area de una rgion triangular.doc

8/18/2019 area de una rgion triangular.doc

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ET22AG8.2

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE

CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICAÉLITE CATÓLICA

Para el cálculo del área de una región triangular, existendiversas expresiones o fórmulas, estas dependen de loselementos que se considere, así tenemos:

FÓRMULA BÁSICAEl área de una región triangular es igual al semiproductode las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado

∆ AB : B! : altura "B! # h$

A"∆ AB $ : área de la región triangular de v%rtices A, B y &

A∆ AB #'

h&(

∆ AB : " θ ) *+ $

A∆ AB #

'&(

A AB #'

c&(A AB #

'h&

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

El área de una región triangular, es igual al semiproductode las longitudes de dos lados por el seno de la medida delángulo determinado por dichos lados&

A∆ AB #'

a(-en θ

.(servación:

∆ AB : B/ :

ceviana

A∆ AB #

'

&(

&senα

.(servación:

∆ AB : equilátero

A∆ AB #0

12 '

FÓRMULA DE HERÓNEl área de una región triangular, es igual a la raí3 cuadradadel producto del semiperímetro de la región triangular y ladiferencia del semiperímetro con la longitud de cada unode los lados&

∆ AB : p #'

c(a ++

p: semiperímetro de la región AB &

Av. La Mar 2220 – San Mig !" Av. Univ!r#i$aria %&'( – ) !*"+ Li*r!,A" -+#$a + ! "a /)RE 1 (32 4 050( ,Fr!n$! a "a U. Ca$6"i-a1 23% 4&'50

A

B

! (

h

B

/ A (

A

B

(

c

/

4

5

h

AB

a (θ

A

B

/(

α

A

B

2

2 2

6+

6+

6+

a(

c A

B


2/6

A

B

2 P

4

17

A B. /

1

A∆ AB # $cp"$(p"$ap"p −−−

Área de la región triangular en función del inradio

∆ AB : r inradio

p #'

c(a ++

p: semiperímetro de laregión triangular AB &

A∆ AB # p&r Área de una región triangular en función delcircunradio

∆ AB : 8 circunradio

A∆ AB #80

a(c

Área de una región triangular rectangular

A∆ AB # m & n

9& En el cuadrante A.B mostrado, .B # u, B # 9+u,;& -eg?n el gráfico, calcule el área de la regiónsom(reada, siendo ;E< un rectángulo y "AB$ " ;$ #9 u ' &

6& En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 9> ,se inscri(e un cuadrado de área @A que descansaso(re la hipotenusa& !allar el área del triángulorectángulo&

7& En el gráfico, calcule el área de la región som(reada,si el área de la región triangular 2BP es 1+u ' & 2 y 4son puntos de tangencia&

& !allar el área de la región AB , si ./ # 0 u&

- 2 -

a

(

c

A

B

r

A

B

c a

(

8

A

B

nm

A

B

;

A

B

D E

<

A

B

; <

.


3/6

*& !allar el área de la región som(reada, si "A $ " ;$ #

0 1 cm ' y mAPB # 90+ & @ es punto de

tangencial&

9+& -i en un triángulo AB , las alturas miden 9' cm, 9>cm y '+ cm, entonces su área en cm ' es:

9& !allar el área de un triángulo rectángulo cuyahipotenusa mide 0 m y un ángulo mide 1+ &

A$ 1 m ' $ 7 m ' E$ ' 1 m '

B$ > m ' ;$ m '

'& En la figura ad unta, AP # P5 # 5;& !allar el área A

de la región som(reada&

A$ >,> cm '

B$ 0,> cm '

$ 1,> cm '

;$ ',> cm '

E$ 9,> cm '

1& alcular el área de un triángulo equilátero desemiperímetro 9' m&

A$ 96 m ' $ '0 m ' E$ 96 1 m '

B$ 9 m'

;$ 1' m'

0& alcular el área de un triángulo rectángulo cuya

hipotenusa mide 91 y un cateto mide 9'& A$ 1+ B$ 1> $ 0+ ;$ 0> E$ >+

>& alcular el área de un triángulo equilátero de altura

1 &

A$ ' B$ 1 $ 1 ;$ 0 E$ 6

6& 2a mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo

mide 9',>& alcular su área si uno de los catetos mide'0&

A$ 0' B$ 7' $ 0 ;$ *6 E$ 4&A&

7& -i el área de un triángulo rectángulo es de - m ' , elproducto de sus catetos será de:

A$ - ' m ' $ -C1 m ' E$ - m 'B$ -C' m ' ;$ '- m '

& !allar el área de un triángulo rectángulo si susángulos agudos está en relación de 9 a > y la alturarelativa a la hipotenusa mide '&

A$ B$ ,> $ 1 ;$ ' E$ 9

*& El perímetro de un triángulo isósceles es 16, si la (asemide 96, calcular su área&

A$ 96 B$ 1' $ 16 ;$ 0 E$ 4&A&

9+& !allar el área de un triángulo cuyo dos de sus ladosmiden > y y el ángulo que forman mide 6+ &

A$ 9+ 1 $ '+ 1 E$ '+

B$ 9 ;$ 9> 1

99& -e tiene un triángulo equilátero de m de lado& -i seunen los puntos medios de sus lados se o(tiene untriángulo cuya área es:

A$ 1 m ' $ ' 1 m ' E$ 4&A&

B$ 0 1 m ' ;$ 6 1 m '

9'& alcular el área de un triángulo equilátero, sa(iendoque el radio del círculo inscrito mide @8 &

A$ 1 1 8 ' $ 18 ' E$1

8 '

B$ 1 8 ' ;$ 8 '

91& El ángulo B de un triángulo o(tusángulo AB mide

91> & -i el lado AB mide a, calcular el área de dicho

triángulo&

A$ a ' ' $ 1a ' E$1

'a'

B$ 'a ' ;$0

'a '

90& !allar el área de un triángulo equilátero cuya alturamide 6&

A$ 6 1 $ 9' 1 E$ 4&A&

B$ 1 ;$ 96 1

9>& 2a (ase de un triángulo isósceles mide m, si la

distancia del (aricentro a uno de los extremos de la(ase es > m, calcular su área&

A$ 9 m ' $ 16 m ' E$ 4&A:B$ '0 m ' ;$ 0 m '

- 3 -

A

B

P

;10°

A

B

;5P

A0 cm

* cm

9 cm


4/6

96& 2as longitudes de los lados de un triángulo son , 9+ y

9'& !allar el inradio y el circunradio&

A$'

7D

7

96$ 7 D

7

796E$ 6 D

'

96*

B$'

>D

>

96;$ > D

>

>96

97& -eg?n el gráfico, calcular

'

9

-

-, si AB ; es un

rom(oide&

A$ 9C0 B$ 9C' $ 9 ;$ 9C E$ '

9 & =niendo los puntos medios de los lados del triángulorectángulo AB se o(tiene un triángulo cuyo cateto ehipotenusa miden 1 m y > m respectivamente& El áreadel triángulo AB es:

A$ 1' m ' $ '0 m ' E$ 16 m '

B$ 1+ m ' ;$ 0 m '

9*& En un triángulo AB , A # ' y B # 0& -i la altura

relativa a A mide 1, calcular la medida de la altura

relativa a B &&

A$ 9,> B$ ' $ ',> ;$ 1 E$ 0,>

'+& !allar el área del triángulo AB , si A es punto detangencia& "8 # 0 m$

A$ m '

B$ 9' m '

$ 96 m '

;$ '0 m '

E$ 1' m '

'9& En la figura: AB es un triángulo rectángulo y AP#A, AB#0+& -e tra3a ABCC;E " ; en

A y E en B $, de modo que el área del

triángulo E; , sea igual al área del trapecio ABE;& -e

pide hallar la distancia de a ;E &

A$ 7&> $ 7&> 1 E$ 4&A&

B$ 7&> ' ;$ 9>

'>& El área de un triángulo AB es igual a '0 m ' , el lado

B mide 9' m y la mediana A/ mide > m& !allar

el menor de los otros dos lados del triángulo& A$ 9+ m $ m E$ > mB$ 6 m ;$ 1 m

'6& En un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 0+ m ladiferencia de los catetos es 7 m& 2uego la superficiede dicho triángulo en m ' , es:

A$ 6> B$ 9'+ $ 6+ ;$ 9'7> E$ 4&A&

'7& -i en un triángulo isósceles AB , la (ase AB # 9> m yla altura A/ # 9' m, el área será:

A$ 7+ m ' $ 7> m ' E$ 4&A&B$ 90+ m ' ;$ 9>> m '

' & En un trape3oide AB ; so(re A; se toma un

punto P de manera que los triángulos ABP y P ; sonequiláteros& alcular el área del cuadrilátero si AB # 0y ; # 6&

- 4 -

A

B P !

B

A

PP

6

<

9

9'

A

B

;

S1S2

A

B

8

.


5/6

A

B

;

4

P

A B! 4

2

B

A ;

A$ 9 1 $ 96 E$ 9* 1

B$ 9> ;$ '0

'*& 2a diagonal B; de un cuadrado AB ; se prolonga

hasta un punto E de manera que ;E # 0 ' &

alcular el área del cuadrilátero AE ;, si el lado delcuadrado mide 9+&

A$ '+ B$ + $ 0+ ;$ 6+ E$ >+

1+& En el gráfico, AB ; es un cuadrado y es punto de

tangencia& -i AB # > µ& alcular el área de la regiónsom(reada&

A$ >µ '

B$ 6µ '

$ 7,> µ '

;$ µ '

E$ *µ '

19& En la figura, el diámetro A mide 1+ cm y la

tangente cm '

1'& -eg?n el gráfico, calcule el área de la región triangular AB & -i: B2 # >u y 2; # 0u& "2 es punto de tangencia$&

A$ 9> u '

B$ 9 u '

$ '+ u '

;$ '0 u '

E$ 0+ u '

11& En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudesde los catetos es 7 m, la hipotenusa mide > m&

alcular el área de la región de dicho triángulorectángulo&

A$ 9+ m ' $ m ' E$ 6 m '

B$ > m ' ;$ '+ m '

10& El perímetro de un triángulo isósceles es 96, "AB#B $&alcular el área del triángulo AB , si la altura relativa

a la (ase mide 0& A$ 6 B$ $ 9+ ;$ 9' E$ 96

1>& ;os lados de un triángulo escaleno se diferencian en6D si el menor de ellos se prolonga en ' y el mayor en9, el área del nuevo triángulo aumenta en 9C>&F uánto mide el mayor de los dos lados del triánguloinicialG

A$ 9+ B$ 9> $ '+ ;$ '> E$ 1+

16& En un ∆ AB , B #9>m, A #90m, AB#91m, se tra3a

un semicírculo tangente a By AB y cuyo

diámetro se halla contenido en A , calcular la

medida de su radio& A$ 9 m B$ ' m $ 1 m ;$ 0 m E$ > m

17& !allar el área de la región som(reada, si el radio de la

circunferencia es 9+ µ, el segmento B< mide 9 µ y AB ; es un rectángulo&

A$ 0',9 µ '

B$ 00,1 µ '

$ 0',6 µ '

;$ 96,0 µ '

E$ 0',1 µ '

1 & En el gráfico mostrado, 4 es punto de tangencia& -i AP # u, calcule el área de la región triangular ABP&

A$ u '

B$ 9' u '

$ 96 u '

;$ '0 u '

E$ 1' u '

1*& -eg?n el gráfico, calcule el área de la región triangular 24, si: A! # 6u y AB # B &

A$ 9' u '

B$ 96 u '

$ 9 u '

;$ '0 u '

E$ 16 u '

- 5 -

<

B A .

;

A <

B

/

A

B

;

2

α

°


6/6

0+& 2os lados de un triángulo son n?meros enteros enprogresión aritm%tica& alcular el área si es

num%ricamente igual a su perímetro& A$ B$ 9' $ 96 ;$ '0 E$ 4&A&

- 6 -

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