å;Ç;á†Q†ô9A í m o wíf ^â ëí Aí9†¢mëô† · 2020. 7. 9. · å;Ç;á†Q†ô9A_í _m o_wíf ^â ëí Aí9†¢mëô† å Äv†¢† 9v† ogwë¢† ^¢ëôI†9o

å;Ç;á†Q†ô9A_í _m o_wíf ^â ëí Aí9†¢mëô† Ç

Ç;ÇåjcyN;EbNc2 dsòÉ |á>|sésèó>t

Pëàà2 NEEE 4óè

t_9†o ^â z; z; 4†A

zYs|èÉá èYáÉÉ

èd> Gó4ÉtTó>tsk dsòÉT

Ç á†Q†ô9A_í ëíf 9¢ëíUAooA_í _m o_wíf ë9 ëí Aí9†¢q

mëô†

á†m†¢†íô† r =¢†Iv_BoIAIv ëíf é_fAí ü;N;N; èv† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_í m_¢ o_wíf Aí ë v_U_8†í†_wo QwAf Ao 8AB†í ^â ïù;åÇa ëíf

ïù;åNa Aí zvëõ9†¢ >í†; óí 9†¢U _m 9v† B†à_ôA9â õ_9†í9Aëà f†Üí†f ^â w F ∇φ A9 Ao

Ç ∂Nφ F ∇Nφ ïÇ;Ça

ùN ∂MN

Äv†¢† ù f†í_9†o 9v† o_wíf oõ††f; á†ôëàà 9vë9 9v† QwAf õ¢†oow¢† û F −ρi∂φÄ∂M ëào_ oë9AoÜ†o 9v† oëU† †gwë9A_í;

d† Ü¢o9 8†í†¢ëàAV† 9v† õàëí† oAíwo_Afëà ÄëB† Aí 9v¢†† fAU†íoA_íëà oõëô†

TïIkJ−ωMa Tï[íkJ−ωMaφïJI Ma F φi F φi ïÇ;Na

Äv†¢† í Ao 9v† wíA9 B†ô9_¢ Aí 9v† fA¢†ô9A_í _m I; Y†¢† 9v† õvëo† mwíô9A_í Ao

θïJI Ma F I k J − ωM ïÇ;åa

èv† †gwë9A_í _m ô_ío9ëí9 õvëo† θïJI Ma F θi f†oô¢A^†o ë U_BAí8 ow¢mëô†; èv† ÄëB†

íwU^†¢ B†ô9_¢ I F [í Ao f†Üí†f 9_ ^†

I F [í F ∇θ ïÇ;Xa

v†íô† Ao _¢9v_8_íëà 9_ 9v† ow¢mëô† _m ô_ío9ëí9 õvëo†2 ëíf ¢†õ¢†o†í9o 9v† fA¢†ô9A_í _m

ÄëB† õ¢_õë8ë9A_í; èv† m¢†gw†íôâ Ao f†Üí†f 9_ ^†

∂θ ω F − ïÇ;ña

∂M

å;Ç;á†Q†ô9A_í _m o_wíf ^â ëí Aí9†¢mëô† N

óo ïÇ;Na ë o_àw9A_íO k†9 wo ôv†ôI ïÇ;ùa; u ú ∂ ∂ ∂ ∇φ F I I φ F TIφ ∂\ ∂ê ∂c

∇Nφ F ∇ k ∇φ F TI k TIφ F −[Nφ

∂Nφ F −ωNφ

∂MN

Y†íô† ïÇ;Ça Ao oë9AoÜ†f Am

ω F [ù ïÇ;ba

z_íoAf†¢ 9Ä_ o†UAqAíÜíA9† QwAfo o†õë¢ë9†f ^â 9v† õàëí† Aí9†¢mëô† ëà_í8 c F E; èv†

o_wíf oõ††fo Aí 9v† wõõ†¢ ëíf à_Ä†¢ QwAfo ë¢† ù ëíf ùÇ ¢†oõ†ô9AB†àâ; k†9 ë õàëí† AíôAf†í9

ÄëB† s¢8AB† m¢_U c â E ë9 9v† AíôAf†í9 ëí8à† _m θ ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ 9v† c ëJAo2

ûT F †Jõ[T[ï\ oAí θ − c ô_o θae ïÇ;ùa

AUõàâAí8 9vë9

IT F ï[\T I [c

T a F [ïoAí θI− ô_o θa ïÇ;ja

èv† U_9A_í Ao ô_íÜí†f Aí 9v† \I c õàëí†;

>í 9v† oëU† ïAíôAf†íô†a oAf† _m 9v† Aí9†¢mëô† Ä† vëB† 9v† ¢†Q†ô9†f ÄëB†

û¢ F é †Jõ[T[ï\ oAí θ i c ô_o θae ïÇ;3a

Äv†¢† é f†í_9†o 9v† ¢†Q†ô9A_í ô_†ffiôA†í9; èv† ÄëB†íwU^†¢ B†ô9_¢ Ao

I¢ F ï[\¢ I [c

¢a F [ïoAí θI ô_o θa ïÇ;ÇEa

óí 9v† à_Ä†¢ U†fAwU c Å E 9v† 9¢ëíoUA99†f ÄëB† vëo 9v† õ¢†oow¢†

ûM F ñ †Jõ[T[Çï\ oAí θÇ − c ô_o θÇae ïÇ;ÇÇa

Äv†¢† ñ Ao 9v† 9¢ëíoUAooA_í ô_†ffiôA†í9; sà_í8 9v† Aí9†¢mëô† c F E Ä† ¢†gwA¢† 9v†

ô_í9AíwA9â _m õ¢†oow¢† ëíf í_¢Uëà B†à_ôA9â2 A;†;2

[ûe F EI c F E ïÇ;ÇNa

ëíf

[àe F E c F EI ïÇ;Çåa

å;Ç;á†Q†ô9A_í _m o_wíf ^â ëí Aí9†¢mëô† å

Äv†¢† 9v† ogwë¢† ^¢ëôI†9o oA8íAmâ 9v† }wUõ ëô¢_oo 9v† Aí9†¢mëô†r

[t e ≡ tïc F Eia − tïc F E−a ïÇ;ÇXa

d† f†Üí† 9v† AUõ†fëíô† _m ë oAUõà† vë¢U_íAô ÄëB†o ^â

û K F − ïÇ;Çña

à

Äv†¢† à Ao 9v† B†¢9Aôëà ô_Uõ_í†í9 _m 9v† QwAf B†à_ôA9â; =†ôëwo†

∂à ∂û ρ F −Tωρà F − I ïÇ;Çba ∂M ∂c

û −Tωρû F − ∂û ïÇ;Çùa

à ∂c

ó9 m_àà_Äo m¢_U 9v† 9Ä_ ô_í9AíwA9â ¢†gwA¢†U†í9o 9vë9 9v† AUõ†fëíô† Uwo9 ^† ô_í9Aíw_wo

[Ke F E c F E ïÇ;Çja

t_9† Ü¢o9 9vë9 9_ oë9Aomâ 9v† ô_ífA9A_ío _m ô_í9AíwA9â m_¢ ëàà \ A9 Ao í†ô†ooë¢â 9vë9 9v† ê

mëô9_¢o Uë9ôv2 o_ 9vë9

[ oAí θ F [Ç oAí θÇ ïÇ;Ç3a

_¢ oAí θ ù F oAí θÇ

ùÇ ïÇ;NEa

Ég; ïÇ;Ç3a _¢ ïÇ;NEa Ao 9v† mëU_wo Tí†ààWo àëÄ _m ¢†m¢ëô9A_í; óm ùÇ Å ù2 ÄëB†o ë¢† AíôAf†í9

m¢_U 9v† mëo9†¢ U†fAwU2 9v† fA¢†ô9A_í _m 9v† ¢†m¢ëô9†f ï_¢ 9¢ëíoUA99†fa ÄëB† Ao ôà_o†¢ 9_

9v† í_¢Uëà 9_ 9v† Aí9†¢mëô†; t_Ä ïÇ;ÇNa ¢†gwA¢†o 9vë9

Ç i é F ñ ïÇ;NÇa

èv† AUõ†fëíô† _m 9v† AíôAf†í9 ÄëB†2 9v† ¢†Q†ô9†f ÄëB†2 ëíf 9v† 9¢ëíoUA99†f ÄëB†o

ë¢† ¢†oõ†ô9AB†àâ ρù ρù ρÇù

KT F I K¢ F − I KÇ F Ç ïÇ;NNa

ô_o θ ô_o θ ô_o θÇ

ÄvAôv ë¢† ëàà ô_ío9ëí9o2 ëíf 9v† 9_9ëà AUõ†fëíô† _í 9v† AíôAf†íô†y¢†Q†ô9A_í oAf† Ao

ρù †Jõï−NT[c ô_o θa i é K F ïÇ;Nåa

ô_o θ †Jõï−NT[c ô_o θa − é

X å;Ç;á†Q†ô9A_í _m o_wíf ^â ëí Aí9†¢mëô†

ÄvAôv Ao Aí 8†í†¢ëà ë ô_Uõà†J mwíô9A_í _m c; t†J9 Ä† AUõ_o† ïÇ;ÇNa ëíf 8†9

KÇ F ρù

ô_o θ Ç i é

Ç − é ïÇ;NXa

v†íô†

é F KÇ ô_o θ − ρù KÇ ô_o θ i ρù

ïÇ;Nña

èvAo m_¢Uwàë Ao Ä¢A99†í Aí ë 8†í†¢ëà m_¢U Äv†¢† 9v† AUõ†fëíô† _m 9v† à_Ä†¢ U†fAwU ôëí

^† ëíâ9vAí8 ; P_¢ 9v† õ¢†o†í9 †JëUõà† A9 Ao 8AB†í ^â ïÇ;NNa ëíf

ρÇùÇ ô_o θ − ρù ô_o θÇé F ïÇ;Nba

ρÇùÇ ô_o θ i ρù ô_o θÇ

k†9 ρÇ ù

b F I ò F ïÇ;Nùa ρ ùÇ

Äv†¢† 9v† ¢ë9A_ _m o_wíf oõ††fo ò Ao ôëàà†f 9v† Aíf†J _m ¢†m¢ëô9A_í; d† 8†9 ëm9†¢ woAí8

Tí†ààWo àëÄ 9vë9 2 Ç − oAí

N θb ô_o θ − ò ô_o θÇ b ô_o θ − ò òN

é F F 2 ïÇ;Nja b ô_o θ i ò ô_o θÇ Ç − oAí

N θb ô_o θ i ò òN

èv† 9¢ëíoUAooA_í ô_†ffiôA†í9 m_àà_Äo ¢†ëfAàâ m¢_U ïÇ;NÇa2

Nb ô_o θ ñ F Ç i é F 2 ïÇ;N3a

Ç − oAíN θb ô_o θ i ò òN

d† í_Ä †JëUAí† 9v† õvâoAôo;

óm ò F ùÄùÇ â Ç2 9v† AíôAf†íô† Ao m¢_U ë mëo9†¢ 9_ ë oà_Ä†¢ U†fAwU2 9v†í é Ao ëàÄëâo

¢†ëà; óm v_Ä†B†¢ ò Å Ç 9v†í θÇ â θ; èv†¢† Ao ë ô¢A9Aôëà AíôAf†íô† ëí8à† θù2 f†Üí†f ^â

oAí θù F ò ïÇ;åEa

^†â_íf ÄvAôv ïθ â θùa 9v† ogwë¢† ¢__9o ë^_B† ^†ô_U† AUë8Aíë¢â; d† Uwo9 9v†í 9ëI† 7 7 oAíN θ oAíN θ

ô_o θÇ F Ç − F T − Ç ïÇ;åÇa òN òN

èvAo U†ëío 9vë9 9v† ¢†Q†ô9A_í ô_†ffiôA†í9 Ao í_Ä ô_Uõà†J 2 oAíN θb ô_o θ − Tò òN − Ç

é F 2 ïÇ;åNa oAíN θb ô_o θ i Tò òN − Ç

å;N;Égwë9A_ío m_¢ Éàëo9Aô dëB†o ñ

Re(R)

iIm(R)

/2o Re(R)

o

iIm(R)

c /2

PA8w¢† Çr z_Uõà†J ¢†Q†ô9A_í ô_†ffiôA†í9

ÄA9v LéL F Ç2 AUõàâAí8 ô_Uõà†9† ¢†Q†ô9A_í; so ë ôv†ôI 9v† 9¢ëíoUA99†f ÄëB† Ao í_Ä

8AB†í ^â ∙ ï 2 tz

ûM F ñ †Jõ [Ç T\ oAí θÇ i c oAíN θÄòN − Ç ïÇ;ååa

o_ 9v† ëUõàA9wf† ë99†íwë9†o †Jõ_í†í9Aëààâ Aí c ëo c → −∞; èvwo 9v† ÄëB† 9¢ëAí ôëíí_9

õ†í†9¢ë9† Uwôv ^†à_Ä 9v† Aí9†¢mëô†;

èv† f†õ†íf†íô† _m é _í Bë¢A_wo õë¢ëU†9†¢o Ao ^†o9 fAoõàëâ†f Aí 9v† ô_Uõà†J õàëí†

é F |éi TQé; zëo† Çr ò â Ç; Y†¢† é Ao ëàÄëâo ¢†ëà;

P_¢ í_¢Uëà AíôAf†íô† θ F E2 b− ò

é F ïÇ;åXa bi ò

é â E Am ò Å b ëíf é Å E Am ò â b; óí †A9v†¢ ôëo† LéL Å Ç P_¢ 8àëíôAí8 AíôAf†íô†

θ F πÄN2 é F −Ç; P_¢ ëíâ Aí9†¢U†fAë9† AíôAf†íô† ëí8à†o2 é mëàào Aí 9v† o†8U†í9 _m 9v†

¢†ëà ëJAo ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† Ç;ë; ëíf Ç;^;

zëo† N; ò Å Ç 9v†í é Ao ¢†ëà _íàâ Am θ Å θù2 _9v†¢ÄAo† é ^†ô_U†o ô_Uõà†J ëíf vëo

9v† wíA9 ëUõàA9wf†; ó9 Ao ôà†ë¢ m¢_U ïÇ;åN a 9vë9 Qé Å E o_ 9vë9 é mëàào _í 9v† vëàm ôA¢ôà†

Aí 9v† à_Ä†¢ vëàm _m 9v† ô_Uõà†J õàëí† ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† Ç;ô ëíf Ç;f;

á†mor

é¢ëffr dëB† 4_9A_í Aí Éàëo9Aô T_àAfo

sIA ã áAôvë¢fo Hwëí9A9ë9AB† T†AoU_à_8â2 ò; Ç;

sôv†í^ëôv; dëB† |¢_õë8ë9A_í Aí Éàëo9Aô T_àAfo

å;N;Égwë9A_ío m_¢ Éàëo9Aô dëB†o b

N Égwë9A_ío m_¢ †àëo9Aô ÄëB†o

k†9 9v† fAoõàëô†U†í9 B†ô9_¢ ë9 ë õ_Aí9 \á ëíf 9AU† M ^† f†í_9†f ^â }Tï\á I Ma2 9v†í

t†Ä9_íWo àëÄ ëõõàA†f 9_ ëí Uë9†¢Aëà †à†U†í9 _m wíA9 B_àwU† ¢†ëfo

∂N}T ∂τTáρ F ïN;Ça∂MN ∂\á

Äv†¢† τTá Ao 9v† o9¢†oo 9†ío_¢; d† vëB† í†8à†ô9†f ^_fâ m_¢ô† owôv ëo 8¢ëBA9â; P_¢ ë

v_U_8†í†_wo ëíf Ao_9¢_õAô †àëo9Aô o_àAf2 Ä† vëB† 9v† m_àà_ÄAí8 ¢†àë9A_í ^†9Ä††í o9¢†oo

ëíf o9¢ëAí

τTá F λ [[δTá i N= Tá ïN;Na

Äv†¢† λ ëíf = ë¢† këU\† ô_ío9ëí9o ëíf u ú Ç ∂}T ∂}á

Tá F i ïN;åaN ∂\á ∂\T

Ao 9v† o9¢ëAí 9†ío_¢; Ég; ïN;Na ôëí ^† AíB†¢9†f 9_ 8AB†

Ç i ν ν Tá F τTá − τ[[δTá ïN;Xa

ç ç

Äv†¢† =ïåλ i =a

ç F ïN;ñaλ i =

Ao l_wí8Wo U_fwàwo ëíf λ

ν F P ïN;baNïλ i =a

Twô9A9w9Aí8 ïN;Na ëíf ïN;åa Aí9_ ïN;Ça Ä† 8†9 u ú ∂τTá ∂ [[ ∂ ∂}T ∂}á

F λ δTá i = i ∂\á ∂\á ∂\á ∂\á ∂\T

∂ [[ ∂N}T ∂N}áF λ i = i =

∂\T ∂\á∂\á ∂\T∂\á ∂N}T

F ïλ i =a i =∇N}T∂\T\á

óí B†ô9_¢ m_¢U ïN;Ça ^†ô_U†o

∂Nw ∇Nρ F ïλ i =a∇ï∇ k wa i = w ïN;ùa∂MN

å;N;Égwë9A_ío m_¢ Éàëo9Aô dëB†o ù

èëIAí8 9v† fAB†¢8†íô† _m ïN;Ça ëíf f†í_9Aí8 9v† fAàë9ë9A_í ^â

∂}Ç ∂}N ∂}å∆ ≡ [[ F i i ïN;ja

∂\Ç ∂\N ∂\å

Ä† 8†9 9v† †gwë9A_í 8_B†¢íAí8 9v† fAàë9ë9A_í ëà_í†

∂N∆ ρ F ïλ i =a∇ k ∇∆ i =∇N∆ F ïλ i N=a∇N∆ ïN;3a∂MN

_¢2 ∂N∆ ∂MN

F ùrN ∇N∆ ïN;ÇEa

Äv†¢† 7 λ i N=

ùr F ïN;ÇÇa ρ

èvwo 9v† fAàë9ë9A_í õ¢_õë8ë9†o ëo ë ÄëB† ë9 9v† oõ††f ùr; è_ ^† †JõàëAí†f ov_¢9àâ2 9vAo

Ao ë à_í8A9wfAíëà ÄëB†o2 v†íô† 9v† owôô¢Aõ9 r; >í 9v† _9v†¢ vëíf2 9ëIAí8 9v† ôw¢à _m

ïN;ùa ëíf f†í_9Aí8 ^â åω 9v† ¢_9ë9A_í B†ô9_¢r

ωå F ∇ * w ïN;ÇNa

Ä† 9v†í 8†9 9v† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_í m_¢ 9v† ¢_9ë9A_í ëà_í†

∂Nåω F ùN

ñ ∇Nåω ïN;Çåa ∂MN

Äv†¢† 7 =

ùñ F ïN;ÇXa ρ

èvwo 9v† ¢_9ë9A_í õ¢_õë8ë9†o ëo ë ÄëB† ë9 9v† oà_Ä†¢ oõ††f ùñ ; èv† owôô¢Aõ9 ñ AífAôë9†o

9vë9 9vAo Ao ë 9¢ëíoB†¢o† ÄëB†2 9_ ^† ov_Äí àë9†¢;

èv† ¢ë9A_ _m 9Ä_ ÄëB† oõ††fo Ao 7 ùr

ùñ F

λ i = λ

â ÇP ïN;Çña

TAíô† =

λ F Ç Nν − Ç ïN;Çba

A9 m_àà_Äo 9vë9 9v† oõ††f ¢ë9A_ f†õ†ífo _íàâ _í |_Aoo_íWo ¢ë9A_ 7 ùr N − Nν F ïN;Çùa

ùñ Ç − Nν

å;å; P¢†† ÄëB†o Aí AíÜíA9† oõëô† j

èv†¢† Ao ë 8†í†¢ëà 9v†_¢†U fw† 9_ Y†àUv_à9V 9vë9 ëíâ B†ô9_¢ ôëí ^† †Jõ¢†oo†f ëo

9v† owU _m ëí A¢¢_9ë9A_íëà B†ô9_¢ ëíf ë o_à†í_Afëà B†ô9_¢ A;†;2

w F ∇φ i ∇ * Y ïN;Çja

ow^}†ô9 9_ 9v† ô_ío9¢ëAí9 9vë9

∇ k Y F E ïN;Ç3a

èv† oôëàë¢ φ ëíf 9v† B†ô9_¢ Y ë¢† ôëàà†f 9v† fAoõàëô†U†í9 õ_9†í9Aëào; Twô9A9w9Aí8 9vAo

Aí9_ ïN;ùa2 Ä† 8†9

∂N

ρ [∇φ i ∇ * Ye F =∇N[∇φ i ∇ * Ye i ïλ i =a∇∇ k [∇φ i ∇ * Ye ∂MN

TAíô† ∇ k ∇φ F ∇NφI ëíf ∇ k ∇ * Y F E Ä† 8†9 { ¢ { ¢ ∂Nφ ∂NY ∇ ïλ i N=a∇Nφ − i ∇ * =∇NY − ρ F E ïN;NEa ∂MN ∂MN

zà†ë¢àâ 9v† ë^_B† †gwë9A_í Ao oë9AoÜ†f Am

∂Nφ ïλ i N=a∇Nφ − F E ïN;NÇa

∂MN

ëíf ∂NY

=∇NY − ρ F E ïN;NNa ∂MN

sà9v_w8v 9v† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_ío ë¢† oAUõàAÜ†f2 9v† 9Ä_ õ_9†í9Aëào ë¢† wowëààâ ô_wõà†f

^â ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío2 wíà†oo 9v† õvâoAôëà f_UëAí Ao AíÜíA9†;

å P¢†† ÄëB†o Aí AíÜíA9† oõëô†

èv† fAàë9ë9A_íëà ÄëB† †gwë9A_í ëfUA9o ë õàëí† oAíwo_Afëà ÄëB† o_àw9A_ír

T[ïíkJ−ùrMaφïJI Ma F φi ïå;Ça

Y†¢† 9v† õvëo† mwíô9A_í Ao

θïJI Ma F [ïí k J − ùrMa ïå;Na

ÄvAôv f†oô¢A^†o ë U_BAí8 ow¢mëô†; èv† ÄëB† íwU^†¢ B†ô9_¢ I F [í Ao f†Üí†f 9_ ^†

I F [í F ∇θ ïå;åa

3 å;X; Éàëo9Aô ÄëB†o Aí ë õàëí†

v†íô† Ao _¢9v_8_íëà 9_ 9v† ow¢mëô† _m ô_ío9ëí9 õvëo†2 ëíf ¢†õ¢†o†í9o 9v† fA¢†ô9A_í _m

ÄëB† õ¢_õë8ë9A_í; èv† m¢†gw†íôâ Ao

∂θ ω F [ùñ F − ïå;Xa

∂M

s 8†í†¢ëà o_àw9A_í Ao

φ F tïí k J − ùrMa ïå;ña

TAUAàë¢àâ 9v† m_àà_ÄAí8 oAíwo_Afëà ÄëB† Ao ë o_àw9A_í 9_ 9v† ov†ë¢ ÄëB† †gwë9A_í<

T[ïíkJ−ùñ MaY F Yi ïå;ba

s 8†í†¢ëà o_àw9A_í Ao

Y F Pïí k J − ùñ Ma ïå;ùa

d† ôëí ëào_ Ä¢A9† ïå;ña ëíf ïå;3a ëo

í k J φ F tïM− a ïå;ja

ùr

ëíf í k J

Y F PïM− a ïå;3a ùñ

Äv†¢† í í

or F I oñ F ïå;ÇEa ùr ùñ

ë¢† ôëàà†f 9v† oà_Äí†oo B†ô9_¢o _m à_í8A9wfAíëà ëíf 9¢ëíoB†¢o† ÄëB†o ¢†oõ†ô9AB†àâ;

óí ë fAàë9ë9A_íëà ÄëB† 9v† fAoõàëô†U†í9 B†ô9_¢ Ao õë¢ëàà†à 9_ 9v† ÄëB† íwU^†¢ B†ô9_¢r

fíwr F ∇φ F t ïå;ÇÇa

Äv†¢† t f Ao 9v† _¢fAíë¢â f†¢ABë9AB† _m t ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ A9o ë¢8wU†í9; Y†íô† 9v† fAq

àë9ë9A_íëà ÄëB† Ao ë à_í8A9wfAíëà ïô_Uõ¢†ooA_ía ÄëB†; >í 9v† _9v†¢ vëíf Aí ë ¢_9ë9A_íëà

ÄëB† 9v† fAoõàëô†U†í9 B†ô9_¢ Ao õ†¢õ†ífAôwàë¢ 9_ 9v† ÄëB† íwU^†¢ B†ô9_¢2 u ú u ú u ú

wñ F ∇ * Y F †\ ∂_c ∂ê

− ∂_ê

∂c i †ê

∂_\

∂c − ∂_c ∂\

i †c ∂_ê

∂\ − ∂_\

∂ê é n é n F †\ _ f còê − _ f êòc i †ê ï_

f \òc − _ f cò\a i †c _ f êò\ − _ f \òê

F í * Pf ïå;ÇNa

Y†íô† ë ¢_9ë9A_íëà ÄëB† Ao ë 9¢ëíoB†¢o† ïov†ë¢a ÄëB†;

å;X; Éàëo9Aô ÄëB†o Aí ë õàëí† ÇE

X Éàëo9Aô ÄëB†o Aí ë õàëí†

á†mo; é¢ëff2 sôv†í^ëôv2

sIA ëíf áAôvë¢fo r Hwëí9A9ë9AB† T†AoU_à_8â2 B;Ç

k†9 wo †JëUAí† ÄëB†o õ¢_õë8ë9Aí8 Aí 9v† B†¢9Aôëà õàëí† _m \I ê; sàà õvâoAôëà gwëí9A9A†o

ë¢† ëoowU†f 9_ ^† wíAm_¢U Aí 9v† fA¢†ô9A_í _m c2 v†íô† ∂Ä∂c F E2 9v†í

∂φ ∂fc ∂φ ∂fc ∂fc ∂fê}\ F − I }ê F − I }c F − i ïX;Çåa

∂\ ∂ê ∂ê ∂\ ∂ê ∂\

ëíf ∂f ∂f\

i ê F E ïX;ÇXa

∂\ ∂ê

Äv†¢† ∂Nφ ∂Nφ Ç ∂Nφ

i F I ïX;Çña N N N N∂\ ∂\ ùr ∂M

∂Nfû ∂Nfû Ç ∂Nfûi F I û F \I êI c ïX;Çba

N N N N∂\ ∂\ ù ∂Mñ

t_9† 9vë9 }c Ao ëào_ 8_B†¢í†f ^â ïX;Çba;

P¢_U Y__I†Wo àëÄ 9v† o9¢†oo ô_Uõ_í†í9o ôëí ^† Ä¢A99†í u ú u ú ∂}\ ∂}ê ∂}\ ∂}\ ∂}ê ∂}ê

τ\\ F λ i i N= F ïλ i N=a i − N= ∂\ ∂ê ∂\ ∂\ ∂ê ∂ê u ú u ú

∂Nφ ∂Nφ ∂Nφ ∂NfF ïλ i N=a i − N= − c

ïX;Çùa N N N∂\ ∂ê ∂ê ∂ê∂\

u ú u ú ∂}\ ∂}ê ∂}ê ∂}\ ∂}ê ∂}\

τêê F λ i i N= F ïλ i N=a i − N= ∂\ ∂ê ∂ê ∂\ ∂ê ∂\ u ú u ú

∂Nφ ∂Nφ ∂Nφ ∂NfF ïλ i N=a i − N= i c

ïX;Çja N N N∂\ ∂ê ∂\ ∂\∂ê u ú

λ ∂Nφ ∂Nφ τcc F ïτ\\ i τêêa F νïτ\\ i τêêa F λ i ïX;Ç3a

N NNïλ i =a ∂\ ∂êu ú u ú ∂}ê ∂}\ ∂Nφ ∂Nfc ∂Nfc

τ\ê F = i F = N − i ïX;NEa N N∂\ ∂ê ∂\∂ê ∂\ ∂êu ú

∂Nf ∂Nf∂}c \ êτêc F = F = −

N i ïX;NÇa

∂ê ∂ê ∂ê∂\

τ\c F E ïX;NNa

å;ñ; á†Q†ô9A_í _m †àëo9Aô ÄëB†o m¢_U ë õàëí† ^_wífë¢â ÇÇ

t_9† 9vë9 9v† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_ío m_¢ φ ëíf fc ë¢† 8_B†¢í†f ^â ÄëB†o wíô_wõà†f m¢_U

9v_o† m_¢ f\ ëíf fê2 v†íô† 9v† Aíqõàëí† fAoõàëô†U†í9 ô_Uõ_í†í9o }\I }ê ë¢† Aíf†õ†íf†í9

_m 9v† _w9q_mqõàëí† ô_Uõ_í†í9 }c; èv† Aíqõàëí† fAoõàëô†U†í9o ï}\I }êa ë¢† ëoo_ôAë9†f

ÄA9v fAàë9ë9A_í ëíf Aíqõàëí† ov†ë¢2 ¢†õ¢†o†í9†f ¢†oõ†ô9AB†àâ ^â φ ëíf fc2 ÄvAôv ÄAàà

^† ¢†m†¢¢†f 9_ ëo 9v† | ÄëB† ëíf 9v† Tò ÄëB†; èv† _w9q_mqõàëí† fAoõàëô†U†í9 }c Ao

ëoo_ôAë9†f ÄA9v f\ ëíf fê2 ëíf ÄAàà ^† ¢†m†¢¢†f 9_ ëo 9v† TY ÄëB†;

GAff†¢†í9 õvâoAôëà oA9wë9A_ío ë¢Ao† m_¢ fAff†¢†í9 ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío; d† ovëàà ô_íq

oAf†¢ Ü¢o9 9v† vëàm õàëí† õ¢_^à†U ^_wíf†f ^â 9v† õàëí† ê F E;

ñ á†Q†ô9A_í _m †àëo9Aô ÄëB†o m¢_U ë õàëí† ^_wífë¢â

T†B†¢ëà 9âõ†o _m ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío ôëí ^† õ¢†oô¢A^†f _í 9v† õàëí† ^_wífë¢â r ïAa fâq

íëUAôr 9v† o9¢†oo ô_Uõ_í†í9o _íàâ ï9v† 9¢ëô9A_í ô_ífA9A_ía< ïAAa IAí†Uë9Aôr 9v† fAoõàëô†q

U†í9 ô_Uõ_í†í9o _íàâ2 _¢ ïAAAa; ë ô_UÂíë9A_í _m o9¢†oo ô_Uõ_í†í9o ëíf fAoõàëô†U†í9

ô_Uõ_í†í9o; 4_o9 fAffiôwà9 ë¢† ïABa 9v† UAJ†f ô_ífA9A_ío Aí ÄvAôv o9¢†oo†o ë¢† 8AB†í

_B†¢ õë¢9 _m 9v† ^_wífë¢â ëíf fAoõàëô†U†í9o _B†¢ 9v† _9v†¢;

d† ô_íoAf†¢ 9v† oAUõà†o9 ôëo† Äv†¢† 9v† õàëí† ê F EAo ô_Uõà†9†àâ m¢†† _m †J9†¢íëà

o9¢†oo†o2

τêê F τ\ê F EI ïñ;Nåa

ëíf

τêc F E ïñ;NXa

ó9 Ao ôà†ë¢ 9vë9 ïñ;Nåa ëff†ô9o 9v† | ëíf Tò ÄëB†o _íàâ2 ÄvAà† ïñ;NXa ëff†ô9o 9v† TY

ÄëB† _íàâ; èv†¢†m_¢† Ä† vëB† 9Ä_ wíô_wõà†f õ¢_^à†Uo †ëôv _m ÄvAôv ôëí ^† 9¢†ë9†f

o†õë¢ë9†àâ;

ñ;Ç | ëíf Tò ÄëB†o

z_íoAf†¢ 9v† ôëo† Äv†¢† _íàâ Ü ëíf `ú ÄëB†o ë¢† õ¢†o†í92 9v†í f\ F fc F E k†9 ëàà

ÄëB†o vëB† ÄëB†íwU^†¢ B†ô9_¢o AíôàAí†f Aí 9v† õ_oA9AB† \ fA¢†ô9A_ír

Tζ\−TωMφ F tïêa Tξ\−TωMI fc F |cïêa ïñ;Nña

å;ñ; á†Q†ô9A_í _m †àëo9Aô ÄëB†o m¢_U ë õàëí† ^_wífë¢â ÇN

ó9 m_àà_Äo m¢_U ïX;Çña ëíf ïX;Çba 9vë9

nNt nN|ci αNt F EI i βN|c F EI ïñ;Nba

nêN nêN

ÄA9v 7 72 2ωN ωN

α F ùN − ξN F [r

N − ξNI β F ùN − ζN F [ñ

N − ξN ïñ;Nùa r ñ

d† Ü¢o9 9ëI† 9v† ogwë¢† ¢__9o 9_ ^† ¢†ëà< 9v† 8†í†¢ëà o_àw9A_í 9_ ïñ;Nba ë¢† oAíwo_Afo2

v†íô†2

Tïξ\−αê−ωMa i QÜTïζ\−βê−ωMa i Q Tïζ\iβê−ωMaφ F yÜ

Tïξ\iαê−ωMaI fc F y` ` ïñ;Nja

>í 9v† ¢A8v9qvëíf oAf†o 9v† Ü¢o9 9†¢Uo ë¢† 9v† AíôAf†í9 ÄëB†o ëíf 9v† o†ô_íf ë¢† 9v†

¢†Q†ô9†f ÄëB†o; óm 9v† AíôAf†í9 ëUõàA9wf†o yÜ I y` ëíf ë¢† 8AB†í2 Ävë9 ë¢† 9v† õ¢_õ†¢9A†o

_m 9v† ¢†Q†ô9†f ÄëB†o QÜ I Q` O èv† ÄëB† íwU^†¢ ô_Uõ_í†í9o ôëí ^† Ä¢A99†í Aí 9v† õ_àë¢

m_¢Ur

ïξIαa F [rïoAí θrI ô_o θraI ïζI βa F [ñ ïoAí θñ I ô_o θñ a ïñ;N3a

Äv†¢† ï[rI [ñ a ë¢† 9v† ÄëB†íwU^†¢o2 9v† ïθrI θñ a 9v† fA¢†ô9A_ío _m 9v† | ÄëB† ëíf Tò

ÄëB†2 ¢†oõ†ô9AB†àâ; óí 9†¢Uo _m 9v†o† Ä† ¢†Ä¢A9† ïñ;Nja

T[rïoAí θr\−ô_o θrê−ωMa i QÜTïoAí θr\iô_o θrê−ωMaφ F yÜ ïñ;åEa

TïoAí θñ \−ô_o θrê−ωMa i Q TïoAí θñ \iô_o θñ ê−ωMafc F y` ` ïñ;åÇa

óí _¢f†¢ 9_ oë9Aomâ ïñ;Nåa _í ê F E m_¢ ëàà \2 Ä† Uwo9 AíoAo9r

[r oAí θr F [ñ oAí θñ I ïξ F ζa ïñ;åNa

èvAo Ao Aí 9v† m_¢U _m Tí†ààWo àëÄr

oAí θr

ùr F oAí θñ

ùñ ïñ;ååa

AUõàâAí8 oAí θr ùr [ñ

F F ≡ κ ïñ;åXa oAí θñ ùr [r

dv†í ïñ;Nåa ë¢† ëõõàA†f _í ê F E 9v† †Jõ_í†í9Aëà mëô9_¢o ôëíô†à2 ëíf Ä† 8†9 9Ä_

ëà8†^¢ëAô ô_ífA9A_ío m_¢ 9v† 9Ä_ wíIí_Äí ëUõàA9wf†o _m 9v† ¢†Q†ô9†f ÄëB†o ïQÜ I Qà r

[rN ïN oAíN θr − κNaïyÜ i QÜ a − [ñ

N oAí Nθñ ïy` − Q` a F E ïñ;åña

å;ñ; á†Q†ô9A_í _m †àëo9Aô ÄëB†o m¢_U ë õàëí† ^_wífë¢â Çå

[N r oAí NθrïyÜ − QÜ a − [N

ñ ô_o θñ ïy` i Qà F EP

ZoAí8 ïñ;åXa2 Ä† 8†9

N oAíN θr − κN F κNïN oAíN θñ − Ça F −κN ô_o Nθñ

ïñ;åba

èv† 9Ä_ †gwë9A_ío ôëí ^† o_àB†f ëíf 9v† o_àw9A_í †Jõ¢†oo†f Aí Uë9¢AJ m_¢Ur

` `Q yÜ ÜÜ `Ü Ü F ïñ;åùa Q ` è yÜ`` `` `

Äv†¢† ` ÜÜ ` ̀Ü T F ïñ;åja ` Ü` ` ̀`

f†í_9†o 9v† oôë99†¢Aí8 Uë9¢AJ; èvwo ` Ü` ¢†õ¢†o†í9o 9v† ¢†Q†ô9†f `qÄëB† fw† 9_ AíôAf†í9

Ü ÄëB† _m wíA9 ëUõàA9wf†2 †9ô; ó9 Ao o9¢ëA8v9m_¢Äë¢f 9_ B†¢Amâ 9vë9

` ÜÜ F oAí Nθr oAí Nθñ − κN ô_oN Nθñ

oAí Nθr oAí Nθñ i κN ô_oN Nθñ ïñ;å3a

` ̀Ü F −NκN oAí Nθñ ô_o Nθñ

oAí Nθr oAí Nθñ i κN ô_oN Nθñ ïñ;XEa

` Ü` F N oAí Nθñ ô_o Nθñ

oAí Nθr oAí Nθñ i κN ô_oN Nθñ ïñ;XÇa

` ̀` F oAí Nθr oAí Nθñ − κN ô_oN Nθñ

oAí Nθr oAí Nθñ i κN ô_oN Nθñ ïñ;XNa

óí BA†Ä _m ïñ;ååa ëíf 7

κ F ùr

ùñ F

N − Nν Ç − Nν

ïñ;Xåa

èv† oôë99†¢Aí8 Uë9¢AJ Ao ë mwíô9A_í _m |_Aoo_íWo ¢ë9A_ ëíf 9v† ëí8à† _m AíôAf†íô†;

ïAa |q ÄëB† óíôAf†íô† r z_íoAf†¢ 9v† oõ†ôAëà ôëo† Äv†í 9v† _íàâ AíôAf†í9 ÄëB† Ao ë

| ÄëB†; èv†í y` F E ëíf _íàâ ̀ ÜÜ ëíf ` ̀Ü ë¢† ¢†à†Bëí9; ; t_9† Ü¢o9 9vë9 θr â θñ Aí

8†í†¢ëà ; P_¢ í_¢Uëà AíôAf†íô†2 θr F E; d† Üíf

` ÜÜ F −ÇI `Ü` F E ïñ;XXa

9v†¢† Ao í_ Tò ÄëB†; >í 9v† _9v†¢ vëíf Am

oAí Nθr oAí Nθñ − κN ô_oN Nθñ F E ïñ;Xña

å;ñ; á†Q†ô9A_í _m †àëo9Aô ÄëB†o m¢_U ë õàëí† ^_wífë¢â ÇX

Figure 2: Amplitude ratios for incident P waves

© Dover Publications Inc. All rights reserved. This content is excluded from our Creative ,Commons license. For more information. see https://ocw.mit.edu/help/faq-fair-use.

9v†í _íàâ `ú ÄëB† Ao ¢†Q†ô9†f; èvAo Ao 9v† ôëo† _m U_f† ô_íB†¢oA_í2 Äv†¢†^â ëí AíôAf†í9

| ÄëB†o ôvëí8†o 9_ ë Tò ÄëB† ëm9†¢ ¢†Q†ô9A_í; èv† ëUõàA9wf† _m 9v† ¢†Q†ô9†f Tò ÄëB†

Ao

Q`

yÜ F ` Ü` F

9ëí Nθñ

κN ïñ;Xba

ïAAa Tò ÄëB† óíôAf†íô† r k†9 yÜ F E; èv†í _íàâ ` ̀Ü ëíf ` ̀` ë¢† ¢†à†Bëí9; P_¢

í_¢Uëà AíôAf†íô†2 ` ̀` F −Ç2 ëíf ` ̀Ü F E; 4_f† ô_íB†¢oA_í ëào_ vëõõ†ío Äv†í ïñ;Xña

Ao oë9AoÜ†f; TAíô† θr â θñ 2 9v†¢† Ao ë ô¢A9Aôëà AíôAf†íô† ëí8à† θñ ^†â_íf ÄvAôv 9v† |

ÄëB† ôëíí_9 õ¢_õë8ë9† Aí9_ 9v† o_àAf; s9 9v† ô¢A9Aôëà ëí8à†

oAí θr F ÇI _¢ oAí θñ F ÇÄκ ïñ;Xùa

èvwo m_¢ ν F ÇÄå2 κ F N ëíf 9v† ô¢A9Aôëà AíôAf†íô† ëí8à† Ao θñ F åE◦; èv† | ÄëB†

õ¢_õë8ë9†o ëà_í8 9v† J ëJAo;

=†â_íf 9v† ô¢A9Aôëà ëí8à† _m AíôAf†íô†2 9v† Ü ÄëB†o f†ôëâ †Jõ_í†í9Aëààâ ëÄëâ m¢_U

9v† m¢†† ow¢mëô†; èv† ëUõàA9wf† _m 9v† Tò ÄëB† Ao àAí†ë¢ Aí ê ÄvAôv Ao wíõvâoAôëà2

å;ñ; á†Q†ô9A_í _m †àëo9Aô ÄëB†o m¢_U ë õàëí† ^_wífë¢â Çñ

Figure 3: Reßected wave amplitude ratios for incident SV waves

© Dover Publications Inc. All rights reserved. This content is excluded from our Creative Commons license. For more information, see https://ocw.mit.edu/help/faq-fair-use.

ow88†o9Aí8 9v† àAUA9ë9A_í _m wí^_wíf†f oõëô† ëoowUõ9A_í;

ñ;N TY ÄëB†

=†ôëwo† _m ïX;ÇXa Ä† ôëí Aí9¢_fwô† ë o9¢†ëU mwíô9A_í ψ o_ 9vë9

∂ψ ∂ψ f\ F − I fê F ïñ;Xja

∂ê ∂\

zà†ë¢àâ Ç ∂Nψ ∇Nψ F N N

ïñ;X3a ù ∂Mñ

∂Nψ ∂Nψ }c F i F ∇Nψ ïñ;ñEa

N N∂\ ∂ê

ëíf ∂ = ∂ ∂Nψ

τêc F = ∇Nψ F N ïñ;ñÇa

N∂ê ù ∂ê ∂Mñ

å;b; Tôë99†¢Aí8 _m TY ÄëB†o Çb

èv† V†¢_qo9¢†oo ^_wífë¢â ô_ífA9A_í AUõàA†o

∂ψ F E ïñ;ñNa

∂ê

èvwo 9v† õ¢_^à†U m_¢ ψ Ao ëíëà_8_wo 9_ _í† m_¢ o_wíf ÄëB†o ¢†Q†ô9†f ^â ë o_àAf õàëí†;

s8ëAí m_¢ U_í_ôv¢_Uë9Aô AíôAf†í9 ÄëB†o2 9v† o_àw9A_í Ao †ëoAàâ ov_Äí 9_ ^† é n Tβê Tα\−TωMψ F y −Tβê − y ïñ;ñåa

Äv†¢†

αN i βN F [ñ N ïñ;ñXa

d† ¢†Uë¢I 9vë9 Äv†í 9v† ^_wífë¢â Ao ëíâ ôâàAíf¢Aôëà ow¢mëô† ÄA9v ëJAo õë¢ëàà†à 9_

9v† c ëJAo2 9v† o9¢†ooqm¢†† ô_ífA9A_í ¢†ëfo

τcò F EI _í QP ïñ;ñña

Äv†¢† ò Ao 9v† wíA9 _w9Äë¢f í_¢Uëà 9_ Q; TAíô† Aí 9v† õw¢† TY ÄëB† õ¢_^à†U

∂}c ∂ = ∂ ∂Nψ τcò F = F ∇Nψ F

∂ò ∂ò ùñ N ∂ò ∂MN

9v† † ô_ífA9A_í ïñ;ñña AUõàA†o ∂ψ

F EI _í QP ïñ;ñba ∂ò

èvwo 9v† ëíëà_8â 9_ ëô_wo9Aô oôë99†¢Aí8 ^â ë vë¢f _^}†ô9 Ao 9¢w† A¢¢†oõ†ô9AB† _m 9v†

8†_U†9¢â _m 9v† oôë99†¢†¢;

b Tôë99†¢Aí8 _m U_í_ôv¢_Uë9Aô TY ÄëB†o

b;Ç T_àw9A_í Aí õ_àë¢ ô__¢fAíë9†o

d† ô_íoAf†¢ 9v† oôë99†¢Aí8 _m 9Ä_qfAU†íoA_íëà TY ÄëB†o _m oAí8à† m¢†gw†íôâ; èv† 9AU†q

f†õ†íf†í9 õ_9†í9Aëà ôëí ^† Ä¢A99†í ëo : Z ψï\I êI Ma F | φï\I êa −TωM ïb;Ça

Äv†¢† 9v† õ_9†í9Aëà φ Ao 8_B†¢í†f ^â 9v† Y†àUv_à9V †gwë9A_í

∂Nφ ∂NφN ω ∇Nφ i [Nφ F i i [Nφ F EI [ F ïb;Na∂\N ∂êN ùñ

å;b; Tôë99†¢Aí8 _m TY ÄëB†o Çù

è_ ^† oõ†ôAÜô ô_íoAf†¢ 9v† oôë99†¢†¢ 9_ ^† ë ÜíA9† ôëBA9â _m o_U† 8†í†¢ëà 8†_U†9¢â; >í

9v† o9¢†ooqm¢†† ^_wífë¢â Q 9v† ov†ë¢ o9¢†oo BëíAov†o2 u ú =ωN ∂φ

τcò F − | −TωM F E ïb;åa ùN ñ ∂ò

v†íô† ∂φ

F E ïb;Xa ∂ò

k†9 9v† AíôAf†í9 ÄëB†o ^† ë õàëí† ÄëB†

φô F y TIkJ ïb;ña

ëíf 9v† ëí8à† _m AíôAf†íô† Ao θi ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ 9v† õ_oA9AB† \ ëJAo; óí õ_àë¢ ô__¢fAíë9†o

Ä† Ä¢A9†

I F [ïô_o θiI oAí θiaI J F ¢ïô_o θI oAí θa ïb;ba

T[¢ ô_oïθ−θiaφô F y †Jõ [T[¢ïô_o θi ô_o θ i oAí θi oAí θae F y ïb;ùa

ó9 ôëí ^† ov_Äí ïo†† sõõ†ífAJ sa 9vë9 9v† õàëí† ÄëB† ôëí ^† †Jõëíf†f Aí P_w¢A†¢q=†oo†à

o†¢A†o r ∞P

T[¢ ô_oïθ−θia F SòTòlòï[¢a ô_o òïθ − θia ïb;ja

òFE

Äv†¢† Sò Ao 9v† cëô_Â oâU^_àr

SE F EI Sò F NI ò F ÇI NI åI P P P ïb;3a

Éëôv 9†¢U Aí 9v† o†¢A†o ïb;ja Ao ôëàà†f ë õë¢9Aëà ÄëB†;

k†9 9v† 9_9ëà ÄëB† ^† 9v† owU _m 9v† AíôAf†í9 ëíf oôë99†¢†f ÄëB†o

φ F φô i φ` ïb;ÇEa

9v†í 9v† oôë99†¢†f ÄëB†o Uwo9 oë9Aomâ 9v† ¢ëfAë9A_í ô_ífA9A_í ë9 AíÜíA9â2 A;†;2 A9 ôëí _íàâ

¢ëfAë9† †í†¢8â _w9Äë¢f m¢_U 9v† oôë99†¢†¢;

èv† ^_wífë¢â ô_ífA9A_í _í 9v† ôëBA9â ow¢mëô† Ao

∂φ F EI ¢ F ó ïb;ÇÇa

∂¢

óí õ_àë¢ ô__¢fAíë9†o 9v† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_í ¢†ëfo u ú Ç ∂ ∂φ Ç ∂Nφ

¢ i i [Nφ F E ïb;ÇNa ¢ ∂¢ ∂¢ ¢N ∂θN

å;b; Tôë99†¢Aí8 _m TY ÄëB†o Çj

TAíô† φô oë9AoÜ†o 9v† õ¢†ô†fAí8 †gwë9A_í2 o_ f_†o φ`;

=â 9v† U†9v_f _m o†õë¢ë9A_í _m Bë¢Aë^à†o2

φ`ï¢I θa F éï¢aΘïθa

Ä† Üíf

¢Néff i ¢éf i ï[N¢N − òN aé F EI ëíf Θff i òNΘ F E

N

Äv†¢† ò F EI ÇI NI P P P ë¢† †A8†íBëàw†o Aí _¢f†¢ 9vë9 Θ Ao õ†¢A_fAô Aí θ ÄA9v õ†¢A_f Nπ; P_¢

†ëôv †A8†íBëàw† ò 9v† õ_ooA^à† o_àw9A_ío ë¢†

Θò F ïoAí òθI ô_o òθaI é n fïÇa ï[¢aI fïNa éò F ò ò ï[¢a I

ï[¢aI fïNaÄv†¢† fò ïÇa

ò ï[¢a ë¢† YëíI†à mwíô9A_ío _m 9v† Ü¢o9 ëíf o†ô_íf IAíf2 ¢†àë9†f 9_

9v† =†oo†à ëíf d†^†¢ mwíô9A_ío ^â

N

fïÇa ï[¢a F lòï[¢a i Tsòï[¢aI fïNa ò ò ï[¢a F lòï[¢a − Tsòï[¢a ïb;Çåa

èv† U_o9 8†í†¢ëà o_àw9A_í 9_ 9v† Y†àUv_à9V †gwë9A_í Ao ∞ : ZP

ÖòfïÇa ï[¢a i Xòf

ïNa φ` F y ïyò oAí òθ i Qò ô_o òθa ò ò ï[¢a I ïb;ÇXa òFE

P_¢ àë¢8† ¢ëfAwo 9v† ëoâUõ9_9Aô m_¢U _m 9v† YëíI†à mwíô9A_ío ë¢† 7 7

− ò − òN Nπ π π πTï[¢− −Tï[¢−fïÇa ò

aI fïNa ò

a∼ ∼ ïb;Çña X X

π[¢ π[¢e

óí ô_í}wíô9A_í ÄA9v 9v† 9AU† mëô9_¢ †Jõï−TωMa2 fò ïÇa 8AB†o ëí _w98_Aí8 ÄëB† ÄvAà† fò

ïNa

8AB†o ëí Aíô_UAí8 ÄëB†; è_ oë9Aomâ 9v† ¢ëfAë9A_í ô_ífA9A_í2 Ä† Uwo9 fAoôë¢f ëàà 9†¢Uo

AíB_àBAí8 fïNa ò ; P¢_U v†¢† _í Ä† ovëàà ë^^¢†BAë9† fïÇa

ò oAUõàâ ^â fò; èv† oôë99†¢†f

ÄëB† Ao í_Ä

φ` F y ∞P ïyò oAí òθ i Qò ô_o òθa fòï[¢a ïb;Çba

òFE

èv† †JõëíoA_í ô_†ffiôA†í9o ïyòI Qòa Uwo9 ^† ôv_o†í 9_ oë9Aomâ 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9A_í

_í 9v† ôëBA9â ow¢mëô†Ç >íô† 9v†â ë¢† f†9†¢UAí†f2 9v† ÄëB† Ao m_wíf †B†¢âÄv†¢†; óí Çóí _í† _m 9v† íwU†¢Aôëà o_àw9A_í 9†ôvíAgw†o2 _í† fABAf†o 9v† õvâoAôëà ¢†8A_í ^â ë ôA¢ôà† †íôà_oAí8 9v†

ôëBA9â; =†9Ä††í 9v† ôëBA9â ëíf 9v† ôA¢ôà†2 ÜíA9† †à†U†í9o ë¢† wo†f; >w9oAf† 9v† ôA¢ôà†2 ïb;Çba Ao wo†f;

=â ô_ío9¢wô9Aí8 ë owA9ë^à† Bë¢Aë9A_íëà õ¢AíôAõà†2 ÜíA9† †à†U†í9 ô_Uõw9ë9A_í âA†àfo 9v† í_fëà ô_†ffiôA†í9o

ëo Ä†àà ëo 9v† †JõëíoA_í ô_†ffiôA†í9o; T†† ïzv†í ã 4†A 2 Ç3ùXa;

å;b; Tôë99†¢Aí8 _m TY ÄëB†o Ç3

õë¢9Aôwàë¢ Aí 9v† më¢ Ü†àf2 Ä† ôëí wo† 9v† ëoâUõ9_9Aô m_¢Uwàë 9_ 8†9 7 ∞P N−TòπÄN T[¢−TπÄXφ` ∼ y ïyò oAí òθ i Qò ô_o òθa ïb;Çùa π[¢òFE

k†9 wo f†Üí† 9v† fAU†íoA_íà†oo fA¢†ô9ABA9â mëô9_¢

∞P −TòπÄN wïθa F ïyò oAí òθ i Qò ô_o òθa ïb;Çja òFE

ÄvAôv AífAôë9†o 9v† ëí8wàë¢ Bë¢Aë9A_í _m 9v† më¢qÜ†àf ëUõàA9wf†2 9v†í 7 N T[¢−TπÄXφ` ∼ ywïθa ïb;Ç3a π[¢

èvAo †Jõ¢†ooA_í †JvAÂ9o ôà†ë¢àâ 9v† ëoâUõ9_9Aô ^†vëBA_¢ _m φ` ëo ëí _w98_Aí8 ÄëB†; =â

fAff†¢†í9Aë9A_í2 Ä† ¢†ëfAàâ o†† 9vë9 u ú √ ∂φ` àAU ¢ − φ` F E ïb;NEa [¢→∞ ∂¢

ÄvAôv Ao _í† Äëâ _m o9ë9Aí8 9v† ¢ëfAë9A_í ô_ífA9A_í m_¢ 9Ä_ fAU†íoA_íëà TY ÄëB†o;

s9 ëíâ ¢ëfAwo ¢ 9v† 9_9ëà ¢ë9† _m †í†¢8â _w9QwJ ^â 9v† oôë99†¢†f ÄëB† Ao { ¢U Nπ U Nπ ∂φ ¢ nθτ¢c

∂}c F =¢ nθ| −=[N −TωM | [Tω[Nφ −TωMe

E ∂M E ∂¢ { ¢ { ¢ =ω[X¢ U Nπ

Tφ ∗ ∂φ =ω[X¢ U Nπ φ ∗ ∂φ

F − nθ| F − Q nθ ïb;NÇa N E ∂¢ N E ∂¢

Äv†¢† _B†¢àAí† AífAôë9†o 9AU† ëB†¢ë8Aí8 _B†¢ ë ÄëB† õ†¢A_f NπÄω;

d† ¢†Uë¢I 9vë9 Aí 9v† ëíëà_8_wo ôëo† _m õàëí† ëô_wo9Aôo Äv†¢† 9v† o_wíf õ¢†oow¢†

ëíf ¢ëfAëà QwAf B†à_ôA9â ë¢† ¢†oõ†ô9AB†àâ2

∂φ ∂φ û F −ρi I ëíf }¢ F ïb;NNa

∂M ∂¢

9v† †í†¢8â oôë99†¢Aí8 ¢ë9† Ao u ú u úU ∞ U Uωρi¢ −Tφ ∗ ∂φ ωρi¢ φ ∗ ∂φ

¢ nθû}¢ F | nθ F − Q nθ ïb;Nåa E N Ö ∂¢ N Ö ∂¢

å;b; Tôë99†¢Aí8 _m TY ÄëB†o NE

b;N s 8†í†¢ëà 9v†_¢†U _í oôë99†¢Aí8

P_¢ 9v† oëU† oôë99†¢†¢ ëíf 9v† oëU† m¢†gw†íôâ ω2 fAff†¢†í9 ëí8à†o _m AíôAf†íô† θá f†Üí†

fAff†¢†í9 oôë99†¢Aí8 õ¢_^à†Uo φá ; óí õë¢9Aôwàë¢ ë9 AíÜíA9â2 Ä† vëB† 7 T[¢ ô_oïθ−θá a i wáïθa N T[¢−TπÄXφá ∼ yá ïb;NXa π[¢

k†9 wo ëõõàâ é¢††íWo m_¢Uwàë 9_ φÇ ëíf φN _B†¢ ë ôà_o†f ë¢†ë ^_wíf†f ^â ë ôà_o†f

ô_í9_w¢ Ö2 u ú u úUU U Ué n ∂φÇ ∂φN ∂φÇ ∂φÇφN∇NφÇ − φÇ∇NφN ny F φN − φÇ nu i nu φN − φÇ nu

` Q ∂ò ∂ò Ö ∂ò ∂ò

Äv†¢† í ¢†m†¢o 9_ 9v† wíA9 í_¢Uëà B†ô9_¢ õ_Aí9Aí8 _w9 _m `; èv† ow¢mëô† Aí9†8¢ëà BëíAov†o

_í ëôô_wí9 _m 9v† Y†àUv_à9V †gwë9A_í2 ÄvAà† 9v† àAí† Aí9†8¢ëà ëà_í8 9v† ôëBA9â ow¢mëô†

BëíAov†o ^â BA¢9w† _m 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9A_í2 v†íô† u úU ∂φÇ ∂φN nu φN − φÇ nu F E ïb;Nña

Ö ∂ò ∂ò

=â oAUAàë¢ ¢†ëo_íAí82 Ä† 8†9 u úU ∂φ∗

Ç − φ ∗ ∂φN nu φN nu F E ïb;Nba Ç

Ö ∂ò ∂ò

Äv†¢† φ∗ Ç f†í_9†o 9v† ô_Uõà†J ô_í}w8ë9† _m φÇ;

k†9 wo ôv__o† φÇ F φN F φi Aí ïb;Nba2 ëíf 8†9

U u ú uU ú ∂φ∗

− φ ∗ ∂φ ∂φ∗

nu φ nu F NQ nuφ F E ïb;Nùa Ö ∂ò ∂ò Ö ∂ò

|vâoAôëààâ2 ëô¢_oo ëíâ ôA¢ôà† 9v† í†9 ¢ë9† _m †í†¢8â QwJ BëíAov†o2 A;†;2 9v† oôë99†¢†f õ_Ä†¢

Uwo9 ^† ^ëàëíô†f ^â 9v† AíôAf†í9 õ_Ä†¢;

4ëIAí8 wo† _m ïb;NXa Ä† 8†9 7 U Nπ N T[¢ ô_oïθ−θia i T[¢−TπÄXE F Q ¢nθ wiïθa E π[¢ 7

−T[¢ ô_oïθ−θia − T[ N ∗ −T[¢iTπÄXk −T[ ô_oïθ − θia wiïθa π[¢ cU Nπ N

F Q ¢nθ −T[ ô_oïθ − θia i ï−T[aLwiLN

E π[¢

å;b; Tôë99†¢Aí8 _m TY ÄëB†o NÇ

7

i T[¢[ô_o θ−θia−ÇeiTπÄXï−T[aN ∗ wiπ[¢e 7

N

i −T[¢[ô_o θ−θia−Çe−TπÄXï−T[a ô_oïθ − θia wiπ[¢

èv† Ü¢o9 9†¢U Aí 9v† Aí9†8¢ëíf 8AB†o í_ ô_í9¢A^w9A_í 9_ 9v† Aí9†8¢ëà ë^_B† ^†ôëwo† _m

õ†¢A_fAôA9â; TAíô† QïTta F QïTt ∗a2 Ä† 8†9 U Nπ E F −

N LwiïθaLN nθ π E

7U Nπ N TπÄX T[¢ïÇ−ô_oïθ−θiaaiQ wiï−T[a [Ç i ô_oïθ − θiae¢nθ π[¢E U NπN

π

LwiïθaLNF − nθ E

7 U NπN−TπÄX T[¢ïÇ−ô_oïθ−θiaawiï[a¢−| nθ[Ç i ô_oïθ − θiae π[¢ E

P_¢ àë¢8† [¢ 9v† ¢†UëAíAí8 Aí9†8¢ëà ôëí ^† m_wíf ëõõ¢_JAUë9†àâ ^â 9v† U†9v_f _m o9ëq

9A_íë¢â õvëo† ïo†† sõõ†ífAJ =a2 ÄA9v 9v† ¢†owà9 7U Nπ NπT[¢ïÇ−ô_oïθ−θiaa TπÄX nθ[Ç i ô_oïθ − θiae ∼ ïb;Nja E [¢

d† 8†9 Üíëààâ U Nπ LwLN nθ F −N|wïθia ïb;N3a

E

èvwo 9v† 9_9ëà oôë99†¢†f †í†¢8â Aí ëàà fA¢†ô9A_ío Ao ¢†àë9†f 9_ 9v† ëUõàA9wf† _m 9v†

oôë99†¢†f ÄëB† Aí 9v† m_¢Äë¢f fA¢†ô9A_í; óí ë9_UAô õvâoAôo2 Äv†¢† 9vAo 9v†_¢†U Äëo

_¢A8Aíë9†f ï^â tA†ào =_v¢a2 U†ëow¢†U†í9 _m 9v† oôë99†¢Aí8 ëUõàA9wf† Aí ëàà fA¢†ô9A_ío Ao

í_9 †ëoâ; èvAo 9v†_¢†U ow88†o9o ëí †ô_í_UAôëà ëà9†¢íë9AB†;

Y_U†Ä_¢I P_¢ 9v† oëU† oôë99†¢†¢2 ô_íoAf†¢ 9Ä_ oôë99†¢Aí8 õ¢_^à†Uo φÇ ëíf φN;

Tv_Ä 9vë9

wÇïθNa F wNïθÇa ïb;åEa

P_¢ 8†í†¢ëà †àëo9Aô ÄëB†o2 o†† 4†A ïÇ3ùja r ÉJ9†íoA_ío _m o_U† Af†í9A9A†o Aí †àëo9_fâq

íëUAôo ÄA9v ¢A8Af AíôàwoA_ío; c ; sô_wo9; T_ô; sU; bXïña2 ÇñÇXqÇñNN;

å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI NN

b;å Tôë99†¢Aí8 ^â ë ôA¢ôwàë¢ ôëBA9â

dA9v_w9 à_oo _m 8†í†¢ëàA9â Ä† ôëí 9ëI† θi F E; >í 9v† ow¢mëô† _m 9v† ôâàAíf¢Aôëà ôëBA9â

¢ F ó2 Ä† AUõ_o† ∂φô ∂φ`

i F EI ¢ F ó ∂¢ ∂¢

ó9 m_àà_Äo 9vë9 yò F E ëíf

SòTòylòf ï[óa i Qò[fò

f ï[óa F EI ò F EI ÇI NI åI P P P ò

Äv†¢† õ¢AU†o f†í_9† fAff†¢†í9Aë9A_í ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ 9v† ë¢8wU†í9; Y†íô†

lòf ï[óa

Qò F −ySòTò

fòf ï[óa

èv† owU _m AíôAf†í9 ëíf oôë99†¢†f ÄëB†o Ao { ¢∞P lòf ï[óa

φ F y òTò lòï[¢a − fòï[¢a ô_o òθ ïb;åÇa

òFE fòf ï[óa

ëíf { ¢∞P l f ï[óa−TωM òψ F y òTò lòï[¢a − fòï[¢a ô_o òθ ïb;åNa

òFE fòf ï[óa

èv† àAUA9 _m à_í8 ÄëB†o ôëí ^† ëõõ¢_JAUë9†àâ ëíëàâV†f ^â woAí8 9v† †JõëíoA_ío m_¢

=†oo†à mwíô9A_ío m_¢ oUëàà ë¢8wU†í9

\ò N Nòïò− Ça:lòï\a ∼ I sòï\a ∼ à_8 \I sòï\a ∼ ïb;ååa

Nòò: π π\ò

èv†í 9v† oôë99†¢†f ÄëB† vëo 9v† õ_9†í9Aëà

φ` lEf ï[óa lÇ

f ï[óa å∼ −fEï[¢a − NTfÇï[¢a ô_o θ i Rï[óa y fE

f ï[óa fÇf ï[óa ï t

π T F ï[óa N − fEï[¢a −fÇï[¢a ô_o θ i Rï[óa å ïb;åXa

N N

èv† 9†¢U fEï[¢a ô_¢¢†oõ_ífo 9_ ë _oôAààë9Aí8 o_w¢ô† ÄvAôv o†ífo Ao_9¢_õAô ÄëB†o Aí ëàà

fA¢†ô9A_ío; èv† o†ô_íf 9†¢U Ao ë fAõ_à† o†ífAí8 oôë99†¢†f ÄëB†o U_o9àâ Aí m_¢Äë¢f ëíf

^ëôIÄë¢f fA¢†ô9A_ío; P_¢ àë¢8† [¢2 9v† ëí8wàë¢ Bë¢Aë9A_í Ao ë à_9 U_¢† ô_Uõà†J; èv† më¢

Ü†àf õë99†¢í m_¢ Bë¢A_wo [ó Ao ov_Äí Aí Ü8 X;

>í 9v† ôëBA9â ow¢mëô†2 9v† fAoõàëô†U†í9 Ao õ¢_õ_¢9A_íëà 9_ ψïóI θa _¢ φïóI θa; èv†

ëí8wàë¢ Bë¢Aë9A_í Ao õà_99†f m_¢ o†B†¢ëà [ó Aí Ü8w¢† ñ;

å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI Nå

PA8w¢† Xr sí8wàë¢ fAo9¢A^w9A_í Aí ôâàAíf¢Aôëà oôë99†¢Aí8 © sources unknown. All rights reserved. This content is excluded from our Creative Commons license. For more information, see https://ocw.mit.edu/help/faq-fair-use.

PA8w¢† ñr |_àë¢ fAo9¢A^w9A_í _m ¢wíqwõ _í ë ôA¢ôwàë¢ ôâàAíf†¢

© sources unknown. All rights reserved. This content is excluded from our Creative Commons license. For more information, see https://ocw.mit.edu/help/faq-fair-use.

å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI NX

ù GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB† ^â ë à_í8 ô¢ëôI

á†m†¢†íô†o

4_¢o† ã óí8ë¢f2 èv†_¢†9Aôëà sô_wo9Aôo T†¢A†o †JõëíoA_ío;

=_¢í ã d_àm2 |¢AíôAõà† _m >õ9Aôo P_w¢A†¢ è¢ëíom_¢U ëíf 9v† U†9v_f _m o9††õ†o9 f†oô†í9;

=; t_^à†; èv† dA†í†¢qY_õm è†ôvíAgw†;

óm 9v† _ô9ëôà† Ao àë¢8†2 9v†¢† Ao ëàÄëâo ë ovëf_Ä ^†vAíf Äv†¢† 9v† AíôAf†í9 ÄëB†

ôëíí_9 õ†í†9¢ë9† f††õàâ; èv† õv†í_U†í_í _m oôë99†¢Aí8 ^â àë¢8† _ô9ëôà†o Ao wowëààâ

¢†m†¢¢†f 9_ ëo fAff¢ëô9A_í;

GAff¢ëô9A_í _m õàëí† AíôAf†í9 TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI Ao Af†í9Aôëà 9_ 9vë9 _m ë vë¢f

oô¢††í Aí ëô_wo9Aôo; èv† †Jëô9 o_àw9A_í Äëo fw† 9_ s; T_UU†¢m†àf; d† ovëàà ëõõàâ

9v† ^_wífë¢â àëâ†¢ Af†ë ëíf 8AB† 9v† ëõõ¢_JAUë9† o_àw9A_í BëàAf më¢ ëÄëâ m¢_U 9v† 9Aõ

[¢ E Ç ^â 9v† õë¢ë^_àAô ëõõ¢_JAUë9A_í2 fw† 9_ ò; P_ôI;;

á†m†¢¢Aí8 9_ Ü8w¢† ïa à†9 wo UëI† ë ô¢wf† fABAoA_í _m 9v† †í9A¢† Ü†àf Aí9_ 9v† AààwUAq

íë9†f V_í† ó 2 f_UAíë9†f ^â 9v† AíôAf†í9 ÄëB† ëà_í†2 9v† ¢†Q†ô9A_í V_í† óó f_UAíë9†f

9v† owU _m 9v† AíôAf†í9 ëíf 9v† ¢†Q†ô9†f ÄëB†2 ëíf 9v† ovëf_Ä V_í† óóó Äv†¢† 9v†¢† Ao

í_ ÄëB†; èv† ^_wífë¢A†o _m 9v†o† V_í†o ë¢† 9v† ¢ëâo 9_wôvAí8 9v† ô¢ëôI 9Aõ; sôô_¢fAí8

9_ 9vAo ô¢wf† õAô9w¢† 9v† o_àw9A_í Ao

yi †JõïT[ ô_o θ\i T[ oAí θêaI ô

φ F yi[†JõïT[ ô_o θ\ i T[ oAí θêa i †JõïT[ ô_o θ\− T[ oAí θêaeI ôô ïù;Ça

EI ôôôe

zà†ë¢àâ ïù;Ça Ao Aíëf†gwë9† ^†ôëwo† 9v† õ_9†í9Aëà ôëíí_9 ^† fAoô_í9Aíw_wo ëô¢_oo 9v†

^_wífë¢A†o; s ¢†U†fâ 9_ õ¢_BAf† oU__9v 9¢ëíoA9A_ío Ao í††f†f;

z_íoAf†¢ 9v† ovëf_Ä ^_wífë¢â R\f; k†9 wo Aí9¢_fwô† ë í†Ä zë¢9†oAëí ô__¢fAíë9†

oâo9†U o_ 9vë9 \f ëJAo Ao ëà_í82 ÄvAà† 9v† êf ëJAo Ao í_¢Uëà 9_2 9v† ovëf_Ä ^_wífë¢â;

èv† ¢†àë9A_ío ^†9Ä††í ï\I êa ëíf ï\fI êfa ë¢†

\f F \ ô_o θ i ê oAí θI êf F ê ô_o θ − \ oAí θ ïù;Na

èvwo 9v† AíôAf†í9 ÄëB† Ao oAUõàâ

φô F yi T[\f ïù;åa

å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI Nñ

PA8w¢† br dëB† V_í†o í†ë¢ ë à_í8 ô¢ëôI

P_àà_ÄAí8 9v† ôvëAí ¢wà† _m fAff†¢†í9Aë9A_í2

∂φ ∂φ ∂\f ∂φ ∂êf ∂φ ∂φ F i F ô_o θ − oAí θ

∂\ ∂\f ∂\ ∂êf ∂\ ∂\f ∂êf

∂φ ∂φ ∂\f ∂φ ∂êf ∂φ ∂φ F i F oAí θ i ô_o θ

∂ê ∂\f ∂ê ∂êf ∂ê ∂\f ∂êf

Ä† ôëí ov_Ä o9¢ëA8v9m_¢Äë¢fàâ 9vë9

∂Nφ ∂Nφ ∂Nφ ∂Nφ i F i

∂\N ∂êN ∂\fN ∂êfN

o_ 9vë9 9v† Y†àUv_à9V †gwë9A_í Ao wíôvëí8†f Aí m_¢U Aí 9v† \fI êf oâo9†U;

d† 9¢â 9_ Ü9 ë ^_wífë¢â àëâ†¢ ëà_í8 9v† JW ëJAo ëíf †Jõ†ô9 9v† õ_9†í9Aëà 9_ ^† ëàU_o9

àAI† ë õàëí† ÄëB†

φï\If I êfa F yï\fI êf a T[\f

ïù;Xa

2 ^w9 9v† ëUõàA9wf† Ao oà_Äàâ U_fwàë9†f Aí ^_9v \f ëíf êf fA¢†ô9A_ío; Twô9A9w9Aí8 ïù;X

Aí9_ 9v† Y†àUv_à9V †gwë9A_í2 Ä† 8†9 ä j∂Ny ∂y ∂NyT[\f i NT[ − [N yi i [N y F E ïù;ña ∂\fN ∂\f ∂êfN

ÉJõ†ô9Aí8 9vë9 9v† ôvë¢ëô9†¢Ao9Aô oôëà† r\ _m y ëà_í8 \f Ao Uwôv à_í8†¢ 9vëí ë ÄëB†à†í89v2

[r\ E Ç2 Ä† vëB† ∂y ∂Ny

NT[ E ∂\f ∂\fN

å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI Nb

Y†íô† Ä† 8†9 ëo 9v† Ü¢o9 ëõõ¢_JAUë9A_í 9v† Tôv¢\_fAí8†¢ †gwë9A_íN

∂y ∂NyNT[ i ≈ E ïù;ùa∂\f ∂êfN

óí 9vAo 9¢ëíoA9A_í V_í† Äv†¢† 9v† ¢†UëAíAí8 9†¢Uo ë¢† _m ô_Uõë¢ë^à† AUõ_¢9ëíô†2 v†íô†

9v† à†í89v oôëà†o Uwo9 ^† ¢†àë9†f ^â

√[ Ç∼ I AUõàâAí8 [êf ∼ [\f \f êfN

èvwo 9v† 9¢ëíoA9A_í V_í† Ao 9v† Aí9†¢A_¢ _m ë õë¢ë^_àë;

Égwë9A_í ïù;ùa Ao _m 9v† õë¢ë^_àAô 9âõ†; èv† ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío ë¢†

yï\I∞a F E ïù;ja

yï\I−∞a F yi ïù;3a

èv† AíA9Aëà ô_ífA9A_í Ao

yïEI êfa F

EI êf â EI ïù;ÇEa

yEI êf Å E

v† AíA9Aëàq^_wífë¢â Bëàw† m_¢ y vëo í_ Aí9¢AíoAô à†í89v oôëà†o †Jô†õ9 \fI êf 9v†Uo†àB†o;

èv†¢†m_¢† 9v† ô_ífA9A_í [r\ E Ç U†ëío [\f E Ç A;†;2 më¢ ëÄëâ m¢_U 9v† 9Aõ; èvAo

õ¢_^à†U Ao o_U†Ävë9 ëíëà_8_wo 9_ 9v† õ¢_^à†U _m _í†qfAU†íoA_íëà v†ë9 fAffwoA_í ëô¢_oo

ë ^_wífë¢â; s ô_íB†íA†í9 Äëâ _m o_àw9A_í Ao 9v† U†9v_f _m oAUAàë¢A9â;

soowU† 9v† o_àw9A_í

y F yitïγa ïù;ÇÇa

Äv†¢† −[êf

γ F √ ïù;ÇNa π[\f

Ao 9v† oAUAàë¢A9â Bë¢Aë^à†; d† Üíf wõ_í owô9A9w9A_í 9vë9 t oë9AoÜ†o 9v† _¢fAíë¢â fAff†¢q

†í9Aëà †gwë9A_í

t ff − Tπγt f F E ïù;Çåa Nóí _í†qfAU†íoA_íëà gwëí9wU U†ôvëíAôo 9v† ÄëB† mwíô9A_í Aí ë õ_9†í9Aëàqm¢†† Ü†àf Ao 8_B†¢í†f ^â

9v† Tôv¢x_fAí8†¢ †gwë9A_í ∂ψ Ç ∂Nψ

T| i F E ïù;ba ∂M NJ ∂\N

å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI Nù

ow^}†ô9 9_ 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío 9vë9

t → EI γ → −∞< t → ÇI γ →∞P ïù;ÇXa

á†Ä¢A9Aí8 ïù;Çåa ëo t ff F Tπγ

t f

Ä† 8†9

à_8 t f F TπγÄN i ô_ío9ëí9P

>í† U_¢† Aí9†8¢ë9A_í 8AB†o U γ u ú Tπ}N

t F Ö †Jõ n} −∞ N

TAíô† uU ∞ ú

TπÄXTπ}N

†Jõ n} F √ E N N

Ä† 8†9 −TπÄX

Ö F √ N

ëíf u ú ä u ú j−TπÄX U γ Tπ}N −TπÄX TπÄX U γ Tπ}Nyt F F √ †Jõ n} F √ √ i †Jõ n} ïù;Çña

yi N −∞ N N N E N

G†ÜíAí8 9v† ô_oAí† ëíf oAí† P¢†oí†à Aí9†8¢ëào ^â u ú u úU γ U γπUN πUN

Öïγa F ô_o nUI `ïγa F oAí nU ïù;Çba E N E N

Ä† ôëí 9v†í Ä¢A9† c∙ z ∙ zâ−TπÄX Ç Ç√ i Öïγa i T i `ïγa ïù;Çùa N N N

óí 9v† ô_Uõà†J õàëí† 9v† õà_9 _m Öïγai T`ïγa Bo; γ Ao 9v† mëU_wo z_¢íwWo oõA¢ëà2 ov_Äí

Aí Ü8w¢† ïOOa;

èv† ÄëB† Aí9†íoA9â Ao 8AB†í ^â jä∙ zN ∙ zNLyLN Ç Ç ÇF i Öïγa i i `ïγa ïù;Çja

yi N N N N

TAíô† ÖI ` → E ëo γ → ∞2 9v† ÄëB† Aí9†íoA9â fAUAíAov†o 9_ V†¢_ 8¢ëfwëààâ Aí9_ 9v†

ovëf_Ä; Y_Ä†B†¢2 ÖI ` → ÇÄN ëo γ → ∞ Aí ëí _oôAààë9_¢â Uëíí†¢; èv† ÄëB† Aí9†íq

oA9â _oôAààë9†o ÄvAà† ëõõ¢_ëôvAí8 9_ wíA9â ëoâUõ9_9Aôëààâ; óí _õ9Aôo 9vAo ov_Äo wõ ëo

ëà9†¢íë9†àâ àA8v9 ëíf fë¢I fAff¢ëô9A_í ^ëífo;

å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI Nj

PA8w¢† ùr sUõàA9wf† ô_í9_w¢o _m fc


PA8w¢† jr |vëo† ô_í9_w¢o _m fc


å;ù; GAff¢ëô9A_í _m TY ÄëB†o ^â ë à_í8 ô¢ëôI N3

|Ez|

0.2

0.4

0.8

0.6

1.0

1.2

-4 -2 0 2 4

PA8w¢† 3r GAff¢ëô9A_í _m ë í_¢Uëààâ AíôAf†í9 çqõ_àë¢AV†f õàëí† ÄëB†

Figure by MIT OpenCourseWare.

0.2 0.2

x

0

0.2

0.2

0.4

0.6

0.4

0.6

1.5 2.5

2.0

0.5

0.5

2.0

Z 1.0

1.5 2.5

1.0

p

Z'

0.4 0.6 0.8 0.40.60.8

p

v

PA8w¢† ÇEr z_¢íwWo oõA¢ëà2 ë õà_9 _m 9v† P¢†oí†à Aí9†8¢ëào


å;j; áëâà†A8v ow¢mëô† ÄëB†o åE

óí U_¢† ô_Uõà†J õ¢_õë8ë9A_í õ¢_^à†Uo2 9v† õë¢ë^_àAô ëõõ¢_JAUë9A_í ôëí oAUõàAmâ 9v†

íwU†¢Aôëà 9ëoI Aí 9vë9 ëí †ààAõ9Aô ^_wífë¢â Bëàw† õ¢_^à†U AíB_àBAí8 ëí AíÜíA9† f_UëAí

Ao ¢†fwô†f 9_ ëí AíA9Aëà ^_wífë¢â Bëàw† õ¢_^à†U; >í† ôëí wo† z¢ëíIqtAôv_ào_í oôv†U†

9_ Uë¢ôv Aí ?9AU†?2 A;†;2 \f;

Y_U†Ä_¢I PAíf ^â 9v† õë¢ë^_àAô ëõõ¢_JAUë9A_í 9v† 9¢ëíoA9A_í o_àw9A_í ëà_í8 9v†

†f8† _m 9v† ¢†Q†ô9A_í V_í†;

j áëâà†A8v ow¢mëô† ÄëB†o

á†mo; é¢ëff2 sôv†í^ëôv2 Pwí8

óí ë v_U_8†í†_wo †àëo9Aô vëàm õàëí†2 Aí ëffA9A_í 9_ |2 Tò ëíf TY ÄëB†o2 ëí_9v†¢

ÄëB† ÄvAôv Ao 9¢ëõõ†f ëà_í8 9v† ow¢mëô† _m ë vëàm õàëí† ôëí ëào_ ^† õ¢†o†í9; =†ôëwo†

U_o9 _m 9v† ëô9A_í Ao í†ë¢ 9v† ow¢mëô†2 9vAo ow¢mëô† ÄëB† Ao _m oõ†ôAëà AUõ_¢9ëíô† 9_

o†AoUAô †ff†ô9o _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô†;

k†9 wo o9ë¢9 m¢_U 9v† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_ío ë8ëAí

∂Nφ ∂Nφ Ç ∂Nφ i F I ïj;Ça

∂\N ∂êN ùN r ∂M

N

∂Nfc ∂Nfc Ç ∂Nfci F ïj;Na

∂\N ∂êN ùN ñ ∂M

N

d† í_Ä o††I ÄëB†o õ¢_õë8ë9Aí8 ëà_í8 9v† J fA¢†ô9A_í

é n é n Tξ\−TωM Tξ\−TωMφ F | tïêa I fc F | |ïêa ïj;åa

èv†í tïêaI |ïêa Uwo9 oë9Aomâ

é énNt n nN| n i ωNÄùr

N − ξN t F EI i ωNÄùñ N − ξN | F EI ïj;Xa

nêN nêN

è_ vëB† ow¢mëô† ÄëB†o Ä† AíoAo9 9vë9

2 2 α F ξN − ωNÄùN

rI β F ξN − ωNÄùN ñ ïj;ña

^† ¢†ëà ëíf õ_oA9AB†; û††õAí8 _íàâ 9v† o_àw9A_ío ÄvAôv ë¢† ^_wíf†f m_¢ ê ∼ ∞2 Ä† 8†9

−αê Tïξ\−ωMaPφ F y Tïξ\−ωMaI fc F Q −βê ïj;ba

å;j; áëâà†A8v ow¢mëô† ÄëB†o åÇ

èv† †Jõ¢†ooA_ío m_¢ 9v† fAoõàëô†U†í9o ëíf o9¢†oo†o ôëí ^† m_wíf o9¢ëA8v9m_¢Äë¢fàâ;

é n }\ F Tξy −αê − βQ −βê Tïξ\−ωMaI ïj;ùa é n }ê F − αy −αê i TξQ −βê Tïξ\−ωMaI ïj;ja

τ\\ F = Hé β N − ξN − NαN

n y −αê − NTβξQ −βê

-Tïξ\−ωMaI ïj;3a

τêê F = Hé β N i ξN

n y −αê i NTβξQ −βê

-Tïξ\−ωMaI ïj;ÇEa

τ\ê F = H −NTαξy −αê i

é ξN i β

Nn Q −βê

-Tïξ\−ωMa ïj;ÇÇa

>í 9v† m¢†† ow¢mëô† 9v† 9¢ëô9A_íqm¢†† ô_ífA9A_ío τêê F τ\ê F E ¢†gwA¢† 9vë9

é nN i ξNβ y i NTβξQ F EI ïj;ÇNa é n

−NTαξy i β N i ξN Q F EP ïj;Çåa

P_¢ í_í9¢ABAëà o_àw9A_ío _m yIQ 9v† ô_†ffiôA†í9 f†9†¢UAíëí9 Uwo9 BëíAov2

é nN β N i ξN − XαβξN F EI ïj;ÇXa

_¢ { 7 7¢NωN ωN ωN

NξN − − XξN ξN − ξN − F E ïj;Çña ùN ùN ùN ñ r ñ

ÄvAôv Ao 9v† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í ^†9Ä††í m¢†gw†íôâ ω ëíf ÄëB†íwU^†¢ ξ; P¢_U †A9v†¢

ïj;ÇNa _¢ ïj;Çåa Ä† 8†9 9v† ëUõàA9wf† ¢ë9A_r

N i ξNy NTβξ β

F − F I ïj;Çba Q β

N i ξN NTαξ

óí 9†¢Uo _m 9v† ÄëB† B†à_ôA9â ù F ωÄξ2 ïj;Çña ^†ô_U†o

u ùN úN u ú

ùN ÇN u ú

ùN ÇN

N − F X Ç − Ç − P ïj;Çùa ùN ùN ùN ñ r ñ

_¢2 wõ_í ogwë¢Aí8 ^_9v oAf†o Üíëààâ äï tb ï tX ï tï tN ï tjùN ù ù Çb ù Ç− j i NX − − Çb Ç − F EP ïj;Çja ùN κN κN N ùN ùN ùN

èv† Ü¢o9 o_àw9A_í ù F ω F E Ao ë9 ^†o9 ë o9ë9Aô õ¢_^à†U; óí mëô9 α F β F ξ ëíf

y F −TQ2 o_ 9vë9 }\ F }ê ≡ E ÄvAôv Ao _m í_ Aí9†¢†o9;

å;j; áëâà†A8v ow¢mëô† ÄëB†o åN

d† í††f _íàâ ô_íoAf†¢ 9v† ôwÂô †gwë9A_í m_¢ ùN; t_9† 9vë9 9v† ¢__9o _m 9v† ôwÂô

†gwë9A_í f†õ†íf _íàâ _í |_Aoo_íWo ¢ë9A_2 9v¢_w8v κN F NïÇ − νaÄïÇ − Nνa; èv†¢† ôëí ^†

9v¢†† ¢†ëà ¢__9o m_¢ ù _¢ ω2 _¢ _í† ¢†ëà ¢__9 ëíf 9Ä_ ô_Uõà†Jqô_í}w8ë9† ¢__9o; d† ¢wà†

_w9 9v† àë99†¢ ^†ôëwo† 9v† ô_Uõà†J ¢__9o AUõàâ †A9v†¢ 9†Uõ_¢ëà fëUõAí8 _¢ Aío9ëÂàA9â<

í†A9v†¢ _m ÄvAôv Ao ë õ¢_õë8ë9Aí8 ÄëB†; dv†í ëàà 9v¢†† ¢__9o ë¢† ¢†ëà Ä† Uwo9 õAôI 9v†

_í† o_ 9vë9 ^_9v α ëíf β ë¢† ¢†ëà;

P_¢ ù F E2 9v† mëô9_¢ Aí ôw¢àâ ^¢ëôI†9o Ao u ú ùN

yPá F −Çb Ç − ñ Å E ùN r

P_¢ ù F ùñ 9v† oëU† mëô9_¢ Ao †gwëà 9_ wíA9â ëíf v†íô† õ_oA9AB†; èv†¢† Uwo9 ^† ë o_àw9A_í

m_¢ ù owôv 9vë9 E Å ù Å ùñ ; Pw¢9v†¢U_¢†2 Ä† ôëíí_9 vëB† ¢__9o Aí 9v† ¢ëí8† ùÄùñ â Ç;

óm o_2 u ú ùN

β N F ξN Ç −

ùN Å E ñ

ÄvAôv Ao í_9 ë ow¢mëô† ÄëB†; èvwo 9v† ow¢mëô† ÄëB†2 Am A9 †JAo9o2 Ao oà_Ä†¢ 9vëí 9v† ov†ë¢

ÄëB†;

twU†¢Aôëà o9wfA†o m_¢ 9v† †í9A¢† ¢ëí8† _m |_Aoo_íWo ¢ë9A_ ïE Å ν Å EPña vëB† ov_Äí

9vë9 9v†¢† ë¢† _í† ¢†ëà ëíf 9Ä_ ô_Uõà†J ô_í}w8ë9† ¢__9o Am ν â EPNbå P P P ëíf 9v¢†† ¢†ëà

¢__9o Am ν Å EPNbå P P P; =w9 9v†¢† Ao _íàâ _í† ¢†ëà ¢__9 9vë9 8AB†o 9v† ow¢mëô† ÄëB† B†à_ôA9â

ùé; s 8¢ëõv _m ùé m_¢ ëàà Bëàw†o _m |_Aoo_íWo ¢ë9A_2 fw† 9_ ûí_õ_ff 2 Ao ov_Äí Aí PA8; OO;

s ôw¢B†qÜ99†f †Jõ¢†ooA_í m_¢ 9v† áëâà†A8v ÄëB† B†à_ôA9â Ao

ùéÄùN F ïE k jù i Ç k ÇNνaÄïÇ i νaP ïj;Ç3a

P_¢ ¢_ôIo2 λ F = ëíf ν F Ç X 2 9v† ¢__9o ë¢†

ïùÄùNa N F XI N i NÄ

√ åI N − NÄ

√ åP ïj;NEa

èv† _íàâ ëôô†õ9ë^à† ¢__9 m_¢ áëâà†A8v ÄëB† oõ††f ùé Ao

ïùéÄùñ a N F ïN − NÄ

√ åa

Ç N F E k 3Ç3X ïj;NÇa

_¢

ùé F E k 3Ç3Xùñ P ïj;NNa

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† åå

0.2

0.4 cR/cL

cT/cL 0.6

0.8

cR/cT

0.90

0.92

0.94

0 0.2 0.4 0 0.2 0.4 Poisson's Ratio � Poisson's Ratio �

PA8w¢† ÇÇr èv† B†à_ôA9â _m áëâà†A8v ow¢mëô† ÄëB†o ùé


èv† õë¢9Aôà† fAoõàëô†U†í9 _m ë õë¢9Aôà† _í 9v† m¢†† ow¢mëô† Ao2 m¢_U ïOOa ëíf ïOOa

}\ F Tyξ − β N i ξN

Nξ Tïξ\−ωMa ïj;Nåa

}ê F y−α i β N i ξN

Nξ Tïξ\−ωMa ïj;NXa

t_9† 9vë9

ó F y

ξ − β N i ξN

Nξ

F y

{ξ i

[N ñ

Nξ

¢

â E

h F y

−α i β N i ξN

Nξ

F y

{ ïα − βaN i [N

r

Nβ

¢

â E

v†íô†

}\ F ó oAíïωM − ξ\aI }ê F h ô_oïωM − ξ\a

ëíf }N }N \ i ê F Ç ïj;Nña

óN hN

èv† õë¢9Aôà† 9¢ë}†ô9_¢â Ao ëí †ààAõo†; óí ô_Uõà†J m_¢U Ä† vëB†

}\ }êi T F †Jõ yT ïωM − ξ\ − πÄNaá ïj;Nba

ó h

Y†íô† ëo M Aíô¢†ëo†o2ë õë¢9Aôà† ë9 ï\I Ea 9¢ëô†o 9v† †ààAõo† Aí 9v† ô_wí9†¢qôà_ôIÄAo† fA¢†ôq

9A_í; T†† Ü8w¢† ïja;

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† åX

Direction of wave propagation

Particle path

Instantaneous wave surfaceInstantaneous

particle velocity

Displacement vectors

PA8w¢† ÇNr GAoõàëô†U†í9 _m õë¢9Aôà†o _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† Aí áëâà†A8v ow¢mëô† ÄëB† Figure by MIT OpenCourseWare.

3 Éàëo9Aô ÄëB†o fw† 9_ ë à_ëf 9¢ëB†àAí8 _í 9v† 8¢_wíf

ow¢mëô†

á†mor Pwí8r P_wífë9A_ío _m T_àAf 4†ôvëíAôo

z_à† ëíf Yw9vr ïÇ3ñb2 Éàëo9Aô vëàm oõëô† < c sõõà 4†ôvNñ2 XååqXåb;a

4†A2 TA ã zv†í 2 ïÇ3jñ2 |_¢_q†àëo9Aô vëàm oõëô†2 dëB† 4_9A_í2 ù2 ÇN3qÇXÇ;a;

óí 9vAo o†ô9A_í 9v† ê ëJAo Ao õ_oA9AB† Am õ_Aí9Aí8 wõÄë¢fo;

k†9 9v† 9¢ëô9A_í _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† ^† r

τêê F −Ü ï\i gMaP τ\ê F EI _í ê F E ï3;Ça

k†9 wo UëI† ë ïéëàAà†ëí a 9¢ëíom_¢Uë9A_í 9_ ë ô__¢fAíë9† oâo9†U U_BAí8 9_ 9v† à†m9 ë9

9v† oõ††f _m g 2 o_ 9vë9 9v† à_ëf ëõõ†ë¢o o9ë9A_íë¢â2 èv†í2 ^â 9v† ôvëAí ¢wà†2 f†¢ABë9AB†o

ë¢† ôvëí8†f ëôô_¢fAí8

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂\ → ∂\

I ∂ê → ∂ê

I ∂M → ∂M i g

∂\ ï3;Na

óí 9v† U_BAí8 ô__¢fAíë9†o2 9v† ÄëB† †gwë9A_ío ë¢† ôvëí8†f 9_ u úN∂NΦ ∂NΦ Ç ∂ ∂

i F i g ΦIe ï3;åa∂\N ∂êN ùr

N ∂M ∂\

u úN∂Nf ∂Nf Ç ∂ ∂

i F i g fe ï3;Xa∂\N ∂êN ùñ

N ∂M ∂\

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† åñ

Äv†¢† Ä† vëB† ë^^¢†BAë9†f fc oAUõàâ ^â f;

óí 9v† o9†ëfâ o9ë9† àAUA9 9v†â ^†ô_U†

∂NΦ ∂NΦ gN ∂NΦ i F ï3;ña

N N N N∂\ ∂ê ùr ∂\

∂Nf ∂Nf gN ∂Nf i F ï3;ba

N N N N∂\ ∂ê ù ∂\ñ

óí9¢_fwôAí8 9v† 4ëôv íwU^†¢or

g gJÇ F I JN F ï3;ùa

ù ùr ñ

9v†í ï3;ñ a ëUf ï3;ba ^†ô_U† é n ∂NΦ ∂NΦ Ç − JÇ

N i F E ï3;ja N N∂\ ∂êé n ∂Nf ∂Nf

Ç − JNN i F E ï3;3a

N N∂\ ∂ê

èv† o9¢†oo ô_Uõ_í†í9o ôëí ^† f†¢AB†f o9¢ëA8v9m_¢Äë¢fàâ Aí 9†¢Uo _m 9v† õ_9†í9Aëào u ú ∂NΦ ∂Nf

τ\\ F ïλ i N=a∇NΦ − N= − N∂ê ∂\∂ê

gN ∂NΦ ∂NΦ ∂Nf F ïλ i N=a − N=ïJN − Ça i N=

N N Ç Nùr ∂\ ∂\ ∂\∂ê

ZoAí8 9v† mëô9 9vë9 λ i N=aÄ= F ùrN Äùñ

N 2 Ä† mw¢9v†¢ 8†9 { ¢ é n ∂NΦ ∂Nf τ\\ F = JN

N − NJÇN i N

N i N ï3;ÇEa

∂\ ∂\∂ê

TAUAàë¢àâ Ä† Üíf { ¢ ∂NΦ ∂Nf

τêê F = ïJNN − Na − N ï3;ÇÇa

N∂\ ∂\∂ê { ¢ ∂NΦ ∂Nf

τ\ê F = N i ïJNN − Na

N ï3;ÇNa

∂\∂ê ∂\

d† í_Ä †JëUAí† 9v† oõ†ôAëà õ¢†oow¢† fAo9¢A^w9A_í2 ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† ï3ar

ûï\I Ea F ÜiÑï\a ≡ ÜE

−αÇ\I \ â EI

αN\I \ Å E ï3;Çåa

èvwo 9v† 9¢ëô9A_í ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío ï3;åa _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† ^†ô_U†

∂NΦ ∂Nf ÜiïJN

N − Na − N F − Ñï\aI ê F E< ï3;ÇXa N∂\ ∂\∂ê =

∂NΦ ∂Nf N i ïJN

N − Na F EI ê F EP ï3;Çña N∂\∂ê ∂\

èv¢†† ôëo†o ÄAàà ^† fAo9Aí8wAov†fr

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† åb

Figure 13: A moving pressure distribution on an elastic half space. Shown in a moving coordinate system, the pressure appears stationary.

© sources unknown. All rights reserved. This content is excluded from our Creative ; Commons license. For more information, see https://ocw.mit.edu/help/faq-fair-use.

3;Ç Twõ†¢o_íAôr JÇ â JN â Ç

k†9 wo ëõõàâ 9v† †Jõ_í†í9Aëà P_w¢A†¢ 9¢ëíom_¢U f†Üí†f ^â

U ∞ tïλa F _ ï\a −Tλ\n\I

−∞ U ∞Ç _ ï\a F tïλa Tλ\ nλP ï3;Çba

Nπ −∞

P¢_U 9v† 8_B†¢íAí8 ÄëB† †gwë9A_ío Ä† 8†9

nNφ nN|i β° Ç

NλNφ F EI i β° NNλN| F E< ê Å EP ï3;Çùa

∂êN ∂êN

Äv†¢† N F JNβá á − ÇI á F ÇI NP ï3;Çja

èv† 8†í†¢ëà o_àw9A_ío _m 9v† P_w¢A†¢ è¢ëíom_¢Uo ë¢†

T −TβÇêIφ F yïλa β° Çê i Qïλa

°

β° Nê i Xïλa

° T TβNê| F Öïλa

o_ 9vë9 U ∞ : ZÇ Tλï\i° Tλï\−β° ÇêaΦï\I êa F yïλa βÇêa i Qïλa nλP ï3;Ç3a

Nπ −∞ U ∞ : ZÇ Tλï\i° Tλï\−β° Nêafï\I êa F Öïλa βNêa i Xïλa nλP ï3;NEa

Nπ −∞

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† åù

óí _¢f†¢ 9vë9 ÄëB†o ^†à_Ä 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† 9¢ëAà ^†vAíf 9v† ow¢mëô† à_ëf2 Ä† fAoôë¢f

9v† o†ô_íf 9†¢U Aí †ëôv Aí9†8¢ëà; èvwo

T TβNêφ F yïλa β° ÇêI | F Öïλa

° ï3;NÇa

t_Ä 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío ¢†gwA¢†

nφ NTλ − λNβ° N

N| F E ï3;NNa nê

ëíf n| TÜi

ï Ç Ç t

−λNβ°Nφ − NTλ F − ï3;Nåa N nê = λ − TαÇ λ i TαN

Zo† vëo ^††í Uëf† _m 9v† ¢†owà9 U ∞ U E U ∞ −Tλ\ −Tλ\−Tλ\Ñï\an\ F αN\n\ i −αÇ\n\ −∞ −∞ E ï t

Ç Ç ÇF − ï3;NXa

T λ − TαÇ λ i TαN

ó9 m_àà_Äo 9vë9

−NλNβ° Çy − β° NNλNÖ F E ï3;Nña

ëíf TÜi

ï Ç Ç t

−βNNλN y i NλNβ° NÖ F − ï3;Nba = λ − TαÇ λ i TαN

èv† àëo9 9Ä_ †gwë9A_ío ôëí ^† o_àB†f 9_ 8AB†

TÜi ï

Ç Ç t −β°N

y F i N ï3;Nùa ° ° ° = λ − TαÇ λ i TαN λNïβNX i XβÇβNa

°TÜi ï

Ç Ç t NβÇ

Ö FF i ï3;Nja ° ° ° = λ − TαÇ λ i TαN λNïβNX i XβÇβNa

èv† AíB†¢o† 9¢ëíom_¢Uo _m φ ëíf | ë¢†r

Φ F TÜE

[Ç

U ∞ ï tÇ Ç−

Nπ= −∞ λ − TαÇ λ i TαN−f [N

βÇ ê

nλ ï3;N3a

λN k†Jõ Tλ\ i

βN

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† åj

Äv†¢†

− ïJNN − Na N[Ç F

ïJÇN − Na i XβÇβN

I

−NβÇ[N F N P ï3;åEa ïJN

N − Na i XβÇβN

ZoAí8 ï3;ÇEa2 ï 3;ÇÇa ëíf ï 3;ÇNa2 Ä† 8†9 9v† o9¢†oo ô_Uõ_í†í9o; P_¢ †JëUõà†

° U ∞ ï tτ\ê NβÇ[Ç Ç Ç TλξÇF − nλ ï3;åÇa Üi NπT −∞ λ − TαÇ λ i TαN U ∞ ï t

ïJN − Na[N Ç ÇN TλξN− − nλ ï3;åNa NπT −∞ λ − TαÇ λ i TαN

Äv†¢†

ξÇ F \i βÇLêLI ξN F \i βNLêL ï3;ååa

óí BA†Ä _m ï3;NXa2 9v† AíB†¢o† 9¢ëíom_¢U Ao AUU†fAë9†2

τ\ê ° F NβÇ[ÇÑïξÇa − ïJN − Na[NÑïξNa ï3;åXa Üi

N

so ë ôv†ôI2 9v† ov†ë¢ o9¢†oo _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† ê F E Ao : Zτ\ê ° F NβÇ[Ç − ïJN − Na[ Ñï\a F E ï3;åña Üi

N N

Aí BA†Ä _m ï3;åEa;

ó9 ôëí ^† ov_Äí 9vë9

τ E é n τh\\ F

Ü\\ F JN

N − JÇN i N [ÇÑ ïξÇa − NβN[NÑ ïξNa I

E

τhêê F ï9_ ^† Ä_¢I†f _w9a ï3;åba

t_9† 9vë9 9v† fAo9w¢^ëíô†o Aí 9v† vëàm oõëô† Aíf††f 9¢ëAà ^†vAíf 9v† ow¢mëô† õ¢†oow¢†;

èv† | ëíf Tò ÄëB†o ë¢† ô_íô†í9¢ë9†f ¢†oõ†ô9AB†àâ ëà_í8 9v† ôvë¢ëô9†¢Ao9Aôo \i βÇLêL F

ô_ío9ëí9 ëíf \i βNLêL Fô_ío9ëí9; Y_U†Ä_¢Ir ò†¢Amâ 9v† ë^_B† ¢†owà9o ^â 9v† U†9v_f _m ôvë¢ëô9†¢Ao9Aôo;

3;N Twô_íAô ôëo†2 Ç â JÇ â JN

óí 9vAo ôëo† ï3;ja ëíf ï3;3a ë¢† †ààAõ9Aô; k†9

βÇN F Ç − JNI βN F Ç − JNIÇ N

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† å3

PA8w¢† ÇXr T9¢†oo Bë¢Aë9A_ío Aí 9v† 8¢_wíf wíf†¢ owõ†¢o_íAô à_ëf _í 9v† ow¢mëô†;


−JN i N [å F N I

ïJN N N − Na − XβÇβN

−NβÇ[X F N P ï3;åùa

ïJNN − Na − XβÇβN

èv† m_¢Uëà o_àw9A_ío m_¢ Φ ëíf f ë¢†

TÜE[å U ∞ ï

Ç Ç t

Φ F − Nπ= −∞ λ − TαÇ λ i TαN

* LλLβÇê Tλ\ nλ I

λN U ∞ ï tÜE[X Ç Ç−f F − Nπ= −∞ λ − TαÇ λ i TαN

o8í λLλLβNê Tλ\* nλPe ï3;åja λN

=â woAí8 ï3;ÇEa2 ï3;ÇÇa ëíf ï3;ÇNa2 9v† o9¢†oo ô_Uõ_í†í9o ôëí ^† †Jõ¢†oo†f ëo P_w¢A†¢

Aí9†8¢ëào2 ÄvAôv ôëí ^† †Bëàwë9†f Aí 9†¢Uo _m 9v† †Jõ_í†í9Aëà Aí9†8¢ëà f†Üí†f ^â U ∞ −τ çÇïca F nτ

\ τ ∞ òP c

F −γ − àí c − ï−Çaò Pe ï3;å3a òò:òFÇ

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† XE

k†9

cÇ − \i TβÇêI cN F \i TβNê ï3;XEa

ëíf −αÇc αNcíïca F çÇ ï−αÇca − çÇ ïαNca P ï3;XÇa

èv†í 9v† o9¢†oo ô_Uõ_í†í9o ë¢†

τ i é n [å NβN[Xτh\\ F \\ F − JN

N − NJÇN i N Q í ïcÇa − Q í ïcNa I

ÜE π π n [ NβN[êê å Xτhêê F

τ i

F − é JN

N − N Q í ïcÇa i Q í ïcNaÜE π π τ i \ê NβÇ[å

τh\ê F F | [í ïcNa − í ïcÇae ï3;XNa ÜE π

t_9† 9vë9

çÇïαL\La Am \ Å EI

−çTïα\a − Tπ Am \ â EIeàAU çÇ ï−αÇcÇa F ê↑E−

ê↑E− àAU çÇ ïαcÇa F

−çTïαL\La i πT Am \ Å EIe

çÇïα\a Am \ â E ï3;Xåa

Äv†¢† U ∞ −τ çTï\a F −|ò nτ ï3;XXa

\ τ

ÄA9v 9v† Aí9†8¢ëà ^†Aí8 ë õ¢AíôAõëà Bëàw†;

P¢_U 9v† f†ÜíA9A_ío [å ëíf [X ^†ô_U† AíÜíA9† Äv†í 9v†A¢ f†í_UAíë9_¢o BëíAov< èvAo

_ôôw¢o Äv†í 9v† †J9†¢íëà à_ëf 9¢ëB†ào ë9 9v† oõ††f _m 9v† áëâà†A8v ow¢mëô† ÄëB† ëíf

AífAôë9†o ¢†o_íëíô†; èv† wí^_wíf†f ¢†o_íëíô† í††f í_9 ^† ë 9v¢†ë9 Aí õ¢ëô9Aô† ^†ôëwo†

9v† U_f†à _m o9†ëfâ 9Ä_qfAU†íoA_íëà àAí† à_ëf Ao ëí Af†ëàAVë9A_í í_9 wowëààâ ¢†ëàAV†f;

3;å è¢ëío_íAô ôëo†2 JÇ â Ç â JN

èv† oôëàë¢ õ_9†í9Aëào ë¢†

ÜE U ∞

Tλ\ LλLβÇêIΦ F nλ yïλa Nπ= −∞ U ∞ÜE−f F nλ Tλ\Qïλa TλβNê ï3;Xña Nπ= −∞

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† XÇ

PA8w¢† Çñr T9¢†oo Bë¢Aë9A_ío Aí 9v† 8¢_wíf wíf†¢ owô_íAô à_ëf _í 9v† ow¢mëô†;


Äv†¢† u ú é n TLλL T ï

Ç Ç t

yïλa F − JNN − N [ñ i [b

λN − I

λ λ − TαÇ λ i TαN u ú ï tLλL T Ç ÇQïαa F NTβÇ [ñ i T[b − I ï3;Xba

λ λN λ − TαÇ λ i TαN

− ïJNN − NaN

[ñ F X N I

ïJNN − Na i ÇbβÇ

NβN

−XβÇβN[b F P ïJN

N − NaX i ÇbβÇ

Nβ N

N

óí 9†¢Uo _m cÇ F \ i TβÇê ëíf ξN F \ i βLêL ëàà 9v† Aí9†8¢ëào Aí ïå;Çja ôëí ë8ëAí ^†

†Bëàwë9†f; èv† ¢†owà9o AíB_àB† 9v† m_àà_ÄAí8 mwíô9A_íor

fïξa F αNξ çÇ ïαNξa i −αÇξçT ïαÇξa I

αÇLξLf ∗ ïξa F çÇ ïαÇLξLa i −αNLξLçT ïαNLξLa ≡ fïLξLaP ï3;Xùa

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† XN

èv† o9¢†oo†o ë¢†

τE é n é n Ç\\ JN − NJN JNτh\\ F F − Ç i N − NN N Qyï[ñ − T[ba í ïcÇaáÜE π

−αÇξN I

[ñf ïξNa i π[b ξN â EIXβÇβN− π

ï3;Xja −αNLξNLI−[ñf∗ ïξNa i π[b ξN Å EI

τE é nN Çêê JNF − N − Nτhêê F Qyï[ñ − T[ba í ïcÇaáÜE π

−αÇξN I[ñf ïξNa i π[b ξN â EI

−αNLξNLI−[ñf∗ ïξNa i π[b ξN Å E

XβÇβNi π

ï3;X3a

τE é \ê JN

n NβÇF − N − Nτh\ê F |yï[ñ − T[ba í ïcÇaá

ÜE π n NβÇ

π

[ñf ïξNa i π[b −αÇξN Ié

− JNN − N

ξN â EI ï3;ñEa −αNLξNLI−[ñf

∗ ïξNa i π[b ξN Å E

s |ë¢9Aëà ÄëB† †JõëíoA_í

s wo†mwà ¢†owà9 Aí ÄëB† 9v†_¢â Ao 9v† †JõëíoA_í _m 9v† õàëí† ÄëB† Aí ë P_w¢A†¢ o†¢A†o

_m 9v† õ_àë¢ ëí8à† θ; óí õ_àë¢ ô__¢fAíë9†o 9v† oõë9Aëà mëô9_¢ _m ë õàëí† ÄëB† _m wíA9

ëUõàA9wf† Ao T[\ F T[¢ ô_o θP

z_íoAf†¢ 9v† m_àà_ÄAí8 õ¢_fwô9 _m †Jõ_í†í9Aëà mwíô9A_ío { ¢ { ¢∞ ï tò ∞ ï tò cMÄN −cÄNM F

P Ç cM P Ç −ceò: N ò: NMòFE òFE{ ¢∞P ïcÄNaò ïcÄNaòiN ïcÄNaòiX ïcÄNaòiN¢

Mò − i i k k ki ï−Ça¢ i k k k P −∞ ò: Ç:ïòi Ça: N:ïòi Na: ¢:ïòi ¢a:

èv† ô_†ffiôA†í9 _m Mò Ao í_9vAí8 ^w9 lòïca2 v†íô† ∙ ï tz Pc Ç ∞M− F MòlòïcaP†Jõ

N M −∞

å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô† Xå

PA8w¢† Çbr T9¢†oo Bë¢Aë9A_ío Aí 9v† 8¢_wíf wíf†¢ 9¢ëío_íAô à_ëf _í 9v† ow¢mëô†;


t_Ä Ä† o†9

M F T Tθ c F [¢P

èv† õàëí† ÄëB† 9v†í ^†ô_U†o ∞P

T[\ F TòïθiπÄNlòïcaP zF−∞

ZoAí8 9v† mëô9 9vë9 l−ò F ï−Çaòlò2 Ä† Üíëààâ 8†9 ∞P

T[\ F T[¢ ô_o θ F SòTòlòï[¢a ô_o òθI ïs;Ça

òFE

Äv†¢† Sò Ao 9v† cëô_Â oâU^_à; èv† ë^_B† ¢†owà9 Uëâ ^† BA†Ä†f ëo 9v† P_w¢A†¢ †Jõëíq

oA_í _m 9v† õàëí† ÄëB† ÄA9v =†oo†à mwíô9A_ío ^†Aí8 9v† †JõëíoA_í ô_†ffiôA†í9o; óí ÄëB†

õ¢_õë8ë9A_í 9v†_¢A†o2 †ëôv 9†¢U Aí 9v† o†¢A†o ¢†õ¢†o†í9o ë fAo9Aíô9 ëí8wàë¢ Bë¢Aë9A_í ëíf

Ao ôëàà†f ë õë¢9Aëà ÄëB†;

ZoAí8 9v† _¢9v_8_íëàA9â _m ô_o òθ2 Ä† Uëâ †Bëàwë9† 9v† P_w¢A†¢ ô_†ffiôA†í9 U πN T[¢ ô_o θ ô_o òθnθIlòï[¢a F ïs;NaSòTòπ E

ÄvAôv Ao _í† _m ë v_o9 _m Aí9†8¢ëà ¢†õ¢†o†í9ë9A_ío _m =†oo†à mwíô9A_ío;

XX å;3; 4_BAí8 à_ëf _í 9v† 8¢_wíf ow¢mëô†

= sõõ¢_JAUë9† †Bëàwë9A_í _m ëí Aí9†8¢ëà

z_íoAf†¢ 9v† Aí9†8¢ëà U Nπ T[¢ïÇ−ô_oïθ−θiaa nθ[Ç i ô_oïθ − θiae

E

P_¢ àë¢8† [¢ 9v† o9ë9A_íë¢â õvëo† õ_Aí9o ë¢† m_wíf m¢_U

∂ [Ç − ô_oïθ − θiae F oAíïθ − θia F E

∂θ

_¢ θ F θiI θi i π ÄA9vAí 9v† ¢ëí8† [EI Nπe; t†ë¢ 9v† Ü¢o9 o9ë9A_íë¢â õ_Aí9 9v† Aí9†8¢ëíf

Ao f_UAíë9†f ^â T[Mïθ−θiaNÄNPNwïθia

dv†í 9v† àAUA9o ë¢† ëõõ¢_JAUë9†f ^â ï−∞I∞a2 9v† Aí9†8¢ëà ôëí ^† †Bëàwë9†f 9_ 8AB† 7U ∞ NπT[¢θNÄN TπÄX wïθia nθ F wïθia −∞ [¢

t†ë¢ 9v† o†ô_íf o9ë9A_íë¢â õ_Aí9 9v† Aí9†8¢ëà BëíAov†o oAíô† Çiô_oïθ−θia FF Ç−Ç F E;

Y†íô† 9v† ¢†owà9 ïb;Nja m_àà_Äo;

MIT OpenCourseWare https://ocw.mit.edu

2.062J / 1.138J / 18.376J Wave Propagation Spring 2017

For information about citing these materials or our Terms of Use, visit: https://ocw.mit.edu/terms.

Documents

å;Ç;á†Q†ô9A í m o wíf ^â ëí Aí9†¢mëô† · 2020. 7. 9. · å;Ç;á†Q†ô9A_í _m o_wíf ^â ëí Aí9†¢mëô† å Äv†¢† 9v† ogwë¢† ^¢ëôI†9o