$ �'��� ����( (�� �(� � ���� ��� ���������� � ¸�� ��'( �������
i < j < k�
�������� �� $�� � ��'���� �� $� '����'���� �(�� �� ������� � ��( � �����������6α/N2
� ¸�� �����N �(� '����'��������
n(i)� �������� �� $�� ��'�� � ��$�� ��$��� �$����'���� $���������$ ²��$´ ���$�� ������ ��� � ��( � ������� $�����������
� � ���3α
�� � $��'����$ �� �� � � ¨® ¯ �� �(� �����
N��� �� �(��� �¶ ��� ��� '����'�� ������ �
α� ¸��
α < αd ' 3.921 �(� ��� � ��� ����� � ��� ������� ����
SM
�� '����'��$ �(�� �� ��� '�� ��$ � ���( ��SM
�� �� ��� ��� ������� ��� �� ��� ��(��������� ��� ��±������ �(��� ����� ���� ²�� ³ �� � ��� $�����'�´ � �� ��������� ��� '���������$ �� ���� �(� ��� � ����� ����� ����� � ��� ������� ���� ��$ � �������� '�� �� ���$ �� ��� ��� ����$� �������(� � ¨® ¯ � ¸��
αd < α < αc ' 4.267 SM� �'�� �� $���$�$ ���� ������� � (�'( ��� �� ����� �� ³ �� � ��� $�����'� ��$ � (�'( ��� '�� ����$ � �(� ��� � ���� �� � ��������� ²�� �� ���¥�¶��������� '����'�����´ � ¡� $����� � ��(
N�� ≡ exp(Σ(α))�(� ��� ��� � ��'( '������� ��$ � ��(
N��� ≡ exp(S���(α))�(� ���� �� � ��������� � ��(�� ��'( '�� ����� � À� �(� �������� � ��������'�� �(���'� �(� ±�������
�� '����$ �(� �+8� ��� ��� ��$
S����(� �������� �,��+�� � � ��(���( �(��� �¶ ���� �� �( �� �(��� �� �¶� ���������� �����
���� �� � '������� ��'( '��������� �� �¶� ���������� ����� ��� ��� � ��������� �� �� ���� $�· '��� �� ��$ ��� ��������� �'���� � �(� ����� ������� � µ� ��������� µ '������� � � � ��������� '�� ���� �� � '������ � ������� ���� � (�'( ��� (����(� ��� � �¶�$ ��� ���
C� �������$ '������ ��$ ��'( �(�� ��� '����� ��$ �� � �� ��� ³ �� � ��� $�����'� � �( ��
'������ �� ������� ��� � (�'( �������� ����'��� ���� �(��C
'������ �§(� � ��������� '������� � ��(
C > 0��� �¶����������� ²��
N´ � ��� ��� ����� �(�� �(� ���������� '������� � ½�� '��
�(�� �¶��'� �(�� �� '�� ����'( �������(� � � ��� ������'���� ��� ����� �$ �� �(��� ��'( � ��� ��� ����� � ��������� '������� �¡� '��� �(� �����
αd < α < αc
�(� ������� ������ � ��α = αc
�(� '�� ���¶ ��� �����(�� ²limN→∞ Σ(αc)/N = 0
´ ��$ ��
α > αc �(� ������'�� ��� ��� ��� ������ ������������ �
½� �(� �������(� �' ��$� ���$�� ª¥¦�§ ������'�� ��������$ ¿ ��� ����� �(� �(���(��$αc
��� ���$ �� � ��'(� ���� �� ������� �(� �· '���'� � ����'( �������(� � � ½�� �(���$ ����'� �(�� �(� ����� ������� � � ������� �� '������� �� �(�(��$ ¦�§ �(��� '�� �� ���� ���� ��
N����� �����( � À�$��$ �� (�� � ��� ���$ �� �� ����'� �(�� ��
α = 4.2 �(�'�� ���¶ ��� � �(� � ��� ��� ����� � ��������� ������ �� ����'����
Σ(4.2) ∼ .003N� §(� �� ������� � �(�� ��� ��� �� �����
�(�� �(� �º�'�� � ����� ������� � ��� � � ���� ���� ��N
������ �(��1000
�� �� �§(� ��¶� ��'���� �¶������ �� �������(� � (�'( �� ���� �����$ �� ��$��� ¦�§ ������� ��� �� �(� (��$¥¦�§ �(��� �
� � � �� �� � ��� � ����� �� � � � �� ���� � ����� ���¸��� �(� �������'�� ��$ ��� ���'�� ���$��� ¨® ¯ � ���$�� ª¥¦�§ �� �(� (��$ ��� ������ ��� ������ �(� ���� ����'��
������� �� �(� ������ � �(� ��� ��� ²�� ´ � ������¥������� ���'�$��� � �� �(� ���α
����� � �� ����� '����'��� �� �(������ �(�� �� '����'��� ���$�'�� ��� � ������� #��� � � �� ��������� ��� ��$��¥'���������$ ²�� �� �(� �(���'� ������� ��� ��#��� ´ � ³������ �� �(� (��$ ��� ������
α ∈ [3.921, 4.267]�(� ���� ���������� �������� � (�'( �� ���$ �� ���'��'�
'�������� �� �� �(� ��� �� � (�'( ��� '����� � ����� ��� #��� � �(� ��� ��� ��������� ���� (�� ���� �� ��� ����������� �� ��$� ��� � '����� ������ '������ ��$��� �� � ����� '�� ���� � §(� ������ '�� �� ±������������ ��$������ $ �� � ���� � � � (����(� �� '�� ��������� ���� �� ��� � ������ � �(� ����( � ��� ���$ �� �������� '�����¥������ � �����#�$ �� �(� $���'���� � ���'������ ��(�� ������� � �(� ����( � ��� ��� ������#�$ �� ��� � ��(�� $���'����� '������ ��$��� �� $�º����� '������� � §(������' ��'��������� � �(� µ���� ������ � ������ µ ������� �±������� �� $��'���� �(� '��������� �(���� ���� �� ��������'�� � �� �� � ��� (��$ '������������ ������� � � � ��������#����� � �(� ���� ������ �� � ������ ������� �����'�� ����'������ �� ��$�� �� $��� � ��( �� �
§����� �(� '��������� �'������ �� � ������� (�� ��(���� �� '�� $���� �(� ����������� $����������� � � ������� � ��(�����'� �� �(� '������¥��¥'������ ¼�'�������� � ¡� � �� �(�� ���$� �(� ��������� ��$�� �(� '����� ����� � �(� � ��( �������� � � � ������ ��$ � ��� ��� � �(� � (��� ��� � ��'(
3M������� �� ��$ ����� ���� ������� ���� �
� � � �������� � � � ��
¡� $���� �(� �.���� � �(� '�����¥� ���ua→i
�� �
Qa→i(u) =1
N��
∑
`
δ(u, u`a→i)
²¯´
� (���`
���� ���� ��� '������� � ��������� ��$u`
a→i
�� �(� '����� ���� ���� �(� �$��a → i
�� �(� '�� ����`
�δ
$�������(� ¤ ����'(�� $���� ��'���� ���� $��'���� ������ ��� δ(x, y) = 1
� x = y
��$ #��� ��(��� ��� ����� �(��
u ∈ {0, 1} ��$ �(��� ��� �(� '�����¥� ���¥������Qa→i(u) � (�'( �� � ����������� $����������� ��
����� ����#�$ �� � ������ ���� �� � ¡� �(��� � ���� �
Qa→i(u) = (1 − ηa→i)δ(u, 0) + ηa→iδ(u, 1)²¹´
¹
a
j
i
b
ub->j h j->a
ua->i
U
Vsa (j) V
ua(j)
{nugh_ j a � sgfv^nrf fr`_a
]f` n^m f_nudprhdrr` z �d_ mghx_i rs ^d_ v]xn^i�pn]mua→i v]f p_ vrt |g^_` shrt ^d_ }fr~ q_`u_
rs ^d_ � rnf^ |hrp]pnqn^i `nm^hnpg^nrf srh ]qq ^d_ v]xn^i�p n]m_m nf ^d_ m_^U
� n z_ z ^drm_ vrt nfu rf^r ]qq x]hn]p q_ fr`_mj
f_nudprhmrs
a[_wv_|^
j = ik z
À� ������� �� ��� ��� � '����� � ����� ���u, v, w, ..
�� '�� $���� ��� ������ �(� ������Q(u, v, w, ..)
�� �(� ¿ ��������������� �(�� �� � ���$�� �� '(���� '������ �(��� '����� ������ ���� �����
u, v, w, ..�
� � � �� ��������� � ��� ����� � ���
¡� ���� �� � ���� �� ��������� ��'������ �±������ �� �(� ������� � �����$�� �� �$��a − i
� �(� ����( ²��� �� �ª´ �§(� '��$����� �� �(� '����� � ���
u`a→i
�� � �1
(�� � ��� � ������ �� ²ª´ � À� $�� ��$� �� ��� �(� '����� ������u`
b→j � ��(
j ∈ V (a) \ i��$ �� ��'( ��'(
j b ∈ V (j) \ a²��� �� �ª´ � ¡� �(��� $����� '����'������ ��
U = {u`b→j}
�(� ��� � ����(��� ��������� ��$ ��
Q(U)�(��� ������� ¸��� ²ª´ �(� �����������
ηa→i
�(��ua→i = 1
�� �±��� �� �(� ������������(�� �
∀j ∈ V (a) \ i : hj→aJaj > 0
�7�� �� ��� ���$� �(� �����������
ρj→a
�(�� �(� ��������Ja
j hj→a
�� ����'��� � ������� � ¸�� ��� ���'��� �� ���� ���� ����(��
Jaj = 1
� §(��ρj→a
�� �(� ����������� �(�� �� ��� ��� '����� ������ub→j , b ∈ V+(j) �� ����� ��� � �(�� �� �
������� ²� ��(u = 1
´ � ����'� �(�� ��'����Q (U)
�� � ������ ���� ¦�§ ������� ���� �(� '�����$�'���� ���� �� � ��������
j���� � � #��� ��$ �(��� ��� �(� '����� ������
ub→j
� ��(b ∈ V−(j) \ a � ��� � � ����� ���'���� �±��� �� #��� �
§(� ������ '�� �� � ������ �� �
ρj→a =∑
U
Q (U) θ
∑
b∈V+(j)\a
ub→j
.²¾´
À Ja
j = −1 �(� ����� � V+
��$V−
�� �(� ����� �±������ ��� �¶'(����$ � À� �� '����� ���� �� $���� �(� ��� ���� �V u
a (j)��$
V sa (j) � (��� �(� ��$�'��
s��$
u���� �'������ �� �� �� �(� ����(���� � (�'( ���$ �� � ��� ��������
j����� �
�� ������� � �(� '�����a $����$ �� ²��� �� �ª´ �
� Ja
j = 1 : V ua (j) = V+(j) ; V s
a (j) = V−(j) \ a²¢£´
� Ja
j = −1 : V ua (j) = V−(j) ; V s
a (j) = V+(j) \ a²¢¢´
¾
§(� ���� ������ ��ηa→i
'�� �(�� �� � ������ �� �
ηa→i =∑
U
Q (U)∏
j∈V (a)\i
θ
∑
b∈V ua (j)
ub→j
.²¢©´
� � ��������� ���� � ���������� � � �� �������� � ��
¡ (��� �(� �������� ��������� �±������ ²¢©´ �� �¶�'� �� �� ������� � �'���� �� ������� �(� ������Qa→i(u)
�� �(� ¿ ����������
Q (U)� ��� '����� ������ ����� ��� ���� �(� �������� �� $�� ����(� ��� �
a�� �(� ����(
Ta−i
� §(�� � ��� ����� $����$ �� �(� ¿ ���� ����������� � � ������ ���� �� � '����� ������ ��$ �� ���( �
À� ��$�� �� (��� � '����$ ��� � �±������� �� �(�3M
'�����¥����¥������� �� �(��� � ��� �(� ����� ����� �(�� �(�� ������� �(�� ��� ��¿ �'��$ ���� �(� ��'���� �� $� ��� ��'��������$ �(�� �� �(�� �(��� ¿ � ��� ����������� $����������� �� �'����#�$ � §(�� �� �¶�'� �� � ���� ��� '�� (��� �(�� �� � ��� � � � ��� $ �����¶ �� ����� �� �'��� ����(� � ��( � �� '��������¥���� ����'���� ��� �� ������� �� �� �� �����¶ �� ����� �(�� �� '����� '������ ������ ���(���( �� �(��� '�� � ��'��� �(�� ����� ����� �� �
¡ ��(�� �(� �'����#�$ �����¶ �� ����� �� � ���� �(� ����������� ���� �� �(� '����� ���� ������� �� �
ηa→i =∏
j∈V (a)\i
ρj→a ,²¢ª´
� ��(
ρj→a = Cj→a
∑
{ub→j}
∏
b∈V (j)\a
Qb→j(ub→j)
θ
∑
b∈V ua (j)
ub→j
∏
b∈V sa (j)
δ (ub→j , 0) .²¢« ´
� (��� ∑{ub→j}
�� � �������� �� �(� ��� ���� ��� �(� '����� ������ �������� ���� ��� �(� ������ ���j ∈ V (a) \ i
��� ��'���� �� $��
b$�º����� ���
a²��� '���$ � ���� � ��� �¶���'�� �� ∑
{ub→j}=(
∏
b∈V (j)\a
[
∑
ub→j∈{0,1}
])´ � ¡ ��(�����'� �� �(� ������� ��������� ���� ²¢©´ �� (��� ���$ � �'����#�$ ��� �� �(�
Q(U)����������� ��$ �� �$$ ���
� � $�� '������ ��� ¡� (��� �¶���'�� �� � ������ �(� '��������� �(�� ��� �(� '����� � �����
ub→j , b ∈ V sa (j)
��� �±��� �� #��� � §(�� '������������ ����� ���' � (�� �(� ��� $�����������
Q(U)��� ���$ � À� �(� �'����#�$ �����¶�� ����� �(� '��������� (�� �� ��
�� ���� ����$ �¶���'���� �� ��$�� �� '�� ��� �(� '�����$�'���� � ������� � �� �� � ��'������ '��$����� �� �(� '�����$�'�������� �� �� ������ ��
j�� �����( �
��� ��'���� � �(�� �¶��� '��������� � ���� ���#����� '�������Cj→a
���� �� '�� ����$ �� � ���� � � §(� ��� '�����¥$�'���� � ������� '�� �� $���$�$ ���� �(��� '������ � * ���� . � �(��� � ��( �� ����� ���
ub→j , b ∈ V ua (j)
�±��� ��1
²�(���� ������� ��� �(� ���� � (�'( '��������� ��
ρ´ � * ���� � � �(��� � ��( �� ����� ���
ub→j, b ∈ V sa (j)
�±��� ��1
� * ���� � ��(��� � ��( ���
ub→j, b ∈ V ua (j)
�±��� ��0
� 7�� �� '�� ���� �(� ����(� � ��'( '���� Πu,s,0j→a
�
Πuj→a =
∑
{ub→j}
∏
b∈V (j)\a
Qb→j(ub→j)
θ
∑
b∈V ua (j)
ub→j
∏
b∈V sa (j)
δ (ub→j , 0)
Πsj→a =
∑
{ub→j}
∏
b∈V (j)\a
Qb→j(ub→j)
θ
∑
b∈V sa (j)
ub→j
∏
b∈V ua (j)
δ (ub→j , 0)
Π0j→a =
∑
{ub→j}
∏
b∈V (j)\a
Qb→j(ub→j)
∏
b∈V (j)\a
δ (ub→j , 0)
.²¢¬´
§(�� �(� ���� ���#����� '������� �� ²¢«´ �� �
Cj→a = 1/(Πuj→a + Πs
j→a + Π0j→a) .
²¢®´§(� �±������ ²¢«´ �����(�� � ��( �(� ���� ���#����� ²¢®´ �����$� � '����$ ��� � �±������� �� �(� ���� ���
ηa→i
� (�'('(���'����#� �(� '�����¥����¥������� ²�� ��� ��$ �(��
ηa→i
�� �(� ����������� �(�� �(� '�����¥����ua→i = 1
´ �
¢£
� � ��� � �� ���������� ��������
¸�� '������ ��$ �� �������(� �' ��� �� ��� � ���� �(� ������ ����������� ²¦� ´ ��������� �±������� �¶� ��'���� �� ���� �� �(�
η��������� $����$ �� ²¹´ �
ηa→i =∏
j∈V (a)\i
[
Πuj→a
Πuj→a + Πs
j→a + Π0j→a
]
,²¢¯´
� (��� �
Πuj→a =
1 −∏
b∈V ua (j)
(1 − ηb→j)
∏
b∈V sa (j)
(1 − ηb→j)
Πsj→a =
1 −∏
b∈V sa (j)
(1 − ηb→j)
∏
b∈V ua (j)
(1 − ηb→j)
Π0j→a =
∏
b∈V (j)\a
(1 − ηb→j)²¢¹´
���� �(�� � ��� $�'� ���� ∏b∈V s
a (j) (1 − ηb→j)����� �(� ����������� �(�� �� ���� ��� ������� ��
j ��� �(� ��'����
�� $��b ∈ V s
a (j)° � �(� ���
V sa (j)
�� �� ��� �(� ���$�'� ����� �����1
�� $�������� � � ��� � V (a) \ i
�� �� ��� �(��ηa→i = 1
� ¸������ �(� ¦� �������(� '�� � � ��� � ���#�$ �� � ���� � ��� ��� �� � �
����� � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� �� � � � �� �� �� ��� � ������ �� !
tmax
2 � �5��!��+ ����!��ε-
"����� � �� #$"�%&'(&) �� 7� �! �� ������+ ����tmax
!,��� ! - �� �� �! ������+ � � � !�� ���� ��� ��. # ��!#!���. !
η∗a→i
-
/ - 0� � �� �t = 0
� 1 ���. �+��a → i
� � � ���� ��� 2 ��+� �. �� �� ����3� � � ��� ��. ��!
ηa→i(t = 0) ∈ [0, 1]4 - 1
t = 1�
t = tmax
�
4 -4 !,��� � � !�� � �+��! �� � ��+� +� 2 ��+ ��+��� !�5���� ����. � � ��� ��. ��!!���. ! � ��� � � �+��! � � � ��� 2 ������ ��� � � �����!
ηa→i(t)2 � !��� !� �� ���
$�7#��)0�& -4 -6 ��
|ηa→i(t) − ηa→i(t − 1)| < ε� ��� � � �+��! 2 � � ����� �� �! ������+ ��+ �������+
η∗a→i = ηa→i(t)
� ("�" �� �� 6 -
6 - ��t = tmax
���� �� #$"�%&'(&) - ��t < tmax
���� � � !�� � ����+ ���� ��� ��. ��! !���. !
η∗a→i = ηa→i(t)
7� �� ��� $�7#��)0�&(ηa→i)
-����� � 7�� � ��� ��� ��. ��! !���. ! � �� ��� �� ��� �� �� �� �+�
j ∈ V (a) \ i"����� � ��, ����� � � � ��� ��. ��! !���.ηa→i
-
4 - 1 ���.j ∈ V (a) \ i
2 ������ � � �����! �Πu
j→a, Πsj→a, Π0
j→a
� !��� �5 - 24�3 -
6 - $�����ηa→i
� !��� �5 - 24�3 -
� � ����� � �� ��� ���� ��� ���
¦��� ��� �(�� ¦� (�� '�������$ ��$ ����� � ��� � '����� ���� �������η∗
a→i
� §(�� '�� �� ���$ �� ����� ��� �(����� ������ ²�(� ����� ����´ � ��'( �������� � §(� ����������� � (�� ��� ��'�� �� � '������ �� ���$�� �(�� �(� ��������i
�� '���������$ ²� ��#���´ ��xi = 1
�� ����� �� ��� � ���� ���
W(+)i =
� ���
∑
a∈V (i)
ua→i > 0
.²¢¾´
¢¢
¡ ��(�� �(� �'����#�$ �����¶ �� ����� �(�� ���$� �
W(+)i = Ci
∑
{ua→i},a∈V (i)
∏
a∈V (i)
Qa→i(ua→i)
θ
∑
a∈V+(i)
ua→i
∏
a∈V−(i)
δ (ua→i, 0) .²©£´
À� ��$�� �� � ���� �(� ���� �� ���� � � �(� '�������$ ����(��{η∗
a→i}����� �� ¦� �� �� '��������� �� ����� $�'� �(�
����� ��� ±��������� �
Π+i =
1 −∏
a∈V+(i)
(1 − η∗a→i)
∏
a∈V−(i)
(1 − η∗a→i)
Π−i =
1 −∏
a∈V−(i)
(1 − η∗a→i)
∏
a∈V+(i)
(1 − η∗a→i)
Π0i =
∏
a∈V (i)
(1 − η∗a→i)
²© ¢´
§(� � ������� ���� �(�� ���$� �
W(+)i =
Π+i
Π+i + Π−
i + Π0i
.²©©´
¦�� ������ �(� ����������� � (�� ��� ��'�� �� � '�� ���� �� ���$�� �(�� �(� ������ ��i
�� ��#�� ��xi = 0
�� ����� ���(� �������� ����
W(−)i =
Π−i
Π+i + Π−
i + Π0i
.²©ª´
§(� ����������� �� � �'� �� � '������ �� � (�'( � �������� �� ��$��¥'���������$ �� �� ��#�� ���$�
W(0)i = 1 − W
(+)i − W
(−)i .
²©« ´¡� � �� ���� ����� ��� �(� '�� ���¶ ��� �(�� �� �(� ���� ���#�$ �������(� � �(� ���� �� � ����� � ��� '������� � À�
�( �� ��'���� �� ���� �(� ������� ������ �� �(� '�� ���¶ ��� �������$ ��� �(� ��������'�� �(���'� �������� � �� � ¨¯ ° �� ��� $���'� ¿ �����'����� �� �(�� �¶�������� �� ����� �� ��'� � � ÀÀ � §(� ����� '�� ���¶ ���
Σ'�� � � $�'�� � ���$ ����
'����������� ���� '����$ � ��( ����� ��'���� �� $� ��$ � ��( ����� �������� ��$ ���$� �
Σ =
(
M∑
a=1
Σa −N∑
i=1
(ni − 1)Σi
) ²©¬´
� (���
Σa = + log
∏
j∈V (a)
(
Πuj→a + Πs
j→a + Π0j→a
)
−∏
j∈V (a)
Πuj→a
²©®´
Σi = + log[
Π+i + Π−
i + Π0i
] ²©¯´
À� ¸�� � « �� ��� ��� �(� $��� �� �(� '�� ���¶ ��� � � ����� ���$�� ª¥¦�§ ��� ��� � ��#�N = 106
��$α
�� �(�'��������� ����� � ���� �(�� �� �$$ '������ �� �(� ���¥�¶ ������ ������ ��$ �(��� ��� �(� $��� �� �(� '�� ���¶ ��� ���'��������� �
¢©
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
3.85 3.9 3.95 4 4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3Σ
γ
{nugh_ � a �rt |q_w n^i | _h x]hn]p q_ [Σ/N
k rs ^d_ m]^nmsi nfu vqgm^_hm srh ] unx_f m]t |q_ rs mn�_N = 106
z �d_ vrt |q_w n^i x]fnmd_m]^
αc
~ dnvd nm _w|_v^_` ^r p_ ^d_ vhn^nv]q ^dh_mdrq` srh ^d_ m| _vnov srhtgq] gf`_h m^g`iz
� � �� ��� � � � �� ����������
¡ (�� ��� ���� �(� ¦� �������(� �� � ������ ������� ���� ��� � ��( � ���� �'���¥����( ��� � �� ��'������ ������������� � ¢´ � �(� ���� ��� �� ¦�§ ��$ �(� ¦� '�������� �� ������ �
ηa→i ∈ {0, 1}� §(��� ������ ��� �¶�'��� �±���
�� �(� �������� ���$ �� �(� ¡ � �������(� � ��'���� ÀÀÀ �∀a, i : ηa→i = u∗
a→i
� §(�� ������ �� ������ �(�� � �� ����� � ���� ���� �(�� � �(��
ηa→i = u∗a→i
�� �����a − i
�� ����� £ �� ¢� §(�� �� �� �� �'���� � ��� '���� �(�� � �(�� �(� ����²¢¯ ¢¹´ � (�� ���'����#�$ �� �(� '���� � (���
η ∈ {0, 1} �� �±� ������� �� ²ª´ �����$�$ �(��� �� �� '�����$�'���� �� �(�� ������� ����� ��� ���� ��'���� �� $�
a� ©´ À �(� ������� �� ��¦�§ ��$ �(��� �� � '�����$�'���� ���(�� ¦� ����
���� ������� ��'���� ²¢¯ ¢¹´ ����� �0/0
������ �� �(� ����� ����� � W±
i
�� ²©© ©ª´ ����� �0/0
������ ²$����$��� ��� (��(�� �(� '�����$�'���� ������� �� �(� ����� � �(� '����� � ������� �� ���� �� �(� ���� ����� � �(�� ���� �������������'���� � ''��� � (�� � �������� ������� ���� �� ��� '������´ � §(� ��������#����� � ¦� �� ����� ������� � � �� � ���(� ! �Á ¥¤¥¦�§ ������� (�� ���� $��'����$ �� ¨¯ ��$ �� �(��� ��� �¶����� �� (��� � ¦� ¦� $��� ��� ����� ��� ��������� � ��( �����'� �� ��� ��� ������� ������� �� � ���� ������� �
¦� �� � ���� (�������' �������(� �� � (�'( �� (��� �� ���� � '��������'� ��� �� (��� ���$ �¶����� ������� �(���� $��� '������� �� ���������� � (��� �(� ��� ��� ¡ � �������(� $��� ��� � ¡ (�� �� '�������� ¦� �����$�� � � �� ��� � '����� ���� ������� ��$ �� ����� ��� �� �(� '�� ���¶ ��� �� �(� ���� �� � ¦�§ '�� ����� �� �(� ���'��' ������'� ��$�����$�� ¦�'( ������� (��� � ��� $����$ �� �(� �����
N��� �� ��$ � (�� �� �(� �������� � ������ � �(��� ±��������� ��
�����N
�� ������� �� �� �� �� ±������� � §(� ����$��� � �(� �'����#����� �����¶�� ����� �� $�· '��� �� ������ � �����(� ������ � '������ �� ��� ���� �� $���� �� �����
N� %���(�� �������� ��� '�� �( ��� �(�� �� �����
N �(��� � ��(��¶ ��� ��� � �º�'���� µ�����
N'������� µ ��'( �(�� �(� ���� �� � ��������� �� ¼ �� �� ��$�� �� ���'( ��� '�� ���� ���
����(�� ��� �� ����� ���$��� �� � ���������� � �'���� �� �(� ���� �� � ��������� �������$ � ������ �(� �����¥'������� ���� ��$ �(� �����¥'�� ���� � ���� � ¦�'( � ��������� ����$ ��������� �� $�· '��� �� (��$�� �� ����'( �������(� � ��$�( �� �� � (��� ¦� ����� ��� �� � � ±���� �º�'���� �
À� ��$�� �� ��� ��� � '��'���� ��$������$��� � �(��� ±�������� �� ����� ��� �����N �� (��� �¶� ���� ����$ ¦� ��
������ ������'�� � �(� ���$�� ª¥¦�§ ������� � ��( � ��� ��������� �� ��N ∼ 107
� §(� ������� ��� ��� � ���#�$ �� �
•��� .,����+,�����,�� ����� � ¸��
α < αd ¦� '�������� �����$ �(� ������� ��������
Qa→i(u) = δ(u) �� ���a → i
�$��� � � �� ��������� ��� ��$��¥'���������$ ��$ �(��� �¶ ��� ��� ������ '�� ���� ¨©® �
•��� ���� ��� ����� � ¸��
αd < α < αc ²� (���
αd ' 3.921��$
αc ' 4.267´ �(�� �� �� �(� (��$ ��� ������ ¦� '�������� �� � ���±�� ���¥���� ��� �� ������ � §(� '�� ���¶ ��� �� � ������� ²�¶��������� ���� �� � '�� �����´ � §(�
������� '���� ���'��� �� ��� ����� '��'������ �(� ���'� � ��������� �� ��� ����� ��� ��� � ¡������ � ��(N
������ ����� N ≤ 10000 ��� � ¦�§ '������������ '�� �� ���$ �· '������ �� ��� $ �������(� � ���� � �� � �������¥ª¬¨¢¹ ¢¾ � ¡� (��� ���$ �(�� �� ���� �(� ���'�� � � ¦� �� �(� ����� ��� � ��(� $ � ¸�� ��� ����� ��� ��� �� ��� ¦� ��$ �� '�� ���� �� ��'( �������� ��� µ� ������#����� µ
mi
$����$ ��mi = W
(+)i −W
(−)i
� ¡� (��� ��������$ � ��(�������¥ª¬ � ����� ��� ���
N� �������� �� ������� ���� ��'( ��� ������� ��� � ���� ���$ ��� �� ��$����$���
���$�� �� ����� '��$����� � À� �(�� ��� �� � ������ �� ��'( ��������i �(� ���� �� � ������� ����
N+i
� (���xi = 1 ��$ �� $����
m′i = 2N+
i /N − 1� À �� ���� ��� �(�� �� ������� � ��������
i� (�'( �� ��$��¥'���������$
�� � '������ ��� ���� � ��( �±��� ����������� ��xi = 0
��xi = 1
�� �(� ¦�§ ������� ���� � �(�� '������ �(����� '�� �¶��'� �(��
mi = m′i
� À�$��$ �¶���$�$ ��� ���'�� �¶� ���� ���� ²��� �� � ¨¯´ $��� ��� � '���� '����������
¢ª�������
m��$
m′ ��$�'����� �(�� ¦� �� ���� �� ���$�'� '����'��� �(� ��'���� � ¦�§ ������� ���� � (��� ������� ��
i(��
xi = 1�
•��� �� ��� ����� � ¸��
α > αc = 4.267�(� ������� � ¦� �¶������$ ����� $��� ��� ���� ��� � � �� ��� ����� �
¸��αc < α < α∗ ∼ 4.36
�(� �±������� '������� ��$ ��� �(� '�� ���¶ ��� �� �������� � ¸��α > α∗
�(� �±����������� '���� �� '������� ¨©£ � � � ��� ������� ���������� � ¦� �� � (�'( ��� � �����#�� '�����$�'���� � �������������$ � ������ �(�� � #��� ����������� '�� $��� � ��( ��'( � ����� � ��$ �����$� �������� �� ��� ����� '��'�������(� ���¥'��� '����������� �(�� �� ����� �(� ! � Á¥ª¥¦�§ ������� ²��� ¨¯´ �
� � � �� ���� �� ���� � ���� � ���� �� �� ���� � ����� ���§(� �������� ��'���� (�� �(�� � (�� ¦� '�� ���� ���(�� ���'��� ������� �� �(� ��������'�� ���������� �
SM
�� ������ ������'� � ª¥¦�§ � §(� ������� ±������� �� ��� �� (�� �� ��� ��'( �� ��� ����� �� ��$ ����� ���� ������� ���� �
À ¦� '���$ ���$�'� � ��( ���� (��( �''���'� �(� ����� � �(� '�� ���¶ ��� � � ����� ������ �� '���$ ���� ���$�'���� ������ �������� §(�� ��� '���$ ��� '��$ �� ��$��� � ����� ���� ������� ��� ¿ ��� �� �(� ����� '��������� � $�'������������(� � ���� � ����'( �������(� � � � ������ �� �� ����'��$ ��$ �¶�$ �� ��� ����� � §(�� ¦� �� ���$ �� �������� �(�'�� ���¶ ��� � �(� ���������� � ��#�
N −1� À �(� ������� ��� �� ¦�§ ²
Σ > 0´ �(�� �� ���� �(� ������� ��� ��(��� ���
�(� ��� ����� ����� � �(� ������ �������� �� '(���� � §(� ��� '��� �� ��� ����$ ����� ��� �(� ��������� (��� � ��� �¶(�����$²�� �� � ���
2N'���� � ¦� ´ � §(� �� ��� �'(�� � (������ ��º��� ��� ����� ��#� �º�'�� ��$ ��� �(� �� ���'����� ��
�(� $����� ������� � �(� '�� ���¶ ��� � �'� � (�'( �� �����'� ����� �� � ������ '���� ��αc
� ! ������� �� $��� ��� �����$������� � �(� '�� ����� �� ��� ����� �����$�$ �� �(� ������� � (�'( �� ���$ �� �(� ��� '�$��� �(�� �� ��� $��'��� � �
� � �������� � � �������
½�'� ¦� (�� ���'(�$ '��������'� �� '�� '�� ���� �(� ����� � �����{W
(±)i , W
(0)i }
� (�'( ���� �(� ��'���� � '�������� (��� �(� ��������
xi
�� ��#�� � �������������������'���������$ � ³ ����� '�� ����$ �(��� ����(�� �� � �� $�����¥�� ��( �(��� �� ����'� ��� �� � ������ �� �� $�� ²� '����� ��� �(� ������ �$���� '���� � ��� ���� �� �������´ � �(� .,����+,�����,�� ���� � ��(
W(0)i ∼ 1 �(� ������ ���� � ��(
W(+)i ∼ 1
��W
(−)i ∼ 1
��$ �(� ����,��� ���� � ��(W
(+)i ' W
(−)i
��$W
(0)i
�� ��� �¸�¶ ��� �(��� �(��� ��� �� � ������ ��� ��� $�'� $�º����� �º�'�� '����������� � ��( �(� �������������� � �(� ������� �
¸ �¶ ��� � �����$ �������� $��� ��� ����� �(� ����'���� � �(� '������� ��$ �(� '�� ���¶ ��� '(����� �� ���( �� ² �� '���������� ���� �����$´ � ¸�¶ ��� �� ��$��¥'���������$ �������� �º�'�� ���� �(� �������� ������� � �(� '������� ²� (�'( ��'����� ��������´ � À������������ �����( �¶ ��� � �����'�$ �������� (�� �� ����� ��� �º�'� � �� ��� $�'�� � $�'��������� '���� ��
ln 2�� �(� '�� ���¶ ��� ��$��$ (�� � �(� '������� ��� ���� �����$ �� �¶��� ��� ������ �����'�$ �������� �
��� ���'�� �¶� ���� ���� '�� � � ������ � �� ��� �$ �� ��� ���� � (��� ��#� ¨¯ �
� ���������� ������ � �������
½�� �������� �� ����� �(� �� ��� ����� �����$�$ �� ¦� �� �� �¶ �� � ��� ��������� �� �������� � ��(��� ���� ���������� � ��� '�� ����� � �� ��'( ����8 ���+, ���� �(� '(��'� � �(� �������� �� �¶ �� � �$� �� ������� �� �(� ������
W� �
¦�''�������� �(� ������� �� ��� �����$ ��$ ¦� �� ��¥��� ���� �(� �� ����� ������� ���$��� �� � ��� ��� � η
� ��$'����±������ �� �(� ��� ��� � � �����
W� ��$ �� �(� '�� ���¶��� � �(� ���¥������� � ���������� ���(�� ��� ������ ���
(��� � ��� �¶�$ �� ²� ��� ������ ´ �(� ��� ������ ��������� ���� ��� �� � � ��$��¥'���������$ ²� �� �W
(0)i = 1 ∀i
´ �� � (�'('��� � ��� ��� ����'( ��� '��� '�� � � ��� �� ��$ �(� '�� ����� ����� � ��� ������� ��� �
� ������(� �����$ �� ���� �������� � �(� �� ��� �$��� �����$� � ��� ��� �������(� �(� ������ �� �����$ $�'�� �����²¦À/ ´ �(�� '�� �� ���$ �� ��$ ��������� �� ���$�� ª¥¦�§ �� �(� (��$ ������
α ∈ [αd, αc]� ¡� $� ��� �¶��'� �( ��
�� ���� �������� �� �� �(� � ��� �· '���� ��� �� �(�� �� �����'���� �������� (�� � ��� �����$ ��� �� ����� �#� �(�$�'�� ����� ���'��� �
�01 ��� �� ������ � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� �� - 0 � �� �� �� ��� � �
����� �� !tmax
��+ � ����!��ε
� !�+ �� 7�"����� � "�� �!!���� ��� , �� !�� �!� ��! ��� ���� !�! 2 �7� �� #$"�%&'(&) �2 �� � �. ��70� �
/ - '��+� �� �� ��� ��+�� �� � � � !���. !
¢«� mrqx_`
Nfinal/N^r^]q ^nt _ [m_vrf`mk
γ ↓ f = 4 f = 1 f = 4 f = 4 f = 1 f = 4 f = 4 f = 1 f = 4� zbc �cc� �cc� c z�� c z�c b�j z�b b��b z�� zb� ��� �cc� �cc� c z�j c z�j c z�� b� � zbc � �� zcc b��b zb� zbb �b� �cc� �cc� c zj� c z�� c zj� b�� zbc ��� zcc jjj� z�N → 105 106 105 106 105 106
{nugh_ � a � _mgq^m rp^]nf_` pi mrqx nfu ~ n^d ] mnfuq_ `_vnt ]^nrf hgf rs ^d_ ��\ ]qurhn^dt �c h]f`rt nfm^]fv_m rs j���� ~ n^dN = 105
]f` � ~ n^dN = 106
srh _]vd x]qg_m rsα
z � qq m]t |q_m ~_h_ ohm^ ^hn_` ^r mrqx_ pi ownfu x]hn]p q_m nf m^_|m rsf = 4%
]^] ^nt _ � ^d_f ^d_ h_t ]nf nfu [gfmrqx_`k m]t |q_m ~ d_h_ mrqx_` ~ n^d
f = 1%z �d_ t ]wnt ]q fgtp_h rs n^_h]^nrf ~]m ^]}_f _�g]q
^r103
]f` ^d_ |h_vnmnrf srh vrfx_hu_fv_ ~]m ^]}_f _�g]q ^r10−2
z �d_ ^]pq_ mdr~ m ^d_ sh]v^nrf rs nfm^]fv_m ~ dnvd ~_h_ mrqx_`pi ��\ [ohm^ vrqgt fk � ^d_ sh]v^nrf rs x]hn]p q_m ~ dnvd h_t ]nf_` nf ^d_ mnt |qno_` nfm^]fv_ ~ d_f ]qq mghx_im ]h_ ^hnxn]q � ]f` ^d_]x_h]u_ vrt |g^_h ^nt _ h_�g_m^_` srh mrqx nfu ]f nfm^]fv_ nf _x_hi v]m_ [rf ] b z� �� � �� k z
4 - '�� 7�
6 - &������� ��� � � ��!�!{W
(+)i , W
(−)i , W
(0)i }
2 ��+ � � ������ ��.Σ
2 � !��� 26 4#6�3 -
- 7������. ��+ 7�� � �
-4 0 ,+,���� ��� �.����� �{η 6= 0}
� ��� +.,� 2 � �� � �� � � �� �� �� , �� � � ����!�|W
(+)i −
W(−)i |
3 ��+ !������. � � � ��� - -6 0 ��� �.����� ��� �� �� �� � �
{η = 0}� 2 � �� ����� � � !������ ��+ !� #����� ��+ �� � �� �
���� !�� � ���!! 2� -� - ,��� !�� 3 - - 0 �� �+�� ,+� �+,��� � 2 ����� �� � �. �� !��� ��+ !�� 2 �!��� 2 � -� - + �+ � � 3
4 - �� � � � ��� �! !���+ ��������. . �� �� ���� !� ������ �� 2 � �� ����� �70�� ��+ !�� -�� � ����+��� �� �! ���+ � �� ��� ���� � � +���� �� �� ���!! � � � !� ���� � ��� 2 +�+ ��3 ��!� 2�� � ����+��� �� �! ��� �+3 !��
§(� �������(� '�� ���� � � ���$�� �#�$ �� �¶��� ������$ � �(� � ��� �����$ ��������� ��� �������� ���$�� �� '(������ �(� ��� � �(� Á Á � ��'��� ��������� � ��( �(� ������� ���� ²����'���� Á Á�¬ ����� ����´ � §(�� �������� ����� � �� ������ � ������� �� �(� '��� � (��� �(� �������(� (�� ��� ���$ � �������� �
§(� ������� �$�� ��$������� �(� ����'( ��� '��� �� ��� ��� � �� ��'( ��� � ���� � ������ �������� �� �¶�$ �''��$��� ���(� ���'�� � � ¦� ��$ �(� �º�'� � ��'( �¶��� �� ���$ �� ��� ��� � �(� ������� � §(� ��� ��� � ��������� ��$�'�� ���Nt
��Nt − 1 − St
� (���St
�� �(� �$$������� ���� �� � ��������� � (�'( � �'�� � �¶�$ $�� �� ��� ����'����� � �������$'������ ��� ���� �����$ ���������$ ¤ '������ ��� ����� ��� �$ ���� ²¤¥ ¢´ '������ �
K = 1'������ ���$ �� � � �������$
��$ �(��� ��� �(��� ��������� ��� �������� �¶�$ ²���� '����� ����������� ´ ���$��� �� ���(�� �������� ���� ������� � §(���� '��� �� �(�� ��� ����$ �� �(� �� ����� ���¥������� �
¦������� ��� � ª¥¦�§ ������'� �(� �������(� � ��� ��� $�'� � ��±���'� � � �¶�$ ©�ª¥¦�§ �� ����� ��$ �� ����� ���������� � � � ��� �¶ ��� � '������ ��'���� � �(� ��������� �(� ���¥ ��� ��� ����� ��� �� � � ��$��¥'���������$ ²��� �(�������� ��� '��'�������$ ��
ua→i = 0 � �� �{ηa→i = 0}
´ ��$ ±��'��� �����$ �� � �� '�� ����'( � ��(�$ � §(� ������ � �(� �� '�� ����'( ¿ ����$ � ��( �(� ��� � �¶�$ ��������� �����$�� �(� ������� ����� ���� ������� ��� �
½� ��� � ������� ��(�� '����'���� ���������� '���$ ���� �� �� ���� ����$ � �� � ��'����'� � ³������ �� ����� ���$��ª¥¦�§ ������'�� �(� ���� ��� ����� ��� �� �� ��� ��� ������ ��''��� �� ��$ �� ���(�� ����� '����'���� �������� �����$�$ � ½� � ��� ��������' ������'�� � (��� �(� ��� ����� � �(� �'��� ����(� �������� ��� � ��� ���� ��� ����'���� ���¶� �'� '����������� �� �(� ������� ��$ � ������� ������ � (�'( ���$ �� �� '���$ � §(� ¦� �±������ '�� � � ��������#�$�� $��� � ��( � ��� '�� ���¶ ����(� ¨¯ ©© ��$ ��� �� �(� ���'��'�� ��$� ��� � ������� ����� '����'���� �������� '���$� �'�� � ��� �� ��¶������� ��� ���'�� �¶����� ���� �� ���$�� ª¥¦�§ ������'�� ��
α = 4.2 − 4.25� ��( ��#� �� ��
N = 107(���
�(�� � � ��� ������� �· '���'� � �(� $�'�� ����� �������(� � ¡ (��� �(� ��� '��� � �¶��� � ������ �������� ����� ��� ���� � ²
O(N)�� ��������´ ����'���� �(� ���� $�'�� ����� ��� ���$� �� �(� �������� � §(� ��$��¥'���������$ ��������� �
��� $�'�$ �� �(� $�'�� ����� ��� '��� ���� ��� �� � � ��$��$ ���� ���� �� ����� � ���� �� �(� ������� ��� ����N = O(107) �(� ��������� � ��������$ �� ¦À/ ²� (�'( ����'���� �������������� � �( ��$ ��$ (�� � �(� ���� ���� ���������´ ��� �����$
�� �� ��'��$� �� ������� �À �� �¶ ��� ������ �� �� � ��� � �(� ������� '�� ���������� '��� �� (��$ ���$�� ª¥¦�§ ������'�� �'���� ��
O(N2)�
À �� ��� ��� ��� '���� �� �(� �(���(��$ � �� � ��α = 4.2 �� � �� ���� �¶ � ��'���� � ��������� �� � ��� � ���$��� ��
� ���(�� ��$�'���� � �(� '��� ��O(N lnN)
²�(�ln
'�� �� ��� ������� �(� � �����´ �
¢¬� ���� ����' ��� '�� ����� ������� � �(� '� $� � (�'( �� �����$�$ �� ����� ���� �� �(� ���$� �� ���$�� ª¥¦�§
������'�� �� ��������� �� �(� ��� ���� ¨© ¢ � ��������#����� � �(� �������(� �� ��(�� ������� � ��±� ��� ��� � '(������ (�'( ��� ��� ��� �� ���� ����$ �
� �� � ��� � � ���� �� �� ��� �� �� � ����� ��� �� � �� ���� � ����� ���§(� ������ ����������� �±������� $��'����$ �� ��� $������ ��� � ��� ��������� � ��( �(� ��� ���$ �� �(� ¦�� ¥� �� $�'�
�������(� ¨¢¬ � §(�� �� � ������' �������(� �� '�� ������ � ������� ����������� $������������ �� ���� ��� � $����$ �� �'��� ����(� � (�'( (�� � ��� ���� ��� �� �� �(� '����¶� � ����� '����'���� '� $�� ¨¢¯ ��$ �������� �������� ¨¹ ��� � (�'( �� ������ �(� ��� � ����� ����������� ²�� ´ � §(�� ��'���� �¶������ �(� � ��� $�º����'� � ������ �(� ���������'(�� �
� � ���� � ���������� �� ��� ��� �������
§(� � ���� ����������� ²�� ´ �������(� �� � � ������ ������� ��� '�$��� �(�� ����������� �(� ������� ������� ��� '�$���²¡ � ´ � ��'� �À ÀÀ � � À� ��� � �� '�� ������ �(� ��'���� � ¦�§ ������� ���� � (��� � ����� ��������
xi
�� ���� � 7�� ��'����$�� �(� ����������� ���'� ����� �� ��� ¦�§ ������� ���� � ��( �±��� ������������ �������
a��� � �(� '������ ��
� (�'(xi
������� �(� ����' �����$����� � �� ��� �(� � ������� �
• µa→i(xi) �(� ����������� �(�� '�����
a�� �������$ ����� �(� ����� � �(� ��������
xi ∈ {0, 1}�
• µi→a(xi) �(� ����������� �(�� �(� ������ �� ����� �����
xi � (�� '�����
a�� ������ ²�(�� �� ����� � ��� �'�� µ'����� µ
$�������� ´ � ����'� �(�� ∑xi∈{0,1} µi→a(xi) = 1 � (��� �(��� �� �� ��'( ���� ��������� ��
µa→i(xi)�
§(��� � ������� ����� � �(� ����� ��� �±������� �
µi→a(xi) = Ci→a
∏
b∈V (i)\a
µb→i(xi) ,²©¹´
µa→i(xi) =∑
{xj(j 6=i)}
fa(X)∏
j∈V (a)\i
µj→a(xj) ,²©¾´
� (���Ci→a
�� � ���� ��������� '������� �������� �(��µi→a
�� � ����������� �(� ��� ����{xj(j 6= i)}
� ���� � ������� ��� ������ � �(� ������ ���
xj ∈ {0, 1} �� ���j
$�º����� ���i ��$
fa(X)�� � '(���'�������' ��'���� ������ �����
1� �(� '�����������
X = {xi}�������� '�����
a ������ �����0
��(��� ��� �À� �� '��������� �� ����� ����#�
µi→a(xi)�� ����� $�'��� �(� ��� ���
γi→a ∈ [0, 1]� (�'( �� �(� ����������� �(�� �(�
��������xi
�� �� �(� ����� � (�'( �������� '�����a �� � ������� � (��� '�����
a����$ � � ������ ²� ������ �� �� ����'�
µi→a(xi) = γi→aδ(xi, 0) + (1 − γi→a)δ(xi, 1)�� �(� '��� � (���
Jai = −1
´ �7�� � � $����� ��
δa→i ≡∏
j∈V (a)\i
γj→a
²ª£´
�(� ����������� �(�� ��� ��������� �� '�����a �¶'��� ��������
i ��� �� �(� ����� � (�'( �������� �(� '����� � À� �� ���� ����� �(�� �(� �� �±������� ²©¹ ©¾´ '�� � � � ������ �� �
γj→a =Pu
j→a
Puj→a + P s
j→a ,
²ª ¢´
� (���
Puj→a =
∏
b∈V sa (j)
(1 − δb→j) ,
P sj→a =
∏
b∈V ua (j)
(1 − δb→j) .²ª©´
¢®
ab
c
d
ef
gh
i
1 2
3
45
6
7
0
8
1/2
1/2
2/3
1
1/31
1/3
11/3
10
01
1/2 0
1/20
0
1
1/31
1/31
2/31/2 1/2
2/3
2/3 1/2
1/2
{nugh_ � a �f _w]t |q_ rs h_mgq^ rp^]nf_` pi ^d_ y� ]qurhn^dt rf ^d_ ^h__ |hrpq_t ~ n^dN = 8
x]hn]pq_m ]f`M = 9 vq]gm_m
m^g`n_` nf ou zb z �f _]vd _`u_ rs ^d_ uh]|d vrff_v^nfu ] sgfv^nrf fr`_ qn}_c
^r ] x]hn]p q_ fr`_ qn}_2
� ]||_]hm ^d_ x]qg_ rsγ2toc[nf p qg_ � rf ^d_ hnud^ d]f` mn`_ rs ^d_ _`u_k ]f` rs
δcto2
[nf h_` � rf ^d_ q_s^ d]f` mn`_ rs ^d_ _`u_k z �rt |]hnfu ^r ^d_ l � h_mg q^rs ou zb � rf_ m__m ^d]^ ]qq ^d_ t _mm]u_m
δatoi = 1� vrhh_m|rf`nfu ^r m^hnv^ ~]hfnfum � ]h_ ^d_ m]t _ � ~ dnq_ ^d_ t _mmu_m
δatoi < 1]h_ nf^_h|h_^_` nf l � ]m �fr ~]hfnfu� [n z_ z ] fgqq t _mm]u_k z � mnfu [jjk � ^d_ |hrp]pnqn^iµi
^d]^ _]vd x]hn]pq_xi = 1
]h_ srgf`_�g]q ^r a
1, 0, 1, 1, 1/2, 3/4, 3/4, 1/2z �d_m_ ]h_ ^d_ _w]v^ h_mgq^m ]m v]f p_ vd_v}_` pi vrfmn`_hnfu ]qq m]^nmo]pq_ ]mmnuft _f^m ]m
nf ou zb z
À �� ����� ��� �� �� ��� �� ������'�V s
a (j) = ∅ �(� '������ ��$���Pu
j→a
����� �����1
�� $�������� � À � �'��� �� $�a
�� � ��� ²�� �� '�����´ � ��( � ������ ����(� ���i �(� '������ ��$���
δa→i
����� �����1
�� $�������� �� � ¡ � �(� �� �������(� �� �¶�'� �� � ���� ²��� �� �� ����'� ¨¢¬´ � À� �'� �� ����� � � ��� �''����� ������ ���'� ��
����� � �� '�� ���� �(� �¶�'� �����������µi
²� (��� ¡ � �$������� �(� ��������� � (�'( ��� ���� '���������$ ��$ ����� �#��� �� '�� ���$ �� �(� ��(�� ���������´ � � � �¶�� ��� � �����'����� �� �(�� � �� �� �® � À� �(�� ���� '��� � �(� ���� ������ �����$�� �(� �¶�'� ��� ��� � � ¦�§ ������� ���� �� ����� �� �(� ����� ��� �(����� �
������� � ���� � � ���� �� �� �� � � ���� � � �� �� ��� �� � ����� � ��� � � � �� &�� �� � $ �� ��
�� � ���� � � �� �� �� ��� ������ �� �� �� � !�"! � �� # $ � � ��� � �� δ∗a→i
� �� � ���������%µi�� �� �� ������
xi = 1� � � �% �
µi =
∏
a∈V−(i)(1 − δ∗a→i)∏
a∈V−(i)(1 − δ∗a→i) +∏
a∈V+(i)(1 − δ∗a→i).
²ªª´
�� !� � � �� �� � ���� � �� � ����� � � �� �� �� ���� %S = lnN &
�� ��� � � � �% �
S =∑
a∈A
ln
∏
i∈V (a)
∏
b∈V sa (i)
(1 − δ∗b→i) +∏
b∈V ua (i)
(1 − δ∗b→i)
+∑
i∈X
(1 − ni) ln
∏
b∈V+(i)
(1 − δ∗b→i) +∏
b∈V−(i)
(1 − δ∗b→i)
²ª« ´����6 �§(� ���� � '��������'� �� ��� ��� � ���� �(� ��� � �������� �� �(� ���� �� ��'� �À ÀÀ � � ������� �� ����� £ ��$ ¢ ���
�¶�$ ����� ���'���� ��$ � � ������ �� �����r
�� �¶�$ �� �(� ������ � � ������� �� ����� ������ �§(� �����������
µi
�� '�� ����$ ��� �(� ��� � ���'�$��� �� �(� ��� ������ �(� �� �±������� ²©¹ ©¾´ � ��( �(�$�º����'� �(�� ��� ����� ���� �''���� ��� ����(����� � �(� ����
i�
§(� ����(��� � ��� �������$ ������ �� �(� ��� '��'������ �(� �������� ¡� ��� �(� ����������� � ������P (X)
���(� ���'� � ��� ������� ���� � (�'( (�� ��� ��� ����������� �� ��� ¦�§ ������� ���� ��$ #��� ����������� �� ��� �(�������� ���� � (�'( ������� �� ����� ��� '����� �
P (X) =1
N
∏
a∈A
fa(X) .²ª¬´
¸���P
��� '�� $���� �(� ����� ��� � �������� �
¢¯
•�(� µ���� � ������� µ
pi(xi)�� �(� ����������� �(�� ������ ��
i����� �����
xi ∈ {0, 1}
•�(� µ'����� � ������� µ
pa(Xa)�� �(� ����������� �(�� �(� ��� � ������ ���
xi, i ∈ V (a) ����� � ����� ����� $�����$��
Xa
²�� ��� �(�2n(a)
�������� ������´ �¸�� � ���� �'��� ����( �(� ��� ����������� '�� � � �¶������$ �� ���� � � �(� ���� ��$ '����� � �������� �� �
P (X) =∏
a∈A
pa(Xa)∏
i∈X
pi(xi)1−ni .
²ª®´
§(� �������S = ln(N )
�� �(�� �������$ ��
S = −∑
X
P (X) lnP (X) = −∑
a
∑
Xa
pa(Xa) ln[pa(Xa)] −∑
i
(1 − ni)∑
xi
pi(xi) ln[pi(xi)]²ª¯´
7�� �� ��� $����� �(� �¶�������� � �( �� ±������� �� ���� � � �(� � ������� ���$ �� �� � ½�� (�� �
pi(xi) = ci
∏
b∈V (i)
µb→i(xi)²ª¹´
��$
pa(Xa) = cafa(Xa)∏
i∈V (a)
µi→a(xi) ,²ª¾´
� (���ci
��$ca
��� ��� ���� ���#����� '�������� � ¸��� ²ª¹´ ��� ���� � ��� ��� � ���(�� ��� �
∑
i
(ni − 1)∑
xi
pi(xi) ln pi(xi) =∑
i
(ni − 1) ln ci +∑
a
∑
i∈V (a)
∑
Xa
pa(Xa) ln
∏
b∈V (i)
µb→i(xi)
;²«£´
� ���� �(� �� �±������ ²©¹´ �(�� ����� �
∑
i
(ni − 1)∑
xi
pi(xi) ln pi(xi) =∑
i
(ni − 1) ln ci +∑
a
∑
Xa
pa(Xa) ln
∏
i∈V (a)
µi→a(xi)fa(Xa)
,²« ¢´
� (��� �(� ����fa(Xa)
����$� �(� �������(� (�� ���� �$$�$ ������ ���� �''���� �(� �'� �(�� ��fa(Xa) ∈ {0, 1} ��� ������ (��
pa(Xa) ln fa(Xa) = 0� §(��� ��� �
S = −∑
a
ln ca +∑
i
(ni − 1) ln ci +∑
a
∑
i∈V (a)
lnCi→a
²«©´
À� �(� ��������� � ²ª ¢ ª©´ ��� (��
ca =1
1 −∏
i∈V (a) γi→a
=1
1 −∏
i∈V (a) Pui→a/(Pu
i→a + P si→a)
,²«ª´
Ci→a =1
Pui→a + P s
i→a
,²«« ´
��$
ci =1
∏
b∈V+(i)(1 − δb→i) +∏
b∈V−(i)(1 − δb→i).
²«¬´
¦����������� ���� ²«©´ ����� �(� �¶�������� ²ª«´ �� �(� ���������
¢¹
� ��� � �� ���� ��� ��� � ���� ����
À� �� ���� �� ����'���� �� '�� ���� �(� ��� � �±������� ²©¹ ©¾´ � �(� �� �������(� �� �(��� � ¦� � ������ �� ²¢¯ ¢¹´ �§(� $�º����'� �� �(��� ��� ����� ���� �''���� ���������� �� ¦� �(� '��� �� � (�'( �(��� �� � ���� � ������ ���� ��������� � ������ �(�� �� ��'����� �� ������� �� ��� � À� �(�� '��� �(� ������ �� �� ��'���������$ � (�� '����$�������� �������� ��� � §(� ����������� �(�� ��������
j�� ��'���������$ �� �(� �����'� � '�����
a �� ���(��� ��� �(������������
Π0j→a =
∏
b ∈ V (j) \ a(1 − ηb→j)$����$ �� ²¢¹´ � À ��� $��� ��� ���� �(�� ������ ����� ���� �''���� ���
���� ��'� �(� �±������� � �� � §(� ����������� � ¦� '�� �(�� �� ��$������ $ �� �(� ����� $�'���� � � ��� ����� � �(���������� � µ¿ ���� ����� µ �� �� (�� � ��� '����$ �� ¨©« � ������ �(�� �(� �������� �� ��� '���������$ � §(�� ��������������(�� ���� ���� ���$ ��'����� �� �(� '�������� ��$ ������������� ������� � �� ¨©« ©¬ � À� '�� � � ���$ �� µ$����� µ �(� ¦��������(� �� � � ���� ����������� �������(� ������$ �� �(�� �������$ ���'� � ������ ��� ��$ � ������� � 7�� �� �¶������( �� ��� '�$��� ���'( �������� '�� ��� � � �� �(��� ������
0, 1, ∗� §(�
∗����� �� �(� ¿ ���� ����� � ������ �(�� �(� �������� �� ���
'���������$ � ¡ ��(�� �(�� �������$ ���'� �� ��� �(� ������� �� �±������� ²©¹ ©¾´ � � � � � ��� �� $����� ��γi→a ∈ [0, 1]�(� ����������� �(�� �(� ��������
xi
�� �� �(� ����� � (�'( �������� '�����a �� � ������� � (��� '�����
a����$ � � ������ ��$ ��
δa→i =∏
j∈V (a)\i
γj→a
²«®´
�(� ����������� �(�� ��� ������ ��� �� '�����a �¶'��� ��������
i ��� �� �(� ����� � (�'( �������� �(� '����� �7�� �� '�� ����
µi→a(xi)� §(�� $�� ��$� �� �(� � ������� �������� ��� �(� �� $��
b ∈ V (i) \ a��
i� §(� �������
� ������������ �� �(��� � ������� ��� �•�� ������� ����� ��� ���
b ∈ V sa (i) ��$ �� ������� ����� ��� ���
b ∈ V ua (i)
� §(�� (������ � ��( � �����������
Π0i→a =
∏
b∈V (i)\a
(1 − ηb→i)²«¯´
•�� ������� ����� ��� ���
b ∈ V sa (i) ��$ �� ����� ��� ������� ����� ��� ���
b ∈ V ua (i)
� §(�� (������ � ��( ������������
Πui→a =
1 −∏
b∈V ua (i)
(1 − ηb→i)
∏
b∈V sa (i)
(1 − ηb→i)²«¹´
•�� ������� ����� ��� ���
b ∈ V ua (i) ��$ �� ����� ��� ������� ����� ��� ���
b ∈ V sa (i)
� §(�� (������ � ��( ������������
Πsi→a =
1 −∏
b∈V sa (i)
(1 − ηb→i)
∏
b∈V ua (i)
(1 − ηb→i)²«¾´
•�� ����� ��� ������� ����� ��� ���
b ∈ V ua (i) ��$ �� ����� ��� ������� ����� ��� ���
b ∈ V sa (i)
� §(�� (��� ���� ��( � �����������
Πci→a =
1 −∏
b∈V sa (i)
(1 − ηb→i)
1 −∏
b∈V ua (i)
(1 − ηb→i)
²¬£´
� � �� ���� ���� � ��( ¦�§ '������������ �(� '�����$�'���� � ������� ���� � � �¶'��$�$ � §(��� ��� �(� �����������γi→a ∈ [0, 1]
�(�� �(� ��������xi
�� �� �(� ����� � (�'( �������� '�����a � ���� �(�� �(��� �� �� '�����$�'���� �� �
γi→a = Πui→a/(Πu
i→a + Πsi→a + Π0
i→a)²¬ ¢´
� §(� �� �±������� �� �(� �������$ ���'� ��'��$��� �(� ���� � ������ � ���� �� ²«®¥¬ ¢´ ��� �$����'�� �� �(� ¦��±������� ²¢¯ ¢¹´ � ��( �(� �$�����'�����
ηa→i = δa→i
� À �(��� �±������� '������� ��� '�� ��� �(� ��������� � ��������� ����� ��� �(� ����������� �(�� �(� ��������
xi
�� �� ������0, 1, ∗
� §(� ������ �� ��������� ����� ���� �'������ �� �(�±���������
W(−)i , W
(+)i , W
(0)i
$����$ �� ²©© ©ª ©«´ � ¸ ������ �(� ��� ���N
� � ������� ������� ���� � �(� ������ ����� �(� �� �����$ ���'� '�� � � ����� ���$ �� �(� '������ ��$��� �������
S = ln N� §(� ������� �(����� �� �� � �(�
�������� �����'���� ����� ��S
�¶�'��� �(� ��� � �¶�������� �� �(� '�� ���¶ ���Σ
� ��� ��� ²©¬´ �
¢¾
2
3
1 b
a
c
2
3
1 b
a
c
1 1
0
0 1
0
0 0
1
0 1
1 0
00 0
1
*
0 1
{nugh_ � a � mnt |q_ ��� |hrpq_t ~ n^d ^dh__ x]hn]p q_m � ^~r b�vq]gm_m � rf_ j�vq]gm_ � ]f` qrr|m z �]vd ough_ unx_m rf_ rs ^d_^~r |rmmnpq_ mrqg^nrfm rs ~]hfnfu |hr|]u]^nrf z �d_ fgtp_h rf _]vd _`u_
a − inm ^d_ v]x n^i pn]m
ua→i
� ^d_ fgtp_h f_w^^r _]vd x]hn]p q_ fr`_ nm ^d_ vrhh_m|rf`nfu u_f_h]qn�_` m^]^_ rs ^d_ x]hn]pq_ nf _]vd rs ^d_ ^~r �vqgm^_hm �z �d_ �� _�g]^nrfmsrh ^d nm uh]|d d]x_ ]f nfofn^_ fgtp_h rs mrqg^nrfm � ~ n^d
ηa→1 = ηb→2 = x�
ηa→2 = ηb→1 = y�
ηc→1 = ηc→2 = 0� ]f`
ηc→3 = (1 − x)2y2/(1 − xy)2
� � � � ��� ��� ��� � ���� ����
§(� ����� $�'���� � �(� ���� � ������ ��$ �(� ¿ ���� ����� �(�� ����� ��� � ���$ � � ��� �������������� �� �(� � (���¦� �������(� � �(�� �������(� ����� � �� ��$ �(� ��������'� � ���¥'�����$�'���� � ������� �����$��� ������� ���� � �(���������� �� �(� �� �����$ ����� ���'� ��'��$��� �(� ¿ ���� ����� � ¡ (�� �� �(� � ������ � �(��� ��������#�$ ������� �����§(�� ���� � � ��$������ $ �� ���¥'�����$�'���� ��������� � �(� ¡ � �������(� � ½� � ���� �(� ¡ � �������(� �������� ������ ��� � ���� ���� ��$ �(��� ��� �(��� �� � ������ ��������#�$ ������� ��� ² �� �� ����'� �� �(� ���� �������� �� � © �(� ���������
x1��
x8��� �� �(� ������
1, 0, 1, 1, ∗, ∗, ∗, ∗´ � §(� �� ��������#����� ��'�� �� ��� �� ���� � (��
�(��� �¶ ��� ������� � ������� ��������#�$ ������� ���� � (�'( �� ������ �� �� �� �� �(� ������'� � ����� � À� � ����� �'�������( �� �� � ������� �(�� �(��� � ��� �¶ ��� ������� $�º����� ���� � �������� ����� � ��� �(� ¡ � �±������� ��$ $�º�������������#�$ ������� ���� �� �� �(� �¶�� ��� � �� � ¯ � ¦� �� �� ����� �� �� ��$��� �(� ��������'� � �(��� ������� ���� ��¶� ���� ������� �� ����(� � ��( ����� �� ����� ��� �(�� ¦� �� ���� �� '������� � (��� �� $��� ��� ¨©¯ � §(��� ±������������� ��������� �
•¢´ /��� ¦� '������� �� � ���±�� ��� � �¶�$ ����� � ��������
• ©´ /��� �(�� �¶�$ � ���� � ������ �� �� ����� ��� � �(�� '������ �(� '����'� �� ��� ����� �� ��� ��� �(� ����������$�������� �����
• ª´ ¡ (�� �� �(� ���������( �� ������� �(� ��� � ��������#�$ �������� ���� ��$ �(� � ������� '��������� � ���������$��'����$ �� ��'� � À� �
§(� ������ �� ±�������� ¢´ ��$ ©´ �� �� ������� �� � §(� ���� ��� �¶�� ��� � �� � ¯ �� � '�������¶�� ��� � §(� �������� ±������� ª´ '�� � � ����� �� � ��������� � ��� '�� ��� �(� ��������#�$ �������� ���� �� $���� �(� '�� ����� ��'(��������#�$ �������� ��� '������ ��$��� �� ��� µ'������ µ� ¸�� ������'� �� �(� �¶�� ��� � �� � ¯ �(��� �¶��� ��� ��������#�$������� ���� (1, 1, ∗)
��$(0, 0, 1) '��������$��� �� ��� µ'������� µ � ���� ¦�§ ������� ���� �
C1 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1)}��$C2 = {(0, 0, 1)}
� ¸���(��� ��� � �'���� ¡ � '�������� �� � ���±�� �������� �� � ���� �� ���� �(�� ��� ���� � �������� ���$��� �� ��� $�����'� ��������#�$ ������� ���� � ��� $�º�� �� � ��� � �$��� � (�'( (�� ��� � ����� � À� �(�'��� � ���$�� ª¥¦�§ ������� � � (��� �(��� ����� ��� ���� �( �� �� ����� �(�� $�����'� ��������#�$ �������� ���� � �������'���� $�º�� �� � ����� ��� � �� $�� ²� ��( � ��#� � (�'( $������� � (��
N → ∞´ � (�'( ¿ ������� �� �(�� '��� �(�
�$�����'����� � Σ
� ��( �(� '�� ���¶��� � �(� ������� ���'���� � ������ ������� ��� '�$��� ��� ���� '��������$ ���� �� ���� �'���¥����(� �� �� $�· '��� �� � ��� �������
������ ���� �� ¦� ��$ �� �� ���� �� ��$ ��� ��� '���� �� � (�'( �� �� ��� ���� ��� �� �� �(� �������� $��'������ (���(�� � � ³ ������ ��� � �� ����'� �(�� �(��� '���� ��� ���� ������ �����$ �� ��� ��� ¡ � ��$ � ��� � ¡ � � ������� ��� �� �'��� '��� � ¦� � §(� $�· '��� '��� �� ¡ � �� � (�� $�º����� ����� � �(� ����( ���$ � ������� '��������$��� ��$�º����� ��������#�$ �������� ���� � §(�� � ��� ����'���� (����� �� � ����( � ��( ��� � '�� � ������ � (�'( ��� ��� ����'����'��$ ��$ �� �(�� '��� ¦� �� ���� ���$ �� � �� ��� � ����� � ! �'( � ��� �� ����'�� ��$ �(������'�� ���� �� ���$�$�� ��������( �(� '��'�� ����'�� �� � (�'( ¦� �� ������ � ����� ��$ �� � � $� � �� �� ��(�� '���� �
©£
� ��� � � ����� �� �� � �� ���� ����
¡ (�� �(� ��������� � � ¦�§ ²�� � ��� ��������� � � '���������$ ����� �'���� ������� ´ ���$ �� '������ ���� ������������$ ������� � �(� �������� ��� ���'� �� � ��� � �'�� �� $�· '��� �� ��$ � ������ �������� � �'���� ²�� ����� �� ����� '�� � ��(� $�´ $�º����� ����� � �(� ������� ���$ �� �$��� �� '���� ����� �� '������������ '��������$��� �� $�º�����'������� ��$ �(��� '����� � � � ����$ �� ��$ � ������� �������� � À� ¦� �� ��� '��$ �� ��� ����� � ¸ ���� �� $������� � ���� ������ � ������� � (�'( ��� �������� '(���'������'� � ��'( '������ �(�� �� ��� �� �(� � ��� � ������ �(�������� � �(��� �������� � §(� ������� �(�� ��� ���$ �� � ���(�� ��� �����$ ��¿ �'� � �� ������ � (�'( ��������� ���'���������$ ��$ � (�'( ��� ��� '���������$ � ��'���� � �(�� ��� ����'����� �(� ������� '�� � � (��$��$ ������ � (�'(� ���� �(� �������(� ���(�� ��� � ½�� � ��(� ���� ��� �� � ���� $��'������� � ��'( '������ � (��� �(� ���� ������� ������� ����$ ���� �(� ����������� �(�� � �������� �� �� � ����� ����� ²
∈ {0, 1}´ � (�� '����$����� �(� ��� � ��� ¦�§
'������������ ����$� �(�� ����� '������ � À� �(�� '��� �(� ������ � ��� ���� �(� ����������� $����������� � �(�� �����������$����������� � (�� ��� '(����� � '������ ���$�� ��� §(�� �� � ��� '��� ����� � �������(� �'���� ��� �(��� �� �� $�· '����� ����'���� �� $��������� �(�� �¶������� � ½�� '���$ ���� �(��� � ��������#��� ���(�� �(� � ������� ²�� �����������$������������ � ����������� $������������ � ����������� $������������´ � ��� � ������� � (��� � ����'���� � '�������� ��(�� ��(�� '������� ²�(�� �� ���� � �� (����� �� ������'� �� ���� ������� ¨©ª´ ��� �(� '��� �� ���� � � '�� �����������'�� ��'������ �� �� ���� ��� �� � ��(� ��'�� � ���(�� ����� �
¡� (��� ��������$ (��� � $��'������� � � ��� �������(� �' �������� �� (��$�� �(� ¦�§ ������� � §(�� �� � ���(��������� �������� � (�'( '�� ���� � � ������$ �� ����'���� �� ��� ����������$ ¦���� �'���� � ������ � ¨¯ ¢® � �� �(� � �� ����(� ������'( �� ���� (�������' ���(���( �� �� ����$ �� � ���(�� $������$ '(���'����#����� � �(� �(��� ����'���� � ���$�� ª¥¦�§ � (�'( '�� � � '(�'��$ �¶�'��� �� �(� Á ½%¥¦�§ ������� � À� ����$ �� ����������� �� ���$� �( ���������(� �' �������� �� ��� �� � ��$�� ��$����� ��� �(� ���$�� ª¥¦�§ ������� ��$ �(� ��������'�� �(���'� ���$��½�� '�� �¶� �'� �������� �� ¦� �� � � � �$� �� �(� ����� �� ������� $���'����� �� ��� � (�'( � % ������� ������� ��'��������'� $�º����� ���� � ����� �(� �� ��� ����� ��������#����� � �(� �������(� �� $��� � ��( '�� ���¶ ����(�� (�'( ��� ��� ����'�� ���$�� ����(� ��� � �(� ��������#�$ ¦� � ��( ������� �� �����$� ��¦�§ '����� '���� � §(���������#����� � ¦� �� ������' ���������� ¦���� �'���� � ������ � �� $��'����$ �� � �������� �����'����� ¨©« �
������ ��������
¡� ��� ��$����$ �� � � ������ ��$ ! � ¡���� �� ���� ���� �� $��'� ������ � ¡� ���� �(��� � � ����� � � �(���� � �³ ���� ¦ � ¤ ��������'� ¦ � ! ������ ½ � ! ����� ! � ¦� �� � � ¦��� �� � � ��$�$�� �� ����������� �¶'(����� �
��� � z� z �rr} � \ z� z � n^vd_qq � Y /*7/*� � .-7 )*:+,* 3,: 05 +4 , 2.+/:� .G/1/+E H -0G1,Z � 6 29-8,E� �f a �]^nmo]pnqn^i �hrpq_t a�d_rhi ]f` �||qnv]^nrfm z \ g � �g ]f` �]h`]qrm [�`mk z \ ����� �_hn_m nf \ nmvh_^_ � ]^d_t ]^nvm ]f` �d_rh_^nv]q �rt |g^_h�vn_fv_ � rqgt _ j� � [����k
�b� \gprnm � z � � rf]mmrf � z� �_qt ]f y z& _vvd nf] � z [�`m zk � H4 .:, D-.*:/+/0*: /* M0Z G/*.+0-/.1 H -0G1,Z :� �d_rh_^ z �rt | z
�vn z �� [bcc �k z�j� � z � nh}|]^hnv} � y z �_qt ]f � M-/+/3.1 > ,4 .8/09- /* +4 , :.+/:� .G/1/+E 05 -.*70Z > 001,.* ,�� -,::/0*:� �vn_fv_ b�� � �b�� [���� k��� �h]~ srh` e z� z
&�g^rf � z\ z� ��� ,-/Z ,*+.1 -,:9 1+: 0* +4 , 3-0::�08,- �0/*+ /* -.*70Z @�26 D� �h^ns z �f^_qq z �� � j ���� [����k z
��� � z � rf]mmrf � � z _vvd nf] � � z � nh}|]^hnv} � y z �_qt ]f ]f` � z �hri]fm}i� M0Z� 9+.+/0*.1 30Z� 1,� /+E 5 -0Z �34 .-.3+,-/:+/3 ��4 .:, +-.*:/+/0*: � ]^gh_ [�rf`rf k ��� � �jj [����k z
��� � z ���]h` � � z �]hnmn ]f` � z _vvd nf] � 6*.1E+/3 .*7 .1� 0-/+4Z /3 :019+/0*: +0 -.*70Z :.+/:� .G/1/+E � -0G1,Z : �vn_fv_ ��� ���b [bccbk [�vn_fv_w|h_mm |gpqnmd_` rf�qnf_ b��egf_�bccb
��c z��b��mvn_fv_ z�c�jb�� k
��� � z ���]h` ]f` � z _vvd nf] � O.*70Z � �2.+/:� .G/1/+E � 5 -0Z .* .*.1E+/3 :019+/0* +0 . * ,� , 3/,*+ .1� 0-/+4Z � �dim z�_x z ��� � c���b� [bccbk
��� e z �_]hq � H -0G.G/1/:+/3 O,.:0*/*� /* )*+,1 1/� ,*+ 2E:+,Z :� bf` _` z [�]f {h]fvnmvr � � rhu]f� ]gst ]ff ����� k��� � z ���]h` �
&� z �]hnmn � D4 , > ,+4 , 1.++/3, :� /* � 1.:: -,8/:/+,7� �9-RH4E: R ! R > �� � b��" bjj [bcc�k z � z ���]h` � � z
&�]hnmn �
D4 , 3.8/+E Z ,+4 07 .+ # ,-0 +,Z� ,-.+9-,� ! R 2 +.+R H4E: R nf |h_mm [bccbk��c� � z �]q]uh]f` � O /� 0-09: 10� +,Z� ,-.+9-, -,:9 1+: 5 0- +4 , � �:� /* Z ,.* � ,17 :� /* � 1.:: Z 07,1� H -0GR D4 ,0-E .*7 O,1.+,7 Y /,17:��� � jcj"j�c [bccck z���� � z {h]f� ]f` � z �_rf_ � O ,� 1/3. G09*7: 5 0- 0� +/Z /#.+/0* � -0G1,Z : .*7 7/19+,7 :� /* :E:+,Z :� ! R 2+.+R H4E: R nf |h_mm [bccjk �
|h_|hnf^ d^^| a��sh z]h$ nx zrhu�vrf`�t ]^�cbc�b�c��b� � z ���]h` � { z � nvvn��_hm_fudn � � z _vvd nf] � 6 1+,-*.+/8 , :019+/0*: +0 7/19+,7 � �:� /* Z 07,1: .*7 % TO �26 D � -0G1,Z :�
vrf`�t ]^�cbc���c � [bccbk � ! R 2+.+R H4E: R nf |h_mm [bccjk��j� � z �rvvr � � z \ gprnm � e z � ]f`q_h � � z � rf]mmrf � O /� 0-09: 7,3/Z .+/0* �G.:,7 30*:+-93+/0* 05 � -09*7 � 9-, :+.+,: 5 0- :� /* � 1.::
Z 07,1: 0* -.*70Z 1.++/3,:� vrf`�t ]^�cbc�bj� [bccbk � H4E: R O,8 R F,++ R nf |h_mm [bccjk
© ¢
���� � z yh]gfm^_nf � � z �_rf_ � { z � nvvn��_hm_fudn � � z _vvdnf] � M0Z� 1,� /+E +-.*:/+/0*: /* � 10G.1 .1� 0-/+4Z : 5 0- :�.-:, 1/* ,.-:E:+,Z : 08,- � */+, � ,17:� ! R H4E: R 6 � � ���� [bccbk
���� { z� z � mvd nmvd]fu � y ze z {h_i� � z�� z �r_qnu_h � Y.3+0- �-.� 4: .*7 +4 , 29Z �H -0793+ 6 1� 0-/+4Z � )��� D-.*:R )*5 0- R D4 ,0-E�� � ��� [bccbk z���� � z �gq_^ � � z �]uf]fn � � z l_nu^ � � z _vvd nf] � M010-/*� O.*70Z �-.� 4:� H4E: R O,8 R F,++ R �� �b���c� [bccbk � |h_|hnf^
vrf`�t ]^�cbc���c���� � z � z �]qq]u_h � F0��� ,*:/+E H .-/+E �M4 ,3� M07,: �]tphn`u_ � �� a � �� �h_m ����j z���� y z �_qt ]f � � z � ]g^� � y z �rd_f � F03.1 :,.-34 :+-.+,� /,: 5 0- :.+/:� .G/1/+E +,:+/*� � nf a ��������� � ������ � | z �� � [���jk z���� �]^nmo]pnqn^i � nph]hi a ~~~ zm]^qnp zrhu��bc� � z �]hnmn � nf |h_|]h]^nrf z�b�� ��� ����� �������� ����
˜����� � !�"#�bb� e z� z $_`n`n] � l z� z {h__t ]f ]f` $ z l_nmm � �,* ,-.1/# ,7 > ,1/,5 H -0�.� .+/0* � nf ��%&��� ' �(�&) � ��* &+� ���������, � +�* � -. _`m z � z� z �__f � � z� z \ n_^^_hnvd � ]f` z �h_m| � � �� �h_mm bcc� � || z �������
� M0*:+-9 3+/*� Y-,, �* ,-�E6�� -0� /Z .+/0*: .*7 �,* ,-.1/# ,7 > ,1/,5 H -0�.� .+/0* 6 1� 0-/+4Z :� e z� z $_`n`n] � l z� z {h__t ]f � ]f` $ z l_nmm � ]x]nq]pq_ ]^d^^| a��~~~ zt _hq zvrt �h_|rh^m��� bccb�j��
�bj� � ��]h` � � z� �]hnmn � � z�& nh]mrhr � � z� z �|nf � q]mm �d_rhi ]f` y_irf` � lrhq` �vn_f^nov � �nfu]|rh_ [����k z
�b�� 29-8,E � -0�.� .+/0* 5 0- � ,*,-.1 M0*+-./*+ 2.+/:5 .3+/0* H -0G1,Z :� � z yh]gfm^_nf � � z � _�]h` � � z l_nu^ � � z _vvdnf] �vrf`�t ]^�cb�b��� z
�b�� � z �]hnmn � T* +4 , :9-8,E�� -0�.� .+/0* ,I9.+/0*: 5 0- +4 , -.*70Z � �:.+/:� .G/1/+E � -0G1,Z � vm z���cb�bcc� z�b�� �f m^]^nm^nv]q |dimnvm mgvd ] mv_f]hnr nm v]qq_` �.-.Z .�*,+/3�b�� �f ^dnm h_m| _v^ � ^d_ v]m_ rs ^d_ `_vr`nfu ]qurhn^dt nf _hhrh vrhh_v^nfu vr`_m nm `n/_h_f^ nf ^d]^ nf n^n]q vrf`n^nrf ]h_ ]q~]im
vqrm_ ^r ^d_ mrqg^nrf z