21
arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3) (2) (3) 1 2 1 M K N N α = M/N αc α αc 4.2 10 7 N ln N

arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

arX

iv:c

s.C

C/0

2120

02 v

2 2

0 Ja

n 20

03������ � ��� � ��� � �� � ����� � �� � ����� �� ����

� � ����������(1,3) ! � ! "#��$

(2) % � &�''(���(3)

1 )*+,-*.+/0*.1 2 34 001 5 0- 678.*3,7 2+97/,: ;2)226< =8/. > ,/-9+ ?= @A BCC D-/,:+,= )+.1E

2F.G0-.+0/-, 7, H4E:/I9 , D4 J0-/I9 , ,+ K 07L1,: 2+.+/:+/I9 ,:=MNO 2 .*7 P*/8,-:/+J H .-/: 297=> Q+R BCC= ?BA CS T-:.E UVWVX = Y-.*3,

1 D4 , 6 G79: 2.1.Z )*+,-*.+/0*.1 M,*+-, 5 0- D4 ,0-,+/3.1 H4E:/3: ;) M DH< =2+- R M0:+/,-. BB= @A BCC D-/,:+,= )+.1E

[\ ]^_` a bc^d e]fg]hi bccjkl_ m^g`i ^d_ m]^nmo]pnqn^i rs h]f`rt qi u_f_h]^_` srhtgq]m srht _` pi

M vq]gm_m rs _w]v^qiKqn^_h]qm rx_h

N yrrq_]f x]hn]p q_m z {rh ] unx_f x]qg_ rsN

^d_ |hrpq_t nm }fr~ f ^r p_ t rm^ `n� vgq^~ n^d

α = M/N vqrm_ ^r ^d_ _w|_hnt _f^]q ^dh_mdrq`αc

m_|]h]^nfu ^d_ h_unrf ~ d_h_ ]qt rm^ ]qqsrhtgq]m ]h_ ��� shrt ^d_ h_unrf ~ d_h_ ]qq srhtgq]m ]h_ �� ��� z �_v_f^ h_mgq^m shrt ] m^]^nm^nv]q|dimnvm ]f]qi mnm mguu_m^ ^d]^ ^d_ `n� vgq^i nm h_q]^_` ^r ^d_ _w nm^_fv_ rs ] vqgm^_hnfu |d_frt _frfrs ^d_ mrqg^nrfm ~ d_f

αnm vqrm_ ^r [pg^ mt ]qq_h ^d]f k

αc

z l_ nf^hr`gv_ ] f_~ ^i|_ rs t _mm]u_|]mmnfu ]qurhn^dt ~ dnvd ]qqr~ m ^r of` _� vn_f^qi ] m]^nmo]pq_ ]mmnuft _f^ rs ^d_ x]hn]p q_m nf ^d_`n� vgq^ h_unrf z �dnm ]qurhn^dt nm n^_h]^nx_ ]f` vrt |rm_` rs ^~r t ]nf |]h^m z �d_ ohm^ nm ] t _mm]u_�|]mmnfu |hrv_`gh_ ~ dnvd u_f_h]qn�_m ^d_ gmg]q t _^dr`m qn}_ �gt ��hr`gv^ rh y_qn_s �hr|]u]^nrf a n^|]mm_m t _mm]u_m ^d]^ ]h_ mghx_im rx_h vqgm^_hm rs ^d_ rh`nf]hi t _mm]u_m z �d_ m_vrf` |]h^ gm_m ^d_`_^]nq_` |hrp]pnqnm^nv nfsrht ]^nrf rp^]nf_` shrt ^d_ mghx_im nf rh`_h ^r ow x]hn]p q_m ]f` mnt |qnsi^d_ |hrpq_t z �x_f^g]qqi� ^d_ mnt |qno_` |hrpq_t ^d]^ h_t ]nfm nm mrqx_` pi ] vrfx_f^nrf]q d_ghnm^nv z

� � �� � � �� � �� ���������������� ���� ��� � ��'( �� ������ ������� ��� ���� ���� � �� �� �����'��� �� �� �(� ����� '��� ��� � ��� ������'��

��� ������������ ���� ����  �� ����� (�������' �������(� � � ¡��� $��� ���� �(� ���� ¢£ ����� (�� �(�� � �(�� �(� (��$������'�� �  ���$�� ¤¥¦�§ ��� '��'�������$ �� � ������ ���$ ���� �(� '����'�� ����� �  �(� ���� �� �  '����������� �� �������� �� � (�'( �(� ������� � �'�� �� �������� ���� ¨¢ © ª « ¬­ �

! ��� ��'����� �� (�� � ��� � ������� �� ���'( ��� � ��$������$��� �  � (�� (��� ��� �� �(� �������� ���'� �  �(� ��������� �(�� �(���(��$ �� ������'(�$ ¨® ¯­ � ¡��� ����� �(� �(���(��$ � ������' ������� (�� � ��� ��������� � (�'( ���$ �� ��� ��� ����� '�� ���� ° �(� ��� �  ��� ����� � ��� ������� ����  ��� � '����'��$ '������ �� � (�'( �� �� �������� �� ��$ ����( ������� ��� ��������� �(�� ��±����� �(��� ����� ���� ²��'( ���� �  '����'����� ������� ���� �� �(� ���( ��� '���������(�� �� ³ �� � ��� $�����'�´ � ³ ��'� ����$� �������(� � ��$ ��(�� ��� ��� (�������'� '�� ���$��� �$���� � � ���������� � �� '�� ����'( ��� '��� �

����� �� �(� '����'�� �(���(��$ (������ �(� �������� ���'� ������ �� ���� � ��� �� ����� '������� � ¦�������� ���������� '�� ����� ��� ���������  �� ����� � ¡ (�� µ� ����� '�� ����� �(�� '������ ��$ �� ������� ��������� ¥� (�'( ����� ���� � ��� ��� ��� �  �(� '����������¥ ��� �¶� ���������� � ��� ��� ����� �(�� �(� '������� �  '�� ����� ��������� ��$ �'��� �����  �� �� '�� ����'( �������(� � �

¡� ��� ��� ���� �� �� �������(� '����$ ������ ����������� �(�� �· '������ ��$� ��������� �� � ��� ������� ������'���� �(�� (��$ ������ ��'��$��� �� ����'�� ��� �����  �� ��� ������� � ��(� $ � ¸�� �¶�� ���  �� ���$�� ª¥¦�§ �� ��� ������ ����� ������'�� '���� �� �(� �(���(��$ �� � ����� �  '���������� � �� �������� �±��� ��

4.2 �� �� ��#�� �  ��$��107��������� ° �(� '�� ���������� ��� � �� �( �� ����� � ��  ���$ �¶� ���� ������� �� �'��� ����(�� ��

N lnN�

§(� � ��(� $ �� � � ������ ������� ��� '�$��� � (�'( ��������� �� ��� � ���� �'�� �(� ��������� �������(� ���� � �� � ���� ����������� ¨¹­ ��� � ��( ��� � '��'��� $�º����'�� � §(� � ������� ���� ����� �(� ����( ��$������� �(� '�� ����������������� ��� ������� �  ��� � ���� ������ ������� � ������� » ����������� $������������ ����� ����#�$ �� � ��� ��� ��� »� (�'( $��'��� � (�� �(� ������ ������� ��������� ��� �¶��'��$ �� ¼�'�����  ��� '������ �� '������ � ½�'� �(� ����������±�������  �� ��'( ����������� $������������ (��� ���'(�$ '��������'� �� �� �������� �� �$���� � �(� ������� ������ ���� (�'( '�� � � �� ��� �¶�$ ��$ �� ��� ��� � �(� ������� �''��$������ §(� � (��� ��� '�$��� �� �(�� �������$ �� �(����������� ����� � �������� ��  ���$ �

§(� � ��(� $ �(�� � ��� � ���� �� �(� (��$ ������ �  ����� ����� � (��� '��������� � ''��� � §(�� '��������� �(���� ������ �����'������ $�· '��� �� ���$� �� ���$�� ������ � ��� ��'��� �������� �� ��������'�� �(���'� (�� ���  �����$ ��� ��· '���� (�������' � ��(� $� ���� �(� '����� � ��(� $ ¨¾­ � (�'( �����  �� ��� ±����������� �������� �� � ������� �  '���� �§��� ��� �(�� ���� �  ������'( ���� � �������� �(���� �� �� �� �� ���¿ �'� �  '������ ������'( ¨¢£ ¢¢­ � À� �(� '��� � (��(�� ��� � ����' '������������ ������� � ��'( �� ���$�� ¤¥Á ½%¥¦�§ �(� ����$��� �  �(� ��������'�� �(���'� ��������'�� �� '����� �$ �� �������� ���$��� ¨¢© ¢ª­ � ! �������  �� ��'( ������� � �(��� �¶ ��� � ������ ��� �������(� � � (�'(

Page 2: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

©(��� � ��� �(�� � ¨¢«­ �� ��$����� � $��� ���' '(���� �� � �� ��� ��±����� ��� � (�� '��������� ���� �� �

§(� �����'����� �  �(� '����� � ��(� $ �� �(� ���$�� ª¥¦�§ ������� ���$�'�� � �(��� $������ � ��( �� ������ �$�����(��� �¶( ������� �(� '��������� �(���� ���� ¨® ¯­ ��$ �(�� �(������'�� �������� (�� ��������$ �(� $������� ��� �  �(������� ����������� �������(� ���  �����$ �� ! "#��$ ��$ &�''(��� �� ��  � ¨¯­ � §(� ��� �  �(�� ��� �� �� �� �����$� �$������$ ��� ¥'�������$ $��'������� �  �(�� �������(� � (�'( $��� ��� ���� �� �(� ��������'�� �(���'� ��'������$ � ¡��(��� ��� �� �(� $��'������� �� �(� ����� � � (��� ��������� �¶ ��� �(� �� '����$ ¦�§ �(��� ° ��� � � � $��'����� �  �(��������(� ����� � �� �$$���� �(� ����� �#����� ������� �  � ���� �#��� �(� ���� �� �  �������$ '���������� �� �(� ��¦�§�(��� ��� �� � ��� ��� �� $��'����$ (��� �

¡ (��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� ���� �� ���� ��� � �������� ������� �����(�� � ��( �� �¶���'�� '�� ������� � ��( �(�� ����  ����������� ��� '�$���� �� ������� �(��� �¶ ���� �� �������� ����  �  '��������'� �  �(� �������(� � ³������ �������$� '���� ��� ���'�� ���$��'� �  ��� ��� ��� ��'� ���� ���'(� ���� ������� � � (�'( ��� ��� �� � �  �� ������ �(���(��� � (�'( '�� � � (��$��$ �� ������� �����¥� ¥�(�¥��� �������(� � �

§(� ��� �� �� ��������$ ��  ����� � � ¦�'� � ÀÀ $��'��� �� �(� ������������� ���� ��� ��$ ��� ����(�'�� ���������������� ���� � �  �  �'��� ����( � ¦�'� � ÀÀÀ �¶����� � � ��� ��� � ������ ��� '�$��� � (�'( ���������� ��� � �������� ������(� ����( � §(�� �� �� ��¶�'� �������(�  �� ����  �'��� ����(� � À� ������� �� �� ��� � ���� ��� $ �������(� ��� �� ���(�� � (��� � �'���� �(��� �������� ��� �(� ����' ����$��� ��� '�� �  ��� ������ ����������� �������(� � À� ��'� � À� ��$��'��� �(� ��¼���'� �  ����� ��$ �(� '��������� �  ���������  ���$  ��� �(� ��������'�� �(���'� �������� �  �(� ���$��ª¥¦�§ ������� � ¦�'� � � �¶������ �(� ������ ����������� �������(� �����  ��$ ��'� � � À �(�� � (�� �� '�� �� ���$�� � $�'�� ����� ��� '�$��� �� ��� ��� � �������� �� �������� ���� �� $�· '��� ������� � � À� ��'� �� ÀÀ �� ���� � �������$��'������ �  �(� $�º����'� � ������ �(� ������ ���������� ��$ �(� ����� � ����  ����������� �������(� � ¦�'� � � ÀÀÀ'������� �  �� '�� � ���� �

§(� ���$�� �(���$ ��� '�� ��� �(� �(��� $�º����� � ������ ������� ��� '�$���� � (�'( ��� $��'����$ �� �(�� ����� � �������� ����������� �������(� ²¡ � ´ �� � (�'( ���� ������

0, 1� ������� ��� �����$ � ������ �� $�� �� ��'� � À ÀÀ ���

������ ����������� ²¦� ´ �� ��'� � � ��$ �(� ����$��$ �����  ����������� ²�� ´ �� ��'� � � ÀÀ �

�� � ��� ��� � ���� �� � ��� ��� �� ���� ������� ��� ���¡� '����$�� � ������������� ������� '��������� � 

N������� ������ ���

{xi ∈ {0, 1}}²{0, 1} ≡ {F, T }

´ � ��(i ∈

{1, ..., N} � ��(M

'���������� � À� �(� ¦�§ ������� ��'( '��������� �� � '����� � (�'( �� �(� ����'�� ½% �  �(� ������ ����� �  �(��� ��������� � � '�����

a�� '(���'����#�$ �� �(� ��� �  ������ ���

i1, ..., iK� (�'( �� '������� ��$ �(� ���� � 

�(��� � (�'( ��� ������$ � (�'( '�� �� '(���'����#�$ �� � ��� � K

��� ����Ja

ir∈ {±1}

��  ����� � � §(� '����� ��� ������ ��

(zi1 ∨ ... ∨ zir∨ ... ∨ ziK

)²¢´

� (���zir

= xir

� Ja

ir= −1

��$zir

= xir

� Ja

ir= 1

� §(� ������� �� �� ��$ � (��(�� �(��� �¶���� �� ������� ��� �  �(�xi ∈ {0, 1}

� (�'( �� ��'( �(�� ��� �(�M

'������ ��� ���� � ¡� $���� �(� ����� '���C

�  � '�����������x = (x1, ..., xN )�� �(� ���� �� �  �������$ '������ �

À� � (��  ����� � �� �(��� �$��� �(�  �'��� ����( �������������� ¨¢¬­ �  �(� ¦�§ ������� � §(�� �������������� ��'����� ���� ��'���� �� �����$�� �� ���� ����(�'�� $��'������� �� �(� � ������ ������� ��� '�$���� � (�'( �� �(��� $������ �À� ���� ������� �� � � �$� ������� �  $�º����� '������������ ������� � �(����� �����$��� � �����$ �������� �

§(� ¦�§ ������� '�� � � ����������$ ����(�'���� ��  ����� � ²��� �� �¢´ � � �'( �  �(�N

��������� �� ���� '����$ �� ������¶ �� �(� ����( '����$ � ��������� ��$�� ²'��'��� �� �(� ����(�'�� �������������� ´ ��$ ��'( �  �(�

M'������ ��

����'����$ �� ����(�� ���� �  �����¶ �� �(� ����( '����$ � �  ��'���� �� $�� ²�±����� �� �(� ����(�'�� �������������� ´ ��  ��'���� �� $�

a�� '����'��$ �� � �������� ��$�

i�� �� �$�� � (������ �(� ������ ��

xi

²�� ��� �������� ´ ��� ������ �(� '�����

a� À� �(� ����(�'�� �������������� �� ��� �  ��� ���� � ������

a��$

i� (������ �(� ������ �� ��� ������

�� �(� '����� ��xi

²� �� �Ja

i = −1´ � $��(�$ ���� � (������ �(� �������� ��������� �� �(� '����� ��

xi

²� �� �Ja

i = 1´ �

�������� �� $�� '�� ���� �(� ���X

²|X | = N

´ ��$  ��'���� �� $�� �(� ���A

²|A| = M

´ �À� ��� � ��� ��'( ¦�§ ������� '�� �� $��'����$ �� � ��������� ����( G = (X ∪ A; E = X × A)

� (���E

�� �(��$�� ��� ��$ �� �(� ��� �  �'���������

{J ia}

���$�$ �� $���� ��'(  ��'���� �� $� � ¸�� �(� ¤¥¦�§ ������� � (��� ��'('����� '�������

K��������� �(� '����'��� ��� �  ��� �(�  ��'���� �� $�� ��

K�

§(����(��� �(�� ��� �� �(� �������� �� $�� ��$�'�� ��� ����� ��i, j, k, ... � (��� �(�  ��'���� �� $�� ��$�'�� ��� ����� ��

a, b, c, ...� ¸�� ����� �������� �� $�

i �� $����� ��V (i)

�(� ��� �   ��'���� �� $��a

�� � (�'( �� �� '����'��$ �� �� �$�� ��n(i) = |V (i)|

�(� '����'��� ��� �  �(� �� $� ��V+(i)

�(� ������ � V (i)

'��������� �   ��'���� �� $��a

� (��� �(��������� ������� ��¥������$ ²�(� �$��

a − i�� �  � �� ����´ ��$ ��

V−(i)�(� '�� ���� ������ ������ � 

V (i)'���������

�   ��'���� ��$��a

� (��� �(� ������ �� ��� ���� ������$ ²�(� �$��a− i

�� � $��(�$ ����´ �V (i) \ b

$������ �(� ��� � ²�´� ��(��� � �� $�

b� ¦�� ������  �� ��'(  ��'���� ��$�

a �� $����� ��V (a) = V+(a) ∪ V−(a)

�(� ��� �  ����(� ������������� �� $�� $�'�� ����$ �''��$��� �� �(� ���� �  �$�� '����'����

a��$

i ��$ ��n(a)

�(� '����'�������

Page 3: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

ª

1 2

3

4

56

a

b

c d

e

f

{nugh_ � a �f _w]t |q_ rs ] s]v^rh uh]|d ~ n^d6

x]hn]p q_ fr`_mi = 1, .., 6

]f`6

sgfv^nrf fr`_ma, b, c, d, e, f

z �d_ srhtgq] ~ dnvdnm _fvr`_` nm a

F = (x1 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x4) ∧ (x3 ∨ x5) ∧ (x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x2 ∨ x4 ∨ x6) ∧ (x5)

§(� ��� � �������������� '�� � � ���$  �� ��(�� '������������ ������� � � (��� ��'(  ��'���� �� $�a

$����� �����������  ��'���� ���� �(� ���

Xa ⊂ X�  �������� �� $�� �� � (�'( �� '����'��$ ��$ '�� �$ ���� ������� (�$$��

��������� �

��� � ��� ������� ������ ���� � ��� � ��� �� � � ���

À� �(� �� �'��� '��� �� � (�'( �(�  �'��� ����( �  � ¦�§ ������� �� � ���� �(� ������� '�� � � ������ �����$ �� � ���� ��(� $� � ³ ��� �� �(��� $��'���� � � ������ ������� �������� � §(�� �������� ���� ���� ������ � ������� �����$ ������(� ����( '����$ '����� ������ ��$ '����� ���$� � À� � ��� � � ��� � � �� � ���� ���� �� $������ �(� �������(� �(�� �����  �� �(� ������� ²���¥����´ '��� � (��� �� �(��� ���� � ��� ���� ����� � ������� � (�'( ��� ����������$ �� �����������$������������ �  �(� ���� ������ � ������� � ³��� �� ���� $���� �(� � ������� �(�� ���� �(� ����� �� '�� ���� �(�� ��$������ �(�� (�� �(�� ������ �(� ¦�§ ������� �� � ���� �

� � � ��������� ���� � �� ��� ���� ��� �� ��� ����

§(� ����' ���� ������ � ������ �����$  ��� ���  ��'���� �� $�a

�� � ��������i

²'����'��$ �� �� �$��´ �� � ����������� ��

ua→i ∈ {0, 1}'����$ � ������ � ��� �

§(� ����' ���� ������ � ������ �����$  ��� ��� �������� �� $�j

�� �  ��'���� �� $�a

²'����'��$ �� �� �$��´ �� ��������� ���� ��

hj→a

'����$ � ������ ���� �À� ��$�� �� '�� ���� �(� '����� ���$

hj→a �(� ��������

j'����$��� �(� ��'�� ��� '����� ������ � (�'( �� ��'�����  ���

��� �(�  ��'���� �� $��b

�� � (�'( �� �� '����'��$ �¶'���b = a

²(��'� �(� ��� � �'������ ´ ��$ ��� ��� � �(� ��� �

hj→a =

b∈V+(j)\a

ub→j

b∈V−(j)\a

ub→j

²©´

À j

(�� �� ��(�� ����(� �� �(��a �(��

hj→a = 0�

À� ��$�� �� '�� ���� �(� '����� ����ua→i

�(�  ��'���� �� $�a

'����$��� �(� ��'�� ��� '����� ���$� � (�'( �� ��'����� ��� ��� �(� ������ �� �� $��

j�� � (�'( �� �� '����'��$ �¶'���

j = i� À  �(��� �� �� ����� ���

j ∈ V (a) \ i��'( �(��

hj→aJaj ≤ 0 �(��

ua→i = 0 ��(��� ���ua→i = 1

� À a

(�� �� ��(�� ����(� �� �(��i �(��

ua→i = 1� §(��� ��� �

ua→i =∏

j∈V (a)\i

θ(

hj→aJaj

)

,²ª´

Page 4: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

«� (���

θ(x)�� � ����  ��'���� ������ ������

θ(x) = 0 ��

x ≤ 0��$

θ(x) = 1 ��

x > 0�

� ���� �  ��'���� �� $�a

��$ ��� �  ��� ������ ��� �� $��i �(�� �(� '����� ���$�

hj→a

²j 6= i

´ '�� �� �����$ �� ��������$

ua→i

�� �(� ������ � §(� �������������� �  �(� � ������� ��$ �(� � ������¥������� ��� '�$��� �� �(�  � ���� ��� � �'����� ����

ua→i = 1'�� �� ����������$ �� � ������� ����  ���  ��'���� �� $�

a ������� �(� ������ ��i

�(�� �� �(���$�$��� �(� '����'� �����  �� ����� ���� �(� '�����

a� §(�� �� $�'�$�$ ��

a�''��$��� �� �(� � ������� � (�'( �� ��'����$

 ��� ��� �(� ��(�� ���������j

�� � (�'( �� �� '����'��$ � � hj→aJa

j > 0 �( �� � ���� �(�� �(� ���$��'�  �� ����j

²���(� �����'� � 

a´ ����$ � � �� ���� � ����� � (�'( $��� ��� ����� � '�����

a� À  ��� ����(����

j ∈ V (a) \ i��� �� �( ��

��������� �(��a

���$� � ������� ��i�

� ��������� ����� �� � ������ ����������

§(� �� ��� � ������ ������� ��� '�$��� '�� �� ����$  �� ��� ¦�§ ������� � §(� ��� �'�� ��������� $���� �'� ���� �(�'����� ������ �� ����' � ������� � §(�� ��� ��������#�$ �� ���$�� ������ ² �� �� ����'�

ua→i = 0, 1� ��( �����������

1/2´ �

§(�� �� ��'( ��������� ��� ������ �(� ��� �  �$��� �� � ���$�� ��$�� ��$ �� $���� ��� �(� '��������$��� '����� ������ �À  �(� ��� '��� '�������� �(�� $���� �'� $����� � �¶�$ ��� �  '����� ������

u∗a→i

� §(��� '�� �� ���$ �� '�� ����  ����'( ��������

i �(� � �� '�� ���$�Hi

��$ �(� �'�����$�'���� ���� ���ci

� (�'( ��� ��� �������� $����$ �� �

Hi =∑

b∈V+(i)

u∗b→i −

b∈V−(i)

u∗b→i

²«´

ci = 1� 

b∈V+(i)

u∗b→i

b∈V−(i)

u∗b→i

> 0²¬´

= 0��(��� ��� � ²®´

§(� �� '�� ���$Hi

�� �� ��$�'����� �  �(� ��� ����$ ����� �  �(� ��������i�

xi = 1� 

Hi > 0 xi = 0� 

Hi < 0� §(�

'�����$�'���� ���� �� ��$�'���� � (��(�� �(� �������� � (�� ��'����$ '��¼�'���� � ������� �§(�� ������� ������� ²¡ � ´ ��� '�$��� �� � ���$ �  �$�������� �� �(� ¦�§ ������� �  �(� �! ��¥¦�� � �������(� � (�'( �� �����  � ��� ����� '��� �  �(� ���� ���� � �¦�� ¥� �� $�'�� �������(� � �$��� ���$ �� ������� '����¶��  �� ����������

� ������� ������������� �  ������'���� $��'���� ��������� ���� ����(� ²��� ¨¢¬­  �� � ������ ��$ � $������$ ���� �  �� ����'���� �������� �����´ � � $������$ '�� ������� � ������ ��� �������(� � ��$ �(� ¦�� ¥� �� $�'� �������(� �� '�������$ ����'� � � ÀÀ � §(� ¡ � �������(� '�� �� ��� � ���#�$ �� ��� ��� �� � ������ � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� �� � � � �� �� �� ��� � ������ �� !

tmax"����� � �� #$"�%&'(&) �� *� �! �� ������+ ����tmax

!,��� ! - �� �� �! ������+ � � � !�� ���� ��� ��. ��!�!

u∗a→i

-

/ - 0� � �� �t = 0

� 1 ���. �+��a → i

� � � ���� ��� 2 ��+� �. �� �� ����3� � � ��� ��. ��!

ua→i(t = 0) ∈ {0, 1}

4 - 1t = 1

�t = tmax

4 -4 !,��� � � !�� � �+��! �� � ��+� +� 2 ��+ ��+��� !�5���� ����. � � ��� ��. ��!�! ���� � � �+��! � � � ��� 2 ������ ��� � � �����!

ua→i(t)2 � !��� !� �� ��� ��)0�& -

4 -6 ��ua→i(t) = ua→i(t− 1)

� ��� � � �+��! 2 � � ����� �� �! ������+ ��+ �������+u∗

a→i =ua→i(t)

� � � 6 -

6 - ��t = tmax

���� �� #$"�%&'(&) - ��t < tmax

���� � � !�� � � ���+ ���� ��� ��. ��!�!

u∗a→i = ua→i(t)

7� �� ��� ��)0�&(ua→i)

-����� � 7�� � ��� ��� ��. ��!�! � �� ��� �� ��� �� �� �� �+�

j ∈ V (a) \ i"����� � ��, ����� � � � ��� ��. ��!ua→i

-

4 1 ���.j ∈ V (a) \ i

2 ������ � � ��� ��. � ���+hj→a =

(

b∈V+(j)\a ub→j

)

−(

b∈V−(j)\a ub→j

)

Page 5: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¬6 � !��� � �!� ��� ��. � ���+!

hj→a

2 ������ � � ��� ��. ��!ua→i =

j∈V (a)\i θ(

hj→aJaj

)

�� �¶�� ��� �  �(� ��� �  ¡ � �� �(�� � �� �� � © � §(� �������� �� ¡ � ������� '�� ��  ��� �(�  �'� �(�� �� ����� �(��¶�'� ��������  �� ������� � � (��� �(�  �'��� ����( �� � ���� � ¸�� �(� ¦�§ '��� �(�� �� ��� � ���#�$ �� �(�  � ���� ������ ��� �(����� �

������� ����� � � ���� �� �� �� � � ���� � � �� �� ��� �� � ����� � ��� � � � �� � �� �� �� ��� ������ �� ��

�� � !�"! � �� # $ � � ��� �� ��% ��� u∗

a→i &�� � � ��% � �� � ����� �� ��% ��� � '� �� � �� � �� ��

���� � ���� ����������� !� � �ci

� "!�� ��1 &

�� � ���� � � ()���&��� �� � �� � �� ��

*+,��-.�,��� � À� �(� '��� � (��� �(� ������� �� ¦�§ �(� ��'�� ���$�Hi

'�� �� ���$ �� ��$ �� ������� ��� �  �(���������� ����� � ��� ��� �(� '������ � ¡ (��

Hi 6= 0 �(� ��������i

�� '���������$ � ½�� �(���$ �¶xi = 1

� (��Hi > 0 ��$

xi = 0� (��

Hi < 0� � ������ �� � ��(

Hi = 0�� ��$��¥'���������$ � (�'( � ���� �(�� �(��� �¶ ���� ����������

������� ���� � (��� �� ��1

��$ ��(��� � (��� �� ��0

� À� ��$�� �� '�� ����� �(� $����� ������� �  � ���������� ������� ��� ��� '�� ��´ �¶ ��� '���������$ ��������� ��$ ���� ����� ��� '������ � (�'( ��� �������$ �� �(�� '(��'� ��$ ��� ��� � �(� ���� �  �(� ������ ���´ '(���� ���$�� �� ��� ��$��¥'���������$ �������� �¶ �� �� ��� ����� ²

0, 1´ � � ��� ����� ��� '������ � (�'( ��� �������$

�� �( �� '(��'� ��$ ��� ��� � �(� ���� �  �(�  ��� ��� ����´ ��� ����� �(� ¡ � �������(� �� �(� ��� ������'� ��$ ������� �(� � (��� ��� '��� �

§(�� �������(�  �� $����� �� ��� � ������ ���� ������� ��� �¶�'�  �� ���� ��� � � ��( � ����  �'��� ����( � (�'( �� '����¡������ À������$ / �'�� ������ �� ¡ À/ �� ��� � ���#�$ ��  ����� � �

� 01 ��� �� � ������ � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� ��"����� � �� #$"�%&'(&) 2 !���� ! � � � ����� 270� ��70� 3 � �� � � ����� �! 70� � ���!!���� ��� , �� !�� �!� ��! ��� ���� !�! -

4 - * ��� � � ��� � � ��� ���+ �� �� ��! �!> 0

2 + �

4 -4 '�� *�4 -6 �� *� +�! �� ������ 2 ���� �� #$"�%&'(&) - &�!� ������ � � ���� � ���+!

Hi

��+ � �����+ ��� �� ��� � !

ci

2 � !��� �5! - 24 253 -

6 - �� � �� �! �� ���!� �� ����+ ��� �� ��� �ci = 1

2 ���� ��70� - &�!� �

6 -4 �� � �� �! �� ���!� �� ���� � ���+Hi 6= 0

� � �� ��� �� �� ��! , �� Hi 6= 0

2Hi >

0 ⇒ xi = 1��+

Hi < 0 ⇒ xi = 03 2 ��+ ����� � � ��� 2 , �� � ��� ! �

{�� �� � �

���� !�! !�� �!� ��+ . � �! ��� ��� 2 �+� �� � � ���� !�! � �� ������ � � � ���+ �� �� ��, �� ��!��� ������ 2 ��+��� � � ��� � � ��� ���+ �� �� ��!

}- ("�" �� �� 4 - &�!� �

6 -6 $ !� �� ������+ �� �� �� 2 � �� �� � �� � ���. ����� 2 ����� � � ��� - ("�" �� ��4

•���� � � !�� � �!!���� ���! � ��� � � �� �� ��! -

����6 �  �(� �(����� �§(� '��������'� �  ¡ � �� ���� ����(� �� � ���� ���� � ������ ²��� � �� �¨¢¬­´ � ¡� ���� (��� �� ���� ������ ����  � 

'��������'�  �� �(� �� �'�� ' '��� �  ¦�§ ��$ �(�� �(�� (�� �(� ������� ��Hi

��$ci

 ����� �����

E�(� ��� �  �� $�� � /���� �(� ������ �  �(� ���� �� �(� �� $�� �  '����'��� ���

1� ¸�� ��� �$��

a− i'����'����

�  ��'���� �� $�a

�� � ������ �� �� $�i $���� ��� �����

r��  � ���� � � ��� ��� �(� �$��

a− i��$ '����$�� �(� ��� ������

�������( '���������a

� §(�� �������(Ta−i

�� � ����  �'��� ����( $������ � ��� ¦�§ ������� � §(� �����r

�� �(�� �¶�� �� $�����'� � ������

a��$ ��� �(� ������ �� �(� �������(

Ta−i

²�(� $�����'� � ������ ��� �� $�� �  �(� ����( ���(� ���� �� �  �$��� �  �(� �(������ ���( '����'���� �(�� ´ � À  �� �$��

a − i(�� �����

r = 0²� (�'( � ���� �(��

a��

� ���  �  �(� �������(´ ua→i(t) = 1 �� ���

t ≥ 1� À 

a − i(�� �����

r = 1 �(��ua→i(t) = 0

 �� ���t ≥ 1

� ¸��� �(���������� ���� � '����� ����

ua→i

�� �����r

��  � ��� $����� ���$  ��� �(� ���� ��$�� �  ��� �(� '����� ������ub→j

��������

≤ r − 2� §(��� ��� �(� '����� ����

ua→i(t)�� � �����

r�� ���������$ �� ���� � �¶�$ �����

u∗a→i

 ��t ≥ 1 + r/2

�7�� � � ��� ���� �� �(� ���$� �  �� '�� ���$� ��$ '�����$�'���� ���� ��� �¡� ���� ����� �(�  ����� ��� ��88 � �

'� � �� ��% ���u∗

a→i = 1&�� ���!

a� ����� � � �� � �!� � �� � � ���� � � # � �% �� !�� ��� �

Ta→i

�§(�� �� ��������� ���� �  �(� �$�� (�� �����

r = 0��

r = 1� ¦��� ����� �(�� �� (��$�  �� ��� ������

≤ r− 2 ��� '����$����� �$��

a − i�� �����

r � ��(u∗

a→i = 1� ¸��� ²ª´ �(�� � ���� �(��  �� ��� �������� ��$��

j ∈ V (a) \ i �(� �� $�j

Page 6: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

®

ab

c

d

ef

gh

i

1 2

3

45

6

7

1

0 0

1

1

0 0

1 1

0

0 0

0

0

08

0

{nugh_ b a �f _w]t |q_ rs h_mgq^ rp^]nf_` pi ^d_ l � ]qurhn^dt rf ] ^h__ |hrpq_t ~ n^dN = 8

x]hn]p q_m ]f`M = 9 vq]gm_m z

�d_ fgtp_h rf _]vd _`u_ rs ^d_ uh]|d nm ^d_ x]qg_ rs ^d_ vrhh_m|rf`nfu v]xn^i pn]mu∗

z �d_ qrv]q o_q`m rf ^d_ x]hn]pq_ ]h_^dgm a

1,−1, 1, 2, 0, 0, 0, 0z �d_ m]^nmo]pq_ ]mmnuft _f^m ]h_ mgvd ^d]^

x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1�x7 ∈ {0, 1}

�(x5, x6, x8) ∈

{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}z �f_ v]f vd_v} ^d]^ ^d_ x]hn]pq_m ~ n^d frf�_hr qrv]q o_q` ^]}_ ^d_ m]t _ x]qg_ nf ]qq ���

]mmnuft _f^m z �f ^d_ y �\ ]qurhn^dt � ^d_ x]hn]p q_m1, 2, 3, 4

]h_ ow_` ^rx1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1 �

^d_ h_t ]nfnfu ^h__ d]mrfqi ^d_ vq]gm_m

h]f`

ih_t ]nf nfu � ]f` ]qq ^d_ ~]hfnfum ]h_

u∗ = 0z �d_ x]hn]p q_

x7

~ nqq p _ ow_` ]hp n^h]hnqiz �s rf_ vdrrm_msrh nfm^]fv_

x5 = 1� ^d_ h_t ]nf nfu uh]|d q_]x_m

x8

gfvrfm^h]nf_` pg^ nt |rm_mx6 = 1

� ]m v]f p_ vd_v}_` pi ]||qi nfu ^r n^ ^d_y� ]qurhn^dt z

��'����� �� ����� ��� � ������  ��� � ����(������  �'��� �� $�b ∈ V (j) \ a

� ��(ub→j = 1

� §(� �$��b − j

�� �� �����≤ r − 2 �(��� ��� �(� ��$�'�$ ���� ��� �� �(� ����(

Tb−j

�� ��¦�§ ��$ �(��� ��� �(� '�����b

�� ����� �(� ����� � �(� ��������

j�� � �

1²§���´ � 

Jbj = −1 ��

1²¸����´ � 

Jbj = 1

� �� �(��� ��� �(�� '�����b

�¶�� �(� ����� �  ��������j

�§(�� �� ����  �� ���

j ∈ V (a) \ i � (�'( � ���� �(�� �(� ��$�'�$ ������� ��Ta−i

�� �� ¦�§ �� �±���������� �(� '�����a

�¶�� �(� ����� �  ��������i�

³ ����� �(�� � �(��u∗

a→i = 1�� ����� �(�� '�����

a�¶�� �(� ����� �  ��������

i �� �� '����  ��� ²®´ �(�� � ���#���'�����$�'���� ���� ��

ci

�� ����� �(�� �(�  ������ �� ��¦�§ �À  ��� �(�

ci

�����( �(�  ������ �� ¦�§ �½�� '�� ����� �(��  �� �� ����'� �� �(�� ��� �(�� �(� ¡ À/ �������(� ��������� � ¦�§ �������� ��� � §(� ������ ���

� ��(Hi 6= 0

��'���� ��� � ���#���u∗

a→i = 1��$ ��� �¶�$ � ½�� �(�� µ'����� µ �(� ����( � (�'( � ���� � ��� ��� �(�

'������ �������$ �� �(�� �¶ ��� ��$�'� �(� '������ �(�� ������� �(� �¶�$ �������� � ��( �������� ������� � �� $�������� �( �� ��� '��� (�� ��� ���$  ��� �(� ����( ��� �(� �$��� �� � (�'( �(��� ��� � ���#��� '����� � ��� � ¦� �� �(� �������( ��� �(� �$��� (���

u∗ = 0� ¸����� ��� �(� ���� © �© �  �À/ ��� '(����� ���$�� �� � ��������

i ��� �¶�� �� ���� ��������� �����

xi ��$ '����� �(� ����( � §(� '������

a'����'��$ ��

i� (�'( ��� �������$ �� �(� '(��'�

xi

������ ���$ ° �(� '������ ��$��� �������(� ��� ����� � (��� ��� �(� �$��� (���

u∗ = 0� � '�����

a'����'��$ ��

i� (�'(

��� ��� �������$ �� �(� '(��'�xi

� �� ���$ ��� �u∗ = 1

� ������� ²�(�� (��� ��� �  ��'( � '����� (�$ '����'��� ���2� � ��� �¶ ��� ������ ��

i´ � ³������ ������� ¡ � �� �(� '��������$��� �������(

Ta−i �(� ��� �  '����� ������ '�� ���

(��� � '�����$�'���� � � ��������j

�� �(�� �������( '�� ��'���� �� � ��� ���u∗ = 1

������� '�� ���  ��� �(� ���±�����( � (�'( '����'��

j��

a� §(��� ���

cj = 0� ��� ��������� �  �À/ (�� ��������$ � ����'��� �� ����� ����( � ��( ��

'�����$�'���� � �� ��$�'���� �� �(�� ��$� � ¦�§ ������� ��� ��½�� �(���$ ����'� �(�� �(� ��������� � (�'( ��� �¶�$ �� �(� ���� ��������� �  ¡ À/ ²�(��� � ��( ���¥#���

Hi

´ ���'���������$ �� ���� �(� ��� � ����� �� ��� ���������� ������� ���� �

�� � �� �� �� � ��� ���� ��� � ���� � ��� � � ��� ���� � ��� � �� �����½�� '�� ��� �� ��� �(� ¡ � �������(� �  �(� �������� ��'���� �� �(� '��� � (��� �(�  �'��� ����( '������� ����� �

À� ��� � '���� �� � �� ���� �� �� ��� ��� ���� � ��� �(� ��������� $��� ��� '������� � � ���������� �������� � (�'( �������� ������� �  �(��� ��� �� ���� '����� �� �(� ���� ��� ��� � ��( ��� � ������� #��� �

§(� '��� �  ���$�� �� ��������$ ª¥¦�§  ��� ���� �� � ��� $ ����¥� �$  �� '(�'���� �(� ��(����� �  �������(� � � ¡� ����M = αN

��$ �������� '������ �� '(������ �������� �  ��������� �� ���$�� � ��( ��� ��� ������������ §(�J

� ��� ���

Page 7: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¯��

±1� ��( �±��� ������������ §(� ���� '����$  �'��� ����( (�� �(�  � ���� ��� ���������� � ¸�� ��'( �������

i < j < k� 

�������� �� $�� �  ��'���� �� $� '����'���� �(�� �� ������� � ��( � �����������6α/N2

� ¸�� �����N �(� '����'��������

n(i)�  �������� �� $�� ��'�� � ��$�� ��$��� �$����'���� $���������$ ²��$´ ���$�� ������ ��� � ��( � ������� $�����������

�  � ���3α

�� � $��'����$ �� �� � � ¨® ¯­ �� �(� �����

N��� �� �(��� �¶ ��� ��� '����'�� ������ � 

α� ¸��

α < αd ' 3.921 �(� ��� � ��� ����� � ��� ������� ����

SM

�� '����'��$ �(�� �� ��� '�� ��$ � ���( ��SM

�� ��  ��� ��� ������� ��� �� ��� ��(��������� ��� ��±������ �(��� ����� ���� ²�� ³ �� � ��� $�����'�´ � �� ��������� ��� '���������$ �� ���� �(� ��� � ����� ����� ����� � ��� ������� ���� ��$ � �������� '�� ��  ���$ �� ��� ��� ����$� �������(� � ¨® ¯­ � ¸��

αd < α < αc ' 4.267 SM� �'�� �� $���$�$ ���� ������� � (�'( ���  �� ����� �� ³ �� � ��� $�����'� ��$ � (�'( ��� '�� ����$ �  �(� ��� � ���� �� � ��������� ²�� �� ���¥�¶��������� '����'�����´ � ¡� $����� � ��(

N�� ≡ exp(Σ(α))�(� ��� ��� �  ��'( '������� ��$ � ��(

N��� ≡ exp(S���(α))�(� ���� �� �  ��������� � ��(�� ��'( '�� ����� � À� �(� �������� �  ��������'�� �(���'� �(� ±�������

�� '����$ �(� �+8� ��� ��� ��$

S����(� �������� �,��+�� � � ��(���( �(��� �¶ ���� �� �( �� �(��� �� �¶� ���������� �����

���� �� �  '������� ��'( '��������� �� �¶� ���������� ����� ��� ��� �  ��������� �� �� ���� $�· '��� �� ��$ ��� ��������� �'���� �  �(� ����� ������� �  µ� ��������� µ '������� � � � ��������� '�� ���� �� � '������ �  ������� ���� � (�'( ��� (����(� ��� � �¶�$ ��� ���

C�  �������$ '������ ��$ ��'( �(�� ��� '����� ��$ �� � �� ��� ³ �� � ��� $�����'� �  �( ��

'������ �� ������� ��� � (�'( �������� ����'��� ���� �(��C

'������ �§(� � ��������� '������� � ��(

C > 0��� �¶����������� ²��

N´ � ��� ��� ����� �(�� �(� ���������� '������� � ½�� '��

�(�� �¶��'� �(�� �� '�� ����'( �������(� � � ��� ������'���� ��� ����� �$ �� �(��� ��'( � ��� ��� ����� � ��������� '������� �¡� '��� �(� �����

αd < α < αc

�(� ������� ������ � ��α = αc

�(� '�� ���¶ ��� �����(�� ²limN→∞ Σ(αc)/N = 0

´ ��$ ��

α > αc �(� ������'�� ��� ��� ��� ������ ������������ �

½� �(� �������(� �' ��$� ���$�� ª¥¦�§ ������'�� ��������$ ¿ ��� ����� �(� �(���(��$αc

��� ���$ �� � ��'(� ���� �� ������� �(� �· '���'� �  ����'( �������(� � � ½�� �(���$ ����'� �(�� �(� ����� ������� �  � ������� �� '������� �� �(�(��$ ¦�§ �(��� '�� �� ���� ����  ��

N����� �����( � À�$��$ �� (�� � ���  ���$  �� �� ����'� �(�� ��

α = 4.2 �(�'�� ���¶ ��� �  �(� � ��� ��� ����� � ��������� ������ �� ����'����

Σ(4.2) ∼ .003N� §(� �� ������� �  �(�� ��� ��� �� �����

�(�� �(� �º�'�� �  ����� ������� � ��� � � ���� ����  ��N

������ �(��1000

�� �� �§(� ��¶� ��'���� �¶������ �� �������(� � (�'( �� ���� �����$  �� ��$��� ¦�§ ������� ��� �� �(� (��$¥¦�§ �(��� �

� � � �� �� � ��� � ����� �� � � � �� ���� � ����� ���¸��� �(� �������'�� ��$ ��� ���'�� ���$��� ¨® ¯­ �  ���$�� ª¥¦�§ �� �(� (��$ ��� ������ ��� ������ �(� ���� ����'��

�������  �� �(�  ������ �  �(� ��� ��� ²�� ´ � ������¥������� ���'�$��� � �� �(� ���α

����� � �� ����� '����'��� �� �(������ �(�� �� '����'��� ���$�'�� ��� � ������� #��� � � �� ��������� ��� ��$��¥'���������$ ²�� �� �(� �(���'� ������� ��� ��#��� ´ � ³������ �� �(� (��$ ��� ������

α ∈ [3.921, 4.267]�(� ���� ���������� �������� � (�'( ��  ���$ �� ���'��'�

'�������� �� �� �(� ��� �� � (�'( ��� '����� � ����� ��� #��� � �(� ��� ��� ��������� ���� (�� ���� �� ��� ����������� �� ��$� ��� �  '����� ������ '������ ��$��� �� � ����� '�� ���� � §(� ������ '�� �� ±������������ ��$������ $ ��  � ���� � � � (����(� �� '�� ��������� ���� �� ��� � ������ �  �(� ����( � ��� ���$ �� �������� '�����¥������ � �����#�$ �� �(� $���'���� �  ���'������ ��(�� ������� �  �(� ����( � ��� ��� ������#�$ �� ��� � ��(�� $���'����� '������ ��$��� �� $�º����� '������� � §(������' ��'��������� �  �(� µ���� ������ � ������ µ ������� �±������� �� $��'���� �(� '��������� �(���� ���� �� ��������'�� � �� �� � ��� (��$ '������������ ������� � � � ��������#����� �  �(� ���� ������ �� � ������ ������� �����'�� ����'������ �� ��$�� �� $��� � ��( �� �

§����� �(� '��������� �'������ �� � ������� (�� ��(���� �� '�� $���� �(� ����������� $����������� �  � ������� � ��(�����'� �� �(� '������¥��¥'������ ¼�'�������� � ¡� � �� �(�� ���$� �(� ��������� ��$�� �(� '����� ����� �  �(�  � ��( �������� � �  � ������ ��$ � ��� ��� �  �(� � (��� ��� �  ��'(

3M������� �� ��$ ����� ���� ������� ���� �

� � � �������� � � � ��

¡� $���� �(� �.���� �  �(� '�����¥� ���ua→i

�� �

Qa→i(u) =1

N��

`

δ(u, u`a→i)

²¯´

� (���`

���� ���� ��� '������� �  ��������� ��$u`

a→i

�� �(� '����� ���� ���� �(� �$��a → i

�� �(� '�� ����`

�δ

$�������(� ¤ ����'(�� $����  ��'���� ���� $��'���� ������ ��� δ(x, y) = 1

� x = y

��$ #��� ��(��� ��� ����� �(��

u ∈ {0, 1} ��$ �(��� ��� �(� '�����¥� ���¥������Qa→i(u) � (�'( �� � ����������� $����������� ��

����� ����#�$ �� � ������ ���� �� � ¡� �(��� � ���� �

Qa→i(u) = (1 − ηa→i)δ(u, 0) + ηa→iδ(u, 1)²¹´

Page 8: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¹

a

j

i

b

ub->j h j->a

ua->i

U

Vsa (j) V

ua(j)

{nugh_ j a � sgfv^nrf fr`_a

]f` n^m f_nudprhdrr` z �d_ mghx_i rs ^d_ v]xn^i�pn]mua→i v]f p_ vrt |g^_` shrt ^d_ }fr~ q_`u_

rs ^d_ � rnf^ |hrp]pnqn^i `nm^hnpg^nrf srh ]qq ^d_ v]xn^i�p n]m_m nf ^d_ m_^U

� n z_ z ^drm_ vrt nfu rf^r ]qq x]hn]p q_ fr`_mj

f_nudprhmrs

a[_wv_|^

j = ik z

À� �������  �� ��� ��� �  '����� � ����� ���u, v, w, ..

�� '�� $���� ��� ������ �(� ������Q(u, v, w, ..)

�� �(� ¿ ��������������� �(�� �� � ���$�� �� '(���� '������ �(��� '����� ������ ���� �����

u, v, w, ..�

� � � �� ��������� � ��� ����� � ���

¡� ���� �� � ���� �� ���������  ��'������ �±������  �� �(� ������� � �����$�� �� �$��a − i

�  �(� ����( ²��� �� �ª´ �§(� '��$�����  �� �(� '����� � ���

u`a→i

�� � �1

(�� � ��� � ������ �� ²ª´ � À� $�� ��$� �� ��� �(� '����� ������u`

b→j � ��(

j ∈ V (a) \ i��$  �� ��'( ��'(

j b ∈ V (j) \ a²��� �� �ª´ � ¡� �(��� $����� '����'������ ��

U = {u`b→j}

�(� ��� �  ����(��� ��������� ��$ ��

Q(U)�(��� ������� ¸��� ²ª´ �(� �����������

ηa→i

�(��ua→i = 1

�� �±��� �� �(� ������������(�� �

∀j ∈ V (a) \ i : hj→aJaj > 0

�7�� �� ��� ���$� �(� �����������

ρj→a

�(�� �(� ��������Ja

j hj→a

�� ����'��� � ������� � ¸�� ��� ���'��� �� ���� ���� ����(��

Jaj = 1

� §(��ρj→a

�� �(� ����������� �(�� �� ��� ��� '����� ������ub→j , b ∈ V+(j) �� ����� ��� �  �(�� �� �

������� ²� ��(u = 1

´ � ����'� �(�� ��'����Q (U)

�� � ������ ���� ¦�§ ������� ���� �(� '�����$�'���� ���� �� � ��������

j���� � � #��� ��$ �(��� ��� �(� '����� ������

ub→j

� ��(b ∈ V−(j) \ a � ��� � � ����� ���'���� �±��� �� #��� �

§(� ������ '�� �� � ������ �� �

ρj→a =∑

U

Q (U) θ

b∈V+(j)\a

ub→j

.²¾´

À Ja

j = −1 �(� ����� � V+

��$V−

�� �(� ����� �±������ ��� �¶'(����$ � À� �� '����� ���� �� $���� �(� ��� ���� �V u

a (j)��$

V sa (j) � (��� �(� ��$�'��

s��$

u���� �'������ �� �� �� �(� ����(���� � (�'( ���$ �� � ��� ��������

j����� �

�� ������� � �(� '�����a $����$ �� ²��� �� �ª´ �

� Ja

j = 1 : V ua (j) = V+(j) ; V s

a (j) = V−(j) \ a²¢£´

� Ja

j = −1 : V ua (j) = V−(j) ; V s

a (j) = V+(j) \ a²¢¢´

Page 9: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¾

§(� ���� ������  ��ηa→i

'�� �(�� �� � ������ �� �

ηa→i =∑

U

Q (U)∏

j∈V (a)\i

θ

b∈V ua (j)

ub→j

.²¢©´

� � ��������� ���� � ���������� � � �� �������� � ��

¡ (��� �(� �������� ��������� �±������ ²¢©´ �� �¶�'� �� �� ������� � �'���� �� ������� �(� ������Qa→i(u)

�� �(� ¿ ����������

Q (U)�  ��� '����� ������ ����� ��� ���� �(� �������� �� $�� ����(� ��� � 

a�� �(� ����(

Ta−i

� §(�� � ��� ����� $����$ �� �(� ¿ ���� ����������� �  � ������ ���� �� �  '����� ������ ��$ ��  ���( �

À� ��$�� �� (��� � '����$ ��� �  �±�������  �� �(�3M

'�����¥����¥������� �� �(��� � ��� �(� ����� ����� �(�� �(�� ������� �(�� ��� ��¿ �'��$ ���� �(�  ��'���� �� $� ��� ��'��������$ �(�� �� �(�� �(��� ¿ � ��� ����������� $����������� �� �'����#�$ � §(�� �� �¶�'� �� � ���� ��� '�� (��� �(�� �� � ��� � � � ��� $ �����¶ �� �����  ��  �'��� ����(� � ��( � �� '��������¥���� ����'���� ��� �� ������� �� �� �� �����¶ �� ����� �(�� �� '����� '������ ������ ���(���( �� �(��� '�� � ��'��� �(�� ����� ����� �� �

¡ ��(�� �(�  �'����#�$ �����¶ �� ����� �� � ���� �(� ����������� ����  �� �(� '����� ���� ������� �� �

ηa→i =∏

j∈V (a)\i

ρj→a ,²¢ª´

� ��(

ρj→a = Cj→a

{ub→j}

b∈V (j)\a

Qb→j(ub→j)

θ

b∈V ua (j)

ub→j

b∈V sa (j)

δ (ub→j , 0) .²¢« ´

� (��� ∑{ub→j}

�� � ��������  �� �(� ��� ���� ��� �(� '����� ������ �������� ���� ��� �(� ������ ���j ∈ V (a) \ i

 ��� ��'���� �� $��

b$�º�����  ���

a²��� '���$ � ���� � ��� �¶���'�� �� ∑

{ub→j}=(

b∈V (j)\a

[

ub→j∈{0,1}

])´ � ¡ ��(�����'� �� �(� ������� ��������� ���� ²¢©´ �� (��� ���$ �  �'����#�$  ���  �� �(�

Q(U)����������� ��$ �� �$$ ���

� � $�� '������ ��� ¡� (��� �¶���'�� �� � ������ �(� '��������� �(�� ��� �(� '����� � �����

ub→j , b ∈ V sa (j)

��� �±��� �� #��� � §(�� '������������ ����� ���' � (�� �(�  ��� $�����������

Q(U)��� ���$ � À� �(�  �'����#�$ �����¶�� ����� �(� '��������� (�� �� ��

�� ���� ����$ �¶���'���� �� ��$�� �� '�� ��� �(� '�����$�'���� � ������� � �� �� � ��'������ '��$�����  �� �(� '�����$�'�������� �� �� ������ ��

j�� �����( �

��� ��'���� �  �(�� �¶��� '��������� � ���� ���#����� '�������Cj→a

���� �� '�� ����$ ��  � ���� � � §(� ��� '�����¥$�'���� � ������� '�� �� $���$�$ ���� �(��� '������ � * ���� . � �(��� � ��( �� ����� ���

ub→j , b ∈ V ua (j)

�±��� ��1

²�(���� ������� ��� �(� ���� � (�'( '��������� ��

ρ´ � * ���� � � �(��� � ��( �� ����� ���

ub→j, b ∈ V sa (j)

�±��� ��1

� * ���� � ��(��� � ��( ���

ub→j, b ∈ V ua (j)

�±��� ��0

� 7�� �� '�� ���� �(� ����(� �  ��'( '���� Πu,s,0j→a

Πuj→a =

{ub→j}

b∈V (j)\a

Qb→j(ub→j)

θ

b∈V ua (j)

ub→j

b∈V sa (j)

δ (ub→j , 0)

Πsj→a =

{ub→j}

b∈V (j)\a

Qb→j(ub→j)

θ

b∈V sa (j)

ub→j

b∈V ua (j)

δ (ub→j , 0)

Π0j→a =

{ub→j}

b∈V (j)\a

Qb→j(ub→j)

b∈V (j)\a

δ (ub→j , 0)

.²¢¬´

§(�� �(� ���� ���#����� '������� �� ²¢«´ �� �

Cj→a = 1/(Πuj→a + Πs

j→a + Π0j→a) .

²¢®´§(� �±������ ²¢«´ �����(�� � ��( �(� ���� ���#����� ²¢®´ �����$� � '����$ ��� �  �±�������  �� �(� ���� ���

ηa→i

� (�'('(���'����#� �(� '�����¥����¥������� ²�� ��� ��$ �(��

ηa→i

�� �(� ����������� �(�� �(� '�����¥����ua→i = 1

´ �

Page 10: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢£

� � ��� � �� ���������� ��������

¸�� '������ ��$  �� �������(� �' ��� �� ��� � ���� �(� ������ ����������� ²¦� ´ ��������� �±������� �¶� ��'���� �� ���� ��  �(�

η��������� $����$ �� ²¹´ �

ηa→i =∏

j∈V (a)\i

[

Πuj→a

Πuj→a + Πs

j→a + Π0j→a

]

,²¢¯´

� (��� �

Πuj→a =

1 −∏

b∈V ua (j)

(1 − ηb→j)

b∈V sa (j)

(1 − ηb→j)

Πsj→a =

1 −∏

b∈V sa (j)

(1 − ηb→j)

b∈V ua (j)

(1 − ηb→j)

Π0j→a =

b∈V (j)\a

(1 − ηb→j)²¢¹´

���� �(�� � ��� $�'� ���� ∏b∈V s

a (j) (1 − ηb→j)����� �(� ����������� �(�� �� ���� ��� ������� ��

j ��� �(�  ��'����

�� $��b ∈ V s

a (j)° �  �(� ���

V sa (j)

�� �� ��� �(� ���$�'� ����� �����1

�� $�������� � � ��� � V (a) \ i

�� �� ��� �(��ηa→i = 1

� ¸������ �(� ¦� �������(� '�� � � ��� � ���#�$ ��  � ���� � ��� ��� �� � �

����� � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� �� � � � �� �� �� ��� � ������ �� !

tmax

2 � �5��!��+ ����!��ε-

"����� � �� #$"�%&'(&) �� 7� �! �� ������+ ����tmax

!,��� ! - �� �� �! ������+ � � � !�� ���� ��� ��. # ��!#!���. !

η∗a→i

-

/ - 0� � �� �t = 0

� 1 ���. �+��a → i

� � � ���� ��� 2 ��+� �. �� �� ����3� � � ��� ��. ��!

ηa→i(t = 0) ∈ [0, 1]4 - 1

t = 1�

t = tmax

4 -4 !,��� � � !�� � �+��! �� � ��+� +� 2 ��+ ��+��� !�5���� ����. � � ��� ��. ��!!���. ! � ��� � � �+��! � � � ��� 2 ������ ��� � � �����!

ηa→i(t)2 � !��� !� �� ���

$�7#��)0�& -4 -6 ��

|ηa→i(t) − ηa→i(t − 1)| < ε� ��� � � �+��! 2 � � ����� �� �! ������+ ��+ �������+

η∗a→i = ηa→i(t)

� ("�" �� �� 6 -

6 - ��t = tmax

���� �� #$"�%&'(&) - ��t < tmax

���� � � !�� � ����+ ���� ��� ��. ��! !���. !

η∗a→i = ηa→i(t)

7� �� ��� $�7#��)0�&(ηa→i)

-����� � 7�� � ��� ��� ��. ��! !���. ! � �� ��� �� ��� �� �� �� �+�

j ∈ V (a) \ i"����� � ��, ����� � � � ��� ��. ��! !���.ηa→i

-

4 - 1 ���.j ∈ V (a) \ i

2 ������ � � �����! �Πu

j→a, Πsj→a, Π0

j→a

� !��� �5 - 24�3 -

6 - $�����ηa→i

� !��� �5 - 24�3 -

� � ����� � �� ��� ���� ��� ���

¦��� ��� �(�� ¦� (�� '�������$ ��$ ����� � ��� �  '����� ���� �������η∗

a→i

� §(�� '�� �� ���$ �� ����� ��� �(����� ������ ²�(� ����� ����´ �  ��'( �������� � §(� ����������� � (�� ��� ��'�� �� � '������ �� ���$�� �(�� �(� ��������i

�� '���������$ ²�  ��#���´ ��xi = 1

�� ����� �� ��� � ���� ���

W(+)i =

� ���

a∈V (i)

ua→i > 0

.²¢¾´

Page 11: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢¢

¡ ��(�� �(�  �'����#�$ �����¶ �� ����� �(�� ���$� �

W(+)i = Ci

{ua→i},a∈V (i)

a∈V (i)

Qa→i(ua→i)

θ

a∈V+(i)

ua→i

a∈V−(i)

δ (ua→i, 0) .²©£´

À� ��$�� �� � ���� �(� ���� �� ���� � �  �(� '�������$ ����(��{η∗

a→i}����� �� ¦� �� �� '��������� �� ����� $�'� �(�

 ����� ��� ±��������� �

Π+i =

1 −∏

a∈V+(i)

(1 − η∗a→i)

a∈V−(i)

(1 − η∗a→i)

Π−i =

1 −∏

a∈V−(i)

(1 − η∗a→i)

a∈V+(i)

(1 − η∗a→i)

Π0i =

a∈V (i)

(1 − η∗a→i)

²© ¢´

§(� � ������� ���� �(�� ���$� �

W(+)i =

Π+i

Π+i + Π−

i + Π0i

.²©©´

¦�� ������ �(� ����������� � (�� ��� ��'�� �� � '�� ���� �� ���$�� �(�� �(� ������ ��i

��  ��#�� ��xi = 0

�� ����� ���(� �������� ����

W(−)i =

Π−i

Π+i + Π−

i + Π0i

.²©ª´

§(� ����������� �� � �'� �� � '������ �� � (�'( � �������� �� ��$��¥'���������$ �� �� ��#�� ���$�

W(0)i = 1 − W

(+)i − W

(−)i .

²©« ´¡� � �� ���� ����� ��� �(� '�� ���¶ ��� �(�� �� �(� ���� ���#�$ �������(� �  �(� ���� �� �  ����� � ��� '������� � À�

�( �� ��'���� �� ���� �(� ������� ������  �� �(� '�� ���¶ ��� �������$  ��� �(� ��������'�� �(���'� �������� �  ��  � ¨¯­ ° �� ��� $���'� ¿ �����'�����  �� �(�� �¶�������� �� ����� �� ��'� � � ÀÀ � §(� ����� '�� ���¶ ���

Σ'�� � � $�'�� � ���$ ����

'����������� ���� '����$ � ��( �����  ��'���� �� $� ��$ � ��( ����� �������� ��$ ���$� �

Σ =

(

M∑

a=1

Σa −N∑

i=1

(ni − 1)Σi

) ²©¬´

� (���

Σa = + log

j∈V (a)

(

Πuj→a + Πs

j→a + Π0j→a

)

−∏

j∈V (a)

Πuj→a

²©®´

Σi = + log[

Π+i + Π−

i + Π0i

] ²©¯´

À� ¸�� � « �� ��� ��� �(� $���  �� �(� '�� ���¶ ��� �  � ����� ���$�� ª¥¦�§  ��� ��� �  ��#�N = 106

��$α

�� �(�'��������� ����� � ���� �(�� �� �$$ '������ �� �(� ���¥�¶ ������  ������ ��$ �(��� ��� �(� $���  �� �(� '�� ���¶ ��� ���'��������� �

Page 12: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢©

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

3.85 3.9 3.95 4 4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3Σ

γ

{nugh_ � a �rt |q_w n^i | _h x]hn]p q_ [Σ/N

k rs ^d_ m]^nmsi nfu vqgm^_hm srh ] unx_f m]t |q_ rs mn�_N = 106

z �d_ vrt |q_w n^i x]fnmd_m]^

αc

~ dnvd nm _w|_v^_` ^r p_ ^d_ vhn^nv]q ^dh_mdrq` srh ^d_ m| _vnov srhtgq] gf`_h m^g`iz

� � �� ��� � � � �� ����������

¡ (�� ��� ���� �(� ¦� �������(� �� � ������ ������� ���� ��� � ��( � ����  �'���¥����( ��� � �� ��'������ ������������� � ¢´ �  �(� ���� ��� �� ¦�§ ��$ �(� ¦� '�������� �� ������ � 

ηa→i ∈ {0, 1}� §(��� ������ ��� �¶�'��� �±���

�� �(� ��������  ���$ �� �(� ¡ � �������(� �  ��'���� ÀÀÀ �∀a, i : ηa→i = u∗

a→i

� §(�� ������ �� ������ �(�� � ��  ����� � ���� ���� �(�� � �(��

ηa→i = u∗a→i

 �� �����a − i

�� ����� £ �� ¢� §(�� �� �� �� �'���� �  ��� '���� �(�� � �(�� �(� ����²¢¯ ¢¹´ � (�� ���'����#�$ �� �(� '���� � (���

η ∈ {0, 1} �� �±� ������� �� ²ª´ �����$�$ �(��� �� �� '�����$�'���� �� �(�� ������� ����� ��� ����  ��'���� �� $�

a� ©´ À  �(� ������� �� ��¦�§ ��$ �(��� �� � '�����$�'���� ���(�� ¦� ����

���� ������� ��'���� ²¢¯ ¢¹´ ����� �0/0

������ �� �(� ����� ����� � W±

i

�� ²©© ©ª´ ����� �0/0

������ ²$����$��� ��� (��(�� �(� '�����$�'���� ������� �� �(� ����� �  �(� '����� � ������� �� ���� �� �(� ���� ����� � �(�� ���� �������������'���� � ''��� � (�� � �������� ������� ���� �� ��� '������´ � §(� ��������#����� �  ¦� �� ����� ������� � � �� � ���(� ! �Á ¥¤¥¦�§ ������� (�� ���� $��'����$ �� ¨¯­ ��$ �� �(��� ��� �¶����� �� (��� � ¦� ¦� $��� ��� ����� ��� ��������� � ��( �����'� �� ��� ��� ������� �������  �� � ���� ������� �

¦� �� � ���� (�������' �������(�  �� � (�'( �� (��� �� ����  �  '��������'� ��� �� (���  ���$ �¶����� ������� �(���� $��� '������� �� ���������� � (��� �(� ��� ��� ¡ � �������(� $��� ��� � ¡ (�� �� '�������� ¦� �����$�� �  � �� ��� � '����� ���� ������� ��$ �� ����� ���  �� �(� '�� ���¶ ��� �� �(� ���� �� �  ¦�§ '�� ����� �� �(� ���'��' ������'� ��$�����$�� ¦�'( ������� (��� � ��� $����$ �� �(� �����

N��� �� ��$ � (�� �� �(� �������� � ������ �  �(��� ±���������  ��

�����N

�� ������� �� �� �� �� ±������� � §(� ����$��� �  �(�  �'����#����� �����¶�� ����� �� $�· '��� �� ������ � �����(� ������ �  '������ �� ��� ���� �� $����  �� �����

N� %���(�� �������� ��� '�� �( ��� �(��  �� �����

N �(��� � ��(��¶ ��� ��� � �º�'���� µ�����

N'������� µ ��'( �(�� �(� ���� �� �  ��������� �� ¼ �� �� ��$�� �� ���'( ��� '�� ����  ���

����(�� ��� �� ����� ���$��� �� � ���������� �  �'���� �� �(� ���� �� �  ��������� �������$ � ������ �(� �����¥'������� ���� ��$ �(� �����¥'�� ���� � ���� � ¦�'( � ��������� ����$ ��������� �� $�· '��� �� (��$��  �� ����'( �������(� � ��$�( �� �� � (��� ¦� ����� ��� �� � � ±���� �º�'���� �

À� ��$�� �� ��� ��� � '��'���� ��$������$��� �  �(��� ±��������  �� ����� ��� �����N �� (��� �¶� ���� ����$ ¦� ��

������ ������'�� �  �(� ���$�� ª¥¦�§ ������� � ��( � ��� ��������� �� ��N ∼ 107

� §(� ������� ��� ��� � ���#�$ �� �

•��� .,����+,�����,�� ����� � ¸��

α < αd ¦� '�������� �����$ �(� ������� ��������

Qa→i(u) = δ(u)  �� ���a → i

�$��� � � �� ��������� ��� ��$��¥'���������$ ��$ �(��� �¶ ��� ��� ������ '�� ���� ¨©®­ �

•��� ���� ��� ����� � ¸��

αd < α < αc ²� (���

αd ' 3.921��$

αc ' 4.267´ �(�� �� �� �(� (��$ ��� ������ ¦� '�������� �� � ���±�� ���¥���� ��� �� ������ � §(� '�� ���¶ ��� �� � ������� ²�¶��������� ���� �� �  '�� �����´ � §(�

������� '���� ���'��� �� ��� ����� '��'������ �(� ���'� �  ���������  �� ��� ����� ��� ��� � ¡������ � ��(N

������ ����� N ≤ 10000 ��� � ¦�§ '������������ '�� ��  ���$ �· '������ �� ��� $ �������(� � ���� � �� � �������¥ª¬¨¢¹ ¢¾­ � ¡� (��� ���$ �(�� �� ���� �(� ���'�� � �  ¦� �� �(�  ����� ��� � ��(� $ � ¸�� ��� ����� ��� ��� �� ��� ¦� ��$ �� '�� ����  �� ��'( �������� ��� µ� ������#����� µ

mi

$����$ ��mi = W

(+)i −W

(−)i

� ¡� (��� ��������$ � ��(�������¥ª¬ � ����� ��� ���

N�  �������� �� ������� ���� ��'( ��� ������� ��� � ����  ���$  ��� �� ��$����$���

���$�� �� ����� '��$����� � À� �(�� ��� �� � ������  �� ��'( ��������i �(� ���� �� �  ������� ����

N+i

� (���xi = 1 ��$ �� $����

m′i = 2N+

i /N − 1� À  �� ���� ��� �(�� �� ������� � ��������

i� (�'( �� ��$��¥'���������$

�� � '������ ��� ���� � ��( �±��� ����������� ��xi = 0

��xi = 1

�� �(� ¦�§ ������� ���� �  �(�� '������ �(����� '�� �¶��'� �(��

mi = m′i

� À�$��$ �¶���$�$ ��� ���'�� �¶� ���� ���� ²��� ��  � ¨¯­´ $��� ��� � '���� '����������

Page 13: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢ª�������

m��$

m′ ��$�'����� �(�� ¦� �� ���� �� ���$�'� '����'��� �(�  ��'���� �  ¦�§ ������� ���� � (��� ������� ��

i(��

xi = 1�

•��� �� ��� ����� � ¸��

α > αc = 4.267�(� ������� �  ¦� �¶������$ ����� $��� ��� ���� ��� � � �� ��� ����� �

¸��αc < α < α∗ ∼ 4.36

�(� �±������� '������� ��$ ��� �(� '�� ���¶ ��� �� �������� � ¸��α > α∗

�(� �±����������� '���� �� '������� ¨©£­ � � � ��� �������  ���������� �  ¦� �� � (�'( ��� � �����#�� '�����$�'���� � �������������$ �  ������ �(�� � #��� ����������� '�� $��� � ��( ��'( � ����� � ��$ �����$� �������� �� ��� ����� '��'�������(� ���¥'��� '����������� �(�� �� ����� �(� ! � Á¥ª¥¦�§ ������� ²��� ¨¯­´ �

� � � �� ���� �� ���� � ���� � ���� �� �� ���� � ����� ���§(� �������� ��'���� (�� �(�� � (�� ¦� '�� ���� ���(�� ���'��� ������� �� �(� ��������'�� ���������� � 

SM

 �� ������ ������'� �  ª¥¦�§ � §(� ������� ±������� �� ��� �� (�� �� ��� ��'( �� ��� ����� �� ��$ ����� ���� ������� ���� �

À  ¦� '���$ ���$�'� � ��( ���� (��( �''���'� �(� ����� �  �(� '�� ���¶ ��� �  � �����  ������ �� '���$ ���� ���$�'���� ������ �������� §(�� ��� '���$ ��� '��$ �� ��$��� � ����� ���� ������� ��� ¿ ��� �� �(� ����� '��������� �  $�'������������(� � ���� � ����'( �������(� � � � ������ �� �� ����'��$ ��$ �¶�$ �� ��� ����� � §(�� ¦� �� ���$ �� �������� �(�'�� ���¶ ��� �  �(� ���������� �  ��#�

N −1� À  �(� ������� ��� �� ¦�§ ²

Σ > 0´ �(�� �� ���� �(� ������� ��� ��(��� ���

�(� ��� ����� ����� �  �(� ������ �������� �� '(���� � §(� ��� '��� �� ��� ����$ ����� ��� �(� ��������� (��� � ��� �¶(�����$²�� �� � ���

2N'���� �  ¦� ´ � §(� �� ��� �'(�� � (������ ��º���  ��� ����� ��#� �º�'�� ��$  ��� �(� �� ���'����� ��

�(� $����� ������� �  �(� '�� ���¶ ��� �  �'� � (�'( �� �����'� ����� �� � ������ '���� ��αc

� ! ������� �� $��� ��� �����$������� �  �(� '�� ����� �� ��� ����� �����$�$ �� �(� ������� � (�'( �� ���$ �� �(� ��� '�$��� �(�� �� ��� $��'��� � �

� � �������� � � �������

½�'� ¦� (�� ���'(�$ '��������'� �� '�� '�� ���� �(� ����� � �����{W

(±)i , W

(0)i }

� (�'( ���� �(�  ��'���� �  '�������� (��� �(� ��������

xi

��  ��#�� � �������������������'���������$ � ³ ����� '�� ����$ �(��� ����(�� �� � �� $�����¥�� ��( �(��� �� ����'� ��� �� �  ������ �� �� $�� ²�  '����� ��� �(� ������ �$���� '���� � ��� ���� �� �������´ � �(� .,����+,�����,�� ���� � ��(

W(0)i ∼ 1 �(� ������ ���� � ��(

W(+)i ∼ 1

��W

(−)i ∼ 1

��$ �(� ����,��� ���� � ��(W

(+)i ' W

(−)i

��$W

(0)i

�� ��� �¸�¶ ��� �(��� �(��� ��� �� �  ������ ��� ��� $�'� $�º����� �º�'�� '����������� � ��( �(� �������������� �  �(� ������� �

¸ �¶ ��� � �����$ �������� $��� ��� ����� �(� ����'���� �  �(� '������� ��$ �(� '�� ���¶ ��� '(����� �� ���( �� ² �� '���������� ���� �����$´ � ¸�¶ ��� �� ��$��¥'���������$ �������� �º�'�� ���� �(� �������� ������� �  �(� '������� ²� (�'( ��'����� ��������´ � À������������ �����( �¶ ��� � �����'�$ �������� (�� �� ����� ��� �º�'� � �� ��� $�'�� � $�'��������� '���� ��

ln 2�� �(� '�� ���¶ ��� ��$��$ (��  �  �(� '������� ��� ���� �����$ �� �¶��� ��� ������ �����'�$ �������� �

��� ���'�� �¶� ���� ���� '�� � � ������ � �� ��� �$ �� ��� ���� �  (��� ��#� ¨¯­ �

� ���������� ������ � �������

½�� ��������  �� ����� �(� �� ��� ����� �����$�$ �� ¦� �� �� �¶ �� � ��� ��������� �� �������� � ��(��� ���� ���������� � ��� '�� ����� � �� ��'( ����8 ���+, ���� �(� '(��'� �  �(� �������� �� �¶ �� � �$� �� ������� �� �(� ������

W� �

¦�''�������� �(� ������� �� ��� �����$ ��$ ¦� �� ��¥��� ���� �(� �� ����� ������� ���$��� �� � ��� ��� � η

� ��$'����±������ �� �(� ��� ��� �  � �����

W� ��$ �� �(� '�� ���¶��� �  �(� ���¥������� � ���������� ���(�� ��� ������ ���

(��� � ��� �¶�$ �� ²� ��� ������ ´ �(� ��� ������ ��������� ���� ��� �� � � ��$��¥'���������$ ²� �� �W

(0)i = 1 ∀i

´ �� � (�'('��� � ��� ��� ����'( ��� '��� '�� � � ��� �� ��$ �(� '�� ����� ����� � ��� ������� ��� �

� ������(� �����$ �� ���� �������� �  �(� �� ��� �$��� �����$� � ��� ��� �������(� �(� ������ �� �����$ $�'�� �����²¦À/ ´ �(�� '�� �� ���$ �� ��$ ��������� �� ���$�� ª¥¦�§ �� �(� (��$ ������

α ∈ [αd, αc]� ¡� $� ��� �¶��'� �( ��

�� ���� �������� �� �� �(� � ��� �· '���� ��� �� �(�� �� �����'���� �������� (�� � ��� �����$ ��� �� ����� �#� �(�$�'�� ����� ���'��� �

�01 ��� �� ������ � � � ���� ��� � � ����� ����� �� ����� �� ��� �� �� �� - 0 � �� �� �� ��� � �

����� �� !tmax

��+ � ����!��ε

� !�+ �� 7�"����� � "�� �!!���� ��� , �� !�� �!� ��! ��� ���� !�! 2 �7� �� #$"�%&'(&) �2 �� � �. ��70� �

/ - '��+� �� �� ��� ��+�� �� � � � !���. !

Page 14: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢«� mrqx_`

Nfinal/N^r^]q ^nt _ [m_vrf`mk

γ ↓ f = 4 f = 1 f = 4 f = 4 f = 1 f = 4 f = 4 f = 1 f = 4� zbc �cc� �cc� c z�� c z�c b�j z�b b��b z�� zb� ��� �cc� �cc� c z�j c z�j c z�� b� � zbc � �� zcc b��b zb� zbb �b� �cc� �cc� c zj� c z�� c zj� b�� zbc ��� zcc jjj� z�N → 105 106 105 106 105 106

{nugh_ � a � _mgq^m rp^]nf_` pi mrqx nfu ~ n^d ] mnfuq_ `_vnt ]^nrf hgf rs ^d_ ��\ ]qurhn^dt �c h]f`rt nfm^]fv_m rs j���� ~ n^dN = 105

]f` � ~ n^dN = 106

srh _]vd x]qg_m rsα

z � qq m]t |q_m ~_h_ ohm^ ^hn_` ^r mrqx_ pi ownfu x]hn]p q_m nf m^_|m rsf = 4%

]^] ^nt _ � ^d_f ^d_ h_t ]nf nfu [gfmrqx_`k m]t |q_m ~ d_h_ mrqx_` ~ n^d

f = 1%z �d_ t ]wnt ]q fgtp_h rs n^_h]^nrf ~]m ^]}_f _�g]q

^r103

]f` ^d_ |h_vnmnrf srh vrfx_hu_fv_ ~]m ^]}_f _�g]q ^r10−2

z �d_ ^]pq_ mdr~ m ^d_ sh]v^nrf rs nfm^]fv_m ~ dnvd ~_h_ mrqx_`pi ��\ [ohm^ vrqgt fk � ^d_ sh]v^nrf rs x]hn]p q_m ~ dnvd h_t ]nf_` nf ^d_ mnt |qno_` nfm^]fv_ ~ d_f ]qq mghx_im ]h_ ^hnxn]q � ]f` ^d_]x_h]u_ vrt |g^_h ^nt _ h_�g_m^_` srh mrqx nfu ]f nfm^]fv_ nf _x_hi v]m_ [rf ] b z� �� � �� k z

4 - '�� 7�

6 - &������� ��� � � ��!�!{W

(+)i , W

(−)i , W

(0)i }

2 ��+ � � ������ ��.Σ

2 � !��� 26 4#6�3 -

- 7������. ��+ 7�� � �

-4 0 ,+,���� ��� �.����� �{η 6= 0}

� ��� +.,� 2 � �� � �� � � �� �� �� , �� � � ����!�|W

(+)i −

W(−)i |

3 ��+ !������. � � � ��� - -6 0 ��� �.����� ��� �� �� �� � �

{η = 0}� 2 � �� ����� � � !������ ��+ !� #����� ��+ �� � �� �

���� !�� � ���!! 2� -� - ,��� !�� 3 - - 0 �� �+�� ,+� �+,��� � 2 ����� �� � �. �� !��� ��+ !�� 2 �!��� 2 � -� - + �+ � � 3

4 - �� � � � ��� �! !���+ ��������. . �� �� ���� !� ������ �� 2 � �� ����� �70�� ��+ !�� -�� � ����+��� �� �! ���+ � �� ��� ���� � � +���� �� �� ���!! � � � !� ���� � ��� 2 +�+ ��3 ��!� 2�� � ����+��� �� �! ��� �+3 !��

§(� �������(� '�� ���� � � ���$�� �#�$ �� �¶��� ������$ �  �(� � ��� �����$ ��������� ��� �������� ���$�� �� '(������ �(� ��� �  �(� Á Á � ��'��� ��������� � ��( �(� ������� ���� ²����'���� Á Á�¬ ����� ����´ � §(�� �������� ����� � �� ������ � ������� �� �(� '��� � (��� �(� �������(� (�� ���  ���$ � �������� �

§(� ������� �$�� ��$������� �(� ����'( ��� '��� �� ��� ��� � �� ��'( ��� � ���� � ������ �������� �� �¶�$ �''��$��� ���(� ���'�� � �  ¦� ��$ �(� �º�'� �  ��'( �¶��� �� ���$ �� ��� ��� � �(� ������� � §(� ��� ��� �  ��������� ��$�'��  ���Nt

��Nt − 1 − St

� (���St

�� �(� �$$������� ���� �� �  ��������� � (�'( � �'�� � �¶�$ $�� �� ��� ����'����� � �������$'������ ��� ���� �����$ ���������$ ¤ '������ ��� ����� ��� �$ ���� ²¤¥ ¢´ '������ �

K = 1'������ ���$ �� � � �������$

��$ �(��� ��� �(��� ��������� ��� �������� �¶�$ ²���� '����� ����������� ´ ���$��� ��  ���(�� �������� ���� ������� � §(���� '��� �� �(�� ��� ����$ �� �(� �� ����� ���¥������� �

¦�������  ��� � ª¥¦�§ ������'� �(� �������(� � ��� ��� $�'� � ��±���'� �  � �¶�$ ©�ª¥¦�§ �� ����� ��$ �� ����� ���������� � � �  ��� �¶ ��� � '������  ��'���� �  �(� ��������� �(� ���¥ ��� ��� ����� ��� �� � � ��$��¥'���������$ ²��� �(�������� ��� '��'�������$ ��

ua→i = 0 � �� �{ηa→i = 0}

´ ��$ ±��'��� �����$ �� � �� '�� ����'( � ��(�$ � §(� ������ � �(� �� '�� ����'( ¿ ����$ � ��( �(� ��� �  �¶�$ ��������� �����$�� �(� ������� ����� ���� ������� ��� �

½� ��� �  ������� ��(�� '����'���� ���������� '���$ ���� �� �� ���� ����$ � �� � ��'����'� � ³������  �� ����� ���$��ª¥¦�§ ������'�� �(� ���� ��� ����� ��� �� �� ��� ��� ������ ��''��� �� ��$ ��  ���(�� ����� '����'���� �������� �����$�$ � ½� � ��� ��������' ������'�� � (��� �(� ��� ����� �  �(�  �'��� ����(� �������� ��� � ��� ���� ��� ����'���� ���¶� �'� '����������� �� �(� ������� ��$ � ������� ������ � (�'( ���$ �� �� '���$ � §(� ¦� �±������ '�� � � ��������#�$�� $��� � ��( � ��� '�� ���¶ ����(� ¨¯ ©©­ ��$ ��� �� �(� ���'��'�� ��$� ��� � ������� ����� '����'���� �������� '���$� �'�� � ��� �� ��¶������� ��� ���'�� �¶����� ���� �� ���$�� ª¥¦�§ ������'�� ��

α = 4.2 − 4.25� ��( ��#� �� ��

N = 107(���

�(�� � � ��� ������� �· '���'� �  �(� $�'�� ����� �������(� � ¡ (��� �(� ��� '��� �  �¶��� � ������ �������� ����� ��� ���� � ²

O(N)�� ��������´ ����'���� �(� ���� $�'�� ����� ��� ���$� �� �(� �������� � §(� ��$��¥'���������$ ��������� �

��� $�'�$ �� �(� $�'�� ����� ��� '��� ���� ��� �� � � ��$��$ ���� ���� �� ����� � ����  �� �(� ������� ��� ����N = O(107) �(� ��������� � ��������$ �� ¦À/ ²� (�'( ����'���� �������������� � �( ��$ ��$ (��  �  �(� ���� ���� ���������´ ��� �����$

��  �� ��'��$� �� ������� �À  �� �¶ ��� ������ �� �� � ��� � �(� ������� '�� ���������� '��� �� (��$ ���$�� ª¥¦�§ ������'�� �'���� ��

O(N2)�

À  �� ��� ��� ��� '���� �� �(� �(���(��$ � �� � ��α = 4.2 �� � �� ���� �¶ �  ��'���� �  ��������� �� � ��� � ���$��� ��

�  ���(�� ��$�'���� �  �(� '��� ��O(N lnN)

²�(�ln

'�� ��  ��� ������� �(� � �����´ �

Page 15: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢¬� ���� ����' ��� '�� ����� ������� �  �(� '� $� � (�'( �� �����$�$ �� ����� ����  �� �(� ���$� �� ���$�� ª¥¦�§

������'�� �� ��������� �� �(� ��� ���� ¨© ¢­ � ��������#����� �  �(� �������(� �� ��(�� ������� � ��±� ��� ��� � '(������ (�'( ��� ��� ��� �� ���� ����$ �

� �� � ��� � � ���� �� �� ��� �� �� � ����� ��� �� � �� ���� � ����� ���§(� ������ ����������� �±������� $��'����$ �� ��� $������ ��� � ��� ��������� � ��( �(� ���  ���$ �� �(� ¦�� ¥� �� $�'�

�������(� ¨¢¬­ � §(�� �� � ������' �������(�  �� '�� ������ � ������� ����������� $������������ �� ���� ��� � $����$ �� �'��� ����(� � (�'( (�� � ��� ���� ��� �� �� �(� '����¶� �  ����� '����'���� '� $�� ¨¢¯­ ��$ �������� �������� ¨¹­  ��� � (�'( �� ������ �(� ��� � �����  ����������� ²�� ´ � §(�� ��'���� �¶������ �(� � ��� $�º����'� � ������ �(� ���������'(�� �

� � ���� � ���������� �� ��� ��� �������

§(� � ����  ����������� ²�� ´ �������(� �� � � ������ ������� ��� '�$��� �(�� ����������� �(� ������� ������� ��� '�$���²¡ � ´ �  ��'� �À ÀÀ � � À� ��� � �� '�� ������ �(�  ��'���� �  ¦�§ ������� ���� � (��� � ����� ��������

xi

�� ���� � 7�� ��'����$�� �(� ����������� ���'� ����� �� ��� ¦�§ ������� ���� � ��( �±��� ������������ �������

a��� �  �(� '������ ��

� (�'(xi

������� �(� ����' �����$����� �  �� ��� �(� � ������� �

• µa→i(xi) �(� ����������� �(�� '�����

a�� �������$ ����� �(� ����� �  �(� ��������

xi ∈ {0, 1}�

• µi→a(xi) �(� ����������� �(�� �(� ������ �� ����� �����

xi � (�� '�����

a�� ������ ²�(�� �� ����� � ��� �'�� µ'����� µ

$�������� ´ � ����'� �(�� ∑xi∈{0,1} µi→a(xi) = 1 � (��� �(��� �� �� ��'( ���� ���������  ��

µa→i(xi)�

§(��� � ������� ����� � �(�  ����� ��� �±������� �

µi→a(xi) = Ci→a

b∈V (i)\a

µb→i(xi) ,²©¹´

µa→i(xi) =∑

{xj(j 6=i)}

fa(X)∏

j∈V (a)\i

µj→a(xj) ,²©¾´

� (���Ci→a

�� � ���� ��������� '������� �������� �(��µi→a

�� � ����������� �(� ��� ����{xj(j 6= i)}

� ���� � ������� ��� ������ �  �(� ������ ���

xj ∈ {0, 1}  �� ���j

$�º�����  ���i ��$

fa(X)�� � '(���'�������'  ��'���� ������ �����

1�  �(� '�����������

X = {xi}�������� '�����

a ������ �����0

��(��� ��� �À� �� '��������� �� ����� ����#�

µi→a(xi)�� ����� $�'��� �(� ��� ���

γi→a ∈ [0, 1]� (�'( �� �(� ����������� �(�� �(�

��������xi

�� �� �(� ����� � (�'( �������� '�����a �� � ������� � (��� '�����

a����$ � � ������ ²� ������  �� �� ����'�

µi→a(xi) = γi→aδ(xi, 0) + (1 − γi→a)δ(xi, 1)�� �(� '��� � (���

Jai = −1

´ �7�� � � $����� ��

δa→i ≡∏

j∈V (a)\i

γj→a

²ª£´

�(� ����������� �(�� ��� ��������� �� '�����a �¶'��� ��������

i ��� �� �(� ����� � (�'( �������� �(� '����� � À� �� ���� ����� �(�� �(� �� �±������� ²©¹ ©¾´ '�� � � � ������ �� �

γj→a =Pu

j→a

Puj→a + P s

j→a ,

²ª ¢´

� (���

Puj→a =

b∈V sa (j)

(1 − δb→j) ,

P sj→a =

b∈V ua (j)

(1 − δb→j) .²ª©´

Page 16: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢®

ab

c

d

ef

gh

i

1 2

3

45

6

7

0

8

1/2

1/2

2/3

1

1/31

1/3

11/3

10

01

1/2 0

1/20

0

1

1/31

1/31

2/31/2 1/2

2/3

2/3 1/2

1/2

{nugh_ � a �f _w]t |q_ rs h_mgq^ rp^]nf_` pi ^d_ y� ]qurhn^dt rf ^d_ ^h__ |hrpq_t ~ n^dN = 8

x]hn]pq_m ]f`M = 9 vq]gm_m

m^g`n_` nf ou zb z �f _]vd _`u_ rs ^d_ uh]|d vrff_v^nfu ] sgfv^nrf fr`_ qn}_c

^r ] x]hn]p q_ fr`_ qn}_2

� ]||_]hm ^d_ x]qg_ rsγ2toc[nf p qg_ � rf ^d_ hnud^ d]f` mn`_ rs ^d_ _`u_k ]f` rs

δcto2

[nf h_` � rf ^d_ q_s^ d]f` mn`_ rs ^d_ _`u_k z �rt |]hnfu ^r ^d_ l � h_mg q^rs ou zb � rf_ m__m ^d]^ ]qq ^d_ t _mm]u_m

δatoi = 1� vrhh_m|rf`nfu ^r m^hnv^ ~]hfnfum � ]h_ ^d_ m]t _ � ~ dnq_ ^d_ t _mmu_m

δatoi < 1]h_ nf^_h|h_^_` nf l � ]m �fr ~]hfnfu� [n z_ z ] fgqq t _mm]u_k z � mnfu [jjk � ^d_ |hrp]pnqn^iµi

^d]^ _]vd x]hn]pq_xi = 1

]h_ srgf`_�g]q ^r a

1, 0, 1, 1, 1/2, 3/4, 3/4, 1/2z �d_m_ ]h_ ^d_ _w]v^ h_mgq^m ]m v]f p_ vd_v}_` pi vrfmn`_hnfu ]qq m]^nmo]pq_ ]mmnuft _f^m ]m

nf ou zb z

À  �� ����� ��� �� �� ���  �� ������'�V s

a (j) = ∅ �(� '������ ��$���Pu

j→a

����� �����1

�� $�������� � À  �  �'��� �� $�a

�� � ���  ²�� �� '�����´ � ��( � ������ ����(� ���i �(� '������ ��$���

δa→i

����� �����1

�� $�������� �� � ¡ � �(� �� �������(� �� �¶�'� �� � ���� ²���  �� �� ����'� ¨¢¬­´ � À�  �'� �� ����� � � ��� �''����� ������ ���'� ��

����� � �� '�� ���� �(� �¶�'� �����������µi

²� (��� ¡ � �$������� �(� ��������� � (�'( ���  ���� '���������$ ��$ ����� �#��� �� '�� ���$ �� �(� ��(�� ���������´ � � � �¶�� ��� �  �����'����� �� �(�� � �� �� �® � À� �(�� ���� '��� �  �(� ���� ������ �����$�� �(� �¶�'� ��� ��� � �  ¦�§ ������� ���� �� ����� �� �(�  ����� ��� �(����� �

������� � ���� � � ���� �� �� �� � � ���� � � �� �� ��� �� � ����� � ��� � � � �� &�� �� � $ �� ��

�� � ���� � � �� �� �� ��� ������ �� �� �� � !�"! � �� # $ � � ��� � �� δ∗a→i

� �� � ���������%µi�� �� �� ������

xi = 1� � � �% �

µi =

a∈V−(i)(1 − δ∗a→i)∏

a∈V−(i)(1 − δ∗a→i) +∏

a∈V+(i)(1 − δ∗a→i).

²ªª´

�� !� � � �� �� � ���� � �� � ����� � � �� �� �� ���� %S = lnN &

�� ��� � � � �% �

S =∑

a∈A

ln

i∈V (a)

b∈V sa (i)

(1 − δ∗b→i) +∏

b∈V ua (i)

(1 − δ∗b→i)

+∑

i∈X

(1 − ni) ln

b∈V+(i)

(1 − δ∗b→i) +∏

b∈V−(i)

(1 − δ∗b→i)

²ª« ´����6 �§(� ����  �  '��������'� �� ��� ��� � ���� �(� ��� � �������� �� �(� ����  �� ��'� �À ÀÀ � � ������� �� ����� £ ��$ ¢ ���

�¶�$ ����� ���'���� ��$ � � ������ �� �����r

�� �¶�$ �� �(� ������ �  � ������� �� ����� ������ �§(� �����������

µi

�� '�� ����$  ��� �(� ��� � ���'�$��� �� �(� ��� ������ �(� �� �±������� ²©¹ ©¾´ � ��( �(�$�º����'� �(�� ��� ����� ���� �''���� ��� ����(����� �  �(� ����

i�

§(� ����(��� � ��� �������$ ������ �� �(� ��� '��'������ �(� �������� ¡� ��� �(� ����������� � ������P (X)

���(� ���'� �  ��� ������� ���� � (�'( (�� ��� ��� �����������  �� ��� ¦�§ ������� ���� ��$ #��� �����������  �� ��� �(�������� ���� � (�'( ������� �� ����� ��� '����� �

P (X) =1

N

a∈A

fa(X) .²ª¬´

¸���P

��� '�� $���� �(�  ����� ��� � �������� �

Page 17: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢¯

•�(� µ���� � ������� µ

pi(xi)�� �(� ����������� �(�� ������ ��

i����� �����

xi ∈ {0, 1}

•�(� µ'����� � ������� µ

pa(Xa)�� �(� ����������� �(�� �(� ��� �  ������ ���

xi, i ∈ V (a) ����� � ����� ����� $�����$��

Xa

²�� ��� �(�2n(a)

�������� ������´ �¸�� � ����  �'��� ����( �(�  ��� ����������� '�� � � �¶������$ �� ���� � �  �(� ���� ��$ '����� � �������� �� �

P (X) =∏

a∈A

pa(Xa)∏

i∈X

pi(xi)1−ni .

²ª®´

§(� �������S = ln(N )

�� �(�� �������$ ��

S = −∑

X

P (X) lnP (X) = −∑

a

Xa

pa(Xa) ln[pa(Xa)] −∑

i

(1 − ni)∑

xi

pi(xi) ln[pi(xi)]²ª¯´

7�� �� ��� $����� �(� �¶�������� �  �( �� ±������� �� ���� � �  �(� � ������� ���$ �� �� � ½�� (�� �

pi(xi) = ci

b∈V (i)

µb→i(xi)²ª¹´

��$

pa(Xa) = cafa(Xa)∏

i∈V (a)

µi→a(xi) ,²ª¾´

� (���ci

��$ca

��� ��� ���� ���#����� '�������� � ¸��� ²ª¹´ ��� ���� � ��� ��� � ���(�� ��� �

i

(ni − 1)∑

xi

pi(xi) ln pi(xi) =∑

i

(ni − 1) ln ci +∑

a

i∈V (a)

Xa

pa(Xa) ln

b∈V (i)

µb→i(xi)

;²«£´

� ���� �(� �� �±������ ²©¹´ �(�� ����� �

i

(ni − 1)∑

xi

pi(xi) ln pi(xi) =∑

i

(ni − 1) ln ci +∑

a

Xa

pa(Xa) ln

i∈V (a)

µi→a(xi)fa(Xa)

,²« ¢´

� (��� �(� ����fa(Xa)

����$� �(� �������(� (�� ���� �$$�$ ������ ���� �''���� �(�  �'� �(�� ��fa(Xa) ∈ {0, 1} ��� ������ (��

pa(Xa) ln fa(Xa) = 0� §(��� ��� �

S = −∑

a

ln ca +∑

i

(ni − 1) ln ci +∑

a

i∈V (a)

lnCi→a

²«©´

À� �(� ��������� �  ²ª ¢ ª©´ ��� (��

ca =1

1 −∏

i∈V (a) γi→a

=1

1 −∏

i∈V (a) Pui→a/(Pu

i→a + P si→a)

,²«ª´

Ci→a =1

Pui→a + P s

i→a

,²«« ´

��$

ci =1

b∈V+(i)(1 − δb→i) +∏

b∈V−(i)(1 − δb→i).

²«¬´

¦����������� ���� ²«©´ ����� �(� �¶�������� ²ª«´  �� �(� ���������

Page 18: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢¹

� ��� � �� ���� ��� ��� � ���� ����

À� �� ���� �� ����'���� �� '�� ���� �(� ��� �  �±������� ²©¹ ©¾´ �  �(� �� �������(� �� �(��� �  ¦� � ������ �� ²¢¯ ¢¹´ �§(� $�º����'� �� �(��� ��� ����� ���� �''���� ���������� �� ¦� �(� '��� �� � (�'( �(��� �� � ���� � ������ ���� ��������� � ������ �(�� �� ��'����� �� ������� �� ��� � À� �(�� '��� �(� ������ �� �� ��'���������$ � (�� '����$�������� �������� ��� � §(� ����������� �(�� ��������

j�� ��'���������$ �� �(� �����'� �  '�����

a �� ���(��� ��� �(������������

Π0j→a =

b ∈ V (j) \ a(1 − ηb→j)$����$ �� ²¢¹´ � À  ��� $��� ��� ���� �(�� ������ ����� ���� �''���� ���

���� ��'� �(� �±������� �  �� � §(� ����������� �  ¦� '�� �(�� �� ��$������ $ �� �(� ����� $�'���� �  � ��� ����� �  �(���������� � µ¿ ���� ����� µ �� �� (�� � ��� '����$ �� ¨©«­ � ������ �(�� �(� �������� �� ��� '���������$ � §(�� ��������������(�� ���� ���� ���$ ��'�����  �� �(� '�������� ��$ ������������� ������� � �� ¨©« ©¬­ � À� '�� � � ���$ �� µ$����� µ �(� ¦��������(� �� � � ����  ����������� �������(� ������$ �� �(�� �������$ ���'� �  ������ ��� ��$ � ������� � 7�� �� �¶������( �� ��� '�$��� ���'( �������� '�� ��� � � �� �(��� ������

0, 1, ∗� §(�

∗����� �� �(� ¿ ���� ����� � ������ �(�� �(� �������� �� ���

'���������$ � ¡ ��(�� �(�� �������$ ���'� �� ��� �(� ������� �� �±������� ²©¹ ©¾´ � � � � � ��� �� $����� ��γi→a ∈ [0, 1]�(� ����������� �(�� �(� ��������

xi

�� �� �(� ����� � (�'( �������� '�����a �� � ������� � (��� '�����

a����$ � � ������ ��$ ��

δa→i =∏

j∈V (a)\i

γj→a

²«®´

�(� ����������� �(�� ��� ������ ��� �� '�����a �¶'��� ��������

i ��� �� �(� ����� � (�'( �������� �(� '����� �7�� �� '�� ����

µi→a(xi)� §(�� $�� ��$� �� �(� � ������� ��������  ��� �(� �� $��

b ∈ V (i) \ a��

i� §(� �������

� ������������  �� �(��� � ������� ��� �•�� ������� ����� ���  ���

b ∈ V sa (i) ��$ �� ������� ����� ���  ���

b ∈ V ua (i)

� §(�� (������ � ��( � �����������

Π0i→a =

b∈V (i)\a

(1 − ηb→i)²«¯´

•�� ������� ����� ���  ���

b ∈ V sa (i) ��$ �� ����� ��� ������� ����� ���  ���

b ∈ V ua (i)

� §(�� (������ � ��( ������������

Πui→a =

1 −∏

b∈V ua (i)

(1 − ηb→i)

b∈V sa (i)

(1 − ηb→i)²«¹´

•�� ������� ����� ���  ���

b ∈ V ua (i) ��$ �� ����� ��� ������� ����� ���  ���

b ∈ V sa (i)

� §(�� (������ � ��( ������������

Πsi→a =

1 −∏

b∈V sa (i)

(1 − ηb→i)

b∈V ua (i)

(1 − ηb→i)²«¾´

•�� ����� ��� ������� ����� ���  ���

b ∈ V ua (i) ��$ �� ����� ��� ������� ����� ���  ���

b ∈ V sa (i)

� §(�� (��� ���� ��( � �����������

Πci→a =

1 −∏

b∈V sa (i)

(1 − ηb→i)

1 −∏

b∈V ua (i)

(1 − ηb→i)

²¬£´

� � �� ���� ���� � ��( ¦�§ '������������ �(� '�����$�'���� � ������� ���� � � �¶'��$�$ � §(��� ��� �(� �����������γi→a ∈ [0, 1]

�(�� �(� ��������xi

�� �� �(� ����� � (�'( �������� '�����a � ���� �(�� �(��� �� �� '�����$�'���� �� �

γi→a = Πui→a/(Πu

i→a + Πsi→a + Π0

i→a)²¬ ¢´

� §(� �� �±������� �� �(� �������$ ���'� ��'��$��� �(� ���� � ������ � ���� �� ²«®¥¬ ¢´ ��� �$����'�� �� �(� ¦��±������� ²¢¯ ¢¹´ � ��( �(� �$�����'�����

ηa→i = δa→i

� À  �(��� �±������� '������� ��� '�� ��� �(� ��������� � ��������� ����� ��� �(� ����������� �(�� �(� ��������

xi

�� �� ������0, 1, ∗

� §(� ������ �� ��������� ����� ���� �'������ �� �(�±���������

W(−)i , W

(+)i , W

(0)i

$����$ �� ²©© ©ª ©«´ � ¸ ������ �(� ��� ���N

�  � ������� ������� ���� �  �(� ������ ����� �(� �� �����$ ���'� '�� � � ����� ���$ �� �(� '������ ��$��� �������

S = ln N� §(� ������� �(����� �� �� �  �(�

�������� �����'���� �����  ��S

�¶�'��� �(� ��� � �¶�������� �� �(� '�� ���¶ ���Σ

�   ��� ��� ²©¬´ �

Page 19: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

¢¾

2

3

1 b

a

c

2

3

1 b

a

c

1 1

0

0 1

0

0 0

1

0 1

1 0

00 0

1

*

0 1

{nugh_ � a � mnt |q_ ��� |hrpq_t ~ n^d ^dh__ x]hn]p q_m � ^~r b�vq]gm_m � rf_ j�vq]gm_ � ]f` qrr|m z �]vd ough_ unx_m rf_ rs ^d_^~r |rmmnpq_ mrqg^nrfm rs ~]hfnfu |hr|]u]^nrf z �d_ fgtp_h rf _]vd _`u_

a − inm ^d_ v]x n^i pn]m

ua→i

� ^d_ fgtp_h f_w^^r _]vd x]hn]p q_ fr`_ nm ^d_ vrhh_m|rf`nfu u_f_h]qn�_` m^]^_ rs ^d_ x]hn]pq_ nf _]vd rs ^d_ ^~r �vqgm^_hm �z �d_ �� _�g]^nrfmsrh ^d nm uh]|d d]x_ ]f nfofn^_ fgtp_h rs mrqg^nrfm � ~ n^d

ηa→1 = ηb→2 = x�

ηa→2 = ηb→1 = y�

ηc→1 = ηc→2 = 0� ]f`

ηc→3 = (1 − x)2y2/(1 − xy)2

� � � � ��� ��� ��� � ���� ����

§(� ����� $�'���� �  �(� ���� � ������ ��$ �(� ¿ ���� ����� �(�� ����� ��� � ���$ �  � ��� �������������� �� �(� � (���¦� �������(� � �(�� �������(� ����� � �� ��$ �(� ��������'� �  ���¥'�����$�'���� � ������� �����$��� ������� ���� �  �(���������� �� �(� �� �����$ ����� ���'� ��'��$��� �(� ¿ ���� ����� � ¡ (�� �� �(� � ������ �  �(��� ��������#�$ ������� �����§(�� ���� � � ��$������ $ �� ���¥'�����$�'���� ��������� �  �(� ¡ � �������(� � ½� � ���� �(� ¡ � �������(� �������� ������ ��� �  ���� ���� ��$ �(��� ��� �(��� �� � ������ ��������#�$ ������� ��� ² �� �� ����'�  �� �(� ���� ��������  �� � © �(� ���������

x1��

x8��� �� �(� ������

1, 0, 1, 1, ∗, ∗, ∗, ∗´ � §(� �� ��������#����� ��'�� �� ��� �� ���� � (��

�(��� �¶ ��� ������� � ������� ��������#�$ ������� ���� � (�'( �� ������ �� �� �� �� �(� ������'� �  ����� � À� � �����  �'�������( �� �� � ������� �(�� �(��� � ��� �¶ ��� ������� $�º����� ���� �  �������� ����� � ��� �(� ¡ � �±������� ��$ $�º�������������#�$ ������� ���� �� �� �(� �¶�� ��� �  �� � ¯ � ¦� �� �� ����� �� �� ��$��� �(� ��������'� �  �(��� ������� ���� ��¶� ���� ������� �� ����(� � ��( ����� �� ����� ��� �(�� ¦� �� ���� �� '������� � (��� �� $��� ��� ¨©¯­ � §(��� ±������������� ��������� �

•¢´ /��� ¦� '������� �� � ���±�� ��� �  �¶�$ ����� � ��������

• ©´ /��� �(�� �¶�$ � ���� � ������ �� �� ����� ��� �  �(�� '������ �(� '����'� �� ��� ����� �� ��� ��� �(� ����������$�������� �����

• ª´ ¡ (�� �� �(� ���������( �� ������� �(� ��� �  ��������#�$ �������� ���� ��$ �(� � ������� '��������� �  ���������$��'����$ �� ��'� � À� �

§(� ������ �� ±�������� ¢´ ��$ ©´ �� �� ������� �� � §(� ���� ��� �¶�� ��� �  �� � ¯ �� � '�������¶�� ��� � §(� �������� ±������� ª´ '�� � � ����� �� � ��������� � ��� '�� ��� �(� ��������#�$ �������� ���� �� $���� �(� '�� ����� ��'(��������#�$ �������� ��� '������ ��$��� �� ��� µ'������ µ� ¸�� ������'� �� �(� �¶�� ��� �  �� � ¯ �(��� �¶��� ��� ��������#�$������� ���� (1, 1, ∗)

��$(0, 0, 1) '��������$��� �� ��� µ'������� µ �  ���� ¦�§ ������� ���� �

C1 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1)}��$C2 = {(0, 0, 1)}

� ¸���(��� ��� � �'���� ¡ � '�������� �� � ���±�� �������� �� � ���� �� ���� �(�� ��� ���� � �������� ���$��� �� ��� $�����'� ��������#�$ ������� ���� � ��� $�º�� �� � ��� �  �$��� � (�'( (�� ��� � ����� � À� �(�'��� �  ���$�� ª¥¦�§ ������� � � (��� �(��� ����� ��� ���� �( �� �� ����� �(�� $�����'� ��������#�$ �������� ���� � �������'���� $�º�� �� � ����� ��� �  �� $�� ²� ��( � ��#� � (�'( $������� � (��

N → ∞´ � (�'( ¿ ������� �� �(�� '��� �(�

�$�����'����� � Σ

� ��( �(� '�� ���¶��� �  �(� ������� ���'���� � ������ ������� ��� '�$��� ��� ���� '��������$ ���� �� ����  �'���¥����(� �� �� $�· '��� �� � ��� �������

������ ���� �� ¦� ��$ �� �� ���� �� ��$ ��� ��� '���� �� � (�'( �� �� ��� ���� ��� �� �� �(� �������� $��'������ (���(�� � � ³ ������ ��� � �� ����'� �(�� �(��� '���� ��� ���� ������ �����$ �� ��� ��� ¡ � ��$ � ��� �  ¡ � � ������� ��� �� �'��� '��� �  ¦� � §(� $�· '��� '���  �� ¡ � �� � (�� $�º����� ����� �  �(� ����( ���$ � ������� '��������$��� ��$�º����� ��������#�$ �������� ���� � §(�� � ��� ����'���� (�����  �� � ����( � ��( ��� � '�� � ������ � (�'( ��� ��� ����'����'��$ ��$ �� �(�� '��� ¦� �� ���� ���$ �� � �� ��� � ����� � ! �'( � ��� �� ����'�� ��$ �(������'�� ���� �� ���$�$�� ��������( �(� '��'�� ����'�� �� � (�'( ¦� �� ������ � ����� ��$ �� � � $� � �� �� ��(�� '���� �

Page 20: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

©£

� ��� � � ����� �� �� � �� ���� ����

¡ (�� �(� ��������� �  � ¦�§ ²�� � ��� ��������� �  � '���������$ ����� �'���� ������� ´ ���$ �� '������ ���� ������������$ ������� �  �(� �������� ��� ���'� �� � ��� � �'�� �� $�· '��� �� ��$ � ������ �������� � �'���� ²�� ����� �� ����� '�� � ��(� $�´ $�º����� ����� �  �(� ������� ���$ �� �$��� �� '���� ����� �� '������������ '��������$��� �� $�º�����'������� ��$ �(��� '����� � � � ����$ �� ��$ � ������� �������� � À� ¦� �� ��� '��$ �� ��� ����� � ¸ ���� �� $������� � ���� ������ � ������� � (�'( ��� �������� '(���'������'� �  ��'( '������ �(�� �� ��� �� �(� � ��� � ������ �(�������� �  �(��� �������� � §(� ������� �(�� ��� ���$ �� � ���(�� ��� �����$ ��¿ �'� � �� ������ � (�'( ��������� ���'���������$ ��$ � (�'( ��� ��� '���������$ � ��'���� �  �(�� ��� ����'����� �(� ������� '�� � � (��$��$ ������ � (�'(� ���� �(� �������(� ���(��  ��� � ½�� � ��(� ���� ��� �� � ���� $��'������� �  ��'( '������ � (��� �(� ���� ������� ������� ����$ ���� �(� ����������� �(�� � �������� �� �� � ����� ����� ²

∈ {0, 1}´ � (�� '����$����� �(� ��� �  ��� ¦�§

'������������ ����$� �(�� ����� '������ � À� �(�� '��� �(� ������ � ��� ���� �(� ����������� $����������� �  �(�� �����������$����������� � (�� ��� '(����� � '������ ���$�� ��� §(�� �� � ��� '��� ����� � �������(� �'���� ��� �(��� �� �� $�· '�����  ����'���� �� $��������� �(�� �¶������� � ½�� '���$ ���� �(��� �  ��������#���  ���(�� �(� � ������� ²�� �����������$������������ �  ����������� $������������ �  ����������� $������������´ �  ��� � ������� � (��� � ����'���� �  '�������� ��(�� ��(�� '������� ²�(�� �� ���� � �� (�����  �� ������'� �� ���� ������� ¨©ª­´ ��� �(� '��� �� ���� � �  '�� �����������'�� ��'������ �� �� ���� ��� �� � ��(� ��'�� � ���(�� ����� �

¡� (��� ��������$ (��� � $��'������� �  � ��� �������(� �' �������� �� (��$�� �(� ¦�§ ������� � §(�� �� � ���(��������� �������� � (�'( '�� ���� � � ������$ �� ����'���� �� ��� ����������$ ¦���� �'���� � ������ � ¨¯ ¢®­ � �� �(� � �� ����(� ������'( �� ���� (�������' ���(���( �� �� ����$ �� � ���(�� $������$ '(���'����#����� �  �(� �(��� ����'���� � ���$�� ª¥¦�§ � (�'( '�� � � '(�'��$ �¶�'��� �� �(� Á ½%¥¦�§ ������� � À� ����$ �� ����������� �� ���$� �( ���������(� �' �������� �� ��� �� � ��$�� ��$�����  ��� �(� ���$�� ª¥¦�§ ������� ��$ �(� ��������'�� �(���'� ���$��½�� '�� �¶� �'� �������� �� ¦� �� � � � �$� �� �(�  ����� �� ������� $���'����� �� ��� � (�'( � % ������� ������� ��'��������'� $�º����� ���� �  ����� �(� �� ��� ����� ��������#����� �  �(� �������(� �� $��� � ��( '�� ���¶ ����(�� (�'( ��� ��� ����'�� ���$�� ����(� ��� �  �(� ��������#�$ ¦� � ��( ������� �� �����$� ��¦�§ '����� '���� � §(���������#����� �  ¦� �� ������' ���������� ¦���� �'���� � ������ � �� $��'����$ �� � �������� �����'����� ¨©«­ �

������ ��������

¡� ��� ��$����$ �� � � ������ ��$ ! � ¡����  �� ����  ���� �� $��'� ������ � ¡� ���� �(��� � � ����� � � �(���� � �³ ���� ¦ � ¤ ��������'� ¦ � ! ������ ½ � ! ����� ! � ¦� �� � � ¦��� �� � � ��$�$��  �� ����������� �¶'(����� �

��� � z� z �rr} � \ z� z � n^vd_qq � Y /*7/*� � .-7 )*:+,* 3,: 05 +4 , 2.+/:� .G/1/+E H -0G1,Z � 6 29-8,E� �f a �]^nmo]pnqn^i �hrpq_t a�d_rhi ]f` �||qnv]^nrfm z \ g � �g ]f` �]h`]qrm [�`mk z \ ����� �_hn_m nf \ nmvh_^_ � ]^d_t ]^nvm ]f` �d_rh_^nv]q �rt |g^_h�vn_fv_ � rqgt _ j� � [����k

�b� \gprnm � z � � rf]mmrf � z� �_qt ]f y z& _vvd nf] � z [�`m zk � H4 .:, D-.*:/+/0*: /* M0Z G/*.+0-/.1 H -0G1,Z :� �d_rh_^ z �rt | z

�vn z �� [bcc �k z�j� � z � nh}|]^hnv} � y z �_qt ]f � M-/+/3.1 > ,4 .8/09- /* +4 , :.+/:� .G/1/+E 05 -.*70Z > 001,.* ,�� -,::/0*:� �vn_fv_ b�� � �b�� [���� k��� �h]~ srh` e z� z

&�g^rf � z\ z� ��� ,-/Z ,*+.1 -,:9 1+: 0* +4 , 3-0::�08,- �0/*+ /* -.*70Z @�26 D� �h^ns z �f^_qq z �� � j ���� [����k z

��� � z � rf]mmrf � � z _vvd nf] � � z � nh}|]^hnv} � y z �_qt ]f ]f` � z �hri]fm}i� M0Z� 9+.+/0*.1 30Z� 1,� /+E 5 -0Z �34 .-.3+,-/:+/3 ��4 .:, +-.*:/+/0*: � ]^gh_ [�rf`rf k ��� � �jj [����k z

��� � z ���]h` � � z �]hnmn ]f` � z _vvd nf] � 6*.1E+/3 .*7 .1� 0-/+4Z /3 :019+/0*: +0 -.*70Z :.+/:� .G/1/+E � -0G1,Z : �vn_fv_ ��� ���b [bccbk [�vn_fv_w|h_mm |gpqnmd_` rf�qnf_ b��egf_�bccb

��c z��b��mvn_fv_ z�c�jb�� k

��� � z ���]h` ]f` � z _vvd nf] � O.*70Z � �2.+/:� .G/1/+E � 5 -0Z .* .*.1E+/3 :019+/0* +0 . * ,� , 3/,*+ .1� 0-/+4Z � �dim z�_x z ��� � c���b� [bccbk

��� e z �_]hq � H -0G.G/1/:+/3 O,.:0*/*� /* )*+,1 1/� ,*+ 2E:+,Z :� bf` _` z [�]f {h]fvnmvr � � rhu]f� ]gst ]ff ����� k��� � z ���]h` �

&� z �]hnmn � D4 , > ,+4 , 1.++/3, :� /* � 1.:: -,8/:/+,7� �9-RH4E: R ! R > �� � b��" bjj [bcc�k z � z ���]h` � � z

&�]hnmn �

D4 , 3.8/+E Z ,+4 07 .+ # ,-0 +,Z� ,-.+9-,� ! R 2 +.+R H4E: R nf |h_mm [bccbk��c� � z �]q]uh]f` � O /� 0-09: 10� +,Z� ,-.+9-, -,:9 1+: 5 0- +4 , � �:� /* Z ,.* � ,17 :� /* � 1.:: Z 07,1� H -0GR D4 ,0-E .*7 O,1.+,7 Y /,17:��� � jcj"j�c [bccck z���� � z {h]f� ]f` � z �_rf_ � O ,� 1/3. G09*7: 5 0- 0� +/Z /#.+/0* � -0G1,Z : .*7 7/19+,7 :� /* :E:+,Z :� ! R 2+.+R H4E: R nf |h_mm [bccjk �

|h_|hnf^ d^^| a��sh z]h$ nx zrhu�vrf`�t ]^�cbc�b�c��b� � z ���]h` � { z � nvvn��_hm_fudn � � z _vvd nf] � 6 1+,-*.+/8 , :019+/0*: +0 7/19+,7 � �:� /* Z 07,1: .*7 % TO �26 D � -0G1,Z :�

vrf`�t ]^�cbc���c � [bccbk � ! R 2+.+R H4E: R nf |h_mm [bccjk��j� � z �rvvr � � z \ gprnm � e z � ]f`q_h � � z � rf]mmrf � O /� 0-09: 7,3/Z .+/0* �G.:,7 30*:+-93+/0* 05 � -09*7 � 9-, :+.+,: 5 0- :� /* � 1.::

Z 07,1: 0* -.*70Z 1.++/3,:� vrf`�t ]^�cbc�bj� [bccbk � H4E: R O,8 R F,++ R nf |h_mm [bccjk

Page 21: arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003web.mit.edu/6.454/www/...arXiv:cs.CC/0212002 v2 20 Jan 2003 (1,3)!! " # $ (2) & ' ' ( (3) 1) * + , - * . + / 0 * . 1 2 3 4 0 0 1 5 0 - 6 7 8 . * 3

© ¢

���� � z yh]gfm^_nf � � z �_rf_ � { z � nvvn��_hm_fudn � � z _vvdnf] � M0Z� 1,� /+E +-.*:/+/0*: /* � 10G.1 .1� 0-/+4Z : 5 0- :�.-:, 1/* ,.-:E:+,Z : 08,- � */+, � ,17:� ! R H4E: R 6 � � ���� [bccbk

���� { z� z � mvd nmvd]fu � y ze z {h_i� � z�� z �r_qnu_h � Y.3+0- �-.� 4: .*7 +4 , 29Z �H -0793+ 6 1� 0-/+4Z � )��� D-.*:R )*5 0- R D4 ,0-E�� � ��� [bccbk z���� � z �gq_^ � � z �]uf]fn � � z l_nu^ � � z _vvd nf] � M010-/*� O.*70Z �-.� 4:� H4E: R O,8 R F,++ R �� �b���c� [bccbk � |h_|hnf^

vrf`�t ]^�cbc���c���� � z � z �]qq]u_h � F0��� ,*:/+E H .-/+E �M4 ,3� M07,: �]tphn`u_ � �� a � �� �h_m ����j z���� y z �_qt ]f � � z � ]g^� � y z �rd_f � F03.1 :,.-34 :+-.+,� /,: 5 0- :.+/:� .G/1/+E +,:+/*� � nf a ��������� � ������ � | z �� � [���jk z���� �]^nmo]pnqn^i � nph]hi a ~~~ zm]^qnp zrhu��bc� � z �]hnmn � nf |h_|]h]^nrf z�b�� ��� ����� �������� ����

˜����� � !�"#�bb� e z� z $_`n`n] � l z� z {h__t ]f ]f` $ z l_nmm � �,* ,-.1/# ,7 > ,1/,5 H -0�.� .+/0* � nf ��%&��� ' �(�&) � ��* &+� ���������, � +�* � -. _`m z � z� z �__f � � z� z \ n_^^_hnvd � ]f` z �h_m| � � �� �h_mm bcc� � || z �������

� M0*:+-9 3+/*� Y-,, �* ,-�E6�� -0� /Z .+/0*: .*7 �,* ,-.1/# ,7 > ,1/,5 H -0�.� .+/0* 6 1� 0-/+4Z :� e z� z $_`n`n] � l z� z {h__t ]f � ]f` $ z l_nmm � ]x]nq]pq_ ]^d^^| a��~~~ zt _hq zvrt �h_|rh^m��� bccb�j��

�bj� � ��]h` � � z� �]hnmn � � z�& nh]mrhr � � z� z �|nf � q]mm �d_rhi ]f` y_irf` � lrhq` �vn_f^nov � �nfu]|rh_ [����k z

�b�� 29-8,E � -0�.� .+/0* 5 0- � ,*,-.1 M0*+-./*+ 2.+/:5 .3+/0* H -0G1,Z :� � z yh]gfm^_nf � � z � _�]h` � � z l_nu^ � � z _vvdnf] �vrf`�t ]^�cb�b��� z

�b�� � z �]hnmn � T* +4 , :9-8,E�� -0�.� .+/0* ,I9.+/0*: 5 0- +4 , -.*70Z � �:.+/:� .G/1/+E � -0G1,Z � vm z���cb�bcc� z�b�� �f m^]^nm^nv]q |dimnvm mgvd ] mv_f]hnr nm v]qq_` �.-.Z .�*,+/3�b�� �f ^dnm h_m| _v^ � ^d_ v]m_ rs ^d_ `_vr`nfu ]qurhn^dt nf _hhrh vrhh_v^nfu vr`_m nm `n/_h_f^ nf ^d]^ nf n^n]q vrf`n^nrf ]h_ ]q~]im

vqrm_ ^r ^d_ mrqg^nrf z