,ARITMETICAARITMETICA MANUAL DE PREPARACIC)NPRE-lJNIVERSITARIAIDEA, DISENCl YlUAUZACI()NDepartamento deCreaci6n Editorialde Lexus Editores1\:) LEXUs EDITORESSAAv. Del F'j"lmplica que", "Entonces si",el canjunto A "Es suficiente para", etc.BttAEl conjunto B"no esta incluido" mel~ "Sf Y5610 si" (Doble imphcaci6n)conjunto AA:JB El conjunto A"incluye" al conjunto B'lP(A) Conjunto de las partes del conjunto AAUB A"union" B(Reunion de dos conjuntos) peA) Potencia del conjunto AAnBA"intersecci6n" B(Intersecci6n de dosAIIB El conjunto A"es coordinable con"el conjunto Bcanjuntos)/"Tal que"1\ "y" (Canectiva 16gica de canjunci6n)-"Es coormnable" V "0"(Canectiva 16gica de disyunci6n inclusiva)+ "No es coordinable"fI."0... a ... " (Canectiva 16gica de disyunci6nexclusiva)IJ "Canjunta Universal"Ii, CA"Camplemmta del canjunto Acan respecta alcanjunto universal UAfl.B "Diferencia simetrica" de los canjuntos Ay B "Es mayor que"3x "Existe x"(Cuantificador existencial) "Es mucha mayor que":5 "Es menar aigual que"'""Es mayor a igual que"- 13-CONJUNTOSA10largodel tiempo, el hombre ha inventado con-juntos de numeros que Ie han permitidorealizar di-ferentes operaciones (suma, resta, multiplicacion,division, potenciacion, etc.) y resolver diferentesproblemas. Estos conjuntos son:N= conjunto delos numerosnaturales.I\j ={0,1,2, 3, 4, 5, ... jiZ =conjunto delos numerosenteros.Z ={ ... , -4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4,... jiZ*=conjunto delos numeros enterosnonulos.NUMERICOSSi a=0 y b~ 0, elmimeroescomplejoreal. Si a=0 y b~ 0, elnumeroesimaginariopuro.Ejemplo:5+ 2i . 1..- .1..-. 8; -{7; -2-Y39 2Z*={ ... , -3,-2, -1,1,2,3, ... jQ = conjunto delos mimerosracionales.iQ ={x/x=-"-;aEZ1\ b EZ1\ b .. OJbEjemplos:.2..._JL -437 3~ = conjuntodelos numerosirracionales~ ={ x / xes unnumeronoracional}~ = {numeros decimlesilimitadosnoperi6dicos}Ejemplos:-{2; -Y3; \17; n ; e[R. =conjuntodelos mimeros reales.G; ={xix EiQvxE nEjemplos:5 .2. _C-.r.:-7 '3' - 7 ; ~ 3 ; - 5 ~ 1 lC =conjuntodelos mimeroscomplejos.c ={x / x=a + bi dondeaE R, bERAi =.y::l}DIAGRAMADECONjUNTOSNUMERlCOS- 14-ARITMETICACONJUNTOSLa noci6n simple de una colecci6n0 conjunto de ob-jetos es fundamental en la estructura basica de la ma-tematica. FueGeorgCantor, por los afiosde 1870,quienprimerollam6la atenci6ndelosmatematicosaesterespecto.Se entiendepor "conjunto" la reunion, agrupaci6n0colecci6n de objetos0 entidades de cualquier natura-leza, pero claramente diferenciados entre sf, a los quese denomina"elementos".Son ejemplos de conjuntos:1) Los alumnosde un aula2) Las 5vacales3) Los numeros impares4) Tu lapicero,este libra, un cuadernoLos conjuntos se denota con letrasmayusculas: A, B,C, ... ; mientras quelos elementos del conjunto, conletrasminusculas: a, b, c, ... , encerradosdentrodellaves: { }Ejemplo:A={a, b,c, d,e}Quese lee: "Aes unconjuntocuyos elementosson a, b,c, d, e".FORMASDEEXPRESARUNCON/UNTOI. Por extension0 forma constmctiva.Se declaraindividualmente todos los elementosdel conjunto.Ejemplos:A ={a, b,c, d}M={2; 4;6;8}II. Por comprensi6n0 forma simb6lica.Sedeclara unapropiedadquecaracterizaatodoslos elementos del conjunto.Ejemplo:v= {las vocales}Enestaexpresi6nsecomprendequeesuncon-junto cuyos elementos sontodas las vacales. Estemismoejemplose puedeescribir asi:v={xixes una vocal}Selee: "V eselconjuntodeloselementosx, talquex es una vocal".CON/UNTOSFINITOSE INFINITOSConjunto Finito: Aquel conjunto que calista decier-to numerode elementos distintos cuyo procesodeconteotienetermino.Ejemplo:M={xix=es un rio delPeru}Queseleecomo: "Mesel conjuntodelosx, talquexes unrio del Peru". M es un conjuntofini-toporquesfes posiblecontar todos losriosdelPeru.Conjunto Infinito: Un conjunto es infinito cuando elnumerodesuselementosesinfinito. Suprocesodeconteo nunca acaba.B ={y/y=una estrella en elcielo}Que se lee como: "B es el conjunto de las y, tal queyes unaestrellaenel cielo". Bes unconjuntoinfinitoporqueel mimerodeestrellasenelcielonosetermina nunca decontar,esinfinito.NOCIONDEPERTENENCIACada unodelos elementos de un conjuntopertenecea dichoconjunto. Para indicar la pertenencia delele-mentoal conjuntoseusael sfmbolo"E"queselee"pertenece". Para indicar que un elementonoperte-nece al conjunto se usa el sfmbolo "ft." que se lee "nopertenece".Ejemplos:Sean los conjuntos siguientes:x={x,y, u, w}xEX; selee: "x perteneceal conjunto X"mft. X;se lee: "m noperteneceal conjuntoX"A= {conjunto de mimerospares}2EA; selee: "2perteneceal conjunto A"5 ft. A; se lee: "5noperteneceal conjunto A"- 15-IGUALDADDE CON/UNTOSDos conjuntos son iguales cuandotienen los mismoselementos, aunquenoesten dispuestosen el mismoorden.Ejemplos:A={a, m, r, q}; B ={m, a, q,r}entonces: A=BSelee: "El conjunto A esigualal conjuntoB".CONIUNTOSDISIUNTOSConjuntos disjuntos sonconjuntos que no tienenNINGUN elemento comun entreellos.Ejemplos:i) A= { a, b, c} YB = { 3,8, 10}A YB son disjuntos, porque notienen ningun ele-mentoen comun.ii) M= { 0, p, q,r } y T= { s, t, u, r}My T no son disjuntos, porquetienen el elemen-to comun"r".CON/UNTO VAdoEs un conjunto quecarece deelementos.Tambien,sellama conjuntouuIo. Se Ie denota por el simbolo0.A=06A={}Se lee: "A es un conjunto vacio"0" Aes un con-junto nuIo".Ejemplos:i) A = {mujeres mayores de4DO afios} =0ii) B = {xix = presidentes vivos del sigloXIX}= 0iii) C = { y/y = 8 A Y= impar} = 0CONIUNTOUNITARIO0SINGLETONEsel conjunto quetieneun soloelemento.Ejemplos:i) A={Los dfas dela semana cuyo nombreempieza con L} = { Lunes}ii) B= { x / 3x = 12 } = { 4}iii)C={ x / 5x + 4 = 9 } = { 1 }iv) D = {mimeros impares entre1 y5 } ={3}CONIUNTOUNIVERSALEs el conjunto que contiene a todos los elementos deotrosconjuntos. Sellamatambien conjuntoreferen-cial. Sedenotausualmente con la letra"IU".Ejemplos:i) C={todos losnumeros}Este es un conjunto universal porque contieneto-doslos numerosdelosconjuntos lR., Q, iZ, N, ~ ,-2,1m, -GlI y C.ii) Sean los conjuntos universales:A= {LosIncasdel Peru}B={Los ingenieros quetrabajan en Lima}C={Los presidentes delospaises delmundo}Asuvez, el conjuntouniversal deestosconjun-toses: IU= { personas}iii)Sean los conjuntos:A={a,e}B= {a, i, u}C={a, e, o}=0> lJ={vocales} 0 lJ= {a, e, i, 0, u}iv) Siel universoesel colegioSan Jose, lcualessedan los conjuntos queloforman?A = {alumnos}B= {profesores}C= {carpetas}=0> lJ= {colegioSan Jose}SUBCON/UNTOEs aquel conjunto incluido en otro. De esta manera,si todosloselementosdel conjuntoAestaninclui-dos en elconjuntoB, entoncesAes un subconjun-todeB. Sedenotaconel simbolo"e", quese lee:"esta incluidoen".- 16-ARITMETICAEjemplo:A= { x,y, z }; B = { x,y, z,u, w}entonces:ACBSelee: "A esta incluido en B"6"Aes un subconjunto deB".Alternativamente, en lugar deescribir A CB, que in-dica que A esta incluido en B, sepuedeescribir:B::J A, queselee: "B incluye a A"Tambien puedeescribirse: B = { A, u, w}. Comoseve,el conjunto A esta incluidoen el conjuntoB.Pera, siAnoestiincluidototalmenteenB, Anoesun subconjuntodeB, 10 eualsedenota asi: A etB, Yselee: "Anoesti incluidoenB"6"A noesun5ub-conjunto deB".Ejemplo:A={I,2,3, 4}; B = {3, 4,5, 6}entonces Aet BNOTA:1) Si A=B~ BC A A A C B.Es decir, los conjuntos A y B son iguales siy solamente si B esta incluido en A y A es-ta incluidoen B.2) El conjunto vacio"0" se considera subcon-juntodetodo conjunto.3) SiA no es subconjunto de B (A rt. B) enton-ces haypor 10 menos unelementode Aque noperteneceaB.SUBCON/UNTOPROPIODadoACB, entoncesel subconjuntoAessubcon-junto propio del conjuntoB, si por 10 menos un ele-mento del conjunto B no es elemento del conjunto A.Pero si todos los elementos de A son iguales a los ele-mentosdeB, ya noes un subconjunto, enestecasolos conjuntos soniguales.Ejemplo:A= { p, q,r }B= { m, n, 0, p, q,r, s}~ A es subconjunto propio de B.CON/UNTODE CON/UNTOS0 CON/UNTODEPARTESEs aquel conjuntointegrado por latotalidadde sub-conjuntos que se puedeformar apartir deuncon-juntodado. Sedenota qp(A) Y se lee: "conjuntodepartesdeA".Ejemplo:Seael conjunto:A= { a,b,c}Los subconjuntos de A quese puede formarson:0;{a};{b};{e};{a, b};{a, e};{b, e} y {a, b, e}Por consiguienteel conjuntode partesdel con-junto A se denota:'!PCA)={0,{a},{b},{e},{a, c},{b, e}, {a,b},{a,b,e}}CON/UNTOPOTENCIA "P(A)"El conjunto patencia de un conjunto A esta formadopar la familia detodoslos subconjuntos del conjun-toA. Tienenla mismaconnotaci6ndel conjuntodeconjuntos. Por 10 tanto, el conjuntopotenciaes elnumerodesubconjuntos que se puedeformar conelementosdel conjunto, incluyendoel vacio. Secal-cula ysedenotaasi:peA)= 2"Donde:n=numerode elementos del conjunto A,o"cardinal el conjunto A".Ejemplo:Calcularel numerodesubconjuntos 0 conjuntopotencia del conjuntoA, delejemploanterior.A= { a,b,c}Aqui: n=3; por consiguiente:peA) =23=8Efectivamente,el numero de conjuntos quese puedeformar conlos elementosque tiene el conjuntodeconjuntosdeAes8.0,el numerodesubconjuntosdeAes8. 0, el conjuntopotenciadeAes8. 0, elcardinal de '!P(A) es8.- 17-D1AGRAMACIONDE CONJUNTOSDIAGRAMADE VENN"A YB son conjuntos disjuntos. Cnoesti inclui-do enD".Para un mejor entendimiento de lateoria de conjun-tos, especialmente para relacionar los conjuntos ysus elementos de unamanera fiUysencilla se usadiagramas pIanos para representar conjuntos. Losdiagramas son una poderosa herramienta para resol-ver problemas. Se les llamaDiagramas deVennenhonor a su creador.DIAGRAMASLINEALESEs otra manera uti! de presentar relaciones entre con-juntos. Si A CB,seubicaaB rruisarriba que A; uni-dos ambos por un segmento.BEl conjuntoUniversoesrepresentado por un rectin-gulo, y contiene los conjuntos, representados asuvez por circulos0 elipses. Opcionalmente, puede in-dicarse 0 representarselos elementos del conjunto.Ejemplos:AACBii)La inclusion del conjunto A en el conjuntoB:A={a}B={a,b}C={a,b,c}D={a, b, d)"A esta incluido enB"A={x,y}B ={a, b, c}C={a, b, c, x, y}ACAA BACC BCCEjemplos:i)Sean los conjuntos:ii)Trazar el diagrama deinclusionlineal deA, B,CyD.IJ IJIJ IJ00 CQj"Aesta incluida enB"6"Aes un subconjuntodeB". Enestecaso, A es subconjunto propio deB.iii)La noinclusion de un conjuntoen otro:IJi)Representaci6ndel conjuntoA= { a, b, c }, me-diante unDiagramadeVenn:A(t B C(tDACB;BCC;BCD- 18-ARITMETICAOPERACIONES CONCONJUNTOSMientras queen aritmeticaserealiza operaciones desuma, resta y multiplicaci6n, en el caso de conjuntosse realizaoperacionesdeunionintersecci6nydife-rencia de conjuntos, con un comportamiento similaraldela aritmetica.UNION 0REUNIONDE CONIUNTOSLa union0 reunion dedos conjuntos A y B es el con-juntofarmadapor todoslos elementos quepertene-cen al conjuntoA, al conjunto Boa ambosconjun-tos. El simbolo de la union es"U" y selee"union"0"reunion". Se denota AUB.Simb6licamente se escribeasi:iii) Si: M={a, b, x, q} Y N={x, q, m, n};MUN={a, b,x, q, m, n}IJiv) Si: H={a, b,r, s} y Q={r, s};HUQ={a, b,r, s}=HAUB ={xixEAvxEB} IJUNIONDE VARIOSCONIUNTOSv) Si A={a, b,c, d}; B ={c, d, m, n} yC={a, q, r):AUB UC= {a, b,c, d, m, n,q, r)HUQsbraQHA={l,2,3,4} Y B={4,5,6};Soluci6n:AUB = {l, 2, 3, 4, 5,6}Queseleeasi: "A union B es igual al conjunto delosxtal quexpertenecea A0 xperteneceaB".La union deconjuntos sepuedeescribirtambiencomoA+ By se llama suma de conjuntos.Paralasoluci6ndeproblemasesfiUyrecomen-dableel diagrama de Venn.Ejemplos:i)Hallar AUB, si:NOTA: IJBEnlauniondeconjuntosnoserepite los ele-mentos quepertenecenaambosconjuntos;enestecaso, e14.ii) Si: A={a,b,c,d} y B ={m,n};entonces:AUB ={a, b,c, d, m, n}AbmCdaqrIJAUBUCPROPIEDADESDELA UNIONDECONIUNTOSI) La union de conjuntos es conmutativa.- Es decir,el ordendelos conjuntos noaltera la union.AUB AUB=BUA- 19-II)La union de conjuntos es asociativa.- Si son rruisde dos conjuntos los queseunen, puedenaso-ciarse demanera libre, asi:(AUB) UC=AU(BUC)Al resolver unaasociaci6ndeconjuntos, esreco-mendable operar primero con el conjunto que es-ta entreparentesis.Representaci6ndelaUni6ndeconjuntos medi-ante un diagramalineal:Sean los conjuntos:A={a, b,c} y B ={m,n}=0> AUB ={a, b, c,m, n}AUBLa intersecci6n se puede denotar tambiencomo: ABEjemplo:Sean los conjuntos:A={l,2,3,4} YB={3,4,5}=0> A nB={3, 4}IJAnBTambiensepuederepresentar laintersecci6ndeconjuntos, mediante el diagrama lineal,asi:A BA C(AUB) 1\Be(AUB)INTERSECCIONDE CONJUNTOSLa intersecci6n de dos conjuntos A yB esel conjun-tode elementos comunesa A yB.Se denota: A nB; queselee: "A intersecci6n B".Surepresentaci6nmedianteel diagramadeVennesla siguiente:IJAnBLa parte sombreada (regi6n anaranjada)es la par-te donde estanlos elementos comunesa A yB.En forma simb6lica: A n B = { X/X EAAX EB}queselee: "A intersecci6n B esigualal conjuntode las x, tal que x pertenece al conjunto A y x per-teneceal conjuntoB".AnB(An B) C AA (An B) CBINTERSECCIONDE VARIOSCONJUNTOSEjemplo:SiA = {a,b,c,d,e}; B = {a,b,m,n} yC = {a,c,m,q};entonces A n B n C = {a}El unico elemento comun a los tres conjuntos es a.Representando enel diagrama de Venn:IJAnBnc- 20-ARITMETICAPROPIEDADESDE LAINTERSECCIONDECON/UNTOSI) La intersecci6n de conjuntos es conmutativa.Estoes, el ordendelos conjuntosnoaherala in-tersecci6n.II) Laintersecci6nde conjuntos es asociativa. Esposible cambiar el orden deasociaci6n y noseal-tera el resultado.(A nB) nC = An(B nC)DIFERENCIADE CON/UNTOSLa diferencia del conjunto A menos el conjunto B, esel conjuntofarmada por elementosdel conjuntoAqueno son elementos del conjuntoB.En formasimb6lica:A-B ={x I xEAAX 'i B}Ladiferencia A -B, tambien sedenota:A/B6A-BEjempla:Sean los conjuntos:A={a, b, c, d,e} Y B ={a, e, c};~ A- B ={b, d}Usandoel diagrama de Venn:NOTA:Las canjuntas(A- B) ; ( A nB ) y (B - A) sanmutuamente disjuntos.COMPLEMENTODEUNCON/UNTOSea un conjunto A y el conjunto universalllJ, sedefi-necomocomplementodel conjuntoA, al conjuntode elementos deIlJ que nopertenecenal conjunto A.Se denota como1\..I\. = IlJ- A; selee: complemento de A"Ejempla:Sean los conjuntos:lJ={m, n, a, p, q, r} Y A={p, q, r}entonces:N={lJ- A}~ N={m, n, a}Conel diagrama deVenn, I\. segraficaasi:lJN={lJ-A}El complemento de Aes 1\.: En el grafico, semuestra en color anarnajado.En forma simb6lica:IJN= { xix ElJ AX 'i A} {xlx'iA}A-B ={b, d}Usandoel diagramalineal, ladiferenciadecon-juntos se representa como:ANOTAS:AUN=lJA YI\. son disjuntosEl complemento del conjunto universal es va-cio y viceversa: IlJ' = 0 ; 0' = IlJEl complemento del complemento de un con-junto A es el mismo conjunto A: (1\.)' =A Unadiferencia de conjuntos,se puede expre-sar como:A -'--- BA-BA - B = {xl x EAAX 'i B } ,atambien camaA- B= {xl x EAAX EB' }- 21-Paraqueestosparesseaniguales, los primeroscomponentes y los segundos componentes de-ben ser respectivamente iguales entre sf; enotrosterminos:DIFERENCIA SIMETRICA(f,.)Para dos conjuntos A y B, la diferencia simetrica es 10quequedadeambosconjuntosdespuesdeeliminarlos elementos de su intersecci6n.3x + 2y=11 A -5= 3x -2yA A B = (A- B) U(B- A)A 8. B = zona en color verdePRODUCTOCARTESIANO 0 PRODUCTOPARORDENADODados dos conjuntos unpar ordenadoesta farmadapar dos elementos, uno por cada conjunto, guar-ciancio un orden estrictotal que esten claramentese-fialados, unocomoel PRIMEROY el otrocomoelSEGUNDOcomponente.El par ordenado seescribe entreparentesis, separadopar una coma: Ca, b).Ejemplos:Resolviendoelsistema: x=1 ; y=4Luego, sesustituyeestosvaloresencadaparor-denadopara verificar la igualdad:1) Ox + 2y;-5)= (3,1+ 2,4; -5)= (11;-5)2) (11; 3x -2y)= (11; 3,1-2,4)= (11;-5)cALCULODEL PRODUCTO CARTESIANODadosdosconjuntosMyNnovados, sellama pro-ductocartesiano0 conjuntoproductoM. N, al con-junto de pares ordenados, [ormados por todos los ele-mentos de M, como primeros componentes, asociadosa los elementosdeN,como segundos componentes.Ejemplo:Sean los conjuntos:M={2, 4, 6} Y N={a, y, 0}Entonces:M.N= {(2, a); (2,(2, y); (2,0);(4, a); (4,(4, y); (4,0);(6, a); (6,(6, y); (6,o)}Simb6licamente:IGUALDADDEPARES ORDENADOSDos pares ordenados son iguales si y solamente si susprimeros componentessoniguales ysus segundoscomponentes tambien son iguales.Simb6licamente se expresaasf:Los elementos:a, x, .y;: Juan, son los "primeroscomponentes".Loselementos: b, y, 8, Teresa, sonlos"segundoscomponentes".(x, y)=(m,n)[ x= mAy =n IEjemplo:Determinar el valornumericodelosparesorde-nadosiguales:(3x + 2y; -5)=( 11; 3x -2)MxN(2, a)(2,(2, y)(2, $)(4, a)(4,(4, y)(4, $)(6, a)(6,(6, y)(6, $)N.4 $ ..

$.

$MSepuederepresentar tambienmedianteun"dia-grama dearbot":M.N= {(x, y) / xE MAy E N}ii) (x, y)iv) (Juan, Teresa)i)(a, b)iii) (-Y3, 8)- 22-ARITMETICA0, mediante undiagramade Venn:Porultimo, tambiensepuederepresentaren unpapel cuadriculado: en la linea horizontal, loselementos del conjuntoM; yenlavertical, loselementos del conjuntoN. Asi: Al producto cartesiano de A. A tambien se Ierepresenta como A2.NOTA:El productocartesiano deUNCONJUNTO estadadopor el conjunto delospares ordenados delos elementos delmismoconjunto.Ejemplos:i) Sea el conjunto A= { a, b,c}Su productocartesianoes:A.A={(a, a); (a, b); (a, c); (b, a);(b, b);(b, c); (c, a);(c, b);(c, c)}ii) Sea el conjunto A= { 2,4, 6}Su productocartesianoes:A. B ={(2,2); (2,4); (2,6);(4, 2); (4,4);(4,6);(6, 2)(6,4);(6, 6)}M N MxN0002 04xoy06M={2, 4, 6} N=y, }N (2, Hinchas "AL" > Hinchas "M", sededuce que:N dehinchasde"SC"=4N dehinchasde"AL"=3N dehinchasde"M" = 2Total = 9n(lJ) =35lJ r---------------,Simpatizantes SimpatizantesAL .--...... .--...... SC12IRpta.: Delgrafico, podemos inferir que:3+ 3+ 2 + 4+ 3=15 alumnos simpatizancon "AL"0"SC", perono conel "M".23.- A una fiestaasistieron200 personas, delas cua-les 60 calzaban zapatos; yelresto, zapatillas. Seobserv6quealgunastomabancerveza, perocu-riosamentetodas las quetomaban cerveza calza-ban zapatillas y ninguna mujer tomaba cerveza.Si 8 tomabancervezayel numerode hombresque calzaba zapatillas fueeltriple del numero demujeresquecalzabazapatillas. LCuantosdelosquenotomabancervezaeranhombres ycalza-ban con zapatillas?Soluci6n: Delaprimerapartedel enunciado, sededucequecalzabanzapatillas:200 -60= 140personas~ Ndehombresenzapatillas+Ndemuje-res enzapatillas= 140 (1) S610hombrestomabancerveza(todosconza-patillas) Por otrolado:N de hombres en zapatillas=3 (N de mujeresen zapatillas) (2)De(1) y(2):4(N demujeres en zapatillas) =140~ Ndemujeres enzapatillas=35Wdehombres en zapatillas=3(35)= 105 Como8hombresenzapatillas tomancervezaentonces: 105-8= 97hombresenzapatillasnotoman cerveza.Hombres MujeresCalzaban zapatos 60 personasTomanCalzaban zapatillas cerveza 8 35Notomancerveza 97n(lJ) =200Rpta.: 97hombresfueronenzapatillasynoto-maroncerveza.24.- Una senora saleapaseartodoslosdiascon26mas de sus perritos. Con mucho cuidado procu-rallevar cada diaa un grupodiferente. Si ento-tal tiene 10perritos, Lal cabode cuantos diastendra quellevar necesariamentea un grupore-petido?Soluci6n:Basta concalcularcuantossubconjuntossepue-de forman con 10 elementos unitarios y el nulo0vacio.(conjuntoPotencia).n(subconjuntos de A) = P(A) = 210=1 024De estetotal, se resta los10 conjuntos unitarios yel conjunto vacioporquela senora sale con2pe-rros0mas, nunca con1.PorIa que, puedeformar 1024 - (10 + 1 )=1 013grupos.Rpta.:Llevara un grupo repetido, despues de 1 013dias.- 34-ARITMETICA25. Dado elsiguientediagrama lineal: Soluci6n: Como:p(CnD)=1=2.... nrCn D) =0P (An D) = 32 = 2' .... n(An D)= 5P (AUB)'=256 =28.... n(AUB)'= 8Grafiquemos un diagrama de Venn, en base al dia-grama lineal eincluyamoslos datoshallados:n(U) = 48lJSe verifica ademasque:p(CnD)=!p(AnD)=32n[cnBI=!28P (AU B)'=256n[lJl=48Hallar:a) n(AUB)b) P [(A nD) n(A-C) IAdern.as, podemos establecer que:n( AUB )= 48 - 8= 40Y que: ( AnD) n ( A -C)= ( AnD)P[(An D) n ( A -C) I = P (An D) =32Rpta.: a) 40 b)32E,ERCICIOS PROPUESTOS1. En unaclasedeciencias de30alumnosseleccio-nados, 20 obtuvieron "A" enMatematicas, 23 ob-tuvieron"A" enQuimica, 18obtuvieron"A"enFisica, 15obtuvieron"A"enMatem.aticayQui-mica, 12 obtuvieron"A"en Matematica yFisica,y14 obtuvieron "A"en Quimica yFisica. Nohu-bo ninguno sin "A". ,:Cuantos de ellos obtuvieron"A"en lostrescursos?Rpta.: 10 alumnos.2. Elresultadodeuna encuesta sabrepreferenciadejugos defrutasdemanzana, fresa ypina, eselsi-guiente: 60%gustanmanzana, 50%gustanfresa,40%gustanpina, 30%gustanmanzana yfresa,20%gustanfresa y pina,l5%gustanmanzanaypina 5% gustan delostres.LQue porcentajede laspersonasencuestadas nogusta delos jugos defruta mencionados?Rpta.: 10%3. Una persona come huevos 0tocinos en el desayu-no cada manana durante el mes de enero.Si cometocino25mananas yhuevos18mananas, Lcuan-tas mananas come huevos ytocino?Nota: Lasmananasquecomes610huevos0s610tocinos0ambos, suman 31.Rpta.: 12 mananas.4. Ciertonumerodemedallas deoro, plata ybron-cees distribuidoentre100atletasenunfestivaldeportivo. Sesabeque45atletasrecibenmeda-llas deoro, 45 reciben medallas deplata, 60 atle-tasrecibenmedallasdebronce, 15tantodeorocomo de plata, 25 atletas reciben medallas deplata y bronce, 20 reciben medallas de oro ybronce, y 5 reciben medallas de oro, plata ybronce. LCuantos atletas nohanrecibidoningu-namedalla?Rpta.: 5- 35-5. Enunaencuestade50amasde casa, 35tenian 9. En una encuesta a la poblacion se encontroque:aparatodetelevision, 20tenianrecipientes elec-tricos para eliminacion de desperdicios, 15 El25%lee el diario"Excelsior"tenianradios de alta fidelidad, y 15 teniansi-multaneamente aparatosdetelevision yrecipien- El18%lee el diario"Imparcial"tes electricos para la eliminacion dedesperdicios,10tenian aparatodetelevision y radiosdealta fi- El15%lee el diario"Grafico"delidad y 12 tenian recipientes electricos elimina-dores dedesperdiciosyradios dealtafidelidad. El 9%los diarios "Excelsior" e"Imparcial"Finalmente, 8 amas decasa tenian los 3aparatos.lCuantas de ellas no tenian ninguno de estosaparatos?Rpta.: 96. Ciertos datosobtenidos en el estudio de un grupode1 000empleados deuna fabrica dealgodonre-ferentesalaraza, sexo yestadocivil arIOjaIOnlossiguientes resultados no oficiales: 322 hombres;470casados; 252 personas decolor; 42 varones decolor; 147personasde color casadas; 86varonescasados;25 hombres de color casados. Determinarcuantas personas no sonhombres, casados 0 decolorCmujeresblancas solteras).Rpta.: 2067. Supongamos quelaclasedel primeranodeunauniversidad esta formada por 100 estudiantes;de estos, 40 son mujeres; 73, estudian Historia y12, son mujeres que no estudian Historia.lCuantoshombresnoestudian Historia?Rpta.: 158. En una reunion de 500 jovenes, un grupo de127estaformadoporlosquehablanespanol yque-chua; y, otrogrupode 29, formadopor losquehablan ingles yquechua. Si 140del total hablanquechua,y270hablan, espanol einglesaunquenoquechualcuantoshablanlos3idiomas jun-tos Cespanol-ingles-quechua) si los que hablanquechua, tambienhablanespanol eingles peronadie habla exclusivamente ingles? Ademas,lcuantoshablaningles? lcuantossolamentees-panol?Nota: considerar alos quehablan solo quechua0solo ingles como subconjuntos nulosCningun ele-mento).Rpta.: 16;299; 90 El 3% los diarios "Excelsior" y"Grafico" El 8% los diarios "Imparcial" y"Grafico" El 3%losdiarios "Excelsior", "Imparcial"y"Grafico",: Cuantos encuestados noleenningundiarioycuantos encuestados un solodiario?Rpta.: 59%; 27%10. En una encuesta realizada se observa que el 72%sonmatematicos; el 52%, fisicos; 37%, quimi-cos; 32%, fisico-matematicos; 12%, fisico-quimi-cos; 22%, matematico-quimicos.,: Que porcentaje de los encuestados tienenotras carreras siel porcentajedelos quetienentres carrerasCfisico-quimico-matematicos)es el10%delosquimicos-matematicosquenosonfisicos?Rpta.: 3%11. Enuna investigacionse determina que: 68 seportanbien; 160 sonhabladores; 138 son inteli-gentes; 55 sonhabladores yseportan bien sola-mente; 48 se portan bien y son inteligentes sola-mente; 120sonhabladores einteligentes sola-mente; y, 40 sonhabladores, inteligentes y seportanbien.,:Cuantos son inteligentes solamente?Rpta.: 1012. A un paseo, en lasafueras dela ciudad deLima,fueron 92 personas; delascuales:47personasllevan sandwich defiambre 38dequeso- 36-ARITMETICAc) En todo el edificio, [cuantas familias cuentanconrefrigeradora?15. Enunaencuestarealizadaenungrupode 100estudiantes deun instituto deidiomas, se obtu-voel siguienteresultado:42 de jam6n 28 dequesoy fiambre 31defiambrey jam6n 26 dequesoy jam6n 25 personas llevan los3tiposde sandwichRpta.: a) 50% b) 12 c) 24LCuantos llevaron empanadas, si se sabe que va-riosllevaronempanadasperoninigunotrotipodesandwichm.as?Rpta.: 2513. El director deuninstitutohareportado lossi-guientes datos estadisticos acerca deungrupode30 estudiantes: 18toman el curso dematematica 17 toman el curso demusica 11toman el curso dehistoria 12 tomanlos cursos dematem.atica y musica 7toman los cursos dematematica ehistoria 5toman los cursos demusica ehistoria 2tomanloscursosdematematica, historia ymusica. 28 estudiaban espanol30 estudiaban alem.an 42 estudiaban frances 8estudiaban espanol yalem.an 10 estudiaban espanol yfrances 6estudiaban aleman y frances 3estudiaban aleman, francesy espanolSepregunta:a) [Cuantos estudiaban frances como unicoidioma?b)[Cuantos no estudiabanningunode los tresidiomas: alem.an,frances 0 espanol?16. En una biblioteca habia17 personas, de las cua-les:6 leyeron la revista"A"; 9, la revista"B";y, 6leyeron ambas revistas, [cuantos no leyeron nin-guna revista?,:Cuantos estudiantes toman historia pero noto-man matematica?LCuantos no estudian ningunodelostres cursos mencionados?Rpta.: 4Y6Rpta.: a) 29 b)2114. En unedificio dedepartamentosse sabequeenel ler. pisovive el 20%de las familias, de lascuales la mitadtienerefrigeradora. En el2dopi-so vive el40% delas familias y la mitadtiene re-frigeradora. En el 3er. piso vive el 30% delas fa-milias ylatercera partetienerefrigeradora;y,enel 4to. pisoviveel 10%, de lascuales ningunatienerefrigeradora. Sepregunta:a)Entre familias con refrigeradora, [que por-centaje vive enel 2do. piso?b) Si se sabe que en dicho edificio viven 60fami-lias, [cuantas delasqueviven en el 2do. pisotienen refrigeradora?Rpta.: 817. Enungrupode 100alumnos, 49no llevanelcurso de sociologia y 53 no siguen el curso de fi-losofia. Si 27 alumnos nosiguenfilosofiani so-ciologia, [cuantos estudian exactamenteunodetalescursos?Rpta.: 4818. En una encuestaa unpueblode5000habitan-tesse comprobo que:2000 personas fumancigarrillos"Norton" 1200 personas fumancigarrillos"LM"- 37- 200 personas fuman cigarrillos "Arizona"y"LM" 16fumanB 0 C pero no A 500 personas fuman cigarrillos "Norton" y"Arizona"14 fumaA0 B pero noC 10 fumanA yC100 personas fuman cigarrillos "Norton", "Ari-zona"y"LM"3fuman A yB pero noCLCuantas personas nofumanningunade las 3marcasdecigarrillos?Rpta.: Informcion insuficiente19. Dados los siguientes operadores:Segun losdatosanterioresyrespectoalasmar-casmencionadas:a)LCuantosfuman1 sola marca decigarrillos?b)LCuantos fuman2 marcas0 mas?c)LCuantos no fuman A0 B?3alumnosaprobaronalgebraylenguajeperonoaritmetica nihistoria.4aprobaron lenguaje y aritmeticapero nohis-toria ni algebra. 10 alumnos aprobaron los 4cursos. 2 alumnos aprobaronsolohistoria ylenguaje.d) LCuantos fuman A yB ?e)LCuantos de los que fuman A0 C no fuman AyC?e)20 d)5 b)17 c)9 Rpta.: a) 1821. Enuna clase de 40 alumnos, se tomo cuatropruebas. Los cursos fueron: aritmetica, histo-ria, algebra y lenguaje. Todos los que aprobaronaritmetica, historiayalgebra, tambienaproba-ronlenguaje.De esta forma:Nota: Observar que,para A, K vade0 a 6;mientras quepara B, K va de0 as.{x-I,si x es impar~ = 22x, si x es parA={ 2x I x =[g2], KEN, K < 7}B ={~ . (2x + l)/x =[g2] ,KEN,K < 6}Hallar: (A!\. B'), (A!\. B), Lque se puede afirmarde ambos resultados?{2x + 3, six es par@=x +2, six es imparSea:A=f7,ll,15, 23, 3l}B ={7, 22,45, ll5} 10 aprobaron lenguajepero noalgebra.8 aprobaron lenguajepero noaritmetica.Rpta.: {II, 15, 22, 23, 31, 45, ll5}, son iguales. 2 aprobaron aritmetica yalgebraperono len-guaje.20. Seentrevistoaungrupodepersonasacercadesupreferencia por lasmarcasdecigarrillos A, BoC; obteniendose los siguientesresultados: 2 nofumanni A, ni B, niC Unalumnoaproboaritmeticaehistoria peronolenguaje. 15 aprobaron historia y algebra.6 noaprobaron ningunodelos examenes. 2 fumanA, B YC Ningun alumno aprobolenguajesolamente. 7 solo fumanCLCuantos aprobaron lenguaje?5solo fumanB Rpta.: 26- 38-22. Sean los siguientes conjuntos:ARITMETICA24. Si:A={xlx E N,x7:T= {CO; 8), (I; 8), (2; 8), (3;8),(0; 9), (I; 9), (2; 9), (3; 9)}~ n(T) =8.. n(R)+ n(S)+ n(T)= 4+ 5+ 8= 17Rpta.: 17E,ERCICIOS PROPUESTOSI.Si m= { (x,y)EI\j . I\j / x+ Y = 6}Hallar el numero de elementos del rango de la re-laci6n91.e){l;4}3. Sea la relaci6n mdefinida en los mimeros natura-les por:m= { (x;y)EI\j' / x+ 3y = 12}a)5 b)6 e)7 d)8 e)9Determinar:m= {(x,y)E I\j' / x+ Y= 5}Hallar: Dam (m) nRan (m)4.Sim={(x;y)EI\j'/x+ 5y=15}2. Dada la relaci6n:a){2;3;4}e) {I;2;3; 4;5}b) {I;2; 3; 4}d){O; I; 2; 3; 4; 5}a){6; 9; 12}e) {2;4}e){3; 6;9}Ran(m)- Dam (m)b){2;3;4}d){I;2; 4}Hallar el numerodeelementos de- 46-ARITMETICARan(1R) nDam(1R).a) 4 b)3 c) 2 d) I e)0B ={x E;Z / -2"xden Orden 0""", Orden Orden O.den Orden Orden C > d ~ O.den(entena Decena Unidad (entena Deccna Unidad (entena Decena Unidad (entena Dccena Unidad-59-CIFRAS MfNIMASSe llama cifra minimaatodacifra quesea menor0igual alamitaddelabasedenumeraci6ndel nu-merodado.6+ 1 =7 .. 7- 8=17+ 1 = 8..8-8=06+ 1 =7..7- 8= I0+1 =..1 = 1Ejemploslascifras minimas en elsistema:Todo numero puede expresarse en cifras minimas sinque vaffe su valor.i) Debase decimalson:ii) Debase ochoson:iii) Debasetreceson:0,1,2,3,4y5.0,1,2,3y4.0,1,2,3,4,5y6.67 654(8) = 11 01 2 4 (8)OPERACIONESFUNDAMENTALESENSISTEMASDENUMERACIONDIFERENTES AL DECIMALADiCIONRegiaparaexpresar unnumero encifrasminimasAtodacifra mayor quelaminima seresta un mime-roigual alabasedenumeraci6nempezandoporladerecha. Efectuada esta primera operaci6n, alacifradela izquierda seIeagrega una unidad;si esteresul-tadoesmayor quelacifra minimaseIerestaelnu-merobaseyserepitesucesivamenteesteprocedi-miento; si lacifraes igual 0 menoralaminima, semantiene. Ademas, se considerael ceracomounacifraala izquierda del numera. EI numeraasi obte-nidoestani expresado en cifras minimas.Ejemplos:i)Expresar 8726 en cifrasminimas.Soluci6n:Como las cifras minimas del sistema decimalson: 0, 1, 2,3,4Y 5. Deacuerdoconla regIaestablecida:6- 10 = 42+ 1 = 3 .. 3=3-7+ 1 = 8 .. 8-10= 2-8+ 1 = 9 .. 9-10 =10+1 =1 .. 1 = 1La barra horizontal expresa una cantidadnegativa.:. 8726= 112 3 4Laadici6n, encualquier sistemade numeraci6n, essemejantealaqueseejecuta en el sistema decimal,con la precauci6n deque en vez de llevar una unidadde orden inmediato superior cuando sellega a10, sehani cuando se llegue a un numeraquesea igual a labasedelsistema.Ejemplo:Realizarla siguiente adici6n:3451(7) + 12563(7) + 214345(7)3 4 5 1 +1 2 5 6 32143452 3 4 0 2 2(7)Explicaci6n del pracedimiento:En eller orden: 1 + 3 + 5=9; como 9es mayorque7(9=7 +2)escribimos el 2 yllevamosel 7como una unidad convertida al orden superior; esdecir,llevamos1 para sumar al 2 orden.En el 2doorden: (l)+ 5+ 6+ 4= 16;16-(2. 7)=2Yquedan2unidades(2 veces7)que guardamospara sumar al3 orden.En el 3er orden: (2)+ 4+ 5+ 3= 14;14= 2.7, escribimos "cera" y quedan2 unidades(2 veces 7) que guardamos para sumar a14 orden.Acadaciframayor quelaminimase Ieresta8.Lascifras minimasdebase8son: 0, 1, 2, 3 Y4.ii)Expresar 67 65\8)encifras minimas.Soluci6n:5+ 1=64=4------ll ..~ 6- 8= 2En el4toorden: (2)+ 3+ 2 + 4= 11;11- (l . 7) = 4Y quedaunaunidad(un7) queguardamospara sumar al5 orden.En el 5toorden: (1)+ 1 +1 = 3, ponemos el3ynollevamosnada.En el 6to orden: 2 = 2.-60-ARITMETICASUSTRACCIONHallar la diferenciaI 33573 (12)-8 a3 56(12)Lamismoqueenel sistemade base 10, cuandolascifras del sustraendo son mayores que la del minuen-dose afiaden10 a lascifras deesteultimo, aqui afia-diremos12, queesla base.Explicaci6n del procedirniento:En el primer orden: 6 es mayorque3, entoncesse suma 3 + 12 =15, ahara el minuendo es mayor:6 al 15= 9, se pone 9yse lleva 1al siguienteorden.En el segundo orden: 5+ (I)= 6; 6al7= I, sepone lyselleva O.En el tercer orden: 3 a 5=2; se pone2 y se llevaO.En el cuartoorden: 10, al12 + 3= 15; se pone5yselleva I.En el quintoorden: 8+ (I)= 9a112+ 3=15sepone6yselleva I. 6.4=24; (24- 2 .9= 6); sepone6yselleva2;6. 3=18; 18+2 =20; (20-2 .9= 2); se pone2yselleva2; 6.7= 42; 42+ 2 = 44;(44- 4.9= 8); sepone8yselleva 4; 6.2=12;12 + 4=16; (16- I .9=7); sepone7 ysellevaI;6. I = 6; 6+I = 7 5.4=20; (20- 2 .9=2); sepone2 yselleva2;5.3 +2 =17; (17 -I .9 = 8); se pone 8 ysellevaI; 5 . 7 +I = 36; (36 - 4 . 9 = 0); se pone 0 y se lle-va 4; 5. 2 + 4=14;(14- I .9 = 5); se pone5 ysellevaI;5. I +I = 6,seponeel6.La suma delos productosparciales sehaee comose haindicado anteriormente.DIVISIONEfectuar la division 123745(8) + 3\8). Lam.as aconse-jableesformar unatablaenbase a8contodos losproductosposiblesdel divisorporcociente(sesabeque las cifras del cociente oscilan desde cero hasta 7):Procedimiento:MULTIPLICACIONEfectuar el producto127334 (9) . 5631 (9)En el sexto orden: 1 all;se poneo.Luego: I3 3 5 73(12)-8 a3 5 6(12)6 52 I9(12)Tabla en base 8 123745~34. 1 34 10 2 77734. 2 70 33734. 3 124 304---34. 4 160 33434. 5 214 30434. 6 250 30534. 7 =304 304I12734 x56311273438413778266508274382564(9)Explicaci6n del procedirniento: 1.4 = 4; I .3 = 3; I.7 = 7; I . 2 = 2; I . I =I3.4=12; (l2-1.9=3),sepone3yselleval;3. 3= 9; 9+I =10; se pone lysellevaI;3 .7=21; 21+I =22; (22 -2 . 9= 4); se pone4yselleva2; 3.2 = 6; 6+ 2 = 8; 3. I = 3.CAMBIOSDE SISTEMASDENUMERACIONler caso: Dadoun mimeroen cualquier base denumeraci6n, representarlo en base10.Bastaracondescomponerel numerodadoensuformapolin6mica,ya quemedianteeste procedi-mientoaveriguaremos cuantas unidadessimples(u.s.)posee dichonumero.Ejemplo:Representar enel sistema decimalel numero:a l l ~ 2 ( 1 2 )Descomponiendoel numeroenformapolin6mi-ca: (Recordandoque: a =10; ~ = II)-61-34216 = 17974(2)

45 237 91 11719l.!2o b < 5Yademasque: a < 7Escribiendolos dosnumeros en forma polin6mi-ca y simplificando:lOla + 20b= 392b+ 8a93a = 372ba = 4b.... a = 4 Ab = I:. a + b=5Rpta.: 510.- Si:abab(S)= bcb;hallar: (a + b + c).Observemos que:1)0a=2 A b=3Hallar: (b- a), siendoa" b.Soluci6n:13.- Si a33(9) =bOO(8) Lcuanto vale(a+ b)?Soluci6n:12.- Si aab(5) = bbb(b d)a33(9) = baa(8)81a + 30 = 64b3(27a +10)= 64. b =0> b= 3, a= 2a+b=5Rpta.: 1 800numeros.16.- Escribiendo un cero ala izquierda de un numeroentera,se ha aumentadoeste numeraen15 552.leual es este numeral.Rpta.: 5Soluci6n:14.-,:Cuantosnumeros "capicua"de 7cifras, cuyassumas decifras sea impar, existen enbase10?Soluci6n:Sea"N"el numerobuscado, escribiendo unceroa su derecha, elresultado seria: 10 N.Luego, el numero ha aumentado en 9 N. Entonces:Recordemos quese llama capie-uaa aquel numerocuyas cifras equidistantes de los extremos soniguales. En atras palabras, es igual leerlos deizquierda a derecha que viceversa.9N= 15552:. N=1 728Rpta.: El numerobuscadoes1 728-69-17.-LCuantos valorespuedetomar"m", si secum-pIeque?nn(ln+ nm(2) + (n+l)co3) A; C-D < 0; B - A >0;A -E > 0, LCuildeestos valoreses elmenor?Rpta.: El menoresE.58. En unadivisioninexacta, seobtienecomorestopar defecto(73); ycomorestopar exceso(65).Se pide calcular el dividendo, sabiendo que el co-ciente por exceso esel tripledeldivisor. Dar co-mo solucion los 3/4deldividendo.Rpta.: 42800,2559. Reconstruirla siguientedivision: dar comores-puesta elcociente.60. Si un numero abcde, se divide entre73 se ob-tiene4residuossucesivosqueson: 21, 69, 34 Y50.leual es la suma dea + b+ c + d?Rpta.: 2161. Si A3.B2. Ctiene entre 35 y 40cifras. LCuantastiene A?Si A . B tiene8 cifras yB . Ctiene10 ci-fras.Rpta.: de9a12 cifras.62. LCual esel mayornumeroquesepuedesumaral dividendo 389 de una division para que su co-ciente19 aumenteen 8unidades?Rpta.: 17063. Enunadivision, paraqueel residuosea32hayque sumarle620 restarle9unidadesaldividen-do. Si el cocientees un numeroigualmentedis-tantedeldivisor que delresiduo. LCual esel va-lor deldividendo?Rpta.:401764. Si en unadivisionelresiduoesel complementoaritmeticodel dividendode3cifras y el cocientees el complemento aritmetico del divisor de2 ci-fras. LCual es el valor del divisor rruis el residuo?Rpta.: 10965. LCual es el menor numero que se Iepuede restaral dividendodeunadivision para queel cocien-tedisminuya7unidades, si sabemosque: Resi-duopar defecto=32; residuopor exceso=72Rpta.: 7282 * ****3 **3**9***4*366. Aldividir un numeroentreotro seobtiene4decociente y 2 deresiduo;pero si a cada uno dedi-chos numeros se disminuye en3 unidades, suproducto disminuye en 282. Hallar el numeromenor.Rpta.: 19Rpta.: c=11567.P= A.B tiene 42 cifras, si A se multiplica por unnumero de 4 cifras ya Bse Ie afiade 5 cifras.- 121-[Cual sera el nuevo numerodecifras deP?Rpta.: Entre 49 y51cifras.68. Un numerode 4cifras es dela formaN=mcdutal queseverifica: 5.mc+u = du, yademasesigual al producto dedosnumeros enteros conse-cutivos. Hallar dichonumero.Rpta.: Existen 3 numeros dela forma mcdu; son:1056; I 260 Y I89269. Dados dos numeros A y B, se sabe que: A tiene 6cifras yquela suma delos numerosdecifras delas expresiones:M1= A2. B3Y M2=A3. B3es 87. [CUantas cifrastieneB?Rpta.: B tiene10 cifras.70. Hallar el valorden,si Etiene11cifras; Atiene18; yB, 13 cifras siendo:Rpta.: n=771.Hallar el numero de cifras que puede tener la ex-presi6n:E=A2B3(C_D)4Donde:A=numerode5 cifrasB=numerode4cifrasC=numerode6 cifrasD=numerode3cifrasRpta.: E puedetener de 38 a 46 cifras72. El numerodecifras Aesel dobledeldeB, yelcuadruple deldeC. Si D tiene5cifras. [CUantascifras puedetener:E= ( A3. D): (B4. C4) ?Rpta.: E puedetener de2 a13cifras73. En unapista circular de3000 m., dos velocistasparten juntos en sentidos contrarios yse cruzanal cabo de20 minutos. Despues de 5 minutos lIe-gael masvelozal puntodepartida. [Cualeslavelocidaddelotro?Rpta.: 30m/min.74. A las 8a.m. salen de"x", 2 ciclistas A yB, al en-cuentro deotros dos ciclistas, C yD, que vienende"y"a unavelocidadde600rnlmin, peroquesalieron con 5 minutosdediferencia entreellos.Alas8y15seencuentraAconCy3minutosdespues conD. Luego, B se encuentra con C y 4minutos despues se encuentra con D. [Cual esladistancia quesepara a A y B a las 9 a.m.?Rpta.: 15 km.75. Una diligencia sale de unpunto Apor unaciertarutaconuna velocidadde11km/h. Po-cotiempodespuesunciclistaquerecorre297metroslminutosaledel mismopuntoyporlamismarutaensupersecuci6n. Determinarladiferenciadehorasentrelaspartidas, si elen-cuentroseprodujoa las 2horas 27minutos,despuesdelapartida delciclista.Rpta.: Ih 31min 8,4s76. Un peat6n parti6 de A con direcci6n a Bcon ve-locidad de6km/hora. Despues de haber recorri-do 4 km fue alcanzado por un vehiculo que sali6deA, 30minutos mas tarde. Despuesdehaberrecorridoel peat6n 8 km mas, encontr6 por 2da.vezal vehiculoqueregresabade B, dondedes-cans615 minutos. Calcular la distancia AB.Rpta.: 21km77. Dos ciudades A yB estan unidas por un ferro-carril de500kmdelongitud. El pasaje com-pletodeAaBcuestaS/. 120Y deB aAcuesta51. 115. Ademas, porcadakil6metrode reco-rrido se paga 51. 0,50 por persona. Unaper-sonaquevienedeA yotradeB bajan enunaciudadintermediaC ycancelanla misma can-tidadpor viaje. [Cualera esta cantidad?Rpta.: Sf. 183.7478. Un m6vil se desplaza entre2 puntos, A y B. SaledeAa las 6a.m.yllega a B alas2p.m., despla-- 122-ARITMETICAzandosea 5 kmlh, habiendo pasado por un pun-taC. Al dia siguienteconla mismamarcha, sa-li6 deD alas 6 a.m. para volver a A, observandoquepasoporCala misma horaqueel anteriordia. ,:A que hora paso por C?Rpta.:A las10a.m.79. Dosciclistaspartendesdeunmismopuntaenun circulo de 6000 ill en direcciones opuestas. Sicuandoel primeroha completadounavueltaalcabode 20minutos, secruzanpor terceravez.,:Cual es la velocidad del mas rapido?Rpta.: 600 m/min.E,ERCICIOS PROPUESTOS1. Si 10 personas cornen 30 kg dearroz en 30 dias.,:Cuantos kg comera1 persona en un diala)0,1kgDI kgb) 0,8 kge) 0,6 kgc) 0,5 kg5. Dos hermanos heredan ciertocapital, alprimeroIecorrespondi6: 51. 10000mas queal segundo.Durante12 anos ahorraron cada unocierta can-tidad por ano,se sabe queel primero ahorr6 porano:5/. 2000 mas que el segundo. Determinar elcapital de cada hermano al final del doceavo ano,si entrelos dostenian51. 126000.2. Dostoneles completamentellenostienenento-tal 364litrosdevina. Determinar lacapacidaddel menor, sabiendo que, cuando se retiran 16 li-trosdeuno, y108 litrosdelotIO, a los21es que-dael mismovolumen.a) 108Ld) 146Lb)136Le)154L.c)142La) Sf. 100 000b)Sf. 92000c)Sf. 98 000d)S/. 80000e)N.A.S/. 26000S/. 34 000S/. 28000S/. 46 0003. Un hacendado compra 5 vacas,7 caballos y 9 cer-dos. Una vaca cuesta 5/. 1 200m.as que un caba-llo y 10 cerdos cuestan tanto como 3 caballos. Sipor todosepagaS/. 32460, hallarel preciodecada cerdo.6. Una persona compra 5 kg decafe y 3 kgdeazu-car por51. 101,40. Si unkg decafecuesta tantocomo 15kgde azucar. Determinar, lcuantosedebepagar por la compra demediokilodecafey unkilodeazucar?a) Sf. 324,60; b)Sf. 540;d) Sf. 362,40 e) Sf. 275,50c)S/. 587,50;a) Sf. 19,50c)Sf. 11,05e) Sf. 18,65b)Sf. 8,75d)Sf. 147. 7kilosdecafe y6detecuestanS/. 480; 9kilosde te y 8 de cafe cuestan 5/. 645.LCuanto vale unkilodecafe y mediakilodeto?4. Un agricultor dio7 sacos de papas de 50 kg cadauno y 130 soles en efectivo por 3 metros de casi-mir; si hubiera dado10 sacos en vez de los7, ha-briarecibido4metrosdecasimir. Digaseel pre-cio de1 metrodecasimir.a) 189sales b)126,50 sales c)195 salesd)98 sales e)145 salesa) Sf. 17,80c)Sf. 36,50e)N. A.b)Sf. 52,50d)Sf. 41,20- 123-14. La diferencia entre la cifra de las unidades y la ci-fra de las decenas de un numero es 4, si el nume-rose suma con el numeroqueresulta deinvertirsuscifras, la suma es66. Hallar el numero.8. Un labrador lleva consigo51.450 cuandorecibeel importe de7 sacos detrigo; luego, usa el75%del dineroquetienepara pagar los impuestos yel arriendodefincas. Por finvende5sacosdetrigomasal mismoprecioqueantes, hallando-seentoncesconSf. 477. ,:Ac6mo vendi6el sa-codetrigo?a) 60 b)10 c)80 d)40 e) 209. Unheladerogana diariamenteSf. 50Y gasta porterminomedioSf. 32,50al dia, perocuandonotrabajagastaSf. 8mas. Al cabode60dias, estadebiendoSf. 110. LCuantos diasnotrabaj6?15. Tres cazadores A, ByC, tienen masde8perros.B piensa adquirir 4perrosrn.as, con10cual ten-dramas perras que A yC juntos. Se sabe queBtiene menos perros queC ylos que estetiene nollegan a 5. LCuantos perrastiene A?a)5/. 28d)51. 83b)51. 62e)51. 54c)51.46a)14a) Ib) 62b)2c)40c) 3d)26d) 4e) 15e) 510. Canbilletes de5/. 10 Y51. 5, sepaga una cuen-ta de Sf. 280, se sabe que el numero de billetes de5solesexcedeen8al numerodebilletesde 10soles. Hallar el numerototaldebilletes.a) 20 b)30 c) 15 d)35 e) 4016. Una rueda A de 90 dientes engrana con otra B de18dientes. Fija al eje de estavamontadaunaruedaCde114dientes, que engrana con otraDde19 dientes. LCuantos revoluciones habra dadola rueda D, cuando la rueda Ahaya dado245?11.Un senor va al hip6dromo con Sf. 630 Ycuandoveque estabaperdiendoel doblede 10que noperdia, apuesta todo, lograndotriplicar ese dine-ro. LCuantogan6ese senor?b) 1617. Uncomerciantevende 1metrade tela Aen16soles y1 metrodetelaB en7soles. Obtieneasi6094soles como producto dela venta; siendoladiferencia entreel producto dela venta de A yelproducto de la venta de Bigual a 326 soles.LCuantos metros detela se vendi6?12. Un negociantecompra 815pavos par Sf. 48900.Vende una parte en Sf. 20475 ganando Sf. 5 en ca-da uno y otra parte en Sf. 5500 perdiendo Sf. 5 encadauno. LA c6mo vendi6losrestantes, si ento-tal perdia5/. 2,925?18. Una persona paga51. 37 620por ciertonume-ro de ovejas y comienzavendiendo parte deellas en51. 15980 a51. 170 cada una, perdien-doen cada una51. 20. LAc6modebera vendercadaunadelasrestantesparaganar51. 4360entodaslasovejas?d)612,625 ill e) 480 illa) 24a)5/. 120d)51. 630a)5/. 40d)51. 38c)40b) Nadae)51. 105b)51. 45e)51. 42d)8c)51.420c)51. 50e) 32a)7350d)7410a)160 illb)8000e) II585b) 412 illc)4850c) 412, 625 ill19. Se vendi6 468huevos; unosaSf. 14,40la doce-na y otras a Sf. 12 la docena. Determinar cuantoshuevos del primer precio se vendi6, sabiendo13. Una fruteratiene 90 naranjas de dos calidadesdiferentes, las quepiensavender a Sf. 0,45elpar. Si hubiera vendidolasdeprimeracalidada51. 0,30cadaunaylasdesegundacalidada5/.0,20, hubiera perdido51. 1,25 sabre el totalque planea obtener. LCuantas naranjas tienedesegundacalidad?a)51. 200 du b)5/. 230 dud)5/. 220 du e)5/. 250duoc)5/. 300 du- 124-ARITMETICAque por cada 2 docenas vendidas se regalaba una,yqueportodoserecibi65/. 350,4.25. Un obrero gana Sf. 400 por16 dfas detrabajo de8horasdiarias. ,:Cuantoganariapor 20dias, sitrabaja 6 horas diarias?a)180d)315b) 175e) 288e) 275a) Sf. 150d)Sf. 200b)Sf. 240e) Sf. 300e) Sf. 37520. Calcular el valor de:4+5+7+3+6+5+9+3+.... +9021. Dostrenes A y B marchan en sentido contrario a25y35kmlhrespectivamente, unpasajerodeltren A,vepasar alB en6segundos. leual eslalongituddel trenB?26. En unpuebloexiste un santoquehaceelmila-gro de duplicar el dineroqueunotiene, pero porcadamilagro que hace se Ie debedejar unali-mosna de8soles. Si luegodehacerle3milagrosseguidosa undevoto, estesali6delaiglesiasinuncentavo. LCuantotenia alentrar?a) I 395d) I364b) I342e) I 686e) I 403a) Sf. 15d)S/. 7b) Sf. 8e) Sf. 18e) Sf. 2422. Unciclista razonabadela siguientemanera: "sivaya10 kmlhllegareami destinoalas3p.m.,pero si marchoa 15km/hllegaria alaI p.m.LQuevelocidaddeberallevarparallegaralas 27"p.m..27.Tres personas A, BYC acuerdan que en cada par-tida denaipes el vencedor duplicara el dinerodelos otrosdos. Cada unopierde unapartida enelordendesusnombres; si despuesdeperder C,cada unosequed6con5/. 16. LCon cuantoem-pez6a jugar C?a) 80md) 130mb)90 me)100 me) 145 ma) Sf. 20d)Sf. 18b)Sf. 14e) Sf. 32e) Sf. 26a) IIkmlh b) 12km/h e) 13 km/hd) 12,5 km/h e) 13,5km/h23. Hallar la cifra delas decenasdemiles deN:28. En una resta, la suma del minuendo, sustraendoy diferencia es142. Si el sustraendo es elCOA delminuendo. Hallarladiferencia.N=241+247+ 253+259+ ...31sumandosa)55d) 42b) 17e)83e)45a) II b)9 e) 7 29. Completelassiguientesoperaciones ydigacualesel valor de: a+b+c.d) I e)024. Entre 12personas debenpagar ciertacantidaddedinero, peroresultaque4deelloss610pue-denpagar lamitadde 10 que les corresponde,obligando deesta maneraaquecada unodelosrestantesdiese 100solesmas. Averiguarcuantoera elgasto.a= *7*2b= 7*3** 0*7 ***** 3***c=6***7a)S/. 3600d)Sf. 5480b)Sf. 4800e) Sf. 2600e) Sf. 2400a) 71 286d) 79450b)74036e) 70046e)74046- 125-30. Sesumantodaslaspennutacionesciclicasdeunnv.merode9cifrasdiferentesydistintasdecero.,:Cual es la cifra del cuarto orden de la suma total?a)10528d) 26504b) 164800e) 11624c) 2123231. UnpadreaquienseIepregunt6por la edad desuhijoresponde: "Mi edadestres veces la suya,perohace10afios erael quintuple". ,:Cualeslaedad delhijo?36. Un peat6n vadeA aB en2 horas; al volver, co-moel harecorrido11metrosmaspor minuto,hahechoel trayectoen105minutos. Hallarladistancia AB.a)6 b)7 c)8 d)9 e)5a) 12,5 km b) 11,5 km c)8 kma)20afios b) 30 anos c) 10 afiosd)9,24 km e) 10,755 km33. La edad de un padre y su hijo suman 35; si el pa-dretuviera17afiosmenosyel hijo8afiosrruislos dos tendrian la misma edad. Determinarcuantosafiostieneel hijo.32. Lasumade las edades deJuanyPedroes48afios, al acercarse Maria, Juan Ie dice: Cuandotv.nacisteyotenia4afios; perocuandoPedrona-ci6, tenias2afios. ,:Cual es la edad deMaria?34.La edad de una persona es el doble de la deotra,yhace 7afios lasumadelasedadesde lasdospersonas era igual a la edad actual dela primera.,:Cual esel productode las edadesactualesdeestas personas?d) 25anos e) 40 anosc) 1 845mb)AB=320 kmd)AB=24kma) 1 800m b)2400md) 2145 m e)N.A.a) AB=300 kmc) AB=400 km38. Hallarla distancia entre dosciudades A yB, sa-biendoque dos autosparten dedichas ciudadesalmismo instante unode A y otrodeB. Alcabode5horasel autoquesali6de Aestaa100 kmdeB yel quesali6deB estienel puntomediodela distancia pedida.La diferencia de velocida-deses de20krnlh.37. Unbuqueestaancladoaunadeterminadadis-tanciadelaorilla. Si un observador calcul6quela onda de una explosi6n en el buque demor6 enllegar a la orilla 5 segundos mas por aireque poragua. Calcularladistanciadel buquealaorilla(velocidad del sonido en el aire=330rnlseg. ve-locidad del sonido enel agua=1 430m/seg.)e)8 d)7c) 23c)6b)22e)N. A.b)5a)21d) 21a)435.Suponiendoquebtieneel menor valorposible,determinar las operaciones indicadas y dar comorespuesta(a+b+c+d). Cadaasteriscorepre-senta una cifra.a) 400d)392b) 395e)390c)380e) AB=700 km39. Unatripulaci6n emplea 3horas en remar16 kmrioabajoyenregresar. En remar2 km, rioarri-ba, emplea el mismotiempo que en remar 4km,rio abajo. Hallar la velocidaddel bote cuandorema rioabajo.P = CA2.B . C)l!3 ?40.Si Atiene16 cifras, B tiene11cifras yCtiene8.t Cuantascifrastiene:35* 8a= *45*b =***2*c= *0*5d= 7*99a)12 krnlh b) 4krnlhd) 24km/h e) 10 km/hc) 16 km/h- 126-ARITMETICAa)15 cifras b) 16 cifras c) 17 cifras a) I012 b)71112 c)9228d)15616 cifras e) 16617 cifrasd)11252 e) 923241. Si abcx9=dabcclaudelascifras son significa-tivas ymenores que6. Hallar el valor de"d"a)3 b) 2 c) I d)4 e)545. En una division el divisor es 135 y el residua porexceso excedealresidua por defecto en 91. Si eldividendo esta comprendido entre 800 y 900.Hallar el dividendo.42. Siendo A yB numeros enteros y sabiendo queelproducto A. B puedetener como minima15ci-fras y queel cociente de A yB puede tener comomaximo9cifras. LCuantascifrastieneB?a) 759d) 824b) 800e) 832c)81643. La suma delos cuatroterminosdeunadivisiones 425. Si semultiplicapor5el dividendoyeldivisor y se vuelvea realizar la operaci6n, la5U-rnadelosterminosseria2073. Hallar elcocien-teprirnitivo.47. Hallar elcocientede 450entre11en menosde4/5.46. Si A=#de cinco cifras; B =#de7 cifras;C =#de3 cifras. El mayor mimerodecifras quepuedete-ner:e) 44 b)30 c)37 d)43 a)42e)6e) 17d)51d)14c)4c)13b)3b)12 a) IIa)244. Hallar el numero entero de cuatro cifras, tal quealdividirloentre sueOAcia12 decociente y16deresidua.a)40d) 42,1b) 40,8e) 40,2c) 40,5CLAVEDE RESPUESTASI)A 2) 8 3)8 4) C 5) C 6) l7)8 8) E 9)A 10)C II)D 12)C13)C 14)E 15) 8 16)A 17)D 18)E19)E 20)A 21)C 22)8 23)D 24)B25) C 26) D 27)C 28) D 29)D 30) D31)A 32)C 33)8 34)D 35)D 36)D371D 38) C 39)C 40) E 41) C 42) 8til (44JF 45) E 46)C 47)B- 127-,TEO/RIADEDIVISIBILIDADDIVISIBILIDAD NUMEROSDIVISIBLESEs la partede laAritmeticaque estudialas condi-ciones quedebereunir un numeropara serdivisiblepor atro.Se dice quedos numeros sondivisibles cuandosucocientecumple doscondiciones:1Es exactoRpta.: Sf,porque:Engeneral, sedicequeunnumeroesdivisibleporotro, cuando 10 contiene exactamente un mimeroentero de veces.Ejemplos:i) Si "A" es divisible por "B", entonces "B"dividea"A".2Es un numero enteroEjemplo:i) LEs 84 divisiblepor7?~ = 1 27ExactoEnteroDamdole formamatematica:~ =E, E es un numero entero Se entiende que "A" es divisible por "B" debidoa que10contiene un numeroEde veces.ii)LEs75divisible por2?75 JRpta.: No, porque: 2 =37,5\iii)[Es -45divisible por 9?ExactoNoesentero Tambien expresa que "B" esti contenido en"A", un numero entero de veces. Rpta.: Sf,porque: ~ = -51ExactoEnteroii) Si 369esdivisiblepor9, entonces9dividea369.iv) LEs 0,0009divisible entre 0,00009?Es decir:369 =419Rpta.: Sf,porque:0,00090,00009ExactoEnteroAqui, 369 es divisible por 9 porque 10 contiene 41veces. Tambienexpresaque9estacontenido41veces en A.OB/ETIVODELA TEORiA DEDIVISIBILIDADLa teoriadedivisibilidadtienecomo objetivofun-damentalla determinacion del residuo, deuna di-vision, directamente sin necesidad de calcular elcociente.MULTIPLO Y DIVISORDEUNNUMEROMULTIPLODEUNNUMEROEs aquel numero que contiene a otro exactamente unnumero entero de veces. As! 90 es multiplo de 5, por-que10 contiene18 veces exactamente. Para expresarque90es multiplode 5, seutilizan cualquiera delassiguientesnotaciones:- 128-ARITMETICANota 1Dedonde:nEjemplo:7 dividea ,,/'13gS) :. 7 divide a 35 + 105 +28 =168'-..,. 28donde, e1,e2, e3 son numeros enteros.Sumando:1 9t_--N.Consideremos queel numero"r" divideexacta-mente aMy a N.Demostraremos que"r"dividea(M- N)De la hipotesis:N-=eo~ N=r.eorevidentemente el>eoV Si unnumerodivideal dividendoyal divisordeunadivisioninexacta, dividetambienal residuode dicha division.Sea la division: D ~r cConsideremos que"n"divide a "D" y a "d". Demos-traremos que"n"dividetambien al residuo"r".Como: D = d. c+ r ~ r =D- d . cMApoyandonos en la IV propiedad, asi "n" divide aD ya(d. c), entoncesdividiraala diferenciadeellos,"r".VI. Si unnumero"N" nodivide aotrosdosexacta-mente, divideasudiferenciasiempreycuandolos residuos sean iguales.Y:restandoM - N= r(el- eo)M-NrSean A YB dosnumerostales que:A > B.Denotemos mN, multiplo0 multiplos deN.Si Nnodividea A~ A = mN+ RlSi NnodivideaB~ B = mN+R2quees un ntimeroentero y exactoM-N=0>---=erSiendo el cociente "e" un numero entero y exactoello indica quer dividea: M - NRestando:Por 10tanto:A - B =mN+ (Rl- R,)Si Rl=R, =0> A - B =mNIVSi un numerodivideal todo ya una parte, dividenecesariamente ala otra parte.Sea T el todo yseanP y Qsuspartes.Consideremos que el numero "n" divide altodo TYa la parteP.Demostraremos que"n"divide tambienalaotraparte, Q.Comoel todoesigual a la suma de suspartes:T=P+Q=o>Q=T- PUJAnalizando esta expresion final, se0 bserva quesi"n' divideaTyP entoncespor laIII propiedad,dividira a la diferencia deestos, Q.VII. SiunnumeroNnodivideaotrosexactamente,divide a su producto, siempre ycuando el produc-tode los residuossea igual a NomultiplodeN.Sea Nun numeronoprimo y mN, multiplo deN:Si N: Nodividea A =0> A =mN+ RlNodividea B ~ B = mN+R2NodivideaC ~ C = mN+R3Multiplicando: A. B . C=mN+ (Rl . R,. R)Hemos considerado que el producto de multiploses otro multiplo; y que la suma de multiplostam-bien es otro multiplo.Por 10tanto:Rl . R,. R3= Mn=0> A. B. C = mN+ mN= mN- 130-ARITMETICAPRINCIPALES ARTIFICIOSUTILIZADOSENDIVISIBILIDAD1. Expresar que un numeroes"mp"Nseramp~ Ncontienea"p"exactamenteunnumero enterode veces.N l.!:..- =0> N=P . e=mpe(entero)Observar que si N= rnp, laexpresi6n"mp" sepuede presentar como el productode"p"por unnumero entero"e", tal como"p.e".2. Expresar que un numeroM noes multiplodell.Mnoes multiplode n ~ Mnocontienea "n"exactamente unnumeroentero deveces.M ~ ~ M= nq(entero) + r ~ M=mn+f,r>0r q(entero)M = N(modulo"p") 0 tambienM = N(p)Selee"Mcongruente con N segun elm6dulop".Ejemplos:i) 628 " I 823(5), son congruentes porque aldividirlo entre el m6dulo 5, dan el mismo resto(3).ii) 371 == 184(3), no soncongruentes segunelm6dulo 3, porque no dan el mismoresiduo.RESTOSPOTENCIALESSe llama restospotenciales de un numeroN, respec-toa otro"m", llamado m6dulo,a los residuos queseobtiene aldividir la serienatural delaspotencias deNentre dicho m6dulo"m".Ejemplos:i)Hallarlosrestospotencialesde10 conrespec-toal modulo7.10' = m7- 3= m7+ 4claude "r"representa el residuade"M" entre"n";luego"M" noes multiplode"n".10=I 101= m7+ 3103= m7 + 6= m7-IIO'=m7-23. ElbinomiodeNewton"( Por inducci6n).(a + b)2 =:::: + 2ab + b2= rna + b2rna106= m7 - 6= m7+I ...ii)Hallar losrestospotenciales de5 con respectoal modulo3(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3rnarna + b351=m3+253=m3+2 5'= 00+I ...observaciones52=00+1No.1_ Na . (T2)1rna + b"(Si"n" es par)(a-b)"=rna - bn(Si"n"es impar)Esteartificioseutiliza especialmenteenlospro-blemas de divisibilidadclaudepidendeterminarelresidua y el dividendoes una potencia.TEORfA DECONGRUENCIASSe denomina numeros congruentes a aquellos quedan el mismorestoal dividirlopor un m6dulo.Notaci6n. Si dosnumeros MyNsondivididospor elnumero"p" y en ambos casasse obtiene elmismoresiduo, entonces ambosnumerosM yNserancongruentesconrespectoal m6dulo"p"yse denota asi:a) Mediante la aplicaci6nde restos potenciales, sedetermina cualquier criterio de divisibilidadencualquier sistema denumeraci6n.b) Lograndoel restodeunapotenciasedeterminafacilmenteel de la siguiente potencia, como vere-mos:Na" m(Tl )Ejemplo:Calculemos losrestospotenciales de10 segun elmodulo7.10= I101= I . 10 = m7+ 3Restopordefecto- 131-102=(m?+ 3)10=m? + 30=m? + m?+ 2=m? + 2Restopor defecto103=(m?+ 2)10=m? + 20=m? + 6=m? - IRestopor excesoEjemplo:p =? , a= 2 =0> 2 7-1" I (7)26= 64 Y64 : ? da como residuaIyI : ?tambiencia como residua1.CONGRUENCIA DEEULERPara comprender esta congruencia, definimospreviamenteel indicador de un numero:Si"m"y"n"sondosnumeroscualesquiera, pri-mos entresf,se verifica la siguiente congruencia:104=(m?-1)10=m? -10=m? - 3Restopor exceso10' =(m?- 3)10=m? - 30=m? -2Restopor exceso106=(m?-2)10=m? -20=m? - 6=m? +IRestopor defectoa .(m) "I(m) (m)=indicador de"m"46=4096; 4096: ?da comoresiduaIyI : ?da como residuo1.GAUSSIANOSe llama GAUSSIANOdel numero N, respecto almodulo"t", al menor exponentedel numeroNcon-gruente con la unidadrespectodel modulo"t".N9"I(t)Ejemplo: a=4 m=?4W) "I(7) (7)=6 =0> 46" I (7)El GAUSSIANOintervieneprincipalmenteenlaleyde formaci6n de los restos potenciales. Determinageneralmente el "periodo".Ejemplo:Hallarlos restospotenciales de6respectoa 64.POlENCIA RESTOS6 I61662366324 Peri6do64166' 32660CONGRUENCIASNOTABLESCONGRUENCIA DEFERMATSi "p" es un numero primo y a un numerocualquiera nodivisible entre"p", se verifica que:aP-1" Hp)CONGRUENCIA DEDIRICHLET(Numerosasociados). Dadalaserie: 1,2,3, ,(p - 1); si p=2q +1 Y "a" es un numerotal que a < p,"m" un numerode la serie; siempre habra otro "n" enla serietal quem. n==a(modulo"p").TEOREMADE WILSONLacondicion necesaria ysuficientepara queun nu-meropsea primoesque: (p-I)! =mp-1CRITERIOSDEDIVISIBILIDADCRITERIOGENERALDEDIVISIBILIDADEste criterio permite determinar las caracteristicasquedebeposeerunnumeropara serdivisibleentreotro. Permitepor10tanto, determinar cualquier cri-teriodedivisibilidad.EXPRESIONGENERALDEDICHOCRITERIOSea:abc ... tlu, de "n" cifras, un numero cualquiera.Descomponiendo polinomicamente invirtiendoelorden:- 132-ARITMETICADeterminaremos la condici6n para quesea divisi-ble par Q:10' l.3...-R, C,loo3lsL10' =mQ + R,10' =mQ + R,lon-3=mQ + Rn_3lon-2=mQ + Rn_2lon-l =mQ + Rn_1restospotencialesde10 respectoa 31son:10l1Lr =- 21-21 I100~f2= 77 31000~f3=88 32Remplazandoestos valores(en1):abed=(d- 21e + 7b+ 8a) + rn31,analizando estaexpresi6nfinal sededucequeabedseradivisiblepar 31si [d -21e+7b+ 8a] es eero6 m3!.PRINCIPALES CRITERIOSDEDIVISIBILIDADAplicandorestospotenciales, segun se ha vista ante-riormente, se puede determinar cualquier criteria dedivisibilidad. Consideremos un numero cualquiera Ntalque:abc ... tlu=u+(mQ+ R,)l+ (mQ + R,)t +...+ (mQ +Ro_3)c+ (mQ +Ro_,)b+ (mQ +Ro_,)aabc ... tlu=u+mQ+ R1 l + mQ+ R2t +...+ mQ+ Rn_3 c + mQ+ Rn_2 b + mQ +Rn_1 aabc ... tlu=mQ + [u +R, I + R, t +...+ Rn_3c +Rn2b +RCn_l) a]Puede 0 bservarse que paraqueel numerodadoseadivisibleporQesnecesarioquela expresi6ndentrodel corchete sea cera0 multiplo deQ y enlaquelos terminos R, sonlosdiversos residuosobtenidos al dividir entre Q, cada una de laspotencias de10 correspondiente a cada una de lascifras del numero.Ejemplo:Determinar la condici6n para queun numerode4cifras sea divisible por 31.N= abedefaplicandorestospotenciales{100 -IDIVISIBILlDADPOR2 10' --010'--0Luegoelcanictersera: f=m2;es decir, basta quela cifra delas unidades sea par0 cera.{100 -IDIVISIBILlDADPOR 3 10' -- I10'--1Luego el caracter sera:... + a + b + c + d + e + f = m3;es decir, que la SUIIll desus cifras sea m3.DIVISIBILlDADPOR 4Un numero es divisible por 4 cuando sus dos ulti-mascifras son cera0 m4.Sea abed el numero. Expresadoen su formapoli-n6micae invirtiendoelorden:abed=d+ 10e +100b +I OOOaDIVISIBILlDADPOR 5 {10 --I10'--010'--0(I)Basta que f=065para queel mimero sea divisi-ble par 5.- 133-DIVISIBILIDADPOR 7Restos: 1,3, 2, -1, -3, -2, 1Caracter:f + 3e + 2d- c - 3b -2a +... =DIVISIBILIDADPOR 9Los restos potenciales son tambien 1, 1, 1, ... ;Iuega, el caracteresquela suma desuscifrasesmultiplode9.DIVISIBILIDADPOR11Los restos de las potencias de10 son 1, -1, 1 -1, ...Luego:DEMOSTRACIONESAcontinuaci6ndemostraremosalgunoscriteriosdedivisibilidad por atrosprocedirnientos:DIVISIBILIDADENTRE 9TEOREMA. Un numero es divisible por nuevecuando laSUIIll desus cifras es multiplo de nueve..Demostraci6n. Estademostraci6nconstade va-rias partes yuna conjunci6n.PrimeraParte. Cualquier potencia de10esiguala un multiplo de9mas1.Demostraremos que: Ion=m9+ 1/0f-e+d-c+b-a+... =.............mllEnatros terminos, que lasumadelas cifrasdelugar impar comenzando por las unidades, menoslas de fugaepar, sea multiplode11.DIVISIBILIDADPOR13Restos: 1, -3, -4, -1, 3, 4,1oCaracter:f - 3e - 4d - c + 3b + 4a +... = 3m1- I =2. 13=26.... 7" 1_I =24. 3= 48Reemplazando valores en (1):N= 3".7'Por dato:(I)104N= 3'.7 =63Rpta.:La suma pedida es: 6+ 3=9E,ERCICIOS PROPUESTOS1. Hallar ladescomposici6ncan6nicadel numero:82798848.Rpta.: 28.3' .1132. Hallar ladescomposici6ncan6nicadel numero:81057226635 000Rpta.: 23. 33.54. 73.11217 . 23. 373. Hallar el exponentecon el queel numero5figu-ra en la descomposici6n can6nica de5258!Rpta.: 51 3124. Si: P=45. 46.47. ....80tienendivisores.LCuantos divisorestiene 81. P?R T lind .pta.: 1ene -9- 1V1sores5. Expresar la suma detodos los divisores de1 200queterminen en dos cifras ceros.Rpta.: 28006. El productodelosdivisoresdeun numerode5divisores es 59 049.Halle la suma delas cifra deeste numero.Rpta.: 97. Hallar el numerode divisores del numerode 3cifras igual a15 vecesla suma de sus cifras.Rpta.: 88. Hallar un numerocuyoproducto dedivisoreses:330. 540Rpta.: EI numero es 168759. Hallar el numero 2a 7b, sabiendoque si se Iedivide entre 4, su numerodedivisores se reducealaterceraparteysi seIemultiplicapor 14sunumerodedivisoresseduplica.Rpta.: El numerobuscadoes2810. Al multiplicarunnumeropor 3, sunumerodedivisores aumenta en 4; si se Ie divide entre 7, sunumerode divisores disminuye en3. Hallar elnumero.Rpta.: 3 08711. LCual es el menor numerode veces quese debemultiplicar a100! por3, paraqueseadivisiblepor 3100?Rpta.:52 veces- 164-ARITMETICA12. ,:Cuantos divisores imparestiene el producto delos6primeros numerospares?Rpta.: 613. Unnumerotiene 22divisores, si sucubatiene64. ,:Cuantostendra suraiz cubicalRpta.: 814.,:Cuantos divisores deben tener 2TI3TI+4para quesu raiz cuadrada tenga 8divisores?Rpta.: 2115. ,:Cual es el valor de la cifra "a" del numero abed,si sabemos quetiene14divisores yque:a+c=b+d=9?Rpta.: abed=8019, a=816.Sin es primo y 72.ntiene 56 numeros menoresque 100 que son primos con este producto.Hallar n.Rpta.: n=317. ,:Cuantos mimeros de la forma abab existen talesqueposean 6divisores?Rpta.: 218.Un mimerotiene25divisores y el tripledeeste,30divisores. LCuantosdivisorestendrael tripledel cuadradodelmismomimero?Rpta.: 9019. ,:Cual es el menor numero quemultiplicado porsf mismotiene75 divisores?(Dar comorespues-ta la suma de suscifras).Rpta.: 9PROBLEMAS CON ALTERNATIVAS SOBRENUMEROS PRIMOS1. [CUantos mimeros primoshay entre125 y200? b)215. 315e)215. 330a)6 b)8 e)7 d)9 e)10d)1212. 315e) N.A.2. Aldividirel mayor numerodela formabbbquetiene12 divisores entre 5, se obtiene deresiduo:6. [Cual es el menor numeropor el cual hayquemultiplicar a120, para queel productotenga 30divisores?a) 2 b)0 e)4 d) 3 e) 1a) 15 b)12 e)9 d)6 e)47. Si 48! tienendivisores, 49! tendra:3. [Cual es el menor numeroxyzxyz queposee16divisores? . Expresarlacifra detercer orden delmismo. a) 49n divisores b) 2n divisoresa) 1 b)0 e) 2 d) 4 e)3c) 3n divisorese)9nJ7divisoresd)8n1? divisores4. Dado el numeroxy(2x)(2y) ysabiendo quetiene16divisores. Hallar x+ yminimo.8. Si mmilltiene 16 divisores, "m" vale por 10menos.a) 2 b)3 e)5 d)7 e)4a) 1 b) 2 e)3 d) 4 e)55. Hallar la suma de las cifras del producto detodoslosdivisoresde324.9. [For cuantos numeros compuestosesdivisibleelnumero8200?- 165-10. Hallarel numero: N= 25.a. b, sabiendo queaybson numerosprimos y quela suma detodossusdivisores es eltriplede d.a) II b) 24 c)22 d) 12 e) 2018. Si a(a+l) (a+2) (a+6) =m7LCuantosdivisorestieneel numero:a(a+ l)(a +2)?I!.LCuantos numeros dela forma (3a)(4b)(3a) sonprimos absolutos?19. Encontrar unnumeroque tenga63divisores,sabiendoquesusumavale51 181. (Darcomorespuesta,la suma delas cifras del numero).a) 1 024d) 936b) 672e) 616c) 844a) 8a)18b)12b)12c) 16c) 9d) 24 e)N.A.d)8 e)N.A.a) 1 b)2 c) 320. Hallar a +b, si ab tiene 12divisores y (ab)2tiene33.d)4 e)N.A.12. LCuantos divisores imparesnumerocapicua de6cifras?21. Si P=72 . 72. 72 .....72(n veces). Hallar "n"para que"P"tenga1 820divisores.a)58 b)32 c)64tiene el mayord)60 e)5a)3 b)15 c) 6 d) 12 e)913. ,:Cuantas veceshay quemultiplicara 40por 50para quetenga28divisoresmas?a)13 b)14 c) 15 d) 16 e) 1714. Si N= 10".15' tiene 385 divisores. Hallar a + ~ .a) 1 b) 2 c)3 d)4 e) 622. Hallar el menor perimetroquepuede tenerunterreno rectangular cuya area sea 252 mts2, sabi-endoquesus dimensiones expresadasenmts.,son numeroenteros.a)4 b)6 c) 7 d)9 e) 10a) 80 b)74 c)64 d) 70 e)5415. Un numerodela forma7aesta precedido de:705894 enteros primos con el. Determinar "a".23. Almultiplicar N=3". 2b. 7'par14 6par 49elnumero de divisores se duplica. Entonces Npuedeser:a)4 b)5 c)6 d) 7 e) 8a)168 b) 294 c)5616. ,:Cuantos divisores tiene la suma de todos losnumeros de3cifras?d)84 e) 126a)32 b) 72 c) 36 d)48 e)8624. Si bbbtiene6divisores mas quebO, halle:360.b.17.SiN=a2+ a+ 41,Nes siempre primo.A mayorvalor absoluto del numera, mayor mimero dedivisores. a(a2+ 5)es siempredivisible por 6.a) 90 b)45 c) 120a)VFV b)FVV c)FFVd)40 e) 72d) VVF e)FFF25. LCuantosrectangulosde area3024m2y talesque sus lados sean numeros enteros existen?- 166-ARITMETICA26. ,:Cual es el numera, comprendido entre6 000Y6500, queal serdivididoentre 12, 21 Y35dasiempreconresidua67? Darcomorespuestalasuma delas cifras de dichonumero.27. Cuantos divisorestiene:d) 24 e)N.A.si a' . ~ ailene 35 divisores y sesabeademasque:a=p2para p y b primo?a)5 350 b)4550 c)5450d)5 330 e)4540CLAVEDERESPLiESTASl)D 2) C 3)C 4)B 5) C6) C 7)B 8) E 9)A 10)Cll) A 12)A 13) B 14) A 15) B16) E 17) B 18) E 19)D 20) C21) E 22)B 23) C 24)A 25)B)6' C 27) De) 15 d) 21c) 18c) 18 b)14b)34 a)20a)12- 167-, ,MA,XIMOCOMUNDIVISOR Y, "MINIMOCOMUN' MULTIPLOMAxIMO COMUNDIVISOR "MCD"SellamaMCDdevarios numerosalmayor detodoslosdivisores comunes de dichosmimeros.Para hallar el MCD de dos 0 mas numeros, sedescomponeestos en sus factores primos; el MCD esel productode los factores comunes elevados a sumenor exponente.Ejemplo: Hallar elMCD de18; 36; 48PROCEDlM1ENTO:Por lascondiciones anteriores, sededuceque Nesdivisor deM yN; por 10tantoNesel comun divisorde dichos numeros, ademas es el mayor de loscomunes divisores de M y N ya que no existe numeromayor que N que pueda ser divisor de N. Podra serlodeM, peronodeN, de10contrarioNdejarfa desercomun divisor.N es el MCD deM y N2do. Principio.- Si dos numeros no son divisiblesentresf, el MCDdeellosesigualalMCDdel menory tambiendel residuo que se obtengaal dividir elmayor entre el menor.1829333113621829 33 314822421 2623311Sean AYBdos numeros no divisibles entre sf.Ademas A>B, Y"r" el residuo que se obtiene aldividir A: B. Demostraremos que:MCD (A, B) =MCD(B, r)Demostraci6n:Losdivisorescomunesson2y3, Y el menorexpo-nente para ambos es1:MCD = 2.3=6Tambiense diceque El MCDes el mayor numerocontenido en cada uno de los numeros dados unnumero enterode veces.PRINCIPIOSRELATIVOS ALMAXIMOCOMUNDIVISORler. Principio.- Si dos numeros son divisibles entre sfel MCDde enoses elmenor.Demostraci6n:Sean M YN dos numeros divisibles entre sf.Admitamos queM> N.CalculodelMCD(A,B):Consideremos que los divisores comunes de AyBson (en orden creciente):(1)MCD(A, B) =NoConsideremos los divisores comunes de By r (enorden creciente):1 _ son primos entre sfcba-=q18 'Restandomiembroa miembro:Sean AY BIos numeros A>B, siendo Ay Bmenores que200.abc - cba18594ql - q, =0- -- = ql - q, = 33 (I)18MCD(A, B)= 28A.B=32928(I)(2)Ademas:18. q, >100, 1uego q,> 5Por propiedad, y considerando a ql y q2 como pri-mos entresf:A= ql =0- A = 28. ql28(3)B= q, =0- B=28. q,28(3) en (2):A . B = 28' . ql . q, = 32 928ql . q, = 42 = 42 .I =21.2 =I 4. 3 = 7 . 6 (4)De(4) Y (3) se deduce que:A = 28. 7 = 196B =28 .6=168Rpta.: S610 un par: 196;168ComoqlYq2 son primos entresf, admitimoslosvalores que verifican (l):ql = 40, 41, 43, 46, 47, 49, 50q,= 7, 8,10,13,14,16,17Paraql =49 Yq2= 16 setienela unica soluci6n:abc= 18 . 49= 882 -cba = 18 . 16 = 288594Rpta.: b = 810.-Sequiereplantara10largode lasorillasdeunterreno rectangular cierto numero de rosales,igualmenteespaciados demanera quela distan-ciadeunrosal al siguienteseacomomfnimo1metroycomomaximo2metrosyquehaya unrosal en cada angulodel terreno. La longitud deeste es 14,84m, la anchura, 10,60m[CUantosrosales son necesarios?- 174-Soluci6n:ARITMETICAPerimetro delterreno:La distancia que separa ados rosales es la mismaa10 anchoquea10 largo, expresada en centime-tros sera un numerodivisor comun de1 484cmy1060cm. Lamayor distancia quepueda sepa-rar los rosales, vendni dada por el MCDde1 484Y 1 060; estoes, 212em, ycomoel espacioquesepara2rosaleshadeestarcomprendidoentre1ill Y 2m nopuedeser otroque:(952 + 544)2 = 2992mSerequiere:2992: 34= 88Rpta.: 88 pastes.MINIMO COMUNMULTIPLO"MCM"2122= 106 em 6 1,06 mSellamaMCMdevarios numeros al menor de losmultiplos comunes de dichosnumeros.Elperimetro del terrenorectangular es:(14,84 + 10,60)2 = 50,88mEl numeroderosalesa plantar es:50,88. 1,06 = 48Para hallar el MCM de dos0 mas numeros, se descom-panelosnumeros en susfactoresprimos;elMCMesel productode sus [actorescomunesynocomunes,elevados a su mayor exponente.Ejemplo: Hallar el MCM (6,8,9).72es El menornumeroquecontienecomofac-toresa 6; 8 Y9.:. MCM= 23.32=72Rpta.: Hacenfalta 48rosales11.- Unterreno de forma rectangular de 952mdelargo y 544mde ancho, se desea cercar conalambre sujetoa pastes equidistantes 30 a 40m.Debe corresponder un paste a cada vertice y otroa cada puntamediadelos ladosdelrectangulo.Determinar el numerodepostes.6 23 318 24 22 219 33 31Soluci6n:CALCULODELMCMDE VAR10SNOMEROS952 ------IT5441I272476Dados varios numeros, se descompone estos enelproductodesusfactores primosyel MCMdeellosvienedado por el producto detodos losfactorespri-mos comunes y no comunes afectados del mayorexponente.Ejemplo:Hallar el MCM(840; 2880; 4500)840=233.5.7Ladistanciaentrepasteypostedebeserdivisorcomun de476y272. Sea"l "ladistanciaentreposte yposte.MCD(476, 272)= 68= 1Perocomoladistanciaentreposteypostedebeestar entre 30y 40m,entonces:1= 68 ~ 1=3422880= 26. 32. 54500 = 22. 32. 53MCM(840; 2880; 4 500) = 26. 32. 53 . 7 = 504 000ler.Principio.- "Si dos numeros son divisibles, el ma-yor deellos es suMCM".Demostraci6n.- Sean A yB dos numerosdivisibles.- 175-Consideremos queA >B.Si A esdivisiblepar B, estoindica que A es multiplodeB ycomoB esmultiplodesf mismo, entonces Aes multiplo comun deA yB.2doPrincipio.-El producto de2 numeros esigual alproductodelMCDpor el MCMdeellos.Nota.-Esteteorema permite determinar elMCMde2 numeros, conociendo su MCD.Ejemplo: Hallar el MCM(57 Y27)Soluci6n.-MCD(57, 27)= 3;aplicando el teorema anteriortenemos:Sean"P"Y"Q"dosnumeros.demostremosque: P.Q = MCD(P, Q). MCM(P, Q)Demostraci6n.-ConsideremosaP yQdescompues-tosen susfactoresprimos:MCM(57, 27)=57.27MCD57.273=513P =a2.b3. cQ=a. b' . p'MCD (P, Q)= a. b', MCM(P, Q)= a' . b3 C p'P . Q=a' . b3 C a. b' . 1"ordenando:P . Q=a. b' . a' . b3 C 1"EJERCICIOSRESUELTOS1.- Hallar dos numeros enteros sabiendo que su sumaes 341y su MCMes28 veces su MCD.Soluci6n:Sean los numeros A yB tales que:MCD(A, B)= kMCM(A, B)= RMCD(P, Q). MCM(P, Q)= a. b' . a' . b3 C p':. P.Q= MCD(P, Q). MCM(P, Q)Nota.-El MCMde 2numerosprimosentresf 0 pri-mos absolutos es igual al productode dichosnumero.Ejemplo: MCM(8,9)= 72 = 8. 9Observar queMCD(8, 9)= 1Por datos:A+B=341R = 28kPor propiedad:A= k.ql }B=k . q,Ademas, segun elultimoteorema:A . B = k'. ql . q, = k. RPero por(2): k'.ql . q, = k(28k)(I)(2)(3)3erPrincipio.- El MCMdedosnumerosesigual alproducto de dichos numeros dividido entre su MC D.Demostraci6n.- Sean A yB dosnumeros.q,=7q, =28(a)( ~ )Por el 2doPrincipio:MCM(A, B) . MCD(A, B)= A . BDe (I) y(3):A + B = k(ql + q,)= 341De(a)::. MCM(A, B)=A.BMCD(A, B)A + B = k(4+ 7) = 341k=31- 176-ARITMETICAReemplazando en (I):(I)en (2):x. MCD(A, B)+ MCD(A, B)= yMCD(A, B) . (x+I) =yMCDCA, B)= -y-(x + I)En(3):A=31.4=l24B=31. 7=217Rpta.: 124 Y 2172.- Hallar el productode2 numeros enteros, sabien-do que su suma es 225 y que la suma de su MCMy su MCDes 315.Soluci6n:SeaMCM=MMCD=kMCM(A, B)=xyRpta.:---(x+ I)xyx+1Sabemos que(ver problema anterior):M = k.ql . q2Entonces:M+ k= k(ql' q2+ 1)= 315M+k=325.7Ademas:(I)4.-El numerodepaginas deunlibraesta compren-didoentre 850 y 950. Si secuenta sus paginas de12 en 12 sobran 5, de15 en15 sobran 8, y de18en18 sobran11. Hallar el numero de paginas dellibra.Soluci6n:Sea Nel numero de paginas.Deacuerdo a los datos:A + B = (kql + q2)= 225 = 32. 52 (2)De (I)y(2)se obtiene que: k = 32. 5Aplicando(2)sededuce que: (ql + q2)= 5ql =2q2=3850< N< 950N= ml2+ 5N= ml5+ 8N = ml8+ IIDe(2), (3) y(4):(I)(2)(3)(4).. A. B = (32. 5)22 .3 = 12 150Rpta.: 12 150N = ml2 - 7N = ml5- 7N = ml8- 7MCM(A, B)3.- Sf =xMCD(A, B)N + 7 = mlMC M(l2, 15, 18)1N + 7 = ml80y: MCM(A,B) + MCD(A, B)= yHallar el MCMen funci6n de xey.Soluci6n:MCM(A, B)= x . M CD (A,B) (I)N = m180-7850< ml80- 7 < 950857 < ml80< 9574< m< 6(5)Como:MCM(A, B)+ MCD (A, B)= y (2)m= 5 A N = 5(180)- 7 = 893Rpta.: N= 893- 177-5.- Los numeros21448 Y33 Ill, divididos entre unnumero de 4cifras, dan respectivamente por resi-duos: 42 y29. Determinar dichonumero.Soluci6n:Sea Nel numerode4cifras.Segun elproblema:21448= NC1 + 42 =0> NC1 = 2140633111= NC2 + 29 =0> NC2 = 33 082Nes comun divisor de21406 Y 33 082. El MCDde21406 Y 33 082 es:21406= 2. 7 .11. 13933082 = 2. 7 . 17. 139MCD= 2. 7. 139= 1 946Siendo1 946de4cifras, eslasoluci6n del pro-blema.Rpta.: 1 9466.- Determinar 2 numeros sabiendo que unode ellosposee21divisores y el otro10 divisores y aderruisel MCDdeellos es18.Soluci6n:Segun elproblema:MCD(A; B) =18 = 2.32Ndedivisores deA = 21 =3. 7= (2+ 1)(6 +1)~ 2 Y6 son los factores primos de A:A=p2 . q6Ndedivisores deB = 10= 2.5= (1+1)(4 + 1)~ 1 Y4son los factoresprimos deB:Si 2Y 32sonfactores del MCD(A; B), entoncespertenecen a A 6 By par semejanza, se deduce que:r =2 Y p2=32Calculo deq y s:ComoA y B poseen a18 comodivisor entonces:De 0):A debeposeer el factor 18, comotieneelfactor nueve, esoquieredecir que q6 debe pro-porcionarle el factor2: q=2. Como Bdebe poseerel factor 18poseyendoyael factor 2, seranece-sario queposea el factor 9 y para ello es necesarioques=3.A=32. 26; B =2. 34Rpta.: A = 576, B = 1627.- El producto de dos numeros es: P=1805. 17 YsuMCD es 94. 43.,:En cuantos ceros termina el MCMde dichosnumeros?Soluci6n:Sean A YBIos numeros. Porpropiedad:A.B = MCD(A, B). MCM(A,B) (1)Por condici6n delproblema:A. B = P = 180'. 17 (2)MCD(A,B)= 94.43(3)Reemplazando(2)y(3)en(1), yexpresandoensus factoresprimos:2". 310. 56. 17 = 38. 26. MCM(A,B)=0> MCM(A,B) = 2' . 32. 56. 17=(2. 5)' . 32. 5. 17MCM(A,B)= 10'. 32. 5. 17Rpta.: Termina en 5ceros.8.-Si:MCM[(anan-7),BI=MCM[(anan-7),33BIHallar: a - nSoluci6n:anan -7=m33100an + an -7= 003101an -7 = m33003+ 2an -7 = m33Entonces: A= 32 . q6 ; B = 2 . s4 2an -7+ 33= m33- 178-ARITMETICAE332(an+13)=m33 an+13=m33 6699 an E{20, 53, 86}a-n=2-0=5-3=8-6=2Rpta.: 29.- MCM(A, B)= 30030;MCD(A, B)= 5LCuantassoluciones existen?Soluci6n:Soluci6n:Podemos establecer que:N=m3+IN-I=m3N= m4+IN-I=m4N=m5+IN-I=m5N= m6+IN- I = m6N= m9+IN-I=m9N=m7MCM(A, B)MCD (A, B)300305= 6006 (1)Se deducequeN-1= mlMCM(3,4,5,6,9)1 N-I=180kkEZ'Pero: A= DqlB =Dq2DondeqlYq2 son primos entresf:Pero: N= 180K +IN= m7180k +I = m7(a)MCM(A, B)= Dqlq2 }en(1)MCD(A, B)= Dm7+ 5k+II=m7Para queNsea 10 menor posible, k debe ser 4.Sustituyendok= 4en(a):D6 006ql .q2 = 6 006N= 180(4)+I = 721120180Pero: 6 006=2 . 3. 7.11.13El numero de divisores (posibles valores de ql Yq2)estidadopor todas lascombinacionesdedichosfactores:(i )+) +()+ ) = 5+10 + 10 + 5 =30Rpta.: Existen:=15solucionesposibles.210.- Setiene cierto numero N, del eual sesabe que aldividirlo entre3, 4, 5, 6Y9deja residua1. Peroal dividirlo entre 7 deja residua o.Hallar la sumadelascifras del menor numeroque cumplecontalcondici6n.Rpta.: La suma pedida es: 7+ 2 +I =10ll.-,:Cuantascajas cubicasde aristaentre 70emy130 em se pacini utilizar para empaquetar 28 800cajas de f6sforos de dimension 4cm, Scm y 6cm?Soluci6n:Sea "a" lalangitudde laaristadel cuba; segunenunciada debe ser 70< a< 130pero:60a = m4, m5, m6 a = m60 a =120- 179-Quitandolasrepeticioneses:"'" "'"f',. ....... 65.......4"~""'-a14 7 b" 'bI- = commaClOnesPOSl es.2Rpta.: Existen7 pares denumeros.13.- Hallar dos numeros enteros sabiendo que su MCMes 864 y la suma desus cuadrados es 55 872.Soluci6n:Sean A YBios numerosbuscados, tales que:Paracalcular cuantascajasdef6sforosentran encadacajacubica, sedivideel volumendela cajaentreel volumende una caja def6sforos.Volumen=(arista)3120.120. 120#cajas def6sforo=4.5.6= 14400MCM(A, B)= 864A2+ B2=55872Por propiedad:864~ A 2 =(864)'A=--ql q;864 (864)'B=--~ B 2 =q, q ~(I)(2)(3)~ Senecesitara:#cajas cubicas=28800144002(3)en(2):(864)' +(864)' =(864),[_1_+_1_] =55872qi q ~ qi q ~Rpta.: 2cajascubicas.12.- ,:Cuantos pares de numeros cumplen con lacondici6nde que suMCMes 2520veces suMCD?Soluci6n:Sean A Y Bios numeros:MCDCA, B)= DMCM(A, B)= Dqlq, ql Yq, son primosentresf.cuya resoluci6n impliea que:q;=24~ ql = 4q ~ =34~ q,=9Reemplazandoestos valores en(3):A =864 = 2164B =864 = 969ql . q,= 23. 3' . 5. 7 = 8. 9. 5. 7MCM(A, B)MCD(A, B)= 2 520Rpta.: 216 Y9614.-Hallar dos numeros enteros, sabiendo que susumaes8vecessuMCDysuproductoes840veces suMCD.El numerode combinaciones es: Soluci6n:Sean A YBIos numerostalesque:MCD(A, B)= D- 180-Por data:ARITMETICA15.- lEn quecifratermina el MCMdelos numeros?A + B =8DA . B= 840DPor propiedad:A= Dql ; B =Dq2Sustituyendo(3) en (1):DCql + q2)= 8DComo qlYq2 son primos entresf:Sustituyendo(3) en (2):A. B = D2. ql . q2 = 840D(a)en(4):D = 840 = 1207. IEsteresultadoen (3):A= 120. 7 = 840B = 120. I = 120 MCD(A, B)= 120

D= 840 =563.5Esteresultadoen (3):A= 56 .3=168B = 56.5 =280MCD(A, B)= 56Rpta.: A= 168 YB = 280(1)(2)(3)(a)

(4)A =7862-I YB = 71293- ISoluci6n:Como:A =7862- 1= (7431- I)(7431+ I)B = 71923-I = (7431- I)(7862+ 7431+ I)Entonces:MCM(A, B)= (7431-1)(7431+ 1)(7862+ 7431+ I)Fera, las potencias de7 ciclicamente terminan en:7,9,3, I.Si 432esdivisiblepor 4,Y por10tanto7432ter-mina en1; entonces, 7431terminara en 3.Del mismo modo,si 864 es divisible por 4 7864termina en 1; entonces, 7862terminara en 9 (2 po-siciones antes en el ciclo depotencias de7):. MCM(A, B) =( ... 3 -1)(... 3+ I)-I) == ... 8Rpta.: El MCM(A, B)termina en la eifra 8.16.-Ladistanciaentredoslineas deunaveredaes1,20m.Si se empieza a caminar pisando la rayacon veloeidad de3m/sy75em delongitud depaso. ,:Cuanto tiempo se debe caminar hastapisar la raya por 34ava. vez, si se empez6 acaminar conla derecha?Soluci6n:Pisani la raya dada cada:MCM(75, 120) = 600 em600oseacada: --=8pasos.75Comoempez6pisandolaraya, pisani por34ava.vez la raya,luegode:33. 8= 264pasosPisani la ultima raya con la izquierda, luegode:264.0,75m= 66s3m/sRpta.: 66segundos.- 181-17.-El numerodepaginas deunlibroes mayor que400ymenor que 500. Si secuentade 2en2sobra1, de3en 3sobra2, de5en 5sobra 4,yde 7en 7sobra 6. LCuantas paginas tiene ellibro?Soluci6n:Hagamos la contabilidad en el orden del enuncia-dodel problema.En el primer caso:m2 + I = m2 + 2 -I = m2 -IEn el segundocaso:m3+2=m3+3-I=m3-1En el tercer caso:m5+4=m5+5-I=m5-1En el cuarto caso:m7 + 6 = m7+ 7 - I = m7 -IPor tanto, el unico comun multiplo de2, 3, 5 Y7comprendidoentre 400 y500es 420;par10quedisminuido en una unidad da 419.Rpta.: 419paginas.E,ERCICIOS PROPUESTOSI. Aplicandoelalgoritmo deEuclides, hallar el MCD(6188 Y4709).Rpta.: 172. Hallar el MCD (81719,52003,33649 Y30107).Rpta.: 233. Dos numeros menores que300tienen como pro-ducto60000 YcomoMCD a10.Hallar la sumade ellos.Rpta.: 4904. El MCDde dos numeros es 6, se deseasabercuales son estos numeros, sabiendo que loscocientessucesivosqueseobtienen al hallarelMCDson: 18,I, I, I, I, I, 2, 3 Y3.Rpta.: 19104 Y I 0265. Hallar 2 numerosenteros, sabiendoquesu pro-ducto es 420 veces su MCD y que la suma de suscuadrados es21364.Rpta.: 140 Y426. Dos numeros A y B tienen6 divisorescada uno,suMCMysuMCMtiene los mismos factoresprimos. Si A setriplica y Bse duplica el MCM nose altera. Hallar el MCM.Rpta.: 367. Determinar dos numeros cuya diferencia decuadrados vale7344 Yel MCD deellos12.Rpta.: 312 Y300; 120 Y 848. Hallar2 numerosenteros, sabiendoquesu sumaes 8 veces su MCD y su producto es 840 veces suMCD.Rpta.: 840 y120;168 Y 2809. El numerodepaginas de un libro esta compren-didoentre850 y950. Si secuentansuspaginasde12 en12 sobran 5, de15 en15 sobran 8, y de18 en18 sobran11. Hallar el numerodepaginasdellibro.Rpta.: 893paginas.10. LEn quecifra termina el MCMdelos numeros:A=7eJj2 -IYB=71293- I?Rpta.: Termina en 411. Un m6vil se desplaza a velocidad constante,recorriendoprimeroa360km yluego480km.- 182-ARITMETICASi el MCM de los tiempos empleados es 96haras.LCu-Q+C Q~ =k -;. A =Dk2D 2(2)Demostraci6n:Dividenda(1) : (2)Consideremos queP< QenR unidades~ P +R =Q. Podemosestablecer.AC(I)a:~ ~ = ~C B k2AA D B_0_=-C B CDTambien: (P+ C)< (Q+ C), enR unidades:(P+C)+R~ (P+C)+R =(Q+ C) ~ = IQ+C(P+ C) R"""7"----:0:- + --= I (2)Q+C Q+CAnalizanda (I)y(2)abservamas queel quebrada:a:A D A C_0_=-.-B C B DR R--, de(2), es menar que el quebrada - de (I);Q+C Qy portanto, el primeronecesita una cantidad mayorqueel segundo para ser iguala uno.a:5+ 4 5-->-9+ 4 99 5->-13 9A finde comparar ambos quebrados,hallemos elcomun denominador:P +C P--->-Q+C QPor consiguiente:Ejempla:DIVISIBILIDADDEFRACCIONESLacondici6nnecesariaysuficiente paraqueel que-brada A sea multipIa del quebradaB aque el quebra-da B seadivisor del quebradaA, es que al expresarambas cantidades, como fracciones irreductibles, elnumerador de A sea multiplo del numerador de By eldenominador de A sea divisor del denominador deB.Dados dosnumerosA yB fraccionarios, sedicequeA es multiplo deB 6 queB es divisor de A cuando elcociente de A entreB es unenteroC.As! par ejempla, 3/2 esdivisible par1/4 ya que:~ : ~ = ~ =6 (entero);2 4 2se verifica que: 3= ml ; 4=m281 65-->--117 1172daPropiedad.- Sialosdosterminosdeun quebra-doimpropiose lesaumentaunamismacantidadelque brado disminuyede valor.PROPIEDADESDELASFRACCIONESIraPropiedad.- Sia cada unodelos dosterminosdeun quebradapropioseIe suma una misma cantidad,elquebrado aumenta de valor.ASea un quebradaimpropio / A>B:BA+P A--- B en "n"unidades,entonces:De (2) y (3) observamos quelas veces que "n"esta contenida en "a" son las mismas que"d" estacontenida en "b".A_n= B; A-n = 1BA n-= 1 +-B BA nB B= 1(I)Por consiguiente ~ es equimultiplo deE....b aMAXIMOCOMUNDIVISORDE VARIOSQUEBRADOSTambien: (A+ P)> (B+ P)en"n" unidades, en-tonces:(A +P)- n=B + P(A+P)-n=0> --'-----'---(B+ P)=1Teorema.-ElMCDde varios quebradosirreductiblesse obtiene dividiendo el MCDde los numeradorespor el MCMdelos denominadores.Sea:analizando 0) y (2), observamos queel sumando:_n_de(2) es menor que -'"- de (I)B+P Bypor 10tanto,la suma (2)es menor quela suma(l), es decir:A+ P A--- b= d. k (2)aComoalbdebe ser lamayor expresi6nposible,deducimosque"a"debeser10rruisgrandeposi-ble, y"b"10mas pequefiaposible; por10tanto,de(3):(2) en (I): a=d.k.n =0> a=k.nd(3)a = MCDdep yr ; b = MCMdeq y5- 190-MCD(15, 5, 3) 1MCM(4,9, 8) 72Ejemplo:Hallar el MCDde:15 5 3-,-y-498ARITMETICANotas1.- Dadas 26m.asfraeeiones homogeneas, lamayor de las fraeeiones es aquella quetiene el mayor numerador.MINIMOCOMUNMULTIPLODE VARIOSQUEBRADOSTeorema.- El MCMde varios quebradas irreducti-bIes, se obtiene dividendo el MCMdelos numerado-res por elMCDdelos denominadores.Ejemplo:Dados:Sea ~ el MCMde:yEntonces:ndA..!..... (quebradas irreductibles)sPor10tanto, paraaveriguar eual devariasfraeeionesheterogeneases lamayor, bastaconhomogenizar lasfraeeionesy realizarla eomparaei6n.x=MCMde"n" y"r" A y=MCDde"d" y"s"Demostraci6n:Por definicion deMCM:~ es la menor expresi6n posible que contiene unYnumero exacto de vecesa:2.-Dadasdos 0 mas fraeeiones connumera-dor eomun, sera mayor la que posee elmenor denominador.Ejemplos:3 3 3-,-y-7 5 2Demostraremos quela mayor es3/2, para ellobastaraconhomogenizar, (dareomundeno-minadora) las fraeeiones.n r-A-d sAdemas:x n x d- :- =#entero~ - . - =# entero 0)y d y nTambien:x r x s- :- =#entero~ - . - =# entero (2)y s y r3 307 70Donde:3 425 703 1052 703.- Todafraeei6neuyos terminossonprimosentresf, esirreduetible.Analizandolas expresiones (l) y(2)observamosque los terminos "n" y "r" deben simplificarseconlosterminos"x", ylosterminos"y", conlosterminos "d" y"5". Por10tanto:x=MCM(n,r) ; y MCD(d, s) (3)105 42 30-->-->--70 70 70333~ - > - > -2 5 7Segundefinicionx/yes 10menorposibleyparaellaserequiere que"x"sea 10 rruis pequenoposi-blee"y" sea 10 mas grandeposible.x=MCMde"n" y"r" y=MCDde"d" y"s"- 191-Ejemplos:1 5 5 2271113EJERCICIOSRESUELTOS5.- Aumentar 3/5 en sus2/3Soluci6n:Nota: En operaciones con quebradasla palabra"de" debe entenderse como "por", puessetratade una "fracci6n defracci6n".325-+-=-3 3 3Habra quehanar los 5/3de3/51.- La capacidad de una botella es 3/4 delitro.Calcu-lar los litros que contiene cuandose Henan los5/8.5 3-'-= 13 5Soluci6n:Rpta.: 12.- Disminuir121en sus91115 de 38 4R ~ 11tros.pta.: 325 3=_0-8 41532litros6.- Simplificar:3 4 3 2 1_0_:-+ __ -8 5 10 9 6 3 12 -:-4 3Soluci6n:Bastara calcular los21111 9--- de12111 11Soluci6n:Se opera pasoapaso:24+16-213612 + 5 - 6303 4 10 2 1_0_0_+ __ -8 5 3 9 6 11 3----"-"------"----"------"--- . - . -4 1Rpta.: 222 de121= 2 . 121= 2211 113.- Disminuir 3/4 en sus 5/9Soluci6n:Si de una cantidad cualquiera se 5ustrae 5/9quedalos 4/9Bastara calcu1ar los 4/9 de3/42 1 18 + 4- 31+---9 6 11 3 18 11 3'_0_= '-'-11 19 4 1 11 19 4 1-'- -'-30 36 30 364de3 4 3 1- -=_0--9 4 9 4 3Rpta.:13= ~ . ~ . ~ . l . ! . . - .2.-=4518 11 19 4 1Rpta.: 454.- Aumentar 90 en sus2/97.- Simplificar:Soluci6n:Toda cantidad contiene sus 9/9. Si a esta cantidadseIeagrega2/9 se obtendni 11/9. Bastara calcular11/9 de90..... 2-: 2+ 2-.0,6 _l..: 29 7 3 8 2 5( 30: ~ + ~ ) ( ~ - 0,4)~ de 90 = 11. ~ =990 = 1109 9 9Rpta.: 110Soluci6n:Los decimales se transforma a quebradas y se eje-cuta operacionespasoapaso:- 192-ARITMETICA4535615_0_0_+_0 0_9 7 2 8 10 2 3(30. 2.. + l..) (l.. _......- )7 4 2 10 Finalmente elhermanomayorcogi6_1_. l.. Nde10quehabia.II 3F I d' 10 I N 10 Nma mente que 0: -- . -- = --II 3 3380+ 63-140_---=.16c:...8=--_. _6_07_=_-=.3-=..-=2c:...80=--. 607 =I600 + 7 5 168. 607 5280Rpta.: I8.-Enuncajonhabiaciertacantidadde soles. Unnino retir65/. 1,00; en seguida su hermanoretir61/3del resto, el otrohermano1/2de10queaunqueday finalmente el hermano mayor se llev61111 de 10 que aunhabia. Determinar cuantossoles habia en el cajon;si el padre de ellos encon-trosolo5/. 30,00Soluci6n: Retirandoel nino5/. 1,00 quedoen el cajonNsoles.Segun data,10 que quedoera5/. 30,00; 0 sea:~ N= 30 ~ N= 30. 33 = 9933 10Ene1 cajonhabia: 5/. 99 + S/. I =5/. 100Rpta.: 5/. 100,00.9.- La fracci6n 2 727/1 616 ,:Puede reducirse afracci6n decimal equivalente? En caso afirmati-VO,efectuar lareducci6n.Soluci6n:Tenemos:2727 = 2700 + 27 =27(100 + I)= 27. 101I 616=I 600 + 16 =16(100 + I)=16. 101 Suhermanocogi6 1/3de N; entonces: 2/3 Nquedo.2727Luego:---=I 61627 . 10116. 1012716 El otro hermanotom61/2 de2/3N;I 2 Iquedo - . - N=- N2 3 3Como: 16=24, la [raccion2 727/1616esigua1aunafracci6n decimalde cuatrocifras decimales.27Rpta.: 16 = 1,687510.-Diofanto vivi6la sexta partede su vida en la infancia; 1/12 enlaadolescencia;se cas6 y luego depasaruntiempoigual a1/7 desu vidamas5afios, tuvounhijoquevivi6la mitaddelosafios quesupadrevivi6 y muri6 4afiosantes que el. ,:Cuantosafios vivi6Diofanto?Soluci6n:Sea "t" el tiempo que vivi6Diofanto.Naci6DiofantoInfancia AdolescenciaSe cas6It + 57Tuvoun hijoJet2HijoIDuri64 afiosMuri6DiofantoI I I I-t + -t + -t + 5+ -t + 4=t6 12 7 2Rpta.: Vivi6 84afios14t + 7t + 12t + 42t + 9=t84- 193-75t +756=84t11.- Untanquepuedeser llenadopor unabomba en5 horas y por una segunda bomba en 4horas. Siuna valvula, en el fondo, puede descargar elliquidoen10horas. Determinar el tiempoquedemoraria en llenarse si funcionan a la vez las2bombas y la valvula.Soluci6n:En una hora:laIra. bomba nena1/5 deltanquela2da. bomba nena1/4 del tanquela valvula descarga1110 del tanqueLuego juntos; en1 diahacen:5 I I 12--+-+-=--=I12 3 4 12Rpta.: Lostres juntosterminan la obra en1 dia.13.- Un tanquetiene2 grifos, uno 10 llena en 3 horasyel otroen5horas; sedejaabiertoel primerodurante 11/3 hora, despues el segundodurante3/4horayenseguidasedejanabiertoslosdos.,:Cuanto tiempo se tardad en llenar el estanque?Soluci6n:Luego, en unahora funcionandolas2bombas yla valvula se llena:I5I I+---=4 104+ 5 - 220:a tanqueEl primer grifollena el tanque en 3 horas.:. EnIh nena..ltanque3El segundo grifollena el tanque en 5 horas.Usandoregla de3simple:Ih ---- 7/20 tanquexh ---- 20/20 tanquex = 20/20 --+ x=20/77/20Luegotodoel tanquese llenad en:Rpta.: 2 h ~ 6 2h 51min25,7 s.12.- Un operario se compromete a hacer una obra en22/5dias, unsegundooperarioen3diasyuntercer operarioen4dias. Secontrataalos tresoperarios para quehagan la obratrabajandoa lavez. ,:Cuantotiempodebentardar?Soluci6n:EnI hnena1/5tanqueEl10enI ..l hasea en.... hnena:3 34 I 43 3 9 tanque3 3 I 3El20en '4 hnena: '4 . 5= 20 tanqueSe ha llenado hasta ahora:4 3 107- + -- = -- del tanque9 20 180180 107 73Falta llenar: --- --= -- deltanque.180 180 180Juntos los2 grifos llenan en una hora:I I 8- + - =- detanque3 5 15Par regIade3:Ell obrero hacela obra en22/5 dias = 1215 diasEn un dfa hara 5112 dela obra.El2 obrerohacela obra en 3 dias. En1 dia had1/3dela obra.Ihxx=73968115 detanque731180detanquehE13 obrerohacela obra en 4dias. En1 dia had1/4dela obra. Rpta.: Tardara 45 min37,55.- 194-ARITMETICA14.- Despues de haber perdido sucesivamente los 3/8de su fortuna, 1/9delrestoy los5112 delnuevoresto, unapersonagana S/. 284 900Yde estemodola perdida quedareducidaa1/3delafor-tunaprimitiva. leual es aquella fortuna?Soluci6n:Sea F lafortunaprimitiva.Despues delaterceraperdida Ie queda:7 8 5 35-__F=--F12 9 8 10835Como gana284 900, tendra: F +284900108Estoesigual a la fortuna quetenia,menos1/3 dela fortuna queperdi6:~ F +284 900=F _1- F= l.- F108 3 3284900= l.- F - ~ F3 108284900. 108F= =83160037Rpta.: La fortuna ascendiaa 5/.83160015.- Si unjugador en su primer juego pierde1/3 desu dinero;en el segundopierde1/4delrestoyenel terceropierde1/5del nuevoresto. LQuefracci6ndel dineroqueteniaoriginal menteIeha quedado?Soluci6n:S Onicia!) --+ pierde 1/3 deSque