ARITMETIČKE OPERACIJE NAD INTERVALIMA · Doc.dr.sc. Bojana Dalbelo Bašić 5/13 intervalna i neizrazita aritmetika † ak. god. 01./02. ARITMETIČKE OPERACIJE NAD NEIZRAZITIM BROJEVIMA

Doc.dr.sc. Bojana Dalbelo Bašić 1/13

intervalna i neizrazita aritmetika † ak. god. 01./02.

ARITMETIČKE OPERACIJE NAD INTERVALIMA

Uporaba intervala realnih brojeva često se koristi za modeliranje nepreciznosti; npr. znamo da veliki odmor traje između 10 i 15 minuta, a mali odmor između 5 i 10 minuta. Koliko veliki i mali odmor traju zajedno? Ovaj i slične probleme rješavamo intervalnom aritmetikom. U nastavku ćemo opisati 4 osnovne aritmetičke operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Uzmimo dva zatvorena intervala: [a,b] i [c,d]. Granice ovih intervala su realni brojevi a, b, c i d za koje vrijedi a≤b i c≤d.

Za proizvoljna dva zatvorena intervala realnih brojeva, [a,b] i [c,d], rezultat bilo koje aritmetičke operacije nad tim intervalima definira se kao skup realnih brojeva dobivenih tako da se zadana operacija obavi sa svakim uređenim parom realnih brojeva iz Kartezijevog produkta [a,b]×[c,d], osim što dijeljenje [a,b]/[c,d] nije definirano kada je 0∈[c,d]. Drugim riječima, zadanu operaciju treba obaviti između svakog broja iz prvog intervala sa svim brojevima iz drugog intervala; rezultati ovih operacija tada definiraju rezultantni skup brojeva. Vrijedi slijedeće:

• Rezultat svake aritmetičke operacije nad zatvorenim intervalima je također zatvoreni interval.

• Granice rezultirajućeg intervala mogu se izraziti preko granica intervala [a,b] i [c,d]

Zbrajanje (+)

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d]

Primjer

[2,5] + [1,3] = [2+1,5+3] = [3,8]

[0,1] + [-6,5] = [0-6,1+5] = [-6,6]



Oduzimanje (-)

[a, b] - [c, d] = [a-d, b-c]

Primjer

[2,5] - [1,3] = [2-3,5-1] = [-1,4]

[0,1] - [-6,5] = [0-5,1+6] = [-5,7]



Množenje (◊)

[a, b] · [c, d] = [min(ac, ad, bc, bd), max(ac, ad, bc, bd)]

Primjer

[-1,1] · [-2,0.5] = [min(-1·(-2),-1·0.5,1·(-2),1·0.5), max(-1·(-2),-1·0.5,1·(-2),1·0.5)]

= [min(2,-0.5,-2,0.5), max(2,-0.5,-2,0.5)]

= [-2,2]

[3,4] · [2,2] = [min(3·2,3·2,4·2,4·2), max(3·2,3·2,4·2,4·2)]

= [min(6,6,8,8),max(6,6,8,8)]

= [6,8]



Dijeljenje (/)

[a, b] / [c, d] = [a, b] · [1/d, 1/c] = [min(a/c, a/d, b/c, b/d), max(a/c, a/d, b/c, b/d)]

Primjer

[-1,1] / [-2,-0.5] = [-1,1] · [1/(-0.5),1/(-2)]

= [min(-1/(-2),-1/(-0.5),1/(-2),1/(-0.5)), max(-1/(-2),-1/(-0.5),1/(-2),1/(-0.5))]

= [min(0.5,2,-0.5,-2), max(0.5,2,-0.5,-2)]

= [-2,2]

[4,10] / [1,2] = [4,10] · [1/2,1/1]

= [min(4/1,4/2,10/1,10/2), max(4/1,4/2,10/1,10/2)]

= [min(4,2,10,5), max(4,2,10,5)]

= [2,10]



ARITMETIČKE OPERACIJE NAD NEIZRAZITIM BROJEVIMA

1) SPECIJALAN SLUČAJ: NEIZRAZITI BROJEVI S TROKUTASTIM ILI TRAPEZOIDALNIM FUNKCIJAMA PROPADNOSTI

Ukoliko trebamo obaviti zbrajanje ili oduzimanje neizrazitih brojeva s trokutastim (ili trapezoidalnim) funkcijama pripadnosti, tada ove operacije možemo obaviti vrlo jednostavno jer će i rezultat biti neizraziti broj s trokutastom (ili trapezoidalnom) funkcijom pripadnosti. Tada će jezgra rezultata biti jednaka intervalu koji se dobije primjenom zadane operacije nad jezgrama neizrazitih brojeva, a baza rezultata (ili potpora rezultata) jednaka intervalu koji se dobije primjenom zadane operacije nad bazama neizrazitih brojeva. Npr. neka su zadani slijedeći neizraziti brojevi: A "približno 2" i B "približno 4", prema slijedećoj slici:

Ukoliko radimo zbrajanje ovih brojeva, tada najprije treba zbrojiti intervale koji su definirani jezgrama brojeva A i B. Kako su to neizraziti brojevi definirani trokutastim funkcijama pripadnosti, intervali jezgre degenerirani su u točku, pa vrijedi: [4,4]+[2,2]=[6,6]. Dakle, jezgra rezultata zbrajanja biti će interval [6,6]. Bazu rezultata dobiti ćemo zbrajanjem baza brojeva A i B: [3,5]+[1,3]=[4,8]. Dakle, rezultat je neizraziti broj s trokutastom funkcijom pripadnosti, i to s jezgrom [6,6] i bazom [4,8] što je prikazano na c dijelu prethodne slike. Za operaciju oduzimanje koraci su identični; jedino što umjesto zbrajanja intervala radimo oduzimanje intervala. Dobije se: jezgra rezultata = [4,4]-[2,2]=[2,2] a baza = [3,5]-[1,3]=[0,4].

2) OPĆI SLUČAJ Nažalost, ovaj jednostavan postupak ne vrijedi općenito. Štoviše, već za operaciju množenja postupak nije

primjenjiv. Stoga se za općeniti postupak koristi reprezentacija neizrazitog skupa pomoću njegovih α-presjeka, i



intervalne aritmetike nad tim presjecima. Vrijedi općenito: ako su A i B neizraziti brojevi, i * neka operacija (npr, +, -, · ili /), tada za svaki α-presjek, α∈(0,1] vrijedi da je α-presjek rezultata A*B jednak rezultatu operacije * nad α-presjecima između A i B, tj.:

α(A*B) = αA * αB

uz ogradu da formula ne vrijedi ukoliko je * operacija dijeljenja i 0∈αB za bilo koji α∈(0,1].

Jednom kada odredimo sve α-presjeke, rezultat A*B možemo napisati kao:

( )[ ]U

1,0

**∈

⋅=α

α αBABA

Npr. izračunajmo rezultate osnovnih aritmetičkih operacija nad brojevima A i B definiranih na slijedeći način:

Funkcije pripadnosti ovih brojeva su trokutaste funkcije, pa se brojevi A i B mogu zapisati na slijedeći način:

≤≤−≤≤+

>−<=

3x12/)3(1x1-2/)1(

3 ili 10)(

xx

xxxA

≤≤−≤≤−

><=

5x32/)5(3x12/)1(

5 ili 10)(

xx

xxxB

α-presjek bilo kojeg neizrazitog skupa je realni skup koji ima donju i gornju granicu. α-presjeke brojeva A i B stoga možemo zapisati na slijedeći način:

αA=[αa1, αa2] i αB=[αb1, αb2]



αa1 predstavlja donju granicu α-presjeka za neki fiksni α, a αa2 predstavlja gornju granicu α-presjeka. Npr., pogledamo li kako je definiran broj A, vidimo da će vrijediti αa1∈[-1,1] i αa2∈[1,3]. Ovo možemo shvatiti i ovako: kada god pišemo A(x), a vrijedi da je x∈[-1,1], tada možemo pisati A(αa1) (vidi slijedeću sliku).

Vrijedi:

A(x) = (x+1)/2 za -1≤x≤1

iz čega slijedi:

A(αa1) = (αa1+1)/2 = α

uz napomenu da αa1 smijemo uvrštavati samo iz intervala [-1, 1]. Isto tako:

A(x) = (3-x)/2 za 1≤x≤3

pa zamjenom x sa αa2:

A(αa2) = (3-αa2)/2 = α

uz napomenu da αa2 smijemo uvrštavati samo iz intervala [1, 3].

Dakle, dobili smo:

(αa1+1)/2 = α

(3-αa2)/2 = α

Iz ove dvije relacije možemo izraziti αa1 i αa2: αa1 = 2α-1 i αa2 = 3-2α

čime smo eksplicitno izrazili kako se mijenjaju granice intervala ovisno o vrijednosti α, te možemo napisati: αA=[αa1, αa2]= [2α-1, 3-2α]

Na sličan način dolazi se do αB:

B(x) = (x-1)/2 za 1≤x≤3

iz čega slijedi:



B(αb1) = (αb1-1)/2 = α

uz napomenu da αb1 smijemo uvrštavati samo iz intervala [1, 3]. Isto tako:

B(x) = (5-x)/2 za 3≤x≤5

pa zamjenom x sa αb2:

B(αb2) = (5-αb2)/2 = α

uz napomenu da αb2 smijemo uvrštavati samo iz intervala [3, 5].

Dobili smo:

(αb1-1)/2 = α

(5-αb2)/2 = α

Iz ove dvije relacije možemo izraziti αb1 i αb2: αb1 = 2α+1 i αb2 = 5-2α

čime smo eksplicitno izrazili kako se mijenjaju granice intervala ovisno o vrijednosti α, te možemo napisati: αB=[αb1, αb2]= [2α+1, 5-2α]

Ovime smo dobili α-presjeke neizrazitih brojeva A i B: αA=[αa1, αa2]= [2α-1, 3-2α] αB=[αb1, αb2]= [2α+1, 5-2α]

Uporabom prethodno objašnjene formule za općenito određivanje rezultata operacije između dva neizrazita broja: α(A*B) = αA * αB

možemo izračunati α-presjek rezultata. Potrebno je samo uvrstiti dobivene izraze za αA i αB:

α(A*B) = [2α-1, 3-2α] * [2α+1, 5-2α] (1)

i ovime smo došli do intervalne aritmetike te bez pobliže specijalizacije operacije * ne možemo dalje. Stoga idemo pogledati što ćemo dobiti za sve četiri osnovne operacije.

Neka je * operacija zbrajanja (+). Tada (1) prelazi u: α(A+B) = [2α-1, 3-2α] + [2α+1, 5-2α]

Zbrajati intervale već znamo; dobijemo: α(A+B) = [2α-1+2α+1, 3-2α+5-2α]=[4α, 8-4α]



Za α=0 dobiti ćemo bazu rezultata: 0(A*B) = [4·0, 8-4·0]=[0, 8]. Za Za α=1 dobiti ćemo jezgru rezultata: 1(A*B) = [4·1, 8-4·1]=[4, 4]. Vidimo da se lijeva granica α-presjeka rezultata mijenja od 0 (za α=0) do 4 (za α=1), dok se desna granica α-presjeka rezultata mijenja od 4 (za α=1) do 8 (za α=0). Dakle, ukoliko x mijenjamo u intervalu (0,4], zapravo se šećemo po donjoj granici, pa možemo pisati:

4α = x za x∈(0,4].

Isto tako vrijedi za gornju granicu:

8-4α = x za x∈[4,8).

Iz ove dvije jednadžbe ponovno izrazimo čemu je jednak α:

α=x/4 za x∈(0,4]

α=/8-x)/4 za x∈[4,8)

Kako vrijedi A(x)=α, a α imamo definiran u ovisnosti o x, dobivamo:

≤≤−≤≤

><=+

844/)8(404/

8 ili 00))((

xxxx

xxxBA

Ukoliko je * operacija oduzimanja (-), tada (1) prelazi u: α(A-B) = [2α-1, 3-2α] - [2α+1, 5-2α] = [2α-1-(5-2α), 3-2α-(2α+1)] = [4α-6, 2-4α]

Opet računamo: jezgra = 1(A*B)= [4·1-6, 2-4·1]=[-2,-2], baza = 0(A*B)= [4·0-6, 2-4·0]=[-6,2], pa je:

4α-6 = x za x∈(-6,-2],

2-4α = x za x∈(-2,2].

Izrazimo li čemu je jednak α, dobiti ćemo:

α = (x+6)/4 za x∈(-6,-2],

α = (2-x)/4 za x∈(-2,2],

te je:

≤≤−−−≤≤+>−<

=−224/)2(26-4/)6(

2 ili 60))((

xxxx

xxxBA

Ukoliko je * operacija množenja (·), tada (1) prelazi u: α(A·B) = [2α-1, 3-2α] · [2α+1, 5-2α]

= [min((2α-1)( 2α+1), (2α-1)( 5-2α),(3-2α)(2α+1),(3-2α)(5-2α)), max((2α-1)( 2α+1), (2α-1)( 5-2α),(3-2α)(2α+1),(3-2α)(5-2α))]

Ovdje se sada javlja mali problem, utoliko što moramo odrediti kada je i koja od ovih funkcija minimalna odnosno maksimalna. Može se vidjeti da imamo dva područja:



• Za α∈[0.0,0.5] min(…) = (2α-1)( 5-2α) = -4α2+12α-5

• Za α∈(0.5,1.0] min(…) = (2α-1)( 2α+1) = 4α2-1

Pri traženje najveće funkcije dobije se da je jedna funkcija najveća za sve α∈[0.0,1.0]:

max(…) = (3-2α)( 5-2α) = 4α2-16α+15

Dakle, α(A·B) = [-4α2+12α-5, 4α2-16α+15] za α∈[0.0,0.5] α(A·B) = [4α2-1, 4α2-16α+15] za α∈(0.5,1.0]

Opet računamo jezgru:

1(A*B)= [4·12-1, 4·12-16·1+15] = [3,3]

i bazu 0(A*B)= [-4·02+12·0-5, 4·02-16·0+15]=[-5,15].

Slijedimo li dalje postupak, imamo:

-4α2+12α-5 = x za x∈(-5,0], 4α2-1 = x za x∈(0,3], 4α2-16α+15 = x za x∈(3,15].

Opet treba izraziti čemu je jednak α, pa idemo redom. Prva jednadžba je kvadratna jednadžba po α:

-4α2+12α-5-x=0 uz x∈(-5,0]

243

8)5(9412

8)5(4414412

2,1xxx −

=−

+−±−=

−+⋅⋅−±−

=mα

243

1x−−

=α 243

2x−+

=α

Budući da na intervalu x∈(-5,0] mora α biti u granicama [0,1], α2 ne zadovoljava i pravo rješenje je α=α1.

243 x−−

=α uz x∈(-5,0]

Druga jednadžba rješava se na isti način:

4α2-1-x=0 za x∈(0,3]

x+±= 121

2,1α

tj.



x+= 121

1α i x+−= 121

2α

Opet na intervalu x∈(0,3] mora α biti u granicama [0,1], α2 ne zadovoljava i pravo rješenje je α=α1.

x+= 121α za x∈(0,3]

Treća jednadžba daje:

4α2-16α+15-x=0 za x∈(3,15]

214

8)15(16416

8)15(1625616

2,1xxx +±

=−−±

=−−±

=α

tj.

214

1x++

=α i 214

2x+−

=α

I sada vrijedi da na intervalu x∈(3,15] mora α biti u granicama [0,1], α1 ne zadovoljava i pravo rješenje je α=α2.

214 x+−

=α za x∈(3,15]

Spojimo li konačno ova sva rješenja u jedno, dobiti ćemo:

≤≤+−

≤≤+

≤≤−−

>−<

=⋅

15x3214

3x0121

0x5-243

15 ili 50

))((

x

x

x

xx

xBA

Ukoliko je * operacija dijeljenja (/), tada (1) prelazi u: α(A/B) = [2α-1, 3-2α] / [2α+1, 5-2α] = [2α-1, 3-2α] · [1/(5-2α), 1/(2α+1)]

= [min((2α-1)/( 2α+1), (2α-1)/( 5-2α),(3-2α)/(2α+1),(3-2α)/(5-2α)), max((2α-1)/( 2α+1), (2α-1)/( 5-2α),(3-2α)/(2α+1),(3-2α)/(5-2α))]

Nakon malo računanja dobije se: α(A/B) = [(2α-1)/(2α+1),(3-2α)(2α+1)] za α∈(0,0.5] α(A/B) = [(2α-1)/(5-2α),(3-2α)(2α+1)] za α∈(0.5,1]



te nakon još puno računanja slijedi:

≤≤+−≤≤++

≤≤−+>−<

=

3x1/3)22/()3(3/1x0)22/()15(

0x1-)22/()1(3 ili 10

))(/(

xxxx

xxxx

xBA

Grafički prikaz svih ovih operacija dan je na slijedećoj slici.



ZADACI ZA VJEŽBU

1. Zamislite dvije osobe. Starost prve osobe procijenjena je između 25 i 35 godina. Starost druge osobe procijenjena je između 15 i 20 godina. Koliko godina te dvije osobe imaju zajedno? Koliko godina je prva osoba starija?

2. Ukupna količina novca koji je neka kompanija potrošila na plaće u razdoblju od jedne godine procijenjena je na iznos između 1 i 3 milijuna dolara. Broj zaposlenika te kompanije procijenjen je između 50 i 100. Koliko iznosi prosječna godišnja plaća u toj kompaniji?

3. Zadani je interval [a, b]. Izračunajte slijedeće:

[a, b] + [a, b]

[a, b] – [a, b]

[a, b] · [a, b]

[a, b] / [a, b] uz 0∉[a, b]

4. Zadani su slijedeći neizraziti brojevi: A = FuzzyTrokut[6,9,12] i B = FuzzyTrokut[1,3,5]. Izračunajte A+B, A-B, A·B i A/B.

5. Zadani su slijedeći neizraziti brojevi: V=FuzzyTrapez[1,2,3,4] i W=FuzzyTrapez[1,2,2,3]. Nacrtajte grafove od V i W, te izračunajte:

V+V, W+W, V+W, W+V

V-V, W-W, V-W, W-V

V·V, W·W, V·W, W·V

V/V, W/W, V/W, W/V

6. Ponovite prethodni zadatak uz brojeve V = FuzzyTrapez[-4,3,3,1] i W = FuzzyTrapez[1,3,4,5].

†

Documents

ARITMETIČKE OPERACIJE NAD INTERVALIMA · Doc.dr.sc. Bojana Dalbelo Bašić 5/13 intervalna i neizrazita aritmetika † ak. god. 01./02. ARITMETIČKE OPERACIJE NAD NEIZRAZITIM BROJEVIMA