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    SUPERFICIE Y REA

    IntroduccinLa medida de magnitudes es una tarea muy importante desde el punto de vista

    social y cientfico. Desde el inicio de las matemticas hasta nuestros das se viene

    haciendo referencia a medidas de diversa ndole. Cabe pensar que una de las

    justificaciones del inters de las matemticas deriva de que satisfacen necesidades que los

    hombres sienten, relacionadas con las medidas. De hecho, desde la antigedad, los

    gobiernos se han preocupado de regular y controlar las unidades de medida y sus usos,

    haciendo de ello en ocasiones un instrumento poltico (Kula, 1980). No es de extraar

    por tanto que la medida de magnitudes haya estado presente en los distintos planes de

    estudios y en las propuestas curriculares oficiales que se han sucedido en el tiempo. En el

    Decretos de Educacin Secundaria Obligatoria de matemticas aparece un bloque relativo

    a la enseanza de las medidas: Medida, estimacin y clculo de magnitudes (MEC,

    1991), con lo que se le ha reconocido una autonoma propia al tema de las magnitudes y

    su medida.

    De igual forma en los Estndares para la Educacin Matemtica del NCTM

    (Ferrini-Mundy y otros, 2000, NCTM 1991), tambin se contempla la medicin como un

    tema separado de la aritmtica y de la geometra. Para los grados 6-8 este documento

    considera que en la medicin se debe prestar atencin a la comprensin de los atributos,

    unidades y sistemas de medidas, as como la aplicacin de una variedad de tcnicas y

    herramientas para resolver problemas relativos a la medida de longitudes y reas, entre

    las cuales aparecen las frmulas de clculo del rea. Como se observa se propone prestar

    ms atencin a estrategias diversas, con vistas a captar los conceptos ligados a las

    magnitudes y sus medidas, entre estas estrategias aparece el empleo de frmulas del rea.

    Sin embargo, es habitual en nuestros centros enfatizar el empleo de las frmulas

    del rea, su memorizacin y aplicacin ocupan una gran parte del trabajo matemtico

    dedicado a la medida y la geometra. Para combatir esta tendencia tratemos de

    profundizar en las razones de estas recomendacin de los currculos oficiales y de los

    Estndares de que adems de "memorizar y manipular frmulas" se atienda

    mayoritariamente a otras destrezas y conceptos. Las directrices actuales en la enseanza

    de las matemticas, especialmente las surgidas de la consideracin de la matemtica

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    como actividad cultural (Bishop, 1999), pretenden formar matemticamente a los

    alumnos de la educacin obligatoria en aquellos aspectos que van a necesitar para su vida

    como ciudadanos. Parece que la intencin es que prevalezcan los problemas ligados a la

    realidad sobre los problemas matemticos de inspiracin en la escuela. Podramos decirque es ms prximo a la realidad el problema de determinar el nmero de losetas que

    tiene que comprar un cliente que quiere enlosar un suelo, que aquel que lo convierte en

    un problema de manejo de la frmula del rea (medir las longitudes del suelo, aplicar la

    frmula para determinar el rea de la habitacin y posteriormente dividir por el rea de

    cada loseta). Observemos que en el primer caso est recubriendo mentalmente el suelo

    con una unidad de referencia, mientras que en el segundo est determinando un nmero a

    partir de las longitudes de los lados y las operaciones con esos nmeros. En el primer

    caso est midiendo de manera directa mientras que en el segundo est llevando a cabo un

    proceso complejo, basado en determinar la medida de superficie a partir de la medida de

    longitud (con lo que ello conlleva de dominio de las formas geomtricas, de la magnitud

    longitud y superficie, de las unidades de medida de longitud-generalmente del sistema

    mtrico decimal, nico referente para cualquier problema de medida-, de las frmulas de

    determinacin del rea sencillas si las figuras son rectangulares, pero muy complicadas

    si tienen formas complejas-, y de la comparacin de reas por medio de la divisin de

    nmeros).

    La recomendacin de los Estndares y del Decreto de Secundaria quieren llamar

    la atencin sobre la complejidad del sistema de medida y trata de evitar la algebrizacin

    temprana de la misma que supone identificar el rea con su clculo aritmtico. Proponen

    ambos documentos que se dedique tiempo y trabajo escolar a caracterizar la superficie

    que tienen los objetos, y sus formas de comparacin. De esta forma se estar en

    condiciones de dedicarse a medir superficies (llamaremos rea a esta medida) con todo lo

    que esto conlleva (fijar una unidad de referencia, comparar la cantidad medida y la

    unidad, expresarla por medio de un nmero y atender al significado de este nmero). De

    nuevo, como en toda la referencia algebraica, el Decreto de Matemticas de Secundaria

    (MEC, 1991) propone que la algebrizacin llegue cuando se hayan sentado las bases

    precisas para poder hacer abstraccin de los razonamientos y est el alumno en

    condiciones de trabajar con el lenguaje numrico y literal sin aludir a su significado. Se

    supone que de esta forma el alumno estara en condiciones de abordar las frmulas

    cuando se hayan realizado prcticas sobre la superficie (identificacin de la cualidad,

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    comparacin para establecer la equivalencia y el orden, estrategias de descomposicin,

    estudio de figuras ms cmodas para comparar, etc.) para una comprensin mayor de los

    conceptos y relaciones implicados en la superficie y su medida.

    La dificultad de llevar al aula esta recomendacin surge cuando el profesor intentapensar otras tareas sobre el clculo de reas que no sean aplicar y manipular frmulas.

    Qu "otras cosas" se pueden hacer adems de aprenderse las frmulas de memoria y

    aplicarlas en distintos casos? La respuesta a esta pregunta puede venir sugerida desde

    mbitos distintos. Uno de ellos es la investigacin sobre los errores que cometen los nios

    en el clculo de reas y las concepciones equivocadas que manifiestan. Uno de los errores

    de los estudiantes que ms han puesto de manifiesto los investigadores es la confusin

    entre permetro y rea (Dickson, 1991; Olmo y otros, 1989).

    Otras sugerencias pueden venir dadas de las investigaciones sobre la naturaleza de

    las magnitudes y su medida, y sobre las destrezas que tiene que realizarse en el

    aprendizaje y enseanza de la medida. En este artculo nos situaremos en esta perspectiva

    y vamos a presentar algunas tareas que ayuden al profesor de matemticas de secundaria

    a trabajar los conceptos de superficie y rea trabajando con elementos necesarios para

    aposentar las frmulas y desarrollarlas. Comenzaremos por ver de manera resumida el

    concepto de de magnitud y su medida.

    Consideramos la magnitud como una cualidad de ciertos objetos, y la medida

    como una comparacin entre un objeto y el tomado como unidad. La medida de

    superficies consistira pues en la comparacin entre una unidad de medida fijada como

    unitaria y la cantidad que se quiere medir. Para ello hay que situar la unidad tantas veces

    como haga falta hasta rellenar la cantidad que queremos medir. En teora este proceso se

    puede aplicar a todas las magnitudes geomtricas, pero en la prctica puede ser

    infructuoso en el caso de la superficie (aun en figuras planas), mientras que siempre

    debera ser posible en la longitud (especialmente en figuras rectilneas). Estas dificultades

    generan que se recurra al empleo de frmulas para la determinacin del rea de un

    polgono en lugar de tratar de recubrirlo con la unidad y contar el nmero de veces que la

    hemos puesto. El clculo indirecto de la medida de la superficie obedece pues a razones

    prcticas, pero cuando en la enseanza se limita su uso al empleo de frmulas estamos

    privando al alumno de la percepcin del sentido de las frmulas, adems de no darle la

    oportunidad de manipular la magnitud antes de medirla (Segovia y otros, 1996). La

    reduccin de la superficie al rea, y la prctica de medida mediante frmulas oscurece el

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    trabajo con la magnitud superficie (como cualidad, no como nmero), dificulta la

    percepcin de la reiteracin como forma de comparacin (equivalencia y orden),

    distancia de la familiarizacin con la cantidad de superficie de la unidad de medida y del

    aspecto general de la medida como reiteracin de unidades (aspecto lineal de la medida).Vamos a destacar, en este artculo algunas actividades para la enseanza de la magnitud

    superficie, que permitan la familiarizacin del alumno con la propiedad, promuevan

    actividades de comparacin de superficies y con ello sienten las bases para poder acceder

    a las frmulas. Posteriormente nos detendremos en las frmulas y el tratamiento

    algebraico - geomtrico de las mismas, lo que supone trabajar con varios sistemas de

    representacin: los nmeros y letras (frmulas), y las figuras, utilizando unos y otros de

    manera relacionada, con lo que no se pierde de vista el significado de lo que se hace al

    calcular medidas de superficie.

    2. Concepto de superficie y rea

    En esta vieta observamos uno de los abusos de lenguaje que se cometen con

    mucha frecuencia, la identificacin de la medida de la extensin de un terreno con el

    contenido del mismo. Lo que ha ardido es el contenido del terreno (los pinos y

    matorrales), pero tambin ha ardido el contenido fungible de algunas de las capas de la

    tierra que ocupa el monte quemado. Si en la noticia se recurre a las hectreas es para

    realzar la gran cantidad de superficie de monte quemado. Si se quiere dar una idea de la

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    catstrofe que supone el incendio, habra que indicar la cantidad de pinos quemados, la

    medida de la superficie del terreno que se ha visto afectada e incluso la profundidad a la

    que ha llegado a afectar. Si bien es cierto que en la comunicacin cotidiana se dan

    muchos de estos aspectos por supuestos (slo los conocen los expertos, a los dems nosbasta con saber la superficie del terreno quemado para compararlo con otros incendios, y

    sobre todo para concienciarnos del peligro de incendio que existe en una poca

    determinada), en un proceso educativo hay que acostumbrar a que los nios diferencien

    elementos, y al menos en este caso habra que diferenciar el terreno, sus cualidades, entre

    ellas su superficie, la vegetacin que hay en l, su forma y sus medidas de superficie y

    longitud.

    Comencemos por diferenciar dos aspectos matemticos que hemos mencionado,

    superficie y de medida de superficie (rea), y trataremos de mostrar las relaciones y

    diferencias entre ambos (Chamorro y Belmonte 1988, Olmo, Moreno y Gil, 1988). Son

    sinnimos superficie y rea o hay diferencias entre ellos?

    En los diccionarios se define la superficiecomo una cualidad(extensin) y el

    rea como medida, como un nmero. La superficie es una cualidad que puede

    compararse y sumarse. Por ejemplo, podemos comparar la superficie de un rectngulo y

    un paralelogramo, o la de otras figuras con un rectngulo.

    Ms claramente podemos ver esta diferencia estudiando la estructura algebraica

    de ambos conceptos. La superficie es una magnitud, lo que se caracteriza

    matemticamente como un semimdulo ordenado, construido sobre los polgonos (la

    superficie es una cualidad de los polgonos), estableciendo una relacin de equivalencia y

    definiendo en ellos una operacin interna, la suma, y otra externa, el producto por un

    escalar, y una relacin que es de orden.

    Es decir, sea el conjunto de los polgonos del plano. En este conjunto definimos

    una relacin R de la siguiente forma: Sean p y p elementos de : pRp s, y slo si

    existen dos descomposiciones T1, T2, .., Tnde p y T1, .., Tn de p y p, respectivamente,

    tal que un movimiento del plano que transforma T i en Ti. Esta relacin es de

    equivalencia, y define el conjunto cociente /R = M, y a cada clase la llamamos cantidad

    de superficie. As un polgono delimita una cantidad de superficie, que ser la misma,

    independientemente de la unidad de medida de superficie que adoptemos, y que es la

    misma que la de cualquier polgono obtenido por descomposicin y recomposicin de

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    este polgono. En este conjunto M podemos definir una suma de cantidades de superficie,

    juntando los polgonos representantes de las cantidades sumandos.

    Se puede definir una relacin de orden, compatible con la suma, basada en la

    descomposicin (ptendr ms superficie que ps, y slo si hay una descomposicin de pen polgonos que permite obtener py quedan algunos polgonos de la descomposicin

    sin utilizar). Tambin podemos definir una operacin externa (, producto de un nmero

    por una cantidad de superficie) sobre Q (o R), de manera que m/npes una cantidad de

    superficie representada por un polgono que resulta de dividir un representante de pen n

    partes de igual cantidad de superficie, y tomar mde ellas. Con ello M adquiere estructura

    de semimdulo ordenado.

    Esta caracterizacin matemtica de la superficie nos permite buscar tareas

    escolares que den cuenta de algunas de los elementos que definen formalmente a las

    magnitudes. En concreto podemos abordar tareas para destacar los siguientes aspectos: la

    cualidad superficie, la comparacin de cantidades de superficie (por descomposicin y

    recomposicin), la suma, la multiplicacin externa. Para afrontar y familiarizar al alumno

    con ellos tenemos que hacerlo trabajar con los elementos que aparecen recogidos en sus

    definiciones, es decir, los polgonos, la descomposicin de polgonos, la bsqueda de

    descomposiciones y recomposiciones adecuadas para poder comparar su superficie, y la

    obtencin de sumas y multiplicaciones de cantidades de superficie por nmeros

    racionales.

    Una tarea para facilitar que los alumnos se ejerciten en la percepcin de la

    cualidad superficie y en la comparacin de cantidades de superficie puede consistir en

    realizar descomposiciones y recomposiciones de figuras hasta obtener la relacin que

    tiene su superficie con la de un rectngulo (figura 2), que hay que describir.

    La tarea de la figura 2 puede ayudar al alumno a ejercitarse en la comparacin de

    superficies. Una comparacin especialmente llamativa es la que demanda la bsqueda de

    todas las descomposiciones y recomposiciones posibles para identificar una figura con

    otros polgonos. Como ejemplo, en el cuadro siguiente presentamos la mayor parte de las

    descomposiciones del trapecio issceles (Flores, en prensa) para transformarlo en otras

    figuras (paso previo para poder obtener, en su momento, la frmula de clculo de su rea

    en funcin de las longitudes de los elementos que lo definen -las bases, la altura, la

    longitud de los lados iguales, las diagonales, etc.-)

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    Figura 2: Equivalencia de superficies de polgonos con el rectngulo:

    COMPARACIN DE SUPERFICIES

    Un PARALELOGRAMO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO que tenga

    de base LA MISMA y altura LA MISMA

    COMPLETAR

    Un TRAPECIO ISOSCELES tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO quetenga de base ________________________________________

    ___________ y altura ______________________________

    Un TRAPECIO RECTNGULO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO quetenga de base ______________________________________ y altura

    ______________________________________

    Un TRAPECIO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO que tenga de base

    _______________________________________________________y altura ___________________.

    Un TRINGULO tiene igual cantidad de superficie que un RECTNGULO que tenga de base________________________________________________________y altura ___________________

    Este cuadro puede sugerirla variedad de descomposiciones que se pueden hacer de

    una figura, lo que nos da ideas para proponer tareas en el aula que traten de que los

    alumnos obtengan descomposiciones similares de polgonos, por medio de

    descomposiciones, bsqueda de lneas auxiliares, descripcin de estas lneas y de los

    resultados obtenidos, divisin de segmentos y de figuras, etc.

    3. Medida de superficies, el rea y las frmulas.

    Recordemos que llamamos rea a la medida de la cantidad de la superficie, por lo

    que el rea de un polgono es un nmero, que est relacionado con la unidad de medida

    buscada. Para reflexionar sobre el rea vamos a distinguir dos pasos: qu es medir

    superficies y cmo se puede medir superficies.

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    Cuadro 1: Transformacin del trapecio issceles en otros polgonos

    Cuadro 1: Superficie del trapecio

    Para determinar la superficie del trapecio podemos compararlo con otras figuras y obtener, por

    descomposicin y recomposicin, un polgono equivalente. Esta figura acepta muchos procesos de

    descomposicin y composicin, por lo que vamos a clasificarlas segn la figura que se obtiene o con la que

    se compara, y luego estudiaremos las relaciones mtricas que aparecen, y el grado en que estas se perciben.

    Partamos del siguiente trapecio issceles:

    1. Obtencin de un Paralelogramoequivalente:

    i) Duplicar el trapecio

    ii) Dividir el trapecio por una paralela media

    iii) Descomponer en trapecio rectngulo y tringulo

    rectngulo y trazar el simtrico del tringulo

    iv) Descomponer en un paralelogramo y un tringulo

    issceles.

    2. Rectnguloequivalente:

    i) Descomponer en trapecio rectngulo y tringulo

    rectngulo y cambiar de sitio el tringulo.

    ii) Descomponer el trapecio en dos trapecios rectngulos

    iguales y cambiar uno de sitio

    iii) Descomponer en hexgono y dos tringulos rectngulos

    y cambiar estos de sitio

    3. Tringulo.

    i) Prolongar los lados no paralelos hasta que

    se corten

    ii) Trazar las diagonales, descomponerlo en tringulos

    y componer estos para formar un tringulo.

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    Medir la superficie de un polgono pes asignar un nmero a la cantidad de

    superficie de ese polgono. Para ello se fija una cantidad de superficie [u] = U de M,

    representada por un polgono (que suele tomarse cuadrado), a la que se llama unidad, y

    se busca el nmero que permite obtener pa partir de U (es decir, el nmero mtal que p=mU). A este nmero mse le llama rea depen unidad U. Como se puede apreciar el

    rea (la medida) es un isomorfismo que conserva el orden entre el semimdulo M y un

    semimdulo numrico (en la educacin secundaria obligatoria sera el de los nmeros

    reales). Insistamos, la cantidad de superficie de un polgono es nica, e igual a la de

    cualquier otro polgono obtenido por descomposicin y recomposicin. Sin embargo, el

    rea de este polgono es un nmero que est ligado a la unidad de medida establecida.

    Medir la superficie de un polgono es buscar un procedimiento para comparar su

    cantidad de superficie con la superficie unidad. El mtodo ms sencillo sera colocar el

    polgono unidad tantas veces como sea posible para rellenar el polgono problema. Para

    poder hacer esto necesitamos que el polgono unidad tenga una forma que tesele el plano

    (que recubra el plano sin solaparse). La figura que se toma habitualmente es el cuadrado,

    lo que genera el nombre de las unidades de medida de superficie (metro cuadrado). Medir

    superficies consistira en ver cuntos cuadrados unidad caben en el polgono que se mide.

    Se dice que la medidaes directasi se hace materialmente la superposicin de unidades en

    el polgono para ver cuntas caben.

    La comparacin entre la unidad y la figura que se pretende medir no es siempre

    sencilla por lo que se recurre a mtodos indirectosque consisten en medir longitudes de

    los segmentos del polgono problema, y obtener el nmero de veces que contienen a la

    unidad por medio de una operacin entre esas longitudes de segmentos bien elegidos del

    polgono. Esta segunda forma nos lleva a determinar estrategias para determinar el rea

    en funcin de las longitudes, y a estas estrategias aritmticas se les llamafrmulas.

    En los textos (preferentemente de Educacin Primaria) se pueden encontrar tareas

    encaminadas a realizar la medida de manera directa en las que siempre quedara

    perfectamente definida la unidad para poder superponerla cuantas veces haga falta. Al

    trabajar con frmulas se hace abstraccin de la unidad. Ello nos lleva a cometer abusos en

    la expresin, como cuando se dice:

    A:El rea del rectngulo es igual al producto de su base por su altura.

    En esta frmula cometemos abusos de lenguaje. Si vamos eliminando

    sobreentendidos gradualmente tenemos que comenzar por concretar qu es base y

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    altura, lo que nos lleva a la nueva expresin:

    B:El rea del rectngulo es igual a la medida de la longitud de la base

    multiplicada por la medida de la longitud de la altura del rectngulo.

    Aun en esta nueva frase estamos dando por supuesta la unidad de referencia, ya que loque queremos decir es:

    C:El nmero de cuadrados unidad que caben en un rectngulo (rea del

    rectngulo en unidades cuadradas) es igual al producto entre el nmero

    de veces que cabe el lado de la unidad en la base (medida de la longitud

    de la base en unidades el lado del cuadrado), y el nmero que cabe en la

    altura (medida de la longitud de la altura) del rectngulo.

    Esta ltima frase es demasiado larga, y por ello en la enseanza se simplifica a su

    primera expresin. Pero con ello se corre el riesgo de perder de vista su significado. En la

    enseanza de las matemticas se suele reducir la expresin para simplificar lo que hay

    que recordar (dos y dos son cuatro, en lugar de el resultado de la sumar dos ms dos es

    cuatro, por ejemplo, o el enunciado famoso de la propiedad commutativa el orden de los

    sumandos no altera la suma). Se trata de reglas mnemotcnicas que facilitan el recuerdo.

    Pero, tal como indican los estndares curriculares (Ferrini-Mundy 2000, y NCTM 1991),

    y el currculo de secundaria (MEC 1991), el recuerdo no puede hacer perder significado a

    lo aprendido. Para abordar la superficie y el rea sin perder su sentido tenemos que buscar

    estrategias de aprendizaje que permitan dar por supuestos los sobreentendidos, para lo

    que necesitamos ver que las frases A y la C son equivalentes, es decir que el alumno

    entienda C aunque diga A, con ello evitaremos convertir la frmula en una definicin

    demasiado completa que pueda generar dificultades de comprensin.

    Con objeto de que se aprecie el significado de la frase C anterior, sugerimos una

    serie de tareas para que sta adquiera sentido. No resulta muy complicado proponer en

    clase de secundaria que los alumnos traten de obtener las frmulas que permitiran

    determinar el nmero de tringulos equilteros iguales que caben en una serie de

    polgonos(Castro y otros, 1997). Para ello es conveniente emplear papel isomtrico,

    comenzando por obtener el nmero de tringulos que caben en figuras que encierran una

    cantidad entera de lados de tringulo en su base y/o en su altura (figura 3). La

    generalizacin de esta situacin se enriquece con el manejo de fracciones y su

    comprobacin, empleando para ello papel isomtrico milimetrado.

    Figura 3: Numero de tringulos equilteros que caben en figuras dadas.

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    A = 5 * 5 = 52 T A = (3+3/4)2T

    A = 2 * 5 * 4 = 20 T

    A = 6,5 * 3 = 19,5 T

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    Comenzando por el recuento de tringulos se puede tratar de que los alumnos

    lleguen a sugerir frmulas y a comprobar su validez para casos particulares. Pero tambin

    se pueden obtener o comprobar la validez de esta frmulas buscando relaciones con las

    frmulas para unidades cuadradas. Se puede partir de descomponer un cuadrado en dostringulos issceles y rectngulos, con lo que el nmero de tringulos issceles y

    rectngulos es doble que el nmero de cuadrados (figura 4). A partir de esta conjetura se

    abre la posibilidad de continuar el razonamiento transformando el cuadrado en dos

    tringulos equilteros, pero el proceso no es evidente ya que eso exigira transformar en

    un rombo cuya altura no sera la del cuadrado, sino la del tringulo equiltero.

    La repeticin en clase de estos procesos de conteo y relacin con las frmulas del

    rea con unidades cuadradas favorece que los alumnos perciban que las frmulas de

    clculo del rea son relativas a la forma de la figura, con lo que al decir la frase A anterior

    deberemos tener como referente siempre al nmero de cuadrados.

    Tal como hemos visto las frmulas del rea de las figuras dependen de la forma y

    el tamao de la unidad. En la figura 5 podemos ver las frmulas de las reas de algunos

    polgonos en las dos opciones.

    Figura 5: Frmulas del rea en unidad triangular, comparacin de frmulas

    El nmero de cuadrados que caben en

    RECTNGULO es igual al producto entre el nmero que caben en la

    base por el nmero que caben en la altura

    producto entre el nmero de veces que ellado del cuadrado cabe en la base por elnmero de veces que cabe en la altura

    producto entre la medida de la base por la

    medida de la altura

    * a x b

    El nmero de tringulos equilteros quecaben en

    RECTNGULO es igual al doble del producto entre el nmero que

    caben en la base por el nmero quecaben en la altura

    doble del producto entre el nmero deveces que el lado del tringulo cabe en labase por el nmero de veces que cabe enla altura

    doble del producto entre la medida de labase por la medida de la altura

    * 2 x a x b

    Pero no es necesario obtener de manera directa cada una de las frmulas, sino que

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    gracias a tareas como la de la figura 2, bastar con determinar algunas frmulas para

    poder obtener otras. En la figura 2 veamos que la superficie de un tringulo es la mitad

    de la superficie del paralelogramo de igual base y altura; a su vez la superficie de un

    paralelogramo es la misma que la del rectngulo transformado de igual base y altura (enel libro I de Los Elementos de Euclides, proposicin 45, ya se explicaba el procedimiento

    de transformacin de un polgono cualquiera en un paralelogramo, Puertas, 1991). Las

    equivalencias anteriores (descomposicin en figuras ms simples o transformaciones en

    figuras equivalentes) permiten obtener las frmulas para el clculo de las reas de los

    polgonos. Dado que cualquier polgono puede ser descompuesto en tringulos, la

    frmula del rea de un polgono se podr expresar como una frmula que corresponda a

    la suma de las que permiten obtener las figuras resultantes de la descomposicin

    realizada. Por tanto la frmula del rea de un polgono puede obtenerse a partir de la del

    rea del tringulo.

    Si partimos de estas equivalencias para las reas en unidades cuadradas resulta

    bsica la frmula del rea del rectngulo, ya que el cuadrado y el rectngulo es la figura

    que ms fcilmente se descompone en cuadrados. Luego se pueden obtener todas las

    dems frmulas de las reas de los polgonos por descomposiciones de estos. Sin

    embargo, si el rea es la cantidad de tringulos equilteros, es ms cmodo partir de

    paralelogramos sesentngulos, o bien de tringulos equilteros o sesentngulos, ya que

    ellos se pueden teselar ms fcilmente con tringulos equilteros. Posteriormente se

    obtendran todos las frmulas de las reas de los dems polgonos, fruto de

    descomposiciones y recomposiciones. En la figura 6 aparecen los esquemas ms

    corrientes para obtener unas frmulas a partir de otras, de la manera ms natural en

    unidades cuadradas y triangulares.

    Como ejemplo de aplicacin de unas frmulas para la determinacin de otras, en

    el cuadro 2 aparece la expresin de las distintas frmulas del clculo del rea del trapecio

    issceles a partir de las transformaciones hechas anteriormente del trapecio en otros

    polgonos (cuadro 1). En este cuadro se considera el rea como nmero de cuadrados.

    Volvamos sobre las diferencias entre rea como nmero de cuadrados y rea como

    nmero de tringulos. Tal como hemos comentado la eleccin del cuadrado como unidad de

    medida va paralela con otras elecciones: el ngulo recto de 90, la malla rectangular, la

    nocin de perpendicularidad de 90, la nocin de altura basada en la perpendicularidad, etc.

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    Figura 6: esquema de relacin de las frmulas de las reas de los polgonos para launidad cuadrada y para la triangular.

    a2 a2

    a . b a.b

    a . h a.h/2 2.a.b a . h

    ap. p/2 2.a.hap. p

    r2 2. r2

    Cuadro 2: Frmulas del rea del trapecio issceles a partir de su transformacin en otrospolgonos (segn cuadro 1).

    Relacin entre base y altura El rea del trapecio issceles esa.i Por construccin:

    Bp = B+bAp = h

    1

    2[( ). ]B b h+

    a.ii Por construccin:Bp = B+bAp = h/2

    ( ).B bh

    +2

    a.iii Clculos algebraicos.Bp. = b+(B-b)/2Ap = h

    B bh

    +

    2 .

    Paralelogramoequivalente

    a.iv Por construccinBp=b; Bt=B-bAp=h=At

    b h B bh

    . ( ).+ -2

    Rect

    ngulo

    b.i Clculos algebraicos.Br = b+(B-b)/2Ar=h

    B bh

    +

    2 .

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    16

    b.ii Por construccinBr =B/2 + b/2Ar=h

    ( ).B b

    h2 2

    +

    b.iii Clculos algebraicosBr=b+2(B-b)/4Ar=h

    B bh

    +

    2

    .

    c.i Clculos algebraicosBt1=B; Bt2=bAt1=h+m; At2=m

    Bh m

    bm

    .( )

    .+

    -2 2

    Siendom+ h

    m

    B

    b=

    Tringulo

    c.ii Por construccinBt=B+bAt = h

    1

    2.( ).B b h+

    Si queremos determinar el nmero de tringulos issceles y rectngulos que caben en

    las figuras podemos seguir empleando la malla cuadrada y la altura de 90. Pero si queremos

    obtener el nmero de tringulos equilteros que caben en determinadas figuras es ms fcil

    partir de una trama isomtrica (cada vrtice est a igual distancia de los seis que le rodean),

    tal como se observa en la figura 3. Entonces la nocin de altura se ve afectada por el cambio

    de unidad de medida. En una geometra del plano en la que el tringulo equiltero fuese la

    unidad de medida de superficies la altura cmoda para trabajar debera ser la longitud delsegmento que forma 60 grados con la base, y no 90 como sucede en la geometra en la que

    se utiliza el cuadrado como unidad de medida. Por tanto un simple cambio de unidad

    conduce a frmulas que estn a medio camino entre las nociones ligadas a una forma

    geomtrica y otra. Hay que realizar adems el cambio de alturas para obtener las frmulas

    adecuadas.

    Figura 7: tringulo con las dos alturas

    h90

    h60

    90 60

    b

    Unidades cuadradas: rea Tringulo = b . h90

    Unidades triangulares: rea Tringulo = b . h60

    La eleccin de una unidad triangular tiene adems otros efectos, as para un alumno

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    que ha trabajado ya la obtencin de reas de las figuras planas es un ejercicio matemtico

    muy motivador e intrigante descubrir que cuando se toma como unidad de medida el

    tringulo equiltero, en un tringulo equiltero en cuyo lado cabe "a" veces el lado de la

    unidad, caben a

    2

    tringulos (tiene de rea a

    2

    ). Este puede ser el comienzo para realizar unareflexin sobre las nociones geomtricas que son consecuencia de la eleccin del cuadrado

    como unidad de medida y poner de manifiesto cules son consustanciales con la forma

    cuadrada y cules no dependen de esta forma geomtrica. Una de las consecuencias ms

    conocidas es la de los nmeros cuadrados. Expresados en su nomenclatura ms general los

    nmeros cuadradosson laspotencias segundasde los nmeros. El hecho de que el rea de

    un cuadrado se obtenga mediante la potencia segunda de la medida de su lado ha ocasionado

    que el nombre nmeros cuadradosdesbanque a la terminologa de potencias. Pero cuando

    uno mide superficies empleando como unidad de medida el tringulo equiltero observa que

    laspotencias segundasestn relacionadas con el rea de los tringulos equilteros(tal como

    apreciamos en las figuras 3 y 5). Por tanto, las potencias segundas de los nmeros no son una

    propiedad exclusiva de la figura cuadrada. Una civilizacin que hubiera elegido el tringulo

    equiltero como unidad de medida posiblemente se hubiera visto conducida a llamar a las

    potencias segundas "nmeros equilteros", trmino que etimolgicamente refleja mejor la

    representacin geomtrica de las potencias segundas de los nmeros, puesto que resalta la

    igualdad de la medida de los lados.

    4. Consecuencias de las frmulas en unidades triangulares

    El estudio del significado de las frmulas nos ha llevado a preocuparnos por la

    unidad de medida y su forma. Podemos continuar este tipo de razonamiento consistente

    en trabajar con las frmulas de las reas relacionadas ntimamente con su significado y

    con las propiedades de las figuras, y abarcar otros resultados matemticos tradicionales

    relacionados con el rea y la superficie. Por ejemplo el Teorema de Pitgoras.

    Sabemos que el teorema de Pitgoras tiene muchas formulaciones. La formulacin

    que emplea las superficies dice:

    En un tringulo rectngulo, la superficie del cuadrado de lado la

    hipotenusa es igual a la suma de las superficies de los cuadrados de lados

    los catetos.

    Podemos ver este enunciado en la figura 8

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    sobre la hipotenusa es igual a la suma de las superficies de polgonos

    semejantes situados sobre los catetos.

    Por tanto, tambin sera cierta esta expresin cuando en lugar de situar cuadrados en los

    lados del tringulo rectngulo situramos tringulos equilteros. Luego, recordando la frmula

    del rea del cuadrado en medida cuadrada y del tringulo en medida triangular podemos afirmar

    que la expresin algebraica (h2= a2+ b2) representa ambas situaciones, es decir: el nmero de

    cuadrados (tringulos equilteros) que caben en un cuadrado (tringulo equiltero) de lado la

    hipotenusa es igual a la suma del nmero de cuadrados (tringulos equilteros) que caben en los

    cuadrados (tringulos equilteros) de lados los catetos.

    Incluso cabra aceptar que la expresin que llamamos algebraica del teorema es

    cierta, sea cual sea el polgono que tomemos como unidad de medida de superficies.

    Pero hemos visto que la consideracin de la unidad de medida de superficies en

    forma de tringulos equilteros nos poda llevar a considerar que, en la nueva geometra

    triangular, la altura (representacin de la perpendicularidad en la geometra de unidad

    cuadrada) debe formar un ngulo de 60 con la base. Con ello los que en la geometra de

    la perpendicularidad de 90 llamamos tringulos rectngulos, se llamarn ahora

    tringulos sesentngulos.

    Estudiemos si hay una expresin sinnima del Teorema de Pitgoras (T.P.) en los

    tringulos sesentngulos. Para ello trabajaremos en geometra de unidad triangular.

    Recordando la demostracin del T.P. podemos tratar de buscar una expresin equivalente

    para tringulos sesentngulos. Para ello recordemos una demostracin atribuida a

    Pitgoras que toma un cuadrado de lado la suma de los catetos del tringulo rectngulo y

    colocar sobre l cuatro veces el tringulo de dos maneras (figura 9). Hagamos el mismo

    razonamiento empleando como figura de partida un tringulo sensentngulo y como

    polgonos sobre los lados tringulos equilteros. Para estudiar la relacin entre las

    superficies de los tringulos equilteros de lados los catetos y la hipotenusa sesentngulos

    construimos un tringulo equiltero de lado la suma de los catetos y sobre l colocamos

    el tringulo sesentngulo de dos formas distintas (figura 9).

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    Figura 9: Teorema del tringulo sesentngulo

    T. Pitgoras Demostracin atribuida a Pitgoras

    a h Ch bCa T a

    b a h

    Cb b

    Sup Cuadrado = 4Sup T + Sup Ch= 4Sup T + Sup Ca+ Sup Cb

    Teorema del Tringulo sesentngulo

    Th

    Ta T b b

    Tb

    a h a

    3Sup T + Sup Th= 2 Sup T+ Sup Ta+ Sup Tb

    La superficie del tringulo equiltero de lado la hipotenusa de un tringulo

    sesentngulo es igual a la suma de la superficie de tringulo equiltero de lado un

    cateto y la superficie del tringulo equiltero de lado el otro cateto menos la superficiedel tringulo sesentngulo

    Tal como aparece en la figura 9, nos aparece una expresin nueva que expresa la

    relacin entre estas superficies, es decir, el teorema del tringulo sesentngulodice:

    En un tringulo sesentngulo, la suma de las superficies de los tringulos de

    lados los catetos, es igual a la superficie del tringulo equiltero de lado la

    hipotenusa del tringulo ms la superficie del tringulo sesentngulo dado.

    Figura 10: El teorema de Pitgoras y sus aplicaciones:

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    TEOREMA DE PITGORAS DEL TRINGULO SESENTNGULO

    a2 a2

    b2

    b2

    c2 c2

    a2 = b2+ c2

    a2 + bc = b2+ c2

    APLICACIONES

    I) Calcular el tercer lado de un tringulo

    c = 5, b = 7, A = 90 c = 5, b = 7, A = 60

    II) Obtener ngulos

    90 60

    52 = 42+ 32 42 + 4.4 = 42+ 42

    a = + =25 49 35 39a = + =25 49 74

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    22

    Este resultado podra quedarse en una curiosidad, si no nos atenemos a que los

    teoremas matemticos tienen una utilidad fuera de la escuela. Para estudiar la utilidad de

    este teorema recordemos las utilidades del Teoremas de Pitgoras (figura 10).

    Una utilizacin tradicional del Teorema de Pitgoras es calcular la longitud de unlado del tringulo rectngulo, conocidos los otros dos. Gracias a esta aplicacin hemos

    podido obtener segmentos de longitud irracional cuadrtica a partir de segmentos dados.

    La espiral clsica (figura 11) nos permite calcular todos los irracionales cuadrticos de

    nmeros enteros.

    Figura 11: Espiral de tringulos rectngulos de Teodoro de Cirens

    14

    13

    12 1 23

    114

    10 5

    9 8 7 6

    Otra aplicacin tradicional del teorema de Pitgoras es la que utiliza la tesis para

    construir la hiptesis, es decir, partir de unos segmentos que estn en relacin pitagrica

    para obtener un tringulo rectngulo, y por tanto un ngulo recto. As para dibujar en un

    jardn un seto en ngulo recto es mejor tomar cuerdas de tamaos dados (por ejemplo 3, 4

    y 5), y formar un tringulo, el ngulo que se opone al de 5 es rectngulo (figura 10).

    Se pueden extender estas aplicaciones al Teorema del Tringulo Sesentngulo

    (TTS)?. Para responderlo comencemos por convertir la expresin del TTS en superficies

    a expresin en reas. En ese momento la frmula resultante es:

    En un tringulo sesentngulo: a2+ b2= c2+ a x b. TTS

    Esta frmula nos permite, por ejemplo determinar la longitud de la hipotenusa (lado

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    opuesto al ngulo de sesenta grados)conocidos los dos catetos (otros dos lados), por medio de una

    operacin aritmtica (producto, suma y raz cuadrada), aunque para el problema inverso (calcular

    un cateto en funcin de la hipotenusa y el otro cateto) nos vemos obligados a recurrir a la

    expresin algebraica que nos lleva a una ecuacin de segundo grado para poder despejar.La construccin de longitudes irracionales es tambin posible a partir del TTS, e incluso

    aade alguna nueva expresin. En la figura 12 tenemos una espiral de longitudes irracionales

    construida utilizando el TTS.

    El TTS no es la nica forma obtener segmentos de longitud irracional, igual que para

    obtenerlos en la geometra de medida cuadrada no tenemos que emplear siempre el Teorema de

    Pitgoras. Si tomamos un cuadrado de partida y luego vamos dibujando cuadrados de lados las

    diagonales del anterior, podemos observar que cada uno de ellos tiene de superficie el doble que el

    anterior, ya que el nuevo puede descomponerse en cuatro tringulos rectngulos e issceles iguales

    a los dos en que puede descomponerse el cuadrado original. Si aceptamos la frmula (expresin

    algebraica) que nos da el rea del cuadrado como el cuadrado de la longitud del lado, tenemos que

    aceptar que los lados de los nuevos cuadrados sern el producto del lado por raz de dos (operacin

    externa de un segmento por un nmero), para que al elevarlo al cuadrado nos resulte como rea el

    doble de la del primero.

    Igualmente podemos buscar relaciones entre las superficies de dos tringulos

    equilteros, lo que nos permite obtener segmentos resultantes de multiplicar el lado por

    un irracional, tal como aparece en las figuras siguientes, en las que se han buscado

    relaciones fciles entre las superficies de tringulos equilteros para poder obtener el rea

    de uno en funcin del otro, posteriormente se ha aplicado la frmula del rea en unidad

    triangular:

    Tambin podramos aplicar el nuevo resultado para dibujar ngulos de 60, pero

    as como existen nmeros enteros fciles (ternas pitagricas) que forman tringulos

    rectngulos, no es tan fcil en el caso de ngulos de 60, salvo que tomemos el tringulo

    equiltero (figura 10).

    Podramos seguir estudiando otras frmulas conocidas por todos, como las

    relativas al cuadrado de la suma (ya que hemos visto que cuadrado de un nmero es

    equivalente a decir rea del cuadrado que tiene de medida de lado ese nmero), e

    interpretar estas frmulas a partir de superficies en tringulos (figura 16 y 17),

    observando que son iguales.

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    24

    Figura 12: Espiral de tringulos de hipotenusas irracionales aplicando el TTS

    67

    13 3921

    7

    31

    19

    7

    31

    43

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    Figura 13: espiral de cuadrados y tringulos rectngulos e issceles de lados el anterior

    por raz de dos.

    Sn= 2

    Sn-1= 2

    n-1

    S1

    Ln= 2Ln-1= (2)n-1L1

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    Figura 14: Tringulos de superficie 3 veces el anterior, y longitudes irracionales.

    Sn= 3Sn-1

    Los lados son an= 3 an-1 = (3)n-1a

    (3)4a

    (3)3a

    (

    3)2a

    3 a

    a

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    Figura 15: Tringulos de superficie 4/3 del anterior.Lados de longitud 23/3 del anterior, aplicando la frmula de clculo del rea conunidades en forma triangular.

    Sn= 4/3 Sn-1

    an= (23 an-1) /3 = (23/3)n-1a

    16 / 983 / 9

    323 / 27 4/ 3

    23 / 3

    1

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    Figura 16: Suma por diferencia en geometra de unidades triangulares

    b2 b

    a2

    (a-b)

    b a

    (a + b)

    Sup T(a+b), (a-b)= Sup Ta Sup Tb

    (a+b) (a-b) = a2 b2

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    en concreto hemos sugerido que se trabaje el concepto de superficie antes de algebrizar

    por medio del empleo de las frmulas. Pero adems hemos querido mostrar que se puede

    hacer lgebra de expresiones relacionndolas con su significado y con representaciones

    geomtricas, tratando de darle el mximo significado a todas las expresiones elementales.

    El anlisis realizado nos ha permitido hacer una serie de propuestas para la

    enseanza. Desglosando las frmulas hemos diferenciado rea de superficie, hemos

    destacado el papel de la unidad de medida y su repercusin en las mismas frmulas, y por

    ltimo hemos visto que incluso se pueden hacer matemticas formales (obtener teoremas)

    en la educacin secundaria, y al estudiar su utilidad nos hemos visto abocados a buscar el

    sentido y la utilidad de las frmulas tradicionales.

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    31

    En resumen, esperamos haber mostrado una parte de la riqueza de tareas que

    pueden realizarse sobre reas y superficies para trabajar con algunas de las intenciones

    que proponen los documentos que rigen la enseanza de la medida en la educacin

    secundaria.

    Referencias

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    superficie de figuras planas. SUMA26, pp. 23-32.

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    Dickson, L., Brown, M., Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemticas.

    Barcelona: MEC-Lbor.

    Ferrini-Mundy, J. y Martn, W.G. (Eds.) (2000). Principles and Standards for School

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    Flores, P. (En prensa). El rea del trapecio issceles diagonales perpendiculares.psilon.

    Kula, W. (1980).Las medidas y los hombres. Madrid: Siglo XXI.

    MEC (1991). Real Decreto 1345/1991 de 6 de Septiembre, por el que se establece el

    currculo de Educacin Secundaria Obligatoria. BOE n 220, 13 Septiembre 1991.National Council of Teachers of Mathematics (1991). Estndares curriculares y de

    evaluacin para la educacin matemtica. Sevilla, SAEM THALES.

    Olmo, M.A., Moreno, M.F. y Gil, F. (1988). Superficie y Volumen. Madrid, Sntesis.

    Petit, J. (1980).Le Gometricom. Paris, Belin.

    Puertas, M.L. (1991).Euclides, Elementos. Libros I-IV. Madrid, Gredos.

    Segovia, I., Castro, E. Y Flores, P. (1996). El rea del rectngulo. UNO10, pp. 63-77.