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ARITMETICA
III BIM.
TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ARITMETICA
Í n d i c e
Pág.
å Sistema de númeración decimal: descomposición 7
å Sistema de numeración no decimal.................13
å Cambio de Sistema de numeración..................19
å Repaso de Sistema de numeración..................25
å Propiedades de los números............................29
å Criterios de divisivilidad...................................37
å Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo43
å Problemas con m.c.m y m.c.d.............49
COLEGIO TRILCE Página 2
ARITMETICA
CONCEPTOS BÁSICOS
N um eral: Es la figura osím bo lo que representa o dala idea de l núm ero.
N úm ero: Es una idea de cantidad , la cual nos perm ite cuantificar los ob jetos;es un ente abstracto.
* Sistema de numeración
Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permiten representar y
expresar correctamente los números.
Tenemos diversos Sistemas de Numeración, entre los cuales destaca el
Sistema de Numeración de Decimal o decuplo
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Es el sistema cuyo principio fundamental es que la agrupación de sus unidades son de diez en diez. Así por
ejemplo:
COLEGIO TRILCE Página 3
1 < > 1 un idad10 un idades < > 1 decena
10 decenas < > 1 centena. . .
ARITMETICA
Características del sistema Decimal
a. Símbolos utilizados en el sistema decimal.
cifras
9;8;7;6;5;4;3;2;1;0
b. De la combinación de estas cifras se pueden formar todos los números que
conocemos:
Ejemplo:
- Con 0; 1; 2 se pueden formar: 0; 1; 2; 10; 20; 11; 12; 210; . . .
- Con 3; 4; 0 se pueden formar: ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; . . .
Descomposición polinómica de un Numeral del Sistema Decimal
"Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores
relativos de sus cifras".
Ejemplo: 3 2 7 8 = 3000 + 200 + 70 + 8
= ___ × 103 + ___ + 102 + ___ × 101 + 8
Observa: Cada cifra está multiplicada por 10 y ésta tiene como
exponente la cantidad de cifras que se encuentran as la derecha de
ella.3 278
3 × 103
32 78
2 × 102
327 8
7 × 101
3278
8 × 10 0
Forma general
. . . bcba = . . . + d × 10 + c × 10 + b × 10 + a13 2
Casos especiales* mmmm = m × 103 + m × 102 + m × 101 + m
= 1000m + 100m + 10m + m = 1111m
* Para un numeral capicúa:
aba = a × 102 + b × 101 + a= 100a + 10b + a = 101a + 10b
abcba = a × 104 + b × 103 + c × 102 + b × 101 + a
= 10000a + 1000b + 100c + 10b + a = 10
= _______ × a + _______ × b + _______ × c
COLEGIO TRILCE Página 4
ARITMETICA
c. En el sistema decimal:
- Mínimo valor no significativo : 0
- Mínimo valor significativo : 1
- Máximo valor : 9
Orden: Es la posición que ocupa cada cifra empezando a contar de
derecha a izquierda.
Ejemplo:
U
4
1 er
D
3
2do
C
2
3 er
U M
1
4 to
1 o rden o un idades . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
2 orden o decenas
er
do
er
to
. . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
3 o rden o centenas . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
4 orden o un idades de m illa r . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
Lugar: Es la ubicación de la cifra según como se lee, de izquierda a
derecha.Ejemplo:
U
4
1er
D
3
2do
C
2
3er
U M
1
4 to
1 Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _
2
er
do
er
to
Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _
3 Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _
4 Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _
Valores de una cifra
Toda cifra que forma parte de un número, puede tener dos valores.
a. Valor absoluto (V.A.): Es absolutamente el mismo valor de cada cifra en
cualquier orden que se encuentre.
7 5 1 4V.R .( 4) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V.R .( 1) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V.R .( 5) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V.R .( 7) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V.A .(7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
V.A .(5 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
V.A .(1 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
V.A .(4 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
COLEGIO TRILCE Página 5
ARITMETICA
b. Valor Relativo (V.R.): Es relativo al orden donde se encuentra cada cifra
(unidades, decenas, centenas, . . .)
¡ LISTOS A TRABAJAR ¡
1. Escribe el valor relativo (V.R.) o el valor absoluto (V.A.) según corresponda.
a. 34 271 V.R.(2) = _____________
b. 67 192 V.A.(6) = _____________
c. 5 314 218 V.R.(4) = _____________
d. 27 235 V.A.(7) = _____________
e. 851 231 V.R.(8) = _____________
f. 567 421 V.A.(5) = _____________
2. Indicar la suma de la cifra del primer orden más la cifra del sexto orden en:
42 399 981 301
3. Indicar la suma de la cifra del tercer lugar más la cifra del quinto lugar en:
29 433 167
4. Calcular la suma del mayor y menor número que se puede formar con las
siguientes cifras, solo puedes utilizar una vez cada cifra.
1; 2; 4; 7; 9
5. ¿Cuál debe ser el valor de "x" en: 2323xxx2x332x ?
6. Si se cumple que: a22 es el triple de a7 . Calcular el valor de "a".
7. Hallar el valor de "a" y "b" tal que: b123 es el doble de a1a .
8. Hallar el valor de "b", si se cumple que: b78 es el resultado de invertir el
orden de las cifras a 87b y disminuirlo en 99 unidades.
9. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al
restarle el mismo número pero con las cifras invertidas de como resultado
72. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
COLEGIO TRILCE Página 6
ARITMETICA
10. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por
la cifra "a", el número resultante es mayor que el anterior en 200 unidades.
Hallar el valor de "a".
DEMUESTRA LO APRENDIDO
7. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al
restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado
63. Además se sabe que la suma de las dos cifras es 9. Dar como respuesta
el producto de las cifras del número perdido.
8. Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al
mismo número original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos
números de cuatro cifras se obtiene 9768. Hallar la suma de las cifras del
número original.
9. A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha,
aumentándose el número en 4752 unidades. Calcular el número original.
10. Hallar un número de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al
invertir el orden de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades. Dar como
respuesta el producto de las cifras del número pedido.
COLEGIO TRILCE Página 7
ARITMETICA
DESAFÍO
Un número está compuesto por tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces la cifra de las
unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el
producto de las cifras de dicho número.
Para este segundo tem a, queridos alum nos,estud ia rem os otros sistem as de num eración ;
para lo cual, generalizarem os algunos conceptos dados en el tem a anterio r.
1. Base de un Sistema de Numeración:
Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar
una unidad de un orden inmediato superior.
Así; por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7,
necesito grupos de siete unidades para ser agrupados y formar una unidad
de orden inmediato superior.
Al agrupar de 7 en 7, se han formado cuatro
grupos y han quedado sin agrupar seis
unidades, luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7)
Otro ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3.
La agrupación es:
2 grupos de 3 × 3 = 2 × 32
2 grupos de 1 × 3 = 2 × 31
2 unidades sueltas = 2o también: 222(3).
COLEGIO TRILCE Página 8
ARITMETICA
Condiciones de la base:
a) La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor
que 1.
b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la
menor base es 2 (Sistema Binario).
2. Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración:
2.1 Toda cifra de un numeral es menor que su base y utiliza "n" cifras: el
cero y (n - 1) cifras significativas.0
cero
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; ( n - 1);
cifras significativas
Ejemplo:
- 1023(5) Todas las cifras son menores que la base 5,
entonces, el número 10 está correctamente
escrito.
- 222222(3) Todas las cifras son menores que la base 3.
- 86577(8) Todas las cifras no son menores que la base 8,
la cifra que ocupa el primer lugar (el 8) no es
menor que 8, entonces el número no está
correctamente representado.
Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente:
En la base "b":
COLEGIO TRILCE Página 9
ARITMETICA
- Se usan "b" cifras para formar un orden inmediatamente superior
cualquiera.
- Las cifras pueden ser:Significativas = {1; 2; 3; 4; ...; (b - 1))
Cifra m áxim a
No significativa o auxiliar: 0 (cero)
Conclusión: Cifra < Base
Principales Sistemas de Numeración
Base Sistem as de N um eración C ifras diferentes que utiliza
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B inario o dual
Ternario
Cuaternario
Q u inario
Senario
H eptanario
O ctanario
N o nario
D enario o decim al
U ndecim al
D uodecim al
0 ; 1
0; 1; 2
0; 1; 2 ; 3
0; 1; 2 ; 3; 4
0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5
0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6
0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7
0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8
0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8; 9
0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8; 9;
0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8; 9; ;
Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta:
= 10; = 11; = 12; etc.
Como consecuencia del cuadro anterior, existen infinitos sistemas de
numeración.
3. Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de Numeración
abcd (n) = a × n3 + b × n2 + c × n + d
Ejemplos:
• 1234(5) = 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194
COLEGIO TRILCE Página 10
ARITMETICA
• (9) = a × 92 + a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a
• (a) = 3 × a2 + 4 × a + 0 = 3a2 + 4a
COLEGIO TRILCE Página 11
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE Página 12
ARITMETICA
DESAFÍO
Un número consta de 2 cifras, cuya suma es 11. Si intercambiamos el
orden de sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número
original. Hallar dicho número.
a. 47 b. 29 c. 65 d. 83 e. 56
Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro
sistema de numeración, pero sin dejar de representar estos números la misma
cantidad de unidades. También se le conoce a este tema como cambio de
base.
Caso I: De una base diferente de 10 a la base 10
"Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica,
efectuando para ello las operaciones indicadas".
Descomposición polinómica: )n(abc = a × n2 + b × n + c
Ejemplos:
• 2734241123
816
2)4(
• 71769798879
63648
2)9(
• b8a65a8b8aaba
b8a64
2)8(
También se puede utilizar el "método de Ruffini", así:
COLEGIO TRILCE Página 13
ARITMETICA
En el sistem a decim a l
4
1 2
+
4
6
3
+
24
27
×
×1
En el sistem a decim al
9
1
8
7
+
72
79
6
+
711
717
×
×
Caso II: De base 10 a una base diferente de 10
Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número
dado del sistema decimal (base 10) entre la base "n" a la cual se desea
convertir; si el cociente es mayor que "n", se dividirá nuevamente y así en
forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor
que "n". Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las
divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número
expresado en base "n".
Ejemplo:
• Convertir 25 a base 8:25 8
1 3 25 = 31 ( 8 )
• Convertir 100 a base 3:100 3
1 33 3
0 11 3 2 3 3 0 1
100 = 10201 (3)
• Convertir 216 a base 6:
COLEGIO TRILCE Página 14
ARITMETICA
216 6
0 36 6
0 6 6
0 1
216 = 1000 ( 6 )
Caso III: De una base diferente de 10 a otra diferente de 10
Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir,
primero llevamos el número de base diferente de 10, por descomposición
polinómica, al sistema decimal; y, luego este número, por divisiones
sucesivas, lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10.
Ejemplos:
1. Convertir: 543(6)
a base 4
a. Descomposición polinómica: 20736465543
24180
2)6(
b. Divisiones sucesivas:207 4
3 51 4
3 12 4
0 3
Luego: 543 = 207 = 3033 (4 )(6)
2. Convertir: 2134(5) a base nueve
a. Descomposición polinómica: 29445351522134
1525
2
250
3)5(
b. Divisiones sucesivas:
294 9
6 32 9
5 3
Luego: 2134 = 294 = 356( 5) (9)
PROPIEDAD: "En un numeral que representa la misma cantidad de unidades
simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que
COLEGIO TRILCE Página 15
ARITMETICA
donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y
viceversa, a menor representación mayor base".
N = RATÓN = PAVO(x ) (y)
+
+
Ejemplo:N u m era l m en o r
134 = 251 = 2012( 7 ) (4)
N u m era l m ayo r
M ayo r b ase M en o r b ase
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡
1. Convertir al sistema decimal:
a. 1101(2) b. 320(4) c. 1032(5)
d. 2031(4) e. 132(9)
2. Convertir:
a. 123 al sistema binario. b. 871 al sistema ternario.
c. 2031 al sistema quinario. d. 952 al sistema undecimal.
e. 642 al sistema de base 15.
3. Convetir:
a. 1002(3) al sistema quinario. b. 432(7) a base 4.
c. 2134(5) al sistema nonario. d. 1023(4) a base 6.
e. 123(4) al sistema octanario.
4. Hallar "a + b + c" si: 1230(5) = )7(abc
a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12
COLEGIO TRILCE Página 16
ARITMETICA
5. Convertir: )4()2a)(1a)(1a(
al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE Página 17
ARITMETICA
LISTOS … A TRABAJAR
1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que:
A: es el mayor número de tres cifras.B: es el mayor número impar de dos cifras diferentes.C: es el mayor número de tres cifras diferentes.
a. 2063 b. 2073 c. 2083 d. 2093 e. 3113
2. ¿Cuál es el menor número cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras:
I. La primera es el doble de la tercera.II. La segunda es el triple de la primera.
Dar como respuesta la suma de sus cifras.
COLEGIO TRILCE Página 18
ARITMETICA
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
4. Si el numeral )a3)(5a)(1b(b)1a( es capicúa. Hallar la cifra de tercer orden.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "a + b"
I. )5()2a)(a2( II. )9(
)5b(3b
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
6. ¿Cuántas numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
7. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿cuál es la suma de sus cifras?
a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13
8. Al menor número de tres cifras diferentes de la base nueve, convertirlo al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
9. Hallar: a + b + c.
Si: )9()8( 256)2c)(1b)(2a(
a. 8 b. 9 c. 10 d. 12 e. 13
10. Si se cumple: )2()3( abcde201 ;
hallar: a + b + c + d + e + n
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE Página 19
ARITMETICA
1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que:
A: Es el menor número de tres cifras diferentes.
B: Es el mayor número par de dos cifras diferentes.
C: Es el menor número de tres cifras.
a. 280 b. 290 c. 300 d. 310 e. 320
2. ¿Cuál es el menor número cuya cifras suman 30? Dar como respuesta la
cifra de mayor orden.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para
sus cifras:
I. La primera es el triple de la tercera.
II. La segunda es el doble de la primera.
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11
4. Si el numeral )x6)(1x)(3y)(2x( es capicúa. Hallar la cifra de segundo orden.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "x + y".
I. )7(
)1x(3x
)x2(
II. )8(
)3y)(2y(2y
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
6. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de sus cifras?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
7. Si: (n - 1)(n3)(n + 3) = aba(7); calcular: "a + b + n".
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11
8. Hallar: a + b + c + d + n; si se cumple: )n()3( abcd102
COLEGIO TRILCE Página 20
ARITMETICA
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
9. Convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes de la base 5 al sistema
octanario.
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14
10. Convertir el menor numeral de 4 cifras diferentes del sistema senario al
sistema nonario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16
DESAFÍO
Al convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario al
sistema cuaternario se obtiene: abcd . Hallar: a + b + c + d
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
1. MÚLTIPLOS
Un número entero "A" es múltiplo de otro entero "B", si "A" contiene a "B"
una cantidad exacta de veces.
Ejemplo 1: Averiguar si 72 es múltiplo de 6.
Veamos:
Para obtener 72 se necesita 12 veces el valor de 6, entonces: 72 =
6(12)
72 es múltiplo de 6.
Ejemplo 2: Averiguar si 143 es múltiplo de 11.
Veamos:
COLEGIO TRILCE Página 21
ARITMETICA
Para obtener 143 necesito 13 veces el valor de 11, entonces 143 =
11(13)
143 es múltiplo de 11.
Ejemplo 3: Escribe los 10 primeros enteros positivos múltiplos de 4.
Solución:
1 × 4; 2 × 4; 3 × 4; 4 × 4; 5 × 4; 6 × 4; 7 × 4; 8 × 4; 9 × 4; 10 × 4
luego: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40.
2. DIVISOR DE UN NÚMERO
Es el número que está contenido en el primero una cantidad exacta de
veces, también se le conoce como submúltiplos.
Ejemplo 1:
* 4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces.
* 8 es factor de 64 porque está contenido en 64 ochos veces.
Ejemplo 2: Halla los divisores de 24.
Solución:
D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores más tiene 45 que 13?
Solución:D(45) = {1; 2; 3; 5; 9; 15; 45} í tiene 6 divisores
D(13) = {1; 13} í tiene 2 divisores
Respuesta: 45 tiene 4 divisores más que 13.
Observación:En el campo numérico de los enteros Z, los múltiplos pueden ser negativos, además del 0, así por ejemplo:
* Los múltiplos de 15 son:
COLEGIO TRILCE Página 22
ARITMETICA
15 = 15k
15(1) ; 15(2) ; 15(3) ; 15(4) ; . . . . .
15 (0) = cero
15( -1) ; 15( -2) ; 15( -3 ) ; 15( -4) ; . . . .
º
donde "k" es un entero cualquiera.
De todo esto podemos afirmar lo siguiente:
i. Todo número tiene INFINITOS múltiplos.
ii. El CERO es múltiplo de todos los números.
A B
m últip lo de
divisib le por
factor de
divisor de
I I . E jm .:
12
m últip lo de
divisib le por
factor de
divisor de
3
I . A = B
se lee: "A" es m ú ltip lo de "B"
º
En resum en:
3. NÚMEROS PRIMOS
Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS, son aquellos números que tienen
unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número.
Ejemplos:
Número PrimoDivisores
2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
7 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
11 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
COLEGIO TRILCE Página 23
ARITMETICA
4. NÚMEROS COMPUESTOSSon aquellos números que tienen más de dos divisores.
Número Compuesto Divisores
4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100
(Criba de Eratóstenes)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Entonces: Los números primos menores que 100 son:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• Propiedades
1. El "uno" no es un número primo. sólo tiene un divisor, es
considerado como número simple.
2. Los números primos son infinitos.
3. El "dos" es el único número primo par.
COLEGIO TRILCE Página 24
ARITMETICA
4. El "dos" y el "tres" son los únicos números consecutivos y a la vez
primos absolutos
5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)
Dos o más números son primos entre si (PESI), cuando tienen como único
divisor común a la unidad.
• Ejemplo: ¿6, 14 y 9 son números PESI?
veamos:
Divisores
6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
9 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que _________, es el único divisor común a dichos números
Entonces: ______________ son números ______________.
• Ejemplo: ¿21, 15 y 8 son números PESI?
veamos:
Divisores
21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, es el único divisor común a dichos números.
Entonces: ______________ son números ______________.
• Ejemplo: ¿8, 6 y 14 son números PESI?
veamos:
Divisores
8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.
Entonces: ______________ no son números ______________.
• Ejemplo: ¿10, 35 y 15 son números PESI?
COLEGIO TRILCE Página 25
ARITMETICA
veamos:
Divisores
10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.
Entonces: ______________ no son números ______________.
Propiedades
1. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI.
2. Dos o más números impares consecutivos son siempre números
PESI.
6. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (DC)
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus
divisores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos.
• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18.
Veam os: 18
Entonces: 18 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120.Veam os: 120
Entonces: 120 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nota: Los divisores primos de un número compuesto se observan en su
descomposición canónica.
COLEGIO TRILCE Página 26
ARITMETICA
7. CANTIDAD DE DIVISORES (CD) Sea "N" un número compuesto cuya descomposición canónica es:
N = a . b . cm n p donde:
a; b y c
m ; n y p
:
:
facto res prim os abso lu tos
exponentes enteros positivos
Entonces: la cantidad de divisores de "N" será:
CD (N ) = (m + 1) (n + 1) (p + 1)
• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180.
Veam os: 180
Luego:
F ina lm ente:
180 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
( 180)
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480.El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480.
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ARITMETICA
Veam os: 480
Luego:
F ina lm ente:
480 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
CD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(480)
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
¡LISTOS… A TRABAJAR ¡
1. a. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25?b. ¿Cuál es el mayor número primo menor que 52?
2. ¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado?
3. Hallar "a + b"; si:a = mayor número primo menor que 70b = menor número primo mayor que 20
4. ¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras?
5. ¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras?
6. Indicar verdadero "V" o falso "F", según convenga:
a. 35 = 5 ( )
b. 8 = 16 ( )
c. 111 = 37 ( )
d. 53 = 7 ( )
e. 26 = 13 ( )
7. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras?
COLEGIO TRILCE Página 28
ARITMETICA
8. Si el número 2a5 es múltiplo de 8, ¿cuántos valores puede tener "a"?
9. Hallar la suma de las partes alícuotas de 12.
10. Si: A = {x/x N, "x" es divisor de 14} y
B = {x/x N, "x" es divisor de 8}
hallar:
a. A B b. A B c. A - B
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. ¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20?
2. Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que 23?
3. ¿Qué grupo de números son PESI?
a. 8; 25; 32 b. 9; 27; 35 c. 18; 30; 43
4. Hallar la descomposición canónica en cada caso:
a. 220 b. 280 c. 390 d.600
5. Hallar la cantidad de divisores de:
a. 340 b. 420
6. ¿Cuántos números de dos cifras son 5?
7. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 7?
8. Si el siguiente número: x453 es divisible por 7, calcular el valor de "x".
9. Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3?
10. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7.
DESAFÍO
Hallar la cantidad de divisores de: 32 ×××× 75
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ARITMETICA
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ARITMETICA
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ARITMETICA
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ARITMETICA
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ARITMETICA
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ARITMETICA
DESAFÍO
DESAFIO
En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que
se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se
has aplaudido al terminar el juego?
a. 30 b.33 c.36 d.39 e.43
COLEGIO TRILCE Página 35
ARITMETICA
E l m étodo de obtenció n de l m áxim o com ún d ivisor
por d ivisiones sucesivas, aparece ya descrito en e l
siglo I V (a .C.) en la obra "E lem entos", del m atem ático
griego Euclides. En dicha obra tam bién se propon ía un
m étodo parta obtener el m ín im o com ún m últip lo.
¿Sabías qué?
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d)
I. DEFINICIÓN
Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números
enteros positivos.
Ejemplo: Sean los números 8 y 12.
D = { 1 ; 2 ; 4 ; 8}8
D = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12}12
Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
II. Método para hallar el m.c.d.
PO R D ESCO M PO SI C I Ó N S I M U LTÁN EA
Se extrae de los núm eros todos los
facto res com unes hasta obtener
núm eros P ES I , luego el m .c.d . de
d ichos núm eros es el p roducto de
lo s facto res extraídos.
E jem plo :8
4
2
-
-
-
12
6
3
2
2
m .c.d . = 2 × 2 = 4
COLEGIO TRILCE Página 36
ARITMETICA
PO R D ESCO M PO SI C I Ó N CAN Ó N I CA
A los núm eros se les descom po ne
canón icam ente, luego e l m .c.d . de
d ichos núm eros es e l p roducto de
todos sus d ivisores prim os com unes
elevados a su m enor exponente.
E jem plo :8
4
2
1
2
2
2
entonces e l m .c.d .(8; 12) = 2 = 42
12
6
3
1
2
2
3
luego: 8 = 23
12 = 22 × = 3
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡
1. Completa el siguiente cuadro:Núm ero Divisores
36
24
40
DivisoresNúm ero
27
18
30
Ahora completa el siguiente cuadro:Núm ero
18 y 24
30 y 40
18 y 27
24 y 36
Divisores com unes m .c.d.
2. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea en cada caso:
a. 49 y 63
-
m .c.d . =
b. 48 y 72
-
m .c.d . =
c. 90 y 120
-
m .c.d . =
COLEGIO TRILCE Página 37
ARITMETICA
3. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso:
a. 52 y 78 b. 56 y 72 c. 84 y 96
4. Hallar el m.c.d. si:
A = 22 × 34 × 5
B = 22 × 15m.c.d.(A;B) =
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Hallar el mc.d. por descomposición simultánea, en cada caso:
a. 45 y 95 b. 75 y 125 c. 24; 36 y 68
d. 30; 60 y 90 e. 20; 36 y 40 f. 18 y 15
2. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso:
a. 64 y 96 b. 160 y 180 c. 30; 60 y 72
d. 48; 52 y 72 e. 50; 300 y 600 f. 48 y 36
3. Hallar el mc.d. de A, B y C; si:
A = 33 × 54 × 8
B = 12 × 27C = 25 × 36
DESAFÍO
• Hallar el m.c.d. de: 5 y 9. ¿Qué ocurrió?
• ¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor?
COLEGIO TRILCE Página 38
ARITMETICA
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)
I. DEFINICIÓN
Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números
enteros positivos diferentes de "0".
Ejemplo: Sean los números 4 y 6.4 = 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 . . .º
6 = 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 . . .º
Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
II. Métodos para hallar el m.c.m.
PO R D ESCO M PO SI C I Ó N SI M U LTÁN EA
Se extraen de los núm eros todos los
facto res com unes y no co m unes hasta
obtener la un idad en cada núm ero;
luego, el m c.m . de d icho s núm eros es
el p roducto de los factores extraídos.
E jem plo :4
2
1
1
-
-
-
-
6
3
3
1
2
2
3
m .c.m .(4; 6) = 2 × 2 × 3 = 12
PO R D ESCO M PO SI C I Ó N C AN Ó N I C A
A los núm eros se les descom po ne
canón icam ente; luego, e l m .c.m . de
d ichos núm eros es el producto de
todos los diviso res p rim os com unes
y no com unes e levado s a su m ayor
exponente.
E jem plo :4
2
1
2
2
entonces e l m .c.m . = 2 × 32
6
3
1
2
3
luego : 4 = 2 2
6 = 2 × 3
COLEGIO TRILCE Página 39
ARITMETICA
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡
1. Completa el siguiente cuadro:Núm ero Múltiplos (10 prim eros)
8
10
12
Múltiplos (10 prim eros)Núm ero
15
16
20
Ahora completa el siguiente cuadro:Núm ero
8 y 12
10 y 15
8 y 20
16 y 20
Múltiplos com unes m .c.m .
2. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:
a. 30 y 45
-
m .c.m . =
b. 12; 15 y 20
-
m .c.m . =
c. 42; 36 y 48
-
m .c.m . =
3. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:
a. 45; 75 y 90 b. 12; 14 y 16 c. 9 y 15
4. Hallar el m.c.m. de A y B; si:
A = 23 × 32 × 53
B = 26 × 3 × 52
COLEGIO TRILCE Página 40
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:
a. 35 y 63 b. 12 y 60 c. 15 y 25
d. 24 y 36 e. 9 y 15 e. 120; 148 y 200
2. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:
a. 85 y 30 b. 36 y 99 c. 96 y 100
d. 24 y 30 e. 200; 300 y 400 e. 160; 180 y 360
3. Hallar el m.c.m. de P, Q y R; si:
P = 32 × 53 × 72
Q = 2 × 33 × 52 × 7R = 32 × 7
DESAFÍO
• Hallar el m.c.m. de 0 y 4. ¿Qué sucede?
• ¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números?
COLEGIO TRILCE Página 41
ARITMETICA
Para poder reso lver p rob lem as sobre el m .c.m . y el
m .c.d . debes tener en cuenta las sigu ien tes ind icaciones:
¿Sabías qué?
1º D ebes leer e l prob lem a las veces que sean necesar ias.
2º Se debe recoger los datos del p roblem a.
3º I dentificar lo que se so licita.
4º P lantear estrateg ias al p rob lem a.
5º Com probar las estrateg ias y eleg ir una de ellas.
¡ LISTOS .,.. A TRABAJAR ¡
1. Tres compañías de navegación pasan por cierto puerto. La primera cada 8
días; la segunda cada 18 días y la tercera cada 21 días. ¿Cada cuántos días
se hallan los buques de los tres compañías simultáneamente en este
puerto?
2. Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días; 5
días y 10 días, respectivamente. Si la última vez que salieron juntos fue el
14 de julio, ¿cuál será la próxima fecha en que volverán a salir juntos?
COLEGIO TRILCE Página 42
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
ARITMETICA
3. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que se puede
dividir en trozos de 24 cm; 27 cm; ó 45 cm de longitud sin que sobre ni
falte nada?
4. Dos ciclistas dan vueltas en una pista; el primero cada 48 segundos y el
segundo cada 64 segundos. Si salen juntos, ¿al cabo de cuánto tiempo
pasarán por el sitio de partida?
5. Tres perros salen juntos en una carrera. El primero tarda 20 segundos en
dar la vuelta a la pista, el segundo tarda 33 segundos y el tercero, 36
segundos. ¿Al cabo de cuántos segundos volverán a pasar juntos por la
línea de salida, si salen juntos?
COLEGIO TRILCE Página 43
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
SOLUCIONDATOS
ARITMETICA
6. Dos cintas de 12 metros y 16 metros de longitud se quieren dividir en
pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de
cada pedazo?
7. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir
exactamente 3 cintas de 120 cm; 180 cm y 240 cm?
8. Se desean dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud posible. ¿Cuál
será la longitud de cada trozo resultante?
COLEGIO TRILCE Página 44
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
ARITMETICA
9. Se tienen que envasar 120 kg; 144 kg y 200 kg de plomo en tres cajas de
modo que los bloques de cada una tenga el mismo peso y el mayor posible.
¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo?
10. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez 612; 2040 y 8976?
COLEGIO TRILCE Página 45
DATOS SOLUCION
SOLUCIONDATOS
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO1. ¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12; 24
y 60 panes simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada
uno reciba la misma cantidad?
2. Se tiene tres cubos de 84 cm3; 270 cm3 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor
volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de
ellos?
3. ¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir
simultáneamente entre 15 y 20 niñas para que en cada caso una niña
reciba una cantidad exacta?
4. En una competencia automovilística de circuito cerrado, tres automóviles
arrancan juntos. Si tardan 10; 12 y 15 minutos en dar una vuelta completa.
¿Al cabo de qué tiempo pasarán juntos por la línea de partida?
5. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puede medir
exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 16000 metros?
6. Un tren sale cada 5 horas, otro tren sale cada 3 horas, si han salido al
mismo tiempo, a las 9 de la mañana. ¿Cuánto volverán a coincidir?
7. Una puerta se abre cada 20 segundos, otra cada 12 segundos y una tercera
cada 30 segundos, si se abren simultáneamente a las 12 del día. ¿A qué
hora vuelven a abrirse simultáneamente?
8. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla
de 30 cm, 40 cm ó de 50 cm?
9. Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir, en partes
iguales, 174 soles y 730 soles.
COLEGIO TRILCE Página 46
ARITMETICA
10. Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90 caramelos y 75 chocolates. ¿Qué número de cada dulce corresponde a cada uno de ellos?
DESAFÍOHallar la menor cantidad de soles que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13 niños, de tal manera que en
cada caso sobren 4 soles.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
1. En: ;273abc hallar el V.A.(c) + V.R.(a) - V.A.(b)
2. Indicar la suma de la cifra del segundo orden más la cifra del quinto orden
en:
956 783
3. Indicar la suma de la cifra del primer lugar más la cifra del cuarto lugar en:
9 128 751
4. Si se cumple que: )a2(15 es el cuadruple de )a3(3 . Calcular el valor de "a".
5. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al
restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado
27. Si se sabe que la suma de las dos cifras es 13.
TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN
6. Convertir: 15042(6) a base ternaria.
7. Si: )b()a()65( 23;2b4;ab3 están correctamente escritos,
hallar: "a + b + c"
COLEGIO TRILCE Página 47
ARITMETICA
8. Hallar: )b()a()65( 23;2b4;ab3
9. Hallar: (a + b + c); si se cumple: bca)1a)(1a( )3(
10. Al mayor número de dos cifras de la base cuaternaria, transformarlo a la
base nonaria. Dar la suma de sus cifras (base nonaria).
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
11. Si: A = cantidad de divisores de 80.
B = suma de los tres primeros números primos de 2 cifras.
hallar: "A + B"
12. Si: A = 27 × 12 × 5 _____________
B = 16 × 24 _____________
C = 32 × 18 _____________hallar: CD(A) + CD(B) + CD(C)
13. Si el siguiente número b7843 es divisible por 9. Calcular el valor de b2.
14. Siendo: M = {x/x es divisor de 12} y N = {x/x es divisor de 18}; hallar la
suma de los elementos en: M N.
15. Se tienen los siguientes conjuntos:
A = {x/x es múltiplo de 4; x N};
B = {x/x N; "x" es múltiplo de 7}
hallar cuántos elementos tiene A B, si todos son de 2 cifras.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
16. Restas al año de tu nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo
componen. ¿El resultado obtenido es múltiplo de 9? ¿Por qué?
17. Hallar "a + b", si: 195by17a3ºº .
COLEGIO TRILCE Página 48
ARITMETICA
18. Hallar la suma de valores de "a", si: º2nnma2 .
19. Calcular la suma entre el mayor y el menor valor que puede tomar "x" en: º321x4
20. Hallar la suma de valores de "a", si: º42a29 .
COLEGIO TRILCE Página 49