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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA , CIENCIAS Y ADMINISTRACIÓN DEPTO. DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA.

Mg.: Arnoldo Rafael Lopetegui B. Alumno: ……………………………

APLICACIÓN DE LA DERIVADA A MÁXIMOS Y MÍNIMOS.-

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.- En esta sección precisaremos la noción de gráficos que suben y bajan en relación con el signo de la derivada. Sea “ I “ un intervalo cualquiera y supongamos que y = f ( x) es una función definida en “ I “. Entonces diremos que:

a) Una función y = f(x) es CRECIENTE en un intervalo “ I “ si y sólo si:

c < d f ( c ) f ( d) y será ESTRICTAMENTE CRECIENTE en “ I “ si:

c < d f ( c ) f ( d)

b) Una función y = f(x) es DECRECIENTE en un intervalo “ I “ si y sólo si:

c < d f ( c ) f ( d) y será ESTRICTAMENTE DECRECIENTE en “ I “ si:

c < d f ( c ) f ( d) .

El significado geométrico de una función CRECIENTE O DECRECIENTE, está en que el punto ( d, f (d)), esté mas arriba o mas abajo que el punto ( c , f (c)), siempre que: c < d. La relación básica entre derivadas y funciones crecientes o decrecientes se enuncia en el siguiente teorema.

Teorema.- Sea “ I “ un intervalo en el cual la función y = f ( x) es continua. Si la derivada de y = f(x) es POSITIVA en cada punto de “ I “, con la posible excepción de los puntos extremos, entonces y = f (x) es CRECIENTE y si la derivada de y = f (x) es NEGATIVA en cada punto de “ I “, con la posible excepción de los puntos extremos, entonces y = f (x) es DECRECIENTE.

Ejemplos.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de las siguientes funciones.

a) f(x) = b) f ( x) = 2 c) f ( x ) =

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.-

En esta sección precisaremos la noción de puntos más altos y valles y su relación con la derivada.

Definición.- La función y = f(x) se dice que tiene un valor MÁXIMO RELATIVO en “ c “ ; si existe un intervalo abierto “ I “ que contenga a “ c “ sobre el cual está definida y = f(x)

tal que: f ( c) para todo “ x “ en el intervalo I.

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Definición.- La función y = f(x) se dice que tiene un valor MÍNIMO RELATIVO en “ c “ ; si existe un intervalo abierto “ I “ que contenga a “ c “ sobre el cual está definida y = f(x)

tal que: f ( c) para todo “ x “ en el intervalo I.

Definición de Extremo.- Si la función y = f(x), tiene un valor mínimo o máximo relativo en “ c”, entonces la función y = f(x), tiene un extremo relativo en “ c “. El siguiente teorema nos permitirá localizar los posibles valores de “ c “ , para los cuales existe un extremo relativo.

Teorema.- Si y = f(x) existe para todos los valores de “ x” en un intervalo abiertoI = (a,b), entonces y = f(x), tendrá un extremo relativo en “ c “, siempre que f’(x) exista y f’(c) = 0 con a < c < b.

Definición.- Si “ c “ es un número que pertenece al dominio de la función y = f(x) y sif’( c ) = 0 o si f ‘( c) NO existe, entonces “ c “ es llamado número crítico de la función y = f( x ). Con esta definición, podemos concluir que una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un número “ c “ es que “ c “ sea un número crítico. Si la función tiene como dominio de definición a un intervalo, los extremos pasan a ser también números críticos. Frecuentemente estamos interesados en una función definida en un intervalo dado y deseamos encontrar el valor mayor o menor de la función en el intervalo. Estos intervalos pueden ser cerrados, abiertos o cerrados en un extremo y abierto en el otro. El valor mayor de la función en un intervalo se llama VALOR MÁXIMO ABSOLUTO, y el valor menor de la función en el intervalo se llama VALOR MÍNIMO ABSOLUTO. A continuación se darán las definiciones precisas.

Definición.- ( Valor máximo absoluto) La función y = f(x), se dice que tiene un VALOR MÁXIMO ABSOLUTO en

un intervalo “ I “ , si existe algún número “ c “ en un intervalo “ I “ tal que: f (c ) f ( x),

para todo “ x “ en el intervalo “ I “. En tal caso, f ( c) es el valor máximo absoluto de y = f( x) en el intervalo “ I “.

Definición.- ( Valor mínimo absoluto) La función y = f(x), se dice que tiene un VALOR MÍNIMO ABSOLUTO en

un intervalo “ I “ , si existe algún número “ c “ en un intervalo “ I “ tal que: f (c ) f ( x),

para todo “ x “ en el intervalo “ I “. En tal caso, f ( c) es el valor mínimo absoluto de y = f( x) en el intervalo “ I “.

Máximo relativo

Máximo absoluto

Míni mo relativoMáximo relativo

x

y

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Teorema.- ( Criterio de la primera derivada para los extremos relativos)

Sea y = f(x) , una función continua en todos los puntos del intervalo abierto

I = (a,b), que contenga al número “ c “ y supongamos que f’ (x) exista en todos los puntos de I = (a,b), excepto posiblemente en “ c “ , entonces:

a) Si f ‘ (x) > 0, para todo “ x” perteneciente a algún intervalo abierto que contiene a “ c “ , como un punto extremo derecho y si f ‘ (x) < 0, para todo “x” perteneciente a algún intervalo abierto que contiene a “ c” como un punto extremo izquierdo, entonces la función y = f(x) tiene un VALOR MÁXIMO RELATIVO en “ c “.

b) Si f ‘ (x) < 0, para todo “ x” perteneciente a algún intervalo abierto que contiene a “ c “ , como un punto extremo derecho y si f ‘ (x) > 0, para todo “x” perteneciente a algún intervalo abierto que contiene a “ c” como un punto extremo izquierdo, entonces la función y = f(x) tiene un VALOR MÍNIM O RELATIVO en “ c “.

Ejercicios.- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones. Calcular los extremos que corresponden a máximos o mínimos si es que existen. Grafica.

a) f ( x) = b) f(x) = c) f ( x) =

Se aprendió como determinar cuando una función y = f(x), tiene un valor máximo o un valor mínimo relativo en un punto crítico “ c”, comprobando el signo algebraico de la derivada f ‘ (x ) en números de los intervalos de la derecha y de la izquierda de “ c “. Otro criterio para los extremos relativos es uno que incluye únicamente al número crítico “ c “ y frecuentemente es la prueba más fácil a aplicar. Corresponde al criterio de la segunda derivada para extremos relativos y se postula en el siguiente teorema.

Teorema.- ( Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

Si “ c “ es el número crítico de una función y = f(x) en el cual f ‘ (c)= 0 y f ‘ (x) existe para todos los valores de “ x “ en algún intervalo abierto “ I” que contenga a “ c “. Entonces si : f ‘’( c) existe y si se tiene que:

a) Si f ‘’ ( c) < 0, entonces la función y = f(x) tiene un VALOR MÁXIMO RELATIVO en “ c “.

b) Si f ‘’ ( c) > 0, , entonces la función y = f(x) tiene un VALOR MÍNIMO RELATIVO en “ c “.

Ejercicios.-

Calcular los extremos que corresponden a máximos o mínimos si es que existen utilizando el criterio de la segunda derivada.

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a) f ( x) = b) f(x) = c) f ( x) =

CONCAVIDAD.-

Definición.-

La gráfica de una función y = f(x), se dice que es CÓNCAVA HACIA ARRIBA en un punto ( c, f (c ) ), si existe f’ ( c ) y si existe un intervalo abierto I que

contenga a “ c “, tal que para todos los valores de x c en el intervalo I, el punto

(x,f(x)), sobre la gráfica esté arriba de la recta tangente a la gráfica en ( c, f( c) ) ( fig. a)

Definición.-

La gráfica de una función y = f(x), se dice que es CÓNCAVA HACIA ABAJO en un punto ( c, f (c ) ), si existe f’ ( c ) y si existe un intervalo abierto I que

contenga a “ c “, tal que para todos los valores de x c en el intervalo I, el punto

(x,f(x)), sobre la gráfica esté abajo de la recta tangente a la gráfica en ( c, f( c) ) ( fig. b)

a) b)

Teorema.- Si y = f(x) , es una función diferenciable en algún intervalo abierto “ I que contenga a “ c “ . Entonces:

a) Si f’’( c) > 0, la gráfica es CÓNCAVA HACIA ARRIBA en el punto (c,f(c) ).b) Si f ‘’ ( c) < 0, la gráfica es CÓNCAVA HACIA ABAJO en el punto (c,f(c) ).

Definición.- ( Punto de inflexión)

Un punto ( c, f ( c ) ), es un punto de INFLEXIÓN de la gráfica de la función y = f(x), si la gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto “ I” que contenga a “ c “, tal que si “ x” está en el intervalo “ I “ se tenga que:

i) f’’(x)< 0 si x < c y f ‘’ (x) > 0 si x > c

o

ii) f ‘’ ( x) > 0 si x < c y f ‘’ ( x) < 0 si x > c

xx

y y

tg

tg

x

y

c

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La figura ilustra un punto de inflexión. Se observa que es cóncava hacia abajo en los puntos inmediatamente a la izquierda de “ c “ y cóncava hacia arriba en los puntos inmediatamente a la derecha de “ c “, entonces un punto de inflexión es un punto en donde hay un cambio de concavidad.