Aritmética ci - (iii y iv bimestres)

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ARITMÉTICA CÍRCULO I

ARITMÉTICA Página 2

Este nuevo cuaderno de trabajo ha sido posible elaborarlo gracias

al trabajo en conjunto de todos los docentes del área de ciencias,

con el único propósito de servir cada día mejor a nuestros

estudiantes, que son la razón de nuestra labor docente.

Es nuestra preocupación formar estudiantes que respondan a las

expectativas de la sociedad en la que vivimos, por ello laboramos

permanentemente en la formación de estudiantes analíticos y

críticos, con sólidos conocimientos científicos y filosóficos, con una

base emocional capaz de sobresalir ante cualquier situación que se

le presente.

Este cuaderno de trabajo cumple un papel importante dentro de

todo este trabajo organizado que se realiza en la institución, nos

permitirá complementar y reforzar los contenidos de las unidades

programadas para este año.

Finalmente reconocemos la labor que realizan los padres de

familia que junto con los profesores, se esfuerzan día a día por

lograr una educación científica e integral en sus hijos.

Aprovechamos la oportunidad para reanudar nuestro

compromiso de servirlos cada día mejor, presentándoles mejores

propuestas educativas a la sociedad.



CONTENIDO – 2013

5

ta UNIDAD:

Criterios de Divisibilidad Clasificación de lo Z+

6ta

UNIDAD: Razones y S.R.G.E Proporciones

7ma

UNIDAD:

Promedios Magnitudes Proporcionales

8va

UNIDAD: Aplicaciones de las Magnitudes Proporcionales Regla del Tanto por Ciento

PROF.: LIVIO MISAJEL NAVARRETE



¿Un truco aritmético?

(Adaptado de MATEMÀTICA RECREATIVA de YAKOV PERELMAN)

Un profesor de aritmética en un salón de clase le dice a uno de sus alumnos: -Toma una hoja de papel y escribe un número de tres cifras sin que yo lo vea. -¿Puede tener ceros? -No pongo limitación alguna. Cualquier número de tres cifras, el que desees. - Ya lo he escrito. ¿Qué más? -A continuación de ese mismo número, escríbelo otra vez y obtendrás un número de seis cifras. -Ya está. Efectivamente, es un número de seis cifras. -Ahora entrega el papel a un compañero tuyo que este lo más alejado de mí, y que éste último divida el número entre siete.

-¡Qué fácil es decir divídalo por siete! A lo mejor no se puede dividir exactamente. - No se apure; se divide sin dejar residuo. - No sabe usted qué número es y asegura que se divide exactamente. - Haga primero la división y luego hablaremos. - Ha tenido usted la suerte de que se dividiera exactamente. -Entregue el resultado a otro compañero, sin que yo me entere de cuál es, y que él lo divida entre 11. - ¿Piensa usted que va a tener otra vez suerte y que va a dividirse exactamente? - Haga, haga usted la división; no quedará residuo. - En efecto; ¡no hay residuo! ¿Ahora, qué más? - Pase el resultado a otro compañero. Vamos a dividirlo por…….. 13. - No ha elegido bien. Son pocos los números que se dividen exactamente por 13…… ¡Oh, la división es exacta! ¡Qué suerte tiene usted! - Ahora dame el papel con el último resultado, pero dóblalo para que yo no pueda ver el número. El profesor enseña el resultado a todos sus alumnos y dijo: ¡ahí tienen el número que pensó!

¿Cómo supo que el resultado final era igual al número pensado por su alumno?

OBJETIVOS

Reconocer los principales criterios de divisibilidad.

Aplicar correctamente los criterios de divisibilidad en la resolución de situaciones diversas.

Reconocer un número primo y compuesto y sus propiedades.

Utilizar las propiedades que poseen estos números para solucionar diversas situaciones.

Analizar y estudiar a los divisores de un número entero positivo.



Se llaman Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permiten determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo, o en todo caso conocer su residuo en el caso de no se divisible.

DIVISIBILIDAD ENTRE LAS POTENCIAS DEL 2 DIVISIBILIDAD ENTRE LAS POTENCIAS DE 5 DIVISIBILIDAD ENTRE 3 Ó 9

DIVISIBILIDAD ENTRE 7

Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, … y luego efectuar, la suma algebraica de los productos resultantes, dicha suma es divisible entre 7.


Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11.


Un numeral es divisible entre 13 y si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir

de la derecha) 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, … y luego efectuar, la suma algebraica de los productos resultantes , dicha suma es divisible entre 13.

APRENDIENDO MÁS……….

Además de los criterios ya explicado, existe otra sencilla regla para comprobar si un número entero positivo es divisible entre 7, que es la siguiente: Separamos la cifra de las unidades del número inicial, la multiplicamos por 2 y se la restamos al resto del número (lo que quedó sin las unidades). Si obtenemos un múltiplo de 7 entonces el número inicial es múltiplo de 7, y si obtenemos un número que no es múltiplo de 7 pues el inicial tampoco lo es. Pongamos un ejemplo: Veamos si el número 432 esmúltiplo de 7. 2 . 2 =4 43 – 4 = 39 Como 39 no es múltiplo de 7

entonces ¡432 no es múltiplo de 7! Si obtenemos un número demasiado grande y no sabemos si es múltiplo de 7 o no, repetimos el proceso anterior las veces necesarias hasta que lleguemos a un número del que sepamos si es o no múltiplo de 7. Particularmente veo que este algoritmo es algo lento si el número es demasiado grande, pero bueno, al menos tenemos otro, ¿no? Uhmm… ¿no habrá alguna otra forma?

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Si: e =

Si:

Si:

Si: e =

Si:

Si:

Si: a + b + c + d =

Si: a + b + c + d =



Pues sí, el mundo de la divisibilidad nos

tiene guardada una sorpresa en lo que al

7 se refiere…

EL GRAFO DE LA DIVISIBILIDAD

ENTRE 7 El blog de Tanya Khovanova es uno de esos sitios en los que muy a menudo pueden encontrarse auténticas perlas matemáticas. La que les voy a explicar aquí la he encontrado allí, aunque no es de ella, sino de David Wilson. Es un grafo a partir del cual no sólo podemos saber si un número es divisible entre 7 de manera algo más rápida que con el algoritmo anterior (al menos bajo mi punto de vista) sino también el resto que deja dicha división en el caso de no serlo. Vamos a verlo:

Para saber si un número natural es

divisible entre 7 comenzamos en el cero,

recorremos desde él tantas flechas

negras como indique la primera cifra del

número y después seguimos la flecha

blanca que salga del punto al que hemos

llegado. Tomamos la segunda cifra y

hacemos lo mismo:

Desde el punto donde nos encontramos recorremos tantas flechas negras como indique la segunda cifra y después la flecha blanca que nos encontramos en el destino. Y así sucesivamente.

Cuando lleguemos a la última cifra recorremos desde el punto donde nos encontremos tantas flechas negras como ella indique y el punto al que lleguemos nos dice el resto de dividir el número inicial entre 7. Un ejemplo: Tomemos un número grande, digamos el 239058. Con el método anterior posiblemente tardaríamos un buen rato en comprobar si nuestro número es divisible entre 7 o no (podemos comprobarlo). Además no conoceríamos el resto de dicha división. Probemos con nuestro grafo: Desde el 0 dos flechas negras, llegando al 2; ahora una flecha blanca y llegamos al 6 Desde el 6 tres flechas negras, llegando al 2; ahora una flecha blanca y llegamos otra vez al 6 Desde el 6 nueve flechas negras, llegando al 1; ahora una flecha blanca y llegamos al 3 Desde el 3 no recorremos ninguna flecha negra, por lo que nos quedamos en el 3; ahora una flecha blanca y llegamos al 2. Desde el 2 cinco flechas negras, llegando al 0; ahora una flecha blanca, por lo que nos quedamos en el 0. Para finalizar, desde el 0 ocho flechas negras, llegando al 1. Por tanto, el resto de dividir 239058 entre 7 es (por tanto no es divisible entre 7).

¿Alguien podría explicar por qué funciona este método?

QUÉ INTERESANTE…!!!

http://blog.tanyakhovanova.com/



1. ¿Qué valor debe tomar “x” para que el

numeral 11443x sea divisible entre 8?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 4 2. ¿Qué valores deben tomar “m” y “n” en

el numeral 45 0mn , para que sea divisible entre 125? Dar como respuesta la suma de todos los valores de m+n.

a) 15 b) 24 c) 13 d) 16 e) 12

3. Calcular el valor de x sabiendo que

67 22xx es divisible entre 9.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

4. Cuál es el valor de “a” si el numeral

13 372a es divisible entre 7?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 1 e) 3 5. ¿Cuál es el valor que debe tomar “y”

para que el numeral 17y14 sea divisible

entre 11?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

6. ¿Qué valor debe tomar “b” en el

numeral 306b128 si es divisible entre 13?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. Halla (a+b) mínimo si: 3 a3542 , y

9 2317b4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 12

8. Si: 0

4 8 7 2aa . ¿Halle la suma de valores de “a”?

a) 14 b) 15 c) 12 d) 13 e) N.A

9. Hallar “x” en

0

4 683 11 3x x

a) 6 b) 7 c) 8 d) 4 e) N.A

10. Si: 1 2 3 9 110

a a a a..... . Hallar el valor de “a”

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

11. Calcular el valor de “a”, si 7 4 3 70

a a

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 12. Determina el valor de la cifra “x” si el

número 5 1 4x x es divisible entre 13.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

13. Si:0

9abc ; 0

5bac y 0

8ca . Halle a+b+c.

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

14. Si: 0

6 7a ; 0

8aab y

0

23abc Halle “a+b+c”

a) 16 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

15. Si se cumple que 5 10 720

x y . Halle

“x-y”

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

16. Sabiendo que: 4 58 560

ab a . Halle axb.

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

17. Si: ab ba1 440

, Calcular “a+4b”

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

18. Si el numeral 7 361a b es divisible entre 55 pero no entre dos., determine el valor de a+b. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

19. Calcule “a+b+c”, si 4 3 11250

a bc

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21



20. Calcule el residuo de dividir

2132abcabc entre 13. a) 4 b) 2 c) 10 d) 7 e) 8

21. Si: 299591320

mn , calcule (m+n).

a) 9 b) 7 c) 8 d) 6 e) 10 22. (PUCP-2004-I) Se tiene los números:

I. 17820 II. 11880 III. 17560

¿Qué números son divisibles entre 2; 3; 4; 5; 6; 9 y 11? a) solo I b) solo II c) solo III d) I y II e) II y III

23. (PUCP-2004-II) Si se sabe que:

0

54 2 9n n y 0

52 1 3m . Halle la suma de todos los valores de (m+n). a) 9 b) 12 c) 15 d) 21 e) 36

1. Si: 532 9 3 58 11a y b . Halla: a+b

a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 10

2. Calcular “a”, si 0

3 2 7a a

a) 1 b) 7 c) 9 d) 11 e) 7

3. Cuantos números de la forma abb son múltiplos de 4?

a) 90 b) 27 c) 81 d) 18 e) 45

4. Halle el valor de “x”, si

4 5 6 7 9 50

x x x x

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5. determine el valor de “a”, si

5 2 42 6 110

a a

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6. Determina el valor de la cifra “x” si el

número 8x6x2 es divisible entre 13.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 7. ¿Cuántos numerales capicúas de tres

cifras son múltiplos de 7?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 4 e) 6

8. Si: 3 758 550

a b , halle el mínimo valor de “a-b”

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

9. Si baa49 130

, halle el residuo de

dividir 2 1a a a entre 11.

a) 0 b) 5 c) 2 d) 7 e) 9

10. Halle “a+b+c” Si:

0

11abc ; 0

7cba y 0

9bac

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

11. Calcule “m+n”, si el número 4 53n m es divisible entre 88.

a) 14 b) 12 c) 11 d) 13 e) N.A

12. Si: 0

165abba . Halle el máximo valor de (a+b).

a) 12 b) 14 c) 9 d) 11 e) 16

13. Calcule: m-n, Si se cumple que:

9o

mnmn ;

0

5 5 1m n y 0

6 4n . a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 7

14. Si:

0

2 100 99 1ab y

0

5 032 11 3m n .

Calcule el valor de: (a+b+m+n), si m y n son diferentes.

a) 12 b) 14 c) 16 d) 23 e) 24



15. Si: ab 50

; ba 90

; abc 80

. Halle

“a+b+c”

a) 21 b) 18 c) 15 d) 14 e) 17

16. Si 5 10 720

x y , Halle “x+y”

a) 12 b) 13 c) 14 c) 15 e) 16

17. Hallar a + b si se cumple que:

55b312a8a1

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

18. Calcular “b - a” si el número bab4a4 es divisible entre 63.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. Calcula “a + b”, si

45aba23a

a) 15 b) 12 c) 10 d) 9 e) 8

20. Halle la cantidad de números de la

forma 1 1a bab que cumplen con la condición que sean múltiplos de 63.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21. (UNMSM-2011-I) Al dividir el número

entero 3 82N a entre 9 su resto es 1.

Halle el valor de 2 1a

a) 65 b)82 c) 37 d) 50 e) 26

22. (UNFV-2002) ¿Cuántas cifras 5 como máximo hay que colocar a la derecha del número 2143 para que el resultado sea múltiplo de 9; sabiendo además, que dicha cantidad de cifras es menor que 87? a) 70 b) 75 c) 79 d) 85 e) 90

LOS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS

Desde hace 2500 años los números primos atraen

la atención de matemáticos y aficionados de

todo el mundo, por varias razones. Una de ellas

es la fascinación que produce su irregular

distribución a lo largo de la recta numérica. Los

números primos aparecen esparcidos aquí y allá,

encontrándose sectores en donde abundan y

otros en donde escasean. Se los califica de

misteriosos e indomables pues no parece existir

ninguna regla que determine su ubicación entre

los demás números naturales.

Si bien no hay una fórmula que prediga la

distancia entre un primo y otro, cabe

preguntarse lo siguiente: ¿Acaso no es la

superposición de distintos patrones regulares lo

que produce esa irregularidad? Por otro lado,

sabemos que entre los primeros 30 millones de

números naturales sólo se encuentran 4

números perfectos: 6, 28, 496 y 8128. El quinto

lugar lo ocupa un número de 8 dígitos:

33550336. Nos preguntamos ¿Cuál es el patrón

geométrico subyacente que origina esta extraña

serie? ¿Acaso hay que relacionar varios patrones

distintos para resolver este problema?

LOS PROBLEMAS NO RESULETOS DE LOS NÚMEROS PRIMOS

¿Existe alguna fórmula para determinar si un número determinado es primo o no?

¿Hay un número infinito de pares primos? Un par primo es un par de primos consecutivos cuya diferencia es dos. Por ejemplo, 3 y 5; 5 y 7; 11 y 13; 41 y 43.

El misterio del número perfecto impar.



NÚMEROS PRIMOS

Un número perfecto es aquel que es igual a la suma sus divisores propios (un divisor propio es un divisor que no es igual al número mismo). El número 6 es un ejemplo de un número perfecto porque 6=1+2+3. Otros ejemplos son: 28; 496; 8128. Alrededor del año 300 a.c Euclides demostró que si un número de la forma 2n-1 es primo, entonces 2n-1(2n-1) es un número perfecto. Luego en el siglo XVIII Euler demostró que cualquier número perfecto par debe tener la forma dada por Euclides. Por ejemplo, 8128=26(27-1) Pero lo números perfectos impares siguen siendo un misterio. Hasta ahora nadie ha encontrado un número perfecto impar, ni nadie ha probado que todos los números perfectos son pares.

LA CONJETURA DE GOLDBACH ¿Todos los números pares mayores que dos son la suma de dos números primos? En 1742, el matemático alemán Christian Goldbach (1690-1764) le comunicó a Leonard Euler (1707-1783) la conjetura de que todo número par, salvo el 2, era la suma de dos números primos. Por ejemplo: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 12=7+5; …. Aunque se considera que la conjetura de Goldbach es cierta, hasta el momento nadie lo ha demostrado. Hasta el momento se han producido algunos avances: en 1931, el matemático soviético L. Schnirelmann aparentemente probó que cualquier número par puede escribirse como la suma de ni más de 300 000 primos….algo muy alejado de dos primos. Iván M. Vinogradov (1891-1983) demostró que todos los enteros impares suficientemente grandes son la suma de tres números primos. En 1973, Chen Jing-run demostró que cualquier número par suficientemente grande es la suma de un número primo y de un número que o bien es primo o bien tiene dos factores primos.

CLASIFICACIÓN DE LOS ENTEROS POSITIVOS (Z+)

I. TENIENDO EN CUENTA SU CANTIDAD DE

DIVISORES, LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS SE CLASIFICAN EN:

Son aquellos que tienen solo 2 divisores. Ejemplo:

2 1, 2 3 1, 3 5 1, 5 7 1, 7 11 1, 11 13 1, 13

: : : :

El uno (1) tiene un solo divisor

Los números primos tienen solo 2 divisores

Los números compuestos

tienen más de 2 divisores

Z+

NÚMEROS

SIMPLES

Número Primo Divisores



Nro. Compuesto

NÚMEROS COMPUESTO

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)

Divisores

Son todos aquellos números que tienen más de 2 divisores. Ejemplo:

4 1, 2, 4 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 25 1, 5, 25 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

PROPIEDADES LOS NÚMEROS PRIMOS El conjunto de números primos es

infinito. 2 es el único número primo y par a la

vez. 2 y 3 son los dos únicos números primos

y consecutivos a la vez.

Sea “P” es un primo absoluto

Si P > 2, entonces 4 1 4 1o o

p ó P

Si P > 3, entonces 6 1 6 1o o

p ó P

¿Cómo se determina si un número es primo?

Se extrae la raíz cuadrada entera

aproximada del número dado. Si es exacta se determina que no es primo.

Caso contrario, Se verifica la divisibilidad entre todos los números primos menores o iguales que la raíz entera hallada.

Si es divisible al menos entre alguno de ellos, el número no es primo. Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo.

PRACTIQUEMOS: cuáles de los siguientes números son primos absolutos: 193; 221; 211; 173; 421; 181; 443; 203; 287; 157.

II. CLASIFICACIÓN POR GRUPO DE NÚMEROS Se les denomina también primos relativos o coprimos. Es aquel conjunto de dos o más números, cuyo único divisor en común es la unidad. Ejemplo: Número Divisores

6 1 , 2, 3, 6 15 1 , 3, 5, 15 20 1 , 2, 4, 5, 10, 20

Único divisor en común PRACTIQUEMOS: Determinar qué conjunto de números son P.E.S.I

21; 15 y 8 14; 21 y 30 20; 35 y 15 18; 27 y 35

NOTA: Todo número compuesto

tiene una cantidad de divisores

simples y divisores compuestos

45; 15; 33 y 42 12; 25; 20 y 18 36; 63; 111 y 42 20; 21; 22 y 23

CD(N) = CDS(N) + CDC(N)



EN GENERAL:

SD(N) =

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Ó DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (D.C).- Todo número compuesto puede ser expresado como la multiplicación indicada de sus factores primos diferentes elevados a exponentes enteros y positivos (Descomposición Canónica). Ejemplo:

1440 = 25 . 32 . 5 PRACTIQUEMOS: Descomponer canónicamente los siguientes números:

1600

1800

450

999

820

620

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

CANTIDAD DE DIVIOSRES DE UN

NÚMERO (CDN).- Un método práctico para determinar la cantidad de divisores de un número es utilizando su descomposición canónica.

Veamos: Hallar la cantidad de divisores de 120

120 2 120 = 2 3 x 3 1 x 5 1 60 2 Luego: 30 2 CD(120)

= 4 x2 x 2 15 3 CD(120) = 16 5 5 1 PRACTIQUEMOS: calcule la cantidad de divisores de cada uno de los siguientes números:

3900

1800

1450

365

999

SUMA DE DIVIOSRES DE UN NÚMERO

(SDN).- Para este caso utilizaremos la siguiente fórmula:

PRACTIQUEMOS: calcule la suma de los divisores de cada uno de los siguientes números:

180

3900

1800

365

482

PARA TENER EN CUENTA

1. Dos o más números consecutivos son

siempre P.E.S.I 2. Dos o más números impares

consecutivos son siempre P.E.S.I. 3. Si dos números A y B son P.E.S.I.,

entonces:

A, B y (A+B) son P.E.S.I.

A, B y (A-B) son P.E.S.I.

RECUERDA

CDN = CDPRIMOS + CDCOMPUESTOS + 1

245

363

510

640

203

273

EN GENERAL:

1560

3850

380

640

2400

1560

3850

380

640

2400

D.C



1. Del siguiente grupo de números: 237;

401; 209; 181; 173. ¿Cuántos de ellos son primos absolutos?

a) 0 b) 21 c) 2 d) 3 e) 4

2. Si: a3 , 25 y 91 son PESI. Calcule la suma de los valores de “a”.

a) 31 b) 40 c) 25 d) 28 e) 36

3. Calcule el residuo de dividir el producto

de los 200 primeros números primos entre 4.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

4. Determine la suma de los números primos absolutos entre 50 y 80. a) 521 b) 463 c) 423 d) 332 e) 418

5. Si: a, b y c son números primos, además

se tiene que: a+b+c=80 y a-c=39.

Calcule: 222 cba .

a) 259 c) 164 c) 369 d) 168 e) 316

6. Siendo a, b, y c números primos

absolutos, ¿cuántas ternas cumplen con la condición: a+b+c=48.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. ¿Cuántos números primos absolutos se escriben con dos cifras en el sistema heptanario?

a) 10 b) 9 c) 12 d) 13 e) 11

8. Calcule la suma de todos los números

primos de la forma 3abc . a) 92 b) 121 c) 83 d) 48 e) 64

9. Siendo a, b, y c números primos absolutos, ¿cuántas ternas cumplen con la condición: a+b+c=48.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10. ¿Cuántos números primos de la forma

3aab , existen?

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6

11. Calcular la cantidad de divisores de abc, si este descompuesto canónicamente posee la siguiente forma:

abc=PPx(P+1)3

x(P+3).

a) 48 b) 43 c) 46 d) 32 e) 42 12. Determine el número de divisores de

720.

a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36 13. Determina la descomposición canónica

de 10! Y diga cuál es el exponente del factor primo 3. a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 7

14. ¿Cuántos divisores primos tiene 3500?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15. Hallar la suma de los divisores primos que tiene 360.

a) 12 b) 10 c) 11 d) 9 e) 8

16. Si 36n tienen 49 divisores, ¿cuántos

divisores tendrá 60n?

a) 84 b) 48 c) 96 d) 110 e) 112 17. ¿Cuántos números compuestos dividen

exactamente al número 12740?

a) 28 b) 32 c) 36 d) 46 e) 42 18. Hallar un número N = 12n . 15n, sabiendo

que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de las cifras de N. a) 18 b) 15 c) 9 d) 27 e) 21

19. Hallar “a” si: N=21. 15a tiene 20

divisores compuestos.

a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4



20. Si:

.

1a cac b b

D C

N b a b c . Además, se

sabe que N es múltiplo de 35. Calcule la

cantidad de divisores de bac

a) 76 b) 84 c) 52 d) 46 e) N.A

21. calcule el valor de k, si el número k30

tiene el doble de divisores que el

numeral kx1815 .

a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 7

22. (PUCP-2004-I) ¿Cuál de las siguientes

proposiciones son verdaderas: I. Un número primo más otro número

primo siempre resulta otro número primo.

II. La suma de cuatro números enteros consecutivos es siempre divisible entre cuatro.

III. Un número primo es de la forma

4 1o

.

a) I y II b) II y III c) I y III d) I, II y III e) N.A

23. (PUCP-2006-II) Sea 15 157 2N , determinar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

I. “N” es impar. II. “N” es primo. III. “N” es múltiplo de 5.

a) II y III b) I y II c) sólo III d) II y III e) sólo II

24. (LA CANTUTA-2004-I) ¿Cuántos números

naturales que son mayores que 1 y menores que 20 son primos relativos con 20? a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 12

25. (CALLAO-2007-II) Si el número de

divisores de 3 21kes los 2/3 del número

de divisores que tiene50k . El valor de “k” es. a) 6 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10

1. Calcule el residuo de dividir la suma de

los cuadrados de los 32 primeros números primos entre 4.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) faltan datos

2. Si: a2 , 34 y 40 son PESI. Calcule la suma de los valores de “a”.

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

3. Determine la suma de todos los números

primos que son mayores que 60 pero menores que 90.

a) 125 b) 128 c) 204 d) 223 e) N.A

4. De los siguientes números: 113; 193;

201; 217 y 307, ¿cuántos de ellos son compuestos?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. Si: a, b y c son números primos

absolutos, y además: a+b+c=52 y b–a=17. Calcule a.b .c

a) 431 b) 138 c) 1148 d) 1784 e) 1178

6. Siendo los números: p, q y r, primos

absolutos. ¿Cuántas ternas cumplirán la condición: p+q+r =56? a) 1 b) 2 c) 3 e) 4 d) 5

7. Si a, b y c son primos, además

a.b.c=754. Halle: a+b+c.

a) 52 b) 44 c) 36 d) 72 e) 41

8. Determina la suma de todos los números

primos de la forma 7a a) 152 b) 144 c) 136 d) 72 e) N.A

9. ¿Cuántos números primos se escriben con dos cifras en el sistema senario?



a) 12 b) 10 c) 16 d) 13 e) N.A

10. ¿Cuántos números de la forma: son primos absolutos?

a) 8 b) 14 c) 16 d) 23 e) N.A

11. Siendo los números: p, q y r, primos

absolutos. ¿Cuántas ternas cumplirán la condición: p+q+r =56? a) 5 b) 4 c) 3 d) 7 e) N.A

12. Calcule la suma de todos los números

primos de la forma 3aba .

a) 52 b) 44 c) 36 d) 72 e) 41

13. Halle el número de divisores de 540.

a) 36 b) 42 c) 48 d) 56 e) N.A 14. ¿Cuál es el exponente del factor primo 2

en la descomposición canónica de 8!?

a) 3 b) 2 c) 6 d) 8 e) N.A 15. Hallar la suma de divisores primos del

número 2100.

a) 16 b) 12 c) 18 d) 8 e) N.A

16. Sea la descomposición canónica de N: ab bbaaN 41 , donde: a+b=9.

¿Cuántos divisores compuestos tiene N?

a) 91 b) 120 c) 87 d) 58 e) 56 17. Hallar la suma de los divisores simple de

350.

a) 14 b) 12 c) 18 d) 15 e) N.A 18. Hallar “a” si 10a x 36 tiene 45 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 19. Si 420.5n tiene 91 divisores compuestos.

Halle “n”

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 20. Sabiendo que: A=12.30n tiene el doble

de la cantidad de divisores que B=12n.30. Halle “n”

a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5

21. Si el número: N= 3k+2.13k tiene 77 divisores compuestos. Calcule el valor de “k”

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

22. (UNMSM-2004-II) El cociente del primer

número primo mayor que 505 entre el primo anterior, con tres cifras decimales de aproximación es:

a) 1,031 b) 1,001 c) 1,011 d) 1,021 e) 1,041

23. (UNMSM-2005-II) Si M es la suma de los

divisores positivos de 48, entonces 3 1M es: a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

24. (UNMSM-2005-II) Indicar el valor de

verdad:

221 no es primo.

2 y 3 son los únicos números consecutivos y primos a la vez.

Todo número que divide a un producto de varios números, divide por lo menos a uno de ellos.

a) FVV b) VVF c) FFV d) VFF e) VVV 25. (UNMSM-2008-II) Si el número

23 10nM tiene 48 divisores positivos, entonces el valor de “n” es: a) 2 b) 1 c) 4 d) 5 e) 3

26. (UNMSM-2012-II) Sean 2 .3na y

2.3nb , donde n es un entero positivo.

Si a b tiene 16 divisores positivos, halle a-b. a) -6 b) 6 c) 4 d) -4 e)12



RAZONES Y PROPOPORCIONES FAMOSAS

Existen algunas razones famosas en la

historia de la matemática, aunque no se

expresen con números enteros. Una de ellas

es la razón constante entre la longitud de

la circunferencia (C) y la de su diámetro

(d). Este valor es el que conocemos como el

número π (pi), cuyo valor es 3,141592... De

modo que C/d= π.

Otra razón de interés histórico es la llamada

razón áurea (Zippin, 1996). Surge al

resolver este problema: Dividir un segmento

dado en dos partes, tales que la menor (b)

es a la mayor (a) como el segmento mayor

es al segmento total (a + b); es decir,

La razón b/a se conoce como razón áurea,

y su valor es: 5 1

2

, es decir,

aproximadamente 0,618... Su interés

histórico radica en que con esta razón se

construyeron los rectángulos áureos (la

razón del lado menor al mayor es 0,618...),

que están presentes en numerosos

elementos (la fachada, la planta, los

ventanales, etc.) de muchas construcciones

clásicas (las fachadas del Partenón y de la

Universidad de Salamanca, el cuadro de Las

Meninas de Velásquez...) así como en

objetos de la vida diaria (carnés, cédulas,

tarjetas, páginas...), y dan una extraña

sensación de equilibrio y armonía...

Finalmente, hay que destacar la sensación

de armonía que presentan los cuadros y

dibujos en los que se ofrece una

perspectiva de la realidad que conserva sus

dimensiones relativas y, particularmente, la

“profundidad” de la escena. Desde el punto

de vista matemático, se trata de conservar

en el plano del dibujo las proporciones que

presentan los objetos reales entre sí.

Esta armonía es la que se echa de menos en

los cuadros de los llamados pintores

primitivos, o ingenuos, que presentan todos

los objetos en un mismo plano, pero cuyo

valor artístico no se pone en duda (lo que

OBJETIVOS

Establecer comparaciones entre cantidades de igual o diferente magnitud.

Reconocer una S.R.G.E y sus propiedades.

Aplicar la teoría de razones en la solución de situaciones de su entorno real.

Reconocer e interpretar a una proporción.

Inducir las diversas propiedades que presentan las proporciones.

Aplicar las propiedades y manejar adecuadamente las técnicas operativas para la resolución de los problemas que se le presenten en la vida diaria.



revela que la lógica de la matemática y la

estética de la obra artística pueden convivir

en mundos complementarios, que a veces se

cruzan...).

LAS RAZONES EN EL CUERPO HUMANO

Podemos realizar un ejercicio muy

interesante que consiste en tomar las

medidas de ciertas partes de nuestro cuerpo

y relacionarlas entre sí. Por ejemplo, la

medida, de punta a punta, de nuestros

brazos extendidos horizontalmente, con la

medida de nuestra estatura. Y también, la

medida del contorno de nuestro puño

cerrado, con la medida de nuestro pie. Y la

medida del contorno de nuestro cuello, con

la medida del perímetro de nuestra cintura.

Se obtienen así tres razones interesantes (se

pueden descubrir otras...).

Si realizamos este ejercicio con un grupo

relativamente numeroso de personas,

podemos observar que los valores de las tres

razones tienden a estabilizarse alrededor de

ciertos valores.

¿Se animan?

¿QUÉ ES UNA RAZÓN? Se llama razón a la comparación matemática entre dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras:

1. Por diferencia, hallando en cuánto excede una a la otra.

2. Por cociente, hallando cuántas veces

contiene una a la otra. TIPOS DE RAZONES: RAZÓN ARITMÉTICA:

Es la comparación de dos cantidades mediante la operación de sustracción. Nos indica el exceso de una de ellas con respecto a la otra. Ejemplo: Edad de Martín es 22 años Edad de Rodrigo es 4 años

Entonces, la razón aritmética de ambas edades será: 22 – 4 = 18 años RAZÓN GEOMÉTRICA:

Es la comparación de dos cantidades mediante la operación de división. Nos indica cuántas veces contiene una de las cantidades a la otra. Ejemplo: Edad de Rosario es 28 años Edad de Aarón es 4 años

Entonces la razón geométrica de ambas edades será:

28

4 = 7 años

Valor de la razón geomètrica

Antecedente

Consecuente

Valor de la razón

aritmética

Antecedente

Consecuente



Cuando nos digan: “2 cantidades son entre sí

como 3 es a 2”, podemos plantear.

ó ó H=3k; M=2k

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (S.R.G.E)

Se denomina así al conjunto de más de dos razones geométricas que tienen el mismo valor. Ejemplo:

15 30 24 45

3 10 8 15 =

Valor de razón

35 14 42 28

40 16 48 32 =

Valor de razón Donde: a1, a2, a3, …., an : antecedentes

c1, c2, c3, .…., cn : consecuentes

k: constante de proporcionalidad

Observación

Una serie de razones equivalentes

continuas, se expresa de la siguiente

manera.

PROPIEDAD: Cada antecedente puede ser representado en función del último consecuente y la constante de proporcionalidad.

a = ek4 b = ek3 c = ek2 d = ek

En general:

= k

3

PROPIEDADES Dada la siguiente S.R.G.E

Entonces:

1.

2.

3.

4.

Último

consecuente



1. La razón aritmética de dos números es

18. ¿Cuánto suman estos números? Sabiendo que su razón geométrica es igual a 7/4.

a) 65 b) 66 c) 67 d) 68 e) 69

2. Pedro tiene 72 años y María 45 años.

¿Hace cuántos años dichas edades estaban en la relación de 4 a 7?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

3. En una fiesta, el número de varones es

al de mujeres como 7 es a 8, y el número de niños es al total como 1 es a 6. ¿Cuál es la relación entre el número de varones y el de niños?

a) 5/7 b) 4/5 c) 7/4 d) 7/3 e) 5/3

4. Dos números son entre sí como 8 es a 15.

Si la suma de la cuarta parte del menor más la quinta parte del mayor es 35, halle la suma de los dos números.

a) 147 b) 161 c) 168 d) 184 e) 198

5. El peso de un tanque es al peso del agua

como 3 es a 4. ¿Qué cantidad hay que agregar de agua, para que la relación sea de 1 a 2, si al inicio hay 8 litros de agua?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5

6. Dos números están en la relación de 6 a 13, pero al sumarle 42 a uno y restarle 42 al otro, dicha relación se invierte. Halle el doble del menor de dichos números. a) 72 b) 68 c) 65 d) 60 e) 84

7. Si: 5113

cba; Además: 11a+3b+c=568

Halle 2a + b – c

a) 48 b) 130 c) 96 d) 40 e) 88

8. Jorge tiene canicas de color azul, rojo y negro. La cantidad de canicas azules y la cantidad de canicas rojas están en la relación de 3 a 7, y la cantidad de canicas rojas y negras están en la relación de 5 a 4. Determina cuentas canicas de cada color tiene, si se sabe que tiene 234 canicas en total. a) 40; 100; 94 b) 45; 105; 84 c) 55; 105; 74 d) 60; 120; 54 e) 35; 110; 89

9. Se tiene tres números A, B y C, que son

proporcionales a los números 3; 5; y 9 respectivamente. Si el tercer numero excede al primero en 42 unidades, halle la suma de dichos números.

a) 110 b) 84 c) 56 d) 98 e) 119

10. En una granja la relación de gallinas,

pavos y patos es de 3; 5 y 6 respectivamente. Si se vende la misma cantidad de cada uno, la nueva relación sería 3; 7 y 9. ¿Cuántas aves había inicialmente, si al final quedaron 90 pavos?

a) 360 b) 180 c) 90 d) 240 e) 270

11. Si: 5

3

35

63

25

34 mn, Calcule: m+n

a) 10 b) 12 c) 15 d) 9 e) 27

12. si: kd

c

c

b

b

a; y 81

dc

ab

Calcule: 2

2

a b cE

b c d

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

13. Si: ........531

321 aaa

Además: 3871274 aaa

Calcule: 1185 aaa

a) 395 b) 415 c) 410 d) 400 e) 405

14. Si: 7

7

5

5

3

3

c

c

b

b

a

a

Además: 30622 ba . Calcule a+b+c

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50 e) 160



15. (PUCP-2002-II) Si 4

6

A

B y 9

12

B

C,

donde A+C=24, Cuál es el valor de B. a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140

16. (PUCP-2003-II) En un plano cartográfico se lee 125 km que equivalen a 2,5 cm. ¿Cuál es la medida en el plano de una distancia de 1080 km? a) 20,4 cm b) 20,7 cm c) 21,2 cm d) 21,6 cm e) 22, 4 cm

17. (PUCP-2004-I) En una fiesta se retiran

16 mujeres, quedando una mujer por cada tres hombres, luego se retiran 120 hombres quedando la misma cantidad de hombres que de mujeres. Hallar la cantidad inicial de personas. a) 240 b) 256 c) 260 d) 270 e) 280

18. (PUCP-2004-I) Luis y Miguel tienen sus

edades en proporción de 2 a 5. Miguel tiene más de 40 años pero todavía no llega a los 70 años. Hallar la edad de Luis, si la suma de sus edades es múltiplo de 5. a) 10 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

19. (PUCP-2004-I) El piso de un edificio

puede ser cubierto por 96 losetas cuadradas del tipo A o por 384 losetas cuadradas del tipo B. Hallar la relación de las longitudes de los lados de las losetas tipo A y del tipo B. a) 4: 1 b) 8: 3 c) 2: 1 d) 8: 1 e) N.A

20. (PUCP-2004-I) Una camisa se vende en

20 EUROS que equivalen a 30 SEUDOS. ¿Cuánto cuesta un pantalón en EUROS cuyo precio es de 36 SEUDOS? a) 18 b) 20 c) 24 d) 32 e) 15

21. (PUCP-2004-II) Si: a b c

b c d;

Además: a-b=12 ; b-c=6. Hallar 2 2

2

2

2

a b abM

b bc bd

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

22. (PUCP-2004-II) Las edades de Pedro y Manuel están en la relación de 3 a 7, siendo su diferencia 16 años. Hallar la edad de Pedro dentro de 5 años. a) 12 b) 13 c) 15 d) 17 e) 20

23. (PUCP-2006-II) Si se tiene un tablero de

ajedrez de 8x8, ¿cuántos cuadrados blancos debo pintar de negro para que la relación entre cuadrados negros y blancos sea de 3 a 1? Dar como respuesta la nueva diferencia entre cuadrados negros y blancos.

a) 20 b) 16 c) 32 d) 30 e) 40

24. (PUCP-2007-I) En una academia, el

número de alumnos y el número de alumnas están en la relación de 3 a 4. De los varones, los que se presenta a letras y los que se presentan a ciencias están en la relación de 2 a 3; dicha relación en las mujeres es de 3 a 5. Hallar la relación que hay entre el número de hombres que se presentan a ciencias y el número de mujeres que se presentan a letras. a) 12 : 25 b) 6 : 5 c) 18 : 25 d) 5 : 6 e)1 : 1

25. (UCH-2008-II) En 40 litros de agua

azucarada hay 12 cucharadas de azúcar. ¿Cuántos litros de agua se deben añadir para que la relación entre el volumen de agua azucarada y la cantidad de azúcar sea de 9 a 2? a) 10 b) 14 c) 16 d) 20 e) 22

26. Se tiene 2 números que están en

relación de 4 a 9. Si a uno de ellos se le agrega 39 unidades y al otro se le resta 26 unidades, ambos serían iguales. Dar como respuesta la suma de cifras del mayor de ellos.

a) 17 b) 12 c) 13 d) 5 e) 9

27. En un bidón se tiene 72 litros de una

mezcla de alcohol y agua, en la relación de 5 a 3 respectivamente. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar para que la relación sea de 9 a 10?



1. Si la razón aritmética entre A y b es 20 y

su razón geométrica es 6. Calcule la razón aritmética entre 5A y 3B.

a) 120 b) 65 c) 20 d) 24 e) 108

2. Martha tiene 40 años y su hija 6 años.

¿Al cabo de cuántos años la razón de sus edades será 3/5?

a) 5 b) 30 c) 45 d) 10 e) 12

3. Noemí y carolina tienen sus edades en la

relación de 4 a 1. Si dentro de 14 años sus edades estarán en la delación de 5 a 3, calcule la edad de carolina dentro de 10 años.

a) 20 b) 10 c) 54 d) 27 e) 14

4. En una familia hay 4 hermanos. La razón

entre las edades de los mayores y de los menores es de 5/6 y 5/7 respectivamente. Si el segundo y el tercer hermano tienen 20 y 14 años respectivamente, ¿por cuántos años es mayor el primero en comparación con el último de los hermanos?

a) 8 b) 14 c) 38 d) 10 e) 24

5. Elida y Gregorio tienen cierta cantidad de cuyes que están en la relación de 9 a 5. ¿Cuántos cuyes tiene Gregorio, sabiendo que si Elida le da 80 cuyes, ambos tendrían la, misma cantidad?

a) 360 b) 560 c) 80 d) 160 e) 200

6. Se tiene un depósito que contiene agua

y vino, se agrega 3 litros de agua y 8 litros de vino y se observa que el agua y el vino se mantienen en la misma proporción. Si al inicio había 55 litros, determina la diferencia entre el agua y el vino, al final.

a) 35 b) 15 c) 25 d) 40 e) 30

7. Si: 753

cba Y 2a + B+C = 54

Halle E = a + 2b + c

a) 58 b) 48 c) 50 d) 60 e) 302

8. Dada la serie: 432

cba, Si a+b–c = 5

Calcule (c – a )

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 9. Tres números son entre sí como 3; 5 y 9.

si se le quita 2 unidades a cada uno, se obtiene tres números que son entre sí como 4; 7 y n. Halle “n”

a) 11 b) 12 c) 9 d) 13 e) 14

10. Tres números están en la delación de 3;

5; y 7. Si el exceso del mayor sobre el menor es igual al exceso del otro número sobre 17. Calcula el mayor de los números. a) 91 b) 119 c) 126 d) 133 e) 140

11. Juan tiene lapiceros de color rojo, azul y

negro. Observa que por cada 5 lapiceros rojos hay 4 lapiceros azules, y por cada 2 lapiceros azules hay 3 negros. Si tiene 15 lapiceros rojos, ¿cuántos lapiceros de color negro tiene? a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24

12. Las edades de Enrique, Juan y Julio

están en la relación de 5; 7 y 4 respectivamente. Si la edad que Enrique tendrá dentro de 6 años y la que tuvo hace 2 años, están en la relación de 9 a 7. ¿En qué relación estarán las edades de Juan y julio dentro de 3 años? a) 5 a 4 b) 5 a 3 c) 3 a 1 d) 4 a 3 e) 6 a 5

13. sabiendo que: kdcba

1751126328

2222

Además: a – b + c = 42 Halle: a + b + c + d

a) 196 b) 216 c) 326 d) 166 e) 106



14. (UNMSM-1993) Descomponer el número 1134 en cuatro sumandos cuyos cuadrados sean proporcionales a 12, 27, 48 y 75. a) 162, 243, 324, 405 b) 161, 244, 324, 405 c) 162, 242, 325, 405 d) d)162, 243, 323, 406 e) 160, 245, 322, 407

15. (UNMSM-2002-I) Juan, Pedro y Luis

tienen dinero en cantidades proporcionales a 8, 5 y 3 respectivamente. Juan da la mitad de lo que tiene a Luis, Luis da s/.100 a Pedro, resultando Pedro y Luis con igual cantidad de soles. ¿Cuánto tenía Juan inicialmente? a) s/.500 b) s/.800 c) s/.300 d) s/.400 e) s/.700

16. (UNMSM-2004-I) La suma de dos

números excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto del mayor como 3 es a 8, el número mayor es: a) 48 b) 40 c) 32 d) 16 e) 56

17. (UNMSM-2008-II) El sueldo de Luis es al sueldo de Julio como 5 es a 3. Cierto mes por equivocación Julio recibió 720 soles más, con lo cual recibió la misma cantidad que Luis. ¿Cuánto el sueldo de Luis? a) s/.1080 b) s/.1200 c) s/.1900 d) s/.1700 e) s/.1800

18. (UNMSM-2005-II) Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es esta cantidad si por cada 7 soles que gasta, ahorra 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró? a)3200 b)6200 c)4200 d) 3800 e)4800

19. (UNMSM-2008-II) A una fiesta asisten

360 personas, entre hombres y mujeres, asistiendo 5 hombres por cada 4 mujeres; después de tres horas se retiran igual número de hombres y mujeres; quedando entonces 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas parejas formadas por un hombre y una mujer se retiraron?

a) 40 b) 80 c) 60 d) 30 e) 20 20. Los volúmenes que contienen dos

recipientes están en la relación de 5 a 8. Si agregamos 22 litros a cada uno, la nueva relación sería de 7 a 9. ¿Cuántos litros tenían al inicio cada recipiente?

a) 20 y 28 b) 21 y 26 c) 20 y 31 d) 20 y 32 e) 15 y 23

21. La suma de 3 números es 1425, la razón

del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos 600. ¿Cuál es tercero? a) 375 b) 825 c) 225 d) 425 e) 535

22. En un coral hay “N” aves entre patos y

gallinas. El número de patos es a “N” como 3 es a 7 y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas, al quitar 50 gallinas?

a) 3:2 b) 4:3 c) 2:1 d) 5:2 e) 5:4

23. Se sabe que la suma de los cuadrados de

tres números es 7444; y además el primero es al segundo como 2 a 5 y el segundo es al tercero como 3 es 8. Calcula el mayor a) 70 b) 80 c) 960 d) 24 e) 160

24. Determinar 3 números que sean

directamente proporcionales los números 10, 20 y 30; siendo el producto de los dos primeros 800.

a) 40; 60 y 80 b) 20; 40 y 60 c) 100; 8 y 95 d) 8; 100 y 85 e) 32; 25 y 15



Es la igualdad de dos razones de una misma clase. PROPORCIÓN ARITMÉTICA: Es la igualdad

de dos razones aritméticas. Las proporciones aritméticas se dividen en dos tipos: 1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA:

Cuando sus términos medios son diferentes entre sí .

2. PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA:

Cuando sus términos medios son iguales”

PROPIEDAD: PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Igualdad de

dos o más razones geométricas

Las proporciones geométricas se dividen en dos tipos: 1. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA:

Cuando sus términos medios son diferentes entre sí .

2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA:

Cuando los términos medios son iguales”

a + d = b + c

a - b = b - c

a x d = b x c

PROPIEDAD

“El producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos”

PROPIEDAD

“La suma de los términos medios es igual a la suma de los términos extremos”

a – b = c - d

Términos medios

Media diferencial o Media aritmética

Términos extremos

a - b = c - d

4ta diferencial

3ra diferencial

Términos extremos

Términos medios

4ta proporcional

http://schools-demo.clipart.com/search/close-up?oid=3867744&q=&s=31&a=c&cid=5g&fic=0






























a x d = b x c

PROPIEDAD:

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Sea la proporción: a c

kb d

Entonces se cumple que:

1. Hallar la media proporcional de 12 y 27.

a) 18 b) 16 c) 12 d) 15 e) 21 2. Hallar la cuarta proporcional de 15; 20 y

18.

a) 36 b) 21 c) 24 d) 28 e) 32 3. La media proporcional de “a” y 27 es

“b” y además “a” es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar (a - b)

a) 81 b) 162 c) 243 d) 54 e) 30

4. Si 5 es la cuarta proporcional de a, 6 y b

además b es la cuarta proporcional de a, 9 y 30, halle a + b.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 35

5. Halle la cuarta proporcional de 56, m y

n, sabiendo que m es la media proporcional de 28 y 7, y n es la tercera proporcional de 9 y 12.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. En una proporción aritmética la suma de

términos es 98 además los extremos están en la relación de 4 a 3. Calcule la diferencia de estos.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. En una proporción aritmética continua;

la suma de los extremos es 24. Calcule la media diferencial.

a) 16 b) 17 c) 14 d) 13 e) 12

8. Si “a” es la media proporcional de 5 y

45; y además “b” es la tercera proporcional de 12 y 30. Hallar la tercera proporcional de “ä” y “b”.

a) 375 b) 275 c) 150 d) 225 e) 450

Media proporcional o Media geométrica

3ra proporcional



9. Hallar la suma de la media diferencial y la media proporcional de: 25 y 49.

a) 72 b) 27 c) 15 d) 2 e) 37

10. La suma y la diferencia de dos números

están en la misma relación que los números 10 y 4 respectivamente. ¿Cuál es el mínimo valor impar de 2 cifras del mayor de los números?

a) 13 b) 17 c) 15 d) 25 e) 21

11. En una proporción geométrica la suma

de los extremos es 16, y el producto de los medios es 60. Calcula la diferencia de los extremos.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1

12. En una proporción geométrica continua,

la suma de los extremos es 20, y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7

13. El producto de los cuatro términos de

una proporción geométrica continua es 2401. Halle la media proporcional.

a) 6 b) 7 c) 11 d) 9 e) 8

14. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos

de una proporción continua, si la suma de sus 4 términos es 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los primeros términos es 3?

a) 15 b) 10 c) 14 d) 11 e) 12

15. Uno de los términos medios de una

proporción aritmética continua es 4, y uno de los extremos es la media geométrica de 4 y 9. Calcule el valor del otro extremo de la proporción.

a)2 b) 5 c) 8 d) 7 e) 3

16. En una proporción geométrica continua,

se sabe que la diferencia de los extremos es 40 y la suma de términos es 100. Calcule la suma de los extremos.

a) 59 b) 60 c) 58 d) 52 e) 80

17. En una proporción geométrica, el producto de los términos es 3600, además los términos extremos suman 16, calcule la cuarta proporcional, si es menor que 10.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

1. Hallar la cuarta proporcional de 6, 15 y

10. 2. Si la tercera proporcional de 9 y “a” es

25. Hallar la cuarta proporcional de 35 “a” y 28.

3. Hallar la tercera diferencial de 19 y 12. 4. Hallar la cuarta proporcional de: a2;

(axb); y (2b) 5. Hallar la cuarta proporcional de: a2;

(a/b); y (b2) 6. Calcular “M”, si M=T+P+D. Donde:

T: media diferencial de 12 y P P: media proporcional de 12 y 3 D: tercia proporcional de T y P

7. Se sabe que “a” es la tercera

proporcional entre 3 y 27, además la media proporcional de “a” y 27 es “b”. Halle: a+b.

8. Calcular A + B + C sabiendo que:

A , es cuarta proporcional de 8, 18 y 20 B , es tercera proporcional de A y 15 C , es media proporcional de (A+B) y (B-3)

9. Quince es la media proporcional de a y

25, 2a es la tercera proporcional de 8 y b ¿cuál es la cuarta proporcional de a, b y 15?

10. Sumándole un número constante a 20, 50 y 100 resulta una proporción geométrica, la razón común es:



11. Se tiene una proporción aritmética continua donde la suma de los cuatro términos es 72. Halle el valor de la razón de la proporción sabiendo que los extremos son entre sí como 7 es 2.

12. En una proporción geométrica continua

la suma de los extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16. Calcule la suma de los cuatro términos de la proporción.

13. En una proporción aritmética, el

segundo y último término suman 14, mientras que el primer y tercer término suman 26. Calcule la suma de los extremos.

a) 26 b) 24 c) 20 d) 22 e) 16

14. En una proporción aritmética continua,

la suma de los extremos es 24. Calcule la media diferencial.

a) 12 b) 14 c) 4 d) 16 e) 18

15. ¿cuál es el valor de (m+n)? Si “m” es la

tercia proporcional de 40 y 601 y “n” es la tercia diferencial de 29 y 18.

a) 97 b) 80 c) 82 d) 96 e) 48

16. En una proporción geométrica, el

producto de sus términos es 3600, además los términos extremos suman 16. Calcula la cuarta proporcional, si es menor de 10.

a) 18 b) 6 c) 2 d) 5 e) 14


la suma de los dos primeros términos es 24 y la suma de los dos últimos es 40. Calcule el producto de los términos medios.

a) 225 b) 155 c) 250 d) 5 e) 180

18. en una proporción cuya razón es 3/5 se

cumple que la suma de los términos de cada razón es 40 y 56 respectivamente. Halle la suma de los términos medios.

a) 47 b) 60 c) 21 d) 46 e) 25

19. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 15 y su diferencia es 9. ¿Cuál es la medida proporcional?


el producto de sus cuatro términos enteros positivos es igual a 1000. Determine la media proporcional.

Sabías que……..

El primer elemento de cálculo fue la mano del hombre, luego creó el ábaco, con el que se podía contar en distintas bases (año 3000 (a.n.e) y que entre 1939 y 1944, se diseñó la primera calculadora.

¿Qué es un año luz?............

Un año luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz recorre en un año, digamos que la velocidad de la luz es 300000 km/seg. El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18000000 kilómetros por minuto. Luego, nuevamente multiplicado por 60, lo transforma en 1080000000 kilómetros por hora (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicado por 24 resulta que la luz viajó 25920000000 (veinticinco mil novecientos veinte millones de kilómetros en un día). Finalmente, multiplicado por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9460000000000 (casi nueve billones y medio) de kilómetros. De tal manera que cada vez que te pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi de nueve billones y medio de kilómetros.

Es bien lejos……………………!!!!!

EXTARIDO DE: MATEMÁTICA… ¿ESTÁS AHÍ? (ADRIÁN PAENZA)



¿El promedio sirve para describir el representante “medio” de un grupo?

La mayoría de nosotros usa el promedio continuamente. Para calcular la nota media de un alumno, por ejemplo. Cuando nos indican que el hombre medio mide 1,78 metros, enseguida creemos que es el ciudadano típico. Sin embargo, esto es un error. El promedio no describe exactamente al representante “medio” de un grupo. Al menos no siempre. Así pues, hay que distinguir entre la media aritmética y la mediana, lo cual nos puede permitir ser mucho más justos en nuestras valoraciones. Media aritmética: sumamos todos los valores y dividimos el resultado entre la cantidad de valores. Lo malo de esta media es que es muy sensible a los valores excéntricos, es decir, a los valores que se desvían mucho del promedio. Un único habitante con ingresos millonarios puede empujar al alza la renta

media de una aldea mayoritariamente pobre, por ejemplo. Mediana: buscamos al representante “medio” del conjunto. Por ejemplo, en una empresa, el trabajador medio según su salario será el trabajador que gana más que una mitad de la plantilla y menos que la otra mitad. La mediana, pues, refleja mucho mejor la realidad, pues es menos sensible a los “excéntricos”.

El promedio de un conjunto de datos es un valor que representa a los de datos de dicho conjunto.

PROMEDIOS MÁS IMPORTANTES MEDIA ARITMÉTICA o PROMEDIO

ARITMÉTICO ( ).- Es el promedio más utilizado, su cálculo se realiza de la siguiente manera:

OBJETIVOS:

Identificar a los promedios más importantes.

Utilizar los promedios más importantes en el estudio de situaciones problemáticas de su entorno real.

Identificar las magnitudes que nos rodean.

Determinar en qué forma se relacionan un conjunto de magnitudes y expresar matemáticamente dicha relación.

Reconocer las propiedades que cumplen las magnitudes proporcionales.



Ejemplo: A continuación se muestra las notas de aritmética que obtuvo Rodrigo en los tres bimestres.

¡Veamos si Rodrigo aprobó el curso de

matemática!

12 10 08 11 4110,25

4 4

NO APROBÓ…!!!! 1. Hallar la media aritmética de: 2, 4, 6,

14 y 22. 2. Halle el promedio aritmético de las

temperaturas de 7 ciudades del norte de nuestro país.

CIUDAD TEMPERATURA

Cajamarca Chiclayo Piura Tumbes Iquitos Ica Puno

26° 28° 33° 31° 27° 25° 5°

3. A un paseo asisten 5 niñas y 6 niños. Si

cada uno de ellos lleva cierta cantidad de dinero, halle la cantidad promedio de dinero por grupo de niñas y niños. Se sabe lo siguiente: Niñas: s/.11; s/.14; s/.17; s/.20; s/.23

Niños: s/.8; s/.14; s/.20; s/.26; s/.32; s/.3

4. El chofer de una empresa de transporte realizó durante la semana cuatro recorridos a nivel nacional. Halle el recorrido promedio, si se conoce la siguiente información.

RUTA DISTANCIA

Lima – Huancayo Huancayo – Huancavelica Huancavelica – Ayacucho Ayacucho - Abancay

298km 147km 245km 367km

CURSO BIMESTRE

I II III IV

Aritmética 12 10 08 11

PRACTIQUEMOS

Rodrigo OBSERVACIÓN :

Para determinar la variación que

experimenta el promedio aritmético de un conjunto de datos, sólo es necesario considerar el incremento o disminución de los datos.

PROMEDIO PONDERADO ( ).- es

un caso particular del promedio aritmético. Se utiliza cuando los datos tienen un “peso” o se repiten varias veces en el conjunto de datos.

Donde: Datos : a1; a2; a3; …….; an Pesos : p1; p2; p3; …….; pn



1. Al finalizar el primer ciclo un estudiante

de la facultad de química, recibe su record académico que a continuación se muestra:

Curso Número de créditos

Nota

Matemática I 4 11

Química I 5 10

Física I 4 12

Redacción 3 15

Calcule el promedio ponderado.

2. En un grupo de estudiantes del colegio “Virgen de Guadalupe” hay 32 alumnos que tienen 12 años; 20 alumnos tienen 14 años; 30 alumnos tienen 15 años y 18 tienen 16 años. ¿Cuál será la edad promedio?

MEDIA GEOMÉTRICA o PROMEDIO

GEOMÉTRICO .- Es el segundo promedio más utilizado, generalmente nos permite promediar índices porcentuales y tasas de crecimiento. Su cálculo se realiza de la siguiente manera:

Observa el siguiente ejemplo:

Hallar MG de los números 1, 3, 9.

= 3279x3x1 33

1. Hallar MG de 2, 4, 8 2. En una comunidad campesina se ha

observado el crecimiento poblacional de las vicuñas en los tres últimos años. Halle la tasa promedio anual de crecimiento.

Año 2007 2008 2009

Crecimiento 4% 9% 6%

3. Los índices de precio al consumidor (IPC)

durante 4 meses en nuestro medio fueron los siguientes. Halle la inflación promedio de los 4 primeros meses.

Enero febrero Marzo Abril

Inflación 0,2% 0,36% 0,75% 0,15%

MEDIA ARMÓNICA o PROMEDIO

ARMÓNICO .- Es la inversa de la,

de las inversas de los datos. Ejemplo: Halle la media armónica de 3; 4 y 5

PROPIEDADES PARA UN CONJUNTO DE DOS O MÁS

DATOS: Si dichos datos son iguales Si los datos no son iguales

SOLO PARA DOS DATOS (a y b):

Son 3 números

Se multiplica los números

PRACTIQUEMOS

PRACTIQUEMOS



Para lo cual se cumple:

1. Si la MA x MH = 100. ¿Cuánto vale MG?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) N.A. 2. Hallar la media armónica de 2 y 4.

a) 16/7 b) 16/6 c) 16/8 d) 10/2 e) N.A.

3. Si: MG = 10 y MH = 20. ¿Cuánto vale la MA?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.

4. Halle el promedio geométrico de 4, 8, 16

y 1/32

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) N.A.

5. El producto de la media armónica y la media aritmética de 2 números enteros es igual al triple de la media geométrica de ellos. Hallar el producto de los números.

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

6. Si MA x MH de A y B = 196 y MA x MG de

A y B es 245. ¿Cuál es la diferencia entre A y B?

a) 25 b) 24 c) 23 d) 22 e) 21

7. El promedio de 38 números consecutivos

es 35 el menor de ellos es:

a) 18,5 b) 16,5 c) 22 d) 21,5 e) N.A.

8. De 500 alumnos de un colegio cuya estatura promedio es de 1,67 m 150 son mujeres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es de 1,60 m. ¿Cuál es el promedio aritmético de la estatura de los varones de dicho grupo?

a) 1,7 b) 1,59 c) 1,71 d) 1,75 e) N.A.

9. El promedio de 4 números es 75, al

aumentar un quinto número, el nuevo promedio disminuye en 10 unidades. Entonces el quinto número es:

a) 20 b) 05 c) 32 d) 14 e) 30

10. Sean los números a y b. Calcule MH

MG ,

si a = 4b

a)4 b) 2 c) 2/3 d) 5/4 e) 1/2 11. La edad promedio de 6 personas es 54

años. Si ninguno de ellos es mayor de 60 años, entonces la mínima edad de uno de ellos es:

a) 29 b) 23 c) 25 d) 28 e) 18

12. En la progresión aritmética:

9; 15; 21; 27;………….; a; b; c

144,baMA . Halle la MA de todos los

términos de la progresión.

a) 48 b) 54 c) 81 d) 62 e) 78 13. El promedio geométrico de 3 números

pares consecutivos es 3 154 , entonces la

suma del menor y mayor de ellos es.

a) 15 b) 24 c) 21 d) 25 e) 20

14. Se desea saber cuántos términos tiene la sucesión: 2; 4; 8; 16;………., si el promedio geométrico de todos sus términos es igual a 2048.

a) 27 b) 21 c) 16 d) 26 e) 23

15. Para dos números a y b se cumple que:

245

196

MAxMG

MHxMA

Halle la razón geometría de a y b.

a) 4:3 b) 5:2 c) 6:5 d) 4:1 e) 5:3

(MG)2 = MA x MH



16. Si la MG de dos números es 610 . Si

la MA y la MH son dos números consecutivos. Halle el mayor de los números.

a) 500 b) 458 c) 620 d) 520 e) 400

17. De 500 alumnos de un colegio cuya

estatura promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de éstas es 1,60m, calcule la estatura promedio de los varones de dicho grupo.

a) 1,58 b) 1,60 c) 1,62 d) 1,68 e) 1,61

18. 26.- La media armónica de dos

cantidades es 72/13, su media aritmética es 6,5. ¿Cuál es su media geométrica.

19. Se tiene 4 números enteros

consecutivos. Se seleccionan 3 cualquiera de ellos y se calcula su media aritmética, a la cual se le agrega el entero restante y resulta 29. Repitiendo el proceso tres veces más se obtiene como resultados 23; 21 y 17. Determine la suma de los 4 números.

20. sean a y b dos números enteros. Si el

producto de la media aritmética con su media armónica es igual al doble de su media geométrica. Halle el menor valor de (a+b)

21. El promedio de 50 números es 38, siendo

45 y 55 dos de ellos. Eliminando estos dos números halle el promedio de los restantes.

22. La media aritmética de 15 números

pares de dos cifras es 24, y de otros 20 números pares también de 2 cifras, es 66. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de dos cifras no considerados?

23. En una aldea, la suma de las edades de

sus pobladores es 1620, siendo la edad promedio 18 años. Pero, si cada hombre tuviera 4 años más y cada mujer 2 años menos, la edad promedio aumentaría en un año. Halle la relación entre el número de hombres y el de mujeres.

24. (UNFV-2003) Un automovilista viaja de A hacia B a 150 km/h y de B hacia M a 100 km/h. calcular la velocidad media utilizada desde a hasta M.

a) 120 km/h b) 105 km/h c) 125 km/h d) 115 km/h e) 110 km/h

25. (UNFV-2004) Si la media armónica de dos números es a su media geométrica como 12 es 13. Hallar la razón entre dichos números. a) 2/3 b) 12/13 c) 9/4 d) 4/9 e) 3/2

26. (PUCP-2002-II) El promedio de edades de 5 personas es 18 años. Dos de ellos se van de viaje y le promedio de los tres que quedan es 20. ¿Cuál es promedio de las dos personas que se van? a) 14,5 b) 15 c) 15,5 d) 16 e) 17

27. (PUCP-2002-II) El promedio de edades de m personas es 14 años, el promedio de otras n personas es 12, y el promedio de las (m+n) personas es 13. Hallar m/n a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2/3 e) 2

28. (PUCP-2003-I) La edad promedio de 20 niños es 11 años y de otros 30 niños es 6 años. Hallar el promedio de las edades de los 50 niños. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e)N.A

29. (PUCP-2003-II) El promedio de 10 números es 17, pero por error un número se consideró 5 siendo 15. Halle el verdadero promedio. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) No se puede calcular.

30. (PUCP-2004-I) El promedio de 12 números enteros positivos diferentes es 12. Hallar el máximo que puede tomar el mayor de los números. a) 78 b) 66 c) 88 d) 64 e) 68



1. El mayor promedio de 2 números es 21 si la diferencia entre ambos números es 12. ¿Cuál es el número menor?

a) 10 b) 12 c) 15 d) 21 e) N.A.

2. Hallar 2 números sabiendo que su media

aritmética es 5 y su media armónica es 24/5.

a) 7 y 3 b) 8 y 2 c) 6 y 4 d) 6,8 e) N.A.

3. Las edades de 4 hermanos son

proporcionales a 2, 3, 4, 5. Hallar la edad del menor si el promedio de todas las edades es 21.

a) 12 b) 30 c) 14 d) 10 e) N.A.

4. Si el promedio de 3 números

consecutivos es 14. Hallar el mayor de ellos: a) 1 b) 15 c) 5 d) 13 e) N.A.

5. El mayor promedio de 2 números es 25 si

la diferencia de los números es 12: ¿Cuál es el menor de los números?

a) 20 b) 19 c) 31 d) 40 e) 22

6. El P.A. de 5 números es 12 si uno de

ellos es 20. ¿Cuál es el P.A. de los otros cuatro es?

a) 12 b) 10 c) 8 d) 9 e) N.A.

7. La media aritmética de 2 números es 6 y

su media geométrica es 4 2 . Hallar el mayor de los números.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

8. Calcular el promedio aritmético de:

12, 14, 16 ……… 50

a) 26 b) 3 c) 34 d) 28 e) N.A.

9. Halle “n” si el promedio geométrico de: 21 . 22 . 23 . 24 … 2n es 64.

a) 8 b) 13 c) 11 d) 10 e) N.A.

10. 1El promedio de 5 números es 100. Al

aumentar un sexto número, el promedio aumenta en 15. Determine el sexto número. a) 150 b) 190 c) 120 d) 140 e) 185

11. la MA de dos números es 8, y la MH de los mismos números es 6. Determine

la MG de dichos números.

a) b) 4,2 c) d) e) 2,5 12. la edad promedio de 4 personas es 45

años. Si ninguno de ellos es menor de 40 años, entonces la máxima edad que puede tener uno de ellos es:

13. determine la MA de los términos de la siguiente sucesión: 5; 8; 11; 14; ………; 83; 86.

14. En qué relación están la MA y la MH

de dos números, sabiendo que la MA es

a la MG como 5 es a 3. 15. El promedio aritmético de 6 números

distintos es 8. El promedio de otros 8 números también distintos es 6. Halle el promedio de los 14 números.

16. en la siguiente progresión aritmética:

15; 18; 21; 24; ………….. ; x; y; z. El

promedio de x e y es 73,5. Halle la MA de todos los términos de la progresión.

17. En qué relación están la media

aritmética y la media armónica de dos números sabiendo que, la media aritmética es a la media geométrica como 5 es a 3.

18. La diferencia de dos números es 7, y la

suma de su media aritmética y su media geométrica es 24,5. Halle la diferencia entre la media aritmética y la media geométrica.

19. Un empleado va a su trabajo en la

mañana a una velocidad de 60km/h, y regresa por la misma vía a una velocidad



de 30km/h debido a la congestión del tránsito. ¿Cuál es la velocidad promedio de su recorrido total?

20. El mayor promedio de 2 números es 21.

Si la diferencia entre ambos números es 12. ¿Cuál es el número menor?

a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 21

21. Hallar 2 números sabiendo que su media

aritmética es 5 y su media armónica 24/5.

a) 7 y 3 b) 8 y 2 n c) 6,5 y 3,5 d) 6 y 4 e) 5 y 4, 5

22. Se sabe que el promedio aritmético de 2

números es 12 y el P.H. es 3. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 2 números?

a) 6 b) 7 c) 4 d) 8 e) 23

23. (UNFV-2007) Había 5 loros en una jaula, su costo promedio era s/.600. Un día escapó un loro y entonces el costo promedio de los 4 loros que quedaron fue de s/.500. ¿Cuál era el precio del loro que escapó? a) s/.100 b) s/.200 c) s/.550 d) s/.600 e) s/.1000

24. (UNFV-2008-II) El cociente de dos

números es 4, siendo la diferencia entre su media aritmética y geométrica la unidad. Determine su media armónica. a) 3,2 b) 4,1 c) 3,1 d) 4 e) 5,2

25. (PUCP-2004-II) En un salón de 30 alumnos: I. Si aumentamos dos puntos a cada

uno el promedio aumenta en 2/30. II. Si la suma de las notas es 390 y a los

15 primeros se le quita 3 puntos, el promedio sería 11,5.

III. Si a los 15 primeros se le aumenta un punto y a los 15 restantes se le quita un punto, el promedio no varía.

Son ciertas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y III

26. (PUCP-2005-I) El promedio de las

edades de los profesores e instructores es de 40 años. Si el promedio de las

edades de los profesores es 50 años y de los instructores 35 años, hallar en qué relación se encuentran la cantidad de profesores e instructores en ese orden. a) 2 : 1 b) 2 : 3 c) 3 : 2 d) 3 : 5 e) 1 : 2

27. (PUCP-2005-I) la media aritmética de

tres números es 3. Si los números están en la relación de 1; 2 y 3, calcular el mayor de ellos. a)1, 5 b) 3 c) 4,5 d) 2 e) 1

28. (PUCP-2005-I) Un auto entra a una

cochera cada tres minutos y sale también un auto cada siete minutos. ¿Cuál el promedio de entrada de cada auto? a) b) 3 c) 4,5 d) 2 e) 1

29. (PUCP-2006-II) En una clase de 12

alumnos, el promedio de los seis más aplicados es (n+4) y el de los restantes es (n-4). Si el promedio del tercio superior e inferior es igual a “n” y “n+1” respectivamente, halle el promedio del otro tercio. a) 4(n-2) b) n+1 c) n-1 d) 4n-1 e) n-2

30. (LA CANTUTA-2004-I) El promedio de 5

números es 32. Si agregamos un sexto número, el nuevo promedio es 35. ¿Cuál es este último número? a) 40 b) 45 c) 50 d) 60 e) 67



“EL PROBLEMA DEL JOYERO” (EXTRAIDO Y MODIFICADO DE “EL HOMBRE QUE

CALCULABA” DE MALBA TABAN)

Un joyero contaba a su amigo, que Cierta vez en uno de sus tantos viajes por el interior del país se hospedó en un hotel llamado “5COMENTARIOS”. El dueño del hotel se llamaba José y había sido empleado de su padre. Conversando con él para pagarle por el hospedaje decidí proponerle lo siguiente:

- “Te daré 20 dólares si vendo mis joyas por 100 dólares, y te daré 35 dólares si los logro vender todo por 200 dólares”. Estando de acuerdo el dueño del hotel aceptó mi propuesta que le hice, pero al cabo de varios días de ir y venir de aquí para allá, vendí todo en 140 dólares, a lo cual me hice la siguiente pregunta:

- ¿Cuánto debo pagar por concepto de hospedaje, teniendo en cuenta lo que le propuse al dueño del hotel? Al momento de pagar, le dije al dueño del hotel

- Te debo pagar apenas 24 dólares y medio – le dije - Si vendiendo a 200 pagaría 35, vendiendo a 140 debo pagar 24 y medio.

- Está equivocado – reclamó irritado el

dueño del hotel - según mis cálculos son 28.

Vea usted: si por 100 debía pagarme 20 dólares, por 140 debo recibir 28 dólares. Ante esta discordia que había entre el dueño del hotel y yo, llamamos a un “gran matemático” conocido del lugar, para que nos pueda resolver el inconveniente.

- Calma, mis amigos – nos dijo el

matemático- es preciso aclarar las dudas con calma y serenidad, la precipitación conduce al error y a la discordia. Los resultados que ustedes indican están equivocados, según voy a demostrarlo: Y aclaró el caso del siguiente modo:

- De acuerdo con la combinación hecha por acuerdo de ustedes, el joyero debería pagar 20 dólares si vendiese sus joyas por 100 dólares, y se vería obligado a pagar 35 si las vendiese en 200 dólares. Tenemos así:

- Observen que a una diferencia de 100 dólares en el precio de venta, corresponde una diferencia de 15 en el precio del hospedaje. ¿Está claro esto?

- Claro como el agua – asentimos ambos.

- Ahora – prosiguió el matemático -, si un aumento de 100 dólares en la venta produce un aumento de 15 dólares en el hospedaje, un aumento de 40 dólares (que es los dos quintos de 100) debe producir un aumento de 6 (que es los dos quintos de 15) a favor del dueño del hotel. El pago que corresponde a los 140 dólares es, pues, 20 más 6, o sea, 26 dólares.

Precio de venta

Precio hospedaje

200 35 100 20

Diferencia: 100 15

Proporción planteada por mí 200 : 35 = 140 : x Donde: x = 24,50

Proporción planteada por el dueño del hotel

100 : 20 = 140 : x Donde: x = 28

Proporción planteada por el matemático 200 : 35 = 140 : x

Donde: x = 26



Y dirigiéndose a mí, me dijo:

- Mi amigo. Los números, a pesar de su simplicidad aparente, no es raro que nos engañen, aun al más capaz. Las proporciones, que nos parecen perfectas, nos conducen, a veces, al error.

- Tiene usted razón – le dije al matemático

- reconozco que mi cálculo estaba equivocado. Dicho esto, saqué de mi bolsillo 26 dólares y le entregó al dueño del hotel, ofreciéndole como presente al talentoso matemático un hermoso anillo de oro de 14.

¿QUÉ ES UNA MAGNITUD?

Es todo aquello que experimenta cambios o variaciones, el cual puede ser medido mediante un instrumento de medición. Ejemplos de magnitudes: La velocidad la longitud el volumen La densidad la temperatura el área el tiempo; etc

RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D.P)

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud también aumenta en forma proporcional.

Un kilogramo de avena cuesta Ejemplo:

s/.0,80. ¿Cuánto pesan 7 Kilogramos? Elaboremos un cuadro con algunos valores Observa que:

1 2 5 7.

0,8 1,6 4 5,6cte

INVESTIGANDO UN POQUITO MÁS!!!

Analizando este problema mediante la teoría de

las interpolaciones, el resultado riguroso no es 26.

En efecto, observemos que para una venta de 200

el pago era 35, es decir el 17,5 % del precio de

venta; y que para una venta de 100 el pago era de

20, es decir el 20% del precio de venta. Para cada

unidad de aumento en la venta corresponde una

disminución en el pago, de un [(20-17,5):100]%.

Para 40 dólares de aumento en la venta

corresponderá, pues, una disminución en el pago,

de un (0.025X40)%=1%. El pago que corresponde

a 140 es, pues, el (20-1)%=19% del precio de

venta, o sea,

140 x 19:100=26,6

y no 26 como indicó nuestro protagonista

INTERESANTE!!!!!



GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES D.P. De la gráfica se observa que

Kb

a...

b

a

b

a

n

n

2

2

1

1

MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES (I.P.)

Dos magnitudes serán I.P. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores de la otra disminuye o aumentar en la misma proporción respectivamente.

Un automóvil que lleva una Ejemplo:

velocidad de 60 km/h tarda 4 horas en ir del punto A al punto B. ¿Cuánto se demorará si su velocidad la duplica?

Elaboremos un cuadro con algunos valores

Velocidad 60 120 15 ... 48

Tiempo 8 4 32 ... 10

Observa que:

60x8 = 120x4 = 15x32 = …… =cte.

GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES I.P. De la gráfica se observa que: a1xb1 = a2xb2 = a3xb3 = …… = anxbn

EN GENERAL: Si “A” es D.P a “B”

Entonces:

A

b1 b2 b3

a1

a2

a3

Recta

Si: A (D.P.) B = k

B

V = 60 km/h

Tarda 8 horas

A

V = 120 km/h

Tarda 4 horas

Llegada

Llegada

B

Hipérbola Equilátera

b1 b2 bn

an

a2

a1

Si A (I.P.) B A . B = K

EN GENERAL: Si “A” es I.P a “B” Entonces: A x B = Cte.



PROPIEDADES

I. Si: A I.P B → B D.P A

Si: A D.P B → A I.P B

II. Si: A I.P B → A D.P (1/B)

Si: A D.P B → A I.P (1/B)

III. Si: A D.P B → An D.P Bn

Si: A I.P B → An I.P Bn

IV. Si: A D.P B

A I.P C

A D.P D

A I.P E

Entonces:

Ejemplo: Para tres magnitudes A, B y C se tiene:

A DP B ; (C: cte.)

A DP C2 ; (B: cte.) Si A se triplica y B aumenta en 11 veces su valor, el valor de c queda multiplicado por:

1. Comparar las siguientes magnitudes:

(Nº de obreros) ........ (Obra) (Nº de obreros) ........ (Eficiencia) (Nº de obreros) ........ (Nº de días) (Nº de obreros) ........ (Horas diarias) (Nº de objetos) ………… (Precio) (Tiempo) ………… (Salario) (Masa) ………… (Peso) (Velocidad) ………… (Tiempo) (Obra) …………… (Dificultad)

2. El cuadrado de “A” varía proporcionalmente al cubo de “B”, si A=3, B = 4. Hallar B, cuando A es igual a

3

3 .

a) 2/3 b) 5/3 c) 4/3 d) 8/2 e) N.A.

3. Se tiene que “A” es D.P. a “B” si A = 10,

cuando B = 4. Hallar “B”, cuando A = 8.

a) 1 b) 2 c) 8 d) 4 e) 16 4. “A” es I.P. a “B”, si A = 20 entonces

B=30. Hallar “A”, cuando B = 50.

a) 10 b) 12 c) 8 d) 16 e) 20 5. Si “A” varía D.P. a “B” y cuando A = 800,

B = 250. Hallar “A” cuando B = 75.

a) 240 b) 350 c) 500 d) 800 e) N.A. 6. Del siguiente gráfico, hallar: x/y

a) 15 b) 16 c) 17 d) 14 e) 32

7. Si la magnitud F es D.P. al cubo de T.

Completar el siguiente cuadro y dar como respuesta el valor de m + p

F m 625 40

T 4 P 2

a) 325 b) 165 c) 720 d) 850 e) N.A.

8. Del siguiente gráfico, hallar “a + b”

a) 15 b) 17 c) 19 d) 28 e) 16

9. Se tiene la siguiente tabla de valores

para las magnitudes A y B. Calcule: m+n

A 36 m 324 9 4

B 6 3 2 12 n

Para sus valores:

4 10 B

A

15

12

3y

5 10 3b

(a2-1)

24

10



a) 142 b) 140 c) 160 d) 162 e) 156 10. Se tiene dos magnitudes A y B que son

IP, de tal manera que cuando A aumenta 10 unidades, B varía en ¼ de su valor. ¿Cómo varía B, cuando A disminuye 10 unidades?

a) Aumenta en ¼ b) disminuye ½ c) aumenta ½ d) disminuye ¼ e) sigue igual

La magnitud A es IP a 2B . Las

variaciones de A y B están dadas en la siguiente tabla de valores: Calcule: a+b+c

A 3 a c 144 9

B 6 2 b a

11. El precio de un diamante es DP al

cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 13 gramos cuesta s/.1859, calcule el precio de un diamante que pesa 20 gramos.

a) s/.4000 b) s/.4800 c) s/.4040 d) s/.8200 e) s/.4400

12. Calcular: x+y, si A y B son magnitudes, y

además se cumple que:

A 3 12 27 x 75

B 2 4 6 8 y

a) 25 b) 42 c) 78 d) 58 e) 48

13. Se tiene el siguiente cuadro de valores

de las magnitudes A y B. Calcule: m + n

A 2 m 54 128 250

B 60 30 20 15 n

a) 17 b) 25 c) 28 d) 31 e) 27

14. Si A es DP con 2B e IP a C . Cuando

A=4, B=8 y C=16. Calcule A, cuando: B=12 y C=36.

a) 6 b) 8 c) 12 d) 10 e) 24

15. Si se cumple que:

A DP B (C: constante)

A IP C (B; constante)

Además: Calcula el valor de “x”

a) 3 b) 9 c) 8 d) 12 e) 6

16. Dadas las magnitudes A, B y C, donde:

A DP B (C: constante)

B IP 3C (A: constante). Si: A = 6; B = 8 y C = 3. Calcule B, cuando A = 12 y C = 1.

a) 864 b) 810 c) 854 d) 972 e) 872

17. La longitud de un resorte es 8cm., y si

soporta un peso de 50g, su longitud es 10 cm. Calcula la longitud que tendrá el resorte, si éste soporta un peso que es el doble del anterior, sabiendo además que la elongación es DP al peso que soporta.

a) 9 b) 12 c) 10 d) 6 e) 13

18. En una fábrica se observa que la

producción es D.P al número de obreros e I.P a la raíz cuadrada de sus años de servicio. Inicialmente había 15 obreros con 9 años de servicio y se contratan 8 obreros más con 4 años de servicio cada uno. Determine la relación entre lo producido antes con lo producido actualmente.

a) 1/9 b) 2/9 c) 3/7 d) 5/9 e) 5/7

19. El precio de un metal varía DP al

cuadrado de su peso. Si dicho metal se parte en tres trozos que son proporcionales a 1; 2; y 3; el precio disminuye en 286 soles. Calcula el precio del metal al inicio.

a) s/.416 b) s/.468 c) s/.540 d) s/.728 e) s/.568

20. En un pueblo el precio del café es D.P al

precio del azúcar e I.P al precio del té. ¿En qué tanto por ciento varía su precio, cuando el precio del té sube un 20% y del azúcar baja en 10%?

a) 25% b) 30% c) 18% d) 40% e) N.A

A 8 5

B 3 30

C 2 X



21. Suponiendo que el apetito de una persona es D.P a su estatura e I.P a su estado de ánimo. Si Hugo mide 1,80m y cuyo estado de ánimo es 4 puntos, se come 18 sándwich. Halle cuántos sándwich se comerá Walter que mide 1,20m y su estado de ánimo es de 6 puntos.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) N.A

22. El gasto de una persona es D.P a su

sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de 900 soles ahorra 90 soles, ¿cuál será su sueldo cuando su gasto sea 1260 soles?

a) 800 b) 1000 c) 860 d) 1200 e) N.A

23. Se sabe que “A” es D.P con el cuadrado

de “B” y con el cubo de “C”, e I.P con la raíz cuadrada de “D”. En base a esta información, del cuadrado. Calcular: x+y

a) 123 b) 142 c) c) 11 d) d) 9 e) e) 87

1. Compara las siguientes magnitudes. (Ganancia) ............ (Obra) (Ganancia) ............ (Tiempo) (Sueldo) ……………… (Obra) (Sueldo) …………….. (Tiempo) (Sueldo) …………….. (Nº de faltas) (Eficiencia) …………….. (Tiempo) (Obra) …………….. (Dificultad) (Distancia) …………….. (Tiempo)

2. Si las magnitudes “P” y “Q” son I.P.

Hallar a + b

P 4 b 12

Q a 10 5

a) 25 b) 21 c) 32 d) 41 e) N.A.

3. Si A varía D.P. con B. Cuando A = 15, B=6. ¿Cuánto vale B, si A = 18?

a) 10 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7.2

4. Del siguiente gráfico, Hallar: a x b

a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) N.A.

5. Del siguiente gráfico, Hallar: “x2 + y2”

a) 61 b) 50 c) 70 d) 80 e) N.A.

6. Del siguiente gráfico, Hallar el valor de

“x”

a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4

7. Si A es D.P. a B2 y cuando A=81, B=12. Hallar el valor de A cuando B = 64.

a) 20 b) 16 c) 24 d) 12 e) 15

8. Si 3 A es I.P. a B2 y cuando A = 8, B = 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 1?

a) 4 b) 2 2 c) 2 d) 4 2 e) N.A. 9. se tiene la siguiente tabla de ciertos

valores de las magnitudes A y B. Calcule la media proporcional entre m y 2n

A 36 m 324 9 4

B 6 3 2 12 n

a) 225 b) 3 c) 240 d)3 e) 236 10. El precio de un diamante es proporcional

al cuadrado de su peso. Un diamante de

5 8 5b

2a

25

10

10 20 5y

90

60

x2+5

A X 108 324

B 5 2 4

C 2 3 Y

D 25 9 16

4 X(x+1)

18

6



48000 dólares se rompe en dos partes cuyos pesos están en la relación de 1 a 3. Halle la pérdida sufrida al romperse el diamante. a) $1000 b) $12000 c) $18000 d) $6000 e) $20000

11. La velocidad del sonido en el aire es D.P a la raíz cuadrada de la temperatura. Si la velocidad del sonido a una temperatura de 16°C es 340 m/s. ¿Cuál será la velocidad del sonido en un medio cuya temperatura es 25°C?

a) 400m/s b) 625 m/s c) 440 m/s d) 420 m/s e) 425 m/s

12. El siguiente cuadro muestra los valores

de las magnitudes M y n que guardan cierta relación de proporcionalidad. Determine a+b.

a) 32 b) 45 c) 52 d) 28 e) N.A

13. Se sabe que A y B son magnitudes que

guardan cierta relación de proporcionalidad .según esto determinar x + y

a) 12 b) 45 c) 52 d) 44 e) N.A

14. Se sabe que X es DP al cuadrado de P y con el cubo de V e IP a la raíz cuadrada de Z. en base a esta información calcule (a + b)

a) 153 b) 143 c) 133 d) 123 e) 113

15. Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a C2. Si A = 3 cuando B = 36 y C = 8. Hallar B cuando A = 6 y C = 4.

a) 4 b) 6 c) 16 d) 36 e) N.A.

16. “P” varía D.P. a “Q” e I.P. a “R” cuando Q = 240 y R = 600 entonces P=30. Hallar “P” cuando Q = 500 y R=150.

a) 250 b) 300 c) 500 d) 750 e) N.A.

17. A es D.P. a B e I.P. a C. Hallar “A” cuando B = 10 y C = 5. Si cuando B = 20, C = 15 y A = 2.

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.

18. Si M es D.P a B2 e I.P. a 3 C . Calcular el valor de M cuando B = 2 y C = 64, si se sabe que cuando M = 16, C = 216 y B = 6.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 13 e) N.A.

19. Si A es D.P. a B2 y D.P. a C . Hallar A cuando B = 2 y C = 25, si cuando B = 5 y C = 16; A = 15

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.

20. Ivonne descubre que los gastos que hace

en celebrar su cumpleaños es D.P al número de invitados e I.P a las horas que dura la reunión. Si la última vez gastó 1200 soles, invitando a 100 personas, y durando la reunión 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando a 20 personas menos y demorando 4 horas más? a) 480 b) 300 c) 120 d) 260 e) 360

21. El precio de un libro varía D.P al número

de páginas e I.P al número de ejemplares. Cuando el número de ejemplares es 2700, ahora el precio es 15 soles y el número de páginas es 360. Calcula el precio cuando los libros tienen 240 hojas y se imprimen 3000 ejemplares.

a) s/.5 b) s/.9 c) s/.10 d) s/.12 e) s/.18

22. El precio de una casa es D.P al área e I.P

a la distancia que lo separa de Lima. Si una casa ubicada a 75km de Lima cuesta 45000 soles, calcule el costo de una casa del mismo material, si su arrea es el triple y se encuentra a 450 Km. de Lima. a)s/.45000 b) s/.22500 c)s/.11250 d) s/.90000 e) s/.18000

M a 8 24 16 80

N 275 11 b 44 1100

A 5 20 80 x 45

B 3 6 12 21 y

X a 108 324

P 5 2 4

V 2 3 b

Z 25 9 16



LOS OCHO PANES (ADAPTADO DE “EL HOMBRE QUE CALCULABA” DE

MALBA TABAN)

Cuenta la leyenda que dos viajeros con sus camellos en su trayecto por el desierto encontraron aun pobre viejo herido, el cual había sido asaltado por un grupo de delincuentes, quienes se habían llevado sus pertenencias y víveres. Éste al verles le preguntó: -¿Tenéis, por casualidad, amigos, alguna cosa para comer? ¡Estoy casi muriéndome de hambre! - Tengo solamente tres panes –respondió uno de los viajeros. - Yo traigo cinco –afirmó el otro. - Pues bien –sugirió el viejo - juntemos esos

panes y compártanlo conmigo y yo a cambio les entregaré ocho monedas de oro por el pan que coma, para que se lo repartan entre los dos. Así lo hicieron, y luego de compartir todos los panes con el viejo herido, éste les dijo –

estoy agradecido por el gran servicio que me habéis prestado. Y para cumplir la palabra, les pagaré el pan que tan generosamente compartieron conmigo, acto seguido este les entregó las ocho monedas de oro que les había prometido diciéndole lo siguiente: - Por tus cinco panes – le dijo a uno de ellos - te daré cinco monedas. Y volviéndose hacia el otro viajero, concluyó: - Y a ti, por los tres panes te daré tres monedas. Con gran sorpresa uno de los viajeros objetó, respetuosamente: - ¡Perdón, con el debido respeto que usted se merece! Pero la división hecha de ese modo será muy sencilla, mas no es justa. Si yo di 5 panes, debo recibir 7 monedas; y mi compañero, que dio tres panes, solamente debe recibir una moneda. A eso el viejo respondió

¿Cómo justificas, viajero, tan disparatada forma de pagar 8 panes con 8 monedas? Si contribuiste con 5 panes, ¿por qué exiges 7 monedas? Y si tu amigo contribuyó con 3 panes, ¿por qué afirmas que debe recibir únicamente una moneda?

PUEDES AYUDARNOS A REPARTIR LAS 8 MONEDAS CON JUSTICIA!!!!!

OBJETIVOS:

Establecer una relación de las magnitudes con nuestra realidad cotidiana para un adecuado planteamiento de la resolución de un problema.

Aplicar métodos prácticos para la resolución de problemas. Resolver situaciones de la vida diaria en que se calcule el tanto por cuánto. Establecer estrategias de cálculo del tanto por ciento. Utilizar el razonamiento proporcional como estrategia para resolver problemas diversos.



LA REGLA DE TRES

La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos permite saber cuánto cuestan dos kilos de papas si el cartel del mercado marca el precio de un kilo, o calcular el precio de 150 lapiceros si la caja de cinco unidades vale s/.3,20. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido.

LA REGLA DE TRES SIMPLE

La regla de tres, es simple si sólo se compara a dos magnitudes ya sean estas directamente proporcionales o inversamente proporcionales

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Cuando las magnitudes que se comparan son D.P.

Ejemplo:

Cierta cantidad de operarios pueden confeccionar 120 polos en un día. Si se aumentan 5 operarios más, entonces se confeccionarían 180 polos por día. ¿Cuántos obreros eran inicialmente? # Obreros Obra a 120 (a + 5) x

Luego:

5

120 180

a a

180 a = 120(a+5)

180 a = 120 a + 600

a = 600

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Se lama inversa, cuando las magnitudes que se comparan son I.P.

Ejemplo:

Cierta cantidad de obreros pueden construir un muro en 20 días, pero si ingresan a trabajar 6 obreros más, dicha obra se podría construir sólo en 15 días. ¿Cuántos eran los obreros inicialmente?

# obreros Obra x 20 (x + 6) 15

Luego:

x . 20 = (x + 6).15

20 x = 15x + 90

5x = 90 x = 18

I.P

a = 10



LA REGLA DE TRES COMPUESTA

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas, obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Ejemplo Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han vertido una cantidad de agua por valor de 20 soles. Averiguar el precio del agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas diarias.

REPARTO PROPORCIONAL A veces debemos repartir una cantidad, no en partes iguales sino teniendo en cuenta algunos criterios de reparto: días trabajados, calificaciones, problemas resueltos, etc.

DEFINICIÓN.- Es aquella operación que consiste en repartir una cantidad, en partes estrictamente proporcionales a ciertos números dados, llamados índices de reparto. CLASES:

REPARTO SIMPLE DIRECTO EJEMPLO: Juana quiere repartir 200 soles en forma D.P. a las edades de Juan (2 años), Pedro (3 años) y José (5 años)

Luego:

Juan = 2k

K5

José

3

Pedro

2

Juan Pedro= 3k

José = 5k 2k + 3k + 5k = 200 k = 20 Entonces:

Juan = 2(20) = 40 Pedro = 3(20) = 60 José = 5(20) = 100

REPARTO SIMPLE INVERSO EJEMPLO.- Repartir S/. 1300 entre tres personas pero inversamente proporcional a los números 2, 3, y 4.

OBSERVA:

K

4

1

C

3

1

B

2

1

A

Entonces: 2

K +

3

K +

4

K = 1300

K = 1200

Juan Pedro José

2 años 3 años 5 años

A =

B =

C =



Luego:

A = 1200600

2

B = 4003

1200

C = 3004

1200

LA REGLA DE COMPAÑÍA La regla de compañía tienen por objeto repartir un beneficio o pérdida entre cierto número de socios que han invertido dinero en un negocio. Pueden presentarse tres casos: 1º CASO: Los capitales de los distintos

socios han estado TODOS invertidos durante el mismo tiempo.

En este caso el reparto se hace

repartiendo las ganancias o pérdidas en partes directamente proporcionales a los capitales invertidos.

2º CASO: Los capitales invertidos por

cada socio son los mismos, pero el tiempo de la inversión es distinto.

En este caso se reparten las ganancias o

pérdidas en partes directamente proporcionales a los tiempos que han estado invertidos los capitales.

3º CASO: Los capitales invertidos y los

tiempos son distintos.

En este caso se reparte el beneficio o pérdida en partes directamente proporcionales a los productos de los capitales por los correspondientes tiempos.

1. 100 grados centígrados equivale a 80 grados KIN. ¿Cuántos grados marcará el primero cuando el segundo marque 28 grados?

a) 35 b)40 c)45 d)50 e)N.A

2. Para pintar una pared de 45m² se necesitaron 12 galones de pintura. ¿Cuántos galones de pintura se necesitará para pintar una pared de 75m²?

a)20 b)15 c)21 d)17 e)N.A.

4. 2/3 del metro de tela cuestan 32 soles.

¿Cuánto costará 3/4 de metro la misma tela?

a) s/.45 b) s/.21 c) s/.23 d) s/.36 e) s/.28

3. Con 16 obreros puede terminarse una

obra en 63 días. ¿Cuántos obreros harán falta si se quiere terminar la obra en 36 días?

a) 15 b) 35 c) 20 d) 25 e) 28

4. Hace 8 meses que obtuve mi carnet universitario por lo que me he ahorrado 300 soles en pasajes. ¿Cuánto me hubiese ahorrado si hubiese obtenido este carnet hace un año?

a) 400 b) 430 c) 450 d) 460 e) 480

5. 39 tripulantes de un barco tienen víveres para 22 días. Si sólo fueran 33 tripulantes, ¿cuántos días les duraría los víveres?

a) 18 b) 22 c) 26 d) 28 e) 32

6. Un barco tenía 1900kg de alimentos que servirá para un viaje de 38 días; sin embargo, el viaje sólo duró 30 días. Calcule que cantidad de alimentos sobró.



a) 400 b) 420 c) 520 d) 480 e) N.A.

7. 14 carpinteros necesitaron trabajar 7 días para entarimar la planta baja de un almacén. Para hacer el mismo trabajo en 4,5 días, ¿cuántos carpinteros se hubieran necesitado?

a) 22,30 b) 21,78 c) 22,40 d) 21,5 e) N.A.

8. Se han disuelto 350 gramos de azúcar en 7 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua se debe añadir para que el litro de mezcla tenga solo 10 gramos de azúcar?

a)25 b)26 c)27 d)29 e)28

9. Juan trabajó 246 horas para comprarse

media docena de pantalones con el dinero que ganó. Si ahora quiere comprarse una grabadora que cuesta como 8 pantalones, ¿cuántas horas tendrá que trabajar?

a) 326 b) 328 c) 322 d) 428 e) 421

10. En un cuartel se calculó que los alimentos alcanzaban para 65 días pero al término de 20 días se retiraron 200 soldados por lo que los alimentos duraron para 15 días más de lo calculado. ¿Cuántos eran los soldados inicial-mente?

11. Seis obreros trabajando 16 días de 10

horas diarias pueden asfaltar 1200m de una autopista. ¿Cuántos días emplearán 8 obreros trabajando 8 horas diarias para asfaltar 1600m de la misma autopista?

12. Una obra la pueden hacer 28 obreros en

cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitará para hacer un cuarto de la obra en un tiempo igual a los 2/7 de la anterior trabajando la mitad de horas diarias?

13. En un cuartel se calculó que los

alimentos alcanzarían por 65 días, pero al termino de 20 días se retiran 200 soldados por lo que los alimentos duraron para 15 días más de lo calculado. ¿Cuántos eran los soldados inicialmente?

14. 4 máquinas textiles de la misma capacidad fabrican 500 chompas en 10 días. ¿Cuántas chompas fabricarán 2 de las máquinas trabajando 6 días?

15. Una persona ha caminado 360km. En 8 días ha caminado 5 horas diarias. ¿Cuántos días tardará para recorrer 693km andando 7 horas diarias?

a)10 b)11 c)12 d)13 e)14

16. Un carpintero para hacer "x" mesas demora 30 días, pero por trabajar 2 horas menos por cada día, demora 10 días más. ¿Cuántas horas demora para hacer "x/2" mesas?

a)240 b)120 c)180 d)160 e)100

17. Repartir 306 en partes directamente

proporcionales a: 2; 3; 5 y 8. Calcular la menor diferencia entre dichas partes. A) 34 B) 17 C) 51 D) 85 E) 102

18. Repartir 288 en partes inversamente

proporcionales a: 18; 9 y 2. Hallar el menor de ellos. A) 216 B) 96 C) 48 D) 24 E) 126

19. José repartió cierta cantidad de

caramelos entre 3 niños; en partes proporcionales a los números 3, 5 y 8, si el tercero recibió 78 más que el segundo. ¿Cuál es la cantidad de caramelos que repartió? A) 248 B) 461 C) 416 D) 328 E) 426

20. Si la diferencia entre la mayor y la

menor de las partes que resulta de repartir un número I.P. a: 2, 3 y 6 es 160. Hallar el número. A) 400 B) 360 C) 480 D) 720 E) 540

21. Dividir 205 en tres partes de tal manera

que la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 3 es a 4. Hallar la primera parte. A) 30 B) 75 C) 100 D) 45 E) 60



22. Repartir 480 en tres partes D.P. a 3; 4 y 5 é I.P. a 6; 12 y 18. Hallar la menor de las tres partes. A) 216 B) 144 C) 126 D) 120 E) 210

23. Tres vecinos quieren pintar las fachadas

de sus casas siendo el costo total 1369 soles. La extensión de las fachadas están en la misma relación de 6, 21 y 10 respectivamente. Si el gasto se reparte en forma D.P. a la extensión de las fachadas. ¿Cuánto le tocó abonar al 3ro.? A) 222 B) 370 C) 777 D) 120 E) 725

24. Al repartir 22050 D.P. a las raíces

cuadradas de los números 3,6 ; 4,9 y 6,4 se obtiene que la mayor parte excede a la menor parte en: A) 1250 B) 1800 C) 2000 D) 2100 E) 2400

25. Eduardo repartió cierta cantidad de

chocolates entre 4 niños; en partes proporcionales a los números 1, 2, 4 y 5 si el cuarto recibió 60 más que el segundo. ¿Cuál es la cantidad de caramelos que repartió? A) 240 B) 460 C) 410 D) 320 E) 420

26. Repartir 630 en tres partes D.P. a 2; 3 y

6 é I.P. a 4; 3 y 10. Hallar la mayor de las tres partes. A) 210 B) 140 C) 150 D) 120 E) 300

27. Tres amigos formaron una empresa aportando 540; 720 y 810 soles respectivamente. Si luego de 8 meses tuvieron una ganancia de 1150, ¿cuánto le corresponde al que impuso el menor capital?

a) 250 b) 280 c) 300 d) 320 e) 360

28. Cuatro socios reúnen $2000 y forman

una empresa, el primero aportó la cuarta parte, el segundo la quinta parte, el tercero el doble del primero y el cuarto lo restante. Si luego de 18 meses las ganancias del primero y tercero suman $3600, ¿Cuánto suman las ganancias del segundo y cuarto?

a) 1200 b) 1800 c)1500 d)1600 d) 2100 29. Dos amigos iniciaron un negocio

aportando dos capitales que están en la relación de 5 a 8. Si la ganancia de este negocio luego de 15 meses fue de $3250. ¿Cuánto le corresponde al que aportó el menor capital? a) 1750 b) 1650 c) 1850 d) 1450 e) 1250

30. Tres amigos se reunieron y formaron una

empresa de suministros de cómputo, siendo sus aportes $5600; $7000 y $4200respectivamente. El tiempo que trabajó cada uno en la empresa es proporcional a los números: 3; 4 y 6. Si la utilidad de la empresa ascendió a $16200. ¿Cuánto recibe el que impuso el mayor capital?

a) $6400 b) $7500 c) $6480 d) $6000 e) $7800

31. Dos socios inician una empresa

aportando $3000 y $2500 respectivamente, y tres meses después aceptaron aun tercer socio que aportó $4000. Si al finalizar el primer año la empresa se cerró por que tenía una pérdida de $4080. Halle la mayor de las pérdidas. a) 920 b) 960 c) 1260 d) 1440 e) 1480

1. En una noche se usaron 12 velas consecutivas para tener luz por 8 horas. Calcule, ¿cuántas velas se hubieran necesitado si se hubiese requerido alumbrado por 12 horas?

a)15 b)18 c) 20 d)24 e)N.A.

2. Una casa podría ser construida por 24 albañiles en 36 días. Pero si al empezar la construcción sólo se cuenta con 18 albañiles; ¿cuántos días demorará la construcción de la casa?

a)30 b)38 c)48 d)45 e)N.A.



3. 12m de una tela han costado 200 soles, ¿cuánto costará una pieza de 27 metros?

a)450 b)580 c)430 d)500 e)350

4. Mi familia está compuesta por 11 personas y todas las mañanas se compra 1,5kg de pan para el desayuno. Para mañana invitamos a desayunar a un viejo amigo y vendrá con toda su familia que en total son 7. ¿Cuántos kilos de pan tendría que comprar para mañana?

a)2,45 b)2,50 c)3 d)3,8 e)N.A.

5. Con 17 litros de leche se fabrican 3kg de

mantequilla, ¿cuántos litros de leche se necesitará para fabricar 15kg de mantequilla?

a)50 b)52 c)64 d)80 e)85

6. 20 tejedores, en cierto número de días, hicieron 450m de paño. ¿Cuántos metros del mismo paño tejerán, en igual tiempo, 35 tejedores igualmente hábiles?

a) 787,5m b) 780,0 c) 850,3 d) 650,3 e) N.A.

7. Un agricultor tiene 420 ovejas que puede alimentar durante 60 días, pero quiere que dichos alimentos les dure para 12 días más sin acortar la ración. ¿Cuántas debe vender?

a) 350 b)70 c)50 d)120 e)250

8. En una fiesta de cumpleaños se gastó 1500 soles por los bocaditos para 90 personas. Si se hubiera querido agasajar a 150 personas, ¿cuánto se hubiese tenido que invertir en los bocaditos?

a) 2250 b) 2500 c) 2750 d) 2550 e) 2125

9. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajo por día?

a)7 b)5 c)3 d)4 e)6

10. Si 5 hombres hacen 4 muros en 12 días. ¿En cuántos días 2 obreros harán 6 muros?

a)25 b)30 c)35 d)45 e)40

11. 3 hombres trabajando 8 horas diarias,

durante 12 días han hecho 24m de zanja. ¿Cuántos hombres se necesitarán para hacer 32m de zanja en 4 días trabajando 6 horas diarias?

a)12 b)14 c)16 d)18 e)20

12. Un grupo de obreros se compromete a realizar una obra en 20 días. Pero como 3 de ellos se enfermaron antes de comenzar el trabajo, los demás tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron en dicha obra?

a)18 b)17 c)16 d)15 e)14

13. 15 obreros han hecho la mitad de un

trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los que quedan?

a)20 b)30 c)40 d)50 e)60

14. 60 obreros pueden cavar una zanja de 800m3 en 50 días. ¿Cuántos días necesitarán 100 hombres 50% más eficientes para cavar una zanja de 1200m3 cuya dureza del terreno es tres veces la anterior?

a)60 b)70 c)80 d)90 e)85

15. Se contratan a 5 costureras que hacen 12 vestidos en 15 días. Si se pretende hacer 60 vestidos en 25 días. ¿A cuántas costureras doblemente rápidas se deberán contratar además de las que ya se tiene?

a)5 b)4 c)3 d)6 e)7

16. Repartir 370 en partes directamente proporcionales a: 24; 9 y 4. Calcular la menor de dichas partes. A)120 B)40 C)90 D)240 E) 30

17. Repartir 456 en partes directamente

proporcionales a: 24; 19 y 14 . Calcular



la suma de cifras de la menor de dichas partes. A) 4 B) 8 C) 10 D) 7 E) 6

18. La suma de tres números proporcionales

a 2/3, 3/5 y 5/6 es 4536. Hallar el número mayor. A)1440 B)1296 C)1800 D)1080 E)1404

19. Al dividir un número D.P. a 7; 6 y 13; la

mayor parte que se obtiene es 520. Hallar el número. A) 960 B) 1000 C) 720 D) 1040 E) 200

20. Al dividir un número I.P. a: 2; 5 y 8; la

menor parte que se obtiene es 85. Hallar la mayor de las tres partes.

A) 460 B) 280 C) 720 D) 340 E) 224

21. Un número se reparte D.P. a: 7, 5 y 3. Si

el producto de la suma de la menor y mayor de las partes por la parte intermedia es 80000. Hallar el número. A) 300 B) 360 C) 400 D) 450 E) 600

22. Repartir 270 soles entre tres personas,

de modo que la parte de la segunda sea los 2/3 de la parte primera y que la parte de la tercera sea igual a la semisuma de las otras dos partes. Hallar la parte de la segunda. A) 90 B) 18 C) 108 D) 84 E) 72

23. Dividir 920 en tres partes de tal manera que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y la segunda sea a la tercera como 5 es a 7. Hallar la primera parte. A) 200 B) 750 C) 100 D) 450 E) 600

24. Dos fruteras llevan 3 y 5 manzanas

respectivamente, se encuentran con una humilde anciana y comparten con esta anciana las 8 manzanas en partes iguales. Si la anciana pagó con 8 monedas. ¿Cuántas monedas le correspondería a cada frutera? Dar como respuesta la menor cantidad recibida por una de las fruteras. a) 3 b) 5 C) 1 d) 7 e) 6

25. Jessica y Patty empezaron un negocio de venta de abarrotes aportando 4000 y 6000 soles respectivamente. Si luego de un año obtuvieron una utilidad de 12500. ¿Cuánto le corresponde a Patty?

26. Tres socios forman un negocio aportando

capitales que están en la relación de 2; 3 y 4. Si la utilidad total fue de S/.18000, calcular la menor ganancia.

27. Tres socios formaron un negocio

aportando capitales iguales. El primero estuvo en el negocio 5 años, el segundo 6 años y el tercero 7 años. Determinar la ganancia del segundo, si el tercero recibió 600 soles más que el primero.

28. Dos socios formaron un negocio

aportando capitales iguales, el primero estuvo en el negocio 4 años y el segundo 7 años. Determinar la ganancia del segundo si el primero ganó S/. 1 000

29. Grace inició un negocio aportando $8000

y cuando faltaban 4 meses para la culminación del negocio, ingresó Jenny aportando $6000. Si las utilidades en el negocio fueron $7500 y el negocio sólo duró un año. ¿Cuánto ganó Grace?

30. Un industrial empezó un negocio y a los

nueves meses admitió un socio y 5 meses más tarde entró un tercer socio. Si los capitales depositados por cada socio fueron $4000; $3000 y $7500 respectivamente y el negocio duró 2 años, al cabo de los cuales la utilidad fue de $5760. ¿Cuánto le corresponde al socio fundador?

a) $2560 b)$2420 c) $1440 d) $2640 e) $3620

31. En un negocio formado por dos personas

se cumple que la suma de los capitales es a su diferencia como 5 es a 3. Si el capital mayor estuvo colocado durante 6 meses y el otro 8 meses. ¿Qué utilidad le corresponde a cada uno cuando hay una ganancia total de S/.4800?

a) S/. 3600 y S/. 1200 b) S/. 3200 y S/. 1600 c) S/. 2800 y S/. 2000 d) S/. 3000 y S/. 1800 e) S/. 3800 y S/. 1000



A menudo en nuestra vida diaria se observa el uso del TANTO POR CUANTO en diversas formas y situaciones, como por ejemplo: “Preparar una mezcla de 3 de arena por

1 de cemento”

“De cada 10 egresados de secundaria, solo 2 acceden a la educación superior”

“Se ha notado que 3 de cada 20 deportistas son de Lima”

“El índice de desempleo en el año 2005

disminuyó en un 6% respecto del año 2004”

“Por aniversario ofrecemos descuentos

desde el 20% hasta un 40% en todos nuestros productos”

“Esta semana 3 por 2”

CONCEPTO.- Es un procedimiento que permite determinar que tanto representa una cantidad respecto de un todo llamado cuanto. Ejemplo: Hallar

el 3 por 5 de 40 3

(40) 245

el 4 por 7 de 63 4

(63) 367

RECUERDALO: En algunas oportunidades es necesario dividir lo que tenemos en partes iguales para hacer una mejor distribución de ellas. Ejemplo: Tenemos un con 40 naranjas, las cuales la vamos a dividir en 5 partes iguales y de ellas tomaremos 3.

Interpretación: El 3 por 5 de 40 naranjas es 24 naranjas. Lo cual lo podemos escribir de la siguiente manera:

El 3 por 5 de 40 <> 3(40) 24

5

TANTO POR CIENTO (%)

Hoy en día es bastante común hablar del tanto por ciento, es decir, dividir el todo en 100 partes iguales. Es el tanto por ciento al cual nos dedicaremos en éste capítulo por ser un concepto de mucha aplicación en nuestra actividad diaria, como por ejemplo el ámbito estadístico, comercial, económico, etc.



CONCEPTO.- Es una o más partes tomadas de las 100 partes en que se ha dividido una cantidad.

8 por ciento = 8% = 100

8

20 por ciento = 20% = 100

20

Ejercicios: Hallar 1. ¿Qué porcentaje de 300 es 20?

2. ¿El 15% de qué número es 12?

3. ¿Qué tanto por ciento de 320 es 48?

4. ¿42 es el 14% de qué número?

OPERACIONES CON EL TANTO POR CIENTO DE UNA MISMA CANTIDAD

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 23% A + 17% A = 40%A 12%N + 15%N + 23%N = 50%N 18%B – 5%B = 13%B MULTIPLICACIÓN 5(12%N) = 60%N 15(3%N) = 45%N Ejercicios: Efectúe las siguientes operaciones: 1. 35%(600) + 25%(600)

2. 82%(1200) + 8%(1200)

3. 32%(700)+12% (700)+26%(700)

4. 54%(842)+16%(842)+20%(842)

5. (2300)+20%(2300)+65%(2300)

6. 97%(600) – 23%(600)

7. 123%(2000) – 43%(2000)

8. 40%(3000)+60%(2000)–20%(2500)

9. 75%(5000)+30%(3000)-15%(2000)

10. 60%(4300)-30%(2000)-20%(420)

11. 3500- 20%(3500)

12. 6200 + 30%(6200)

VARIACIONES PORCENTUALES

RECUERDA: El aumento o la disminución, según sea el caso que se presente, se obtienen mediante la diferencia entre el valor final y el valor inicial. Ejemplo: Si el lado de un cuadrado aumenta en 15%. ¿En qué tanto por ciento aumentará su área?

Entonces:

=

2

2

69100% 69%

100

k

k

Rpta: Aumentó en un 69%

En general:

a% de N = x N

Hay situaciones donde sólo nos interesa

saber cuál a es la variación porcentual que

experimenta una magnitud. De eso

trataremos en ésta parte

= Variación

Porcentual

Variación

Porcentual



AUMENTOS Y DESCUENTOS SUCESIVOS

DESCUENTOS SUCESIVOS

Estos se dan cuando un artículo es rebajado varias veces por alguna razón de política de la empresa comercial. Los descuentos sucesivos se van realizando sobre el saldo que va quedando. Este tipo de descuentos ayuda a mover mercadería que se encuentra fuera de estación, pasada de moda o con algún tipo de imperfecto y además ofrece al cliente la ventaja de obtener un descuento adicional por pago de contado. Ejemplo.- Un estudiante quiere comprar un libro, para lo cual acude a una librería donde ofrecen el libro con un descuento del 20% más el 20%. Si el libro tiene un precio de lista de s/.75, ¿cuánto pagará por el libro luego de los descuentos sucesivos?

Resolución: 1er DESCUENTO: 20%(75) = 15 2do DESCUENTO: 20%(60) = 12 Descuento total: 15+12=27 Por lo tanto, pagará por el libro: S/.75 – s/.27 = s/.48

DESCUENTO ÚNICO (D.U) Es aquel descuento que remplaza a varios descuentos sucesivos. Ejemplo.- A que descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 20%. Resolución: AUMENTOS SUCESIVOS

Estos se dan cuando se realizan aumentos uno después del otro. Los aumentos sucesivos se van dando sobre el nuevo valor que va quedando. Este tipo de aumentos se da en el sistema bancario para el cálculo de las cuotas a pagar por un préstamo, o cuando se incrementan los sueldos de los trabajadores año tras año. Ejemplo.- Un trabajador al inicio de año tenía un sueldo de s/.800, luego del primer trimestre se le aumentó el sueldo en un 5%, y al final del medio año se le incremento el sueldo en un 10%. ¿Cuál es el nuevo sueldo de dicho trabajador?

Resolución: 1er AUMENTO: 5%(800) = 40 2do AUMENTO: 10%(840)= 84 Descuento total: 40+84=124 Por lo tanto, el nuevo sueldo es: S/.800 + s/.124 = s/.924



AUMENTO ÚNICO (A.U) Es aquel aumento que remplaza a varios aumentos sucesivos. Ejemplo.- A que aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 30%. Resolución:

1. Determine: El 5 por 7 del 2 por 5 de 98 El 4 por 5 de la mitad del 3 por 7 de

280 El 7 por 100 del 4 por 5 de los cinco

tercios de 600 Da como respuesta la suma de los tres resultados.

2. Si pepito tiene 35 canicas, ¿Cuántas

canicas le quedarían si pierde el 3 por 7 de sus canicas?

3. ¿A cuánto equivale el 4 por 9 del 3 por 7

de 315? Da como respuesta la suma de cifras del resultado.

4. Calcule el 4 por 20 del 5 por 7 de la

mitad del 140 por 1000 de 100. 5. ¿Qué tanto por cuanto de 168 es el siete

por cinco del 4 por 3 de los quince octavos del doble de 36?

6. ¿Qué tanto por cuanto de 14 es el 3 por

10 del 5 por 6 del 2 por 13 de 104? 7. Si el 3 por 4 del 5 por 7 de los cuatro

quintos de N es igual a 21, determine el valor de N y de cómo respuesta la suma de sus cifras.

8. A una competencia deportiva asistieron N atletas. Si los provincianos representan el 13 por 25 del total, ¿cuántos atletas provincianos asistieron a la competencia deportiva, si se observó que habían 28 provincianos más que limeños?

9. A una competencia deportiva realizada

en la ciudad de Lima asistieron 35 delegaciones, notándose que por cada 7 delegaciones 3 son de provincias, además 1 de cada 4 delegaciones de Lima son del distrito de San Juan de Lurigancho. ¿Cuántas delegaciones no son del distrito de san Juan de Lurigancho?

10. En un salón de clase hay 60 estudiantes,

de los cuales las damas representan el 2 por 5 de todos. Si 5 de cada 9 varones usan lentes, ¿cuántos varones no usan lentes?

11. En una granja donde sólo hay patos,

pavos y gallinas; el 1 por 5 del total son patos, el 9 por 20 son gallinas, y el 7 por 20 son pavos. Si se sabe que hay 60 gallinas más que patos, ¿cuántas aves hay en total en dicha granja?

12. Calcular el 28% de 75 más, el 15% del

25% de 1800 13. ¿Qué porcentaje es 45 de 720? 14. Dos aumentos sucesivos del 30% y 20%

equivalen a un único aumento de:

a)50% b)52% c)56% d)62% e)65% 15. Dos descuentos sucesivos del 15% y 20%

equivalen a un único descuento de :

a)45% b)32% c)35% d)38% e)N.A 16. Si a un artículo cuyo precio es 480 se le

hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. ¿Cuál es su nuevo precio?

a) S/.345,6 b) %325,4 c) %372,5 d) %392,4 e) N.A

17. ¿Qué porcentaje de "A" es "B" si el:

30%A=50%B?

a)30% b)60% c)75% d)35% e)25%



18. En la compañía IBM, filial Perú, trabajan 420 personas, donde el 80% son hombres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 30% del personal sea femenino?

a)50 b)52 c)58 d)60 e)75

19. Si el largo de un rectángulo aumenta en

el 20%. ¿En qué porcentaje debe aumentar el ancho para que el área aumente en 68%?

a)25% b)28% c)32% d)36% e)40%

20. Si el área de un círculo disminuye en un

64%. ¿En qué porcentaje habrá disminuido su radio?

a)36% b)40% c)45% d)48% e)64%

21. Si a cierta cantidad se le suma su 60% y

a este resultado se le suma su 25% y a este nuevo resultado se le resta su 62%.¿Qué porcentaje de la cantidad inicial es la cantidad final?.

a)32% b)45% c)52% d)64% e)76%

22. Si el precio de un televisor es 240

dólares y sufre dos aumentos sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿Cuál será su nuevo precio? A) 200 B) 750 C) 100 D) 450 E) 360

23. Si al precio de una grabadora que cuesta

300 dólares se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio?

A) 216 B) 250 C) 200 D) 250 E) 260

24. Un rectángulo aumenta su largo en 20%.

Si el área debe disminuir en 28%. ¿En qué porcentaje debe variar su ancho?.

A) 25% B) 42% C) 40% D) 28% E) 60%

25. (PUCP-2002-II) Si A=3B y C=4A.

¿Qué porcentaje de (A+B+C) es C? a) 40% b) 60% c) 75% d) 80% e) 90%

26. (PUCP-2002-II) Si x=250%y, ¿qué

porcentaje de “x” es “2y”?

a) 50% b) 40% c) 60% d) 80% e) 70% 27. (PUCP-2006-II) El 0,3 de los 5/9 del 25%

de un número equivale a: I. 24% del número. II. 4% del número.

III. 14 %

6 del número

a) I y II b) II y III c) II d) III e) I y III

28. (LA CANTUTA-2004-I) Un jugador

apuesta y pierde sucesivamente el 20% y 50% de lo que tenía a iniciar cada juego; luego gana sucesivamente el 20% y el 50% de lo que le quedaba después de cada juego. ¿Cómo quedó al final dicho jugador, ganó o perdió y qué tanto por ciento? a) Ganó el 72% b) perdió el 72% c) perdió el 28% d) ganó el 28% e) ganó el 128%

29. (LA CANTUTA-2004-I) Si el 10% de (y+5)

es igual al 5%(x+10), ¿qué porcentaje de y es x? a) 50% b) 75% c) 40% d) 25% e) 60%

30. (UNFV-2004) Al inicio de una clase hay

64 alumnos presentes, posteriormente ingresaron 16 que llegaron tarde. Si antes del término de la clase se retiraron el 30% de los presentes, ¿cuántos alumnos quedaron en el aula? a) 34 b) 48 c) 24 d) 46 e) 56

31. (UNFV-2007) Un supermercado siempre

ofrecía descuentos sucesivos del 20% y 15% en la venta de sus productos, pero decidió efectuar un único descuento equivalente a los que ofrecía. ¿Cuál es el valor de este nuevo descuento? a) 17,8% b) 22,5% c) 28,0% d) 32,0% e) 35,0%

32. (UNMSM-2008-II) Una señora va al mercado con s/.120 y gasta s/.65 en víveres; 60% de lo que resta en carne y s/.15 en fruta. ¿Cuánto dinero le queda? a) s/.12 b) s/. 8 c) s/.15 d) s/.0 e) s/.7



1. Determina El 2 por 7 del 5 por 6 de 840 2. El 21 por 100 de la tercera parte del 25

por 100 de 800, es: 3. En un una granja donde hay solo patos y

conejos, se observó que el 4 por 9 de ellos son patos. Si hay 35 patos más que conejos ¿Cuántos conejos hay en dicha granja?

4. Si el 3 por 7 de la edad de Mónica es

igual a 12 años, ¿qué edad tiene Mónica? 5. Jaimito tiene 70 canicas entre rojas,

azules y amarillas. Si el 2 por 7 de ellas son rojas, y el 3 por 10 son amarillas, ¿cuántas canicas azules tiene Jaimito?

6. Si el 2 por 5 del 10 por 11 del 3 por 4 de

un número es igual a 39. Halle la suma de las cifras de dicho número.

7. En una actividad del día de la madre de

nuestro colegio asistieron 324 padres de familia. Si en un determinado momento de la actividad se observó que el 1 por 8 de los varones no bailan, y el 4 por 7 de las mujeres si están bailando. Averigüe cuántas personas no bailan.

8. Calcular el 20% del 30% de 450

9. Si al comprar una camisa me hacen un

descuento del 25% y sólo pagué 42 soles. ¿Cuál es el precio de la camisa sin descuento?

10. En una reunión el 42% de los asistentes

son mujeres. Si el número de hombres es 87. ¿Cuántas personas en total asistieron a la reunión?

11. El precio de un artículo aumentó en 28%

y su nuevo precio es 2400.¿Cuál es el precio del artículo sin aumento?

12. El mes de febrero de un año no bisiesto.

¿Qué porcentaje del año equivale?

13. En un almacén de abarrotes el 60% es arroz. Si se vendió el 15% del arroz. ¿En qué porcentaje quedó disminuido el almacén?

14. Inicialmente en una fiesta el 70% son

hombres y el resto mujeres. En el transcurso de la fiesta llegaron 42 hombres y 68 mujeres, representando entonces el nuevo número de hombres el 60% de los asistentes. ¿Cuántas personas había inicial-mente en la fiesta?

15. Una solución de 32 litros de ácido

contiene 18 litros de ácido puro. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar a fin de que el ácido sea el 30% de la mezcla?

9. ¿Cuánto es el 23% de 600 más, la mitad

del32% 1500 aumenta en su 32%. ¿Cuál es su nuevo valor?

10. En las tiendas Wong anuncian

descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y vinos. ¿A qué descuento único equivalen?.

A) 64% B) 44% C) 36% D) 48% E) 39%

11. Si el lado de un cuadrado aumenta en

30% ¿En qué porcentaje aumenta su área?

12. Al disminuir N en 25% y al resultado

aumentarle su 20%, tendríamos:

a)150% N b) 80% N c) 120% N d) 60% N e) 90% N

13. En la fabricación de productos A y B, se

obtuvo que el 10% de A son defectuosos, y el 15% de B también. Si el total de productos A es 1500 y el de B es 2000, ¿cuántos defectuosos hubo?

a) 420 b) 430 c) 440 d) 450 e) 460

14. En un corral hay 40 conejos y 120 gallinas. Si se mueren el 60% de conejos y el 20% de gallinas, ¿cuántos animales quedan vivos?

a) 112 b) 110 c) 108 d) 104 e) 102



15. De un total de 400 personas, el 75% son hombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres toman café, ¿cuántas personas no toman café?

a) 150 b) 155 c) 160 d) 140 e) 145

16. Andrés tiene cierta cantidad de dinero, Ricardo su hermano posee el 60% de lo que tiene Andrés. Si juntos poseen 480 soles. Calcule la cantidad de dinero que posee Andrés. a) 180 b) 300 c) 250 d) 340 e) 320

17. Si Manuel tuviera el 25% más de la edad

que tiene, tendría 65 años. ¿Qué edad en años tuvo hace 4 años?

a) 50 b) 52 c) 48 d) 28 e) 45

18. Jaime reparte su fortuna de la siguiente

manera: a Rosa le da el 28% de la fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes. ¿De cuánto fue la fortuna?

a) S/.380 b) S/.800 c) S/.200 d) S/. 500 e) S/.400

A) 48% B) 50% C) 65% D) 50% E) 69%

19. (PUCP-2003-II) Si el valor de “X” aumenta en su 40% y el de “y” en 30%, ¿en qué porcentaje aumenta el producto “xy”?

20. a) 70% b) 80% c) 35% d) 82% e) 62% 21. (PUCP-2005-II) El 30% de un número es

igual al 20% del otro. Calcular ¿qué tanto porciento hay que aumentar el menor para que sea igual al mayor?

30% b) 40% c) 50% d) 60% e) 80%

22. (UNFV-2007) En un salón de recepciones

el 65% son varones. Si falta el 15% de las mujeres y sólo asisten 35 mujeres. ¿Cuál es el total de personas que asistieron al mencionado salón? a) 400 b) 500 c) 600 d) 650 e) 350

23. (UNMSM-1996) Tenía 40 cuadernos. A mi amigo Julio le di el 20%, a mi primo Pedro el 30% y a mi hermana Julia el 40%. ¿Cuántos cuadernos me quedan? a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 12

24. (UNMSM-1997) En una ciudad se

publican los periódicos A y b, el 58% de la población lee A, el 36% lee B y el 24% lee ambos. ¿qué porcentaje no leen estos periódicos?

a) 6% b) 30% c) 70% d) 40% e) 76%

25. En un salón de clase el 17% del número

de hombres es igual al 23% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?

26. Si M aumenta en 40%, se iguala a N.

¿Qué porcentaje de N es lo que aumenta M?

27. Tengo cierta cantidad de dinero y pierdo

el 20%; del resto que me queda gano el 35%. En esta operación gano S/. 72. ¿Cuánto tenía originalmente?

28. En una reunión, el 30% del número de

hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? A) 57,14 B) 32,50 C) 65,20 D) 28,12 E) N.A.

29. Si el 20% del 30% de un número es 42, ¿cuál es el 60% del número? A) 420 B) 400 C) 480 D) 500 E) 600

30. De un granero, el 40% es arroz; si se han

vendido el 15% del arroz. ¿En qué porcentaje disminuye el granero?

31. A) 55% B) 15% C) 25% D) 6% E) 5% 32. ¿Qué porcentaje representa el área

sombreada de la no sombreada en el siguiente paralelogramo?

a) 100% b) 75% c) 50% d) 25% e) F.D.

A B

C D

P

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Aritmética ci - (iii y iv bimestres)